PERBANDINGAN METODE DEKOMPOSISI KLASIK DAN METODE ARIMA UNTUK PENDUGAAN PARAMETER DATA RUNTUN WAKTU. (Studi Kasus: Jumlah Penumpang Kereta Api)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PERBANDINGAN METODE DEKOMPOSISI KLASIK DAN METODE ARIMA UNTUK PENDUGAAN PARAMETER DATA RUNTUN WAKTU (Studi Kasus: Jumlah Penumpang Kereta Api) Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

Oleh: Noni Riani NIM: 123114020 PROGRAM STUDI MATEMATIKA/JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2016 i


THE COMPARISON OF CLASSICAL DECOMPOSITION METHOD AND ARIMA METHOD TO ESTIMATE THE PARAMETER OF TIME SERIES DATA (Case Study: The Number of Train Passengers) Thesis Presented as a Partial Fulfillment of the Requirement to Obtain the Sarjana Sains Degree in Mathematics

By: Noni Riani Student Number: 123114020 MATHEMATICS STUDY PROGRAM/DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2016

ii


/iE-t. -t';ttEE' E-F

i7f

3{ : :r:.:::: i.:,- :r: .'r -.,

:

dnpq$

\L

-:

: G:

It

.r-.:-:r:, :irir::a ,:.

-\--=L

rir*; P;m; \t

::i:.:'

_ .'ttddEF6tbt-

l6lnr-i-ts.

tt

,

\L\ yL.J**

qt

E\-

'\t

I :f ffiEr2tr {AS=

tE fg

-v ^ft t,

--

,


SKRIPSI

PERBANDINGAI\ METODE DEKOMPOSISI KLASIK I}AI[ METODE ARIMA T]NTI]K PENDUGAAFI PARAMETER DAT"A.RIJNTUN WAI(TU (Studi Kasus: Juurtah Penunpang Kereta Api) Dipersiapkan dan ditulis sleh:

Noni Riani

Ketua Sekretaris Anggofia

I Agustus 2016 Fakrltas Sains dur Teknologl Universitas Sanata Dharma

Deka1

*h/-*

S.Si-, M-IvIath.Sc., Ph.D.)


*-

FDRNYATnAS{ xn*#XrIA$f IrAilPfA

Sry *bny#nur

tid* mwet kutiru

dengsn

wewryfu/a bfua

dxripsi

yeg

saya firfis

ini

ka4n d&u bryian or&g lafu, keueli yaqg telah ftebutkan dalam

**datu @e str*ffiffi s*ry&'hrj& turi*Yogy*xtq 22 Jwri2CIl6

li

I,

Fwulis

M I"$oni

Riani


HALAMAN PERSEMBAHAN

Karya ini saya persembahkan untuk: Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya sehingga skripsi ini dapat diselesaikan tepat pada waktunya. Bapak dan Ibu yang telah membesarkan, mendidik, mendoakan dan memberikan dukungan saya dalam segala hal. Terima kasih atas perhatian, kasih sayang dan dukungan yang telah diberikan, sehingga skripsi ini dapat selesai. Bapak Aris yang dengan sabar membimbing dan membantu saya dalam penulisan skripsi ini.

vi


ABSTRAK Metode peramalan yang baik adalah metode yang mempunyai galat terkecil dalam peramalan. Metode yang digunakan pada skripsi ini adalah metode Dekomposisi Klasik dan metode ARIMA. Metode ARIMA mendasarkan ramalannya pada proses Autoregressive (AR) dan Moving Average (MA). Konsep-konsep yang digunakan dalam membangun model adalah Autocorrelation Function (ACF) dan Partial Autocorrelation Function (PACF). Data yang digunakan untuk membandingkan metode Dekomposisi Klasik dan metode ARIMA adalah data jumlah penumpang kereta api tahun 2006-2015. Data mempunyai komponen musiman dan tren. Tujuan penelitian ini adalah membandingkan metode Dekomposisi Klasik dan metode ARIMA untuk mendapatkan metode yang terbaik dalam peramalan dengan menggunakan Mean Square Error (MSE) sebagai kriteria evaluasi. Kata kunci: Metode dekompisisi, metode ARIMA, Autoregressive (AR), Moving Average (MA), Autocorrelation Function (ACF), Partial Autocorrelation Function (PACF), musiman, tren.

vii


ABSTRACT A good forecasting method is a method which has the minimum error in forecasting. This thesis discusses about Classical Decomposition method and ARIMA method. ARIMA forecasting method is based on the Autoregressive (AR) and Moving Average (MA) processes. Concepts which are used to build the model is Autocorrelation Function (ACF) and Partial Autocorrelation Function (PACF). The data which are used to compare Classical Decomposition method and ARIMA method are the number of train passengers in 2006-2015. The data have seasonal and trend components. The purpose of this thesis is to compare the Classical Decomposition method and ARIMA method for getting the best method on forecasting by using Mean Square Error (MSE) as evaluating criteria. Keyword: Decomposition method, ARIMA method, Autoregressive (AR), Moving Average (MA), Autocorrelation Function (ACF), Partial Autocorrelation Function (PACF), seasonal, trend.

viii


KATA PENGANTAR

Puji dan Syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan

rahmat,

taufik,

dan

hidayah-Nya

sehingga

penulis

dapat

menyelesaikan penulisan skripsi dalam rangka memperoleh gelar Sarjana Sains di Universitas Sanata Dharma. Penulis menyadari bahwa penyusunan skripsi ini dapat diselesaikan karena dukungan dan bantuan dari berbagai pihak, baik perorangan ataupun lembaga. Untuk itu, dengan segala kerendahan hati penulis ingin menyampaikan terima kasih kepada: 1. Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen pembimbing skripsi yang telah meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran serta ilmu yang telah diberikan sehingga terselesaikannya skripsi ini. 2. YG. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D, selaku Ketua Program Studi Matematika sekaligus Dosen Pembimbing Akademik. 3. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku dekan Fakultas Sains dan Teknologi. 4. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan, S.Si., M.Si., dan Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. selaku dosen-dosen prodi matematika yang telah memberikan banyak pengetahuan kepada penulis selama proses perkuliahan.

ix


5. Kedua orang tua ku tercinta, kakak ku Lusiana, Ganda, Nawa dan Dewita yang selalu memberikan dukungan, doa, dan semangat sehingga terselesaikannya skripsi ini. 6. Teman-teman Matematika 2012: Lia, Ajeng, Putri, Sila, Anggun, Manda, Happy, Arum, Dewi, Rian, Budi, Ega, Boby, Tika, Ferny, Juli, Ilga, Oxi, dan Risma yang telah membantu dalam penulisan skripsi ini, dan memberikan kecerian serta dukungan selama kuliah. 7. Semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang dapat membangun serta menyempurnakan skripsi ini. Penulis berharap semoga skripsi ini dapat memberikan wawasan dan pengetahuan bagi pembaca.

Yogyakarta, 22 Juni 2016 Penulis,

Noni Riani

x


LEMBAR PER}TYATAAF{ PERf}ETUJUAIT Pt}BLIKASI KARYA ILMIAH UNTI]K KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma: Nama

:

Noni Rianr

NornorMatrasiswa : 123114S20 Demi pengembangan ilmu pengetahuan? saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul: PERBAIYDINGAFT MET(}I}E I}EKOMFOSI$I KLASIK DAI\{ METODE

ARIMA T]NTUK PEF{DUGAAI\I PARAMETER DATA RUNTT}N }YAKTU (Studi Kasus: Jumlah Penumpang Kereta Api) beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan

kgpada Perpustakam Universitas Smata Dhmma hak unhrk menyimpr, rnengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalarn bermk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya

di Internet

atau

media lain untuk kepontingan akademis tanpa perlu nneminta izin dari saya mauprm rnemberikan royalti kepada saya selama tetap rnenc€rtumkan nama saya sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini yang saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di Yogyakarta Pada tanggal : 22

lwri 2A16

Yang menyatakan

XI


DAFTAR ISI

Halaman HALAMAN JUDUL................................................................................................ i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................... iii HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iv HALAMAN KEASLIAN KARYA .........................................................................v HALAMAN PERSEMBAHAN ............................................................................ vi ABSTRAK ............................................................................................................ vii ABSTRACT ......................................................................................................... viii KATA PENGANTAR ........................................................................................... ix LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ................................ xi DAFTAR ISI ......................................................................................................... xii BAB I PENDAHULUAN ........................................................................................1 A. Latar Belakang Masalah ...........................................................................1 B. Rumusan Masalah .....................................................................................6 C. Batasan Masalah .......................................................................................7 D. Tujuan Penulisan ......................................................................................7 E. Metode Penulisan......................................................................................8 F. Manfaat Penulisan ....................................................................................8

xii


G. Sistematika Penulisan ...............................................................................8 BAB II LANDASAN TEORI ................................................................................11 A. Data Runtun Waktu dan Proses Stokastik ..............................................11 B. Stasioneritas ............................................................................................13 C. Pembedaan (Differencing) ......................................................................15 D. Variabel Acak yang Saling Bebas .........................................................17 E. P-value (Nilai Signifikan).......................................................................22 F. Fungsi Otokorelasi/ Autocorrelation Function (ACF) ...........................23 G. Fungsi Otokorelasi Parsial/ Partial Autocorrelation Function (PACF) .29 H. Proses White Noise .................................................................................34 I. Uji Normalitas Galat ...............................................................................34 J. Moving Average (rata-rata bergerak) ......................................................37 K. Metode Dekomposisi Aditif ...................................................................40 L. Metode Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) .............45 M. Pengujian White Noise ............................................................................49 N. Evaluasi Model .......................................................................................51 BAB III METODE DEKOMPOSISI KLASIK DAN METODE ARIMA ............53 A. Pendahuluan ............................................................................................53 B. Metode Dekomposisi Klasik...................................................................54 C. Metode Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) .............55 xiii


D. Contoh 3.4 Runtun Waktu ......................................................................70 BAB IV PERBANDINGAN METODE DEKOMPOSISI KLASIK DAN METODE ARIMA .................................................................................................81 A. Pengolahan Data Menggunakan Metode Dekomposisi Klasik ..............81 B. Pengolahan Data Menggunakan Metode ARIMA ..................................86 C. Evaluasi Model .......................................................................................98 BAB V PENUTUP ...............................................................................................100 A. Kesimpulan ...........................................................................................100 B. Saran .....................................................................................................100 DAFTAR PUSTAKA ..........................................................................................102 LAMPIRAN .........................................................................................................104

xiv


BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah Ramalan adalah dugaan mengenai kejadian atau peristiwa yang akan datang sedangkan peramalan adalah tindakan dalam membuat dugaan (Bowerman,1993). Peramalan adalah suatu teknik untuk memperkirakan suatu nilai pada masa yang akan datang dengan memperhatikan data masa lalu maupun data saat ini (Aswi dan Sukarna, 2006). Untuk melakukan peramalan tersebut diperlukan data yang akurat pada masa lampau sehingga dapat melihat kondisi yang akan datang. Peramalan adalah salah satu unsur yang sangat penting dalam pengambilan keputusan, sebab efektif atau tidaknya suatu keputusan umumnya tergantung pada faktor yang tidak terlihat pada waktu keputusan tersebut diambil (Soejoeti,1987). Berbagai bidang pengetahuan baik itu ekonomi, manajemen, keuangan, dan berbagai bidang riset selalu membutuhkan peramalan. Peramalan sangat diperlukan untuk mengetahui nilai dari suatu peristiwa berdasarkan waktu yang akan terjadi, sehingga tindakan yang tepat dapat dilakukan. Ada beberapa metode yang dapat digunakan dalam peramalan, yang menurut jenisnya dibagi menjadi dua yaitu: 1. Metode peramalan kuantitatif (bersifat obyektif) Metode peramalan kuantitatif adalah metode peramalan yang melibatkan analisis data waktu lampau untuk memperkirakan nilai yang akan datang dari sebuah variabel. Metode peramalan kuantitatif dapat dikelompokkan dua jenis: 1


2 a. Metode univariat runtun waktu (time series) yaitu metode yang dapat digunakan untuk menganalisis serangkaian data yang merupakan fungsi dari waktu. Model univariat menganalisis pola data yang diasumsikan kontinu di waktu yang akan datang. Pola tersebut diekstrapolasi untuk menghasilkan suatu model peramalan. Metode ini dipengaruhi oleh 4 komponen, yaitu: 1) Kecenderungan/Trend (T) merupakan pergerakan data untuk naik atau turun pada suatu runtun waktu dalam periode yang cukup panjang. 2) Siklus/Cycle (C) merupakan pergerakan tren yang meningkat ataupun menurun dalam jangka yang relatif lama atau untuk waktu yang lebih dari satu tahun. 3) Pola Musiman/ Seasonal (S) merupakan fluktuasi dari data yang terjadi secara periodik dalam kurun waktu satu tahun, misalnya fluktuasi per triwulanan, kuartalan, bulanan, mingguan, atau harian. 4) Variasi Acak/Random (I) dapat terjadi karena adanya faktor-faktor, seperti bencana alam, bangkrutnya perusahaan pesaing, promosi khusus, dan kejadian-kejadian lainnya yang tidak mempunyai pola tertentu. Metode-metode yang termasuk kelompok model univariat adalah Simple Moving Average, Exponential Smoothing, Double Moving Average, Holt’s Two Parameter Trend Model, Weight Moving Average, dan lain-lain. b. Metode kausal yaitu metode yang mengasumsikan variabel yang diramalkan menunjukkan adanya hubungan sebab akibat dengan satu atau beberapa variabel bebas yang mempengaruhi. Metode peramalan yang termasuk metode


3 kausal di antaranya metode ekonometri, regresi berganda dari suatu runtun waktu, dan lain-lain. 2. Metode peramalan kualitatif (bersifat subyektif) Peramalan kualitatif menggunakan pendapat dari para ahli untuk memperkirakan kejadian yang akan datang. Hasil peramalan kualitatif yang diperoleh bergantung pada orang yang menyusunnya atau berdasarkan pendapat para ahli. Beberapa metode yang termasuk dalam metode peramalan kualitatif: metode Delphi, analogi historis (historical analogy), dan lain-lain. a. Metode Delphi adalah suatu metode yang proses pengambilan keputusan melibatkan beberapa pakar. Adapun para pakar tersebut tidak dipertemukan secara langsung (tatap muka), dan identitas dari masing-masing pakar disembunyikan sehingga setiap pakar tidak mengetahui identitas pakar yang lain. Hal ini bertujuan untuk menghindari adanya dominasi pakar lain dan dapat meminimalkan pendapat yang bias. Metode Delphi pertama kali digunakan oleh Air Force-funded RAND pada tahun 1950. b. Analogi historis (historical analogy), merupakan teknik peramalan berdasarkan pola data masa lalu dari produk-produk yang dapat disamakan secara analogi, misalnya peramalan untuk pengembangan pasar televisi multisistem menggunakan model permintaan televisi hitam putih atau berwarna biasa. Analogi historis cenderung akan menjadi terbaik untuk penggantian produk di pasar dan apabila terdapat hubungan substitusi langsung dari produk dalam pasar itu.


4 Pada dasarnya metode kualitatif ditujukan untuk peramalan terhadap produk baru, pasar baru, proses baru, perubahan sosial masyarakat, perubahan teknologi, atau penyesuaian terhadap ramalan-ramalan berdasarkan metode kuantitatif. Metode yang akan digunakan pada skripsi ini adalah metode peramalan kuantitatif yaitu univariat runtun waktu (time series). Data runtun waktu yakni jenis data yang dikumpulkan menurut urutan waktu dalam suatu rentang waktu tertentu. Model yang menggunakan data runtun waktu ada 2 yaitu model stasioner dan model non-stasioner. Model stasioner yaitu model yang sedemikian hingga semua sifat statistiknya tidak berubah dengan pergeseran waktu. Dalam aplikasi, sifat statistika yang sering menjadi perhatian adalah rata-rata, variansi, serta ukuran keeratan yakni fungsi kovariansi. Pada model stasioner, sifat-sifat statistiknya di masa yang akan datang dapat diramalkan berdasarkan data historis yang telah terjadi di masa lalu. Beberapa model runtun waktu stasioner yakni Autoregressive (AR), Moving Average (MA), Autoregressive Moving Average (ARMA). Jika deret waktu tidak stasioner, maka data harus dibuat stasioner melalui proses pembedaan (differencing). Model AR, MA, dan ARMA dengan data yang stasioner melalui proses pembedaan ini disebut dengan model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA). Model non-stasioner adalah model yang tidak memenuhi sifat model stasioner. Model ARIMA atau dikenal juga dengan model Box-Jenkins dapat ditulis dalam bentuk


5 p, d, dan q berturut-turut adalah orde untuk Autoregressive (AR), integrated (I), dan Moving Average (MA). Selain peramalan dengan metode ARIMA, ada juga yang menggunakan peramalan dengan metode dekomposisi. Metode dekomposisi lebih praktis dibandingkan metode ARIMA dan lebih umum digunakan karena penerapannya yang mudah dipahami. Dekomposisi adalah suatu pendekatan analisis data runtun waktu untuk mengidentifikasi faktor-faktor komponen yang mempengaruhi masing-masing nilai dari data. Setiap komponen diidentifikasi secara terpisah. Proyeksi dari masing-masing komponen kemudian dapat dikombinasikan untuk menghasilkan ramalan nilai masa depan dari data runtun waktu (Hanke dan Wichern, 2009). Beberapa dekomposisi yang telah dikembangkan dan digunakan: 1. Dekomposisi Aditif Dekomposisi Aditif mendekomposisi data runtun waktu pada komponenkomponen tren, musiman, siklus dan galat (error). Metode ini mengidentifikasi ramalan masa depan dan menjumlahkan proyeksi hasil peramalan. Model diasumsikan bersifat aditif (semua komponen ditambahkan untuk mendapatkan hasil peramalan). Persamaan model ini adalah:

adalah data runtun waktu, Tt adalah komponen tren (trend), Ct adalah komponen siklus (cycle), St adalah komponen musiman (seasonal), dan komponen tak beraturan.

adalah


6 2. Dekomposisi Multiplikatif Dekomposisi multiplikatif mendekomposisi data runtun waktu pada komponen-komponen tren, musiman, siklus dan galat kemudian memprediksi nilai masa depan. Model diasumsikan bersifat multiplikatif (semua komponen dikalikan satu sama lain untuk mendapatkan model peramalan). Persamaan model ini adalah:

adalah data runtun waktu, Tt adalah komponen tren (trend), Ct adalah komponen siklus (cycle), St adalah komponen musiman (seasonal), dan

adalah

komponen tak beraturan. Komponen musiman dan komponen tren merupakan komponen yang biasanya terdapat pada data. Dengan adanya komponen musiman dapat juga dilihat komponen siklusnya. Komponen tak beraturan hanya untuk melihat galat yang ada pada data. Sehingga dalam perumusan masalah penulis hanya membahas mengenai komponen musiman dan komponen tren.

B. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang di atas, maka rumusan masalah tugas akhir adalah sebagai berikut: 1. Bagaimana landasan matematis metode ARIMA dan metode dekomposisi klasik yang memuat tren dan musiman?


7 2. Bagaimana perbandingan metode ARIMA dan metode dekomposisi klasik yang memuat tren dan musiman?

C. Batasan Masalah Dalam tugas akhir ini penulis membatasi permasalahan, yaitu 1. Membahas peramalan kuantitatif khususnya dekomposisi secara aditif yang hanya memuat data tren dan musiman. 2. Pendugaan parameter AR dan MA dengan

menggunakan program R.

3. Landasan teori yang dibahas hanya yang berkaitan langsung dengan pokok perkara skripsi. 4. Skripsi ini hanya mencari metode yang terbaik tanpa meramalkan data untuk waktu kedepannya. 5. Data yang digunakan adalah data jumlah penumpang kereta api Jawa dan Sumatera dari tahun 2006-2015.

D. Tujuan Penulisan Tujuan yang akan dicapai dalam penulisan ini adalah: 1. Mengetahui landasan matematis peramalan metode ARIMA dan metode dekomposisi klasik yang memuat tren dan musiman. 2. Mengetahui perbandingan peramalan metode ARIMA dan metode dekomposisi klasik yang memuat tren dan musiman.


8 E. Metode Penulisan Metode penulisan yang digunakan adalah metode studi pustaka, yaitu dengan membaca referensi buku-buku pendukung dan jurnal yang mengenai ARIMA dan dekomposisi klasik. Jenis-jenis sumber pustaka yang digunakan dicantumkan dalam daftar pustaka.

F. Manfaat Penulisan Manfaat yang diperoleh dari skripsi ini adalah: 1. Bagi penulis: lebih memahami mengenai metode peramalan seperti metode dekomposisi klasik dan metode ARIMA. 2. Bagi pembaca: memberi pengetahuan baru mengenai metode peramalan yang dapat digunakan serta memberikan informasi bagi pihak yang membutuhkan.

G. Sistematika Penulisan BAB I: PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah B. Rumusan Masalah C. Batasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Metode Penulisan F. Manfaat Penulisan G. Sistematika Penulisan


9 Bab II : LANDASAN TEORI A. Data Runtun Waktu dan Proses Stokastik B. Stasioneritas C. Pembedaan (Differencing) D. Variabel Acak yang Saling Bebas E. P-value (Nilai Signifikan) F.

Fungsi Otokorelasi/ Autocorrelation Function (ACF)

G. Fungsi Otokorelasi Parsial/ Partial Autocorrelation Function (PACF) H. Proses White Noise I.

Uji Normalitas Galat

J.

Moving Average (rata-rata bergerak)

K. Metode Dekomposisi Aditif L. Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) M. Pengujian White Noise N. Evaluasi Model

BAB III: METODE DEKOMPOSISI KLASIK DAN METODE ARIMA A. Pendahuluan B. Metode Dekomposisi Klasik C. Metode Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) D. Contoh 3.4 Runtun Waktu


10 BAB IV: PERBANDINGAN METODE DEKOMPOSISI KLASIK DAN METODE ARIMA Bab ini menjelaskan tentang perbandingan metode dekomposisi klasik dan metode ARIMA untuk pendugaan data runtun waktu.

BAB V : PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran


BAB II LANDASAN TEORI

A.

Data Runtun Waktu dan Proses Stokastik

Definisi 2.1 Runtun waktu (time series) Runtun waktu adalah himpunan pengamatan

pada waktu . Runtun waktu

diskrit adalah himpunan pengamatan dengan

. Runtun waktu kontinu adalah

himpunan pengamatan dengan

atau t pada interval tertentu.

Contoh 2.1 Permainan bisbol tahun 1933-1995 Gambar 2.1 menunjukkan hasil permainan bisbol dengan memplot

, dengan

{ ini adalah pertunjukan dengan hanya dua nilai kemungkinan yaitu

. Ada

beberapa nilai yang tidak ada yaitu pada tahun 1945 dan tahun 1959-1962 karena pertandingan tidak dimainkan.

Gambar 2.1 Permainan bisbol tahun 1933-1995

11


12 Pada skripsi ini akan dibahas mengenai data runtun waktu diskrit. Data runtun waktu diamati sebagai n variabel acak di sebarang waktu bilangan bulat , untuk setiap n bilangan bulat positif, disediakan oleh fungsi distribusi bersama, dievaluasi sebagai probabilitas bahwa nilai-nilai dari data yang bersamasama kurang dari n konstanta,

yaitu (2.1)

Pengamatan variabel

yang tersedia dari waktu ke waktu disebut data

runtun waktu (Hanke & Winchern, 2009). Tujuan utama dari analisis runtun waktu adalah untuk mengembangkan model matematika yang menyediakan deskripsi yang masuk akal untuk data sampel. Agar dapat memberikan analisis statistik untuk menggambarkan karakter data yang berfluktuasi secara acak dari waktu ke waktu, diasumsikan runtun waktu dapat didefinisikan sebagai kumpulan dari variabel acak diindeks berdasarkan urutan yang diperoleh dalam waktu. Sebagai contoh, perhatikan data runtun waktu sebagai urutan variabel acak, dengan variabel acak pada saat pertama, variabel kedua, variabel

menunjukkan nilai yang diambil oleh deret

menunjukkan nilai untuk periode waktu yang

menunjukkan nilai untuk periode ketiga, dan seterusnya

(Shumway dan Stoffer, 2011:11). Salah

satu

langkah

yang

penting

dalam

peramalan

adalah

mempertimbangkan pola data sehingga metode peramalan yang sesuai dengan data tersebut dapat bermanfaat. Secara umum terdapat empat macam pola data runtun waktu, yaitu horisontal, tren, musiman, dan siklus (Hanke dan Wichren, 2009). Pola horisontal merupakan kejadian yang tidak terduga dan bersifat acak,


13 tetapi kemunculannya dapat mempengaruhi fluktuasi data runtun waktu. Pola horisontal terjadi ketika nilai berfluktuasi di sekitar nilai rata-rata yang konstan artinya data tidak mengalami kenaikan atau penurunan secara signifikan. Pola tren adalah kecenderungan data untuk naik atau turun pada suatu runtun waktu dalam periode yang cukup panjang. Pola musiman merupakan fluktuasi dari data yang terjadi secara periodik dalam kurun waktu satu tahun, misalnya fluktuasi per triwulanan, kuartalan, bulanan, mingguan, atau harian. Sedangkan pola siklus merupakan fluktuasi dari data untuk waktu yang lebih dari satu tahun. Model runtun waktu adalah model yang dapat digunakan untuk menganalisis serangkaian data yang merupakan fungsi dari waktu.

B. Stasioneritas Stasioneritas berarti bahwa tidak terdapat pertumbuhan dan penurunan pada data. Data secara kasarnya harus horisontal sepanjang sumbu waktu. Dengan kata lain, fluktuasi data berada di sekitar suatu nilai rata-rata yang konstan, tidak tergantung pada waktu dan variansi dari fluktuasi yang konstan setiap waktu (Makridakis, Wheelwright, McGee, 1999). Stasioneritas data dapat dilihat dari plot data runtun waktu. Data runtun waktu dikatakan stasioner jika tidak ada unsur tren dan musiman pada data, serta rata-rata dan variansinya konstan.


14

Gambar 2.2 Plot data stasioner dalam rata-rata dan variansi

Gambar 2.3 Plot data stasioner dalam variansi dan tidak stasioner dalam rata-rata

Gambar 2.4 Plot data stasioner dalam rata-rata dan tidak stasioner dalam variansi


15

Gambar 2.5 Plot data tidak stasioner dalam rata-rata dan variansi Apabila data tidak stasioner dalam rata-rata, maka untuk menghilangkan ketidakstasioneran dapat dilakukan dengan pembedaan yang akan dibahas pada subbab C. Apabila data tidak stasioner dalam variansi maka dapat dilakukan transformasi Box dan Cox (Wei, 2006), dengan fungsi transformasi sebagai berikut:

Perhitungan

dengan menggunakan program R dengan perintah: >Lambda=

BoxCox,lambda(Xt), dengan

adalah data asli.

C. Pembedaan (Differencing) Pembedaan (differencing) digunakan untuk menstasionerkan data yang tidak stasioner khususnya data yang tidak stasioner dalam rata-rata (mean). Operator yang biasa digunakan dalam pembedaan adalah operator langkah mundur (backward shift). Notasi operator langkah mundur adalah


16

Dengan

B

= langkah mundur = nilai variabel X pada waktu t = nilai variabel X pada waktu

Notasi B pada

mempunyai pengaruh menggeser data 1 periode ke belakang.

Apabila ada dua B pada ditulis

maka menggeser data 2 periode ke belakang, dapat

dan seterusnya.

Apabila suatu data runtun waktu tidak stasioner, maka data tersebut dapat dibuat mendekati stasioner dengan melakukan pembedaan orde pertama dari data runtun waktu. Rumus pembedaan orde pertama adalah (2.2) Dengan menggunakan operator langkah mundur, persamaan (2.2) dapat ditulis menjadi (2.3) Dengan

= nilai variabel

pada waktu

setelah pembedaan. Pembedaan orde

pertama dinyatakan oleh (1-B). Apabila stasioneritas tidak dicapai, dapat dilakukan pembedaan orde kedua yaitu: (2.4) Dengan operator langkah mundur, persamaan (2.4) dapat ditulis

(2.5)


17 Tujuan melakukan pembedaan adalah untuk mencapai stasioneritas, dan secara umum apabila terdapat pembedaan orde ke-d dapat ditulis:

D. Variabel Acak yang Saling Bebas Definisi 2.2 Misalkan

mempunyai fungsi distribusi

dan

,

,

mempunyai fungsi distribusi

mempunyai fungsi distribusi bersama

. Maka

dan

dikatakan saling bebas jika dan hanya jika

Untuk setiap pasangan bilangan real Jika

dan

.

variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas bersama

dan fungsi probabilitas marginal

dan

, maka

dan

saling bebas jika dan hanya jika

Untuk semua pasangan bilangan real Jika

dan

.

variabel acak kontinu dengan fungsi densitas bersama

dan fungsi densitas marginal

dan

bebas jika dan hanya jika

Untuk semua pasangan bilangan real

.

, maka

dan

saling


18 Definisi 2.3 Misalkan

adalah fungsi dari variabel acak diskrit,

yang mempunyai fungsi probabilitas bersama harapan dari ]

∑

∑∑

adalah variabel acak kontinu dengan fungsi densitas bersama maka

[

]

∫

∫ ∫

Teorema 2.1 Misalkan adalah konstan, maka

Bukti Menurut definisi 2.3 untuk distribusi probabilitas diskrit, diperoleh ∑

∑

Dari teorema ∑ Menurut definisi 2.3 untuk distribusi probabilitas kontinu, diperoleh ∫

Dari teorema ∫

. Maka nilai

adalah

[

Jika

,

∫


19 Teorema 2.2 Misalkan

adalah fungsi dari variabel acak

dan c adalah konstan,

maka [

]

[

]

Bukti Menurut definisi 2.3 untuk

diskrit, diperoleh

[

]

∑∑

∑∑ [ Menurut definisi 2.3 untuk [

]

]

kontinu, diperoleh

∫ ∫

∫ ∫ [

]

Teorema 2.3 Misalkan

dan

adalah fungsi dari [

adalah variabel acak dan dan

, maka ]

[

] [

[ ]

]


20 Bukti Menurut definisi 2.3 untuk

diskrit, diperoleh

[

]

∑ ∑[ ] ∑∑

∑∑

∑∑ [

]

[

[ Menurut definisi 2.3 untuk [

]

kontinu, diperoleh ]

∫ ∫[ ] ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

]


21 [

] [

Teorema 2.4 Misalkan

dan

adalah variabel acak yang saling bebas, maka [

]

[ ] [ ]

Bukti Menurut definisi 2.3 dan 2.2 untuk [

]

diskrit, diperoleh

∑∑

∑∑

∑

∑

∑

[ ]

[ ]∑ [ ] [ ]

Menurut definisi 2.3 dan 2.2 untuk [

]

∫ ∫

∫ ∫

kontinu, diperoleh

[ ]

]


22 ∫

∫

[∫

]

[ ]

[ ] ∫ [ ] [ ] [ ] [ ]

E. P-value ( Nilai Signifikan) P-value (nilai signifikan) adalah nilai kesalahan yang didapat dari hasil perhitungan statistik atau sebagai ukuran untuk menerima atau menolak (hipotesis nol). Sebelum menghitung nilai p-value, harus ditetapkan terlebih dahulu nilai alpha ( ) sebagai patokan seberapa besar kesalahan tersebut dapat diterima. Alpha adalah batas kesalahan maksimal yang dijadikan patokan oleh peneliti. Nilai alpha yang sering digunakan adalah sebesar

, nilai alpha yang

kecil menunjukkan semakin ketatnya aturan dalam suatu penelitian. Nilai alpha menunjukkan seberapa ekstrim suatu data (data ideal), sehingga

dapat

menunjukkan adanya perbedaan dengan data lainnya (tolak H0). Selanjutnya membandingkan nilai alpha dengan nilai p-value untuk mengetahui apakah data yang diobservasi berbeda secara signifikan dibandingkan dengan apa yang ditetapkan dalam hipotesis nol (null hypothesis). Jika nilai p-value

, maka


23 peneliti menolak hipotesis nol. Jika nilai p-value

, maka peneliti gagal

menolak hipotesis nol (menerima hipotesis nol).

F. Fungsi Otokorelasi/ Autocorrelation Function (ACF) Sebelum membahas ACF sebaiknya perhatikan penjelasan tentang fungsi otokovariansi. Dalam asumsi stasioner, proses stokastik { } mempunyai rata-rata dan variansi kovariansi

yang konstan dan

, yang fungsinya merupakan selisih waktu |

Maka dari itu, hasil tersebut dapat ditulis sebagai kovariansi antara

|. dan

dari proses stokastik { } sebagai berikut: [

]

(2.6)

Fungsi otokorelasi merupakan hubungan antara suatu himpunan observasi dengan himpunan observasi itu sendiri tetapi dalam waktu yang berbeda. Koefisien otokorelasi menunjukkan keeratan hubungan antara nilai variabel yang sama tetapi pada waktu yang berbeda. Koefisien ini juga mengukur tingkat keeratan hubungan antara

dengan

. Sedangkan pengaruh time lag 1,2,3,...

dan seterusnya sampai k-1 konstan. Koefisien otokorelasi untuk lag-k dari data runtun waktu dapat ditulis sebagai berikut (Wei, 2006): [ √ [

√ Dengan:

=rata-rata =data runtun waktu =otokovariansi pada lag-k

] ]√ [

(2.7) ]


24 = otokorelasi pada lag-k =waktu pengamatan, t=1,2,3,...

dan | |

|

|

Koefisien dari otokovariansi ̂ dengan

dapat diduga dengan ̅

∑

(2.8)

̅

̂

= koefisien otokovarian lag-k

n

= ukuran sampel,

̅

= rata-rata pengamatan pada = pengamatan pada waktu ke = pengamatan pada waktu ke

̂

1.

, dengan

̂ untuk

Penduga Fungsi Otokorelasi (ACF) Menurut (Makridakis, 1999:339) koefisien fungsi otokorelasi

dapat

diduga dengan koefisien otokorelasi sampel, yaitu ̅

∑ ∑ Dengan

̅ ̅

= koefisien otokorelasi lag-k n

= banyaknya data

(2.9)


25 ̅

= rata-rata pengamatan pada = pengamatan pada waktu ke-t = pengamatan pada waktu ke

, dengan

Contoh 2.2 Diberikan contoh cara menghitung secara numerik fungsi otokorelasi pada tabel 2.1 Tabel 2.1 data runtun waktu t

1 13

2 8

3 15

Otokorelasi sampel untuk data ̅

∑

̅ ̅

∑

dengan

4 4

5 4

6 12

7 11

8 7

9 14

10 12

dapat dihitung menggunakan pendugaan sampel dan ̅

. Misalkan

, sehingga

diperoleh otokorelasi ̅

∑ ∑

̅ ̅

adalah koefisien otokorelasi time lag 0,

adalah koefisien otokorelasi

time lag 1. Dengan cara yang sama, koefisien otokorelasi

,


26 , dan seterusnya dapat dihitung seperti contoh di atas. Berikut adalah plot ACF contoh 2.1 untuk lag 0 sampai lag 10.

Gambar 2.6 Plot ACF Dalam perhitungan fungsi otokorelasi untuk lag 0 selalu bernilai 1. dan seterusnya, untuk lag selanjutnya dapat dilihat pada gambar di atas.

2.

Pengujian Fungsi Otokorelasi (ACF)

Langkah-langkah pengujian: 1.

(koefisien otokorelasi tidak signifikan)

2.

(koefisien otokorelasi signifikan)

3.

Menentukan

4.

Statistik uji:


27 dengan 5.

√

wilayah kritis: ditolak (koefisien otokorelasi signifikan) jika | |

6.

.

Membuat kesimpulan merupakan fungsi atas k, maka hubungan koefisien korelasi dengan lag

nya disebut fungsi otokorelasi. Pengujian dilakukan untuk mengetahui apakah koefisien fungsi otokorelasi signifikan atau tidak. Selain menggunakan pengujian tersebut, dapat juga menggunakan batas signifikansi. Untuk memeriksa apakah koefisien rumus kesalahan standar dari

yakni

√

yang tidak signifikan akan berada pada batas selang kepercayaan

, untuk

signifikan, dapat digunakan . Sehingga seluruh nilai korelasi ( ) √

nilainya mendekati nilai

( ) pada √

.

Pada skripsi ini, pengujian ACF tidak hanya digunakan untuk uji koefisien otokorelasi tetapi juga

digunakan untuk menguji galat dari model ARIMA,

sehingga keacakan galat dapat dilihat. Jika pada grafik ACF tidak ada lag yang melebihi garis signifikans (garis putus-putus), maka galat bersifat acak (koefisien otokorelasi tidak signifikan). Perhatikan plot ACF galat berikut (untuk lag 0 dalam program R tidak diperhitungkan karena selalu bernilai 1).


28

Gambar 2.7 Plot ACF galat Dari gambar 2.7 terlihat bahwa galat bersifat acak karena untuk setiap lag berada pada batas signifikan. Selanjutnya perhatikan contoh 2.2, dari contoh dapat dihitung batas signifikan untuk

dan

sehingga diperoleh batas signifikan ( ( (

√ √ √

) ) )

(

√

( √ ( √

) ) )

Perhatikan gambar 2.6 plot ACF pada contoh 2.2, dari gambar telihat bahwa tidak ada lag yang melebihi batas signifikan sehingga dapat disimpulkan bahwa koefisien otokorealsi untuk setiap lag adalah tidak signifikan.


29 G. Fungsi Otokorelasi Parsial/ Partial Autocorrelation Function (PACF) Otokorelasi parsial digunakan untuk mengukur tingkat keeratan antara dan

, apabila pengaruh dari time lag

dianggap terpisah

(Makridakis, 1995). Otokorelasi parsial dapat diturunkan dari model regresi linear, dengan variabel dependent

yang merupakan proses stasioner dengan rata-rata nol

yang diregresikan pada lag

dengan variabel

, yaitu (2.10)

dengan

adalah parameter regresi ke-i,

dengan rata-rata 0 dan tidak berkorelasi dengan Dengan mengalikan

dan untuk

Selanjutnya menghitung nilai harapannya (expected value) ) (

)

Mengacu pada teorema 2.4 dan persamaan (2.6), diperoleh

Bila

Untuk

dibagi

.

pada kedua sisi dari persamaan regresi (2.10)

diperoleh

(

adalah galat

maka

diperoleh sistem persamaan Yule-Walker


30

Dengan menggunakan aturan Cramer untuk

dengan |

|

diperoleh

|

|

|

|

, sehingga

dengan |

|

|

|

|

|

|

| (2.11)

|

Karena

merupakan fungsi atas k, maka

|

disebut fungsi otokorelasi parsial.


31 1.

Pendugaan Fungsi Otokorelasi Parsial (PACF) Menurut (Wei, 2006) fungsi otokorelasi parsial

persamaan (2.11) dapat

diduga dengan koefisien otokorelasi parsial sampel secara rekursif. Metode rekursif dimulai dengan ̂

̂ . Untuk perhitungan ̂

diberikan oleh Durbin

(1960) yaitu ̂

̂

∑

̂

̂

∑

̂

̂

(2.12)

dan ̂

̂

̂

̂

(2.13)

dengan ̂

= koefisien otokorelasi parsial

Contoh 2.3 Mengacu pada contoh 2.2 ACF, selanjutnya dapat dihitung koefisien otokorelasi parsial dengan persamaan (2.12) dan (2.13). Pada proses ACF diperoleh ̂

̂

,

dan ̂

koefisien otokorelasi parsial yaitu ̂

̂

̂

̂

̂

̂

̂

̂

̂

̂ ̂

̂

̂ ̂

̂

, selanjutnya dicari


32 ̂

̂

̂

̂

̂

̂

̂

̂

̂

̂

Untuk ̂

selainnya dapat dihitung menggunakan cara yang sama seperti contoh

di atas. Berikut adalah gambar PACF contoh 2.3

Gambar 2.8 Plot PACF contoh 2.3

2.

Pengujian Fungsi Otokorelasi Parsial (PACF)

Langkah-langkah pengujian hipotesis koefisien otokorelasi parsial: 1.

(koefisien otokorelasi parsial tidak signifikan)

2.

(koefisien otokorelasi parsial signifikan)

3.

Menentukan

4.

Statistik uji:


33 ̂ ̂ dengan 5.

̂

√

wilayah kritis: ditolak (koefisien otokorelasi signifikan) jika | |

6.

.

Membuat kesimpulan Untuk mengetahui apakah koefisien otokorelasi parsial signifikan atau tidak,

dapat juga menggunakan batas signifikansi. kesalahan standar dari ̂

yakni

̂

√

Dengan menggunakan rumus . Sehingga seluruh nilai korelasi

pada selang kepercayaan

, untuk

̂

( )

yang tidak signifikan akan berada pada batas

√

nilainya mendekati nilai

Dari contoh 2.3 dapat dihitung batas signifikan untuk

( ), √

. , sehingga

diperoleh batas signifikan ( √

)

̂

( √

( √

)

̂

(

( √

)

̂

(

√

√

) ) )

̂ Perhatikan gambar 2.8 plot PACF pada contoh 2.3, dari gambar terlihat bahwa tidak ada lag yang melebihi garis signifikan sehingga dapat disimpulkan bahwa koefisien otokorealasi untuk setiap lag adalah tidak signifikan.


34 H.

Proses White Noise

Definisi 2.4 Proses White Noise Suatu proses stokastik {

} disebut proses white noise jika barisan variabel acak

yang berdistribusi normal tidak berkorelasi di setiap waktu, dengan rata-rata dan variansi konstan Var

=

.

Berdasarkan definisi 2.4 di atas, proses white noise {

} adalah stasioer

dengan fungsi otokovariansi (Wei, 2006). { fungsi otokorelasi { dan fungsi otokorelasi parsial {

I.

Uji Normalitas Galat Uji normalitas galat digunakan untuk mengetahui apakah galat berdistribusi

normal atau tidak. Untuk menguji normalitas dari galat menggunakan uji normalitas Kolmogorov-Smirnov dengan langkah-langkah sebagai berikut (Daniel, 1989): 1.

galat berdistribusi normal

2.

galat tidak berdistribusi normal

3.


35 4.

Dengan statistik uji: | Dengan

|

fungsi distribusi kumulatif berdasarkan data sampel fungsi distribusi kumulatif di bawah nilai Z diperoleh dari ̅ adalah rata-rata sampel dan

5.

̅

adalah standard deviasi sampel.

kriteria pengujian: diterima (galat berdistribusi normal) jika

atau

, dengan n adalah ukuran sampel. 6.

Menentukan kesimpulan Pengujian juga dapat dilakukan dengan melihat grafik normalitas. Jika galat

berdistribusi normal, maka galat akan berada di sekitar garis diagonal. Untuk galat yang tidak berdistribusi normal, maka galat akan menyebar dan menjauhi garis diagonal.

Gambar 2.9 galat berdistribusi normal


36 Contoh 2.4 uji data normalitas Diberikan 14 data pada tabel 2.2 Tabel 2.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 73.9 74.2 74.6 74.7 75.4 76 76 76 76.5 76.6 76.9 77.3 77.4 77.7

Uji apakah data tersebut berdistribusi normal dengan menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov. Penyelesaian: 1.

galat berdistribusi normal

2.

galat tidak berdistribusi normal

3. 4. Dengan statistik uji: | Dengan

=

| ̅

, nilai Z diperoleh dari

5. Menentukan kriteria pengujian n adalah banyaknya pengamatan, n=14, 6. Menghitung stastistik uji Diperoleh rata-rata ̅

dan standar deviasi

Perhitungan statistik uji Kolmogorov-Smirnov diberikan pada tabel di bawah ̅

Frek

=

| |

73.9 74.2

1 1

1 2

0.0714 0.1429

-1.52 -1.30

0.0643 0.0968

0.0071 0.0461


37 74.6 74.7 75.4 76 76.5 76.6 76.9 77.3 77.4 77.7

1 1 1 3 1 1 1 1 1 1

3 4 5 8 9 10 11 12 13 14

Dari perhitungan |

0.2143 0.2857 0.3571 0.5714 0.6429 0.7143 0.7857 0.8571 0.9286 1

-1.00 -0.92 -0.40 0.05 0.42 0.50 0.72 1.02 1.10 1.32 |

0.1587 0.1788 0.3446 0.5199 0.6628 0.6915 0.7642 0.8461 0.8643 0.9066

0.0556 0.1069 0.0125 0.0515 0.0199 0.0228 0.0215 0.0110 0.0643 0.0934

diperoleh nilai D maksimum adalah

0.1069 7. Kesimpulan: Karena nilai

, maka

diterima. Jadi galat

berdistribusi normal.

J.

Moving average (rata-rata bergerak) Rata-rata bergerak merupakan salah satu cara untuk mengubah pengaruh

data masa lalu terhadap nilai tengah sebagai peramalan. Rata-rata bergerak digunakan untuk menentukan berapa jumlah nilai observasi masa lalu yang akan dimasukkan untuk menghitung nilai tengah. Rata-rata bergerak adalah metode pemulusan data runtun waktu berdasarkan nilai rata-rata dari observasi terdahulu. Ide menggunakan rata-rata bergerak untuk pemulusan data adalah bahwa pengamatan yang berada didekatnya dalam waktu , juga akan mendekati nilai aslinya. Jadi mengambil rata-rata dari suatu titik pengamatan akan memberikan pendugaan yang wajar dari tren yang diobservasi itu. Rata-rata menghilangkan


38 beberapa keacakan pada data. Agar lebih memahami tentang konsep rata-rata bergerak, perhatikan tabel rata-rata bergerak dibawah: Waktu

Rata-rata bergerak ̅ ̅ ̅ dst

Rata-rata bergerak dengan koefisien {

} dapat ditulis sebagai

{

}, yang

didefinisikan (Ladiray & Quenneville, 2001): (2.14) ∑ P “past” waktu pada masa lalu dan f “future” waktu pada masa yang akan datang. 

Kuantitas p+f+1 adalah order dari rata-rata bergerak



Bila p sama dengan f, banyaknya titik pada masa lalu sama dengan banyaknya titik pada masa yang akan datang, maka rata-rata bergerak dikatakan terpusat (centered).



Jika

untuk sebarang k, maka rata-rata bergerak M dikatakan

simetrik. Berikut diberikan contoh rata-rata bergerak.


39 Contoh 2.5 Diketahui data simulasi pada tabel 2.4 dengan n=60 dan , p=2 dan f=0 Tabel 2.3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

-0.09 0.06 -0.05 -0.04 0.02 -0.03 -0.02 0 -0.01 -0.02 0 -0.02 -0.01 0 -0.01

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

-0.02 0 -0.01 0.011 -0.01 0.014 -0.01 0.012 -0.01 0.013 -0.01 0.02 -0.01 0.011 -0.02

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

0.01 -0.01 0.019 -0.019 0.011 -0.011 0.012 -0.05 0.04 -0.04 0.02 -0.03 -0.02 -0.01 0.02

46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

-0.01 0.011 -0.02 -0.01 0.02 -0.01 0.011 -0.02 0.06 -0.05 -0.04 0.02 -0.03 0.01 0.02

∑

Dengan menggunakan rumus Diperoleh persamaan

Dengan perhitungan Excel diperoleh nilai

1 2 3 4 5 6

-0.0900 0.1175 -0.1226 0.0148 0.0265 -0.0580

16 17 18 19 20 21

-0.0136 0.0090 -0.0176 0.0174 -0.0208 0.0246

sebagai berikut:

31 32 33 34 35 36

0.0270 -0.0240 0.0292 -0.0349 0.0304 -0.0253

46 47 48 49 50 51

-0.0266 0.0250 -0.0308 0.0070 0.0188 -0.0266


40 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0.0068 0.0013 -0.0176 -0.0136 0.0090 -0.0276 0.0028 -0.0012 -0.0138

22 23 24 25 26 27 28 29 30

-0.0227 0.0237 -0.0215 0.0240 -0.0221 0.0313 -0.0266 0.0250 -0.0308

Gambar 2.10 plot

37 38 39 40 41 42 43 44 45

0.0232 -0.0619 0.0765 -0.0846 0.0608 -0.0580 0.0068 -0.0087 0.0188

52 53 54 55 56 57 58 59 60

0.0250 -0.0308 0.0770 -0.0959 0.0148 0.0265 -0.0580 0.0368 0.0022

dan

Dari gambar 2.10 terlihat bahwa nilai data asli dan rata-rat bergerak tidak berbeda secara signifikan.

K.

Metode Dekomposisi Aditif Dekomposisi adalah suatu pendekatan analisis data runtun waktu untuk

mengidentifikasi faktor-faktor komponen yang mempengaruhi masing-masing


41 nilai dari data. Setiap komponen diidentifikasi secara terpisah. Proyeksi dari masing-masing komponen kemudian dapat dikombinasikan untuk menghasilkan ramalan nilai masa depan dari data runtun waktu (Hanke dan Wichern, 2009). Metode dekomposisi memisahkan pola dasar menjadi tiga komponen terpisah yang cenderung mencirikan runtun data ekonomi dan bisnis. Komponen tersebut adalah tren, siklus, dan musiman. Dekomposisi mempunyai asumsi bahwa data itu tersusun sebagai berikut: Data

= pola + galat = f (tren, siklus, musiman) + galat

Jadi, di samping komponen pola, terdapat pula unsur galat atau kerandoman. Data merupakan fungsi dari tren-siklus, musiman dan galat. Galat ini dianggap merupakan perbedaan antara pengaruh gabungan dari tiga sub-pola runtun tersebut dengan data yang sebenarnya. Penulisan matematis umum dari pendekatan dekomposisi aditif adalah:

adalah nilai runtun waktu (data yang aktual) pada periode t adalah komponen tren pada periode t adalah komponen siklus pada periode t adalah komponen musiman pada periode t adalah komponen Ireguler/ tidak teratur pada periode t Keempat komponen dalam analisis runtun waktu adalah sebagai berikut:


42 1.

Tren ( ) Tren adalah pergerakan naik turun suatu keadaan dalam jangka panjang.

Tren merupakan gerakan yang lamban, panjang, dan menuju ke satu arah. Pergerakan tren dapat naik, turun bahkan konstan. Data runtun waktu menunjukkan adanya kecenderungan untuk naik atau turun dalam jangka waktu yang cukup panjang. Pola ini diidentifikasi sebagai tren, interpretasi lain dari tren adalah pola yang mendasari data yang berlangsung selama bertahun-tahun.

Gambar 2.11 pola tren Garis tren seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.10 dapat dijelaskan dengan dua parameter

dan

dalam bentuk

Dengan ∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

yang dijelaskan secara rinci pada subbab M. Terdapat beberapa kurva tren lain yang non-linear misalnya eksponensial.


43 2.

Musiman ( ) Variasi musiman merupakan pergerakan suatu keadaan yang berlangsung

secara periodik/ berulang dalam jangka waktu satu tahun, yang disebut pula dengan tren musiman dan akan berulang dalam setiap tahunnya. Contoh nyata gejala variasi musim adalah adanya kecenderungan meningkatnya permintaan yang diikuti oleh peningkatan harga beberapa komoditas tertentu, seperti telur, daging, dan sayuran setiap kali mendekati perayaan hari raya keagamaan yang akan berulang secara periodik setiap tahunnya. Besarnya nilai variasi musiman ini dinamakan sebagai indeks musiman.

Gambar 2.12 pola musiman Salah satu contoh yang memuat komponen musiman adalah gelombang sinus, secara matematis dapat ditulus sebagai: [( ) Dengan

]

adalah amplitudo adalah frekuansi dari jumlah adalah indeks waktu

pengamatan


44 adalah jumlah periode yang diamati adalah sudut fase (dalam radian)

3.

Siklus ( ) Variasi siklus merupakan pergerakan tren yang meningkat ataupun menurun

dalam jangka yang relatif panjang dari pada variasi musiman. Pola siklus biasanya terjadi dalam kurun waktu lebih dari satu tahun. Sehingga pola siklus tidak perlu dimasukkan dalam ramalan jangka pendek. Pola ini amat berguna untuk peramalan jangka menengah dan jangka panjang. Seperti siklus bisnis, aktivitas sosial-ekonomi secara bergantian berkembang.

Gambar 2.13 pola siklus

4.

Tak beraturan / irregular ( ) Variasi acak dapat terjadi karena adanya faktor-faktor, seperti bencana alam,

bangkrutnya perusahaan pesaing, promosi khusus, dan kejadian-kejadian lainnya yang tidak mempunyai pola tertentu (tak teratur). Variasi acak ini diperlukan


45 dalam

rangka

menentukan

persediaan

pengaman

untuk

mengantisipasi

kekurangan persediaan bila terjadi lonjakan permintaan.

Gambar 2.14 pola tak beraturan

L. Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) ARIMA telah banyak dikembangkan lebih lanjut dan ditetapkan untuk peramalan. Pendekatan yang digunakan di dalam menetapkan pola runtun waktu yang demikian, beserta metodologi yang digunakan untuk mengekstrapolasi polapola tersebut untuk masa yang akan datang lebih didasarkan pada teori statistika yang telah dikembangkan dengan baik. Model ARIMA adalah gabungan dari model AR dan MA nonstasioner yang telah di differencing sehingga menjadi model yang stasioner.

1.

Model Autoregressive (AR) Model

autoregressive

orde

p,

dinotasikan

ARIMA(p,0,0). Bentuk umum model AR(p) adalah:

dengan

AR(p)

atau


46 (2.15) Dengan = data runtun waktu ke-t = koefisien autoregressive, i : 1,2,3,…….,p = nilai galat pada waktu ke-t p

= orde AR

Persamaan (2.15) dapat ditulis dengan menggunakan operator B (langkah mundur):

Orde AR yang sering digunakan dalam analisis runtun waktu adalah orde 1 dan orde 2. Bentuk umum model AR(1) adalah langkah mundur dapat ditulis

. Bentuk umum model AR(2)

adalah

, dengan operator langkah mundur dapat

ditulis

2.

, dengan operator

.

Model Moving Average (MA) Model Moving Average orde q, dinotasikan dengan MA(q) atau

ARIMA(0,0,q). Bentuk umum mode MA(q) adalah: (2.16) dengan = data runtun waktu ke-t


47 = parameter Moving Average (MA), i q

q

= orde MA = nilai galat pada waktu ke-t = nilai galat pada waktu

Persamaan (2.16) dapat ditulis dengan menggunakan operator langkah mundur:

Dalam praktiknya, dua kasus yang kemungkinan besar akan dihadapi adalah apabila q=1 dan q=2. Bentuk umum model MA(1) adalah dengan operator langkah mundur dapat ditulis

. Bentuk umum

model MA(2) adalah mundur dapat ditulis

3.

,

, dengan operator langkah .

Model Autoregressive Moving Average (ARMA) Model Autoregressive Moving Average (ARMA) merupakan gabungan

model AR(p) dan MA(q). Bentuk umum ARMA(p,q) adalah: (2.17) dengan = data runtun waktu ke-t = koefisien autoregressive, = parameter Moving Average (MA), p

= orde AR

q

= orde MA


48 = nilai galat pada waktu ke-t

4.

Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) merupakan

gabungan model AR(p), proses pembedaan dan MA(q). Dengan kata lain, apabila nonstasioneritas ditambahkan pada campuran proses ARMA maka model umum terpenuhi.

Bentuk

umum

dapat

ditulis

menggunakan bentuk operator langkah mundur yaitu: (2.18) dengan adalah operator langkah mundur untuk AR (Autoregressive) adalah operator langkah mundur untuk MA (Moving Average) adalah proses pembedaan orde ke-d

5.

Model ARIMA dengan Komponen Musiman Kerumitan yang dapat ditambahkan pada model ARIMA adalah komponen

musiman. Notasi ARIMA dapat diperluas untuk menangani komponen musiman, notasi umumnya adalah

dengan

= bagian yang tidak musiman dari model


49 = bagian yang musiman dari model = jumlah periode per musiman Rumus umum dari

adalah

dengan adalah operator langkah mundur untuk AR (Autoregressive) adalah operator langkah mundur untuk SAR (Seasonal Autoregressive) adalah operator langkah mundur untuk MA (Moving Average) adalah operator langkah mundur untuk SMA (Seasonal Moving Average) adalah proses pembedaan orde ke-d non musiman adalah proses pembedaan orde ke-D musiman

M.

Pengujian White-Noise Keacakan galat dari suatu model dapat diuji menggunakan uji statistik Q

Box-Pierce dengan hipotesis (Wei, 2006) sebagai berikut: 1.

(galat acak yang memenuhi proses white noise)

2.

dengan proses white noise)

3.

Menentukan

(galat tidak acak yang tidak memenuhi


50 4.

Statistik uji ∑

5.

Wilayah kritis: diterima (galat acak yang memenuhi white noise) jika nilai atau

. Dengan m adalah jumlah lag, p adalah

orde AR dan q adalah orde MA. 6.

adalah derajat bebas.

Membuat kesimpulan Selain menggunakn pengujian Q Box-Pierce, keacakan galat dapat dilihat

dari plot ACF galat. Apabila pada plot ACF tidak ada lag yang melebihi garis signifikansi maka galat bersifat acak, seperti yang telah dijelaskan pada subbab D. Galat memenuhi proses white noise jika galat bersifat acak dan berdistribusi normal.

Gambar 2.15 galat acak


51 N.

Evaluasi Model Dalam banyak situasi peramalan, ketepatan dipandang sebagai kriteria

penolakan untuk memilih suatu metode peramalan. Ketepatan merujuk kearah kebaikan model, yang pada akhirnya menunjukkan seberapa jauh model peramalan tersebut mampu memproduksi data yang telah diketahui. Untuk mengukur ketepatan model menggunakan Mean Square Error (MSE) sebagai berikut: ̂

∑

dengan n= banyaknya pengamatan = nilai pengamatan pada waktu ke-t ̂ = nilai peramalan pada waktu ke-t Model yang baik akan memiliki nilai MSE yang paling kecil. Berikut akan dijelaskan cara memperoleh nilai

dan

dari persamaan

yang akan digunakan untuk pendugaan garis tren pada Bab III. Dengan asumsi terdapat

data, persamaan regresi ̂

diduga sedemikian sehingga meminimumkan jumlah kuadrat deviasi Dengan mendefinisikan ̂, maka (

̂ ) dan ∑

∑(

̂)

dapat .


52 Dengan substitusi ̂

diperoleh ∑

∑

Meminimumkan berarti turunan dari ∑ ∑

∑

∑

∑

Sehingga diperoleh ∑

∑

Selanjutnya ∑

∑

∑

Dengan substitusi

∑

∑

∑

∑

∑

pada persamaan diatas, sehingga diperoleh ∑

∑

∑ ∑


BAB III METODE DEKOMPOSISi KLASIK DAN METODE ARIMA

A.

Pendahuluan Metode dekomposisi termasuk pendekatan yang tertua. Metode ini

digunakan pada awal abad ini oleh ahli ekonomi untuk mengenali dan mengendalikan siklus bisnis. Dasar dari metode dekomposisi muncul pada tahun 1920-an ketika konsep rasio-tren diperkenalkan. Sejak saat itu pendekatan dekomposisi telah digunakan secara luas baik oleh para ahli ekonomi ataupun para pengusaha. Metode Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) telah dipelajari secara mendalam oleh George Box dan Gwilym Jenkins (1976), dan nama mereka sering disinonimkan dengan proses ARIMA yang diterapkan untuk analisis runtun waktu, peramalan dan pengendalian. Box dan Jenkins (1976) secara efektif telah mencapai kesepakatan mengenai informasi relevan yang diperlukan untuk memahami dan memakai model-model ARIMA untuk data runtun waktu univariat. Dasar dari metode ARIMA terdiri dari tiga tahap: identifikasi, penaksiran dan pengujian serta penerapan (Makridakis, Wheelwright, McGee, 1999).

53


54 B. Metode Dekomposisi Klasik Langkah-langkah dekomposisi aditif untuk data runtun waktu adalah sebagai berikut: 1. Pada deret data yang sebenarnya ( ) hitung rata-rata bergerak yang panjangnya (N). Maksud dari rata-rata bergerak ini adalah menghilangkan unsur musiman dan kerandoman. Dengan cara merata-ratakan sejumlah periode yang sama dengan panjang pola musiman (misalnya 12 bulan, 4 bulan, atau 7 hari). Rata-rata bergerak

merupakan penjumlahan dari

,

tetapi dalam sebagian besar prosedur dekomposisi menjadikan tren dan siklus sebagai komponen tunggal (sebut saja

).

2. Mengurangkan data asli ( ) dengan rata-rata bergerak

untuk

menghasilkan komponen musiman dan komponen acak/ tak beraturan.

3. Berdasarkan komponen data yang diperoleh dari


rata-rata medialnya, yaitu nilai rata-rata untuk setiap bulan setelah dikeluarkan nilai terbesar dan terkecil. 4. Indeks musiman dapat diperoleh dari rata-rata medial, dengan menjumlahkan setiap rata-rata medial dengan faktor koreksi sehingga rata-rata musiman menjadi nol. 5. Mengurangkan data asli ( ) dengan indeks musiman ( ) untuk memperoleh garis tren. Garis tren dapat ditentukan berdasarkan model

Dengan meminimumkan MSE diperoleh


55

Dengan

∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑

∑

= data asli yang telah dikurang indeks musiman = periode = banyaknya data

6. Setelah diperoleh model, maka dapat dilakukan peramalan untuk periode selanjutnya menggunakan faktor-faktor yang telah diduga sebelumnya yaitu, faktor tren dan musiman.

C. Metode Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)

Tahap-tahap dalam menentukan model ARIMA adalah: 1.

Identifikasi Model Langkah pertama yang harus dilakukan adalah plot data runtun waktu. Dari

plot data dapat dilihat adanya tren, musiman, pencilan, variansi yang tidak konstan dan keadaan yang tidak stasioner. Pada analisis runtun waktu, apabila data tidak stasioner dalam rata-rata maka yang dilakukan adalah menstasionerkan data dengan pembedaan yang dibahas pada bab II subbab C. Apabila data tidak stasioner dalam variansi maka yang dilakukan adalah menstasionerkan data dengan cara transformasi Box-Cox yang dibahas pada bab II subbab B. Model ARIMA hanya dapat diterapkan untuk runtun waktu yang stasioner. Oleh karena itu, pertama kali yang harus dilakukan adalah menyelidiki apakah data yang


56 digunakan sudah stasioner atau belum. Cara mengetahui data sudah stasioner atau belum yaitu dengan membuat plot data runtun waktu atau dengan melihat plot ACF. Data dikatakan stasioner bila plot data runtun waktu berada di sekitar nilai rata-rata, variansi konstan, tidak terjadi kenaikan/ penurunan data dan plot ACF akan turun dengan cepat mendekati nol. Apabila data telah stasioner berarti , tetapi jika data stasioner setelah pembedaan pertama maka d=1 dan seterusnya. Apabila data telah stasioner, langkah selanjutnya adalah menentukan orde dari AR dan MA. Cara yang dapat dilakukan adalah dengan melihat plot PACF dan plot ACF. Plot PACF akan menetukan orde dari AR sedangkan plot ACF akan menentukan orde dari MA. Secara ringkas ditampilkan dalam tabel. Tipe Model AR(p) MA(q) ARMA(p,q)

Pola Tipikal ACF Menurun secara lambat menuju nol Terpotong setelah lag q Menurun secara lambat menuju nol

Pola Tipikal PACF Terpotong setelah lag p Menurun secara lambat menuju nol Menurun secara lambat menuju nol

Pola tipikal ACF dan PACF ditampilkan dalam gambar berikut

Gambar 3.1 Pola ACF menurun secara lambat menuju nol


57

Gambar 3.2 Pola PACF terpotong setelah lag 2

Gambar 3.3 Pola ACF terpotong setelah lag 1

lag

Gambar 3.4 Pola PACF menurun secara lambat menuju nol


58 2.

Pendugaan Parameter Setelah menetapkan model sementara dari hasil identifikasi, yaitu

menentukan nilai p, d, dan q, langkah berikutnya adalah melakukan pendugaan paramater Autoregressive (AR) dan moving average (MA) yang tercakup dalam model. a.

Pendugaan parameter model AR Parameter model AR adalah

, parameter AR dapat diduga

menggunakan persamaan Yule-Walker untuk mencari nilai dari

.

Persamaan Yule-Walker dapat dicari dengan mengalikan model AR( ): dengan

,

untuk

hasilnya adalah (3.1)

Selanjutnya dihitung nilai harapannya menjadi [

]

[

] [

[

]

untuk

[

]

[

]

(3.2)

]

,

saling bebas dengan nilai-nilai

sebelumnya,

dan diasumsikan terdapat stasioneritas. sehingga persamaan (3.2) dapat ditulis [

]

[

]

[

]

[

]

(3.3)

Mengacu pada teorema 2.4 dan persamaan (2.6) diperoleh (3.4)

Kedua ruas dibagi dengan

, berdasarkan definisi otokorelasi diperoleh


59 (3.5)

yang merupakan fungsi otokorelasi pada lag k dari proses AR (p). Untuk

dan dengan menggunakan syarat

,

dari

fungsi otokorelasi maka persamaan (3.5) menjadi persamaan Yule-Walker yaitu

(3.6)

Karena nilai teoritis dari

tidak diketahui, maka diduga dengan

. Untuk adalah dengan

, cara menghitung ̂

atau model AR(1) :

yang hanya mempunyai satu persamaan. Karena maka

Untuk

̂ . atau model AR(2) :

, cara

menghitung ̂ dan ̂ adalah dengan memperhatikan persamaan } Setelah dihitung diperoleh penyelesaian

Karena

diduga

diduga dengan

dan

diduga dengan

maka


60 ̂

̂ Contoh 3.1 Berikut adalah data untuk model ARIMA(2,0,0) atau AR(2): . Dugalah parameter

dan

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 13 8 11 3 3 11 10 6 13 11 14 17 12 10 9 8 3 3 7 6 Langkah pertama yang harus dilakukan adalah mencari penduga dengan menghitung karena

̂

̂

dan ̅

dan

. Menggunakan persamaan diperoleh

dan

yaitu

̅

∑ ∑

̅ ̅

,


61 b.

Pendugaan Parameter model MA Parameter model MA adalah

mencari nilai dari

, parameter MA diduga untuk

. Dengan mengalikan model MA( ): dengan , untuk

diperoleh

(

)( )

Selanjutnya dihitung nilai harapannya menjadi [(

)( )]

(3.7)

Nilai harapan untuk persamaan (3.7) diatas akan bergantung pada nilai k. Bila maka persamaan (3.7) menjadi (3.8)

Semua suku yang lain pada persamaan (3.7) hilang, karena adanya definisi {

n


62 Jadi, persamaan (3.8) menjadi (3.9)

Bila faktor

dipisahkan, maka persamaan (3.9) menjadi (3.10)

Persamaan (3.10) adalah variansi dari proses MA(q). Secara umum untuk sebarang nilai

, persamaan (3.7) menjadi (3.11)

Bila persamaan (3.11) dibagi (3.10), akan menghasilkan (3.12)

untuk semua nilai , maka fungsi otokorelasi pada lag

dari proses MA(q) adalah (3.13)

{

Karena nilai teoritis

tidak diketahui maka nilai pendugaan dari koefisien

dapat diperoleh dengan mensubstitusikan otokorelasi empiris

pada

persamaan (3.13) kemudian dipecahkan. Untuk q=1 atau model MA(1):

, sehingga persamaan

(3.13) menjadi:

{

Dengan mensubstitusikan diperoleh persamaan kuadratik

untuk

dan mencoba memecahkan

, akan


63 ̂

( )̂

̂

, dengan

Untuk q=2 atau model MA(2):

, sehingga

persamaan (3.13) menjadi

} Dengan mensubstitusikan

dan

untuk

dan

akan menghasilkan dua

persamaan dalam bentuk

dan

yang tidak diketahui, tetapi tidak berarti

mudah untuk dipecahkan.(Box dan Jenkins, 1976: 517-520) memberikan tabel dan grafik untuk mengatasi pendugaan

dan

. Untuk selanjutnya pendugaan

dihitung menggunakan program R. Contoh 3.2 Berikut adalah data untuk model ARIMA(0,0,2) atau MA(2): . Dugalah parameter

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

-0.09 0.06 -0.05 -0.04 0.02 -0.03 -0.02 0 -0.01 -0.02 0 -0.02 -0.01

dan

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

0 0.02 0 -0.02 0 0.02 -0.01 -0.03 0.04 0.02 0.01 0 -0.01


64 14 15 16 17 18 19

Menghitung pendugaan

0 -0.01 -0.02 0 0.01 -0.01

dan

33 34 35 36 37

-0.03 0 0.01 0 -0.01

bukanlah pekerjaan yang mudah, karena

harus menggunakan algoritma Marquardt. Maka dari itu penulis menggunakan program dalam perhitungannya. Dengan menggunakan program R diperoleh nilai pendugaan yaitu ̂

dan ̂

. Dengan perintah program R

yaitu: > library(forecast) > estimasi=Arima(Xt,order=c(0,0,2)) > estimasi Series: Xt ARIMA(0,0,2) with non-zero mean Coefficients: ma1

ma2 intercept

-0.5341 0.3186

-0.0054

s.e. 0.1564 0.1704

0.0029

sigma^2 estimated as 0.0005054: log likelihood=87.72 AIC=-167.44 AICc=-166.19 BIC=-161


65 c.

Pendugaan Parameter Model ARMA Pendugaan parameter mode ARMA berkaitan dengan fungsi otokorelasi.

Fungsi otokorelasi dari proses ARMA(p,q) dapat diperoleh dengan mengalikan model ARMA( dengan

):

, untuk

dan kemudian diambil nilai harapannya, sehingga

diperoleh [

]

[

]

[

[

]

] [

[

]

(3.14)

]

Mengacu pada teorema 2.4 dan persamaan (2.6), diperoleh [ [

Karena [

]

]

[

]

(3.15)

]

untuk

, sehingga (3.16)

Jika kedua ruas dibagi

, menurut definisi fungsi otokorelasi diperoleh (3.17)

Agar lebih memahami

pendugaan ARMA(p,q), perhatikan proses

ARMA(1,1) berikut: Model ARMA(1,1): ARMA(1,1) dengan [

]

, dengan mengalikan model dan dihitung nilai harapannya diperoleh [

]

[

]

[

]

Dengan menggunakan teorema 2.4 dan persamaan (2.6) diperoleh [

]

[

]


66 Untuk [ Berdasarkan sifat

]

]

untuk semua , diperoleh [

Karena [

[

]

]

[

]

dan [

[

] [

] ]

[

]

[

]

Sehingga (3.18)

Untuk [

]

[

]

Substitusi

pada persamaan (3.18), diperoleh

Substitusi

yang telah diperoleh ke persasamaan (3.19) (

)

(3.19)


67 Dengan menggunakan sifat otokorelasi untuk lag 1 untuk menduga ̂ yaitu (

)

Untuk

Jika kedua ruas dibagi

, menurut definisi fungsi otokorelasi diperoleh

Sehingga diperoleh fungsi otokorelasi (3.20)

{

Akan tetapi, penyelesaian persamaan (3.20) bukanlah hal yang mudah. Box dan Jenkins memberikan grafik untuk membantu menemukan pendugaan awal parameter dari model ARMA(

) (Box dan Jenkins, 1976:520). Untuk

langkah selanjutnya, penulis menggunakan program dalam pendugaan parameter AR dan MA.

Contoh 3.3 Berikut adalah data model ARIMA(2,0,2) atau ARMA(2,2): . Dugalah parameter

1 2

20 -20

20 21

dan

12 -8


68 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

62 52 -8 42 32 12 22 32 12 32 22 12 22 32 12 2 22

22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37

12 32 12 -8 22 42 -28 -8 2 12 22 42 12 2 12 22

Dengan menggunakan perhitungan program R, diperoleh nilai pendugaan ̂

̂

̂

dan ̂

R, yaitu: > estimasi=Arima(Xt,order=c(2,0,2)) > estimasi Series: Xt ARIMA(2,0,2) with non-zero mean Coefficients: ar1

ar2

ma1

ma2 intercept

-0.7835 -0.8547 0.9163 0.5458

17.1204

s.e. 0.1957 0.1374 0.3023 0.2381

2.4502

sigma^2 estimated as 252.3: log likelihood=-155.54

, dengan perintah


69 AIC=323.08 AICc=325.88 BIC=332.74

3.

Pemeriksaan Diagnostik Setelah berhasil menduga nilai-nilai parameter dari model ARIMA yang

ditetapkan sementara, selanjutnya perlu dilakukan pemeriksaan dignostik untuk membuktikan bahwa model tersebut cukup memadai (Makridakis, 1999). Pemeriksaan diagnostik dapat dilakukan dengan mengamati apakah galat dari model ARIMA yang telah diduga memenuhi proses white noise. Model dikatakan memadai jika galat memenuhi proses white noise yaitu galat bersifat acak dan berdistribusi normal. Pengujian yang digunakan dalam pemeriksaan diagnostik adalah: a. Setelah pendugaan dilakukan, maka nilai galat dapat ditentukan. Jika nilai-nilai koefisien otokorelasi galat untuk berbagai time lag tidak berbeda secara signifikan (tidak signifikan) dari nol, maka galat bersifat acak sehingga memenuhi proses white noise. b. Menggunakan statistik Q Box-Pierce, yang dihitung dengan rumus: ∑

Jika

atau

maka galat bersifat acak yang

memenuhi proses white noise. c. Uji normalitas galat, seperti yang telah dijelaskan pada bab II subbab G. Jika

galat berdistribusi normal maka memenuhi proses white noise.


70 Jika galat tidak white noise maka model tidak memadai, ulangi lagi mulai langkah identifikasi model sampai akhirnya diperoleh model yang memadai. Pengujian ini digunakan untuk melihat apakah galat memenuhi proses white noise.

4.

Peramalan Tujuan dalam analisis runtun waktu adalah untuk meramalkan nilai masa

depan. Tujuan peramalan adalah untuk menghasilkan ramalan optimum yang tidak memiliki galat atau sebisa mungkin galat yang kecil.

D.

Contoh 3.4 Runtun Waktu Diberikan 82 data pengamatan runtun waktu pada tabel 3.1 data asli di

lampiran. Data akan diolah menggunakan metode dekomposisi klasik dan metode ARIMA. Selanjutnya akan dilihat keakuratan metode, sehingga model yang terbaik dapat ditentukan. 1.

Pengolahan data menggunakan metode Dekomposisi a. Data yang digunakan untuk dekomposisi adalah data yang berdistribusi normal. Data asli (lihat tabel 3.1 pada lampiran) tidak berdistribusi normal, sehingga perlu dilakukan transformasi data asli dan

. Cara mencari

. Dengan

adalah

dengan menggunakan

program R dengan perintah: >lambda= BoxCox.lambda(Xt). Berikut adalah data yang telah ditrasformasi dan berdistribusi normal.


71 Tabel 3.1 data transformasi Tahun 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996

Jan 4.95 4.81 4.94 5.14 5.11 4.97 4.97

Feb 4.35 4.74 4.74 4.55 4.49 4.15 4.62

Mar 4.63 4.44 4.31 3.99 4.65 4.67 4.55

Apr 4.35 4.55 4.35 4.21 4.38 4.35 4.35

May 4.26 4.44 4.35 4.08 4.26 4.31 4.31

Jun 4.53 4.35 4.21 3.35 4.08 3.87 4.21

Jul 4.76 4.69 4.38 4.31 4.60 4.38 4.41

Aug 3.69 4.08 4.15 4.08 4.26 4.38 4.21

Sep 3.35 3.99 3.99 4.15 3.69 3.69 4.08

Oct 3.35 4.38 4.63 4.26 4.55 4.60 4.47

Nov 4.21 4.38 4.35 4.59 4.78 4.47

Dec 4.38 4.53 4.67 4.47 4.72 4.76

Setelah data ditransformasi langkah selanjutnya adalah menghitung rata-rata bergerak 12 bulanan, yaitu dengan merata-ratakan data dari bulan JanuariDesember. Data yang telah dirata-rata, diletakkan pada bulan Juli atau pusat dari 12 bulanan. Tabel 3.2 Rata-rata bergerak Tahun 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996

Jan

Feb

Mar Apr

May Jun

4.26 4.41 4.29 4.40 4.41 4.44

4.25 4.39 4.29 4.43 4.39 4.44

4.28 4.39 4.28 4.44 4.40 4.43

4.42 4.41 4.26 4.43 4.41

4.34 4.39 4.29 4.40 4.40 4.46

4.44 4.41 4.28 4.44 4.38

Jul 4.23 4.45 4.42 4.27 4.46 4.38

Aug 4.22 4.46 4.44 4.26 4.45 4.38

Sep 4.26 4.46 4.42 4.26 4.43 4.42

Oct 4.24 4.45 4.40 4.31 4.43 4.41

Nov 4.26 4.43 4.39 4.33 4.42 4.41

Dec 4.27 4.42 4.36 4.34 4.43 4.41

b. Setelah rata-rata bergerak diperoleh, selanjutnya mengurangkan data asli dengan rata-rata bergerak

untuk menghasilkan komponen

musiman dan komponen acak, yaitu Tabel 3.3 pengurangan data

dengan rata-rata bergerak

Tahun Jan Feb Mar Apr May Jun 1990 1991 0.55 0.49 0.16 0.22 0.02 -0.09


72 1992 0.53 0.35 -0.08 -0.05 -0.07 -0.20 1993 0.85 0.27 -0.29 -0.08 -0.18 -0.93 1994 0.71 0.06 0.20 -0.02 -0.16 -0.36 1995 0.56 -0.24 0.27 -0.05 -0.10 -0.51 1996 0.53 0.17 0.12 -0.12 Tahun Jul Aug Sep Oct Nov Dec 1990 0.53 -0.54 -0.91 -0.89 -0.04 0.11 1991 0.25 -0.38 -0.47 -0.07 -0.05 0.11 1992 -0.04 -0.29 -0.43 0.24 -0.04 0.31 1993 0.04 -0.18 -0.10 -0.05 0.26 0.12 1994 0.14 -0.19 -0.74 0.12 0.36 0.29 1995 0.00 0.00 -0.74 0.19 0.05 0.35 1996

c. Setelah komponen musiman dan kerandoman diperoleh, lalu mencari rerata medial dan indeks musiman. Tabel 3.4 Rerata medial dan indeks musiman

Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec d. Mengurangkan data

Rerata Indek medial musiman 0.5894 0.5933 0.2131 0.2171 0.0996 0.1035 -0.0507 -0.0468 -0.1092 -0.1053 -0.3572 -0.3533 0.1060 0.1099 -0.2586 -0.2547 -0.5945 -0.5906 0.0498 0.0537 0.0579 0.0619 0.2074 0.2113 dengan indeks musiman

garis tren. Garis tren dapat dihitung dengan rumus

untuk memperoleh


73 diperoleh ∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑

∑

Sehingga

Dengan

adalah garis tren dan adalah periode.

e. Dengan menjumlahkan semua komponen yang telah dipisahkan, diperoleh data

peramalan. Tabel 3.5 Data

peramalan

Tahun Jan Feb Mar Apr May Jun 1990 4.91 4.53 4.42 4.27 4.22 3.97 1991 4.93 4.55 4.44 4.29 4.23 3.99 1992 4.95 4.57 4.46 4.31 4.25 4.01 1993 4.97 4.59 4.48 4.33 4.27 4.03 1994 4.98 4.61 4.50 4.35 4.29 4.05 1995 5.00 4.63 4.52 4.37 4.31 4.07 1996 5.02 4.65 4.54 4.39 4.33 4.08 Tahun Jul Aug Sep Oct Nov Dec 1990 4.43 4.07 3.74 4.38 4.39 4.54 1991 4.45 4.09 3.76 4.40 4.41 4.56 1992 4.47 4.11 3.78 4.42 4.43 4.58 1993 4.49 4.13 3.79 4.44 4.45 4.60 1994 4.51 4.15 3.81 4.46 4.47 4.62 1995 4.53 4.17 3.83 4.48 4.49 4.64 1996 4.55 4.19 3.85 4.50


74 Berikut adalah gambar data transformasi dan peramalan data transformasi.

Gambar 3.5 plot data transformasi dan data ramalan transformasi 2.

Pengolahan data menggunakan metode ARIMA Langkah-langkah yang digunakan adalah identifikasi model untuk

menyelidiki apakah data telah stasioner, pendugaan parameter, dan uji kecocokan model. Langkah-langkah metode ARIMA dengan menggunakan program R dapat dilihat pada lampiran program metode ARIMA contoh 3.4. a. Identifikasi Model Stasioneritas dapat dilihat dari gambar 3.6 plot data asli.

Gambar 3.6 plot data asli


75

Gambar 3.7 plot ACF Dari gambar 3.6 terlihat data belum stasioner dalam variansi karena data ke37 dan 49 sangat menonjol, sehingga data perlu ditransformasi. Transformasi yang digunakan adalah transformasi

, selanjutnya dicari nilai ,

dengan program R dengan perintah: >lambda= BoxCox.lambda(Xt), diperoleh . Dilihat dari plot ACF pada gambar 3.7 menunjukkan adanya faktor musiman. Faktor musimannya adalah 12 bulanan, karena pola ACF selalu berulang setiap lag 12. Untuk ACF pola musiman turun secara lambat menuju nol.

Gambar 3.8 Plot data hasil transformasi


76

Gambar 3.9 Plot PACF data transformasi

Gambar 3.10 Plot ACF data transformasi Dilihat dari plot data transformasi dan ACF data transformasi, menunjukkan bahwa data telah stasioner. Dari plot data transformasi terlihat bahwa tidak ada data yang menonjol, yang berarti rata-rata dan variansi dari data telah stasioner. Dari plot ACF terlihat bahwa ACF turun secara cepat menuju nol atau terpotong pada lag 3. Setelah data stasioner, selanjutnya adalah menduga model dengan


77 memperhatikan plot PACF dan ACF data transformasi (gambar 3.9 dan gambar 3.10). Dari plot PACF non musiman data terpotong pada lag 1, plot PACF musiman data terpotong pada lag 1, plot ACF non musiman data terpotong pada lag 1, dan plot ACF musiman data terpotong pada lag 3. Ada beberapa kemungkinan model Model Arima(1,0,1)(1,0,0)12 Arima(1,0,0)(1,0,0)12 Arima(0,0,1)(1,0,0)12 Arima(0,0,0)(1,0,0)12

b. Pendugaan Parameter Setelah diperoleh beberapa kemungkinan model, langkah selanjutnya adalah menduga parameter. a) Model ARIMA

Koefisien SE koefisien

AR 1 0.4583 0.2450

MA 1 -0.1648 0.2668

SAR 1 konstan 0.6469 4.3673 0.0866 0.1002

b) Model ARIMA


AR 1 0.3095 0.1060

SAR 1 0.6400 0.0863

konstan 4.3672 0.0933

c) Model ARIMA


MA 1 0.2405 0.0923

SAR 1 0.6432 0.0873

konstan 4.3661 0.0815


78 d) Model ARIMA SAR 1 0.6745 0.0837


konstan 4.3636 0.0727

c. Uji Kecocokan Model Langkah selanjutnya adalah uji white noise yaitu dengan menguji keacakan galat dan uji normalitas galat. Uji keacakan galat dengan melihat plot ACF galat dan uji normalitas dengan uji Kolmogorov-Smirnov dengan

.

Secara ringkas, uji kecocokan model disajikan dalam tabel 3.6 Tabel 3.6 Rangkuman uji kecocokan model Model Galat Acak Normal p-value normalitas Ya Tidak 0.034 Arima(1,0,1)(1,0,0)12 Ya Tidak 0.04 Arima(1,0,0)(1,0,0)12 Ya Ya 0.074 Arima(0,0,1)(1,0,0)12 Tidak Tidak 0.050 Arima(0,0,0)(1,0,0)12

Setelah diperoleh beberapa kemungkinan model, model yang dipilih adalah model yang memenuhi asumsi white noise yaitu galat bersifat acak dan berdistribusi normal. Model yang dipilih adalah ̂

yakni, ̂

Pendugaan .

.

Dengan

menggunakan

operator

langkah

dapat ditulis: (

̂

)

(

̂

)

mundur,

model


79 ̂

Substitusikan parameter ̂ pada persamaan (

̂

)

(

̂

)

, diperoleh:

Berikut adalah gambar data transformasi dan peramalan data transformasi

Gambar 3.11 Plot data transformasi dan data ramalan transformasi

3.

Evaluasi Model Pada tahap ini akan dicari model yang lebih baik, yaitu dengan

mempehatikan nilai dari MSE metode dekomposisi klasik dan MSE metode ARIMA. Model

MSE

Dekomposisi klasik

0.05287

ARIMA

0.06980


80 Nilai MSE diperoleh dari transformasi, ̂

̂

∑

̂

, dengan

adalah data ramalan transformasi dan

banyaknya data.

untuk metode dekomposisi diperoleh dengan menjumlahkan indeks

musiman dan tren. Sedangkan untuk metode ARIMA ̂

adalah data

,

adalah galat yang diperoleh menggunakan program R dengan perintah:

>estimasi=Arima(dataTransformasi,order=c(0,0,1),seasonal=list(order=c(1,0,0), period=12)) >galat= residuals(estimasi) Dari nilai MSE terlihat bahwa metode dekomposisi klasik mempunyai nilai MSE yang lebih kecil dibandingkan dengan model ARIMA metode yang lebih baik adalah metode dekomposisi klasik.

. Jadi


BAB IV PERBANDINGAN METODE DEKOMPOSISI KLASIK DAN METODE ARIMA

Pada bab ini akan dibahas perbandingan metode dekomposisi klasik dan metode ARIMA dengan studi kasus data jumlah total penumpang kereta api Jawa dan

Sumatera.

Data

berasal

dari

Biro

Pusat

Statistik

dilihat

di

http://www.bps.go.id/linkTabelStatis/view/id/1417#.

A

Pengolahan Data Menggunakan Metode Dekomposisi Klasik Pada tahap ini dibahas langkah-langkah dekomposisi aditif untuk data

runtun waktu. Data jumlah penumpang kereta Api Jawa dan Sumatera ada pada tabel 4.1 pada lampiran. Data jumlah penumpang kereta api belum berdistribusi normal, sehingga data harus ditransformasi terlebih dahulu. Transformasi yang digunakan adalah

. Berikut adalah data jumlah penumpang yang

telah ditansformasi dan berdistribusi normal. Tabel 4.1 Data jumlah penumpang Tahun 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015

Jan 346 -57 -838 -157 -842 -528 -1204 -325 -1599

Feb 103 -2991 -649 -625 -2217 -2001 -793 -306 -1094 -1886

Mar 1383 2440 1693 3263 1785 2088 1600 1232 2838 4477 81

Apr May Jun -405 666 -372 1006 817 -128 -360 652 647 -357 1049 319 -160 156 271 -537 1081 -257 -344 1025 291 174 113 1188 -928 1080 852 -702 1345 -348


82 Tahun Jul Aug Sep Oct 2006 1230 -1178 181 854 2007 1350 -1035 -386 833 2008 877 -779 -1229 1458 2009 242 -858 -246 470 2010 421 -1203 824 -393 2011 867 -3286 2075 -460 2012 247 -1253 -688 759 2013 2944 -822 315 796 2014 -1340 699 394 1330 2015 50 184 -247 1169

1. Menghitung rata-rata bergerak

Nov -659 -1475 -1364 -973 -439 -282 -1354 -615 -567 -1049

Dec -17 693 -641 803 1264 632 331 1498 1919 2162

12 bulanan, yaitu dengan cara merata-

ratakan data dari bulan Februari-Januari dan seterusnya. Data yang telah diratarata, diletakkan pada bulan Agustus yaitu pusat dari 12 bulanan. Diperoleh nilai

pada tabel 4.2 Tabel 4.2 Data

Tahun 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 Tahun 2006 2007 2008 2009 2010 2011

Jan

Feb

Mar

Apr

May

Jun

158.42 158.83 94.42 -73.67 0.50 66.42 -63.42 544.92 310.17 Jul

168.42 119.42 41.50 -58.75 37.67 14.75 161.33 187.92 426.00 Aug 177.67 88.92 -44.42 244.17 -44.42 -50.67

180.33 140.75 34.92 -87.50 -135.92 184.17 197.25 314.67 383.08 Sep -80.17 284.08 -42.42 111.50 -26.42 50.00

133.08 70.50 116.83 1.67 -31.67 -46.08 280.83 321.25 329.67 Oct 7.92 221.83 88.42 -11.67 -1.17 9.33

131.33 122.58 34.50 -70.25 -37.25 55.50 283.92 365.75 316.25 Nov 125.50 108.00 88.67 4.75 -32.58 25.42

63.33 131.83 67.08 -25.75 -24.17 -33.83 345.50 369.75 276.08 Dec 138.08 94.25 121.75 -69.67 44.50 20.75

122.50 20.67 187.42 12.67 -76.83


83 2012 2013 2014 2015

-58.92 442.75 404.83 296.33

-115.25 516.00 298.67

-74.67 450.33 232.67

-105.33 584.17 369.25

-62.17 492.33 388.08

-138.17 572.92 410.17

2. Mengurangkan data asli ( ) dengan rata-rata bergerak

untuk

menghasilkan komponen musiman dan kerandoman/ tak beraturan

Tabel 4.3 Pengurangan data asli ( Tahun 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 Tahun 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015

) dengan rata-rata bergerak

Jan

Feb

Mar

Apr

May

Jun

187.58 -215.83 -932.42 -83.33 -842.50 -594.42 -1140.58 -869.92 -1909.17 Jul

-3159.42 -768.42 -666.50 -2158.25 -2038.67 -807.75 -467.33 -1281.92 -2312.00 Aug -1355.67 -1123.92 -734.58 -1102.17 -1158.58 -3235.33 -1137.75 -1338.00 400.33

2259.67 1552.25 3228.08 1872.50 2223.92 1415.83 1034.75 2523.33 4093.92 Sep 261.17 -670.08 -1186.58 -357.50 850.42 2025.00 -613.33 -135.33 161.33

872.92 -430.50 -473.83 -161.67 -505.33 -297.92 -106.83 -1249.25 -1031.67 Oct 846.08 611.17 1369.58 481.67 -391.83 -469.33 864.33 211.83 960.75

685.67 529.42 1014.50 226.25 1118.25 969.50 -170.92 714.25 1028.75 Nov -784.50 -1583.00 -1452.67 -977.75 -406.42 -307.42 -1291.83 -1107.33 -955.08

-191.33 515.17 251.92 296.75 -232.83 324.83 842.50 482.25 -624.08 Dec -155.08 598.75 -762.75 872.67 1219.50 611.25 469.17 925.08 1508.83

1227.50 856.33 54.58 408.33 943.83 305.92 2501.25 -1744.83 -246.33


84 3. Berdasarkan komponen data yang diperoleh dari


rata-rata medialnya. Rata-rata medial adalah nilai rata-rata untuk setiap bulan setelah dikeluarkan nilai terbesar dan terkecil. Tabel 4.4 Rerata medial dan indeks musiman Rerata Indeks medial musiman -668.43 -474.69 -1433.36 -1239.62 2153.65 2347.39 -429.68 -235.94 738.33 932.07 206.68 400.42 387.11 580.85 -1645.07 -1451.33 -592.57 -398.83 88.70 282.44 -1282.52 -1088.78 152.27 346.01

4. Mengurangkan data asli ( ) dengan indeks musiman ( ) untuk memperoleh garis tren. Garis tren dapat dihitung dengan rumus

∑ ∑

∑

∑ ∑ ∑

∑


85

Sehingga diperoleh garis tren

5. Dengan menjumlahkan semua komponen yang telah dipisahkan, diperoleh data peramalan. Tabel 4.5 Data Tahun Jan Feb 2006 -1273.27 2007 -474.61 -1236.47 2008 -437.81 -1199.67 2009 -401.00 -1162.86 2010 -364.20 -1126.06 2011 -327.39 -1089.25 2012 -290.59 -1052.45 2013 -253.78 -1015.65 2014 -216.98 -978.84 2015 -180.18 -942.04 Tahun Jul Aug 2006 562.53 -1466.58 2007 599.33 -1429.78 2008 636.14 -1392.97 2009 672.94 -1356.17 2010 709.74 -1319.37 2011 746.55 -1282.56 2012 783.35 -1245.76 2013 820.16 -1208.95 2014 856.96 -1172.15 2015 893.77 -1135.35

peramalan

Mar Apr May 2316.80 -263.46 907.62 2353.61 -226.66 944.42 2390.41 -189.85 981.22 2427.22 -153.05 1018.03 2464.02 -116.25 1054.83 2500.82 -79.44 1091.64 2537.63 -42.64 1128.44 2574.43 -5.83 1165.25 2611.24 30.97 1202.05 2648.04 67.77 1238.85 Sep Oct Nov -411.02 273.32 -1094.83 -374.21 310.12 -1058.03 -337.41 346.93 -1021.22 -300.60 383.73 -984.42 -263.80 420.53 -947.61 -226.99 457.34 -910.81 -190.19 494.14 -874.01 -153.39 530.95 -837.20 -116.58 567.75 -800.40 -79.78 604.56 -763.59

Jun 379.03 415.83 452.64 489.44 526.25 563.05 599.85 636.66 673.46 710.27 Dec 343.02 379.82 416.63 453.43 490.24 527.04 563.84 600.65 637.45 674.26


86 Berikut adalah plot data

dengan

peramalan

Gambar 4.1 plot data

B

dan data

peramalan

Pengolahan Data Menggunakan Metode ARIMA Ada beberapa tahap yang dilakukan pada bagian ini, dimulai dari

identifikasi model untuk pemerikasaan stasioneritas, pendugaan parameter, uji kecocokan model dan peramalan. Langkah-langkah metode ARIMA dengan menggunakan program R dapat dilihat pada lampiran program metode ARIMA jumlah penumpang kereta api.

1.

Identifikasi Model Pada tahap ini akan diperiksa stasioneritas pada data, dengan cara melihat

plot data asli jumlah total penumpang jawa dan sumatera pada tahun 2006-2015.


87

Gambar 4.2 Plot data asli jumlah penumpang Kereta Api

Gambar 4.3 Plot ACF data asli jumlah penumpang Kereta Api Berdasarkan gambar 4.2 dan 4.3 terlihat bahwa data belum stasioner terhadap rata-rata, karena pada plot data asli yang ke-91 dan seterusnya data mengalami kenaikan yang cukup tinggi dan ACF turun secara lambat menuju nol. Sehingga perlu dilakukan pembedaan pertama untuk data. Pembedaaan pertama dengan transformasi

.


88

Gambar 4.4 Plot data hasil pembedaan pertama Berdasarkan gambar 4.4 terlihat bahwa data telah stasioner terhadap ratarata dan variansi, karena data berfluktuasi disekitar nilai rata-rata dan varianisi konstan. Setelah diperoleh data yang stasioner, langkah selanjutnya yang dilakukan adalah identifikasi model dengan cara melihat plot PACF dan ACF data yang telah dilakukan pembedaan.

Gambar 4.5 Plot PACF pembedaan pertama


89

Gambar 4.6 Plot ACF pembedaan pertama Dilihat dari plot ACF gambar 4.6 data memuat faktor musiman yang turun secara lambat mendekati nol. Faktor musiman adalah musiman 12 bulanan, karena pola selalu berulang setiap lag 12. Dari plot PACF non musiman data terpotong setelah lag 1 ditulis AR(p=1), plot PACF musiman data terpotong setelah lag 1 ditulis SAR(P=1), plot ACF non musiman data terpotong pada lag 1 ditulis MA(q=1), dan plot ACF musiman data menurun secara lambat menuju nol ditulis SMA(Q=0) dan pembedaan orde pertama yaitu d=1. Dari plot PACF dan plot ACF diperoleh beberapa kemungkinan model. Model ARIMA(1,1,1)(1,0,0)12 ARIMA(1,1,0)(1,0,0)12 ARIMA(0,1,1)(1,0,0)12 ARIMA(0,1,0)(1,0,0)12


90 2.

Pendugaan Parameter Setelah diperoleh beberapa kemungkinan model, langkah selanjutnya adalah

menduga parameter. a) Model ARIMA


AR 1 -0.3304 0.0895

MA 1 -1.0000 0.0246

SAR 1 0.5973 0.0770

b) Model ARIMA


AR 1 -0.6305 0.0719

SAR 1 0.6393 0.0726

c) Model ARIMA


MA 1 -1.0000 0.0188

SAR 1 0.6431 0.0725

d) Model ARIMA


3.

SAR 1 0.6886 0.0682

Uji Kecocokan Model Setelah diperoleh beberapa kemungkinan model, model yang dipilih adalah

model yang mempunyai galat acak dan galat berdistribusi normal yang berarti galat bersifat white noise.


91 a. Model ARIMA

Gambar 4.7 Plot ACF galat model ARIMA Berdasarkan plot ACF gambar 4.7, tidak ada lag yang melebihi garis putusputus (garis signifikan). Hal ini menunjukkan bahwa galat bersifat acak. Untuk lebih tepatnya dapat menggunakan uji Box-Pierce. Lihat tabel dibawah Tabel 4.6 Nilai Box-Pierce ARIMA Lag P-Value

12 0.8583

24 0.9346

36 0.9949

Gambar 4.8 plot Box-Pierce

48 0.997


92 Berdasarkan Tabel 4.6 dan gambar 4.8 terlihat bahwa p-value untuk setiap lag yang diuji lebih besar dari

sehingga

diterima (galat bersifat

acak). Selanjutnya dilihat apakah galat berdistribusi normal.

Gambar 4.9 plot normalitas galat Dari plot normalitas galat, data berada disekitar garis dan menggunakan program spss diperoleh

, yang berarti

sehingga galat berdistribusi normal.

b. Model ARIMA

Gambar 4.10 Plot ACF galat model ARIMA


93 Berdasarkan plot ACF gambar 4.10, ada lag yang melebihi garis putusputus (garis signifikan). Hal ini menunjukkan bahwa galat tidak bersifat acak. Untuk lebih tepatnya dapat menggunakan uji Box-Pierce. Lihat tabel dibawah Tabel 4.7 Nilai Box-Pierce ARIMA Lag P-Value

1 0.005708

2 3 12 0,0003443 0,0007.331 0.005431

Gambar 4.11 plot Box-Pierce Berdasarkan tabel 4.7 dan gambar 4.11 terlihat bahwa p-value untuk setiap lag yang diuji lebih kecil dari

sehingga

ditolak (galat tidak bersifat

acak). Selanjutnya dilihat apakah galat berdistribusi normal.

Gambar 4.12 plot normalitas galat


94 Dari plot normalitas, data berada disekitar garis dan menggunakan program spss diperoleh

, yang berarti

sehingga

galat berdistribusi normal. c. Model ARIMA

Gambar 4.13 Plot ACF galat model ARIMA Berdasarkan plot ACF gambar 4.13 ada lag melebihi garis putus-putus (garis signifikan). Hal ini menunjukkan bahwa galat tidak bersifat acak. Untuk lebih tepatnya dapat menggunakan uji Box-Pierce lihat tabel dibawah Tabel 4.8 Nilai Box-Pierce ARIMA Lag P-value

1 0.0004719

2 0.002137

3 0.006408

4 0.01423


95

Gambar 4.14 plot Box-Pierce Berdasarkan tabel 4.8 dan gambar 4.13 terlihat bahwa untuk lag yang diuji sehingga

ditolak (galat tidak bersifat acak).

Selanjutnya dilihat apakah galat berdistribusi normal

Gambar 4.15 plot normalitas galat Dari plot normalitas, data berada disekitar garis dan menggunakan program spss diperoleh galat berdistribusi normal.

, yang berarti

sehingga


96 d. Model ARIMA

Gambar 4.16 Plot ACF galat model ARIMA Berdasarkan plot ACF gambar 4.16, ada lag yang melebihi garis putus-putus (garis signifikan). Hal ini menunjukkan bahwa galat tidak bersifat acak. Untuk lebih tepatnya dapat menggunakan uji Box-Pierce. Lihat tabel dibawah Tabel 4.9 Nilai Box-Pierce ARIMA Lag P-Value

1

2

12

24

Gambar 4.17 plot Box-Pierce Berdasarkan tabel 4.9 dan gambar 4.17 terlihat bahwa p-value untuk setiap lag yang diuji lebih kecil dari

sehingga

ditolak(galat tidak bersifat acak).


97 Selanjutnya dilihat apakah galat berdistribusi normal.

Gambar 4.18 plot normalitas galat Dari plot normalitas, data berada disekitar garis dan menggunakan program diperoleh

, yang berarti

sehingga galat

berdistribusi normal. Secara ringkas, uji kecocokan model disajikan dalam tabel 4.10 Tabel 4.10 Rangkuman uji kecocokan model Model Galat Acak Normal Ya Ya ARIMA Tidak Ya ARIMA Tidak Ya ARIMA Tidak Ya ARIMA

Dari tabel ringkasan, dapat dilihat bahwa model yang dipilih adalah model yang memenuhi asumsi white noise yaitu galat bersifat acak dan berdistribusi normal. Sehingga model ARIMA

adalah model yang dipilih

untuk evaluasi model. Setelah diperoleh model yang memenuhi asumsi, model dapat ditulis menggunakan operator langkah mundur


98 ̂

( Pendugaan ̂

)(

̂

)

parameter dan ̂

̂

( ,

)

yakni, ̂

,

. Substitusi parameter ke dalam persamaan,

sehingga diperoleh

Gambar 4.19 plot data

C.

dan data

peramalan

Evaluasi Model Pada tahap ini akan dicari model yang paling baik dalam pendugaan data

runtun waktu, yaitu dengan mempehatikan nilai MSE dari kedua model, yaitu model dekomposisi klasik dan model ARIMA.


99 Model MSE ARIMA (1,1,1)(1,0,0)12 822631.997 Dekomposisi klasik 627481.728 Dilihat dari nilai MSE, metode dekomposisi memiliki nilai MSE lebih kecil dibandingkan dengan metode ARIMA (1,1,1)(1,0,0)12. Sehingga metode yang terbaik untuk pendugaan data runtun waktu jumlah penumpang kereta api adalah metode dekomposisi klasik.


BAB V PENUTUP A.

KESIMPULAN 1. Metode dekomposisi klasik dan metode ARIMA merupakan metode analisis runtun waktu. Proses pemodelan metode dekomposisi terdiri dari: menghitung rata-rata bergerak rata-rata bergerak dari

, mengurangkan data asli ( ) dengan

, menghitung rata-rata medial dan indeks musiman

, menentukan garis tren

, dan peramalan. Proses

pemodelan metode ARIMA terdiri dari: identifikasi model, pendugaan parameter, Uji kecocokan model dan peramalan. 2. Berdasarkan hasil analisis data jumlah penumpang kereta api dari tahun 2006-2015, maka dapat disimpulkan bahwa metode yang terbaik adalah metode dekomposisi klasik. Metode dekomposisi klasik menghasilkan nilai MSE sebesar 627481.72, sedangkan metode menghasilkan

nilai

MSE

sebesar

822631.997.

Sehingga

metode

dekomposisi klasik lebih baik untuk pendugaan data runtun waktu dibandingkan dengan metode ARIMA pada kasus ini.

B.

SARAN 1. Metode yang dibahas pada skripsi untuk pendugaan data runtun waktu adalah metode dekomposisi klasik dan metode ARIMA. Metode tersebut dapat dikembangkan lagi sepeti metode dekomposisi census II, metode multivariat ARIMA dan metode X-11 ARIMA.

100


101 2. Pada skripsi ini hanya menduga model yang terbaik, bagi pembaca yang ingin melanjutkan dapat meramalkan data dari model terbaik yang telah diperoleh.


DAFTAR PUSTAKA Aswi dan Sukarna. (2006). Analisis Deret Waktu: Teori dan Aplikasi. Makasar: Andira Badan Pusat Statistik. (2016). Jumlah Penumpang Kereta Api, 2006-2015 (Ribu Orang). http://www.bps.go.id/linkTabelStatis/view/id/1417#. 8 April 2016. Binus

University.

Alpha

dan

P-value

dalam

Statistik.

http://sbm.binus.ac.id/2015/11/20/alpha-dan-p-value-dalam-statistik/.

20

Juli 2016. Bowerman, L.B dan O’Connel, T.R. (1993). Forecasting and Time Series: An Applied Approach. Belmont: Duxbury Press. Box, G.E.P dan Jenkins, G.M. (1976). Time Series Analysis: Forecasting and Control. Oakland: Holdan-Day. Box, G.E.P., Jenkins, G.M., dan Reinsel, G.C. (1994). Time Series Analysis: Forecasting and Control. New Jersey: Prentice-Hall. Brockwell, P.J dan Davis, R.A. (2002). Introduction to Time Series and Forecasting. New York : Springer. Chatfield, C. (2000). Time Series Forecasting. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC. Daniel, W.W. (1989). Statistik Nonparametrik Terapan. Jakarta: Gramedia. Hanke, J.E. dan Wichern, D.W. (2009). Business Forecasting Ninth Edition. New Jersey: Pearson Education. Ladiray, D dan Quenneville, B. (2001). Seasonal Adjustment with The X11 Method. New York : Springer. 102


103 Makridakis, S., Wheelwright, S.C., dan McGee, V.E. (1999). Metode dan Aplikasi Peramalan. Jakarta: Erlangga. Mendenhall, W.,Scheaffer, R.L., dan Wackerly, D.D. (1986). Mathematical Statistics with Applications Third Edition. United States: PWS Publishers. Shumway, R.H dan Stoffer, D.S. (2011). Time Series Analysis and Its Application With R Examples Third Edition. New York: Springer. Wei, W.W.S., (2006). Time Series Analysis: Univariate and Multiplicative Method Second Edition. United States: Pearson Education.


104 LAMPIRAN Berikut merupakan tabel dan program pada Bab III dan Bab IV Tabel 3.1 data asli Tahun Jan Feb 1990 6600 1000 1991 4100 3200 1992 6400 3200 1993 13900 1800 1994 12300 1500 1995 7300 600 1996 7200 2200 Tahun Jul Aug 1990 3500 200 1991 2800 500 1992 1100 600 1993 900 500 1994 2100 800 1995 1100 1100 1996 1200 700

Mar Apr May 2300 1000 800 1300 1800 1300 900 1000 1000 400 700 500 2400 1100 800 2600 1000 900 1800 1000 900 Sep Oct Nov 100 100 700 400 1100 1100 400 2300 1000 600 800 2000 200 1800 3700 200 2100 1400 500 1400

Jun 1700 1000 700 100 500 300 700 Dec 1100 1700 2600 1400 3000 3500

Tabel 4.1 data asli jumlah penumpang kereta api Tahun 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 Tahun 2006

Jan 11828 13960 15027 14494 17424 16891 16283 14900 21092 24676 Jul 14433

Feb 11931 10969 14378 13869 15207 14890 15490 14594 19998 22790 Aug 13255

Mar 13314 13409 16071 17132 16992 16978 17090 15826 22836 27267 Sep 13436

Apr 12909 14415 15711 16775 16832 16441 16746 16000 21908 26565 Oct 14290

May 13575 15232 16363 17824 16988 17522 17771 16113 22988 27910 Nov 13631

Jun 13203 15104 17010 18143 17259 17265 18062 17301 23840 27562 Dec 13614


105 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015

16454 17887 18385 17680 18132 18309 20245 22500 27612

15419 17108 17527 16477 14846 17056 19423 23199 27796

15033 15879 17281 17301 16921 16368 19738 23593 27549

15866 17337 17281 16908 16461 17127 20534 24923 28718

14391 15973 16778 16469 16179 15773 19919 24356 27669

15084 15332 17581 17733 16811 16104 21417 26275 29831

Langkah-langkah metode ARIMA contoh 3.4 runtun waktu > data= read.delim(file.choose()) > t= data[,1] > Xt= data[,2] > plot(t,Xt, type="o", main="Data Asli") >acf(Xt, lag.max=40) >library(forecast) Trasformasi > lambda= BoxCox.lambda(Xt) > lambda [1] -0.1463171 > dataTransformasi= (Xt^lambda-1)/lambda > plot(t, dataTransformasi, type="o", xlab="t", ylab="transformasi", main="Data transformasi") > pacf(dataTransformasi, lag.max=60) > acf(dataTransformasi, lag.max=60)


106 >estimasi=Arima(dataTransformasi,order=c(1,0,1),seasonal=list(order=c(1,0,0) ,period=12)) Series: dataTransformasi ARIMA(1,0,1)(1,0,0)[12] with non-zero mean Coefficients: ar1

ma1

sar1 intercept

0.4583 -0.1648 0.6469

4.3673

s.e. 0.2450 0.2668 0.0866

0.1002

sigma^2 estimated as 0.06697: log likelihood=-8.82 AIC=27.64 AICc=28.42 BIC=39.67 >estimasi=Arima(dataTransformasi,order=c(1,0,0),seasonal=list(order=c(1,0,0) ,period=12)) > estimasi Series: dataTransformasi ARIMA(1,0,0)(1,0,0)[12] with non-zero mean Coefficients: ar1

sar1 intercept

0.3095 0.6400 s.e. 0.1060 0.0863

4.3672 0.0933

sigma^2 estimated as 0.06742: log likelihood=-9 AIC=26 AICc=26.52 BIC=35.62


107 >estimasi=Arima(dataTransformasi,order=c(0,0,1),seasonal=list(order=c(1,0,0) ,period=12)) > estimasi Series: dataTransformasi ARIMA(0,0,1)(1,0,0)[12] with non-zero mean Coefficients: ma1

sar1 intercept

0.2405 0.6432 s.e. 0.0923 0.0873

4.3661 0.0815

sigma^2 estimated as 0.06896: log likelihood=-9.94 AIC=27.88 AICc=28.4 BIC=37.51 >estimasi=Arima(dataTransformasi,order=c(0,0,0),seasonal=list(order=c(1,0,0) ,period=12)) > estimasi Series: dataTransformasi ARIMA(0,0,0)(1,0,0)[12] with non-zero mean Coefficients: sar1 intercept 0.6745 s.e. 0.0837

4.3636 0.0727

sigma^2 estimated as 0.07362: log likelihood=-13.03 AIC=32.07 AICc=32.38 BIC=39.29 > galat= residuals(estimasi)


108 >acf(galat, lag.max=82) > Box.test(galat, lag=k, type="Ljung-Box") , dengan k= lag ke > tsdiag(estimasi) > qqnorm(galat) > qqline(galat) >Xttopi= dataTransformasi-galat > plot(t,dataTransformasi, col="red", type="o", main="plot data transformasi dengan data ramalan transformasi") > lines(t,Xttopi, col="blue") > legend("topright", c("data transformasi","data ramalan transformasi"), cex=0.8,col=c("red","blue"), pch=21:22,lty=1:2)

Langkah-langkah metode ARIMA jumlah penumpang kereta api > data= read.delim(file.choose()) > t= data[,1] > Xt= data[,2] > plot(t,Xt, type="o", main="Jumlah Penumpang Kereta Api") >acf(Xt, lag.max=70) >library(forecast) Trasformasi >d1= diff(Xt) >t1= 2:120

.


109 > plot(t1, d1, type="o", xlab="t1", ylab="d1", main="Pembedaan Pertama Jumlah Penumpang KA") > pacf(d1, lag.max=80) > acf(d1, lag.max=80) > estimasi=Arima(d1,order=c(1,1,1),seasonal=list(order=c(1,0,0),period=12)) > estimasi Series: d1 ARIMA(1,1,1)(1,0,0)[12] Coefficients: ar1

ma1

sar1

-0.3304 -1.0000 0.5973 s.e. 0.0895 0.0246 0.0770 sigma^2 estimated as 822632: log likelihood=-975.63 AIC=1959.26 AICc=1959.61 BIC=1970.34> galat= residuals(estimasi) > estimasi=Arima(d1,order=c(1,1,0),seasonal=list(order=c(1,0,0),period=12)) > estimasi Series: d1 ARIMA(1,1,0)(1,0,0)[12] Coefficients: ar1

sar1

-0.6305 0.6393 s.e. 0.0719 0.0726 sigma^2 estimated as 1437586: log likelihood=-1007.37


110 AIC=2020.75 AICc=2020.96 BIC=2029.06 > estimasi=Arima(d1,order=c(0,1,1),seasonal=list(order=c(1,0,0),period=12)) > estimasi Series: d1 ARIMA(0,1,1)(1,0,0)[12] Coefficients: ma1

sar1

-1.0000 0.6431 s.e. 0.0188 0.0725 sigma^2 estimated as 914595: log likelihood=-982 AIC=1970 AICc=1970.21 BIC=1978.31 > estimasi=Arima(d1,order=c(0,1,0),seasonal=list(order=c(1,0,0),period=12)) > estimasi Series: d1 ARIMA(0,1,0)(1,0,0)[12] Coefficients: sar1 0.6886 s.e. 0.0682 sigma^2 estimated as 2334530: log likelihood=-1036.43 AIC=2076.86 AICc=2076.96 BIC=2082.4 >galat= residuals(estimasi) >acf(galat, lag.max=120)


111 > Box.test(galat, lag=k, type="Ljung-Box") , dengan k= lag ke > tsdiag(estimasi) > qqnorm(galat) > qqline(galat) >Xttopi= d1-galat > plot(t1,d1, col="red", type="o", main="plot Xt' dengan Xt' Peramalan") > lines(t1,Xttopi, col="blue") > legend("topright", c("data Xt' ","data ramalan Xt' "), cex=0.8,col=c("red","blue"), pch=21:22,lty=1:2

PERBANDINGAN METODE DEKOMPOSISI KLASIK DAN METODE ARIMA UNTUK PENDUGAAN PARAMETER DATA RUNTUN WAKTU. (Studi Kasus: Jumlah Penumpang Kereta Api)

Recommend Documents