Planimetrie. Příklad 1. Zapište vztahy mezi body a přímkami, které jsou vyznačeny na obrázku. Příklad 2. Určete body K, L, M pomocí přímek p, r, s

Planimetrie Část matematiky, zabývající se studiem rovinných geometrických objekt (rovinná geometrie). Abstrakcí z hmotných objektů vznikly základní geometrické pojmy – bod – přímka

Bod Body označujeme velkými písmeny A, B, T, … Pro dva body platí A = B (bod A je roven bodu B nebo bod A splývá s bodem B), C ≠ D (bod C se nerovná bodu D nebo bod C nesplývá s bodem D).

Přímka Přímky označujeme malými písmeny p, q, … Mezi přímkami platí p = q (přímka p je rovena přímce q nebo přímka p splývá s přímkou q), r ≠ s (přímka r se nerovná přímce s nebo přímky r, s nesplývají). Přímku p určenou body A ≠ B zapíšeme p = ↔ AB pokud bod C leží na přímce p, zapíšeme C ∈ p pokud bod D neleží na přímce p, zapíšeme D ∉ p Věta: Dvěma různými body prochází jediná přímka.

Příklad 1. Zapište vztahy mezi body a přímkami, které jsou vyznačeny na obrázku. K

B

A

C

p

r

Příklad 2. Určete body K, L, M pomocí přímek p, r, s. L r K

M

p s

Příklad 3. Zapište všechny přímky, které jsou určeny body A, B, C, D, E z nichž žádné tři neleží na téže přímce.

1

Výukový materiál pro předmět Matematika reg. č. projektu CZ.1.07/1.1.10/01.0007.

Polopřímka Bod P, ležící na přímce p, ji rozděluje na dvě navzájem opačné polopřímky a je jejich společným počátkem. Každý jiný bod přímky p je vnitřním bodem právě jedné z obou polopřímek. polopřímku s počátkem v bodě P a vnitřním bodem A zapíšeme PA

Úsečka Jsou-li body A ≠ B a A ∈ p, B ∈ p, pak úsečku AB definujeme jako průnik dvou polopřímek, takto: AB = AB∩ BA . Body A, B se nazývají krajní body úsečky, ostatní body úsečky jsou vnitřní body úsečky AB. Délka (velikost) úsečky AB je vzdálenost bodů A, B. Značíme ji AB . Bod S, který úsečku AB dělí tak, že platí AS = SB , se nazývá střed úsečky AB.

Příklad 4. Charakterizujte úsečky KL, LM , MT pomocí průniku polopřímek. K

L

M

T

Příklad 5. Zapište výsledky uvedených operací s úsečkami z příkladu 4. KL ∩ LM = KL ∪ LM = KM ∩ LT =

Příklad 6. Je dána přímka p a tři body A, B, C, které na ní leží. p

A

B

C

a) Zapište všechny polopřímky tvořenými body A, B, C: b) Uveďte dvojici opačných polopřímek: c) Zapište vztah mezi polopřímkami AC , BC : d) Doplňte rovnice: BA∩ BC = AB ∩ BC =

e) Doplňte znak, určující vztah mezi BC a p: BC __ p

Polorovina Přímka p rozděluje rovinu α na dvě navzájem opačné poloroviny a je jejich společnou hraniční přímkou. Hraniční přímka p patří do obou polorovin. Každý bod roviny, který neleží na hraniční přímce, je prvkem právě jedné poloroviny. Polorovinu s hraniční přímkou p =↔ AB a vnitřním bodem M zapíšeme pM nebo ABM .

2


Příklad 7. Zapište všechny poloroviny dané třemi různými body A, B, C, které neleží na jedné přímce. Vyznačte jejich hraniční přímky a vyšrafujte polorovinu ABC. Určete průnik poloroviny ABC a přímky AC.

Příklad 8. Zapište poloroviny dané přímkou p a body A, B, které na ní neleží. Napište, co je průnikem polorovin, a jak se uvedené poloroviny nazývají. A

p

B

Příklad 9. Jsou dány rovnoběžné přímky p, r a body K ∈ p , M ∈ r , T ∉ p ∧ T ∉ r . Načrtněte obrázek. a) Vyšrafujte (vyznačte) množiny pM ∩ rK , pM ∩ rT , rT ∩ rK . b) Rozhodněte o pravdivosti výroků: ↔ KM ⊂ ↔ KMT ↔ KM ⊂ KMT ↔ KM ⊂ rT ↔ p ⊂ rT c) Určete opačnou polorovinu k rT

3


Příklad 10. Zapište symbolicky: a) úsečka CD leží v polorovině ABE b) polopřímka GD neleží v polorovině ABE c) bod F neleží v rovině CDE d) polorovina CGB splývá s polorovinou CDE e) bod F leží v rovině CDA f) přímka p leží v obou polorovinách ABE a ACG

Konvexní a nekonvexní úhel Geometrický útvar se nazývá konvexní, jestliže úsečka spojující kterékoli dva body útvaru je částí tohoto útvaru. nekonvexní útvar B A B

A

konvexní útvar Úhel AVB definujeme jako průnik polorovin AVB a BVA . Bod V nazýváme vrchol úhlu AVB , polopřímky VA a VB nazýváme ramena úhlu AVB . Tento úhel AVB se nazývá konvexní úhel. Úhel, který vznikne sjednocením polorovin opačných k polorovinám AVB a BVA , se nazývá nekonvexní úhel AVB a označuje se AVB. konvexní úhel

B nekonvexní úhel

V

A

Velikost úhlu Velikost úhlu AVB označíme AVB . Pro měření úhlů používáme: •

• •

1 pravého úhlu. Menší jednotky jsou 90 úhlová minuta (označujeme 1′ ) a úhlová vteřina (označujeme 1′′ ), přitom platí 1° = 60′ = 3 600′′ . 1 Úhlový stupeň setinný (označujeme 1 grad), což je pravého úhlu. Užívá se méně často. 100 Oblouková míra, jejíž jednotkou je radián (označujeme 1 rad), používá se nejčastěji v goniometrii. Úhlový stupeň šedesátinný (označujeme 1°), což je

Podle velikosti úhly dělíme: nulový úhel (= 0°) < ostrý (0°;90°) < pravý (= 90°) < tupý (90°;180°) < přímý (= 180°) < konvexní úhel (180°;360°) < úhel plný (=360°)

4


Vhledem k poloze úhly dělíme: Úhly styčné

α

Úhly vedlejší α + β =180°

α β

Úhly vrcholové (jsou shodné)

α

β

α

β

Úhly přilehlé

α

Úhly souhlasné

α β

Úhly doplňkové α + β =90°

Úhly střídavé

α

α

α

β

β

β

α

α

β

β

α=β

α=β

α + β = 180°

Příklad 11. Jsou dány tři body, které neleží v přímce. Vyznačte (načrtněte obrázek): a) konvexní úhel ACB b) vrcholový úhel ke konvexnímu úhlu CBA c) nekonvexní úhel ABC d) úhel vedlejší ke konvexnímu úhlu ABC s ramenem BC

Příklad 12. Zapište všechny konvexní úhly s vrcholem v bodě V a vyznačte je v obrázku. Pojmenujte dvojici konvexních úhlů ABV a VBC: V ×

A × ×B

×C

Příklad 13. V obrázku vyznačte vždy jednu dvojici uvedených úhlů. a) α, β − vedlejší úhly b) β, β′ − vrcholové úhly c) β, β″ − souhlasné úhly d) α, α′ − střídavé úhly

5


Příklad 14. Určete daný úhel jako průnik vhodných polorovin. (viz obrázek) a) konvexní úhel RTS b) konvexní úhel STR c) konvexní úhel TRS

T

S

R

Příklad 15. Různoběžky p, q jsou proťaty různoběžnými přímkami m, n (viz obrázek). Určete velikosti úhlů α, β, γ, δ. m

40°

n

F

p

γ D

30°

δ

α

E

C

A

β 120°

B

q

Polohové a metrické vztahy mezi přímkami Klasifikaci provádíme v závislosti na počtu společných bodů dvou přímek v rovině. • Jestliže dvě přímky p, q mají společný právě jeden bod P, nazývají se různoběžky; jejich společný bod se nazývá průsečík. Zapisujeme P = p ∩ q , p q . • Jestliže dvě přímky p, q nemají žádný společný bod, nazývají se rovnoběžky. Zapisujeme p ∩q = ∅, p q. • Jestliže dvě přímky p, q mají všechny body společné, nazývají se totožné (splývající). Zapisujeme: p ∩ q = p = q . (Jde o zvláštní případ rovnoběžnosti.) 6


Odchylka ϕ dvou přímek v rovině je menší ze dvou úhlů, které svírají různoběžky p, q. ( ϕ ∈ 00 ;900 ) Jsou-li p, q rovnoběžky, pak ϕ = 0°. Přímky, které svírají pravý úhel, se nazývají kolmice. Zapisujeme p ⊥ q . Průsečík P kolmých přímek se nazývá pata kolmice. Je dána přímka p a bod A. Vedeme bodem A kolmici k na přímku p. Bod P, průsečík přímek, je pak pata kolmice. Vzdálenost bodu A od přímky p je délka úsečky AP. Zapisujeme Ap = AP . Jsou dány přímky p q ; A, B jsou průsečíky p, q s libovolnou kolmicí k k těmto přímkám.

Vzdálenost rovnoběžných přímek p a q je vzdálenost bodů A a B. Zapisujeme pq = AB . Je-li p = q je pq = 0 .

Poznámka. • • •

Daným bodem A lze vést k dané přímce p jedinou rovnoběžku. Je-li p q a q r , pak p r . (tranzitivnost rovnoběžnosti) Každým bodem A v rovině lze vést k dané přímce p právě jednu kolmici q.

Příklad 16. Zvolíme čtyři přímky a, b, c, d tak, že a b , c d . Určete největší a nejmenší počet průsečíků těchto přímek. (Načrtněte všechny možnosti.)

Příklad 17. Určete, na kolik částí rozdělí rovinu: a) pět různých rovnoběžek b) n různých rovnoběžek

7


Příklad 18. Je dáno n různých navzájem různoběžných přímek, z nichž žádné tři neprocházejí jedním bodem. Určete počet všech průsečíků daných přímek.

Příklad 19. Ve čtverci ABCD určete a zapište: a) dvojici rovnoběžek b) dvojici různoběžek kolmých

c) dvojici různoběžek, které nejsou kolmé

Kružnice a kruh Kružnice k je množina bodů roviny, které mají od daného bodu S (střed) konstantní vzdálenost r (poloměr). Zapisujeme k ( S ; r ) = { X ∈ ρ ; XS = r } . Kruh K je množina všech bodů roviny, které mají od daného bodu S (střed) vzdálenost menší nebo rovnu r (poloměr). Zapisujeme k ( S ; r ) = { X ∈ ρ ; XS ≤ r} . Tětiva kružnice je úsečka, spojující dva libovolné body na kružnici. Nejdelší tětiva je průměr.

Středový a obvodový úhel Nechť je dána kružnice k ( S ; r ) . Dva různé body A, B, které na kružnici leží, rozdělí kružnici na dva kruhové oblouky AB a AB ∗ . Tyto oblouky nazýváme oblouky opačné.

Poznámka. Dva libovolné poloměry rozdělí kruh na dvě kruhové výseče. Tětiva AB rozdělí kruh na dvě kruhové úseče.

8


Úhel, jehož vrcholem je střed S kružnice k a ramena procházejí krajními body A, B oblouku kružnice k, se nazývá středový úhel příslušný k oblouku AB, který v tomto úhlu leží. Označujeme jej obvykle ω.

k

k

S

ω

ω

S

A

B

A

B

Ke každému středovému úhlu ω = ASB je přiřazeno nekonečně mnoho tzv. obvodových úhlů γ = AVB , jejichž vrcholy V leží na opačném kruhovém oblouku k oblouku, který leží ve středovém úhlu ω = ASB .

γ

A

k

k

S

ω

ω

S B

A

γ

B

Velikost středového úhlu je rovna dvojnásobku velikosti obvodového úhlu příslušného k témuž oblouku. Tedy ω = 2γ . Z této věty vyplývají následující důsledky: • Všechny obvodové úhly příslušné k témuž oblouku jsou shodné. • Obvodový úhel příslušný k menšímu oblouku je ostrý, k většímu oblouku tupý a k půlkružnici pravý. (Obvykle ve znění Thaletovy věty: Všechny úhly nad průměrem kružnice jsou pravé.)

Příklad 20. Jak se změní středový úhel, jestliže se příslušný obvodový úhel: a) zmenší dvakrát b) zvětší o 15° c) zmenší o 30°

9


Příklad 21. Jak se změní obvodový úhel, jestliže se příslušný středový úhel: a) zvětší třikrát b) zmenší o 40°

Příklad 22. Určete velikost obvodového úhlu příslušného k oblouku, jehož délka je 3 5 b) délky kružnice. a) délky kružnice 5 8

Příklad 23. Vypočítejte velikost vnitřních úhlů v trojúhelníku, který vznikne na ciferníku hodin spojením cifer 1; 5; 8.

10


Trojúhelníky Trojúhelník ABC je definován jako průnik tří polorovin ABC == ABC ∩ BCA∩ CAB . Vrcholy ABC označujme A, B, C; strany AB = c, AC = b, BC = a ; vnitřní úhly α, β, γ a vnější úhly α′, β′, γ′. C

γ b

a

α′ α A

γ′

β β′ c

B

Rozdělení trojúhelníků podle velikosti stran: • různostranné – a ≠ b ≠ c • rovnoramenné – 2 shodné strany (ramena), zbývající strana základna • rovnostranné – a = b = c Rozdělení trojúhelníků podle úhlů: • ostroúhlé – všechny vnitřní úhly jsou ostré • pravoúhlé – právě jeden vnitřní úhel je pravý • tupoúhlé – právě jeden vnitřní úhel je tupý

Další prvky trojúhelníku Výška trojúhelníku ABC je úsečka, jejímiž krajními body jsou vrchol trojúhelníku (např. A) a pata kolmice (např. Pa), vedené tímto vrcholem k přímce, na které leží protější strana trojúhelníku. Průsečík přímek, v nichž leží výšky, nazýváme ortocentrum. Těžnice je spojnice vrcholu se středem protější strany. Těžnice se protínají ve počínaje a průsečík nazýváme těžiště.

2 od vrcholu 3

Střední příčka je spojnice středů dvou sousedních stran, je rovnoběžná se stranou, kterou neprotíná a rovná se její polovině. Střed kružnice opsané leží v průsečíku os stran a prochází všemi vrcholy. Střed kružnice vepsané leží v průsečíku os vnitřních úhlů a dotýká se všech stran.

Věty o trojúhelnících • • • •

Součet délek každých dvou stran je větší než strana třetí. (tzv. trojúhelníková nerovnost) Proti větší straně leží větší vnitřní úhel, proti shodným stranám leží shodné úhly. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je úhel přímý. ( α + β + γ = 180° ) Velikost vnějšího úhlu ABC je rovna součtu velikostí vnitřních úhlů při zbývajících vrcholech. ( α ′ = β + γ , β ′ = α + γ , γ ′ = α + β )

Příklad 24. Je dán trojúhelník se stranami a = 12, b = 8, c = 9. Seřaďte úhly podle velikosti.

11


Příklad 25. Určete velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku ABC, jsou-li v poměru α : β : γ = 3 : 4 : 5.

Příklad 26. Mezi vnitřními úhly v trojúhelníku platí vztahy α = 2 β , β = 3γ . Určete je.

Příklad 27. V trojúhelníku ABC (libovolném) sestrojte: a) výšku vc b) těžnici ta c) střední příčku rovnoběžnou s AB f) kružnici opsanou g) kružnici vepsanou

12

d) těžiště T

e) ortocentrum O


Shodnost trojúhelníků Trojúhelníky ABC, A′B′C′ jsou shodné, jestliže je lze přemístit tak, že se kryjí. Zapisujeme ABC ≅ A′B ′C ′ .

Věty o shodnosti trojúhelníků Pro shodnost trojúhelníků stačí, aby bylo splněno kterékoliv z následujících kritérií (postačující podmínky). Věta sss: Trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se ve třech stranách. Věta sus: Trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se ve dvou stranách úhlu jimi sevřeném. Věta Sss: Trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se ve dvou stranách a úhlu proti větší z nich. Věta usu: Trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se v jedné straně a v obou úhlech k ní přilehlých.

Poznámka. Tyto věty platí i obráceně, tj. pokud podmínka je splněna, jsou uvedené trojúhelníky shodné.

Příklad 28. Je dán trojúhelník ABC; p je přímka, v níž leží těžnice tc daného trojúhelníku. Dokažte, že body A a B mají od přímky p stejnou vzdálenost.

Příklad 29. Bod S je středem úsečky AC a body B, S, D leží v téže přímce (viz obr.). Dokažte, že bod S je také středem úsečky BD. C

D S

B

13

A


Podobnost trojúhelníků Trojúhelníky ABC, A′B′C′ jsou podobné, právě když existuje kladné reálné číslo k takové, že pro délky stran trojúhelníků platí: a ′ = k ⋅ a ∧ b′ = k ⋅ b ∧ c′ = k ⋅ c .Číslo k se nazývá koeficient podobnosti. Zapisujeme ABC ≈ A′B ′C ′ . Je-li: k >1 ⇒ zvětšení k <1 ⇒ zmenšení k =1 ⇒ shodnost

Věty o podobnosti trojúhelníků Věta uu: Trojúhelníky jsou podobné, shodují-li se ve dvou úhlech. Věta sus: Trojúhelníky jsou podobné, mají-li sobě rovné poměry dvou stran a shodné úhly jimi sevřené. Věta Ssu: Trojúhelníky jsou podobné, mají-li sobě rovné poměry dvou stran a shodné úhly proti větší z nich.

Poznámka. Platí i věty obrácené.

Příklad 30. Rozhodněte, zda jsou podobné trojúhelníky o stranách 12 cm, 16 cm, 19 cm a 10 cm, 13 cm, 15 cm.

Příklad 31. Rozhodněte o podobnosti trojúhelníků s úhly 38°, 55° a v druhém s úhly 55°, 87°.

Příklad 32. Trojúhelníkové pole je na plánu 1 : 50 000 zakresleno jako trojúhelník o stranách 32,5 mm, 23,5 mm a 36 mm. Určete jeho skutečné rozměry.

Příklad 33. Určete měřítko mapy, je-li les tvaru trojúhelníku o rozměrech 1,6 km; 2,4 km a 2,7 km na mapě zakreslen jako trojúhelník o stranách 54 mm, 48 mm a 32 mm.

14


Příklad 34. Svislá metrová tyč vrhá stín 150 cm dlouhý. Vypočtěte výšku věže, jejíž stín je ve stejném okamžiku dlouhý 36 metrů.

Množiny bodů dané vlastnosti K řešení planimetrických úloh velmi často používáme mimo jiné tzv. množiny bodů dané vlastnosti. Množina bodů X roviny ρ, které jsou stejně X vzdáleny od dvou různých bodů A, B roviny ρ je osa úsečky AB. A B Symbolicky o = { X ∈ ρ , AX = BX } o Množina všech bodů X roviny ρ, které mají stejnou vzdálenost r od daného bodu S je kružnice k se středem S a poloměrem r. Symbolicky k ( S ; r ) = { X ∈ ρ ; SX = r} Poznámka. Zároveň je uvedená kružnice množinou středů všech kružnic s poloměrem r, které procházejí daným bodem S. Množina všech bodů X roviny ρ, které mají od dané přímky p kladnou vzdálenost v je dvojice přímek a, a′, které jsou s danou přímkou rovnoběžné, leží v opačných polorovinách vymezených přímkou p a mají od ní vzdálenost v. Tuto dvojici přímek nazýváme ekvidistanta přímky. Symbolicky a ∪ a′ = { X ∈ ρ ; Xp = v} Množina všech bodů X roviny ρ, které mají od dvou daných rovnoběžek a, b, a ≠ b stejnou vzdálenost je osa pásu, vymezeného přímkami a, b. Osu označíme o. Symbolicky o = { X ∈ ρ ; Xa = Xb } Poznámka. Zároveň je osa pásu množinou středů všech kružnic, které se dotýkají daných rovnoběžek. 15

X r

k

×S

X

a

v p v a′

X′

a o

X

a′


Množina všech bodů X roviny ρ, které mají stejnou vzdálenost od dvou různoběžek a, b jsou osy úhlů sevřených různoběžkami a, b. Osy označíme o, o′ . Symbolicky o ∪ o′ = { X ∈ ρ ; Xa = Xb } Poznámka. Zároveň lze říci, že osy o, o′ s výjimkou jejich průsečíku, jsou množinou středů všech kružnic, které se dotýkají daných různoběžek. Množina vrcholů X všech pravých úhlů, jejichž ramena procházejí body A, B (A ≠ B), tj. množina všech bodů, z nichž vidíme úsečku AB pod pravým úhlem, je kružnice s průměrem AB kromě bodů A, B, tzv. Thaletova kružnice. Symbolicky τ = { X ∈ ρ , AXB = 900 }

o′ a

X′ X

o b

τ

A S X

B

Základní konstrukce Příklad 35. Sestrojte osu úsečky AB. Popište konstrukci. Sestrojte libovolnou kružnici, která prochází body A, B.

Příklad 36. Sestrojte osu úhlu AVB. Popište konstrukci.

16


Příklad 37. Sestrojte k dané přímce p kolmici k a rovnoběžku r bodem A ∉ p.

Příklad 38. Sestrojte Thaletovu kružnici nad průměrem AB. Sestrojte pravoúhlý trojúhelník s přeponou AB.

Příklad 39. Sestrojte tečnu kružnice k v jejím bodě T a z vnějšího bodu A.

17


Úlohy na konstrukci trojúhelníku Každá konstrukční úloha má tyto části: I. ROZBOR – V rozboru načrtneme trojúhelník, jako by již byl sestrojen. Vyvarujeme se nakreslení některého ze speciálních trojúhelníků, ve kterém platí speciální vztahy. Proto načrtneme vždy obecný trojúhelník. Potom si vyznačíme (obyčejně jinou barvou) zadané prvky. Nato hledáme vazby mezi zadanými prvky a ostatními prvky tak, abychom mohli daný trojúhelník sestrojit. II. KONSTRUKCE A JEJÍ POPIS - Popíšeme konstrukci pomocí zavedené symboliky a trojúhelník sestrojíme (u složitější úlohy je výhodnější rýsovat a zároveň popisovat konstrukci). III. POČET ŘEŠENÍ – Vyjádříme se k počtu řešení. IV. DISKUZE – Je-li úloha zadána obecně, vždy provádíme tzv. diskuzi úlohy, kdy zvažujeme různé hodnoty zadaných prvků, případně jejich polohy, vzhledem k počtu řešení úlohy.

Poznámka. Konstrukční úlohy trojúhelníku můžeme řešit kromě využití množin bodů dané vlastnosti také na základě vět o shodnosti trojúhelníků sss, sus, usu, Ssu, dále je možno konstrukční úlohy řešit na základě výpočtu nebo metodou geometrických zobrazení.

Příklad 40. Sestrojte trojúhelník ABC. a) c = 5 cm; vc = 3,5 cm; tc = 4 cm c) b = 8 cm; vc = 3,5 cm; γ = 30°

18

b) a = 4 cm; b = 2 cm; tc = 2,5 cm d) α = 45°; va = 4 cm; vb = 3 cm


Pravoúhlý trojúhelník Jestliže v pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C označme Pc patu výšky vc, strany a, b nazveme odvěsny, stranu c přepona, úsek přepony bližší k odvěsně a označíme ca, úsek přepony bližší k odvěsně b označíme cb, pak lze na základě podobnosti trojúhelníků odvodit následující věty.

C b

a vc

A

α

β

Pc cb

B

ca c

Euklidova věta o výšce V každém pravoúhlém trojúhelníku ABC (s pravým úhlem při vrcholu C) platí ca ⋅ cb = vc2 .

Euklidova věta o odvěsně V každém pravoúhlém trojúhelníku ABC (s pravým úhlem při vrcholu C) platí c ⋅ ca = a 2 a c ⋅ cb = b 2 .

Pythagorova věta V každém pravoúhlém trojúhelníku ABC (s pravým úhlem při vrcholu C) platí a 2 + b2 = c 2 .

Goniometrické funkce ostrého úhlu. V každém pravoúhlém trojúhelníku ABC (s pravým úhlem při vrcholu C a vnitřními úhly α, β) platí a protilehlá odvěsna b protilehlá odvěsna sin α = = sin β = = c přepona c přepona b přilehlá odvěsna a přilehlá odvěsna cos α = = cos β = = přepona přepona c c a protilehlá odvěsna b protilehlá odvěsna tg α = = tg β = = b přilehlá odvěsna a přilehlá odvěsna b přilehlá odvěsna a přilehlá odvěsna cotg α = = cotg β = = a protilehlá odvěsna b protilehlá odvěsna

Ostatní vztahy V každém pravoúhlém trojúhelníku ABC (s pravým úhlem při vrcholu C a vnitřními úhly α, β) platí: • α + β = 90°, γ = 90° c • poloměr kružnice opsané r = . (Střed kružnice opsané /Thaletovy kružnice/ leží ve středu 2 přepony.) a+b−c • poloměr kružnice vepsané ρ = 2 ab c ⋅ vc = • S= (protože a = vb a b = va) a o = a + b + c 2 2

19


Příklad 41. Doplňte tabulku pro pravoúhlý trojúhelník ABC. Odvoďte vztah pro výšku. a c b obvod obsah 3 8

5 6 8

10

20

37

48 16

22 2n n ∈ N, n > 1

17

24 12

14

vc

65

120 n2+1

×

×

×


Příklad 42. Přepona pravoúhlého trojúhelníku je o 6 cm delší než jedna odvěsna a o 27 cm delší než druhá odvěsna. Určete obvod trojúhelníku.

Příklad 43. Pravoúhlý trojúhelník má obsah 119 cm2. Určete odvěsny, je-li jedna o 3 cm delší než druhá.

Příklad 44. Určete strany obdélníku, který má obvod 322 cm a úhlopříčku 145 cm.

Příklad 45. Určete a) délku přepony pravoúhlého rovnoramenného trojúhelníku s odvěsnou délky a b) výšku rovnostranného trojúhelníku o straně a c) úhlopříčku čtverce o straně a

21


Příklad 46. Řešte pravoúhlý trojúhelník, je-li dáno: a) c = 18,2 cm, α = 32°30′

b) c = 27,5 cm, a = 22,6 cm

Řešit trojúhelník znamená zjistit zbývající strany a úhly.

Příklad 47. Doplňte tabulku pro pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C.

a

b

× ×

5 × 15 10 12 48

14

22

c × 20 20 30 37

α

β

20° × ×

× 42° ×


Příklad 48. Sestrojte rovnostranný trojúhelník v soustavě souřadnic, je-li A  −2; 2 3  , B = 1; 5  .

Příklad 49. Vypočítejte plošný obsah pravoúhlého trojúhelníka s úseky přepony c1 = 8,5 cm; c2 = 2,3 cm.

Příklad 50. Určete strany a, c v pravoúhlém trojúhelníku ABC, je-li b = 10; vc = 8.

23


Úlohy 1. 1) Přepona pravoúhlého trojúhelníku je o 9 cm delší než jedna odvěsna a o 8 cm delší než druhá odvěsna. Určete obvod a obsah trojúhelníku. 2) Rozhodněte, zda trojúhelník s uvedenými rozměry je pravoúhlý. a) 5 cm, 12 cm, 13 cm b) u2 – v 2, 2uv, u2 + v2 3) Řešte pravoúhlý trojúhelník, je-li dáno: a + b = 9, 6 m , α = 37,5° (vyjádřete sin α, cos α a porovnejte stranu c vyjádřenou z obou vztahů) 4) Řešte pravoúhlý trojúhelník, jsou-li dány těžnice ta = 12 cm, tb = 15 cm. 5) Jak dlouhý musí být žebřík, má-li ve vzdálenosti 5 metrů od svislé stěny sahat do výšky 12 metrů? 6) Jak dlouhý plot nutno zakoupit na oplocení pravoúhlé parcely, je-li nejkratší strana o 20 metrů kratší než nejdelší, prostřední má délku 40 metrů? 7) Jaký je výškový rozdíl míst A, B na trati, která má stoupání 11°, je-li vzdálenost míst A a B 125 metrů? 8) Jak vysoká je sfinga, vidíme-li její vrchol ze vzdálenosti 45 metrů od ní ve výškovém úhlu 27°? 9) Jak vysoká je budova vrhající na dlažbu stín dlouhý 53,6 metru, dopadají-li sluneční paprsky na vodorovnou rovinu pod úhlem 32°? 10) Lanovka má přímou trať stoupající pod úhlem 40°, její délka je 870 metrů. Jaký je výškový rozdíl dolní a horní stanice? V jaké nadmořské výšce je horní stanice, je-li nástupní v nadmořské výšce 570 metrů? 11) Jak vysoký je štít budovy tvaru rovnoramenného trojúhelníku, je-li budova 15 metrů široká a sklon šikmých hran je 38°? 12) Paty dvou sousedních stožárů elektrického vedení mají na svahu výškový rozdíl 18,5 metru. Jak dlouhé vodiče spojují sousední stožáry, je-li úhel sklonu svahu 28° a skutečná délka vodičů je o 1 % delší? 13) Z okna domu stojícího na břehu řeky zaměřili dalekohled nivelačního přístroje na druhý břeh (u vodní hladiny). Jak široká je řeka, jestliže měřící přístroj byl 35 metrů nad hladinou a dalekohledem naměřili odchylku od svislého směru 56°? 14) Jak vysoko vystoupí letadlo letící rychlostí 225 km/h za 10 minut, stoupá-li pod úhlem 5°?

Mnohoúhelníky Uzavřená lomená čára spolu s částí roviny ohraničené touto lomenou čarou se nazývá mnohoúhelník. Lomená čára, která jej ohraničuje, se nazývá obvod, její vrcholy a strany jsou vrcholy a strany mnohoúhelníku. Počet stran je roven počtu vrcholů, mnohoúhelník, který má n vrcholů, se nazývá n-úhelník. Spojnice každých dvou nesousedních vrcholů se nazývá úhlopříčka. (trojúhelník nemá úhlopříčky). n ⋅ ( n − 3) Počet úhlopříček v n-úhelníku je . 2 Součet vnitřních úhlů je ( n − 2 ) ⋅180° . Pravidelný n-úhelník je konvexní mnohoúhelník, jehož všechny strany a úhly jsou shodné. Lze mu vepsat i opsat kružnici.

Čtyřúhelníky Čtyřúhelník je mnohoúhelník, který vznikne jako průnik čtyř polorovin, tj. čtyřúhelník ABCD = ABC ∩ BCD ∩ CDA∩ DAB . Vrcholy čtyřúhelníku označujeme A, B, C, D, strany čtyřúhelníku označujme a, b, c, d, vnitřní úhly čtyřúhelníku označujeme α, β, γ, δ a úhlopříčky čtyřúhelníku označujeme e = AC, f = BD 24


Rozdělení čtyřúhelníků Různoběžníky – žádné dvě strany nejsou rovnoběžné Lichoběžníky – dvě strany jsou rovnoběžné, zbývající nikoliv. Rovnoběžné strany se nazývají základny, zbývající ramena. Rovnoramenný lichoběžník má shodná ramena. Pravoúhlý lichoběžník má jedno rameno kolmé k základnám. Rovnoběžníky – obě dvojice protějších stran jsou rovnoběžné. Podle velikosti úhlů dělíme rovnoběžníky na: – pravoúhlé – obdélník, čtverec – kosoúhlé – kosodélník, kosočtverec Podle velikosti stran na: – rovnostranné – čtverec, kosočtverec – různostranné – obdélník, kosodélník

Základní vlastnosti rovnoběžníku: • • • •

Protější strany jsou shodné. Protější vnitřní úhly jsou shodné. Úhlopříčky se navzájem půlí, jejich průsečík je středem rovnoběžníku. Úhlopříčky rovnostranných rovnoběžníků půlí jejich vnitřní úhly a jsou na sebe kolmé.

Čtyřúhelník, jemuž lze opsat kružnici, se nazývá tětivový. Čtyřúhelník, jemuž lze vepsat kružnici, se nazývá tečnový. Deltoid je čtyřúhelník, jehož úhlopříčky jsou na sebe kolmé a jedna z nich prochází středem druhé.

Příklad 51. Sestrojte pravidelný šestiúhelník o straně a = 3 cm. Určete velikost jeho vnitřních úhlů.

25


Příklad 52. Doplňte tabulku n-úhelník

počet úhlopříček

5 6 8

Příklad 53. Který konvexní n -úhelník má dvakrát víc úhlopříček než stran?

Příklad 54. Kolik vrcholů má pravidelný n-úhelník, jehož všechny vnitřní úhly mají velikost 144°?

Příklad 55. V lichoběžníku ABCD, AB CD je α = 57° , γ = 4β . Určete zbývající vnitřní úhly.

26


Mnohoúhelníky – konstrukční úlohy (doplňující) Příklad 56. a) Sestrojte rovnoběžník ABCD, je-li AC = 10 cm , va = 4 cm, AB = 7 cm . b) Sestrojte kosodélník ABCD, je-li dáno: a = 4 cm, α = 60°, e = 5,5 cm. c) Sestrojte lichoběžník ABCD, je-li dáno: AB CD, b = 4 cm, v = 3,5 cm, e = 8 cm, f = 7cm. d) Sestrojte čtyřúhelník ABCD je-li dáno: a = 6,5 cm, α = 60°, γ = 90°, δ = 105°, e = 8 cm.

27


Obsahy a obvody rovinných útvarů - teorie Obrazec je rovinný útvar ohraničený uzavřenou čarou, která je částí obrazce. Obvod o je délka čáry, která ho ohraničuje. Obsah S je kladné číslo, přiřazené geometrickému obrazci tak, že platí: • shodné obrazce mají sobě rovné obsahy • skládá-li se obrazec z několika obrazců, které se nepřekrývají, rovná se obsah součtu jejich obsahů • obsah čtverce o straně 1 má obsah 1j2

Přehled vzorců obrazec

obvod

obsah

čtverec

4a

a2

2(a + b )

ab

obdélník kosočtverec

4a

kosodélník

2(a + b )

lichoběžník

a+b+c+d

trojúhelník

a+b+c

pravidelný n-úhelník

na

kruh

2πr

ava nebo

ef 2

ava = bvb

(a + c ) ⋅ v 2 zv 2 naρ oρ = 2 2

πr 2

Příklad 57. Určete rozměry obdélníkového pozemku, je-li jeho obvod 176 metrů a výměra 19 arů.

28


Příklad 58. Určete cenu za spotřebu barvy na nátěr reklamního panelu tvaru kosočtverce se stranou délky 4,3 m, je- li poloměr kružnice vepsané 1,2 metru. Kruh je natřen žlutou barvou, jejíž cena je 85 Kč/kg, zbylá plocha je natřena modře a cena barvy je 75 Kč/kg. Na 1 m2 nátěru spotřebujeme 0,7 kg barvy.

Příklad 59. Určete cenu za vnitřní nátěr bazénu se svažujícím se dnem s nejmenší hloubkou 1 metr a největší hloubkou 3 metry, je-li délka bazénu 25 metrů a šířka 15 metrů. Za 1m2 nátěru si firma účtuje 80 Kč.

Příklad 60. Anténní stožár je 24 metry vysoký. Je upevněn čtyřmi ocelovými lany zavěšenými 1,5 metru pod nejvyšším bodem stožáru a ukotveným na zemi ve vrcholech čtverce o straně 12 metrů. Stožár je vztyčen ve středu tohoto čtverce. Vypočítejte celkovou délku ocelových lan, jestliže na upevnění každého z nich je nutno přidat 1,1 metru lana.

29


Příklad 61. Z kulatiny o průměru 40 cm se má vyrobit trám o maximálním čtvercovém průřezu. Jaká bude délka jeho hrany?

Úlohy 2. 1) Pozemek na vodorovném terénu má tvar rovnoramenného lichoběžníku se základnami 75 a 103 metry. Rameno svírá s nejdelší stranou úhel 44°. Kolika hektolitry vody byl pozemek zavlažen při dešti se srážkami 8 mm na 1 m2? 2) Traktor oseje za hodinu 1,5 ha půdy. Za kolik hodin oseje pole tvaru pravoúhlého lichoběžníku se základnami 635 m a 554 m a delším ramenem 207 m? 3) Určete spotřebu pletiva na oplocení parcely tvaru kosočtverce, jsou-li vzdálenosti protějších rohů 42 m a 34 m. Na záhyby se počítá navíc 4 %. 4) Vypočítejte poloměr kruhové dráhy, kterou musí běžec oběhnout třikrát, aby uběhl 2 km. 5) Při zkušebním letu letěl pilot nejprve 450 km k severu, pak k východu a po určité době se v přímém směru vrátil na letiště. Jaká byla délka dráhy letu, byla-li velikost úhlu dráhy posledního a výchozího směru 52°?

30


Planimetrie. Příklad 1. Zapište vztahy mezi body a přímkami, které jsou vyznačeny na obrázku. Příklad 2. Určete body K, L, M pomocí přímek p, r, s

Recommend Documents