POROVNÁNÍ ANALYTICKÉHO A NUMERICKÉHO VÝPOČTU NOSNÉ KONSTRUKCE ZE SKLA Horčičková I., Netušil M., Eliášová M. České vysoké učení technické v Praze, fakulta stavební Anotace Sklo se v moderní architektuře stále častěji používá nejen na výplně otvorů, ale i na konstrukční prvky přenášející zatížení. V současné době je však nedostatek závazných předpisů pro navrhování skleněných konstrukcí. V rámci evropských norem je připravena pracovní verze prEN 13474 "Glass in Building", v níž je uveden postup výpočtu maximálního tahového napětí a průhybu obdélníkových skleněných prostě podepřených rovnoměrně zatížených tabulí. Podle uvedeného předpisu je proveden vzorový výpočet maximálního tahového napětí ve skleněné tabuli přístřešku. Přístřešek je řešen ve dvou variantách. V prvním případě je tvořen jednovrstvým sklem, které je po třech stranách uloženo na podpůrné ocelové konstrukci. Ve druhém případě je použito sklo vrstvené. Výsledky výpočtu podle normy jsou porovnány s numerickým modelem konstrukce vytvořeným v programu RFEM v modulu RF-GLASS od Ing. Software Dlubal. Výhodou numerického modelu oproti ručnímu výpočtu je zejména možnost zohlednit vlastnosti fólie u vrstvených skel, čímž lze dosáhnout přesnějších výsledků. Zadané vlastnosti fólie mají významný vliv na přerozdělení napětí a deformaci, což je zřejmé z numerické studie na více variantách řešení. Klíčová slova: sklo, PVB, návrh, prEN 13474, numerický model 1
Úvod Vzhledem k tomu, že v Evropské unii v současné době neexistují žádné obecně
závazné předpisy pro navrhování konstrukcí ze skla, je projektant v praxi často nucen opírat
se při výpočtu o experimentálně zjištěné zákonitosti nebo numerické výpočty. Evropský výbor pro normalizaci (CEN/TC129/WG8) sice připravil pracovní verzi (draft) předběžné evropské normy prEN 13474 „Glass in Buildings“ – část 1 a 2, tento dokument je ale prozatím dostupný pouze v omezené míře a na jeho dokončení se v současnosti intenzivně pracuje, [1], [2]. Další nevýhodou současně dostupných předpisů prEN (převážná část obsahu byla převzata z původní DIN EN), ve kterých se projektanti mohou inspirovat pro praktický návrh nosné konstrukce ze skla, je, že svým rozsahem pokrývají pouze deskové prvky, jako jsou fasádní dílce, zdvojená izolační skla nebo vrstvené sklo (zatím v neúplné podobě). Obecněji se problematikou nosných konstrukcí zabývá také např. australská norma AS 1288 „Glass in Buildings – Selection and Installation“ z roku 2006, [3]. Pro návrh atypických konstrukcí ze skla, nosníků, žeber či řešení stabilitních problémů mohou být projektantům nápomocné také vědecké publikace nebo výsledky experimentálních výzkumů, podpořených numerickými studiemi. 2
Popis řešené konstrukce Jako vzorový příklad pro řešený výpočet byla vybrána tabule horizontálního zasklení
přístřešku, podepřená spojitě po 3 stranách pomocí systému nosníků IPE a úhelníků připojených k fasádě domu, viz obr. 1.
Obr. 1: Schéma řešené konstrukce přístřešku
Desky zasklení jsou uloženy na podpůrnou konstrukci pomocí lepého spoje, který zajišťuje přenos sil ze skleněné desky do podpůrné konstrukce a zároveň účinně brání přímému kontaktu skla a oceli, viz obr. 2. Vodorovná složka síly v táhle je v takto navrženém systému přenášena přímo ocelovým profilem IPE a ve výpočtu skleněné části se proto neprojeví.
Obr. 2: Detail uložení skleněného panelu na ocelovou konstrukci Posouzení ocelové konstrukce a lepeného spoje není součástí této práce. Ta se bude zabývat pouze posouzením skleněné desky, která bude provedena ve variantách z jednovrstvého a vrstveného (2-vrstvého) skla s PVB fólií. Výpočet bude proveden podle postupu, který lze nalézt v prEN 13474-2 „Glass in Building – Design of glass panes – Part 2: Design of uniformly distributed loads“, a také pomocí numerického modelu konstrukce v programu RFEM 5 v modulu RF-GLASS od Ing. Software Dlubal. V závěru bude provedeno porovnání obou metod řešení. 3
Zatížení Rozhodující zatěžovací stavy byly vypočteny podle ČSN EN 1991-1-3: Zatížení
sněhem a ČSN EN 1991-1-4: Zatížení větrem, [4], [5]. Charakteristická hodnota zatížení sněhem v Praze je 0,7 kN/m2. Vzhledem k tomu, že přístřešek bude umístěn s největší pravděpodobností na fasádě bytového domu nebo jiné budovy, je nutné uvažovat s tvarovým součinitelem µ2 zohledňujícím návěj. Hodnota
součinitele µ2 byla uvažována jako 2,0 a zohledňuje jak návěj, tak spad sněhu ze střechy domu. Zatížení sněhem bylo tedy uvažováno v charakteristické hodnotě jako sk = 1,4 kN/m2. Zatížení větrem bylo stanoveno podrobným výpočtem pro větrnou oblast II., kategorii terénu IV. (umístění ve městě v uliční síti) a základní dynamický tlak činí qp(z) = 0,46 kN/m2. Součinitel Cpe pro záporný tlak větru na přístřešek je uvažován zjednodušeně jako vážený průměr z jednotlivých hodnot pro celou plochu přístřešku konstantní hodnotou -1,69 (při součiniteli plnosti φ = 1,0). Plošné zatížení záporným tlakem větru má tedy hodnotu wk = -0,78 kN/m2. Zatížení kladným tlakem větru na přístřešek má oproti zatížení zápornému mnohem nižší hodnotu. Pro Cpe = 0,85 je wk = 0,39 kN/m2. 3.1
Kombinace zatížení 1) KZ1 – 1,35 x vlastní tíha tabule + 1,5 x sníh + 1,5 x ψ0,1 (dle prEN 13474-1) x vítr kladný 2) KZ2 – 1,0 x vlastní tíha tabule + 1,5 x vítr záporný Rozhodující kombinací pro návrh skleněné desky bude KZ1, zatímco KZ2 bude
rozhodovat pro návrh lepeného spoje, který bude při záporném tlaku větru namáhán tahem. Dále může být KZ2 rozhodující pro návrh šikmého prutu, který bude při této kombinaci a lehké konstrukci pravděpodobně namáhán tlakem, což rozhodne o jeho dimenzích. V rámci této práce bude posouzena deska zasklení, není posuzována ocelová konstrukce ani lepený spoj. Pro další výpočty bude tedy uvažováno pouze s kombinací KZ1. Kombinační součinitel
ψ0,1 je dle prEN 13474-1 pro zatížení větrem uvažován hodnotou 0,15 v MSÚ i MSP, [1]. Vliv kladného tlaku větru na povrch přístřešku je v porovnání se zatížení sněhem velmi malý. 4
Výpočet dle prEN 13474-2 „Glass in Building – Design of glass panes – Part 2“ Pro obdélníkové tabule skla prostě podepřené po třech stranách, obr. 3, se maximální
tahové napětí ve skle stanoví ze vztahu (1) a deformace z (2). Hodnoty součinitelů k1, a k4,
viz tab. 1, jsou přibližné, ověřené a správné hodnoty budou k dispozici po dokončení normy, [2]. Výstižnější pro vlastní návrh bude v současné době proto vždy numerický výpočet.
a
a b
b
Obr. 3: Značení obdélníkových desek uložených po třech stranách
σ max = k1
a2 Fd , h2
(1)
a 4 Fk h3 E
(2)
wmax = k4
Tab. 1: Součinitele ki pro výpočet napětí a deformace obdélníkové tabule uložené po 3 stranách,[2]
4.1
λ=b/a
k1
k4
0,3
0,16
0,048
0,4
0,26
0,064
0,5
0,36
0,080
2/3
0,45
0,106
1,0
0,67
0,140
2,0
0,79
0,165
4,0
0,80
0,167
Stanovení návrhové pevnosti skla Charakteristická pevnost sodnovápenatokřemičitého a borokřemičitého skla je
v souladu s prEN 13474-1 uvažována jako fg,k = 45 MPa, [1]. Na konstrukci bude použito tepelně tvrzené sklo s charakteristickou pevností fb,k = 120 MPa. Návrhová pevnost tepelně tvrzeného skla se určí podle vztahu (3)
f f − f g ,k f g ,d = b ,k + k mod g ,k γ n , γV γ mkA
kde
γn
(3)
národní dílčí součinitel, který je stanoven podle národních zvyklostí (doporučuje se 1,0),
kA
součinitel velikosti, který se určuje z velikosti plochy A [m2] skleněné tabule podle vztahu kA = A0,04,
kmod modifikační součinitel, který zohledňuje vliv délky trvání hlavního zatížení, (kmod = 0,36 dle prEN 13474-1 pro dominantní zatížení sněhem)
γm
součinitel spolehlivosti materiálu pro plavené sklo, (γm = 1,8 dle prEN 13474-1)
γV
součinitel spolehlivosti materiálu pro tepelně upravené sklo (γv = 2,3 dle prEN 13474-1), [1].
Dosazením do rovnice (3) získáme 120 − 45 45 + 0,36 ⋅1, 0 = 41, 2 MPa. f g ,d = 0,04 1,8 ⋅ (1,5 ⋅ 2, 0) 2,3 4.2
Výpočet pro jednovrstvé sklo tl. 19 mm Pro návrh desky rozhoduje KZS1 kde: zatížení vlastní tíhou Gk = 0, 019 ⋅ 25 = 0, 48 kN/m 2 , zatížení sněhem Qk = 1, 4 kN/m 2 , zatížení kladným tlakem větru Wk = 0, 39 ⋅ 0,15 = 0, 06 kN/m 2 . Fk = 0, 48 + 1, 4 + 0, 06 = 1,94 kN/m 2 , Fd = 0, 48 ⋅1,35 + (1, 4 + 0, 06) ⋅1, 5 = 2,84 kN/m 2 ,
λ=
b 1500 = = 0, 75, a 2000
k1 = 0,50 (viz tab. 1),
σ max = k1
a2 2000 2 F = 0,50 ⋅ ⋅ 2,84 ⋅10−3 = 15, 7 MPa ≤ 41, 2 MPa, vyhovuje. d 2 2 h 19
k4 = 0,114 (viz tab. 1), wmax = k4
2000 4 1,94 ⋅10 −3 2000 a 4 Fk L = 0,114 ⋅ ⋅ = 7, 4 mm ≤ = = 8 mm, vyhovuje. 3 3 h E 19 70000 250 250
Vzhledem k tomu, že jednovrstvé tepelně tvrzené sklo nevykazuje po porušení žádnou zbytkovou únosnost, není jeho reálné použití v řešené konstrukci vhodné. Výpočet uvedený v této kapitole byl tedy pouze ukázkovou aplikací postupu převzatého z prEN 13474-2 a je použitelný v širším měřítku i na konstrukce jiného typu, [2]. V následující kapitole bude uveden výpočet pro vrstvené bezpečnostní sklo, které se běžně na podobné konstrukce používá.
4.3
Výpočet pro vrstvené sklo tl. 2x15 mm s mezivrstvou z PVB (4x0,38 mm) Příloha F prEN 13474-2 uvádí hodnoty součinitele přenosu smykových sil Γ,
na kterém závisí velikost účinné tloušťky vrstvených skel, kterou lze ve výpočtu uvažovat, viz tab. 2, [2]. Tato tabulka je v současnosti rozšiřována o mezilehlé hodnoty pro různé materiály mezivrstev, dělených do skupin podle jejich tuhosti. Smyková tuhost mezivrstvy G významně ovlivňuje spolupůsobení obou tabulí, a tím i napjatost a deformaci celé konstrukce. Míra smykového spolupůsobení závisí kromě materiálu mezivrstvy také na délce trvání zatížení a na teplotě. Při ručním výpočtu vrstveného skla s PVB folií je však pro zatížení sněhem na straně bezpečné zcela zanedbat smykové spolupůsobení obou tabulí. Tab. 2: Součinitel přenosu smykové síly pro vrstvená skla, [2]
Druh skla
Součinitel přenosu smykové síly Γ Krátkodobé zatížení, např. vítr
Jiné zatížení
Vrstvené sklo
0
0
Vrstvené sklo
1
0
bezpečnostní
Pro součinitel Γ = 0 se účinná tloušťka při výpočtu deformace stanoví podle vztahu hef ,w = 3
∑h
(4)
3 i
i
a při výpočtu napětí j-té tabule skla podle
∑h
3 i
hef ,σ , j =
i
hj
, [2].
(5)
Pro návrh desky rozhoduje KZS1 kde: zatížení vlastní tíhou Gk = 0, 030 ⋅ 25 = 0, 75 kN/m 2 , zatížení sněhem Qk = 1, 4 kN/m 2 , zatížení kladným tlakem větru Wk = 0, 39 ⋅ 0,15 = 0, 06 kN/m 2 . Fk = 0, 75 + 1, 4 + 0, 06 = 2, 21kN/m 2 , Fd = 0, 75 ⋅1,35 + (1, 4 + 0, 06) ⋅1,5 = 3, 20 kN/m 2 , dosazením do (4) hef , w = 3 (153 + 153 ) = 18,9 mm, dosazením do (5) hef ,σ , j =
λ=
(153 + 153 ) = 21, 2 mm, 15
b 1500 = = 0, 75, a 2000
k1 = 0,50 (viz tab. 1),
σ max = k1
a2 hef ,σ , j 2
Fd = 0, 50 ⋅
20002 ⋅ 3, 20 ⋅10−3 = 14, 3MPa ≤ 41, 2 MPa, vyhovuje. 21, 22
k4 = 0,114 (viz tab. 1), wmax = k4
a 4 Fk 2000 4 2, 21 ⋅10 −3 L 2000 = 0,114 ⋅ ⋅ = 8, 5 mm ≥ = = 8 mm. 3 3 hef , w E 18,9 70000 250 250
Průhyb desky těsně nevyhoví stanovenému požadavku. Vzhledem k tomu, že se jedná o konzervativní ruční výpočet průhybu, dá se předpokládat jistá rezerva. Přesnější výpočet
pomocí metody konečných prvků dále prokáže použitelnost navržené konstrukce, a tím i úsporu, kterou lze v numerickém řešení nalézt. Norma navíc neuvádí zvláštní požadavky na limitní deformace skleněných tabulí, ty jsou vždy definovány v návaznosti na použitelnost konstrukce nebo v návaznosti na vazby celého systému. 5
Výpočet v softwaru pomocí MKP Pro numerickou analýzu byl zvolen program RFEM 5 s přídavným modulem
RF-GLASS od Ing. Software Dlubal, který umožňuje výpočet desek jak z jednovrstvého, vrstveného i izolačního skla. Modelovány byly obě varianty, stejně jako při ručním výpočtu, aby bylo možné oba typy výpočtu porovnat. Míru smykového spolupůsobení PVB fólie (i jiných mezivrstev) lze v modelu vrstveného skla předem definovat s ohledem na délku trvání zatížení nebo teplotu prostředí. Lze tak učinit pomocí různých hodnot smykových tuhostí mezivrstev, odpovídajících příslušným podmínkám, kterým bude skleněný prvek vystaven. Tyto experimentálně zjištěné hodnoty lze získat přímo od výrobců mezivrstev. V modulu RF-GLASS programu RFEM 5 je možné zvolit, že jednotlivé skleněné tabule nejsou vůbec smykově spřaženy, což v tomto případě přesně odpovídá ručnímu výpočtu. 5.1
Výpočet pro jednovrstvé sklo tl. 19 mm Při numerickém výpočtu, shodně s ručním výpočtem, byly vytvořeny dvě kombinace
zatížení. Jedna byla pro mezní stav únosnosti s návrhovými hodnotami zatížení (KZ1). Druhou byla kombinace pro mezní stav použitelnosti s charakteristickými hodnotami zatížení (KZ2). Uvažována byla vlastní tíha, zatížení sněhem a větrem, viz předchozí kapitoly. KZ1: 0, 48 ⋅1, 35 + (1, 4 + 0, 06) ⋅1, 5 = 2,84 kN/m 2 KZ2: 0, 48 + 1, 4 + 0, 06 = 1,94 kN/m 2
Pro výpočet byla zvolena Mindlinova desková teorie a velikost prvků sítě byla 50x50 mm. Návrhové hlavní tahové napětí pro daný příklad dosahuje hodnoty 17,1 MPa, viz obr. 4.
σ max = 17,1MPa ≤ 41, 2 MPa, tedy vyhovuje.
Obr. 4: Průběh napětí σ1 na dolním povrchu jednovrstvého skla od kombinace zatížení KZ1 z RF-GLASS Průhyb jednovrstvého skla je zobrazen na obr. 5. Uprostřed nepodepřené hrany dosahuje od proměnného zatížení hodnoty 5,6 mm. Průhyb v tomtéž místě od stálého zatížení je 1,8 mm. Celkem tedy průhyb vypočtený na numerickém modelu činí 7,4 mm.
Obr. 5: Průhyb jednovrstvého skla od kombinace zatížení KZ2 z RF-GLASS
5.2
Výpočet pro vrstvené sklo tl. 2x15 mm Pro výpočet vrstveného skla byly použity stejné kombinace zatížení jako při ručním
výpočtu. KZ1 pro mezní stav únosnosti s návrhovými hodnotami zatížení, KZ2 pro mezní stav použitelnosti s charakteristickými hodnotami zatížení. KZ1: 0, 75 ⋅1,35 + (1, 4 + 0, 06) ⋅1,5 = 3, 20 kN/m 2 KZ2: 0, 75 + 1, 4 + 0, 06 = 2, 21kN/m 2 Vrstvené sklo se skládalo ze dvou tabulí skla tl. 15 mm s mezivrstvou tvořenou PVB fólií tl. 1,52 mm (4x0,38 mm). Vzhledem k tomu, že modul RF-GLASS umožňuje výpočet vrstvených skel buď deskovou teorií či přesnějším modelováním pomocí těles, vytvoříme pro vrstvené sklo několik modelů, jejichž výsledky porovnáme. Ve všech případech bude zvolena velikost prvků sítě 50x50 mm. 5.2.1
Výpočet deskovou teorií Při ručním výpočtu jsme zcela zanedbávali smykové spolupůsobení obou tabulí.
V numerickém modelu tedy zvolíme také výpočet bez smykového spřažení vrstev. Návrhové hlavní tahové napětí ve skle dosahuje hodnoty 15,5 MPa, viz obr. 6.
σ max = 15,5 MPa ≤ 41, 2 MPa, vyhovuje.
Obr. 6: Průběh napětí σ1 na dolním povrchu vrstveného skla od kombinace zatížení KZ1 z RF-GLASS
Průhyb vrstveného skla je zobrazen na obr. 7. Uprostřed nepodepřené hrany dosahuje od proměnného zatížení hodnoty 5,7 mm. Průhyb v tomtéž místě od stálého zatížení je 2,9 mm. Celkový průhyb numerického modelu tak činí 8,6 mm.
Obr. 7: Průhyb vrstveného skla od kombinace zatížení KZ2 z RF-GLASS 5.2.2
Výpočet pomocí těles V modulu RF-GLASS je možné provést 3D výpočet (modelování pomocí těles). Při
tomto výpočtu jsou velmi důležité vlastnosti PVB fólie, proto pro srovnání provedeme dva výpočty s rozdílnými vlastnostmi fólie. V obou případech jsou liniové podpory umístěné na spodní hraně skla. 5.2.2.1 Varianta A V první variantě budeme uvažovat vlastnosti PVB fólie pro dlouhodobé zatížení, které jsou následující: E = 0,03 MPa, G = 0,01 MPa. Návrhové hlavní tahové napětí ve skle v místě největšího průhybu dosahuje hodnoty
σ max = 10, 7 MPa ≤ 41, 2 MPa, vyhovuje. Průhyb desky vyvozený proměnným zatížením dosahuje uprostřed nepodepřené hrany hodnoty 3,3 mm. Průhyb v tomtéž místě od stálého zatížení je 1,7 mm. Celkový průhyb numerického modelu tak činí 5,0 mm.
5.2.2.2 Varianta B Pro druhou variantu zvolíme odlišné vlastnosti fólie, abychom si ukázali, jak velký vliv na výsledky mají. Uvažujeme tedy: E = 3,00 MPa, G = 1,00 MPa. Návrhové hlavní tahové napětí ve skle v místě největšího průhybu dosahuje hodnoty
σ max = 5, 0 MPa ≤ 41, 2 MPa, vyhovuje. Celkový průhyb vychází 2,7 mm. 6
Porovnání výsledků Z porovnání výsledků ručního výpočtu a numerické studie, které je provedeno v tab. 3,
je patrné, že výpočet podle prEN 13474-2 je pro jednovrstvé sklo relativně přesný, avšak nemusí být vždy příliš konzervativní. Vzhledem k vysokým součinitelům spolehlivosti materiálu pro sklo se rozdíly ve vypočteném maximálním návrhovém napětí nejeví jako problematické. Je však na místě, zejména při výpočtu průhybu, předpokládat skutečně dosažení analyticky vyčíslené hodnoty a ponechat při návrhu konstrukce tímto postupem ještě jistou rezervu. Tab. 3: Porovnání výsledků ručního výpočtu dle prEN 13474-2 a numerické studie v RFGLASS Typ skla Jednovrstvé sklo
Dvouvrstvé sklo s PVB fólií
Typ výpočtu
Výsledky Návrhové napětí [MPa]
Průhyb [mm]
prEN 13474-2
15,7
7,4
numerický výpočet desková teorie
17,1
7,4
prEN 13474-2
14,3
8,5
numerický výpočet desková teorie
15,5
8,6
numerický výpočet 3D, varianta A
10,7
5,0
numerický výpočet 3D, varianta B
5,0
2,7
Výpočet provedený pro vrstvené sklo dle prEN 13474-2 je konzervativní, protože neuvažuje žádné smykové spolupůsobení obou desek (stejně jako model počítaný deskovou teorií bez smykového spřažení vrstev). Dosažené hodnoty maximálních tahových napětí i průhybů jsou tak vyšší než hodnoty získané při 3D výpočtu. I relativně malý vliv smykové tuhosti dlouhodobě zatížené PVB fólie a přesnější numerický výpočet pomocí těles může redukovat napětí a deformace získané z ručního výpočtu, jak je patrné z hodnot v tab. 3. Z tabulky je také zřejmé, jak významný vliv mají uvažované vlastnosti PVB fólie na výsledky. Je tak zapotřebí vždy zjistit potřebné vlastnosti přímo od výrobce. 7
Závěr Provedený ruční výpočet, převzatý z nedokončeného „draftu“ evropské normy
prEN 13474-2, je použitelný v praxi pro návrh a posouzení deskových konstrukcí ze skla, ale je třeba k tomuto materiálu zatím přistupovat velmi obezřetně a nejlépe výpočet ověřit ještě pomocí jiného nástroje (numerické analýzy nebo experimentu). Tab. 1, ve které lze nalézt důležité součinitele, které do výpočtu vstupují, je dle samotných autorů normy zatím pouze přibližná. V případě ručního výpočtu vícevrstvého skla (na rozdíl od numerického výpočtu) nelze zatím uvažovat s žádným smykovým spolupůsobením jednotlivých tabulí pro jiné než krátkodobé zatížení. Zejména pro vrstvené sklo je tedy numerický výpočet mocným nástrojem pro bezpečný, ale zároveň ekonomický návrh nosné desky ze skla. Použitá literatura [1] [2] [3] [4] [5]
prEN 13474-1. Glass in building - Design of glass panes - Part 1: General basis of design. January 1999. prEN 13474-2. Glass in building - Design of glass panes - Part 2: Design for uniformly distributed loads. February 2000. AS 1288. Glass in buildings – Selection and Installation. January 2006. ČSN EN 1991-1-3 (730035). Eurokód 1: Zatížení konstrukcí – Část 1-3: Obecná zatížení – Zatížení sněhem. Červen 2005. ČSN EN 1991-1-4 (730035). Eurokód 1: Zatížení konstrukcí – Část 1-4: Obecná zatížení – Zatížení větrem. Duben 2007.
