1
Estimasi Parameter Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) Menggunakan Algoritma Particle Swarm Optimization (PSO) (Studi Kasus: Peramalan Curah Hujan DAS Brangkal, Mojokerto) Meytaliana Factmawati1, Basuki Widodo2, dan Nuri Wahyuningsih3 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 Indonesia e-mail:
[email protected],
[email protected]
Abstrak— Peramalan merupakan alat bantu yang penting dalam penyusunan rencana yang efektif dan efisien. Pada beberapa literatur terdapat banyak pendekatan untuk merumuskan model peramalan. Dalam penelitian ini digunakan proses Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) untuk merumuskan model peramalan curah hujan DAS Brangkal, Mojokerto, yaitu, ARR Jati Dukuh, ARR Gumeng, dan ARR Pacet Selatan. Algoritma PSO diterapkan untuk mengestimasi parameter model . Berdasarkan RMSE terkecil, model baik untuk ARR Jati Dukuh dengan RMSE [ ][ ] 76.6505, model baik untuk ARR Gumeng dengan RMSE 78.4095, sedangkan baik untuk ARR Pacet Selatan dengan RMSE 106.5537. Dengan menggunakan algoritma PSO, diperoleh model dengan RMSE 76.6505 untuk ARR Jati Dukuh, dengan RMSE 78.4095 untuk ARR Gumeng, serta dengan RMSE 106.5537 untuk ARR Pacet Selatan. Kata Kunci— , estimasi parameter, PSO. I. PENDAHULUAN Brantas merupakan sungai terpanjang kedua di S UNGAI Jawa yang mempunyai peranan penting dalam menunjang pertanian di Jawa Timur. Sungai Brantas, yang memiliki batas administrasi wilayah sebesar 26,5% dari luas wilayah Jawa Timur, berperan dalam mengairi lebih dari 3000 Ha area persawahan di sekitar alirannya[1]. Menurut Kuntjoro pada Seminar Nasional Aplikasi Teknologi Prasarana Wilayah menyatakan bahwa pada dekade terakhir ini terjadi perubahan fluktuasi debit air sungai Brantas akibat perubahan iklim, sehingga dibutuhkan peninjauan terhadap kondisi kapasitas, operasional, dan keamanan sungai Brantas[2]. Sementara itu, Paimin dkk. menyatakan bahwa DAS dapat dipandang sebagai suatu sistem, dimana komponen input berupa curah hujan, processor adalah DAS itu sendiri, dan output berupa produksi, debit air, erosi, dan sebagainya[3]. Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa besarnya debit air bergantung pada besarnya curah hujan. Sehingga diperlukan suatu pengamatan terhadap perilaku curah hujan di DAS Brantas rawan banjir guna memperkirakan besarnya curah hujan di waktu mendatang. Hal tersebut perlu dilakukan untuk menghindari kegagalan dalam perencanaan bangunan air sebagai tindak lanjut dari peninjauan kondisi kapasitas, operasional, dan keamanan sungai Brantas dalam penyusunan rencana yang efektif dan efisien. Dengan peramalan, data dapat diolah untuk
menjelaskan keadaan yang akan datang, seperti memperkirakan besarnya curah hujan di masa mendatang. Dalam jurnal yang berjudul Time Series Analysis Model for Rainfall Data in Jordan: Case Study for Using Time Series Analysis oleh Momani, disebutkan bahwa analisis deret berkala adalah alat bantu yang penting dalam merumuskan model peramalan. Dengan mengambil studi kasus data curah hujan di Yordania, Momani menggunakan model Autoregressive Integrated Moving Average ( ) untuk merumuskan model peramalan curah hujan[4]. Wang dan Zhao mengusulkan metode baru untuk mengestimasi parameter . Metode tersebut merupakan aplikasi dari algoritma Particle Swarm Optimization (PSO). Dengan studi kasus peramalan pada indeks harga konsumen, Wang dan Zhao memperlihatkan bahwa metode estimasi parameter menggunakan algoritma PSO memberikan hasil yang lebih baik daripada metode estimasi parameter yang biasa digunakan sebelumnya (moment estimate)[5]. Berdasarkan pemaparan di atas, maka dalam penelitian ini penulis mengambil judul ―ESTIMASI PARAMETER AUTOREGRESSIVE INTEGRATED MOVING AVERAGE ( ) MENGGUNAKAN ALGORITMA PARTICLE SWARM OPTIMIZATION (PSO) UNTUK KONSTRUKSI MODEL PERAMALAN CURAH HUJAN‖. Dalam penelitian ini, penulis menggunakan data curah hujan yang diukur dari ARR DAS Brangkal, Mojokerto. Peramalan curah hujan dirumuskan menggunakan model . Selanjutnya, parameter dari model yang sesuai, diestimasi menggunakan algoritma PSO. Pada akhir penelitian, hasil estimasi parameter menggunakan algoritma PSO dibandingkan dengan hasil estimasi menggunakan metode lain sebagai validasi, yaitu Conditional Least Square. II. DASAR TEORI A. Deret Berkala Berikut ini merupakan alat-alat yang diterapkan untuk menganalisa deret berkala: 1. Stasioneritas Data yang digunakan untuk analisis deret berkala adalah data yang stasioner baik dalam varian maupun dalam rata-rata. Data deret berkala dikatakan stasioner dalam varian apabila plot dari data deret berkala tersebut tidak memperlihatkan adanya perubahan varian yang jelas dari waktu ke waktu[6]. Ketidakstasioneran dalam varian dapat diatasi dengan Transformasi Box-Cox.
2 Apabila suatu data deret berkala diplot dan tidak terlihat adanya perubahan nilai tengah dari waktu ke waktu, maka dikatakan data deret berkala tersebut stasioner dalam rata-rata. Ketidakstasioneran dalam rata-rata dapat diatasi dengan proses differencing. 2. ACF dan PACF Autokorelasi merupakan korelasi antara deret berkala dengan deret berkala itu sendiri dengan selisih waktu (lag) periode atau lebih. Hubungan koefisien autokorelasi dengan lagnya disebut fungsi autokorelasi atau autocorrelation function (ACF) [6]. Sedangkan autokorelasi parsial digunakan untuk mengukur tingkat keeratan antara dengan , apabila pengaruh lag dianggap terpisah. hubungan koefisien autokorelasi parsial dengan lagnya disebut fungsi autokorelasi parsial atau partial autocorrelation function (PACF). B. Model Model yang sesuai untuk data deret berkala yang stasioner setelah melalui proses differencing adalah model . Secara umum, model dinotasikan dengan dimana merupakan orde model AR, merupakan orde model MA, dan adalah banyaknya differencing[5]. Model dapat dinyatakan sebagai berikut ̃
,
digunakan iterasi meminimumkan nilai
Levenberg-Marquardt .
dengan
E. Particle Swarm Optimitation(PSO) Algoritma PSO merupakan teknik optimasi berbasis stokastik yang diinspirasi oleh tingkah laku sosial sekawanan burung. Sekelompok burung secara random mencari makanan di suatu area[5]. Dengan demikian, PSO adalah algoritma berbasis populasi yang mengeksploitasi individu dalam populasi daerah penyelesaian di daerah pencarian. Dalam PSO, populasi disebut swarm dan individu disebut particle (partikel). Setiap partikel berpindah dengan kecepatan yang diadaptasi dari daerah pencarian dan menyimpannya sebagai posisi terbaik yang pernah dicapai. Diberikan daerah pencarian -dimensi dan suatu populasi partikel, dimana partikel ke dan kecepatannya dinyatakan dengan dua vektor berdimensi berturut-turut yaitu ⃗ dan ⃗ dengan . Masing-masing partikel mempunyai kemampuan mengetahui posisi terbaik yang dikunjungi sebelumnya dan posisi yang sedang dikunjungi. Selain itu, setiap partikel juga mengetahui posisi terbaik partikel dari populasinya. Selanjutnya kecepatan partikel dan posisi barunya dapat ditentukan sebagai berikut: ⃗ ⃗
(⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗ ⃗
⃗
(⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
)
⃗
)⃗
⃗
dengan:
dengan: ̃
.
C. Langkah-langkah merumuskan model [6] 1. Identifikasi model Pada proses ini, data diuji kestasionerannya baik dalam varian maupun dalam rata-rata. Setelah data stasioner, kemudian dilakukan proses pemilihan model yang tepat dengan cara mengidentifikasi orde AR dan MA pada grafik ACF dan PACF. 2. Estimasi dan Pengujian Signifikansi Parameter Setelah diidentifikasi model sementara, langkah selanjutnya adalah menentukan parameter model dan menguji signifikansi dari parameter model tersebut. 3. Pemerikasaan Diagnostik Dalam menentukan model terbaik, model harus memenuhi dua asumsi residual yaitu white noise dan berdistribusi normal. D. Conditional Least Square (CLS) Conditional Least Square (CLS) merupakan salah satu metode estimasi yang biasa digunakan untuk mengestimasi parameter model . CLS merupakan suatu metode yang dilakukan untuk mencari nilai parameter dengan meminimumkan jumlah kuadrat kesalahan. Secara umum, model CLS untuk mengestimasi parameter adalah ∑ merupakan suatu fungsi nonlinier, sehingga diperlukan suatu iterasi nonlinier untuk menyelesaikannya. Untuk memperoleh nilai estimasi parameter yang optimal,
⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
: kecepatan partikel ke- pada iterasi ke: posisi partikel ke- pada iterasi ke: posisi terbaik invidu partikel ke: posisi terbaik global dari populasi : bilangan random seragam dengan selang [ : koefisien akselerasi dengan selang [0,2] : bobot inersia : bobot inersia maksimum : bobot inersia minimum : iterasi maksimum : iterasi saat ini
]
F. Algoritma PSO untuk Mengestimasi Parameter [5] Pada permasalahan model terdapat parameter sebanyak , yaitu , sehingga dimensi dari ruang pencariannya adalah . Apabila parameter dan dinotasikan dengan dan yang mempunyai dan komponen, maka suatu partikel dinotasikan dengan yaitu . Fungsi objektif dari permasalahan ini adalah: ∑
(
̂
)
dengan:
̂
: jumlah data : banyaknya proses differencing : nilai pada waktu : nilai ramalan pada waktu dengan parameter
3 Dengan demikian algoritma PSO pada Gambar 1 dapat diterapkan sedemikian hingga diperoleh estimasi optimal untuk dan yaitu ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dan ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Start Inisialisasi secara random ⃗
⃗ ,…, ⃗ dan ⃗
⃗
⃗
Menghitung ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , dan ⃗ ,
Menentukan ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dan ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Di sisi lain, dilakukan perancangan program untuk mengestimasi parameter model yang sesuai berdasarkan algoritma PSO. IV. ANALISA DAN PEMBAHASAN Data observasi pada subbab ini adalah data curah hujan mingguan ARR Jati Dukuh, ARR Gumeng, dan ARR Pacet Selatan periode Januari 2011–Januari 2014 dengan proporsi data Januari 2011-Desember 2014 digunakan untuk pembentukan model, sedangkan data Januari 2014 digunakan untuk validasi model. Software yang digunakan untuk membantu penyelesaian penelitian ini adalah Minitab 16 dan Matlab 2013a. Berikut ini merupakan hasil analisa data deret berkala dari masing-masing ARR DAS Brangkal. A. ARR Jati Dukuh Plot deret berkala ARR Jati Dukuh tidak memperlihatkan adanya kestasioneran baik dalam varian maupun dalam ratarata. Sehingga data perlu dilakukan transformasi Box Cox dan proses differencing untuk mendapatkan data yang stasioner.
tidak Apakah Iterasi maks?
Time Series Plot of ARR Jati Dukuh 300 250
Memperbaharui ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
ARR Jati Dukuh
ya dan ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,
200 150 100 50 0 1
16
32
48
64
Memperbaharui ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dan ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
80 Index
96
112
128
144
(a) Box-Cox Plot of ARR Jati Dukuh Lower CL
Time Series Plot of ARR Jati Dukuh 0.8
Upper CL Lambda (using 95.0% confidence) Estimate
⃗
⃗ dan ⃗
⃗ ,…, ⃗
0.8 StDev
Menghitung ⃗
0.6
1.00
Lower CL Upper CL
0.58 1.35
Rounded Value
1.00
0.4
ARR Jati Dukuh
1.0
0.6
0.4
tidak ?
0.0
-0.4 -0.6
0.2 Limit -5.0
Apakah ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <1.
0.2
-0.2
-2.5
0.0 Lambda
2.5
-0.8
5.0
1
16
32
48
64
(b)
80 Index
96
112
128
144
(c)
Gambar 2. Plot ARR Jati Dukuh (a) plot data asli (b) plot Box Cox setelah ditransformasi (c) plot setelah dilakukan proses differencing
ya Autocorrelation Function for ARR Jati Dukuh (with 5% significance limits for the autocorrelations)
Finish 1.0 0.8
Autocorrelation
III. METODOLOGI PENELITIAN Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan hasil pengamatan terhadap tiga stasiun ARR di DAS Brangkal yang dilakukan oleh BBWS Brantas, yaitu ARR Jati Dukuh, ARR Gumeng, dan ARR Pacet Selatan. Data tersebut meliputi data curah hujan mingguan pada masing-masing ARR mulai Januari 2011 sampai dengan Januari 2014. Langkah pertama adalah plot data deret berkala dari masing-masing curah hujan ARR Jati Dukuh, ARR Gumeng, dan ARR Pacet Selatan, lalu uji kestasionerannya baik dalam varian maupun dalam rata-rata. Data yang telah stasioner dibuat plot ACF dan PACF untuk menentukan dugaan sementara model . Setelah diperoleh model sementara, dilakukan uji signifikansi parameter serta pemeriksaan diagnostik dimana residu bersifat white noise dan berdistribusi normal.
0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 1
5
10
15
20 Lag
25
30
35
(a) Partial Autocorrelation Function for ARR Jati Dukuh (with 5% significance limits for the partial autocorrelations)
1.0 0.8
Partial Autocorrelation
Gambar 1. Algoritma PSO yang digunakan untuk mengestimasi parameter model
0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 1
5
10
15
20 Lag
25
30
35
(b) Gambar 3. Plot ARR Jati Dukuh (a) plot ACF (b) plot PACF
4 Setelah dilakukan transformasi Box Cox dan proses differencing satu kali diperoleh data yang stasioner. Hal tersebut dapat ditunjukkan pada Gambar 2.Langkah selanjutnya adalah plot ACF dan PACF dengan merujuk pada data yang sudah stasioner. Plot ACF dan PACF ARR Jati Dukuh ditunjukkan pada Gambar 3. Berdasarkan plot ACF dan PACF ARR Jati Dukuh, ditentukan dugaan model sementara . Setelah diidentifikasi dugaan model sementara, langkah selanjutnya adalah menentukan parameter model . Setelah itu dilakukan uji signifikansi parameter terhadap dugaan model sementara menggunakan Uji- sebagai berikut Hipotesa: : = 0 (parameter model tidak signifikan) : ≠ 0 (parameter model signifikan) Statistik uji:
maka ditolak dengan , | | artinya parameter model signifikan. Langkah selanjutnya adalah pengujian white noise terhadap residu menggunakan Uji Ljung Box sebagai berikut Hipotesa: : : minimal terdapat satu yang tidak sama dengan nol,
dengan , maka ditolak, artinya residual model tidak berdistribusi normal. Sehingga model bukan merupakan model yang baik. Selanjutnya dilakukan overfitting untuk mendapatkan model-model lain yang sesuai. Berdasarkan plot ACF dan PACF ARR Jati Dukuh, memungkinkan untuk mengikuti lebih dari satu model . Hasil overfitting dapat dilihat pada Tabel 2. Tabel 2 Overfitting Model
Model
Uji Signifikansi
Uji LjungBox
signifikan
w.n
signifikan
w.n
Berdasarkan Tabel 2, dan merupakan model yang baik, karena memenuhi uji signifikansi parameter dan dua asumsi residual. Model terbaik dapat dipertimbangkan melalui nilai RMSE (Root Mean Square Error) dari kedua model, dimana model terbaik mempunyai RMSE paling kecil. RMSE dapat dilihat pada Tabel 3. Berdasarkan Tabel 3, dapat disimpulkan bahwa model terbaik ARR Jati Dukuh adalah . Tabel 3 RMSE Model
. RMSE
Statistik uji: ∑ (
)
dengan , maka diterima artinya residual model bersifat white noise. Dengan metode yang sama dilakukan untuk lag 12,18, 24 pada Tabel 1, sehingga diperoleh kesimpulan bahwa residual bersifat white noise.
Uji KolmorgorovSmirnov berdistribusi normal berdistribusi normal
77.00445
76.65053
B. ARR Gumeng Langkah-langkah yang sama juga dapat diterapkan pada data deret berkala ARR Jati Dukuh. Plot deret berkala ARR Gumeng tidak memperlihatkan adanya kestasioneran baik dalam varian maupun dalam rata-rata. Setelah dilakukan transformasi Box Cox dan proses differencing satu kali diperoleh data yang stasioner. Hal tersebut dapat ditunjukkan pada Gambar 4. Time Series Plot of ARR Gumeng 400
Tabel 1 Uji Ljung-Box
ARR Gumeng
Lag 6 12 18 24
300
200
100
10.99 13.49 16.44 20.41
11.070 19.675 28.869 35.172
0 1
16
32
48
64
80 Index
112
Box-Cox Plot of ARR Gumeng Lower CL
0.14
128
144
Time Series Plot of ARR Gumeng 0.5
Upper CL Lambda
0.4
(using 95.0% confidence)
0.12 0.11 0.10
1.00
Lower CL Upper CL
0.18 1.85
Rounded Value
1.00
0.3 0.2
ARR Gumeng
Estimate
0.13
StDev
Selain white noise, residu dari model harus memenuhi asumsi berdistribusi normal. Pengujian distribusi normal dilakukan dengan uji Kolmogorov-Smirnov. Hipotesa: untuk semua (berdistribusi normal) untuk beberapa (tidak berdistribusi normal) Statistik uji:
96
(a)
0.1 0.0 -0.1 -0.2
0.09
-0.3 Limit
0.08 -5.0
-2.5
0.0 Lambda
2.5
(b)
5.0
-0.4 1
16
32
48
64
80 Index
96
112
128
144
(c)
Gambar 4. Plot ARR Gumeng (a) plot data asli (b) plot Box Cox setelah ditransformasi (c) plot setelah didifferencing
5 mencapai stasioneritas setelah dilakukan transformasi Box Cox dua kali serta proses differencing satu kali. Hal tersebut dapat ditunjukkan pada Gambar 6. Merujuk pada data yang sudah stasioner, dibuat plot ACF dan PACF yang ditunjukkan pada Gambar 7. Berdasarkan plot ACF dan PACF ARR Pacet Selatan, ditentukan dugaan model sementara . Dari pengujian terhadap parameter model dapat disimpulkan bahwa model baik karena memenuhi uji signifikansi parameter serta uji asumsi white noise dan berdistribusi normal terhadap residu. Time Series Plot of ARR Pacet Selatan 300 250
ARR Pacet Selatan
Merujuk pada data yang sudah stasioner, dibuat plot ACF dan PACF yang ditunjukkan pada Gambar 5. Berdasarkan plot ACF dan PACF ARR Jati Dukuh, ditentukan dugaan model sementara yaitu . Dari pengujian terhadap parameter model dapat disimpulkan bahwa parameter model signifikan. Selain itu, uji residu model memenuhi asumsi white noise dan berdistribusi normal. Sehingga merupakan model yang baik. Selanjutnya dilakukan overfitting untuk mendapatkan model-model lain yang sesuai. Berdasarkan plot ACF dan PACF ARR Jati Dukuh, memungkinkan untuk mengikuti lebih dari satu model . Hasil overfitting dapat dilihat pada Tabel 4. Autocorrelation Function for ARR Gumeng (with 5% significance limits for the autocorrelations)
1.0
150 100 50
0.8
0
0.6
1
16
48
64
0.2
80 Index
96
112
128
144
(a)
0.0 -0.2
Box-Cox Plot of ARR Pacet Selatan
-0.4
Lower CL
2.0
Time Series Plot of ARR Pacet Selatan
Upper CL
1.5
Lambda (using 95.0% confidence)
-0.6
Estimate
-0.8
1.5
1
5
10
15
20 Lag
25
30
StDev
-1.0 35
(a)
1.0
1.32
Lower C L Upper C L
0.80 1.82
Rounded Value
1.00
1.0
0.5
0.5 0.0 -0.5 -1.0
Limit
Partial Autocorrelation Function for ARR Gumeng
-5.0
(with 5% significance limits for the partial autocorrelations)
-2.5
0.0 Lambda
2.5
1.0
5.0
1
16
32
48
64
(b)
0.8 Partial Autocorrelation
32
0.4
ARR Pacet Selatan
Autocorrelation
200
0.6
80 Index
96
112
128
144
(b)
Gambar 6. Plot ARR Pacet Selatan (a) plot data asli (b) plot Box Cox setelah ditransformasi (c) plot setelah didifferencing
0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4
Autocorrelation Function for ARR Pacet Selatan
-0.6
(with 5% significance limits for the autocorrelations)
-0.8
1.0
-1.0 5
10
15
20 Lag
25
30
0.8
35
0.6 Autocorrelation
1
(b) Gambar 5. Plot ARR Gumeng (a) plot ACF (b) plot PACF
0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8
Tabel 4 Overfitting Model
1
Uji Signifikansi
Uji Ljung-Box
[ ][
]
signifikan
w.n
[ ][
]
signifikan
w.n
[ ][ ][ ][
]
signifikan
w.n
Uji KolmorgorovSmirnov berdistribusi normal berdistribusi normal berdistribusi normal
5
10
15
20 Lag
25
30
35
(a) Partial Autocorrelation Function for ARR Pacet Selatan (with 5% significance limits for the partial autocorrelations)
1.0 0.8
Partial Autocorrelation
Model
-1.0
0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0
Berdasarkan Tabel 4, , [ ][ ] , [ ][ ] [ ][ ][ ][ ] dan merupakan model yang baik, karena memenuhi uji signifikansi parameter dan dua asumsi residual. Dengan mempertimbangkan nilai RMSE, maka maka [ ][ ] model terbaik adalah , karena memiliki RMSE terkecil dibandingkan model yang lain. C. ARR Pacet Selatan Seperti halnya ARR Gumeng dan ARR Jati Dukuh, plot data deret berkala ARR Pacet Selatan juga tidak memperlihatkan adanya kestasioneran baik dalam varian maupun dalam rata-rata. Deret berkala ARR Pacet selatan
1
5
10
15
20 Lag
25
30
35
(b) Gambar 7. Plot ARR Pacet Selatan (a) plot ACF (b) plot PACF
Selanjutnya dilakukan overfitting untuk mendapatkan model-model lain yang sesuai. Berdasarkan plot ACF dan PACF ARR Jati Dukuh, memungkinkan untuk mengikuti lebih dari satu model . Hasil overfitting dapat dilihat pada Tabel 5. Tabel 5 memperlihatkan bahwa , [ ][
, ]
[
, dan
]
, [ ][ ][
, ]
merupakan model yang baik, karena memenuhi uji signifikansi parameter
6 dan dua asumsi residual. Model dengan RMSE terkecil merupakan model terbaik, yaitu . Tabel 5 Overfitting Model
Model
[
[ ][ [ ][ ][
]
] ]
Uji Signifikansi
Uji LjungBox
signifikan
w.n
signifikan
w.n
signifikan
w.n
signifikan
w.n
signifikan
w.n
Uji KolmorgorovSmirnov berdistribusi normal berdistribusi normal berdistribusi normal berdistribusi normal berdistribusi normal
D. Estimasi Parameter menggunakan Algoritma PSO Dalam penelitian ini, data yang digunakan untuk estimasi parameter menggunakan algoritma PSO adalah data yang stasioner dalam varian. Estimasi dilakukan pada model yang sudah dijamin baik, yaitu model dengan parameter yang signifikan dan memenuhi dua asumsi residual. Dengan menginputkan nilai , , , dan data stasioner pada masingmasing ARR DAS Brangkal, diperoleh estimasi parameter yang disajikan pada Tabel 6. Tabel 6 Hasil estmasi perameter menggunakan algoritma PSO dan Metode Conditional Least Square Model
[ ][
]
Par*
(1)* Estimasi RMSE ARR Jati Dukuh
(2)* Estimasi RMSE
0.52107
76.6505
0.52106
76.6505
ARR Gumeng -0.16974 -0.26464 78.4095 0.52793 ARR Pacet Selatan
-0.16977 -0.26466 0.52800
78.4095
-0.48186
-0.48187
106.5537
106.5537
*Par : parameter *(1) :Estimasi parameter menggunakan algoritma PSO *(2) :Estimasi parameter menggunakan Conditional Lest Square
Untuk memvalidasi hasil estimasi parameter menggunakan algoritma PSO, digunakan metode Conditional Least Square sebagai pembanding. Dapat diamati pada Tabel 6 bahwa estimasi parameter menggunakan algoritma PSO dan estimasi parameter menggunakan metode Conditional Least Square menghasilkan nilai RMSE yang besarnya sama.
V. KESIMPULAN Berdasarkan analisis data deret berkala curah hujan DAS Brangkal, Mojokerto, dapat disimpulkan bahwa: 1. Model peramalan yang baik untuk ARR Jati Dukuh adalah dengan RMSE 76.6505. Secara umum, model dinotasikan dengan Model peramalan yang baik untuk ARR Gumeng adalah [ ][ ] dengan RMSE 78.4095. Secara [ ][ ] umum, dinotasikan dengan , Model peramalan yang baik untuk ARR Pacet Selatan adalah dengan RMSE 106.5537. Secara umum, dinotasikan dengan 2. Dengan menggunakan algoritma PSO, diperoleh model dengan RMSE 76.6505 untuk ARR Jati Dukuh, , dengan RMSE 78.4095 untuk ARR Gumeng, serta dengan RMSE 106.5537 untuk ARR Pacet Selatan. DAFTAR PUSTAKA [1] Kementrian Pekerjaan Umum Direktorat Jendral Sumber Daya Air Balai Besar Wilayah Sungai Brantas. (2010). ―Sistem Manajemen Mutu Unit Hidrologi Balai Besar Wilayah Sungai Brantas‖. www.bbwsbrantas.com. Diakses pada tanggal 7 Maret 2014 pukul 11.15 WIB. [2] Kuntjoro. (2011). ―Kali Brantas Hilir dalam Tinjauan Data Debit Dekade Terakhir‖. Seminar Nasional Aplikasi Terapan teknologi Prasarana Wilayah. http://atpw.files.wordpress.com/2013/03/d3-kali-brantas-hilirdalam-tinjauan-data-debit-dekade-terakhir.pdf. Diakses pada tanggal 2502-2014 pukul 14.49 WIB. [3] Paimin, Sukresno, dan Purwanto. (2006). ―Sidik Cepat Degradasi Sub DAS‖. Pusat Penelitian dan Pengembangan Hutan dan Konservasi Alam. Bogor. [4] Momani, P.E. Naill M. (2009). ―Time Series Analysis Model for Rainfall Data in Jordan: Case Study for Using Time Series Analysis‖. American Journal of Environmental Sciences 5 (5) hal.599-604. [5] Wang H, Zhao W..(2009). ―ARIMA Model Estimated by Particle Swarm Optimization Algorithm for Consumer Price Index Forcasting‖. H. Deng et al. (Eds.): AICI 2009, LNAI 5855, pp. hal.48-58. [6] Makridakis, S, Wheelwright, S.C., McGee, V.E (1992). ―Metode Peramalan dan Aplikasi Peramalan‖. Erlangga. Jilid 1. Jakarta.
