Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. III. Pravděpodobnost. III. Pravděpodobnost Statistika A (ZS 2015)

Pravděpodobnost

Podmíněná p.

Úplná p.

III Pravděpodobnost

Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p.

III. Pravděpodobnost

Statistika A (ZS 2015)

Pravděpodobnost

Podmíněná p.

Úplná p.

Odkud se bere pravděpodobnost?

1. Pravděpodobnost, že z balíčku zamíchaných karet vytáhmene dvě esa je přibližně 0:012. Modely a teorie. 2. Pravděpodobnost, že zítra bude pršet je přibližně 1:2 %. Osobní zkušenost. 3. Je pravděpodobné, že v následujících 5 letech utrpí úraz při autonehodě jeden člověk z 83. Data. Čísla jsou stejná, jiný je jejich původ.



Pravděpodobnost

Podmíněná p.

Úplná p.

Relativní četnost výskytu jevu

Klasická definice pravděpodobnosti Základní prostor ˙ obsahuje n elementárních jevů, se stejnou pravděpodobností výskytu P(Ei ) = n1 . Jev A je sjednocením právě k elementárních jevů. Pravděpodobnost výskytu jevu A je P(A) =


k : n


Pravděpodobnost

Podmíněná p.

Úplná p.

Úlohy

Příklad Házíme spravedlivou hrací kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že ze tří hodů padne alespoň jedna šestka? 1. Celkový počet možností (variace s opakováním) n = 63 = 216 : 2. Počet příznivých možností (odčítáme případy, kdy šestka nepadne) k = 216 ` 53 = 91 : 3. Pravděpodobnost, že padne alespoň jedna šestka k 91 : P(A) = = = 0;421 : n 216 III. Pravděpodobnost


Pravděpodobnost

Podmíněná p.

Úplná p.

Pravděpodobnost jako míra

Axiomatická definice Pravděpodobnosti jevu A 2 F je reálné číslo P(A) takové, že 1. 0 » P(A), 2. P(I ) = 1, 3. pro navzájem neslučitelné jevy A1 ; A2 ; : : : ; An platí P(A1 + A2 + ´ ´ ´ + An ) = P(A1 ) + P(A2 ) + ´ ´ ´ + P(An ) : 1. P(O) = 0 2. P(A0 ) = 1 ` P(A), 3. A „ B, potom P(A) » P(B), 4. 0 » P(A) » 1. III. Pravděpodobnost


Pravděpodobnost

Podmíněná p.

Úplná p.

Pravděpodobnost jako míra oblasti

Geometrická definice Mějme geometrickou míru na oblasti ˙. Pokud A je její měřitelnou podoblastí, pak pravděpodobnost, že náhodně zvolený bod leží v oblasti A je rovna P(A) =


jAj : j˙j


Pravděpodobnost

Podmíněná p.

Úplná p.

Délka úsečky

Příklad Tramvaje přijíždějí na zastávku v intervalu 10 minut jaká je pravděpodobnost, že po náhodném příchodu na zastávku nebudete čekat déle než 3 minuty? 10 3

1. Celková délka oblasti j˙j = 10 : 2. Délka příznivé oblasti jAj = 3 : 3. Pravděpodobnost, že příchod náleží příznivé oblasti jAj 3 P(A) = = = 0;3 : j˙j 10 III. Pravděpodobnost


Pravděpodobnost

Podmíněná p.

Úplná p.

Plocha kruhu

Příklad Spravedlivě obodujte zásah do jednotlivých polí terče. Černé pole má průměr 1 cm, modré pole má průměr 2,5 cm a celý terč má poloměr 2 cm.

C B C

B

A B C

B C

1. Plocha terče : jDj = ı ´ 22 = 12;566 cm2 , : 2. jAj = ı ´ 0;52 = 0;785 cm2 , jAj : P(A) = jDj = 0;063 (6 %) : 3. jBj = ı ´ 1;252 ` A = 4;123 cm2 , : jBj P(B) = jDj = 0;328 (33 %) : 4. jC j = ı ´ 22 ` A ` B = 6;872 cm2 , jC j : P(C ) = jDj = 0;609 (61 %) Body A – 10b., B – 2b., C – 1b.



Pravděpodobnost

Podmíněná p.

Úplná p.

Pravděpodobnost určená na základě pozorování

Statistická definice Nechť fn je počet výskytů hromadného jevu A v n pozorováních, potom P(A) = lim

n!1

fn : n

Rozdíl s klasickou definicí? I

Klasická definice — pravděpodobnosti elementárních jevů známe.

I

Statistická definice — pravděpodobnosti elementárních jevů určujeme pokusem.



Pravděpodobnost

Podmíněná p.

Úplná p.

Pravděpodobnost součtu jevů

Součet slučitelných jevů P(A + B) = P(A) + P(B) ` P(A ´ B) P(A + B + C ) = P(A) + P(B) + P(C ) ` P(A ´ B) ` P(A ´ C ) ` P(B ´ C ) + P(A ´ B ´ C ) Obecně princip zapojení a vypojení. Pro neslučitelné jevy platí P(A + B) = P(A) + P(B).



Pravděpodobnost

Podmíněná p.

Úplná p.

Součet jevů — úloha

Příklad Určete pravděpodobnost, že ve dvou hodech kostky padne alespoň jedna šestka. 1. Jev A — na první kostce padne šest, jev B — na druhé kostce padne šest, A ´ B — na obou kostkách padla šestka, A + B – šestka padla alespoň na jedné kostce. 2. P(A) =

1 , 6

3. P(A + B) =


1 P(A ´ B) = 36 . 1 11 : ` 36 = 36 = 0;306.

P(B) = 1 6

+

1 6

1 , 6


Pravděpodobnost

Podmíněná p.

Úplná p.

Jev s podmínkou

Podmíněné jevy Jev A se uskutečnil za podmínky, že se uskutečnil také jev B. Značíme AjB.

Příklad Určete pravděpodobnost, že na kostce padla šestka, pokud víte, že padlo sudé číslo.



Pravděpodobnost

Podmíněná p.

Úplná p.

Příklad V jedné ze tří krabiček je ukryta výhra, v prvním kole vybere hráč jednu krabičku. Krupiér otevře ze zbývajích krabiček tu, ve které výhra určitě není. Která strategie je pro hráče ve druhém kole výhodnější? 1. Neměnit volbu, 2. změnit volbu na druhou neotevřenou krabici, 3. obě předcházející možnosti jsou stejně výhodné.

Příklad (Varianta jasná) V jedné z tisíce krabiček je ukryta výhra, v prvním kole vybere hráč jednu krabičku. Krupiér otevře ze zbývajích krabiček 998 těch, ve kterých výhra určitě není. Která strategie je pro hráče ve druhém kole výhodnější? III. Pravděpodobnost


Pravděpodobnost

Podmíněná p.

Úplná p.

Jev s podmínkou

Příklad 1. ˙ v rodině jsou tři děti. 2. A v rodině jsou právě dvě děti stejného pohlaví. 3. B v rodině se narodili dva chlapci po sobě. 4. C nejmladší z dětí v rodině je děvče. 5. AjB v rodině jsou právě dvě děti stejného pohlaví, pokud víme, že se narodili dva chlapci po sobě 6. AjC v rodině jsou právě dvě děti stejného pohlaví, pokud víme, že nejmladší z dětí je děvče.



Pravděpodobnost

Podmíněná p.

Úplná p.

Pravděpodobnost podmíněných jevů

D1 H D H D H D H D P(A) =


D2 H H D D H H D D

6 3 = ; 8 4

D3 H H H H D D D D

A ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹

B ‹ ‹

C

AjB ˆ ‹

AjC

‹

‹ ‹ ‹ ‹

‹

‹ ‹ ‹ ˆ

P(AjB) =

2 ; 3

P(AjC ) =

3 4


Pravděpodobnost

Podmíněná p.

Úplná p.

Pravděpodobnost podmíněných jevů

Podmíněná pravděpodobnost P(AjB) =

P(A ´ B) ; P(B)

P(B) 6= 0

Jev nezávislý na druhém Jev A je nezávislý na jevu B, jestliže P(A) = P(AjB)

Jevy nezávislé Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže P(A) = P(AjB)


a

P(B) = P(BjA)


Pravděpodobnost

Podmíněná p.

Úplná p.

Pravděpodobnost součinu, nezávislé jevy

Věta 1. Pokud jsou jevy A a B nezávislé, pak jsou nezávislé také A0 ; B ; A0 ; B a A0 ; B. 2. Jevy A a B jsou nezávislé právě, když P(A ´ B) = P(A) ´ P(B) :

I

P(A ´ B) = P(AjB) ´ P(B)

I

P(A ´ B) = P(BjA) ´ P(A)



Pravděpodobnost

Podmíněná p.

Úplná p.

Pravděpodobnost průniku

Příklad Jaká je pravděpodobnost, že ze zamíchaného balíčku 32 karet vytáhnete po sobě dvě esa? B — první karta je eso, A — druhá karta je eso, A \ B —obě (první i druhá karta) jsou esa, AjB — druhá karta je eso, za podmínky, že již bylo eso vytaženo. P(B) = 4=32 ;

P(AjB) = 3=31 ; : P(A \ B) = P(AjB) ´ P(B) = 3=31 ´ 4=32 = 0;0121



Pravděpodobnost

Podmíněná p.

Úplná p.

Pravděpodobnost při existenci neslučitelných hypotéz

Věta Mějme jev A. Pokud H1 ; H2 ; : : : ; Hn tvoří úplnou skupinu vzájemně neslučitelných hypotéz, pak P(A) =

n X

P(Hi ) ´ P(AjHi ) :

i=1

Mějme A a tři alternativní hypotézy, H1 ; H2 ; H3 ; pak P(A) = P(A ´ H1 ) + P(A ´ H2 ) + P(A ´ H3 ) H1

A ´ H3

A ´ H1

H3

A ´ H2 A H

2

P(A ´ Hi ) = P(Hi )P(AjHi ); i = 1; 2; 3 P(A) = P(H1 )P(AjH1 )+ + P(H2 )P(AjH2 )+ + P(H3 )P(AjH3 )



Pravděpodobnost

Podmíněná p.

Úplná p.

Příklad



Pravděpodobnost

Podmíněná p.

Úplná p.

Bayesova formule (dvě alternativní hypotézy) I

Máme jevy A a H.

I

Jevy H a H 0 tvoří úplnou skupinu alternativních hypotéz.

I

P(A) = P(H) ´ P(AjH) + P(H 0 ) ´ P(AjH 0 ),

I

P(A ´ H) = P(H) ´ P(AjH) = P(A) ´ P(HjA), P(A ´ H) ; P(HjA) = P(A)

I

Bayesova věta pro dvě alternativní hypotézy Mějme jev A a alternativní hypotézy H a H 0 , pak P(HjA) =


P(H) ´ P(AjH) P(H) ´ P(AjH) + P(H 0 ) ´ P(AjH 0 ) Statistika A (ZS 2015)

Pravděpodobnost

Podmíněná p.

Úplná p.

Použití úplné pravděpodobnosti a Bayesovy formule

Příklad Preventivní test označí správně 99 % nemocných (senzitivita) a správně označí 98 % zdravých (specificita). V populaci jsou 3 % nemocných. Zvažte, zda je účelné test provozovat. 1. Jak velkou část populace test označí pozitivně? 2. Jak velkou část nemocné populace označí test pozitivně? 3. Jak velkou část zdravé populace označí test pozitivně?



Pravděpodobnost

Podmíněná p.

Úplná p.

Použití úplné pravděpodobnosti a Bayesovy formule I I I I I I I

H — jedinec je nemocný, P(H) = 0;03, H 0 — jedinec je zdravý, P(H 0 ) = 0;97, AjH — nemocný má pozitivní test, P(AjH) = 0;99, AjH 0 — zdravý má pozitivní test, P(AjH 0 ) = 0;02, A — jedinec má pozitivní test . . . ? H|A — jedinec má pozit. test a je nemocný . . . ? H’|A — jedinec má pozit. test a je zdravý . . . ?

P(A) = P(H) ´ P(AjH) + P(H 0 ) ´ P(AjH 0 ) = 0;049 P(HjA) =

P(H) ´ P(AjH) = 0;61 P(H) ´ P(AjH) + P(H 0 ) ´ P(AjH 0 ) P(H 0 jA) = 1 ` P(HjA) = 0;39



Pravděpodobnost

Podmíněná p.

Úplná p.

Změna zadání I

H — jedinec je nemocný, P(H) = 0;01, H 0 — jedinec je zdravý, P(H 0 ) = 0;97, I AjH — nemocný má pozitivní test, P(AjH) = 0;99, I AjH 0 — zdravý má pozitivní test, P(AjH 0 ) = 0;02, I A — jedinec má pozitivní test . . . ? I H|A — jedinec má pozit. test a je nemocný . . . ? I H’|A — jedinec má pozit. test a je zdravý . . . ? P(A) = P(H) ´ P(AjH) + P(H 0 ) ´ P(AjH 0 ) = 0;029 I

P(HjA) =

P(H) ´ P(AjH) = 0;33 P(H) ´ P(AjH) + P(H 0 ) ´ P(AjH 0 ) P(H 0 jA) = 1 ` P(HjA) = 0;67



Pravděpodobnost

Podmíněná p.

Úplná p.

Bayesova formule, obecně

Věta (Bayesova) Mějme jev A. Pokud H1 ; H2 ; : : : ; Hn tvoří úplnou skupinu vzájemně neslučitelných hypotéz, pak P(Hk jA) =

P(A ´ Hk ) = P(A)

P(Hk ) ´ P(AjHk ) n X

P(Hi ) ´ P(AjHi )

i=1 I

P(Hi ) — pravděpodobnost hypotézy Hi „a priori“

I

P(Hi jA) — pravděpodobnost Hi „a posteriori“



Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. III. Pravděpodobnost. III. Pravděpodobnost Statistika A (ZS 2015)

Recommend Documents