IATMI 2005-16 PROSIDING, Simposium Nasional Ikatan Ahli Teknik Perminyakan Indonesia (IATMI) 2005 Institut Teknologi Bandung (ITB), Bandung, 16-18 November 2005.
PERMEABILITAS BATUAN BERPORI BERDASARKAN PENDEKATAN KONSEP FRAKTAL Yosaphat Sumantri; UPN “Veteran” Yogyakarta Pudji Permadi; Institut Teknologi Bandung ini penting karena sangat menentukan tingkat produktivitas suatu reservoir.
ABSTRAK Pada umumnya, hubungan antara permeabilitas batuan berpori dengan sifat-sifat fisik yang lain didasarkan pada pendekatan melalui konsep geometri klasik (Euclidean). Padahal, telah lama disadari bahwa batuan berpori umumnya memiliki geometri dan struktur pori-pori yang sangat kompleks sehingga tidak mampu ditangani dengan konsep geometri klasik. Hal ini menyebabkan hingga saat ini belum ditemukan persamaan korelasi permeabilitas yang memuaskan dan berlaku secara umum untuk semua jenis batuan berpori.
Penelitian tentang permeabilitas batuan telah banyak dilakukan. Disamping hubungannya dengan porositas, permeabilitas dihubungkan juga dengan sifat-sifat batuan yang lain, seperti: ukuran dan sortasi butiran, specific surface area (luas permukaan dinding pori-pori dibagi dengan volume pori), distribusi ukuran pori-pori, komposisi mineral, saturasi air yang tidak-dapat sifat kelistrikan dikeluarkan (irreducible), batuan, respon terhadap medan magnet, dan kapasitas pertukaran kation (cation exchange capacity). Salah satu persamaan hubungan tersebut adalah Persamaan Kozeny-Carman yang dapat ditulis sebagai berikut :
Batuan berpori umumnya memiliki geometri dan struktur pori-pori yang sangat kompleks sehingga karakterisasinya memerlukan aplikasi konsep fraktal. Dalam konsep fraktal, dimensi obyek atau benda bisa berupa bilangan pecah sehingga penyederhanaan terhadap bentuk garis, bentuk dan permukaan bidang, bentuk dan permukaan benda dapat diminimalkan.
K=
1013.274 φ d H2 16 k o (Le L )
2
. ..............
. . (1)
K adalah permeabilitas (miliDarcy), dH adalah diameter saluran alir yang mewakili (mikro meter), (Le/L)2 adalah tortuositas (fraksi), dan ko adalah shape factor (tak-berdimensi) dari penampang saluran. Konstanta ko(Le/L)2 kemudian dikenal sebagai konstanta Kozeny-Carman, k’. Berdasarkan hasil sejumlah percobaan yang dilakukannya, Carman, 1937 (Dullien, 1979) mendapatkan bahwa harga k’ adalah sekitar 5.0. Umumnya para peneliti menggunakan harga k’ = 5.0.
Dalam paper ini dikemukakan suatu model persamaan korelasi antara permeabilitas dengan sifat-sifat fisik yang lain (porositas, parameter geometri dan struktur pori-pori batuan) yang diturunkan dari Persamaan Viskositas (NewtonII) dan persamaan Darcy melalui pendekatan konsep fraktal. Kesimpulan penting dari paper ini adalah bahwa model persamaan korelasi permeabilitas batuan berpori yang diturunkan melalui penerapan konsep fraktal terbukti lebih mendekati hasil pengukuran laboratorium dibanding dengan model yang diperoleh berdasarkan pendekatan melalui konsep geometri Euclidean.
Persamaan Kozeny-Carman, (Pers. 1), diperoleh dari penggabungan antara persamaan aliran fluida di dalam pipa (Persamaan HagenPoiseuille) dengan persamaan aliran fulida di dalam media berpori (Persamaan Darcy). Sedangkan Persamaan Hagen-Poiseuille diturunkan dari Persamaan Viskositas (NewtonII) berdasarkan asumsi bahwa pipa berbentuk silindris (Pirson, 1958; Welty, et. al., 1984) sehingga luas penampang pipa dan kelilingnya dapat dihitung dengan menggunakan konsep geometri Euclidean.
PENDAHULUAN Salah satu sifat fisik batuan resevoir (selanjutnya disebut sebagai batuan saja) adalah permeabilitas, yaitu tingkat kemudahan batuan untuk dapat melalukan fluida. Sifat fisik
1
tersebut, dengan cara-cara tertentu, merupakan skala kecil dari keseluruhan.
Adalah kenyataan bahwa ruang pori-pori batuan yang merupakan jalan fluida yang mengalir di dalam batuan memiliki geometri (bentuk dan ukuran) dan struktur (hubungan antar pori) yang kompleks. Oleh sebab itu, penggunaan Persamaan Kozeny-Carman yang diperoleh berdasarkan pendekatan konsep geometri Euclidean jelas akan memberikan hasil yang menyimpang dari harga sebenarnya. Cara pendekatan lain untuk dapat menghilangkan atau meminimalkan kekurangan seperti yang ada pada Persamaan Kozeny-Carman. Konsep fraktal dipercaya sangat potensial untuk mendeskripsi kompleksitas sifat-sifat fisik batuan berpori dan proses yang terjadi di dalamnya (Sahimi dan Yortsos, 1990; Garrison, dkk., 1991; Sumantri, 1995; Murata, 2002; Civan, 2003 ).
Secara umum, sifat-sifat penting yang terdapat dalam suatu obyek fraktal adalah : 1. Mempunyai dimensi Hausdorff lebih besar dari dimensi topologinya 2. Umumnya tersusun dari bagian-bagian yang definisinya sederhana. 3. Keserupaan-diri (self similarity), yaitu bahwa obyek fraktal dapat tersusun dari bagianbagian yang bentuknya serupa dan membentuk suatu himpunan dengan caracara tertentu 4. Pergeseran-diri (self affinity), yaitu bahwa obyek fraktal dapat tersusun dari bagianbagian yang merupakan suatu translasi, rotasi, dan atau penyekalaan ulang dari suatu bentuk yang sama 5. Sulit dideskripsi secara geometri klasik baik secara bagian-perbagian maupun secara keseluruhan.
Dalam paper ini dikemukakan suatu model persamaan permeabilitas yang diturunkan melalui penerapan konsep fraktal. Penurunan persamaan didasarkan pada anggapan bahwa batuan berpori dapat dimodelkan sebagai kumpulan pipa kapiler yang bentuk penampangnya tidak beraturan dan saling berpotongan dengan pipa-pipa kapiler lain yang memiliki arah orthogonal yang berbeda.
Dimensi Fraktal Obyek-obyek alam dikelompokkan sebagai fraktal stokastik (stochastic fractals) atau fraktal fractals) dan dapat statistik (statistical dikarakterisasi melalui parameter fraktal yang disebut dimensi fraktal. Terdapat banyak bentuk atau definisi dari dimensi fraktal. Namun yang paling mudah dann paling sering digunakan adalah dimensi box (box dimension).
Model persamaan permeabilitas yang diperoleh, yang dinamai Permeabilitas Media Berpori Fraktal, kemudian diaplikasikan untuk menentukan harga permeabilitas sejumlah sampel batuan yang parameter-parameter fraktalnya (dimensi fraktal) ditentukan dengan menggunakan metode ”box counting” terhadap sayatan-sayatan-tipisnya.
Dimensi Box adalah dimensi fraktal yang paling sering digunakan karena relatif mudah cara perhitungannya (Falconer, 1990). Bila F adalah suatu sub-himpunan dari Rn dan N adalah jumlah terkecil dari lingkupan dengan diameter yang dapat melingkupi F, maka terbesar dimensi box dapat didefinisikan sebagai :
REVIEW KONSEP FRAKTAL
log N δ δ →0 − log δ
D B = lim
Pengertian dan Sifat-Sifat Fraktal
...................
. . (2) dimana N merupakan jumlah terkecil mesh yang memotong F. segi-empat dengan sisi Prinsip box counting adalah dengan membuat mesh segi-empat dengan panjang sisi pada ruang Euclidian Rn seperti contoh Gambar 2. Untuk mendapatkan harga dimensi box sesuai dengan Pers. (2), maka harga N didekati yang dengan jumlah mesh dengan sisi memotong F. Harga dimensi box merupakan harga kemiringan garis lurus hasil plot log N terhadap –log .
Istilah ”fraktal” pertama kali dimunculkan oleh Mandelbrot dari bahasa Latin ”fractus” (pecah) untuk mendeskripsi obyek yang terlalu tidakberaturan (irregular) untuk disesuaikan ke dalam aturan geometri klasik (Falconer, 1990). Fraktal agak sulit untuk didefinisikan secara tepat. Pengertian fraktal hanya dapat didefinisikan secara sugestif, yaitu bahwa dalam suatu himpunan (set) atau obyek fraktal, bagian-bagian dari himpunan atau obyek
2
Gambar 2. Model penampang pipa kapiler fraktal
Gambar metoda
Mess dengan ukuran
Aplikasi Hukum Viskositas dan konsep fraktal untuk aliran laminer dan mantap (steady state) fluida di dalam pipa kapiler fraktal (Gambar 2) yang memiliki diameter terbesar d, panjang Le, dan antara ujung-ujungnya terjadi perbedaan p menghasilkan persamaan untuk tekanan tenaga shear pada fluida dengan diameter sebagai berikut :
dalam
F = Δp (2 ρ ) Dp = μ (2 ρ ) Ds Le
box counting
dimana: Dp = luas penampang pipa fraktal (2 )Dp = ukuran (2 )Ds = Ds = keliling pipa fraktal ukuran dan 2d = d , Dengan mengambil 2 = maka Pers. 4 dapat diubah bentuk menjadi:
Penurunan persamaan permeabilitas media berpori fraktal diawali dari Hukum Viskositas hasil percobaan yang dilakukan oleh Newton (Pirson, 1958). Menurut hukum tersebut, fluida .dikatakan mempunyai viskositas 1 poise bila tenaga sebesar 1 dyne diperlukan untuk membentuk perbedaan kecepatan 1 cm/detik antara dua bidang paralel dari fluida yang mempunyai jarak 1 cm. Hukum Viskositas dapat ditulis sebagai berikut:
dv dx
.... ..
(4)
PERSAMAAN PERMEABILITAS MEDIA BERPORI FRAKTAL
F y = − μ Ac
dv dρ
Δp δ Dp − Ds dδ = − dv 2 μ Le
..............
. (5) dan v dilanjutkan Pemisahan variable integrasi dengan batas v = 0 pada r, dan v = v , menghasilkan persamaan kecepatan pada aliran:
..................
. . . (3) dimana: Fy = tenaga yang tegak lurus terhadap x yang diperlukan untuk membentuk perbedaan kecepatan antara dua bidang fluida, dyne. = viskositas fluida, poise. Ac = luas bidang kontak dua plat fluida, cm2. dv = perbedaan kecepatan dua plat fluida, cm/detik. dx = jarak antara dua plat fluida, cm.
ΔP v= 2 μLe
⎡ d Dp − Ds +1 − δ Dp − Ds +1 ⎤ ⎢ ⎥ Dp − Ds + 1 ⎣ ⎦
.....
(6) Laju alir fluida yang melewati anulus antara dan +d adalah : tabung dengan jari-jari
dQ p = v (2 ρ ) Ds dρ =
vδ Ds dδ 2
.......
(7) Melalui integrasi dQp agar diperoleh total laju alir di dalam pipa sepanjang Le dan jari-jari r (diameter = d) maka dapat diperoleh 3
dimana a adalah porositas active-flow, dan C = faktor koreksi terhadap harga porositas efektif total.
persamaan aliran fluida di dalam pipa kapiler fraktal sebagai berikut:
QP =
⎡ Δp ⎤ d Dp + 2 ⎢ ⎥ 4μ ( Dp + 2)( Ds + 1) ⎣ Le ⎦
.......
Persamaan Darcy untuk aliran fluida satu-fasa, laminer, dan mantap (steady state) di dalam media berpori dengan luas penampang A dan panjang L dan beda tekanan antara kedua ujungnya p adalah :
(8)
Q=
AK ⎡ Δp ⎤ μ ⎢⎣ L ⎥⎦
...................
. . (11) Dengan anggapan pada suatu arah sumbu orthogonal aliran fluida di dalam media berpori melewati sejumlah pipa kapiler dengan diameter hidrolik rata-rata = dH , maka penggabungan Pers. 9, Pers. 10 dan Pers. 11 menghasilkan persamaan permeabilitas aliran fluida di dalam media berpori fraktal dalam suatu arah aliran tertentu sebagai berikut:
K= Gambar 3. Model Media Berpori Fraktal
...... ..
dimana:
K = permeabilitas., cm2; (Le /L)2 = tortuositas, fraksi; dH = diameter hidrolik rata-rata, cm; Dp = dimensi fraktal penampang pori-pori; Ds = dimensi fraktal dinding pori.
Dp + 2
nd ⎡ Δp ⎤ . . . . 4 μ ( Dp + 2)( Ds + 1)( Le / L) ⎢⎣ L ⎥⎦
Sumantri (1995), membuat cara pendekatan terhadap harga tortuositas berdasarkan harga dimensi fraktal pori sayatan-tipis batuan (Dp) dengan menggunakan persamaan :
(9) Dengan anggapan jaringan pori-pori media berpori merupakan suatu sistem pipa-pipa kapiler fraktal ortogonal yang saling berpotongan (Gambar 3) maka tidak seluruh ruang pori berperan aktif bagi aliran fluida pada suatu arah tertentu (Bear, 1988; Mortensen, 1998), sehingga porositas aktif (active flow porosity) dalam suatu arah adalah :
2
⎛ Dp ⎞ ⎛L ⎞ τ = ⎜ e ⎟ ≅ ⎜⎜ ideal ⎟⎟ ⎝ L⎠ ⎝ Dp ⎠
.............
dimana:
Dpideal = 2.0444 φ 0.1061
............
. (14)
Dpideal adalah dimensi fraktal model pori ideal , yaitu sistem pori tunggal yang memiliki harga = 1.
sehingga :
nd Dp (Le L ) Cφ
2
(13)
nd Dp (Le L ) φa = = Cφ A
A=
2
⎛L ⎞ 4 ⎜ e ⎟ ( Dp + 2)( Ds + 1) ⎝ L⎠
(12)
Bila dianggap di dalam media berpori terdapat n pipa kapiler maka berdasarkan Pers. 8 dapat ditulis persamaan laju alir fluida di dalam media berpori dengan panjang makroskopik L sebagai berikut:
Q=
Cφ d H2
..................
Dengan memasukkan Pers. 13 ke dalam Pers. 12 maka persamaan permeabilitas media berpori fraktal dapat ditulis menjadi:
. (10)
4
K=
Cφ d H2 ⎛ Dp 4 ⎜⎜ ideal ⎝ Dp
2
⎞ ⎟⎟ ( Dp + 2)( Ds + 1) ⎠
data porositas, permeabilitas terukur, harga
mean hydraulic diameter (dH), dimensi fraktal pori (Dp), dan dimensi fraktal dinding pori (Ds)
. . .
masing-masing sampel.
(15)
Berdasarkan data porositas, harga mean hydraulic diameter (dH), dimensi fraktal pori (Dp), dan dimensi fraktal dinding pori (Ds) dari
dimana harga K dalam cm2 dan dH dalam cm. Sedangkan, bila K dalam satuan mili-darcy dan dH dalam mikro-meter ( m) maka persamaan menjadi:
K=
1013.274 Cφ d H2 ⎛ Dp 4 ⎜⎜ ideal ⎝ Dp
2
⎞ ⎟⎟ ( Dp + 2)( Ds + 1) ⎠
Tabel 1 kemudian permeabilitas masing-masing sampel dihitung dengan Persamaan Permeabilitas Media Berpori Fraktal (Pers. 16). Hasilnya ditunjukkan pada Tabel 2 kolom-3. Dalam perhitungan ini diambil harga faktor koreksi porositas (C) = 0.225 untuk harga K kurang dari 100 mD, dan C = 0.63 untuk harga K lebih besar atau sama dengan 100 mD. Tabel 2 kolom-4 adalah hasil perhitungan permeabilitas menggunakan Persamaan KozenyCarman (Pers. 1) dengan asumsi harga shape factor (ko) = 2 dan harga tortuositas ( ) = 2.5 seperti yang umumnya dilakukan oleh para peneliti. Sedangkan pada kolom-5 Tabel 2 ditunjukkan harga permeabilitas yang dihitung menggunakan Persamaan Kozeny-Carman dengan harga shape factor = (Ds+1) dan harga tortuositas dihitung dengan Pers. 13.
. . .
(16) APLIKASI PERSAMAAN Sejumlah 11 sampel batu pasir yang memiliki permeabilitas (dalam aplikasi ini yang dimaksud permeabilitas adalah permeabilitas horizontal) antara 11 sampai dengan 3737 miliDarcy (mD) dipilih untuk keperluan aplikasi Pers. 16. Permeabilitas masing-masing sampel diukur pada kondisi confining pressure sebesar 300 psia dengan alat Ultraperm yang menggunakan nitrogen sebagai fluida alirnya. Dengan alat ini dapat secara langsung dilakukan koreksi Klikenberg sehingga dapat diperoleh equvalent liquid permeability dari data air permeability yang terukur oleh alat. Porositas sampel diukur dengan alat Ultrapore yang menggunakan prisip helium picnometer sehingga kerusakan sampel bisa diminimalkan. Sedangkan harga mean hydraulic diameter (dH) masing-masing sampel ditentukan melalui analisa data distribusi ukuran pori hasil pengukuran Mercury Intrusion Capillary Pressure (MICP) dengan menggunakan alat AutoPore-II. Pengukuran MICP dilakukan paling akhir karena sesudah pengukuran ini sampel ditak bisa digunakan lagi akibat tersaturasi oleh mercury.
Tabel 1. Data Sifat Fisik dan Fraktal Sampel Kliq-eq
Nomor Sampel
(fraksi)
Dp
Ds
(mD)
dH ( m)
1
0.2388
31.647
1.6507
1.1169
5.34
2
0.2940
68.287
1.7343
1.1056
6.23
3
0.2480
11.084
1.6750
1.1284
2.71
4
0.1980
31.382
1.5800
1.1291
3.60
5
0.2150
1933.168
1.7259
1.1166
19.60
6
0.3331
3398.000
1.8217
1.1423
24.95
7
0.3370
1606.981
1.7358
1.2470
16.46
8
0.3080
410.704
1.6438
1.1543
11.41
9
0.3480
3737.907
1.7075
1.2875
25.48
10
0.3070
186.443
1.7295
1.1039
7.43
11
0.2940
139.137
1.6991
1.1164
6.87
Tabel 2. Hasil Perhitungan Permeabilitas dengan Pers. Fraktal dan Pers. Kozeny-Carman
Parameter-parameter fraktal, dalam hal ini adalah dimensi fraktal pori dan dimensi fraktal dinding pori, ditentukan dengan metode boxcounting terhadap citra (image) digital sayatansayatan tipis sampel dengan pembesaran 400X. Masing-masing sampel dibuat 2 sayatan-tipis, satu pada bagian up-stream dan satu pada bagian down-stream. Gambar L-1 sampai dengan Gambar L-7 pada Lampiran adalah contoh tipikal sayatan-tipis Sampel-1 sampai dengan Sampel-7. Sedangkan, Tabel 1 adalah 5
Nomor
KTerukur
Sampel
(mD)
Pers. Fraktal (mD)
Original K-C (mD)
Modified K-C (mD)
1
31.6470
42.2914
92.8223
38.5983
2
68.2870
71.1777
99.2195
66.4497
3
11.0840
10.3444
25.3014
9.5040
4
31.3820
14.1731
37.2621
12.6849
5
1933.1680
1548.7044
1430.5281
1420.0392
6
3398.0000
4123.4663
2633.4464
3878.1055
7
1606.9810
1478.7376
1269.6918
1359.4878
8
410.7040
710.0398
479.8452
636.7044
9
3737.9070
3528.4155
3001.4328
3219.3001
10
186.4430
305.5199
183.8952
280.4082
11
139.1370
230.9881
134.0135
210.2743
sejajar perlapisan (horizontal) antara 11.08 – 3737.91 miliDarcy. Meskipun jumlah sampel relatif sedikit tetapi karena memiliki rentang harga porositas dan permeabilitas yang cukup lebar maka hasil-hasil penelitian yang dilakukan ini diharapkan dapat diberlakukan untuk semua batuan reservoir yang berupa batu pasir, terutama yang tidak mengalami retak-retak (fractured).
K Terukur vs K Terhitung (untuk semua sampel dengan C =1)
Dari plot antara permeabilitas terukur dengan permeabilitas hasil perhitungan dengan Pers. 16 seperti ditunjukkan pada Gambar 4, dapat dilihat bahwa terdapat dua garis korelasi (trendline) dari titik-titik data, yaitu untuk harga K terukur < 100 mD dan untuk harga K terukur yang lebih besar. Kenyataan ini mengindikasikan bahwa perlu dilakukan pengelompokan sampel menjadi kelompok sampel dengan harga K < 100 mD (Sampel 1 sd. 4) dan kelompok sampel dengan harga K >= 100 mD (Sampel 5 sd. 11). Pengamatan secara fisik terhadap sampel maupun terhadap sayatan-tipis Gambar L-1 sampai Gambar L-11 menunjukkan bahwa Sampel 1, 2, 3, dan 4 lebih kompak dan memiliki butiran yang lebih halus dibanding sampel yang lain.
10000
K Te rhitung
1000
100
10
1 1
10
100
1000
10000
K Terukur
Gambar 4Plot K terukur dengan K yang dihitung dengan Pers. 16 untuk seluruh sampel
Gambar 5 memperlihatkan bahwa aplikasi Pers. 16 dengan mengambil harga faktor koreksi porositas (C) = 0.225 terhadap Sampel 1, 2, 3, dan 4 menghasilkan plot titik-titik data yang mempunyai korelasi cukup baik, yaitu R2 = 0.8259, dan garis kolelasi data (trend line) yang berimpit dengan garis kemiringan 1 (unity) plot K terukur dengan K terhitung. Meskipun ada titik-titik data yang cukup jauh dari garis korelasinya, namun bisa dikatakan Pers. 16 dapat menghasilkan harga permeabilitas yang cukup dekat dengan harga sebenarnya. Harga C yang relatif sangat kecil (kurang dari 1/3) kemungkinan disebabkan oleh dead-end pore yang cukup banyak terdapat di dalam Sampel 1, 2, 3, dan 4 sehingga hanya sebagian kecil poripori yang konduktif terhadap aliran fluida.
Gambar 4 adalah plot permeabilitas terukur dengan permeabilitas hasil perhitungan menggunakan Pers. 16 untuk seluruh sampel dengan mengambil harga C = 1. Gambar 5 adalah plot antara permeabilitas terukur dengan permeabilitas hasil perhitungan menggunakan Pers. 16 (Tabel 2 kolom-3) untuk permeabilitas < 100 mD (Sampel 1 sd. 4). Sedangkan Gambar 6 adalah plot antara permeabilitas terukur dengan permeabilitas pada Tabel 2 kolom 4 dan kolom 5 untuk harga permeabilitas < 100 mD (Sampel 1 sd. 4). Titik data segi-tiga (∆) adalah untuk data dari kolom 4 (Original K-C), sedangkan titik data segi-empat adalah untuk data dari kolom 5 (Modified K-C). Gambar 7 dan Gambar 8 adalah serupa dengan Gambar 5 dan Gambar 6 tetapi untuk harga permeabilitas >= 100 mD (Sampel 5 sd. 11). PEMBAHASAN Pada Tabel 1 dapat dilihat bahwa 11 sampel yang digunakan dalam penelitian ini memiliki rentang harga porositas antara 19.8 – 34.8 % dan rentang harga permeabilitas (equivalent liquid permeability) yang diukur pada arah 6
cenderung jauh lebih besar dari harga sebenarnya. Aplikasi Persamaan Kozeny-Carman menghasilkan harga permeabilitas yang lebih baik bila dilakukan modifikasi, yaitu digunakan faktor koreksi porositas (C), shape factor diambil dan tortuositas dihitung = (Ds+1), menggunakan Pers. 13, seperti yang ditunjukkan oleh Tabel 2 kolom-5 dan titik-titik data segi-empat serta garis putus-putus pada Gambar 6. Namun demikian, tend line-nya sedikit menyimpang (lebih rendah) dari garis kemiringan 1 plot permeabilitas terukur dan permeabilitas terhitung.
K Terukur vs K Terhitung untuk K >= 100 m D (Dengan Persam aan Fraktal) 100
R2 = 0.8259
50
K Terukur vs K Terhitung untuk K >= 100 m D (Dengan Persam aan Fraktal)
0 0
100
50 K Te r uk ur
5000
Gambar 5Plot K terukur dengan K yang dihitung dengan Pers. 16 untuk K < 100 mD.
K Hitungan
4000
R2 = 0.9428
3000
2000
K Terukur vs K Terhitung untuk K < 100 m D (Dengan Pers. Kozeny-Carm an) 1000
100 0 0
R2 = 0.6452
1000
2000
3000
4000
5000
K Terhitung
K Terukur
Gambar 7 Plot K terukur dengan K yang dihitung dengan Pers. 16 untuk K >= 100 mD.
R2 = 0.8268
50
K Terukur vs K Terhitung untuk K >= 100 m D (Dengan Pers. Kozeny-Carm an)
0 0
50
100
5000
K Terukur Modified K-C
Original K-C
4000 K Terhitung
Gambar 6 Plot K terukur dengan K yang dihitung dengan Pers. K-C untuk K < 100 mD. Titik-titik data segi-tiga (∆) dan garis penuh pada Gambar 6 memperlihatkan hasil aplikasi Persamaan Kozeny-Carman (Pers. 1) dengan mengambil harga tortousitas = 2.5 dan shape factor = 2.0 seperti yang umum dilakukan oleh para peneliti. Dapat diamati bahwa aplikasi Persamaan Kozeny-Carman dengan cara ini menghasilkan harga-harga permeabilitas yang sangat menyimpang dari harga sebenarnya, dimana harga permeabilitas yang dihasilkannya
R2 = 0.9351
3000 R2 = 0.996
2000 1000 0 0
1000
2000
3000
4000
5000
K Terukur Modified K-C
Original K-C
Gambar 8 Plot K terukur dengan K yang dihitung dengan Pers. K-C untuk K >= 100 mD. 7
mendekati kenyataan dari Persamaan KozenyCarman (Pers. 1) dapat dibuktikan melalui aplikasi kedua persamaan terhadap sampelsampel batu pasir yang digunakan dalam penelitian ini. Hal ini juga membuktikan bahwa konsep fraktal sungguh bisa digunakan untuk mendeskripsi kompleksitas sifat-sifat fisik batuan berpori, seperti yang diyakini oleh banyak peneliti (Sahimi dan Yortsos, 1990; Garrison, dkk., 1991; Sumantri, 1995; Murata, 2002; Civan, 2003).
Gambar 7 memperlihatkan bahwa aplikasi Pers. 16 dengan mengambil harga faktor koreksi porositas (C) = 0.63 terhadap Sampel 5, 6, 7, 8, 9, 10 dan 11 yang memiliki harga K terukur lebih dari 100 mD menghasilkan plot titik-titik data yang mempunyai korelasi cukup baik, yaitu R2 = 0.9428, dan garis kolelasi data (trend line) yang hampir berimpit dengan garis kemiringan 1 (unity) plot K terukur dengan K terhitung. Meskipun ada beberapa titik data yang cukup jauh dari garis korelasinya, namun bisa dikatakan Pers. 16 dapat menghasilkan harga permeabilitas yang cukup dekat dengan harga sebenarnya. Harga C yang relatif besar (0.63) kemungkinan menunjukkan bahwa Sampel 5 sd. 11 (permeabilitasnya > 100 mD) tidak terdapat banyak dead-end pore di dalam sistem poriporinya sehingga sebagian besar pori-pori konduktif terhadap aliran fluida.
Pengamatan terhadap data pada Tabel 2 kolom2 dan kolom-3, juga Gambar 5 dan Gambar 7, memperlihatkan terdapat penyimpangan yang cukup signifikan beberapa titik data terhadap garis kemiringan 1 (unity). Hal ini kemungkinan besar disebabkan kurang banyaknya jumlah sayatan-tipis dari masing-masing sampel (dari setiap sampel hanya dibuat 2 sayatan-tipis) sehingga belum cukup mewakili kompleksitas sistem pori dari masing-masing sampel. Dapat juga disebabkan oleh preparasi atau pemotretan sayatan-tipis yang kurang baik sehingga citra (image) digital yang diperoleh kurang tajam atau kurang menggambarkan sistem pori yang sebenarnya dari sampel-sampel yang digunakan dalam penelitian ini.
Hampir sama dengan Gambar 6. Titik-titik data segi-tiga (∆) dan garis penuh pada Gambar 8 memperlihatkan hasil aplikasi Persamaan Kozeny-Carman (Pers. 1) dengan mengambil harga tortousitas = 2.5 dan shape factor = 2. Terlihat bahwa aplikasi Persamaan KozenyCarman dengan cara ini untuk sampel yang memiliki harga K terukur > 100 mD ternyata menghasilkan harga-harga permeabilitas yang cenderung jauh lebih kecil dari harga sebenarnya, meskipun korelasi antar datanya sangat baik (R2 = 0.996) . Seperti untuk K < 100mD, untuk Harga K > 100 mD aplikasi Persamaan Kozeny-Carman menghasilkan harga permeabilitas yang lebih baik bila digunakan faktor koreksi porositas (C), shape factor diambil dan tortuositas dihitung = (Ds+1), menggunakan Pers. 13, seperti yang ditunjukkan oleh Tabel 2 kolom-5 dan titik-titik data segi-empat serta garis putus-putus pada Gambar 8. Namun demikian, tend line-nya tetap sedikit menyimpang (lebih rendah) dari garis kemiringan 1 plot permeabilitas terukur dan permeabilitas terhitung.
KESIMPULAN Berdasarkan pembahasan beberapa kesimpulan:
dapat
ditarik
1. Batu pasir yang permeabilitasnya kurang dari 100 mD memiliki harga koreksi porositas (C) yang relatif kecil (sekitar 0.225), sedangkan batu pasir yang permeabilitasnya 100 mD atau lebih memiliki harga C relatif besar (sekitar 0.63). 2. Persamaan Permeabilitas Media Berpori Fraktal terbukti menghasilkan harga permeabilitas yang lebih mendekati harga permeabilitas sebenarnya dibanding Persamaan Kozeny-Carman, baik untuk batuan yang permeabilitasnya relatif rendah (kurang dari 100 mD) maupun untuk batuan yang permeabilitasnya relatif tinggi (100 mD dan lebih tinggi). 3. Hasil penelitian ini juga membuktikan bahwa konsep fraktal sungguh bisa digunakan untuk mendeskripsi kompleksitas sifat-sifat fisik batuan berpori, seperti yang diyakini oleh banyak peneliti sebelumnya.
Pengamatan terhadap Gambar 5 sampai Gambar 8 menunjukkan bahwa Pers. 16 menghasilkan harga-harga permeabilitas yang lebih mendekati kenyataan dibanding Pers. 1. Baik untuk harga permeabilitas yang relatif kecil maupun yang relatif besar. Dengan demikian, indikasi bahwa Persamaan Permeabilitas Media Berpori Fraktal (Pers. 16) sebenarnya merupakan bentuk yang lebih umum dan lebih 8
Dullien, F.A.L. (1979), “Porous Media Fluid Transport and Pore Structure”, Academic Press, New York, London, Toronto, Sidney, San Francisco.
DAFTAR PUSTAKA Amyx, J.W., Bass, D. M. JR., Whiting, R. L.(1988), “Petroleum Reservoir Engineering Physical Properties”, McGraww-Hill Publishing Company, New York, St. Louis, San Francisco.
Falconer, K. (1990), “Fractal Geometry, Mathematical Foundations and Applications”, John Wiley & Sons Ltd, Baffins Lane, Chichester, West Sussex, England.
Asadi, M., Ghalambor, A., Rose, W. D., dan Shirazi, M. K. (2000), “Anisotropic Permeability Measurement of Porous Media: A 3-Dimensional Method”, Paper SPE 59396, the SPE Asia Pacific Conference on Integrated Modeling for Asset Management, Yokohama, Japan, 25-26 April.
Fauzi, U. (2002), “Permeability Estimation Based on Pore Radius and Its Distribution”, Kontribusi Fisika Indonesia, Vol. 13, No. 1, Januari. Feder, J., (1989), “Fractals”, Plenum Press, New York, Fourth Printing.
Azeemuddin, M., Awal, M.R., Scott, T.E., Zaman, M., dan Roegiers, J.C. (2001), “Transverse Anisotropy in Biot’s Constant through Dynamic Measurements on Cordoba Cream Limestone”, Paper SPE 68193, the 2001 SPE Midle East Oil Show, Bahrain, 17-20 Maret.
Garrison, J.R. Jr., Pearn, W.C., dan von Rosenberg, D.U. (1991), “The Fractal Nature of Geological Data Sets: Power Law Processes Everywhere!”, paper SPE 22842, the 66th Annual Technical Conference and Exhibition of SPE, Dallas, Texas, 6-9 Oktober.
Bai, M., Meng, F., Roegiers, J. C., dan Green, S. (2002), “Improved Determination of StressDependent Permeability for Anisotropic Formations”, Paper SPE/ISRM 78188, the SPE/ISRM Rock Mechanics Conference, Irving, Texas, 20-23 Oktober.
Kozeny, J. (1927), “Uber Kapillare Leitung des Wassers im Boden”, Sitzungsberichte der Wiener Akademie der Wissenschaften. Mandelbrot, B.B. (1989), ”Fractal Geometry: What it is, and what does it do?”, Proceedings of Royal Society, London.
Bear, J. (1988), “Dynamics of Fluids in Porous Media”, Dover Publication, Inc, New York.
Mortensen, J., Engstrom, F., dan Lind Ida (1998), “The Relation Among Porosity, Permeability, and Specific Surface Area of Chalk From The Gorm Filed, Danish North Sea”, Paper SPE 31062, SPE Reservoir Evaluation & Engneering, Juni.
Carman, P.C. (1937), “Fluid Flow Through Granular Beds”, Trans. Inst. Chem. Eng., London. Civan, F. (2002), “Fractal Formulation of the Porosity and Permeability Relationship Resulting in A Power-Law Flow Unit Equation – A LeakyTube Model”, Paper SPE 73785, the SPE International Symposium and Exhibition on Formation Damage Control, Lafayette, Lousiana, 20-21 Februari.
Nelson, P. H. (1994), “Permeability-Porosity Relationships in Sedimentary Rocks”, The Log Analyst, Mei-Juni. Panda, M. N. dan Lake, L. W. (1994), “Estimation of Single-Phase Permeability from Parameters of Particle-Size Distribution”, AAPG Bulletin, Vol. 78, No. 7, Juli.
Civan, F. (2003), “Leaky-Tube Permeability Model for Identification, Characterization, and Calibration of Reservoir Flow Units”, Paper SPE 84603, the SPE Annual Technical Conference and Exhibition, Denver, Colorado, USA, 5–8 Oktober.
Permadi, P. (2001), “Suatu Kajian Terhadap Persamaan Kozeny-Carman”, JTM-FIKTM-ITB, Vol. VIII, No. 2, Februari.
Collins, R.E. (1976), “Flow of Fluids Through Porous Materials”, The Petroleum Publishing Company, Tulsa.
Pirson, S.J. (1958), “Oil Reservoir Engineering”, McGraww-Hill Book Company Inc., New York, Second Edition.
Davies, J.P., Davies, D.K. (2001), “StressDependent Permeability: Characterization and Modelling”, SPE Journal, Juni.
Pittman, E.D. (1992), “Relationship of Porosity and Permeability to Various Parameters Derived from Mercury Injection-Capillary Pressure Curves for Sandstone”, AAPG Bulletin, Vol. 76. 9
Rose, W., dan Bruce, W.A. (1949), “Evaluation of Capillary Character in Petroleum Reservoir Rock”, Petroleum Transactions, AIME, Mei. Sumantri, Y. (1995), “Eksponen Saturasi Untuk Media Berpori Fraktal”, Tesis Magister, Program Studi Teknik Perminyakan, Program Pascasarjana, Institut Teknologi Bandung. Wannell, M.J., Colley, N.M., dan Halford, F.R. (1993), “The Use of a New Technique To Determine Permeability Anisotropy”, Paper SPE 26801, the Offshore European Conference, Aberdean, 7-10 September. Welty, J.R., Wick, C.E., Wilson, R.E. (1984), “Fundamentals of Momentum, Heat, and Mass Transfer”, John Wiley & Sons, Singapore, Third Edition.
Gambar L-3. Contoh Tipikal Sayatan-Tipis Sampel-3
LAMPIRAN
Gambar L-4. Contoh Tipikal Sayatan-Tipis
Sampel-4
Gambar L-1. Contoh Tipikal Sayatan-Tipis Sampel-1
Gambar L-5. Contoh Tipikal Sayatan-Tipis Sampel-5 Gambar L-2. Contoh Tipikal Sayatan-Tipis Sampel-2
10
Gambar L-6. Contoh Tipikal Sayatan-Tipis Sampel-6
Gambar L-7. Contoh Tipikal Sayatan-Tipis Sampel-8
11
