ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B
ČÁST 2
Příklad 1 Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) b) c)
( , )=
( , ) = √3 − ( , )=
√
d)
( , )=
e)
( , ) = ln
f)
( , ) = √1 −
√
−
+ 1−
g) ( , ) = arcsin( + ) Poznámka V těchto úlohách máme nalézt největší možný definiční obor zadané funkce. Tímto definičním oborem je prostor % zmenšený o všechny dvojice 〈 , 〉, ve kterých není výraz vyjadřující funkci definován. Přitom prostor % je prostorem všech dvojic reálných čísel, neboli všech dvojic 〈 , 〉, ∈ %, ∈ %. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
∀ ∃
1
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B
ČÁST 2
Řešení 1a Máme nalézt maximální definiční obor funkce ( , )=
1
25 − − Výraz vyjadřující funkci musí mít jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit 25 − − ,0 Neboli + ,5 Maximální definiční obor funkce tedy je ./ = 0〈 , 〉, + ,5 , ∈ %, ∈ %1 = 5 popisuje kružnici kolem počátku Tento výsledek můžeme vyjádřit i jinak. Rovnice + souřadnic o poloměru 5. Využijeme-li myšlenku uvedenou v poznámce, pak ./ = % − 0〈 , 〉, + =5 , ∈ %, ∈ %1 Nalezený výsledek doplníme obrázkem
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 1b Máme nalézt maximální definiční obor funkce ( , ) = √3 −
2
Výrazy pod odmocninou musí být nezáporné a jmenovatel zlomku musí různý od nuly. Musí tedy platit (3 2 0) ˄ ( 2 0) ˄ ( , 0) Neboli ( 2 0) ˄ ( 5 0) Maximální definiční obor funkce tedy je ( 2 0) ˄ ( 5 0) , ./ = 0〈 , 〉, ∈ %, ∈ %1 Nalezený výsledek doplníme obrázkem
∀ ∃
2
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B
ČÁST 2
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 1c Máme nalézt maximální definiční obor funkce ( , )=
2
Výraz vyjadřující funkci musí mít jmenovatel různý od nuly a současně musí být výraz pod odmocninou nezáporný. Musí tedy platit Neboli Maximální definiční obor funkce tedy je ./ = 0〈 , 〉, Nalezený výsledek doplníme obrázkem
, 0 ˄
20
20 2 0,
∈ %,
∈ %1
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
∀ ∃
3
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B
ČÁST 2
Řešení 1d Máme nalézt maximální definiční obor funkce
6 − 6 Výraz vyjadřující funkci musí mít podvýraz pod odmocninou nezáporný. Musí tedy platit − 20 Neboli 2 Což lze vyjádřit jako | |2| | Maximální definiční obor funkce tedy je | | 2 | |, ∈ %, ∈ %1 ./ = 0〈 , 〉, Nalezený výsledek doplníme obrázkem ( , )=
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 1e Máme nalézt maximální definiční obor funkce +2 + : −2 + Výraz vyjadřující funkci musí mít kladný argument logaritmu a současně jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit +2 + 2 0: ˄ ( − 2 + , 0) 9 −2 + Čitatel zlomku představuje kružnici o poloměru 1 a středu (-1,0). Jmenovatel zlomku představuje kružnici o poloměru 1 a středu (1,0). Nerovnost představuje také tuto druhou kružnici. Nerovnost vyjadřuje vnějšek obou kružnic. Maximální definiční obor funkce tedy je +2 + ./ = ;〈 , 〉, 2 0: ˄ ( − 2 + , 0), ∈ %, ∈ %< 9 −2 + Nalezený výsledek doplníme obrázkem ( , ) = ln 9
∀ ∃
4
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B
ČÁST 2
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 1f Máme nalézt maximální definiční obor funkce ( , )= 1− + 1− Výraz pod odmocninami musí být nezáporné. Musí tedy platit (1 − 2 0) ˄ (1 − 2 0) Neboli (1 2 ) ˄ (1 2 ) Po úpravě (1 2 | |) ˄ (1 2 | |) Čili = ∈ (−1,1)> ˄ = ∈ (−1,1)> Maximální definiční obor funkce tedy je ./ = ?〈 , 〉, = ∈ (−1,1)> ˄ = ∈ (−1,1)>, Nalezený výsledek doplníme obrázkem
∈ %,
∈ %@
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
∀ ∃
5
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B
ČÁST 2
Řešení 1g Máme nalézt maximální definiční obor funkce ( , ) = arcsin( + ) Argument arcussinu musí být z intervalu 〈−1,1〉. Musí tedy platit | + |A1 Tato nerovnost vyjadřuje pás ve kterém se obě proměnné liší nejvýše o hodnotu 2. Maximální definiční obor funkce tedy je | + | A 1, ./ = 0〈 , 〉, ∈ %, ∈ %1 Tento výsledek můžeme vyjádřit i jinak. Rovnice + = 5 popisuje kružnici kolem počátku souřadnic o poloměru 5. Využijeme-li myšlenku uvedenou v poznámce, pak + =5 , ∈ %, ∈ %1 ./ = % − 0〈 , 〉, Nalezený výsledek doplníme obrázkem
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
∀ ∃
6
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B
ČÁST 2
Příklad 2 Najděte řezy grafu funkce jestliže: a)
( , )=
rovinami rovnoběžnými se souřadnicovými rovinami
= 0,
= 0,
−
b) ( , ) = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 2a
Máme nalézt řezy grafu funkce f(x, y) = x − y rovinami rovnoběžnými se souřadnicovými rovinami = 0, = 0. Začneme nejprve řezy rovnoběžnými s rovinou = 0. Obecně můžeme tento řez zvolit jako = E. Hodnota proměnné se v tomto případě změní v konstantu. Dosadíme do naší funkce f(x, y) = c − y Je zřejmé, ž v tomto případě se jedná o parabolu otevřenou k záporné straně osy F a mající vrchol v souřadnicích (E, 0, c ). Situaci v případě roviny = 1 ukazuje čelní hrana plochy na následujícím obrázku.
Nyní podle stejného principu vyšetříme řezy rovnoběžné s rovinou = 0. Řezem v tomto případě je parabola otevřená do kladné části osy F a mající počátek v souřadnicích (0, c, −c ). Situaci v případě roviny = 1 ukazuje pravá hrana plochy na následujícím obrázku.
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ∀ ∃
7
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B
ČÁST 2
Řešení 2b
Máme nalézt řezy grafu funkce ( , ) = rovinami rovnoběžnými se souřadnicovými rovinami = 0, = 0. Začneme nejprve řezy rovnoběžnými s rovinou = 0. Obecně můžeme tento řez zvolit jako = E. Hodnota proměnné se v tomto případě změní v konstantu. Dosadíme do naší funkce f(x, y) = cy Je zřejmé, ž v tomto případě se jedná o parabolu otevřenou ke kladné straně osy F a mající vrchol v souřadnicích (E, 0,0). Situaci v případě roviny = 1 ukazuje čelní hrana plochy na následujícím obrázku.
Nyní podle stejného principu vyšetříme řezy rovnoběžné s rovinou = 0. Řezem v tomto případě je přímka obsahující bod (0, c, c ) mající sklon osy kvadrantu. Situaci v případě roviny = 1 ukazuje pravá hrana plochy na následujícím obrázku.
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
∀ ∃
8
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B
ČÁST 2
Příklad 3 Nalezněte konstantní hladiny a vrstevnice následujících funkcí: a) b) c) d) e) f)
( , )=
( , )=3 ( , )=
( , )=
( , )=
( , )=
1−
−
+
−2
+2
+
−
g) ( , , F) = + + F Poznámka Konstantní hladiny (jinak též označované jako vrstevnice) jsou křivky na ploše, které mají stejnou hodnotu příslušné funkce vyjadřující tuto plochu. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 3a Máme nalézt konstantní hladiny a vrstevnice funkce: Budeme tedy vyšetřovat situaci Upravíme A dále
( , )=
E=
1−
−
E =1− +
−
1− ,
E∈%
−
=1−E
Vidíme, že upravená rovnice vyjadřuje kružnici o poloměru √1 − E . Definiční obor této odmocniny je interval 〈−1,1〉. Vyhodnocovat konstantní hladiny mimo tento interval nemá smysl. Přitom je jasné, že pro krajní hodnoty tohoto intervalu se kružnice zbortí v jediný bod. Naopak největší poloměr, kterého lze v tomto případě dosáhnout je roven jedné. Následující obrázek ukazuje vrstevnice dané funkce pro hodnoty 0 (zelená), ±0,5 (modrá) a ±0,9 (fialová).
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
∀ ∃
9
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B
ČÁST 2
Řešení 3b Máme nalézt konstantní hladiny a vrstevnice funkce: ( , )= 3 +2 Budeme tedy vyšetřovat situaci , E∈% Vzhledem k levé straně je zřejmé, že přípustné jsou pouze nezáporné hodnoty E. Vidíme, že upravená rovnice vyjadřuje elipsu. Následující obrázek ukazuje vrstevnice dané funkce pro hodnoty 1 (modrá), 2 (zelená), a 3 (fialová).
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 3c Máme nalézt konstantní hladiny a vrstevnice funkce: Budeme tedy vyšetřovat situaci Upravíme
( , )= = E, =
E
E∈%
Vidíme, že upravená rovnice vyjadřuje hyperbolu. Pro kladná c má hyperbola větve v prvním a třetím kvadrantu. V opačném případě má větve ve druhém a čtvrtém kvadrantu. Následující obrázek ukazuje vrstevnice dané funkce pro hodnoty -2 (modrá), -1 (zelená), 1 (fialová) a 2(černá).
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 3d Máme nalézt konstantní hladiny a vrstevnice funkce: ∀ ∃
10
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B
Budeme tedy vyšetřovat situaci Upravíme
ČÁST 2 ( , )= +
+
−2
− 2 = E,
E∈%
( − 1) + = E+1 Vidíme, že upravená rovnice vyjadřuje kružnici o poloměru √E + 1. Definiční obor této odmocniny je interval G−1, ∞). Vyhodnocovat konstantní hladiny mimo tento interval nemá smysl. Přitom je zřejmé, že v levé krajní hodnotě tohoto intervalu se kružnice zbortí v jediný bod. S rostoucím c se poloměr kružnice zvětšuje. Následující obrázek ukazuje vrstevnice dané funkce pro hodnoty 1 (modrá), 2 (zelená), 3 (fialová) a 4 (černá).
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 3e Máme nalézt konstantní hladiny a vrstevnice funkce: ( , )=
Budeme tedy vyšetřovat situaci
+
+ = E, E∈% Vidíme, že upravená rovnice vyjadřuje přímky procházející bodem 〈E, 0〉. Následující obrázek ukazuje vrstevnice dané funkce pro hodnoty 1 (modrá), 2 (zelená), 3 (fialová) a 4 (černá).
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 3f Máme nalézt konstantní hladiny a vrstevnice funkce: Budeme tedy vyšetřovat situaci
∀ ∃
( , )= −
= E,
− E∈%
11
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B
ČÁST 2
Vidíme, že upravená rovnice vyjadřuje hyperbolu souměrnou kolem osy. Pro kladné případy této konstanty jde o souměrnost kolem osy . Pro záporné případy jde o souměrnost kolem osy . Následující obrázek ukazuje vrstevnice dané funkce pro hodnoty -2 (modrá), -1 (zelená), 1 (fialová) a 2 (černá).
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 3g Máme nalézt konstantní hladiny a vrstevnice funkce: ( , , F) =
Budeme tedy vyšetřovat situaci
+
+F
+ + F = E, E∈% Vidíme, že rovnice vyjadřuje rovinu v % . Vrstevnice v tomto případě není tedy linií, ale rovinou. Následující obrázek ukazuje vrstevnice dané funkce pro hodnoty -2 (modrá), -1 (zelená), 1 (fialová) a 2 (černá). I
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
∀ ∃
12
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B
ČÁST 2
Příklad 4 Utvořte složenou funkci
= ℎ(K , K ), je-li:
a) K ( , ) =
+2 , K ( , )=
c) K ( , ) =
− , K ( , )=
b) K ( , ) = 3
, K ( , )=
−
, ℎ( , ) =
+
, ℎ( , ) = sin +
+ , ℎ( , ) =
+ , ℎ( , ) = + ln d) K ( , ) = arctg , K ( , ) = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 4a
Máme vytvořit složenou funkci ( , ) = ℎ(K , K ), je-li: a) K ( , ) =
+2 , K ( , )=
c) K ( , ) =
− , K ( , )=
b) K ( , ) = 3
, K ( , )=
−
, ℎ( , ) =
+
, ℎ( , ) = sin +
+ , ℎ( , ) =
d) K ( , ) = arctg , K ( , ) = + , ℎ( , ) = + ln Nejprve vyjádříme hledanou funkci tak, jak je předepsána, tedy ( , ) = ℎ(K , K ) Nyní nahradíme pravou stranu zadanou funkcí ℎ( , ), přičemž jako její argumenty využijeme K , K ( , )=K +K Nyní nahradíme K , K stejně pojmenovanými zadanými funkcemi. ( , )= +2 + ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 4b
Máme vytvořit složenou funkci ( , ) = ℎ(K , K ), je-li:
K ( , )=3 , K ( , )= − , ℎ( , ) = sin + Nejprve vyjádříme hledanou funkci tak, jak je předepsána, tedy ( , ) = ℎ(K , K ) Nyní nahradíme pravou stranu zadanou funkcí ℎ( , ), přičemž jako její argumenty využijeme K , K
( , ) = sin K + K Nyní nahradíme K , K stejně pojmenovanými zadanými funkcemi.
( , ) = sin(3 ) + − ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 4c
Máme vytvořit složenou funkci ( , ) = ℎ(K , K ), je-li:
K ( , )= − , K ( , )= + , ℎ( , ) = Nejprve vyjádříme hledanou funkci tak, jak je předepsána, tedy ( , ) = ℎ(K , K ) Nyní nahradíme pravou stranu zadanou funkcí ℎ( , ), přičemž jako její argumenty využijeme K , K
∀ ∃
13
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B
ČÁST 2
( , )= K K Nyní nahradíme K , K stejně pojmenovanými zadanými funkcemi. Nakonec výraz vpravo upravíme
( , )=
( − )( + )
− ( , )= ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Řešení 4d
Máme vytvořit složenou funkci ( , ) = ℎ(K , K ), je-li:
K ( , ) = arctg , K ( , )= + , ℎ( , ) = + ln Nejprve vyjádříme hledanou funkci tak, jak je předepsána, tedy ( , ) = ℎ(K , K ) Nyní nahradíme pravou stranu zadanou funkcí ℎ( , ) přičemž jako její argumenty využijeme K , K ( , ) = K + ln K Nyní nahradíme K , K stejně pojmenovanými zadanými funkcemi.
+ + ln( arctg ) ( , )= ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
∀ ∃
14
