Co je statistika? Matematick´ a statistika
Matematick´ a statistika
Co je statistika?
Matematick´a statistika
Z´ akladn´ı dˇelen´ı popisn´ a (deskriptivn´ı)
ˇarka Hudecov´a S´
popis konkr´etn´ıch dat nˇekolika ˇc´ısly a obr´azky struˇcnˇe vystihnout d˚ uleˇzit´e z´avˇery pouze o dan´ych datech, nelze zobecˇnovat
Katedra pravdˇ epodobnosti a matematick´ e statistiky Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulta Univerzity Karlovy
induktivn´ı (konfirmatorn´ı) na z´akladˇe dat umoˇzˇnuje odpov´ıdat na obecn´e ot´azky o populaci ! z´avˇery lze zobecnit odhady populaˇcn´ıch parametr˚ u pˇredpoklady, znalost statistick´ych metod d˚ uleˇzit´a je interpretace
letn´ı semestr 20121
1
Statistika = vˇeda o z´ısk´ av´ an´ı, zpracov´ an´ı a interpretaci informace obsaˇzen´e v empirick´ych pozorov´ an´ıch skuteˇcn´eho svˇeta (v namˇeˇren´ych datech, pr˚ uzkumech apod.)
Zaloˇzeno na materi´ alech doc. Michala Kulicha
Populace vs. data Matematick´ a statistika
Kde, kdy a proˇc se pouˇz´ıv´a statistika? Matematick´ a statistika
Co je statistika?
Co je statistika?
Zkoum´ ame sloˇzit´y syst´em nelze jednoduˇse pochopit nebo popsat pouze na z´ akladˇe teorie (tj. potˇrebujeme empirick´ e zkuˇsenosti) za stejn´ych nebo podobn´ych podm´ınek se m˚ uˇze projevovat odliˇsn´ym zp˚ usobem ! n´ ahoda pˇr´ıklady: lidsk´ a spoleˇcnost, ekonomika, lidsk´e tˇelo, ekosyst´em, sport, vˇedeck´y experiment, . . . Druhy statistick´ych u ´loh
Konkr´ etn´ı data ! Cel´ a populace
odhady parametr˚ u ! v´ypoˇcet ˇc´ıseln´ych charakteristik testov´ an´ı hypot´ ez ! ovˇeˇrov´ an´ı pravdivosti v´yrok˚ u predikce ! pˇredpovˇedi optimalizace ! hled´ an´ı optim´ aln´ıch parametr˚ u
Pˇr´ıklad: data z pˇredn´aˇsek z minul´ych let Matematick´ a statistika
Statistick´y pˇr´ıstup k ˇreˇsen´ı probl´em˚ u Matematick´ a statistika
Na z´akladˇe u ´daj˚ u z let 2006–2011 lze usuzovat Co je statistika?
ˇze by tu dnes mˇelo b´yt 60 % ˇzen a 40% muˇz˚ u
Co je statistika?
pˇr´ıtomn´e studentky budou v pr˚ umˇeru 168 cm vysok´e, s hmotnost´ı 60 kg a velikost´ı bot asi 38,5 pˇr´ıtomn´ı studenti budou v pr˚ umˇeru 183 cm vysoc´ı s hmotnost´ı 76 kg a velikost´ı bot asi 43 pˇres 30 % pˇr´ıtomn´ych bude z Prahy, kolem 11 % ze stˇredoˇcesk´eho kraje a jen velmi m´alo student˚ u bude ze Slovenska a Moravy
1
re´ aln´y probl´em, domnˇenka apod.
2
pl´ an experimentu
3
sbˇer dat
4
v´ybˇer vhodn´eho pravdˇepodobnostn´ıho modelu
5
formulace probl´emu v ˇreˇci matematick´e statistiky
6
aplikace statistick´ych metod
7
interpretace, z´ avˇery, publikace . . .
nejv´ıce z pˇr´ıtomn´ych m´a narozeniny v kvˇetnu, nejm´enˇe vu ´noru a bˇreznu
Oblasti aplikace statistiky Matematick´ a statistika
Obsah pˇredn´aˇsky Matematick´ a statistika
Pˇr´ırodn´ı vˇedy Co je statistika?
medic´ına, genetika, farmakologie, biologie, chemie, fyzika, meteorologie . . .
Ekonomie makro & mikroekonomie, bankovnictv´ı, pojiˇst’ovnictv´ı, . . .
Technick´e vˇedy telekomunikace, doprava, poˇc´ıtaˇce, stroj´ırenstv´ı, kontrola jakosti, ˇr´ızen´ı a organizace v´yroby, . . .
Spoleˇcensk´e vˇedy sociologie, behavior´aln´ı vˇedy, archeologie, lingvistika, antropologie . . .
A mnoho dalˇs´ıch (sport, marketing, . . . )
Co je statistika?
C´ıl pˇredn´ aˇsky= porozumˇet z´ akladn´ım princip˚ um statistick´ych metod a pochopit ˇreˇsen´ı vybran´ych jednoduch´ych probl´em˚ u. Dvˇe z´ akladn´ı ˇc´ asti Z´ aklady pravdˇepodobnosti nezbytn´y teoretick´y z´aklad pro v´yklad statistick´ych metod pravdˇepodobnost, n´ahodn´a veliˇcina a jej´ı rozdˇelen´ı, stˇredn´ı hodnota, nez´avislost, . . .
Statistika popisn´e statistiky jako odhady populaˇcn´ıch parametr˚ u odhady, intervaly spolehlivosti, testy statistick´ych hypot´ez z´akladn´ı metody (vybran´e testy)
D˚ uleˇ zit´ e je osvojen´ı si hlavn´ıch princip˚ u, pojm˚ u, z´ akladn´ıch metod. Nikoliv uˇcen´ı se vzoreˇck˚ u.
Teorie pravdˇepodobnosti Matematick´ a statistika
Pravdˇ epodobnost N´ ahodn´ e jevy Klasick´ a pravdˇ epodobnost Axiomatick´ a definice Podm´ınˇ en´ a pravdˇ epodobnost Nez´ avisl´ e jevy
N´ahodn´e jevy Matematick´ a statistika
Pravdˇepodobnost: matematick´y model n´ahody Co to je n´ahoda? Kde se s n´ı setk´av´ame?
Pravdˇ epodobnost N´ ahodn´ e jevy Klasick´ a pravdˇ epodobnost Axiomatick´ a definice Podm´ınˇ en´ a pravdˇ epodobnost Nez´ avisl´ e jevy
Pravdˇepodobnost zkoum´a n´ahodn´e jevy, tj. jevy, kter´e mohou, ale nemus´ı nastat.
n´ ahodn´y pokus v´ysledek pˇredem neurˇcit´y (n´ ahoda) mnoˇzina vˇsech moˇzn´ych v´ysledk˚ uΩ n´ ahodn´y jev je tvrzen´ı o v´ysledku pokusu, tj. A ⊂ Ω prvky Ω se naz´yvaj´ı element´ arn´ı n´ ahodn´e jevy jev nemoˇzn´y ∅ nenast´ av´ a nikdy jev jist´y je cel´ a mnoˇzina Ω a nast´ av´ a vˇzdy Pˇr´ıklad (Hod kostkou)
S jakou pravdˇepodobnost´ı dan´y jev nastane?
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = [padne sud´e ˇc´ıslo] = {2, 4, 6}
Jsou dan´e jevy na sobˇe nez´avisl´e?
Pˇr´ıklad (Pohlav´ı 2 sourozenc˚ u) ˜ = {KK, DK, DD} Ω = {KK, DK, KD, DD} nebo Ω A = [alespoˇ n jeden kluk] = {KK, KD, DK} nebo ˜ = [alespoˇ A n jeden kluk] = {KK, KD}
Operace s n´ahodn´ymi jevy Matematick´ a statistika
Uvaˇzujme n´ahodn´e jevy A, B ⊂ Ω.
Operace s n´ahodn´ymi jevy - pˇr´ıklady Matematick´ a statistika
podjev A ⊂ B znamen´a A ⇒ B Pravdˇ epodobnost N´ ahodn´ e jevy Klasick´ a pravdˇ epodobnost Axiomatick´ a definice Podm´ınˇ en´ a pravdˇ epodobnost Nez´ avisl´ e jevy
jev opaˇcn´y Ac nastane ⇔ A nenastane pr˚ unik jev˚ u A ∩ B nastane ⇔ nastanou z´aroveˇ nAiB sjednocen´ı jev˚ u A ∪ B nastane ⇔ nastane alespoˇ n jeden z jev˚ uAaB nesluˇciteln´e (disjunktn´ı) jevy: A ∩ B = ∅ Podobnˇe pr˚ unik a sjednocen´ı v´ıce jev˚ u A1 , . . . , Ak : k \ Ai = A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ Ak (vˇsechny mus´ı nastat); i =1 k [ i =1
Ai = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Ak (alespoˇ n jeden mus´ı nastat).
Pravdˇ epodobnost N´ ahodn´ e jevy Klasick´ a pravdˇ epodobnost Axiomatick´ a definice Podm´ınˇ en´ a pravdˇ epodobnost Nez´ avisl´ e jevy
Pˇr´ıklad (Hod kostkou) Mnoˇzina vˇsech v´ysledk˚ u: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = [padne sud´e ˇc´ıslo] = {2, 4, 6}, B = [padne ˇc´ıslo vˇetˇs´ı neˇz 3] = {4, 5, 6} jev opaˇcn´y Ac = [padne lich´e ˇc´ıslo] = {1, 3, 5}, B c = [padne ˇc´ıslo menˇs´ı rovno tˇrem] = {1, 2, 3} pr˚ unik A ∩ B = [padne sud´e ˇc´ıslo vˇetˇs´ı neˇz 3] = {4, 6} sjednocen´ı A ∪ B = [padne ˇc´ıslo sud´e nebo vˇetˇs´ı neˇz 3] = {2, 3, 4, 6}
Pravdˇepodobnost Matematick´ a statistika
Matematick´ a statistika
objektivn´ı ˇc´ıseln´e vyj´adˇren´ı nadˇeje“, ˇze nastane jev A ” pˇriˇrazuje n´ahodn´emu jevu A re´aln´e ˇc´ıslo z intervalu [0, 1]
Pravdˇ epodobnost N´ ahodn´ e jevy Klasick´ a pravdˇ epodobnost Axiomatick´ a definice Podm´ınˇ en´ a pravdˇ epodobnost Nez´ avisl´ e jevy
Klasick´a definice pravdˇepodobnosti
Pravdˇ epodobnost (zkr´acenˇe pst, znaˇceno P) mus´ı m´ıt n´asleduj´ıc´ı vlastnosti: 1
0 ≤ P(A) ≤ 1
2
P(Ω) = 1, P(∅) = 0,
3
je-li A ∩ B = ∅, pak P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Pˇredpoklady: Pravdˇ epodobnost N´ ahodn´ e jevy Klasick´ a pravdˇ epodobnost Axiomatick´ a definice Podm´ınˇ en´ a pravdˇ epodobnost Nez´ avisl´ e jevy
Ω je koneˇcn´ a, tj. Ω = {ω1 , . . . , ωN } vˇsechny element´ arn´ı jevy ωi ∈ Ω jsou stejnˇe pravdˇepodobn´e Pravdˇepodobnost jevu A ⊆ Ω je definov´ ana jako P(A) =
|A| |A| = , |Ω| N
Z tˇechto vlastnost´ı pak d´ale vypl´yv´a 4
P(Ac ) = 1 − P(A),
kde |A| znaˇc´ı poˇcet prvk˚ u mnoˇziny A.
5
pro B ⊂ A je P(B) ≤ P(A) a P(A − B) = P(A) − P(B)
6
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Klasick´ a pravdˇepodobnost m´ a zjevnˇe vˇsechny poˇzadovan´e vlastnosti.
Klasick´a definice pravdˇepodobnosti — pˇr´ıklad 1 Matematick´ a statistika
Klasick´a definice pravdˇepodobnosti — pˇr´ıklad 2 Matematick´ a statistika
Pˇr´ıklad (Hod kostkou) Pravdˇ epodobnost N´ ahodn´ e jevy Klasick´ a pravdˇ epodobnost Axiomatick´ a definice Podm´ınˇ en´ a pravdˇ epodobnost Nez´ avisl´ e jevy
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, uvaˇzujeme n´ahodn´e jevy A = [padne sud´e ˇc´ıslo] = {2, 4, 6}, B = [padne ˇc´ıslo vˇetˇs´ı neˇz 3] = {4, 5, 6} Pak 1 3 1 3 = , P(B) = = , 6 2 6 2 2 1 P(A ∩ B) = = , 6 3 1 4 P(A ∪ B) = = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 1 − 6 3 P(A) =
Pˇr´ıklad (Hod dvˇema kostkami) Pravdˇ epodobnost N´ ahodn´ e jevy Klasick´ a pravdˇ epodobnost Axiomatick´ a definice Podm´ınˇ en´ a pravdˇ epodobnost Nez´ avisl´ e jevy
H´ az´ımeme dvˇema kostkami (modr´ a a zelen´ a). Zaj´ım´ a n´ as pravdˇepodobnost jevu A = [souˇcet je alespoˇ n 10]. Ω je mnoˇzina vˇsech uspoˇr´ adan´ych dvojic z ˇc´ısel 1, 2, 3, 4, 5, 6. Vˇsech moˇznost´ı je: |Ω| = 6 · 6 = 36. Pˇr´ızniv´e moˇznosti: (4,6), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6). Proto |B| = 6 a tedy 1 6 = . P(B) = 36 6 Pozn´ amka: Kombinatorick´e pojmy (permutace, kombinaˇcn´ı ˇc´ısla apod.)
Nev´yhody klasick´e pravdˇepodobnosti Matematick´ a statistika
Pravdˇ epodobnost N´ ahodn´ e jevy Klasick´ a pravdˇ epodobnost Axiomatick´ a definice Podm´ınˇ en´ a pravdˇ epodobnost Nez´ avisl´ e jevy
Klasick´a pravdˇepodobnost m´a dva velmi omezuj´ıc´ı pˇredpoklady: 1
koneˇcn´y poˇcet element´arn´ıch jev˚ u
2
element´arn´ı jevy ω mus´ı b´yt stejnˇe pravdˇepodobn´e
Kdy n´am klasick´a pravdˇepodobnost nestaˇc´ı?
Axiomatick´a definice pravdˇepodobnosti Matematick´ a statistika
Pravdˇ epodobnost N´ ahodn´ e jevy Klasick´ a pravdˇ epodobnost Axiomatick´ a definice Podm´ınˇ en´ a pravdˇ epodobnost Nez´ avisl´ e jevy
nestejnˇe pravdˇepodobn´e elem. jevy ω (nesymetrick´a mince) Ω nen´ı koneˇcn´a (h´az´ıme na koˇs, dokud se netref´ıme) Ω je abstraktn´ı, nelze jednoduˇse popsat ω (chceme mluvit o pravdˇepodobnosti bankrotu banky apod.)
Necht’ Ω je libovoln´ a mnoˇzina. Pravdˇepodobnost´ı nazveme libovolnou funkci P definovanou na podmnoˇzin´ ach Ω, kter´ a m´ a n´ asleduj´ıc´ı vlastnosti: 1
0 ≤ P(A) ≤ 1 pro libovoln´e A ⊂ Ω,
2
P(Ω) = 1,
3
pro vˇsechny A1 , A2 , . . . ⊂ Ω takov´e, ˇze Ai ∩ Aj = ∅ ∀i 6= j, plat´ı ! ∞ ∞ [ X Ai = P P(Ai ). i =1
i =1
Obou pˇredpoklad˚ u se potˇrebujeme zbavit obecnˇejˇs´ı a abstraktnˇejˇs´ı axiomatick´ a definice pravdˇ epodobnosti.
Pozn´amky Matematick´ a statistika
Pravdˇ epodobnost N´ ahodn´ e jevy Klasick´ a pravdˇ epodobnost Axiomatick´ a definice Podm´ınˇ en´ a pravdˇ epodobnost Nez´ avisl´ e jevy
⋆ Pozn´amky Matematick´ a statistika
Axiomatick´a definice pravdˇepodobnosti: pˇripouˇst´ı koneˇcn´e, spoˇcetn´e i nespoˇcetn´e mnoˇziny Ω element´arn´ı jevy nemus´ı b´yt stejnˇe pravdˇepodobn´e pro danou Ω lze zav´est mnoho r˚ uzn´ych pravdˇepodobnost´ı – mezi nimi si mus´ıme sami zvolit (vˇetˇsinou to pˇrirozenˇe vyplyne) D´ale budeme (teoreticky) pracovat s obecnou axiomatickou definic´ı pravdˇepodobnosti. V pˇr´ıkladech ale budeme vˇetˇsinou pouˇz´ıvat klasickou pravdˇepodobnost.
Pravdˇ epodobnost N´ ahodn´ e jevy Klasick´ a pravdˇ epodobnost Axiomatick´ a definice Podm´ınˇ en´ a pravdˇ epodobnost Nez´ avisl´ e jevy
Pozn´ amka pro n´ aroˇcn´e: Ve skuteˇcnosti se pravdˇepodobnost zav´ ad´ı jen pro tzv. mˇeˇriteln´e mnoˇziny, ne nutnˇe pro vˇsechny podmnoˇziny Ω (nemˇeˇritelnou mnoˇzinu nepovaˇzujeme za n´ ahodn´y jev). Pˇri nespoˇcetn´e Ω (tˇreba Ω = R) nelze totiˇz rozumnˇe zav´est pravdˇepodobnost, kter´ a funguje pro vˇsechny podmnoˇziny Ω.
Podm´ınˇen´a pravdˇepodobnost Matematick´ a statistika
Pravdˇ epodobnost N´ ahodn´ e jevy Klasick´ a pravdˇ epodobnost Axiomatick´ a definice Podm´ınˇ en´ a pravdˇ epodobnost Nez´ avisl´ e jevy
Definice Necht’ jev B ⊂ Ω m´a kladnou pravdˇepodobnost, P(B) > 0. Podm´ınˇenou pravdˇepodobnost jevu A za podm´ınky, ˇze nastal jev B, definujeme vztahem P(A | B) =
P(A ∩ B) . P(B)
Podm´ınˇen´a pravdˇepodobnost — pozn´amky Matematick´ a statistika
Pravdˇ epodobnost N´ ahodn´ e jevy Klasick´ a pravdˇ epodobnost Axiomatick´ a definice Podm´ınˇ en´ a pravdˇ epodobnost Nez´ avisl´ e jevy
Nepodm´ınˇ en´ a pravdˇ epodobnost P(A) vypov´ıd´ ao pravdˇepodobnosti v´yskytu jevu A v situaci, kdy nem´ ame ˇz´ adn´e dodateˇcn´e informace o pr˚ ubˇehu nebo v´ysledku experimentu. Podm´ınˇ en´ a pravdˇ epodobnost P(A | B) vypov´ıd´ ao pravdˇepodobnosti v´yskytu jevu A v situaci, kdy v´ıme, ˇze nˇejak´y jin´y jev B urˇcitˇe nastal (tj. m´ ame dodateˇcnou informaci) Pozn´ amka Pozor, jevy A a B nelze prohazovat, protoˇze obecnˇe P(A|B) 6= P(B|A).
Pˇr´ıklad – dostihy
Pˇr´ıklad
Matematick´ a statistika
Matematick´ a statistika
Pˇr´ıklad
Pˇr´ıklad Pravdˇ epodobnost N´ ahodn´ e jevy Klasick´ a pravdˇ epodobnost Axiomatick´ a definice Podm´ınˇ en´ a pravdˇ epodobnost Nez´ avisl´ e jevy
ˇ ’´ak. Kursy Favority dostihu jsou konˇe L´ıvanec a Skobrt bookmaker˚ u naznaˇcuj´ı, ˇze pravdˇepodobnost v´ıtˇezstv´ı L´ıvance je ˇ ˇ ’´aka 0.25. Skobrt ’´ak vˇsak pˇred startem spolkl hˇreb´ık 0.2 a Skobrt a nepobˇeˇz´ı. Jak´a je pravdˇepodobnost, ˇze vyhraje L´ıvanec? ˇ ˇ sen´ı: Jevy: L = [vyhraje L´ıvanec], Sˇ = [vyhraje Skobrt ’´ak]. Reˇ ˇ ˇ M´ame P(L) = 0.2, P(S) = 0.25, L ∩ S = ∅. Odtud P(L | Sˇ c ) =
P(L ∩ Sˇ c ) 4 P(L) 1/5 = . = = c c ˇ ˇ 3/4 15 P(S ) P(S )
Pravdˇepodobnost, ˇze vyhraje L´ıvanec, je 4/15 = 0.2667.
Pravdˇ epodobnost N´ ahodn´ e jevy Klasick´ a pravdˇ epodobnost Axiomatick´ a definice Podm´ınˇ en´ a pravdˇ epodobnost Nez´ avisl´ e jevy
V ˇsupl´ıku jsou tˇri p´ ary ponoˇzek ze stejn´eho materi´ alu: zelen´e, modr´e a b´ıl´e. Po tmˇe n´ ahodnˇe vyberete dvˇe ponoˇzky a aniˇz byste ovˇeˇrili jejich barvu, vyraz´ıte v nich do ˇskoly. Zjistˇete, s jakou pravdˇepodobnost´ı m´ ate obˇe ponoˇzky stejn´e barvy, alespoˇ n jedna obut´ a ponoˇzka je zelen´ a, na prav´e noze je zelen´ a ponoˇzka m´ ate obˇe ponoˇzky stejn´e, jestliˇze v ˇsupl´ıku urˇcitˇe zbyl p´ ar zelen´ych ponoˇzek, m´ ate obˇe ponoˇzky stejn´e, jestliˇze na prav´e noze m´ ate zelenou.
Nez´avislost dvou jev˚ u Matematick´ a statistika
Pravdˇ epodobnost N´ ahodn´ e jevy Klasick´ a pravdˇ epodobnost Axiomatick´ a definice Podm´ınˇ en´ a pravdˇ epodobnost Nez´ avisl´ e jevy
Nez´avislost — pˇr´ıklady
M´ame prostor element´arn´ıch jev˚ u Ω a pravdˇepodobnost P.
Matematick´ a statistika
Pˇr´ıklad
Definice N´ahodn´e jevy A, B ⊆ Ω naz´yv´ame nez´avisl´e, jestliˇze plat´ı P(A ∩ B) = P(A)P(B). V opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe je naz´yv´ame z´avisl´e.
Pravdˇ epodobnost N´ ahodn´ e jevy Klasick´ a pravdˇ epodobnost Axiomatick´ a definice Podm´ınˇ en´ a pravdˇ epodobnost Nez´ avisl´ e jevy
M´ ame Ω = {(SS), (LL), (SL), (LS)}, kde S znaˇc´ı sud´e ˇc´ıslo a L lich´e. Pak
Necht’ jsou jevy A, B nez´avisl´e a P(A) > 0, P(B) > 0. Pak P(A | B) =
1 P(A) = , 2
P(A ∩ B) P(A)P(B) = = P(A) P(B) P(B)
Nez´avislost — pˇr´ıklady Matematick´ a statistika
Pˇr´ıklad H´az´ıme dvˇema kostkami (zelenou a modrou). Oznaˇcme jevy A = [na modr´e kostce padlo sud´e ˇc´ıslo], B = [souˇcet ˇc´ısel je vˇetˇs´ı neˇz 10]. Jsou jevy A a B nez´avisl´e? Ω je mnoˇzina vˇsech uspoˇr´adan´ych dvojic z ˇc´ısel 1, 2, 3, 4, 5, 6, |Ω| = 36 1 3·6 = , P(A) = 36 2
3 1 P(B) = = , 36 12
P(A ∩ B) =
1 . 4
Nez´avislost — pˇr´ıklady
Matematick´ a statistika
N´ ahodn´ e jevy Klasick´ a pravdˇ epodobnost Axiomatick´ a definice Podm´ınˇ en´ a pravdˇ epodobnost Nez´ avisl´ e jevy
1 P(B) = , 2
Tj. plat´ı podm´ınka P(A ∩ B) = P(A) · P(B) a jevy jsou nez´ avisl´e.
a podobnˇe P(B | A) = P(B). Jevy jsou tedy nez´avisl´e, pokud pravdˇepodobnost jednoho jevu nen´ı nijak ovlivnˇena t´ım, zda druh´y jev nastal nebo ne.
Pravdˇ epodobnost
H´ az´ıme dvˇema kostkami (zelenou a modrou). Oznaˇcme jevy A = [na modr´e kostce padlo sud´e ˇc´ıslo], B = [souˇcet ˇc´ısel na obou kostk´ ach je lich´y]. Jsou jevy A a B nez´ avisl´e?
2 1 P(A∩B) = = . 36 18
Tj. neplat´ı podm´ınka P(A ∩ B) = P(A) · P(B) a jevy jsou z´avisl´e.
Pravdˇ epodobnost N´ ahodn´ e jevy Klasick´ a pravdˇ epodobnost Axiomatick´ a definice Podm´ınˇ en´ a pravdˇ epodobnost Nez´ avisl´ e jevy
Pˇr´ıklad (Vtip o statistikovi v letadle) Statistik proch´ azel bezpeˇcnostn´ı kontrolou na letiˇsti, kdyˇz byla v jeho kufru nalezena bomba. Vysvˇetloval: ”Podle statistik je pravdˇepodobnost pˇr´ıtomnosti bomby v letadle 0, 001. Takˇze ˇsance, ˇze na palubˇe budou dvˇe bomby, je 0, 000001. Kdyˇz si vezmu svoji bombu, c´ıt´ım se pak mnohem bezpeˇcnˇeji. Bez sv´e osobn´ı bomby proto nikdy necestuji.” Oznaˇcme A = [j´ a m´ am v letadle bombu], B = [nˇekdo jin´y m´ a v letadle bombu]. Jevy A a B jsou zjevnˇe nez´ avisl´e (j´ a nejsem ˇclen ˇz´ adn´e teroristick´e skupiny). Proto P(B|A) = P(B) =
1 , 1000
a proto si bombu do letadla br´ at nemus´ıte.
Nez´avislost— pozn´amky Matematick´ a statistika
Pravdˇ epodobnost N´ ahodn´ e jevy Klasick´ a pravdˇ epodobnost Axiomatick´ a definice Podm´ınˇ en´ a pravdˇ epodobnost Nez´ avisl´ e jevy
Pozn´amka Jsou-li A, B nez´avisl´e, pak (A, B c ), (Ac , B), (Ac , B c ) jsou t´eˇz dvojice nez´avisl´ych jev˚ u. Definice N´ahodn´e jevy A1 , A2 , . . . , An ⊆ Ω naz´yv´ame nez´avisl´e pr´avˇe kdyˇz plat´ı P(A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An ) = P(A1 )P(A2 ) · · · P(An ).
