POJIŠŤOVNICTVÍ A POJISTNÁ MATEMATIKA

VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA Katedra matematiky a katedra ekonomických studií

POJIŠŤOVNICTVÍ A POJISTNÁ MATEMATIKA

STUDIJNÍ MATERIÁL

LENKA LÍZALOVÁ, RADEK STOLÍN

2014

Recenzovali: RNDr. Ing. Hana Kotoučková, Ph.D. Ing. Jiří Novotný Za jazykovou a věcnou správnost obsahu díla odpovídají autoři. Text neprošel jazykovou ani redakční úpravou. © Radek Stolín a Lenka Lízalová, 2014 ISBN 978-80-88064-05-3

Obsah Předmluva................................................................................................................................................ 4 1 Smysl pojištění ................................................................................................................................ 6 2 Vývoj pojištění ................................................................................................................................ 9 3 Základní pojmy.............................................................................................................................. 11 3.1 Riziko .................................................................................................................................... 11 3.2 Risk management .................................................................................................................. 12 3.3 Postoj podnikatelů a managementu k riziku .......................................................................... 14 3.4 Možnosti finančního krytí následků rizik .............................................................................. 14 4 Pojistný vztah ................................................................................................................................ 18 4.1 Zájem o pojištění ................................................................................................................... 20 5 Klasifikace pojištění ...................................................................................................................... 23 5.1 Klasifikace pojištění podle formy vzniku pojištění ............................................................... 23 5.2 Klasifikace pojištění podle způsobu tvorby rezerv................................................................ 24 5.3 Klasifikace pojištění podle předmětu pojištění ..................................................................... 25 6 Zajištění ......................................................................................................................................... 26 6.1 Zajištění a jeho úkoly ............................................................................................................ 26 6.2 Formy zajištění ...................................................................................................................... 28 6.3 Soupojištění ........................................................................................................................... 29 6.4 Zajišťovací smlouva .............................................................................................................. 30 6.5 Pojišťovací pooly................................................................................................................... 30 7 Úvod do problematiky pojistného práva ....................................................................................... 31 7.1 Zákon o pojišťovnictví .......................................................................................................... 31 7.1.1 Dohled v pojišťovnictví ................................................................................................. 34 7.1.2 Solventnost pojišťoven a zajišťoven ............................................................................. 34 7.1.3 Odpovědný pojistný matematik ..................................................................................... 35 7.2 Občanský zákoník ................................................................................................................. 35 7.3 Zákon o poj. zprostředkovatelích a samostatných likvidátorech poj. událostí ..................... 38 7.3.1 Pojišťovací zprostředkovatelé ....................................................................................... 38 8 Pojišťovací činnost komerční pojišťovny...................................................................................... 42 9 Sjednání pojištění .......................................................................................................................... 46 9.1 Pojistná smlouva.................................................................................................................... 46 Pojistná částka ....................................................................................................................... 47 Pojistné .................................................................................................................................. 48 Pojistné plnění ....................................................................................................................... 49 Práva a povinnosti účastníků pojistného vztahu .................................................................... 49 10 Pojišťovnictví jako odvětví ekonomiky .................................................................................... 51 11 Úvod do problematiky pojistného trhu ...................................................................................... 52 11.1 Segmentace pojistného trhu................................................................................................... 53 11.2 Nabídka pojistných produktů na českém pojistném trhu....................................................... 54 11.3 Neživotní pojištění ................................................................................................................ 54 11.3.1 Pojištění majetku ........................................................................................................... 55 9.2 9.3 9.4 9.5

11.3.2 Pojištění odpovědnosti za škodu ................................................................................... 59 11.3.3 Pojištění osob ................................................................................................................ 63 11.4 Životní pojištění .................................................................................................................... 65 12 Úmrtnostní tabulky .................................................................................................................... 69 12.1 Popis a konstrukce úmrtnostních tabulek .............................................................................. 69 12.2 Odlišnosti v úmrtnosti mužů a žen ........................................................................................ 74 12.3 Střední délka života při narození ........................................................................................... 77 12.4 Pravděpodobnosti úmrtí a dožití a jejich určení z úmrtnostních tabulek............................... 78 12.5 Použití úmrtnostních tabulek v pojistné praxi ....................................................................... 82 12.6 Komutační čísla ..................................................................................................................... 83 13 Určení čistého pojistného a rizika pojištění ............................................................................... 87 13.1 Princip ekvivalence ............................................................................................................... 87 13.2 Kapitálové pojištění placené jednorázově ............................................................................. 89 13.2.1 Pojištění na dožití .......................................................................................................... 90 13.2.2 Pojištění pro případ smrti .............................................................................................. 92 13.2.3 Dočasné pojištění pro případ smrti ................................................................................ 95 13.2.4 Odložené pojištění pro případ smrti .............................................................................. 96 13.2.5 Smíšené pojištění ........................................................................................................... 99 13.3 Důchodové pojištění placené jednorázově .......................................................................... 101 13.3.1 Současná hodnota důchodu ......................................................................................... 102 13.3.2 Pojištění ročního doživotního důchodu ....................................................................... 103 13.3.3 Pojištění dočasného ročního životního důchodu ......................................................... 107 13.3.4 Pojištění odloženého ročního doživotního důchodu .................................................... 110 13.3.5 Další typy ročního důchodového pojištění .................................................................. 112 13.3.6 Področní důchodové pojištění ..................................................................................... 117 13.4 Určení běžného pojistného .................................................................................................. 120 13.5 Určení hrubého pojistného .................................................................................................. 123 14 Určení čistého pojistného ........................................................................................................ 129 14.1 Tarifní skupiny .................................................................................................................... 129 14.2 Princip určení čistého pojistného......................................................................................... 129 14.3 Určení čistého pojistného v systémech bonus-malus .......................................................... 133 15 Pojistné rezervy ....................................................................................................................... 139 15.1 Vývojové trojúhelníky ......................................................................................................... 139 15.2 Metoda Chain-Ladder.......................................................................................................... 140 Glosář .................................................................................................................................................. 144 Literatura ............................................................................................................................................. 153

Pojišťovnictví

Předmluva Pojišťovnictví je jednou z nejzajímavějších částí finančního trhu. V současné době se v České republice živí, či v některých případech vhodněji vyjádřeno přiživuje, relativně velké množství finančních poradců. Jejich znalost příslušné problematiky je velmi rozdílná. Existuje nemálo takových, jejichž vzdělání v oblasti finančního poradenství je takřka nulové a přesto (anebo možná právě proto) se odvažují radit, do čeho investovat nemalé finanční obnosy. Vyjdeme-li ze snad obecně přijímaného předpokladu, že každá práce by měla být vykonávána odborníky, je jedním z kroků ke zlepšení situace v oblasti finančního poradenství nabízet možnost příslušného vzdělávání pro ty, kteří v oboru pracují, či pracovat hodlají. Vysoká škola polytechnická Jihlava nabízí již řadu let studentům oboru Finance a řízení v prezenční i kombinované formě specializaci Finanční poradenství. Specializace je tvořena třemi předměty: Finanční matematika, Cenné papíry a finanční poradenství, Pojišťovnictví a pojistná matematika. Studentům posledně jmenovaného předmětu je primárně určena tato publikace. Předložený učební text si klade za cíl představit studentům oblast pojišťovnictví jako významnou součást finančního sektoru, která pomáhá krýt rizika ekonomických i neekonomických činností člověka. Seznamuje studenty se základními matematickými postupy užívanými pro stanovení výše pojistného v životním i neživotním pojištění, s problematikou kvantitativního odhadu rizika pojištění a tvorby pojistných rezerv. Součástí učebnice je glosář, který obsahuje stručné vysvětlení nejpoužívanějších pojmů v oblasti pojišťovnictví. Tento glosář vychází z Encyklopedického slovníku pojmů z oblasti pojišťovnictví, který je k dispozici na portálu České asociace pojišťoven. Kapitola 2, v části učebnice Pojišťovnictví, byla zpracována s použitím učebnice (Ducháčková, 2009), kapitoly 1, 3–11 byly zpracovány s použitím studijních textů VUT pro kombinovanou formu studia, viz literatura Martinovičová (2006). Materiály byly upraveny a aktualizovány dle nové právní úpravy roku, která začne platit od 1. 1. 2015. Autoři věří, že učební text bude kromě funkční e-learningové opory další užitečnou pomůckou, která pomůže studentům zvládnout tento, ne zcela jednoduchý, předmět. Přejí všem čtenářům hodně radosti a vzrušení při objevování tajů pojišťovnictví a pojistné matematiky.

Jihlava, prosinec 2014 autoři

4

Pojišťovnictví

ČÁST I. POJIŠŤOVNICTVÍ

5

Pojišťovnictví

1 Smysl pojištění Původní myšlenka, filosofie a obsah pojištění byla pomoc v nouzi. Tento humánní obsah pojištění se v průběhu vývoje pojištění často opomíná a vytrácí. Myšlenky o pojištění vznikly, jak se dočtete v kapitole o vývoji pojištění, na zásadách vzájemnosti s cílem pomáhat v situacích, kdy se jednotlivec nemůže ubránit vzniku škody a krýt její následky. Po celý život nás provází pojištění. Provází nás i od prvních úvah o podnikatelské činnosti až po její zakončeni. O úlohách a významu pojištění se ví velmi málo. Poznatky se přenáší spíše mluveným slovem jako zkušenost jednotlivců, často ve velice zkreslené podobě. Pojištění a pojišťovnictví přímo nebo nepřímo zasahuje do všech činností, týká se každého občana, firmy, podniku a společnosti. Rozvoj pojištění a pojišťovnictví v ekonomice vytváří vznik nových pracovních příležitostí. Bez dobrého fungování nezávislého pojišťovnictví není možné vytvořit volné a svobodné tržní hospodářství. Pojištění představuje v tržní ekonomice také peněžní vztahy, prostřednictvím kterých se tvoří a rozdělují peněžní pojistné rezervy. Pojištění se v zásadě vztahuje na události, jejichž vznik závisí na náhodě, je neurčitý, ale pravděpodobný. To, co platí u jednotlivce a jednotlivého rizika, se vstupem do pojištění ve velkém vzorku populace mění na statistickou zákonitost. Z právního hlediska je pojištění závazkovým právním vztahem, v němž mají účastníci rovné postavení. Pojištění je zároveň vztah, ve kterém pojišťovna na sebe přebírá závazek, že pojištěnému uhradí újmu, která mu vznikla ve smyslu pojistných podmínek. Právní vztah vzniká mezi pojistníkem či pojištěným a pojistitelem. Ekonomický obsah pojištění znamená, že u komerční pojišťovny i u pojištěného subjektu má pojištění peněžní povahu, je zřejmé, že věcný základ pojištění má ekonomickou či peněžní povahu. Proto bývá také pojištění definováno jako efektivní způsob tvorby a rozdělování peněžních rezerv k úhradě potřeb, jež vznikají z nahodilých událostí. Rezervy jsou vytvářeny z příspěvků osob a jsou spravovány institucemi, k tomuto účelu zvlášť vytvořenými, komerčními pojišťovnami. Tak se rozděluje riziko majetkové újmy z nepříznivých událostí nahodilé povahy na okruh účastníků, kteří se podílejí nejen na tvorbě těchto prostředků, ale i na jejich poskytování, a to podle předem stanovených pravidel. Realizace ekonomických základů pojištění ve společenském měřítku lze však dosáhnout jen prostřednictvím právních vztahů vznikajících mezi komerční pojišťovnou a účastníky pojištění, upravených obecně závaznými právními předpisy nebo na jejich základě uzavřenou pojistnou smlouvou - ty stanoví práva a povinnosti, jež účastníkům z pojištění vznikají. O pojištění tedy hovoříme jako o kategorii ekonomické i právní. Z pohledu podnikatelského subjektu je možné pojištění charakterizovat jako ekonomickou kategorii a právní institut, jež tvoří součást finančních a právních vztahů, prostřednictvím kterého se vytvářejí technické (pojistné) rezervy. Tyto rezervy potom slouží na předcházení a náhradu škod způsobených náhodnými událostmi. Rezervy je možno všeobecně vymezit jako účelné vytváření dočasně volných (materiálních, peněžních) prostředků, kapacit a práce na úhradu náhodných potřeb. Pojistné potřeby mohou 6

Pojišťovnictví být v zásadě hrazeny dvěma způsoby, a to použitím pojistných rezerv, nebo na úkor jiných potřeb příslušného subjektu. » Pojistné rezervy - všechny peněžní prostředky určené na náhradu škod v případě realizace rizika. Jinak řečeno, existenci rezerv determinuje existence rizika, jeho druhy a rozsah. V tržní ekonomice se pojištění stalo zbožím a pojistné rezervy kapitálem sloužícím k podpoře rozvoje podnikání a ochraně soukromého vlastnictví. V případě pojistné události se z pojištění poskytne dohodnutý rozsah peněžních prostředků, který by měl stačit na odstranění vzniklé ztráty. Znamená to, že komerční pojišťovna nahradí na základě dojednaných pojistných podmínek ztrátu v takovém rozsahu, jak byl dojednán v pojistné smlouvě. Tento postup realizuje komerční pojišťovna bez ohledu na to, zda pojištěný subjekt vytvořil placením pojistného dostatečnou finanční rezervu. Pojištění samo o sobě nezabrání vzniku škody, ale přispěje alespoň finančně k odstranění vzniklé ztráty v případě škodní události. Ze základní funkce přenosu (transferu) rizika na komerční pojišťovnu vyplývají následující výhody:  



peněžní prostředky k vyrovnání způsobených ztrát jsou okamžitě k dispozici; náklady na pojistné jsou obvykle nižší než předpokládaná ztráta; peněžní prostředky jsou k dispozici při splnění stanovených povinností z pojistné smlouvy a není důležité, kolikrát vznikla událost a zda bylo pojistné uhrazeno komerční pojišťovně ve výši vzniklé ztráty nebo ne; komerční pojišťovna vyvíjí tlak na realizaci přiměřených bezpečnostních opatření, které chrání pojištěné hodnoty před neočekávanými událostmi, formou prevenčních opatření.

V podmínkách tržního mechanismu plní pojišťovnictví, se svojí pojišťovací činností, roli stabilizátoru ekonomické úrovně podniků a životní úrovně obyvatelstva v případě neočekávané (náhodné) události. Kromě toho se pojišťováním posiluje odpovědnost fyzických osob za jejich ekonomickou a sociální oblast. Stát podporuje rozvoj pojišťovnictví i cestou daní a uplatňováním smluvně povinných a zákonných forem pojištění. To mu pak umožňuje přesouvat odpovědnost za sociální situaci a ekonomickou stabilitu na firmy, podniky, obyvatelstvo, pojištěnce, pojistníky a pojišťovny. Zájemcům o pojistnou ochranu umožňuje pojištění rozložit náklady a tím udržovat jejich pravidelnost, míru zisku i zisk samotný. U občanů pojištění podporuje stabilitu jejich životní úrovně, ale také zabraňuje jejímu poklesu v případě náhodné pojistné události. Nejvyšší možná dobrá víra Všechny obchodní transakce by měly být podnikány s dobrým úmyslem. Nikdy by nemělo jít o podvod nebo o podvodný úmysl. Neznamená to však, že by měl prodávající jakoukoli povinnost upozornit na nedostatky zboží, které prodává. Tvrdí-li však něco nebo odpoví-li na otázku, musí být tvrzení pravdivé.

7

Pojišťovnictví Pojišťovací transakce se však od tohoto všeobecného pravidla liší, protože pouze jedna osoba zná všechny skutečnosti týkající se věci, která má být pojištěna. Touto osobou je osoba navrhující pojištění a její povinností je tyto skutečnosti prozradit. Zásada, kterou je proto třeba dodržet při pojišťovacích transakcích, je zásada nejvyšší možné dobré víry a musí být přiznány i závady. Informace, jejichž sdělení pojistitel vyžaduje, se nazývají závažné skutečnosti. » Závažná skutečnost je jakákoli skutečnost, která by obezřetného pojistitele ovlivnila při rozhodování, zda má přijmout riziko pro účely pojištění a za jakých podmínek. Pojistitel se obvykle táže navrhovatele (zájemce o pojištění), zda existují nějaké další závažné informace, které si výslovně nevyžádal. Nepřizná-li navrhovatel závažné skutečnosti, mohou pojistitelé odmítnout vyplatit náhradu škody v případě škodní události. Další problém, s nímž se setká navrhovatel pojištění, vznikne, existuje-li povinnost informovat o všech závažných skutečnostech. V případě pojištění podnikatelských rizik existuje tato povinnost během období, které vede k vlastnímu vzniku smlouvy. A tato povinnost vzniká znovu při obnovení a tehdy, dojde-li k nějaké změně, kterou pojištěný oznamuje.

8

Pojišťovnictví

2 Vývoj pojištění Nahodilé události jako živelní katastrofy, osobní neštěstí jako úrazy, ztráta živitele vedly odedávna k úvahám o různých způsobech vyrovnávání se s těmito nahodilými událostmi, ovlivňujícími jejich životy. První úvahy o pojištění jsou velice staré (již kolem roku 2 000 před n. l.) a byly spojeny především se vzájemným krytím ztrát (označuje se jako vzájemnostní pojištění), hlavně v souvislosti s krytím výdajů na pohřby a také v souvislosti s přepravou zboží pomocí karavan (krytí ztrát mezi majiteli karavan na plánovaných cestách). Často je těžké odlišit pojišťovací činnost od činnosti podpůrné a charitativní v tomto období. U těchto prvních pojištění lze vysledovat následující rysy: 

pojištění bylo soustředěno v uzavřených skupinách osob,



pojištění zahrnovalo druhořadou část obyvatelstva, především řemeslníky, kupce, ale ne obyvatelstvo zabývající se zemědělstvím, které svým počtem v té době převažovalo,



při pojišťování nebyl důsledně oddělen pojistitel a pojistník,



pojištění mělo převážně vzájemnostní charakter, i když můžeme pozorovat některé prvky komerčního pojištění (například tzv. námořní půjčka, což byla vlastně kombinace pojištění a úvěru, neboť obchodník při přepravě zboží si vzal námořní půjčku ve výši ceny zboží, pokud loď s nákladem doplula do místa určení, obchodník vrátil vypůjčený obnos s vysokými úroky - až 36 %, v případě že obchodník zboží nedopravil, půjčku nevracel).

Během dlouhého vývoje pojištění v tomto období (až do konce 18. století) lze ve vývoji pozorovat dvě základní tendence: 

vývoj od všeobecně formulované vzájemné pomoci k určité konkretizaci vzájemné pomoci s upřesněním okruhu pojistných událostí,



vývoj od následného rozvrhu výdajů na pojistná plnění (po vzniku pojistných událostí) k praxi pravidelných pevně stanovených příspěvků pro členy spolků (postupně byly oddělovány prostředky na úhradu pojistných událostí od ostatních prostředků příslušných spolků).

Pro druhou polovinu 18. století je pro pojišťování typická institucionalizace pojišťovnictví, tzn., vznikají pojišťovny, a to především ve formě vzájemných pojišťoven. Na našem území vznikla První česká vzájemná pojišťovna roku 1827). Hlavními pojistnými odvětvími, která se v tomto období uplatňují je pojištění požární, pojištění námořní a pojištění životní. Pojišťovnictví jako významné odvětví ekonomiky se utvářelo nejdříve v přímořských státech a s určitým zpožděním ve vnitrozemských státech. Od počátku 19. století je pro pojištění typické, že se stává předmětem podnikání, tedy pojištění je chápáno jako užitečný druh obchodní činnosti. V tomto období se začínají prosazovat pojišťovny ve formě akciové, i když vzájemné pojišťovny nadále fungují. Pojištění se začíná prosazovat v širších vrstvách obyvatelstva, než tomu bylo v předchozím období. Pojištění se poměrně rychle rozvíjí. Rozšiřují se provozované druhy pojištění, i když dominantní postavení stále zaujímají pojištění námořní, požární a životní. Rozšiřují se 9

Pojišťovnictví vědecké základy pojištění, zejména pojistná matematika. Rovněž se začíná v souvislosti s pojišťováním velkých rizik uplatňovat zajištění. Takto shrnuje nejstarší vývoj pojišťovnictví Ducháčková (2009). K dalšímu vývoji Ducháčková (2009) stručně uvádí, že ke konci 19. století se začíná projevovat nezbytnost státních zásahů do hospodářství, což je důsledek rozvoje hospodářství a monopolizace. V pojišťovnictví se státní zásahy projevují ve dvou směrech: 1. dochází postupně ke vzniku a uplatnění sociálního pojištění v jednotlivých zemích, 2. dochází k regulaci komerčního pojištění. Státy používají k regulaci komerčního pojištění řadu nástrojů:  uplatňují tzv. koncesní princip, tzn., že k založení nových pojišťovacích institucí je třeba schválení státního orgánu,  zavádějí povinnost tvorby tzv. zabezpečovacích fondů pojišťovacími institucemi,  provádějí materiální dohled, tzn. kontrolují hospodaření pojišťoven na základě výkazů o jejich činnosti,  sledují úrokové míry užívané při kalkulaci tarifu pojistného,  užívají tzv. kvótování aktiv, tzn., stanovují kvóty pro jednotlivé způsoby uložení aktiv pojišťoven (např. mohou stanovit povinnost uložení 20 % aktiv pojišťoven ve státních cenných papírech). Státní dozor nad pojišťovnictvím se posiluje zejména po druhé světové válce (v pojetí státního dozoru v jednotlivých zemích se projevují značné odlišnosti). V pojištění se projevují tři cesty rozvoje: 1. specializace již existujících druhů a odvětví pojištění, 2. sdružování (kombinování) již existujících pojistných druhů, 3. vznik zcela nových druhů pojištění. Dochází ke změně poměru mezi majetkovým a životním pojištěním ve prospěch pojištění životního, které bývá v jednotlivých zemích státy zvýhodňováno zejména prostřednictvím daňového zvýhodnění, neboť životního pojištění se využívá jako jednoho z vestavěných stabilizátorů a stále více jako nástroje krytí potřeb ve stáří. K aktuální situaci v odvětví portál Finanční vzdělávání (2014) konstatuje, že se české pojišťovnictví vyvíjí v tržním prostředí v souladu s normami EU. Značné kompatibility se podařilo dosáhnout v ekonomice pojištění (účetnictví, technické rezervy, solventnost). Obecně se rozšířila mezinárodní spolupráce jak na úrovni států, tak i České asociace pojišťoven. Podle výroční zprávy ČNB provozovalo v roce 2014 pojišťovací činnost na českém trhu 51 pojišťoven, z toho 33 tuzemských pojišťoven a 18 poboček pojišťoven ze zemí EU. Mimo výše uvedené tuzemské pojišťovny a pobočky zahraničních pojišťoven s licencí ČNB mohou na českém pojistném trhu poskytovat služby i pojišťovny a pobočky pojišťoven z jiných členských států EU a EHP na základě svobody dočasně poskytovat služby, jedná se o 734 pojišťoven, které působí zejména na trhu neživotního pojištění.

10

Pojišťovnictví

3 Základní pojmy Základem pojištění je objektivní existence rizika, která se může projevit určitou peněžní ztrátou. Pokud by riziko objektivně neexistovalo, potom by pojištění bylo zřejmě úplně zbytečné. Protože však riziko objektivně existuje, a to nejen v lidské činnosti, ale i v přírodě samé, existuje i přirozená lidská snaha o snižování rizika a pravděpodobnosti ztrát, které mohou být způsobeny. Je samozřejmé, že součástí tohoto snažení je i vytváření podmínek pro krytí rizika, přičemž jednou z forem tohoto krytí je pojištění. Pojištění se nám zdá komplikované a často ho nazíráme a vyhodnocujeme ho, pro náš život, nevhodným způsobem. V životě (ať již soukromém nebo v podnikání) může být člověk nešťastnou náhodou postižen škodou, která zapříčiní ztrátu celého majetku, ztrátu schopnosti vydělat si na živobytí nebo ztrátu zdraví a tím i zabezpečení celé rodiny. Finančním dopadům takovéto skutečnosti však lze účinně předcházet, a to vhodným pojištěním. Složitost pojištění vyplývá mnohokrát z neznalosti pojistných vztahů, které jsou založeny na ekonomickoprávním základě. Předchozí řádky neberte jako doporučení odstranit všemožná rizika ze svého života, je potřeba vyhodnocovat, co je rizikem, které je potřeba pojistit a které riziko lze nést. Čím je společnost bohatší, tím menší je ochota brát na sebe riziko. Roste touha mít všechno, ale neplatit ničím jiným, než penězi (nikoli třeba i tím, že akceptujeme jistou míru rizika). Přitom uvědomit si riziko a adekvátně se podle toho chovat, je nejlepší ochrana před tím, aby se riziko převrátilo v nebezpečí.

3.1

Riziko

V první řadě je nutné odlišit pojmy nejistota a riziko, protože v praxi se mezi těmito pojmy nedělá příliš velký rozdíl. » Nejistota - jedná se o situaci, kdy nedovedeme určit pravděpodobnost očekávané události, a proto výsledné stavy nelze popsat rozdělením pravděpodobnosti. » Riziko - jedná se o situaci, kdy určitý jev nastává s jistou pravděpodobností, resp. kdy kvantitativní rozsah určitého jevu podléhá jistému rozdělení pravděpodobností. Objektivní realitou života, každé lidské činnosti i přírody je existence rizik, které neustále ohrožují jejich stav i výsledek. Riziko z tohoto pohledu může představovat jak zápornou, tak kladnou odchylku od předpokládaného vývoje nějakého parametru. Slovo riziko obsahuje pochybnost o budoucnosti, vědomí, že vývoj nás může dostat do horší situace, než jakou momentálně očekáváme. Za stejných podmínek v životě i v podnikání se předpokládá stejné riziko. To se projevuje mimo jiné i tím, že existuje skupina lidí vystavená v určitém období stejným podmínkám a tedy i stejnému riziku. Jedná se o tzv. členy jednoho rizikového společenství. Jak už bylo popsáno v předchozí kapitole, odjakživa se lidé v rámci různých společenství sdružovali a vytvářeli si k ochraně před některými riziky vhodné nástroje. Sem patřily především fondy určené k náhradě potenciálních škod. V podstatě se jedná o počáteční formy pojištění. Činitelům, které mohou výsledek ovlivnit, říkáme rizikové. Tyto faktory nejsou samy o sobě příčinou škody, mohou však zvýšit nebo snížit následek, pokud by nebezpečí působilo. 11

Pojišťovnictví Riziko a jeho realizace ovlivňují vznik ztráty. Ztráta je tedy majetková, zdravotní, finanční či morální újma, která může ale i nemusí být peněžně vyčíslitelná. V souvislosti s rizikem se často objevuje další pojem, a to je hazard. Jako příklad je možné použít rizika spojená s technikou. Tato rizika ohrožují člověka daleko méně než přírodní živly. Největší škody jsou však způsobené selháním lidského faktoru. Jedná se často o hrubé zanedbání bezpečnostních předpisů, podcenění nebezpečí, které hrozí a podobně. » Hazard - jedná se o snahu co nejrychleji a s nejnižšími náklady zvládnout stanovený úkol a dosáhnout stanovený cíl. Praxe ukazuje, že lidé, kteří jsou soustavně vystavováni rizikům, mají vypěstovaný a naučený systém předcházení těmto rizikům. Jejich konání je často automatické a podvědomé. Toto je například vidět u řidičů motorových vozidel, pilotů apod.

3.2

Risk management

Rizika v podnikání, či rizika podnikatelských subjektů jsou kategorizována z různých hledisek, například na riziko interní a externí, riziko ovlivnitelné a neovlivnitelné, rizika dle jejich velikosti, riziko skutečné a spekulativní, riziko systematické a riziko nesystematické, riziko subjektivní a objektivní, riziko fyzické a morální, riziko elementární a specifické. V následujícím textu se budeme podrobněji věnovat pouze těm klasifikacím, které jsou pro podnikatelské subjekty nejdůležitější. Riziko interní a riziko externí Schopnost podniků nakládat s riziky tak, aby škody, které rizika podnikům způsobí, byly minimalizovány, je ovlivněna i mírou ovlivnitelnosti toho kterého rizika z úrovně podniku. Ta je mimo jiné dána i tím, zda je podnik vystaven internímu riziku i externímu riziku. Mezi interní rizika se řadí ta, která se projevují uvnitř podniku a která je podnikatel schopen víceméně řídit a ovlivňovat. Jako příklady je možné uvést velikost organizace, finanční síla organizace, zaměstnanci, výrobky, výrobní procesy. Faktory interních rizik jsou ve vzájemné interakci a vytvářejí celkové vnitřní riziko. Externí rizika jsou faktory prostředí, ve kterém podnik musí fungovat, a které jsou vně přímé kontroly a řízení podniku. Zejména se jedná o obchodní podmínky, legální požadavky zákazníků, změny u konkurence, ochranu životního prostředí, bezpečnostní situaci, daně, zaměstnaneckou legislativu, úrokové míry. Klasifikace rizik podle jejich velikosti Rizika je možné klasifikovat podle jejich velikosti, a to na základě závažnosti a četnosti, přičemž závažnost může být charakterizována například velikostí nákladů na škodní událost. Na rizika je možné se dívat také podle jiných kritérií, kterými mohou být například vliv škody na výrobní proces, vliv závažnosti škody na celkové náklady podniku, nutnost čerpání finančních rezerv. Na následujícím obrázku je uvedeno členění rizik podle jejich velikosti. Jedná se o pětistupňový model, ve kterém je rozlišováno pět velikostí rizika. V praxi je používán třístupňový model, ale i osmistupňový.

12

Pojišťovnictví

četnost

Obrázek 3.2.1 Členění rizik dle jejich velikosti 5

S

V

Z

Z

K

4

M

S

V

Z

K

3

M

S

V

Z

Z+K

S - malé riziko

2

M

S

V

Z

Z+K

V - střední riziko

1

M

S

V

Z

Z

Z - velké riziko

1

2

3

4

5

K - katastrofální riziko

M - minimální riziko

závažnost

Riziko pojistitelné a riziko nepojistitelné Toto členění se uplatňuje při pojišťování a při uvažování o možné pojistné ochraně v komerčních pojišťovnách. Riziko pojistitelné je z hlediska komerční pojišťovny takové, na které může komerční pojišťovna sjednat pojistnou smlouvu, a to na základě pojistně-technických podmínek. Komerční pojišťovna nepojistí každé riziko, ale jenom ta rizika, při kterých existuje možnost stanovení pravděpodobnosti škody a její ocenění rizikového vyrovnání v rámci dostatečně velkého pojistného kmene, či rizikového společenství. Pojistitelná rizika musí splňovat následující kritéria: » kritérium identifikovatelnosti - představuje jednoznačné určení příčiny událostí, jejímž výsledkem byla ztráta, krytá pojištěním; v pojistné smlouvě musí být jednoznačně charakterizováno každé riziko a pojistná událost; » kritérium vyčíslitelnosti - pokud by nebylo možné vyčíslit ztráty, potom se vlastní pojištění nemůže po ekonomické stránce realizovat a nemá smysl; nejlepší jsou vyčíslitelné přímé věcné ztráty, horší ztráty následné, které vyžadují náročné prokazování a v podstatě nevyčíslitelné jsou například ztráty morální, které vysloveně závisí na subjektivním pohledu jedince; » kritérium ekonomické přijatelnosti rizika - je dáno tím, že pojišťovna přijme do pojištění jen takové riziko, jež jí nepřinese ztrátu, je ekonomicky vyrovnané; » kritérium nahodilosti projevu rizika - je jednou z rozhodujících podmínek pojištění; pokud by byla jistota, že riziko resp. negativní událost skutečně nastane, potom je možné krytí ztrát jiným způsobem a ne pojištěním. Riziko, které tyto podmínky nesplňuje, je nepojistitelné riziko. Teoreticky je možné uvažovat o tom, že neexistuje riziko, které by nebylo pojistitelné a jeho pojistitelnost je ovlivněna jedině cenou pojistného produktu. Prakticky však musíme připustit, že komerční pojišťovna přece jen jakékoliv riziko nepojistí a samotné pojištění rizika musí důkladně zvažovat.

13

Pojišťovnictví

3.3

Postoj podnikatelů a managementu k riziku

Postoj podnikatele či manažera k riziku určuje jeho odvahu nést podnikatelské riziko nebo neochotu k přijetí určitého rizika, která může vést k vyhýbání se podnikatelskému riziku. Podnikatel může mít: 





averzi k riziku - subjekt s averzí k riziku se snaží vyhnout volbě značně rizikových podnikatelských projektů a vyhledává projekty, které se značnou jistotou zaručují dosažení výsledků, jež jsou pro ně přijatelné; sklon k riziku - subjekt se sklonem k riziku vyhledává značně rizikové podnikatelské projekty (které mají naději na dosažení zvláště dobrých hospodářských výsledků, ale jsou spojeny i s vyššími ztrátami) a preferuje je před projekty málo rizikovými; neutrální postoj k riziku - u subjektu s neutrálním postojem jsou sklon a averze k riziku ve vzájemné rovnováze.

Ochota nést podnikatelské riziko nebo naopak vyhýbání se riziku jsou závislé na více faktorech. K nejdůležitějším faktorům patří:  



3.4

osobní založení subjektu - je možné říci, že úspěšným podnikatelem či manažerem nemůže být osoba s výraznou neochotou nést podnikatelské riziko; kapitálová síla a velikost podniku - vliv velikosti a kapitálové síly podniku na postoj jejích manažerů k riziku není jednoznačný; na jedné straně platí, že zatímco pro malý podnik může realizace určitého podnikatelského projektu představovat nepřijatelné riziko, pak pro kapitálově silný podnik, který může současně realizovat více projektů, může být riziko téhož podnikatelského rozhodnutí přijatelné; na druhé straně jsou však malé a začínající podniky nuceny jít do značných rizik, neboť jinak by nezískaly své místo na trhu; existence těchto podniků totiž závisí většinou na úspěchu či neúspěchu jediného podnikatelského projektu; systém podnikového řízení a podnikové klima - tyto faktory mohou buď podporovat přípravu a realizaci dosti rizikových podnikatelských projektů, nebo pro ně mohou vytvářet překážky; důležitý může být například systém motivace a zainteresovanosti.

Možnosti finančního krytí následků rizik

Mezi možnosti finančního krytí rizik patří samopojištění a dále rozložení rizika na více subjektů, kam se řadí dohody o vzájemné pomoci mezi podniky, vytvoření společných finančních fondů, vytvoření družstev, založení kaptivní pojišťovny a v neposlední řadě komerční pojištění. Samopojištění Samopojištění představuje vytvoření takových předpokladů, aby byla každá předpokládaná ztráta krytá z vlastních zdrojů, přičemž může jít o vlastní prostředky, úvěr nebo kombinaci těchto dvou forem. » Vlastní zdroje - představují vytvoření vlastních materiálních nebo peněžních rezerv pro případ náhrady neočekávané ztráty. Základní podmínkou pro všechny peněžní prostředky použité pro krytí rizika je jejich okamžitá disponibilita a přiměřenost předpokládané ztráty. » Úvěr - je realizován až po vzniku ztráty. Nevyžaduje vytvářet rezervu z vlastních peněžních zdrojů a tyto je možné použít na jiné účely. Tento přístup však nevede k systematickému řízení rizika. Nedostatkem tohoto způsobu krytí rizika je, že se podnik začíná o krytí rizika 14

Pojišťovnictví zajímat až tehdy, kdy vznikne samotná ztráta, čímž se výrazně podceňuje preventivní činnost. Neexistuje jistota, že bude úvěr poskytnut právě v období, kdy je nevyhnutelné mít k dispozici prostředky, případně, zda bude poskytnut v požadované výšce. Finanční krytí rizika prostřednictvím úvěru je drahé a představuje úhradu nejen samotné ztráty, která vznikla, ale i úroku, který představuje cenu poskytnutého úvěru. Výhody samopojištění jsou následující       

existuje přímá zainteresovanost na snižování a na kontrole rizika ztráty, rozhodnutí o samopojištění se bude zřejmě omezovat na velké organizace, které mají mezi svými zaměstnanci kvalifikovaný personál schopný fond spravovat, zisky z fondu plynou podnikateli nebo občanu, který je jeho vlastníkem, pravidelně odkládané prostředky mohou být nižší než pojistné, protože nevznikají náklady na provize makléřů, správu pojištění a zisk pojišťovny, úrok z investic fondu patří jeho majiteli a může být použit na zvýšení fondu nebo na snížení jeho tvorby dalšími příspěvky, náklady na tvorbu vlastních prostředků na krytí případných rizik se nezvyšují kvůli nepříznivé škodovosti jiných podniků, nedochází ke sporům s pojistitelem ohledně škod.

Mezi nevýhody samopojištění je možné zařadit           

i když je událost z hlediska pravděpodobnosti velmi vzdálená, může škoda vzniknout kdykoliv, a to i ve formě katastrofální škody, která může způsobit, že se firma natolik finančně vyčerpá, že výsledkem bude likvidace její činnosti, i když by firma byla schopna zaplatit každou jednotlivou ztrátu, souhrnný efekt několika škod za rok by mohl mít stejný dopad jako jedna katastrofální škoda, zejména v prvních letech vytvořeni fondu, kapitál musí být krátkodobě vázaný, aby byla zabezpečena jeho okamžitá disponibilita, může vzniknout potřeba zvýšit počet zaměstnanců zabývajících se existujícími riziky za cenu dodatečných nákladů, účastníci samopojištění ztrácejí možnost získat technické poradenství od pojistitelů na zábranu rizika, statistiky o škodovosti firmy vychází z příliš úzkého základu na to, aby se mohly dělat spolehlivé předpovědi, pokud jde o budoucí škodové náklady a nevytváří se dostatečná míra plošného a časového vyrovnání rizika, může dojít ke kritice ze strany akcionářů, že se váží velké částky kapitálu, a to za cenu dividend apod., v dobách krize může vzniknout velký tlak na půjčení si prostředků z fondu a tím ke zmaření bezpečnosti, kterou tento vytvořil, může se vytvářet tlak na správce fondu, aby zaplatili ztráty, které jsou mimo původní účel krytí případných ztrát, a výsledkem toho je snížení fondu pro jeho zamýšlené účely, nemůže se uplatnit tzv. „rozptyl rizika“, příspěvky vložené do fondu se z daňového hlediska ve většině zemí nekvalifikují jako daňový náklad, na rozdíl od platby pojistného.

Dohoda o vzájemné pomoci mezi podniky Jedná se o nejstarší způsob řešení finančního krytí rizika. V podstatě jde o dohodu mezi partnery, dodavateli, přáteli apod., ve které se účastníci zavazují, že se budou spolupodílet 15

Pojišťovnictví na škodách, které kterýkoli z nich utrpí, anebo že si vzájemně pomohou při jejich odstraňování. V jednoduché podobě to může být pomoc manuální prací při odstraňování způsobených škod, pomoc s dodávkou potřebného materiálu, převzetí zboží, poskytnutí služeb nebo výroby ve jménu poškozeného od dodavatelů apod. Tato dohoda vyžaduje vysokou míru sounáležitosti a důvěry partnerů, kteří dohodu dojednali. Do určitého momentu (například při malých a středních rizicích) je nejefektivnějším způsobem finančního krytí rizika. Neřeší však problém ztrát většího rozsahu, na které nestačí sousedská výpomoc. Vzhledem k velké konkurenci je tento způsob krytí rizika možné realizovat snad pouze mezi živnostníky a drobnými podnikateli, a to v České republice i ve světě. Vytvoření společných finančních zdrojů (fondů) nebo družstev Pro případ možnosti větších ztrát se více podnikatelů sdružuje a ukládají společné prostředky do speciálních fondů. Podle dohodnutých pravidel se tyto prostředky přerozděluji těm členům sdružení, které postihne nějaká ztráta. Fond může být určen pro jakékoli ztráty, ale ve většině případů je určen pro přesně definované ztráty. Toto řešení je výhodné pro malá a střední rizika. Použití těchto prostředků je obyčejně vázáno dohodnutou maximální výškou pomoci, protože takto sdružené prostředky nejsou dostatečně velké na řešení mimořádně velkých ztrát. Závažným problémem, který nemůže být zanedbatelný, je to, že pro případ neočekávaných událostí je možné použít jen tolik prostředků, kolik společníci do společného fondu vloží. Obvykle se nepočítá s opakováním událostí a ty potom nejsou finančně kryté. Při vytvoření družstev se sdružují určité skupiny podnikatelů, kteří jsou ohrožováni stejným nebo podobným rizikem. Prostředky na krytí případných škodních událostí se získávají ze dvou různých zdrojů, a to: 



z členských příspěvků, které jsou závislé na míře rizika každého člena, nebo častěji na objemu porovnatelných výkonových ukazatelů jako jsou například tržby, objem výroby, počet pracovníků, z podnikatelské činnosti tohoto spolku nebo družstva, která je orientovaná na rozvoj zdrojů pro potřeby krytí očekávaných ztrát a na náklady, které jsou nevyhnutelné na správu a činnost sdružení nebo družstva.

Družstva jsou obvykle otevřené společnosti, které přijímají za členy každého, kdo splňuje podmínky stanov a má zájem být zúčastněný na takovém společném sdružení. Získané prostředky se rozdělují na základě předem schválených stanov a společníci se stejně podílejí na zisku a případně i na ztrátě. Vytvoření kaptivních pojišťoven Velké společnosti s přiměřeně rozloženým rizikem mohou vytvářet kaptivní pojišťovny jako dceřiné společnosti, jejichž účelem je realizovat pojištění a pojišťování pro mateřskou společnost, případně později se kaptivní pojišťovna v oblasti pojišťovací činnosti otvírá i další klientele. Výhodou je to, že mateřská společnost vloží prostředky, které by jinak vložila do 16

Pojišťovnictví pojištění (ve formě pojistného) v jiné pojišťovně, do vytvoření kaptivní pojišťovací společnosti. Přebytek prostředků je pak investován a současně poskytuje mateřské společnosti pojistnou ochranu. Otevření kaptivní společnosti pro další klienty zvyšuje možnost dosažení zisku a tím efektivnosti uložení těchto prostředků. Ve skutečnosti je motivací vytváření kaptivních společností ze strany mnoha velkých průmyslových koncernů skutečnost, že pojistný trh nebyl nebo není všeobecně ochotný přebírat zvláštní rizika nebo poskytovat jejich plné krytí. Soukromé pojištění Historické zkušenosti a praxe ukazují, že pro finanční uspořádání ztrát je přijatelnější formou rozložení rizika mezi více subjektů. Sem patří i pojištění jako organizovaná, efektivní forma vytváření a využívání finančních rezerv, jež se tvoří z pojistného. Pojištěný nemusí mít vlastní peněžní zdroje na krytí ztrát vzniklých neočekávanou událostí v momentě realizace rizika. Pojištění se v zásadě vztahuje na události, jejichž vznik závisí na náhodě, je neurčitý, ale pravděpodobný. Tento fakt platí u jednotlivce a jednotlivého rizika, ale vstupem do pojištění se mění na statistickou zákonitost. Problematikou soukromého pojištění se zabývá celá tato studijní opora, tedy všechny následující kapitoly.

17

Pojišťovnictví

4 Pojistný vztah Pojištění se uskutečňuje prostřednictvím pojistné smlouvy nebo na základě právního předpisu tak vznikne pojistný vztah. Pojistný vztah vzniká mezi pojistiteli a pojistníky, resp. pojištěnými. Pojistitelem může být právnická osoba, která vykonává pojišťovací činnost například komerční pojišťovna. Pojistitel musí hospodařit tak, aby byl schopen neustále a trvale plnit své závazky. Ten, kdo uzavírá pojistnou smlouvu s pojistitelem, je pojistník a jeho povinností je platit pojistné. Ten, na jehož rizika se pojištění sjednává, je pojištěný a má právo obdržet od pojišťovny pojistné plnění v případě vzniku pojistné události. Ve většině případů je pojistník a pojištěný jedna a táž osoba, ale tato zásada neplatí vždy. Oprávněnou osobou na převzetí pojistného plnění může být i osoba v době pojištění neznámá. Například v pojištěních odpovědnosti za škodu, ve kterých pojistitel poskytne (za pojištěného) pojistné plnění tomu, kdo byl pojištěným poškozen (tj. poškozenému). V pojištění osob mohou například vystupovat -

osoba, která sjednává pojistnou smlouvu - pojistník, osoba, na jejíž zdraví nebo život je pojistná smlouva sjednaná - pojištěný, osoba, ve prospěch které se pojistná smlouva sjednává - oprávněná osoba nebo osoba výhodou poctěná nebo obmyšlený. Osoba, v jejíž prospěch se pojištění sjednává, má nárok na pojistné plnění, i když není pojištěno její riziko.

Výsledky jakékoliv hospodářské a jiné činnosti odedávna ohrožují a často mění rizika či nebezpečí, jejichž původ dělíme do třech skupin: 1. síly nezávislé na lidské vůli, 2. činnost jiných lidí, 3. činnost a nedbalost samotných subjektů pojištění. Znalosti člověka asi nikdy nepřevýší jeho neznalosti o živé a neživé přírodě. Proto bude sotva kdy možné odstranit všechna rizika spojená s lidskou existencí, společenskou, vědeckou a hospodářskou činností. Pojistný vztah je určitá forma společenského spojení osob nebo hospodářských subjektů a pojistitelů, která má ekonomický charakter. Obsahem je pojistná ochrana klienta. Pojistný vztah vede k právnímu zabezpečení pojistného plnění. Jde o vztah, který je věcný, dá se přesně definovat a v rámci něhož existují obchodní partnerské vztahy. Tento pojistný vztah vzniká na obou stranách s cílem zabezpečit a ochránit hospodářství, zdraví a zájmy podnikatelů, jednotlivců, firem, organizací a podniků. Jde o vztah, který vzniká mezi pojištěným a pojistitelem na základě dobrovolné nebo zákonem nařízené okolnosti pro případ realizace rizika, jehož nebezpečí se jeví pojistiteli jako únosné. Vztahy mezi klienty, komerčními pojišťovnami, tvorbou pojistných rezerv, výplatou pojistných plnění, resp. pojistných plnění a finančním podnikáním je vidět na následujícím obrázku.

18

Pojišťovnictví Obrázek 3.4.1 Schéma pojistných vztahů

Komerční pojišťovna

Pojistka

Pojistné rezervy

Finanční trh

Pojistné

Klienti (obyvatelstvo, podnikatelé)

Pojistná plnění

Podíl na výnosech

Do pojistných rezerv přispívají všichni pojištěnci, avšak pouze ten, u kterého vznikla pojistná událost, dostane vyplacenou pojistnou náhradu (podle pojistné smlouvy). Získané peněžní prostředky z pojistného vkládá pojišťovna do pojistných rezerv, které slouží k poskytování pojistných náhrad v budoucím období. Z pojistných rezerv vyplácí pojistná plnění a též hradí vlastní náklady a vytváří zisk. Platí přitom zásada, že pojištěný nemůže dostat více, než jaká je jeho újma (ztráta či škoda), kterou utrpěl pojistnou událostí. Pojistné rezervy se tvoří z pojistného, jsou nezbytným předpokladem k realizaci pojistného vztahu a výplatě pojistných plnění při vzniku pojistné události. Tvoří také základ pro tvorbu peněžně-pojišťovacích vztahů mezi pojišťovnou a jejími klienty. Pojistné vztahy jsou podstatou pojištění jako ekonomické kategorie a uplatňují se při tvorbě, rozdělení a použití pojistných rezerv. Pojistné rezervy, tvořené z pojistného od fyzických a právnických osob, jsou akumulovány v komerční pojišťovně, která je spravuje a rozděluje. Pojistná metoda tvorby rezerv je založená na rozvržení nebezpečí vzniku škody mezi všechny pojištěné členy rizikového společenství. Pojišťovací způsob rozdělování pojistných rezerv vytváří pojistné vztahy, které jsou charakteristické určitými typickými principy pojištění: Solidárnost - znamená, že pojistníci společně přispívají pojistnými příspěvky, tj. pojistným do pojistných rezerv. Respektují zároveň to, že pojistné náhrady či pojistná plnění jsou poskytovány jenom těm členům společenství, kteří měli pojistnou událost. Podmíněná návratnost vložených prostředků - znamená, že pojistné plnění se poskytne pojištěnému pouze v případě, pokud nastane pojistná událost, která byla předem dohodnutá v pojistné smlouvě a v pojistných podmínkách. Neekvivalentnost - znamená, že pojistné náhrady nejsou závislé na výši zaplaceného pojistného. Pojistné náhrady či pojistná plnění tedy mohou být větší nebo menší než je pojistné, které bylo doposud zaplaceno. Jednotlivec, občan i podnikatel musí s určitou pravděpodobností počítat s přímo katastrofickým vývojem událostí, a tedy i s vytvořením tomuto očekávání přiměřené rezervy. Pojištění naopak počítá s určitou vyrovnaností rizika v prostoru i čase. Takový postup 19

Pojišťovnictví umožňuje z výpočtů vyloučit extrémní případy a zprůměrovat celkový vývoj možných škodových případů a rozsah možných škod. Na tom pak lze postavit i výši pojistného. Povinnosti z pojištění obecně začínají plynout nultou hodinu následujícího dne po dni uzavření pojistné smlouvy. Je však možné dohodnout i jiný termín, nebo je dohodnut způsob, jakým bude termín určen Podmínky vzniku a zániku pojištění jsou uvedeny v právním předpise (zákoně), ve všeobecných pojistných podmínkách nebo v pojistné smlouvě uzavřené s komerční pojišťovnou.

4.1

Zájem o pojištění

Zájem o pojištění představuje reálné právo pojistit se a znamená to, že osoba dojednávající pojištění má určitý, právně uznávaný vztah k předmětu pojištění. Proto se hovoří o: 



vztahu vlastníka - vlastní-li osoba dům nebo auto, má na nich pojistný zájem, protože budou-li jakýmkoli způsobem poškozeny (nebo ztraceny), utrpí ztrátu ve výši této škody; půjčce předmětu - osoba má pojistný zájem na předmětu, který si vypůjčila, protože jej bude muset nahradit, bude-li zničen nebo ukraden; příkladem může být auto či sekačka na trávu; půjčí-li takový předmět někomu, zůstane její, takže pojistný zájem na něm mají obě strany.

Jednotlivec má neomezený pojistný zájem na svém vlastním životě a může jej pojistit na jakoukoli částku, pokud si může dovolit platit pojistné. Má pojistný zájem na životě své manželky (manžela) a obráceně. Nemá pojistný zájem na životě svých dětí nebo kterýchkoli dalších příbuzných, kromě skromného krytí, které by uhradilo výdaje spojené s pohřbem. Pojistit lze také život osoby, která dluží jiné osobě peníze, třebaže obvyklá praxe je taková, že se na této osobě požaduje, aby uzavřela pojištění svého života na dlužnou částku a postoupila právo na výnosy z pojistky (tzn., postoupila právo na pojistné plnění), dokud nebude půjčka splacena. Postup práv znamená podpis dokumentu, kterým převádí práva na výplatu peněz z pojistky na osobu, které pojištěná osoba dluží peníze. Pojištění cizího pojistného rizika Podle nového občanského zákoníku (dále jen NOZ) ten, kdo s pojistitelem uzavírá pojistnou smlouvu (pojistník), nemusí být ve všech případech současně pojištěným, tj. osobou, na jejíž život, zdraví, věc, právo, odpovědnost za škodu nebo jinou hodnotu pojistného zájmu se pojištění vztahuje. Pojistník je pak povinen seznámit pojištěného s obsahem pojistné smlouvy týkající se pojištění jeho pojistného rizika. Právo na pojistné plnění může pojistník uplatnit pouze tehdy, jestliže prokáže, že seznámil pojištěného s obsahem pojistné smlouvy týkající se pojištění jeho pojistného rizika a jestliže prokáže, že mu byl k přijetí pojistného plnění dán souhlas pojištěného, popřípadě zákonného zástupce takové osoby, není-li zákonným zástupcem pojistník sám. Pojistný zájem je výrazně ovlivněn nejen objektivní existencí konkrétního rizika, ale také pojistným, jež představuje cenu pojišťovací služby. Komerční pojišťovna musí vždy počítat s tím, že riziko, které do pojištění převzala, bude mít jiný škodní průběh, než je odhad ceny rizika. Nebezpečí nesprávného ohodnocení rizika spočívá v možnosti nesprávného odhadu doby, rozsahu a nezávislosti vzniku pojistné události. V případě komerční pojišťovny je míra 20

Pojišťovnictví nebezpečí závislá i na tom, zda se jí podaří v jednotlivých pojistných druzích nebo odvětvích dosáhnout rizikové vyrovnání (získat dostatečný počet pojištění). Každý z partnerů pojišťování má jinou představu o pojištění a jeho výsledcích. Pojištěný má snahu z pojištění získat nejméně tolik, kolik do něho vložil na pojistném a pojišťovna chce při splnění svých závazků vyplývajících ze spravovaných pojištění dosáhnout zisk. Pojistný zájem je kromě přímé existence rizika ovlivňovaný závažností rizika, četnosti událostí, výškou ztráty a cenou pojištění. Svou úlohu zde sehrávají i zvyklosti a zkušenosti klientů, přičemž v určité etapě ekonomickosociálního vývoje je rozhodujícím kritériem často právě cena pojištění. Čím je četnost událostí a závažnost rizika vyšší, tím je i pojistný zájem vyšší a naopak. Tuto skutečnost je možné promítnout v už známém pětistupňovém systému hodnocení rizika dle jeho velikosti. Na následujícím obrázku je znázorněn vztah četnosti a závažnosti rizika k jeho pojistitelnosti.

četnost

Obrázek 4.1.1 Vztah četnosti a závažnosti rizika k jeho pojistitelnosti

V

Z

Z

V

Z Z

Z+K

S

V Kombinace samopojištění V a pojištění

Z

Z+K

S

V

Z

2

3

4

5

S

4

M

3

M

S

2

M

1

Samopojištění S

Není nutné pojistit M 1

K Nerealizovat K

Pojištění

Z 5

závažnost

Pokud rizika spadají do katastrofálního pásma nebo velmi nepříznivého klasifikačního pásma spočívají opatření k omezení rizika ve stanovení postupů pro případ nepředvídaných událostí a na řízení krizových situací. Jedná se o poslední opatření, která dovolují subjektu zvládnout katastrofu a snížit její dopad v případě, že zavedená opatření selhala. Jde o rizika s vysokou četností a vysokou závažností, což vede k možnosti jejich plánování na straně jedné a na straně druhé vytváří nevyhnutelnost výrazněji se zaobírat otázkou prevence. Jde také o velmi vysoké riziko ve vykonávané činnosti a vzniká otázka, zda je vůbec možné takovou rizikovou činnost vykonávat. Komerční pojišťovny v tomto případě postupují velmi opatrně a pojištění sjednávají jen za vysoké pojistné nebo pojištění nesjednávají vůbec. V neposlední řadě tato rizika vytvářejí ekonomickou nevyrovnanost pojištění a jsou pro komerční pojišťovnu ekonomicky neúnosná. Ve středním pásmu, které často přesahuje do okolních klasifikačních pásem, leží většina rizik, se kterými se může podnikatel potkat. Horní část středního pásma představuje rizika s vysokou četností jejich vzniku a jde tedy o rizika plánovatelná, na něž je možné vytvořit si vlastní zdroje. Tato rizika nesplňuji základní podmínku pojistitelnosti, kterou je nahodilost. 21

Pojišťovnictví Střední část středního pásma představuje rizika se střední hodnotou četnosti a závažnosti ztrát. To předurčuje využít kombinaci samopojištění a pojištění, přičemž postupně střední pásmo přechází ve spodní části do pojištění. Dolní pásmo mírných a malých rizik ukazuje nízkou úroveň vystavení riziku. V těchto případech bývají nejefektivnější školení, motivace a praktické kroky, protože opatření nemají investiční charakter a vyžadují jen čas a angažování pracovníků. Pojištění je zde vlastně nepotřebné. Malá četnost a malá závažnost vytváří předpoklady pro to, aby podnikatel snášel případné ztráty sám bez toho, aby to ohrozilo jeho hospodářskou situaci. Jiný pohled ukazuje následující obrázek. Obrázek 4.1.1 Vztah pojistného zájmu k četnosti a závažnosti rizika Tmavě vyznačená oblast A

M - minimální riziko S - malé riziko V - střední riziko Z - velké riziko K - katastrofální riziko

četnost

Světle vyznačená oblast B

5

S

V

Z

Z

K

4

M

S

V

Z

K

3

M

S

V

Z

Z+K

2

M

S

V

Z

Z+K

1

M

S

V

Z

Z

1

2

3

4

5

závažnost

Plocha „A" představuje malý pojistný zájem, který vyplývá z toho, že se jedná o: -

možnost vzniku malých ztrát s malou až střední četností událostí; vznik ztrát se střední a velkou závažností, ale malou četností.

Tyto události jsou pro podnikatelské subjekty velmi vzdálené a tím se zdají být jako málo pravděpodobné, přičemž každá událost může vzniknout v každém okamžiku. Tento přístup, který představuje podcenění rizika, je velmi nebezpečný zejména v oblasti, kde se přibližuje velké a katastrofické závažnosti rizika. Plocha „B" představuje pojistný zájem, který je orientovaný na řešení událostí s poměrně vysokou četností vzniku škodních událostí. Jestliže se má realizovat pojištění, potom se musí projevit snaha obou partnerů pojistného vztahu, aby se při dodržení ekonomických pravidel pojištění přiblížili v pojistném zájmu. Cena pojištění musí rozhodně odpovídat finančním možnostem klienta, jinak je pojištění z dlouhodobého hlediska nestabilní. Z pohledu komerční pojišťovny jsou do pojištění nepřijatelná zejména rizika  

s vysokou škodovostí, kdy je pojištění ekonomicky nevyrovnané a jeho vyrovnanost by způsobila zvýšení ceny pojištění nad možnosti pojistníka; s vysokou četností událostí, kdy události postupně ztrácejí charakter náhodnosti a tím nesplňují základní podmínku pro pojištění; současně musí komerční pojišťovna vynaložit vysoké náklady na likvidaci drobných škod, čímž není pojistné ekonomicky vyrovnané.

22

Pojišťovnictví

5 Klasifikace pojištění Pojišťovny nabízejí a realizují množství pojištění, které je třeba třídit, rozdělovat a klasifikovat podle různých kritérií. Klasifikace a třídění umožňují lepší orientaci v pojistných produktech, pojistných odvětvích a jednotlivých pojištěních. Názory ekonomů v teorii i hospodářské praxi na klasifikaci a třídění pojištění nejsou jednotné. Existují různé klasifikace pojištění, z nichž si ty nejpoužívanější uvedeme v následujícím textu.

5.1

Klasifikace pojištění podle formy vzniku pojištění

Pojištění může vznikat v několika formách jako •

smluvní pojištění - dobrovolné - povinné zákonné pojištění

•

Smluvní dobrovolné pojištění Pojistný vztah vzniká dobrovolně, na základě vlastního projevu vůle určitého subjektu zabezpečit se pojištěním. Pojistný vztah mezi pojištěným a pojišťovnou vzniká uzavřením pojistné smlouvy. Pro pojistníka vzniká:   

povinnost platit pojistné v dohodnutých splátkách; povinnost oznámit pojišťovně všechny důležité skutečnosti, které mají vliv na průběh pojištění a jeho správu; právo na pojistné plnění, pro oprávněnou osobu, jestliže pojistnou událost, ve stanoveném termínu ohlásí pojišťovně.

Pro komerční pojišťovnu (pojistitele) vzniká:  

právo na pojistné, povinnost pojištění spravovat a poskytnout pojistné plnění (resp. pojistnou náhradu) v případě vzniku pojistné události.

Toto pojištění je nejstarším a nejobvyklejším způsobem vzniku pojistného právního vztahu mezi pojistitelem a pojištěným, resp. pojistníkem. Zde je v plném rozsahu respektována smluvní volnost jeho účastníků i jejich rovné postavení. V případě pojistného zájmu má pojistník možnost vybrat si pojistitele, který je požadované pojištění oprávněn provozovat a jehož pojistné podmínky mu nejlépe vyhovují. S dobrovolností tohoto pojištění souvisí i možnost získání určitých modifikací ve vztahu ke škodnímu průběhu sjednaného pojištění (tj. malus či bonus) a zároveň i možnost stanoveným způsobem v případě potřeby tento vztah ukončit pokud nezanikne přímo ze zákona. Zákonodárce však má někdy zájem, aby některá rizika byla pojištěna bez ohledu na to, zda to subjekty pojištění chtějí nebo nechtějí. Jde o případy rizika s možností vzniku i vyšších škod, kde se obyčejně pojištěním chrání ten, který na vznik rizika, resp. jeho následků, nemá žádný vliv. Takto se ustanovují smluvní povinná pojištění a zákonná pojištění.

23

Pojišťovnictví Smluvní povinné pojištění Vznik smluvního povinného pojištění je daný právním předpisem, který určuje činnosti, kde je povinnost hospodářských subjektů nebo občanů sjednat s pojišťovnou pojistnou smlouvu. Není-li pojistná smlouva na pojistné riziko uzavřená, nepovolí příslušný státní orgán výkon této činnosti. Pojištění je zaměřené na odpovědnost za škodu, která může touto činností vzniknout. Jedná se například o výkon lovecké či myslivecké činnosti, provoz vozidel, provoz civilní letecké dopravy a podobně. Rozvojem tržního hospodářství se tato forma vzniku pojištění rozšiřuje i na další skupiny činností, jako je činnost lékařů, auditorů, daňových poradců, licenčních zástupců, zvěrolékařů, pojišťovacích zprostředkovatelů a podobně. Smluvní povinné pojištění má obdobnou úlohu jako zákonné pojištění. Tato úloha spočívá především v ochraně proti následkům a škodám z činností, které mohou být zdrojem zvýšeného rizika. Zabezpečují se tak poškození, a to možností úhrady škod tímto rizikem způsobených, a to i v případě, kdy škůdce, tj. odpovědná osoba by sama neměla dostatek peněžních prostředků k úhradě. V poslední době došlo ke zvýšení počtu těchto smluvních povinných pojištění, zejména v oblasti soukromého podnikání. Jde hlavně o vybrané profese, kde povinnost sjednat příslušnou pojistnou smlouvu ukládají právní předpisy upravující i podmínky těchto profesí. Na rozdíl od zákonného pojištění je tato forma pružnější, dává možnost určitého výběru pojistitelů a rizik a umožňuje i využití některých stimulů, jako je například bonus a malus, neboť je založeno na konkrétní pojistné smlouvě. Zákonné pojištění Při zákonném pojištění vzniká pojistný vztah na základě právního předpisu a pojistná smlouva se neuzavírá. Právní předpis určuje všechny náležitosti pojistného vztahu včetně pojišťovny, která pojištění vykonává, výši pojistného, pojistné podmínky a podobně, pojištění je dále v platnosti bez ohledu na to, jestli bylo nebo nebylo zaplacené pojistné na příslušné období. Nezaplacením pojistného se porušuje zákon se všemi důsledky, které z toho vznikají a jsou uvedeny v právním předpise. V moderním hospodářství se od této formy pojištění ustupuje, protože jde o příkazovou formu, která omezuje rozhodování pojištěného i pojistitele. Z tohoto důvodu se zákonná pojištění přetransformovávají na smluvní povinná pojištění. Zákonné pojištění vzniká automaticky přímo ze zákona, dojde-li ke skutečnosti, s níž zákon vznik tohoto pojištění spojuje a trvá po celou dobu existence této skutečnosti bez Pojistné smlouvy a bez ohledu na vůli jeho účastníků. Tato forma byla zavedena v těch případech, kde zájem na existenci pojištění vyžaduje, aby působilo bez ohledu na vůli subjektů, s jejichž činností je spojeno zvýšené riziko vzniku škod, a není jisté, zda by vždy byla zaručena náhrada škody z jejich peněžních prostředků.

5.2

Klasifikace pojištění podle způsobu tvorby rezerv

Podle způsobu tvorby rezerv se rozlišují: 

Riziková či neživotní pojištění » pojištění, ve kterém pojistitel neví jednoznačně, jestli pojistná událost vznikne nebo ne, jestli bude poskytovat pojistné plnění a v jaké výši. Jedná se o všechna pojištění majetku, odpovědnosti za škodu, úrazu, léčebných výloh aj. 24

Pojišťovnictví Pojistná rezerva se stanoví podle rozsahu pojištěného rizika a pravděpodobnosti vzniku pojistných událostí a také podle rozsahu způsobených škod. Rezervotvorná či životní pojištění » pojištění, ve kterém se vytváří vždy pojistná rezerva na pojistné události. Jde o pojistné události, které jednoznačně v budoucnosti vzniknou. Je to hlavně pojištění osob (životní a důchodové), kde se vyplatí pojistné plnění při dožití se konce pojistného období nebo při úmrtí po dobu platnosti pojištění.



Tato klasifikace se používá v České republice, a to podle zákona o pojišťovnictví č. 277/2009

5.3

Klasifikace pojištění podle předmětu pojištění

Podle této klasifikace se rozlišuje:   

pojištění majetku » pojištění majetku pro případ realizace rizik poškození, zničení, ztráty a odcizení nebo jiných škod, které na něm vzniknou, pojištění osob » pojištění fyzické osoby pro případ jejího tělesného poškození, smrti, dožití určitého věku nebo pro případ jiné pojistné události související se životem osob, pojištění odpovědnosti za škodu » pojištění odpovědnosti za škodu vzniklou na životě a zdraví nebo na věci, případně odpovědnosti za jinou majetkovou škodu.

Tato klasifikace se také používá v České republice, a to podle občanského zákoníku.

25

Pojišťovnictví

6 Zajištění Zajištění představuje opakované nebo druhé pojištění, což znamená, že se jedná o pojištění pojišťovny. Zajištění má poměrně dlouhou tradici, ale jeho skutečný význam je spojený s industrializací. V posledních desetiletích v důsledku silné industrializace vznikl obrovský potenciál větších rizik, i mezinárodního významu, u velkých komplexů a zdrojů nebezpečí, která často přesahují možnosti jediného pojistitele a v některých případech možnosti celého pojistného trhu příslušného regionu. Je možné vzpomenout například koncentraci velkých materiálních hodnot na malých plochách, kde se pojistné částky pohybují v rozsahu několika miliard eur, na které se pojišťují světoznámé automobilky, velkokapacitní tankery a letadla. Napojení mezinárodního zajišťovacího trhu při rozšiřování kapacity pojišťoven sehrává důležitou úlohu z hlediska kvantitativního a zároveň umožňuje lehčí a rychlejší zavedení nových pojistných produktů. V současných, neustále se měnících, mezinárodních pojistných podmínkách je čím dál obtížnější nabízet a prodávat pojišťovací služby v jejich tradičních formách. Na tuto situaci mají vliv i různé faktory, jako například prodej na dlouhodobý úvěr, restriktivní právní předpisy v různých zemích, mezinárodní konkurence a vliv prudkého technického rozvoje ve světě. Pojišťovny jsou v plné míře vystavené těmto nepříznivým faktorům, a jestliže chtějí i nadále poskytovat pojišťovací služby odpovídající potřebám podnikatelů, organizací zahraničního obchodu, jednotlivcům, musí najít adekvátní formy pojistného krytí. Problematika zajištění je tedy velice významná v souvislosti s rozvíjejícím se pojistným trhem v každé tržní ekonomice. V České republice je právně zakotvena úprava týkající se zajištění a zajišťoven v zákoně o pojišťovnictví. Základ zajišťovací činnosti Smyslem je vertikální rozklad rizika, jehož hlavním zájmem je zmenšování dopadu pojistně-technických rizik. Samotná zajišťovací činnost nemá za následek zmenšení rozsahu škod, ale činí již vzniklé škody pro pojišťovnu ekonomicky únosnější. Zajištění tedy představuje vztah mezi pojistitelem a zajistitelem. Při zajišťovací činnosti se používá tzv. několikanásobné zajištění v zájmu diverzifikace rizika.

6.1

Zajištění a jeho úkoly

S činností každé pojišťovací společnosti souvisí riziko nepříznivého výsledku finančního hospodaření, je to tzv. pojistně-technické riziko. V praxi se projevuje jako potenciální možnost vzniku negativní odchylky od očekávaných výsledků, tzv. technické ztráty. Jednou z možností snižování působení pojistně-technického rizika je tedy zajištění. Charakteristika zajištění    

souhrn pojistných vztahů, při kterých se riziko rozděluje vertikálně; samostatná oblast pojišťovnictví, která je charakterizována přerozdělováním technických rezerv, především v zájmu snižování pojistně technického rizika; někdy se označuje jako pojištění v tom smyslu, že se jedná o další pojištění rizika převzatého pojistitelem, u zajistitele; při zajištění odpovídá za závazky uvedené v pojistné smlouvě výhradně první pojistitel; 26

Pojišťovnictví 

vztah výhradně mezi pojistitelem (zajistníkem) a zajistitelem (viz následující obrázek); zajistitel může přitom část převzatého rizika postoupit dalšímu zajistiteli.

Obrázek 6.1.1 Vztahy subjektů pojištění a zajištění

zajišťovací smlouva

• Pojištěný

• Prvopojistitel

• Zajistitel

pojistná smlouva

Zajistné je odměna zajistiteli za převzetí rizika. Zajišťovací provize je pak část zajistného, která se vrací pojistiteli. Představuje příspěvek zajistitele na úhradu správních nákladů pojistitele. Zajišťovací provize se pohybuje zpravidla v rozpětí od 5 – 35 %. Procento zajišťovací provize je většinou pevné, vyskytuje se však i pohyblivá sazba, a to v závislosti na škodním průběhu. Zajištění se projevuje jak po stránce technické, která spočívá v rozdělování rizik, tak i po stránce peněžní. Technická stránka zajištění 

 

chrání pojišťovny před nadměrným růstem škodovosti, ať už v důsledku sporadických velkých škod, nebo nahromaděním velkého počtu běžných škod; oba jevy způsobují značnou odchylku od průměrné škodovosti; umožňuje pojistiteli přijímat do pojištění i rizika, která převyšují jeho kapacitu; přispívá pojistiteli k vyššímu zisku ve formě zajišťovací provize, obdržené od zajistitele.

Peněžní stránka zajištění  

vede k opětovnému přesunu prostředků od zajistitele k pojistiteli v případě pojistné události, a to v míře odpovídající vzniklým škodám; má navazovat na záruky, které poskytuje zajistitel a na jejich důsledky; jde o snášení větší nebo menší části náhrad, které se dostávají k dispozici cedentům, tj. pojistitelům od zajistitelů.

Zajištění plní několik významných úloh, z kterých jsou nejdůležitější: 27

Pojišťovnictví -

-

-

-

-

rozdrobení rizika - zajištěním se pojistitel zbavuje části rizika, jehož pojistná částka je vyšší než chce pojistit, nebo udržet na vlastní vrub; zajištění takto rozdrobí pojištěná rizika a rozloží náhradu škody tak, že pojistitel ani zajistitel nebudou mít problémy s výplatou pojistného plnění, každý z nich tak zaplatí ve výši svého podílu uvedeného ve smlouvě o zajištění; homogenita pojistného kmene - je dána možnost pojistný kmen homogenizovat co do vlastností rizika, po stránce kvalitativní i kvantitativní; stabilizační úloha - zajištění zmírňuje účinek kolísání škodního průběhu, a tím slouží jako stabilizační činitel; na krytí výkyvů ve škodním průběhu slouží jednak pojistné rezervy a také zajištění; zvyšování kapacity komerční pojišťovny - pojišťovna prostřednictvím zajišťovacích smluv má možnost přijmout do pojištění vyšší částky a další rizika; částky, které by převýšily limit pro její vlastní vrub, odevzdá do zajištění; kontakty se zahraničními pojistnými trhy - zajištění má totiž mezinárodní charakter; umožňuje sledovat vývoj pojistného a tarifní politiky zahraničních pojistitelů a konfrontovat ji s domácí praxí a zkušenostmi; psychologická úloha - zajištění má velký psychologický význam tím, že jiné komerční pojišťovny, smluvně zainteresované prostřednictvím zajištění, mají stejné zájmy - například při nakládání, přepravě, překládání a vykládání pojištěného zboží, při jeho montáži a podobně.

I když je zajištění pojištěním pojistitele, existuje mezi zajištěním a normálním pojištěním řada odlišností, a to například: -

pojistitel odpovídá za velký počet majetkových předmětů patřících mnoha majitelům, pojistitel uzavírá pojistné smlouvy s velkým počtem pojistníků, s každým osobně, povinnost pojistitele uhradit pojištěnému pojistné plnění závisí na výši škody a dohodnuté částce pojistné smlouvy, zajistitel se svou odpovědností dotýká jen majetkových zájmů pojistitele, zajistitel uzavírá zajišťovací smlouvu jen s daným pojistitelem a tato smlouva může obsahovat ne jedno, ale všechna rizika určitých pojištění, případně pojistného kmene, povinností zajistitele je uhradit pojistiteli část realizovaných pojistných plnění, které závisí na výši jím přijatého podílu, mezi pojistníkem a zajistitelem nevzniká právní vztah a pojistník nemá vůči zajistiteli žádné nároky.

V tržním hospodářství představují pojišťovny a zajišťovny, společně s bankami, místa, kde se dá výhodně uložit kapitál. Zajištění je neodmyslitelnou činností pojišťoven a pojišťovnictví, tato činnost je realizovaná na základě odevzdání určitého podílu rizika pojišťovnou zajišťovně. Zajišťovna proto není konkurencí pojišťovny.

6.2

Formy zajištění

Zajištění dělíme prvotně na aktivní (též převzaté), kde jde o přijímání rizika do zajištění, a pasivní (též odevzdané), kde jde o odevzdávání rizika do zajištění. 28

Pojišťovnictví V závislosti na vztazích, do nichž vstupují pojistitel a zajistitel, se uplatňují různé typy zajištění. Liší se především ve vztahu mezi prvopojistitelem a zajistitelem. Zajištění mezi prvopojistitelem a zajistitelem se může uskutečňovat ve formě: fakultativně - fakultativní či nepovinná - znamená pro oba (obě strany partnerství) úplnou volnost: prvopojistitel se volně rozhoduje, které riziko a jakou jeho část odevzdá do zajištění a zajistitel se podle konkrétních podmínek rozhodne, zda riziko, resp. jeho část do zajištění přijme, každá zajistná smlouva se uzavírá jednotlivě; fakultativně - obligatorní - je závazná jen pro jednu stranu, a to pro zajistitele; prvopojistitel, tak jako při předcházející formě, se volně rozhoduje pro zajištění; zajistitel je povinen převzít do zajištění každé riziko, které mu prvopojistitel odevzdá (ceduje); tato forma je však pro zajistitele nevýhodná, a proto se v praxi nepoužívá; obligatorně - obligatorní či povinné - je zajištění smluvní, při němž se sjednává rámcová smlouva o zajišťování všech obchodů stejného rizika pro řadu stále se opakujících případů zajištění; tato forma zavazuje oba partnery; jeden je povinen odevzdat do zajištění dohodnutou část rizika a druhý je povinen tuto část rizika přijmout; obligatorně - fakultativní - pojistitel se zavazuje cedovat část z každého převzatého rizika a zajistitel může, ale nemusí takto nabízenou část rizika převzít.

6.3

Soupojištění

Zajištění není jediným prostředkem rozdrobení rizika. Dalším způsobem, z historického hlediska dokonce starším, je soupojištění: -

podstatou je horizontální členění rizika mezi více pojišťovacích institucí (pojistitelů), kteří odpovídají za své podíly z celkového rizika; někdy se uzavírá i více pojistných smluv; platí zásada pojišťovny Lloyd's: „každý za sebe, nikdo za druhého“.

Soupojištění představuje primární rozdělení rizika. Pojistník uzavírá pojistnou smlouvu přímo se všemi pojistiteli, kteří se převzatou částkou zúčastňují na riziku. Smluvní vztah, který vzniká při soupojištění, je znázorněn na dalším obrázku. Obrázek 6.3.1 Soupojištění - dělení rizika mezi více pojistitelů

Pojistník

Pojistitel 1 Pojistitel 2 Pojistitel 3 Pojistitel 4 Pojistitel 5 Při takovéto formě smluvního partnerství může nastat situace, a nic nemění na původním vztahu, že jeden z pojistitelů za zvláštní prémii či odměnu bude dělat zprostředkovatele mezi pojistníkem a ostatními pojistiteli, kteří se zúčastňují na rozložení daného pojistného rizika.

29

Pojišťovnictví

6.4

Zajišťovací smlouva

Zajišťovací smlouvu je možné definovat jako aleatorní (tj. odvážnou), protože obsahuje závazky budoucích plnění, které není možné přesně stanovit v době jejího uzavření. Musí mít vždy písemnou podobu. Zajišťovací smlouva představuje na mezinárodních zajišťovacích trzích zboží, které má do jisté míry specifické vlastnosti. Toto zboží je nabízené i, obrazně řečeno, nakupované. Na rozdíl od ostatního zboží je však zajišťovací smlouva trvale pod dohledem a kontrolou zúčastněných stran, které mohou i společně působit na její další vývoj dohodou o úpravách jejího smluvního obsahu. Zajištění se na rozdíl od pojištění vykonává jen na základě smlouvy, tj. dohody mezi pojistitelem a zajistitelem. Ustanovení zajišťovací smlouvy je možné rozčlenit na ustanovení hospodářskoadministrativní. Souhrn těchto ustanovení vymezuje dopředu stanovené parametry zajišťovací smlouvy jednak technického rázu a jednak hospodářského rázu. U zajišťovacích smluv klasických způsobů zajištění jsou tato ustanovení uspořádána ve stylizačně ustálené formě. Uzavřením zajišťovací smlouvy se hovoří o realizaci nákupu a prodeje zajistné ochrany za určitých, dopředu stanovených podmínek. Kvalitu zajišťovacích smluv je možné posuzovat ze dvou hledisek 



z hlediska cedenta - je považovaná za kvalitní taková zajišťovací smlouva, která vykazuje nízké náklady na zajištění, při technicky dokonalém působení zajistné ochrany poskytované zajišťovatelem; z hlediska zajistitele - je považovaná za kvalitní a atraktivní taková zajišťovací smlouva, která mu po jeho intervencích z titulu náhrad v případě velkých škod přináší v dalších dostatečně dlouhých obdobích zisk.

Pro posuzování zajišťovací smlouvy z obou uvedených hledisek jsou důležité hodnotové ukazatele vyjadřující působnost zajišťovací smlouvy v podobě tzv. technických výsledků ze zajištění. Tyto kvantitativní parametry zajišťovacích smluv poskytují možnost uskutečnění hlubších průzkumů zajišťovacích smluv. Předmětem zajišťovací smlouvy je převzetí rizika nebo jeho části, které je pojištěné pojistitelem. Tento je povinen vést statistiku o škodách za účelem správného odhadu rizika, pojistného fondu, frekvence škod a podobně. Kromě toho se pojistitel zúčastňuje zábranné činnosti a zajištění.

6.5

Pojišťovací pooly

Pro pojištění devastačních škod typu jaderné nebezpečí jsou vytvářeny pojišťovací pooly. Více pojistitelů, uzavírá vzájemnou dohodu o společném postupu při soukromém pojištění určitých pojistných rizik, a to jménem a na účet všech pojistitelů. Tato dohoda určuje vedoucího pojistitele nebo vytváří orgán k plnění společných povinností atd. Důvodem pro založení poolu může být například docílení dostatečné kapacity pro pojištění velkých rizik (atomové elektrárny) nebo pojištění rizik, která by byla jednotlivými pojistiteli v některých zemích nepojistitelná, např. pojištění nových rizik (terorismu).

30

Pojišťovnictví

7 Úvod do problematiky pojistného práva Pojistné právo představuje souhrn právních norem obsažených v obecně závazných předpisech, týkajících se pojištění a pojišťovnictví a člení se na veřejné a soukromé. V tomto základním rozdělení, obvyklém ve všech vyspělých státech, se podle rozsahu rozlišuje širší a užší pojetí. Širší pojetí pojistného práva -

-

-

představuje souhrn všech právních norem, které tuto sféru upravují komplexně, tedy uvedená specifika se zahrnutím obecně závazných právních předpisů platných i pro jiná odvětví práva; pojištění a pojišťovnictví je jedním z mála oborů, kterého se týkají všechna právní odvětví, přičemž svým rozsahem, složitostí a rozmanitostí je tato vazba s jiným obory téměř nesrovnatelná; z celkového rozsahu právních norem je účelné upozornit alespoň na obecná ustanovení občanského zákoníku, ustanovení o obchodních korporacích v zákoně o obchodních korporacích, devizové a daňové předpisy, předpisy o správním řízení, ale i trestní právo.

Užší pojetí pojistného práva -

představuje souhrn právních norem upravujících specifika pojištění a pojišťovnictví, tedy odlišnosti nad rámec obecné právní úpravy.

Zájmy státu vyjadřuje a zabezpečuje veřejnoprávní úprava, která se týká zejména pojišťovnictví, jako systému a pravidel provozování činností patřících do tohoto odvětví a podmínek podnikání v pojišťovnictví včetně státního dozoru v této oblasti. Základem této právní úpravy je v současnosti -

-

7.1

zákon č. 277/2009 Sb., o pojišťovnictví, ve znění pozdějších předpisů; zákon č. 89/2012 Sb., občanský zákoník. Součástí tohoto nového občanského zákoníku (dále jen NOZ) je úprava pojistné smlouvy v § 2758 až 2872. (Zákon č. 37/2004 Sb., o pojistné smlouvě se 1. ledna 2014, zrušuje.); zákon č. 38/2004 Sb., o pojišťovacích zprostředkovatelích a samostatných likvidátorech pojistných událostí a o změně živnostenského zákona (zákon o pojišťovacích zprostředkovatelích a pojistných likvidátorech).

Zákon o pojišťovnictví

V následujícím textu si stručně popíšeme základní ustanovení daného zákona. » Předmět úpravy zákona o pojišťovnictví Zákon upravuje:  

provozování pojišťovací a zajišťovací činnosti pojišťovnou nebo zajišťovnou se sídlem na území České republiky, provozování pojišťovací činnosti na území České republiky pojišťovnou se sídlem na území jiného členského státu Evropské unie a na území států Evropského hospodářského prostoru,

31

Pojišťovnictví  

provozování pojišťovací činnosti na území České republiky pojišťovnou se sídlem na území jiného státu, než je uveden v písmenech a) a b), a výkon státního dozoru v pojišťovnictví.

Zákon o pojišťovnictví se však nevztahuje na pojištění poskytovaná na veřejnoprávním základě. Ta jsou upravena zvláštními zákony. Jedná se o provádění nemocenského pojištění, důchodového pojištění a sociálního zabezpečení. Zákon o pojišťovnictví upravuje specifické podmínky podnikání v pojišťovnictví jen částečně, neboť podnikání jako celek je upraveno zejména zákonem o obchodních korporacích, živnostenským zákonem, daňovými zákony, zákonem o účetnictví atd. Pojišťovací a zajišťovací činnost nemusí provozovat vždy podnikatelský subjekt. Provozování pojišťovací činnosti v právní formě družstva se může dít i na neziskovém principu na principu vzájemnosti. V tomto případě taková činnost není podnikáním, jak je vymezuje zákon o obchodních korporacích. » Výklad základních pojmů Vymezení základních pojmů má zásadní význam pro správnou aplikaci zákona o pojišťovnictví. V minulosti vyvolávala absence jednoznačných pojmů v zákoně o pojišťovnictví řadu problémů. Vymezeny jsou především jednotlivé činnosti směřující k naplnění účelu zákona o pojišťovnictví: Pojišťovací činnost pojišťovny zahrnuje uzavírání pojistných smluv pojišťovnou, správu pojištění a poskytování plnění z pojistných smluv, poskytování asistenčních služeb a zpracování osobních údajů s těmito činnostmi souvisejících; součástí pojišťovací činnosti je nakládání s aktivy, jejichž zdrojem jsou technické rezervy pojišťovny (dále jen finanční umístění), uzavírání smluv pojišťovnou se zajišťovnami o zajištění závazků pojišťovny vyplývajících z jí uzavřených pojistných smluv (pasivní zajištění) a činnost směřující k předcházení vzniku škod a zmírňování jejich následků (zábranná činnost). Zajišťovací činnost - jedná se o uzavírání smluv, kterými se zajišťovna zavazuje poskytnout pojišťovně ve sjednaném rozsahu plnění, nastane-li nahodilá událost ve smlouvě blíže označená, a pojišťovna se zavazuje platit zajišťovně ve smlouvě určenou část pojistného z pojistných smluv uzavřených pojišťovnou, které jsou předmětem této smlouvy (dále jen zajišťovací smlouva), uzavírání zajišťovacích smluv mezi zajišťovnami, správa zajištění a poskytování plnění ze zajišťovacích smluv. Součástí zajišťovací činnosti je nakládání s aktivy, jejichž zdrojem jsou technické rezervy zajišťovny. Činnosti související s pojišťovací nebo zajišťovací činností - zákon za tyto činnosti považuje zprostředkovatelskou činnost prováděnou v souvislosti s pojišťovací nebo zajišťovací činností, poradenská činnost související s pojištěním fyzických a právnických osob a šetření pojistných událostí prováděné samostatnými likvidátory pojistných událostí na základě smlouvy s pojišťovnou a další činnosti se souhlasem ministerstva. » Provozování činnosti v pojišťovnictví Mezi subjekty podnikající v pojišťovnictví patří dle zákona:   

komerční pojišťovny, zajišťovny, pobočky komerčních pojišťoven z jiného členského státu, 32

Pojišťovnictví  

pobočky komerčních pojišťoven z třetího státu, jiné právnické a fyzické osoby (zprostředkovatelské, poradenské a jiné provozující související činnosti).

Zákon upravuje také právní formu komerčních pojišťoven, a to jako akciovou společnost nebo družstvo. Existuje však potenciální alternativa, ve které zákon připouští možnost vykonávat pojišťovací činnost i jinou právnickou osobou, než je akciová společnost nebo družstvo (na základě zvláštního právního předpisu). Zákon nezohledňuje specifika v činnosti zajišťoven. Právní forma zajišťoven je omezena na akciovou společnost. Nestanoví-li zákon o pojišťovnictví jinak, řídí se právní postavení pojišťovny a zajišťovny zákonem o obchodních korporacích. Technické rezervy pojišťovny a zajišťovny Zákon o pojišťovnictví klade značný důraz na úpravu problematiky tvorby a použití technických rezerv, neboť se jedná o jednu z nejdůležitějších povinností pojišťoven a zajišťoven a současně o jeden z nejvíce sledovaných ukazatelů jejich činnosti. Zákon podává úplný výčet technických rezerv, které pojišťovna musí vytvářet, provozuje-li životní pojištění nebo neživotní pojištění. Současně připouští, aby pojišťovna vytvářela jiné rezervy, pokud jsou schváleny Ministerstvem financí. Tvorba a použití rezerv Pojišťovny jsou povinny vytvářet technické rezervy, které jsou určeny k plnění závazků vzniklých z pojištění, a to v závislosti na povaze provozované pojišťovací činnosti. Jedná se přitom o závazky, u nichž je na jedné straně jejich vznik jistý či alespoň pravděpodobný, na druhé straně však není jistá jejich výše nebo okamžik vzniku. Skladba finančního umístění Skladba, podle níž pojišťovna nebo zajišťovna umisťuje aktiva, jejichž zdrojem jsou technické rezervy, musí sledovat skladbu stanovenou zákonem o pojišťovnictví a současně odpovídat zásadám bezpečnosti, rentability, likvidity a diverzifikace. Tyto zásady nemohou být porušeny ani v případě souhlasu Ministerstva financí s jinou skladbou finančního umístění. Finanční umístění v rámci členských států zahrnuje         

dluhopisy vydané členským státem nebo jeho centrální bankou a dluhopisy, za které převzal záruku členský stát, dluhopisy vydané bankami a obdobnými úvěrovými institucemi členských států, kotované dluhopisy vydané obchodními společnostmi, pokladniční poukázky, kotované komunální dluhopisy, půjčky, úvěry a jiné pohledávky, jejichž splnění je zajištěno bankovní zárukou, směnky, jejichž splnění je zajištěno bankovním směnečním rukojemstvím nebo bankovním avalem, nemovitosti na území členských států, hypoteční zástavní listy, kotované akcie, vklady a vklady potvrzené vkladovým certifikátem, vkladním listem či jiným obdobným dokumentem u bank, které mají povolení působit na území členských států jako banka, 33

Pojišťovnictví  

    

7.1.1

předměty a díla umělecké kulturní hodnoty oceněná nejméně 2 znalci, za podmínky jejich pojištění pro případ poškození, zničení, ztráty nebo odcizení u jiné pojišťovny, dluhopisy vydané Evropskou investiční bankou, Evropskou centrální bankou, Evropskou bankou pro obnovu a rozvoj nebo Mezinárodní bankou pro obnovu a rozvoj, cenné papíry vydané jednotkou kolektivního investování, zahraniční cenné papíry, s nimiž se obchoduje na regulovaném trhu členských států Organizace pro ekonomickou spolupráci a rozvoj, půjčky pojištěným, kteří uzavřeli s pojišťovnou smlouvu na životní pojištění, zajišťovací deriváty, pohledávky za zajišťovnami.

Dohled v pojišťovnictví

Dohled v pojišťovnictví vykonává zejména v zájmu ochrany spotřebitele Česká národní banka (ČNB). Dohledu v pojišťovnictví podléhají pojišťovny, které na území ČR provozují pojišťovací činnost, tuzemské pojišťovny, zajišťovny a právnické a fyzické osoby, které na tomto území provozují zprostředkovatelskou činnost v pojišťovnictví, činnost samostatných likvidátorů pojistných událostí a další činnosti související s pojišťovací a zajišťovací činností. Předmět kontrolní činnosti ČNB je vymezen v zákoně o pojišťovnictví vůči příslušným osobám takto:      

dodržování tohoto zákona a ustanovení zvláštních právních předpisů, která se vztahují k provozování pojišťovací a zajišťovací činnosti a činností s nimi souvisejících, soulad provozovaných činností s uděleným povolením, hospodaření pojišťovny nebo zajišťovny z hlediska zabezpečení splnitelnosti jejích závazků, způsob tvorby a použití technických rezerv, finanční umístění aktiv, jejichž zdrojem jsou technické rezervy, a solventnost pojišťovny, plnění opatření uložených ČNB, způsob vedení administrativních a účetních postupů a vnitřní kontroly.

ČNB vykonává též dohled nad činností pojišťovny ve skupině. K výkonu dohledu potřebuje ČNB řadu dokladů, výkazů a informací, které jí musí na základě zákona pojišťovna dodávat. Pojišťovně nebo zajišťovně, která znemožní nebo závažně ztíží výkon dohledu zejména tím, že neposkytne potřebnou součinnost, může ČNB uložit pořádkovou pokutu. Při zjištění nedostatků v hospodaření pojišťovny má ČNB možnost nařídit pojišťovně předložit ke schválení ozdravný plán. ČNB může například zavést nucenou správu, pozastavit oprávnění k uzavírání smluv a rozšiřování závazků, nařídit převod pojistného kmene apod.

7.1.2

Solventnost pojišťoven a zajišťoven

Solventnost je základním kritériem pro posuzování finanční stability pojišťovny nebo zajišťovny. Úprava způsobu vykazování solventnosti a hodnoty, na základě kterých pojišťovny kalkulují minimální a skutečnou míru solventnosti je zákonem delegována na vyhlášku Ministerstva financí, která umožňuje včasné přijímání nezbytných opatření v případech, kdy výsledky solventnosti nasvědčují o narušení finanční stability pojišťovny. 34

Pojišťovnictví

7.1.3

Odpovědný pojistný matematik

K finanční stabilitě komerčních pojišťoven a zajišťoven přispívá i institut odpovědného pojistného matematika. Pojišťovnám a zajišťovnám se ukládá povinnost nechat si odpovědným pojistným matematikem potvrdit správnost    

7.2

výpočtu sazeb pojistného, výše technických rezerv, rozdělení výnosů z finančního umístění v životním pojištění mezi pojištěným a pojišťovnou, výpočtu požadované míry solventnosti, pojistně-matematické metody používané při provozované pojišťovací činnosti.

Občanský zákoník

Součástí nového zákona č. 89/2012 Sb., občanský zákoník, je úprava pojistné smlouvy v § 2758 až 2872. Zákon upravuje vztahy účastníků pojištění vzniklého na základě pojistné smlouvy. Pojistná smlouva je smlouvou o finančních službách, ve které se pojistitel zavazuje v případě vzniku nahodilé události poskytnout ve sjednaném rozsahu plnění a pojistník se zavazuje platit pojistiteli pojistné. Pojistná smlouva obsahuje vždy:      

určení pojistitele a pojistníka, určení oprávněné osoby, určení, zda se jedná o pojištění škodové nebo obnosové, vymezení pojistného nebezpečí a pojistné události, výši pojistného, jeho splatnost a údaj o tom, zda se jedná o pojistné běžné nebo jednorázové, vymezení pojistné doby a doby, na kterou byla pojistná smlouva uzavřena, v případě pojištění osob, bylo-li dohodnuto, že se oprávněná osoba bude podílet na výnosech pojistitele, způsob, jakým se oprávněná osoba na těchto výnosech bude podílet

Součástí pojistné smlouvy jsou pojistné podmínky vydané pojistitelem, nejsou-li uvedeny přímo v pojistné smlouvě. Pojistník s nimi musí být před uzavřením pojistné smlouvy prokazatelně seznámen a bez jeho souhlasu nelze tyto pojistné podmínky měnit. Pojistné podmínky zejména obsahují: 1. 2. 3. 4.

vymezení podmínek vzniku, trvání a zániku pojištění, vymezení pojistné události, stanovení podmínek, za kterých nevzniká pojistiteli povinnost poskytnout pojistné plnění (výluky z pojištění), způsob určení rozsahu pojistného plnění a jeho splatnost.

Pojistná smlouva musí mít písemnou formu, s výjimkou případů, kdy zakládá pojištění s pojistnou dobou kratší než 1 rok (krátkodobé pojištění). Pojistné je v zákoně definováno jako úplata za soukromé pojištění. Běžným pojistným je pak pojistné stanovené za pojistné období. Na žádost pojistníka je pojistitel povinen sdělit zásady pro stanovení výše pojistného.

35

Pojišťovnictví Právo pojistitele na pojistné vzniká dnem uzavření pojistné smlouvy nebo dnem dohodnutým v pojistné smlouvě, nestanoví-li tento zákon jinak. Běžné pojistné je splatné prvního dne pojistného období a jednorázové pojistné dnem počátku pojištění. Zánik soukromého pojištění Zákon taxativně stanovuje způsoby zániku soukromého pojištění. Patří mezi ně:      



uplynutí doby, nezaplacení pojistného, dohoda, výpověď, odstoupení, jiné důvody zániku soukromého pojištění - soukromé pojištění zaniká dnem, kdy zaniklo pojistné riziko nebo pojištěná věc nebo jiná majetková hodnota, nebo dnem, kdy došlo ke smrti pojištěné fyzické osoby nebo zániku pojištěné právnické osoby bez právního nástupce, kromě výše uvedených lze v pojistné smlouvě dohodnout i jiné způsoby zániku.

Ustanovení o škodovém pojištění V zákoně se objevuje klasifikace pojištění, a to pojištění škodové a pojištění obnosové (o pojištění obnosovém později). Pojištění škodové je soukromé pojištění, jehož účelem je náhrada škody vzniklé v důsledku pojistné události. Pojistné plnění pojistitele je obvykle omezeno horní hranicí. Horní hranice se určí pojistnou částkou nebo limitem pojistného plnění. Jedná-li se o soukromé pojištění majetku, jehož pojistnou hodnotu lze určit v době uzavření pojistné smlouvy, je horní hranice pojistného plnění určena pojistnou částkou. Pojistná částka se na návrh pojistníka stanoví v pojistné smlouvě tak, aby odpovídala pojistné hodnotě pojištěného majetku v době uzavření pojistné smlouvy. Pojistitel má právo při uzavření pojistné smlouvy přezkoumat hodnotu pojištěného majetku. Není-li možné v době uzavření pojistné smlouvy určit pojistnou hodnotu, stanoví se na návrh pojistníka horní hranice pojistného plnění limitem pojistného plnění. Limit pojistného plnění se v pojistné smlouvě stanoví i v případě, že se soukromé pojištění vztahuje pouze na část hodnoty pojištěného majetku (zlomkové pojištění). Horní hranici pojistného plnění lze však také určit limitem pojistného plnění, jestliže tomu odpovídá pojistný zájem. Hranice pojistného plnění se obvykle vztahuje na jednu škodnou událost. Vztahují-li se dvě nebo více soukromých pojištění na totéž pojistné riziko pojištěné pro stejné období, vzniká množné pojištění. Množné pojištění může vzniknout jako: 1. soupojištění - vzniká uzavřením pojistné smlouvy mezi pojistníkem a více pojistiteli zastoupenými vedoucím pojistitelem, a to za jediné pojistné,

36

Pojišťovnictví 2. souběžné pojištění - souhrn pojistných částek nepřesahuje pojistnou hodnotu pojištěného majetku, nebo souhrn limitů pojistného plnění nepřesáhne skutečnou výši vzniklé škody, 3. vícenásobné pojištění - souhrn pojistných částek přesahuje pojistnou hodnotu pojištěného majetku nebo souhrn limitů pojistného plnění přesáhne skutečnou výši vzniklé škody. Zachraňovací náklady - jsou účelně vynaložené náklady, které pojistník vynaložil na odvrácení vzniku bezprostředně hrozící pojistné události, vynaložil na zmírnění následků již nastalé pojistné události, byl povinen vynaložit z hygienických, ekologických či bezpečnostních důvodů při odklízení poškozeného pojištěného majetku nebo jeho zbytků. Pojistník má právo na náhradu zachraňovacích nákladů a na náhradu škody, kterou utrpěl v souvislosti s odvrácením či zmírněním následků. Ustanovení o obnosovém pojištění Obnosové pojištění je soukromé pojištění, jehož účelem je získání obnosu, tj. dohodnuté finanční částky v důsledku pojistné události ve výši, která je nezávislá na vzniku nebo rozsahu škody. V případě pojistné události je pojistitel povinen poskytnout jednorázové nebo opakované pojistné plnění v rozsahu stanoveném pojistnou smlouvou. Základem pro stanovení výše pojistného a pro výpočet pojistného plnění je částka určená pojistníkem v pojistné smlouvě, která má být v případě vzniku pojistné události pojistitelem vyplacena (pojistná částka), nebo výše a četnost vyplácení důchodu. Informace, které musí být zájemci oznámeny před uzavřením pojistné smlouvy Zájemci musí být před uzavřením pojistné smlouvy oznámeny následující informace o pojistiteli:    

obchodní firma a právní forma pojistitele, název členského státu, kde má pojistitel svoje sídlo, a tam, kde to přichází v úvahu, adresa agentury nebo pobočky pojistitele, která uzavírá pojistnou smlouvu, adresa sídla pojistitele, popřípadě agentury nebo pobočky, která uzavírá pojistnou smlouvu, a jedná-li se o pojistnou smlouvu uzavíranou na dálku, také místo registrace pojistitele v obchodním nebo obdobném veřejném registru, jeho registrační číslo nebo odpovídající prostředek identifikace v takovém registru a informace o názvu a sídle orgánu odpovědného za výkon státního dozoru nad jeho činností.

Informace, které musí být pojistníkovi oznámeny během trvání pojistné smlouvy Pojistníkovi musí být během trvání pojistné smlouvy oznámeny následující informace:   

o jakékoliv změně obchodní firmy pojistitele, změně jeho právní formy nebo adresy jeho sídla a tam, kde to přichází v úvahu, i o změně adresy agentury nebo pobočky, která uzavřela pojistnou smlouvu, týkající se jakékoliv změny pojistných podmínek nebo při změně právního předpisu, kterým se řídí vztahy vzniklé z pojistné smlouvy, o každoročním stavu bonusů.

37

Pojišťovnictví

7.3

Zákon o pojišťovacích zprostředkovatelích a samostatných likvidátorech pojistných událostí

Tímto zákonem se v souladu s právem Evropských společenství:    

upravují podmínky podnikání pojišťovacích zprostředkovatelů a samostatných likvidátorů pojistných událostí, upravují podmínky zahájení činnosti pojišťovacích zprostředkovatelů na základě práva zřizovat pobočky nebo svobody dočasně poskytovat služby, zřizuje registr pojišťovacích zprostředkovatelů a samostatných likvidátorů pojistných událostí (dále jen registr), upravuje výkon státního dozoru nad činností pojišťovacích zprostředkovatelů a samostatných likvidátorů pojistných událostí.

Vymezení základních pojmů má zásadní význam pro správnou aplikaci zákona. Pro účely tohoto zákona se rozumí zprostředkovatelskou činností v pojišťovnictví odborná činnost, která spočívá v • • • •

předkládání návrhů na uzavření pojistných smluv nebo zajišťovacích smluv, provádění přípravných prací směřujících k uzavření pojistných nebo zajišťovacích smluv, uzavírání pojistných nebo zajišťovacích smluv jménem a na účet pojišťovny nebo zajišťovny, pro kterou je tato činnost vykonávána, pomoci při správě pojištění a vyřizování nároků z pojistných nebo zajišťovacích smluv.

Pojišťovacím zprostředkovatelem je právnická nebo fyzická osoba, která za úplatu provozuje zprostředkovatelskou činnost v pojišťovnictví.

7.3.1

Pojišťovací zprostředkovatelé

Zprostředkovatelskou činnost v pojišťovnictví může za podmínek provozovat na území České republiky právnická nebo fyzická osoba jako Vázaný pojišťovací zprostředkovatel • vykonává zprostředkovatelskou činnost v pojišťovnictví jménem a na účet jedné nebo více pojišťoven, neinkasuje pojistné a nevyplácí plnění z pojistných nebo zajišťovacích smluv; v případě nabídky pojistných produktů více pojišťoven nesmí být tyto produkty vzájemně konkurenční; • je ve své činnosti vázán písemnou smlouvou s pojišťovnou, jejímž jménem a na jejíž účet jedná, a jejími pokyny; pojišťovna, jejíž pojistný produkt nabízí, odpovídá za škodu jim způsobenou při výkonu zprostředkovatelské činnosti v pojišťovnictví. Podřízený pojišťovací zprostředkovatel • spolupracuje s pojišťovacím agentem nebo pojišťovacím makléřem na základě písemné smlouvy, neinkasuje pojistné a nezprostředkovává plnění z pojistných nebo zajišťovacích smluv; • je vázán pokyny a je odměňován pojišťovacím zprostředkovatelem, jehož jménem a na jehož účet jedná; 38

Pojišťovnictví • •

musí být zapsán do registru, splňovat podmínky důvěryhodnosti a podmínky stanovené zákonem pro základní kvalifikační stupeň odborné způsobilosti; pojišťovací zprostředkovatel, jehož jménem a na jehož účet jedná, odpovídá za škodu jím způsobenou při výkonu zprostředkovatelské činnosti v pojišťovnictví.

Pojišťovací agent • vykonává zprostředkovatelskou činnost v pojišťovnictví na základě písemné smlouvy, jménem a na účet jedné nebo více pojišťoven; v případě nabídky pojistných produktů více pojišťoven mohou být tyto produkty vzájemně konkurenční; • je ve své činnosti vázán vnitřními předpisy pojišťovny, jejímž jménem a na jejíž účet jedná, bylo-li tak dohodnuto, je oprávněn přijímat pojistné nebo zprostředkovávat plnění z pojistných smluv; • je odměňován pojišťovnou, jejímž jménem a na jejíž účet jedná; • musí být zapsán do registru, splňovat podmínky důvěryhodnosti a podmínky stanovené zákonem pro střední kvalifikační stupeň odborné způsobilosti; • musí být po celou dobu výkonu dané činnosti pojištěn pro případ odpovědnosti za škodu způsobenou výkonem této činnosti účinnou na celém území Evropského hospodářského prostoru, s limitem pojistného plnění nejméně ve výši odpovídající hodnotě 1 000 000 eur na každou pojistnou událost v případě souběhu více pojistných událostí v jednom roce nejméně ve výši odpovídající hodnotě 1 500 000 eur, pokud se pojišťovna, jejímž jménem, na jejíž účet pojišťovací agent jedná, písemně nezavázala převzít odpovědnost za škody způsobené touto jeho činností. Pojišťovací makléř • je ve své činnosti vázán obsahem smlouvy uzavřené se zájemcem o pojištění nebo zajištění (dále jen klient); • v závislosti na obsahu smlouvy s klientem zpracovává komplexní analýzy pojistných rizik, zpracovává návrhy pojistných nebo zajistných programů, • poskytuje konzultační a poradenskou činnost, • provádí správu uzavřených pojistných nebo zajišťovacích smluv, • sleduje lhůty k jejich revizi, • spolupracuje při likvidaci pojistných událostí; • musí být zapsán do registru, splňovat podmínky důvěryhodnosti a podmínky stanovené tímto zákonem pro vyšší kvalifikační stupeň odborné způsobilosti; • musí být po celou dobu výkonu dané činnosti pojišťovacího zprostředkovatele pojištěn pro případ odpovědnosti za škodu způsobenou výkonem této činnosti účinnou na celém území Evropského hospodářského prostoru, s limitem pojistného plnění nejméně ve výši odpovídající hodnotě 1 000 000 eur na každou pojistnou událost, v případě souběhu více pojistných událostí v jednom roce nejméně ve výši odpovídající hodnotě 1 500 000 eur; • je obvykle odměňován pojišťovnou nebo zajišťovnou.

39

Pojišťovnictví Pojišťovací zprostředkovatel, jehož domovským členským státem není ČR • může na území České republiky provozovat zprostředkovatelskou činnost v pojišťovnictví v rozsahu, v jakém je tuto činnost oprávněn provozovat v domovském členském státě, a to po splnění informačních povinností. Pro pojišťovacího agenta a pojišťovacího makléře platí ještě následující podmínka •

•

byl-li pojišťovací makléř či pojišťovací agent zmocněn přijímat od pojistníka pojistné nebo od pojišťovny výplaty pojistného plnění, je povinen udržovat trvale likvidní finanční jistinu ve výši 4 % z ročního objemu jím inkasovaného pojistného, nejméně však ve výši odpovídající hodnotě 15 000 eur, nebo používat pro převody pojistného a pojistného plnění výhradně zvlášť k tomu zřízené a od vlastního hospodaření oddělené bankovní účty

Samostatný likvidátor pojistných událostí Samostatný likvidátor pojistných událostí provádí na základě smlouvy uzavřené s pojišťovnou, jejím jménem a na její účet, šetření nutné ke zjištění rozsahu její povinnosti plnit ze sjednaného pojištění. Smlouva samostatného likvidátora pojistných událostí s pojišťovnou obsahuje vždy: • • •

vymezení pojistných událostí, kterých se smlouva týká, a to ve vztahu k pojistným odvětvím podle zvláštního právního předpisu, vymezení rozsahu dohodnutých činností, vymezení pravomocí smluvních stran při likvidaci pojistných událostí včetně možnosti využití při likvidaci pojistných událostí i součinnosti dalších osob a podmínek této součinnosti.

Odborná způsobilost Pojišťovací zprostředkovatel a samostatný likvidátor pojistných událostí jsou povinni prokázat odbornou způsobilost, což je získání všeobecných a odborných znalostí nezbytných pro výkon jeho činnosti. Všeobecné znalosti se prokazují dokladem o dokončení střední školy. Odborné znalosti se prokazují dokladem o absolvování odborného studia na střední nebo vysoké škole nebo složením odborné zkoušky. Odborné studium je středoškolské nebo vysokoškolské studium, zaměřené na problematiku pojišťovnictví, finančních služeb a s tím souvisejících oblastí. Odborná praxe je činnost v pojišťovně nebo zajišťovně související s uzavíráním pojistných smluv nebo v oblasti zprostředkovatelské činnosti v pojišťovnictví. V případě vázaného pojišťovacího zprostředkovatele, podřízeného pojišťovacího zprostředkovatele a samostatného likvidátora pojistných událostí lze odbornou zkoušku vykonat v instituci, která je oprávněna poskytovat vzdělávací programy zaměřené na dosažení odborné způsobilosti a je uvedena ve vyhlášce ministerstva, a způsobem stanoveným touto vyhláškou. V případě pojišťovacího agenta a pojišťovacího makléře lze odbornou zkoušku vykonat pouze před zkušební komisí, která je složena nejméně z 3 členů jmenovaných ministrem financí. Členem zkušební komise může být pouze osoba plně způsobilá k právním úkonům, která má odpovídající odborné znalosti a praktické zkušenosti z oblasti pojišťovnictví. 40

Pojišťovnictví Osoba, která je podle zákona povinna prokázat svoji odbornou způsobilost ukončeným odborným studiem nebo odbornou zkouškou, je povinna si průběžně doplňovat svoje odborné znalosti. Po 5 letech od ukončení odborného studia nebo od vykonání odborné zkoušky a poté po každých 5 následujících letech je povinna absolvovat doškolovací kurs. Povinnosti pojišťovacích zprostředkovatelů a samostatných likvidátorů pojistných událostí -

-

-

-

-

jsou povinni svoji činnost vykonávat s odbornou péčí, chránit zájmy spotřebitele, zejména nesmí uvádět nepravdivé, nedoložené, neúplné, nepřesné, nejasné nebo dvojsmyslné údaje a informace, anebo zamlčet údaje o charakteru a vlastnostech poskytovaných služeb; jsou na požádání povinni předložit klientovi, pojišťovně nebo zajišťovně osvědčení o svém zápisu do registru podle tohoto zákona; na žádost klienta jsou povinni sdělit způsoby svého odměňování; nesmí klientovi poskytovat neoprávněné výhody finanční, materiální či nemateriální povahy; jsou povinni zabezpečit veřejnou dostupnost údajů o svém zápisu v registru, zejména číslo, pod kterým byli podle tohoto zákona zapsáni v registru rozsah zprostředkovatelské činnosti podle pojistných odvětví a území, na kterém může být tato činnost provozována, a den zahájení této činnosti; odpovídají za škodu způsobenou při provozování své činnosti; odpovědnosti se zprostí, jestliže prokáží, že vzniku škody nemohlo být zabráněno ani při vynaložení veškerého úsilí, které na něm lze požadovat; jsou povinni podle zákona o pojišťovnictví zachovávat mlčenlivost o všech skutečnostech, které se dozvěděli v souvislosti s výkonem své činnosti, a nesmí je zneužít ve svůj prospěch nebo ve prospěch jiného.

Státní dozor nad provozováním činnosti a samostatných likvidátorů pojistných událostí -

pojišťovacích

zprostředkovatelů

s bydlištěm nebo sídlem na území České republiky nebo třetího státu a nad činností samostatných likvidátorů pojistných událostí vykonává Ministerstvo financí, s domovským členským státem jiným, než je Česká republika, působících na území České republiky vykonává příslušný úřad domovského členského státu pojišťovacího zprostředkovatele v součinnosti s ministerstvem.

Pojišťovací agent a pojišťovací makléř je povinen ve lhůtě do 31. března kalendářního roku předkládat ministerstvu roční výkaz činnosti.

41

Pojišťovnictví

8 Pojišťovací činnost komerční pojišťovny Pojištění můžeme charakterizovat jako specifický druh produktu, který má fiktivní charakter. Tento produkt je na pojistném trhu nabízen, a kupující za něj musí platit. Je jisté, že kupující dostane svoji protihodnotu až po realizaci pojištěného rizika. Jde tedy o velmi neurčitou a rizikovou návratnost jeho peněžních prostředků. Přechod na tržní hospodářství otevřel prostor pro vznik nových komerčních pojišťoven. V této souvislosti se změnila i legislativa, která upravuje právní postavení komerčních pojišťoven a zajišťoven, předmět jejich činnosti a pojistné vztahy. Podnikání v oblasti pojišťovnictví upravuje v současné době zákon č. 277/2009 Sb., o pojišťovnictví. Zákon o pojišťovnictví také upravuje, v jakém pojistném odvětví může komerční pojišťovna provozovat svoji činnost. Komerční pojišťovny pak členíme na: • • •

životní pojišťovny, neživotní pojišťovny, univerzální pojišťovny.

Vyjdeme-li ze stávající právní úpravy, můžeme označit za předmět podnikání v komerční pojišťovně pojišťovací činnost, která zahrnuje: uzavírání pojistných smluv, správa pojištění a poskytování plnění z pojistných smluv, poskytování asistenčních služeb, zpracování osobních údajů s předcházejícími činnostmi souvisejících, nakládání s aktivy, jejichž zdrojem jsou technické rezervy pojišťovny, uzavírání smluv pojišťovnou se zajišťovnami (jedná se o zajištění závazků pojišťovny vyplývajících z jí uzavřených pojistných smluv), 7. činnost směřující k předcházení vzniku škod a zmírňování jejich následků (zábranná činnost). 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Úkoly komerční pojišťovny vyplývají z předmětu podnikání a jsou následující • • •

technický (náhradový) úkol - v současnosti prvotní postavení, náhrada části škody pojistným plněním, a to pokud jde o občany nebo podnikatelské subjekty, preventivní (zábranný) úkol - realizace preventivních opatření, které směřují ke snižování vzniku rizika a rozsahu škod, investiční úkol - též finanční podnikání pojišťoven, jedná se o možnost vstupu komerčních pojišťoven na finanční a pojistný trh v rámci jejich dalších aktivit.

Komerční pojišťovny vyvíjí celou řadu činností se snahou široké nabídky a uspokojení klienta. Jedná se o marketingové činnosti, kam patří tvorba nových produktů, propagace a prodej. V případě prodeje pojištění a tedy i sjednání pojistné smlouvy jsou tyto smlouvy aktualizované na úseku správy pojištění, který je součástí provozu pojištění. V případě vzniku pojistných událostí je třeba vykonat jejich likvidaci s cílem poskytnutí pojistného plnění. Marketingová činnost Marketingová činnost se stala neoddělitelnou součástí činností každé komerční pojišťovny která: •

pramení z vývoje potřeb a požadavků trhu, 42

Pojišťovnictví • •

se zaměřuje na trh, zákazníka či klienta, si klade za cíl dosáhnout na něm maximální efekt, tj. zisk.

Marketingová strategie komerční pojišťovny musí zahrnovat 1. 2. 3. 4.

vývoj pojistných produktů (tvorba nových pojištění); výběr cílového trhu (pro jakou skupinu zákazníků je daný produkt vytvořen); propagace produktů (komunikace se spotřebitelem); obchodní služba (distribuční cesty k zákazníkovi).

Správa pojištění Předmětem činnosti komerční pojišťovny je především pojišťovací činnost. Tuto činnost můžeme dále podrobněji členit do oblastí obchodní činnost, správa pojištění, likvidace pojistných událostí, marketing, zábranná činnost atd. Návaznost těchto činnosti je znázorněna na následujícím obrázku. Obrázek 8.0.1 Návaznost jednotlivých činností v komerční pojišťovně

Zábranná činnost Obchodní činnost Marketing

Správa pojištění

Likvidace pojistných událostí

Správa pojištění je souhrn činností související s evidencí a správou pojistných smluv a zabezpečením inkasa pojistného: v užším slova smyslu zahrnuje činnosti související bezprostředně s pojistnou smlouvou; za tyto činnosti považujeme: - evidence pojistných smluv, jejich údržba, aktualizace jejich stavu a obsahu, - shromažďování údajů o rozsahu pojišťovaných rizik, - zabezpečení inkasa pojistného, inkasní a neinkasní intervence v rámci upomínacího režimu, vymáhání pohledávek pojistného na stornovaných pojistných smlouvách - zúčtování (spárování) došlých plateb pojistného s předpisem pojistného, - provedení storna pojištění v důsledku nezaplacení pojistného ve stanovené lhůtě podle zákona nebo v důsledku konce pojištění, - archivace pojistných smluv.  v širším slova smyslu zahrnuje také činnosti související s výše uvedenými, ale spadající do oblastí činnosti jiných úseků; za tyto činnosti lze považovat: - výpočet výše a druhu provize pro zprostředkovatele i pro správce pojistné smlouvy a všechny, kteří se procesu získání a správy pojistné smlouvy účastní, - taxace (věcná kontrola správného a úplného vyplnění pojistných smluv), - zpracování požadovaných statistických přehledů pro reportovací potřeby určené regulatorní legislativou

•

43

Pojišťovnictví Likvidace pojistných událostí Likvidace pojistných událostí je souhrn pracovních postupů, jejichž cílem je určit výši škody a poskytnout pojištěnému nebo poškozenému přiměřenou peněžní náhradu, které říkáme pojistné plnění (pojistná náhrada). Likvidací pojistné události dochází k uspokojení nároků pojištěného, které vyplývají z dohodnuté pojistné smlouvy nebo jiného právního předpisu. Úsek likvidace škod je vizitkou každé komerční pojišťovny. Zákazník totiž právě pro případ pojistné události uzavírá pojistnou smlouvu, a jen proto platí pojistné. Až v případě škody se ukáže, zda pojištění, které si sjednal, je dobré nebo špatné. Likvidace škod je podstatně odlišná v každém druhu pojištění a rizika, ale u všech druhů pojištění probíhá podle určitého základního schématu, které má čtyři základní fáze: 1. 2. 3. 4.

fáze - zákazník škodu ohlásí fáze - komerční pojišťovna škodu zaregistruje fáze - pojistný likvidátor škodu prověří a ručí za její výši fáze - likvidace škody (poskytnutí nebo odmítnutí pojistného plnění)

Každou z těchto fází lze ještě dále rozčlenit. Některé fáze se také často opakují nebo se prolínají. Pro základní schéma však vždy platí výše uvedený postup. První tři fáze zahrnují proces zajišťování škody. Čtvrtá fáze je poslední a zahrnuje poskytnutí pojistného plnění, což je pro zákazníka nejdůležitější fází likvidace škody. Tato fáze se může zvrátit po případném nesouhlasu klienta s rozhodnutím pojišťovny, lze provést revizi rozhodnutí, která následuje po nesouhlasu se zamítnutím či s výší pojistného plnění. Zábranná činnost Zábrannou činnost tvoří všechny technické, ekonomické, právní a ostatní opatření, která mají sloužit k předcházení vzniku náhodných škod, zabraňovat jejich rozšíření a současně i omezovat jejich důsledky. Zábranná činnost se orientuje zejména na protipožární opatření, bezpečnost silničního provozu, protiúrazová opatření, na ochranu živočišné a rostlinné produkce a jiná opatření. Zajišťovací činnost Každá komerční pojišťovna na sebe přebírá značná rizika, která kryje svými aktivitami a současně má snahu, aby její kapacitní možnosti byly co největší. Ty jsou dány především výší základního kapitálu. Menší pojišťovny by tak neměly možnost pojišťovat větší rizika, než je jejich pojišťovací kapacita. Pojišťovny ale pojišťují rizika jakéhokoliv rozsahu. Umožňuje to zajištění, které značně zvyšuje flexibilitu a kapacitu pojišťoven. Činnost komerční pojišťovny související se zajištěním a zajišťováním se nazývá zajišťovací činnost. Finanční podnikání a sponzorská činnost Podnikatelskou činností se komerční pojišťovny snaží upevňovat si své postavení tím, že se dostávají do povědomí široké veřejnosti včetně ekonomických sfér, čímž dokumentují svou opodstatněnost a zájem o rozvoj pojistného a finančního trhu. 44

Pojišťovnictví Finanční podnikání komerční pojišťovny znamená finanční aktivity související s využíváním dočasně volných peněžních prostředků. Jedná se o časový rozpor mezi získáváním přijatého pojistného a jeho použitím formou pojistného plnění, tedy o pojistné inkasované od klientů a proto se pojišťovny musí snažit je co nejlépe zhodnotit. Cílem této činnosti je dosažení efektu, a to ve formě zisku. V současnosti se velmi rozvíjí i sponzorská činnost. Tou se podporují určité vybrané činnosti, jako je podpora zdravotnictví (jednotlivci, nadace), sport, kultura a školství. Komerční pojišťovna získává těmito aktivitami na své image.

45

Pojišťovnictví

9 Sjednání pojištění Výběr vhodného druhu pojištění, tedy pojistného produktu, je závažným rozhodnutím, jehož podcenění by se v budoucnu mohlo vymstít. Proto je nezbytné velmi pečlivě posoudit rizika, kterým je podnikatelský subjekt vystaven a pro která si chce vzít na pomoc pojištění a také zvážit částku, kterou při škodě může zaplatit ze své kapsy. Při uskutečnění nabídky pojistných produktů vybrané komerční pojišťovny konkrétnímu podnikateli dochází zpravidla v první fázi obchodního jednání k diskusi právě o pojistné hodnotě pojišťované věci. Správné stanovení výše pojistné částky má za následek dostatečné plnění komerční pojišťovnou danému podnikateli v případě vzniku pojistné události. Od výše pojistné částky se samozřejmé odvíjí i cena pojištění, tedy pojistné. V obchodním jednání účastníků pojištění existují dvě protichůdné tendence. Většina komerčních pojišťoven je vedena snahou kvalitně a dostatečně zajistit pojistné krytí svého klienta, a proto téměř vždy navrhuje vyšší pojistné částky. Naproti tomu je klient veden snahou ušetřit na pojistném a usiluje o co nejnižší pojistné, ale současně s tím vyžaduje vysoké pojistné plnění v případě pojistné události. Ve vzájemném vztahu mezi komerční pojišťovnou a klientem není nikdo vítězem ani poraženým. V každém případě by se mělo jednat o rovnocenný vztah, který je založen na spokojenosti obou účastníků pojistného vztahu. V následujícím textu si uvedeme, které skutečnosti je nutné posoudit při výběru vhodného pojištění a při uzavírání pojistné smlouvy.

9.1

Pojistná smlouva

Pojištění se uskutečňuje prostřednictvím pojistné smlouvy nebo na základě právního předpisu tak vznikne pojistný vztah. Vzniká mezi pojistiteli a pojistníky, resp. pojištěnými. Pojistitelem může být právnická osoba, která vykonává pojišťovací činnost (například komerční pojišťovna). Pojistitel musí hospodařit tak, aby byl schopen neustále a trvale plnit své závazky. Pojistná smlouva je doklad o pojištění. Vymezuje rámec pro pojištění. Je tedy určitou formou hospodářské smlouvy, konkretizuje podmínky, podle kterých se komerční pojišťovna a pojistník, resp. pojištěný, dohodli na realizaci pojištění. Podle nového občanského zákoníku je typem pojistné smlouvy také smlouva uzavřená formou obchodu na dálku v souladu s právem Evropské unie, tj. pojistná smlouva uzavřená s výhradním použitím jednoho nebo více prostředků komunikace na dálku, např. telefon, elektronická pošta, faxový přístroj, veřejná komunikační síť, například internet. V pojistné smlouvě je možné si dohodnout podmínky pojištění odlišné od všeobecných pojistných podmínek komerční pojišťovny. Potom se jedná o smluvní ujednání specifické pojistné podmínky. Toto platí pro smluvní pojištění. V případě zákonného pojištění zákon stanovuje podmínky, podle kterých se pojištění realizuje a pojistná smlouva uzavírá. Při sjednávání pojistné smlouvy na konkrétní pojistný produkt je, v zájmu klienta (pojištěného či pojistníka), velmi vhodné se co nejdříve obeznámit se všeobecnými pojistnými podmínkami v komerční pojišťovně. Seznamovat se s nimi po podpisu pojistné smlouvy je již pozdě.

46

Pojišťovnictví Vznik a zánik pojištění Zákon upravuje způsob a formy vzniku a zániku pojištění v České republice. Pojištění vzniká uzavřením pojistné smlouvy anebo splněním podmínek upravených příslušným právním předpisem, a to: • •

dnem určeným v právním předpise (zákoně), dnem dohodnutým v pojistné smlouvě.

Povinnosti z pojištění obecně začínají plynout nultou hodinu následujícího dne po dni uzavření pojistné smlouvy. Je však možné dohodnout i jiný termín. Za důvod zániku pojištění jsou obvykle považovány následující skutečnosti: nezaplacení pojistného, odstoupení od smlouvy, odmítnutí plnění, zánik rizika, změna vlastníka, výpovědí pojistné smlouvy - vypovědět pojištění má právo jak pojišťovna, tak pojištěný; - jde o jednostranný právní úkon a druhá strana nemůže prohlásit, že s výpovědí nesouhlasí; - výpověď musí být dána písemně a před lhůtou šesti týdnů od výročí musí být doručena druhé straně; - nemusí být odůvodňována, • dohodou mezi pojistníkem a pojistitelem (dohoda musí být písemná), • skončením doby, na kterou bylo pojištění dohodnuté.

• • • • • •

Jestliže dojde k zániku pojištění, má komerční pojišťovna právo, aby pojištěný zaplatil pojistné za dobu do zániku pojištění. I když pojištěný nezaplatil pojistné, pojištění nezaniklo. Kdyby v této době došlo k pojistné události, musela by ji pojišťovna uhradit. Podmínky vzniku a zániku pojištění jsou uvedeny v novém občanském zákoníku a ve všeobecných pojistných podmínkách.

9.2

Pojistná částka

Pojistná hodnota představuje hodnotu předmětu pojištění v daném okamžiku doby trvání pojištění. Znamená to tedy, že se výše této hodnoty mění, a to v závislosti na tržních podmínkách. Pojistná hodnota je hodnota pojištěné věci, která je rozhodná pro stanovení tzv. pojistné částky. Peněžní hodnotu ztraceného nebo poškozeného majetku je ve většině případů stanovit jednoduché a na základě podmínek pojistné smlouvy je možné poskytnout náhradu. Určení pojistné hodnoty přímo navazuje na způsob poskytnutí pojistného plnění a na stanovení pojistné částky. V zásadě platí, že pojistná hodnota je i pojistnou částkou, jež představuje výšku maximálního pojistného plnění. Pojistná částka je částka určená v pojistné smlouvě jako nejvyšší hranice plnění komerční pojišťovny. Pojistnou částku si určuje klient komerční pojišťovny sám a současně nese také důsledky svých rozhodnutí v otázkách pojistných hodnot i pojistných částek. Stanovení pojistné hodnoty se liší podle toho, zda se jedná o věc nemovitou či movitou. U věcí nemovitých, tedy u budov a staveb, se pojištění sjednává na: 47

Pojišťovnictví •

•

novou hodnotu - jedná se obvykle o částku, kterou je nutné vynaložit k vybudování novostavby téhož druhu, rozsahu a kvality v daném místě, včetně nákladů na zpracování projektové dokumentace; časovou hodnotu - jedná se obvykle o částku, kde je nová hodnota snížená o částku odpovídající stupni opotřebení nebo jiného znehodnocení budovy či stavby.

U věcí movitých se pojištění sjednává na •

•

novou hodnotu - jedná se obvykle o částku, kterou je třeba vynaložit na znovupořízení věci, nebo o částku, kterou je třeba vynaložit na výrobu věci stejného druhu a kvality v daném místě v novém stavu; časovou hodnotu - jedná se obvykle o novou hodnotu věci, která je snížená o částku odpovídající stupni opotřebení nebo jiného znehodnocení věci.

Pojistnou hodnotu movitých věcí nelze stanovovat tak, že se stanoví hodnota vedená v účetnictví. V konkrétním případě vždy musí klient zvážit, jaká je skutečná pojistná hodnota pojišťovaných věcí. Na rozdíl od budov a jiných staveb si movité věci neuchovávají svoji 30% novou hodnotu po celou dobu své životnosti a to i v případě, že jsou běžně udržovány a běžně používány. Podpojištění Může se stát, že pojistná částka je stanovena nižší, než je ve skutečnosti pojistná hodnota. V tomto případě dochází k tzv. podpojištění. V praxi to znamená, že je-li v době pojistné události jako pojistná částka stanovená pojištěným nižší než pojistná hodnota věci, pak komerční pojišťovna poskytne pojistné plnění, které je ve stejném poměru ke škodě, jako k pojistné hodnotě. To neplatí u pojištění prvního rizika. Pojištění prvního rizika Při sjednání pojištění na první riziko je pojistná částka po dohodě obou smluvních stran vědomě snížena pod pojistnou hodnotu pojišťované věci nebo souboru věcí. Tato hodnota je horní hranicí pro pojistné plnění z jedné a ze všech pojistných událostí nastalých v jednom pojistném roce, není-li v pojistné smlouvě sjednáno jinak. Je tedy nutností aktualizace pojistných částek v průběhu pojištění ve vztahu k vývoji inflace anebo k nárůstu majetku pojištěného. Aktualizace může být formou automatické indexace nebo obchodní nabídka pojišťovny nebo poptávka pojistníka.

9.3

Pojistné

Důležitou úlohou komerční pojišťovny je výpočet výšky pojistného. Pojistné placené pojištěným představuje jeho příspěvek do společného fondu. Příspěvek musí být spravedlivý a musí odrážet stupeň rizika, který konkrétní pojištěný do sdružení přináší. Pojistné musí být dostatečné, aby pokrývalo nároky v průběhu pojistného období, umožnilo vytvořit rezervu pro nevybavené škody, umožnilo vytvořit technické rezervy, dále aby umožnilo pokrýt všechny výdaje komerční pojišťovny, umožnilo vytvořit zisk, a aby umožnilo vytvořit fond na zábranu škod. Výpočet pojistného však musí zahrnovat i další faktory, mezi které patří inflace, úrokové míry i konkurence. Výšku pojistného můžeme běžně stanovit tak, že se využívá stanovený matematický model, přičemž se pojistné vypočítává pomocí sazby pojistného. Sazba může být stanovena v procentech nebo v promile a je aplikovaná k pojistné částce. Výpočet pojistného je možné znázornit tímto kalkulačním vzorcem Pb = Pn + ZŠ + Nv + Z + Př

(9.3.1) 48

Pojišťovnictví Pb

je brutto pojistné,

Pn

je netto pojistné,

ZŠ

je příspěvek do fondu na zábranu škod,

Nv

jsou vlastní náklady (náklady na provoz),

Z

je zisková přirážka,

Př

jsou jiné přirážky.

Podcenění rizika - při výpočtu pojistného může dojít k tzv. podcenění rizika, což znamená, že sazba pojistného je stanovena nízká a pojištění se dostává do ekonomické nevyrovnanosti. Podcenění rizika je charakteristické také i vysokou škodovostí. Samotná vysoká škodovost nemusí být jen signálem nízkých sazeb. Může odrážet i malý zájem o pojištění, resp. nedostatečné proniknutí pojištění mezi klientelu vinou slabé propagace a reklamy. Přecenění rizika - v případě přecenění rizika může sice pojišťovna v prvopočátku získat vyšší příjmy a tedy i zisky, ale to jen za předpokladu, že o pojištění bude zájem. Tento zájem, ale rozhodně v krátké době opadne, protože pojištěný nebude mít požadovanou pravděpodobnost získat adekvátní pojistnou službu. Přecenění rizika je charakteristické vysokými sazbami a nízkou škodovostí (škodovost je % ukazatel, který vyjadřuje poměr mezi výškou poskytnutých pojistných plnění a výškou předepsaného pojistného).

9.4

Pojistné plnění

Pojistnou smlouvou se komerční pojišťovna zavazuje, že v případě nepředvídatelné události nebo při naplnění předem stanovené podmínky (pojistná událost), vyplatí pojišťovna smluvenou částku (pojistné plnění). Výše pojistného plnění vychází z právních předpisů, všeobecných pojistných podmínek a konkrétní pojistné smlouvy. Pojistná událost - jedná se o nahodilou skutečnost blíže označenou v pojistné smlouvě nebo ve zvláštním právním předpisu, na který se pojistná smlouva odvolává, se kterou je spojen vznik povinnosti pojistitele poskytnout pojistné plnění. Podnikatelské subjekty i občané velmi často uvažují, nač jim je pojištění, když stejnou službu jim při neočekávaných škodních událostech splní i spoření. Spoření pomůže jen do výše našetřených peněz. Pojištění naproti tomu kalkuluje s rizikem a výplata pojistného plnění není u rizikových pojištění omezena množstvím vložených peněz. Například při škodě na majetku nebo na zdraví v důsledku úrazu může vzniknout nárok na příslušné pojistné plnění už druhý den po podpisu pojistné smlouvy. Poskytnout příslušnou částku bez ohledu na to, kolik peněz bylo od nového klienta na pojistném vybráno, je podstatou pojištění. Je nezbytné si také uvědomit, že pojištění může poskytnout pouze finanční náhradu. Nikdy nelze ocenit oblibu odcizeného nebo zničeného předmětu či jiný osobní vztah k němu. Pojistné plnění se obvykle poskytuje v tuzemské měně, pokud pojišťovna nerozhodne o naturálním plnění. Může se jednat například o opravu ve smluvní opravně, o výměnu věci. Pojistné plnění je splatné do 15 dnů, jakmile komerční pojišťovna skončila šetření nutné ke zjištění rozsahu škody.

9.5

Práva a povinnosti účastníků pojistného vztahu

Práva a povinnosti z pojištění jsou obecně vymezeny v novém občanském zákoníku a v pojistných podmínkách příslušných k danému druhu pojištění. V následujícím textu jsou práva a povinnosti rozlišeny podle toho, zda se týkají pojištěného či pojistitele. 49

Pojišťovnictví Základní práva a povinnosti pojištěného: • • •

• • • •

Právo být seznámen s rozsahem a obsahem pojištění. Informační povinnost pojistníka. Povinnost pojistníka odpovědět pravdivě a úplně na všechny písemné dotazy pojistitele týkající se sjednávaného pojištění. Stejně tak je tomu i při změně pojištění. Nutno ještě upozornit nato, že při plnění informační povinnosti není pro budoucího pojistníka rozhodující, zda považuje položené dotazy za zbytečné. Právo na pojistné plnění splatné do 15 dnů po skončení šetření nutného k zjištění rozsahu škod při pojistné události. Právo vyžadovat přiměřenou zálohu na pojistné plnění, pokud šetření nemůže být skončeno do 3 měsíců. Povinnost platit pojistné ve sjednaných lhůtách. Povinnost nahlásit pojistnou událost bez zbytečného odkladu, dát pravdivé vysvětlení o jejím vzniku a rozsahu a předložit potřebné doklady, které si pojistitel vyžádá.

Základní práva a povinnosti pojistitele: • • • • •

Právo na pojistné. Povinnost poskytnout plnění v případě pojistné události. Právo na postih a snížení pojistného plnění. Právo na náhradu částek vyplacených z pojištění odpovědnosti za škody. Povinnost poskytnout pojištěnému na požádání přiměřenou zálohu na pojistné plnění, pokud nemůže skončit potřebné šetření nutné ke zjištění rozsahu škod do 3 měsíce.

Promlčení Právní úprava promlčení prošla v souvislosti s přijetím NOZ výraznou úpravou. Nově se právo na pojistné plnění promlčí za jeden rok od vzniku pojistné události (subjektivní lhůta). U životního pojištění se promlčí nárok na pojistné plnění za 10 let od vzniku pojistné události. Obecná promlčecí doba sice bude i nadále 3 roky, ale bude potřeba brát v úvahu rozdílné délky promlčecí doby týkající se náhrady škody nebo újmy a rozdílný počátek běhu lhůt z toho odvozený.

50

Pojišťovnictví

10 Pojišťovnictví jako odvětví ekonomiky Pojišťovnictví je odvětvím ekonomiky, které se zabývá pojišťovací činností. Pojišťovací činností se rozumí uzavírání pojistných smluv, správa pojištění a poskytování plnění z pojistných smluv. Součástí pojišťovací činnosti je nakládání s aktivy z technických rezerv, uzavírání smluv se zajišťovnami a zábranná činnost. V zahraničí se pojišťovnictví označuje jako pojišťovací průmysl. Podle právních předpisů tedy mohou pojišťovny vykonávat i jinou podnikatelskou či investiční činnost. Pojišťovnictví chápeme, jako specifické odvětví v tržní ekonomice, které je zaměřené na pojistnou ochranu a tvorbu technických rezerv, jejich správu a užití. Pojišťovnictví zahrnuje všechny pojistitele (tj. pojišťovací instituce), zajistitele, zprostředkovatele pojištění a asociace, případně i další subjekty v daném státu nebo regionu. Je součástí finanční a úvěrové soustavy, je speciálním odvětvím peněžních služeb, které poskytuje občanům, podnikatelům a společnostem. Pojišťovnictví - odvětví národního hospodářství, které se zabývá poskytováním pojistné ochrany a úhradou škod vzniklých na základě nahodilých událostí. Pojišťovnictví tak plní roli stabilizátoru ekonomické úrovně podniků a životní úrovně obyvatelstva. Pojišťovnictví zaujímá přední postavení v tržní ekonomice každého státu. Je nepostradatelnou součástí moderní společnosti a jejího ekonomického života, ve kterém plní řadu významných úkolů. Kromě jiného neutralizuje realizaci rizik občanů, domácností a podnikatelů. Obrázek 10.0.1 Struktura pojišťovnictví

Pojišťovnictví Státní dozor v pojišťovnictví Komerční pojišťovny Družstevní pojišťovny Zprostředkovatelé pojištění

Asociace (svazy) pojišťoven Zajišťovny

Asociace zprostředkovatelů Asociace pojišťovacích makléřů

51

Pojišťovnictví

11 Úvod do problematiky pojistného trhu Pojistný trh funguje na principu shromažďování a rozdělování peněžních prostředků, a to do rezerv, které se v pojišťovnictví vytváří pro případ úhrady náhodných potřeb a nelze tudíž předem určit, zda budou použity na spotřebu či akumulaci. Pro rezervy je typický nárok na jejich čerpání při splnění příslušných podmínek obsažených v zákoně, vyhlášce, pojistných podmínkách, pojistné smlouvě apod. Rezervy hrají u pojistného trhu velmi specifickou úlohu a mají zřejmě větší význam než peněžní fondy u jiných segmentů finančního trhu. Vztahy tvorby, rozdělování a používání rezerv vymezují pojištění jako samostatnou ekonomickou kategorii. U rezerv není rozhodující počet subjektů, který se na jejich tvorbě podílí. Nerozhoduje též, kdo a jak přispívá k tvorbě rezerv. Stačí, když celková výše tvorby rezerv závisí na riziku tím, že je v přiměřeném rozsahu zabezpečena úhrada pojistných potřeb. Důležitá je tedy ekvivalence mezi nároky jednotlivců na čerpání z rezerv a výší tvorby rezerv. Pro pojistný trh je charakteristické, že se na něm střetává nabídka a poptávka po pojistné ochraně. Předmětem obchodů na pojistném trhu je pojištění a zajištění. Pojišťovnictví jako jedno z důležitých odvětví tržní ekonomiky nabízí na pojistném trhu své zboží, resp. své služby, tj. pojištění a zajištění. Pojistný trh se jeví trhem, na kterém převládá nabídka. O své budoucí klienty se tady uchází pojistitelé, zajistitelé a zprostředkovatelé. Převládá-li nabídka, stává se zároveň zárukou soutěže, ovlivňované tvorbou cen a pojistných produktů, jako je tomu u jiných segmentů finančního trhu. Částečně je tato soutěživost ovlivňována dozorem v pojišťovnictví a jeho nástroji, což částečně tržní soutěž a konkurenci omezuje. Stranu poptávky představuje na pojistném trhu různorodá skupina fyzických osob, právnických osob a sdružení. Pojistný trh se podstatně liší od jiných segmentů finančního trhu tím, že mnohé subjekty si nejsou své poptávky po pojistné ochraně plně vědomy. Je to z toho důvodu, že nemají jasnou představu o existující rizikové situaci. Když například nahlédneme na obyvatelstvo jako na základní subjekt trhu, zjistíme, že na jeho osobní „stupnici spotřeby“ stojí pojištění často na nejnižším stupni. A to i přesto, že zabezpečení jistoty zdrojů příjmů a hodnoty majetku má mít stejný stupeň jako základní potřeby, tj. potrava, bydlení a odívání. Dalším specifikem pojistného trhu je i to, že na rozdíl od ostatních trhů nebývá soustředěný na určité místo, ale jde spíše o síť komerčních pojišťoven, pojišťovacích zprostředkovatelů a zajistitelů na různých místech ekonomiky. Na pojistném trhu působí stát a ovlivňuje jej prostřednictvím právních norem a dozoru v pojišťovnictví. Dále na něm působí:     

pojistitelé, pojistníci a pojištění, zprostředkovatelé pojištění, zajistitelé, samostatní likvidátoři pojistných událostí.

Významné místo zde zaujímají také asociace pojišťoven, které svou činností významně ovlivňují chování členských pojišťoven. Pojistný trh se velmi dynamicky rozvíjí a díky obrovskému kapitálu, kterým disponuje, je jedním z nejdůležitějších segmentů finančního trhu. Jeho význam roste i s pokračující globalizací. Většina pojišťoven a zajišťoven je napojena na mezinárodní finanční trhy, což jim umožňuje realizovat obchody ve všech finančních centrech světa a ovlivňovat tak jejich vývoj. 52

Pojišťovnictví

11.1

Segmentace pojistného trhu

Pojistný trh je možné členit podle více kritérií. Rozhodujícím kritériem tohoto členění a segmentace je předmět činnosti pojistitele, dalšími mohou být pojistné riziko, předmět pojištění, pojistné produkty, subjekty pojištění, pojistitelé a podobně. Členění pojistného trhu je ovlivňováno mnoha faktory a zahrnuje více hledisek. Podle předmětu činnosti pojistitele je možné rozdělit pojistný trh na dva relativně samostatné segmenty, kterými jsou:  

investování dočasně volných peněžních prostředků pojistitele (tzv. investiční pojistný trh), nabídka a poptávka po pojištění a zajištění (tzv. věcný pojistný trh).

Obrázek 11.1.1 Členění či segmentace pojistného trhu

Nabídka pojištění a zajištění a poptávka po pojištění a zajištění

Pojistný trh Investování dočasně volných peněžních prostředků

Pojistný trh je poněkud atypickým trhem, ale platí na něm stejná ekonomická pravidla jako na kterémkoli jiném trhu. Jedna z podstatných odlišností spočívá v tom, že realizace prodaných služeb se často projeví až po delším období od uzavření obchodu, a někdy se nemusí projevit vůbec. To umožňuje komerčním pojišťovnám poměrně rozsáhlou investiční činnost. V tržním hospodářství je každý pojistitel nucen se chovat tržně, protože musí podnikat v podmínkách konkurence. Komerční pojišťovny by měly podnikat a realizovat jak pojišťovací tak i zajišťovací činnost. Kromě toho mohou realizovat i další podnikatelskou činnost, tj. investovat dočasně volné peněžní prostředky spravovaných technických rezerv, také část základního jmění a zhodnocovat je na finančním trhu. Faktory ovlivňující pojistný trh Pojistný trh je ovlivňován mnoha faktory. Jedná se především o vnější a vnitřní faktory. Vnější faktory ovlivňují pojistný trh zvenčí a patří mezi ně:   

fáze hospodářského cyklu vývoj a objem hrubého domácího produktu, vývoj inflace, 53

Pojišťovnictví     

vývoj nezaměstnanosti, počet obyvatel (jejich věková struktura, střední délka života mužů a žen), peněžní příjmy obyvatelstva, jejich průměrná mzda, objem výdajů domácností a jejich struktura, situace u ostatních segmentů finančního trhu, a další faktory.

Vnitřní faktory ovlivňují pojistný trh zevnitř a řadí se mezi ně:      

pojišťovací a zajišťovací činnost a jiná související činnost, kterou vykonávají komerční pojišťovny a zajišťovny, zájem o pojištění vytvářený pojistníky, resp. pojištěnými, chápání významu pojištění ze strany pojistníků, resp. pojištěných, zprostředkovatelská činnost zprostředkovatelů pojištění, regulace pojistného trhu dozorem v pojišťovnictví, činnost asociace pojišťoven, a další faktory.

Každý z uvedených faktorů má určitý vliv na pojistný trh a jeho další rozvoj. Je třeba si uvědomit, že riziko je objektivní skutečnost v činnosti podnikatelů i v soukromém životě občanů. Právě existence rizika vytváří pojistné potřeby, zájem o pojištění a o pojistnou ochranu, která se realizuje právě na pojistném trhu. Investování dočasně volných peněžních prostředků je typická činnost všech peněžních institucí. Mnozí pojistitelé vstupují na finanční trh s cílem dobře umístit peněžní prostředky, aby se zhodnotily a byly bezpečně investovány. Pojišťovny na finančním trhu jednají za svoje klienty, kteří se takto nepřímo zúčastňují transakcí na finančním trhu.

11.2

Nabídka pojistných produktů na českém pojistném trhu

Nabídka pojistných produktů na českém pojistném trhu je velice široká. V kapitole týkající se klasifikace pojištění jsme rozdělili pojistná odvětví například: » podle tvorby rezerv • •

životní pojištění, neživotni pojištění,

» podle předmětu pojištění • • •

pojištění majetku, pojištění odpovědnosti za škodu, pojištění osob,

» podle formy vzniku pojištění • •

zákonná pojištění, smluvní pojištění (povinná a dobrovolná).

Tyto klasifikace nyní využijeme při stručném zmapování nabídky pojistných produktů komerčních pojišťoven působících na českém pojistném trhu.

11.3

Neživotní pojištění

Do odvětví neživotního pojištění jsou zařazeny pojistné produkty, které patří jak do pojištění majetku a pojištění odpovědnosti za škodu, tak i do pojištění osob. Současně s tímto členěním 54

Pojišťovnictví je nutné zdůraznit, že se do odvětví neživotního pojištění řadí pojištění zákonná i pojištění smluvní, a to dobrovolná i povinná.

11.3.1

Pojištění majetku

Pojištění majetku se specializuje na pojišťování rizik a škod, které mohou vzniknout na majetku fyzických nebo právnických osob. Toto pojištění se dělí na: • •

pojištění věcí movitých a nemovitých, pojištění zájmů například pohledávek, úvěrů, vkladů, zisků.

V pojištění majetku je možné pozorovat dvě základní tendence: 1. maximální specializace pojišťovaných rizik -

má přednost zvláště při oceňování škody a výpočtu její náhrady,

2. slučování rizik do jedné pojistné smlouvy kombinovaná či sdružená pojištění -

je pro pojistníky atraktivnější, jednodušší a levnější umožňuje snižovat režijní náklady komerční pojišťovny tak, že v rámci jedné pojistné smlouvy je zahrnuto více pojistných rizik.

V současné době si tvoří skupiny pojištění majetku samostatně každá komerční pojišťovna provozující tato pojištění. Přitom do jeho rámce, tj. do pojištění majetku, je v podstatě zahrnováno i pojištění jiných majetkových hodnot či práv, než jsou věci, a na nichž může vzniknout majetková újma. 





Věc - je ovladatelný hmotný předmět či ovladatelná přírodní síla (všechny druhy energie), které slouží potřebám lidí. Věci jsou movité a nemovité s tím, že nemovitostmi jsou pozemky a stavby spojené se zemí pevným základem. Ostatní věci jsou pak movité. Součásti věci - je vše, co k ní podle její povahy náleží a nemůže být odděleno, aniž by se tím věc neznehodnotila. Stavba není součástí pozemku. Věc i součást tvoří celek, podrobený jedinému právnímu režimu. Součást věci přechází na nabyvatele věci bez dalšího, i když není výslovně uvedena ve smlouvě o převodu věci. Příslušenství věci - od součásti je třeba odlišit příslušenství věci, které tvoří věci samostatné, ale náleží vlastníku věci hlavní a jsou jím určeny k tomu, aby byly s hlavní věcí trvale užívány.

Vymezení pojmů věc, součásti věci a příslušenství věci má pro pojištění velký význam, a to z hlediska určení, na které majetkové hodnoty se vztahuje. Předmět pojištění - jsou to věci nemovité i movité, jež jsou v pojistné smlouvě jednotlivě určeny nebo jsou součástí souboru věcí vymezeného ve smlouvě. Tyto věci má pojištěný ve vlastnictví nebo má právo hospodaření. Pojištěný však může věci oprávněně užívat nebo je převzít od fyzické či právnické osoby na základě smlouvy. Soubor věcí - tvoří jej věci, které mají podobný nebo stejný charakter nebo jsou určeny ke stejnému hospodářskému účelu. Je-li pojištěn soubor věcí, vztahuje se pojištění na všechny věci, které k souboru právě náleží. Věci, které přestaly být součástí souboru, přestávají být pojištěny. Pojištění se vztahuje i na věci, jež se staly součástí pojištěného souboru po uzavření pojistné smlouvy.

55

Pojišťovnictví Pojištění se vztahuje i na věci osobní potřeby zaměstnanců, které jsou pro pojištěné místo obvyklé nebo které se nacházejí na místě pojištění v souvislosti s výkonem povolání v zájmu zaměstnavatele nebo se tam nacházejí na výslovnou žádost zaměstnavatele. Musí to však být uvedeno v pojistné smlouvě. Pokud pojistná smlouva nestanoví jinak, pojištění se nevztahuje například na:        

platné tuzemské i cizozemské státovky, bankovky a oběžné mince, vkladní a šekové knížky, platební karty, cenné papíry a ceniny, písemnosti, plány, kartotéky, výdejní peněžní automaty, umělecká díla a sbírky.

Pojištění se vztahuje jen na předmět pojištění uvedený a vymezený v pojistné smlouvě. V pojištění jsou obvyklé také tzv. obecné výluky z pojištění. Znamená to tedy, že pojištění se nevztahuje na škody, které vzniknou: 1. následkem válečných událostí, jinými ozbrojenými konflikty a vnitrostátními nepokoji, jakož i s tím spojenými vojenskými, policejními a úředními opatřeními; 2. následkem vzpoury, povstání, stávky; 3. v důsledku teroristických aktů a jiných násilných jednání motivovaných politicky, sociálně, ideologicky nebo nábožensky. Kromě specifických druhů pojištění, které se orientují na úzký okruh rizik, je majetek v zásadě pojištěn na živelné události s případným připojištěním dalších rizik. Jednotlivá rizika musí být přesně charakterizována, stejně jako události, které jsou jejich realizací způsobeny. Mezi živelní rizika řadí komerční pojišťovny obvykle:             

Krupobití Náraz nebo zřícení letícího letadla, jeho části nebo nákladu Pád stromů a stožárů Povodeň Požár Sesouvání půdy, zřícení skal nebo zemin Sesouvání nebo zřícení lavin Tíha sněhu a námrazy Úder blesku Vichřice Výbuch Záplava Zemětřesení

Mezi základní skupiny pojištění majetku například patří: • pojištění pro případ poškození věci živelní událostí - pojištění smluvní dobrovolné, • pojištění staveb - pojištění smluvní dobrovolné, pojištění domácnosti - pojištění smluvní dobrovolné, • pojištění strojů a zařízení - pojištění smluvní dobrovolné, 56

Pojišťovnictví • pojištění pro případ poškození věci vodou z vodovodních zařízení - pojištění smluvní dobrovolné, • pojištění věcí pro případ škod způsobených atmosférickými srážkami - pojištění smluvní dobrovolné, • dopravní pojištění - pojištění smluvní dobrovolné, • pojištění pro případ poškození, zničení nebo odcizení motorového vozidla - pojištění smluvní dobrovolné, • pojištění pro případ odcizení věcí - pojištění smluvní dobrovolné, • pojištění pro případ uhynutí, nutného poražení nebo utracení hospodářského zvířete nebo pro případ trvalé ztráty plemenitby (též pojištění zemědělských rizik) - pojištění smluvní dobrovolné, • pojištění ztrát způsobených přerušením provozu (šomážní pojištění) - pojištění smluvní dobrovolné, • pojištění úvěrů pojištění smluvní dobrovolné. V následujícím textu budeme charakterizovat vybrané pojistné produkty patřící do pojištění majetku. Pojištění pro případ poškození nebo zničení věcí živelnou událostí Jedná se o všeobecná pojištění movitých a nemovitých věcí, které jsou pojištěny na živelná rizika. Mezi živelní rizika se řadí požár, výbuch, blesk, povodeň a záplava, lavina a sesuv půdy (s výjimkou sesuvu způsobeného průmyslovým podnikáním), vichřice, krupobití, tíha sněhu, pád cizích předmětů a skal (nejsou-li součástí pojištěné věci), zemětřesení. Protože jde o pojištění zdrojů rizik, která majetek ohrožují nejčastěji, považuje se toto pojištění za základ pojistné ochrany majetku a je obsažené v převážné části pojistných smluv. Pojištění se může týkat všech živelných rizik nebo, dle pojistné smlouvy, jen skupiny rizik. V zahraničí se uplatňuje jako základní riziko požár. Pojištění staveb Pojištění budov se orientuje buď na rizika živelních událostí, nebo je koncipováno jako sdružené pojištění obsahující i další rizika, která mohou ohrožovat pojištěnou stavbu. Realizuje se podle určení a využití pojištěné stavby, které vlastně určuje její vybavení a tím i úroveň rizika (jiná je situace v pojištění obytné budovy, obytného činžáku, jiná v pojištění chaty, garáže, hospodářské budovy a podobně). Riziko ovlivňuje i materiál, ze kterého je budova postavená, a její vybavení (například železná konstrukce má menší riziko vzniku škody např. požárem, než konstrukce ze dřeva). Těmto podmínkám odpovídají i sazby pojištění. Zastavěná plocha, výška budovy (počet podlaží), materiál, ze kterého je budova postavená a její vybavení určují cenu budovy jako základnu pro stanovení pojistného. Uvedeným pojištěním jsou kryté pouze škody způsobené pojištěnými riziky na vlastní budově a zařízení, které je součástí budovy. Proto se toto pojištění může kombinovat s dalšími pojištěními a riziky, jako jsou například pojištění domácnosti, pojištění oplocení a ohrad, elektromotorů apod. Pojištění strojů a strojních zařízení Jedná se o široké pojištění strojů a strojních zařízení, které se v praxi označuje jako „lom strojů“. Zahrnuje v sobě jakékoliv poškození strojů a strojních zařízení, způsobené jejich provozem. Pojištění se vztahuje i na jejich poškození nesprávnou obsluhou, údržbou nebo opravou, při přepravě na místo montáže, při montáži apod. V tomto pojištění není tedy zahrnuté pojištění v důsledku živelních událostí (avšak lze připojistit). Z pojištění jsou vyloučena poškození způsobená běžným užíváním těchto zařízení, zvláště korozí, poškození 57

Pojišťovnictví těsnění automatických praček, audiovizuální techniky a podobně. Pojištění se konstruuje podle jednotlivých druhů strojů a strojních zařízení. Pojištění pro případ poškození nebo zničení věcí vodou z vodovodních zařízení Pojištění se vztahuje na všechny škody způsobené na pojištěných věcech vodou unikající z vodovodního zařízení nebo z nádrže, jinou kapalinou nebo párou unikající z ústředního, etážového nebo dálkového topení, vodou unikající z odváděcího potrubí, stejně jako i náplní (nejen vodou) vytékající ze samočinného zařízení. V rámci pojištění se kryjí i škody na pojištěných budovách, které vzniknou v důsledku přetlaku kapaliny nebo páry nebo zamrznutí vody v potrubích patřících k budově. Toto pojištění může být součástí pojištění budovy nebo domácnosti. U podnikatelů se uplatňuje zvláště v oblasti skladového hospodářství na pojistnou ochranu zásob. Pojištění věcí pro případ škod způsobených atmosférickými srážkami Pojištění se obvykle koncipuje jako součást některého pojištění, případně samostatně. Zahrnuje poškození věci v důsledku atmosférických srážek, zvláště zatečením. Zvláštním pojistným typem je újma, která vznikne pořadateli sportovní, kulturní nebo jiné akce, na zisku nebo jiných nákladech navíc, protože akce se v důsledku změny počasí konala v menším rozsahu nebo se neuskutečnila vůbec. V poslední době se projevuje na pojistném trhu požadavek krýt takovéto náklady i v případě dovolené, kterou narušilo neočekávané nepříznivé počasí. Dopravní pojištění Dopravní pojištění je pojištění škod, které mohou vznikat jednak na dopravním prostředku, nebo na přepravovaném zboží. Rizika na přepravovaném zboží existují po dobu trvání přepravy nebo přípravy na přepravu. Dopravní pojištění dělíme podle více hledisek podle druhu pojistné potřeby • • •

pojištění dopravního prostředku (kasko), pojištění přepravovaného zboží (kargo), pojištění ostatních potřeb, jako jsou například imaginární zisk, nájemné, dopravné, clo apod.

podle způsobu přepravy • • • •

pojištění námořní a říční dopravy, pojištění vnitrostátní dopravy, pojištění letecké dopravy, pojištění kombinované dopravy, je-li třeba na přepravu zboží nebo pasažérů použít více na sebe navazujících způsobů dopravy,

podle doby trvání pojištění • •

pojištění jedné cesty nebo určitého času, který se nemusí shodovat s dobou trvání cesty, běžné pojištění.

Pojištění motorových vozidel Pojištění motorových vozidel - havarijní pojištění (kasko) má za úkol poskytnout pojistné plnění majiteli nebo držiteli vozidla v případě pojistné události, tj. v případě poškození, zničení nebo odcizení motorového vozidla. Může jít o škody, které vzniknou v důsledku: 58

Pojišťovnictví -

jakékoliv živelní události, krádeže, loupeže, vandalství, poškození, zničení nebo odcizení motorového vozidla, neoprávněného používání vozidla, dopravní nehodou, způsobenou jakoukoliv událostí, včetně nesprávného jednání řidiče motorového vozidla.

Pojištění pro případ odcizení věcí Pojištění se vztahuje na věci, jestliže byly odcizené způsobem, při kterém musel pachatel překonat překážky nebo opatření chránící věc před odcizením. Některé předměty pojistné ochrany, jako jsou například peníze, ceniny, drahé kovy apod., si vyžadují, aby byly chráněné před odcizením zvláštními bezpečnostními opatřeními (musí být například uzamčeny v pancéřové skříňce nebo způsobem stanoveným v pojistné smlouvě). Z pojištění jsou hrazeny i škody způsobené loupeží, což znamená, že pachatel použil násilí nebo prostředky bezprostředního násilí, aby věc odcizil. Pojištění zemědělských rizik Toto pojištění se realizuje v zemědělství jako pojištění plodin a pojištění hospodářských zvířat a jiná pojištění zemědělských rizik. Pojištění plodin se vztahuje na různá, zvláště živelní rizika, která mohou ohrozit jednotlivé pěstované plodiny a rostliny. Pojistit je možné jednotlivá rizika, stejně jako jednotlivé plodiny, jako jsou obilí, tabák, chmel, zelenina, vinná réva, ovocné stromy a podobně. Pojištění důsledků vyplývajících z přerušení provozu (šomážní pojištění) Přímé materiální škody způsobené jednotlivými pojištěnými riziky, bývají často nižší, než celkové ztráty způsobené přerušením provozu. Tyto ztráty z velké části kryje pojištění škod způsobených přerušením provozu. Pojistná ochrana se vztahuje na majetkové či peněžní újmy, které nejsou zahrnuté do žádného věcného pojištění. Šomážní pojištění se vztahuje na případy úplného nebo částečného přerušení provozu u podnikatele, a to v důsledku některé pojištěné živelné události, nebo poškození strojů a strojních zařízení které jsou na tento účel pojištěny, při kterém nemůže pojištěný produkovat a vytvářet zisk. Z pojištění bývají tedy uhrazené ztráty na zisku a nezbytné náklady, které se vynakládají po dobu úplného nebo částečného zastavení provozu v důsledku události uvedené v pojistné smlouvě. Velikost způsobených škod závisí například na velikosti podniku, jeho rentabilitě a velikosti přímých materiálových škod i na době potřebné k opětovnému obstarávání zničených nebo poškozených pojištěných věcí, na vzájemné závislosti jednotlivých útvarů na výrobě, na místní koncentraci výroby a také na účinnosti opatření ke snížení rozsahu škody a urychlení obnovy provozu. Komerční pojišťovna má zájem na urychleném zahájení provozu, a proto z pojištění hradí i náklady spojené s jeho urychleným obnovením. Pojištění úvěrů Pojištění úvěrů můžeme charakterizovat jako majetkové pojištění pro případ ztráty z obchodního styku. Jde o pojistný druh, jehož předmětem je riziko nezaplacení úvěru dlužníkem v případech dohodnutých v pojistných podmínkách. V podstatě je pojištění úvěrů rozdělené na pojištění vnitrostátních a exportních úvěrů.

11.3.2

Pojištění odpovědnosti za škodu

Pojištění odpovědnosti za škodu se vztahuje na škody způsobené pojištěným na majetku a zdraví nebo zájmech jiných osob a organizací (tzv. třetích osob). Potřeba pojištění 59

Pojišťovnictví odpovědnosti za škodu je daná kulturním a technickým rozvojem lidstva a jeho ekonomiky a také jeho sociálních potřeb. Pojištění zákonné odpovědnosti odráží moderní vývoj práva v myšlence, že každý, kdo vykonává činnost, kterou může ohrozit osobu nebo majetek třetího, bezpodmínečně ručí za škody vzniklé touto činností. Pojištění na sebe přebírá tíhu všech druhů zákonných náhrad a zbavuje pojištěného povinnosti zaplatit škody v případě, že by pro něj v oblasti pojistné ochrany vyplynuly povinnosti náhrady škody. Základní úlohou pojištění občanské odpovědnosti je zabezpečit majetkové újmy poškozených občanů a organizací, kterým byla způsobena škoda. To je hlavní důvod, proč má toto pojištění odpovědnosti za škodu velký ekonomický a zvláště sociální význam. Pojistnou události v pojištění odpovědnosti za škodu je událost, při které vznikla škoda na majetku, zdraví a životě třetí osoby (poškozeného) a za tuto událost pojištěný podle právních norem nese odpovědnost. Pojištění odpovědnosti za škodu je vlastně pojištění následků vyplývajících z nedokonalé činnosti lidí. V pojištění odpovědnosti za škodu se předpokládá skutek • • •

který zapříčinil škodu třetí osobě, za který pojištěná osoba nese objektivní odpovědnost, na základě kterého vznese poškozený (třetí osoba) nárok vůči pojištěné osobě.

Prvotní škodová či pojistná událost nastává v cizí majetkové sféře (poškozená je třetí osoba) a až vznesením nároku se vrací zpětnými účinky do majetkové sféry pojistníka. Pro pojištění odpovědnosti není rozhodující škoda vznikající v cizí sféře, ale pouze ta část škody, která hrozí pojištěnému, že ji bude snášet jako následek nároků na úhradu vyplývající z právních předpisů. Škoda - jakákoliv újma, která postihne majetek, osobu nebo práva třetí osoby - rozsah újmy může být velmi intenzívní. Obsahem pojištění odpovědnosti za škodu je právo pojištěného, aby pojistitel za něho uhradil škody, za které odpovídá a které by jinak musel uhradit sám. Povinnost uhradit různé škody, které občan způsobil jinému a za které odpovídá, je dána různými právními předpisy. Základní členění odvětví pojištění odpovědnosti za škodu v zásadě odráží strukturu a vymezení jednotlivých pojistných druhů odpovědnosti tak, jak vyplývá z právních předpisů zejména z občanského zákoníku, například obecná odpovědnost a dále případy zvláštní odpovědnosti. Pracovněprávní odpovědnost upravuje zákoník práce, a to jak odpovědnost zaměstnavatele vůči zaměstnanci, tak i odpovědnost zaměstnance vůči zaměstnavateli. Pojištění odpovědnosti za škodu pak může být koncipováno široce, tj. když jeho rozsah zahrnuje veškerou odpovědnost pojištěného subjektu, nebo mohou být některé druhy odpovědnosti tohoto subjektu z pojištění vyloučeny, popř. může jít o specifické pojištění pouze vybraného druhu odpovědnosti. Přísně vymezený druh odpovědnosti je vždy předmětem zákonného či smluvního povinného pojištění. Tyto druhy odpovědnosti jsou pak přesně specifikovány v příslušných právních předpisech, upravujících tato pojištění. V oblasti smluvního dobrovolného pojištění odpovědnosti za škodu lze pojistit jakýkoliv druh odpovědnosti mající charakter nahodilosti. Konkrétní pojištění pak závisí na příslušných pojistných podmínkách pojistitele a dalších smluvních ujednáních či specifických pojistných podmínkách. V každé tržní ekonomice tak existují různá pojištění odpovědnosti za škodu provozovaná jednotlivými pojistiteli. Vzhledem k různorodým oblastem odpovědnosti za škodu je toto pojištění velmi variabilní. Jedná se například o následující pojištění •

odpovědnosti za škodu při pracovním úraze nebo nemoci z povolání » zákonné pojištění, 60

Pojišťovnictví • • • • • • • • • • • •

odpovědnosti za škodu způsobenou provozem vozidla » smluvní povinné pojištění, odpovědnosti z provozu organizace » smluvní dobrovolné pojištění, odpovědnosti organizace za škodu způsobenou zaměstnancům » smluvní dobrovolné pojištění, odpovědnosti z výkonu povolání » smluvní dobrovolné pojištění, odpovědnosti za škodu z provozu letadla » smluvní povinné pojištění, odpovědnosti za škodu při výkonu lovecké činnosti » smluvní povinné pojištění, odpovědnosti za škodu způsobenou vadným výrobkem » smluvní dobrovolné pojištění, odpovědnosti za škody způsobené na životním prostředí (environmentální pojištění) » smluvní dobrovolné pojištění, odpovědnosti za škodu v občanském životě » smluvní dobrovolné pojištění, odpovědnosti za škodu způsobenou činností lékařů » smluvní povinné pojištění, odpovědnosti za škodu způsobenou činností auditorů » smluvní povinné pojištění, odpovědnosti za škodu způsobenou činností komerčních právníků » smluvní povinné pojištění.

V následujícím textu jsou charakterizována vybraná pojištění odpovědnosti za škodu. Pojištění odpovědnosti za škodu při pracovním úraze nebo nemoci z povolání Od 1. 1. 1993 existuje v České republice zákonné pojištění odpovědnosti za škodu při pracovním úraze nebo nemoci z povolání. Přímo ze zákona je organizace (právnická i fyzická osoba), zaměstnávající alespoň jednoho pracovníka, pojištěna pro případ své odpovědnosti za škodu při pracovním úraze nebo nemoci z povolání. Pojištění se nevztahuje na organizace, které mají postavení státního orgánu. U České pojišťovny, a.s. jsou pojištěny organizace, které s ní měly sjednáno toto pojištění k 31. 12. 1992. Ostatní organizace byly pojištěny podle sídla v příslušném okrese bud' u České Kooperativy, a.s. nebo u Moravskoslezské Kooperativy, a.s., v současnosti po sloučení obou pojišťoven u Kooperativa pojišťovny, a.s. Z uvedeného rozsahu pojištění vyplývá, že se týká pouze odpovědnosti za škodu při pracovních úrazech a nemocích z povolání, jak je vyjádřena v zákoníku práce, v § 190 a následujících. Významné je zejména ustanovení § 193 zákoníku práce, upravující nároky pracovníka, tj. ztrátu na výdělku, bolest a ztížení společenského uplatnění, účelně vynaložené náklady spojené s léčením a věcnou škodu. Vyhlášku, kterou se stanoví podmínky a sazby pojistného, vydalo Ministerstvo financí pod číslem 125/1993 Sb. Pojištění odpovědnosti za škodu způsobenou provozem vozidla Uvedené pojištění kryje v České republice za pojištěného všechny škody, které jsou způsobené provozem vozidla (kterého je vlastníkem) jiným, třetím osobám. Zároveň pojišťovna pojištěnému poskytuje právní ochranu při soudním projednávání způsobené újmy v trestním řízení. Pojištění se vztahuje na způsobené škody i tehdy, když je nezpůsobil pojištěný vlastník motorového vozidla, ale jiná osoba, případně řidič, který vozidlo odcizil. V případě odcizení pojišťovna vymáhá od pachatele všechna vyplacená pojistná plnění. Pojištění má v České republice charakter smluvního povinného pojištění, které vzniká sjednáním pojistné smlouvy. Toto pojištění se vztahuje na všechna vozidla bez ohledu na to, 61

Pojišťovnictví zda bylo nebo nebylo zaplacené pojistné. Otázka vymáhání pojistného je věcí komerční pojišťovny, tj. ve smyslu zákona musí vymáhat nezaplacené pojistné včetně škod, které pojištěný nesplněním zákonné povinnosti způsobil a dalších zákonem stanovených sankcí. Poškozený v porovnání se smluvními dobrovolnými pojištěními, která uzavře na svá rizika, dostane z odpovědnostního pojištění v případě majetkové škody pouze skutečnou škodu, která mu vznikla. V České republice je od 1. 1. 2000 smluvním povinným pojištěním. Pojištění provozuje více pojistitelů, kteří plní podmínky k tomu stanovené. Byl vytvořen garanční fond s účastí těchto pojistitelů, z něhož se poskytují odškodnění v případech, kdy není možné plnit dle pojistné smlouvy např., pokud škoda byla způsobena provozem nezjištěného vozidla nebo pokud vozidlo nebylo pojištěno aj. V České republice je koncipována „Česká kancelář pojistitelů", jejímiž členy jsou pojišťovny provozující toto pojištění (dle zákona č. 168/1999 Sb., o pojištění odpovědnosti za škodu způsobenou provozem vozidla). Pojištění odpovědnosti za škodu způsobenou provozem organizace Pojištění se realizuje jako smluvní dobrovolné pojištění podnikatelských subjektů a jiných organizací za škodu, kterou může způsobit organizace svým provozem třetím osobám. Využívá se zvláště v oblasti služeb, kde se pojišťují škody, které mohou vzniknout na opravovaných věcech při jejich uskladnění a opravě, na odložených svršcích například u kadeřníka, holiče, v hotelu, restauraci apod. Může se však jednat i o škody, za které odpovídá výrobce při výrobním procesu, např. škody způsobené návštěvníkům a exkurzím ve výrobních halách; poškození okolních budov při výbuchu v továrně; škody, které jsou způsobeny nepovolenými skládkami apod. Pojištění odpovědnosti za škodu způsobenou při výkonu povolání Pojištění se realizuje jako smluvní dobrovolné pojištění zaměstnanců. Vztahuje se na škody uvedené v pojistných podmínkách, které způsobí zaměstnanec svému zaměstnavateli svojí činností vykonávanou v souvislosti s pracovní činností. Jedná se zvláště o neúmyslné poškození majetku zaměstnavatele a způsobení jiné majetkové újmy. Pojištění se zpravidla nevztahuje na věci, které jsou zaměstnanci svěřené do užívání a za které odpovídá na základě hmotné odpovědnosti. Pojištění se původně uzavíralo s odborovou organizací pro její členy. V současnosti jde o individuální pojištění. Pojištění odpovědnosti za škodu způsobenou vadným výrobkem Pojištění odpovědnosti za škodu způsobenou vadným výrobkem nabývá stále většího významu. Na začátku století ho zavedli v USA zvláště pro výrobce a distributory potravinářských výrobků (zvláště konzervy), které nedostatečnou a nekvalitní dopravou a technologickým zpracováním způsobovaly zdravotní těžkosti svým spotřebitelům. V současnosti se toto pojištění uplatňuje na všechny druhy výrobků. V České republice je toto pojištění nabízeno zatím jako smluvní dobrovolné pojištění, a to více komerčními pojišťovnami, přičemž některé uplatňují princip loss occurence a některé princip claims made. Rozdíl mezi oběma principy je značný a je vysvětlen následovně: princip loss occurence, kde pojištění odpovědnosti za výrobek chrání pojištěného proti možným následkům odpovědnosti za škody, které výrobek způsobí v době platnosti pojistné smlouvy, 62

Pojišťovnictví princip claims made, kde pojištění odpovědnosti za výrobek kryje škody, které mohly nastat v minulosti, ale i jejich následky, to znamená uplatnění nároku na náhradu škody, se projeví až v průběhu pojistného období platné pojistné smlouvy; pojistnou událostí tak není datum, kdy vadný výrobek způsobil škodu, ale datum, kdy poškozený písemně uplatnil nárok na náhradu škody u pojištěného. Je velmi obtížné rozhodnout, který z obou principů je výhodnější. Ve světě však začíná převažovat princip loss occurence. U pojištění odpovědnosti za výrobek je pojistné zpravidla kalkulováno jako určitý díl z předpokládaného obratu, přičemž se přihlíží k rizikovosti výrobků, pojištěnému rozsahu zeměpisného krytí, dosavadnímu škodnímu průběhu a zvolené výši limitu pojistné náhrady. Pojištění odpovědnosti za škodu manažerů, ředitelů a členů představenstev Pojištění odpovědnosti za škodu manažerů se vztahuje na ředitele, člena představenstva nebo jiného statutárního orgánu či kteréhokoliv manažera uvedeného jmenovitě v pojistné smlouvě v souvislosti s výkonem jejich vedoucí funkce ve společnosti a stanoveného zákonného ručení za škodu vzniklou třetím osobám, pokud pojištěný za ni odpovídá v důsledku • • •

svého jednání nebo nečinností jednání, jakým je například opomenutí, přehlédnutí a podobně, nebo jednání uskutečněná při poskytování odborných služeb; porušením zásad nebo pokynů schválených orgány společnosti, zejména valnou hromadou, členskou schůzí apod.; porušení rozsahu svého jednatelského oprávnění nebo vztahu z doby trvání pojištění.

Pojistnou událostí je vznik povinnosti pojištěného nahradit během doby pojištění vzniklou škodu, za kterou pojištěný odpovídá a je povinen ji uhradit. Pojistníkem bývá většinou právnická osoba, které může být způsobena škoda a je možné sjednat pojištění jak pro jednotlivce tak i skupinový orgán.

11.3.3

Pojištění osob

Pojištění osob slouží ke krytí předpokládaných rizik podnikatele, jeho rodiny i jeho zaměstnanců v občanském životě. Finanční prostředky získané z dané pojistky pak mohou být použity k zabezpečení rodinných příslušníků i podnikatele samotného, protože v důsledku trvalých následků může dojít ke změně pracovní schopnosti a tím i možnému omezení příjmů. Pojistné produkty, které se řadí do pojištění osob, je možné rozdělit na pojištění • •

riziková - tedy ta, u nichž se neví, zda dojde k pojistné události, což znamená, že je nějaká pravděpodobnost pro vyplacení pojistného plnění, rezervotvorná - jedná se o pojištění, u nichž bude pojistné plnění vyplaceno vždy, a to pojištěnému či pozůstalým.

Pojištění léčebných výloh v zahraničí (cestovní pojištění) Pojištění léčebných výloh v zahraničí je nejdynamičtěji se rozvíjející pojistný druh v pojištění osob. Předmětem pojištění je úhrada z lékařského hlediska nezbytných nákladů na ošetření pojištěného, kterému se musel během svého pobytu podrobit v důsledku nemoci nebo úrazu. Toto pojištění je provozováno s devizovým zahraničním soupojistitelem vzhledem k nutnosti devizového pojistného plnění.

63

Pojišťovnictví Pojištění začíná obyčejně v okamžiku, kdy pojištěný překročil hranice České republiky, ovšem nikoliv před datem uvedeným v pojistce jako den počátku pojištění. Při sjednávání pojištění v den výjezdu do zahraničí se k datu připojí rovněž hodina, kdy byla pojistka uzavřena. Základem cestovního pojištění je pojištění nákladů, které jsou v souvislosti s pojistnou událostí z lékařského hlediska nezbytné, tj. lékařské ošetření, pobyt v nemocnici, léky předepsané lékařem, náklady na převoz do nejbližšího lékařského zařízeni popřípadě zpět do České republiky, i náklady na nezbytný doprovod, náklady na převoz tělesných ostatků do místa trvalého bydliště apod. Pojištění příjmů v době pracovní neschopnosti Relativně novým pojistným produktem je pojištění příjmů v době pracovní neschopnosti. V dřívějších dobách mzdové nivelizace, kdy příspěvky ze sociálního zabezpečení v době nemoci byly adekvátní v poměru k většině příjmů, nebylo toto pojištění nutné. V současné době však maximální limit tzv. nemocenského způsobuje, že příjem v nemocnici je pro zaměstnance nebo podnikatele s vyššími příjmy pouze zlomkem jejich obvyklého příjmu. Nemocnost těchto příjmových kategorií je také podstatně nižší, protože nemoc často řeší čerpáním dovolené nebo přecházením nemoci. Zejména pro déle trvající nemoci je skutečným řešením sjednání pojištění příjmu pro případ pracovní neschopnosti. Pojištění se sjednává na výplatu určité denní částky. Sjednaná pojistná částka je vyplácena po dobu pracovní neschopnosti, obvykle se však stanoví, že k výplatě dochází až po uplynutí určité doby. Příbuzným pojištěním je sjednání výplaty denní částky při pobytu v nemocnici, případně zajištění nadstandardního pobytu v nemocnici. Úrazové pojištění Obsahem úrazového pojištění je finanční zabezpečení pojištěné osoby v případě, kdy v důsledku úrazu u ní dojde k přechodnému nebo trvalému poškození nebo k smrti. U úrazového pojištění je nutné rozlišovat dva základní pojmy: • •

doba nezbytného léčení - doba, která je třeba ke zhojení nebo ustálení poškození; podle této doby se stanoví procento z pojistné částky; trvalé následky úrazu - zjišťuji se zpravidla rok po úrazu, kdy je zdravotní stav ustálen a jde zjistit, jak se tyto následky podílí na zdravotním stavu; částka vyplacená jako pojistné plnění bývá vyšší při trvalých následcích úrazu než u doby nezbytného léčení.

Pojistnou událostí v úrazovém pojištění je úraz pojištěného. Úrazem se rozumí neočekávané a náhlé působení zevních sil, kterými bylo poškozenému nezávisle na jeho vůli způsobeno tělesné poškození nebo smrt. Za úraz se považuje i stav, kdy v důsledku zvýšené svalové síly vyvinuté na končetiny nebo páteř dojde k vymknutí kloubu nebo přetržení svalů, šlach, vazů nebo pouzder. Pojištění se týká pojistných událostí, které nastanou během trvání pojištění, a jeho územní platnost není omezena. Povinností pojištěného je bez zbytečného odkladu vyhledat po úrazu lékařskou pomoc a léčit se podle pokynů lékaře. Úrazové pojištění je provozováno jako pojištění na pojistnou částku. Výše pojistného plnění nemůže být dána výší škody, ta je v těchto případech velmi obtížně ohodnotitelná. Úrazové pojištění bývá nejčastěji kombinováno s dalšími pojištěními, a to životním pojištěním. Může 64

Pojišťovnictví být tedy sjednáno bud' samostatně pro různé věkové kategorie nebo jako důležitá složka sdružených pojištění anebo jako doplňkové pojištění k životnímu pojištění.

11.4

Životní pojištění

Životní pojištění má poměrně dlouhou tradici, je spojeno se vznikem pojištění. Historicky bylo v popředí riziko smrti, dále zabezpečení pohřbu a podpory pro pozůstalé. Soudobé pojištění představuje souhrn různých skupin pojištění, která kombinují, resp. sdružují dvě základní rizika • •

riziko smrti - pojištěný v pojistné smlouvě určí osobu, které má pojistnou událostí vzniknout právo na plnění, riziko dožití - představuje dlouhodobý proces spoření a pojištění formou placení pojistného; tuto část pojistného komerční pojišťovna ukládá do rezerv životního a důchodového pojištění; takto vytvořené rezervy jsou velmi vhodné k tomu, aby jich bylo použito na investiční činnost a umístění na finančním trhu.

Životní pojištění je pojistné odvětví, které se orientuje na pojištění rizika dožití nebo úmrtí. Jeho charakteristickým rysem je, že v každém případě pojišťovna vyplatí pojistné plnění. Základním principem pojištění je vyplatit dohodnutou pojistnou částku v případě, že se pojištěný dožije data konce pojištění, resp. data zvlášť dohodnutého v pojistné smlouvě, nebo při předčasném úmrtí. Pojištění může být navíc kombinované s podílem pojištěného na přebytcích pojištění nebo na zisku z investovaných prostředků. Tento podíl se často realizuje ve formě prémie, případně i valorizace pojistných částek. V případě osvobození od placení zase pojišťovna zaručuje, že všechny nároky vyplývající z pojištění budou zachovány přesto, že pojištěný nebude platit pojistné. Osvobození od placení pojistného se realizuje v případech, kdy se pojištěný stane trvale invalidním a uplatňuje se po celou dobu jeho invalidity. Životní pojištění mají širokou variabilitu. Mezi tato pojištění se zařazují i důchodová pojištění. U všech životních pojištění, hlavně u pojištění pro případ smrti nebo pojištění pro případ invalidity, resp. důchodovém pojištění je uzavření smlouvy závislé na zdravotním stavu pojišťovaného. Návrh na pojištění obsahuje obvykle otázky na zdravotní stav pojištěného. Pojišťovaná osoba je povinna je pravdivě zodpovědět, v některých pojištěních je předepsaná lékařská prohlídka a sjednání pojištění je vázáno na výsledek lékařské prohlídky. Podmínkami pro sjednání pojistné smlouvy v životním pojištění je vstupní věk, pojistná doba, doba placení pojistného a druh pojistné události. Nejnižší vstupní věk u životního pojištěni v České republice je 15 let, nejvyšší vstupní věk je potom 65 let. Limitní termín pro pojistné plnění (tj. dokdy je pojišťovna povinna plnit) je obvykle 85 let. V rámci životního pojištění lze u komerčních pojišťoven v ČR sjednat • • • • • • •

Pojištění pro případ smrti nebo dožití. Pojištění pro případ smrti. Trvalé pojištění pro případ smrti. Kapitálové životní pojištění. Pojištění pro děti a mládež. Investiční životní pojištění. Důchodové pojištění. 65

Pojišťovnictví Životní pojištění je jedním ze základních pojistných odvětví. Toto pojistné odvětví výrazným způsobem přispívá k sociální jistotě i těch, kteří se pojistili nebo sjednali pojištění pro někoho jiného. Komerční pojišťovny se při nabídkách svých pojistných produktů zaměřují na různé vrstvy obyvatelstva. V následujícím textu si vysvětlíme některé pojistné produkty z odvětví životního pojištění. Pojištění pro případ smrti nebo dožití Pojištění pro případ smrti nebo dožití je životní pojištění, u něhož je možné uzavřít pojištění na libovolné vysokou pojistnou částku s dobou placení 10, 15 a více let. Pojistná částka je plněna v případě smrti v době platnosti pojištění nebo při dožití konce pojištění. V případě přiznání plného invalidního důchodu je pojištěný zproštěn dalšího placení pojistného, přičemž pojištění pokračuje v původním rozsahu až do konce původně sjednané doby. Pojistné plnění je zvyšované valorizací, tj. každoročním podílem pojištěného na výnosech rezerv životního a důchodového pojištění. Kromě valorizace jsou vložené prostředky zhodnocovány základním úročením a zvláštními prémiemi. Při valorizaci jednotlivých druhů pojištění se přihlíží k tomu, jaký byl jejich podíl na tvorbě rezerv. Při dodržování veškerých stanovených podmínek pojistné smlouvy se sečtené valorizované hodnoty za všechna léta trvání životního pojištění vyplatí pojištěnému spolu s původně sjednanou pojistnou částkou zvýšenou o zvláštní prémii po skončení daného pojištění (tj. při dožití určitého věku). Zvláštní prémie jsou zaručeny smluvně. Pojištěný dostává navíc formou zvláštních prémií nad pojistnou částku 15 - 50 % výše smluvené pojistné částky v závislosti na době trvání pojištění. V budoucnu by měly být valorizace a zvláštní prémie sloučeny do formy podílu na zisku. U již sjednaných pojištění však zůstanou zvláštní prémie zachovány. Pojištění pro případ smrti Nejčastěji je toto pojištění využíváno podnikateli, neboť některé bankovní instituce podmiňují poskytnutí úvěru uzavřením tohoto pojištění. Pojištění lze sjednat na dobu 5, 10, 15 let a déle. Nejvyšší pojistná částka není omezena. Trvalé pojištění pro případ smrti Trvalé pojištění pro případ smrti je druh pojištění, který se sjednává pouze pro určitý počet let. Pojistná částka bude vyplacena v případě smrti pojištěného i po uplynutí doby placení pojistného, resp. v případě dožití se určitého sjednaného věku. Kapitálové životní pojištění Tento pojistný produkt poskytuje výhodné moderní životní pojištění a též dobrou finanční investici. Poskytuje také nejvyšší pojistnou ochranu s nárůstem kapitálové hodnoty. Vložené peněžní prostředky přináší i podíly na zisku, které jsou připisovány k produktům kapitálového životního pojištění. Toto pojištění zahrnuje kombinaci pojistné ochrany s různými variantami investování a s různou dobou výplaty pojistných plnění a možností připojištění dalších rizik. Investiční životní pojištění Tento pojistný produkt představuje spojení pojištění a dlouhodobého spoření. Poskytuje účinnou ochranu před individuálními riziky a umožňuje připojištění dalších rizik. Peněžní prostředky z tohoto pojištění se v průběhu pojistné doby zhodnocují prostřednictvím různých nástrojů a finančních fondů na finančním trhu.

66

Pojišťovnictví Důchodové pojištění Důchodové pojištění je vlastně pojištění na dožití se sjednaného věku s postupnou výplatou pojistné částky. V rámci důchodového pojištění se uskutečňuje výplata různých druhů důchodů starobní, invalidní, sirotčí, vdovský, vdovecký, důchod rodičů, důchod druha a družky, důchod sourozenců apod. O tom, jaký důchod se v rámci důchodového pojištění uplatní, rozhoduje pojistník tím, že volí ve prospěch koho důchodové pojištění sjedná. Pouze v případě, že pojistník neurčuje ve prospěch koho se bude vyplácet nebo jeho volbu nelze realizovat, určuje zákon pořadí osob majících nárok na pojistná plnění. Při důchodovém pojištění je možné získat jistotu a zabezpečení pro případ složitých životních situací, jakou je například plná invalidita. Je to jistota nejen pro sebe, ale v případě odchodu ze života i pro celou rodinu nebo nejbližší. Současně se však vytváří finanční rezerva, která po odchodu na zasloužený odpočinek přispívá doživotně podstatným způsobem k udržení dosaženého životního standardu klienta. Důchodové pojištění má doplnit důchody poskytované jako dávky sociálního zabezpečení ze systému sociálního pojištění řízeného státem. Pojistné plnění se může vyplácet bud' formou pravidelného důchodu nebo jednorázově od určitého sjednaného věku pojištěného. Výše ročního doživotního důchodu musí být sjednána v pojistné smlouvě. Důchod se vyplácí zpravidla od výročního dne v roce, kdy se pojištěný dožije věku uvedeného v pojistné smlouvě.

67

Matematika životního pojištění

ČÁST II. MATEMATIKA ŽIVOTNÍHO POJIŠTĚNÍ

68

Matematika životního pojištění

12 Úmrtnostní tabulky 12.1

Popis a konstrukce úmrtnostních tabulek

Předmětem životního pojištění jsou pojistné události, které se týkají lidského života. Konkrétně spočívá pojistná událost v úmrtí nebo dožití se určitého věku. Oba tyto jevy mají náhodný charakter, a mohou být tedy popsány jen s použitím pravděpodobnostních nástrojů. Pojistné smlouvy životního pojištění se zpravidla uzavírají na delší časová období a navíc s tím, že pojišťovna nemůže od smlouvy odstoupit. Proto je z hlediska pojišťovny žádoucí mít co nejlepší odhad rizika, které na sebe uzavřením pojistné smlouvy bere. To je také důvodem toho, že pojištěný často musí před sepsáním pojistné smlouvy absolvovat zdravotní prohlídku. Odhad rizika úmrtí z přirozených příčin je však potom možné získat relativně přesně. Základem pro odhady rizika úmrtí jsou tzv. úmrtnostní tabulky. Úmrtnostní tabulka je popisem vývoje hypotetické populace založeným na informacích o úmrtnosti obyvatel daného státu v jednoletých či víceletých věkových třídách podle údajů z běžné evidence obyvatelstva a posledního sčítání lidu. Tabulka popisuje tzv. dekrementní řád vymírání populace podle věku v daném prostoru a čase. U nás publikuje celostátní úplné (jednoleté) i krajské zkrácené (víceleté) úmrtnostní tabulky každoročně Český statistický úřad (ČSÚ), zvlášť pro muže a zvlášť pro ženy. Tyto tabulky jsou konstruovány na základě úmrtnostních zkušeností určitého roku nebo krátkého (např. tříletého) období. Někteří autoři proto charakterizují takové úmrtnostní tabulky jakožto jakýsi „snímek“ vývoje hypotetické populace a v klasifikaci úmrtnostních tabulek se označují často přívlastkem běžné, někdy také průřezové či okamžikové. Běžné úmrtnostní tabulky tedy neobsahují úmrtnostní charakteristiky vztahující se k celému životu téhož průměrného jedince. Pokud např. máme běžnou úmrtnostní tabulku za rok 2013, budou pro jedince, který se narodil v roce 1963 v průměru platit pravděpodobnosti úmrtí a dožití 50leté osoby. Bude-li nás zajímat, jaké budou pravděpodobnosti úmrtí či dožití pro uvažovaného jedince např. po dovršení 70 let, dozvíme se to až z běžných úmrtnostních tabulek za rok 2033. Tyto pravděpodobnosti budou pochopitelně obecně odlišné od pravděpodobností plynoucí z úmrtnostních tabulek za rok 2013 pro 70letou osobu. Skutečný záznam průběhu života konkrétní generace současně narozených jedinců (např. ročníku 1940) představují tzv. generační (kohortní) úmrtnostní tabulky, které ovšem vyžadují provádění odhadů budoucího vývoje úmrtnosti. V dalším výkladu se budeme držet struktury i způsobu, kterým konstruuje běžné úplné úmrtnostní tabulky ČSÚ. Tato struktura a konstrukce jednotlivých veličin je vždy v úvodu příslušné publikace stručně popsána. Konkrétní tvar běžné úplné úmrtnostní tabulky ukazuje tabulka 12.1.1.

69

Matematika životního pojištění Tabulka 12.1.1 Úmrtnostní tabulka mužů ČR v roce 2013 x

Dx

Px

qx

lx

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55

158 19 6 9 5 6 6 5 8 4 5 6 8 5 2 10 13 21 35 59 47 46 51 46 67 56 51 54 58 67 59 69 72 80 108 110 102 107 121 150 111 148 146 179 206 193 212 261 302 333 293 342 348 402 432 577

55152 55901 58701 61650 62436 61694 58202 54389 51674 49512 48235 47537 47061 46455 46136 46505 46694 48369 52871 59260 63108 65445 67715 67834 69070 70551 71420 73083 74242 74690 75582 76661 79517 86022 91362 93327 95220 97073 98416 96129 88715 81686 77582 74647 71428 69577 69925 71525 74506 74534 69207 64547 63029 61929 63336 67704

0,002888 0,000340 0,000102 0,000146 0,000084 0,000094 0,000100 0,000112 0,000109 0,000106 0,000121 0,000128 0,000116 0,000109 0,000117 0,000162 0,000274 0,000511 0,000688 0,000798 0,000829 0,000746 0,000720 0,000793 0,000816 0,000802 0,000776 0,000748 0,000780 0,000825 0,000855 0,000855 0,000907 0,001027 0,001088 0,001123 0,001115 0,001184 0,001217 0,001363 0,001491 0,001671 0,002006 0,002405 0,002617 0,002909 0,003178 0,003591 0,003932 0,004311 0,004593 0,005070 0,005536 0,006360 0,007225 0,008091

100000 99711 99677 99667 99653 99644 99635 99625 99614 99603 99592 99580 99567 99556 99545 99533 99517 99490 99439 99371 99291 99209 99135 99064 98985 98904 98825 98748 98674 98598 98516 98432 98348 98259 98158 98051 97941 97832 97716 97597 97464 97319 97156 96961 96728 96475 96194 95888 95544 95168 94758 94323 93845 93325 92731 92061

dx 289 34 10 15 8 9 10 11 11 11 12 13 12 11 12 16 27 51 68 79 82 74 71 79 81 79 77 74 77 81 84 84 89 101 107 110 109 116 119 133 145 163 195 233 253 281 306 344 376 410 435 478 519 594 670 745

Lx 99761 99694 99672 99660 99648 99639 99630 99619 99608 99597 99586 99574 99562 99550 99539 99525 99503 99464 99405 99331 99250 99172 99099 99024 98945 98865 98787 98711 98636 98557 98474 98390 98303 98208 98104 97996 97886 97774 97656 97530 97391 97237 97058 96844 96601 96334 96041 95716 95356 94963 94540 94084 93585 93028 92396 91689

Tx

ex

7522771 7423011 7323317 7223645 7123985 7024336 6924697 6825067 6725448 6625840 6526243 6426656 6327083 6227521 6127971 6028432 5928907 5829403 5729939 5630534 5531203 5431953 5332781 5233682 5134658 5035713 4936848 4838062 4739350 4640714 4542157 4443683 4345294 4246990 4148782 4050678 3952682 3854796 3757022 3659366 3561836 3464444 3367207 3270149 3173304 3076703 2980369 2884328 2788612 2693256 2598292 2503752 2409668 2316084 2223055 2130659

75,23 74,45 73,47 72,48 71,49 70,49 69,50 68,51 67,52 66,52 65,53 64,54 63,55 62,55 61,56 60,57 59,58 58,59 57,62 56,66 55,71 54,75 53,79 52,83 51,87 50,92 49,96 48,99 48,03 47,07 46,11 45,14 44,18 43,22 42,27 41,31 40,36 39,40 38,45 37,49 36,55 35,60 34,66 33,73 32,81 31,89 30,98 30,08 29,19 28,30 27,42 26,54 25,68 24,82 23,97 23,14

70

Matematika životního pojištění Tabulka 12.1.1 Úmrtnostní tabulka mužů ČR v roce 2013 (pokračování) x

Dx

Px

56

655

70796

0,009050

qx

91317

lx

dx 826

Lx 90903

2038970

Tx

22,33

ex

57

691

71760

0,010091

90490

913

90034

1948066

21,53

58

819

71775

0,010945

89577

980

89087

1858033

20,74

59

876

71595

0,012251

88597

1085

88054

1768946

19,97

60

972

71910

0,013715

87511

1200

86911

1680892

19,21

61 62

1118 1180

71632 70334

0,015065 0,016774

86311 85011

1300 1426

85661 84298

1593981 1508320

18,47 17,74

63

1258

68053

0,018611

83585

1556

82807

1424022

17,04

64

1400

67337

0,020221

82029

1659

81200

1341215

16,35

65

1548

68488

0,022224

80370

1786

79477

1260015

15,68

66

1604

67010

0,024283

78584

1908

77630

1180538

15,02

67 68

1563 1480

57880 51458

0,026116 0,028338

76676 74674

2002 2116

75675 73615

1102908 1027233

14,38 13,76

69

1539

50768

0,030146

72557

2187

71464

953617

13,14

70

1528

45846

0,031994

70370

2251

69244

882154

12,54

71

1392

40868

0,034832

68119

2373

66932

812909

11,93

72

1484

38399

0,037347

65746

2455

64518

745977

11,35

73 74

1457 1299

34306 30092

0,040596 0,044681

63291 60721

2569 2713

62006 59365

681459 619453

10,77 10,20

75

1401

27472

0,049181

58008

2853

56582

560088

9,66

76

1408

25028

0,053992

55155

2978

53666

503507

9,13

77

1467

23583

0,058911

52177

3074

50640

449840

8,62

78

1462

22433

0,064065

49103

3146

47531

399200

8,13

79 80

1470 1582

21238 20288

0,070216 0,077159

45958 42731

3227 3297

44344 41082

351670 307326

7,65 7,19

81

1685

18910

0,084552

39434

3334

37767

266243

6,75

82

1709

17068

0,092673

36099

3345

34427

228477

6,33

83

1622

15035

0,101586

32754

3327

31090

194050

5,92

84

1577

12861

0,111356

29427

3277

27788

162960

5,54

85 86

1593 1390

10761 8921

0,122056 0,133759

26150 22958

3192 3071

24554 21423

135172 110618

5,17 4,82

87

1305

7388

0,146540

19887

2914

18430

89195

4,49

88

1102

5989

0,160479

16973

2724

15611

70765

4,17

89

1027

4773

0,175655

14249

2503

12998

55154

3,87

90

852

3672

0,192146

11746

2257

10618

42156

3,59

91 92

720 495

2628 1786

0,210030 0,229379

9489 7496

1993 1719

8493 6636

31539 23046

3,32 3,07

93

377

1124

0,250260

5777

1446

5054

16410

2,84

94

177

568

0,272732

4331

1181

3740

11356

2,62

95

106

272

0,296841

3150

935

2682

7615

2,42

96

67

203

0,322616

2215

715

1858

4933

2,23

97 98

72 65

154 120

0,350067 0,379179

1500 975

525 370

1238 790

3075 1838

2,05 1,88

99

46

94

0,409909

605

248

481

1047

1,73

100

37

64

0,442179

357

158

278

566

1,59

101

15

36

0,475870

199

95

152

288

1,45

102

3

24

0,510821

104

53

78

136

1,30

103 104

3 0

13 7

0,546825 0,583624

51 23

28 14

37 16

58 21

1,14 0,92

105

4

19

1,000000

10

10

5

5

0,50

Popišme si nejprve význam jednotlivých veličin uvedených v úmrtnostní tabulce: x …

věk;

Dx … absolutní počet zemřelých ve věku x na daném území během daného období; Px … absolutní počet obyvatel k 1. 7. daného roku na daném území ve věku x; 71

Matematika životního pojištění qx … odhad pravděpodobnosti úmrtí x-leté osoby před dosažením věku x + 1; lx …

hypotetický počet osob, které se dožijí věku x let z 100 000 narozených osob (tzv. kořen tabulky - l0) při odhadnuté úmrtnosti v jednotlivých obdobích;

dx … hypotetický počet zemřelých osob ve věkové třídě x; Lx … hypotetický průměrný počet žijících ve věku x let, k výpočtu L0 je třeba použít statistik kojenecké úmrtnosti v daném roce, protože se v této věkové třídě většinou jedná o kojenecká úmrtí, platí L0 = l0 – d0, (pro muže ČR 2013 lze z tabulky 12.1.1 určit, že je přibližně 0,829); Tx … počet let života, které má celá tabulková generace v daném věku x ještě před sebou; ex …

střední délka života x-leté osoby neboli počet let, které má naději ještě prožít x-letá osoba ve sledovaném období.

Z posledního řádku tabulky 12.1.1 je zřejmé, že pro účely konstrukce úmrtnostních tabulek za rok 2013 zvolil ČSÚ 105 let jako horní věkovou hranici. Předpokládá se tedy, že nejdéle žijící z výchozího počtu 100 000 osob v hypotetické populaci zemřou ve věku 105 let a 106. narozenin se již nedožijí. Tento předpoklad sice realitě neodpovídá, nicméně dožití se věku 106 let či vyššího je v daném období již jen velmi málo pravděpodobné. Čísla v úmrtnostní tabulce jsou počínaje sloupcem pravděpodobností úmrtí zaokrouhlená na příslušný počet desetinných míst. Východiskem pro výpočet hodnot jednotlivých veličin uváděných v úmrtnostní tabulce jsou pravděpodobnosti úmrtí qx ve věku x  0, 1, 2, ..., 105  , které vyjadřují pravděpodobnost, že právě x-letá osoba zemře před dosažením věku x + 1. Hodnoty qx jsou odhadovány podle vztahu qx  1  e

ux

,

(12.1.1)

kde se za ux dosazuje tzv. specifická míra úmrtnosti získaná z empirických dat uvedených v prvních sloupcích tabulky 12.1.1. Platí ux 

Dx Px

.

(12.1.2)

Příklad 12.1.1 Pomocí údajů v tabulce 12.1.1 určíme pravděpodobnost úmrtí 53letého muže. Řešení Nejprve dosazením do (12.1.2) vypočítáme specifickou míru úmrtnosti u 53 pro D 53  402 a P53  61 929 . Máme u 53 

D 53 P53



402 61 929

 0,006 491

a dosazením do (12.1.1) dostáváme q 53  1  e

 u 53

 1  e 0 , 006 491  0,006 470 .

Hledaná úmrtnost činí zhruba 0,647%. Porovnáme-li výsledek získaný v příkladu 12.1.1 s tabulkovou hodnotou (0,636 %), vidíme, že se trochu liší. Je to způsobeno tím, že se při konstrukci úmrtnostních tabulek hodnoty qx 72

Matematika životního pojištění vypočtené podle (12.1.1) vyrovnávají, aby se eliminovaly (vyhladily) nesystematické nepravidelnosti, které nemají racionální vysvětlení. Další veličiny v úmrtnostní tabulce se odvozují z odhadů pravděpodobností úmrtí qx. Platí postupně: l x 1  l x 1  q x ,

(12.1.3)

d x  l x  l x 1  l x  l x 1  q x   l x  q x ,

(12.1.4)

Lx 

l x  l x 1

Tx 

2

,

(12.1.5)

105

L

j

,

(12.1.6)

jx

ex 

Tx lx

.

(12.1.7)

Příklad 12.1.2 Pomocí údajů z tabulky 12.1.1 ověříme podle výše uvedených vztahů některé tabulkové hodnoty pro padesátiletého muže. Řešení Máme l 50  l 49 1  q 49   95 168  (1  0,004 311 )  94 758 , d 50  l 50  q 50  94 758  0,004 593  435 , L 50  T50 

l 50  l 51 2 105

L

j



94 758  94 323 2

 94 540 ,

 94 540  94 084  ...  37  16  5  2 598 292 ,

j  50

e 50 

T50 l 50



2 598 292 94 758

 27 , 42 .

Poslední číslo kupříkladu udává, že český muž, který v roce 2013 oslaví 50. narozeniny, má před sebou v průměru ještě 27,42 let života. Pečlivý čtenář jistě zjistí, že při výpočtu L50 s uvedenými počty dožívajících dosazenými podle úmrtnostní tabulky 12.1.1 vychází 94 540,5, což by po zaokrouhlení mělo správně být 94 541. Tato hodnota se liší od hodnoty uvedené v úmrtnostní tabulce a v našem výsledku. Vysvětlením je již zmíněné zaokrouhlování čísel v úmrtnostních tabulkách. Další výpočty v nich se totiž pochopitelně provádějí pomocí přesných hodnot a nikoliv zaokrouhlených. Tato skutečnost způsobuje, že v některých případech je výsledech vypočítaný ze zaokrouhlených hodnot drobně odlišný. Při všech výpočtech, ve kterých se používají úmrtnostní tabulky, budeme v dalším textu také počítat s přesnými hodnotami (viz úmrtnostní tabulky ČR 2013 ve formátu xls v e-learningové opoře), a proto ke zmíněnému jevu může občas dojít.

73

Matematika životního pojištění

12.2

Odlišnosti v úmrtnosti mužů a žen

Jak bylo konstatováno v minulé části, zveřejňuje ČSÚ všechny úmrtnostní tabulky zvlášť pro muže a zvlášť pro ženy. Pro úplnost uvádíme i ženskou úmrtnostní tabulku. Tabulka 12.2.1 Úmrtnostní tabulka žen ČR v roce 2013 x

Dx

Px

qx

lx

0 1

107 9

52611 53254

0,002056 0,000169

100000 99794

dx 206 17

99819 99786

Lx

8113340 8013521

Tx

81,13 80,30

ex

2

8

55676

0,000144

99778

14

99770

7913735

79,31

3

4

58832

0,000068

99763

7

99760

7813964

78,33

4

6

59726

0,000103

99756

10

99751

7714205

77,33

5

9

58954

0,000090

99746

9

99742

7614453

76,34

6 7

3 3

55375 51479

0,000097 0,000076

99737 99728

10 8

99732 99724

7514712 7414979

75,35 74,35

8

5

48912

0,000063

99720

6

99717

7315255

73,36

9

2

46767

0,000066

99714

7

99710

7215539

72,36

10

3

45665

0,000051

99707

5

99704

7115828

71,37

11

1

44985

0,000021

99702

2

99701

7016124

70,37

12 13

1 1

44174 43727

0,000029 0,000052

99700 99697

3 5

99698 99694

6916423 6816724

69,37 68,37

14

5

43766

0,000080

99692

8

99688

6717030

67,38

15

6

44095

0,000110

99684

11

99678

6617342

66,38

16

5

44308

0,000186

99673

19

99663

6517664

65,39

17

10

45846

0,000214

99654

21

99644

6418001

64,40

18 19

17 9

50370 56623

0,000227 0,000234

99633 99610

23 23

99622 99599

6318357 6218736

63,42 62,43

20

12

60136

0,000237

99587

24

99575

6119137

61,45

21

16

62198

0,000231

99563

23

99552

6019562

60,46

22

20

64809

0,000260

99540

26

99527

5920010

59,47

23

14

65457

0,000243

99515

24

99502

5820482

58,49

24 25

15 16

66549 67356

0,000250 0,000237

99490 99465

25 24

99478 99454

5720980 5621502

57,50 56,52

26

23

67417

0,000283

99442

28

99428

5522048

55,53

27

16

68921

0,000324

99414

32

99398

5422621

54,55

28

28

69955

0,000347

99381

35

99364

5323223

53,56

29

25

70223

0,000313

99347

31

99331

5223859

52,58

30 31

21 17

71351 72540

0,000321 0,000309

99316 99284

32 31

99300 99269

5124528 5025228

51,60 50,61

32

30

74642

0,000342

99253

34

99236

4925959

49,63

33

32

80686

0,000372

99219

37

99201

4826723

48,65

34

34

86274

0,000404

99182

40

99162

4727522

47,66

35

34

88398

0,000437

99142

43

99121

4628360

46,68

36 37

45 55

90203 92282

0,000470 0,000532

99099 99052

47 53

99076 99026

4529239 4430164

45,70 44,73

38

49

93545

0,000636

99000

63

98968

4331138

43,75

39

66

90606

0,000682

98937

68

98903

4232169

42,78

40

70

83431

0,000758

98869

75

98832

4133267

41,81

41

58

77282

0,000880

98794

87

98751

4034435

40,84

42 43

73 77

73636 70670

0,000938 0,001022

98707 98615

93 101

98661 98564

3935684 3837023

39,87 38,91

44

73

67628

0,001166

98514

115

98456

3738459

37,95

45

85

66127

0,001291

98399

127

98335

3640002

36,99

46

100

66669

0,001435

98272

141

98201

3541667

36,04

47

112

68494

0,001615

98131

159

98052

3443465

35,09

48 49

126 152

71305 71832

0,001866 0,002175

97972 97790

183 213

97881 97683

3345414 3247533

34,15 33,21

74

Matematika životního pojištění Tabulka 12.2.1 Úmrtnostní tabulka žen ČR v roce 2013 (pokračování) x

Dx

Px

Tx

ex

50

173

67272

0,002371

qx

97577

lx

dx 231

Lx 97461

3149849

32,28

51

167

63099

0,002549

97345

248

97221

3052388

31,36

52

153

61714

0,002787

97097

271

96962

2955167

30,44

53

188

60763

0,003103

96827

300

96677

2858205

29,52

54

232

63343

0,003430

96526

331

96361

2761528

28,61

55 56

263 273

68639 72475

0,003730 0,003933

96195 95836

359 377

96016 95648

2665168 2569152

27,71 26,81

57

315

74329

0,004341

95459

414

95252

2473504

25,91

58

374

75052

0,004975

95045

473

94809

2378252

25,02

59

445

75513

0,005650

94572

534

94305

2283443

24,14

60

484

76545

0,006314

94038

594

93741

2189138

23,28

61 62

527 603

77818 77290

0,007046 0,007500

93444 92786

658 696

93115 92438

2095397 2002282

22,42 21,58

63

646

75427

0,008276

92090

762

91709

1909844

20,74

64

644

75444

0,009243

91328

844

90906

1818135

19,91

65

831

77894

0,010238

90484

926

90021

1727229

19,09

66

902

77965

0,011184

89557

1002

89057

1637209

18,28

67 68

855 830

69190 62959

0,012550 0,013418

88556 87444

1111 1173

88000 86858

1548152 1460152

17,48 16,70

69

972

62741

0,014676

86271

1266

85638

1373294

15,92

70

900

57690

0,015863

85005

1348

84331

1287657

15,15

71

940

52425

0,017684

83656

1479

82917

1203326

14,38

72

961

50080

0,019619

82177

1612

81371

1120409

13,63

73 74

1073 1036

46284 42102

0,021947 0,024563

80565 78797

1768 1935

79681 77829

1039038 959358

12,90 12,18

75

1073

39364

0,027462

76861

2111

75806

881529

11,47

76

1182

37268

0,030586

74750

2286

73607

805723

10,78

77

1258

36208

0,034229

72464

2480

71224

732116

10,10

78

1408

35462

0,039198

69984

2743

68612

660892

9,44

79 80

1528 1845

34636 34104

0,044654 0,050878

67240 64238

3003 3268

65739 62604

592280 526541

8,81 8,20

81

1971

33197

0,058393

60970

3560

59190

463937

7,61

82

2169

31587

0,066952

57409

3844

55488

404747

7,05

83

2394

28828

0,075900

53566

4066

51533

349260

6,52

84

2424

25750

0,086227

49500

4268

47366

297727

6,01

85 86

2418 2491

23060 20269

0,097481 0,110228

45232 40823

4409 4500

43027 38573

250361 207333

5,54 5,08

87

2418

17754

0,125166

36323

4546

34050

168761

4,65

88

2356

15261

0,142037

31776

4513

29520

134711

4,24

89

2300

12938

0,161038

27263

4390

25068

105191

3,86

90

2053

10429

0,182372

22873

4171

20787

80123

3,50

91 92

1780 1379

8053 5712

0,206237 0,232825

18701 14844

3857 3456

16773 13116

59336 42564

3,17 2,87

93

1053

3652

0,262304

11388

2987

9895

29447

2,59

94

556

1874

0,294810

8401

2477

7163

19553

2,33

95

324

1023

0,330428

5924

1958

4946

12390

2,09

96

280

763

0,369173

3967

1464

3235

7444

1,88

97 98

218 241

604 523

0,410970 0,455628

2502 1474

1028 672

1988 1138

4210 2222

1,68 1,51

99

169

384

0,502818

802

403

601

1083

1,35

100

130

252

0,552057

399

220

289

483

1,21

101

64

154

0,602686

179

108

125

194

1,09

102

43

83

0,653881

71

46

48

69

0,97

103 104

17 11

36 19

0,704658 0,753916

25 7

17 5

16 5

21 5

0,87 0,75

105

14

35

1,000000

2

2

1

1

0,50

75

Matematika životního pojištění Rozdělení úmrtnostních tabulek podle pohlaví se provádí proto, že úmrtnost žen je ve všech věkových třídách dlouhodobě odlišná (takřka vesměs nižší) než u mužů. Tento jev se netýká jen České republiky, ale je běžný ve všech evropských a v drtivé většině mimoevropských zemí. Společné úmrtnostní tabulky pro obě pohlaví se sestavují pouze tam, kde nejsou k dispozici údaje pro jednotlivá pohlaví (např. některé rozvojové země) nebo v případě, že chceme porovnat úmrtnost s takovými oblastmi. Míru odlišnosti úmrtnosti mužů a žen v České republice a částečně časový vývoj těchto úmrtností ilustrují obrázky 12.2.1 a 12.2.2. Obrázek 12.2.1 Porovnání pravděpodobností úmrtí mužů a žen ČR v roce 2013 v závislosti na věku

1

0,1

0,01

0,001 ženy muži 0,0001

0,00001 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100 105

Obrázek 12.2.2 Porovnání pravděpodobností úmrtí mužů a žen ČR v roce 1973 v závislosti na věku

1

0,1

0,01

0,001

ženy muži 0,0001

0,00001 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

76

Matematika životního pojištění

12.3

Střední délka života při narození

Je zřejmé, že délka života jedince je náhodná veličina, a tudíž lze její typickou hodnotu charakterizovat běžnými charakteristikami úrovně známými z popisné statistiky: průměrem, mediánem a modem. Nejčastěji používanou charakteristikou je průměr. Této charakteristice se v souvislosti s délkou života většinou říká střední délka života při narození, občas také naděje dožití (při narození). Pomocí tohoto ukazatele se např. porovnává úmrtnost v jednotlivých oblastech. Patří také k často používaným ukazatelům úrovně života v jednotlivých státech. Střední délka života při narození je přímo uvedena v úmrtnostní tabulce. Jedná se o hodnotu e 0 , kterou nalezneme vpravo nahoře. Pro muže narozené v ČR v roce 2013 je tedy střední délka života při narození 75,23 let a pro ženy 81,13 let. Jako každý průměr má však střední délka života jednu nectnost. Započítává všechny, tedy i extrémní hodnoty. Do střední délky života jsou tedy zahrnuta i kojenecká úmrtí a vůbec úmrtí v časném věku, čímž je hodnota střední délky života oproti obecně chápanému smyslu tohoto pojmu zkreslena. Méně často uváděné charakteristiky úrovně délky života medián (tzv. pravděpodobná délka života při narození) a hlavně modus (tzv. normální délka života při narození) vystihují lépe obecnou představu o průměrné délce života. V případě modu i sám přívlastek „normální“ podsouvá představu, že je to věk, ve kterém by lidé za normálních okolností nejčastěji umírali. Jak medián, tak modus lze pomocí úmrtnostních tabulek a detailní znalosti jejich konstrukce vypočítat (např. Koschin, 1997). Velmi zajímavý je vývoj střední délky života při narození na našem území za posledních necelých 100 let, jak ukazuje tabulka 12.3.1. Tabulka 12.3.1 Vývoj naděje dožití na území ČR Naděje dožití Rok

Muži

Ženy

1920

47,05

49,60

1921

49,66

52,38

1922

50,14

1923 1924

Naděje dožití Rok

Muži

Ženy

1940

57,10

61,29

1941

56,70

60,71

53,08

1942

55,87

53,30

56,13

1943

52,92

56,05

1944

1925

53,30

56,35

1926

53,05

1927

52,16

1928

Naděje dožití Rok

Muži

Ženy

1960

67,92

73,40

1961

67,63

73,56

60,19

1962

66,95

56,80

60,33

1963

56,93

61,03

1964

1945

50,96

58,96

56,09

1946

58,34

55,27

1947

60,49

53,45

57,01

1948

1929

52,77

56,35

1930

54,22

58,04

1931

54,72

1932 1933

Naděje dožití Rok

Muži

Ženy

1980

66,81

73,86

1981

67,18

74,30

72,89

1982

67,31

67,44

73,55

1983

67,54

73,66

1984

1965

67,13

73,39

63,25

1966

67,26

65,16

1967

67,15

61,59

66,18

1968

1949

61,44

66,41

1950

62,31

67,00

58,33

1951

63,04

55,03

58,54

1952

55,49

58,79

1953

1934

56,05

59,81

1935

55,91

1936

56,42

1937

Naděje dožití Rok

Muži

Ženy

2000

71,65

78,35

2001

72,07

78,41

74,39

2002

72,07

78,54

67,05

74,26

2003

72,03

78,51

67,35

74,45

2004

72,55

79,04

1985

67,51

74,72

2005

72,88

79,10

73,75

1986

67,48

74,62

2006

73,45

79,67

73,70

1987

67,86

75,12

2007

73,67

79,90

66,59

73,40

1988

68,14

75,28

2008

73,96

80,13

1969

66,05

73,17

1989

68,12

75,39

2009

74,19

80,13

1970

66,13

73,02

1990

67,58

75,36

2010

74,37

80,60

67,84

1971

66,25

73,37

1991

68,25

75,72

2011

74,69

80,74

64,68

69,28

1972

66,92

73,68

1992

68,44

76,14

2012

75,00

80,88

65,38

69,97

1973

66,66

73,72

1993

69,20

76,41

2013

75,23

81,13

1954

65,72

70,65

1974

66,85

73,61

1994

69,54

76,58

2014

59,86

1955

66,60

71,63

1975

67,05

73,97

1995

69,72

76,63

2015

59,99

1956

66,96

72,03

1976

67,08

74,16

1996

70,37

77,27

2016

56,70

60,57

1957

66,57

71,70

1977

67,17

74,15

1997

70,50

77,49

2017

1938

56,49

60,78

1958

67,42

72,59

1978

67,22

74,24

1998

71,13

78,06

2018

1939

56,73

60,55

1959

67,38

72,74

1979

67,38

74,30

1999

71,40

78,13

2019

77

Matematika životního pojištění Za povšimnutí stojí zvláště trend ve střední délce života při narození od roku 1990. Ukazuje se, že je jak pro muže, tak pro ženy takřka lineární. Koeficient determinace činí v obou případech 0,99 s tím, že směrnice trendové přímky pro muže (0,32) je vyšší než směrnice trendové přímky pro ženy (0,24), viz obrázek 12.3.1. Pokud bychom se odvážně pustili do extrapolací a předpovědí, zjistíme, že např. v roce 2020 by se při zachování trendu měli ženy dožívat v průměru 82,95 let a muži 77,71. K vyrovnání střední délky života při narození mužů a žen, opět za předpokladu zachování trendu, by došlo v roce 2090 při průměrném věku obou pohlaví 99,99 let. Takové optimistické předpovědi je však nutno brát se značnou rezervou i přesto, že koeficient determinace je tak lákavě blízko jedné. Existují totiž naopak i vyloženě pesimistické předpovědi budoucího vývoje úmrtnosti, podle kterých se stále zhoršující vnější vlivy (nedostatek pitné vody, zemědělské půdy a nerostných surovin, nové civilizační choroby apod.) projeví v blízké budoucnosti snižováním střední délky života. V současnosti však většina odborníků na demografii u nás soudí, že se bude v nejbližší budoucnosti s poměrně velkou mírou pravděpodobnosti průměrný věk v ČR se nadále prodlužovat jak u žen, tak u mužů. Obrázek 12.3.1 Trend vývoje naděje dožití v ČR od roku 1990 do roku 2013

85

80

75

70

65

ženy muži

60 1990

12.4

1995

2000

2005

2010

Pravděpodobnosti úmrtí a dožití a jejich určení z úmrtnostních tabulek

Jak bylo uvedeno v části 12.1, je pojistnou událostí v životním pojištění úmrtí pojištěného nebo dožití se určitého věku pojištěným. Klíčovou roli v pojistných výpočtech tedy hrají nejrůznější pravděpodobnosti úmrtí a dožití, které určujeme na základě údajů v úmrtnostních tabulkách. Pravděpodobnosti úmrtí qx vyjadřující pravděpodobnost úmrtí ve věkovém intervalu x, x  1 jsou uvedeny v úmrtnostních tabulkách přímo. V praxi však často potřebujeme znát i pravděpodobnosti úmrtí a dožití v jiném věkovém intervalu, jehož krajní 78

Matematika životního pojištění body dokonce ani nemusejí být celočíselné. Odvodíme si postupně vztahy pro výpočty pravděpodobností úmrtí a dožití v různých věkových intervalech pomocí čísel lx z úmrtnostní tabulky, která vyjadřují počet osob dožívajících se věku x v uvažované hypotetické populaci. Z takového vyjádření bude totiž možné vysledovat určité zákonitosti výpočtů pravděpodobností úmrtí a přežití. Pravděpodobnost úmrtí x-leté osoby před dožitím se věku (x + 1) je podle (12.1.3) qx 

l x  l x 1 lx

(12.4.1)

.

Doplňková pravděpodobnost přežití x-leté osoby do věku (x + 1) je potom px  1  qx  1 

l x  l x 1 lx



l x 1 lx

(12.4.2)

.

Pravděpodobnost, že x-letá osoba bude žít do věku (x + n) je n

p x  p x p x 1 p x  2 ... p x  n 1 

přičemž jsme použili pravděpodobnostmi.

znalosti

l x 1 l x  2 l x  3 l l    ...  x  n  x  n , l x l x 1 l x  2 l x  n 1 lx

základních

o počítání

pravidel

(12.4.3) s podmíněnými

Doplňková pravděpodobnost, že se x-letá osoba nedožije věku (x + n) je n

qx  1 n px 

lx lx



l xn lx



l x  l xn lx

.

(12.4.4)

Pravděpodobnost, že se x-letá osoba dožije věku (x + m), ale zemře v průběhu následujících n let je m n

q x  m p x n q xm 

l xm l xm  l xmn l  l xmn   xm lx l xm lx

(12.4.5)

a speciálně pro pravděpodobnost, že x-letá osoba zemře ve věku x + m máme m1

q x  m q x  m p x  q xm 

l x  m  l x  m 1 lx

.

(12.4.6)

Příklad 12.4.1 Podle dříve zavedeného značení platí, že: q20 …

je pravděpodobnost, že 20letá osoba zemře před dosažením věku 21 let;

p18 …

je pravděpodobnost, že se osoba právě 18letá dožije věku 19 let;

5p18…

je pravděpodobnost, že 18letá osoba bude žít ještě nejméně 5 let;

5q20…

je pravděpodobnost, že 20letá osoba zemře před dosažením 25 let;

5|10q20

…

5| q20 …

je pravděpodobnost, že 20letá osoba zemře poté, co dosáhla 25 let, ale před dosažením 35 let; je pravděpodobnost, že 20letá osoba zemře ve svých 25 letech.

79

Matematika životního pojištění Příklad 12.4.2 Pomocí vzorců (12.4.1) až (12.4.6) a počtu dožívajících se věku x z tabulky 12.2.1 (pro ženy) určíme hodnoty pravděpodobností z předchozího příkladu. Řešení q 20  p18 

l 20  l 21 l 20 l19 l18

5

p18 

5

q 20 

5 10

5



l 23 l18

q 20 

99 587

99 610



99 515 99 633

l 20 l 20

l 25  l 26 l 20

 0,998 812 ,

99 587  99 465



l 25  l 35

 0,000 237 ,

 0,999 773 ,

99 633

l 20  l 25

q 20 

99 587  99 563



99 587 



 0,001 220 ,

99 465  99 142 99 587

99 465  99 442 99 587

 0,003 245 ,  0,000 237 .

Interpretace výsledků je zřejmá. Např. pravděpodobnost, že 20letá žena zemře mezi 25. a 35. rokem svého života je 0,32 %. Příklad 12.4.3 Uvažujme 40letou matku a jejího 15letého syna. Určíme pravděpodobnost, že za 20 let a) budou oba naživu; b) bude žít pouze syn; c) bude žít pouze matka; d) budou oba po smrti. Řešení Jelikož budeme při výpočtech používat jak ženské, tak mužské úmrtnostní tabulky, bude vhodné v tomto příkladu odlišit označení jednotlivých veličin. Řekněme, že veličiny týkající se matky budou označeny čárkou. Pomocí (12.4.4), doplňkové pravděpodobnosti a příslušné úmrtnostní tabulky máme 20

  p 40

20

p15 

 l 60  l 40 l 35 l15



94 038



98 051

98 869 99 533

 0,951 135 ,  0 ,985 1108 ,

20

  1 20 p 40   1  0 ,951 14  0 ,048 865 , q 40

20

q15  1 20 p15  1  0,985 108  0,014 892 .

Hledané pravděpodobnosti určíme použitím známého pravidla o pravděpodobnosti průniku nezávislých jevů. Dostáváme a)

20

  20 p15  0,951 135  0,985 108  0,936 971 , p 40

b)

20

  20 p15  0,048 865  0,985 108  0,048 137 , q 40

c)

20

  20 q15  0,951 135  0,014 892  0,014 164 , p 40

d)

20

  20 q15  0,048 865  0,014 892  0,000 728 . q 40

80

Matematika životního pojištění Je zřejmé, že nepravděpodobnější je varianta, při které budou za dvacet let oba naživu (93,70 %). Jako kontrola může posloužit skutečnost, že součet všech určovaných pravděpodobností je roven jedné (úplná pravděpodobnost sjednocení disjunktních jevů). Při odvození pravděpodobností úmrtí a dožití v neceločíselných věkových intervalech, které se obvykle nazývají področní pravděpodobnosti úmrtí a dožití, vyjdeme z poměrně přijatelného předpokladu, že úmrtí uvnitř každé věkové třídy jsou rozložena rovnoměrně. Jinými slovy přepokládáme, že v každého intervalu s celočíselnými krajními body x , x  1 klesá hodnota l x  t , t  0, 1 , tj. počet dožívajících se věku x + t, lineárně, viz obrázek 12.4.1. Obrázek 12.4.1 Předpoklad rovnoměrného rozdělení úmrtí uvnitř věkové třídy

Z obrázku 12.4.1 je zřejmé, že trojúhelníky ABC a AB´C´ jsou podobné, a platí tedy AB  B C 



AB BC



l x  l xt t



l x  l x 1 1

.

Odtud plyne, že l x  t  (1  t )l x  tl x 1 .

(12.4.7)

Pomocí (12.1.3) můžeme tento vztah přepsat do tvaru l x (1 t q x )  (1  t )l x  tl x (1  q x ),

ze kterého už snadno odvodíme, že t

q x  tq x .

(12.4.8)

Pro obecné področní pravděpodobnosti dožití resp. úmrtí pak máme

81

Matematika životního pojištění

t

p x s 

s t s

px px



1  ( s  t )q x

(12.4.9)

1  sq x

resp. t

q x  s  1 t p x  s 

tq x 1  sq x

(12.4.10)

.

Konečně s využitím (12.4.10) platí, že st

q x  s p x  t q x  s  1  sq x 

tq x 1  sq x

 tq x ,

(12.4.11)

přičemž v posledních třech vzorcích je s, t  0, s  t  1. Příklad 12.4.4 Pomocí vzorců (12.4.8) až (12.4.11) určíme pravděpodobnost, že a) 50letá žena zemře během následujícího čtvrtroku, b) žena, které je 36,5 let, bude naživu následující 2 roky, c) muž, kterému je 52,6 let, do tří měsíců zemře, d) 70letý muž bude půl roku naživu a potom během měsíce zemře. Řešení Pro určení první dvou pravděpodobností použijeme hodnoty z tabulky 12.2.1 (čárkované veličiny), druhé dvě pravděpodobnosti vypočteme pomocí tabulky 12.1.1. a)

0 , 25

b)

2

  0, 25 q 50   0, 25  0,002 371  0,000 593 , q 50

 , 5  0 , 5 p 36  , 5  p 37   0 , 5 p 38   p 36 

c)

0 , 25

d) 0 ,5

12.5

1  0,000 470 1  0,5  0,000 470

q 52, 6 

1 12

q 70 

0, 25 q 52 1  0,6 q 52 1 12

q 70 



1 12

 1  0,5  0,5 q 36  1  0,5 q 36

 )  (1  0,5 q 38  )  (1  q 37

 (1  0,000 532 )  (1  0,5  0,000 636 )  0,998 915 ,

0, 25  0,005 536 1  0,6  0,005 536

 0,001 389 ,

 0 ,031 994  0,002 666 .

Použití úmrtnostních tabulek v pojistné praxi

I když jsme si v minulé části ukázali, že z úmrtnostních tabulek je teoreticky možné určit pravděpodobnosti úmrtí či dožití pro jakýkoliv věk pojišťované osoby, pojišťovny v praxi nepracují s přesnými věky svých pojištěných. Pro účely výpočtu pojistného se v praxi používá tzv. vstupní věk pojištěného, který je definován jako rozdíl kalendářního roku uzavření pojištění a roku narození pojištěného. Například pojištěný narozený dne 17. listopadu 1978, který uzavřel pojištění dne 17. února 2004, má vstupní věk 2004 – 1978 = 26 let, i když matematicky vzato v okamžiku uzavření pojištění je jeho věk pouze 25,25 let. V této souvislosti také uveďme, že budeme-li mluvit např. o 40leté osobě, která uzavírá pojištění, budeme mít na mysli, že její vstupní věk je 40 let (a nemusela se tudíž ještě věku 40 let dožít). 82

Matematika životního pojištění Z toho, co bylo napsáno v části 12.2, která se zabývala porovnáním úmrtnosti mužů a žen, je jednoznačné, že logické a spravedlivé by bylo, kdyby pojišťovny při stanovení výše pojistného přihlíželi k pohlaví pojištěného. Takový postup skutečně donedávna naše i zahraniční pojišťovny v praxi aplikovaly. Většinou sice vycházely pro jednoduchost pouze z jedněch úmrtnostních tabulek, ale odlišnosti v úmrtnosti obou pohlaví řešily tzv. věkovým posunem. Konkrétně u nás byla běžná praxe, že se používaly úmrtnostní tabulky pro muže a pokud byla pojištěným žena, snižoval se její vstupní věk pro účely výpočtu pojistného o pět let. Vše však změnila směrnice Rady 2004/113/ES ze dne 13. prosince 2004, která zaručuje zásadu rovného zacházení s muži a ženami v přístupu ke zboží a službám a jejich poskytování, tzv. genderová směrnice. Podle této směrnice není možné účtovat jiné pojistné mužům a jiné ženám. Směrnice měla být uplatněna pro všechny smlouvy s počátkem od 21. prosince 2007. Česká republika, Slovenská republika i mnoho dalších států si tehdy prosadilo výjimku, podle které se členské státy mohou od tohoto pravidla odchýlit v případě stanovování pojistného, pokud mohou zajistit, že pojistně matematické a statistické údaje, ze kterých výpočty pojistného vycházejí, jsou spolehlivé, pravidelně aktualizované a veřejně dostupné. Druhá podmínka byla, že výjimka musí být pět let po účinnosti směrnice přezkoumána a odůvodněna. I když všechny pojišťovny i členské státy EU očekávaly, že k 21. prosinci 2012 výjimku odůvodní a prodlouží její platnost, nestalo se tak. Evropský soudní dvůr vynesl totiž dne 1. března 2011 překvapivý rozsudek, ve kterém rozhodl, že případné prodloužení platnosti výše uvedené výjimky by bylo v rozporu se základním unijním právem, a tudíž výjimka nesmí být prodloužena. K 21. prosinci 2012 došlo tedy na tuzemském pojistném trhu k zákonnému sjednocení sazeb životního pojištění pro muže a ženy právě na základě rozhodnutí Evropského soudního dvora. Sjednocené sazby se týkají nových smluv, které byly uzavřené po 21. prosinci 2012 a platí i pro staré smlouvy, na kterých bude po tomto datu provedena změna s vlivem na pojistné. Podle aktuálního stavu na českém pojistném trhu doplatily na novou úpravu především ženy. Sjednocení sazeb pojistného totiž v praxi znamená, že se pojistka pro ženy v průměru výrazně zdražila, naopak pro muže se cena pojistky v průměru mírně zlevnila. Záleží samozřejmě na druhu pojištění. V současnosti je tedy každá pojišťovna nucena při výpočtu pojistného vycházet z úmrtnostní tabulky nezávislé na pohlaví (tzv. unisex úmrtností tabulka), která nějakým způsobem kombinuje úmrtnost obou pohlaví. Praxe je taková, že každá pojišťovna má svoji úmrtnostní tabulku, jejíž obsah a způsob konstrukce si většinou bedlivě střeží. Pro sestavení takové tabulky existují v zásadě dvě východiska. Pojišťovna si svoji úmrtnostní tabulku může sestavit na základě kompilace mužských a ženských celonárodních úmrtnostních tabulek, ve kterých provede další úpravy podle svých specifických potřeb. Druhou možností je sestavení úmrtnostních tabulek na základě dat o úmrtnosti ve svém pojistném kmeni.

12.6

Komutační čísla

Pomocí počtu dožívajících se věku x a počtu zemřelých ve věku x z úmrtnostních tabulek se konstruují tzv. komutační čísla, která pojišťovny používají prakticky pro všechny matematické výpočty prováděné v rámci životního pojištění. Mimo jiné lze s jejich pomocí relativně jednoduše vyjádřit velikost pojistného. Pojišťovny tyto vzorce většinou zveřejňují ve všeobecných podmínkách pojištění. Komutační čísla vznikají, řečeno mluvou finanční matematiky, diskontováním dvou zmíněných veličin z úmrtnostních tabulek. Rozlišujeme 83

Matematika životního pojištění komutační čísla nultého, prvního a druhého řádu. Mezi komutační čísla nultého řádu patří diskontovaný počet dožívajících se věku x, který se označuje Dx a je definován jako Dx  lxv x .

(12.6.1)

Dalším komutačním číslem nultého řádu je diskontovaný počet zemřelých ve věkové třídě x označovaný Cx a definovaný C x  d x v x 1 .

(12.6.2)

Komutační čísla prvního řádu pak jsou Nx 

105 x

D

x j

 D x  D x 1  ...  D105 ,

(12.6.3)

 C x  C x 1  ...  C 105 .

(12.6.4)

j 0

Mx 

105 x

C

x j

j 0

Tuto čtveřici budeme standardně používat. Komutační čísla druhého řádu Sx 

105 x

N

x j

 N x  N x 1  ...  N 105 ,

x j

 M x  M x 1  ...  M 105

j 0

Rx 

105 x

M j 0

se používají u produktů s proměnným pojistným plněním, které nejsou předmětem těchto skript. Zvídavý čtenář se může o této problematice dozvědět více např. v (Cipra, 1999). Veličina v, která se objevuje ve výpočtu komutačních čísel, je z finanční matematiky známý diskontní faktor. Tedy v

1 1 i

,

(12.6.5)

kde se za i dosazuje tzv. technická úroková míra. Je to roční efektivní úroková míra, kterou pojišťovna používá při pojistně-technických výpočtech (stanovení výše pojistného, rizika pojištění, pojistných rezerv, …). Vyhláška České národní banky č. 434/2009 Sb. ze dne 24. listopadu 2009 upravila s účinností od 1. ledna 2010 postup pro výpočet horní hranice technické úrokové míry: „Maximální výše technické úrokové míry se stanoví v rozsahu maximálně 60 % váženého aritmetického průměru průměrných výnosů státních dluhopisů v korunách českých s dobou splatnosti nejméně 5 let vydaných v průběhu posledních 36 kalendářních měsíců bezprostředně předcházejících měsíci, kdy bude zveřejněna maximální výše technické úrokové míry.“ Horní hranice technické úrokové míry je určována úředním sdělením ČNB. Od 21. července 2013 činí její hodnota 0,019. V současnosti (rok 2014) používá většina pojišťoven právě tuto horní hranici technické úrokové míry. Z komutačních čísel se sestavují při dané technické úrokové míře tzv. tabulky komutačních čísel. Jako příklad může sloužit tabulka 12.6.1.

84

Matematika životního pojištění Tabulka 12.6.1 Tabulka komutačních čísel mužů ČR, 2013, TÚM 1,9 % x

lx

dx

Dx

Nx

Cx

Mx

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56

100000 99711 99677 99667 99653 99644 99635 99625 99614 99603 99592 99580 99567 99556 99545 99533 99517 99490 99439 99371 99291 99209 99135 99064 98985 98904 98825 98748 98674 98598 98516 98432 98348 98259 98158 98051 97941 97832 97716 97597 97464 97319 97156 96961 96728 96475 96194 95888 95544 95168 94758 94323 93845 93325 92731 92061 91317

289 34 10 15 8 9 10 11 11 11 12 13 12 11 12 16 27 51 68 79 82 74 71 79 81 79 77 74 77 81 84 84 89 101 107 110 109 116 119 133 145 163 195 233 253 281 306 344 376 410 435 478 519 594 670 745 826

100 000,0 97 852,0 95 994,8 94 195,3 92 425,5 90 694,5 88 995,0 87 326,9 85 689,0 84 082,1 82 505,5 80 957,4 79 437,7 77 947,4 76 485,7 75 050,8 73 639,5 72 246,6 70 863,3 69 494,2 68 144,0 66 817,9 65 523,2 64 255,1 63 007,1 61 781,8 60 581,2 59 405,5 58 254,3 57 123,5 56 012,1 54 920,7 53 850,6 52 798,6 51 760,9 50 740,6 49 738,5 48 756,7 47 790,9 46 842,8 45 906,7 44 983,6 44 071,1 43 162,6 42 255,9 41 359,4 40 470,2 39 589,4 38 711,7 37 840,5 36 974,9 36 118,8 35 265,6 34 416,5 33 560,0 32 696,2 31 827,0

4 017 113,9 3 917 113,9 3 819 261,9 3 723 267,1 3 629 071,8 3 536 646,4 3 445 951,9 3 356 956,9 3 269 630,0 3 183 941,0 3 099 859,0 3 017 353,4 2 936 396,0 2 856 958,4 2 779 011,0 2 702 525,3 2 627 474,5 2 553 835,1 2 481 588,5 2 410 725,2 2 341 231,0 2 273 087,0 2 206 269,1 2 140 746,0 2 076 490,8 2 013 483,8 1 951 702,0 1 891 120,7 1 831 715,2 1 773 461,0 1 716 337,5 1 660 325,3 1 605 404,6 1 551 554,0 1 498 755,4 1 446 994,5 1 396 253,9 1 346 515,4 1 297 758,7 1 249 967,8 1 203 125,0 1 157 218,3 1 112 234,7 1 068 163,6 1 025 001,1 982 745,2 941 385,8 900 915,6 861 326,2 822 614,5 784 773,9 747 799,1 711 680,3 676 414,7 641 998,2 608 438,3 575 742,0

283,5 32,6 9,6 13,5 7,7 8,4 8,8 9,6 9,2 8,7 9,8 10,2 9,1 8,4 8,8 11,9 19,8 36,2 47,8 54,4 55,5 48,9 46,3 50,0 50,4 48,6 46,1 43,6 44,6 46,2 47,0 46,1 47,9 53,2 55,2 55,9 54,4 56,6 57,1 62,7 67,2 73,8 86,8 101,9 108,5 118,1 126,2 139,5 149,4 160,1 166,7 179,7 191,6 214,8 238,0 259,6 282,7

25 098,0 24 814,5 24 781,9 24 772,3 24 758,8 24 751,1 24 742,7 24 734,0 24 724,3 24 715,2 24 706,4 24 696,6 24 686,4 24 677,4 24 669,0 24 660,2 24 648,3 24 628,5 24 592,2 24 544,4 24 490,0 24 434,6 24 385,7 24 339,4 24 289,4 24 238,9 24 190,3 24 144,2 24 100,6 24 056,0 24 009,8 23 962,8 23 916,7 23 868,7 23 815,5 23 760,3 23 704,4 23 649,9 23 593,3 23 536,2 23 473,6 23 406,4 23 332,6 23 245,9 23 144,0 23 035,4 22 917,4 22 791,2 22 651,6 22 502,3 22 342,2 22 175,5 21 995,8 21 804,2 21 589,4 21 351,5 21 091,9

85

Matematika životního pojištění

Tabulka 12.6.1 Tabulka komutačních čísel mužů ČR, 2013, TÚM 1,9 % (pokračování) x 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105

lx 90490 89577 88597 87511 86311 85011 83585 82029 80370 78584 76676 74674 72557 70370 68119 65746 63291 60721 58008 55155 52177 49103 45958 42731 39434 36099 32754 29427 26150 22958 19887 16973 14249 11746 9489 7496 5777 4331 3150 2215 1500 975 605 357 199 104 51 23 10

dx 913 980 1085 1200 1300 1426 1556 1659 1786 1908 2002 2116 2187 2251 2373 2455 2569 2713 2853 2978 3074 3146 3227 3297 3334 3345 3327 3277 3192 3071 2914 2724 2503 2257 1993 1719 1446 1181 935 715 525 370 248 158 95 53 28 14 10

Dx 30 950,9 30 067,3 29 183,7 28 288,7 27 380,5 26 465,2 25 536,0 24 593,5 23 646,9 22 690,3 21 726,5 20 764,5 19 799,9 18 845,0 17 901,9 16 956,2 16 018,5 15 081,7 14 139,2 13 193,1 12 248,1 11 311,6 10 389,6 9 479,9 8 585,3 7 712,9 6 867,6 6 054,9 5 280,3 4 549,4 3 867,4 3 239,1 2 668,6 2 158,8 1 711,5 1 326,8 1 003,4 738,3 526,9 363,6 241,7 154,2 93,9 54,4 29,8 15,3 7,4 3,3 1,3

Nx 543 915,0 512 964,1 482 896,8 453 713,1 425 424,4 398 043,9 371 578,7 346 042,7 321 449,2 297 802,3 275 112,0 253 385,5 232 621,0 212 821,1 193 976,2 176 074,3 159 118,1 143 099,6 128 017,9 113 878,7 100 685,5 88 437,4 77 125,8 66 736,2 57 256,3 48 670,9 40 958,1 34 090,4 28 035,5 22 755,2 18 205,7 14 338,3 11 099,2 8 430,6 6 271,8 4 560,3 3 233,4 2 230,0 1 491,7 964,8 601,2 359,5 205,4 111,4 57,0 27,3 12,0 4,6 1,3

Cx 306,5 323,0 350,9 380,7 404,8 435,7 466,4 488,0 515,7 540,7 556,8 577,5 585,8 591,7 611,9 621,5 638,2 661,3 682,4 699,0 708,1 711,2 715,9 717,8 712,4 701,5 684,6 661,7 632,5 597,2 556,2 510,1 460,0 407,1 352,8 298,7 246,4 197,6 153,5 115,1 83,0 57,4 37,8 23,6 13,9 7,7 3,9 1,9 1,3

Mx 20 809,2 20 502,7 20 179,8 19 828,9 19 448,1 19 043,3 18 607,7 18 141,3 17 653,3 17 137,5 16 596,8 16 040,0 15 462,5 14 876,7 14 285,1 13 673,1 13 051,7 12 413,5 11 752,2 11 069,8 10 370,8 9 662,7 8 951,5 8 235,6 7 517,8 6 805,4 6 103,9 5 419,3 4 757,6 4 125,1 3 527,9 2 971,8 2 461,7 2 001,6 1 594,6 1 241,8 943,1 696,7 499,1 345,6 230,5 147,5 90,1 52,3 28,7 14,8 7,1 3,2 1,3

86

Matematika životního pojištění

13 Určení čistého pojistného a rizika pojištění Princip ekvivalence

13.1

Tento princip, který se používá jako základní spravedlivé východisko k určování pojistného i rizika pojištění, budeme demonstrovat na následujícím příkladu. Příklad 13.1.1 Dva kamarádi A, B se domluvili, že společně uloží na spořicí účet úročený roční složenou úrokovou mírou 1,3 % částku 50 000 Kč a zahrají si následující hru. Jeden z nich, řekněme A, si vybere libovolnou číslici (0, 1, …9) a druhý ji bude hádat. První pokus se uskuteční rok od založení účtu a další vždy po roce. Pokaždé když B neuhodne, vybere si A z účtu 5 000 Kč. Hra končí v okamžiku, kdy B uhodne a vybere si celý zůstatek na účtu. Ukážeme, kolik by měl každý z nich na účet uložit, aby byla hra spravedlivá. Řešení Je zřejmé, že hra bude spravedlivá v případě, když budou výdaje a příjmy obou hráčů v rovnováze. Výdaje a příjmy hráčů se uskuteční v různých časech, takže k jejich porovnání bude třeba odpovídající nominální hodnoty přepočítat k jednomu zvolenému časovému okamžiku. Nechť je to okamžik založení účtu. Vzhledem k tomu, že příjmy (výhry) obou hráčů mohou být různé v závislosti na průběhu hry, jedná se obecně o náhodné veličiny a jejich typickou velikost reprezentuje střední hodnota. Označme W náhodnou veličinu současná hodnota výhry hráče A. Dále označme F hledanou spravedlivou částku, kterou by měl hráč A na účet vložit. Podle definice střední hodnoty náhodné veličiny zřejmě platí, že n

F  E W    w j p j ,

(13.1.1)

j 1

kde w j , j  1, 2 , ..., n jsou hodnoty, kterých může náhodná veličina W nabývat a p j jsou pravděpodobnosti toho, že W  w j . Současná hodnota výhry hráče a může nabývat celkem 10 různých hodnot, protože hráč B může zřejmě myšlenou číslici uhodnout nejdříve na první a nejpozději na desátý pokus. S použitím základní rovnice složeného úrokování lze vypočítat současné hodnoty jednotlivých výher hráče A. Vyplývá z ní, že pro diskontovanou hodnotu K0 částky Kn splatné za n let při roční úrokové míře i platí: K0 

Kn

1  i 

 K nv n ,

n

(13.1.2)

kde jsme k úpravě použili (12.6.5). Součtem těchto jednotlivých diskontovaných výher potom dostaneme současnou hodnotu celé výhry wj. Za roční úrokovou míru budeme přirozeně brát hodnotu 0,013, tedy úrokovou míru, kterou je úročen uvažovaný účet. Máme postupně w1  0, w 2  w5 

5 000 1,013



5 000 1,013 5 000 1,013

w3 

,

2



5 000 1,013

5 000 1,013

3





5 000 1,013

5 000 1,013

4

2

, w4 

, ...,

5 000 1,013

w10 



5 000 1,013

5 000 1,013





2

5 000 1,013

2

5 000 1,013 3

 ... 

,

5 000 1,013 9

.

Náhodná veličina W tedy může obecně nabývat hodnot 87

Matematika životního pojištění wj 

5 000 1,013



5 000 1,013 2

 ... 

5 000 1,013

j 1

 5 000

1  (1,013 )   j 1 0,013

, j  1, 2, ..., 10 .

Při vyjádření j-tého členu jedním výrazem jsme použili známý vzorec pro součet prvních n členů geometrické posloupnosti. Platí, že s n  a1

V našem případě je zřejmě a1 

5 000 1,013

,

q

1 qn 1 q 1

1,013

(13.1.3)

.

a

n  j 1.

Jednoduchou úvahou dále dospějeme k závěru, že pravděpodobnost každé výhry je 10 %. Můžeme tedy sestavit tabulku rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny W (viz tabulka 13.1.1). Tabulka 13.1.1 Rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny W j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Hodnota W (wj) 0 4 935,83 9 808,33 14 618,29 19 366,52 24 053,82 28 680,97 33 248,74 37 757,88 42 209,17

Pravděpodobnost (pj) 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1

Po dosazení do (13.1.1) dostáváme

F  21 467 ,96 . Aby byla hra spravedlivá, musí hráč A vložit na účet částku 21 467,96 Kč, a hráč B částku 28 532,04 Kč. Označme dále písmenem R riziko hry hráče A. Toto riziko se v matematice běžně vyjadřuje směrodatnou odchylkou příslušné náhodné veličiny. Podle definice směrodatné odchylky diskrétní náhodné veličiny máme R   W  

 w n

 E W  p j . 2

j

(13.1.4)

j 1

Po příslušném dosazení a výpočtech získáme R  13 470 ,43 .

Riziko hry hráče a tedy činí 13 470,43 Kč. Při výpočtu pojistného se vychází z právě demonstrovaného spravedlivého principu. Hovoříme o tzv. principu ekvivalence. Ten vyjadřuje zřejmý „férový“ požadavek, aby příjmy a výdaje pojišťovny byly v rovnováze. U čistého pojistného bereme za výdaje pojišťovny pouze částky pojistného plnění. Jelikož, jak už bylo uvedeno, se v životním pojištění uzavírají pojistné smlouvy většinou na delší časová období a příjmy či výdaje pojišťovny mohou být rozloženy po celou dobu tohoto období, je třeba při výpočtech pojistného uvažovat časovou 88

Matematika životního pojištění hodnotu peněz. Finanční toky související s danou pojistnou smlouvou je tedy třeba vztahovat a porovnávat k vybranému časovému okamžiku, kterým bude při našich výpočtech okamžik uzavření pojistné smlouvy. Vzhledem k tomu, že se všechny finanční toky související s pojistnou smlouvou uskutečňují při jejím podpisu nebo později, budeme pracovat s jejich současnými (diskontovanými) hodnotami. Předpokládejme tedy dále, že čas měříme v letech počínaje uzavřením pojistné smlouvy. Označíme-li platby pojistného v časech k 1 , k 2 , ..., k m , m  N jako Ak , Ak , ..., Ak a platby pojistného plnění v časech 1

2

m

l1 , l 2 , ..., l n , n  N jako B l , B l , ..., B l , lze princip ekvivalence matematicky zapsat ve tvaru 1

2

n

m

Ak j

 1  i  j 1

n

kj

 j 1

Bl j

1  i l

.

(13.1.5)

j

K diskontování v rovnici (13.1.5) používáme pochopitelně dříve zavedenou technickou úrokovou míru i. V životním pojištění však musíme vzít v úvahu ještě jeden faktor, a tím je náhodný charakter finančních toků. Placení pojistného často končí úmrtím klienta, takže počet plateb m ve vztahu (13.1.5) není dopředu znám. Na druhé straně je pojistné plnění při důchodovém pojištění vázáno na dobu, po kterou je pojištěný naživu, takže ani počet plateb n není předem jistý. Při kapitálovém pojištění zase pojišťovna obecně předem neví, kdy a zda vůbec bude platit pojistné plnění. Na obě strany v rovnici (13.1.5) je tedy obecně třeba pohlížet jako na náhodné veličiny a platnost rovnosti požadovat pro jejich střední (očekávané) hodnoty, tj. střední současná hodnota pojistného = = střední současná hodnota pojistného plnění.

(13.1.6)

Je zřejmé, že konkrétní hodnoty, kterých nabývají uvažované náhodné veličiny, se mohou od vypočítaných středních hodnot značně lišit. Pro pojišťovnu tedy existuje reálné nebezpečí (riziko), že ve skutečnosti nebudou její celkové příjmy a celkové výdaje za dané období v rovnováze a vybrané pojistné od klientů nebude stačit na výplaty pojistného plnění a pokrytí dalších výdajů. Tomuto riziku se říká pojistně-technické riziko pojistitele (podrobněji viz část Pojišťovnictví) a jeho velikost se obvykle vyjadřuje směrodatnou odchylkou náhodné veličiny, která je definována jako rozdíl mezi příjmy a výdaji pojišťovny za dané období. V praxi je ovšem její výpočet většinou obtížný, a proto se redukuje na výpočet směrodatné odchylky náhodné veličiny současná hodnota pojistného plnění (Cipra, 1999), která je hlavním zdrojem pojistně-technického rizika a nazývá se zjednodušeně riziko pojištění. Je pochopitelné, že čím větší množství pojistných smluv pojišťovna uzavře, tím víc se její pojistně-technické riziko snižuje.

13.2

Kapitálové pojištění placené jednorázově

Začneme tímto, výpočetně nejjednodušším, případem. Jednorázové pojistné plnění se platí při uzavření pojistné smlouvy. Je to tedy platba jistá, kterou navíc není potřeba diskontovat, protože se uskutečňuje přímo ve zvoleném referenčním okamžiku. Pojistné plnění vyplácí pojišťovna při kapitálovém pojištění nanejvýš jednou. Stačí tedy určit střední hodnotu diskontovaného pojistného plnění pro konkrétní druh kapitálového pojištění placeného jednorázově a podle principu ekvivalence se bude jednat přímo o hledané čisté pojistné. V celém tomto odstavci budeme dále předpokládat, že pojistné plnění je jednotkové (1 Kč), což našim úvahám na obecnosti nikterak zásadně neubere. Získanou hodnotu čistého pojistného na jednotkové pojistné plnění (tzv. jednotkové čisté pojistné) totiž stačí vynásobit dohodnutým pojistným plněním a dostaneme skutečnou hodnotu čistého pojistného. 89

Matematika životního pojištění

13.2.1

Pojištění na dožití

Při pojištění na dožití vyplatí pojišťovna sjednané pojistné plnění, jestliže se osoba pojištěná ve vstupním věku x let dožije konce dohodnuté pojistné doby n let. Pokud pojištěný zemře před koncem pojistné doby, zanikne pojištění bez náhrady. Tento typ pojištění uzavírají například rodiče ve prospěch svých dětí, které pak při dožití určitého věku dostanou vyplacenou sjednanou částku. Schematicky vyjadřuje situaci při pojištění na dožití obrázek 13.2.1, kde x, k , l , n  N , přičemž k  n  l . Na obrázku jsou znázorněny dvě alternativy úmrtí pojištěného. Pokud se dožije maximálně k-tého výročí uzavření pojistné smlouvy, pojišťovna neplatí nic. V případě, že se dožije maximálně l-tého výročí uzavření pojistné smlouvy, vyplatí pojišťovna pojistné plnění. Obrázek 13.2.1 Pojistné plnění při pojištění na dožití plnění

0

0

věk

x

x+1

plnění

0

0

0† …

0

0

x+k

x+k+1

0

0

…

x+n

…

1

x+l 0

x+l+1 †

0

Označíme-li výši hledaného jednotkového čistého pojistného při pojištění na dožití nEx a náhodnou veličinu současná hodnota jednotkového pojistného plnění P1, lze rovnici ekvivalence (13.1.6) psát ve tvaru: n

E x  E  P1 ,

(13.2.1)

kde E(P1) je střední hodnota náhodné veličiny P1. Tato náhodná veličina má alternativní rozdělení pravděpodobností podle tabulky 13.2.1. Pomocný sloupeček Čas reprezentuje čas výplaty pojistného plnění v letech počínaje uzavřením pojistné smlouvy. Tabulka 13.2.1 Rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny P1 Čas n

Hodnota P1 0 vn

Pravděpodobnost nq x np x

Příklad 13.2.1 Určíme, jaké je čisté jednorázové pojistné a riziko pojištění v případě, že 40letý muž uzavírá pojištění na dožití dvaceti let na pojistnou částku 100 000 Kč? Řešení Máme x = 40, n = 20 a i = 0,019. Dále označme hodnotu pojistného plnění f = 100 000. Pravděpodobnost, že se pojištěný nedožije 20. výročí pojistné smlouvy a pojišťovna nebude platit pojistné plnění je podle (12.4.4) a tabulky 12.6.1 20

q 40 

l 40  l 60 l 40



97 464  87 511 97 464

 0,102 115 .

Pravděpodobnost, že se naopak dožije 20. výročí pojistné smlouvy a pojišťovna bude platit pojistné plnění je podle (12.4.3) a tabulky 12.6.1

90

Matematika životního pojištění

20

p 40 

l 60 l 40



87 511 97 464

 0,897 885 .

Podle předpokladu se v tomto případě vyplácí pojistné plnění ve výši 1 Kč a jeho diskontovaná hodnota k okamžiku uzavření pojistné smlouvy je zřejmě podle (13.1.2) a (12.6.5) v 20 

1

1  i 

20



1

 0,686 304 .

1,019 20

Rozdělení pravděpodobností pak ilustruje tabulka 13.2.2. Tabulka 13.2.2 Rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny P1 z příkladu 13.2.1 Čas

Hodnota P1 0 0,686304

20

Pravděpodobnost 0,102115 0,897885

Z této tabulky a s využitím (13.1.1) máme n

E x  E  P1   0  0,102 115  0,686 304  0,897 885  0,616 222 .

Pomocí (13.1.4) pak určíme jednotkové riziko pojištění, pro které dostáváme   P1  

( 0  0,616 222 ) 2  0,102 115  ( 0,686 304  0,616 222 ) 2  0,897 885  0, 207 813 .

Je tedy zřejmé, že na každou korunu pojistného plnění činí čisté pojistné zhruba 62 haléřů a riziko pojištění zhruba 21 haléřů. Pokud činí pojistné plnění 100 000 Kč, bude pochopitelně jak čisté pojistné, tak i riziko pojištění 100 000krát větší. Označíme-li tedy čisté pojistné F a riziko pojištění R, dostáváme F  f nE x  100 000  0,616 222  61 622 ,16 ,

R  f  P1   100 000  0 , 207 813  20 781 , 26 .

Čisté jednorázové pojistné tedy činí 61 622,16 Kč a riziko pojištění 20 781,26 Kč. Výpočet čistého pojistného resp. rizika pojištění z tabulky rozdělení pravděpodobností se poměrně jednoduše provádí v Excelu, kdy je velmi efektivní použít funkci skalární součin vektorů (sloupců) hodnot a pravděpodobností resp. vektorů kvadratických odchylek a pravděpodobností. Pro výpočet jednotkového čistého pojistného pro daný typ pojištění lze odvodit i obecný vzorec, a to a) z obecné tabulky rozdělení pravděpodobností; b) jednoduchou úvahou. Podle tabulky 13.2.1, definice střední hodnoty a (12.6.1) máme n n n E x  E  P1   0 n q x  v  n p x  v

l xn lx



v xnl xn x

v lx



D xn Dx

.

(13.2.2)

Uvažujme lx osob ve věku x let, kteří společně vytvoří pojistný fond investovaný při roční úrokové míře i. Z fondu se má za n let po jeho vytvoření vyplatit koruna každému pojistníkovi, který bude naživu. Je zřejmé, že vklad každého bude vlastně jednotkové pojistné na dožití n let, které splňuje rovnici 91

Matematika životního pojištění

n

E x l x 

l xn

1  i n

,

z níž vyplývá, že n

E x vn

l xn lx



D xn Dx

.

Příklad 13.2.2 Čisté pojistné z příkladu 13.2.1 určíme pomocí komutačních čísel. Řešení Podle vztahu (13.2.2) a použitím příslušných komutačních čísel z tabulky 12.6.1 lze psát F  f nE x  f

D xn

 f

Dx

D60 D 40

 100 000 

28 288 ,7 45 906 ,7

 61 622 ,16 .

Pojištění na dožití by teoreticky mělo být o něco výhodnější než uložení peněz na účet úročený technickou úrokovou mírou, protože vyplacená částka může být vyšší o částky, jež pojišťovna „ušetří“ v případech, kdy se pojištěný sjednaného věku nedožije. To potvrzuje následující příklad. Příklad 13.2.3 Ukážeme, jak se za dvacet let zhodnotí vklad 61 622,16 Kč při roční úrokové míře 1,9 %. Řešení Je tedy dáno: K0 = 61 622,16, i = 0,019, n = 20. Ze základní rovnice složeného úročení (13.1.2) máme K n  K 0 1  i   61 622,16  1  0,019  n

20

 89 788 ,48 .

Splatná částka je tedy opravdu menší než v případě pojištění na dožití. Je třeba si ovšem uvědomit, že výpočet byl proveden na základě velikosti čistého pojistného, které pojistník v praxi neplatí.

13.2.2

Pojištění pro případ smrti

V rámci tohoto pojištění vyplatí pojišťovna sjednané pojistné plnění na konci toho pojistného roku, v němž osoba pojištěná ve vstupním věku x zemře. V praxi se toto pojištění často používá například pro hrazení nákladů na pohřeb. Schematicky lze situaci vyjádřit jako na obrázku 13.2.2, kde x, k  N . Obrázek 13.2.2 Pojistné plnění při pojištění pro případ smrti plnění

0

0

věk

x

x+1

0† …

x+k

1

x+k+1

92

Matematika životního pojištění Označíme-li výši jednotkového čistého pojistného pro případ smrti Ax a náhodnou veličinu současná hodnota jednotkového pojistného plnění P2, lze rovnici ekvivalence (13.1.6) psát ve tvaru: A x  E  P2 ,

(13.2.3)

kde E(P2) je střední hodnota náhodné veličiny P2. Rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny P2 ukazuje tabulka 13.2.3. Tabulka 13.2.3 Rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny P2 Čas 1 2 3 … 106 - x

Hodnota P2 v v2 v3 … v106-x

Pravděpodobnost qx = 0|qx 1|qx 2|qx … 105-x|qx

Řádků tabulky (různých hodnot náhodné veličiny P2) je tolik, kolik je různých časových okamžiků možných výplat pojistného plnění. Nejdříve může vyplácet pojišťovna pojistné plnění rok po uzavření příslušné smlouvy a to v případě, že pojištěný zemře do roka od uzavření smlouvy. Na druhé straně se teoreticky může pojištěný dožít až 105 let, takže poslední možná výplata pojistného plnění je (106 – x) let od uzavření pojistné smlouvy. Připomínáme, že x označuje vstupní věk pojištěného. Ve sloupečku pravděpodobností vystupují pochopitelně jednoleté pravděpodobnosti úmrtí odložené o příslušný počet let a sloupeček Čas opět udává čas výplaty pojistného plnění v letech počínaje uzavřením pojistné smlouvy. Příklad 13.2.4 Určíme čisté jednorázové pojistné a riziko pojištění pro 60letého klienta, který uzavírá pojištění pro případ smrti na 100 000 Kč. Řešení Máme x = 60, f = 100 000, i = 0,019. Tabulku rozdělení pravděpodobností pro tento příklad získáme použitím vztahů (12.6.5), (12.4.6) a doplněním vypočtených hodnot do tabulky 13.2.3. Protože je (106 – 60) = 46, může náhodná veličina P2 nabývat teoreticky 46 různých hodnot. Vyplácí se sice pokaždé jedna koruna, ale diskontuje se přes různý počet ročních období.

93

Matematika životního pojištění Tabulka 13.2.4 Rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny P2 z příkladu 13.2.4 Čas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Hodnota P2 0,981354 0,963056 0,945099 0,927477 0,910184 0,893213 0,876558 0,860214 0,844175 0,828434 0,812988 0,797829 0,782953 0,768354 0,754028 0,739968 0,726171 0,712631 0,699343 0,686304 0,673507 0,660949 0,648625

Pravděpodobnost 0,013715 0,014859 0,016295 0,017776 0,018954 0,020411 0,021806 0,022883 0,024181 0,024995 0,025727 0,027113 0,028058 0,029360 0,031003 0,032600 0,034029 0,035125 0,035948 0,036875 0,037676 0,038100 0,038229

Čas 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46

Pravděpodobnost 0,038022 0,037445 0,036472 0,035091 0,033302 0,031125 0,028601 0,025791 0,022774 0,019649 0,016520 0,013498 0,010684 0,008165 0,006002 0,004225 0,002836 0,001805 0,001084 0,000610 0,000319 0,000154 0,000110

Hodnota P2 0,636531 0,624662 0,613015 0,601585 0,590368 0,579360 0,568558 0,557956 0,547553 0,537343 0,527324 0,517492 0,507843 0,498374 0,489081 0,479962 0,471013 0,462230 0,453612 0,445154 0,436854 0,428708 0,420715

Výpočtem střední hodnoty a směrodatné odchylky náhodné veličiny P2 a jejich vynásobením pojistným plněním f dostaneme hledané čisté pojistné a riziko pojištění. Je F  fA x  fE  P2   100 000  0 ,700 947  70 094 ,73 , R  f  P2   100 000  0,124 547  12 454 ,67 .

Cena čistého pojistného je tedy 70 094,73 Kč a riziko pojištění činí 12 454,67 Kč. Použitím definice střední hodnoty, tabulky 13.2.3 a vztahů (12.4.6), (12.1.4), (12.6.2), (12.6.4) a (12.6.1) postupně máme 105 x

Ax 

105 x

v

k 1

k q x 

105 x

k 0



v

k 1

d xk lx

k 0



105 x



d x  k v x  k 1

k 0

lxv

x



C

xk

k 0

lxv

x



Mx Dx

.

(13.2.4)

Příklad 13.2.5 Ověříme čisté jednorázové pojistné získané v řešení minulého příkladu pomocí (13.2.4). Řešení Máme F  fAx  f

Mx Dx

 f

M 60 D 60

 100 000 

19 828 ,9 28 288 ,7

 70 094 ,73 .

94

Matematika životního pojištění

13.2.3

Dočasné pojištění pro případ smrti

V rámci tohoto pojištění vyplatí pojišťovna dohodnuté pojistné plnění na konci pojistného roku, v němž osoba pojištěná ve vstupním věku x zemře, pokud navíc k úmrtí dojde před uplynutím pojistné doby n let. Jestliže se pojištěný dožije konce pojistné doby, zanikne pojištění bez náhrady. V praxi se toto pojištění často používá v souvislosti s úvěrem. Banka totiž může poskytnutí úvěru (např. hypotečního) podmínit právě tímto typem životního pojištění, kdy se v případě úmrtí klienta z pojistky dorovná dluh bance (případný zbytek připadne dalším oprávněným osobám). Situaci si opět nejprve znázorníme schematicky ve dvou variantách úmrtí pojištěného, viz obrázek 13.2.3, kde x, k , l , n  N , přičemž k  n  l . Obrázek 13.2.3 Pojistné plnění při dočasném pojištění pro případ smrti plnění

0

0

0†

věk

x

x+1

plnění

0

0

…

1

x+k

x+k+1

0

0

…

x+n

0

…

x+l 0

x+l+1 †

0

Výši jednotkového pojistného dočasného pojištění pro případ smrti x-leté osoby na n let označíme symbolem A 1x: n  a náhodnou veličinu současná hodnota jednotkového pojistného plnění pro tento typ pojištění P3. Rovnice ekvivalence (13.1.6) má tvar: A 1x: n   E  P3 ,

(13.2.5)

kde E(P3) je střední hodnota náhodné veličiny P3. Rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny P3 ukazuje tabulka 13.2.5. Porovnáním s tabulkou 13.2.3 je zřejmé, že prvních n řádků je totožných a poslední řádek tabulky 13.2.5 vlastně shrnuje zbývající řádky tabulky 13.2.3 s nulovou hodnotou P3. Tabulka 13.2.5 Rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny P3 Čas 1 2 3 … n

Hodnota P3 v v2 v3 … 0

Pravděpodobnost qx = 0|qx 1|qx 2|qx … n-1|qx npx

Příklad 13.2.6 Vypočítáme čisté jednorázové pojistné a pojistné riziko dočasného pojištění pro případ smrti, které uzavírá 60letá osoba na 5 let a na pojistnou částku 100 000 Kč? Řešení Máme x = 60, n = 5, i = 0,019 a f = 100 000. Prvních pět řádků vyplníme stejně jako v příkladu 13.2.4. Poslední šestý řádek bude odpovídat situaci, kdy se pojištěný dožije konce pojistné doby, a pojišťovna tudíž nebude muset platit pojistné plnění vůbec. Pravděpodobnost v posledním řádku určíme pomocí vztahu (12.4.3). 95

Matematika životního pojištění Tabulka 13.2.6 Rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny P2 z příkladu 13.2.6 Čas 1 2 3 4 5

Pravděpodobnost 0,013715 0,014859 0,016295 0,017776 0,018954 0,918401

Hodnota P3 0,981354 0,963056 0,945099 0,927477 0,910184 0,000000

Tato tabulka rozdělení pravděpodobností nám opět umožní vypočítat střední hodnotu a posléze i směrodatnou odchylku náhodné veličiny P3. Vynásobením pojistným plněním f dostaneme hledané čisté pojistné a riziko pojištění. Je F  fA1x: n   fE  P3   100 000  0,076 908  7 690 ,81, R  f  P3   100 000  0, 258 114  25 811 , 43 .

Čisté pojistné je tedy 7 690,81 Kč a riziko pojištění činí 25 811,43 Kč. I zde odvodíme vyjádření jednotkového čistého pojistného pomocí komutačních čísel. Použitím definice střední hodnoty, tabulky 13.2.5 a vztahů (12.4.6), (12.1.4), (12.6.2), (12.6.4) a (12.6.1) získáme postupně n 1

A

1 x: n 

 v

k 1

k 0

n 1

k q x   v



k 0

lxv

x

d xk lx

k 0

n 1

 C xk

k 1

105 x



 C xk 

n 1



d x  k v x  k 1 lxv x

k 0



105  x  n 

C

k 0

(13.2.6) xnk

k 0

lxv

x



M x  M xn Dx

.

Příklad 13.2.7 Ověříme čisté jednorázové pojistné získané v řešení minulého příkladu pomocí právě odvozeného vztahu (13.2.6). Řešení Máme F  fA1x: n   f

13.2.4

M x  M xn Dx

 f

M 60  M 65 D 60

 100 000 

19 828 ,9  17 653 ,3 28 288 ,7

 7 690 ,81 .

Odložené pojištění pro případ smrti

V rámci tohoto pojištění vyplatí pojišťovna dohodnuté pojistné plnění na konci pojistného roku, v němž osoba pojištěná ve vstupním věku x zemře, pokud navíc k úmrtí nedojde před uplynutím sjednané doby odkladu n let. Z této definice je zřejmé, že se jedná o jakýsi doplněk dočasného pojištění pro případ smrti. Tento typ pojištění je relativně nevýhodný pro pojistníka, protože ten ušetří odkladem poměrně malou částku a vystavuje se riziku, že pojistné v případě předčasné smrti pojištěného propadne pojišťovně. Takový typ pojištění bude tedy spíše diktován pojišťovnou v případech, kdy má důvod se domnívat, že z nějakého 96

Matematika životního pojištění důvodu dojde k brzkému úmrtí pojištěného (např. osoby s velkým rizikem onemocnění vážnou chorobou, zadlužený podnikatel atd.). Možnosti, které mohou při odloženém pojištění pro případ smrti nastat, jsou na obrázku 13.2.4, pro x, k , l , n  N taková, že k  n  l . Obrázek 13.2.4 Pojistné plnění při odloženém pojištění pro případ smrti plnění

0

0

věk

x

x+1

plnění

0

0

0† …

0

x+k

x+k+1

0

0

…

x+n 0

…

x+l 0

x+l+1 †

1

Výši čistého jednotkového čistého pojistného odloženého pojištění pro případ smrti x-leté osoby na n let označíme symbolem n A x a náhodnou veličinu současná hodnota jednotkového pojistného plnění pro tento typ pojištění P4. Rovnice ekvivalence (13.1.6) má v tomto případě tvar: n

A x  E  P4  ,

(13.2.7)

kde E(P4) je střední hodnota náhodné veličiny P4. Rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny P4 ukazuje tabulka 13.2.7. Pokud pojištěný zemře během doby odkladu, neplatí pojišťovna pojistné plnění vůbec. Jakmile doba odkladu uplyne, funguje odložené pojištění pro případ smrti stejně jako (obyčejné) pojištění pro případ smrti, takže tabulky 13.2.7 a 13.2.3 jsou počínaje časem (n + 1) totožné. Tabulka 13.2.7 Rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny P4 Čas n+1 n+2 … 106 - x

Hodnota P4 0 vn+1 vn+2 … v-x

Pravděpodobnost nqx n| qx n+1| qx … x|qx

Příklad 13.2.8 Určíme čisté jednorázové pojistné a riziko pojištění pro 60letého muže, který uzavírá odložené pojištění pro případ smrti na 5 let na částku 100 000 Kč? Řešení Máme x = 60, n = 5, i = 0,019 a f = 100 000. Rozdělení pravděpodobností je uvedeno v tabulce 13.2.8. Pravděpodobnost v prvním řádku, která odpovídá nulovému pojistnému plnění, určíme pomocí (12.4.4). Čísla ve zbývajících řádcích vypočítáme stejně jako v příkladu 13.2.4.

97

Matematika životního pojištění Tabulka 13.2.8 Rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny P4 z příkladu 13.2.8 Čas 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Hodnota P4 0,000000 0,893213 0,876558 0,860214 0,844175 0,828434 0,812988 0,797829 0,782953 0,768354 0,754028 0,739968 0,726171 0,712631 0,699343 0,686304 0,673507 0,660949 0,648625 0,636531 0,624662

Pravděpodobnost 0,081599 0,020411 0,021806 0,022883 0,024181 0,024995 0,025727 0,027113 0,028058 0,029360 0,031003 0,032600 0,034029 0,035125 0,035948 0,036875 0,037676 0,038100 0,038229 0,038022 0,037445

Čas 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46

Hodnota P4 0,613015 0,601585 0,590368 0,579360 0,568558 0,557956 0,547553 0,537343 0,527324 0,517492 0,507843 0,498374 0,489081 0,479962 0,471013 0,462230 0,453612 0,445154 0,436854 0,428708 0,420715

Pravděpodobnost 0,036472 0,035091 0,033302 0,031125 0,028601 0,025791 0,022774 0,019649 0,016520 0,013498 0,010684 0,008165 0,006002 0,004225 0,002836 0,001805 0,001084 0,000610 0,000319 0,000154 0,000110

Výpočtem střední hodnoty a směrodatné odchylky náhodné veličiny P4 a jejich vynásobením pojistným plněním f dostaneme hledané čisté pojistné a riziko pojištění. Je F  f n Ax  fE  P4   100 000  0,624 039  62 403 ,92 , R  f  P4   100 000  0, 211 840  21 184 ,01 .

Cena čistého pojistného je tedy 62 403,92 Kč a riziko pojištění činí 21 184,01 Kč. Pomocí tabulky 13.2.7 určíme jednotkové čisté pojistné odloženého pojištění pro případ smrti obecně jako střední hodnotu náhodné veličiny P4. Máme 105 x

n

Ax 

105 x

v k n

k 1

k q x 

105 x



k n

v

k 1

d xk lx



105 x



d x  k v x  k 1

k n

lxv

x



C

xk

k n

lxv

x



M xn Dx

.

(13.2.8)

Při odvození jsme postupně použili definici střední hodnoty, tabulku 13.2.7 a vztahy (12.4.6), (12.1.4), (12.6.2), (12.6.4) a (12.6.1). Vztahy (13.2.4), (13.2.6) a (13.2.8) matematicky dokreslují skutečnost, že pojištění pro případ smrti lze rozdělit na dočasné a odložené pojištění pro případ smrti se stejnou dobou trvání dočasného pojištění a dobou odkladu. Pro příslušné hodnoty jednotkového čistého pojistného totiž platí, že A x  A 1x:n   n A x .

(13.2.9)

98

Matematika životního pojištění Příklad 13.2.9 Ověříme vypočtenou hodnotu čistého pojistného z předchozího příkladu pomocí výsledků příkladů 13.2.4 a 13.2.6 a vztahu (13.2.9). Řešení Máme x = 60, n = 5, f = 100 000, F2.2.4= 70 094,73 a F2.2.6 = 7 690,81. S použitím (13.2.9) dostáváme





F  f n Ax  f Ax  A1x:n   fAx  fA1x:n   F2.2.4 - F2.2.6  70 094,73  7 690,81  62 403 ,92 .

13.2.5

Smíšené pojištění

V rámci smíšeného pojištění vyplatí pojišťovna sjednané pojistné plnění na konci toho pojistného roku, v němž osoba pojištěná ve vstupním věku x zemře, nejpozději ale při dožití konce sjednané pojistné doby n let. Toto pojištění, které je vlastně kombinací dočasného pojištění pro případ smrti a pojištění pro případ dožití, patří k nejoblíbenějším produktům životního pojištění. Jedná se tedy o jakési spořící pojištění, protože máme jistotu, že pojistné plnění bude vyplaceno. Schematicky lze situaci vyjádřit jako na obrázku 13.2.5, kde jsou x, k , l , n  N , přičemž k  n  l . Z tohoto obrázku je také zřejmé, že při smíšeném pojištění platí pojišťovna v každém případě. Obrázek 13.2.5 Pojistné plnění při smíšeném pojištění plnění

0

0

věk

x

x+1

plnění

0

0

0† …

1

x+k

x+k1+1

0

0

…

x+n 1

…

x+l 0

x+l+1 †

0

Označíme-li výši jednotkového čistého pojistného smíšeného pojištění A x:n  a náhodnou veličinu současná hodnota jednotkového pojistného plnění P5, lze rovnici ekvivalence (13.1.6) psát ve tvaru: A x:n   E  P5 ,

(13.2.10)

kde E(P5) je střední hodnota náhodné veličiny P5. Rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny P5 ukazuje tabulka 13.2.9. Z ní je dobře patrné, že smíšené pojištění je složeno z dočasného pojištění pro případ smrti a pojištění na dožití. Tabulka 13.2.9 Rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny P5 Čas 1 2 3 … n

Hodnota P5 v v2 v3 … vn

Pravděpodobnost qx = 0|qx 1|qx 2|qx … n-1|qx+npx

99

Matematika životního pojištění Příklad 13.2.10 Určíme čisté jednorázové pojistné a riziko pojištění v případě 35leté osoby, která uzavírá smíšené pojištění na 20 let na 100 000 Kč. Řešení Máme x = 35, n = 20, i = 0,019 a f = 100 000. Pro výpočty hodnot příslušné náhodné veličiny v tabulce rozdělení pravděpodobností 13.2.10 jsme použili vztah (12.6.5), odpovídající pravděpodobnosti pak určili dosazením do (12.4.6) a (12.4.3). Z tabulky je zřejmé, že s takřka 95% pravděpodobností bude pojišťovna v tomto případě vyplácet pojistné plnění až při dvacátém výročí uzavření pojistné smlouvy ( 19 q 35  20 p 35  19 p 35  0,945 768 ). Tabulka 13.2.10 Rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny P5 z příkladu 13.2.10 Čas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Pravděpodobnost 0,001123 0,001114 0,001181 0,001213 0,001357 0,001482 0,001659 0,001988 0,002379 0,002582

Hodnota P5 0,981354 0,963056 0,945099 0,927477 0,910184 0,893213 0,876558 0,860214 0,844175 0,828434

Čas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Hodnota P5 0,812988 0,797829 0,782953 0,768354 0,754028 0,739968 0,726171 0,712631 0,699343 0,686304

Pravděpodobnost 0,002863 0,003118 0,003512 0,003831 0,004185 0,004439 0,004877 0,005298 0,006053 0,945748

Výpočtem střední hodnoty a směrodatné odchylky náhodné veličiny P5 a jejich vynásobením pojistným plněním f dostaneme hledané čisté pojistné a riziko pojištění. Je F  fAx:n   fE  P5   100 000  0,691 854  69 185 , 41, R  f  P5   100 000  0,029 201  2 920 ,12 .

Cena čistého pojistného je tedy 69 185,41 Kč a riziko pojištění činí pouze 2 920,12 Kč. Obecné vyjádření jednotkového čistého pojistného pro smíšené pojištění odvodíme opět pomocí definice střední hodnoty náhodné veličiny P5, jejíž rozdělení je v tabulce 13.2.9. Použitím (13.2.6) a (13.2.2) máme Ax:n  

n 1

v k 0

k 1

 k q x  v n  n p x  A1x:n   n E x 

M x  M xn  D xn Dx

.

(13.2.11)

Příklad 13.2.11 Pomocí komutačních čísel ověříme získanou hodnotu čistého pojistného z předchozího příkladu. Řešení Máme x = 35, n = 20 a f = 100 000. Čisté pojistné podle (13.2.11) bude F  fAx:n   f  100 000 

M x  M xn  D xn Dx

 f

M 35  M 55  D 55

23 760 ,3  21 351 ,5  32 696 , 2 50 740 ,6

D 35



 69 185 , 41 .

100

Matematika životního pojištění Pojišťovny smíšené pojištění nejrůznějším způsobem modifikují. Většinou tak, že dávají různou váhu jednotlivým částem, ze kterých je smíšené pojištění složeno. Může to být např. smíšené pojištění s trojnásobným pojistným plněním v případě smrti, které je určeno přednostně pro zabezpečení pozůstalých. Čisté pojistné se v tom případě vyjádří pomocí zlomku 3 M x  M x  n   D x  n

(13.2.12)

.

Dx

Na druhé straně např. smíšené pojištění s dvojnásobným pojistným plněním v případě dožití preferuje spořící účel pojištění a výši čistého pojistného získáme jako M x  M xn  2 D xn Dx

(13.2.13)

,

tedy odlišnou modifikací pravé strany (13.2.11). Příklad 13.2.12 Určíme, jaké by bylo čisté pojistné pro pojištěného z příkladu 13.2.10, jestliže by pojistná smlouva zaručovala v případě dožití se 20. výročí pojistné smlouvy dvojnásobné pojistné plnění ve výši 200 000 Kč. Řešení Podle zadání příkladu 13.2.10 máme x = 35, n = 20 a f = 100 000. Čisté pojistné dostaneme použitím (13.2.13) jako F  f

M x  M xn  2 D xn

 100 000 

Dx

 f

M 35  M 55  2 D 55 D 35

23 760 ,3  21 351 ,5  2  32 696 , 2 50 740 ,6



 133 623 , 49 .

Čisté pojistné bude nyní činit 133 623,49 Kč.

13.3

Důchodové pojištění placené jednorázově

Důchodové pojištění se liší od kapitálového tím, že se pojistné plnění nevyplácí jednorázově, ale formou opakovaných periodických plateb stejné velikosti, důchodů. Počet platebních období takového důchodu je náhodná veličina, protože výplata pojistného plnění je obvykle vázána na život pojištěného. Výpočty čistého jednorázového pojistného a rizika pojištění budeme provádět na roční jednotkový důchod, tj. na důchod, při kterém se během roku vyplatí 1 Kč s tím, že podobně jako u kapitálových pojištění stačí výsledky vynásobit skutečným ročním pojistným plněním. Výdaje pojišťovny v rovnici ekvivalence (13.1.6) bude tedy reprezentovat střední hodnota náhodné veličiny diskontovaná (současná, počáteční) hodnota příslušného důchodu. Příjem pojišťovny v rovnici ekvivalence je podobně jako v předchozí části nominální hodnota čistého pojistného, protože se jedná o platbu jistou, inkasovanou v okamžiku uzavření pojistné smlouvy.

101

Matematika životního pojištění

13.3.1

Současná hodnota důchodu

Jak jsme již konstatovali, důchodem budeme rozumět posloupnost pravidelně se opakujících plateb stejné velikosti. Časový interval mezi dvěma po sobě jdoucími platbami se nazývá výplatní období. Podle délky výplatního období hovoříme např. o ročním, čtvrtletním, měsíčním důchodu. Hodnotou důchodu obecně rozumíme jeho ocenění vztažením všech důchodových plateb k vybranému časovému okamžiku s použitím určité úrokové míry a určitého způsobu zhodnocování peněz. V souvislosti s pojistnými výpočty používáme tzv. současnou hodnotu důchodu, kdy všechny důchodové platby vztahujeme buď k okamžiku výplaty první z nich (hovoříme o současné hodnotě předlhůtního důchodu), nebo k okamžiku, který je jedno výplatní období před první platbou (současná hodnota polhůtního důchodu). Pro určování současné hodnoty v pojistných výpočtech budeme používat dříve zavedenou roční technickou úrokovou míru a složené úrokování. Ukažme nejprve výpočet současné hodnoty ročního předlhůtního důchodu skládajícího se z n plateb o velikosti 1 Kč. Uvažujeme-li okamžik, ke kterému vztahujeme všechny platby, za počátek měření času s roční jednotkou, potom se platby uskuteční v časech 0, 1, …, n – 1. Pro současnou hodnotu takového důchodu podle (13.1.2) a (13.1.3) platí an   1 

1 1 i



1

 ... 

1  i 2

1

 1  v  v  ...  v 2

1  i n 1

n 1



1 vn 1 v

.

(13.3.1)

Pro současnou hodnotu polhůtního ročního důchodu s n jednotkovými platbami, které se uskuteční v časech 1, 2, …, n, máme an 

1 1 i



1

1  i 2

1

 ... 

1  i n

 v  v 2  ...  v n  v

1 vn 1 v



1 vn i

.

(13.3.2)

Důchody se ovšem v praxi vyplácejí obvykle častěji než jedenkrát do roka. V tom případě se mluví o področních důchodech. Předpokládejme, že področní důchod je vyplácen m krát do roka po dobu n let a že každá platba má velikost 1/m, tedy každý rok se vyplatí nominálně celkem 1 Kč. Pro současnou hodnotu takového předlhůtního (při zachování roční časové jednotky a počátku měření času se jedná o platby v časech 0,

1

2

,

m m

, ...,

nm  1 m

) důchodu

platí an( m )  

1 m 1 m



1 m 1  i 

1/ m

1  v

1/ m

v



2/m

1 m 1  i   ...  v

2/m

 ... 

 n m 1  / m



Pro polhůtní variantu področního důchodu (platby v časech a n( m )  

1 m 1  i 

1/ m

1 m

v

1/ m

v

 2/m

1 m 1  i 

2/m

 ...  v

n

 ... 

 v

1/ m

1 m 1  i 

 nm 1  / m

(13.3.3)

1 vn





m 1  v1/ m 1

,

2

m m

.

, ..., n ) máme

1 m 1  i 

n

1 vn





m 1  v1/ m



(13.3.4)



.

Vztahy (13.3.3) a (13.3.4) lze alternativně vyjádřit pomocí tzv. roční nominální úrokové míry aplikované m-krát do roka, kterou obvykle označujeme i(m). Úroková míra i(m) je definována tak, že úročení úrokovou mírou i(m)/m vždy po uplynutí m-tiny roku přinese stejný efekt jako 102

Matematika životního pojištění úročení úrokovou mírou i po uplynutí celého roku. V této souvislosti se i říká efektivní roční úroková míra. Je tedy s využitím (13.1.2)  i m    . 1  i   1  m   m

(13.3.5)

Odtud lze odvodit, že





i ( m )  m (1  i )1 / m  1  m

1  v1 / m v1 / m

.

Vztahy (13.3.3) resp. (13.3.4) můžeme tudíž zapsat ve tvaru an( m ) 

1 v1 / m



1 vn i (m)

(13.3.6)

resp. a n( m ) 

13.3.2

1 vn i (m)

.

(13.3.7)

Pojištění ročního doživotního důchodu

V případě pojištění ročního doživotního důchodu vyplácí pojišťovna důchod sjednané výše vždy na počátku (předlhůtní) nebo na konci (polhůtní) pojistného roku za předpokladu, že osoba pojištěná ve vstupním věku x ještě žije. Situaci pro jednotlivé varianty ukazují obrázky 13.3.1 a 13.3.2 kde x, k  N . Jako obvykle reprezentuje číslo k poslední výročí pojistné smlouvy, kterého se pojištěný ještě dožije. Obrázek 13.3.1 Pojistné plnění při předlhůtním ročním doživotním důchodu plnění

1

1

věk

x

x+1

1† …

x+k

0

x+k+1

Obrázek 13.3.2 Pojistné plnění při polhůtním ročním doživotním důchodu plnění

0

1

věk

x

x+1

…

1†

0

x+k

x+k+1

Výši hledaného pojistného (jednotkové čisté pojistné předlhůtního resp. polhůtního doživotního důchodu) x-leté osoby označíme symbolem a x resp. a x a náhodnou veličinu současná hodnota jednotkového pojistného plnění pro odpovídající typ pojištění R1i resp. R1d (písmenka u indexů jsou odvozena z anglických názvů předlhůtního důchodu – annuity immediate resp. polhůtního důchodu – annuity due). Rovnice ekvivalence (13.1.6) má tvar: ax  E  R1i 

(13.3.8)

resp. 103

Matematika životního pojištění a x  E  R1d  ,

(13.3.9)

kde jsou na pravých stranách střední hodnoty náhodných veličin R1i resp. R1d. Rozdělení pravděpodobností obou náhodných veličin ukazuje tabulka 13.3.1 s tím, že symbol an  ( a n  ) představuje počáteční hodnotu jednotkového ročního předlhůtního (polhůtního) důchodu vypláceného po dobu n let s technickou úrokovou mírou i. Pomocný sloupeček Čas představuje čas posledního vyplaceného pojistného plnění v letech počínaje uzavřením pojistné smlouvy. Tabulka 13.3.1 Rozdělení pravděpodobností náhodných veličin R1i a R1d Čas 0

Hodnota R1i 1  a1

1

1  v  a2 

Pravděpodobnost

Čas

Hodnota R1d

Pravděpodobnost

0

qx = 0|qx

1

v  a1

1|qx

2

qx = 0|qx 1|qx

2

2

1  v  v  a3 

2|qx

2

v  v  a2

2|qx

…

…

…

…

…

…

x|qx

105-x

v  ...  v 105  x  a105  x 

x|qx

105-x 1  v  ...  v 105  x  a106  x 

Z obrázku 13.3.1 i z tabulky 13.3.1 je zřejmé, že střední hodnota jednotkového ročního předlhůtního doživotního důchodu je vždy přesně o jedničku větší než střední hodnota odpovídajícího jednotkového ročního polhůtního důchodu. Je to tím, že se v prvním případě platí navíc jednotková platba v čase 0. Tato platba je jistá a nemusí se nikam diskontovat. Ostatní platby jsou totožné, stejně jako příslušné pravděpodobnosti. Platí tedy a x  ax  1 .

(13.3.10)

Příklad 13.3.1 Určíme čisté pojistné a riziko pojištění 66leté osoby na roční doživotní důchod ve výši 100 000 Kč, jestliže se první výplata důchodu uskuteční a) při uzavření pojistné smlouvy; b) rok po uzavření pojistné smlouvy. Řešení Máme x = 66, i = 0,019 a f = 100 000. Náhodná veličina R1i může v tomto případě nabývat celkem 40 různých hodnot (důchod se bude skládat minimálně z jedné platby a maximálně ze 106 – 66 = 40 plateb). Náhodná veličina R1d může nabývat také 40 různých hodnot odpovídajících počtu plateb 0 až 39. Pro výpočty hodnot příslušných náhodných veličin použijeme (13.3.1) a (13.3.2). Výpočty odložených jednoletých pravděpodobností úmrtí provedeme dosazením do (12.4.6). Výsledky výpočtů jsou uvedeny v tabulkách 13.3.2 a 13.3.3.

104

Matematika životního pojištění Tabulka 13.3.2 Rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny R1i z příkladu 13.3.1 a) Čas 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Hodnota R1i 1,000000 1,981354 2,944410 3,889510 4,816987 5,727171 6,620383 7,496942 8,357156 9,201330 10,029765 10,842753 11,640581 12,423534 13,191888 13,945916 14,685884 15,412055 16,124686 16,824030

Pravděpodobnost 0,0242834 0,0254819 0,0269278 0,0278342 0,0286498 0,0301935 0,0312455 0,0326951 0,0345247 0,0363037 0,0378948 0,0391150 0,0400312 0,0410637 0,0419555 0,0424283 0,0425716 0,0423410 0,0416985 0,0406155

Čas 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

Hodnota R1i 17,510333 18,183840 18,844789 19,493414 20,129945 20,754608 21,367623 21,969208 22,559576 23,138936 23,707494 24,265450 24,813003 25,350347 25,877671 26,395163 26,903006 27,401380 27,890461 28,370423

Pravděpodobnost 0,0390770 0,0370847 0,0346609 0,0318503 0,0287206 0,0253615 0,0218806 0,0183966 0,0150312 0,0118980 0,0090926 0,0066833 0,0047049 0,0031576 0,0020100 0,0012066 0,0006789 0,0003555 0,0001719 0,0001227

Tabulka 13.3.3 Rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny R1d z příkladu 13.3.1 b) Čas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Hodnota R1d 0,000000 0,981354 1,944410 2,889510 3,816987 4,727171 5,620383 6,496942 7,357156 8,201330 9,029765 9,842753 10,640581 11,423534 12,191888 12,945916 13,685884 14,412055 15,124686 15,824030

Pravděpodobnost 0,0242834 0,0254819 0,0269278 0,0278342 0,0286498 0,0301935 0,0312455 0,0326951 0,0345247 0,0363037 0,0378948 0,0391150 0,0400312 0,0410637 0,0419555 0,0424283 0,0425716 0,0423410 0,0416985 0,0406155

Čas 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

Hodnota R1d 16,510333 17,183840 17,844789 18,493414 19,129945 19,754608 20,367623 20,969208 21,559576 22,138936 22,707494 23,265450 23,813003 24,350347 24,877671 25,395163 25,903006 26,401380 26,890461 27,370423

Pravděpodobnost 0,0390770 0,0370847 0,0346609 0,0318503 0,0287206 0,0253615 0,0218806 0,0183966 0,0150312 0,0118980 0,0090926 0,0066833 0,0047049 0,0031576 0,0020100 0,0012066 0,0006789 0,0003555 0,0001719 0,0001227

S využitím (13.1.1) a (13.1.4) máme Fa  fax  fE  R1i   100 000  13 ,124 673  1 312 467 ,33 ,

Fb  fa x  fE  R1d   100 000  12 ,124 673  1 212 467 ,33 , R a  f  R1i   100 000  6,117 878  611 787 ,76 ,

Rb  f  R1d   100 000  6,117 878  611 787 ,76 .

105

Matematika životního pojištění Čisté pojistné v případě, že první výplata pojistného plnění se uskuteční při uzavření pojistné smlouvy je tedy 1 312 467,33 Kč a riziko pojištění činí 611 787,76 Kč. V případě, že první výplata pojistného plnění se uskuteční až rok po uzavření pojistné smlouvy, bude hodnota pojistného 1 212 467,33 Kč (tedy o 100 000 Kč nižší než při předlhůtní variantě) a riziko pojištění bude stejné jako při předlhůtním doživotním důchodu. Obecný vzorec pro jednotkové čisté pojistné ročního předlhůtního doživotního důchodu a x tentokrát odvodíme úvahou o vytvoření imaginárního pojišťovacího fondu. Představme si, že se lx osob ve věku x domluví a vytvoří pojišťovací fond, z něhož bude každý dostávat doživotně 1 Kč na začátku každého roku, kterého se dožije s tím, že první výplata se uskuteční okamžitě. V tom případě bude příjem tohoto fondu roven součinu l x ax , kde a x je hledaná hodnota příspěvku jednoho každého pojistníka. Tento součin je podle principu ekvivalence roven celkovým výdajům tohoto fondu, což je vlastně součet diskontovaných hodnot počtů pojištěnců dožívajících se jednotlivých výplat důchodů. Můžeme tedy psát, že l x ax  l x  l x 1v  l x  2 v 2  ...  l105 v 105  x .

Odtud už vyjádříme a x a upravíme použitím vztahů (12.6.3) a (12.6.1) na jednoduchý výpočetní tvar: 105 x

ax 

l

105 x xk

vk

k 0



lx

l

xk

v xk

k 0

x

lxv



Nx Dx

.

(13.3.11)

Analogickou úvahou (vypuštěním prvního členu v sumaci) bychom dostali, že ax 

N x 1 Dx

(13.3.12)

.

Příklad 13.3.2 Pomocí komutačních čísel ověříme hodnoty čistého pojistného vypočtené v minulém příkladu. Řešení Máme x = 66 a f = 100 000. Čisté pojistné bude podle (13.3.11), (13.3.12) a s použitím tabulky komutačních čísel 12.6.1 Fa  fax  f

Nx

Fb  fa x  f

N x 1

Dx Dx

 f

N 66 D 66

 f

 100 000 

N 67 D 66

297 802 ,3 22 690 ,3

 100 000 

 1 312 467 ,33 ,

275 112 ,0 22 690 ,3

 1 212 467 ,33 .

106

Matematika životního pojištění

13.3.3

Pojištění dočasného ročního životního důchodu

V případě pojištění dočasného předlhůtního (polhůtního) ročního životního důchodu vyplácí pojišťovna důchod sjednané výše vždy na počátku (konci) pojistného roku za předpokladu, že osoba pojištěná ve vstupním věku x ještě žije a neuplynula sjednaná pojistná doba n let. Takovéto pojištění může být vhodné pro zajištění dětí po určité období, např. studií. Situaci znázorňují obrázky 13.3.3 (13.3.4) pro x, k , l , n  N taková, že k  n  l . Obrázek 13.3.3 Pojistné plnění při dočasném předlhůtním ročním životním důchodu plnění

1

1

věk

x

x+1

plnění

1

1

…

1†

0

x+k

x+k+1

1

1

…

x+n-1

x+n

1

0

…

x+l 0

x+l+1 †

0

Obrázek 13.3.4 Pojistné plnění při dočasném polhůtním ročním životním důchodu plnění

0

1

věk

x

x+1

plnění

0

1

…

1†

0

x+k

x+k+1

1

1

…

x+n

x+n+1

1

0

…

x+l 0

x+l+1 †

0

Výši pojistného, tj. jednotkovou počáteční hodnotu dočasného předlhůtního resp. polhůtního životního důchodu x-leté osoby, označíme symbolem a x:n  resp. a x:n  a náhodnou veličinu současná hodnota jednotkového důchodového pojistného plnění pro tento typ pojištění R2i resp. R2d. Rovnice ekvivalence (13.1.6) má tvar: a x :n   E  R 2 i 

(13.3.13)

a x :n   E  R 2 d 

(13.3.14)

resp.

kde E(R2i) resp. E(R2d) je střední hodnota náhodné veličiny R2i resp. R2d. Rozdělení pravděpodobností obou náhodných veličin je uvedeno v tabulce 13.3.4. Tabulka 13.3.4 Rozdělení pravděpodobností náhodných veličin R2i a R2d Čas 0

Hodnota R2i 1  a1

1

1  v  a2 

Pravděpodobnost

Čas

Hodnota R2d

Pravděpodobnost

0

qx = 0|qx

1

v  a1

1|qx

2

qx = 0|qx 1|qx

2

2

1  v  v  a3 

2|qx

2

v  v  a2

2|qx

…

…

…

…

…

…

n-1

1  v  ...  v n 1  an 

n|qx+npx

n-1

v  ...  v n 1  a n 1

n|qx

n

v  ...  v n 1  v n  a n 

npx

107

Matematika životního pojištění Ve sloupečku nazvaném Čas je opět čas posledního vyplaceného pojistného plnění v letech počínaje uzavřením pojistné smlouvy. Náhodná veličina R2d může nabývat (n + 1) různých hodnot, zatímco náhodná veličina R2i může nabývat pouze n různých hodnot. Je to tím, že při polhůtní variantě pojišťovna neplatí, na rozdíl od varianty předlhůtní, první jistou platbu, a tudíž se může stát, že neplatí žádné pojistné plnění. Pokud pojištěný zemře během n let od uzavření pojistné smlouvy, bude pojišťovna vyplácet o jednu platbu víc při předlhůtní variantě. Pokud se ovšem pojištěný dožije n. výročí uzavření pojistné smlouvy, obdrží stejný počet výplat důchodů při obou variantách. Rozdíl mezi jednotkovým čistým pojistným u předlhůtního a polhůtního dočasného doživotního důchodu je dán na jedné straně první jednotkovou jistou platbou v okamžiku uzavření pojistné smlouvy u předlhůtní varianty a na druhé straně diskontovanou hodnotou jednotkové platby při n-tém výročí uzavření pojistné smlouvy u polhůtní varianty. Tato platba ovšem jistá není a uskuteční se pouze v případě, že bude pojištěný naživu, tedy s pravděpodobností npx. Odtud máme a x:n   ax:n   1  v n . n p x ,

(13.3.15)

Příklad 13.3.3 Určíme čisté pojistné a riziko pojištění 66leté osoby na roční dočasný doživotní důchod ve výši 100 000 Kč na 15 let, jestliže se první výplata důchodu uskuteční a) při uzavření pojistné smlouvy; b) rok po uzavření pojistné smlouvy. Řešení Máme x = 66, n = 15, i = 0,019 a f = 100 000. Náhodná veličina R2i může v tomto případě nabývat celkem 15 různých hodnot (důchod se bude skládat minimálně z jedné platby a maximálně z 15 plateb). Náhodná veličina R2d může nabývat celkem 16 různých hodnot odpovídajících počtu plateb 0 až 15. Pro výpočty hodnot příslušných náhodných veličin použijeme (13.3.1) a (13.3.2). Výpočty odložených jednoletých pravděpodobností úmrtí provedeme dosazením do (12.4.6) a pravděpodobnosti přežití v posledních řádcích tabulky 13.3.5 vypočítáme pomocí (12.4.3). Tabulka 13.3.5 Rozdělení pravděpodobností náhodných veličin R2i a R2d z příkladu 13.3.3 Čas 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Hodnota R2i 1,000000 1,981354 2,944410 3,889510 4,816987 5,727171 6,620383 7,496942 8,357156 9,201330 10,029765 10,842753 11,640581 12,423534 13,191888

Pravděpodobnost 0,0242834 0,0254819 0,0269278 0,0278342 0,0286498 0,0301935 0,0312455 0,0326951 0,0345247 0,0363037 0,0378948 0,0391150 0,0400312 0,0410637 0,5437557

Čas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Hodnota R2d 0,000000 0,981354 1,944410 2,889510 3,816987 4,727171 5,620383 6,496942 7,357156 8,201330 9,029765 9,842753 10,640581 11,423534 12,191888 12,945916

Pravděpodobnost 0,0242834 0,0254819 0,0269278 0,0278342 0,0286498 0,0301935 0,0312455 0,0326951 0,0345247 0,0363037 0,0378948 0,0391150 0,0400312 0,0410637 0,0419555 0,5018003

108

Matematika životního pojištění S využitím (13.1.1) a (13.1.4) máme Fa  fax:n   fE  R 2 i   100 000  10 ,601 287  1 060 128 ,74 , Fb  fa x:n   fE  R 2 d   100 000  9,979 659  997 965 ,87 , R a  f  R 2 i   100 000  3,679 565  367 956 , 47 ,

Rb  f  R 2 d   100 000  3,954 966  395 496 ,55 .

Čisté pojistné v případě, že první výplata pojistného plnění se uskuteční při uzavření pojistné smlouvy je tedy 1 060 128,74 Kč a riziko pojištění 367 956,47 Kč. V případě, že první výplata pojistného plnění se uskuteční až rok po uzavření pojistné smlouvy, bude hodnota pojistného 997 956,87 Kč a riziko pojištění 395 496,55 Kč. Při odvození obecných vyjádření pomocí komutačních čísel si opět pomůžeme úvahou založenou na principu „fiktivního“ souboru pojištěnců. Zopakujeme tedy ještě jednou celý postup pro předlhůtní variantu. Představme si, že se lx osob ve věku x domluví a vytvoří pojišťovací fond, z něhož bude každý dostávat na začátku každého roku (kterého se dožije) 1 Kč, nejdéle však n let. V tom případě bude celková současná (počáteční) hodnota příjmů fondu rovna součinu l x ax:n  , kde a x:n  je hodnota pojistného jednoho každého pojistníka. Tento součin je podle principu ekvivalence vlastně součtem diskontovaných hodnot počtů pojištěnců dožívajících se jednotlivých výplat důchodů. Můžeme tedy psát, že

l x ax:n   l x  l x 1v  l x  2 v 2  ...  l x  n 1v n 1 . Odtud už vyjádříme a x:n  a upravíme použitím vztahů (12.6.3) a (12.6.1) na jednoduchý výpočetní tvar: n 1

ax:n  

 l xk v k k 0

lx

n 1



 l xk v xk k 0

lxv

x

105 x





l xk v xk 

105 x

l

k 0

xk

v xk

k n

lxv



x

N x  N xn Dx

.

(13.3.16)

Analogicky bychom odvodili, že pro polhůtní variantu platí: a x :n  

N x 1  N x  n 1 Dx

.

(13.3.17)

Příklad 13.3.4 Ověříme hodnoty čistého pojistného získané v řešení předchozího příkladu dosazením do vyjádření pomocí komutačních čísel. Řešení Máme x = 66, n = 15 a f = 100 000. Čisté pojistné bude podle (13.3.11), (13.3.12) a s použitím tabulky komutačních čísel 12.6.1 Fa  fax:n   f Fb  fa x:n   f

N x  N xn Dx

 f

N x 1  N x  n 1 Dx

N 66  N 81

 f

D 66

 100 000 

N 67  N 82 D 66

297 802 ,3  57 256 ,3

 100 000 

22 690 ,3

 1 060 128 ,74 ,

275 112 ,0  48 670 ,9 22 690 ,3

 997 965 ,87 .

109

Matematika životního pojištění

13.3.4

Pojištění odloženého ročního doživotního důchodu

V tomto případě se odkládá první výplata důchodu o n let od okamžiku, kdy osoba ve vstupním věku x uzavře pojištění. Jestliže pojištěný zemře dříve, než uplyne doba, o kterou bylo vyplácení důchodu odloženo, nevyplácí pojišťovna nic. Schematické znázornění viz obrázek 13.3.5, pro x, k , l , n  N taková, že k  n  l . I zde bychom teoreticky mohli rozlišovat mezi předlhůtním a polhůtním odloženým důchodem, ale vzhledem k definici tohoto typu pojištění uvedené na začátku odstavce to nemá u ročního důchodu praktický význam. Naopak bychom mohli konstatovat, že polhůtní roční doživotní důchod je vlastně roční doživotní důchod odložený o jeden rok. Budeme tedy nadále uvažovat pouze „předlhůtní“ variantu odloženého doživotního důchodu. Obrázek 13.3.5 Pojistné plnění při odloženém ročním doživotním důchodu plnění

0

0

0†

věk

x

x+1

plnění

0

0

…

0

x+k

x+k+1

0

0

…

x+n

1

x+n+1

…

x+l

1

1

x+l+1 †

0

Výši čistého jednotkového pojistného pro x-letou osobu na doživotní důchod odložený o n let označíme symbolem n ax a náhodnou veličinu současná hodnota jednotkového pojistného plnění pro tento typ pojištění R3i. Rovnice ekvivalence (13.1.6) má tvar: n

ax  E R3i .

(13.3.18)

Jako obvykle je E(R3i) střední hodnota náhodné veličiny R3i, jejíž rozdělení pravděpodobností je v tabulce 13.3.6. Tabulka 13.3.6 Rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny R3i Čas

Hodnota R3i 0

Pravděpodobnost nqx

n

v n  v n a1

n|qx

n+1

v n  v n 1  v n a2 

n+1|qx

n+2

v n  v n 1  v n  2  v n a3 

n+2|qx

…

…

… 105-x

v v n

n 1

 ...  v

105  x

 v a106  x  n

x|qx

I v tomto případě je v prvním sloupečku uveden čas výplaty posledního pojistného plnění měřený od uzavření pojistné smlouvy v letech. Pro výpočet diskontovaných hodnot důchodů lze opět použít vztah (13.3.1) pro současnou hodnotu důchodu, ale navíc je třeba tuto současnou hodnotu ještě diskontovat zpátky přes celou dobu odkladu (tedy n let) k okamžiku uzavření pojistné smlouvy vynásobením výrazem vn. Z tabulky je dále zřejmé, že v případě úmrtí pojištěného během doby odkladu neplatí pojišťovna nic. Příklad 13.3.5 Určíme čisté pojistné a riziko pojištění 66leté osoby na roční doživotní důchod ve výši 100 000 Kč odložený o 15 let. 110

Matematika životního pojištění Řešení Máme x = 66, n = 15, i = 0,019 a f = 100 000. Náhodná veličina R3i může v tomto případě nabývat celkem 26 různých hodnot, protože buď se nevyplácí nic, nebo důchod čítající maximálně 25 plateb. Pro výpočty hodnot příslušných náhodných veličin použijeme (12.6.5) a (13.3.1). Pravděpodobnost v prvním řádku určíme pomocí (12.4.4) a výpočty ve zbývajících řádcích, kde jsou odložené jednoleté pravděpodobnosti úmrtí, provedeme dosazením do (12.4.6). Výsledky výpočtů jsou uvedeny v tabulce 13.3.7. Tabulka 13.3.7 Rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny R3i z příkladu 13.3.5 Čas 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Hodnota R3i 0,000000 0,754028 1,493996 2,220167 2,932798 3,632141 4,318445 4,991952 5,652901 6,301526 6,938057 7,562719 8,175735

Pravděpodobnost 0,4981997 0,0424283 0,0425716 0,0423410 0,0416985 0,0406155 0,0390770 0,0370847 0,0346609 0,0318503 0,0287206 0,0253615 0,0218806

Čas 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

Hodnota R3i 8,777320 9,367688 9,947048 10,515606 11,073562 11,621115 12,158458 12,685783 13,203274 13,711117 14,209491 14,698572 15,178534

Pravděpodobnost 0,0183966 0,0150312 0,0118980 0,0090926 0,0066833 0,0047049 0,0031576 0,0020100 0,0012066 0,0006789 0,0003555 0,0001719 0,0001227

S využitím (13.1.1) a (13.1.4) máme F  f n ax  fE  R 3i   100 000  2,523 386  252 338 ,59 , R  f  R 3i   100 000  3, 288 626  328 862 ,55 .

Čisté pojistné je tedy 252 338,59 Kč a riziko pojištění činí 328 862,55 Kč. Provedeme-li podobnou úvahu jako při odvození (13.3.11), dostaneme, že n

ax 

N xn Dx

.

(13.3.19)

Příklad 13.3.6 Ověříme hodnotu čistého pojistného vypočtenou v příkladu 13.3.5 pomocí vzorce (13.3.19). Řešení Máme x = 66, n = 15 a f = 100 000. Čisté pojistné bude podle (13.3.19) a s použitím tabulky komutačních čísel (tabulka 12.6.1) F  f n ax  f

N xn Dx

 f

N 81 D 66

 100 000 

57 256 ,3 22 690 ,3

 252 338 ,59 .

Je zřejmé, že doživotní důchod můžeme rozložit na dočasný doživotní důchod na n let a doživotní důchod s odkladem o n let. Vyjádřeno matematicky máme ax  ax:n   n ax .

(13.3.20)

111

Matematika životního pojištění Vyjádření (13.3.11), (13.3.16) a (13.3.19) tuto rovnost dokazují obecně. Vztah (13.3.20) může sloužit i k ověření výsledků příkladů 13.3.1, 13.3.3 a 13.3.5, ve kterých nám postupně vyšlo, že a66  13 ,124 673 , a66:15  10 ,601 287 ,

13.3.5

15

a66  2,523 386 .

Další typy ročního důchodového pojištění

V tomto odstavci se budeme zabývat důchodovými pojištěními, která jsou určitou modifikací či kombinací důchodových pojištění zavedených dříve. Popíšeme si tři případy, další jistě hloubavé čtenáře napadnou. Jako první uvedeme odložený dočasný doživotní důchod. V rámci tohoto důchodu bude pojišťovna vyplácet x-leté osobě pojistné plnění po dobu n1 let (pokud bude uvažovaná osoba naživu) s tím, že první výplata se uskuteční n 2 let po uzavření pojistné smlouvy. Předpokládáme, že x , n1 , n 2 , k , l , m  N tak, že k  n 2  l  n1  n 2  m. Situace, které mohou nastat, jsou znázorněny na obrázku 13.3.6. Pokud pojištěný zemře do n 2 let od uzavření pojistné smlouvy, neplatí pojišťovna žádné pojistné plnění. Jestliže pojištěný přežije dobu odkladu, ale zemře dříve, než uplyne ( n1  n 2 ) let od uzavření pojistné smlouvy, bude pojišťovna vyplácet důchod při každém výročí pojistné smlouvy, kterého se pojištěný ještě dožije. Poslední možností je, že pojištěný bude žít i po uplynutí ( n1  n 2 ) let od uzavření pojistné smlouvy, a přežije tak dobu platnosti pojistné smlouvy. Obrázek 13.3.6 Pojistné plnění při odloženém dočasném ročním doživotním důchodu plnění

0

0†

0

plnění

0

0

0

věk

x

x+k

x+k+1

plnění

0

0

0

…

1

1

… x+n2

…

† 0 x+l+1 … x+n2+n1-1 x+n2+n1 …

x+l

1

1

1

1

Jednotkové čisté pojistné pro tento typ důchodového pojištění označme

0

n2

x+m 0 †

ax:n  a náhodnou 1

veličinu diskontovaná hodnota jednotkového důchodového pojistného plnění označme R4i. Zřejmě platí, že n2

ax:n   E ( R 4 i )  ax:n  n 1

1



N x  N x  n1  n 2 Dx

2





 ax:n

2





N x  N x  n2 Dx



N x  n2  N x  n1  n2 Dx

(13.3.21) ,

kde jsme při úpravě použili (13.3.16). Příklad 13.3.7 Pomocí tabulky rozdělení pravděpodobností určíme čisté pojistné a riziko pojištění 52letého klienta, který chce uzavřít takové životní důchodové pojištění, které mu umožní pobírat roční důchod ve výši 25 000 Kč po dobu 15 let. První platbu si přeje vyplatit za 8 let od uzavření pojistné smlouvy. 112

Matematika životního pojištění Řešení Máme x = 52, n1  15 , n 2  8 , i = 0,019 a f = 25 000. Možné diskontované hodnoty a jejich pravděpodobnosti jsou uvedeny v tabulce 13.3.8. První pomocný sloupeček opět představuje čas poslední výplaty důchodu (pojistného plnění). Doporučujeme čtenáři, aby si hodnoty v tabulce ověřil vlastními výpočty v Excelu. Tabulka 13.3.8 Rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny R4i z přikladu 13.3.7 Čas 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

Hodnota R4i 0,000000 0,860214 1,704389 2,532823 3,345811 4,143640 4,926593 5,694947 6,448974 7,188943 7,915114 8,627745 9,327088 10,013392 10,686899 11,347848

Pravděpodobnost 0,06748639 0,01278950 0,01385583 0,01519529 0,01657671 0,01767478 0,01903352 0,02033463 0,02133824 0,02254902 0,02330804 0,02399096 0,02528366 0,02616459 0,02737849 0,64704034

Dosazením do (13.1.1) a (13.1.4) máme F  f n2 ax:n   fE  R 4 i   25 000  9, 235 493  230 877 ,32 , 1

R  f  R 4 i   25 000  3,610 248  90 256 , 20 .

Čisté pojistné je tedy 230 877,32 Kč a riziko pojištění činí 90 256,20 Kč. Hodnotu čistého pojistného lze ověřit pomocí 13.3.21. Máme F  f n2 ax:n   f 8 a52:15   f 1

N 60  N 75 D52

 25 000

453 713 ,1  128 017 ,9 35 265 ,6

 230 877 ,32 .

Například pro zajištění dětí po několik prvních let po smrti živitele v případě jeho brzkého úmrtí se používá tzv. doživotní důchod zaručený na dobu n let. Je to vlastně doživotní důchod, který při úmrtí během prvních n let přechází na oprávněnou osobu, takže je důchod v každém případě vyplácen alespoň n let, jak ukazuje obrázek 13.3.7 pro x, k , l , n  N taková, že k  n  l . Pojistné plnění je pro pojišťovnu totožné, jestliže pojištěný zemře kdykoliv před n-tým výročím uzavření pojistné smlouvy. Pokud žije ještě n let po uzavření pojistné smlouvy, výplaty pojistného plnění pokračují při každém výročí uzavření pojistné smlouvy, kdy je pojištěný naživu.

113

Matematika životního pojištění Obrázek 13.3.7 Pojistné plnění při předlhůtním doživotním důchodu zaručeném na n let plnění

1

1

věk

x

x+1

plnění

1

1

…

1†

1

x+k

x+k+1

1

1

…

1

0

x+n-1

x+n

1

1

…

x+l 1

x+l+1 †

0

Jednotkové čisté pojistné pro tento typ důchodového pojištění označme an  x a náhodnou veličinu diskontovaná hodnota jednotkového důchodového předlhůtního pojistného plnění označme R5i. Zřejmě platí, že an  x  E ( R 5 i )  an   n ax 

1 vn 1 v



N xn Dx

,

(13.3.22)

kde jsme při úpravě použili (13.3.1) a (13.3.19). Příklad 13.3.8 Pomocí tabulky rozdělení pravděpodobností určíme čisté pojistné a riziko pojištění 75letého klienta, který chce uzavřít doživotní roční důchod ve výši 70 000 Kč s tím, že prvních šest výplat je jistých (první platba se uskuteční okamžitě) a budou vyplaceny jeho vnukovi. Řešení Máme x = 75, n = 6, i = 0,019 a f = 70 000. Možné diskontované hodnoty a jejich pravděpodobnosti jsou uvedeny v tabulce 13.3.8. První pomocný sloupeček opět představuje čas poslední výplaty důchodu (pojistného plnění). Sestavení tabulky rozdělení pravděpodobností by tentokrát nemělo být složité. Jedná se vlastně o tabulku rozdělení pravděpodobností předlhůtního doživotního důchodu s tím, že prvních pět řádků v ní není a příslušné pravděpodobnosti jsou přičteny do prvního řádku tabulky 13.3.9 (řádek s časem 5). Tabulka 13.3.9 Rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny R5i z příkladu 13.3.8 Čas 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Hodnota R5i 5,727171 6,620383 7,496942 8,357156 9,201330 10,029765 10,842753 11,640581 12,423534 13,191888 13,945916 14,685884 15,412055

Pravděpodobnost 0,32021 0,05748 0,05767 0,05736 0,05649 0,05502 0,05294 0,05024 0,04696 0,04315 0,03891 0,03436 0,02964

Čas 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Hodnota R5i 16,124686 16,824030 17,510333 18,183840 18,844789 19,493414 20,129945 20,754608 21,367623 21,969208 22,559576 23,138936 23,707494

Pravděpodobnost 0,02492 0,02036 0,01612 0,01232 0,00905 0,00637 0,00428 0,00272 0,00163 0,00092 0,00048 0,00023 0,00017

S využitím (13.1.1) a (13.1.4) máme 114

Matematika životního pojištění F  fan  x  fE  R5 i   70 000  9,776 643  684 365 ,00 , R  f  R5 i   70 000  4,033 087  282 316 ,12 .

Čisté pojistné je tedy 684 365,00 Kč a riziko pojištění činí 282 316,12 Kč. Hodnotu čistého pojistného ještě ověříme pomocí vztahu (13.3.22). Po dosazení diskontního faktoru a příslušných komutačních čísel dostáváme F  fan  x

 1  v n N xn  f   Dx  1 v

  1  v 6 N 81   f    1 v  D   75   

 1  0,981354 6 57 256 ,3    684 365 ,00 .  70 000    14 139 , 2   1  0,981354

U doživotního důchodu zaručeného na n let má smysl uvažovat i polhůtní variantu. S využitím (13.3.2) a (13.3.19) zřejmě platí, že a n  x  E ( R 5 d )  a n   n 1 ax 

1 vn i



N x  n 1 Dx

.

(13.3.23)

Na závěr této části si popišme ještě jeden důchod, a sice tzv. doživotní důchod prodloužený o n let. Ten se po smrti pojištěného, ke které dojde mezi k-tým a následujícím výročím uzavření pojistné smlouvy, vyplácí ještě po dobu n let oprávněné osobě, viz obrázek 13.3.8, kde x, k , n  N . Obrázek 13.3.8 Pojistné plnění při předlhůtním doživotním důchodu prodlouženém o n let plnění

1

1

věk

x

x+1

…

1†

1

1

x+k

x+k+1

… x+k+n

0

x+k+n+1

Jednotkové čisté pojistné pro tento typ důchodového pojištění označme ax  n a náhodnou veličinu diskontovaná hodnota předlhůtního důchodového pojistného plnění ve výši 1 Kč za rok označme R6i. Platí, že ax  n  E ( R6 i )  ax 

105 x

v k 0

k 1

 k q x  an  

Nx  M x Dx

1 vn 1 v .

(13.3.24)

K doživotnímu důchodu je totiž třeba připočíst jistý důchod po dobu n let, ale ten, protože začne být vyplácen až (k + 1) let po smrti pojištěného, je třeba diskontovat s pravděpodobností k|qx o (k + 1) období zpět, přičemž k je náhodná veličina, která může nabývat hodnot od nuly do (105 – x), viz obrázek 13.3.8. k další úpravě jsme pak použili (13.3.11), (13.2.4) a (13.3.2). Příklad 13.3.9 Pomocí tabulky rozdělení pravděpodobností určíme čisté pojistné a riziko pojištění 75letého klienta, který chce uzavřít předlhůtní doživotní roční důchod ve výši 70 000 Kč s tím, že pojišťovna vyplatí ještě šest důchodových výplat po smrti klienta jeho vnukovi. 115

Matematika životního pojištění Řešení Máme x = 75, n = 6, i = 0,019 a f = 70 000. Možné diskontované hodnoty a jejich pravděpodobnosti jsou uvedeny v tabulce 13.3.10. První pomocný sloupeček opět představuje čas poslední výplaty pojistného plnění. Pojišťovna v tomto případě vyplatí minimálně 7 (poslední v čase 6) a maximálně 37 důchodových výplat (poslední v čase 36). Při sestavení tabulky rozdělení pravděpodobností lze vycházet z tabulky 13.3.1 pro předlhůtní doživotní důchod s tím, že první dva sloupečky (Čas, Hodnota) jsou po vynechání prvních šesti řádků posunuty nahoru a posledních šest řádků je u nich doplněno. Tabulka 13.3.10 Rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny R6i z příkladu 13.3.9 Čas 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Hodnota R5i 6,620383 7,496942 8,357156 9,201330 10,029765 10,842753 11,640581 12,423534 13,191888 13,945916 14,685884 15,412055 16,124686 16,824030 17,510333 18,183840

Čas 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

Pravděpodobnost 0,04918 0,05134 0,05299 0,05423 0,05563 0,05684 0,05748 0,05767 0,05736 0,05649 0,05502 0,05294 0,05024 0,04696 0,04315 0,03891

Hodnota R5i 18,844789 19,493414 20,129945 20,754608 21,367623 21,969208 22,559576 23,138936 23,707494 24,265450 24,813003 25,350347 25,877671 26,395163 26,903006

Pravděpodobnost 0,03436 0,02964 0,02492 0,02036 0,01612 0,01232 0,00905 0,00637 0,00428 0,00272 0,00163 0,00092 0,00048 0,00023 0,00017

S využitím (13.1.1) a (13.1.4) máme F  f ax  n  f E  R 6 i   70 000  13 ,814 417  967 009 ,18 , R  f   R 6 i   70 000  4 ,380 785  306 654 ,94 .

Čisté pojistné je tedy 967 009,18 Kč a riziko pojištění činí 306 654,94 Kč. Hodnotu čistého pojistného ještě ověříme pomocí vztahu (13.3.24). Po dosazení příslušných komutačních čísel a diskontního faktoru dostáváme F  fax  n  f

Nx  M x Dx

1 vn 1 v  f

128 017 ,9  11 752 , 2   70 000 

N 75  M 75

1 v6

D 75

1 v 

1  0,981354 1  0,981354

14 139 , 2

6

 967 009 ,18 .

Také u doživotního důchodu prodlouženého n let má smysl uvažovat i polhůtní variantu. S využitím (13.3.12), (13.2.4) a (13.3.2) zřejmě platí, že

a x  n  E ( R6 d )  a x 

105 x

v k 0

k 1

 k q x  an  

N x 1  M x Dx

1 vn 1 v .

(13.3.25)

116

Matematika životního pojištění

13.3.6

Področní důchodové pojištění

Mnohem častěji než roční důchody se v praxi vyplácejí důchody področní (např. měsíční, čtvrtletní, atd.). Řekněme obecně, že je důchod vyplácen v pravidelných intervalech m-krát do roka, dokud je pojištěný naživu. Předpokládejme dále, že velikost jedné vyplacené částky je 1/m, tedy celkem jednotka za jeden rok a že se používá področní úročení v souladu s důchodovými platbami, přičemž za roční efektivní úrokovou míru se bere technická úroková míra i. Takto vypočtené pojistné budeme nazývat jednotkové. Pro výpočet skutečného čistého pojistného s důchodovou platbou f stačí, podobně jako u ročních důchodů, vynásobit získané jednotkové čisté pojistné skutečný pojistným plněním vyplaceným během jednoho roku, což bude tentokrát vyjádřeno součinem fm. Uvažujme například področní předlhůtní doživotní důchod, který uzavře osoba ve vstupním věku x. Schematicky si jej lze představit jako na obrázku 13.3.9, kde x, k  N . Obrázek 13.3.9 Pojistné plnění při področním předlhůtním doživotním důchodu plnění

věk

1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1

m

m m m

m m m

m m m

m

x

x+1

…

x+k

†0

0

x+k+1

Hledanou výši pojistného, tj. jednotkovou počáteční hodnotu doživotního předlhůtního důchodu x-leté osoby vypláceného m-krát ročně při kterém se za rok vyplatí 1 Kč, označíme symbolem ax m  a náhodnou veličinu současná hodnota jednotkového pojistného plnění za rok pro tento typ pojištění R1im  . Rovnice ekvivalence (13.1.5) má tentokrát tvar:





a x m   E R1im  ,

(13.3.26)

kde E R1im   je střední hodnota náhodné veličiny R1im  . Na tomto místě ještě jednou zdůrazněme, že levá strana rovnice (13.3.26) nepředstavuje současnou hodnotu důchodu s jednotkovými platbami, ale s platbami o velikosti 1/m. Pokud bychom chtěli vyjádřit odpovídající současnou hodnotu důchodu s jednotkovými platbami, použili bychom pochopitelně výraz m ax m  . Pravou stranu rovnice (13.3.26) můžeme jako obvykle spočítat pomocí definice střední hodnoty náhodné veličiny (13.1.1) z jejího rozdělení pravděpodobností. Rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny R1im  ukazuje tabulka 13.3.11. Ve sloupečku Čas tabulky 13.3.11 je uveden opět čas posledního vyplaceného pojistného plnění počínaje uzavřením pojistné smlouvy tentokrát však v m-tinách roku. Vzhledem k předpokladu, že každý pojištěný zemře před dosažením 106 let, je poslední teoreticky možná výplata pojistného plnění jednu m-tinu roku před dosažením (106 – x)-tého výročí uzavření pojistné smlouvy. Pro vyjádření hodnot náhodné veličiny R1im  byl použit vztah (13.3.3)

117

Matematika životního pojištění Tabulka 13.3.4 Rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny R1im  Hodnota R1im 

Čas

1

0

m

 a1(m )

1

1 1  1 v m m 

2

1 2 1  m m 1 v  v m 

…

0

   a ( m ) 2  

1  1  v m  v m  ...  v m  2

1

qx

m

1 1

qx

m m

   a ( m ) 3  

2 1

qx

m m

… 1

(106 – x)m - 1

Pravděpodobnost

… 106  x m 1 m

   a ( m ) 106  x   

106  x m 1

1

m

m

qx

Dosazením střední hodnoty R1im  do (13.1.1) a s použitím (13.3.3) dostáváme



106 x  m 1





ax m   E R1im  

k 0

k 1

1 1 v m  k 1 m 1 vm m

1

(13.3.27)

qx.

m

Področní pravděpodobnosti úmrtí, které se objevují v tabulce 13.3.11 a vztahu (13.3.27), jsme zavedli na závěr části 1.4. Vzorec (13.3.27) je ovšem příliš složitý a z praktického hlediska pro nás takřka nepoužitelný. Lze ale odvodit mnohem jednodušší výraz pro výpočet ax m  , který však platí pouze přibližně a to tím lépe, čím menší je hodnota i. Dá se totiž dokázat, že platí: ax m   ax 

m 1 2m

Nx



Dx



m 1 2m

.

(13.3.28)

Podobné aproximace jako lze odvodit i pro jednotkové počáteční hodnoty zbývajících základních typů področních důchodů. Platí, že a x m   a x  ax m:n  ax:n   a x m:n   a x:n  

m 1 2m

D m 1 1  x  n  2m  Dx D m 1  1  x  n 2m  Dx

Dx



m 1 2m

,

(13.3.29)  ,  

(13.3.30)

 N x 1  N x  n 1 m  1  D    1  x  n  Dx 2m  Dx 

 , 

(13.3.31)

ax m   n ax 

m  1 D xn

a x m   n 1 ax 

m  1 D xn

n

2m

N x 1

 N x  N xn m  1  D  1  x  n    Dx 2m  Dx 

n

2m



Dx Dx



N xn



N x  n 1

Dx Dx

 

m  1 D xn 2m

Dx

m  1 D xn 2m

Dx

,

(13.3.32)

.

(13.3.33)

Následující příklad ilustruje způsob, kterým lze nalézt jak přesnou hodnotu čistého pojistného področního důchodového pojištění, tak její přibližnou hodnotu získanou dosazením do 118

Matematika životního pojištění jednoho z právě uvedených vztahů. Současně ilustruje míru nepřesnosti, které se dopustíme přibližným výpočtem. Příklad 13.3.10 Určíme čisté pojistné a riziko pojištění na dočasný pětiletý důchod ve výši 6 000 Kč, který má vyplácet pojišťovna každý měsíc klientovy se vstupním věkem 52 let. První platba se uskuteční měsíc po podpisu pojistné smlouvy. Řešení Označíme x = 52, n = 5, m = 12, i = 0,019 a f = 6 000. Náhodnou veličinu prodaný důchod označíme symbolem R 312d  , protože se podle zadání jedná o dočasný polhůtní důchod placený 12krát do roka. V tabulce 13.3.12 je rozdělení pravděpodobností příslušné náhodné veličiny. Tabulka 13.3.5 Rozdělení pravděpodobností náhodné veličiny R312d  z příkladu 13.3.10 Čas

12  Hodnota R3d

Pravděpodobnost

Čas

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

0 0,083203 0,166275 0,249217 0,332029 0,414712 0,497264 0,579688 0,661982 0,744147 0,826184 0,908092 0,989871 1,071523 1,153046 1,234442 1,315710 1,396850 1,477864 1,558750 1,639510 1,720143 1,800650 1,881031 1,961286 2,041414 2,121418 2,201296 2,281048 2,360676 2,440179

0,000461 0,000461 0,000461 0,000461 0,000461 0,000461 0,000461 0,000461 0,000461 0,000461 0,000461 0,000461 0,000527 0,000527 0,000527 0,000527 0,000527 0,000527 0,000527 0,000527 0,000527 0,000527 0,000527 0,000527 0,000595 0,000595 0,000595 0,000595 0,000595 0,000595 0,000595

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

12  Hodnota R3d

2,519557 2,598811 2,677941 2,756947 2,835829 2,914587 2,993222 3,071734 3,150122 3,228388 3,306531 3,384551 3,462450 3,540226 3,617880 3,695413 3,772824 3,850114 3,927282 4,004330 4,081257 4,158063 4,234749 4,311315 4,387761 4,464087 4,540293 4,616380 4,692348 4,768197

Pravděpodobnost 0,000595 0,000595 0,000595 0,000595 0,000595 0,000661 0,000661 0,000661 0,000661 0,000661 0,000661 0,000661 0,000661 0,000661 0,000661 0,000661 0,000661 0,000734 0,000734 0,000734 0,000734 0,000734 0,000734 0,000734 0,000734 0,000734 0,000734 0,000734 0,000734 0,964257

Z tabulky je zřejmé, že se skládá z 61 řádků. V případě, že pojištěný zemře do měsíce od uzavření pojistné smlouvy, neplatí pojišťovna žádné pojistné plnění. V opačném případě bude platit minimálně jednu a maximálně 60 důchodových měsíčních plateb. Čas výplaty poslední platby (měřený v měsících) uvedený v prvním sloupečku tabulky 13.3.12 se shoduje s počtem vyplacených plateb. 119

Matematika životního pojištění Hodnoty náhodné veličiny R312d  jsou současné hodnoty področních důchodů počítané podle vztahu (13.3.7) s tím, že po vyjádření roční nominální úrokové míry, která odpovídá roční efektivní technické úrokové míře i ze vztahu (13.3.5) máme





i ( m )  i (12 )  12  (1  0,019 ) 1 / 12  1  0,018 837 .

Odpovídající pravděpodobnosti jsou odložené měsíční pravděpodobnosti úmrtí, k jejichž výpočtu jsme použili vztah (12.4.11). Z tabulky 13.3.12 je zřejmé, že pravděpodobnosti, které se vejdou i s odkladem do jednoho celého pojistného roku jsou stejné, což odpovídá našemu předpokladu o rovnoměrném rozložení úmrtí v rámci každého roku. Pravděpodobnost toho, že pojišťovna bude platit všech 60 důchodových výplat (poslední řádek tabulky 13.3.12) odpovídá pravděpodobnosti, že se pojištěný dožije pátého výročí uzavření pojistné smlouvy. K výpočtu této pravděpodobnosti použijeme vztah (12.4.3). S využitím (13.1.1) a (13.1.4) máme





F  fma x( :mn )  fmE R3( dm )  6 000  12  4,690 676  337 728 ,70 ,





R  fm R3( dm )  6 000  12  0, 477 634  34 389 ,63 .

Čisté pojistné je tedy 337 728,70 Kč a riziko pojištění činí 34 389,63 Kč. Hodnotu čistého pojistného ještě ověříme pomocí vztahu (13.3.31). Po vynásobení pojistným plněním vyplaceným za jeden rok a dosazení dostáváme  N  N x  n 1 m  1  D  1  x  n F  fma x m:n   fm  x 1  Dx 2m  Dx 

    

 676 414 ,7  512 964 ,1 12  1  30 950 ,9    1     337 746 , 23 .  6 000  12    35 265 , 6 2  12 35 265 , 6   

Z porovnání obou výsledků čistého pojistného je zřejmé, že se přibližná hodnota vypočtená podle (13.3.31) liší od přesné hodnoty získané z tabulky rozdělení pravděpodobností 13.3.12 pouze o necelých 18 Kč.

13.4

Určení běžného pojistného

V praxi dává často pojistník přednost běžnému pojistnému, tj. pojistnému placenému v pravidelných a konstantních splátkách. Z hlediska výpočtu čistého pojistného se tím pádem situace zdánlivě zkomplikuje, protože v rovnici ekvivalence (13.1.6) bude třeba i levou stranu rovnice považovat za klasickou náhodnou veličinu (splátky pojistného obvykle končí úmrtím) a počítat s její střední hodnotou. Na placení běžného pojistného lze ale pohlížet jako na dočasný životní důchod nebo doživotní důchod tentokrát vyplácený pojistníkem pojistiteli. Vzhledem k tomu, že jsme se v předcházejícím textu oběma uvedenými důchody podrobně zabývali, bude těžiště této části spočívat v odvození vztahů pro výpočet velikosti splátky běžného pojistného u základních typů kapitálového i důchodového pojištění. Stejně jako doposud budeme odvozování provádět pro jednotkové pojistné plnění, čímž budeme rozumět pojistné plnění ve výši 1 Kč při kapitálovém pojištění, důchodové platby ve výši 1 Kč při ročním důchodovém pojištění a důchodové platby v takové výši, aby byla během roku vyplacena celkem 1 Kč při področním důchodovém pojištění. Začneme odvozením ročního běžného pojistného nPxna jednotkovou pojistnou částku pro pojištění x-leté osoby na dožití se věku (x + n), kde n  N . Dosazením do rovnice ekvivalence (13.1.6) dostaneme 120

Matematika životního pojištění n

Px ax:n   n E x .

Odtud použitím (13.2.2) a (13.3.16) snadno získáme n

Px 

n

Ex

ax:n 



D xn N x  N xn

.

(13.4.1)

Je zřejmé, že pokud by bylo smlouvou stanoveno, že se první platba pojistného uskuteční až rok po jejím uzavření, je třeba vztah (13.4.1) patřičným způsobem upravit. Z (13.3.17) plyne, že úprava by spočívala ve zvýšení obou indexů u komutačních čísel ve jmenovateli (13.4.1). Pokud by byly platby pojistného področní (a předlhůtní) s frekvencí m plateb ročně, vyšli bychom z rovnice ekvivalence ve tvaru

max m:n  n Px m   n E x . Odtud pomocí (13.2.2) a (13.3.30) máme n

Px m  

n

Ex

m 

m ax:n 



D xn m 1   D x  D x  n  m  N x  N xn  2m  

.

(13.4.2)

m  Připomeňme, že součin m ax:n  je současná hodnota področního předlhůtního dočasného životního důchodu s m platbami během roku, přičemž každá platba je ve výši 1 Kč.

Čtenář sám jistě bude schopen tento vzorec modifikovat pro případ, že by pojistník platil polhůtně (první platba až m-tinu roku po uzavření pojistné smlouvy) či pro případ, že by pojistník neplatil běžné pojistné po celou dobu n, ale jen po její část. Pokud by náhodou nebyl, nalezne příslušnou modifikaci v řešení příkladu 13.4.2. Příklad 13.4.1 Určíme, kolik by musel platit dvacetiletý muž na začátku každého pojistného roku, aby v případě dožití se 65 let (přesněji 45. výročí pojistné smlouvy) dostal rovný milion korun. Řešení K výpočtu použijeme (13.4.1) s tím, že x = 20, n = 45 a f = 1 000 000. Dosazením příslušných komutačních čísel z tabulky 12.6.1 dostáváme F  f nPx  f

D xn N x  N xn

 1 000 000

23 649 ,6 2 341 231 ,0  321 449 , 2

 11 707 ,66 .

Muž by tedy (v případě dožití se 45. výročí pojistky) zaplatil ve 45 splátkách uskutečněných vždy na počátku pojistného roku celkem nominálně zhruba 527 845 Kč, aby na konci 45. pojistného roku obdržel 1 000 000 Kč. V praxi se příslušná smlouva většinou doplňuje tzv. výhradou, podle níž pojišťovna při předčasném ukončení tohoto pojištění smrtí pojištěného vrací oprávněným osobám podstatnou část doposud zaplaceného pojistného. Příklad 13.4.2 Ukážeme, jak se změní hodnota splátky čistého pojistného v případě, že by si muž z příkladu 13.4.1 přál platit pojistné měsíčně pouze po dobu 40 let a navíc chtěl, aby se první splátka pojistného uskutečnila až měsíc po uzavření pojistné smlouvy. 121

Matematika životního pojištění Řešení Máme x = 20, n1 = 40, n2 = 45, m = 12, f = 1 000 000. Při výpočtu vyjdeme z upraveného vztahu (13.4.2): fD x  n2

F  f n2Px m  



 m 1   m  N x 1  N x  n1 1  D x  D x  n1  2m   1 000 000  23 649 ,6  1 056 ,08 . 11  68 144 ,0  28 288 ,7  273 087 ,0  425 424 , 4  24 

 12  2 





Bude-li tedy 20letý muž platit koncem každého měsíce pojistného roku 1 056,08 Kč po 40 let, dostane na konci 45. pojistného roku (pokud se toho dožije) 1 000 000 Kč. Celkem v tomto případě zaplatí na pojistném nominálně přes 506 920 Kč, což je méně než v předchozím příkladu. Důvodem je skutečnost, že hodnotu pojištění musí uhradit již během prvních čtyřiceti let. Podobně lze postupovat i při odvozování vztahů pro výpočet čistého běžného pojistného u dalších typů životního pojištění. Dále uvedeme pouze přehled vzorců k výpočtům výše splátek področního běžného pojistného u nejčastěji používaných životních pojištění. Budeme vždy předpokládat, že pojistník platí pojistné formou předlhůtního důchodu (první splátka při uzavření pojistné smlouvy). Odvozené vzorce je pochopitelně možno použít také pro výpočet ročního pojistného tak, že položíme m = 1 i pro nejrůznější modifikace uvedené v pojistné smlouvě v duchu příkladu 13.4.2. Px m  

Px1:n m  

Px:nm  

n

Px

m 



A1x:n 

m 

m ax:n  Ax:n 

m 

m ax:n 

n

ax m 

m ax m:n 

Ax  m ax m 







Mx , m 1   m N x  Dx  2m  

(13.4.3)

M x  M xn , m 1    D x  D x  n  m  N x  N xn  2m   M x  M xn  D xn , m 1    D x  D x  n  m  N x  N xn  2m  

N xn 

m 1 2m m 1

 m  N x  N xn  2m 

(13.4.4)

(13.4.5)

Dxn

 D x  D x  n  

.

(13.4.6)

Poslední z této série vzorců je pojištění odloženého doživotního důchodu, kdy se pojistné platí během celé doby odkladu n. Pro m = 12 má asi nejblíže k důchodovému pojištění, jak ho chápe většina lidí. Pojistník platí každý měsíc určitou částku na důchodové pojištění, aby po odchodu do důchodu mohl naopak každý měsíc určitou částku dostávat. Příklad 13.4.3 Určíme čisté čtvrtletní pojistné, které musí platit 25letý klient (první platba okamžitě) do svých 65 let, aby se poté mohl těšit z doživotního důchodu 10 000 Kč, kterýžto bude vyplácen počátkem každého měsíce, pokud bude klient naživu. 122

Matematika životního pojištění Řešení Máme tedy f = 10 000, m1 = 4, m2 = 12, x = 25, n = 40. K výpočtu použijeme přibližný vzorec (13.4.6) s drobnou úpravou. Platby pojistníka jsou čtvrtletní, a tedy m1 bude ve jmenovateli, protože se jedná o příjem pojišťovny (ve výchozím principu ekvivalence na levé straně). Pojistné plnění je měsíční, a proto m2 bude v čitateli (ve výchozím principu ekvivalence na pravé straně). Navíc musí být jednotkové pojistné vynásobeno skutečným ročním pojistným plněním, tedy součinem fm 2 . Dostáváme, že

F  fm 2  n Px  m  

m2 

fm 2  n ax

m 

m1  ax:n1

  m 1 fm 2  N x  n  2 D x  n  2m2       m1  1  D x  D x  n  m1  N x  N x  n  2 m1  

11   10 000  12   321 449 , 2   23 646 ,9  24     5 554 ,12 . 3   4   2 013 483 ,8  321 449 , 2  61 781 ,8  23 646 ,9  8  

Klient by tedy měl platit počátkem každého čtvrtletí pojistného roku 5 554,12 Kč čistého pojistného, aby mohl počínaje 41. pojistným rokem pobírat doživotní měsíční důchod ve výši 10 000 Kč. Na pojistném tedy zaplatí celkově nominálně necelých 889 000 Kč (pokud se dožije všech plateb pojistného).

13.5

Určení hrubého pojistného

Prozatím jsme se zabývali určováním čistého pojistného (ryzího pojistného, netto pojistného), které bylo vypočteno tak, aby v průměru pokrylo pojišťovně vyplácená pojistná plnění. Pojistitel ovšem musí vzít v úvahu, že jeho příjmy i výdaje jsou náhodné veličiny a že v případě pro něho nepříznivých škodních výchylek může mít problémy dostát svým závazkům. Navíc publikované úmrtnostní tabulky, pomocí nichž jsme prováděli výpočty, nemusejí odpovídat skutečné úmrtnosti (vývoj úmrtnosti v čase, pojištění mají jinou úmrtnost než celá populace atd.). Proto se pojistné ještě zvyšuje o tzv. bezpečnostní přirážku. V životním pojištění se bezpečnostní přirážka zohledňuje většinou vhodnými věkovými posuny (ve prospěch pojistitele) v úmrtnostní tabulce, a tak se princip výpočtu vlastně nezmění. Do pojistného se dále zahrnuje přirážka na pokrytí správních nákladů a podnikatelského zisku pojišťovny. Takto stanovená částka se nazývá hrubé pojistné (brutto pojistné, tarifní pojistné, pojistná sazba apod.). V dalším výkladu se soustředíme pouze na problematiku započítávání správních nákladů do pojistného. Správní náklady pojišťovny lze rozdělit do následujících čtyř kategorií.  Počáteční náklady  … náklady na inzerci, pojišťovací agenty, případná lékařská vyšetření, tiskopisy, vyhotovení a zavedení pojistné smlouvy atd. Tyto náklady se do pojistného zakalkulují jednorázově při uzavření pojistné smlouvy jako procento z pojistné částky event. z ročního důchodu. Jsou-li např. počáteční náklady stanoveny na 5 % (tj.   0,05 ) při měsíčním důchodu ve výši 2 000 Kč, bude do pojistného zakalkulována částka 0,05  12  2 000 Kč  1 200 Kč. 

Běžné správní náklady  … náklady související s provozem pojišťovny, tj. např. na evidování a kontrolování pojistných smluv, nájem budov, provoz výpočetní techniky atd. Tyto náklady se opět počítají jako procento z pojistné částky (ročního 123

Matematika životního pojištění důchodu). Zpravidla se dělí na běžné správní náklady  1 , které se účtují vždy na začátku pojistného roku po celou dobu trvání pojištění, a na běžné správní náklady  2 , které se účtují na začátku pojistného roku během placení pojistného, přičemž





   1   2 . Používá-li např. pojišťovna hodnoty  1  0,003 a  2  0,001 , potom např. při kapitálovém pojištění na dožití s pojistnou částkou 100 000 Kč placeném jednorázově bude do pojistného účtována částka 0,003  100 000 Kč  300 Kč na začátku každého pojistného roku. Inkasní náklady  … náklady spojené s vybíráním (inkasem) běžného pojistného. Jsou započítány jako procenta z ročního hrubého pojistného a účtují se ve shodě s placením běžného pojistného. Jestliže jsou kupříkladu inkasní náklady stanoveny na 2 % (tj.   0,02 ) , je při měsíčním důchodu 1 000 Kč na inkasní náklady ročně

určena částka 0,02  12  1 000 Kč  240 Kč. Je tedy v každé platbě pojistného účtováno 20 Kč na inkasní náklady. Náklady při výplatě důchodů  …náklady se týkají pouze důchodových pojištění a souvisí s jeho pravidelným vyplácením. Většinou se počítají jako procenta z ročního důchodu a účtují se ve shodě s jednotlivými výplatami důchodů. Např. při   0,03 (tj. 3 %) a měsíční splátce pojistného plnění ve výši 5 000 Kč je na tyto náklady určena ročně částka 0,03  12  5 000 Kč  1 800 Kč.

Uvedené rozdělení je nutné brát jako jeden a nikoliv jediný z modelů, který pojišťovny v praxi používají. Ukážeme si několik příkladů odvození výpočetních vzorců pro hrubé pojistné s tím, že jednorázové hrubé pojistné na jednotkovou pojistnou částku či jednotkový důchod se značí JB a běžné pojistné na jednotkovou pojistnou částku či jednotkový důchod se značí B (vždy doplníme příslušnými indexy). Začneme jednoduchým odvozením vztahu pro výpočet jednorázového hrubého pojistného při smíšeném pojištění placeným jednorázově. Podle principu ekvivalence (13.1.6) máme JB x:n   Ax:n      1 ax:n  .

(13.4.7)

K diskontovanému výdaji na pojistné plnění A x:n  se přičtou jednorázové počáteční náklady, které v případě jednotkové pojistné částky činí právě  , a běžné správní náklady  1 , které jsou podle předpokladu účtovány vždy na počátku každého pojistného roku (pokud je pojištěný naživu) a jejichž současná hodnota je zřejmě v případě jednotkové pojistné částky právě  1 ax:n  . Vzhledem k tomu, že s uvažovaným typem pojištění nesouvisí žádné důchodové platby, neobjevují se ve vzorci zbývající náklady reprezentované koeficienty  ,  2 ,  ,  . Vztah (13.4.7) můžeme s využitím (13.2.11) a (13.3.16) zapsat pomocí komutačních čísel jako JB x:n  

M x  M xn  D xn  1 N x  N xn  Dx

 .

(13.4.8)

V případě področního běžného pojistného placeného předlhůtně m-krát v každém pojistném roce, ve kterém je klient naživu, dostaneme využitím principu ekvivalence rovnici

B x:mn  maxm:n  Ax:n      ax:n   B x:mn  max m:n .

(13.4.9)

124

Matematika životního pojištění Na levé straně je současná hodnota področního předlhůtního dočasného doživotního důchodu m  s výší platby B x:n  , což je pro nás hledané pojistné na jednotkové pojistné plnění. Na pravé straně je proti (13.4.7) navíc diskontovaná hodnota inkasních nákladů započítávaných ve shodě s placením pojistného jako příslušné procento z hrubého pojistného. Místo výrazu  1 ax:n  je na pravé straně výraz  ax:n  , protože běžné správní náklady jsou podle dříve uvedeného předpokladu započítávány v plné výši a to vždy na začátku pojistného roku bez ohledu na způsob placení běžného pojistného. Z rovnice (13.4.9) můžeme po použití aproximace (13.3.30) a po dalších úpravách vyjádřit neznámou B x :mn  

M x  M x n  D x n   N x  N xn   D x m 1   D x  D x  n  m 1    N x  N x  n  2m  

.

(13.4.10)

Příklad 13.5.1 Vypočítáme hodnotu ročního hrubého pojistného40letého pojištěného pro smíšené pojištění na 20 let s pojistnou částkou 1 000 000 Kč, za předpokladu, že se pojistné platí po celou dobu odkladu a první splátka se uskuteční při uzavření pojistné smlouvy. Použijeme:   0,05 ,   0,006 a   0,05 . Řešení Při výpočtu vyjdeme ze vztahu (13.4.10) s tím, že m = 1. Dále máme x = 40, n = 20, f = 1 000 000,   0,05 ,   0,006 a   0,05 . Podle (13.4.10), který v tomto případě s ročním běžným pojistným platí přesně, dostáváme F  fB x:n   f  1 000 000 

M x  M xn  D xn   N x  N xn   D x

1    N x  N x  n 



23 474  19 829  28 289  0,006 1 203 125  453 713   0,05  45 907

1  0,05   1 203 125  453 713 



 54 393 ,78 .

pojištěný by tedy po 20 let (pokud by dříve neumřel) platil na počátku každého pojistného roku pojistné ve výši 54 393,78 Kč. Po dvaceti letech nebo při předčasném úmrtí na konci toho pojistného roku, ve kterém by zemřel, by pojišťovna vyplatila 1 000 000 Kč. Čisté měsíční pojistné by v tomto případě činilo 42 611,25 Kč, což je zhruba 78,3 % měsíčního hrubého pojistného. Ukážeme si ještě odvození výše hrubého pojistného v případě pojištění odloženého doživotního důchodu. Předpokládejme, že pojistné plnění má formu předlhůtního področního důchodu s výplatami m-krát do roka. Dobu odkladu označme jako obvykle n. Pokud jde o jednorázově zaplacené pojistné, máme n

JB x m   n ax m      1 ax   n ax m  

1    N x  n 





m 1

 D xn   1 N x 2m   . Dx

(13.4.11)

Diskontované výdaje pojišťovny (pravá strana rovnice (13.4.11)) tentokrát reprezentuje současná hodnota odloženého doživotního předlhůtního področního důchodu (pojistného plnění). Dále zde máme počáteční náklady účtované jednorázově v okamžiku uzavření 125

Matematika životního pojištění pojistné smlouvy, současnou hodnotu běžných správních nákladů účtovaných vždy na začátku pojistného roku a dále současnou hodnotu nákladů na výplatu důchodů účtovanou ve shodě s výplatou důchodů. Úprava ve (13.4.11) je pak provedena pomocí (13.3.32) a (13.3.11). Pro případ, že uvažované pojištění platí pojistník formou dočasného doživotního předlhůtního področního důchodu s výplatami m-krát do roka po celou dobu odkladu n, můžeme zřejmě psát rovnici ekvivalence (13.1.6) ve tvaru: m ax m:n   n B x m   n ax m      1 ax   2 ax:n   n ax m   max m:n   n B x m  .

(13.4.12)

Na pravé straně jsou navíc dva členy. Oba souvisejí s tím, že příjem pojišťovny není jednorázový, ale má formu důchodu. V tom případě si pojišťovna do hrubého pojistného započítává běžné správní náklady související právě s pravidelným příjmem pojistného. Tyto náklady jsou reprezentovány koeficientem  2 . Současná hodnota těchto nákladů je vyjádřena členem  2 ax:n  , což je vlastně současná hodnota ročního předlhůtního dočasného životního důchodu s velikostí platby právě  2 . Dále si pojišťovna kalkuluje inkasní náklady reprezentované koeficientem  . Tyto náklady jsou započítávány v souladu s platbami pojistného a jejich současná hodnota je m ax m:n  n B x m  . Úpravou a pomocí (13.3.32) a (13.3.11) lze vyjádřit hledanou výši splátky hrubého pojistného pomocí komutačních čísel. Platí, že

n

B x m  

1    N x  n 

m 1

 D xn   1 N x   2 N x  N xn   D x 2m   . m 1    D x  D x  n  m 1    N x  N x  n  2m  

(13.4.13)

Příklad 13.5.2 Určíme velikost splátky hrubého měsíčního pojistného, které bude platit 20letý klient do svých 65 let, aby se poté mohl těšit z doživotního důchodu 15 000 Kč měsíčně. Předpokládáme, že oba důchody jsou placeny předlhůtně a koeficienty nákladů použijeme v následující výši:   0,035 , 1  0,002 ,  2  0,003 ,   0,05 a   0,04 . Řešení Do (13.4.13) dosadíme x = 20, n = 45, m = 12, koeficienty zohledňující náklady pojišťovny a komutační čísla z tabulky 12.6.1 s tím, že k získání hledaného pojistného na dané pojistné plnění je třeba ještě násobit velikostí skutečného ročního důchodu, tj. součinem fm  15 000  12  180 000 . Máme

F  fm n B x m   fm

 15 000 

1    N x  n 

m 1

 D xn   1 N x   2 N x  N xn   D x    m 1    D x  D x  n  m 1    N x  N x  n  2m   2m

1,04  310 611 ,0  0,002  2 341 231 ,0  0,003  2 019 781 ,8  0,035  68 144 ,0 0,95  2 019 781 ,8  20 394 ,5 



 2 654 ,73 .

Klient by tedy měl platit počátkem každého měsíce 2 654,73 Kč, aby mohl počínaje 46. pojistným rokem pobírat doživotní měsíční důchod ve výši 15 000 Kč. Pro porovnání uveďme, že bez započítání správních nákladů, tj. za předpokladu, že   1   2      0 126

Matematika životního pojištění by měsíční (čisté) pojistné činilo 2 330,30 Kč, což je zhruba 87,8 % z vypočteného hrubého pojistného. Pokud bychom ale velikost správních nákladů nastavili např. hodnotami   0,5, 1  0,02 ,  2  0,03 ,   0,05 a   0,04 , vyšlo by měsíční pojistné 3 668,43 Kč a čisté pojistné by tvořilo pouze zhruba 63,5 % z hrubého pojistného. Vzorce pro výpočet hrubého pojistného pro další typy pojištění si po pečlivém prostudování předcházejícího textu čtenář jistě odvodí sám.

127

Matematika neživotního pojištění

ČÁST III. MATEMATIKA NEŽIVOTNÍHO POJIŠTĚNÍ

128

Matematika neživotního pojištění

14 Určení čistého pojistného 14.1

Tarifní skupiny

Prvním krokem ke stanovení výše pojistného v neživotním pojištění je rozdělení pojistných smluv z jednoho pojistného odvětví do skupin, pro které je pojištěné riziko přibližně stejné. Tomuto procesu se říká tarifování a příslušné skupiny se nazývají tarifní skupiny. Podstatou tarifování je vytvoření množiny tzv. tarifních proměnných. Každá z tarifních proměnných nabývá několika různých hodnot, které se liší velikostí rizika. Příklad 14.1.1 V pojištění odpovědnosti za škodu způsobenou provozem vozidla (povinné ručení) používají pojišťovny v ČR pro vytvoření tarifních skupin běžně následující tarifní proměnné.  Typ vozidla (osobní automobil, motocykl, nákladní automobil, autobus, přípojné vozidlo, traktor, sanita, obytný automobil, tahač, …)  Objem motoru (do 1 000 cm3, 1 001 – 1 250 cm3, …)  Způsob použití vozidla (běžný provoz, taxislužba, půjčování, autoškola, nebezpečné náklady, …) Některé pojišťovny zohledňují i další faktory (tj. používají i další tarifní proměnné) jako např. věk řidiče, region atd. V závorce u tarifních proměnných za odrážkami jsou uvedeny příklady hodnot tarifních proměnných. Každá kombinace hodnot jednotlivých proměnných pak tvoří jednu tarifní skupinu. Tarifní skupiny jsou tedy skupiny pojistných smluv v rámci jednoho pojistného odvětví, které představují přibližně stejné pojištěné riziko, takže je možné v rámci každé tarifní skupiny aplikovat stejnou pojistnou sazbu, což je vlastně výše pojistného vztažená na určitou jednotku míry objemu rizika. Jedná se o obdobu jednotkového pojistného při životním pojištění. Jednotkou míry objemu rizika může být např. 1 000 Kč hodnoty pojištěné věci v majetkovém pojištění (v takovém případě hovoříme o míře objemu rizika jako o pojistné nebo pojištěné částce), automobil/rok v havarijním pojištění, „člověkoden“ v pojištění léčebných výloh v nemocnici atd.

14.2

Princip určení čistého pojistného

Při výpočtu čistého pojistného v neživotním pojištění vycházíme ze stejného principu jako při výpočtu čistého pojistného v životním pojištění. Podle tohoto principu platí, že příjmy pojišťovny z pojistného se rovnají výdajům pojišťovny na pojistné plnění. Jeden ze zásadních rozdílů v kalkulaci životního a neživotního pojištění je dán skutečností, že v neživotním pojištění se, na rozdíl od pojištění životního, uzavírají smlouvy zpravidla pouze na jeden rok. Pojistitel tedy může poměrně operativně reagovat na vývoj časové hodnoty peněz a v případě potřeby pojistné upravit. Z tohoto důvodu nebudeme při určování pojistného v neživotním pojištění brát časovou hodnotu peněz v úvahu. Dalším významným rozdílem je způsob určování střední hodnoty náhodné veličiny výše pojistného plnění. V životním pojištění totiž máme k dispozici úmrtnostní tabulky, pomocí kterých lze sestavit relativně věrohodné rozdělení pravděpodobností příslušné náhodné veličiny. Odtud už lze snadno určit její střední hodnotu i další charakteristiky. U neživotního pojištění podobný nástroj neexistuje a modelování pravděpodobnostního rozdělení náhodné veličiny výše pojistného plnění je mnohem obtížnější. Používají se pokročilejší matematické 129

Matematika neživotního pojištění modely, které většinou vyžadují hlubší znalosti z oblasti pravděpodobnosti a statistiky (Mandl, 1999). Částečně je tento způsob ilustrován v části 14.3. V praxi často pojišťovny při stanovení odhadu střední hodnoty svých výdajů vycházejí z nashromážděných relevantních statistických údajů o pojištění z let minulých. Pochopitelně přitom také přihlíží k očekávanému ekonomickému a legislativnímu vývoji. Uvažujme tarifní skupinu, ve které dojde za uvažované období (např. jeden rok) k N pojistným událostem s tím, že jednotlivé škodní nároky označíme postupně X 1 , X 2 , ..., X N . Předpokládejme dále, že celkově pojištěný objem rizika v uvažované tarifní skupině pro dané období je E. Podle principu ekvivalence lze psát N

PE   X j  S ,

(14.2.1)

j 1

kde S je tzv. úhrn škod a sazba čistého ročního pojistného je označena jako P. Odtud máme P

S E

.

(14.2.2)

Je zřejmé, že veličiny N , X 1 , X 2 , ..., X N ( a tedy i S ) a E mají všechny náhodný charakter, a je tudíž nutno pracovat s jejich středními hodnotami. Jak již bylo uvedeno, často se tyto střední hodnoty odhadují na základě statistických údajů o škodním průběhu z minulých let. Někdy se při výpočtu postupuje tak, že pravou stranu vztahu (14.2.2) rozložíme na součin a pro výpočet sazby čistého pojistného používáme vzorec P  q1q 2 .

(14.2.3)

Veličina q1 se nazývá škodní frekvence a je definována jako q1 

N n

,

(14.2.4)

kde n je počet uzavřených pojistek v dané tarifní skupině v daném roce. Škodní frekvenci lze tedy interpretovat jako průměrný počet škod v jedné pojistce za jeden rok. Veličina q2 je tzv. škodní stupeň (škodní rozsah) a platí, že S q2  N . E

(14.2.5)

n

Škodní stupeň je tedy definován jako průměrná výše škody vzhledem k průměrně pojišťovanému objemu rizika v jedné pojistné smlouvě za jeden rok. Příklad 14.2.1 Předpokládejme, že v jisté tarifní skupině pojištění majetku bylo uzavřeno v jednom roce 8 250 pojištění na celkovou pojistnou částku 360 300 000 Kč. Počet pojistných událostí (škod) činil 598 a celkově za ně bylo vyplaceno pojistné plnění ve výši 7 345 000 Kč. Určíme postupně průměrnou pojistnou částku, průměrnou výši škod, škodní frekvenci a škodní stupeň. Dále určíme sazbu čistého a hrubého pojistného, jestliže na pojistném bylo vybráno 9 750 000 Kč a jednotková pojistná částka je 1 000 Kč.

130

Matematika neživotního pojištění

Řešení Při zavedeném označení máme n = 8 250, E = 360 300 000, N = 598, S = 7 345 000. Podle (14.2.5) dostáváme průměrnou pojistnou částku E n



360 300 000 8 250

Kč  43 672 ,72 Kč

a průměrnou výši škod S N



7 345 000 598

Kč  12 282 ,61 Kč .

Pro výpočet škodní frekvence resp. škodního stupně použijeme (14.2.4) resp. (14.2.5). Máme S q1 

N n



598

12 282 ,61  0,0725 resp. q 2  N   0, 2812 . E 8 250 43 672 ,72 n

Sazbu čistého pojistného, tedy čisté pojistné na každých pojištěných 1 000 Kč, určíme pomocí (14.2.2), kde je nutné dosadit E ve zvolené jednotkové pojistné částce, tedy v 1 000 Kč. Máme P

S E



7 345 000 360 300

 20 ,39 .

Alternativně bychom mohli k výpočtu použít (14.2.3) vzhledem k volbě jednotky objemu pojišťovaného rizika upravený na tvar: P  1 000 q1 q 2  1 000  0,0725  0,2812  20 ,39 .

Sazbu skutečně inkasovaného hrubého pojistného B určíme zřejmě podílem B

9 750 000 360 300

 27 ,06 .

Pojistník tedy platí 27,06 Kč z každých 1 000 Kč pojistné částky. Příklad 14.2.2 Ze statistik vedených pojišťovnou v rámci jedné tarifní skupiny pojištění domácnosti byla odhadnuta škodní frekvence ve výši 3,11 % a škodní stupeň ve výši 12,7 %. Určíme pojistnou sazbu v uvažované třídě, jestliže jednotkou míry objemu rizika je 1 Kč z pojistné částky. Dále určíme, jaké čisté pojistné by mělo být předepsáno pro pojistnou částku 1 200 000 Kč? Řešení Máme tedy q1  0,0311 , q 2  0,127 a f = 1 200 000. Podle vztahu (14.2.3) je pojistná sazba P  0,0311  0,127  0,003 95 .

Výše čistého ročního pojistného, řekněme F, potom bude F  fP  1 200 000  0,003 95  4 739 ,64 .

Zjistili jsme tedy, že na každou pojištěnou jednu korunu (jednotka míry objemu rizika) v našem pojištění domácnosti je třeba zaplatit pojišťovně 0,003 95 Kč, což při pojistné částce 131

Matematika neživotního pojištění 1 200 000 Kč činí 4 739,64 Kč. Zdůrazněme ještě jednou, že se jedná o čisté pojistné bez zakalkulování bezpečnostní přirážky, nákladů a zisku pojišťovny. Pro určování odhadů středních hodnot jednotlivých náhodných veličin v neživotním pojištění ze statistických podkladů z minulosti se používají nejrůznější statistické metody. Jednu z nich (věříme, že studentovi důvěrně známou ze statistiky) ilustruje následující příklad. Příklad 14.2.3 Ze statistických údajů o jedné tarifní skupině pojištění majetku uvedených v tabulce 14.2.1 z let minulých odhadneme sazbu čistého pojistného na rok 2015. Tabulka 14.2.1 Statistické údaje Rok 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014

Úhrn škod (tis. Kč) 5 321 5 413 5 498 5 605 5 754 5 822 5 974 6 025 6 214 6 348 6 582 6 789 7 056

Objem rizika (mil. Kč) 722 725 731 739 759 749 772 775 796 804 812 828 845

Řešení Za jednotku objemu míry rizika zvolíme 1 000 Kč. Určíme pro každý rok sazbu čistého pojistného a takto získanou časovou řadou proložíme regresní přímkou, z jejíž rovnice odhadneme sazbu čistého pojistného na rok 2015. Hodnoty časové řady i údaje pro výpočet koeficientů trendové přímky jsou uvedeny v tabulce 14.2.2 Tabulka 14.2.2 Trend časové řady pojistných sazeb z příkladu 14.2.3 Rok 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 Součet

Úhrn škod (tis. Kč) Objem rizika (mil. Kč) Pojistná sazba (rt) 5 321 722 7,369806 5 413 725 7,466207 5 498 731 7,521204 5 605 739 7,584574 5 754 759 7,581028 5 822 749 7,773031 5 974 772 7,738342 6 025 775 7,774194 6 214 796 7,806533 6 348 804 7,895522 6 582 812 8,105911 6 789 828 8,199275 7 056 845 8,350296 101,165922

t -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 0

t2 36 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 182

trt -44,2188 -37,3310 -30,0848 -22,7537 -15,1621 -7,7730 0,0000 7,7742 15,6131 23,6866 32,4236 40,9964 50,1018 13,2721

132

Matematika neživotního pojištění

Pro rovnici regresní přímky p platí, že 6

p : Rt 

 trt

t  6 6

t

2

6

r

t

t

t  6

13



13 , 2721 182

t

101 ,1659 13

 0,0729 t  7 ,7820 .

t  6

Odtud odhad sazby čistého pojistného pro rok 2015 R 2015  0,0729  7  7 ,7820  8, 29 .

Na každých 1 000 Kč pojistné částky by tedy mělo být v roce 2015 účtováno čisté pojistné ve výši 8,29 Kč.

14.3

Určení čistého pojistného v systémech bonus-malus

V příkladu 14.1.1 jsme uvedli několik tarifních proměnných, pomocí kterých se provádí tarifování v pojištění odpovědnosti za škodu způsobenou provozem vozidla. Je zřejmé, že ani po vytvoření příslušných tarifních skupin nebudou všichni řidiči z jedné tarifní skupiny představovat pro pojišťovnu stejné riziko. Schopnosti různých řidičů jezdit bez nehody jsou totiž nepochybně různé. To je jeden z důvodů, proč se provádí ještě další rozdělování pojištěnců do jakýchsi podskupin v rámci jedné tarifní skupiny. Zohledňuje se předchozí průběh jejich pojištění a ti, u kterých v minulosti nenastala žádná pojistná událost, jsou zvýhodněni slevou ze základní sazby pojistného (bonusem). Naopak ti, u kterých se pojistná událost vyskytla častěji, dostanou přirážku k základní sazbě pojistného (malus). Pokud jsou taková pravidla v tarifní skupině definovaná, hovoříme o systému bonus-malus (dále BMS). V současnosti je po celém světě velice rozšířené použití BMS hlavně v pojištění automobilů, a to jak v pojištění havarijním, tak v pojištění odpovědnosti za škody způsobené provozem vozidla a české pojišťovny nejsou výjimkou. V takovém systému existuje tedy několik úrovní pojistného podle velikosti slev či přirážek k základní sazbě pojistného. V této souvislosti hovoříme o třídách BMS. České pojišťovny v současnosti (rok 2014) používají BMS, ve kterých je 12 až 21 tříd, a tedy stejný počet úrovní pojistného. Slovenské pojišťovny používají BMS v rozsahu 6 až 16 tříd s tím, že řada z nich prozatím malusy vůbec neaplikuje (Stolín, 2014). Tabulka 14.3.1 definuje BMS se sedmi třídami (dříve užívaný v Thajsku – Lemaire, 1995), který je pro početní ilustraci vhodnější. Tabulka 14.3.1 Bonus-malus systém Třída

Pojistné (v % ze základní sazby)

1 2 3 4 5 6 7 Vstupní třída: 4

140 130 120 100 80 70 60

Nová třída bonusu-malusu po 0 1 >1 škodě 5 4 1 5 4 1 5 4 2 5 4 3 6 4 3 7 4 3 7 4 3

133

Matematika neživotního pojištění

134

Matematika neživotního pojištění Příklad 14.3.1 Uvažujme klienta, který je v BMS určeném předchozí tabulkou již 10 let a jeho počty škodních nároků postupně byly: 0, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 1. Určíme posloupnost tříd BMS, ve kterých se postupně nalézal. Řešení Podle tabulky 14.3.1 byl uvažovaný klient postupně ve třídách: 4, 5, 6, 7, 4, 5, 3, 5, 6, 7. Pokud by zůstal v pojišťovně i nadále, bude zařazen v 11. roce své „pojistné kariéry“ do 4. třídy. Je zřejmé, že třída, do které je klient zařazen v určitém roce svého pojištění, je dána pouze dvěma skutečnostmi:  třídou, ve které byl klient umístěn v předcházejícím roce a  počtem škod v předcházejícím roce. Zdůrazněme, že umístění pojištěného do třídy BMS vůbec neovlivňuje výše škody, ale pouze jejich počet, a to pouze v předcházejícím roce. Počet škodních událostí za jeden rok N je náhodná veličina. Předpokládejme, že N má Poissonovo rozdělení pravděpodobností, což znamená, že platí: P ( N  n) 

n n!

e  , n  0, 1, ... .

(14.3.1)

Připomeňme, že střední hodnota náhodné veličiny N je rovna  . Za předpokladu Poissonova rozložení počtu škod můžeme sestavit matici



is, j 1 ,

P    p ij  

kde s je počet tříd BMS a p ij   představuje pravděpodobnost přechodu ze třídy i do třídy j pojištěného se středním počtem ročních škod  . Příklad 14.3.2 Sestavíme tzv. matici pravděpodobností přechodu z i-té do j-té třídy. Jejími prvky p ij   jsou pravděpodobnosti, že klient s určitou hodnotou parametru  bude po uplynutí roku zařazen z i-té do j-té třídy uvažovaného BMS. Nejprve sestavíme takovou matici obecně a potom pro klienta, který způsobí jednu škodu v průměru jednou za 10 let, tedy pro případ, že   0,1. Řešení Z tabulky 14.3.1 použitím vztahu (14.3.1) dostáváme:  1     1     P         

 1 e   1 e 0



0 0 1    1 e



0

 e 

e 

0

0

e



e



0

e



e



0

e 

0



0

e 

 e 

0

0



0

0

0

0

1    1 e 

0

0

1    1 e

0

0

1    1 e 

0

1    1 e

0

0





 e  e e

0   0   0  0 .  0  e    e  

135

Matematika neživotního pojištění Dosazením   0,1 máme  0,005   0,005  0  P 0,1   0  0   0   0

0

0

0,090

0,905

0

0

0

0,090

0,905

0

0,005

0

0,090

0,905

0

0

0,005

0,090

0,905

0

0

0,005

0,090

0

0,905

0

0,005

0,090

0

0

0

0,005

0,090

0

0

  0  0   0 .  0  0,905   0,905  0

Jestliže p rj   značí pravděpodobnost, že pojištěný s parametrem  bude v r-tém roce svého pojištění ve třídě j, potom lze zřejmě psát, že s

p rj 1     p kr   p kj  ,

j  1, 2, ..., s.

(14.3.2)

k 1

Předpokládejme dále pro jednoduchost, že v BMS bylo dosaženo stacionárního stavu, tj. stavu, kdy platí, že p rj    p rj 1    p j  ,

j  1, 2, ..., s.

V tom případě lze (14.3.2) psát ve tvaru s

p j     p k   p kj  ,

j  1, 2, ..., s.

(14.3.3)

k 1

Těchto s rovnic, spolu se zřejmou podmínkou, že s

 p j    1,

(14.3.4)

j 1

určuje jednoznačně vektor stacionárního rozdělení pravděpodobností obsazení tříd v BMS. Příklad 14.3.3 Vypočítáme stacionární rozdělení pravděpodobností v našem BMS pro   0,1. Řešení S využitím matice P 0,1 z minulého příkladu dostáváme po dosazení do (14.3.3) a (14.3.4) následující soustavu osmi rovnic o sedmi neznámých: p1 

0,005 p1 

0,005 p 2

p2 

0,005 p 3

p3 

0,005 p 4 

0,005 p 5 

0,005 p 6 

0,005 p 7

0,090 p 5 

0,090 p 6 

0,090 p 7

0,905 p 6 

0,905 p 7

p4 

0,090 p1 

0,090 p 2 

0,090 p 3 

0,090 p 4 

p5 

0,905 p1 

0,905 p 2 

0,905 p 3 

0,905 p 4

p6 

0,905 p 5

p7  1

p1 

p2 

p3 

p4 

p5 

p6 

p7

136

Matematika neživotního pojištění Pomocí vhodného matematického programu (Maple, Excel) lze najít právě jedno existující řešení této soustavy, a tím je vektor p  0,000 001 ; 0,000 022 ; 0,004 657 ; 0,090 484 ; 0,086 106 ; 0,077 912 ; 0,740 818 .

Tento výsledek lze interpretovat také tak, že ve stacionárním stavu by se z teoretického počtu 1 000 000 klientů v daném BMS jeden z nich nacházel v první třídě, 22 ve druhé třídě atd. až po nejvyšší bonusovou třídu (7.), kde by jich bylo 740 818. Jestliže dále relativní výši pojistného v jednotlivých třídách BMS vzhledem k základní třídě popíšeme vektorem c  ( c1 , c 2 , ... c s )

a sazbu čistého pojistného v základní třídě označíme Pz , bude celkové čisté pojistné vybrané během jednoho roku od n klientů dáno výrazem (viz konec řešení příkladu 14.3.3)

 np P c   nP  p c . s

s

j

z

j

z

j

j 1

j

(14.3.5)

j 1

Dá se dokázat, že za určitých (přijatelných) předpokladů je střední výše celkových škodních nároků jednoho klienta za jeden rok dána jako E  N  E  X    E  X ,

(14.3.6)

kde E  X  je průměrná výše jedné škody. Podle principu ekvivalence by se celkové příjmy pojišťovny (14.3.5) měly rovnat jejím očekávaným celkovým výdajům na pojistném plnění během uvažovaného roku, takže s pomocí (14.3.6) máme s

nPz  p j c j  n  E  X , j 1

odkud už dostaneme Pz 

 EX  s

pc j

.

(14.3.7)

j

j 1

Zdůrazněme, že odvození vztahu (14.3.7) pro základní sazbu čistého pojistného v BMS jsme provedli za předpokladu, že v dané tarifní skupině mají všichni řidiči (pojištění) stejný parametr  , který vyjadřuje střední hodnotu počtu způsobených škod během pojistného roku. V praxi však, jak již bylo uvedeno, tento předpoklad splněn není. V každé tarifní skupině jsou řidiči s různými hodnotami tohoto parametru, a představují tak pro pojistitele různá rizika (proto se také parametru  často říká rizikový parametr). Náš model je tedy zjednodušený a pro přesnější výsledky je nutné uvažovat model, ve kterém je hodnota parametru  realizací náhodné veličiny, která má určité rozdělení pravděpodobností. Často se toto rozdělení modeluje gama rozdělením (Mandl, 1999). Dále jsme při našem odvození předpokládali, že v BMS bude dosaženo stacionárního stavu ve smyslu rozdělení řidičů do jednotlivých tříd. Ani to úplně neodpovídá praxi, protože systém není uzavřený a noví řidiči do něj neustále vstupují a někteří zase vystupují. Při přesnějších modelech se tato skutečnost zohledňuje tak, že počet let, který je pojištěný v systému, se chápe jako náhodná veličina s geometrickým rozdělením pravděpodobností (Mandl, 1999). 137

Matematika neživotního pojištění Příklad 14.3.4 Na závěr určíme výše čistého pojistného v jednotlivých třídách v uvažovaném BMS pomocí vztahu (14.3.7) za předpokladu, že střední výši škody E  X  odhadneme na 20 000 Kč. Řešení Jelikož je v uvažovaném typu pojištění jednotka míry objemu rizika automobil/rok, bude sazba pojistného totéž co výše pojistného, které platí pojistník ročně z jednoho automobilu. Z tabulky 14.3.1 určíme vektor c  (1,4; 1,3; 1,2; 1; 0,8; 0,7; 0,6) . Můžeme tedy s použitím výsledku příkladu 14.3.3 dosadit do (14.3.7). Získáme Pz 

0,1 20 000 1, 4  0,000 001  1,3  0,000 022  ...  0,6  0,740 818

 3 011 ,98 .

Základní sazba čistého pojistného, kterou platí pojistník zařazený do 4. třídy, je 3 011,98 Kč. Výše ročního pojistného ve zbývajících třídách už dostaneme jednoduše tak, že touto částkou vynásobíme vektor c. Výsledky shrnuje následující tabulka. Tabulka 14.3.2 Pojistné v BMS definovaném tabulkou 14.3.1 Třída Pojistné (Kč)

1 4 217

2 3 916

3 3 614

4 3 012

5 2 410

6 2 108

7 1 807

138

Matematika neživotního pojištění

15 Pojistné rezervy 15.1

Vývojové trojúhelníky

Tvorba technických rezerv pojišťovně zabezpečuje prostředky potřebné k úhradě závazků vyplývajících z převzatých rizik. Povinnost vytvářet technické rezervy, jejich druhy, zásady pro stanovení jejich výše a pro investování prostředků těchto rezerv jsou vymezeny právní normou, jejíž dodržování podléhá kontrole státního dozoru nad pojišťovnami popsané v části Pojišťovnictví. My se budeme v této části zabývat tzv. rezervou na pojistná plnění (škodní rezervou), kterou je třeba vytvářet v důsledku toho, že zjištění konečné výše škody, a tím i výše pojistného plnění, může u řady pojištění trvat i několik let. Jako příklad uveďme pojištění odpovědnosti za škodu z provozu automobilů. Při nehodě může například dojít ke zranění páteře, které se projeví až po několika měsících a konečná výše odškodného může být definitivně stanovena až soudem, když pojišťovna mezitím poskytla určitou zálohu na plnění. Po celou dobu, kdy je případ otevřen, musí pojišťovna provádět a upřesňovat odhad závazku, který pro ni z dané situace vyplývá. Rezerva na pojistná plnění zahrnuje obecně odhad tří hodnot.   

Výše pojistných plnění zlikvidovaných, ale dosud neuhrazených. Výše pojistných plnění, která budou ještě vyplacena za škody pojišťovně nahlášené, ale dosud nezlikvidované (v anglické terminologii je tato hodnota označována zkratkou RBNS – „Reported But Not Settled“). Výše pojistných plnění, která budou vyplacena za škody, jež v minulosti vznikly, ale dosud nebyly pojišťovně hlášeny (pro tuto část rezervy na pojistná plnění se vžil název IBNR – „Incurred But Not Reported“).

V rezervě na pojistná plnění je zahrnut rovněž odhad nákladů spojených s likvidací pojistných událostí. Výpočet rezervy na pojistná plnění se provádí pomocí vývojových trojúhelníků, což jsou vlastně schémata, ve kterých jsou uvedena doposud vyplacená pojistná plnění podle roku vzniku pojistné události (řádky) a počtu let, který uplynul od vzniku události (sloupce). Obecný tvar vývojového trojúhelníku ukazuje tabulka 15.1.1. Veličina s i , j označuje celkovou výši škod, které vznikly v i-tém roce a byly uhrazeny v j-tém roce (počítáno od roku i). Tabulka 15.1.1 Nekumulativní vývojový trojúhelník Rok pojistné události 1 2 … t-1 t

0 s1, 0 s2, 0 … st – 1, 0 st, 0

Pojistné plnění vyplacené v jednotlivých letech uplynulých od roku pojistné události 1 … t-2 s1, 1 … s1, t - 2 s2, 1 … s2, t - 2 … … st – 1, 1

t-1 s1, t - 1

V některých případech se při výpočtu rezervy na pojistná plnění vychází z tzv. kumulativního vývojového trojúhelníku, jehož obecný tvar ukazuje tabulka 15.1.2.

139

Matematika neživotního pojištění Tabulka 15.1.2 Kumulativní vývojový trojúhelník Rok pojistné události

0

Celkové pojistné plnění vyplacené během období od roku vzniku pojistné události po daný počet let uplynulých od roku pojistné události 1 … t-2 t-1 t 2

1

s´1, 0 = s1, 0

s´1, 1 = s1, 0 + s1, 1

…

s´1,t – 2 =



t 1

s1,

j

s´1,t –1 =

j 0

s

1, j

j 0

t 2

2

s´2, 0 = s2, 0

s´2, 1 = s2, 0 + s2, 1

…

s´2,t – 2 =

s

2, j

j 0

… t-1 t

… s´t - 1, 0 = st– 1, 0 s´t, 0 = st, 0

… s´t - 1, 1 = st - 1, 0 + st - 1, 1

…

V kumulativním vývojovém trojúhelníku jsou tedy s i, j celkové výše škod, které vznikly v roce i a byly uhrazeny do konce roku (i + j). Budeme předpokládat, že poslední sloupec již vyjadřuje konečný stav, tj. že všechny škody byly nahlášeny a zlikvidovány během t let od svého vzniku.

15.2

Metoda Chain-Ladder

Jedna z nejčastěji používaných metod pro určení rezervy na pojistná plnění vychází z předpokladu, že sloupce v tabulce 15.1.2 jsou úměrné, tedy, že platí s i,

j 1

 c j s i, j ,

j  0, 1, ..., t  2, i  1, 2, ..., t  j  1 .

(15.2.1)

Konstanty úměrnosti c j se nazývají koeficienty vývoje pojistného plnění a jejich odhady budeme určovat podle vztahu t  j 1

 s

i , j 1

cj 

i 1 t  j 1

j  0, 1, ..., t  2 .

(15.2.2)

 s

i, j

i 1

Trojúhelník v tabulce 15.1.2 doplníme na čtverec postupným násobením odhadnutými koeficienty c j počínaje od vedlejší diagonály: s i, k  s i, t  i c t  i c t  i 1 ... c k 1 , i  2, 3, ..., t , k  t  i  1, t  i  2, ..., t  1 .

(15.2.3)

Rezervu na pojistná plnění, kterou je třeba mít k dispozici ke konci roku t, označme rt a vypočítáme ji jako rt   s i, t 1  s i, t  i  . t

(15.2.4)

i2

Při řešení konkrétních příkladů budeme v legendě vývojových trojúhelníků uvádět přímo letopočty kalendářních let vzniku pojistných událostí a ne jejich pořadová čísla, jako tomu bylo v obecném modelu. Na postupu ani výsledku se samozřejmě nic nezmění. V praxi se při výpočtu rezervy na pojistná plnění většinou zohledňuje inflace, takže se ve vývojových trojúhelnících výše pojistných plnění vyplacených v jednotlivých letech přepočítávají tak, aby vyjadřovali reálné hodnoty odpovídající cenám z roku, k jehož konci rezervu hledáme. 140

Matematika neživotního pojištění Existuje i řada dalších metod k určení odhadu rezervy na pojistná plnění. Některé spočívají v modifikaci popsané metody, kdy se jedná o alternativní stanovení odhadů koeficientů pojistného plnění. Další možností je například užití tzv. separačních metod, které jsou založeny na oddělení stabilních faktorů určujících výši pojistných plnění od nestabilních faktorů (kam patří např. mimo jiné také inflace) a konstrukci jejich odhadů (Cipra, 2006). Příklad 15.2.1 Metodou Chain-Ladder určíme celkovou výši rezervy na pojistná plnění ke konci roku 2005 se zohledněním inflace, jestliže jsou k dispozici data uvedená v tabulkách 15.2.1 a 15.2.2. Tabulka 15.2.1 Kumulativní vývojový trojúhelník Rok pojistné události 2001 2002 2003 2004 2005

Celkové pojistné plnění vyplacené během období od roku vzniku pojistné události po daný počet let uplynulých od roku pojistné události (v tisících Kč) 0 1 2 3 4 1 593 2 831 4 464 4 890 5 035 1 804 3 158 5 010 5 576 2 013 3 623 5 762 2 433 4 264 2 394

Tabulka 15.2.2 Míry inflace Rok Míra inflace

2002 4,9 %

2003 6,2 %

2004 7,1 %

2005 5,2 %

Řešení První krok spočívá v převedení kumulativního vývojového trojúhelníku na nekumulativní, abychom oddělili platby uskutečněné v různých letech. Podle vztahů uvedených v tabulce 15.1.2 dostáváme odpovídající nekumulativní vývojový trojúhelník, viz tabulka 15.2.3. Tabulka 15.2.3 Nekumulativní vývojový trojúhelník Rok pojistné události 2001 2002 2003 2004 2005

0 1593 1804 2013 2433 2394

Pojistné plnění vyplacené v jednotlivých letech uplynulých od roku pojistné události (v tisících Kč) 1 2 3 1238 1633 426 1354 1852 566 1610 2139 1831

4 145

Dále určíme roční výše pojistného plnění v cenách z roku 2005. Například pojistné plnění za škody vzniklé v roce 2002 vyplacené v roce 2003 bude mít v cenách z roku 2005 reálnou hodnotu 1 354  (1  0,071 )  (1  0,052 )  1 526 .

Výsledky jsou uvedeny v tabulce 15.2.4.

141

Matematika neživotního pojištění Tabulka 15.2.4 Nekumulativní vývojový trojúhelník se zohledněnou inflací Rok pojistné události 2001 2002 2003 2004 2005

0 1999 2159 2268 2560 2394

Pojistné plnění vyplacené v jednotlivých letech uplynulých od roku pojistné události (v tisících Kč) 1 2 3 1481 1840 448 1526 1948 566 1694 2139 1831

Nekumulativní vývojový trojúhelník na kumulativní, viz tabulka 15.2.5.

pomocí

vztahů

v tabulce

15.1.2

4 145

převedeme

Tabulka 15.2.5 Kumulativní vývojový trojúhelník se zohledněnou inflací Rok pojistné události 2001 2002 2003 2004 2005

Celkové pojistné plnění vyplacené během období od roku vzniku pojistné události po daný počet let uplynulých od roku pojistné události (v tisících Kč) 0 1 2 3 4 1999 3481 5321 5769 5914 2159 3684 5632 6198 2268 3962 6101 2560 4391 2394

Odhady koeficientů vývoje pojistného plnění určíme dosazením do (15.2.2). Máme c0  c1  c2  c3 

3 481  3 684  3 962  4 391 1 999  2 159  2 268  2 560 5 321  5 632  6 101 3 481  3 684  3 962 5 769  6 198 5 321  5 632 5 914 5 769

 1,727 ,

 1,533 ,

 1,093 ,

 1,025 .

Pomocí těchto koeficientů a s využitím (15.2.3) doplníme tabulku 15.2.5. Je například s 5 , 4  s 5 , 0 c 0 c1 c 2 c 3  2 394  1,727  1,533  1,093  1,025  7 097 .

Získáme trojúhelník doplněný na čtverec – tabulka 15.2.6. Tabulka 15.2.6 Doplněný kumulativní vývojový trojúhelník Rok pojistné události 2001 2002 2003 2004 2005

Celkové pojistné plnění vyplacené a odhadnuté během období od roku vzniku pojistné události po daný počet let uplynulých od roku pojistné události (v tisících Kč) 0 1 2 3 4 1999 3481 5321 5769 5914 2159 3684 5632 6198 6354 2268 3962 6101 6666 6833 2560 4391 6729 7352 7537 2394 4134 6336 6923 7097

142

Matematika neživotního pojištění Konečně dosazením do (15.2.4) dostaneme odhad celkové výše pojistné rezervy ke konci roku 2005: r2005  ( 6 354  6 198 )  ( 6 833  6 101 )  ( 7 537  4 391 )  ( 7 097  2 394 )  8 738 ,083 .

Jestliže tedy v našem příkladu předpokládáme, že škody nemohou být hlášeny a zlikvidovány se zpožděním větším než 4 roky, bude celková výše rezervy na pojistná plnění ke konci roku 2005 představovat 8 738 083 Kč. Pokud bychom inflaci neuvažovali, vyšla by tato rezerva ve výši 9 624 019 Kč.

143

Glosář

Glosář V následujícím textu jsou abecedně řazeny základní pojmy z pojišťovnictví, jejichž podrobnější vysvětlení a vzájemné vazby jsou popsány v této studijní opoře. All risk pojištění je pojištění proti všem nebezpečím, všem rizikům. Druh pojištění zaměřený na pojištění všech rizik, kdy je pojištěním kryta každá událost, pokud není uvedena ve výlukách z pojištění. Jedná se o moderní typ pojištění majetku, přerušení provozu, stavebně montážní pojištění. Asistence je komplexní zabezpečení potřeb klienta pojistitelem při jeho cestách mimo trvalé bydliště, zejména do zahraničí. Do služeb asistence patří např. odvoz do hotelu po nehodě, obstarání opravy poškozeného vozidla, zabezpečení zvláštní péče ve zdravotnickém zařízení a další služby podobného charakteru. Bonus je zvýhodnění pojištěného za bezeškodní průběh pojištění, nejčastěji formou slevy na pojistném na další pojistné období. Opakem bonusu je malus. Bonifikace je sleva na pojistném za splnění zadaných podmínek formou vrácení části zaplaceného pojistného. Bezeškodní průběh je takový průběh pojištění, ve kterém nenastala pojistná událost. Pojištěný bývá zvýhodněn slevou na pojistném v dalším pojistném období – viz „bonus“. Broker je zprostředkovatel nebo též technický makléř. Makléř, který provádí pro pojišťovnu veškeré technické záležitosti uzavíraného pojištění, tedy od zprostředkování, přes vytištění pojistek a provedení inkasa pojistného až po likvidaci škod. Jeho úlohou je na základě plné moci poskytovat svému klientovi všestranné poradenské služby v oblasti pojištění a risk managementu. Časová cena je cena, kterou měla věc bezprostředně před pojistnou událostí, tedy v okamžiku vzniku škody. Určuje se tak, že se od ceny nové věci téhož druhu a téže jakosti (popř. ceny věci s ní srovnatelné), která platila v době pojistné události, odečte částka odpovídající stupni opotřebení nebo jinému znehodnocení věci před pojistnou událostí. ČAP je Česká asociace pojišťoven. Sdružení na podporu vzájemné pomoci, spolupráce a zabezpečení zájmu klientů, pojišťoven a zajišťoven a podporu vzájemné spolupráce. Časová hodnota je nová cena věci snížená o částku odpovídající stupni opotřebení nebo jiného znehodnocení, tzn. cena, kterou měla věc bezprostředně před pojistnou událostí.

144

Glosář Denní odškodné je náhradou za utrpěný úraz, je pevně stanovena konkrétní částkou za jeden den pracovní neschopnosti při léčení úrazu. Dlužné pojistné jsou nezaplacené částky běžného pojistného za pojistná období, u nichž již nastala splatnost. Doba trvání pojištění, pojistná doba je doba, na kterou bylo pojištění sjednáno, tj. od dohodnutého počátku pojištění do data sjednaného konce pojištění. Pojištění může být sjednáno také na dobu neurčitou. Dožití je pojistná událost, ke které dojde, dožije-li se pojištěný dne uvedeného ve smlouvě jako konec pojištění. Důchod je druh pojistného plnění z životního pojištění ve formě:    

důchodu základního - je vyplácen od sjednaného termínu doživotně, důchodu dočasného - je vyplácen na základě dané skutečnosti, např. v případě plné invalidity, důchodu pro pozůstalé, důchodu za závažné onemocnění.

Důchodové pojištění je životní pojištění s dohodnutou výplatou důchodu. Zajišťuje pojištěnému podle druhu uzavřené pojistné smlouvy doživotní příjem v důchodovém věku, výplatu důchodu v případě plné invalidity, příjem pozůstalým po smrti pojištěného apod. Povinné důchodové pojištění - je státem organizované pojištění zaměstnanců pro případ invalidity a stáří. Je součástí sociálního zabezpečení. EGAP Exportní garanční a pojišťovací společnost, a.s. (EGAP) je specializovaná státní úvěrová pojišťovna. Jako součást státní podpory exportu poskytuje vývozcům a bankám financujícím vývoz ochranu před rizikem nezaplacení z komerčních i teritoriálních důvodů. Franšíza je dohodnutá peněžní částka, kterou se pojištěný podílí na pojistné události. Stanoví se pevnou částkou, procentem, anebo jejich kombinací. Inkasní intervence je informace pro získatele, že pojistce hrozí storno pro neplacení a je nutno kontaktovat klienta a vyinkasovat pojistné, případně zajistit placení jiným způsobem. Viz také Neinkasní intervence Inkaso, inkasované pojistné znamená uhrazení (platbu) pojistného. Inkasované pojistné je pojistné skutečně zaplacené pojistníky, uhrazené v daném časovém období. Kasko (havarijní pojištění) je pojištění dopravního prostředku pro případ jeho poškození nebo zničení. 145

Glosář Karence je čekací doba, ve které nevzniká v životním pojištění právo na plnění v případě pojistné události. Kargo je pojištění přepravy zboží a věcí proti poškození nebo zničení během přepravy různými dopravními prostředky. Kmen pojistek (pojistný kmen) znamená obecně všechny pojistky spravované příslušnou agenturou, pobočkou, nebo celou pojišťovnou. Konec pojištění je okamžik, který je uveden v pojistné smlouvě a kterým je ukončena pojistná ochrana a uvedená pojistná smlouva v něm končí. Likvidace je soubor činností spojených s vyřizováním pojistné události. Počíná zahájením šetření nutným ke zjištění povinnosti pojišťovny plnit a rozsahu této povinnosti. Končí stanovením výše pojistného plnění konané v souvislosti s pojistnou událostí nebo škodní událostí. Jde zejména o zjištění okolností pro vznik práva na plnění pojistitele, ověření právního základu, určení rozsahu a výpočet plnění, související projednání, předání k výplatě, vyhotovení podkladů pro další zpracování z hlediska účetnictví, statistiky a ekonomických informací, posouzení a vypracování podkladů případných postihů a další související činnosti. Limity plnění v pojistné smlouvě mohou být sjednány limity pojistného plnění např. pro jednotlivé věci, soubory věcí, náklady, pojistná nebezpečí apod. Makléř je zprostředkovatel, který na základě plné moci či smlouvy hledá pro svého zákazníka optimální pojistnou ochranu. Malus je znevýhodněním pojištěného za vyšší škodní průběh formou přirážky na pojistném. Opakem malusu je bonus. Nadstandardní přirážka je pojem užívaný v životním pojištění při oceňování zdravotního stavu pojištěného a v úrazovém pojištění pro pojištění sjednané na pojistné částky nad stanovené limity. Vyskytuje se např. u životních pojištění, u kterých po objektivním zjištění zdravotního stavu pojištěného nelze přijmout za pojistné, které odpovídá průměrnému zdravotnímu stavu osob stejného pohlaví a věku, ale lze je přijmout za pojistné vyšší - nadstandardní pojistné. Nahodilost je základním rysem událostí, ze kterých může vznikat právo na pojistné plnění. Jejím předpokladem je, že událost nebyla pojištěným vyvolána úmyslně. Výplata pojistného plnění probíhá tehdy, pokud byla událost nahodilá.

146

Glosář Neinkasní intervence je informace pro získatele, že je v nově sjednané smlouvě chyba, případně, že je nutné doplnit ještě další informace. Někdy je využíváno i pro jiné zprávy pro získatele, které je třeba vyřídit. Nepravdivá nebo neúplná odpověď Pokud klient na písemný dotaz pojišťovny týkající se sjednávaného pojištění poskytne nepravdivou nebo neúplnou odpověď, hrozí mu ze strany pojišťovny odstoupení od smlouvy nebo snížení či úplné odmítnutí plnění. Nová hodnota je pořizovací cena nové věci. Odbytné je částka, kterou pojistitel vyplatí v případě, že pojistník písemně požádá o zrušení pojištění, které splňuje předepsané podmínky. Odmítnutí plnění pojišťovny je jednostranný úkon pojišťovny v případě, kdy zjistí po pojistné události, že její příčinou byla skutečnost, kterou nemohla při sjednávání pojištění zjistit, kvůli vědomě nepravdivé nebo neúplné odpovědi klienta. Odstoupení od pojistné smlouvy nastane, zjistí-li pojistitel vědomě nepravdivé a neúplné odpovědi, při jejichž znalosti v době uzavření pojistné smlouvy by konkrétní smlouvu neuzavřel. Omezení plnění pojišťovny je jednostranný úkon pojišťovny v případě, že k pojistné události došlo například pod vlivem alkoholu, drogy nebo omamného prostředku, nebo pokud při ní byl pojištěný uznán vinným trestným činem, nebo uvedl-li při sjednání smlouvy vědomě nepravdivé či neúplné odpovědi (případy, kdy je možné snížit pojistné plnění, jsou uvedeny v občanském zákoníku nebo v pojistných podmínkách dané smlouvy). Oprávněná osoba Oprávněnou osobou je osoba, které vzniklo právo na pojistné plnění. Oprávněnou osobou může být pojistník, pojištěný, popř. jiná osoba určená v pojistné smlouvě. U životního pojištění je to osoba, která má právo na plnění v případě smrti pojištěného a je určená v pojistné smlouvě. Oznámení pojistné události je důležitá povinnost toho, komu vzniklo právo na plnění z pojistné události. Pojistnou událost je nutné oznámit pojišťovně (zpravidla písemně na příslušném formuláři). Ve většině případů hlásí pojistnou událost pojištěný, v případě smrti pojištěného oprávněná osoba nebo dědic. Oznámení je potřeba učinit co nejdříve poté, co pojistná událost nastala, jinak se pojištěný vystavuje nebezpečí promlčení nároku (viz promlčení). Počátek pojištění označuje den, kterým obvykle vzniká povinnost pojistitele plnit z pojistné události.

147

Glosář Podíl na výnosech z rezerv pojistného je částka, která se každoročně připisuje k platným pojistným smlouvám životního pojištění podle zásad a ve výši stanovené pojistitelem. Podpojištění je pojištění, u kterého byla pojistná částka stanovena nižší, než která svou hodnotou odpovídá skutečnosti. Pokud je pojistná částka nižší než pojistná hodnota pojištěné věci nebo souboru věcí v době bezprostředně před pojistnou událostí, poskytne pojistitel pojistné plnění ve výši, která je ve stejném poměru ke škodě, jako je pojistná částka k této pojistné hodnotě (podpojištění). To neplatí u pojištění prvního rizika. Pokud je pojistná částka vyšší, než pojistná hodnota pojištěné věci nebo souboru věcí v době bezprostředně před pojistnou událostí, poskytne pojistitel pojistné plnění maximálně ve výši této pojistné hodnoty. Uplatňuje se u majetkových pojištění. Pojistitel je právnická osoba mající oprávnění k pojišťovací činnosti na území ČR. Její činnost, práva a povinnosti jsou upraveny zvláštními předpisy. Pojistka je písemné potvrzení o uzavření pojistné smlouvy, které pojistitel vydává osobě, se kterou uzavřel pojistnou smlouvu - s uvedením přiděleného čísla pojistné smlouvy a příslušné agentury správy pojištění (nemá povahu cenného papíru). Pojistná částka (pojistná hodnota) je smluvně dohodnutá finanční částka v pojistné smlouvě, která představuje:  

u pojištění majetku nejvyšší plnění pojišťovny, u pojištění osob přímé plnění v této hodnotě nebo se bere jako základ pro výpočet plnění v případě pojistné události při splnění ustanovení všeobecných pojistných podmínek a smluvních ujednání pojistné smlouvy.

Pojistná doba je časový úsek, který je uveden v pojistné smlouvě a po který je poskytována pojištěnému pojistná ochrana. Je to doba od počátku do konce pojištění. Pojistitel plní z pojistných událostí, které nastanou v průběhu pojistné doby. Pojistná matematika je samostatné odvětví aplikované matematiky, jehož předmětem je hodnocení nejistých nahodilých skutečností. Užívá teorie počtu pravděpodobnosti, zákona velkých čísel a výsledků statistických šetření. Je jedním ze základních nástrojů každé pojišťovny. Mezi její hlavní úkoly patří kalkulace sazeb pojistného a rizika pojištění, kalkulace rezerv nebo odbytného, výpočet podílu na zisku atd. Pojistná smlouva je smlouva uzavřená v písemné formě, kterou se zavazuje pojistitel poskytnout pojistné plnění, nastane-li nahodilá událost označená ve smlouvě, a druhá smluvní strana (pojistník) se zavazuje platit pojistné. Součástí pojistné smlouvy jsou všeobecné pojistné podmínky. Pojistná událost je nahodilá událost, která je v pojistné smlouvě blíže označena a je s ní spojena povinnost pojistitele plnit. V majetkových pojištěních se jedná zejména o: 148

Glosář    

poškození věci, zničení věci, odcizení věci, ztrátu věci nebo její části.

(Poznámka: základním prvkem pojistné události musí být nahodilost vzniku dané skutečnosti, např. zlomení hřídele, nikoliv „zákonitost“, např. koroze, opotřebení). V životním a úrazovém pojištění může být pojistnou událostí smrt, dožití se konce pojištění, resp. počátku výplaty důchodu, úraz, závažné onemocnění, plná invalidita. Pojistné je cena za poskytnutou pojistnou ochranu. Pojistné období je časový interval dohodnutý v pojistné smlouvě pro placení pojistného. Délka pojistného období je jedním z faktorů, na základě kterých jsou poskytovány slevy na pojistném (měsíc, čtvrtletí, pololetí, rok). Pojistné plnění (plnění pojišťovny) je nárok pojištěného vůči pojišťovně, který vznikl v důsledku pojistné události. Pojistné rezervy zabezpečují klientům krytí závazků pojišťovny v budoucnu splatných. Finanční prostředky rezerv se dělí na rezervy pro životní a neživotní pojištění. Pojistné riziko Jedná se o riziko, na které může komerční pojišťovna uzavřít pojistnou smlouvu na základě pojistných podmínek. Pojistník je fyzická nebo právnická osoba, která s pojistitelem uzavřela pojistnou smlouvu a v pojistné smlouvě se zavázala k placení pojistného. Pojistný kmen Soubor uzavřených pojistných smluv. Vztahují se k němu i práva a povinnosti, které z těchto pojistných smluv vyplývají a finanční prostředky ve výši technických rezerv přiměřených tomuto pojistnému kmenu. Pojištění (z hlediska práva) je právní akt na základě zákona nebo založený smlouvou. Základní právní úpravu pojištění jak fyzických, tak právnických osob určuje obecně občanský zákoník. Jedná se o vztah závazkový. Pojištění (z hlediska věcného obsahu) Forma organizovaného centralizovaného fondu z decentralizovaných zdrojů. Je zaměřeno na tvorbu rezerv a jejich používání k úhradě potřeb vznikajících v souvislosti s negativními důsledky nahodilosti. Jedná se o přesun rizika z pojišťovaného subjektu na pojistitele. Pojištěný je ten, na jehož majetek, život, zdraví nebo odpovědnost za škodu se pojištění vztahuje. 149

Glosář Pojišťovna je právnická osoba mající oprávnění k pojišťovací činnosti na území ČR. Její činnost, práva a povinnosti jsou upraveny zvláštními předpisy. Poškozený je ten, kdo utrpěl škodu, za kterou podle platných právních předpisů odpovídá jiný. Prolongace je obnova smluv. Je to prodloužení pojistné smlouvy po ukončení pojistné doby beze změny pojistné smlouvy. Obchodník má nárok na celou provizi. Platí pro majetkové pojištění. Promlčení práva na plnění z pojištění nastává tehdy, nebylo-li právo uplatněno ve lhůtě stanovené zákonem; promlčecí doba pro právo na plnění z pojištění je tři roky a začíná běžet jeden rok od data, kdy nastala pojistná událost, to znamená čtyři roky od pojistné události. Připojištění je rozšíření základního rozsahu pojištění o další rizika nebo místní platnost pojištění. Redukce pojištění znamená takovou změnu pojištění, při níž se v důsledku neplacení pojistného redukují nároky z pojištění bez dalšího placení pojistného. Rezervotvorné pojištění Pojištění, v jehož průběhu se vytváří prostředky, které budou pojištěnému vyplaceny v budoucnu. U životních pojištění se používá názvu „kapitálové pojištění“. Rizikové pojištění Pojištění, které je sjednáno pro případ určitého rizika, které však nemusí nastat. Zaplacené pojistné se nevrací. Sazba pojistného je platba za pojistnou ochranu, která je stanovena metodami pojistné matematiky v souladu s pojistně technickými zásadami. Sazbou označujeme souhrn konkrétních rizik v pojistné smlouvě; jednotlivé sazby jsou uvedeny v sazebníku. Smluvní ujednání je jednání mezi pojistitelem a pojistníkem, které konkretizuje a doplňuje všeobecné pojistné podmínky obsažené v návrhu na uzavření pojištění. Soupojištění je formou rozložení rizika, které je založeno na principu, že se více pojistitelů podílí na krytí jednoho rizika. Vzniká na základě smlouvy mezi pojištěným a více pojistiteli, z nichž jeden je pojistitelem hlavním. Každý z pojistitelů se podílí na pojistném riziku smluvně dohodnutým procentem. Smlouva o soupojištění se používá především u velkých rizik. Spoluúčast je smluvně dohodnutá částka určená procentuálně nebo pevnou částkou, kterou se pojištěný podílí na každé škodní události (v majetkovém pojištění). 150

Glosář Správa pojištění je soubor činností směřujících k udržení a aktualizaci stavu pojistných smluv. Storno Označuje zrušení či zánik pojistné smlouvy, příp. znamená také odúčtování příslušné provize (storno získatelské provize). Škodní průběh je procentuální vyjádření poměru mezi přijatým pojistným za určitou dobu a vyplaceným pojistným plněním za stejný časový interval. Škodní událost skutečnost, ze které vzniká škoda a která by mohla být důvodem vzniku pojistné události. Technická úroková míra (TÚM) Zaručený podíl na výnosech z finančního umístění v životním pojištění. Je garantována zákonem a její maximální výši určuje ČNB. Technické rezervy jsou daňově uznané volné peněžní prostředky určené k použití v budoucím účetním období, resp. v budoucích pojistných obdobích. Smyslem používání technických rezerv je zabezpečit, aby hospodářské výsledky daného účetního období nebyly zkreslovány náklady nebo výnosy věcně patřícími do jiného účetního období. Účastníci pojištění jsou zejména pojištěný, pojišťovna (pojistitel) a také ten, kdo pojistnou smlouvu sjednal (pojistník) Vícenásobné pojištění je situace, kdy je táž věc pojištěna pro stejný případ u více pojistitelů. Všeobecné pojistné podmínky (VPP) obsahují vymezení pojistné události, výluky z pojištění, rozsah a splatnost pojistného plnění, stanoví povinnosti pojištěného a pojednávají o důsledcích jejich neplnění. Dále vysvětlují některé základní pojmy (pojistná doba, pojistné období, počátek a konec pojištění, doba splatnosti, zánik pojištění atd.) i principy, podle kterých se budou pojištění podílet na případných přebytcích pojistného. VPP tvoří pojistitel, podléhají schválení státního dozoru nad pojišťovnictvím a jsou součástí pojistné smlouvy. Výpověď je jednostranný právní akt směřující k zániku pojistné smlouvy ze strany pojistníka nebo pojistitele. Zábrana škod je činnost směřující k předcházení škodám a jejich minimalizaci (v pojištění majetku). Zajištění Zjednodušeně řečeno se jedná o pojištění pojistitele. Rozvržení pojistných rizik na základě zajišťovacích smluv, které umožňují za úhradu (tzv. zajistné) přenést na zajistitele část převzatých rizik. 151

Glosář Základní práva a povinnosti pojistitele práva: právo na pojistné právo na snížení pojistného plnění právo na postih povinnosti:

poskytnout pojistné plnění v případě pojistné události poskytnout pojištěnému na požádání přiměřenou pojistnou zálohu na pojistné plnění

Základní práva a povinnosti pojištěného, případně toho, kdo pojistnou smlouvu uzavřel práva: právo na pojistné plnění v případě pojistné události případně právo na přiměřenou zálohu na pojistné plnění právo být seznámen s rozsahem a obsahem pojištění povinnosti:

platit pojistné ve sjednaných lhůtách pravdivě a úplně odpovědět na písemné dotazy pojistitele

v případě, že nastala pojistná událost, tuto skutečnost bez zbytečného odkladu písemně oznámit, dát pravdivé vysvětlení o jejím vzniku a rozsahu následků, předložit potřebné doklady, které si pojistitel vyžádá. Základní práva a povinnosti z pojištění jsou obsaženy v občanském zákoníku, práva a povinnosti vztahující se ke konkrétní pojistné smlouvě jsou obsaženy v příslušných všeobecných pojistných podmínkách a ve smluvních ujednáních, které rovněž tvoří součást pojistné smlouvy. Zákonný zástupce je osoba, která je na základě zákona nebo na základě rozhodnutí soudu oprávněna zastupovat osoby, které např. nejsou způsobilé k právním úkonům. Osoby, které nejsou způsobilé k právním úkonům, jsou nezletilci a osoby, jejichž způsobilost k právním úkonům byla omezena nebo které jí byly soudem zbaveny. Záloha na plnění je výplata části předpokládaného pojistného plnění před ukončením likvidace. Zamítnutí plnění je ukončení likvidace hlášené škody, u které nebylo prokázáno, že se jedná o pojistnou událost. Zprostředkovatel je fyzická nebo právnická osoba s bydlištěm nebo sídlem na území České republiky oprávněná v rámci své podnikatelské činnosti uzavírat s pojistiteli zprostředkovatelské smlouvy směřující k tomu, aby třetí osoby uzavřely s pojistitelem pojistnou smlouvu. Živelní událost pro účely pojištění je to zejména: požár, výbuch, blesk, vichřice, povodeň, záplava, krupobití, sesuv půdy, zřícení skal nebo zemin, pád stromů, stožárů a jiných předmětů, zemětřesení. V některých pojištěních nemusí být zahrnuta všechna tato rizika. Životní pojištění je pojištění pro případ smrti pojištěného, pro případ dožití pojištěného určitého věku nebo pro případ jiné pojistné události. 152

Glosář

Literatura Cipra, T.: Pojistná matematika: teorie a praxe. Ekopress, Praha 2006. ISBN 80-86929-11-6. Čejková, V., Nečas, S.: Pojistný trh. 1. vyd. Brno: MU Brno, 2005. 105 s. ISBN 80-2103661-3 Čejková, V., Martinovičová, D.: Pojišťovnictví. 1. vyd. Brno: MU Brno, 2004. ISBN 80210-3525-0 Daňhel, J. a kol.: Pojistná teorie, Professional publishing. Praha 2005, ISBN 80-86419-84-3 Ducháčková, E.: Principy pojištění a pojišťovnictví. Ekopress, Praha 2009. ISBN 978-8086929-51-4 Koschin, F.: Aktuárská demografie (úmrtnost a životní pojištění). VŠE, Praha 1997. ISBN 80-7079-112-8. Lemaire, J.: Bonus-Malus System in Automobile Insurance. Kluwer Academic Publishers, Boston/Dordrecht/London 1995. ISBN 978-0-7923-9545-4. Majtánová, A. a kol.: Pojišťovnictví. Teorie a praxe. Ekopress, Praha 2006. ISBN 80-8692919-1 Mandl, P., Mazurová, L.: Matematické základy neživotního pojištění. Matfyzpress, Praha 1999. ISBN 80-85863-42-1. Stolín, R.: Policyholder's Risk in Czech and Slovak Bonus-Malus Systems. In Quantitative Methods in Economics: Multiple Criteria Decision Making XVII., Bratislava: EKONÓM. 2014. s. 249-254. ISBN 978-80-225-3868-8.

Internetové zdroje Český statistický úřad [cit. 2014-12-30]. Dostupné z . Český statistický úřad [cit. 2014-12-30]. Dostupné z . Encyklopedický slovník pojmů z oblasti pojišťovnictví[online]. [cit. 2015-1-12]. Dostupný z http://www.cap.cz/odborna-verejnost/on-line-slovniky-a-encyklopedie/encyklopediepojmu/aplikace?start=30 Finančnívzdělávání.cz. Společný vzdělávací projekt finančních asociací a MFCR [online]. 2007 [cit. 2014-11-24]. Dostupné z: http://www.financnivzdelavani.cz/webmagazine/ Výroční zpráva ČNB [online]. 2014 [cit. 2015-1-12]. Dostupné z: https://www.cnb.cz/cs/o_cnb/hospodareni/vyrocni_zpravy/

153