Přijímací zkoušky do NMS 2013 MATEMATIKA, zadání A,
jméno:
V následujících deseti problémech je z nabízených odpovědí vždy právě jedna správná. Zakroužkujte ji! Za každou správnou odpověď získáte uvedené body. Za nesprávnou odpověď se odečítá čtvrtina uvedené hodnoty. 1. Determinant matice A je různý od nuly právě tehdy, když matice A je a) obdélníková b) čtvercová c) trojúhelníková d) regulární e) singulární
2. Soustava lineárních algebraických rovnic má právě dvě řešení právě tehdy, když determinant soustavy je a) roven nule b) různý od nuly c) menší než nula d) větší než nula e) taková soustava neexistuje 3. lim x →0
4.
sin 2 x = 3x
a)
2 3
b)
∂2 y e sin x = a) e x sin x 2 ∂ y
3 2
c) 1
b) e y sin y
e) ∞
d) 0
c) e y sin x
4b
4b
4b
d) e x sin y
e) e y
4b
5. Uvažujme 31 studentů a náhodnou veličinu „tělesná výška jedince“. Studenty seřadíme podle velikosti a vybereme výšku šestnáctého z jich. Tímto způsobem jsme určili a) průměrnou výšku b) rozptyl e) žádná z uvedených odpovědí není správná
c) modus
d) medián
4b
6. Pro každou distribuční funkci platí, že je a) neklesající b) nerostoucí c) klesající e) žádná z uvedených odpovědí není správná
{
}
7. Je-li M = [ x, y, z ] ∈ R 3 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 9 , pak a) 9π
b) 27π
8. Mocninná řada
∞
∑ (−1)n n=0
c) 36π
dxdydz =
8b
M
d) 1
e) 0
x 2 n +1 může sloužit jako náhrada funkce ( 2n + 1)!
b) f ( x) = sin x
a) f ( x) = e x
∫∫∫
c) f ( x) = cos x
c) y = C1e x + xC2 e x
8b
d) f ( x) = ln x
e) f ( x) = tgx
a) y = C1e x + C2 e −2 x
9. Obecným řešením diferenciální rovnice y ''− 2 y '+ y = 0 je b) y = C1e − x + C2 e 2 x
8b
d) rostoucí
d) y = e x −1 ( 3 − 2 x )
e) y = e x
2
8b
− 2 x +1
10. Pravděpodobnost, že při třech hodech ideální šestistěnnou hrací kostkou padne aspoň jedna šestka, je a)
1 6
b)
5 6
c)
91 216
d)
125 216
e)
215 216
8b
Řešte následující úlohy. Za zcela správně vyřešenou úlohu získáte 20 bodů. Boduje se každý správný krok. Za chyby v řešení se body neodečítají. 11. Určete definiční obor a lokální extrémy funkce f ( x ) =
ln 2 x . x
Řešení: D ( f ) = \+
2 body
d −1 2 ln x ⎡⎣ x ln x ⎤⎦ = − x −2 ln 2 x + 2 x −2 ln x = 2 ( 2 − ln x ) x dx stac. body: ln x ( 2 − ln x ) = 0 ⇒ x1 = 1; x2 = e2 x2 extrémy ln x ⎫ x ∈ ( 0;1) ⇒ f ' ( x ) = 2 ( 2 − ln x ) < 0 ⎪ x ⎪ x1 = 1 minimum ln x ⎪ 2 x ∈ (1; e ) ⇒ f ' ( x ) = 2 ( 2 − ln x ) > 0 ⎬ ⇒ x x2 = e 2 maximum ⎪ ln x ⎪ x ∈ ( e 2 ; ∞ ) ⇒ f ' ( x ) = 2 ( 2 − ln x ) < 0 ⎪ x ⎭ f '( x) =
4 body
7 bodů
7 bodů
12. Načrtněte plochu ohraničenou grafy funkcí f ( x ) = x ; g ( x ) = x5 a určete její obsah. Řešení: Náčtek Meze integrálu S=
∫
0
−1
( x 5 − x ) dx +
2 body 4 body
∫
1
0
( x − x5 ) dx , popř.
∫
1
∫ ( x − x ) dx 5
7 bodů
0
1
⎡ x2 x6 ⎤ 2 S = 2 ( x − x ) dx = 2 ⎢ − ⎥ = 0 ⎣ 2 6 ⎦0 3 1
S =2
5
7 bodů
Přijímací zkoušky do NMS 2013 MATEMATIKA, zadání B, jméno: V následujících deseti problémech je z nabízených odpovědí vždy právě jedna správná. Zakroužkujte ji! Za každou správnou odpověď získáte uvedené body. Za nesprávnou odpověď se odečítá čtvrtina uvedené hodnoty. 1. K matici A existuje matice inverzní právě tehdy, když matice A je a) obdélníková
b) čtvercová c) trojúhelníková
d) regulární
e) singulární
2. Soustava lineárních algebraických rovnic má právě tři řešení právě tehdy, když hodnost matice soustavy je a) 0 3. lim x →0
4.
b) 1
sin 3x = 2x
c) 2 a)
2 3
b)
∂2 x e sin y = a) e x sin x 2 ∂ x
d) 3
3 2
c) 1
b) e y sin y
e) ∞
d) 0
c) e y sin x
4b
d) e x sin y
6. Pro hustotu pravděpodobnosti p ( x ) každé spojité náhodné veličiny je c) −1
b) 1
7. Mocninná řada
∞
∑ (−1)n n =0
a) f ( x) = e x
d) ∞
e) e y
{
}
b) 9π
p ( x ) dx =
8b
e) f ( x) = tgx
∫ ds = κ
4b
8b
d) f ( x) = ln x
8b
c) 27π
d) 1
e) 0
a) y = C1e x + C2 e−2 x
9. Obecným řešením diferenciální rovnice y ''+ 2 y '+ y = 0 je b) y = C1e − x + C2 e2 x
−∞
4b
e) integrál není definován
c) f ( x) = cos x
8. Je-li κ = [ x, y ] ∈ \ 2 x 2 + y 2 = 4 , pak a) 4π
∫
∞
x2n může sloužit jako náhrada funkce ( 2n ) !
b) f ( x) = sin x
4b
e) taková soustava neexistuje
5. Uvažujme skupinu sta studentů a náhodnou veličinu „hodnocení u zkoušky“ (stupněm 1 – 6). Zapíšeme-li hodnocení, které se vyskytuje nejčastěji, určili jsme: a) průměrné hodnocení b) rozptyl c) modus d) medián e) žádná z uvedených odpovědí není správná
a) 0
4b
c) y = C1e − x + xC2 e− x d) y = e x −1 ( 3 − 2 x )
e) y = e x
2
+ 2 x +1
8b
10. Pravděpodobnost, že při třech hodech ideální šestistěnnou hrací kostkou nepadne ani jedna šestka, je
a)
1 6
b)
5 6
c)
91 216
d)
125 216
e)
215 216
8b
Řešte následující úlohy. Za zcela správně vyřešenou úlohu získáte 20 bodů. Boduje se každý správný krok. Za chyby v řešení se body neodečítají.
11. Určete definiční obor a lokální extrémy funkce f ( x ) =
x . ln 2 x
Řešení: D ( f ) = \ + − {1}
f '( x) =
2 body
d 1 ⎡⎣ x ln −2 x ⎤⎦ = ln −2 x − 2 ln −3 x = 2 (1 − ln2x ) dx ln x
4 body
stac. body: 1 (1 − ln2x ) = 0 ⇒ x1 = e2 2 ln x
7 bodů
extrémy 1 (1 − ln2x ) < 0 ⎪⎪⎫ 2 ln x 2 ⎬ ⇒ x1 = e minimum 1 x ∈ ( e2 ; ∞ ) ⇒ f ' ( x ) = 2 (1 − ln2x ) > 0 ⎪ ⎪⎭ ln x x ∈ (1; e 2 ) ⇒ f ' ( x ) =
7 bodů
12. Načrtněte plochu ohraničenou grafy funkcí f ( x ) = x ; g ( x ) = x3 a určete její obsah. Řešení: Náčtek meze integrálu S=
∫
0
−1
( x 3 − x ) dx +
2 body 4 bodů
∫
1
0
( x − x3 ) dx , popř.
∫
1
∫ ( x − x ) dx 3
7 bodů
0
1
⎡ x2 x4 ⎤ 1 S = 2 ( x − x ) dx = 2 ⎢ − ⎥ = 0 ⎣ 2 4 ⎦0 2 1
S =2
3
7 bodů
Přijímací zkoušky do NMS 2013 MATEMATIKA, zadání C, jméno:
V následujících deseti problémech je z nabízených odpovědí vždy právě jedna správná. Zakroužkujte ji! Za každou správnou odpověď získáte uvedené body. Za nesprávnou odpověď se odečítá čtvrtina uvedené hodnoty. 1. Determinant matice A neexistuje právě tehdy, když matice A je a) obdélníková b) čtvercová c) trojúhelníková d) regulární
e) singulární
2. Soustava lineárních algebraických rovnic má právě dvě řešení právě tehdy, když determinant soustavy je a) roven nule b) různý od nuly c) menší než nula d) větší než nula e) taková soustava neexistuje 2x2 + x = x →∞ x2
3. lim
4.
a) 2
∂2 y e cos x = a) e x cos x 2 ∂ y
b)
1 2
c) ∞
d) 0
c) e y cos x
b) e y cos y
e) neexistuje
d) e x cos y
e) e y
5. Uvažujme 31 studentů a náhodnou veličinu „prospěch u zkoušky“ (hodnocený stupněm 1 - 6). Studenty seřadíme podle prospěchu a vybereme prospěch šestnáctého z nich. Tímto způsobem jsme určili a) průměrnou výšku b) rozptyl e) žádná z uvedených odpovědí není správná
c) modus
4b
4b
4b
4b
4b
d) medián
6. Součet všech hodnot pravděpodobnostní funkce diskrétní náhodné veličiny je roven a)
c) −1
b) 0
1
{
}
7. Je-li M = [ x, y ] ∈ \ 2 x 2 + y 2 ≤ 16 , pak a) 9π
b) 27π
c) 16π
d) ∞
∫∫
8b
e) součet neexistuje
dxdy =
8b
M
d) 1
e) 0
∞
xn 8. Mocninná řada ∑ může sloužit jako náhrada funkce n =0 n ! a) f ( x) = e x b) f ( x) = sin x c) f ( x) = cos x d) f ( x) = ln x
9. Obecným řešením diferenciální rovnice y ''− 4 y '+ 3 y = 0 je b) y = C1e + C2 e 4x
−3 x
c) y = C1e + C2 e x
3x
d) y = e
x −1
(3 − 4x )
8b
e) f ( x) = tgx
a) y = −4C1e x + 3C2 e x e) y = e
8b
x2 − 4 x +3
10. Pravděpodobnost, že při třech hodech ideální šestistěnnou hrací kostkou padne aspoň dvakrát šestka, je 1 2 16 126 90 a) b) c) d) e) 3 216 216 216 216
8b
Řešte následující úlohy. Za zcela správně vyřešenou úlohu získáte 20 bodů. Boduje se každý správný krok. Za chyby v řešení se body neodečítají. 11. Určete definiční obor a inflexní body funkce f ( x ) = ( x 2 − 3x + 2 ) ⋅ e x . Řešení: D( f ) = \
1 bod
f ' ( x ) = ( 2 x − 3) ⋅ e x + ( x 2 − 3 x + 2 ) e x = ( x 2 − x − 1) e x
4 body
f '' ( x ) = ( 2 x − 1) e x + ( x 2 − x − 1) e x = ( x 2 + x − 2 ) e x
4 body
stac. body: f ''( x) = 0 ⇒ x1 = −2; x2 = 1 inflexe f ' ( x1 ) = f ' ( −2 ) > 0 inflexe f ' ( x2 ) = f ' (1) < 0
3 body 4 body
inflexe
4 body
12. Načrtněte plochu ohraničenou grafy funkcí f ( x ) = x 3 ; g ( x ) = x5 a určete její obsah.
Řešení: Náčtek Meze integrálu S=
∫
0
−1
(x
5
− x 3 ) dx +
2 body 4 body 1
∫ (x 0
3
− x 5 ) dx , popř.
∫
1
∫ ( x − x ) dx 3
5
7 bodů
0
1
⎡ x4 x6 ⎤ 1 S = 2 ( x − x ) dx = 2 ⎢ − ⎥ = 0 ⎣ 4 6 ⎦0 6 1
S =2
3
5
7 bodů
Přijímací zkoušky do NMS 2013 MATEMATIKA, zadání D, jméno: V následujících deseti problémech je z nabízených odpovědí vždy právě jedna správná. Zakroužkujte ji! Za každou správnou odpověď získáte uvedené body. Za nesprávnou odpověď se odečítá čtvrtina uvedené hodnoty. 1. Determinant matice A je roven nule právě tehdy, když matice A je a) obdélníková b) čtvercová c) trojúhelníková d) regulární
e) singulární
2. Soustava lineárních algebraických rovnic má řešení právě tehdy, když determinant soustavy je a) roven nule b) různý od nuly c) menší než nula d) větší než nula e) žádná předchozí odpověď není správná
x2 + x = x →∞ 2 x 2
a) 2
3. lim
4.
b)
∂2 y e cos x = a) e x cos x ∂2 x
1 2
b) e y cos y
c) ∞
d) 0
e) neexistuje
d) −e y cos x
c) e y cos x
e) e y
5. Uvažujme skupinu 31 studentů a náhodnou veličinu „studijní průměr za bakalářské studium“. Studenty seřadíme podle tohoto průměru a vybereme průměr šestnáctého z nich. Tímto způsobem jsme určili
4b
4b
4b
4b
4b
a) průměrný prospěch skupiny b) rozptyl náhodné veličiny c) modus náhodné veličiny d) medián náhodné veličiny e) žádná z uvedených odpovědí není správná 6. Pro obor hodnot H každé distribuční funkce F ( x ) platí b) H = ( −∞ ;1
a) H = \
c) H ⊆ 0;1
7. Je-li M = {[ x, y ] ∈ \ 2 y ≤ 1 − x; x; y ≥ 0} , pak a) 2
b) 1
8. Řada
∞
( −1)
c)
1 2
d)
d) H = −1;1
∫∫
e) H = 1; ∞ )
dxdy =
8b
M
1 3
e) 0
n
∑ 2n + 1
a) konverguje absolutně
b) konverguje relativně
8b
n=0
c) osciluje
d) diverguje
e) žádná předchozí odpověď není správná
9. Obecným řešením diferenciální rovnice y ''+ y = 0 je b) y = C1e + C2 e x
8b
x
a) y = C1 x + C2 x
c) y = C1e + C2 sin x d) y = C1 cos x + C2 sin x x
8b
e) y = e
x 2 +1
10. Pravděpodobnost, že při třech hodech ideální šestistěnnou hrací kostkou padne aspoň dvakrát trojka, je
a)
1 3
b)
2 216
c)
16 216
d)
126 216
e)
90 216
8b
Řešte následující úlohy. Za zcela správně vyřešenou úlohu získáte 20 bodů. Boduje se každý správný krok. Za chyby v řešení se body neodečítají. 11. Určete definiční obor, lokální extrémy a inflexní body funkce f ( x ) =
x . ex
Řešení: D( f ) = \
1 bod
d ⎡⎣ xe− x ⎤⎦ = e− x − xe− x = e− x (1 − x ) dx d f '' ( x ) = ⎡⎣ e− x − xe− x ⎤⎦ = −e− x − ( e− x − xe − x ) = xe − x − 2e − x = e − x ( x − 2 ) dx stac. body: f '( x) = 0 ⇒ x1 = 1 f ''( x) = 0 ⇒ x2 = 2 extrém: f '' ( x1 ) = f '' (1) < 0 maximum inflexe f ' ( x2 ) = f ' ( 2 ) < 0 inflexe f '( x) =
4 body 4 body
3 body 4 body 4 body
12. Načrtněte plochu ohraničenou grafy funkcí f ( x ) = x 4 ; g ( x ) = x a určete její obsah.
Řešení: Náčtek Meze integrálu S=
∫
0
−1
2 body 4 body 1
( − x − x ) dx + ∫ ( x − x ) dx , popř. 4
4
0
∫
1
∫ ( x − x ) dx 4
7 bodů
0
1
⎡ x 2 x5 ⎤ 3 S = 2 ( x − x ) dx = 2 ⎢ − ⎥ = 0 ⎣ 2 5 ⎦0 5 1
S =2
4
7 bodů
