PERSAMAAN INTEGRAL FREDHOLM BENTUK KEDUA UNTUK ALIRAN FLUIDA PADA CELAH PINTU AIR
TUGAS AKHIR Diajukan untuk memenuhi persyaratan kelulusan Program Studi Matematika Institut Teknologi Bandung
oleh:
PANDU AGUNG LAKSONO NIM 10103501
PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2010
PERSAMAAN INTEGRAL FREDHOLM BENTUK KEDUA UNTUK ALIRAN FLUIDA PADA CELAH PINTU AIR
TUGAS AKHIR Diajukan untuk memenuhi persyaratan sidang sarjana Program Studi Matematika Institut Teknologi Bandung
oleh:
PANDU AGUNG LAKSONO NIM 10103501
Telah diperiksa dan disetujui, Bandung, September 2010 Dosen Pembimbing
Dosen Pembimbing
Dr. Leo H Wiryanto NIP 131572235
Dr. Jalina Widjaja NIP 132162443
PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2010
ABSTRAK
Sebuah aliran fluida mengalir melalui sebuah celah pintu air dengan ketinggian tertentu. Tugas Akhir ini mengamati aliran fluida dan memodelkan persamaan integral pada batas bebas yaitu saat fluida melewati celah pintu air. Aliran fluida yang diamati bersifat irotasional dan tunak, sementara fluidanya sendiri diasumsikan bersifat ideal. Asumsi lain adalah daerah aliran fluida merupakan daerah tanpa hambatan. Permasalahan akan ditinjau dalam kasus 2 dimensi. Dari persamaan integral yang diperoleh, kita dapat mengklasifikasikan persamaan integral tersebut sebagai persamaan integral Fredholm bentuk kedua. Setelah itu akan dibahas beberapa metode untuk menyelesaikan persamaan integral Fredholm bentuk kedua dengan beberapa sifat kernel yang berbeda.
Kata kunci : persamaan integral Fredholm bentuk kedua, celah pintu air, permukaan bebas.
i
ABSTRACT
A flow of fluid passing a sluice gate with certain altitude. This Final Project observing the fluid flow and modeling an integral equation on a free-surface flow . The fluid flow that being observed is irrotational and steady and also assumed to be ideal. Another assumption that the fluid is in area without barrier. The problem will be reviewed in the case of 2 dimensions. From an integral equation that obtained, we can classify it as a Fredholm integral equation of the second kind. And then after that, will be discussed several methods to solve Fredholm integral equation of the second kind with some properties of different kernels.
Keywords : Fredholm integral equation of the second kind, sluice gate, free surface.
ii
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan sedalam-dalamnya kepada Allah SWT atas segala limpahan rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir ini yang berjudul “Persamaan Integral Fredholm Bentuk Kedua Untuk Aliran Fluida Pada Celah Pintu Air”. Selain itu penulis juga mengucapkan rasa terima kasih yang sebesar-besarnya kepada pihak-pihak yang telah banyak membantu penulis di dalam proses menyelesaikan Tugas Akhir ini. Penulis dengan segala hormat mengucapkan rasa terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :
1. Bapak Leo H. Wiryanto dan Ibu Jalina Widjaja selaku dosen pembimbing yang telah membimbing penulis dengan sabar untuk menyelesaikan Tugas Akhir ini. 2. Kedua orang tua penulis yang selalu memberikan dorongan motivasi dan doa kepada penulis selama proses penyelesaian Tugas Akhir ini. 3. Ibu Sri rejeki, Bapak Janson Naiborhu, dan Bapak Oki Neswan selaku dosen penguji untuk seminar I dan seminar II. 4. Ibu Puji Astuti selaku dosen wali. 5. Ibu Diah yang telah banyak membantu dalam berbagai hal. 6. Para staf TU Matematika yang telah banyak membantu penulis. 7. Alex Rivando, Rudi Haryanto, dan Galih Sandy selaku teman seperjuangan dalam menyelesaikan Tugas Akhir ini. 8. Octavianus Budi Setya Utama selaku rekan penulis yang sering memberikan masukan tentang Tugas Akhir ini. 9. Fajar Yuliawan selaku rekan penulis yang banyak membantu penulis dalam penyelesaian Tugas Akhir ini. 10. Soegara Ady Saputra, Aan Hendarto, dan Hendrik yang telah memberikan penulis ijin serta kesempatan untuk menggunakan komputer serta printernya untuk kepentingan penyelesaian Tugas Akhir ini. 11. Mega Elvira atas semua doa dan dukungannya yang tanpa henti kepada penulis, selama proses penyelesaian Tugas Akhir ini. iii
12. Dan semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu disini. Mohon maaf dan terima kasih banyak atas segala bantuannya. Penulis menyadari bahwa Tugas Akhir ini masih jauh dari kata sempurna. Oleh karena itu penulis mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari semua pihak. Semoga Tugas Akhir ini bermanfaat bagi siapa saja yang membacanya. Terima kasih.
Bandung, 23 September 2010
Penulis
iv
DAFTAR ISI
Abstrak…………………………………………………………………………..
i
Abstract ……………..…………………………………………………………..
ii
Kata Pengantar ………………………………………………………………….
iii
Daftar Isi ………………………………………………………………………...
v
Daftar Gambar …………………………………………………………………..
vi
BAB I Pendahuluan ……………………………………………………………
1
BAB II Dasar Teori ……………………………………………………………
3
2.1 Persamaan Kontinuitas dan Persamaan Gerak ………………….………
3
2.1.1 Persamaan Kontinuitas …….……………………...……………
3
2.1.2 Persamaan Gerak …………………...……………………..……
5
2.2 Fungsi Arus dan Fungsi Kecepatan ……………………………………..
8
2.3 Transformasi Schwarz-Christoffel ………………………………………
12
2.4 Integral Cauchy …………………………………………………………
12
BAB III Pemodelan Persamaan Integral Pada Aliran Fluida ………………
15
3.1 Deskripsi Masalah ………………………………………………………
15
3.2 Persamaan Laplace dan Nilai Batas ………………………..…………...
15
3.3 Transformasi Pada Domain Fluida ……………………………………...
20
3.4 Variabel Hodograf ………………………………………………………
22
BAB IV Persamaan Integral Fredholm Bentuk Kedua ..………………….
29
4.1 Klasifikasi Persamaan Integral ……………….…………………………
29
4.2 Kernel Persamaan Integral …………………………..………………….
31
4.3 Metode Resolvent Kernel …………………………..………………..….
37
BAB V Kesimpulan …………………………………………………………….
40
Daftar Pustaka ………………………………………………………..………….
41
v
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Elemen volume dan aliran massa ……………………….…………… 4 Gambar 2.2 Elemen volume dan tegangan geser ……………………………….… 5 Gambar 2.3 Garis arus ………………………………….……………………….... 9 Gambar 2.4 Fungsi kecepatan …………………………………….……………... 10 Gambar 2.5 Lintasan terhubung sederhana ……………………….……………... 13 Gambar 2.6 Lintasan terhubung tidak sederhana ………………….…………….. 13 Gambar 2.7 Domain terhubung sederhana …………………………….………… 13 Gambar 2.8 Lintasan tertutup sederhana …………………………….……………14 Gambar 3.1 Penampang aliran fluida 2-dimensi …………………..……….……. 15 Gambar 3.2 Penampang aliran fluida pada bidang
……………………….. 16
Gambar 3.3 Penampang aliran fluida pada bidang-f ……………….……………. 19 Gambar 3.4 Penampang aliran fluida ……………………………….…………… 20 Gambar 3.5 Penampang aliran fluida pada bidang- ……………….…………… 21 Gambar 3.6 Vektor singgung suatu titik pada streamline ………….……………. 23 Gambar 3.7 Penampang arah aliran fluida …………….……………………….... 25 Gambar 3.8 Singularitas pada bidang- ……………………….………………… 26
vi
