Poèítaèová podpora øízení jakosti a analýzy dat

Úvod I. - IV.

Poèítaèová podpora øízení jakosti a analýzy dat Maro¹ Tunák KHT, budova E tel.: 3465 email: [email protected]

V. - X.

Cíl pøedmìtu Úvod

poèítaèová podpora øízení jakosti a analýzy dat garant pøedmìtu - Maro¹ Tunák pøedná¹ející - Maro¹ Tunák cvièící - Lenka Techniková pøedná¹ka, úterý 10:40-12:10, BPC2 cvièení

Po¾adavky na studenta 2p + 2c kredity - 6 zápoèet: vypracování semestrální práce zkou¹ka: písemná + ústní

I. - IV. V. - X.

Pøehled probírané látky

základy práce s Matlabem, nastavení pøístupových cest, práce s pracovním prostorem, základní naètení vektorù a matic, základní zpùsoby ukládání promìnných Matlab jako vìdecká kalkulaèka, základní built-in funkce, formáty promìnných, logické výrazy, pou¾ití nápovìdy základní datové struktury, rùzné mo¾nosti exportu a importu dat, základy programování v Matlabu, M -soubory, skripty základní pøíkazy pro gra ku, 2D a 3D grafy statistický toolbox v Matlabu, prùzkumová analýza dat, popisné statistiky, vizualizace dat, pravdìpodobnostní rozdìlení, testování hypotéz a intervaly spolehlivosti regresni modely, interaktivní analýza v Matlabu s vyu¾itím GUI statistické øízení kvality, metody pro SPC, tvorba regulaèních diagramù, výpoèet indexù zpùsobilosti plánování experimentù mnohorozmìrné statistické metody, metoda hlavních komponent, faktorová analýza, shluková analýza QC Expert, interaktivní analýza dat, speciální metody pro øízení jakosti a SPC QC Expert, statistické pøejímky srovnáváním a mìøením QC Expert, Regulaèní diagramy (CUSUM, EWMA, Hotteling), standardní Shewhartovy diagramy, Paretovy diagramy statistický jazyk R, prostorová statistika jazyk R a klasi kace dat, klasi kaèní a regresní stromy

Úvod I. - IV. V. - X.

Literatura Úvod I. - IV.

Doporuèená Martinez W.L., Martinez A.R., Exploratory Data Analysis with Matlab, Chapman and Hall/CRC, 2005 Militký J., Matlab a analýza dat, elektronický text, Liberec, 2004 QC-Expert 2.7 - manuál Kupka K., Statistické øízení jakosti, TriloByte, ISBN: 80-238-1818-X Crawley, M. J., The R Book, John Wiley and Sons, 2007

Odkazy http://blade1.tul.cz

V. - X.

Co je to MATLAB? Úvod I. - IV.

MATtrix LABoratory - maticovì orientovaný software, výkonné interaktivní prostøedí pro: vìdeckotechnické výpoèty modelování návrhy algoritmù analýza a prezentace dat mìøení a zpracování signálù vìdecká a in¾enýrská gra ka tvorba aplikací (GUI) toolboxy - speci cky zamìøené nadstavby ...

V. - X.

Základní práce s prostøedím Úvod I. - IV.

Menu Command Window - pøíkazové okno, zadávání pøíkazù, odpovìï Current Directory - aktuální adresáø Workspace - správa promìnných, seznam promìnných Command History - historie pøíkazù, poslední pøíkazy Vyhledávací cesta - nalezení M-souborù, kroky kontrola promìnných kontrola vestavìných funkcí kontrola aktuálního adresáøe kontrola vyhledávacích cest File - Set Path, path

V. - X.

Aritmetické operátory Úvod I. - IV. V. - X.

Operátor Operace + * /

sèítání odèítaní násobení dìlení ∧ umocnìní ' transpozice

Promìnné Úvod I. - IV. V. - X.

pokud název promìnné chybí, vytvoøí se automaticky promìnná ans (answer) názvy promìnných a funkcí musí zaèínat písmenem rozli¹ují se velká a malá písmena støedník na konci øádku ; - potlaèení výpisu

Promìnné Úvod I. - IV. V. - X.

Pøíkaz Popis namelengthmax who whos clear nazevpromenne clear all clc

maximální délka názvu promìnné výpis, seznam promìnných detailnej¹í výpis vymazání promìnné vyma¾e v¹echny promìnné vyèi¹tìní pøíkazového okna

Ukonèení práce a ulo¾ení pracovního prostoru


Pøíkaz Popis exit ukonèení práce s MATLABem sma¾ou se v¹echny promìnné save nazevsouboru ulo¾ení obsahu pracovního prostoru File - Save Workspace as pøípona souboru .mat dir výpis aktuálního adresáøe what výpis souborù *.mat, *.m cd aktuální adresáø load nazevsouboru naètení ulo¾eného pracovního prostoru File - Open

Help Úvod I. - IV. V. - X.

Pøíkaz Popis help seznam adresáøù, které obsahují soubory související s MATLABem help nazevfunkce podrobné informace o funkcích lookfor vyhledávaní klíèových slov v nápovìde which nazevfunkce cesta kde je ulo¾ená funkce helpbrowser samostatné okno nápovìdy Help - Product Help, ikona ? Contents, Index, Search Results, Demos on-line verze, *.pdf

Vytváøìní vektorù a matic Úvod I. - IV. V. - X.

Pøíkaz Popis 1x1 matice øádu jedna - skalár mx1 vektor sloupcový 1xn vektor øádkový vektory - matice s jedním rozmìrem rovným jedné [ ] vytváøení matic ; oddìlovaè øádkù , oddìlovaè sloupcù

Vytváøìní vektorù a matic Úvod I. - IV. V. - X.

Pøíkaz Popis od:krok:do od:do od:-krok:do linspace(od,do,n) size(promenna) length(promenna)

vytváøení vektorù s lineární øadou vektor s lineární øadou (krok=1) reverze vektoru vektor s lineární øadou s n prvky velikost matice, vektoru délka vektoru

Indexace Úvod I. - IV. V. - X.

Na jednotlivé prvky v matici se mù¾em odkazovat pomocí jejich indexù v uzavøených kulatých závorkách Pøíkaz Popis M(i,j) i - index øádku j - index slupce indexem mù¾e být i vektor : pro v¹echny end do konce

Matice se speciálními hodnotami Úvod I. - IV. V. - X.

Pøíkaz Matice [] eye(r,c) zeros(r,c) ones(r,c) rand(r,c) randn(r,c)

prázdná jednotková obsahující nuly obsahující jednièky s prvky R(0,1) s prvky N(0,1)

Formátování èísel Úvod I. - IV. V. - X.

Pøíkaz pi format short format long format short e format long e format short g format long g format short eng format long eng

3.1416 3.141592653589793 3.1416e+000 3.141592653589793e+000 3.1416 3.14159265358979 3.1416e+000 3.14159265358979e+000

Maticové operace Úvod I. - IV.

Pøíkaz Popis

V. - X.

' transpozice matice + - sèítání a odèítaní matic matice stejné dimenze + - sèítání a odèítaní matice skalárem skalár pøièten nebo odeèten od v¹ech prvkù matice * násobení matic poèet sloupcù matice A = poèet øádkù matice B

Amxn ∗ Bnxp = Cmxp C (i , j ) =

n X k =1

A(i , k ) ∗ B (k , j )

Prvkové operace Úvod I. - IV. V. - X.

Pøíkaz Popis . operace provádìné na prvcích matic pøed operátor teèka .∧ prvkové mocniny .* prvkové násobení matice stejné dimenze souèin odpovídajících prvkù

Amxn . ∗ Bmxn = Cmxn C (i , j ) = A(i , j ). ∗ B (i , j )

Relaèní operace Úvod I. - IV. V. - X.

Pøíkaz Popis men¹í ne¾ vìt¹í ne¾ men¹í nebo rovno vìt¹í nebo rovno == rovno ∼= nerovno < > <= >=

Logické operace Úvod I. - IV. V. - X.

Pøíkaz Popis & | ∼

prvek po prvku AND prvek po prvku OR prvek po prvku NOT

Matematické funkce Úvod I. - IV.

Pøíkaz Popis sin cos tan asin acos atan exp log log10

sinus cosinus tangens arcussinus arcuscosinus arcustangens exponenciální funkce pøirozený logaritmus dekadický logaritmus

V. - X.

Matematické funkce Úvod I. - IV. V. - X.

Pøíkaz Popis abs sqrt round x oor ceil sign rem

absolutní hodnota druhá odmocnina zaokrouhlení k nejbli¾¹ímu celému èíslu zaokrouhlení na celé èíslo bli¾¹í nule zaokrouhlení na celé èíslo bli¾¹í k −∞ zaokrouhlení na celé èíslo bli¾¹í k ∞ funkce signum zbytek po celoèíselném dìlení

Manipulace s maticemi Úvod I. - IV. V. - X.

Pøíkaz Popis rot90 iplr ipud diag tril triu reshape

rotace horizontální pøeklopení vertikální pøeklopení hlavní diagonála dolní trojúhelníková matice horní trojúhelníková matice zmìna tvaru

Dvojrozmìrná gra ka Úvod I. - IV. V. - X.

Pøíkaz Popis plot(x) plot(x,y) plot(x,y,'p') title xlabel ylabel text grid

graf prvkù vektoru x vzhledem k indexu graf y jako funkce x graf y jako funkce x, parametry zobrazení nadpis grafu popis osy x popis osy y textový øetìzec zobrazení sítì

Dvojrozmìrná gra ka Úvod I. - IV.

Symbol : { -. Symbol r g b c m y k w

Typ èáry plná teèkovaná èárkovaná èerchovaná Barva èervená zelená modrá azurová purpurová ¾lutá èerná bílá

Symbol + o * . x s d ∧

v < >

p h

Znaèka plus krou¾ek hvìzdièka bod køí¾ek ètverec kosoètverec trojuhelník trojuhelník trojuhelník trojuhelník pentagram hexagram

V. - X.

Dvojrozmìrná gra ka Úvod I. - IV. V. - X.

Pøíkaz Popis gure clf close hold on hold o subplot(m,n,p)

vytvoøení gra ckého okna vyèi¹tìní aktuálního gra ckého okna zavøení gra ckého okna podr¾ení aktuálního grafu zru¹í podr¾ení aktuálního grafu vytvoøení nìkolika os vedle sebe

Trojrozmìrná gra ka Úvod I. - IV.

Pøíkaz Popis meshgrid plot3 contour3 mesh meshc meshz surf surfc sur

generuje souøadnice bodù èáry a body ve 3D vytváøí vrstevnice grafu 3D vytváøí sí» v prostoru kombinace funkcí mesh a contour vytváøí sí» v prostoru vèetnì nulové roviny vytvoøení plochy kombinace funkcí surf a contour vytvoøení plochy s osvìtlením

V. - X.

Trojrozmìrná gra ka Úvod I. - IV. V. - X.

Pøíkaz Popis colorbar colormap shading view

barevná stupnice u grafu barevná paleta vyhlazení hran de nování bodu pohledu na graf ve 3D

Øídící struktury Úvod

FOR - cyklus pro pøedem daný poèet opakování pøíkazu nebo skupiny pøíkazù Syntax for promìnná = vektor pøíkaz 1 pøíkaz 2 . . . pøíkaz n end

I. - IV. V. - X.

Øídící struktury Úvod

WHILE - cyklus pro opakované provedení pøíkazu nebo skupiny pøíkazù dokud není splnìna logická podmínka Syntax while logická podmínka pøíkaz 1 pøíkaz 2 . . . pøíkaz n end

I. - IV. V. - X.

Øídící struktury Úvod I. - IV. V. - X.

IF - pøíkaz pro vìtvení a rozhodování Syntax if podmínka 1 pøíkazy 1 elseif podmínka 2 pøíkazy 2 else pøíkazy 3 end

M-soubory Úvod I. - IV.

M-soubory, skripty - posloupnosti pøíkazù ulo¾ené v souborech soubory s pøíponou '*.m' obyèejné textové (ASCII) soubory mohou se odkazovat na jiné M-soubory lze vytvoøit libovolným textovým editorem edit - otevøení MATLAB editoru promìnné vytvoøené ve skriptu zùstávají v pracovním prostoru

V. - X.

M-soubory Úvod I. - IV.

M-soubory, funkce - posloupnosti pøíkazù ulo¾ené v souborech funkci mohou být pøedány vstupní parametry de nované promìnné jsou lokální funkce mù¾e pøedat výstupní parametry rozdíl oproti skriptu v první øádce function [vyst1, vyst2,...]=nazev(vst1, vst2, ...) % komentáøová øádka nápovìdy

V. - X.

Náhodná promìnná a její popis Úvod I. - IV.

Náhodná promìnná (velièina): je promìnná, která nabývá své hodnoty nahodile, v závislosti na výsledku pokusu. Podle oboru hodnot lze rozdìlit náhodné promìnné na diskrétní a spojité. Distribuèní funkce (Cumulative Distribution Function (CDF)): Jedním z prostøedkù pro popis náhodné velièiny je distribuèní funkce, která ka¾dému reálnému èíslu pøiøazuje pravdìpodobnost, ¾e náhodná velièina nabude hodnoty men¹í nebo rovné ne¾ toto èíslo

F (x ) = P (X

≤ x)

Vlastnosti distribuèní funkce: hodnoty distribuèní funkce le¾í mezi 0 a 1 0 ≤ F (x ) ≤ 1

V. - X.

Náhodná promìnná a její popis Úvod I. - IV.

distribuèní funkce je neklesající, tj. pro v¹echna

x

2

>x

1

F (x ) ≤ F (x ) 1

2

pro ka¾dou distribuèní funkci je

limx →−∞ F (x ) = 0 limx →∞ F (x ) = 1 je zprava spojitá platí

P (a ≤ X

< b) =

Zb a

f (x )dx = F (b) − F (a)

V. - X.

Náhodná promìnná a její popis náhodná promìnná X s distribuèní funkcí F (x ) je spojitá, existuje-li taková f (x ) ≥ 0, ¾e platí F (x ) =

Zx

f (t )dt

funkce f (t ) se nazývá hustota pravdìpodobnosti (Probability Density Function (PDF))

f (x ) = F 0 (x ) = dFdx(x ) Zb ≤) =

f (x )dx

a

Z∞ −∞

I. - IV. V. - X.

−∞

P (a ≤ X

Úvod

f (x )dx = 1

Náhodná promìnná a její popis Úvod I. - IV. V. - X.

Charakteristiky rozdìlení Úvod

Rozdìlení pravdìpodobnosti dává úplnou informaci o náhodném chování náhodné velièiny. Pøi vyhodnocování pokusù a sledování náhodných jevù v¹ak èasto vystaèíme se znalostí jen nìkterých zvlá¹tních charakteristik. Z nich nejdùle¾itìj¹í je hodnota, kolem které se kumulují hodnoty náhodné velièiny. Tuto hodnotu nazveme Støední hodnota (oèekávaná hodnota):

E (X ) =

Z∞ −∞

E(c)=c E(cX)=cE(X) E(X+Y)=E(X)+E(Y) E(XY)=E(X)E(Y)

xf (x )dx

I. - IV. V. - X.

Charakteristiky rozdìlení Úvod

Rozdìlení pravdìpodobnosti dává úplnou informaci o náhodném chování náhodné velièiny. Pøi vyhodnocování pokusù a sledování náhodných jevù v¹ak èasto vystaèíme se znalostí jen nìkterých zvlá¹tních charakteristik. Z nich nejdùle¾itìj¹í je hodnota, kolem které se kumulují hodnoty náhodné velièiny. Tuto hodnotu nazveme Støední hodnota (oèekávaná hodnota):

E (X ) =

Z∞ −∞

E(c)=c E(cX)=cE(X) E(X+Y)=E(X)+E(Y) E(XY)=E(X)E(Y)

xf (x )dx

I. - IV. V. - X.

Charakteristiky rozdìlení Úvod I. - IV.

Støední kvadratická odchylka náhodné velièiny od její støední hodnoty charakterizuje rozptýlení hodnot náhodné velièiny kolem její støední hodnoty. Tuto hodnotu nazveme Rozptyl:

var (X ) = E (X − E (X ))

2

var (X ) ≥ 0 var (X ) = E (X ) − (E (X )) var (c ) = 0 var (cX ) = c var (X ) var (X + Y ) = var (X ) + var (Y ) p smìrodatná odchylka (var (X )) 2

2

2

V. - X.

Rovnomìrné rozdìlení R (0, 1) Úvod

Hustota pravdìpodobnosti

f (x ) =

I. - IV.

1 0

x ∈ (0, 1) jinak

V. - X.

Rovnomìrné rozdìlení R (0, 1) Úvod

Distribuèní funkce

I. - IV.

x ≤0 x 0<x <1 1 x ≥1

  0

F (x ) = 

V. - X.

Rovnomìrné rozdìlení R (0, 1) Úvod I. - IV.

Støední hodnota

V. - X.

E (X ) =

1

Z

xf (x )dx =

1

Z

0

x = 1 = 2 2 2

x 1dx

0

1

0

Rozptyl

var (X ) = E (X E (X

2

1

Z

2

) − (E (X ))

x f (x )dx = x3 3

2

)= 0

var (X ) = 13 − 12

2

=

2

1

= 0

1 12

1 3

Rovnomìrné rozdìlení R (a, b) Úvod I. - IV.

velièina

Y

a
X

∼ R (a , b )

V. - X.

Y

∼ R (0, 1)

= (b − a)X + a

vìta o transformaci náhodných velièin Pøíklad:

Y

∼ (10, 15)

Y

= (15 − 10)X + 10 = 5X + 10

Rovnomìrné rozdìlení R (a, b) Úvod


I. - IV.

1

 

f (x ) =  (b − a) 0

x ∈ (a , b ) pro x 6∈ (a, b ) pro

V. - X.

Rovnomìrné rozdìlení R (a, b) Úvod


I. - IV.

   0 −a F (x ) =  xb − a 

1

x ≤a pro a < x < b pro x ≥ b pro

V. - X.

Rovnomìrné rozdìlení R (a, b) Úvod I. - IV. V. - X.

Støední hodnota

E (X ) =

Z b a

b x b −1 a dx = 2(bx− a) = 2(bb− a) − 2(ba− a) a 2

2

Rozptyl

a) var (X ) = (b − 12

2

2

=

a+b 2

Normální rozdìlení N (µ, σ 2 ) Úvod

nejznámìj¹í model rozdìlení náhodné spojité velièiny pou¾ívaný dennì v technické praxi. Pøi opakovaném mìøení té¾e velièiny za stejných podmínek zpùsobují náhodné velièiny nekontrolovatelné vlivy odchylky od skuteèné mìøené velièiny. Tyto náhodné odchylky se øídí obvykle zákonem normálního rozdìlení 1

Hustota pravdìpodobnosti −(x − µ) e 2σ

2

f (x ) = √ 1 2πσ

2

2

E (X ) = µ var (X ) = σ s parametry µ ∈ R a σ ∈ (0, ∞) 2

1

Meloun, 1998

2

I. - IV. V. - X.

Normální rozdìlení N (µ, σ 2 ) Úvod I. - IV. V. - X.


Distribuèní funkce nelze zapsat ¾ádnou explicitní formulí a funkèní hodnotu lze jen pøibli¾nì odhadnout numerickou integrací

F (x ) =

Z x −∞

(x − µ) 2σ dx 2

1 √ 2πσ

2

e

−

2


Normální rozdìlení N (µ, σ 2 ) Úvod I. - IV.

Pøedpokládáme, ¾e máme náhodný výbìr xi kde i = 1, 2, ..., n a xi jsou stejnì rozdìlené (normálnì) a vzájemnì nezávislé. Odhad støední hodnoty (výbìrový prùmìr) µ b=x =

n

1X

n

i =1

xi

Odhad rozptylu (výbìrový rozptyl) c=s = σ 2

2

1

n−1

n X (xi − x )

2

i =1

V. - X.


Jestli¾e X ∼ N (µ, σ ) potom pou¾itím lineární transformace (normováním) U = x − µ ∼ N (0, 1) 2

σ

získáme normované normální rozdìlení, které má parametry µ=0

σ =1 2

normované normální rozdìlení je souèástí øady statistických tabulek

Exponenciální rozdìlení Exp (θ) Úvod I. - IV. V. - X.

Je jednostrannì ohranièené zdola. Vyu¾ívá se ho k popisu øady reálných dìjù. Exponenciální rozdìlení má uplynulý èas, resp. obsazený prostor pøed tím, ne¾ nastal náhodný jev. Je typické pro ¾ivotnost souèástí strojù, doby do bezporuchové èinnosti, atd.

Jednoparametrové exp. rozdìlení Exp (θ) Úvod I. - IV.


V. - X.

  1 −x f (x ) =  θ e θ

0

E (X ) = θ var (X ) = θ Distribuèní funkce  

F (x ) =  1 − e 0

−x θ

pro x > 0 jinak 2

pro x > 0 jinak

Jednoparametrové exp. rozdìlení Exp (θ) Úvod I. - IV. V. - X.

Dvouparametrové exp. rozdìlení

Exp(θ, µ)


Popisuje statistické chování náhodného výbìru, který mù¾e nabývat hodnot x ≥ µ , tj. je zdola ohranièené. Hustota pravdìpodobnosti

f (x ) =

1 θ

−x − µ θ e

E (X ) = θ + µ var (X ) = θ 2

Weibullovo rozdìlení Úvod I. - IV.

Zobecnìním exponenciálního rozdìlení je náhodná velièina s Weibullova rozdìlení. Hustota pravdìpodobnosti

f (x ) =

(

ba−b x b− e −( xa ) 1

0

b

pro x > 0 jinak


F (x ) = s parametry a, b > 0.

(

1 − e −( a ) 0

x b

pro x > 0 jinak

V. - X.

Weibullovo rozdìlení Úvod I. - IV. V. - X.

Statistics Toolbox Dvì kategorie nástrojù: Statistické M-soubory GUI (Graphical User Interface) pro interaktivní pou¾ití funkcí

Témata

uspoøádání dat popisná statistika vizualizace dat pravdìpodobnostní rozdìlení testování hypotéz lineární modely nelineární modely mnohorozmìrná statistika statistické øízení jakosti (SPC) plánování experimentù (DOE)


Statistics Toolbox Úvod I. - IV. V. - X.

Uspoøádání dat Struktury 2D numerical array (matrices) multidimensional array cell and structure arrays categorical array dataset arrays


Popisná statistika Základní statistické charakteristiky a grafy míry polohy míry variability data s chybìjícími hodnotami gra cký popis

Statistics Toolbox Úvod I. - IV.

Charakteristiky polohy

V. - X.

Pøíkaz Popis geomean harmmean mean median mode trimmean

geometrický prùmìr harmonický prùmìr aritmetický prùmìr medián modus uøezaný prùmìr

Nejpou¾ívanìj¹í - aritmetický prùmìr (nerobustný odhad) Robustní odhady - medián, uøezaný prùmìr


Charakteristiky variability Pøíkaz Popis iqr mad range std var

interkvartilové rozpìtí prùmìrná absolutní odchylka rozpìtí smìrodatná odchylka rozptyl


Data s chybìjícími hodnotami Pøíkaz Popis nanmax nanmean nanmedian nanmin nanstd nansum

maximum ignorující NaN aritmetický prùmìr ignorující NaN rozpìtí minimum ignorující NaN smìrodatná odchylka ignorující NaN suma ignorující NaN

V. - X.


Gra cký popis Pøíkaz Popis quantile prctile boxplot hist ksdensity ecdf

kvantily percentily krabicový graf histogram - odhad hustoty pravdìpodobnosti jádrový odhad hustoty pravdìpodobnosti empirická distribuèní funkce

Statistics Toolbox

Krabicový graf

Úvod

znázornìní robustního odhadu polohy - mediánu posouzení symetrie v okolí kvantilù, posouzení symetrie u koncù rozdìlení identi kace odlehlých dat boxplot obdélník o délce

IQR = q .

0 75

horní a dolní mez

LL = q . UL = q .

0 25

0 75

−q

.

0 25

− 1.5IQR

+ 1.5IQR

pro data pocházející z normálního rozdìlení platí

UL − LL ≈ 4.2 pøilehlé hodnoty - nejextrémnìj¹í hodnoty uvnitø mezí potenciální vyboèující hodnoty

I. - IV. V. - X.

Statistics Toolbox Krabicový graf



Vrubový krabicový graf

V. - X.

navíc posouzení variability mediánu robustní interval spolehlivosti mediánu ID ≤ M ≤ IH

ID = M − IH = M +

1.57IQR √

n

1.57IQR √

n

Pro svoji jednoduchost a pøehlednost se u¾ívají krabicové grafy pøedev¹ím k porovnání nìkolika výbìrù. Indikují dobøe symetrii rozdìlení a podezøelá mìøení.

Statistics Toolbox Vrubový krabicový graf


Statistics Toolbox Úvod

Histogram

I. - IV. V. - X.

Jeden z nejstar¹ích klasických odhadù hustoty pravdìpodobnosti. Jde o obrys sloupcového grafu, kde na ose x jsou jednotlivé tøídy, de nující ¹íøky sloupcù a vý¹ky sloupcù odpovídají empirickým hustotám pravdìpodobnosti. obor hodnot náhodné velièiny rozdìlíme do tzv. tøídních intervalù pøedpokládáme ¹íøku tøídy konstantní

zjistíme poèet hodnot ni z daného výbìru v i -tém tøídním intervalu n X i =1

ni = n → celkový poèet hodnot výbìru

toto zji¹tìní provedeme pro ka¾dý interval hist


Histogram

I. - IV. V. - X.

i -tý tøídní interval vezmeme za základnu obdélníku o vý¹ce ni n∗h kde h je ¹íøka tøídního intervalu a n je celkový poèet pozorování graf sestrojení se nazývá histogram a má vlastnosti hustoty suma ploch obdélníkù = 1 n X i =1

n ni ∗ 6 h = 1 X 6n n6h n i = ni = 6 n

=1

1

pro pøibli¾nì symetrická rozdìlení výbìru, lze poèítat poèet tøíd podle √ L = int (2 n)

L

Statistics Toolbox Histogram


Statistics Toolbox Jádrový odhad hustoty pravdìpodobnosti

Úvod I. - IV.

jádrový odhad hustoty pravdìpodobnosti je dán n 1 X fˆ(x ) = nh K x −h Xi i=

1

K (t ) - jádro (kernel) R K (t )dt = 1 - vlastnosti hustoty pravdìpodobnosti jestli¾e de nujeme Kh (t ) = K (t /h)/h, pak pro jádrový odhad mù¾eme psát

n X fˆ(x ) = n1 Kh (x − Xi ) i= 1

jádro je symetrická hustota pravdìpodobnosti, èasto se pou¾ívá hustota standardního normálního rozdìlení odhad hustoty je získaný umístìním vá¾ené jádrové funkce, centrované v ka¾dém bodì a vypoètením prùmìru

V. - X.


Jádrový odhad hustoty pravdìpodobnosti - algoritmus volba jádra, h - ¹íøka pásu (stupeò vyhlazení), obor hodnot (hodnoty x ) pro které bude vyèíslena fˆ(x ) pro v¹echna Xi , vyèíslit jádro pro v¹echna

Ki = K x −h Xi

i = 1, ..., n

x

n køivek, jedna pro ka¾dý bod Xi ka¾dé køivce pøiradit váhu 1/n pro ka¾dé x , vypoèíst pùmìr váhových køivek výsledkem je sada

ksdensity

I. - IV. V. - X.




Jádrový odhad hustoty pravdìpodobnosti

I. - IV.

h - (¹íøka pásu, ¹íøka okna, stupeò vyhlazení) nízka hodnota h - hrubá, èlenitá køivka vysoká hodnota h - hladká krivka pro slo¾itìj¹í prùbehy hustot je vhodné konstruovat jádrové odhady hustoty s rùzným stupnìm vyhlazení pro výbìry velikosti n z pribli¾nì normálního rozdìlení se známým rozptylem σ je optimální ¹íøka pásu 2

hopt ≈ 1.06σn− 5 1

jádro - hustota standarndního normálního rozdìlení

Kt = √1 exp 2π

−t

2

2

V. - X.




Teoretická distribuèní funkce F (x ) = P X

I. - IV.

≤x =

Z x −∞

f (t )dt

vyjadøuje pravdìpodobnost, ¾e náhodná funkce nabude hodnoty men¹í nebo rovné x .

Empirická distribuèní funkce n X Fn (x ) = n1 I(−∞,x ) xi i= 1

kde

IA (x ) =

je charakteristická funkce mno¾iny patøí do A.

1 0

pro pro

x ∈A x 6∈ A

A v mno¾inì x . Indikuje, které prvky x

V. - X.

Statistics Toolbox Empirická distribuèní funkce

Úvod I. - IV.

Nebo:

V. - X.

Fn (x ) je de nována jako poèet dat men¹ích nebo rovných x (]Xi ≤ x ) dìleno poètem dat.

   0

F n (x ) =  

i n

1

x < X( ) pro Xi ≤ x ≤ X(i + ) pro x ≥ X(n) pro

1

1

kde Xi jsou poøádkové statistiky (tøídìné data od nejmen¹ího po nejvìt¹í) Poznámka:

pokud jsou v¹echny hodnoty X , ..., Xn od sebe rùzné, pak v ka¾dém 1 z nich má Fn (x ) skok velikosti 1

n

pokud se Xi v souboru hodnot X , ..., Xn vyskytují k -krát, pak Fn (x )

k má v bodì xi skok velikosti n

1

Statistics Toolbox Empirická distribuèní funkce


Statistics Toolbox Grafy rozdìlení


vizuální porovnání rozdìlení dvou výbìrù porovnání známého teoretického rozdìlení a výbìru porovnání posunutí, nebo pøedpokladù o rozdìlení (normalita) nìkolik verzí kvantilových grafù pravdìpodobnostní grafy (probability plots) - porovnání kvantilù výbìru s kvantily se známého teoretického rozdìlení, napø. normalního, exponenciálního atd. kvantil-kvanitlové grafy (quantile-quantile plots, Q-Q plots) urèení jestli dva náhodné výbìry pocházejí ze stejného rozdìlení, porovnání náhodného výbìru s teroetickým rozdìlením vygenerováním výbìru z teoretického jako druhý výbìr kvantilové grafy (quantile plots) - informace o výbìrových kvanitlech

Statistics Toolbox Probability plots

Úvod I. - IV.

teoretické kvantily vyneseny proti setøídìným datùm, tj. výbìrové kvantily vizuální posouzení jestli data pocházejí s teoretického rozdìlení jestli¾e je výbìrové rozdìlení podobná teoretickému - pøibli¾nì lineární závislost

horizontální osa - xi - poøádkové statistiky vertikální osa - F − ((i − 0.5)/n) - inverzní kumulativní distribuèní funkce pro hypotetické rozdìlení 1

normplot - posouzení jestli výbìrové data pocházejí s rozdìlení normálního (normal probability plot) weibplot - posouzení jestli výbìrové data pocházejí s rozdìlení Weibullova probplot - posouzení jestli výbìrové data pocházejí s rozdìlení po¾adovaného teoretického

V. - X.

Statistics Toolbox Normal probability plot


Statistics Toolbox Normal probability plot


Statistics Toolbox Weibull probability plot



Q-Q plot

I. - IV. V. - X.

vizuální posouzení dvou rozdìlení vynesením kvantilù proti sobì jedno nebo obì rozdìlení mù¾ou být empirické nebo teoretické poøádkové statistiky - x(i ) = x( ) ≤ x( ) ≤ ... ≤ x(n) poøádkové statistiky - y(i ) = y( ) ≤ y( ) ≤ ... ≤ y(m) stejný poèet dat

1

2

1

2

m=n

vynesení poøádkových statistik proti sobì plot

m
1

2

qqplot referenèní pøímka mezi dolním a horním kvartilem

Statistics Toolbox Q-Q plot


Statistics Toolbox Q-Q plot



Q-Q plot výhoda - dva výbìry (nebo výbìr a teoretické rozdìlení) nemusí mít stejný parametr polohy nebo variability jestli¾e pocházejí ze stejného rozdìlení - oèekává se, ¾e budou mít lineární závislost


Probability distributions pdf - probability density function cdf - cumulative distribution function inv - inverse cumulative distribution function stat - distribution statistics function t - distribution tting function like - negative log-likelihood function rnd - random number generators

Normované normální rozdìlení N (0, 1) - normpdf, normcdf, norminv, normstat, norm t, normlike, normrnd pøibli¾ne 40 rozdìlení pravdìpodobnosti

I. - IV. V. - X.


Distribution GUIs GUI - Graphical User Interface interaktivní pøístup Distribution Function Tool - interaktivní sledování vlivu zmìn parametrù na tvar pdf a cdf rozdìlení pravdìpodobnosti - disttool Distribution Fitting Tool - u¾ivatelské rozhraní pro prokládání ( tování) jednorozmìrných dat - d ttool Random Number Generator Tool - generování náhodného výbìru z urèitého rozdìlení pravdìpodobnosti a zobrazení ve formì histogramu - randtool

V. - X.

Statistics Toolbox Testování hypotéz Statistická hypotéza - pøedpoklad o rozdìlení pravdìpodobnosti jedné nebo více náhodných velièin. Pøedpoklad se týká parametrù rozdìlení náhodné velièiny v základním souboru nebo se mù¾e vztahovat pouze k zákonu rozdìlení náhodné velièiny (k distribuèní funkci, kvantilové funkci nebo hustotì pravdìpodobnosti) Test statistické hypotézy - pravidlo, které na základì výsledkù zji¹tìných z náhodného výbìru objektivnì pøedepisuje rozhodnutí, má-li být ovìøovaná hypotéza zamítnuta nebo nikoliv. Pøi testování se rozli¹uje testovaná nulová hypotéza H a alternativní hypotéza HA . O nulové hypotéze má test rozhodnout, zda se zamítne èi nikoliv. Alternativní hypotéza je ta, kterou pøijímáme, zamítneme-li hypotézu nulovou. K testování nulové hypotézy se sestrojuje urèitá testovací statistika. Padne-li tato statistika do oboru pøijetí, nulová hypotéza se nezamítá. Padne-li v¹ak do kritického oboru, je nulová hypotéza zamítnuta. Pravdìpodobnost padnutí testové statistiky do kritického oboru se nazýva hladina významnosti α (0.05, 0.01). Kritický obor je mo¾no vymezit oboustranný nebo jednostranný. Oboustranný se vymezuje tehdy, neexistuje-li dùvod, proè by testovací statistika mìla mít buï jen kladné nebo záporné znaménko. Hladina významnosti α je pak rozlo¾ena na dvì stejné èásti o velikosti α/2. 0



Postup testování statistické hypotézy

I. - IV. V. - X.

1 2 3

4 5 6

formulace nulové hypotézy H a hypotézy alternativní HA podle povahy problému volba hladiny významnosti α volba testové statistiky, tj. funkce hodnot náhodného výbìru se známým rozdìlením pravdìpodobnosti v pøípadì platnosti i neplatnosti nulové hypotézy urèení kritického oboru testové charakteristiky na základì jejího rozdìlení pravdìpodobnosti a hladiny významnosti získání náhodného výbìru, výpoèet testové statistiky a jejich kvantilù, které tvoøí meze kritického oboru 0

rozhodnutí zda zamítnout hypotézu H a pøijmout HA , jestli¾e vypoètená hodnota testové statistiky padne do kritického oboru nezamítnout hypotézu H , jestli¾e vypoètená hodnota testové charakteristiky nepadne do kritického oboru 0

0


Jednovýbìrový t-test

I. - IV.

Budi¾ x , ..., xn výbìr z rozdìlení N (µ, σ ), kde známo. Testujeme nulovou hypotézu proti alternativì 2

1

H :µ=µ HA : µ 6= µ 0

Testová statistika: Hypotézu

T

=

n>1aσ

V. - X. 2

> 0 není

0

x −µ s

0

0

p

(n)

H zamítneme na hladinì významnosti α, jakmile platí 0

|T | ≥ tn− (1 − α/2) 1

Neplatí-li nerovnost, pak

H nezamítáme. 0


Jednovýbìrový t-test

V. - X.

Pøíklad: Pøi kontrole balícího automatu, který má plnit balíèky o váze 1 kg, byly pøi pøesném pøevá¾ení 5 balíèkù zji¹tìny tyto odchylky: −3, 2, −2, 0, −1. Je tøeba zjistit, zda automat nemá systematickou odchylku od po¾adované hodnoty. 2

Øe¹ení: Jednotlivé odchylky budeme pova¾ovat za realizace nezávislých náhodných velièin s rozdìlením N (µ, σ ), kde σ je neznámý parametr. Je tøeba testovat hypotézu H : µ = 0 (tj. ¾e odchylky kolísají kolem nuly a nejsou systematicky posunuty ani do kladných ani záporných hodnot). Máme: n = 5, µ = 0 .8 − 0 p T = −10.9235 (5) = −0.9300 2

2

0

0

Proto¾e 0.9300 ≥ t (0.975) = 2.7764 neplatí nerovnost, zji¹tìná data neodporují pøedpokladu, ¾e automat nemá systematickou odchylku (nezamítáme H ). 4

0

2

Andìl, J., Matematická statistika, SNTL Praha, 1985


Jednovýbìrový t-test Kritické obory testù hypotézy pro hladinu významnosti α

H

HA

0

µ=µ

0

ttest(x)

µ>µ µ<µ µ 6= µ

H

0

: µ = µ proti rùzným alternativám 0

testaèní charakteristika 0 0 0

T

p 0 (n ) = x −µ s

HA

kritický obor

T

≥ tn− (1 − α) < tn− (α) |T | ≥ tn− (1 − α/2)

T

1

1

1

Statistics Toolbox

Párový t-test

Úvod

Mìjme náhodný výbìr (y , z ), ..., (yn , zn ) z nìjakého dvojrozmìrného rozdìlení, jeho¾ vektor støedních hodnot je (µ , µ ). Chceme testovat nulovou hypotézu proti alternativì 1

1

1

H :µ HA : µ 0

1 1

2

−µ =∆ − µ 6= ∆ 2

2

kde ∆ je nìjaké dané èíslo. Polo¾íme x = y − z , ..., xn = yn − zn . Velièiny (x , ..., xn jsou nezávislé a pøedpokládáme, ¾e xi ∼ N (µ, σ ), i = 1, ..., n. Zøejmì µ = µ − µ . Jsou-li tyto pøedpoklady splnìny, jde vlastnì o test 1

1

1

2

1

1

2

H :µ=∆ HA : µ 6= ∆ 0

Tím je vlastnì úloha pøevedena na jednovýbìrový t-test. Nejprve z x , ..., xn vypoèteme x , s . Hypotézu H zamítneme na hladinì α, platí-li 2

0

1

|x − ∆| p

s

(n) ≥ tn− (1 − α/2) 1

I. - IV. V. - X.


Párový t-test Párový t-test se pou¾ívá v situacích, kdy máme na ka¾dém z n objektù mìøeny dvì velièiny. Jednotlivé objekty lze spravidla pokládat za nezávislé, ale mìøení na tém¾ objektu nikoli (napø. vlastnosti pøed úpravou materiálu a po úprave materiálu tìch¾e vzorkù - pokud se støední hodnota rozdílù významnì neli¹í od nuly znamená to, ¾e efekt zpracování materiálu není pro sledovanou vlastnost statisticky významný). ttest(x,y)


Párový t-test Pøíklad: Má se rozhodnout, zda se u osobního automobilu urèité znaèky pøi správném seøízení geometrie vozu sjí¾dìjí obì pøední pneumatiky stejnì rychle. Bylo proto vybráno 6 nových vozù a po urèité dobì bylo zji¹tìno, o kolik mm se sjely jejich pravé a levé pøední pneumatiky. 3

automobil pravá pneumatika sjetá o levá pneumatika sjetá o rozdíl

3

1

2

3

4

5

6

1.8 1.5 0.3

1.0 1.1 -0.1

2.2 2.0 0.2

0.9 1.1 -0.2

1.5 1.4 0.1

1.6 1.4 0.2



Párový t-test Øe¹ení: Rozdíly v ojetí pneumatik budeme pova¾ovat za realizace nezávislých náhodných velièin s rozdìlením N (µ, σ ), kde σ není známo. Pokud se obì pøední pneumatiky sjí¾dìjí stejnì rychle, platí hypotéza H : µ = 0. 2

2

0

|x − ∆| p 0.0833 p (n) = (6) = 1.0518 s 0.1941

Proto¾e 1.051 < t (0.975) = 2.5706, nelze na základì získaných dat zamítnout hypotézu, ¾e se obì pøední pneumatiky sjí¾dìjí stejnì rychle. (Rozsah výbìru byl v¹ak malý.) 5

Statistics Toolbox Dvouvýbìrový t-test

Úvod I. - IV.

Mìjme dva výbìry o rozsahu n a n z rozdìlení N (µ , σ ) a výbìrové prùmìry x , x , rozptyly σ a σ neznáme. Testujeme nulovou hypotézu proti alternativì 2

1

1

2

2

1

2

2

1

2

H :µ HA : µ 0

a) Je-li σ = σ (co¾ se ovìøí 2

2

1

2

T

= p

(n

1

Hypotézu

x

1 1

=µ 6= µ

1

2

F - testem) testovací kritérium je: r

2

n n (n n 1

2

2

N (µ , σ ) a

2

−x − 1)s + (n − 1)s 1

1

2

2

2

1

1

+ n − 2) +n 2

2


|T | ≥ tn1 +n2 − (1 − α/2) 2


H nezamítáme. 0

2

2

2

V. - X.


Dvouvýbìrový t-test Porovnání dvou výbìrù xi a yi patøí k èastým úlohám v pøírodních i technických vìdách, a to pøi porovnání výsledkù z rùzných instrumentálních metod nebo laboratoøe ovìøování nutnosti dìlení heterogenních výbìrù do homogenních podskupin hodnocení rozdílù mezi rozliènými materiály a pøístroji Dvouvýbìrového t-testu pou¾íváme v pøípadech, kdy se napø. na n pacientech zkou¹í pùsobení léku A a na jiných m pacientech pùsobení léku B . Úèelem experimentu je zjistit, zda pùsobení obou lékù je stejné. ttest2(x,y)

V. - X.


Dvouvýbìrový t-test Pøíklad: 11 stejnì starých selat bylo náhodnì rozdìleno do dvou skupin. Do první skupiny jich pøipadlo 6 a tato selata byla krmena dietou A, ve druhé jich bylo 5 a byla krmena dietou B. Po ¹esti mìsících byly vypoèteny prùmìrné denní pøírùstky v dkg. Byly získány výsledky: 4

dieta A dieta B

62 52

54 56

55 49

60 50

53 51

Je tøeba zjistit, zda obì diety jsou stejnì efektivní.

4


58


Dvouvýbìrový t-test Øe¹ení: Prùmìrné denní pøírustky v první skupinì budeme pova¾ovat za výbìr N (µ , σ ), pøírustky v druhé skupinì budeme pova¾ovat za výbìr N (µ , σ ) kde σ = σ není známo. Hypotéza, ¾e obì diety jsou stejnì efektivní, se dá vyjádøit jako H : µ = µ . 1

2

2

1 2

1

2

0

2

1

2

2

2

57 − 51.6 (6 − 1)12.8 + (5 − 1)7.3

T=p

s

6 ∗ 5(6 + 5 − 2) 6+5

Proto¾e 2.7712 ≥ t (0.975) = 2.2622, zamítáme hypotézu, ¾e obì diety jsou stejnì efektivní. 9


Dvouvýbìrový t-test

V. - X.

b) Je-li σ 6= σ testovací kritérium je: 2

2

1

2

T Hypotézu

x

= q

1

−x

2

s12 s22 n1 + n2


|T | ≥

s12 n1 tn1 −1 (1 − α/2) + s12 n1 +


H nezamítáme. 0

s22 n2 tn2 −1 (1 − α/2) s22 n2


Jednovýbìrový test rozptylu

I. - IV.

Budi¾ x , ..., xn výbìr z rozdìlení N (µ, σ ), kde známo. Testujeme nulovou hypotézu proti alternativì 2

1

H :σ HA : σ

2

0

Testová statistika: 2

χ =

n>1aσ

> 0 není

2

=σ 6= σ

0

2

2

0

(n − 1)s σ

2

2

0

Hypotézu

V. - X. 2


χn− (α/2) ≤ χ ≤ χn− (1 − α/2) 2

2

2

1


1

H nezamítáme. 0


Jednovýbìrový test rozptylu Kritické obory testù hypotézy pro hladinu významnosti α

H

HA

0

σ =σ

2

0

σ >σ σ <σ

2

0

2

χ ≥ χn− (1 − α) χ < χn− (α) 2

0

σ 6= σ

2

0

vartest(x,variance)

2

χ =

(n−1)s 2 σ02

HA

kritický obor

2 0

2

2

: σ = σ proti rùzným alternativám 2

0

testaèní char.

2

2

H

V. - X.

2

1

2

2

1

χn− (α/2) ≤ χ ≤ χn− (1 − α/2) 2

2

1

2

1

Statistics Toolbox Dvouvýbìrový F-test

Úvod

Mìjme dva náhodné výbìry o rozsahu n a n z rozdìlení N (µ , σ ) a výbìrové rozptyly σ a σ . Testujeme nulovou hypotézu proti alternativì 1

2

2

2

2

2

1

2

H :σ HA : σ

2

0

1 2

1

Testovací kritérium:

F

= max

2

1

2 2

2

s s s ,s 2

2

1

2

2

2

2

1

se sestaví tak, aby vìt¹í z rozptylù byl v èitateli. Platí-li hodnota Fn1 − ,n2 − (1 − α/2) 1

2

1

2

=σ 6= σ

N (µ , σ ) a

s

2

1

> s kritická 2

2

1

se urèí z tabulek Fischerova rozdìlení pro n − 1 a n − 1 stupnì volnosti. V opaèném pøípadì se poøadí stupòù volnosti zamìní. Je-li F > Fn1 − ,n2 − (1 − α/2), zamítáme H a pøijímáme HA . 1

1

1

0

2

I. - IV. V. - X.

Statistics Toolbox Dvouvýbìrový F-test

Úvod

Pøíklad: Na základì dat uvedených v pøíkladì na dvouvýbìrový t test se má rozhodnout, zda oba základní soubory mají stejné rozptyly. Pøitom se pøedpokládá, ¾e ka¾dý z tìchto základních souborù má normální rozdìlení:

5

dieta A dieta B

62 52

54 56

55 49

60 50

53 51

Øe¹ení: σA2 = 12.8 σB2 = 7.3

1.7534 > F

,

5 4

Hypotézu

H

0

(0.975) = 9.3645

o shodnosti rozptylù nezamítáme.

vartest2(x,y) 5


58

I. - IV. V. - X.


Intervaly spolehlivosti pro µ pøi neznámém

σ2

interval spolehlivosti (kon denèní interval) - interval v nìm¾ se bude se zadanou pravdìpodobností (1 − α) nacházet skuteèná hodnota daného parametru Θ meze intervalu spolehlivosti

L aL 1

2

interval spolehlivosti pokryje neznámý odhadovaný parametr Θ s pøedem zvolenou pravdìpodobností (1 − α) (kon denèní koe cient, statistická jistota)

P (L

1

< Θ < L ) = (1 − α) 1

pravdìpodobnost, s jakou bude skuteèná hodnota Θ v náhodných mezích L a L , je rovna právì (1 − α) 1

2

V. - X.


Intervaly spolehlivosti pro µ pøi neznámém σ 2 Pro intervaly spolehlivosti platí èím je rozsah výbìru

n vìt¹í, tím je interval spolehlivosti u¾¹í

èím je odhad pøesnìj¹í a má men¹í rozptyl, tím je interval spolehlivosti u¾¹í èím je vy¹¹í statistická jistota (1 − α), tím je interval spolehlivosti ¹ir¹í uvedené intervaly spolehlivosti

L a L jsou oboustranné 1

2

v praxi se pou¾ívá i jednostranný interval, levostranný < L , ∞), nebo pravostranný (−∞, L > 1

2

Statistics Toolbox Intervaly spolehlivosti pro µ pøi neznámém σ 2

Úvod I. - IV.

Nech» x , ..., xn je výbìr z N (µ, σ ) a nech» n > 1, σ > 0. Úkolem je sestrojit oboustranný interval spolehlivosti pro µ na hladinì 1 − α. Jeliko¾ má velièina 2

1

2

x − µ √n s Studentovo t -rozdìlení, lze pravdìpodobnost vyjádøit

P (−tn−

1

(1 − α/2) ≤

x − µ √n ≤ t n− s

1

(1 − α/2) = 1 − α

kde tn− (1 − α/2) je 100(1 − α/2)%-ní kvantil Studentova rozdìlení s n − 1 stupni volnosti. Po úpravì dostaneme 100(1 − α/2)%-ní interval støední hodnoty ve tvaru 1

x − tn−

1

s n

(1 − α/2) √

s n

≤ µ ≤ x + tn−1 (1 − α/2) √

Pro vìt¹í rozsahy výbìrù n > 30 lze pou¾ít místo kvantilu t (1 − α/2) kvantil normovaného normálního rozdìlení

V. - X.


Intervaly spolehlivosti pro

σ2

Náhodná velièina χ2 =

(n − 1)s 2 σ2

má χ - rozdìlení s (n − 1) stupni volnosti. Pro 100(1 − α/2)%-ní oboustranný interval spolehlivosti rozptylu σ pak platí 2

2

(n − 1)s 2 (n − 1)s 2 ≤ σ2 ≤ 2 χ2(n−1) (1 − α/2) χ(n−1) (α/2)

kde χ(n− ) (1 − α/2) je horní χ(n− ) (α/2) dolní kvantil rozdìlení χ . 2

2

1

2

1


Odhady parametrù normálního rozdìlení [muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = norm t(data,alpha) muhat - odhad støední hodnoty sigmahat - odhad smìrodatný odchylky muci - intervaly spolehlivosti pro støední hodnotu sigmaci - intervaly spolehlivosti pro smìrodatnou odchylku alpha - hladina významnosti

Kolmogorov-Smirnovùv test Úvod

Kolomogorov-Smirnovùv test (KS test) testuje shodu namìøených dat se standardním normálním rozdìlením nulová hypotéza:

H

0

= data mají standardní normální rozdìlení

alternativní hypotéza: HA = data nemají standardní normální rozdìlení

urèí se rozdíl mezi empirickou distribuèní funkcí F (x ) a teoretickou distribuèní funkcí standardního normálního rozdìlení G (x ) testová statistika

dmax = max (|F (x ) − G (x )|) testová statistika se porovná s kritickou hodnotou

H se zamítá pokud platí 0

|dmax | ≥ dkrit

I. - IV. V. - X.

Kolmogorov-Smirnovùv test Úvod I. - IV. V. - X.


Metoda nejmen¹ích ètvercù

I. - IV. V. - X.

Pøedstavme si, ¾e nìjakou fyzikální èi technickou závislost popisuje funkce f (x ), kterou buï neznáme pøesnì, nebo známe pouze její hodnoty v nìkterých bodech. Pro popis takové závislosti by pak bylo praktické najít jednoduchou funkci g (x ), která se od funkce f (x ) li¹í "velmi málo". 6

Pokud nalezneme funkci g (x ) tak, ¾e sice body fi = f (xi ) neprochází pøesnì, ale vzhledem k nìjakému kritériu "dosti blízko", mluvíme o aproximaci funkce f (x ) funkcí g (x ).

Jádro metody: Funkci, kterou chceme vyjádøit v nìjakém tvaru "uhodneme"s tím, ¾e ve vyjádøení ponecháme nìkolik "volných"parametrù. Tyto parametry pak výpoètem stanovíme tak, aby "uhodnutá"funkce probíhala co "nejblí¾e"po¾adovaných bodù.

6

Brzezina a kol., Matematika IV, TU Liberec, 1996

Statistics Toolbox Metoda nejmen¹ích ètvercù

Úvod

Odvození metody: Oznaème H (x ), H (x ), ..., Hk (x ) zatím zatím blí¾e nespeci kované funkce. Dále oznaème 1

G (x ) =

2

k X j =1

c j H j (x )

jejich lineární kombinací s koe cienty cj ∈ R . Oznaème (xi , yi ) pro i = 1, 2, ..., N body v rovinì. Hledejme nyní koe cienty cj tak, aby funkce G (x ) procházela "blízko"bodù (xi , yi ). Za mírù M této vzdálenosti vezmìne souèet ètvercù vzdáleností |G (xi ) − yi |, tj.

M=

N X k X i =1 j =1

cj Hj (xi ) − yi

2

Nyní chceme urèit koe cienty cj tak, aby výraz M nabýval co nejmen¹í mo¾né hodnoty ⇒ podmínka minima - derivace výrazu M podle koe cientù cj je rovna nule.

I. - IV. V. - X.

Metoda nejmen¹ích ètvercù Derivací


M podle koe cientù cp dostaneme: 2

N X k X i =1

j =1

I. - IV. V. - X.

cj Hj (xi ) − yi Hp (xi ) = 0

pro p = 1, ..., k . Po úpravì získáme tzv. normální soustavu lineárních rovnic pro koe cienty cj : k X N X j =1

pro

i =1

Hp (xi )Hj (xi ) cj =

N X i =1

Hp (xi )yi

p = 1, ..., k .

Poznámka: K tomu, aby podmínka minima vedla na soustavu lineárních rovnic, je nutné, aby koe cienty cj v "odhadnutém tvaru"vystupovali lineárnì. Pokud ne - soustava rovnic by nebyla lineární a nemusela by být øe¹itelná. Napø.

G (x ) = α e β x


Metoda nejmen¹ích ètvercù Poznámka: Jestli budeme funkci G (x ) vyjadøovat jako polynom jistého stupnì S (napø. H (x ) = 1, H (x ) = x , H (x ) = x , ..., HS + (x ) = x S ), bude se zvy¹ováním tohoto stupnì "chyba M "zmen¹ovat. Proto se MNÈ u¾ívá v souvislosti s polynomy. 2

1

2

3

1

Úloha prolo¾ení tzv. regresní køivky ve tvaru pøímky nebo kvadratické, popø. kubické, paraboly mno¾inou experimentálnì získaných bodù patøí v in¾enýrské praxi mezi rutinní práce.




Metoda nejmen¹ích ètvercù Pøíklad: Je dána funkce tabulkou. Aproximujte body metodou nejmen¹ích ètvercù funkcí ve tvaru f (x ) = a + a x . 0

xi yi

-1 10

0 9

1 7

1

2 5

3 4

4 3

5 0

6 -1

Statistics Toolbox


Úvod I. - IV.

Øe¹ení:

ei = |f (xi ) − yi | M=

V. - X.

n X (yi − a − a xi ) ⇒ minimum 2

0

i =1

1

n

X δM =2 (yi − a − a xi )(−1) = 0 δa i= 0

0

1

1

n

X δM =2 (yi − a − a xi )(−xi ) = 0 δa i= 0

1

1

1

n X

a

0

i =1

n X

+

a xi +

n X

n X

1

i =1 n X

0

i =1

a xi = a xi

2

1

i =1

=

i =1 n X i =1

yi xi yi

Statistics Toolbox


Úvod I. - IV.

na

0

a

n X

0

n X

+a

1

xi + a

xi =

i =1 n X

1

i =1

i =1

xi

2

n X

i =1 n X

=

i =1

8a + 20a = 37 0

1

20a + 92a = 25 0

V. - X.

yi

1

a = 8.6429 a = −1.6071 0

1

f (x ) = 8.64 − 1.61x

xi yi





V. - X.

Lineární model je mo¾né zapsat v maticové formì



y y

1





       . =     .   2

yn

o rozmìrech

x x

11 21

. .

xn

y = Xβ +  x . xm x . x m   12 22

. .

1

(nx 1)

xn

2

. . .

(nxm)

β β  .   . .  . βn xnm 1

1

2

2

(mx 1)





    +    

(nx 1)

. . n 1 2

     


Metoda nejmen¹ích ètvercù Øe¹ením problému je vektor b, který je odhadem vektoru neznámých parametrù βˆ. Øe¹ení metodou nejmen¹ích ètvercù

b = βˆ = (X T X )− X T y 1



I. - IV. V. - X.



X

X T X = x1 x1

1

2

. .

1

 1  = .  .

x x

1

 2  .  . 

1

xn



1

1 1    . xn  .

. .



x x

1

 2 n  . = P xi . 

xn  y  y 

1

1

X T y = x1 x1

1

2

. .

. .

1

xn

 P P x2i



 P y   . = P i xi yi  .  2

yn

xi


Metoda nejmen¹ích ètvercù Soustavì lineárních rovnic X T Xb = X T y , z nich¾ se vektor prakticky poèítá, se øíká normální rovnice.

X T Xb = X T y (X T X )−

X T Xb = (X T X )− X T y b = (X T X )− X T y 1

1

1

b vìt¹inou



poly t(x,y,n) - koe cienty polynomu stupnì n v zmysle MNÈ polyval(p,x) - hodnoty polynomu p v bodech x regress(y,X) - odhady koe cientù polytool(x,y) - interaktivní aproximace polynomem plot(x,z,'o') - Tools - Basic Fitting



I. - IV. V. - X.

souèet ètvercù totálních odchylek

ST regresní souèet ètvercù

=

X (yi − y )

SA =

X (yî − y )

SR =

X (yi − yî )

2

2

reziduální souèet ètvercù 2

ST

= SA + SR

=

SA ST

koe cient determinace

R

2

=1−

SR ST

Statistics Toolbox


Úvod

smìrodatná odchylka reziduí

I. - IV. V. - X.

se = smìrodatná odchylka úseku na ose

sP

(yi − yî ) n−2

2

y

P sa = se n P(x x−i x ) i s

2

2

smìrodatná odchylka smìrnice

sb = P(x se− x ) i

2

smìrodatná odchylka pro odhadnutou hodnotu yˆ = a + a 0

syˆ = se n1 + P(x(x−−x )x ) i s

2

2

1

x


Metoda nejmen¹ích ètvercù oboustranný interval spolehlivosti pro koe cienty rovnice pøímky úsek na ose

a

smìrnice

a

0

1

± tn−2 (α/2)sa ± tn−2 (α/2)sb

Oboustrannýý interval spolehlivosti pro odhadnuté hodnoty yˆ

yˆH ,D = a

0

+ a1 x ± tn−2 (1 − α/2)syˆ

a

0

+ a1 x


Metoda nejmen¹ích ètvercù Pøíklad: Je dána funkce tabulkou. Aproximujte bod metodou nejmen¹ích ètvercù funkcí ve tvaru f (x ) = a + a x + a x . 2

0

xi yi

-3 3

1

0 1

2

2 1

4 3


Metoda nejmen¹ích ètvercù Øe¹ení:

M= δM δa 0

V. - X.

n X (yi − a − a xi − a xi ) 2

0

1

2

2

i =1

n X =2 (yi − a − a xi − a xi )(−1) = 0 2

0

1

2

i =1 n

X δM =2 (yi − a − a xi − a xi )(−xi ) = 0 δa i= 2

0

1

1

2

1

n

X δM =2 (yi − a − a xi − a xi )(−xi ) = 0 δa i= 2

0

2

1

1

2

2

Statistics Toolbox


Úvod I. - IV.

na

0

a

n X

0

a

n X

+a

1

xi + a

0

xi + a

i =1

xi

2

xi

2

2

i =1 n X

1

i =1 n X

n X

i =1 n X

+a

1

i =1

i =1 n X

xi

+a

xi

+a

2

2

3

i =1 n X

2

i =1

=

n X

i =1 n X

xi

=

xi

=

3

4

i =1 n X i =1

4a + 3a + 29a = 8 0

1

2

3a + 29a + 45a = 5 0

1

2

29a + 45a + 353a = 79 0

1

2

f (x ) = 0.85 − 0.19x + 0.18x

2

V. - X.

yi xi yi xi yi 2





Pøedpokládáme, ¾e máme body v rovinì (x , y ), (x , y ), ..., (xn , yn ) a chceme je prolo¾it exponenciální køivkou s parametry C , A ve tvaru 1

1

2

y = C ∗ e Ax Nelineární metoda nejmen¹ích ètvercù:

M= Parciální derivace podle

n X (Ce Axi − yi )

2

i =1

A a C:

X ∂M =2 (Ce Axi − yi )(Cxi e Axi ) = 0 ∂A X ∂M =2 (Ce Axi − yi )(e Axi ) = 0 ∂C X X C xi e Axi − xi yi e Axi = 0 X X C e Axi − yi e Axi = 0 2

2

I. - IV.

2

V. - X.

Statistics Toolbox Metoda nejmen¹ích ètvercù C

X

C

Axi

xi e

2

e

2

X

Axi

Úvod I. - IV.

Axi

−

X

xi yi e

−

X

Axi

yi e

V. - X.

=0

=0

soustava 2 nelineárních rovnic o 2 neznámých mù¾eme øe¹it pomocí Newton-Rhapsonovy metody výpoèet je èasovì nároèný a zále¾í na volbì poèáteèní aproximace Linearizace dat: transformace

y = C ∗ e Ax - transformace pomocí logaritmické ln(y ) = ln(Ce Ax ) ln(y ) = ln(C ) + ln(e Ax ) ln(y ) = ln(C ) + Ax


Metoda nejmen¹ích ètvercù Zavedení nových promìnných:

ln(y ) = Y ln(C ) = B x = X

ln(y ) = ln(C ) + Ax Y

= B + AX

pùvodní mno¾ina dat bodù (xi , yi ) se transportuje do mno¾iny bodù (Xi , Yi ) = (xi , ln(yi ))

tento proces nazýváme linearizací dat


Metoda nejmen¹ích ètvercù Pøíklad: Pou¾ijte metodu linearizace dat a naleznìte exponenciální funkci y = C ∗ e Ax pro body dané tabulkou:

xi yi

0 1.5

1 2.5

2 3.5

3 5

4 7.5

Metoda nejmen¹ích ètvercù Øe¹ení: y = C ∗ e Ax Zavedení nových promìnných:


ln(y ) = Y ln(C ) = B x = X

Xi = xi 0 1 2 3 4 Yi = ln(yi ) 0.4055 0.9163 1.2528 1.6094 2.0149 Øe¹ení Y=B+AX

5B + 10A = 6.2

10B + 30A = 16.3

A = 0.3912 B = 0.4574 B C = e = e . = 1.58 0 4574

y = 1.58e

.

0 39

x

V. - X.





I. - IV. V. - X.

Transformace promìnných pro linearizaci dat

y = f (x )

linearizovaná forma

y = Ax + B y = x +DC y = Ax +B y = Axx+B y = Aln(x ) + B y = Ce Ax

Y = AX + B y = Ax + B y = − C (xy ) + DC y = Ax + B y = Ax + B y = Aln(x ) + B ln(y ) = Ax + ln(C )

y = Cx A

ln(y ) = Aln(x ) + ln(C )

1

y = (Ax + B )−

2

1

1

1

1

1

y− / 1

2

= Ax + B

promìnné

X = x Y =y X = xy Y = y X =x Y = y X=x Y=y X = ln(x ) Y = y X = x Y = ln(y ) C = eB X = ln(x ) Y = ln(y ) C = eB X = x Y = y− / 1

1

1

1

1

2


Statistické øízení jakosti SPC - Statistical Process Control SPC - Statistická regulace procesu SPC - monitorování a odhad kvality výrobkù Control Charts - regulaèní diagramy controlchart - regulaèní diagramy controlrules - regulaèní pravidla

Regulaèní diagram

Statistics Toolbox

Control Chart - regulaèní diagram gra cký prostøedek zobrazení vývoje variability procesu v èase vyu¾ívající principù testování statistických hypotéz rozhodnutí o statistické zvládnutosti procesu umo¾òují 3 základní èáry CL (Central Line) - støední pøímka - standardní, oèekávaná, cílová hodnota charakteristiky znaku jakosti jako nominální hodnota (jmenovitá hodnota, hodnota daná technických pøedpisem) jako hodnota zalo¾ená na minulé zku¹enosti s daným výrobním procesem jako odhad z hodnot regulované velièiny získaných v podmínkách statisticky zvládnutého stavu procesu UCL, LCL - regulaèní meze UCL (Upper Control Limit) - horní regulaèní mez LCL (Lower Control Limit) - dolní regulaèní mez


Statistics Toolbox Regulaèní diagram


v pravidelných intervalech se ze sledovaného procesu realizují výbìry n, které mají charakter logické poskupiny na ka¾dé jednotce v ka¾dém výbìru se zji¹»ují hodnoty sledovaného znaku jakosti

z ka¾dé n-tice zji¹tìných hodnot se vypoète charakteristika (výbìrový prùmìr, výbìrová smìrodatná odchylka, poèet neshodných jednotek v podskupinì, . . . )

na ose x se vyná¹ejí poøadová èísla èasových okam¾ikù realizace jednotlivých výbìrù na ose

y pak stupnice pro hodnoty dané charakteristiky

stav statistické zvládnutosti procesu je pak posuzován dle polohy bodù vynesených prp ka¾dý výbìr do regulaèního diagramu vùèi UCL, LCL, CL


Regulaèní diagram le¾í-li v¹echny body uvnitø UCL a LCL, je proces pokládán za statisticky zvládnutý (proces ve statisticky zvládnutém stavu, Process in Control, Process in Statistical Control) a není vy¾adován ¾ádný zásah do procesu le¾í-li nìkterý bod mimo regulaèní mez UCL nebo LCL, je proce pokládán za statisticky nezvládnutý, je vy¾adována identi kace vymezitelné pøíèiny této odchylky a pøijetí opatøení s cílem úplné èi alespoò èásteèné eliminace vymazitelného vlivu

Regulaèní diagram


Statistics Toolbox Pravidla k odhalení zvlá¹tních pøípadù


Jedna hodnota je mimo regulaèní meze - lokální porucha procesu, chybné mìøení, výpadek. Chybnì stanovené regulaèní meze, malá variabilita uvnitø podskupiny pøi konstrukci diagramu. Opakuje-li se na té¾e stranì, mù¾e jít o posunutí støední hodnoty nebo o asymetrické rozdìlení dat. Opakuje-li se na obou stranách, mù¾e jít o zvý¹ení nestability nebo rozptylu dat. 9 hodnot je na té¾e stranì od centrální linie - pravdìpodobnì posunutí støední hodnoty, sní¾ení variability mezi podskupinami, asymetrie dat, pøíli¹ ¹iroké nebo neodpovídající regulaèní meze. 6 hodnot monotónnì roste èi klesá - autokorelovaný proces, závislá mìøení. Lineární trend, zpùsobený opotøebením nebo výpadkem. Príli¹ ¹iroké regulaèní meze. 14 alternujících hodnot - pøeregulovaný nebo nestabilní proces. Autokorelovaná mìøení. Vymy¹lená èísla.


Pravidla k odhalení zvlá¹tních pøípadù 2 ze 3 hodnot je mimo interval ±2s - varování pøed mo¾ným pøekroèením regulaèních mezí

4 z 5 hodnot mimo interval ±s na té¾e stranì centrální linie pravdìpodobné posunutí støední hodnoty. Varování pøed mo¾ným pøekroèením regulaèních mezí. 15 hodnot je uvnitø intervalu ±s - sní¾ení variability mezi podskupinami. Pøi opakování uva¾ovat o nových regulaèních mezích. Nesprávná volba regulaèních mezí. Vymy¹lená èísla.

8 hodnot je mimo interval ±s na obou stranách centrální linie zvý¹ení variability mezi podskupinami. Varování pøed pøekroèením regulaèních mezí. Porucha procesu.

I. - IV. V. - X.


Obecný postup sestrojení a analýzy regulaèního diagramu volba regulované velièiny sbìr a záznam dat ovìøení pøedpokladù o datech volba rozsahu výbìru volba vhodného regulaèního diagramu výpoèet hodnot zvoleného testového kritéria (výbìrové charakteristiky) pro jednotlivé výbìry ovìøení a zaji¹tìní statistické zvládnutosti procesu ovìøení a zabezpeèení zpùsobilosti procesu vlastní regulace procesu

I. - IV. V. - X.

Statistics Toolbox Shewhartovy regulaèní diagramy pro regulaci mìøením (x , s ) Regulaèní diagram pro výbìrové prùmìry (x )

I. - IV.

testovým kriteriem jeho¾ hodnoty se zakreslují do regulaèního diagramu (x ) je výbìrový prùmìr x j z j -tého výbìru o konstantím rozsahu n n 1X

xj = n

xij

i =1

xij je i -tá namìøená hodnota regulované velièiny v j -tém výbìru. CL je dáno m 1 X CL = x = m

j =1

Úvod

xj

m je poèet výbìrù. UCL a LCL urèíme LCL, UCL = x ± K√σ n

∗

pro K = 1.96 je to pravdìpodobnost 0.95 a pro K = 3.09 je to 0.999. V praxi se pou¾ívá hodnota K = 3, která odpovídá pravdìpodobnosti 0.9973.

V. - X.


Shewhartovy regulaèní diagramy pro regulaci mìøením (x , s ) odhad smìrodatné odchylky procesu σ ∗ σ∗ =

m 1 X

mC

4

j =1

sj

C je konstanta závislá na rozsahu výbìru. sj je výbìrová smìrodatná odchylka v j -tém výbìru 4

sj =

sP

n 2 i =1 (xij − xj )

n−1

V. - X.


Shewhartovy regulaèní diagramy pro regulaci mìøením (x , s ) Regulaèní diagram (s )

testovým kriteriem je výbìrová smìrodatná odchylka sj . CL je dáno

CL = s UCL a LCL urèíme

LCL, UCL = s ± 3 Cs

4

1−C

q

2

4

Statistics Toolbox Regulaèní diagramy

Úvod

controlcharts

V. - X.

Xbar or mean Standard deviation Range Exponentially weighted moving average Individual observation Moving range of individual observations Moving average of individual observations Proportion defective Number of defectives Defects per unit Count of defects

I. - IV.

Statistics Toolbox Western Electric Control Rules

Úvod

controlrules

V. - X.

'we1' | 1 point above cl + 3*se 'we2' | 2 of 3 above cl + 2*se 'we3' | 4 of 5 above cl + se 'we4' | 8 of 8 above cl 'we5' | 1 below cl { 3*se 'we6' | 2 of 3 below cl { 2*se 'we7' | 4 of 5 below cl { se 'we8' | 8 of 8 below cl 'we9' | 15 of 15 between cl { se and cl + se 'we10' | 8 of 8 below cl { se or above cl + se 'we' | All Western Electric rules

I. - IV.


Nelson Control Rules controlrules 'n1' | 1 point below cl { 3*se or above cl + 3*se 'n2' | 9 of 9 on the same side of cl 'n3' | 6 of 6 increasing or decreasing 'n4' | 14 alternating up/down 'n5' | 2 of 3 below cl { 2*se or above cl + 2*se, same side 'n6' | 4 of 5 below cl { se or above cl + se, same side 'n7' | 15 of 15 between cl { se and cl + se 'n8' | 8 of 8 below cl { se or above cl + se, either side 'n' | All Nelson rules

I. - IV. V. - X.

Poèítaèová podpora øízení jakosti a analýzy dat

Recommend Documents