Transfer inovácií 14/2009
2009
POROVNÁNÍ VYBRANÝCH METOD SEŘIZOVÁNÍ REGULÁTORŮ PRO INTEGRAČNÍ SOUSTAVY COMPARISON SELECTED CONTROLLER TUNING METHODS FOR INTEGRATING PLANTS prof. Ing. Miluše Vítečková, CSc.* prof. Ing. Antonín Víteček, CSc., Dr.h.c.** *,** Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava, Fakulta strojní, katedra automatizační techniky a řízení, 17. listopadu 15 708 33 Ostrava – Poruba, Česká republika *
[email protected] **
[email protected] ** Technická univerzita v Kielcích, Fakulta mechatroniky a stavby strojů, Al. Tysiąclecia Państwa Polskiego 7, 25-314 Kielce, Polsko Abstrakt Příspěvek popisuje a srovnává čtyři vybrané metody seřizování analogových regulátorů typu PI a PID pro integrační regulované soustavy s dopravním zpožděním. Použití popsaných metod je ukázáno na příkladech. Klíčová slova: Seřizování regulátorů, integrační soustava, dopravní zpoždění, regulátory PI a PID Abstract This paper describes and compares four selected PI and PID analog controller tuning methods for integrating plants with time delay. The use of described tuning methods is shown in the examples. Key words: Controller tuning, integrating plant, time delay, PI and PID controllers ÚVOD Integrační regulované soustavy vystupují v průmyslu poměrně často. V případě působení poruch na vstupu regulované soustavy je nutno použít regulátory s integrační složkou, tj. regulátory typu PI a PID. Seřizování regulátorů obsahujících integrační složku patří mezi obtížnější úlohy [4, 5, 7, 8, 10]. Je to dáno vystupováním velikých překmitů a náchylností k oscilacím. Dále je uvažován regulační obvod na obr. 1 s regulovanou soustavou s přenosem
V (s ) W (s )
U (s )
E (s )
Y (s )
GP (s )
GC (s )
Obr. 1 Regulační obvod s regulátorem s jedním stupněm volnosti V regulačním obvodu na obr. 1 značí: E(s), W(s), V(s) a Y(s) – obrazy regulační odchylky, žádané veličiny, poruchové veličiny a regulované veličiny; GC(s) – přenos regulátoru; GP(s) – přenos regulované soustavy. REGULÁTORY PI A STUPNĚM VOLNOSTI
PID
S JEDNÍM
Předpokládá se použití standardních regulátorů PI a PID s jedním stupněm volnosti (1DOF) s přenosy ⎛ r 1 ⎞ ⎟⎟ (2) GC ( s ) = r0 + −1 = r0 ⎜⎜1 + s ⎝ TI s ⎠ GC ( s ) = r0 +
⎛ ⎞ r−1 1 + r1 s = r0 ⎜⎜1 + + TD s ⎟⎟ s T s I ⎝ ⎠
(3)
kde r0 je zesílení regulátoru (váha proporcionální složky), TI – integrační časová konstanta, TD – derivační časová konstanta, r-1 – váha integrační složky, r1 – váha derivační složky. ZN metoda (Ziegler – Nichols) Zieglerova – Nicholsova metoda kritických parametrů vyžaduje určení kritického zesílení regulátoru r0c a kritické periody Tc. Hodnoty kritických parametrů lze určit na základě Nyquistova kritéria stability. Pro proporcionální regulátor a regulovanou soustavu (1) přenos otevřeného regulačního obvodu má tvar Go (jω ) =
k1r0 −T e jω
d
jω
=
k1r0
ω
π
e
− j(Td ω + ) 2
(4)
Na základě podmínek pro kmitavou mez stability
GP ( s ) =
k1 −T s e s d
(1)
kde k1 je koeficient přenosu, Td – dopravní zpoždění.
mod Go (jωc ) = 1 ,
arg Go (jωc ) = −π (5)
se již snadno obdrží hodnoty kritických parametrů r0c a Tc
3
Transfer inovácií 14/2009
2009
⎫ π =1 ⎪ r0 c = ωc 2k1Td ⎪ ⎬ ⇒ π 2π π⎞ ⎛ ⇒ Tc = = 4Td ωc = − ⎜ Td ωc + ⎟ = −π ⎪ T ω 2 ⎪ d c 2⎠ ⎝ ⎭ (6) V souladu s ZN metodou [6, 9] se dostane: regulátor PI π 1 1 r0* = r0 c = =& 0,714 2,2 2,2 ⋅ 2k1Td k1Td k1r0 c
4T 1 Tc = d =& 3,333Td 1,2 1,2 regulátor PID 1 1 π r0* = r0 c = =& 0,924 1,7 1,7 ⋅ 2k1Td k1Td TI* =
4T 1 TI* = Tc = d = 2Td 2 2 4 T 1 TD* = Tc = d = 0,5Td 8 8
Tyreusova – Luybenova metoda rovněž vyžaduje znalost hodnot kritických parametrů (6). V souladu s [2, 6, 9] se dostane: regulátor PI 1 1 π r0* = r0 c = =& 0,491 3,2 3,2 ⋅ 2k1Td k1Td TI* = 2,2Tc = 2,2 ⋅ 4Td = 8,8Td
π 1 1 r0 c = =& 0,714 2,2 2,2 ⋅ 2k1Td k1Td
TI* = 2,2Tc = 2,2 ⋅ 4Td = 8,8Td
Metoda násobného dominantního pólu předpokládá existenci stabilního reálného pólu o násobnosti rovné počtu stavitelných parametrů regulátoru zvýšené o 1 [3, 8, 10]. Pro regulační obvod na obr. 1 s regulovanou soustavu (1) a regulátorem PID má charakteristický kvazimnohočlen tvar (7)
Násobný dominantní pól a tři stavitelné parametry regulátoru PID (3) se získají řešením soustavy rovnic di N (s) = 0 pro i = 0,1,2,3 d si
tj. 4
d
Td2 s 2 eT s + 4Td s eT s + 2 eT s + 2k1r1 = 0 d
d
d
Td2 s 2 + 6Td s + 6 = 0 Z poslední rovnice se obdrží stabilní čtyřnásobný reálný pól 3− 3 (9) s4* = − Td a pak postupně hodnoty stavitelných parametrů regulátoru PID 3 − 1 3 −3 6(2 3 − 3) 3 − 3 e , r0* = e r1* = k1Td k1
6(7 3 − 12) 3 −3 e k1Td2 Podobně pro r1 = 0 v charakteristickém kvazimnohočlenu (7) ze soustavy rovnic (8) pro i = 0, 1, 2 se získá stabilní trojnásobný reálný pól 2− 2 s3* = − (10) Td a pak postupně hodnoty stavitelných parametrů regulátoru PI 2( 2 − 1) 2 − 2 e r0* = k1Td 2(5 2 − 7) 2 − 2 e k1Td2 Po jednoduché úpravě se dostane: regulátor PI 2( 2 − 1) 2 − 2 1 r0* = e =& 0,461 k1Td k1Td TI* =
NDP metoda (násobný dominantní pól)
d
d
r0* 2 −1 = Td =& 5,828Td r−*1 5 2 − 7 regulátor PID
4T 1 Tc = d =& 0,635Td 6,3 6,3
N ( s ) = s 2 eT s + k1 (r1 s 2 + r0 s + r−1 )
Td s 2 eT s + 2s eT s + 2k1r1s + k1r0 = 0
r−*1 =
regulátor PID
TD* =
d
r−*1 =
TL metoda (Tyreus – Luyben)
r0* =
s 2 eT s + k1 (r1s 2 + r0 s + r−1 ) = 0
(8)
r0* =
6(2 3 − 3) e k1Td
TI* =
r0* 2 3 −3 = Td =& 3,732Td * r−1 7 3 − 12
TD* =
r1* 3 −1 = Td =& 0,263Td * r0 6(2 3 − 3)
3 −3
=& 0,784
1 k1Td
E metoda (experimentální) Simulačním experimentováním byly získány hodnoty stavitelných parametrů analogových regulátorů PI a PID [11], které jsou uvedeny přímo v tab. 1.
Transfer inovácií 14/2009
2009
Tab. 1 Hodnoty stavitelných parametrů regulátorů pro integrační soustavy (1) METODA
ZIEGLER-NICHOLS (ZN)
TYREUS-LUYBEN (TL)
NÁSOBNÝ DOMINANTNÍ PÓL (NDP)
EXPERIMENTÁLNÍ (E)
REGULÁTOR TYP
* 0
r
TI*
TD*
b*
c*
PI
0,714
1 k1Td
3,333Td
–
0
–
PID
0,924
1 k1Td
2Td
0,5Td
0
0
PI
0,491
1 k1Td
8,8Td
–
0
–
8,8Td
0,635Td
0
0
5,828Td
–
0,293
–
3,732Td
0,263Td
0,423
0,634
4,15Td
–
0,25
–
3Td
0,35Td
0,3
0,3
PID PI PID PI PID
1 k1Td 1 0,461 k1Td 1 0,784 k1Td 1 0,6 k1Td 1 k1Td 0,714
Použití standardních regulátorů s integrační složkou PI a PID s jedním stupněm volnosti je vhodné při působení poruchové veličiny v(t) na vstupu integračních regulovaných soustav, protože většina seřizovacích metod dává z hlediska potlačení negativního vlivu takové poruchy přijatelnou kvalitu. Pokud je požadován malý nebo nulový překmit regulované veličiny y(t) při skokové změně polohy žádané veličiny w(t), pak se standardními regulátory PI a PID tento požadavek nemůže být splněn. Vyplývá to z následujících úvah. Odchylkové přenosy řízení a poruchy pro regulační obvod na obr. 1 se stupněm astatismu q = 2 mají tvar E (s) s 2 M ( s) G we ( s ) = = (11) W ( s) N (s) a E ( s) sM P ( s ) =− (12) V (s) N (s) kde M(s) a MP(s) jsou kvazimnohočleny, ze kterých nelze vytknout s; N(s) – charakteristický kvazimnohočlen regulačního obvodu. Pro skokové změny polohy žádané a poruchové veličiny w v W ( s) = 0 , V (s) = 0 (13) s s Gve ( s ) =
kde w0 a v0 jsou velikosti skoků, obrazy regulačních odchylek jsou dány vztahy
sM ( s ) w0 N (s)
E w ( s ) = Gwe ( s )W ( s ) =
(14)
a M P ( s )v 0 (15) N (s) Na základě věty o koncové hodnotě se Ev ( s ) = Gve ( s )V ( s ) = −
dostane ew (∞) = lim[ sE w ( s )] = lim s →0
s →0
s 2 M ( s ) w0 = 0 (16) N ( s)
a sM P ( s )v0 = 0 (17) N ( s) Právě z důvodu požadavku na nulovou trvalou regulační odchylku způsobenou skokovou změnou polohy poruchové veličiny v(t) je nutno použít regulátory s integrační složkou, tj. regulátory typu PI nebo PID. Regulátor typu I většinou z důvodu strukturální nestability je nepoužitelný. Lineární regulační plochy pro skokové změny (13) jsou dány vztahy ev (∞) = lim[ sEv ( s )] = − lim s →0
s →0
∞
sM ( s ) w0
∞
M ( s )v
E w ( s ) = lim ∫ e w (t )dt = lim s →0 s →0 N ( s) 0
= 0 (18)
a 0 Ev ( s ) = − lim P ≠0 ∫ ev (t )dt = lim s →0 s →0 N (s) 0
(19)
Velmi důležitá je interpretace obdržených vztahů. Z prvního vztahu (18) vyplývá, že lineární regulační plocha je nulová, tj. nikdy při skokové změně polohy žádané veličiny nemůže být obdržen průběh bez překmitu, viz obr. 2. 5
Transfer inovácií 14/2009 Tzn., že v žádném případě nelze standardní regulátor PI nebo PID s jedním stupněm volnosti z hlediska skokové změny žádané veličiny w(t) seřídit na aperiodický průběh bez překmitu. Pokud není přípustný veliký překmit při skokové změně žádané veličiny, pak je třeba použít omezení rychlosti nárůstu žádané veličiny, nebo její vhodnou vstupní filtraci. V tomto případě je velmi výhodné použití regulátorů se dvěma stupni volnosti (2DOF), ve kterých vhodnou volbou vah žádané veličiny u proporcionální a derivační složky lze dosáhnout odpovídající vstupní filtrace.
2009 uvedenými v tab. 1 na jednotkové skokové změny w(t) = η(t) a v(t) = – η(t) jsou na obr. 3 a 4. Z obr. 3 a 4 je zřejmé, že z hlediska potlačení vlivu poruchové veličiny nejlepších výsledků bylo dosaženo v případě standardního regulátoru PI pro Zieglerovu – Nicholsovu a experimentální metodu a v případě standardního regulátoru PID pro experimentální, Zieglerovu – Nicholsovu metodu a metodu násobného dominantního pólu. Tyreusova – Luybenova metoda dává nejpomalejší odezvy. Metodu násobného dominantního pólu a Tyreusovu – Luybenovu metodu lze považovat za metody umožňující kompromisní seřízení standardních regulátorů PI a PID s jedním stupněm volnosti jak z hlediska poruchové, tak i žádané veličiny.
Obr. 2 Geometrická interpretace vztahu (18) Druhý vztah (19) je třeba interpretovat tak, že vhodným seřízením regulátoru PI nebo PID s jedním stupněm volnosti z hlediska skokové změny poruchové veličiny v(t) lze vždy dosáhnout aperiodického průběhu bez překmitu. Z výše uvedeného vyplývá, že pokud na regulační pochod, jak z hlediska skokové změny žádané, tak i poruchové veličiny, je dán požadavek aperiodického průběhu, příp. průběhu s malým překmitem, nelze pro integrační soustavu seřídit standardní regulátor PI nebo PID tak, aby tento požadavek z obou hledisek mohl být splněn.
Obr. 3 Odezvy regulačního obvodu na jednotkové skokové změny žádané a poruchové veličiny při použití standardního regulátoru PI s jedním stupněm volnosti
PŘÍKLAD 1 Pro regulovanou soustavu s přenosem GP ( s ) =
0,05 − 5 s e s
je třeba seřídit standardní regulátory PI a PID s jedním stupněm volnosti výše uvedenými metodami a porovnat je (dopravní zpoždění je v sekundách). Řešení: Hodnoty stavitelných parametrů regulátorů mohou být vypočteny přímo na základě vztahů uvedených v tab. 1 pro hodnoty parametrů regulované soustavy k1 = 0,05 a Td = 5. Srovnání odezev regulačního obvodu seřízeného metodami
6
Obr. 4 Odezvy regulačního obvodu na jednotkové skokové změny žádané a poruchové veličiny při použití standardního regulátoru PID s jedním stupněm volnosti REGULÁTORY PI A PID S DVĚMA STUPNI VOLNOSTI
Transfer inovácií 14/2009
2009
Komerční regulátor typu PID se dvěma stupni volnosti v oblasti komplexní proměnné je popsán vztahem [2] 1 U ( s ) = r0 {bW ( s ) − Y ( s ) + [W ( s ) − Y ( s )] + (20) TI s + TD s[cW ( s ) − Y ( s )]}
Při použití regulátoru PID se dvěma stupni volnosti (20) dva dominantní póly (9) mohou být kompenzovány dvěma nulami vstupního filtru (21) vhodnou volbou vah b a c. Tyto váhy lze získat porovnáním koeficientů u stejných mocnin komplexní proměnné s, tj. 2
kde b je váha žádané veličiny w(t) u proporcionální složky, c – váha žádané veličiny w(t) u derivační složky. Obě váhy se mohou měnit v rozmezí od 0 do 1. Regulační obvod s regulátorem se dvěma stupni volnosti (20) může být transformován na schéma na obr. 5 se vstupním filtrem v žádané veličině s přenosem GF ( s ) =
W ′( s ) cTI TD s 2 + bTI s + 1 = (21) W (s) TI TD s 2 + TI s + 1
a standardním regulátorem PID s přenosem (3). V (s ) W ′(s )
W (s ) G F (s )
U (s ) GC (s )
Y (s) GP (s )
⎛ 1 ⎞ 2+ 3 2 2 3+ 3 ⎜ s + 1⎟ = Td s + Td s + 1 = * ⎜s ⎟ 6 3 4 ⎝ ⎠ * * 2 = cTI TD s + bTI*s + 1
Po dosazení hodnot stavitelných parametrů regulátoru PID do (23) lze snadno určit hledané váhy b=
3− 3 3− 3 =& 0,423, c = =& 0,634 (24) 3 2
Podobně při použití regulátoru PI jeden pól (10) může být kompenzován nulou vstupního filtru (22) vhodnou volbou váhy b, kterou lze snadno získat porovnáním koeficientů u komplexní proměnné s, tj. 1
Obr. 5 Regulační obvod s regulátorem se dvěma stupni volnosti Pro TD = 0 se ze vztahu (20) získá regulátor typu PI se dvěma stupni volnosti a v blokovém schématu na obr. 5 mu odpovídá vstupní filtr s přenosem W ′( s ) bTI s + 1 GF ( s ) = = W (s) TI s + 1
(22)
(23)
s3*
s +1 =
2+ 2 Td s + 1 = bTI* s + 1 2
(25)
Po dosazení hodnoty integrační časové konstanty pro regulátor PI do (25) se získá hledaná váha b=
2− 2 =& 0,293 2
(26)
a standardní regulátor PI s přenosem (2). Je zřejmé, že pro b = c = 1 se ze vztahu (20) obdrží standardní regulátor PID (3), resp. pro TD = 0 standardní regulátor PI (2). Pro Zieglerovu – Nicholsovu metodu ani pro Tyreusovu – Luybenovu metodu nejsou známé hodnoty vah b a c, a proto se nečastěji volí b = c = 0 (tzv. PI-D regulace), resp. c = 0 (tzv. I-PD regulace). Podobně lze volit váhy b a c i u metody násobného dominantního pólu a experimentální metody. Podstatně lepších výsledků lze dosáhnout pro jiné hodnoty vah b a c. Např. pro experimentální metodu váhy byly určeny simulačně a jsou uvedeny v tab. 1 [11]. Vzhledem k tomu, že metoda násobného dominantního pólu byla odvozena analyticky, a tedy jsou známé dominantní póly, lze pro určení vah b a c použít rovněž analytického přístupu.
Obr. 6 Odezvy regulačního obvodu na jednotkové skokové změny žádané a poruchové veličiny při použití regulátoru PI se dvěma stupni volnosti
7
Transfer inovácií 14/2009
2009 regulované soustavy. V případě současné potřeby odstranění nepřípustně velikého překmitu při skokové změně žádané veličiny je třeba použít regulátor se dvěma stupni volnosti. LITERATURA [1]
[2] Obr. 7 Odezvy regulačního obvodu na jednotkové skokové změny žádané a poruchové veličiny při použití regulátoru PID se dvěma stupni volnosti
[3]
PŘÍKLAD 2 Pro regulovanou soustavu z příkladu 1 je třeba seřídit regulátory PI a PID se dvěma stupni volnosti výše uvedenými metodami a porovnat je.
[4]
Řešení: Hodnoty stavitelných parametrů regulátorů pro všechny čtyři metody jsou stejné jako v příkladě 1. Hodnoty vah žádané veličiny u proporcionální a derivační složky byly použity v souladu s tab. 1. Srovnání odezev regulačního obvodu na jednotkové skokové změny w(t) = η(t) a v(t) = – η(t) jsou na obr. 6 a 7, ze kterých vyplývá, že došlo ve všech případech k podstatnému snížení překmitu při skokové změně žádané veličiny. Odezvy na skokovou změnu poruchy jsou stejné jako v příkladě 1. Při použití regulátoru PI se dvěma stupni volnosti nejlepší odezvy byly získány u experimentální a Zieglerovy – Nicholsovy metody. O něco pomalejší odezvu dává metoda násobného dominantního pólu. Tyreusova – Luybenova metoda dává velmi pomalou odezvu. Pro regulátor PID se dvěma stupni volnosti velmi rychlé aperiodické odezvy dávají experimentální metoda a metoda násobného dominantního pólu. Ziglerova – Nicholsova metoda dává téměř 25% překmit a Tyreusova – Luybenova metoda velmi pomalou odezvu. ZÁVĚR V příspěvku jsou porovnány čtyři metody seřizování analogových regulátorů PI a PID s jedním a dvěma stupni volnosti pro integrační regulované soustavy s dopravním zpožděním. Jsou zde ukázány problémy, které při použití těchto regulátorů vznikají. Všechny čtyři metody jsou prakticky použitelné v případě potřeby potlačení negativního vlivu poruch působících na vstupu
8
[5] [6] [7]
[8]
[9]
[10] [11]
ALENAY, A. – ABDELRAHMAN, O. – ZIEDAN, I.: Rules of PID Controllers for Integrator/Dead Time Processes. In ACSE 05 Conference, 19 – 21 December 2005, Cairo, Egypt, 6 pp. ÅSTRÖM, K. J. – HÄGGLUND, T.: Advanced PID Control. Research Triangle Park: ISA – Instrumentation, Systems, and Automatic Society, 2006. GÓRECKI, H.: Analiza i synteza układów regulacji z opóźnieniem. Wydawnictwo Naukowo – Techniczne, 372 str., Warszawa, 1971. HUDZOVIČ, P. – KOZÁKOVÁ, A.: A contribution to the synthesis of PI controllers. Proceedings of the International Conference Cybernetics and Informatics. Piešťany, Slovak Republic, 5.-6. April 2001, pp. 31 – 34 KROKAVEC, D. – FILASOVÁ, A.: Diskrétne systémy. Košice: Elfa, 304 pp., 2006, ISBN 80-8086-028-9 O´DWYER, A.. Handbook of PI and PID Controller Tuning Rules. London: Imperial College Press, 2003, ISBN 1-86094-342-X. ROSINOVÁ, D. – MARKECH, M.: Robust Control of Quadruple Tank Process. ICIC Express Letters. Volume 2, Number 3, June 2008, pp. 231-238, ISSN 1881-803X. ŠULC, B. – VÍTEČKOVÁ, M.: Teorie a praxe návrhu regulačních obvodů. Vydavatelství ČVUT, Praha, 2004. 333 str., ISBN 80-01-03007-5. VÍTEČKOVÁ, M. – VÍTEČEK, A.: Controller Tuning for Integral Plus Time Delay Plants. Sborník vědeckých prací VŠBTU Ostrava, řada strojní r. LIII, 2007. č. 2, příspěvek č. 1571, str. 159-166, ISSN 12100471, ISBN 978-248-1668-5. VÍTEČKOVÁ, M. – VÍTEČEK, A.: Základy automatické regulace. VŠB – TU Ostrava, 244 str., 2008, ISBN 978-80-248-1924-2. VÍTEČKOVÁ, M. – VÍTEČEK, A.: Regulace integračních soustav s dopravním zpožděním. Strojárstvo Extra, 5/2009, str. 56/1-56/4. ISNN 1335-2938.
Příspěvek vznikl v rámci řešení grantového projektu GAČR č. 102/09/0894.
