ZVMTA
Cviˇcen´ı
´ klady Vyˇ Za sˇ s´ı Matematiky ˇen´ı Cvic Petr Hasil
[email protected]
Pozn´ amka 1. Vytvoˇreno s podporou projektu Pr˚ uˇrezov´a inovace studijn´ıch program˚ u Lesnick´e a dˇrevaˇrsk´e fakulty MENDELU v Brnˇe (LDF) s ohledem na discipl´ıny spoleˇcn´eho z´akladu hhttp://akademie.ldf.mendelu.cz/czi (reg. ˇc. CZ.1.07/2.2.00/28.0021) za pˇrispˇen´ı finanˇcn´ıch proˇ e republiky. stˇredk˚ u EU a st´ atn´ıho rozpoˇctu Cesk´ Pozn´ amka 2. Pˇr´ıklady oznaˇcen´e “‡” jsou tˇeˇzˇs´ı (st´ale ale ˇreˇsiteln´e postupy pouˇz´ıvan´ ymi u ostatn´ıch pˇr´ıklad˚ u) a jsou urˇceny jen pro z´ ajemce.
1
Pˇ r´ıklady
ˇ ste rovnice/nerovnice Pˇ r´ıklad 1. Reˇ a) x2 − x − 6 = 0,
e)
x+2 x−3
≤ 0,
f)
4 x+1
> 2,
g)
x2 −2x x+3
2
b) x − 4x + 29 = 0, 2
c) x + 8x + 15 > 0, √ d) x + 1 > x − 1, Pˇ r´ıklad 2. Najdˇete pr˚ useˇc´ıky funkce f (x) =
x−4 x
≤1−
5 x+3 .
se souˇradn´ymi osami.
ˇ ste rovnice Pˇ r´ıklad 3. Reˇ a) ex−6 −12 = 0,
c) 72−x + 5 = 8,
b) 2 ln(3x − 7) + 8 = 0,
d) ln(2x + 3) − 5 = 12.
Pˇ r´ıklad 4. Urˇcete derivaci n´ asleduj´ıc´ıch funkc´ı.
1
ZVMTA
Cviˇcen´ı
a) f (x) = 0,
g) f (x) = x tg x,
b) f (x) = −52,
h) f (x) = x2 ex sin x,
c) f (x) = −2x3 + x2 − 4x + 3, √ √ 5 d) f (x) = x − 5x2 2 + 6 x3 ,
i) f (x) = x3 6x , √ j) f (x) = x2 − 1,
e) f (x) =
x+8 3x2 −1 ,
f ) f (x) = 2 sin x + cotg x,
k) f (x) =
1 ln x ,
l) f (x) =
1−x x2 +1 .
Pˇ r´ıklad 5. Urˇcete derivaci funkce f v bodˇe x0 . a) f (x) = 3x2 + 2x − 8, x0 = −1,
b) f (x) = ln(tg x), x0 =
π 4.
Pˇ r´ıklad 6. Urˇcete funkˇcn´ı hodnotu a hodnotu prvn´ı a druh´e derivaci funkce f v bodˇe x0 . a) f (x) =
√
3x4 + 1, x0 = −1,
b) f (x) = x sin(2x), x0 =
π 4.
Pˇ r´ıklad 7. Urˇcete definiˇcn´ı obor funkce a) f (x) = b) f (x) =
√
2x + 5,
c) f (x) = ln(x2 + 4x − 5) + d) f (x) = arcsin x+3 2 +
2x √ , x
q
2 √2x , 2x+6
x+4 x−2 .
Pˇ r´ıklad 8. Urˇcete definiˇcn´ı obor dan´e funkce a zakreslete jej v rovinˇe. √
a) f (x, y) =
x 3y ,
b) f (x, y) = ln(x + y),
p (x2 + y 2 − 1)(4 − x2 − y 2 ), p √ d) f (x, y) = 1 − x2 + 1 − y 2 . c) f (x, y) =
Pˇ r´ıklad 9. Zakreslete a popiˇste vrstevnice funkce a) f (x, y) = x2 + y 2 ,
c) f (x, y) = xy.
b) f (x, y) = xy , Pˇ u souˇradn´ymi rovinami zakreslete graf funkce f (x, y) = pr´ıklad 10. Pomoc´ı vrstevnic a ˇrez˚ x2 + y 2 . Pˇ r´ıklad 11. Urˇcete intervaly monotonie a lok´ aln´ı extr´emy funkce a) f (x) = 12x5 − 15x4 − 40x3 + 60,
f ) h(x) =
x3 x2 −1 ,
2
b) g(x) = x e−x , c) h(x) =
x2 ln x ,
d) f (x) =
1 x
e) g(x) =
(x+3)2 ex ,
ln x1 ,
2
x , g) f (x) = − x+1
h) g(x) =
x2 +1 x2 −1 ,
i) h(x) =
1 2
x+
1 x
.
Pˇ r´ıklad 12. Urˇcete takov´e nenulov´e re´ aln´e ˇc´ıslo x, ˇze jeho rozd´ıl s pˇrevr´ acenou hodnotou druh´e mocniny tohoto ˇc´ısla je maxim´ aln´ı.
2
ZVMTA
Cviˇcen´ı
Pˇ r´ıklad 13. M´ ate za u ´kol vyprojektovat uprostˇred pozemku tvaru ˇctverce o stranˇe 1,5 km 8 soused´ıc´ıch parcel urˇcen´ych ke stavbˇe luxusn´ıch vil. Parcely mus´ı b´yt obd´eln´ıkov´e, ve dvou ˇrad´ ach po ˇctyˇrech a v´ymˇera kaˇzd´e z nich mus´ı ˇcinit 120 ar˚ u (tj. celkem 960 ar˚ u). Kolem kaˇzd´e parcely mus´ıte nechat postavit cesty. Pˇritom dlouh´ a spojovac´ı cesta mezi ˇradami po ˇctyˇrech bude na obˇe strany vyvedena mimo pozemek a napojena na silniˇcn´ı s´ıt’ oblasti. Tyto napojovac´ı cesty budou financov´ any plnˇe z fondu EU, takˇze jejich cenu nen´ı potˇreba uvaˇzovat. Jak´e rozmˇery parcel zvol´ıte, aby se za stavbu cest co nejv´ıce uˇsetˇrilo? Pˇ r´ıklad 14. S´ıla nosn´ıku o obd´eln´ıkov´em pr˚ uˇrezu je pˇr´ımo u ´mˇern´ a souˇcinu jeho ˇs´ıˇrky a kvadr´ atu jeho v´yˇsky (mˇeˇreno na pr˚ uˇrezu). Urˇcete rozmˇery nejsilnˇejˇs´ıho nosn´ıku, jak´y lze vyrobit z polena o kruhov´em pr˚ uˇrezu s polomˇerem r. Pˇ r´ıklad 15. Chceme studovat kachnu divokou bˇehem hn´ızdˇen´ı. K tomu potˇrebujeme postavit obd´eln´ıkovou ohradu, kter´ a bude kachny chr´ anit pˇred pred´ atory. K dispozici m´ ame 120 m pletiva, kter´ym chceme oplotit co moˇzn´ a nejvˇetˇs´ı plochu tak, aby byl plot dvojit´y s metrov´ym prostorem mezi, pˇriˇcemˇz jedna strana ohrady bude u jezera – u t´e staˇc´ı jeden plot. Pˇ r´ıklad 16. Je d´ an ˇctverec pap´ıru. Z kaˇzd´eho rohu odstˇrihnˇete menˇs´ı ˇctvereˇcek tak, aby krabiˇcka poskl´ adan´ a ze zbytku mˇela maxim´ aln´ı objem. Pˇ r´ıklad 17. Letadlo d´ alniˇcn´ı hl´ıdky let´ı 3 m´ıle vysoko nad vozovkou rychlost´ı 120 mi/h. Pilot zamˇeˇr´ı radarem auto jedouc´ı proti smˇeru letu letadla a zjist´ı, ˇze auto se pˇri vzd´ alenosti 5 mil od letadla pˇribliˇzuje rychlost´ı 160 mi/h. Urˇcete rychlost auta. Pˇ r´ıklad 18. O d˚ um je opˇren´y ˇzebˇr´ık dlouh´y 13 metr˚ u. N´ ahle zaˇcne z´ akladna ˇzebˇr´ıku podkluzovat. Ve chv´ıli, kdy je z´ akladna ˇzebˇr´ıku 12 m od domu, klouˇze rychlost´ı 5 m/s. Zjistˇete: a) Jakou rychlost´ı kles´ a vrˇsek ˇzebˇr´ıku po zdi domu. b) Jakou rychlost´ı se mˇen´ı obsah troj´ uheln´ıku dan´eho ˇzebˇr´ıkem, domem a zem´ı. c) Jakou rychlost´ı se mˇen´ı u ´hel, kter´y sv´ır´ a ˇzebˇr´ık se zem´ı. Pˇ r´ıklad 19. Urˇcete rovnici teˇcny a norm´ aly funkce f v bodˇe x0 . a) f (x) = x2 + ln x, b) f (x) =
1−x x2 −3 ,
x0 = 1,
x0 = −2,
c) f (x) = 2x + sin x, x0 = π, √ d) f (x) = 3 1 − x, x0 = 9.
Pˇ r´ıklad 20. Pomoc´ı line´ arn´ı aproximace urˇcete pˇribliˇznˇe: a) 2.035 ,
b) cos 59◦ .
Pˇ r´ıklad 21. Pomoc´ı Newton–Raphsonovy metody odhadnˇete proved’te 5 iterac´ı s poˇc´ ateˇcn´ım odhadem: a) x0 = 10,
√ 3
64 – urˇcete iteraˇcn´ı sch´ema a
b) x0 = 64.
Pˇ r´ıklad 22. Napiˇste Taylor˚ uv polynom ˇctvrt´eho ˇr´ adu se stˇredem v x0 = −1 pro funkci f (x) = x1 . Pˇ r´ıklad 23. Napiˇste Maclaurin˚ uv polynom tˇret´ıho ˇr´ adu pro funkci f (x) = cos 3x − 3 sin x. Pˇ r´ıklad ‡ 24. Napiˇste Maclaurin˚ uv polynom tˇret´ıho ˇr´ adu pro funkci f (x) = ecos x . Pˇ r´ıklad 25. Urˇcete parci´ aln´ı derivace prvn´ıho a druh´eho ˇr´ adu funkce
3
ZVMTA
Cviˇcen´ı
a) f (x, y) = 2x3 − 3x2 y 2 + 7xy 3 − 15,
c) f (x, y) = xy ,
b) f (x, y) = 5xy sin(7x − 2y),
d) f (x, y) =
√
y+2xy √ . x
Pˇ r´ıklad 26. Urˇcete parci´ aln´ı derivace prvn´ıho ˇr´ adu funkce a) f (x, y) = sin xy cos xy ,
b) f (x, y) = ln(x2 ey −3y).
Pˇ r´ıklad 27. Urˇcete rovnici teˇcn´e roviny funkce f v bodˇe [x0 , y0 ]. a) f (x, y) = x3 + 3xy 2 − xy + x, b) f (x, y) = ln(x + 2y),
[x0 , y0 ] = [1, 0],
[x0 , y0 ] = [2, 1].
Pˇ r´ıklad ‡ 28. Pomoc´ı line´ arn´ı aproximace urˇcete pˇribliˇznˇe: a)
√
3
b) e0.04
0.982 + 2.053 ,
−0.01
.
Pˇ r´ıklad 29. Integrujte. √ 3
√ 5 x2√ −2 x3 4 3 x
(a)
R
8x3 − 2x2 + x − 1 dx,
(d)
R
(b)
R
(x + 3)(2x − 7) dx,
(e)
R
√ −2 5−5x2
(c)
R
(f )
R
14x −5·7x 4·7x
(c)
R
x ln x 2
(d)
R
5 ln x dx,
(f )
R
(12x + 3)−4 dx,
(g)
R
(h)
R
(i)
R
(j)
R
(d)
R
(e)
R e8
(f )
R2
2x6 −3x3 +6x−2 4x2
dx,
dx,
dx, dx.
Pˇ r´ıklad 30. Integrujte per partes. (a)
R
(2x + 3) sin x dx,
(b)
R
(x2 + 3x − 1) ex dx,
dx,
Pˇ r´ıklad 31. Integrujte substituc´ı. (a)
R
7 3x
(b)
R
2 5−9x
dx, dx,
(e)
R
dx,
√
R√
3 − 4x dx, R √ 5 (d) 2x − 3 dx, (c)
√ 3x 3x2 −5
√ x 2x+3
dx,
[subst. x = t2 ]
ln x x dx, √ √ 20 x−2 30 x √ √ 2 15 x− 12 x ex 4−ex
dx,
[subst. t = x60 ],
dx.
Pˇ r´ıklad 32. Integrujte. (a)
R5
(b)
Rπ
(c)
R1
−3
0
3x2 − 5x + 7 dx,
x + sin x dx,
3 0 1+x2
dx,
π 2 π 6
(2 − x) cos x dx, √ 1 x ln x+1
1
0
2
√ 5x 2x3 +9
Pˇ r´ıklad 33. Pomoc´ı lichobˇeˇzn´ıkov´eho pravidla aproximujte na pˇet subinterval˚ u.
R3 −2
dx,
dx.
x2 −2x+3. Interval [−2, 3] rozdˇelte
4
ZVMTA
Cviˇcen´ı
Pˇ r´ıklad 34. V rovinˇe je d´ ana mnoˇzina ohraniˇcen´ a kˇrivkami x = 1,
y = 2x,
y = 3x.
(a) Zn´ azornˇete tuto mnoˇzinu na obr´ azku. (b) Napiˇste obˇe moˇznosti poˇrad´ı integrace funkce f (x, y) pˇres tuto mnoˇzinu. (c) Pomoc´ı dvojn´ asobn´eho integr´ alu urˇcete plochu t´eto mnoˇziny. Pˇ r´ıklad 35. Pˇreved’te dvojn´y integr´ al ZZ f (x, y) dx dy A
na integr´ al dvojn´ asobn´y (obˇe moˇznosti poˇrad´ı integrace), je-li mnoˇzina A ohraniˇcena y = x,
y = x − 3,
y = 2,
y = 4.
Pˇ r´ıklad 36. Vypoˇctˇete integr´ al ZZ x + y dx dy, kde A = {[x, y] ∈ R2 : y ≥ x2 , y ≤ x}. A
Pˇ r´ıklad 37. Zamˇen ˇte meze a vypoˇctˇete integr´ al √π √π Z 2 Z 2 y 2 sin x2 dx dy. 0
y
Pˇ r´ıklad ‡ 38. Vypoˇctˇete integr´ al ZZ
x2 y 2 dx dy,
A
kde mnoˇzina A je zn´ azornˇena na n´ asleduj´ıc´ım obr´ azku.
5
ZVMTA
Cviˇcen´ı
Pˇ r´ıklad 39. Vypoˇctˇete dvojn´y integr´ al ZZ x2 + y 2 dx, kde A = {[x, y] ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 4, y ≥ x, y ≥ −x}. A
Pˇ r´ıklad 40. Vypoˇctˇete plochu mnoˇziny A = {[x, y] ∈ R2 : x2 + y 2 ≥ 1, x2 + y 2 ≤ 9, y ≤ x, y ≥ 0}. Pˇ r´ıklad 41. Je d´ ana mnoˇzina A = {[x, y] ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 2x ≤ y ≤ 3x}. Urˇcete souˇradnice jej´ıho tˇeˇziˇstˇe. Pˇ r´ıklad 42. Urˇcete kvadratick´y moment pr˚ uˇrezu mnoˇziny A = {[x, y] ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 4, y ≤ 0, y ≥ x} vzhledem k ose proch´ azej´ıc´ı kolmo poˇc´ atkem. Pˇ r´ıklad 43. Urˇcete moment setrvaˇcnosti mnoˇziny A = {[x, y] ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 2x ≤ y ≤ 3x}, jej´ıˇz hustota je v kaˇzd´em bodˇe d´ ana souˇctem jeho souˇradnic, vzhledem (a) k ose x,
(b) k ose y.
Pˇ r´ıklad 44. Vyˇreˇste diferenci´ aln´ı rovnici: (a) y 0 − sin x = 5,
(b) y 0 =
y ln y x .
Pˇ r´ıklad 45. Vyˇreˇste poˇc´ ateˇcn´ı u ´lohu: x + y 0 = 2,
y(2) = 5.
6
ZVMTA
2
Cviˇcen´ı
V´ ysledky nˇ ekter´ ych pˇ r´ıklad˚ u
Pˇr´ıklad 1: (a) −2, 3,
(e) [−2, 3),
(b) 2 ± 5i, (c) (−∞, −5) ∪ (3, ∞),
(f) (−1, 1), (g) (−∞, −3) ∪ [1, 2].
(d) [−1, 3), Pˇr´ıklad 2: Px = [4, 0]. Pˇr´ıklad 3:
(c) 2 − log7 3,
(a) 6 + ln 12, (b)
1 −4 3 (e
+7),
(d)
1 17 2 (e
−3).
Pˇr´ıklad 4: x cos2 x ,
a) 0,
g) tg x +
b) 0,
h) x ex (2 sin x + x sin x + x cos x),
c) −6x2 + 2x − 4,
i) f (x) = x2 6x (3 + x ln 6),
d)
1 √ 2 x
+
4 5x3
+
5
18 √ 5 2, x
2
e) − 3x(3x+48x+1 2 −1)2 , f) 2 cos x −
1 , sin2 x
j)
√ x , x2 −1
k)
−1 , x ln2 x
l)
x2 −2x−1 (x2 +1)2 .
Pˇr´ıklad 5: a) −4,
b) 2.
Pˇr´ıklad 6: a) 2, −3, 92 ,
b)
π 4 , 1, −4.
Pˇr´ıklad 7: (a) [− 25 , ∞),
(c) (1, ∞),
(b) R \ {0},
(d) [−5, −4].
7
ZVMTA
Cviˇcen´ı
Pˇr´ıklad 9:
Pˇr´ıklad 10:
Pˇr´ıklad 11: (a) (−∞, −1) ∪ (2, ∞) :%, (−1, 2) :&, lok´ aln´ı maximum v x = −1, lok´ aln´ı minimum v x = 2, √
√
√
√
(b) (−∞, − 22 ) ∪ ( 22 , ∞) :&, (− 22 , 22 ) :%, √ √ aln´ı minimum v x = − 22 , lok´ aln´ı maximum v x = 22 , lok´ √ √ (c) (0, e) :&, ( e, ∞) :%, √ lok´ aln´ı maximum v x = e, (d) (0, e) :&, (e, ∞) :%, lok´ aln´ı minimum v x = e, (e) (−∞, −3) ∪ (−1, ∞) :&, (−3, −1) :%, lok´ aln´ı maximum v x = −1, lok´ aln´ı minimum v x = −3, √ √ √ √ (f) (−∞, − 3) ∪ ( 3, ∞) :%,√ (− 3, 3) \ {±1} :&, √ lok´ aln´ı maximum v x = − 3, lok´aln´ı minimum v x = 3, (g) (−∞, −2) ∪ (0, ∞) :&, (−2, −1) ∪ (−1, 0) :%, lok´ aln´ı maximum v x = 0, lok´ aln´ı minimum v x = −2, (h) (−∞, −1) ∪ (−1, 0) :%, (0, 1) ∪ (1, ∞) :&, lok´ aln´ı maximum v x = 0, 8
ZVMTA
Cviˇcen´ı
(i) (−∞, −1) ∪ (1, ∞) :%, (−1, 0) ∪ (0, 1) :&, lok´ aln´ı maximum v x = −1, lok´ aln´ı minimum v x = 1. √ Pˇr´ıklad 12: − 3 2. Pˇr´ıklad 13: 100 × 120 metr˚ u, pˇriˇcemˇz vˇetˇs´ı rozmˇer je ze strany, ze kter´e jsou vedle sebe dva pozemky. Pˇr´ıklad 14:
√ 2√ 2 r 3
×
2r √ . 3
Pˇr´ıklad 15: Prostor pro kachny bude m´ıt rozmˇery 14.25 × 19 metr˚ u, pˇriˇcemˇz u vody je delˇs´ı strana. Pˇr´ıklad 16: Odstˇriˇzen´ y ˇctvereˇcek bude m´ıt stranu o d´elce 1/6 d´elky strany pap´ıru. Pˇr´ıklad 17: −80mi/h. (b) − 59.5m2 /s,
Pˇr´ıklad 18: (a) − 12m/s,
(c) − 1rad/s.
Pˇr´ıklad 19: (a) t : y = 1 + 3(x − 1),
n : y = 1 − 13 (x − 1),
(b) t : y = 3+11(x+2),
1 3− 11 (x+2),
n:y=
(c) t : y = +x + π,
n : y = 3π − x,
1 (d) t : y = −2 − 12 (x − 9), n : y = −2 + 12(x − 9).
Pˇr´ıklad 20: (a) 34.4,
(b) 0.5151.
Pˇr´ıklad 21: xk+1 = 31 (2xk +
64 ), x2k
(a)8.615329,
(b)4.000021.
Pˇr´ıklad 22: −x4 − 5x3 − 10x2 − 10x − 5. Pˇr´ıklad 23: 1 − 3x − Pˇr´ıklad 24: 1 −
9x2 2
+
x3 2 .
x2 2 .
Pˇr´ıklad 25: a) fx0 (x, y) = 6x2 − 6xy 2 + 7y 3 , fy0 (x, y) = −6x2 y + 21xy 2 , 00 fxx (x, y) = 12x − 6y 2 , 00 fyy (x, y) = −6x2 + 42xy, 00 fxy (x, y) = −12xy + 21y 2 . b) fx0 (x, y) = 5y sin(7x − 2y) + 35xy cos(7x − 2y), fy0 (x, y) = 5x sin(7x − 2y) − 10xy cos(7x − 2y), 00 fxx (x, y) = 70y cos(7x − 2y) − 245xy sin(7x − 2y), 00 fyy (x, y) = −20x cos(7x − 2y) − 20xy sin(7x − 2y), 00 fxy (x, y) = 5 sin(7x − 2y) + 35x cos(7x − 2y) − 10y cos(7x − 2y) + 70xy sin(7x − 2y). c) fx0 (x, y) = − xy2 , fy0 (x, y) = x1 , 00 fxx (x, y) = x2y3 , 00 fyy (x, y) = 0, 00 fxy (x, y) = − x12 . 9
ZVMTA
Cviˇcen´ı
d) fx0 (x, y) = fy0 (x, y) =
√ 2xy− y 3
00 fxx (x, y) = 00 fyy (x, y)
,
2x 2√ 1+4x y √ 2 xy , √ 3 y−2xy
=
00 fxy (x, y) =
5
4x 2 −1 3√ , 2 4y √ x 4x y−1 3√ . 4x 2 y
,
Pˇr´ıklad 26: a) fx0 (x, y) =
y y x x x2 cos y cos x +y 2 sin y sin x x2 y
b) fx0 (x, y) =
2x ey x2 ey −3y ,
fy0 (x, y) =
,
fy0 (x, y) = −
y y x x x2 cos y cos x +y 2 sin y sin x x2 y
.
x2 ey −3 x2 ey −3y .
Pˇr´ıklad 27: (a) 4x − y − z − 2 = 0,
(b) x + 2y − 4z + 4(ln 4 − 1) = 0.
Pˇr´ıklad 28: (a)
928 300 ,
(b)
99 100 .
(d)
12 11
Pˇr´ıklad 29: (a) 2x4 − 23 x3 + (b)
2 3 3x
(c)
x5 10
−
x2 2
x2 2
− x + c,
√
12
x11 −
40 17
√
20
(e) − √25 arcsin x + c,
− 21x + c,
(f)
2x 4 ln 2
(a) 2 sin x − (2x + 3) cos x + c,
(c)
x2 4
(b) ex (x2 + x − 2) + c,
(d) 5x(ln x − 1) + c.
− 38 x2 +
3 2
ln |x| +
x17 + c,
1 2x
+ c,
− 54 x + c.
Pˇr´ıklad 30: ln x −
x2 8
+ c,
Pˇr´ıklad 31: (a)
7 3
ln |x| + c,
(b) − 29 ln |5 − 9x| + c, p (c) − 16 (3 − 4x)3 + c, p 5 5 (d) 12 (2x − 3)6 + c, q q √ (e) x − 32 arctg 2x 3 + c,
(f)
−1 36(12x+3)3
+ c,
√
3x2 − 5 + c, √ (h) 32 ln3 x + c, √ 30 30 29 (i) − 29 x + c, (g)
(j) − ln |4 − ex | + c.
10
ZVMTA
Cviˇcen´ı
Pˇr´ıklad 32: √
(a) 168, (b) 2 + (c)
(d) 1 + π2 2 ,
(f)
5 12 π,
10 3 .
45 2 .
Pˇr´ıklad 34:
R 1 R 3x
Pˇr´ıklad 35:
R 4 R y+3
Pˇr´ıklad 36:
−
(e) 4,
3 4 π,
Pˇr´ıklad 33:
3 2
0
2x
2
f (x, y) dy dx =
y
R2R
f (x, y) dx dy =
0
y 2 y 3
f (x, y) dx dy +
R4Rx 2
2
f (x, y) dy dx+
R3R1 2
y 3
R5R4 4
2
f (x, y) dx dy, plocha 21 . f (x, y) dy dx+
R7R4 5
x−3
f (x, y) dy dx.
3 20 .
Pˇr´ıklad 37: 16 . Pˇr´ıklad 38:
63 24
ln 2.
Pˇr´ıklad 39: 2π. Pˇr´ıklad 40: π. Pˇr´ıklad 41: T = [ 32 , 53 ]. Pˇr´ıklad 42: π. Pˇr´ıklad 43: (a) 271 60 ,
7 (b) 10 .
Pˇr´ıklad 44: (a)y = 5x − cos x + c, Pˇr´ıklad 45: y = 2x −
x2 2
(b)y = ecx .
+ 3.
11
