Perbandingan Kinerja Pengendalian Sistem Tiga Tangki Antara Pole Placement, Incremental Control dan Model Predictive Control

Perbandingan Kinerja Pengendalian Sistem Tiga Tangki Antara Pole Placement, Incremental Control dan Model Predictive Control Harry Nofrianz Prakasa Departemen Elektro, Fakultas Teknik Universitas Indonesia, Kampus Baru UI Depok 16424 [email protected]

Abstrak Skripsi ini membahas pemodelan linear dengan penyederhanaan model non-linear pada sistem tiga tangki menggunakan metoda Auto Regressive eXogeneous (ARX). Metoda ARX tersebut didapat dengan mengambil data masukan dan keluaran dari sistem open loop kemudian memasukkan parameter orde dari sistem linear yang diinginkan. Desain pengendali yang dilakukan pada skripsi ini menggunakan metoda pole placement, incremental control, dan model predictive control. Metoda kontrol prediksi dipilih untuk sistem tiga tangki karena memiliki settling time yang lebih cepat dengan pengaturan nilai parameter , , dan  yang dikonfigurasi berdasarkan horison prediksi (Hp) dan horison kontrol (Hu).

Abstract This thesis discusses the simplification linear modeling of non-linear model of the three tanks system using the Auto Regressive eXogeneous (ARX) method. ARX method is obtained by taking the input and output data from open-loop system and then enters the order parameters of the desired linear system. Controller design is done in this thesis using the method of pole placement, incremental control, and model predictive control. Predictive Contol methods is chosen for three-tank system because it has a settling time is faster by the parameter values , , and  is configured based on prediction horizon (Hp) and the control horizon (Hu). 1.

Pendahuluan Pada laporan skripsi ini model yang digunakan adalah model tiga tangki terhubung seri dengan pemodelan linear dalam bentuk ARX. Model ARX dapat memberikan karakteristik yang menyerupai sistem analog dengan pendekatan domain digital dengan asumsi kondisi sistem dianggap tetap. Maka, salah satu desain kontrol yang bersesuaian dengan model tersebut adalah pengendali dengan metode penempatan kutub. Hal ini bersesuaian juga dengan pernyataan P. Kanjilal, yaitu: desain kontrol dipengaruhi oleh pemodelan proses yang ada, tetapi kualitas dari kontrol sangat bergantung pada optimasi kriteria kerja. [1]. Pada pengendali penempatan kutub masih memiliki kesalahan galat tunak dan incremental control memiliki overshoot yang cukup besar. Kinerja kontrol penempatan kutub akan bergantung kepada pilihan dari parameter desain, selain itu pada kenyataannya kecepatan komputasi pengendali haruslah lebih cepat dibandingkan dengan umpan balik yang diterima sehingga dihasilkan masukan ke sistem dengan benar. Untuk mengatasi permasalahan tentang kesalahan

galat tunak dan overshoot digunakanlah pengendali MPC yang dapat beradaptasi terhadap perubahan nilai referensi yang diberikan pada waktu yang akan datang. Kemampuan pengendali ini dalam merespon menjadi karakter yang unik karena nilai keluaran yang diberikan dapat mendahulu setpoint yang akan datang. Hal ini memberikan keuntungan dengan semakin kecilnya waktu yang dibutuhkan untuk mencapai kondisi tunak. Init Hu, Hp

x

MPC

u

PLANT

y

r(t)

Gambar 1 Blok Diagram Pengendali MPC

Pada Gambar 1 Cara kerja pengendali MPC menggunakan dua buah lup yang bekerja secara online. Kedua lup berfungsi untuk meminimasi kesalahan pada fungsi biaya dan mengatur parameter pengendali MPC.

2.1 Teori Dasar Tiga Tangki Model yang digunakan pada simulasi adalah tiga tangki terhubung [2]. Jika digambarkan sebagai berikut:

meminimumkan error yang terjadi. Salah satu metode yang digunakan adalah least square, dengan metode ini model dan sistem akan teridentifikasi berdasarkan jumlah N data sehingga diperoleh nilai parameter yang konvergen. Nilai kuadrat error (selisih keluaran nilai sistem dan plant pada kondisi open loop) adalah fungsi biaya (cost fuction) yang disimbolkan dengan huruf J. 2

N

J    y(t i )  yˆ (t i )

( 1)

i 1

Gambar 2 Model

tiga tangki terhubung

Fluida memiliki sifat mengalir. Aliran tersebut dikarenakan adanya gaya gravitasi sehingga air memiliki sifat untuk mengisi daerah yang lebih rendah sesuai dengan wadah yang menampungnya. Air memiliki nilai kerapatan, dimana kerapatan adalah perbandingan massa terhadap volume. Sebenarnya aliran air cukup rumit diperhitungkan jika air tersebut mengalami turbulensi. Turbelensi ini merupakan gaya yang berputar-putar secara sembarang. Masalah ini dikenal dengan aliran turbulen. Pada perhitungan 3 matematis nantinya turbulensi ini tidak diperhitungkan dikarenakan air yang terdapat pada tangki diasumsikan bergerak konstan dan memiliki kerapatan yang tetap [3].

2.3 Validasi Model Validasi model dilakukan terhadap sistem tiga tangki yaitu dengan cara membandingkan keluaran antara plant dengan model sehingga terdapat selisih nilai (error) yang kemudian dirumuskan berdasarkan kriteria berikut:    var( y  y )   100% VAF  1   var( y )    N



RMS



i 1

    y (i)  y (i)    N

( 2)

2

( 3)



dimana, y adalah sinyal keluaran model ARX, dan y adalah sinyal keluaran sistem tiga tangki, dan N adalah jumlah data yang diambil. Pada skripsi akan didapatkan nilai validasi model ARX dengan VAF = 99.76272 % dan RMS= 0.479932.

4 2.2 Pemodelan Tiga Tangki Sebelum dilakukan pemodelan hal pertama yang harus dilakukan adalah uji lup terbuka untuk mencari daerah kerja sistem tiga tangki dan nilai pencuplikan [4]. Didapat hubungan masuk dan keluaran pada tabel dibawah ini: Tabel 1 Data hasil masukan step u(t) dan keluarannya y(t) u(t)

y(t)

u(t)

y(t)

u(t)

y(t)

4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9

7.3463 7.7183 8.0979 8.4890 8.8895 9.2949 9.7157 10.1415 10.5778 11.0244

5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9

11.4759 11.9427 12.4060 12.8978 13.3887 13.8877 14.3951 14.9155 15.4447 15.9826

6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9

16.5295 17.0721 17.6497 18.2235 18.8058 19.3985 20.0003 20.6064 21.2296 21.8600

Kemudian proses identifikasi yaitu dengan mengambil keluaran data dari keluaran proses sebenarnya kemudian nilai tersebut didekati dengan sinyal keluaran pada model. Pendekatan nilai tersebut merupakan usaha untuk

Gambar 3 Perbandingan

keluaran model ARX dengan model tiga tangki sebenarnya

Parameter yang telah didapatkan dari perhitungan model ARX tersebut kemudian dibentuk menjadi fungsi alih proses sistem tiga tangki, yaitu: z 1 B( z ) z 1 (0.2737  0.1914 z 1 )  A( z ) 1  1.066 z 1  0.2902 z 2  0.04083z 3 ( 4)

3.

Identifikasi Model ARX Pada sistem orde tiga dapat ditulis persamaan model dalam perkalian vektor yaitu:  a1  a   2 a  y (t )   y(t  1)  y (t  2)  y (t  3) u (t  1) u (t  2) u (t  3) 3  b0   b1    b2 

1 0 0 a  0  1    1  ana  a2 0     0 0 ana

b0 

0 b0

bnb



0 0

bnb 0

0

0

 p a  0   f1   1 1  p  a2    0      2    b0   f nf          ans     g0   0  bnb            0   g ng   0 

( 5)

Pada persamaan (5) tersebut merupakan bentuk umum dalam mendapatkan parameter numerator dan denumerator sistem. Biasanya dalam membuat model ARX tidak perlu terlalu banyak data yang diambil cukup 200 data saja. Hal ini dilakukan karena sifat dari bentuk model itu sendiri yang memiliki kelemahan dalam mencapai nilai kesalahan minimummya.  a1  a   y ( 2)  y (1) u (3) u ( 2) u (1)   2   y (4)    y (3)  a3                b   0  y (200)  y (199)  y (198)  y (197)  y (199)  y(198)  y (197)   b1   b2 

y

( 6)

Berdasarkan persamaan parameter na dan nb dapat dicari:

  ( T ) 1 ( T y )

( 7)

4.

Desain Pengendali Pole Placement Pada pembuatan desain pengendali penempatan kutub harus memenuhi syarat persamaan lup tertutup pada diagram blok dibawah ini

( 9)

Bentuk matriksnya adalah 1 a  1  a2   a3  0

0 1 a1 a2 a3

0  p1  a1   f1  b0     p2  a2  f2 b1       a3    g0    0    0  g1     0  0 

b0 b1 0 0 0

( 10)

Dapat ditulis kembali menjadi  1  f1     f    a1  2     a2  g0        a3  g1    0 

0 1

b1 b2

a1 a2 a3

0 0 0

0 b1  b2   0 0 

T

1 a  1  a2   a3  0

0 1

b0 b1

a1 a2 a3

0 0 0

0   b0    b1    0  0   

1

 1    a1   a2   a3    0 

0 1

b1 b2

a1 a2 a3

0 0 0

0 b1  b2   0 0 

T

 p1  a1   p  a  2  2    a3      0   0  

( 11)

Dari persamaan (4) telah diketahui parameter dari b0 = 0.2737 , b1 = 0.1914, a1=-1.066, a2=0.2902 dan a3=-0.04083. Jika parameter ini disubtitusikan ke persamaan (11) dengan kutub lup tertutup yang diinginkan adalah (k) yang divariasikan kembar 0.2, 0.3, atau 0.4. Maka akan didapat parameter Pd pada tabel berikut ini: Tabel 2 Nilai Parameter letak kutub lup tertutup yang diinginkan

k1=k2 (real) 0.2 0.3 0.4

p1

p2

-0.4 -0.6 -0.8

0.04 0.09 0.16

Gambar 4 Blok diagram pengendali pole placement Tabel 3 Nilai Parameter Precompensator dan Controller

Adapun persamaan diophantine berdasarkan diagram blok tersebut akan didapatkan: A( z 1 ) F ( z 1 )  z 1 B( z 1 )G ( z 1 )  Pd ( z 1 ) ( 8)

Adapun kriteria yang diberikan pada persamaan tersebut berupa nf = nb = 2, ng=na-1=2 kedalam persamaan dibawah ini:

f1

f2

g0

g1

h

0.2

0.4223

0.05805

0.8902

-0.1038

1.376

0.3

0.3188

0.04382

0.5378

-0.02603

1.054

0.4

0.2048

0.02808

0.2253

0.05991

0.774

k1=k2

Parameter yang telah didapat tersebut kemudian dimasukkan ke persamaan diophantine sehingga didapat blok dari precompensator H ( z 1 ) G ( z 1 ) dan blok controller G( z 1 ) F ( z 1 ) .

Tabel 5 Parameter G pada incremental control

Kemudian parameter desain ini dimasukkan ke blok diagram pengendali penempatan kutub. 5.

Desain Pengendali Incremental Control Adapun ada beberapa syarat yang harus dipenuhi dalam penambahan integrator yaitu berupa derajat polinomial G harus dinaikkan satu untuk mendapatkan persamaan identitas yang unik. A( z 1 ) F ( z 1 )(1  z 1 )  z 1 B ( z 1 )G ( z 1 )  Pd ( z 1 ) ( 12)

Persamaan (12) merupakan persamaan lup tertutup dari diagram blok pengendali incremental control yang ide dasarnya berasal dari penempatan kutub.

g0

g1

g2

1.437

-1.286

0.1984

0.9221

-0.8705

0.147

0.4233

-0.4247

0.9167

Dari nilai parameter tersebut maka dipilih respon terbaik untuk diperbandingkan dengan pengendali pole placement. 6.

Desain Pengendali Model Predictive Control Struktur pengendali MPC merupakan bentuk simulasi ketika nilai dari seluruh state diketahui. Nilai refrensi yang diberikan menjadi acuan pengendali dengan parameter , dan  digunakan untuk meminimasi kesalahan yang terjadi pada keluaran plant sedangkan  akan banyak mempengaruhi dari fungsi biaya. Ketiga parameter tersebut yang akan mengatur pemberian sinyal kendali berdasarkan perubahan sinyal kendali yang terjadi selama perhitungan pengendali MPC berlangsung [5]. Berikut merupakan struktur dari pengendali MPC, yaitu:

Gambar 5 Blok diagram pengendali Incremental Control

Dari blok diagram pengendali incremental control tersebut kemudian disusun rancangan pengendali lup tertutupnya, yaitu sebagai berikut:  1  a 1  1  a 2  a1  a 3  a 2   a3   0

0

b0

0

1 a1  1

b1 0

b0 b1

a 2  a1 a3  a 2

0 0

0 0

 a3

0

0

0  p1  a1  1  f  0   1   p 2  a 2  1 f b0   2   a 2  a 3  g     b1   0    a 3  g  0  1   0   g 2    0  0   ( 13)

Parameter Polinomial F dan G pada incremental control akan berbeda dari perhitungan peletakan kutub pada perhitungan awal. Hal ini menyebabkan parameter letak lup tertutup digeser agak lebih jauh untuk menghindari sifat integrator yang lebih agresif. Untuk itu parameter yang digunakan adalah Tabel 4 Parameter F pada incremental control

Gambar 6 Blok diagram pengendali Model Predictive Control

Perhitungan keadaan sistem dan hasil keluaran dapat ditentukan berdasarkan model ruang keadaan, yaitu: 





x( k  1)  A x  B u ( k ) 



( 14)



z (k )  C z x(k )  D u (k )

( 15)

Ruang keadaan tersebut didapat dengan merubah bentuk fungsi alih dari model. Kemudian berdasarkan perhitungan keluaran pada persamaan (15) sistem akan didapat: 

k1=k2

f1

f2

0.6

0.4727

0.05728

0.7

0.4136

0.05012

0.8

0.3501

0.04242

z (k )  NK x(k )  ( NL  O)u (k  1)  ( NM  P)u (k ) ( 16) 





z ( k )  baru x( k )  baru u (k  1)   baru  u ( k  1) ( 17)

Adapun parameter keluaran dari model (K, L, M, secara berurutan adalah sebagai berikut:  A        A Hu  K   Hu  A      Hp   A 

B       Hu 1  i i 0 A B  L   Hu i   i 0 A B      Hp1 i  i 0 A B 

B   AB  B     Hu1 i M  i0 A B  Hu Ai B  i0    Hp1 Ai B i0

      

Setelah mendapatkan persamaan keluaran yang baru kemudian langkah selanjutnya adalah mencari sinyal pengendali berdasarkan cost function dari pengendali MPC. V k   u (k )   (k )

2 Q

 u (k )

2 R

( 22)

Fungsi biaya merupakan persamaan kriteria pada pengendali MPC sehingga didapat perubahan sinyal kendali yang paling optimal. Dikarenakan kesalhan error terus diminimasi berdasarkan persamaan berikut:

      B  AB  B     Hp Hu i  A B i0  0 0

 k   r (k  i | k )  x(k )  u (k  1)

( 23)

Dengan menggabungkan persamaan (23) dan (22) maka akan didapatkan solusi berupa V k    ( k ) T Q (k )  2u (k ) T  T Q ( k ) 

u (k )T (T Q  R)u ( k )

( 18)

( 24)

sedangkan parameter O dan P merupakan pengaruh yang diberikan jika masukan langsung mempengaruhi keluaran dari sistem. Parameter masukan, yaitu:

V k   const  u (k ) T G  u (k ) T Hu (k ) dimana,

u (k )  u (k )  u (k  1)

( 19)

sehingga persamaan (15) ditulis kembali menjadi, 

sehingga persamaan dari fingsi biaya menjadi

G  2  T Q ( k )

H  T Q  R (25)



z x ( k  1 | k )  C z x( k  1 | k )  D[ u ( k )  u ( k  1)] ( 20)

Pada persamaan (20) parameter N adalah parameter C dikali dengan I(HpxHp), kemudian O yang merupakan vektor D terhadap perubahan sinyal kendali ‘ u (k ) ’ dan parameter P merupakan parameter D terhadap sinyal kendali yang dihasilkan sebelumnya ‘ u (k  1) ’ dapat ditulis menjadi  z(x  1 | k )   z (k  2 | k )   Cz   0     ( | ) z k H k  u  0    0     ( | ) z k H k  p   D D    D    D

0 Cz

0 0

0 0

Cz 0

0   x(k  1)   D    0   x(k  2)   D  u (k  1)      0      Cz   x (k  H p )  D 

N

O

0 0 0   u ( k )    D 0 0   u (k  1)          D  D   u ( k  H u )          D D D  u (k  H p ) P

Solusi optimal dari persamaan fungsi biaya adalah ketika sinyal kendali yang paling memberikan keuntungan terbesar yaitu dengan turunan u (k ) pada persamaan (25) sehingga menjadi

 u ( k )V (k )  G  2 Hu (k )

dengan demikian perubahan sinyal kendali untuk masukan selanjutnya adalah

u (k ) opt 

1 1 H G 2

( 27)

Sedangkan untuk mendapatkan sinyal kendali yang akan diberikan ke model ruang keadaan merupakan perubahan sinyal kendali dan masukan sinyal kendali sebelumnya, yaitu:

u (k )  u (k  1)  u (k ) opt

( 21)

( 26)

( 28)

Model Ruang Keadaan Model Tiga Tangki, yang didapat dari transfer fungsi ARX:  0.17 0.001  0.0103 0.006   A    0.17  0.098  0.018 B   2.93   104.8   2.93 1.704 0.3287  C  0.0963  0.0541 0.0163 D  0 ( 29)

dengan nilai eigen () dari model tiga tangki   0.2413    - 0.0004 + 0.0006i  - 0.0004 - 0.0006i 

( 30)

Dari persamaan (30) nilai eigen tersebut semuanya masih didalam unit circle, tidak ada nilai real dari kutub pole yang melebihi 1. Dengan demikian model yang didapatkan memiliki pole yang stabil artinya desain pengendali akan lebih cepat diselesaikan ketimbang harus menstabilkan dulu pole yang diluar unit cicle tersebut. Ada dua hal lagi yang penting untuk dipertimbangkan dalam medesain pengendali dengan model ruang keadaan ini, yaitu controllability dan observerability. Sifat dari controllability adalah kemampuan model untuk dapat dikendalikan untuk setiap state, sedangkan observerability berfungsi untuk membuat suatu observer untuk berbagai keperluan seperti untuk mengestimasi beberapa keluaran dengan cepat kepengendali sistem tanpa harus menggunakan sensor. Keunggulan observer ini lebih kepada penghematan waktu dan biaya karena cukup menggunakan perhitungan matematis untuk mendapatkan keluaran yang dimaksud berdasarkan data-data yang tersedia dari sensor. Controllability dan observerability ini haruslah dalam kondisi full rank, jika tidak berarti sistem kehilangan kemampuan untuk dikendalikan ataupun kemampuan untuk dibuatkan desain observer statenya. Berikut merupkan nilai controllability (co) dan observerability (ob) dari model ruang keadaan, yaitu:  - 0.1702 0.1302 0.0304  co   2.9300 - 2.2268 - 0.5337  104.8000 38.9418 9.3871  0.0963 - 0.0541 0.0163 ob   0.0578 0.0336 0.0065   0.0138 0.0081 0.0016  ( 31)

Dari bentuk matriks (31) dapat dicari nilai determinannya (tidak nol) yang merupakan indikator dari sifat full rank tersebut. Dapat langsung ditentukan karena nilai dari baris matriks bukan kelipatan dari matriks baris yang lain. Setelah model dirasa sudah cukup mewakili karakter dari plant tiga tangki tahap selanjutnya adalah merancang pengendali MPC dengan menghitung matrik kriteria pengendali , , dan . Pada pengendali MPC nilai Control Horizon (Hu) dan Control Prediksi (Hp) yang dipilih secara berurutan adalah 4 dan 5, sehingga matriks dapat dihitung berdasarkan bentuk umum berikut ini: C z 0  0  0  0

C z 0  0  0  0

Cz 0   0  0  0

0 Cz 0 0 0

0 0 Cz 0 0

0 0 0 Cz 0

0  A  0   A2    0   A3   4  0  A  5 Cz   A 

0  B   D    0   B AB    D  2 0     D B  AB  A B  0   B  AB  A2 B  A3 B   D    2 3 4 C z   B  AB  A B  A B  A B   D 

0

0

0

Cz

0

0

0 0

Cz 0

0 Cz

0

0

0

0 Cz

0 0

0 0

0

Cz

0

0

0

Cz

0

0

0

0  B 0   B  AB  0  B  AB  A2 B  0   B  AB  A2 B  A3 B 2 3 4 Cz   B  AB  A B  A B  A B

 D  D   0   D   B  AB B  AB  A2 B B  D 2 3 2 B AB  B  AB  A B  A B B  AB  A B   D 0 B B  AB

0 0 B

0 0

...

0 0  D D 0  D D D D D D 0 D

0 0

( 32)

Kriteria pengendali ini dicari ketika proses inisialiasi dilakukan dan bernilai konstan selama simulasi dijalankan. 0.0578 0.0138    0.0033  0.0008 0.0002 1.5280  2.2939     2.4782  2.5227  2.5335

0.0336 0.0065 1.5280   2.2939  0.0081 0.0016   0.0019 0.0004    2.4782     0.0005 0.0001  2.5227   2.5335  0.0001 0.0000    2.2939 1.5280 0   2.4782 2.2939 1.5280 2.5227 2.4782 2.2939

0 1.5280

0 0

0 0

( 33)

Hasil perhitungan kriteria pada hasil perhitungan (33) kemudian digunakan untuk mendapatkan penyelesaian persamaan (23) sebagai perhitungan error dan persamaan (25) sehingga didapat parameter kriteria G dan H yang dibutuhkan juga oleh MPC untuk menentukan perubahan sinyal kendali optimum. Sinyal kendali u(k) pada persamaan (28) dihitung berdasarkan perubahan sinyal kendali optimum tersebut ditambah dengan sinyal kendali satu pencuplikan sebelumnya sehingga sistem ini bersifat integrator atau dihasilkan kesalahan galat tunak bernilai nol dengan keunggulan berupa sifat memprediksi sinyal kendali terhadap informasi referensi yang akan datang sehingga respon yang diharapkan semakin cepat dan terlihat mendahului perubahan set point yang terjadi pada waktu tersebut [6]. 7.

Hasil Simulasi Berikut merupakan hasil respon model ARX dengan pengendali lup tertutup, secara berurut menjadi tiga bentuk respon yang bervariasi, variasi pertama pada letak lup tertutup berada di sumbu real 0.2.

Gambar 9 Grafik hasil kendali penempatan kutub dengan letak kutub k=0.4

Dengan mengubah letak kutub lup tertutup menjadi 0.4 pada gambar 4.3 (c) berarti letak kutub tersebut memiliki redaman yang lebih besar menyebabkan nilai overshoot berkurang. Dari ketiga pamater perlu diketahui kesalahan galat tunak yang dihalikan bernilai nol. Dengan waktu respon menuju galat tunak yang tidak jauh berbeda. Berikut pada gambar 10, 11 dan 12 merupakan hasil respon dari sistem plant tiga tangki yang awal. Dapat dilihat respon yang berada pada daerah kerja air berkisar di level 15 cm memberikan respon yang baik, sedangkan ketika level air di set menjauhi dari daerah kerjanya maka kesalahan yang dihasilkan akan semakin besar.

Gambar 7 Grafik Hasil Kendali Penempatan Kutub dengan letak kutub k=0.2

Dari grafik di atas terlihat keluaran sistem mengikuti nilai acuan yang diberikan, sehingga pengendali dapat bekerja sesuai dengan tujuan yang diinginkan. Kemudian dengan mengubah parameter kutub lup tertutup plant tiga tangki menjadi 0.3 diperoleh sistem lup tertutup yang tetap stabil. Hal tersebut dapat dilihat pada gambar dibawah ini:

Gambar 8 Grafik Hasil Kendali Penempatan Kutub dengan letak kutub k =0.3

Gambar 10 Perbandingan Respon Plant Awal Sistem Tiga Tangki dengan Pengendali Penempatan Kutub dengan kutub lup tertutup berada pada k=0.2

Gambar 11 Perbandingan Respon Plant Awal Sistem Tiga Tangki dengan Pengendali Penempatan Kutub dengan kutub lup tertutup berada pada k=0.3

Timbulnya kesalahan galat tunak pada sistem tiga tangki paling besar ketika letak lup tertutup berada di 0.4. Jika dihitung ketika sistem diharapkan memiliki ketinggian referensi 20 cm, respon sistem tiga tangki galat tunak pada 23,41 cm. Jadi besarnya overshoot yang terjadi (3,41/20)*100% = 17.05 %.

semakin jauh dari titik kerjanya yang berkisar di level 15 cm. Pada saat awal penentuan nilai prediksi diperbandingkan antara horison prediksi bernilai 5, 8, dan 12 dengan nilai horison kontrol bernilai 1 adalah sebagai berikut:

Gambar 14 Keluaran ruang keadaan dengan kriteria MPC Hp=5 dan Hu=1

Gambar 12 Perbandingan Respon Plant Awal Sistem Tiga Tangki dengan Pengendali Penempatan Kutub dengan kutub lup tertutup berada pada k=0.4

Dengan demikian pengendali yang telah dirancang bekerja berdasarkan titik kerjanya pada level berkisar 15 cm dan untuk mengatasi permasalahan error tersebut dapat ditambahkan integrator. Pengendali tersebut dikenal dengan nama incremental control dimana tidak memerlukan pre-compensator dan dapat digunakan untuk sistem dengan orde sembarang Pada pengendali incremental diberikan letak kutub lup tertutup di 0.6 dan dibandingkan dengan respon pengendali penempatan kutub tanpa integrator pada lup tertutup di 0.2 akan didapatkan hasil sebagai berikut:

Kemudian dibandingkan lagi dengan prediksi yang lebih besar sebagai perbandingan untuk melihat waktu perubahan sehingga mencapai nilai galat tunak yang bervariasi pada kedua gambar berikut ini:

Gambar 15 Keluaran ruang keadaan dengan kriteria MPC Hp=8 dan Hu=1

Terlihat pada gambar diatas semakin besar nilai prediksi berarti keluaran dari model ruang keadaan semakin cepat berubah sebelum refrensi berubah dimasa yang akan datang. Untuk lebih jelasnya perubahan tersebut dapat dilihat ketika prediction horizon diberi nilai 12 dan control horizon dijaga konstan.

Gambar 13 Hasil perubahan respon sistem penempatan kutub sebelum dan sesudah diberikan integrator

Dari gambar 13 terlihat pada incremental control kesalahan galat tunak dapat dijadikan nol untuk setiap nilai refrensi yang diberikan, sedangkan penempatan kutub tanpa integrator kesalahan galat tunak akan semakin besar jika

Gambar 16 Keluaran ruang keadaan dengan kriteria MPC Hp=12 dan Hu=1

Pada gambar 15 dapat disimpulkan jika terlalu besar nilai prediksi maka sistem akan terlalu cepat berubah artinya kesalahan pemberian informasi yang salah untuk masa yang akan datang akan sangat memperburuk keadaan, sehingga perlu untuk membuat pemilihan pengendali MPC horison prediksi cukup beralasan dipilih pada nilai 5 dan horison kontrol yang diperbesar hingga bernilai 4 dengan bobot Q dan R bernilai 1 akan menghasilkan kesalahan galat tunak sama dengan nol dengan respon yang lebih cepat.

Gambar 17 Keluaran terbaik dari MPC dengan Model Ruang Keadaan

Pada Gambar 16 terlihat keluaran dari model ruang keadaan berubah terlebih dahulu sebelum set point berubah dikarenakan masukan refrensi yang diberikan telah diketahui oleh pengendali MPC. Pengendali MPC yang telah diberi referensi yang akan datang mendapatkan informasi berdasarkan prediksi yang telah diperhitungkan pada waktu sekarang dan cakupan horizon control yang terdapat pada pengendali. Jadi, pengendali MPC dapat dijadikan salah satu strategi untuk mendapatkan hasil respon yang lebih cepat daripada integrator tanpa kemampuan memprediksi sinyal kendali yang akan datang. 8.

Kesimpulan Dari simulasi untuk model tiga tangki terbubung diperoleh kesimpulan penting, yaitu: 1. Berdasarkan analisa lup terbuka didapat waktu cuplik model bernilai 25. 2. Hasil validasi pemodelan ARX pada simulasi ini dengan VAF = 92,60% dan RMS = 0.42 dapat mendekati plant aslinya. 3. Model sistem dengan parameter b0=0.2737, b1=0.1914, a1=-1.066, a2=0.2902 dan a3=0.04083 merupakan bentuk pemodelan tiga tangki. 4. Letak kedua kutub lup tertutup di titik 0.2 bidang z akan menghasilkan nilai parameter f1=0.4223, f2=0.05805, g0=0.8902, g1=0.1038, h=1.376 didapatkan hasil respon

5.

6.

tercepat dibandingkan kutub lup tertutup yang berada pada 0.3 atau 0.4. Pengendali penempatan kutub masih memberikan kesalahan kesalahan paling besar 17,05 %, kesalahan tersebut dapat diatasi setelah precompensator diganti dengan integrator. Pada pengendali MPC horison prediksi (Hp) bernilai 5 dan horison kontrol (Hu) bernilai 4 menghasilkan respon terbaik dibandingkan pole placement dan incremental control berdasarkan analisa nilai overshoot dan waktu galat tunak.

Referensi [1] Kanjilal, P. P., “IEE Control Engineering: Adaptive Prediction and Predictive Control”, England, Short Run Press, 1995. [2] Maraden, Y., “Identifikasi Sistem Tiga Tangki Terhubung dengan Menggunakan Algoritma Fuzzy Clustering GustafsonKessel”, Departemen Teknik Elektro Fakultas Teknik Universitas Indonesia, 2004. [3] Tipler, Paul A., “Fisika untuk Sains dan Teknik”, Jakarta, Erlangga 1998. [4] Subiantoro, A., “Diktat Kuliah : Sistem Kendali Adaptif dan Nonlinear”. Departemen Teknik Elektro Fakultas Teknik Universitas Indonesia, 2007. [5] Maciejowski, J.M. “Predictive Control with Constraints“. Prentice Hall, 2000. [6] Richalet, J. “Industrial Application of Model Based Predictive Control”. Automatica 1993.