Periodicita v časové řadě, její popis a identifikace, exponenciální vyrovnáván

Periodicita Exponenciální vyrovnávání

Periodicita v časové řadě, její popis a identifikace, exponenciální vyrovnávání Statistika II

Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:[email protected]

Jiří Neubauer

Periodicita v časové řadě, její popis a identifikace, exponenciální vyrovnáván


Periodicita v časových řadách

Některé časové řady obsahují periodickou složku. Pomocí vybraných nástrojů spektrální analýzy budeme tuto složku identifikovat. Mějme funkci periodickou funkci R cos(2πft + φ), R je amplituda, f je frekvence a φ označuje fázový posuv. Tato funkce se opakuje každou časovou jednotku T = f1 – perioda.

Jiří Neubauer



Periodicita v časových řadách Graf zobrazuje dvě tyto funkce v diskrétním čase t = 1, . . . , 96 s frekvencemi 4/96 a 14/96. Funkce s nižší frekvencí má nulový fázový posuv, ta s vyšší frekvencí má fázový posuv 0,6π.

Jiří Neubauer



Periodicita v časových řadách Vytvořme lineární kombinaci těchto funkcí 4 14 Yt = 2 cos 2πt + 3 cos 2π t + 0,3 . 96 96

(1)

Periodicita je nyní „skrytáÿ.

Jiří Neubauer




Platí R cos(2πft + φ) = A cos(2πft) + B sin(2πft), kde R=

p A2 + B 2 ,

B φ = arctan − A

a obráceně A = R cos φ,

B = −R sin φ.

Pro pevně danou hodnotu frekvence f lze použít cos(2πft) a sin(2πft) jako prediktory a odhadnout A a B pomocí metody nejmenších čtverců.

Jiří Neubauer



Periodicita v časových řadách Obecnou kombinaci m kosinových funkcí s libovolnými amplitudami a frekvencemi lze zapsat ve tvaru1 Yt = A0 +

m X

[Aj cos(2πfj t) + Bj (2 sin fj t)] .

j=1

Metodu nejmenších čtverců lze použít pro odhady Aj a Bj , pokud mají frekvence speciální tvar, regrese jsou jednoduché. Předpokládejme že n je liché, n = 2k + 1. Frekvence 1/n, 2/n, . . . , k/n se nazývají fourierovské frekvence. Prediktory tvořené funkcemi sinus a kosinus v těchto frekvencích jsou ortogonální, dostáváme odhady b 0 = Yt A n n X X 2πtj 2πtj bj = 2 bj = 2 A Yt cos a B Yt sin n t=1 n n t=1 n 1 A0 je koeficient kosinové funkce pro nulovou frekvenci, B0 je koeficient kosinové funkce pro nulovou frekvenci, je tedy nulový a vzorci se neobjevuje. Jiří Neubauer




Je-li n sudé, n = 2k, předchozí rovnice platí pro j = 1, 2 . . . , k − 1, ale pro j = k dostáváme n X bk = 1 bk = 0. A (2) (−1)t Yt , a B n t=1

Jiří Neubauer



Periodogram

Pro liché n = 2k + 1 je periodogram I definován j n I = n 2

pro frekvenci f = j/n, j = 1, 2, . . . , k

b 2j + B bj2 . A

Pro sudé n = 2k získáme hodnoty periodogramu pro j = 1, 2, . . . , k − 1 podle předchozího vztahu, pro j = k, tedy frekvenci f = k/n = 1/2 je 1 b 2k , I = nA 2 viz výraz (2). Pozn. Pro dlouhé časové řady se pro výpočet používá FFT (fast Fourier transform).

Jiří Neubauer



Periodogram Graf zobrazuje periodogram lineární kombinace funkcí (1)

Jiří Neubauer



Periodogram

Rozšíříme nyní definici periodogramu na všechny frekvence z intervalu 0 ≤ f ≤ 1/2 n b2 b 2 I (f ) = A f + Bf , 2 kde n n X X bf = 2 bf = 2 A Yt cos(2πtf ) a B Yt sin(2πtf ). n t=1 n t=1

Jiří Neubauer



Periodogram

Půlnoční magnitudy (jas) jisté hvězdy v 600 po sobě jdoucích dnech

Jiří Neubauer



Periodogram Proč frekvence omezovat na interval 0 ≤ f ≤ 1/2? V grafu jsou zobrazeny dvě kosinové funkce, jedna s frekvencí f = 1/4 a druhá s frekvencí f = 3/4 (čárkovaná čára). Měříme-li hodnoty těchto funkcí pouze v časech t = 0, 1, 2, . . . , dostáváme identické hodnoty. V diskrétním čase nemůže od sebe tyto dvě funkce rozlišit – aliasing frekvencí. Nyquistova frekvence – f = 1/2.

Jiří Neubauer



Periodogram - mzda v ČR

Jiří Neubauer



Periodogram - mzda v ČR

Jiří Neubauer



Exponenciální vyrovnávání

Metody exponenciálního vyrovnávání určují předpovědi časové řady pomocí minulých pozorování. Tato predikce (předpověď) je obvykle určena jako vážený součet těchto pozorování. Mezi základní metody patří jednoduché exponenciální vyrovnávání, které nezahrnuje ani trend ani sezónní složku. Předpověď pro čas t + h je založená na úrovni proměnné ˆ a v čase t ˆt (h) = ˆ Y at , kterou lze rekurzivně odhadnout jako vážený průměr pozorované a predikované hodnoty Yt ˆt−1 = ˆ at = αYt + (1 − α)Y = αYt + (1 − α)ˆ at−1 ,

(3)

kde 0 < α < 1 je vyhlazovací parametr.

Jiří Neubauer




Za počáteční hodnotu ˆ a1 se obvykle bere hodnota Y1 . Postupným dosazováním do vztahu (3) dostáváme ˆt (h) = ˆ Y at = αYt + (1 − α)ˆ at−1 = αYt + (1 − α)(αYt−1 + (1 − α)ˆ at−2 ) = = αYt + α(1 − α)Yt−1 + (1 − α)2 ˆ at−2 = αYt + α(1 − α)Yt−1 + + (1 − α)2 (αYt−2 + (1 − α)ˆ at−3 ) = = αYt + α(1 − α)Yt−1 + α(1 − α)2 Yt−2 + . . . . ˆt (h) je tvořena váženým součtem hodnot Odtud je vidět, že předpověď Y Yt−i , i = 0, 1, 2, . . . s váhami α(1 − α)i . Volba vyhlazovacího parametru α ovlivňuje spočítanou předpověď. V programu R je hodnota parametru α zvolena tak, aby se minimalizovala čtvercová chyba predikce (součet čtverců odchylek naměřených a predikovaných hodnot).

Jiří Neubauer




Metodu jednoduchého exponenciální vyrovnávání lze rozšířit o trendovou složku, předpovědi mají potom tvar ˆt (h) = ˆ ˆt , Y at + h b kde ˆt−1 ), ˆ at = αYt + (1 − α)(ˆ at−1 + b ˆt−1 ˆt = β(ˆ b at − ˆ at−1 ) + (1 − β)b Uvedenou metodu lze použít v případě, kdy v krátkých úsecích lze trendovou složku považovat za lineární. Podobně jako u jednoduchého exponenciálního vyrovnávání, obsahuje uvedená metoda neznámé parametry α a β. Jejich hodnoty jsou v programu R nalezeny minimalizací čtvercové chyby predikce.

Jiří Neubauer



Exponenciální vyrovnávání Model lze ještě dále rozšířit o sezónní složku, hovoří se potom o tzv. Holt-Wintersovu vyrovnávání. Obsahuje tři parametry: α pro úroveň, β pro trend a γ pro sezónní složku (funkce HoltWinters). Aditivní Holt-Wintersovo vyrovnání s periodou sezónní složky p má tvar ˆt (h) = ˆ ˆt + ˆs(t−p+1+(h−1) mod p) , Y at + hb ˆt a ˆst jsou dány vztahy kde ˆ at , b ˆt−1 ), ˆ at = α(Yt − ˆst−p ) + (1 − α)(ˆ at−1 + b ˆt = β(ˆ ˆt−1 , b at − ˆ at−1 ) + (1 − β)b ˆst = γ(Yt − ˆ at ) + (1 − γ)ˆst−p . Multiplikativní Holt-Wintersovo vyrovnávání má tvar ˆt )ˆs(t−p+1+(h−1) ˆt (h) = (ˆ Y at + h b

mod p) ,

ˆt a ˆst jsou dány vztahy kde ˆ at , b ˆt−1 ), ˆ at = α(Yt − ˆst−p ) + (1 − α)(ˆ at−1 + b ˆt = β(ˆ ˆt−1 , b at − ˆ at−1 ) + (1 − β)b ˆst = γ(Yt /ˆ at ) + (1 − γ)ˆst−p . Jiří Neubauer



Exponenciální vyrovnávání – měsíční produkce piva v Austrálii

Jiří Neubauer



Exponenciální vyrovnávání – mzda v ČR

Obrázek vlevo ukazuje výsledek exponenciálního vyrovnávání, obrázek vpravo potom fit pomocí periodických funkcí – viz periodogram.

Jiří Neubauer


Periodicita v časové řadě, její popis a identifikace, exponenciální vyrovnáván

Recommend Documents