PENYELESAIAN MASALAH PANAS BALIK (BACKWARD HEAT PROBLEM)

PENYELESAIAN MASALAH PANAS BALIK (BACKWARD HEAT PROBLEM) Richa Agustiningsih, Drs. Lukman Hanafi, M.Sc. Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 Email: [email protected]

heat equation) banyak digunakan dalam aplikasi teori hidrodinamika. Namun, persamaan ini pada dasarnya sukar diselesaikan secara analitis. Hal ini disebabkan karena panas yang telah berdifusi tidak dapat kembali ke titik awal. Penyelesaian secara numerik dari suatu persamaan matematis kadang-kadang hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai yang benar (eksak) daripada penyelesaian analitis, sehingga dalam penyelesaian numerik tersebut terdapat kesalahan terhadap nilai eksak.[5]

Abstrak- Suatu persamaan panas balik (backward heat equation) tidak dapat diselesaikan secara analitis. Hal ini disebabkan karena panas yang telah berdifusi tidak dapat kembali ke titik awal. Persamaan panas balik (backward heat equation) ini merupakan persamaan differensial yang linier, sehingga penyelesaiannya tidak dapat ditemukan secara analitik melainkan secara numerik. Dari berbagai macam metode numerik yang ada, dalam Tugas Akhir ini menggunakan metode Beda Hingga Maju dalam menyelesaikan persamaan tersebut. Setelah proses diskritisasi dengan metode Beda Hingga Maju, maka akan ditemukan matriks dari persamaan panas balik tersebut. Selanjutnya, matriks tersebut disimulasikan ke dalam program Matlab. Kata kunci: Backward Heat Equation, Metode Beda Hingga Maju, analitik, numerik, linier.

II.

Pendekatan Numerik Persamaan panas balik (backward heat equation) tersebut termasuk persamaan differensial yang non-linear. Persamaan differensial merupakan persamaan yang menghubungkan suatu besaran dengan perubahannya. Persamaan differensial mempunyai banyak ragam dan jenis mulai dari yang mudah diselesaikan hingga yang sulit diselesaikan, mulai dari yang sederhana sampai yang sangat kompleks. Dalam hal ini, metode numerik dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial dengan menggunakan bantuan komputer sebagai alat hitung, ketika metode analitik sulit digunakan. Pada beberapa bentuk persamaan differensial, khususnya pada persamaan differensial non-linear, penyelesaian analitik sulit sekali dilakukan sehingga metode numerik dapat menjadi penyelesaian yang disarankan. Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial, antara lain: metode Euler, metode pendekatan dengan deret Taylor, metode Runge-Kutta, dan metode-

I.

Pendahuluan Perpindahan panas atau heat transfer adalah ilmu yang meramalkan perpindahan energi yang terjadi karena adanya perbedaan temperatur diantara benda atau material. Ilmu perpindahan panas tidak hanya mencoba menjelaskan bagaimana energi panas itu berpindah dari suatu benda ke benda lainnya, tetapi juga dapat meramalkan laju perpindahan yang terjadi pada kondisi-kondisi tertentu.[1] Masalah backward, berkaitan dengan persamaan panas yang mengacu pada masalah pencarian distribusi temperatur awal dari masalah forward. Suatu persamaan panas balik (backward 1

Perubahan variabel 𝑡 menjadi 𝑡 − 𝑇 memberikan persamaan dari masalah backward 𝑣 𝑥, 𝑡 = 𝑢 𝑥, 𝑇 − 𝑡 d sebagai berikut :[5]

metode prediktor-korektor seperti metode Adam Moulton. Hanya saja metodemetode pendekatan ini menyebabkan penyelesaian yang dihasilkan bukanlah penyelesaian umum dari persamaan differensial, tetapi penyelesaian khusus dengan nilai awal dan nilai batas yang ditentukan. Permasalahan persamaan differensial ini merupakan permasalahan yang banyak ditemui ketika analisa yang dilakukan tergantung pada waktu dan nilainya mengalami perubahan-perubahan berdasarkan waktu. Hampir banyak model matematis di dalam ilmu teknik menggunakan pernyataan dalam persamaan differensial.[3]

𝑣𝑡 − 𝑣𝑣𝑥𝑥 = 0, 𝑥 ∈ Ω, 𝑡 ∈ 0, 𝑇 𝜕Ω 𝑣 𝑥, 0 = 𝑣0 𝑥 , 𝑥 ∈ Ω

2.2

Metode Beda Hingga Jika 𝑢 = 𝑢(𝑥) diekspansikan menurut deret Taylor, maka: 𝑑

𝑢 𝑥 + ℎ = 𝑢 𝑥 + ℎ 𝑑𝑥 𝑢 𝑥 + ℎ 2 𝑑2

2! 𝑑 𝑥 2

,𝑡 > 0 𝜕Ω 𝑢 𝑥, 0 = 𝑢0 𝑥 , 𝑥 ∈ Ω

𝑑

ℎ 2 𝑑2

𝑢 𝑥 − ⋯ (2.48) Beberapa skema numerik dari metode Beda Hingga, yaitu: 1. Beda Hingga Maju Dari Persamaan (2.47),maka didapatkan : 𝑑 𝑢 𝑥+ℎ −𝑢 𝑥 =ℎ 𝑢 𝑥 +⋯ 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑢 𝑥+ℎ −𝑢 𝑥 = +𝑂 ℎ (2.49) 𝑑𝑥 ℎ 2! 𝑑 𝑥 2

…………… 1

Persamaan (2.49) disebut persamaan beda hingga maju. Jika menggunakan notasi beda hingga dengan 𝑢 𝑥 = 𝑖ℎ , persamaan (2.49) menjadi : 𝑑𝑢 𝑢𝑖+1 − 𝑢𝑖 = 𝑑𝑥 ∆ℎ

dimana 𝑢 𝑥, 𝑡 adalah temperatur dan 𝑢0 𝑥 adalah distribusi temperatur awal. adalah suatu domain (daerah asal), 𝜈 adalah sebuah konstanta panas. Masalah tersebut biasanya disebut dengan masalah forward dalam konteks persamaan aliran panas. Masalah backward berkaitan dengan persamaan panas yang mengacu pada masalah pencarian distribusi temperatur awal dari masalah forward. Seperti yang telah diketahui bahwa distribusi temperatur akhir 𝑣0 𝑥 pada waktu 𝑇 diberikan oleh : 𝑢𝑡 − 𝑣𝑢𝑥𝑥 = 0, 𝑥 ∈ Ω, 𝑡 ∈ 0, 𝑇 𝑢𝑥

𝜕Ω 𝑢 𝑥, 0 = 𝑢0 𝑥 , 𝑥 ∈ Ω

𝑢 𝑥 + ⋯ (2.47)

𝑢 𝑥 − ℎ = 𝑢 𝑥 − ℎ 𝑑𝑥 𝑢 𝑥 +

2.1 Persamaan Panas Balik (Backward Heat Equation) Masalah aliran panas yang mengalir pada sebuah medium konduktor menempati sebuah daerah, misal , tidak bergantung pada fluks panas di sepanjang batasan daerah yang diformulasikan dalam persamaan berikut : 𝑢𝑡 − 𝑣𝑢𝑥𝑥 = 0, 𝑥 ∈ Ω, 𝑡 > 0 𝑢𝑥

…………… 3

𝑢𝑥

2.Beda Hingga Mundur Dari persamaan (2.48), maka didapatkan : 𝑑 𝑢 𝑥−ℎ −𝑢 𝑥 =ℎ 𝑢 𝑥 +⋯ 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑢 𝑥−ℎ −𝑢 𝑥 = +𝑂 ℎ (2.50) 𝑑𝑥 ℎ

Persamaan (2.50) disebut persamaan beda … … … … … 2 hingga mundur. Jika menggunakan notasi beda hingga dengan 𝑢 𝑥 = 𝑖ℎ , persamaan (2.50) menjadi : 2

𝑑𝑢 𝑢𝑖 − 𝑢𝑖−1 = ∆ℎ 𝑑𝑡

Metode yang dilakukan dalam pengerjaan Tugas Akhir ini diurutkan dalam beberapa langkah, yaitu: 3.1 Studi Literatur Dalam tahap ini dilakukan analisa permasalahan yang akan dibahas, yaitu persamaan panas balik (backward heat equation). Selain itu, dalam tahap ini juga dipelajari mengenai teori-teori terkait yang akan digunakan dalam pembahasan pada tahap berikutnya. 3.2 Mencari penyelesaian dari persamaan panas balik (backward heat equation) menggunakan metode Beda (2.52) Hingga Maju Tahap ini meliputi pencarian penyelesaian numerik dari persamaan panas balik (backward heat equation) dengan menggunakan metode Beda hingga Maju.

3. Beda Hingga Pusat Jika persamaan (2.47) dikurangi dengan persamaan (2.48), maka didapatkan : 𝑑𝑢 𝑢 𝑥 + ℎ − 𝑢 𝑥 − ℎ = 2ℎ 𝑑𝑥 + ⋯ (2.51) 𝑑𝑢 𝑢 𝑥 + ℎ − 𝑢 𝑥 − ℎ = 2ℎ +⋯ 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑢 𝑥 + ℎ − 𝑢 𝑥 − ℎ = + 𝑂 ℎ2 𝑑𝑥 2ℎ Persamaan (2.52) disebut persamaan beda hingga tengah untuk turunan parsial pertama.Jika menggunakan notasi beda hingga dengan 𝑢 𝑥 = 𝑖ℎ , maka persamaan (2.52) menjadi: 𝑑𝑢 𝑢𝑖+1 − 𝑢𝑖−1 = 2∆ℎ 𝑑𝑥 Jika persamaan(2.47) ditambahkan dengan persamaan (2.48) maka didapatkan:

3.3 Melakukan simulasi dengan Matlab Setelah dilakukan pendiskritisasian, pada tahap ini dilakukan simulasi dengan menggunakan software MATLAB sehingga dapat menampilkan hasil iterasi pada persamaan panas balik (backward heat equation) tersebut.

𝑢 𝑥 + ℎ + 𝑢 𝑥 − ℎ = 2𝑢 𝑥 + 𝑑2 𝑢

ℎ2 𝑑 𝑥 2 + ⋯(2.53) 𝑢 𝑥 + ℎ − 2𝑢 𝑥 + 𝑢 𝑥 − ℎ 𝑑2 𝑢 2 =ℎ +⋯ 𝑑𝑥 2 2 𝑢 𝑥+ℎ −2𝑢 𝑥 +𝑢 𝑥−ℎ 𝑑 𝑢 ≈ 𝑑 𝑥 2 (2.54) ℎ2

3.4

Analisa hasil simulasi Pada tahap ini dilakukan analisa dari hasil simulasi yang telah diperoleh dari tahap sebelumnya. Dimana yang dianalisa adalah proses penyelesaian persamaan panas balik tersebut.

Persamaan (2.54) disebut persamaan beda hingga tengah untuk turunan parsial kedua. Jika menggunakan notasi beda hingga dengan 𝑢 𝑥 = 𝑖ℎ , maka persamaan (2.54) menjadi : 𝑑2𝑢 𝑑𝑥2

=

3.5

Kesimpulan dan Saran Pada tahap akhir ini dilakukan penarikan kesimpulan dari hasil pembahasan sebelumnya. Selanjutnya diberikan saran untuk perbaikan pada penelitian selanjutnya.

𝑢 𝑖+1 −2𝑢 𝑖 +𝑢 𝑖−1 ∆ℎ 2

Diantara beberapa skema metode beda hingga, digunakan metode beda 𝑑𝑢 hingga maju untuk pendiskritan 𝑑𝑥 dan metode beda hingga pusat untuk

IV.

𝑑2 𝑢

Bab ini menjelaskan bagaimana mengimplementasikan metode Beda Hingga Maju dalam menyelesaikan

pendiskritan𝑑 𝑥 2 .[7] III.

Perhitungan dan Pembahasan

Metodologi Penelitian 3

persamaan panas balik (backward heat equation). Model dari persamaan backward ini akan didiskritisasi, sampai akhirnya diperoleh sebuah matriks, selanjutnya akan dijalankan dengan program matlab.

Studi Kasus : 1 Misal : 𝑘 = 100 1 ℎ= 10 𝜈 = 10 1 𝑘𝜈 100 . 10 𝑟= 2= = 10 1 ℎ 100

Diskritisasi Model : 𝑢𝑡 − 𝑣𝑢𝑥𝑥 = 0, 𝑥 ∈ Ω, 𝑡 ∈ 0, 𝑇 𝑢𝑥

𝜕Ω 𝑢 𝑥, 0 = 𝑢0 𝑥 , 𝑥 ∈ Ω

… … … … … 2 Pada saat 𝑥 = 0, maka : 𝑗 +1 𝑗 𝑗 𝑗 𝑈0 = 𝑟𝑈−1 + 1 − 2𝑟 𝑈0 + 𝑟𝑈1

𝑈𝑡 − 𝜈𝑈𝑥𝑥 = 0 , 𝑥 𝜖 0,1 , 𝑡 > 0 𝑈𝑡 = 𝜈𝑈𝑥𝑥

Kondisi batas pada 𝑥 = 0 yaitu : 𝑗 𝑗 𝑈1 − 𝑈−1 =0 2h 𝑗 𝑗 𝑈1 = 𝑈−1 Maka menjadi : 𝑗 +1 𝑗 𝑗 𝑈0 = 2𝑟𝑈1 + 1 − 2𝑟 𝑈0 Pada saat 𝑥 = 1, maka : 𝑗 +1 𝑗 𝑗 𝑗 𝑈10 = 𝑟𝑈9 + 1 − 2𝑟 𝑈10 + 𝑟𝑈11

Syarat awal : 𝑈𝑥 0, 𝑡 = 0, 𝑡 > 0 𝑈𝑥 1, 𝑡 = 0, 𝑡 > 0 Syarat batas : 𝑈 𝑥, 0 = 𝑥 1 − 𝑥 ; 𝑥 𝜖 0,1 𝑈𝑡 − 𝜈𝑈𝑥𝑥 = 0, 𝑥𝜖 0,1 , 𝑡 > 0 𝑈𝑡 = 𝜈𝑈𝑥𝑥 𝜕𝑈 𝜕2𝑈 = 𝜈 2 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝑗 +1

𝑈𝑖

𝑗

𝑈

−𝑈𝑖

𝑗

𝑗

−2𝑈 +𝑈

Kondisi batas pada 𝑥 = 1 yaitu : 𝑗 𝑗 𝑈11 − 𝑈9 =0 2h 𝑗 𝑗 𝑈11 = 𝑈9 Maka menjadi : 𝑗 +1 𝑗 𝑗 𝑈10 = 2𝑟𝑈9 + 1 − 2𝑟 𝑈10 Karena batas dari x adalah (0,1), maka nilai x terdiri atas : 0 ; 0,1 ; 0,2 ; 0,3 ; 0,4 ; 0,5 ; 0,6 ; 0,7 ; 0,8 ; 0,9 ; 1. Syarat batas : 𝑈 𝑥, 0 = 𝑥 1 − 𝑥 𝑈𝑖0 = 𝑥𝑖 1 − 𝑥𝑖 Untuk 𝑥 = 0 → 𝑖 = 0 → 𝑈00 = 0 1−0 = 0 𝑥 = 0,1 → 𝑖 = 1 → 𝑈10 = 0,1 1 − 0,1 = 0,09 𝑥 = 0,2 → 𝑖 = 2 → 𝑈20 = 0,2 1 − 0,2 = 0,16 𝑥 = 0,3 → 𝑖 = 3 → 𝑈30 = 0,3 1 − 0,3 = 0,21 𝑥 = 0,4 → 𝑖 = 4 → 𝑈40 = 0,4 1 − 0,4 = 0,24

𝑗

= 𝜈 𝑖+1 ℎ 2𝑖 𝑖−1 𝑘 dengan : 𝑥𝑖 = 𝑖ℎ , 𝑖 = 0,1,2, … , 𝑛 𝑡𝑗 = 𝑗𝑘 𝑗 +1

𝑈𝑖

, 𝑗 = 0,1,2, … , 𝑚 𝑘𝜈 𝑗 𝑗 𝑗 = 2 𝑈𝑖+1 − 2𝑈𝑖 + 𝑈𝑖 −1 ℎ 𝑗

, 𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙 𝑟 =

+ 𝑈𝑖 𝑗 +1

𝑗

𝑗

𝑗

𝑘𝜈 ℎ2 𝑗

𝑈𝑖 = 𝑟𝑈𝑖+1 − 2𝑟𝑈𝑖 + 𝑟𝑈𝑖−1 + 𝑈𝑖 𝑗 +1 𝑗 𝑗 𝑗 𝑈𝑖 = 𝑟𝑈𝑖−1 + 1 − 2𝑟 𝑈𝑖 + 𝑟𝑈𝑖+1 Syarat awal :  𝑈𝑥 0, 𝑡 = 0, 𝑡 > 0 𝑗



𝑗

𝜕𝑈 𝑈 − 𝑈𝑖−1 = 𝑖+1 =0 𝜕𝑥 2h 𝑗 𝑗 𝑈𝑖+1 = 𝑈𝑖 −1 𝑗 𝑗 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 = 0 → 𝑈1 = 𝑈−1 𝑈𝑥 1, 𝑡 = 0, 𝑡 > 0 𝑗

𝑗

𝑈𝑖+1 = 𝑈𝑖 −1 4

𝑥 = 0,5 → 𝑖 = 5 → 𝑈50 = 0,5 1 − 0,5 = 0,25 𝑥 = 0,6 → 𝑖 = 6 → 𝑈60 = 0,6 1 − 0,6 = 0,24 𝑥 = 0,7 → 𝑖 = 7 → 𝑈70 = 0,7 1 − 0,7 = 0,21 𝑥 = 0,8 → 𝑖 = 8 → 𝑈80 = 0,8 1 − 0,8 = 0,16 𝑥 = 0,9 → 𝑖 = 9 → 𝑈90 = 0,9 1 − 0,9 = 0,09 0 = 𝑥 = 1 → 𝑖 = 10 → 𝑈10 1 1−1 = 0 𝑗 +1 𝑗 𝑗 𝑗 𝑈𝑖 = 𝑟𝑈𝑖−1 + 1 − 2𝑟 𝑈𝑖 + 𝑟𝑈𝑖+1 dan nilai r = 10 𝑗 +1 𝑗 𝑗 𝑖 = 0 ⟹ 𝑈0 = 2𝑟𝑈1 + 1 − 2𝑟 𝑈0 𝑗 𝑗 = 20𝑈1 + (−19)𝑈0 𝑖=1⟹ 𝑗 +1 𝑗 𝑗 𝑗 𝑈1 = 𝑟𝑈0 + 1 − 2𝑟 𝑈1 + 𝑟𝑈2 𝑗 𝑗 = 10𝑈0 + −19 𝑈1 𝑗 + 10𝑈2 𝑖=2⟹ 𝑗 +1 𝑗 𝑗 𝑗 𝑈2 = 𝑟𝑈1 + 1 − 2𝑟 𝑈2 + 𝑟𝑈3 = 𝑗 𝑗 𝑗 10𝑈1 + −19 𝑈2 + 10𝑈3 𝑖=3⟹ 𝑗 +1 𝑗 𝑗 𝑗 𝑈3 = 𝑟𝑈2 + 1 − 2𝑟 𝑈3 + 𝑟𝑈4 𝑗 𝑗 = 10𝑈2 + −19 𝑈3 𝑗 + 10𝑈4 𝑖=4⟹ 𝑗 +1 𝑗 𝑗 𝑗 𝑈4 = 𝑟𝑈3 + 1 − 2𝑟 𝑈4 + 𝑟𝑈5 𝑗 𝑗 = 10𝑈3 + −19 𝑈4 𝑗 + 10𝑈5 𝑖=5⟹ 𝑗 +1 𝑗 𝑗 𝑗 𝑈5 = 𝑟𝑈4 + 1 − 2𝑟 𝑈5 + 𝑟𝑈6 𝑗 𝑗 = 10𝑈4 + −19 𝑈5 𝑗 + 10𝑈6 𝑖=6⟹ 𝑗 +1 𝑗 𝑗 𝑗 𝑈6 = 𝑟𝑈5 + 1 − 2𝑟 𝑈6 + 𝑟𝑈7 𝑗 𝑗 = 10𝑈5 + −19 𝑈6 𝑗 + 10𝑈7 𝑖=7⟹ 𝑗 +1 𝑗 𝑗 𝑗 𝑈7 = 𝑟𝑈6 + 1 − 2𝑟 𝑈7 + 𝑟𝑈8 𝑗 𝑗 = 10𝑈6 + −19 𝑈7 𝑗 + 10𝑈8 𝑖=8⟹

𝑗 +1

𝑈8

𝑗

𝑗

𝑗

= 𝑟𝑈7 + 1 − 2𝑟 𝑈8 + 𝑟𝑈9 𝑗 𝑗 = 10𝑈7 + −19 𝑈8 𝑗 + 10𝑈9 𝑖=9⟹ 𝑗 +1 𝑗 𝑗 𝑗 𝑈9 = 𝑟𝑈8 + 1 − 2𝑟 𝑈9 + 𝑟𝑈10 𝑗 𝑗 = 10𝑈8 + −19 𝑈9 𝑗 + 10𝑈10 𝑖 = 10 ⟹ 𝑗 +1 𝑗 𝑗 𝑈10 = 2𝑟𝑈9 + 1 − 2𝑟 𝑈10 𝑗 𝑗 = 20𝑈9 + −19 𝑈10 Maka matriks yang bisa dibentuk yaitu sebagai berikut : 𝑢0 𝑗+1 𝑢1 𝑢2 𝑢3 𝑢4 𝑢5 = 𝑢6 𝑢7 𝑢8 𝑢9 𝑢10 −19 20 10 −19 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝑢0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 𝑢1 −19 10 0 0 0 0 0 0 0 𝑢2 10 −19 10 0 0 0 0 0 0 𝑢3 0 10 −19 10 0 0 0 0 0 𝑢4 0 0 10 −19 10 0 0 0 0 𝑢5 0 0 0 10 −19 10 0 0 0 𝑢6 0 0 0 0 10 −19 10 0 0 𝑢7 0 0 0 0 0 10 −19 10 0 𝑢8 0 0 0 0 0 0 10 −19 10 𝑢9 0 0 0 0 0 0 0 20 −19 𝑢10

M-file dari penyelesaian persamaan panas balik tersebut adalah sebagai berikut : clear all; clc; %make an matrix N=input('iterasi yang diinginkan'); M=11; A=zeros(M); x=[0:0.1:1]; i=0;j=0; while i+2<=M&&j+2<=M i=i+1; j=j+1; if i==1 A(i,j+1)=20; else if j==9 A(i+1,j)=20; else

5

𝑗

A(i+1,j)=10; A(i,j+1)=10;

[2].

end end end i=i-i;j=j-j; while i+1<=M&&j+1<=M i=i+1;j=j+1; A(i,j)=-19; end v0=randn(M,1); for i=1:M u0(i)=x(i)*(1-x(i)); end a=[0:1:N]; for j=1:N u1(j,:)=(A*u0')'; u0=u1(j,:); end plot(a,u1(1,:),'*-') plot(a,u1(2,:),'*-') plot(a,u1(3,:),'*-') plot(a,u1(4,:),'*-') plot(a,u1(5,:),'*-') plot(a,u1(6,:),'*-') plot(a,u1(7,:),'*-') plot(a,u1(8,:),'*-') plot(a,u1(9,:),'*-') plot(a,u1(10,:),'*-')

[3].

[4]. [5].

[6].

[7].

[8].

V. Kesimpulan dan Saran 1. Persamaan panas balik tersebut bisa diselesaikan dengan menggunakan salah satu metode numerik yaitu metode Beda Hingga Maju, hal ini karena waktu yang dihitung adalah waktu yang berjalan ke depan, oleh sebab itu digunakan metode Beda Hingga Maju. 2. Dari pendiskritisasian dengan metode Beda Hingga Maju, telah dihasilkan sebuah matriks. 3. Matriks yang dihasilkan akan disimulasikan dengan menggunakan program Matlab. 4. Hasil simulasi berupa grafik-grafik yang bentuknya berubah-ubah menurut iterasi yang dimasukkan.

VI. [1].

Daftar Pustaka Boulton, Lyonelle,et al. 2011. On the Stability of Forward-Backward Heat Equation. Heriot-Watt University Press. United Kingdom.

6

Hetrick, Beth MC, et al. 2008. Regularization of Backward Heat Equation Via Heatlets. Electronics Journal of Differential Equation. Vil 2008 (2008). Pp. 1-8. Jonathan Goodman, et al. 2010. The Backward Equation. Mathematics in Finance Program. Courant Institute of Mathematical Sciences, NYU. Luknanto, Djoko. 2011. Metode Numerik. UGM. Ternat, Fabien, et al. 2011. Two Stable Methods with Numerical Experiments for Solving the Backward Heat Equation. Elsevier BV. Smith, G.D. 1985. Numerical Solution of Partial Differential Equations : Finite Difference Methods. Oxford Applied Mathematics and Computing Science Series. Sofiyanti, W. 2010. Deteksi Gangguan Konduksi Panas pada Batang Logam Menggunakan Metode Ensemble Kalman Filter. Tugas Akhir. Surabaya. Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Xiao-liang, Cheng, et al. 2010. Iterative Methods for a ForwardBackward Heat Equation in Two Dimension. Applied Mathematic J. Chinese Univ. Vol 25, No. 1.