PENYELESAIAN SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER 2009

PENYELESAIAN SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER 2009 SOAL A Pengolahan data debit, Q m3/s, di suatu sungai menunjukkan bahwa sebaran peluang terjadinya suatu besaran debit, pQ(q), dapat dinyatakan dengan suatu fungsi (pdf) berikut: pQ q  

1 aq 100

jika

1  a 2 

0  q  50

jika 50  q  150

1 a 300  q  jika 150  q  300 300

0

untuk nilaiq yang lain

Dalam persamaan pdf di atas, satuan debit adalah m3/s. 1. 2. 3. 4. 5.

Gambar pdf debit sungai tersebut. Hitung konstanta a. Cari dan gambarkan fungsi distribusi kumulatif (cdf) debit Q. Hitung debit rata-rata, Q , sungai tersebut. Hitung probabilitas debit antara 100 s.d. 200 m3/s, prob(100 < Q (m3/s) < 200).

PENYELESAIAN Sketsa pdf Probability density function, pdf, data debit sungai dalam soal tersebut dapat lebih mudah difahami dengan menampilkannya dalam bentuk grafik. pQ(q) ½a

0

50

100

150

200

250

300

Q [m3/s]

Konstanta a Nilai kontanta a dicari dari definisi bahwa luas di bawah kurva pdf merupakan probabilitas (peluang) seluruh debit yang mungkin lewat di penggal sungai tersebut; jadi luas di bawah kurva pdf sama dengan satu.

Istiarto: Penyelesaian Soal Ujian Tengah Semester 2009

1



 pQ q dq  1

 0

50



0

 0 dq  

0

1 aq dq  100



150



50

1 a dq  2

300



150

1 a300  q dq  300





 0 dq  1 0



1 1 1  1 a 502  0  a150  50  a 300300  150  3002  1502 200 2 300  2

  0  1

 25  100  75   a  1 2  

a

1 100

Tentu saja, luas di bawah kurva pdf di atas dapat dihitung lebih mudah dengan memperhatikan trapesium yang dibentuk oleh salib sumbu dan kurva pdf. Luas trapesium = 1

300 100 2

1  a 1 2



a

1 100

Fungsi distribusi kumulatif, cdf PQ q   probQ  q   pQ q  dq



Interval q ≤ 0

PQ q   0 Interval 0 ≤ q ≤ 50 m3/s

PQ q  



q2 d q   C1 104 2  104 q

Syarat batas: PQ(0) = 0  C1 = 0

PQ q  

q2 2 104

PQ 50 

502 4

2  10



25 1  200 8

Interval 50 ≤ q ≤ 150 m3/s

PQ q  

1

1

 200 dq  200 q  C2 

Syarat batas: PQ(50) = 25/200  C2  25

PQ q  

1 q  25 200


2

PQ 150 

1 150  25  125  5 200 200 8

Interval 150 ≤ q ≤ 300 m3/s

PQ q  

1



1

1 2   C3  

 3104 300 q dq  3104  300 q  2 q

Syarat batas: PQ(300) = 1  1

  2 1 2  300  300  C 3  2  3  10  1

4

1 C 3  3  104  3002  50  300  15000 2

PQ q  

1 2    300 q  q  15000 2  3  10  1

4

Interval q ≥ 300 m3/s

PQ q   1 Debit, Q [m3/s]

pdf

cdf

q≤0

pQ q   0

PQ q   0

0 ≤ q ≤ 50

pQ q  

q

PQ q  

104 1 pQ q   200 1 300 q  pQ q   3  104 pQ q   0

50 ≤ q ≤ 150 150 ≤ q ≤ 300 q ≥ 300

1

q2

2 104 1 q  25 PQ q   200 1  1  PQ q   300 q  q2  15000 4  2  3  10 PQ q   1

0.01

cdf

0.9

0.008

0.7 0.6

0.006

0.5

pdf

0.4

0.004

pQ(q)

prob(Q < q)

0.8

0.3 0.2

0.002

0.1 0

0 0

50

100

150

200

250

300

debit, Q [m3/s]


3

Debit rata-rata Elevasi muka air rata-rata merupakan nilai expektasi elevasi muka air, E(q), yang merupakan momen pertama terhadap sumbu ordinat pada pdf. Eq   q pQ q  d q 



50

1

 104 q

150 2

0





dq 

50



1 q dq  200



 1   1  503  0    1502  502 4  3  10   400  

125 103

 3  104

300

1



3  104 150

300q  q2 dq

   3 1104  300

3





 300 1502 3003  1503     2 3 

32  502  502 1  4  300 1502 7  1503    400 2 3  3  104 

125  50  75 30

 129 16  129 m3 s

Probabilitas debit antara 100 s.d. 200 m3/s





prob 100  Q [m3 s]  200  probQ  200  probQ  100  PQ 200  PQ 100 

1   1 2 100  25  300 200   200  15000  2  200 3  10 



11 24

1

4

 0.46 1

0.01

0.9 0.008

cdf

0.7 0.6

0.006

prob(100 < Q < 200)

pdf

0.5 0.4

0.004

pQ(q)

prob(Q < q)

0.8

0.3 prob(100 < Q < 200)

0.2

0.002

0.1 0

0 0

50

100

150

200

250

300

debit, Q [m3/s]


4

SOAL B Pengukuran evaporasi harian (dalam mm) selama 30 hari dari suatu stasiun menunjukkan nilai evaporasi harian sebagai berikut: 9 12 12

9 8 7

10 7 8

10 11 13

12 8 14

9 13 11

6 6 4

7 5 11

14 8 8

11 4 11

1. Buatlah tabel frekuensi dan histogram (frekuensi, bukan frekuensi relatif) data evaporasi harian tersebut. Lebar klas 2 mm dengan batas bawah klas pertama 3 mm (rentang klas pertama 3 - 5 mm). 2. Hitunglah nilai rata-rata dan simpangan baku evaporasi harian tersebut. Bulatkan kedua nilai kedalam milimeter terdekat. 3. Hitunglah frekuensi (bukan frekuensi relatif) data evaporasi harian dalam setiap klas data menurut distribusi normal. 4. Buatlah gambar perbandingan antara frekuensi data dan frekuensi teoretik menurut distribusi normal (bukan frekuensi relatif). 5. Hitunglah rentang keyakinan nilai rata-rata evaporasi harian dengan tingkat keyakinan 95%. PENYELESAIAN Penyelesaian soal ini dapat dilakukan dengan cepat dengan menggunakan bantuan MSExcel. Namun demikian, waktu yang disediakan cukup longgar pula apabila penyelesaian dilakukan dengan hanya menggunakan bantuan kalkulator. Hitungan disajikan dalam bentuk tabel frekuensi. Tabel 1. Distribusi frekuensi evaporasi harian (dalam mm) di suatu stasiun klimatologi.

3 5 7 9 11 13

Evaporasi harian E [mm] – 5 – 7 – 9 – 11 – 13 – 15

Frekuensi f 3 5 8 7 5 2

4 6 8 10 12 14 ∑

fE [mm] 12 30 64 70 60 28

30

264

fE

2

[mm2] 48 180 512 700 720 392 2552

Evaporasi harian rata-rata E

 fE  264  8.8  9 mm  f 30

Simpangan baku evaporasi harian


5

sE 

 fE 2   f  E 2   f 1

2552 30  8.82  2.81  3 mm 30  1

Distribusi frekuensi evaporasi harian teoretis menurut distribusi normal dapat dicari dengan menggunakan bantuan tabel cdf atau tabel pdf distribusi normal, atau dengan menggunakan bantuan MSExcel. Frekuensi teoretik suatu variabel random yang berdistribusi normal dihitung dengan memakai persamaan berikut: fE e   e  pE e  pE e  

d PE e  PE ebatas atas   PE ebatas bawah   de e

fE e   PE ebatas atas   PE ebatas bawah 

Dalam persamaan di atas, fE e  adalah frekuensi relatif, e adalah rentang klas, pE e  adalah

ordinat kurva normal standar, PE e  probE  e , ebatas atas dan ebatas bawah adalah batas atas dan batas bawah rentang klas evaporasi harian. Dalam MSExcel, nilai PE(e) dicari dengan perintah =NORMDIST(…): PE(5) = NORMDIST(5,9,2,TRUE). Nilai 9 dan 2 berturut-turut adalah nilai ratarata dan simpangan baku evaporasi harian. Apabila menggunakan tabel distribusi normal standar, nilai PE(e) harus diubah dulu kedalam nilai normal standar.

fE e   PZ zbatas atas   PZ zbatas bawah  e e E  E    PZ  batasbawah   PZ  batasatas sE sE     Untuk klas pertama 3 < E < 5, frekuensi teoretik menurut distribusi normal adalah:  59 39 fE e   PZ    PZ    2   2   PZ  2  PZ  3  0.02275 0.00135  0.0214

Nilai PZ(z) selain dapat diperoleh dari tabel distribusi normal standar, dapat pula diperoleh dengan perintah =NORMSDIST(…) dalam MSExcel: PZ(−2) = NORMSDIST(−2). Dengan ukuran sampel 30 buah, maka frekuensi teoretik pada klas pertama adalah 0.0214 × 30 ≈ 1. Frekuensi teoretik untuk seluruh klas interval disajikan pada Tabel 2.


6

Tabel 2. Distribusi frekuensi evaporasi harian di suatu stasiun menurut distribusi normal. Data Klas E (mm) 3 5 7 9 11 13

– – – – – –

5 7 9 11 13 15 ∑

Frek f 3 5 8 7 5 2 30

Distribusi Normal Klas Z

-2.0000 -1.3333 -0.6667 0.0000 0.6667 1.3333

– – – – – –

PZ(z) -1.3333 -0.6667 0.0000 0.6667 1.3333 2.0000

0.0228 0.0912 0.2525 0.5000 0.7475 0.9088

– – – – – –

fZ(z) 0.0912 0.2525 0.5000 0.7475 0.9088 0.9772

0.0685 0.1613 0.2475 0.2475 0.1613 0.0685 ∑

Frek f 2 5 7 7 5 2 28

9

Data

8

Distribusi Normal 7

Frekuensi

6 5 4 3 2 1 0 3-5

5-7

7-9

9-11

11-13

13-15

Evaporasi harian, E [mm]

Memperhatikan perbandingan histogram data dan distribusi normal di atas, dapat disimpulkan bahwa evaporasi harian di stasiun tersebut berdistribusi normal. Rentang keyakinan evaporasi harian rata-rata dengan tingkat keyakinan 1 – α = 95% dihitung dengan cara sebagai berikut: Rentang keyakinan nilai rata-rata adalah suatu rentang dengan batas bawah L dan batas atas U sedemikian hingga dengan tingkat keyakinan (1 – ), atau dengan probabilitas ( nilai evaporasi harian rata-rata, E, berada di dalam rentang tersebut adalah prob(L < E < U) = (1). Jika E berdistribusi normal, maka suatu variabel random V yang didefinisikan sebagai V  E  E  sE berdistribusi t. Oleh karena itu, rentang keyakinan evaporasi harian rata-rata dapat dinyatakan dengan persamaan berikut:   E  E prob v1   v2   1   sE  

Jika nilai v1 dan v2 ditetapkan sedemikian sehingga prob(t < v1) = prob(t > v2), dan dengan demikian prob(t < v1) = prob(t > v2) = /2 (lihat sketsa di bawah), maka batas bawah dan atas rentang keyakinan evaporasi harian rata-rata dapat diperoleh dari: Istiarto: Penyelesaian Soal Ujian Tengah Semester 2009

7

  E  E prob t a 2 ,n 1   t1  2 ,n 1   1   sE  





prob E  ta 2 ,n 1 sE  E  E  t1 2,n 1 sE  1  

Dalam persamaan di atas, n adalah jumlah data (n =  f), t/2 dan t1/2 masing-masing adalah nilai T sedemikian hingga prob(T < t/2,) = /2 dan prob(T < t1/2,) = 1  /2 untuk  = n  1 degrees of freedom, serta sE  sE

n . Nilai batas bawah dan atas rentang keyakinan

evaporasi harian rata-rata dengan demikian adalah:



  E  t  2 sE







n dan u  E  t1  2 sE

n .

Dengan nilai degrees of freedom  = n – 1 = 29 dan tingkat keyakinan 1   = 0.95 (/2 = 0.025 dan 1  /2 = 0.975), maka dengan memakai tabel distribusi t atau fungsi =TINV(...), diperoleh nilai-nilai sebagai berikut: prob(T < t0.025) = 0.025  t0.025 = 2.0452 dan prob(T < t0.975) = 0.975  t0.975 = 2.0452. Dengan demikian, batas bawah dan batas atas rentang keyakinan evaporasi harian rata-rata adalah:



  9  2.0452 3





30  8 mm dan u  9  2.0452 3



30  10mm

sehingga: 8 mm  E  10 mm . -o0o-


8

PENYELESAIAN SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER 2009

Recommend Documents