Přednáška 11
Identifikace a popis sezónní složky -
rozbor eliminované sezónní složky může podstatně rozšířit naše znalosti o zákonitostech chování určitého ekonomického jevu může přispět ke konstrukci dokonalejších předpovědí v uvažované časové řadě Sezónní očištěná řada zbavená sezónních a náhodných fluktuací umožňuje efektivnější studium dlouhodobých tendencí U metody klouzavých průměrů může dojít k „samovolnému“ očištění dané časové řady od sezónních a cyklických fluktuací, pokud jsme aplikovali klouzavé průměry na řadu s periodickými složkami.
Úkol Kvantifikace sezónní složky za účelem analýzy sezónnosti Výpočet sezónně očištěné časové řady I. Model konstantní sezónnosti yij = Tij + Sij + ε ij , i = 1,2,..., m, j = 1,2,..., r (máme r sezón během roku, nejčastěji je r = 4 (čtvrtletí) nebo r=12 (měsíce)) Předpokládáme Sij = β j pro j-tou sezónu v letech i = 1,2, …, m, kde β j jsou neznámé sezónní parametry, přičemž r
r
j =1
j =1
∑ Sij = ∑ β j = 0 pro všechny roky i = 1,2, …, m
Předpokládáme tedy, že se každý rok v j-té sezóně opakují sezónní výkyvy β j , který se mezi léty neliší.
a) Model konstantní sezónnosti se schodovitým trendem Předpokládáme, že trendová složka nabývá ve všech dílčích obdobích j = 1,2, …, r daného roku i hodnoty α i , takže posloupnost těchto hodnot v letech i = 1,2, …, m představuje tzv. schodovitý trend. Sezónní složka je konstantní, tj.
yij = α i + β j + ε ij , i = 1,2,..., m, j = 1,2,..., r Odhadujeme m+r parametrů ( α i , β j ): 1 r ∑ yij = yi. , r j =1 (nazýváme je roční průměry) 1 m b j = y. j − y , kde y. j = ∑ yij , m i =1 (nazýváme dílčí (např. čtvrtletní) průměry) ai =
Přednáška 11
y=
1 m r ∑ ∑ yij m ⋅ r i =1 j =1
(nazýváme celkový průměr analyzované řady)
Příklad 1 (Hronová, S., Hindels, R., Seger,J.: Statistika pro ekonomy, Professional Publishing, Praha 2002) Kvantifikujme působení sezónních vlivů na objem přepravy dopravní firmy v tis.tunách v jednotlivých čtvrtletích let 1996-2001. Údaje jsou v následující tabulce: Tabulka 1 4
yij pro čtvrtletí j
Rok 1996 1997 1998 1999 2000 2001
1 537 679 731 772 778 790
2 951 956 1006 999 1026 1025
3 650 662 781 800 852 865
4 377 399 489 508 561 590
4287 714,5 -26,5
5693 993,83 252,83
4610 768,33 27,33
2924 487,33 -253,6
∑ yij
j =1
yi.
2515 2696 3007 3079 3217 3270
628,75 674 751.75 769,75 804,25 817,50
17784 741 0
741
6
∑ yij
i =1
y. j
bj
V prvním čtvrtletí klesl objem přepravy působením sezónních vlivů o 26 500 tun, ve 4.čtvrtletí o 253 670 tun. Ve 2. a 3. čtvrtletí došlo k růstu, a to o 252 830 tun a 27 330 tun. b) Model konstantní sezónnosti s lineárním trendem Trend analyzované řady modelujeme lineární funkcí: yij = α 0 + α 1 ⋅ (t ij − t ) + β j + ε ij , i = 1,2,..., m, j = 1,2,..., r Odhadujeme r+2 parametrů ( α 0 , α1, β j ): a0 =
a1 =
y=
1 m r ∑ ∑ yij m ⋅ r i =1 j =1
m 1 12 ⋅ (i − i )⋅ yi. ∑ r m ⋅ m2 − 1 i =1
(
(
)
)
b j = y. j − y − ( j − j ) ⋅ a1 ,
j = 1,2,..., r .
Přednáška 11 c) Model konstantní sezónnosti s ročním lineárním trendem Zjednodušení výše uvedené modelu: dosažená úroveň v letech i = 1,2,..., m lineárně roste, v dílčích obdobích j = 1,2,..., r , uvnitř let, zůstává konstantní. yij = α 0 + α1 ⋅ (i − i ) + β j + ε ij , i = 1,2,..., m, j = 1,2,..., r . Odhady parametrů: 1 m r a0 = y = ∑ ∑ yij m ⋅ r i =1 j =1
a1 =
m 12 (i − i )⋅ yi. ∑ m ⋅ m 2 − 1 i =1
(
)
(
)
b j = y. j − y ,
j = 1,2,..., r .
Příklad 2 (Hronová, S., Hindels, R., Seger,J.: Statistika pro ekonomy, Professional Publishing, Praha 2002) Následující tabulka obsahuje údaje o výrobě kancelářského nábytku v mil.Kč v jednotlivých čtvrtletí let 1997-2001. Tuto řadu popíšeme modelem s ročním lineárním trendem a konstantní sezónností. Tabulka 2 Rok
4
yij pro čtvrtletí j
∑ y ij
i−i
(i − i )yi.
(0 )
Ti.
1 131 132 158 172 187
2 138 138 161 173 195
3 114 119 145 159 183
4 132 150 155 181 198
j =1
515 539 619 685 763
-2 -1 0 1 2
-257,25 -134,75 0 171,25 381,5
123,95 140 156,05 172,1 188,15
∑ y ij
780
805
720
819
3121
0
160,5
789,25
y. j
156
161
144
163,2
156,05
bj
-0,05
4,95
-12,05
7,15
0
1997 1998 1999 2000 2001 5 i =1
V tabulce 2 máme v posledním sloupci odhadnutý roční lineární trend, který jsme získali na základě vzorce (0 ) Ti. = a 0 + a1 ⋅ (i − i ) , kde 3121 12 1+ 2 + 3 + 4 + 5 a0 = = 156,05 , a1 = 160,5 = 16,05 a i = −2,−1,0,1,2 , i = =3 2 5⋅ 4 5 5(5 − 1) Pro odhad sezónních výkyvů využijeme vzorce b j = y. j − y , j = 1,2,..., r . Tyto výkyvy máme zaznamenány v tabulce 2, poslední řádek. To znamená v 1.čtvrtletí došlo k poklesu výroby kancelářského nábytku v hodnotě 50 000 Kč, ve 2.čtvrtletí k nárůstu o 4 950 000 Kč, ve 3.čtvrtletí k poklesu o 12 050 000 Kč a ve 4.čtvrtletí k nárůstu o 7 150 000 Kč.
(
)
Přednáška 11
II. Model proporcionální sezónnosti
j = 1,2,..., r se sezónní výkyvy mění přímo úměrně dosažené úrovni
V dílčím období trendové složky
⇒
sezónní složka je přímo úměrná složce trendové:
Sij = γ jTij i = 1,2,..., m, j = 1,2,..., r , kde , γ j jsou sezónní parametry. Uvažujeme
(
)
(
)
Yij = Tij + Sij , tzn. Yij = 1 + γ j Tij ⇒ 1 + γ j =
Yij
…… nazýváme sezónní index.
Tij
Jestliže v j-té sezóně γ j > 0 ⇒ sezónní vzestup. Jestliže v j-té sezóně γ j < 0 ⇒ sezónní pokles. Jestliže v j-té sezóně γ j = 0 ⇒ v dané sezóně nepůsobí sezónní vlivy.
(
)
Odhady sezónních indexů 1 + c j získáme na základě následujícího výpočtu: ( )
m
0 ∑ yij Tij
(1 + c j )= i=1m (0)
.
Tij2
∑
i =1
Test hypotézy o existenci konstantní sezónnosti Pokud chceme zjistit oprávněnost zařazení konstantního sezónního parametru do modelu, potom testujeme H 0 : β j = 0,
j = 1,2,..., r
proti H1 : β j ≠ 0, alespoň pro některou sezónu
j = 1,2,..., r
Testové kritérium r
F=
(
m ⋅ ∑ y. j − y j =1
(r − 1)σ 2
)2 ,
kde
(
)2
(
∑ ∑ yij − y − r ⋅ ∑ ( yi. − y ) − m ⋅ ∑ y. j − y m r
σ 2 = i =1 j =1
m
i =1
2
(r − 1)(m − 1)
r
j =1
)2 .
Statistika F má za platnosti hypotézy H0 Fis.-Sned. rozdělení o (r-1) a (r-1)(m-1) stupních volnosti.
Přednáška 11 Příklad 3 Otestujme existenci sezónní složky v příkladu 1. Pro výpočet hodnoty F statistiky potřebujeme vypočíst σ 2 : 6
∑
2 ∑ ( y ij − y ) = 909 040, 4
i =1 j =1
2
(
4 ∑ ( y i. − y ) = 111536,008 , 6 ∑ y. j − y 6
i =1
4
j =1
)
2
= 778320 ⇒
909040 − 111536,008 − 778320 = 1279 . (4 − 1)(6 − 1) 778320 Hodnota testové statistiky F = = 202,8 . (4 − 1)1279
σ 2=
V tabulkách najdeme kvantit F rozdělení o (r-1)=3 a (r-1)(m-1)=15 stupňů volnosti , hladina testu je 5%: F3,15 (0,95)= 3,287. Vzhledem k tomu, že F > F3,15 (0,95)= 3,287, H0 zamítneme ve prospěch hypotézy H1 o existenci významných sezónních parametrů β j .
