IndoMS Journal on Statistics Vol. 2, No. 2 (2014), Page 47-62
PERBANDINGAN MODEL REGRESI KERNEL DENGAN MODEL REGRESI POLYNOMIAL DALAM DATA FINANSIAL 1
Nur βEni1 Jurusan Matematika Program Studi Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Tadulako Jalan Sukarno-Hatta Km. 9 Palu 94118, Indonesia
Abstract Regression analysis is used to see the influence between independent variable with dependent variable, but see the relationship pattern first. This can be done by two approaching, parametric approach and nonparametric approach. Kernel regression is one of nonparametric approach model and kuadratic polynomial regression is one of parametric approach model. The aim of this research is to abtain the best regression model by comparing kernel regression model with kuadratic polynomial regression by using financial data with RSME criteria. Mastercard Incorporated (MA) stock data will be use in this research in 2nd January 2008 until 31st December 2008 period. The result shows that for MA stock data, the best regression model is kernel regression with RSME = 16,00147 and bandwith (h) = 25,64. Keywords: Regression Analysis, Nonparametric, Parametric, Kernel Regression, Kuadratic Polynomial Regression, RMSE, Bandwidht. Abstrak Analisis regresi digunakan untuk melihat pengaruh variabel independen terhadap variabel dependen dengan terlebih dahulu melihat pola hubungan variabel tersebut.Hal ini dapat dilakukan dengan melalui dua pendekatan yaitu pendekatan parametrik dan nonparametrik.Regresi kernel merupakan salah satu model dengan pendekatan nonparametrik dan regresi polynomial kuadratik merupakan salah satu model dengan pendekatan parametrik.Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mendapatkan model regresi terbaik dengan membandingkan model regresi kernel dan model regresi polynomial kuadratik dalam data financial dengan menggunakan kriteria RSME.Data yang digunakan adalah data saham Mastercard Incorporated (MA) periode 02 Januari 2008 sampai dengan 31 Desember 2008. Hasil penelitian menunjukkan bahwa unutk data saham MA, model regresi terbaik adalah model regresi kernel dengan nilai RSME = 16,00147 dan Bandwidht (h) = 25,64. Kata kunci: Analisis Regresi, Nonparametrik, Parametrik, Regresi Kernel, Regresi Polynomial Kuadratik, RMSE, Bandwidht.
47
48
Nur βEni
1. Pendahuluan Analis regresi merupakan analisis statistik yang digunakan untuk melihat pengaruh variabel independen terhadap variabel dependen terlebih dahulu melihat pola hubungan variabel tersebut (soemartini., 2007). Dalam beberapa kasus-kasus financial, banyak ditemukan permasalahan hubungan fungsional antara dua variabel Y dan X dimana bentuk-bentuk hubungan secara parametrik tidak dapat digunakan.Sehingga dapat digunakan teknik-teknik estimasi secara nonparametrik untuk menyelesaikan permasalahn nonlinearitas tersebut. Pada umumnya estimasi dengan nonparametrik tidak memerlukan asumsi hubungan fungsional antara variabel sehingga model-model nonlinear secara umum lebih sulit dianalis daripada linear, karena jarang ada metode yang dapat dengan mudah dipakai dan secara empiris untuk diimplementasikan, oleh karena itu fenomena dari nonlinearitas ini menjadi suatu masalah tersendiri bagi ekonometri keuangan. Untuk data financial model yang digunakan pada regresi nonlinear adalah model regresi poliynomial (Sudjana., 2002), dalam hal ini digunakan model yang berbentuk kuadratik. Oleh karena itu, diadakan suatu penelitian untuk membandingakan kinerja dari model regresi kernel dengan model regresi polynomial kuadratik, sehingga pengguna dapat memilih model regresi mana yang lebih baik digunakan.
2. Rumusan Masalah Adapun rumusan masalah yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah bagaimana mendapatkan model regresi terbaik dengan membandingkan model regresi kernel dan model regresi polynomial kuadratik dalam data finansial berdasarkn nilai RSME.
3. Tujuan Penelitian Berdasarkan latar belakang dan rumusan masalah di atas, maka tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah untuk mendapatkan model regresi terbaik dengan membandingkan model regresi kernel dan model regresi polynomial kuadratik dalam data finansial berdasarkan nilai RSME.
4. Tinjauan pustaka 4.1 Nonlineraitas Dalam Data Finansial Metode-metode ekonometri kebanyakan didesain untuk mendeteksi struktur linear dalam data finansial (Yuwono, p., 2004).Sebagai contoh, uji-uji timeseries yang banyak digunakan untuk memprediksi return-return dari asset, penekanan ujinya lebih pada kombinasi autokorelasi-autokorelasi return, dimana prediksi secara linear adalah sebagai fokusnya. Dan
Perbandingan Model Regresi Kernel Dengan Model Regresi Polynomial ....
49
kebanyakan model-model dengan vairabel-variabel ekonomi yang lain seperti konsumsi, dividen, dan tingkat suku bunga, model-modelnya adalah linear. 4.2
Perhitungan Analisis Besarnya Pengaruh Pajak Daerah Terhadap PAD Kota Palu Dalam realita, tidak semua model dapat diduga dengan pendekatan regresi parametrik karena tidak adanya informasi yang lengkap tentang bentuk kurva regresi.Dalam pendekatan seperti itu, dapat digunakan pendekatan regresi non parametrik (Hardle, W., 1990). Untuk sebuah sampel berukurann data pengamatan, {ππ ππ }ππ=1 , hubungan antara varibael-variabel tersebut dapat dinyatakan dengan model regresi sebagai berikut: ππ = π(ππ ) + ππ ππ ~ π(0, π 2 ) π = 1,2, β¦ , π (2.1) Estimator-estimator nonparametrik yang banyak digunakan adalah estimator-estimator smoothing, salah satu contoh dari smoothing (penghalusan) adalah regresi Kernel. 4.3
Ide Dasar Penghalusan (smoothing) Tujuan dari smoothing adalah untuk membuang variabilitas data yang tidak memiliki pengaruh sehingga ciri-ciri dari data akan tampak lebih jelas sehingga kurva yang dihasilkan akan mulus. Smoothing telah menjadi sinonim dengan metode-metode nonparametrik yang digunakan untuk mengestimasi fungsi-fungsi. 4.4
Fungsi Kernel Fungsi kernel, dinotasikan dengan πΎ(π₯),merupakan suatu fungsi yang pemanfaatanya diberlakukan pada setiap titik data. Berikut adalah sifat dari suatu fungsi kernel yaitu: β a. β«ββ πΎ(π₯)ππ₯ = 1 β b. β«ββ π₯πΎ(π₯)ππ₯ = 0 β c. β«ββ π₯ 2 πΎ(π₯)ππ₯ = π2 (πΎ) β 0 β β d. β«ββ[πΎ(π₯)]2 ππ₯ = β«ββ πΎ 2 (π₯)ππ₯ = βπΎβ22 Dalam metode kernel penaksir densitas untuk suatu nilai x dinotasikan dengan πΜβ (π₯), yang dinyatakan dalam rumus berikut: π 1 π₯ β ππ πΜβ (π₯) = βπΎ( ) (2.2) πβ β π=1
Berikut adalah bentuk umum dari kernel K(x) dalam penggunaannya terhadap bandwidth : 1 π₯ πΎβ (π₯) = β πΎ (β) (2.3) Teorema Penaksir densitas kernel : β Jika fungsi kernel merupakan fungsi densitas β«ββ πΎ(π’)ππ’ = 1, maka estimator fungsi dengan menggunakan fungsi kernel juga merupakan suatu fungsi densitas probabilitas. 4.5
Penaksir Densitas Kernel Dalam penaksir densitas kernel terdapat dua macam parameter (Hardle, W ., 1990) yaitu: a. Bandwidth h, dan b. Fungsi densitas kernel K
Nur βEni
50
Untuk memilih h dari fungsi densitas kernel K maka perlu dilakukan pemeriksaan terhadap asymtot tak bias dari πΜβ (π₯)sebagai berikut : β
1 π₯βπ’ πΈ[πΜβ (π₯)] = β« πΎ ( ) π(π’)ππ’ β β ββ
Berdasarkan sifat dari fungsi kernel : β2 π΅πππ βπΜβ (π₯)β = 2 π " (π₯)π2 (πΎ) + π(β2 ), β β (2.4) Sedangkan untuk variansinya adalah : πππ[πΜβ (π₯)]=πβ1 ββ1 βπΎβ22 π(π₯) + π((πβ)β1 ), πβ β β (2.5) Setelah bias dan variansi diperoleh selanjutnya kita akan menganalisis MSE yang merupakan kombinasi dari variansi dan bias kuadrat dari πΜβ (π₯) sebagai berikut : 1 β4 πππΈβπΜβ (π₯)β = π(π₯)βπΎβ22 + (π " (π₯)π2 (πΎ))2 + π((πβ)β1 ) + π(β4 ) (2.6) πβ 4 Dalam prakteknya penggunaan rumus MSE sangat sulit untuk digunakan karena terdapat fungsi densitas yang tidak diketahui yaitu f(x). Untuk alasan ini maka didefinisikan MISE (Mean Integrated Squared Error) sebagai berikut : 2 2 1 β4 ππΌππΈ[πΜβ (π₯)] = βπΎβ22 + (π2 (πΎ)) βπ " β + π((πβ)β1 ) + π(β4 ) (2.7) πβ
2
4
4.6
Regresi Kernel Regresi kernel adalah teknik dalam statistik non parametrik yang digunakan untuk menaksir nilai Ekspektasi Bersyarat suatu variabel random. Nilai Ekspektasi lazim dinotasikan dengan E(Y|X). secara matematis, untuk nilai x sebarang, estimator smoothing untuk m(x) dapat dinyatakan sebagai beriku 1 tπ Μ (π₯) = βππ=1 πβπ (π₯)ππ (2.8) π Dimana πβπ (π₯) dapat didefinisikan sebagai fungsi terbobot: πΎβ (π₯ β ππ ) πβπ = (2.9) πΜβ (π₯) Dimana : π 1 πΜβ (π₯) = β πΎβ (π₯ β ππ ) (2.10) π π=1
Dengan subtitusi (2.9) ke dalam (2.8), diperoleh penaksir kernel Nadaraya-watson π Μ β (π₯)dari m(x) sebagai berikut (Eubank, R.L., 1988): π₯ β ππ βππ=1 πΎ ( ) ππ β ππ π Μβ = (2.11) π₯ β ππ βππ=1 πΎ ( ) β Pilihan fungsi kernel yang akan digunakan dalam penelitian ini adalah kernel Gaussian, yaitu : 1 π₯2 πΎπΊ (π₯) = ππ₯π (β ) (2.12) 2 β2π Karena fungsi kernel yang digunakan adalah kernel Gaussian maka pada fungsi kernel π₯βπ π₯βπ πΎ ( π) , ( π) disubtitusikan pada x,sehingga : β
β
Perbandingan Model Regresi Kernel Dengan Model Regresi Polynomial ....
( π₯ β ππ 1 πΎπΊ ( )= ππ₯π (β β β2π
π₯ β ππ ) β ) 2
51
(2.13)
Bentuk-bentuk fungsi kernel dapat dilihat pada tabel berikut: Tabel 4.1 Beberapa bentuk fungsi kernel
4.7
Pemilihan Bandwidth Optimum Pemilihan bandwidth merupakan langkah yang sangat penting dalam mengestimasi kurva regresi kernel Karenaakan memberikan bentuk pada estimasi fungsi regresinya. Pemberian nilai Bandwidht yang terlalu kecil akan menghasilkan kurva estimasi yang kasar, sebaliknya bandwidth yang terlalu besar akan menghasilkan kurva estimasi yang sangat mulus. Terdapat beberapa cara pendekatan yang dilakukan dalam pemilihan bandwidth optimum, salah satu diantaranya adalah dengan menggunakan metode plug-in. 4.7.1 Metode Plug-in Sebenarnya pemilihan bandwidth optimum lebih ditekankan pada penyeimbangan antara bias dan variasi, karena itu dengan meminimumkan MSE maka permasalahan antara bias dan variasi dapat diminimumkan juga. Pendekatan dengan menggunakan plug-in method lebih didasarkan pada perluasan dari Mean Integrated Square Error (MISE) untuk penghalus kernel yang dapat dilihat pada persamaan (2.7) MISE diperoleh bukan secara fixed dari variansi dan biasnya, karena variansi dan bias dari fungsi merupakan pendekatan maka hanya diperoleh asimtotiknya, yaitu Assymthotic MISE (A-MISE). Untuk itu penggunaan π((πβ)β1 ) dan π(β4 ) dapat diabaikan sehingga : 1 β4 2 2 βπΎβ22 + (π2 (πΎ)) βπ " β π΄ β ππΌππΈ = (2.14) 2 πβ 4 Untuk memilih bandwidth yang optimum gunakan persamaan (2.14) yaitu dengan cara meminimumkan nilai dari A-MISE sebagai berikut :
Nur βEni
52
1 π΄ β ππΌππΈ[πΜβ ] β (πβ)β1 πΆ1 + β4 πΆ2 4 Sehingga ukuran bandwidth optimumnya adalah : βπππ‘ = (
1β 5
βπΎβ22
) 2 (βπ " β22 (π2 (πΎ)) π)
(2.15)
2
Untuk memperoleh nilai dari βπ " β2, asumsikan bahwa f(x) adalah fungsi yang berdistribusi normal dengan parameter π dan π 2 , sehingga : β
2 βπ " β2
2
= π β5 β« (π " (π₯)) ππ₯ ββ
= 0,212π β5 2 Untuk nilai βπΎβ2 dan π2 (πΎ) dapat dilihat dari table 2.1 sebagai fungsi kernel Gaussian. 2 1 Kemudian subtitusi nilai βπ " β2 = 0,212π β5, βπΎβ22 = 2 π dan π2 (πΎ) = 1 kedalam persamaan β (2.15), sehingga diperoleh : βπππ‘ = (
βπππ‘ =
1β 5
βπΎβ22
) 2 (βπ " β22 (π2 (πΎ)) π)
1,06 1 π β5
π
(2.16)
4.8
Pemilihan Model Regresi Kernel dengan h yang Optimum Sesuai tujuan dari pendekatan regresi nonparametrik, yakni ingin didapatkan kurva mulus yang mempunyai h optimum menggunakan data amatan sebanyak n, maka diperlukan ukuran kinerja atas penduga yang dapat diterima secara universal, dan ukuran kinerja atas penduga tersebut adalah: 4.8.1
Rata-rata jumlah kuadrat residu (Mean Squared Error-MSE) Ukuran kinerja atas penduga yang sederhana adalah kuadrat dari sisaan yang di rata-rata dengan rumus sebagai berikut : π
2
1 πππΈ = β(πβππ (π₯) β ππ ) π
(2.17)
π=1
Untuk i=1,2,β¦,n kriteria ini diharapkan memiliki nilai yang minimum, sehingga model regresi kernel dapat dikatakan memiliki h yang optimal. 4.9
Regresi Polynomial Kuadratik Model regresi polynomial merupakan hubungan antara dua peubah yang terdiri dari variabeldependent (Y) dan variabelindependent (X) sehingga akan diperoleh suatu kurva yang
Perbandingan Model Regresi Kernel Dengan Model Regresi Polynomial ....
53
membentuk garis melengkung. Berikut adalah model matematis dari persamaan regresi polynomial kuadratik ππ = π½Μ0 + π½Μ1 ππ + π½Μ2 ππ2 + ππ (2.18) Dimana variabel Y dan X menunjukkan peubah statistik :π½Μ0 , π½Μ1 dan π½Μ2 merupakan penaksir untuk π½0 , π½1 dan π½2 yang disebut dengan koefisien regresi sedangkan π menyatakan komponen kesalahn dari bentuk regresi (Tiro, M.A., 2001). 4.10 Estimasi Parameter Untuk mendapatkan estimasi yang baik bagi parameter koefisien regresi π½0 , π½1 dan π½2 digunakan metode kuadrat terkecil.Estimasi parameter koefisien regresi π½0 , π½1 dan π½2 adalah π0 , π1 dan π2 (Tiro, M.A., 2001).Model sampel untuk regresi polynomial kuadratik dapat ditulis sebagai berikut : Μπ = π0 + π1 ππ + π2 ππ2 (2.19) Sedangkan titik taksiran dari e yang didefenisikan sebagai selish antar observasi ππ dengan nilai fungsi regresi estimasi πΜ, dapat dilambangkan dengan : ππ = ππ β πΜ π = ππ β (π0 + π1 ππ + π2 ππ2 ) π
π
πππΈ = β ππ2 = β(ππ β π0 β π1 ππ β π2 ππ2 )2 (2.20) π=1
π=1
Untuk nilai π0 , π1 dan π2 dapat ditentukan dengan menggunakan metode kuadrat terkecil yaitu dengan cara meminimumkan Sum Square of Error (SSE), yaitu: π
πππΈ =
π
β ππ2 π=1 π
2
= β(ππ β π0 β π1 ππ β π2 ππ2 ) π=1
ππππΈ = β2 β(ππ β π0 β π1 ππ β π2 ππ2 ) = 0 ππ0 π
π=1
πππ + ππ β πΏπ + π=π
π
π
ππ β πΏππ π=π
= β ππ
(π. ππ)
π=π
π
ππππΈ = β2 β(ππ β π0 β π1 ππ β π2 ππ2 ) ππ = 0 ππ1 π=1
π
π0 β ππ + π=1
π
π
π1 β ππ2 π=1
π2 β ππ3 π=1
+
π
= β ππ ππ (2.22) π=1
π
ππππΈ = β2 β(ππ β π0 β π1 ππ β π2 ππ2 ) ππ2 = 0 ππ2 π
π=1
π
π
π
π0 β ππ2 + π1 β ππ3 + π2 β ππ4 = β ππ2 ππ (2.23) π=1
π=1
π=1
π=1
Untuk mencari nilai dari koefisien π0 , π1 dan π2 , persamaan (2.21).(2.22) dan (2.23) dapat disajikan dalam bentuk matriks berikut :
Nur βEni
54
π
π
β ππ
β ππ2
π=1 π
π=1 π
β ππ
β ππ2
β ππ3
π=1 π
π=1 π
π=1 π
β ππ3
β ππ4
π=1
π=1
π π
β ππ2 [ π=1
π
π π π0 [π1 ] = β ππ π2 π=1 π
β ππ2 [ π=1
β ππ π0 [π1 ] = β ππ ππ π2 2 [β ππ ππ ] ] β1
π
β ππ
β ππ2
π=1 π
π=1 π
β ππ2
β ππ3
π=1 π
π=1 π
β ππ3
β ππ4
π=1
π=1
β ππ β ππ ππ 2 [β ππ ππ ]
]
4.11 Estimasi Variansi Varian Ο2 yang berasal dari suku-suku error didalam model regresi ππ = π½Μ0 + π½Μ1 ππ + 2 π½Μ2 ππ + ππ harus diestimasi untuk berbagai keperluan, misalnya untuk inferensi tentang parameter koefisien regresi yang membutuhkan estimasi bagi Ο2 . Berikut adalah besaran nilai dari SSE : πππΈ = ππππ β πππ
Dimana: π (βππ=1 ππ )2 (2.24) ππππ = β ππ2 β π π’=1
π
β ππ π=1 π
πππ
= [π0
π1
π2 ] β ππ ππ β π=1 π
(βππ=1 ππ )2 π
(2.25)
β ππ2 ππ [ π=1 ]
Dengan derajat kebebasan (dk)=n-k-1, sehingga : πππΈ πππΈ = πβπβ1
(2.26)
Perbandingan Model Regresi Kernel Dengan Model Regresi Polynomial ....
55
4.12 Pendekatan Analisis Variansi (ANAVA) Dalam Regresi Nonlinear Polynomial Kuadratik Pendekatan ANAVA ini didasarkan pada penguraian jumlah kuadrat (Sum Square) dan derajat bebas yang berhubungan dengan varibel dependen Y. Penguraian jumlah kuadrat total dan derajat bebas biasanya dirangkaikan dalam bentuk table ANAVA sebagai berikut :
Tabel 4.2 Tabel ANAVA
4.13 Uji Asumsi Parametrik 4.13.1 Uji Normalitas Pengujian normalitas adalah pengujian tentang kenormalan distribusi data. Pengujian dapat dilakukan dengan menggunakan uji kolmogorov Smirnov,dimana pengambilan keputusan dapat dilakukan dengan melihat nilai dari probabilitasnya. 4.13.2 Uji Linearitas Uji linearitas dapat dilakukan dengan menggunakan pengujian plot sisa (plot-plot sisa standar sebagai fungsi dari nilai-nilai yang diprediksi).Jika kesimpulan akhir yang diperoleh adalah data berbentuk linear maka data tidak dapat digunakan, tetapi jika data berbentuk nonlinear maka kita dapat melanjutkan pengujian ke tahap berikutnya yaitu uji koefisien regresi polynomial kuadratik.
4.14 Uji Koefisien Regresi Polynomial Kuadratik Untuk menentukan apakah regresi polynomial kuadratik signifikan, kita memerlukan uji hipotesis, jika hipotesis π»0 diterima maka bentuk regresi diubah dalam bentuk regresi polynomial pangkat tiga sampai pada tingkat model derajat yang lebih tinggi (Sudjana, 2003).
5. Hasil dan Pembahasan 5.1
Pengolahan Data Dalam pengolahan data memaparkan tentang proses model regresi kernel dan proses dari model regresi polynomial kuadratik yang akan diolah dengan menggunakan program R versi 2.6.0 dan program SPSS versi 15 untuk mencari nilai RSME dari masing-masing model untuk
Nur βEni
56
dibandingkan. Fungsi kernel yang dipakai adalah kernel Gaussian dimana batas dari kernel ini berada pada selang (ββ, β).Untuk metode regresi nonparametrik kernel dengan estimasi Nadaraya-Watson, diperoleh bandwidth optimum yang dapat memberikan bentuk kurva pada estimasi fungsi regresinya.
5.2
Data Nilai Saham Mastercard Incorporated Data yang digunakan adalah data closing price saham harian (diambil pada periode perdagangan terakhir setiap harinya). Data nilai saham Mastercard Incorporated tersebut dapat dinyatakan dalam plot grafik berikut :
Gambar 5.1 Grafik antara Hari Vs Harga Saham 5.3 Regresi Kernel Dalam mempermudah proses perhitungan maka digunakan program R versi 2.6.0 untuk menghitung nilai kernel dari Nadaraya-Watson Estimate. 5.3.1 Perumusan Model Regresi Kernel Perumusan model regresi kernel dapat dinyatakan dalam nilai ekspektasi bersyarat Y terhadap X. Nilai ekspektasi ini dinyatakan dalam notasi sebagai berikut : β
β« π¦π(π₯, π¦)ππ¦ πΈ(π|π) = ββ ππ‘ππ’ π¦Μ = π(π₯) π(π₯) Untuk mengestimasi m(x) digunakan teknik regresi kernel dimana estimator smoothing untuk m(x) adalah sebagai berikut : π₯ β ππ βππ=1 πΎ ( ) ππ β π Μ βππ = π₯ β ππ βππ=1 πΎ ( ) β Estimator smoothing diatas lebih dikenal dengan nama penaksir kernel Nadaraya-Watson (NW-estimate). Selain itu digunakan pula fungsi kernel Gaussian, yaitu : π₯ β ππ 2 ( ) π₯ β ππ 1 β πΎπΊ ( )= ππ₯π (β ) β 2 β2π
Perbandingan Model Regresi Kernel Dengan Model Regresi Polynomial ....
57
Dengan mensubtitusikan fungsi kernel Gaussian dalam fungsi penaksir kernel NadarayaWatson, maka diperoleh bentuk baru dari fungsi penaksir sebagai berikut : 2
βππ=1 π Μ βππ =
((π₯ β ππ )/β) 1 ππ₯π (β ) ππ 2 β2π 2
βππ=1
((π₯ β ππ )/β) 1 ππ₯π (β ) 2 β2π
5.3.2 Pemilihan Bandwidth Optimum Sebelum melakukan proses perhitungan terlebih dahulu dilakukan pemilihan bandwidth optimum dengan menggunakan rumus sebagai berikut : βπππ‘ =
1,06 π π1/5 π
1,06 1 = 1/5 β (β(ππ β πΜ
)2 ) πβ1 π π=1
= 25,64 5.3.3 Perumusan model Regresi Kernel Smoothing NW Estimate dan MSE Dalam Program R.versi 2.6.0 Dari perhitungan dengan menggunakan program R.versi 2.6.0 diperoleh nilai RSME = 16,00147 untuk ukuran bandwidth = 25.64. sedangkan dalam bentuk grafik hasilnya sebagai berikut :
Gambar 5.2 Grafik Regresi Kernel Dengan Estimasi Nadaraya-Watson Pada gambar diatas dapat dilihat bahwa pergerakan nilai yang dihasilkan oleh penaksir kernel Nadaraya-Watson akan mengikuti bentuk dari tiap titik observasi yang ada, sehingga akan menghasilkan kurva regresi nonparametrik kernel yang optimum.
58
Nur βEni
5.4 Regresi Polynomial Kuadratik Untuk mempermudah proses perhitungan data dalam model regresi polynomial kuadratik maka digunakan program SPSS 15, dimana output yang dihasilkan akan digunakan sebagai pembanding dalam menentukan metode yang paling baik untuk digunakan. 5.4.1 Pembentukan Model Regresi Polynomial Kuadratik Model persamaan regresi polynomial kuadratik dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan sebagai berikut : πΜ
= π0 + π1 ππ + π2 ππ2 Berdasarkan output program SPSS versi 15 pada table dibawah ini diperoleh nilai untuk masing-masing variabel bebas.
Gambar 5.3 Grafik Regresi Polynomial Kuadratik Dari gambar diatas dapat pula dilihat bahwa model grafik dari regresi polynomial kuadratik berbentuk parabola dengan persamaan regresi sebagai berikut : πΜ
= 164,818 + 1,743π β 0,008π 2 Namun regresi diatas belum bias ditarik sebagai kesimpulan karena belum dilakukan uji asumsi parametrik dan uji koefisien regresi polynomial kuadratik. Untuk itu tahap selanjutnya adalah dengan melakukan uji asumsi parametrik. 5.4.2 Uji Asumsi Parametrik Pengujian asumsi parametrik yang dilakukan yaitu dengan uji normalitas dan uji linearitas.
Perbandingan Model Regresi Kernel Dengan Model Regresi Polynomial ....
59
5.4.2.1 Uji Normalitas Normalitas diuji dengan menggunakan uji kolmogorov smirnov. Tabel 5.1 Uji kolmogorov smirnov untuk satu sampel
Dari table output diperoleh nilai probabilitas untuk variabel harga saham adalah 0.063. nilai probabilitas ini dapat dilihat dari nilai Asymp.signifikannya. karena nilai probabilitasnya (P) > 0,05 maka data yang digunakan adalah data yang berdistribusi normal. 5.4.2.2 Uji Linearitas Uji linearitas menunjukkan bahwa untuk persamaan regresi linear, hubungan antara variabel independen dan dependen haruslah linear. Asumsi ini akan menentukan jenis persamaan estimasi yang digunakan.
Gambar 5.4 Scatterplot antara standardized residual dengan standardized predicted Berdasarkan scatterplot diatas dapat dijelaskan bahwa asumsi linear tidak terpenuhi. Hal ini dapat dilihat dari grafik scatterplot diatas yang membentuk suatu pola tertentu sehingga terdapat hubungan yang nonlinear antar variabel.
60
5.4.3
Nur βEni
Uji Koefisien Regresi Polynomial Kuadratik Pengujian ini dilakukan dengan menggunakan uji-F melalui daftar Anava. Hipotesisnya adalah : π»0 : π½1 = π½2 = 0 artinya model regresi polynomial kuadratik tidak signifikan π»1 : π½1 = π½2 β 0 artinya model regresi polynomial kuadratik signifikan Berdasarkan hasil pengolahan data dengan menggunakan program SPSS 15 diperoleh daftar anava sebagai berikut : Tabel 5.2 Tabel Anava untuk uji model regresi polynomial kuadratik
Kriteria penguji : π»0 ditolak apabila πΉβππ‘π’ππ β₯ πΉπ‘ππππ (1 β π; π; π β π β 1) π»0 diterima apabila πΉβππ‘π’ππ < πΉπ‘ππππ (1 β π; π; π β π β 1) Diperoleh nilai πΉπ‘ππππ adalah : πΉπ‘ππππ (1 β π; π; π β π β 1) = πΉπ‘ππππ (1 β 0,05; 2; 250) = 3,035 Berdasarkan output program SPSS 15 yaitu dalam table anava kolom mean square pada baris residual diperoleh nilai MSE = 614,313 sehingga nilai RSME (Root of Mean Squared of Error) adalah : RSME = βπππΈ = β614,313 =β24,785 Nilai RSME juga dapat diperoleh secara langsung dari output program SPSS yaitu dalam bentuk tabelberikut : Tabel 5.3 Ringkasan model regresi polynomial kuadratik
Perbandingan Model Regresi Kernel Dengan Model Regresi Polynomial ....
61
5.5
Perbandingan Model Regresi Kernel dengan Model Regresi Polynomial Kuadratik Dari kedua model regresi yang telah dilakukan yaitu model regresi kernel dengan estimasi Nadaraya-Watson dan model regresi polynomial kuadratik, akan dilakukan perbandingan untuk menentukan model regresi mana yang lebih baik. Ukuran pembanding yang digunakan yaitu berdasarkan nilai RSME dari masing-masing model.
Tabel 5.4 Perbandingan Model berdasarkan pada nilai RMSE
Dari tabel dapat dilihat bahwa model regresi nonparametrik kernel Nadaraya-Watson dengan nilai bandwidth = 25,64 memberikan estimasi yang lebih baik daripada model regresi polynomial kuadratik karena menghasilkan nilai RSME yang lebih kecil dibandingkan dengan regresi polynomial kuadratik sehingga model regresi terbaiknya adalah model regresi kernel dengan estimasi Nadaraya-Watson.
Kesimpulan Berdasarkan dari hasil dan pembahasan pada bab sebelumnya, diambil kesimpulan sebagai berikut : 1. Dengan menggunakan model regresi polynomial kuadratik diperoleh nilai RMSE (Root of Means Squared Errror) sebesar 24,785 2. Dengan menggunakan model regresi kernel Nadaraya-Watson dengan tipe kernel Gaussian diperoleh nilai RSME sebesar 16,00147 dan ukuran bandwidth yang digunakan adalah 25,64. 3. Dengan membandingkan antara kedua model regresi diperoleh bahwa model regresi kernel Nadaraya-Watson dengan nilai bandwidth = 25,64 merupakan model regresi terbaik karena selain memberikan tingkat kesalahan/error yang lebih kecil, model regresi kernel juga memberikan estimasi yang lebih baik dibandingkan dengan model regresi polynomial kuadratik.
62
Nur βEni
Daftar Pustaka [1] [2] [3]
[4] [5] [6] [7] [8]
[9] [10] [11] [12] [13]
Dwahjudi., 2009, Power dari Uji Kernomalan Data, (http://www.petra.ac.id) diakses pada tanggal 12 maret 2009 Eubank, R.L., 1988, Spline Smoothing and Nonparametrik Regression, Marcel Dekker, New York. Halim, S., dan Bisono, I., 2006, Fungsi-fungsi Kernel Pada Metode Regresi Nonparametrik dan Aplikasinya Pada Priest River Experimental Forestβs Data, (http://www.petra.ac.id) diakses pada tanggal 30 Desember 2008. Hardle, W., 1990, Smoothing Techniques With Implementation In S, Springer-Verlag, New York. Nurgiyantoro, B., 2004, Statistik Terapan Untuk Penelitian Ilmu-ilmu Sosial, Gadjah Mada University Press, Yogyakarta. Pujiati, S.A., 2007, Analisis Regresi Linear Berganda,(saduran), Jurusan Statistik ITS, Surabaya. Santosa, P.B., dan Ashari., 2005, Analisis Statistik Dengan Microsoft Exel Dan SPSS, Andi Yogyakarta, Yogyakarta. Soemartini., 2007, Pengujian Beberapa Asumsi Pada Data Profitalitas Ekuitas dan Beberapa Faktor Yang Mempengaruhinya, (saduran), Jurusan Statistika Universitas Padjadjaran, Jatinangor. Sudjana., 2002, Metode Statistika, Tarsito, Bandung. Sudjana., 2003, teknik Analisis Regresi dan Korelasi, Tarsito, Bandung. Tiro, M.A., 2002, Analisis Korelasi dan Regresi, Makassar State University Press, Makassar. Yahoo Finance., 2008 Data Saham Mastercard Incorporated, (http://www.yahoofinance.com) diakses pada bulan Maret 2009. Yuwono, P., 2004, Pengantar Ekonometri, Andi Yogyakarta, Yogyakarta.