Příklady k přednášce 6 - Ustálený stav, sledování a zadržení poruchy
Michael Šebek Automatické řízení 2015 9-3-15
Frekvenční odezva - odvození Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Na vstup stabilního systému s přenosem y ( s ) = G ( s )u ( s ) , který je na počátku v klidu, přivedeme sinusový vstupní signál aω u (t ) = a sin ωt = ω u ( s ) L= a sin t { } − s2 + ω 2 • bude obraz výstupního signálu
aω aω k k y(s) = G (s) 2 = G (s) = + + ypri ( s ) 2 ( s + jω )( s − jω ) s + jω s − jω s +ω • kde
a G ( jω ) e − jϕ aG ( s )ω aG (− jω ) = − = − k= ( s − jω ) s = − jω 2j 2j
jϕ aG ( s )ω aG ( jω ) a G ( jω ) e = = = k ( s + jω ) s = jω 2j 2j
ϕ = ∠G ( jω ) Im G ( jω ) = arctg Re G ( jω )
• ypri ( s ) jsou parciální zlomky příslušné módům přirozené odezvy syst. • Tyto módy v ustáleném stavu odezní, protože je systém stabilní, takže − jωt jωt y= ( t ) ke + ke ss Michael Šebek
Pr-ARI-07-2015
2
Frekvenční odezva - odvození Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Dále
kde je použit Eulerův vztah:
y= ke − jωt + ke jωt ss (t ) a G ( jω ) e jϕ jωt a G ( jω ) e − jϕ − jωt e − e 2j 2j e j (ϕ + ω t ) − e − j (ϕ + ω t ) = a G ( jω ) 2j 2 j sin(ωt + ϕ ) = a G ( jω ) 2j a G ( jω ) sin(ωt + ϕ )
Michael Šebek
= e jx cos x + j sin x = e− jx cos x − j sin x e jx − e− jx = 2 j sin x
Im G ( jω ) ϕ= arctg ∠G ( jω ) = Re G ( jω )
Pr-ARI-07-2015
3
Příklad: Odezva na sinusový vstup Automatické řízení - Kybernetika a robotika
u (t ) a přenosem G (= s ) 1 ( s + 1) • Systém s rovnicí y (t ) + y (t ) = • Reaguje na sinusový vstupní signál u (t ) = sin(10t ) takto: 1 10 s + 1 s 2 + 100 10 1 1− s = + 101 s + 1 s 2 + 100 = y ( s ) G= ( s )u ( s )
y (t ) y1 (t )
• Přechodový jev a ustálený stav
y2 (t )
10 − t 1 = y (t ) e + sin(10t + ϕ ) 1 01 101 y1(t )
u (t ) y (t )
y2 (t )
ϕ= −84.3 = −1.47rad arctan(−10) = Michael Šebek
Pr-ARI-07-2015
4
Frekvenční odezva graficky Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• frekvenční přenos (charakteristika) G ( jω ) : kreslíme 2 způsoby Bodeho graf - amplituda a fáze zvlášť - funkce bode • amplituda obvykle logaritm. v dB, ale i lin. v abs. hodnotě • fáze vždy lineární, ve stupních (deg) nebo v rad. • frekvence vždy logaritmická, obvykle v rad/s ale i v Hz Nyquistův graf - v komplexní rovině - funkce nyquist • výhoda: zobrazíme amplitudu i fázi najednou • nevýhoda: nevidíme dobře individuální příspěvky jednotlivých faktorů Decibel - jméno po A.G. Bellovi, zavedeny v Bell Labs • bezrozměrná jednotka, původně pro poměr výkonů 10 log( Py Pu ) • pokud byl poměr výkonů vyjádřen poměrem napětí, tak 20 log(Vy Vu ) • obecněji pro poměr dvou veličin v našem případě amplitud, v ARI vždy x[dB] = 20 log( x ) Michael Šebek
Pr-ARI-07-2015
5
Příklady: ustálené zesíleni Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Př. 1: Pro stavový model
= x (t ) Ax(t ) + Bu (t ) = y (t ) Cx(t ) + Du (t )
−CA −1B + D G ( s ) =C ( sI − A ) B + D G (0) = −1
Př. 2: Pro vnější model
b( s ) G (s) = a( s)
Michael Šebek
= b0 0, a0 ≠ 0 0 b(0) b0 G (0)= = = ±∞ a0 = 0, b0 ≠ 0 a (0) a0 c ≠ 0, ≠ ±∞ a0 ≠ 0, b0 ≠ 0
Pr-ARI-07-2015
6
Příklady: ustálený stav Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Př. 1: Pro systém s přenosem
G (s) =
3( s + 2) s 2 + 2 s + 10
1 s
hss G= s) (0) lim sG (= • Je ustálená hodnota skokové odezvy = s →0
6 10
= = g ss lim sG ( s ) 0 • A ustálená hodnota impulsní odezvy s →0
Př. 2: Nesprávné použití věty o konečné hodnotě Má systém s přenosem 3
G (s) =
s−2 3 ustálenou hodnotu skokové odezvy hss = − ? 2 • Nemá! Je nestabilní a tak jeho skoková odezva vůbec žádnou ustálenou hodnotu nemá! 3 3
h(t ) =− + e 2t 2 2
Michael Šebek
Pr-ARI-07-2015
7
Příklady: zesílení v nekonečnu (VF) Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Signál f (t ) má (po)počáteční hodnotu s obrazem f (0+ ) = lim sf ( s ) s →∞
+
• Zřejmě f (0 ) = 0 když je stupeň čitatel obrazu alespoň o dvě menší než stupeň jmenovatele obrazu n n −1 b s b s + + n n −1 Pro (ne striktně) ryzí přenos an s n + an −1s n −1 + + n +1 n • „začíná“ impulzní odezva v g (0 ) = lim (bn s + ) (an s + ) = ±∞ s →∞
• skoková odezva Pro striktně ryzí přenos
+ = ) bn an h(0 ) lim (bn s n + ) (an s n += s →∞
bn −1s n −1 + an s n + an −1s n −1 +
+ • „začíná“ impulzní odezva v g (0 ) = bn −1 an
bn −1 = 0 ⇒ g (0+ ) = 0
• a skoková odezva v h(0+ ) = 0 Michael Šebek
Pr-ARI-07-2013
8
Impulsní a skoková odezva podle typu Automatické řízení - Kybernetika a robotika
0
• Typ 0 (statický)
1 F (s) = s +1
1
• Typ 1 (astatismus 1. řádu) 1 F (s) = s ( s + 1) • Typ 2 (astatismus 2. řádu)
2
1 F (s) = 2 s ( s + 1)
3
• Typ 3 (astatismus 3. řádu)
F (s) = Michael Šebek
1 s 3 ( s + 1) Pr-ARI-07-2013
9
Konstanty ustálené odchylky Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Pro ustálené odchylky jsme odvodili vztahy 1 1 = 1 + lim L( s ) 1 + K p s →0 1 1 ( ) e= ∞ = ramp lim sL( s ) K v
= estep (∞)
s →0
eparabola = (∞ )
1 1 = lim s 2 L( s ) K a s →0
• Limitám se říká konstanty ustálené odchylky • konstanta odchylky polohy K p = lim L( s ) s →0
• konstanta odchylky rychlosti K v = lim sL( s ) s →0
• konstanta odchylky zrychlení
K a = lim s 2 L( s ) s →0
• Konstanty určují chování v ustáleném stavu a tak se někdy požívají ke specifikaci návrhu
Michael Šebek
Pr-ARI-07-2015
10
Odvození konstanty ustálené odchylky z Bodeho grafu Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Typ 0 L( s ) =
∏(s + z ) K ⇒K ∏(s + p ) i
i
k
p
= lim L( s ) = L(0) = s →0
i
i
k
k
k
• Přitom počáteční hodnota amplitudové charakteristiky je 20 log M (0) =
∏(z ) K ∏( p )
∏( z ) ↓ 20 log K 20 log K = ∏( p )
20log M (ω ) 20log K p = 20log L(0)
i
i
k
k
ω
P
0dB
ω0
• Tedy je počáteční hodnota = konstanta polohy (= stejnosměrné zesílení) v dB Michael Šebek
Pr-ARI-07-2015
11
Odvození Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Typ 1 (s) = L
∏(s + z ) ⇒= K K s∏ ( s + p ) i
i
v
k
lim sL (s) = s →0
∏z K ∏p
i
i
k
k
k
• přitom amplitudová charakteristika „začíná“ pro malé ω0 ve 20 log M (ω 0
∏z ) = 20 log K ω ∏p
∏z 20 log K ω ∏p
i
20log M (ω )
i
i
i
k
0
k
k
0
−20dB dec
k
a má počáteční sklon −20 dB dec
∏z • Můžeme ji nahradit funkcí L′( s) = K s∏ p
0dB
i
ω
ω0
ω = Kv
i
k
k
• která protíná osu omega když
= ω
∏z K = ∏p i
i
Kv
k
Michael Šebek
Pr-ARI-07-2015
k
12
Odvození Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Typ 2 = L( s )
∏(s + z ) K ⇒ = K s ∏(s + p ) i
lim s = L( s ) 2
i
a
2
s →0
k
∏z K ∏p
i
i
k
k
k
• Přitom amplitudová charakteristika „začíná“ pro v 20 log M (ω 0
• Počáteční sklon
∏z ) = 20 log K ω ∏p i
i
2 0
∏z 20 log K ω ∏p
20log M (ω )
i
k
i
2 0
k
k
k
−40 dB dec
• Můžeme nahradit funkcí
∏z L′( s ) = K s ∏p i
ω 0dB
ω0
ω = Ka
i
2
k
• která protíná osu omega když
k
= ω
∏z = K ∏p i
i
Ka
k
k
Michael Šebek
Pr-ARI-07-2015
13
Příklady Automatické řízení - Kybernetika a robotika
M = 15dB
>> L=(1+s)/(2+s)/(3+s), v=value(L,0),L=L/v*10^(15/20),K=value(L,0),bode(L) L = 34 + 34s / 6 + 5s + s^2 K = 5.6234 >> KpdB=20*log10(abs(value(L,j*.01))), Kp=10^(15/20) KpdB = 15.0003, Kp = 5.6234 >> einfty = 1/(1+Kp) einfty = 0.1510
• počáteční sklon je 0 a tak je systém typu 0 (bez astatismu) • „počáteční hodnota“ asymptoty je 15dB a tak = K p 15d = B 1015 20 = 5.623
• ustálená odchylka na skok
estep,ss =1 (1 + K p ) = 0.151
• počáteční sklon je 20 dB/dek a tak systém je typu 1 • protažená „počáteční asymptota“ protíná nulovou přímku pro frekvenci ω = 10 a tak je K v = 10 • ustálená odchylka na rampu
L=(1+s)/(2+s)/(3+s)/s,v=value(coprime(s*L),0);L=L/v*10, L = 60 + 60s / 6s + 5s^2 + s^3 Kv=value(coprime(s*L),0),bode(L) Kv = 10
ω = 10
eramp,ss = 1= K v 0.1 Michael Šebek
Pr-ARI-07-2013
14
Příklady ustálené odchylky Automatické řízení - Kybernetika a robotika
1 integrátor
r
1 s
2 integ.
r
y
barvy signálů:
e 10( s + 3)( s + 1) s2
3 integ. r
Pozor: Ve všech případech je uzavřená smyčka stabilní!
e
Michael Šebek
výstup
odchylka
y
reference skok,
e 9( s + 3)( s + 1) s3
reference
rampa
a parabola
y
Pr-ARI-07-2013
15
Jak sledovat se soustavou nedostatečného typu? Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Jak zařídit, aby soustava nedostatečného typu správně sledovala? • pomocí dynamického regulátoru, který zpracuje regulační odchylku e( s )
r (s)
u (s)
C (s)
F (s)
y(s)
r (s)
e( s )
G (s)
y(s)
G ( s ) = F ( s )C ( s )
• a regulátor C navrhneme tak, aby G ( s) = F ( s)C ( s) bylo požadovaného typu a přitom uzavřená smyčka byla stabilní ! Chtějme zajistit nulovou odchylku na skok pro soustavu typu 0 ( F (0) ≠ ±∞, F (0) ≠ 0 ) e( s ) =
1 1 1 + C (s) F (s) s
estep , ss =
• Volbou C ( s ) = 1 s dostaneme C (0) = ∞ a tedy • Přitom ale je u (s) =
C (s) 1 1 + C (s) F (s) s
u= step , ss
1 1 + C (0) F (0)
estep , ss = 0 1 C (0) = ≠0 1 + C (0) F (0) F (0)
Soustavu tedy musíme pořád „krmit“, ale jinak to nejde Michael Šebek
Pr-ARI-07-2013
16
Příklad - pokračování Automatické řízení - Kybernetika a robotika
10( s + 2) Aby soustava s přenosem F ( s ) = asymptoticky sledovala rampu ( s + 1) vezmeme C ( s= ) ( s + 3) s 2 Pak je smyčka je stabilní s 2 ( s + 1) + 10( s + 2)( s + 3) ≅ s 2 + 9.2s+33.5 ( s + 1.8 ) a přitom jsme dosáhli požadovaného typu, 10( s + 2)( s + 3) = G ( s ) F= ( s )C ( s ) tedy ustálená odchylka je nulová s 2 ( s + 1) • Zato ale 1 C (s) Jaká je cena? u je také rampa! u (s) = 2
• • • •
(
uramp , ss
1 s2
Michael Šebek
1 + C (s) F (s) s C (s) 1 1 = lim = = ∞ s →0 1 + C ( s ) F ( s ) s 10 × 0
s+3 s2
)
jaká je cena ? u je také rampa
10( s + 2) ( s + 1)
Pr-ARI-07-2015
17
Příklad: Sledování polohy s konečnou odchylkou Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Řízení směru pohybu (LRV, automatický vozíček) G ( s) =
odchylka e( s )
5 s + 10
C ( s ) =k1 +
e( s )
r (s)
k2 k1s + k2 = s s
u (s)
C (s)
G (s)
y(s)
1 1 s ( s + 10) = r (s) = r (s) 2 r (s) k1s + k2 5 1 + C ( s )G ( s ) (10 5 ) 5 s + + k s + k 1 2 1+ s s + 10
ustálená odchylka eskok , ss erampa , ss
s ( s + 10) s = lim 0 s →0 s 2 + (10 + 5k ) s + 5k s 1 2
• návrh např.
s ( s + 10) s 2 = lim s →0 s 2 + (10 + 5k ) s + 5k s 2 k2 1 2
C (s) =
s+2 s >> G=5/(s+10),C=(s+2)/s G = 5 / 10 + s C = 2 + s / s >> roots(G.den*C.den+... G.num*C.num) ans = -14.3007 -0.6993 tracking2.mdl
Michael Šebek
Pr-ARI-07-2015
18
Příklad: Sledování polohy s nulovou odchylkou Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• vedení cíle, řízení palby (target engagement, fire ctrl) • pro sledování rampy musí OL přenos obsahovat dvojitý integrátor, např. 2s + 1 = C s ( ) • odchylka s2
e( s )
r (s)
u (s)
C (s)
G (s)
y(s)
1 s 2 ( s + 10) e( s ) = r (s) 3 r (s) 1 + C ( s )G ( s ) s + 10s 2 + 10s + 5
• ustálená odchylka na rampu erampa , ss
s 2 ( s + 10) s lim = 0 s → 0 s 3 + 10 s 2 + 10 s + 5 s 2 >> C=(2*s+1)/s^2 C = 1 + 2s / s^2 >> roots(G.den* ... C.den+ G.num*C.num) ans = -8.9445 -0.5278 + 0.5296i -0.5278 - 0.5296i tracking2.mdl
Michael Šebek
Pr-ARI-07-2015
19
