Pókok és hurkok Ízelít® a topológikus xponttételek elméletéb®l Bessenyei Mihály
Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet, Analízis Tanszék
Matematika és Informatika Didaktikai Konferencia Partiumi Keresztény Egyetem (Nagyvárad), 2013 január 2527.
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Bevezet® gondolatok
A modern magyar matematika néhány jeles képvisel®je
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Bevezet® gondolatok
A modern magyar matematika néhány jeles képvisel®je K®nig Gyula (18491953): halmazelmélet
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Bevezet® gondolatok
A modern magyar matematika néhány jeles képvisel®je K®nig Gyula (18491953): halmazelmélet Kürschák József (18641933): tehetséggondozás
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Bevezet® gondolatok
A modern magyar matematika néhány jeles képvisel®je K®nig Gyula (18491953): halmazelmélet Kürschák József (18641933): tehetséggondozás Riesz Frigyes (18801956): funkcionálanalízis
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Bevezet® gondolatok
A modern magyar matematika néhány jeles képvisel®je K®nig Gyula (18491953): halmazelmélet Kürschák József (18641933): tehetséggondozás Riesz Frigyes (18801956): funkcionálanalízis Fejér Lipót (18801959): approximációelmélet
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Bevezet® gondolatok
A modern magyar matematika néhány jeles képvisel®je K®nig Gyula (18491953): halmazelmélet Kürschák József (18641933): tehetséggondozás Riesz Frigyes (18801956): funkcionálanalízis Fejér Lipót (18801959): approximációelmélet Haar Alfréd (18851933): mértékelmélet
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Bevezet® gondolatok
A modern magyar matematika néhány jeles képvisel®je K®nig Gyula (18491953): halmazelmélet Kürschák József (18641933): tehetséggondozás Riesz Frigyes (18801956): funkcionálanalízis Fejér Lipót (18801959): approximációelmélet Haar Alfréd (18851933): mértékelmélet Pólya György (18871985): módszertan
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Bevezet® gondolatok
A modern magyar matematika néhány jeles képvisel®je K®nig Gyula (18491953): halmazelmélet Kürschák József (18641933): tehetséggondozás Riesz Frigyes (18801956): funkcionálanalízis Fejér Lipót (18801959): approximációelmélet Haar Alfréd (18851933): mértékelmélet Pólya György (18871985): módszertan Neumann János (19031957): funkcionálanalízis
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Bevezet® gondolatok
A modern magyar matematika néhány jeles képvisel®je K®nig Gyula (18491953): halmazelmélet Kürschák József (18641933): tehetséggondozás Riesz Frigyes (18801956): funkcionálanalízis Fejér Lipót (18801959): approximációelmélet Haar Alfréd (18851933): mértékelmélet Pólya György (18871985): módszertan Neumann János (19031957): funkcionálanalízis Erd®s Pál (19131996): kombinatorika
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Bevezet® gondolatok
A modern magyar matematika néhány jeles képvisel®je K®nig Gyula (18491953): halmazelmélet Kürschák József (18641933): tehetséggondozás Riesz Frigyes (18801956): funkcionálanalízis Fejér Lipót (18801959): approximációelmélet Haar Alfréd (18851933): mértékelmélet Pólya György (18871985): módszertan Neumann János (19031957): funkcionálanalízis Erd®s Pál (19131996): kombinatorika Tandori Károly (19252005): approximációelmélet
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Bevezet® gondolatok
A modern magyar matematika sikerének háttere
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Bevezet® gondolatok
A modern magyar matematika sikerének háttere Elit iskolák, kimagasló tanáregyéniségek
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Bevezet® gondolatok
A modern magyar matematika sikerének háttere Elit iskolák, kimagasló tanáregyéniségek Tehetséggondozás: tagozatok, szakkörök, versenyek
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Bevezet® gondolatok
A modern magyar matematika sikerének háttere Elit iskolák, kimagasló tanáregyéniségek Tehetséggondozás: tagozatok, szakkörök, versenyek Könyvek, folyóiratok (KöMaL)
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Bevezet® gondolatok
A modern magyar matematika sikerének háttere Elit iskolák, kimagasló tanáregyéniségek Tehetséggondozás: tagozatok, szakkörök, versenyek Könyvek, folyóiratok (KöMaL) Szemléletmód, szemléletformálás
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Bevezet® gondolatok
A modern magyar matematika sikerének háttere Elit iskolák, kimagasló tanáregyéniségek Tehetséggondozás: tagozatok, szakkörök, versenyek Könyvek, folyóiratok (KöMaL) Szemléletmód, szemléletformálás
Szemléletmód, szemléletformálás A versenyfeladatokhoz közölt megoldások igen gyakran rámutatnak az általánosítási lehet®ségekre, s®t számos esetben kitekintést adnak a magasabb matematika diszciplináira és módszereire. (Lásd például: Matematikai versenytételek; KöMaL.)
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Bevezet® gondolatok Feladat
Határozza meg mindazon f : R → R függvényeket, amelyekre minden x , y ∈ R esetén f (x ) − f (y ) ≤ (x − y )2 teljesül!
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Bevezet® gondolatok Feladat
Határozza meg mindazon f : R → R függvényeket, amelyekre minden x , y ∈ R esetén f (x ) − f (y ) ≤ (x − y )2 teljesül! Megoldás Föltehet®, hogy
x < y;
intervallumot
egyenl® részre, s jelölje a
n
legyen
x0 = x
Bessenyei M.
és
xn = y . Osszuk föl az [x , y ] k -adik osztópontot xk .
Pókok és hurkok
Bevezet® gondolatok Feladat
Határozza meg mindazon f : R → R függvényeket, amelyekre minden x , y ∈ R esetén f (x ) − f (y ) ≤ (x − y )2 teljesül! Megoldás Föltehet®, hogy
x < y;
intervallumot
egyenl® részre, s jelölje a
n
legyen
x0 = x
és
xn = y . Osszuk föl az [x , y ] k -adik osztópontot xk . Ekkor
|f (xk ) − f (xk −1 )| ≤
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Bevezet® gondolatok Feladat
Határozza meg mindazon f : R → R függvényeket, amelyekre minden x , y ∈ R esetén f (x ) − f (y ) ≤ (x − y )2 teljesül! Megoldás Föltehet®, hogy
x < y;
intervallumot
egyenl® részre, s jelölje a
n
legyen
x0 = x
és
xn = y . Osszuk föl az [x , y ] k -adik osztópontot xk . Ekkor
|f (xk ) − f (xk −1 )| ≤ (xk − xk −1 )2 =
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Bevezet® gondolatok Feladat
Határozza meg mindazon f : R → R függvényeket, amelyekre minden x , y ∈ R esetén f (x ) − f (y ) ≤ (x − y )2 teljesül! Megoldás Föltehet®, hogy
x < y;
intervallumot
egyenl® részre, s jelölje a
n
legyen
x0 = x
és
xn = y . Osszuk föl az [x , y ] k -adik osztópontot xk . Ekkor
|f (xk ) − f (xk −1 )| ≤ (xk − xk −1 )2 =
Bessenyei M.
(y − x )2
Pókok és hurkok
n2
=:
h . n2
Bevezet® gondolatok Feladat
Határozza meg mindazon f : R → R függvényeket, amelyekre minden x , y ∈ R esetén f (x ) − f (y ) ≤ (x − y )2 teljesül! Megoldás Föltehet®, hogy
x < y;
intervallumot
egyenl® részre, s jelölje a
n
legyen
x0 = x
és
xn = y . Osszuk föl az [x , y ] k -adik osztópontot xk . Ekkor
|f (xk ) − f (xk −1 )| ≤ (xk − xk −1 )2 =
(y − x )2
n2
=:
h . n2
Így, teleszkópikus összegzést és háromszög-egyenl®tlenséget alkalmazva,
|f (y ) − f (x )| =
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Bevezet® gondolatok Feladat
Határozza meg mindazon f : R → R függvényeket, amelyekre minden x , y ∈ R esetén f (x ) − f (y ) ≤ (x − y )2 teljesül! Megoldás Föltehet®, hogy
x < y;
intervallumot
egyenl® részre, s jelölje a
n
legyen
x0 = x
és
xn = y . Osszuk föl az [x , y ] k -adik osztópontot xk . Ekkor
|f (xk ) − f (xk −1 )| ≤ (xk − xk −1 )2 =
(y − x )2
n2
=:
h . n2
Így, teleszkópikus összegzést és háromszög-egyenl®tlenséget alkalmazva,
n X f (xk ) − f (xk −1 ) ≤ |f (y ) − f (x )| = k =1
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Bevezet® gondolatok Feladat
Határozza meg mindazon f : R → R függvényeket, amelyekre minden x , y ∈ R esetén f (x ) − f (y ) ≤ (x − y )2 teljesül! Megoldás Föltehet®, hogy
x < y;
intervallumot
egyenl® részre, s jelölje a
n
legyen
x0 = x
és
xn = y . Osszuk föl az [x , y ] k -adik osztópontot xk . Ekkor
|f (xk ) − f (xk −1 )| ≤ (xk − xk −1 )2 =
(y − x )2
n2
=:
h . n2
Így, teleszkópikus összegzést és háromszög-egyenl®tlenséget alkalmazva,
n n X X f (xk ) − f (xk −1 ) ≤ f (xk ) − f (xk −1 ) ≤ |f (y ) − f (x )| = k =1
k =1
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Bevezet® gondolatok Feladat
Határozza meg mindazon f : R → R függvényeket, amelyekre minden x , y ∈ R esetén f (x ) − f (y ) ≤ (x − y )2 teljesül! Megoldás Föltehet®, hogy
x < y;
intervallumot
egyenl® részre, s jelölje a
n
legyen
x0 = x
és
xn = y . Osszuk föl az [x , y ] k -adik osztópontot xk . Ekkor
|f (xk ) − f (xk −1 )| ≤ (xk − xk −1 )2 =
(y − x )2
n2
=:
h . n2
Így, teleszkópikus összegzést és háromszög-egyenl®tlenséget alkalmazva,
n n X X f (xk ) − f (xk −1 ) ≤ h . f (xk ) − f (xk −1 ) ≤ |f (y ) − f (x )| = k =1
k =1
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
n
Bevezet® gondolatok Feladat
Határozza meg mindazon f : R → R függvényeket, amelyekre minden x , y ∈ R esetén f (x ) − f (y ) ≤ (x − y )2 teljesül! Megoldás Föltehet®, hogy
x < y;
intervallumot
egyenl® részre, s jelölje a
n
legyen
x0 = x
és
xn = y . Osszuk föl az [x , y ] k -adik osztópontot xk . Ekkor
|f (xk ) − f (xk −1 )| ≤ (xk − xk −1 )2 =
(y − x )2
n2
=:
h . n2
Így, teleszkópikus összegzést és háromszög-egyenl®tlenséget alkalmazva,
n n X X f (xk ) − f (xk −1 ) ≤ h . f (xk ) − f (xk −1 ) ≤ |f (y ) − f (x )| = k =1
k =1
Ha a bal oldal pozitív lenne, akkor minden
n≤c
n
természetes szám esetén
telejsülne, ami lehetetlen. Bessenyei M.
Pókok és hurkok
n
Bevezet® gondolatok Feladat
Határozza meg mindazon f : R → R függvényeket, amelyekre minden x , y ∈ R esetén f (x ) − f (y ) ≤ (x − y )2 teljesül! Megoldás Föltehet®, hogy
x < y;
intervallumot
egyenl® részre, s jelölje a
n
legyen
x0 = x
és
xn = y . Osszuk föl az [x , y ] k -adik osztópontot xk . Ekkor
|f (xk ) − f (xk −1 )| ≤ (xk − xk −1 )2 =
(y − x )2
n2
=:
h . n2
Így, teleszkópikus összegzést és háromszög-egyenl®tlenséget alkalmazva,
n n X X f (xk ) − f (xk −1 ) ≤ h . f (xk ) − f (xk −1 ) ≤ |f (y ) − f (x )| = k =1
k =1
Ha a bal oldal pozitív lenne, akkor minden
n≤c
telejsülne, ami lehetetlen. Vagyis, Bessenyei M.
f
n
természetes szám esetén
szükségképpen konstans.
Pókok és hurkok
n
Bevezet® gondolatok
Tanulságok
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Bevezet® gondolatok
Tanulságok Teleszkópikus összegzés: NewtonLeibniz tétel
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Bevezet® gondolatok
Tanulságok Teleszkópikus összegzés: NewtonLeibniz tétel Indirekt feltétel: Archimédeszi tulajdonság
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Bevezet® gondolatok
Tanulságok Teleszkópikus összegzés: NewtonLeibniz tétel Indirekt feltétel: Archimédeszi tulajdonság Kitekintés: dierenciahányados, rend®r-elv, középérték-tétel
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Bevezet® gondolatok
Tanulságok Teleszkópikus összegzés: NewtonLeibniz tétel Indirekt feltétel: Archimédeszi tulajdonság Kitekintés: dierenciahányados, rend®r-elv, középérték-tétel Általánosítás: pozitív szubhomogén függvények
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Bevezet® gondolatok
Tanulságok Teleszkópikus összegzés: NewtonLeibniz tétel Indirekt feltétel: Archimédeszi tulajdonság Kitekintés: dierenciahányados, rend®r-elv, középérték-tétel Általánosítás: pozitív szubhomogén függvények
Szemléletmód, szemléletformálás A versenyfeladatokhoz közölt megoldások nem csupán a matematika klasszikus területeit érintik, hanem számos esetben ízelít®t adnak a atalabb, még fejl®désben lév® területek eredményeib®l és módszereib®l is. (Diofantikus problémák; kódelmélet; térkitöltés; fraktálok.)
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Célkit¶zés
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Célkit¶zés Tétel (Brouwer-féle xponttétel)
Ha K ⊂ Rn nem üres, konvex, kompakt halmaz, f : K → K folytonos leképezés, akkor létezik f -nek xpontja, azaz van olyan x0 ∈ K , hogy f (x0 ) = x0 teljesül.
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Célkit¶zés Tétel (Brouwer-féle xponttétel)
Ha K ⊂ Rn nem üres, konvex, kompakt halmaz, f : K → K folytonos leképezés, akkor létezik f -nek xpontja, azaz van olyan x0 ∈ K , hogy f (x0 ) = x0 teljesül.
Tétel (Negatív retrakt elv)
Nem létezik az n dimenziós eukliedszi tér zárt egységgömbjének a héjra való retrakciója, azaz olyan folytonos leképezése, melynek héjra való megszorítása az identitás.
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Célkit¶zés Tétel (Brouwer-féle xponttétel)
Ha K ⊂ Rn nem üres, konvex, kompakt halmaz, f : K → K folytonos leképezés, akkor létezik f -nek xpontja, azaz van olyan x0 ∈ K , hogy f (x0 ) = x0 teljesül.
Tétel (Negatív retrakt elv)
Nem létezik az n dimenziós eukliedszi tér zárt egységgömbjének a héjra való retrakciója, azaz olyan folytonos leképezése, melynek héjra való megszorítása az identitás.
Összegzés A vállakozás lehetetlen, de nem nehéz.
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Célkit¶zés Lehetséges megközelítések
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Célkit¶zés Lehetséges megközelítések Analitikus megközelítés: dierenciálformák és approximáció
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Célkit¶zés Lehetséges megközelítések Analitikus megközelítés: dierenciálformák és approximáció Topológiai megközelítés: fundamentális csoport mint invariáns
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Célkit¶zés Lehetséges megközelítések Analitikus megközelítés: dierenciálformák és approximáció Topológiai megközelítés: fundamentális csoport mint invariáns Kombinatorikus út: Sperner-lemma, KKM-lemma
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Célkit¶zés Lehetséges megközelítések Analitikus megközelítés: dierenciálformák és approximáció Topológiai megközelítés: fundamentális csoport mint invariáns Kombinatorikus út: Sperner-lemma, KKM-lemma
Fölmerül® problémák
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Célkit¶zés Lehetséges megközelítések Analitikus megközelítés: dierenciálformák és approximáció Topológiai megközelítés: fundamentális csoport mint invariáns Kombinatorikus út: Sperner-lemma, KKM-lemma
Fölmerül® problémák Szokatlan, a középiskolaitól távol álló szemléletmód
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Célkit¶zés Lehetséges megközelítések Analitikus megközelítés: dierenciálformák és approximáció Topológiai megközelítés: fundamentális csoport mint invariáns Kombinatorikus út: Sperner-lemma, KKM-lemma
Fölmerül® problémák Szokatlan, a középiskolaitól távol álló szemléletmód Magasfokú absztrakciót képvisel® fogalmak, tulajdonságok
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Célkit¶zés Lehetséges megközelítések Analitikus megközelítés: dierenciálformák és approximáció Topológiai megközelítés: fundamentális csoport mint invariáns Kombinatorikus út: Sperner-lemma, KKM-lemma
Fölmerül® problémák Szokatlan, a középiskolaitól távol álló szemléletmód Magasfokú absztrakciót képvisel® fogalmak, tulajdonságok Alapos háttérismeret birtokában megérthet® nehéz bizonyítások
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Célkit¶zés Lehetséges megközelítések Analitikus megközelítés: dierenciálformák és approximáció Topológiai megközelítés: fundamentális csoport mint invariáns Kombinatorikus út: Sperner-lemma, KKM-lemma
Fölmerül® problémák Szokatlan, a középiskolaitól távol álló szemléletmód Magasfokú absztrakciót képvisel® fogalmak, tulajdonságok Alapos háttérismeret birtokában megérthet® nehéz bizonyítások
Lehetséges orvoslás
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Célkit¶zés Lehetséges megközelítések Analitikus megközelítés: dierenciálformák és approximáció Topológiai megközelítés: fundamentális csoport mint invariáns Kombinatorikus út: Sperner-lemma, KKM-lemma
Fölmerül® problémák Szokatlan, a középiskolaitól távol álló szemléletmód Magasfokú absztrakciót képvisel® fogalmak, tulajdonságok Alapos háttérismeret birtokában megérthet® nehéz bizonyítások
Lehetséges orvoslás Intuíció kialakítása megfelel® példákkal és szemléltetéssel
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Célkit¶zés Lehetséges megközelítések Analitikus megközelítés: dierenciálformák és approximáció Topológiai megközelítés: fundamentális csoport mint invariáns Kombinatorikus út: Sperner-lemma, KKM-lemma
Fölmerül® problémák Szokatlan, a középiskolaitól távol álló szemléletmód Magasfokú absztrakciót képvisel® fogalmak, tulajdonságok Alapos háttérismeret birtokában megérthet® nehéz bizonyítások
Lehetséges orvoslás Intuíció kialakítása megfelel® példákkal és szemléltetéssel Speciális, de nem triviális esetekre való szorítkozás
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Célkit¶zés Lehetséges megközelítések Analitikus megközelítés: dierenciálformák és approximáció Topológiai megközelítés: fundamentális csoport mint invariáns Kombinatorikus út: Sperner-lemma, KKM-lemma
Fölmerül® problémák Szokatlan, a középiskolaitól távol álló szemléletmód Magasfokú absztrakciót képvisel® fogalmak, tulajdonságok Alapos háttérismeret birtokában megérthet® nehéz bizonyítások
Lehetséges orvoslás Intuíció kialakítása megfelel® példákkal és szemléltetéssel Speciális, de nem triviális esetekre való szorítkozás Az igazán nagyszer¶ gondolatok egyszer¶ek!
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
A Brouwer-féle xponttétel zárt körlemezen
Bevezet® probléma
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
A Brouwer-féle xponttétel zárt körlemezen
Bevezet® probléma Képzeljünk el a Világegyetemben két tükörsima felszín¶ bolygót. Az egyik gömb, míg a másik tórusz, vagyis úszógumi alakú. Mindkét bolygón egy-egy matematikus vénájú pók él. Különbséget tudnak-e tenni a két bolygó között anélkül, hogy képesek lennének bármiféle mérésre vagy lakóhelyük küls® szemrevételezésére?
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
A Brouwer-féle xponttétel zárt körlemezen Tétel (Brouwer-féle xponttétel)
A zárt egységkörlemez bármely önmagába való folytonos leképezésének létezik xpontja, azaz van olyan pont a körlemezen, mely egybeesik saját képével.
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
A Brouwer-féle xponttétel zárt körlemezen Tétel (Brouwer-féle xponttétel)
A zárt egységkörlemez bármely önmagába való folytonos leképezésének létezik xpontja, azaz van olyan pont a körlemezen, mely egybeesik saját képével. Szemléletesen: A nyers palacsintatésztának van olyan részecskéje, amely a sütés végeztével az eredeti helyére kerül majd vissza.
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
A Brouwer-féle xponttétel zárt körlemezen Tétel (Brouwer-féle xponttétel)
A zárt egységkörlemez bármely önmagába való folytonos leképezésének létezik xpontja, azaz van olyan pont a körlemezen, mely egybeesik saját képével. Szemléletesen: A nyers palacsintatésztának van olyan részecskéje, amely a sütés végeztével az eredeti helyére kerül majd vissza.
Tétel (Negatív retrakt elv)
Nem létezik a zárt egységkörlemeznek az ívre való retrakciója, azaz olyan folytonos leképezése, amely az ívet pontonként xen hagyja.
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
A Brouwer-féle xponttétel zárt körlemezen Tétel (Brouwer-féle xponttétel)
A zárt egységkörlemez bármely önmagába való folytonos leképezésének létezik xpontja, azaz van olyan pont a körlemezen, mely egybeesik saját képével. Szemléletesen: A nyers palacsintatésztának van olyan részecskéje, amely a sütés végeztével az eredeti helyére kerül majd vissza.
Tétel (Negatív retrakt elv)
Nem létezik a zárt egységkörlemeznek az ívre való retrakciója, azaz olyan folytonos leképezése, amely az ívet pontonként xen hagyja. Szemléletesen: Ha a dob hártyáját a peremre próbáljuk feszíteni, akkor a hártya elszakad.
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
A Brouwer-féle xponttétel zárt körlemezen Példa folytonos leképezésre
D a zárt, origó középpontú egységkörlemezt, f : D \ {(0, 0)} → S az alábbi módon adott leképezés:
A továbbiakban jelölje legyen
f (x , y ) := Ekkor
f
x x2 + y2
p
,p
y
!
folytonos értelmezési tartományának minden
Bessenyei M.
.
x2 + y2
Pókok és hurkok
p
pontjában.
s
A Brouwer-féle xponttétel zárt körlemezen Példa folytonos leképezésre
D a zárt, origó középpontú egységkörlemezt, f : D \ {(0, 0)} → S az alábbi módon adott leképezés:
A továbbiakban jelölje legyen
f (x , y ) := Ekkor
f
x x2 + y2
p
,p
!
y
.
x2 + y2
folytonos értelmezési tartományának minden
p
pontjában.
Példa nem folytonos leképezésre A továbbiakban jelölje
S
a zárt, origó középpontú egységkörlemez
határát, vagyis az ívet, s legyen
g: D →S
az alábbi módon adott
leképezés:
g (x , y ) := f (x , y ) (x , y ) ∈ D \ {(0, 0)}; Ekkor
g
nem folytonos a
p = (0, 0) Bessenyei M.
pontban.
Pókok és hurkok
g (0, 0) := (1, 0).
s
A Brouwer-féle xponttétel zárt körlemezen Tétel (Brouwer)
A zárt egységkörlemez bármely önmagába való folytonos leképezésének létezik xpontja, azaz van olyan pont a körlemezen, mely egybeesik saját képével. Tétel (Negatív retrakt elv)
Nem létezik a zárt egységkörlemeznek az ívre való retrakciója, azaz olyan folytonos leképezése, amely az ívet pontonként xen hagyja.
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
A Brouwer-féle xponttétel zárt körlemezen Tétel (Brouwer)
A zárt egységkörlemez bármely önmagába való folytonos leképezésének létezik xpontja, azaz van olyan pont a körlemezen, mely egybeesik saját képével. Tétel (Negatív retrakt elv)
Nem létezik a zárt egységkörlemeznek az ívre való retrakciója, azaz olyan folytonos leképezése, amely az ívet pontonként xen hagyja. Tétel (Ekvivalencia)
A Brouwer-féle xponttétel és a negatív retrakt elv egymással ekvivalens. Azaz, pontosan akkor létezik a körlemezen xpontmentes leképezés, ha létezik az ívre való retrakt (illetve, pontosan akkor nem létezik a körlemezen xpontmentes leképezés, ha nem létezik az ívre való retrakt).
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
A Brouwer-féle xponttétel zárt körlemezen
f (p )
p r (p )
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
A Brouwer-féle xponttétel zárt körlemezen
A negatív retrakt elv bizonyítása, els® felvonás
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
A Brouwer-féle xponttétel zárt körlemezen
A negatív retrakt elv bizonyítása, els® felvonás Indirekt tegyük fel, hogy létezik
D -nek S -re
Bessenyei M.
való retrakciója.
Pókok és hurkok
A Brouwer-féle xponttétel zárt körlemezen
A negatív retrakt elv bizonyítása, els® felvonás Indirekt tegyük fel, hogy létezik egy olyan
D -beli
S -beli
D -nek S -re
való retrakciója. Tekintsünk
hurkot, amely összehúzható valamely
deformációval.
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
S -beli
pontra
A Brouwer-féle xponttétel zárt körlemezen
A negatív retrakt elv bizonyítása, els® felvonás Indirekt tegyük fel, hogy létezik egy olyan
D -beli
S -beli
D -nek S -re
való retrakciója. Tekintsünk
hurkot, amely összehúzható valamely
S -beli
pontra
deformációval. Ekkor a szóbanforgó hurok összehúzható
deformációval is ugyanerre a pontra, nevezetesen a retraktjával.
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
D -beli
S -beli
deformáció
A Brouwer-féle xponttétel zárt körlemezen
A negatív retrakt elv bizonyítása, els® felvonás Indirekt tegyük fel, hogy létezik egy olyan
D -beli
S -beli
D -nek S -re
való retrakciója. Tekintsünk
hurkot, amely összehúzható valamely
S -beli
pontra
deformációval. Ekkor a szóbanforgó hurok összehúzható
deformációval is ugyanerre a pontra, nevezetesen a
D -beli
S -beli
deformáció
retraktjával.
A negatív retrakt elv bizonyítása, második felvonás Azonban minden olyan
S -beli
S -beli
hurok egy pontra deformálható
hurok, amely nem deformálható egy pontra
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
D -ben, és S -ben!
van
A Brouwer-féle xponttétel zárt körlemezen
A negatív retrakt elv bizonyítása, els® felvonás Indirekt tegyük fel, hogy létezik egy olyan
D -beli
S -beli
D -nek S -re
való retrakciója. Tekintsünk
hurkot, amely összehúzható valamely
S -beli
pontra
deformációval. Ekkor a szóbanforgó hurok összehúzható
deformációval is ugyanerre a pontra, nevezetesen a
D -beli
S -beli
deformáció
retraktjával.
A negatív retrakt elv bizonyítása, második felvonás Azonban minden olyan
S -beli
S -beli
hurok egy pontra deformálható
hurok, amely nem deformálható egy pontra
D -ben, és van S -ben! A kapott
ellentmondás miatt nem létezik a zárt körlemeznek az ívre való retraktja, tehát igaz a negatív retrakt elv.
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Eredmények a topológikus xponttételek elméletéb®l
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Eredmények a topológikus xponttételek elméletéb®l Tétel (Poincaré-féle sündisznótétel)
A páratlan dimenziós tér egységgömbjének héján nem adható meg seholsem nulla érint®vektormez®.
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Eredmények a topológikus xponttételek elméletéb®l Tétel (Poincaré-féle sündisznótétel)
A páratlan dimenziós tér egységgömbjének héján nem adható meg seholsem nulla érint®vektormez®. Az id®jóslás els® alaptétele Tökéletesen gömb alakú bolygókon mindig van olyan hely a felszínen, ahol nem fúj a szél.
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Eredmények a topológikus xponttételek elméletéb®l Tétel (Poincaré-féle sündisznótétel)
A páratlan dimenziós tér egységgömbjének héján nem adható meg seholsem nulla érint®vektormez®. Az id®jóslás els® alaptétele Tökéletesen gömb alakú bolygókon mindig van olyan hely a felszínen, ahol nem fúj a szél.
Tétel (BorsukUlam-féle antipodális tétel)
Az (n + 1) dimenzós tér egységgömbjének héján akárhogy megadva n darab folytonos, valós érték¶ függvényt, mindig van olyan ellenlakó pontpár, melyekben a megadott függvények rendre megegyeznek.
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Eredmények a topológikus xponttételek elméletéb®l Tétel (Poincaré-féle sündisznótétel)
A páratlan dimenziós tér egységgömbjének héján nem adható meg seholsem nulla érint®vektormez®. Az id®jóslás els® alaptétele Tökéletesen gömb alakú bolygókon mindig van olyan hely a felszínen, ahol nem fúj a szél.
Tétel (BorsukUlam-féle antipodális tétel)
Az (n + 1) dimenzós tér egységgömbjének héján akárhogy megadva n darab folytonos, valós érték¶ függvényt, mindig van olyan ellenlakó pontpár, melyekben a megadott függvények rendre megegyeznek. Az id®jóslás második alaptétele Tökéletesen gömb alakú bolygókon mindig van olyan ellenlakó pontpár, ahol a légnyomás- és h®mérsékleti értékek rendre azonosak. Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Néhány topológikus búcsúajándék...
Feladatok
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Néhány topológikus búcsúajándék...
Feladatok
Megkülönböztethet®-e a gömb a tórusztól?
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Néhány topológikus búcsúajándék...
Feladatok
Megkülönböztethet®-e a gömb a tórusztól? Alkalmazható-e az ismertetett módszer három dimenzióban?
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Néhány topológikus búcsúajándék...
Feladatok
Megkülönböztethet®-e a gömb a tórusztól? Alkalmazható-e az ismertetett módszer három dimenzióban? Fölbontható-e a sík két diszjunkt, egybevágó részre?
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Néhány topológikus búcsúajándék...
Feladatok
Megkülönböztethet®-e a gömb a tórusztól? Alkalmazható-e az ismertetett módszer három dimenzióban? Fölbontható-e a sík két diszjunkt, egybevágó részre? Fölbontható-e a zárt körlap két diszjunkt, egybevágó részre?
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Néhány topológikus búcsúajándék...
Feladatok
Megkülönböztethet®-e a gömb a tórusztól? Alkalmazható-e az ismertetett módszer három dimenzióban? Fölbontható-e a sík két diszjunkt, egybevágó részre? Fölbontható-e a zárt körlap két diszjunkt, egybevágó részre? Igazolja, hogy ha f : [0, 1] → [0, 1] folytonos, akkor van xpontja.
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Luitzen Egbertus Jan Brouwer (18811966)
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
Henri Poincaré (18541912)
Bessenyei M.
Pókok és hurkok
