PENGUJIAN HIPOTESIS Tujuan Instruksional Umum : 1. Mahasiswa mampu memahami apa yang dimaksud dengan Hipotesis atau dugaan sementara 2. Mahasiswa mampu memahami berbagai pengujian hipotesis 3. Mahasiswa mampu memahami pengujian hipotesis untuk sample besar dan sample kecil
Tujuan Instruksional Khusus : 1. Mahasiswa mampu untuk membuat hipotesis nol dan hipotesis alternative baik untuk satu arah maupun untuk dua arah 2. Mahasiswa mampu menghitung pengujian hipotesis untuk satu rata-rata dan dua rata-rata untuk data dengan sample besar dan kecil 3. Mahasiswa mampu menghitung pengujian hipotesis untuk satu proporsi, dua proporsi dan lebih dari tiga proporsi untuk data dengan sample besar dan kecil
Pertemuan minggu ke 1 dan 2.
BAB 1 : PENGUJIAN HIPOTESIS
A. Pendahuluan Hipotesis pada dasarnya merupakan suatu proposisi atau anggapan yang mungkin benar dan sering digunakan sebagai dasar pembuatan keputusan atau pemecahan persoalan untuk dasar penelitian lebih lanjut.
B. Jenis Kesalahan (Type of Error) Ada dua jenis kesalahan yang bias terjadi di dalam pengujian hipotesis. Kesalahan bisa terjadi karena kita menolak hipotesis nol padahal hipotesis nol itu benar atau menerima hipotesis nol padahal hipotesis nol itu salah. Kesalahan yang disebabkan karena kita menolak hipotesis nol padahal hipotesis nol itu benar disebut kesalahan jenis pertama atau type 1 error. Sebaliknya kesalahan yang disebabkan karena kita menerima hipotesis nol padahal hipotesis itu salah disebut kesalahan jenis 2 atau type 2 error.
Situasi Keputusan
Ho Benar
Ho Salah
Terima Ho
Keputusan tepat (1 – α)
Kesalahan jenis 2 (β)
Tolak Ho
Kesalahan jenis 1 (α)
Keputusan tepat (1 – β)
C. Perumusan Hipotesis Hipotesis yang berupa anggapan/pendapat dapat didasarkan atas : a) Teori b) Pengalaman c) Ketajaman berpikir. Orang yang cerdas sering mempunyai pendapat tentang pemecahan suatu persoalan
Hipotesis dinyatakan dalam Ho dan Ha atau H1 sebagai alternatifnya. Ho selalu dinyatakan dalam bentuk : Ho ; d = 0
dan hipotesis alternatif mempunyai bentuk a) H1 ; d < 0 b) H1 ; d > 0 c) H1 ; d ≠ 0 (a)dan (b) disebut pengujian satu arah (one tail) dan (c) disebut pengujian dua arah (two tail test). Gambar pengujian dua arah :
The Standard Normal Distribution 0 .8 0 .7
.475
0 .6 0 .5 0 .4 0 .3 .025
0 .2
.025
0 .1 0 .0 -1.96
Daerah tolak Ho
z
1.96
Daerah penerimaan Ho
Daerah tolak Ho
Daerah kritis untuk pengujian satu arah 0 .4
0 .3
f(z )
0 .2
0 .1
0 .0 -5
0
z
5
2.32 6
Daerah Penerimaan Ho
Daerah penolakan Ho
Daerah kritis pengujian satu arah 0.4
0.95
0.3
f(z )
0.2
0.1
0.0 -5
0
5
z
1.645
Daerah Penolakan Ho
Daerah Penerimaan Ho
D. Pengujian Hipotesis Tentang Rata-rata 1. Pengujian Hipotesis Satu Rata-rata Urutan yang perlu diperhatikan dalam pengujian hipotesis tentang satu rata-
rata
adalah sebagai berikut : i.
Rumuskan hipotesis H0 : μ = μ0 H1 : μ < μ0 atau μ > µ0 atau μ ≠ µ0
ii.
Tentukan nilai α = tingkat nyata (significan level) = probabilitas untuk melakukan kesalahan jenis I dan cari nilai Zα atau Zα/2 dari Tabel Normal
iii.
Hitung Z0 sebagai kriteria pengujian, rumus
Z0
X
0
untuk n ≥30
n Jika n < 30 maka Z0, Zα atau Zα/2 diganti dengan t0, tα atau tα/2. Dengan rumus to adalah :
t0
X
0
s n
Dengan derajat kebebasan n – 1.
iv.
Pengujian hipotesis dan pengambilan kesimpulan 1. H0 : μ = μ0 apabila Z0 > Zα, Ho ditolak H1 : μ > μ0 apabila Z0 ≤ Zα, Ho diterima 2. H0 : μ = μ0 apabila Z0 < - Zα, Ho ditolak H1 : μ < μ0 apabila Z0 ≥ - Zα, Ho diterima 3. H0 : μ = μ0 apabila Z0 > Zα/2 atau Z0 < -Zα/2, Ho ditolak H1 : μ ≠ μ0 apabila -Zα/2 ≤ Z0 ≤ Zα/2, Ho diterima
Contoh 1: Sebuah perusahaan alat olah raga mengembangkan jenis batang pancing sintetik, yang dikatakan mempunyai kekuatan dengan rata-rata 8 kg dan simpangan baku 0,5 kg. Ujilah hipotesa yang menyatakan bahwa rata-rata kekuatan batang pancing adalah 8 kg dengan alternative lebih besar dari 8 kg bila suatu sample 50 batang pancing itu setelah dites memberikan kekuatan rata-rata 8,4 kg. Gunakan α = 5%. Jawab : H0 : μ = 8 kg H1 : μ > 8 kg α = 5%, Zα = 1,64 dari tabel normal
Z0
X
0
=
(8,4 8) 50 0,5
5,6
n
α = 5%
Z = 1,64
Z0 = 5,6
Oleh karena Z0 > Zα, maka H0 ditolak, yang berarti bahwa rata-rata kekuatan batang pancing adalah lebih dari 8 kg.
Contoh 2: Waktu rata-rata yang diperlukan permahasiswa untuk mendaftar ulang pada semester ganjil di suatu perguruan tinggi adalah 20 menit dengan simpangan baku 5 menit. Suatu prosedur pendaftaran baru yang menggunakan mesin antrian sedang dicoba. Bila sample 12 mahasiswa memerlukan waktu pendaftaran rata-rata 8 menit dengan simpangan baku 3,2 menit dengan system baru tersebut, ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa rata-ratanya sekarang tidak sama dengan 20 menit. Gunakan α = 5%. Jawab : n = 12, x = 8 menit, s =3,2 menit, µo = 20 menit H0 : μ = 20 menit H1 : μ ≠ 20 menit
t0
X
0
s n
=
8 20 3,2
12,9
12
α = 0,05 dan derajat kebebasan = n – 1 = 12 – 1 = 11 t α/2(n -1) = t 0,025(11) = 2,2010 dan - t 0,025(11) = - 2,2010 Daerah Kritis :
- 2,2010
2,2010
Kesimpulan : Karena t0 = - 12,9 < -tα/2 - -2,2010 maka H0 ditolak. Berarti bahwa rata-rata lamanya pendaftaran studi dengan menggunakan mesin antrian tidak sama dengan 20 menit, bahkan hanya membutuhkan waktu 8 menit, jadi sebaiknya diberlakukan system pendaftaran yang baru dengan mesin antrian.
2. Pengujian Hipotesis Dua Rata – rata. Dalam praktek, seringkali ingin diketahui apakah ada perbedaan yang berarti dari dua rata-rata populasi. Misalnya a.
Kecepatan dalam mengerjakan suatu pekerjaan antara pekerja pria dan wanita
b.
Kekuatan dua jenis besi berani
c.
Lamanya menyala bola lampu merek A dan B
Perumusan Hipotesisnya adalah sebagai berikut : H0 : μ1 – μ2 = 0 atau μ1 = μ2 (Tidak ada perbedaan, atau sama) (1) Ha : μ1 – μ2 > 0 (ada perbedaan μ1 > μ2 ) (2) Ha : μ1 – μ2 < 0 (ada perbedaan μ1 < μ2 ) (3) Ha : μ1 – μ2 ≠ 0 (μ1 berbeda dengan μ2 ) a). Bila n > 30 (sample besar) Z0 =
X1
2
X2
=
X1 X 2
X1 X 2 2 1
dan
2 2
2
1
2
n1 2
tidak diketahui dapat diestimasi dengan s1 dan s 2
n2
jika
2
b). Bila n ≤ 30 (sample kecil)
X1 t0 =
(n1 1) s1
2
X2 (n2 1) s 2
2
n1n2 (n1 n2 2) n1 n2
t0 mempunyai distribusi t dengan derajat kebebasan sebesar n1 + n2 -2. Contoh : Seorang pemilik toko yang menjual 2 macam bola lampu merek A dan B, berpendapat bahwa tak ada perbedaan rata-rata lamanya menyala bola lampu kedua merek tersebut dengan alternative ada perbedaan. Untuk menguji pendapatnya dilakukan percobaan dengan menyalakan 100 buah bola lampu merek A dan 50 buah bola lampu merek B, sebagai sample acak. Ternyata bola lampu merek A dapat menyala rata-rata selama 952 jam, sedangkan merek B 987 jam, masing-masing dengan simpangan baku sebesar 85 jam dan 92 jam. Dengan menggunakan α = 5%, ujilah pendapat tersebut.
Jawab : H0 : μ1 – μ2 = 0 Ha : μ1 – μ2 ≠ 0 n1 = 100, X 1 = 952, σ1 = 85 n2 = 50, X 2 = 987, σ2 = 92 n2 = 50, X 2 = 987, σ2 = 92 Z0 =
X1
X2
2
σ1 n1
2
952 987
=
852 100
2
n2
2,25
92 2 50
Untuk α = 5%, Z α/2 = 1,96
-Zα/2 = -1,96
Zα/2 = 1,96
Kesimpulan : Karena Z0 = -2,25 < -Zα/2 = - 1,96 maka H0 ditolak. Berarti rata-rata lamanya menyala bola lampu dari kedua merek tersebut tidak sama.
3. Pengujian Hipotesis Rata-rata, Variance Tidak Diketahui a. Uji beda rata-rata sampel besar (n >30). (( 1 Digunakan rumus: Z
(X1 X 2 ) ( 2 1
s n1
s2= Varian sample
1 2 2
s n2
2
)
2 tidak diketahui)
Kasus: “Pendapatan sebelum dan sesudah promosi sama?? Anda disuruh untuk menguji pernyataan tersebut, pada
= 5 %, kemudian anda
mengamati selama 36 hari sebelum ada promosi, dengan rata-rata penjualan Rp. 13,17 dan standar deviasi Rp. 2,09. Setelah ada promosi: Rata-rata pendapatan Rp 7,55 dan St.deviasi Rp. 1,09. Langkah Pengujian hipotesa: 1. Merumuskan hipotesa: Ho =
1- 2=0
Ha =
1- 2
0
2. Menentukan taraf nyata ( 5%). Nilai kritis Z /2 = Z0,025 =1,96 Lihat tabel luas wilayah kurva normal.
-Zα/2 = -1,96
Zα/2 = 1,96
3. Alat Uji Z
(X1 X 2 ) ( 2 1
s n1
4. Kriteria Lihat kurva diatas.
1 2 2
s n2
2
)
= 13,95
Tolak Ho
Tolak Ho
Z -1,96 5. Keputusan
1,96
Tolak Ho, artinya tidak cukup bukti untuk mendukung pernyataan diatas, yang mengatakan, bahwa rata-rata pendapatan perusahaan sebelum dan sesudah promosi sama b. Uji beda rata-rata sampel kecil (n <30). ( 1
2 tidak diketahui)
Digunakan rumus:
thit
(X1 X 2 ) (
1
2
)
(n1 1)S12 (n 2 1)S22 1 ( n1 n 2 ) 2 n1
1 n2
Ujilah pernyataan: Obat “X” dan obat “Y” memiliki efek yang sama penurunan berat badan? Obat “X” Ana
5.5
Ani
6.0
Anu
4.0
Ano
4.0
Ane
4.5
Bada
5.0
Badi
5.0
Badu
5.5
Bado
5.5
terhadap
Bade
Obat “Y”
5.0 DONA
5.0
DONI
5.5
DONU
5.0
DONO
4.0
DONE
3.5
TOGA
3.0
TOGI
3.5
TOGU
4.0
TOGO
4.0
TOGE
3.5
Langkah-langkah pengujian hipothesis 1. Rumuskan Hipothesis: Ho = 0 : Obat “X” dan “Y” memiliki efek yang sama terhadap penurunan berat badan. Ha
0: Obat “X” dan “Y” memiliki efek
yang TIDAK sama
penurunan berat badan.
2. Menentukan Taraf nyata ( ) = 5 % 3. Memilih Statistik Uji yang sesuai
thit
(X1 X 2 ) (
1
2
)
(n1 1)S12 (n 2 1)S22 1 ( n1 n 2 ) 2 n1
1 n2
Mencari T hitung
thit
(5 4,1) (0) 1 (10 1)(0,67) 2 (10 1)(0,81) 2 1 (10 10) 2 10 10
2,714
dimana derajat bebas db= (n1 +n2) - 2 , Sebesar 2,1009
terhadap
3.
Menentukan kriteria keputusan
Tolak Ho
- t /2= - 2,1
t /2= 2,1
t hit= 2,714
5. Keputusan Tolak Ho, sehingga pernyataan kedua jenis obat tersebut memberi efek penurunan berat badan yang sama tidak dapat diterima.
4. Pengujian Hipotesis Rata-rata Data Berpasangan Data berpasangan adalah data yang memiliki dua perlakuan berbeda pada objek atau sampel yang sama Misalnya. Pengaruh Produktivitas sebelum dan sesudah pelatihan bagi Badu. Jadi disini ada dua perlakuan, pada sampel yang sama. Data seperti ini disebut data tidak bebas atau nonindependent.
Alat Uji Statistik d
t hit
sd / n
Dengan standar deviasi, d2 Sd
( d )2 n n 1
Dimana, t
: Nilai distribusi t : Nilai rata-rata perbedaan antara pengamatan berpasangan
Sd : Standar deviasi dari perbedaan antara pengamatan berpasangan n
: Jumlah pengamatan berpasangan
d
: Perbedaan antara data berpasangan
Kasus. Bagaimana dampak Bom di Indonesia terhadap harga saham? Prsh
Harga Sebelum bom
Hrg. sesudah Bom
A
9
5
B
5
5
C
7
6
D
6
4
E
8
6
F
7
4
G
4
2
H
4
1
I
3
3
J
7
6
Penyelesaian: 1. Perumusan Hipotesa Ho : d = 0 Ha : d
0
2.Menentukan taraf nyata 5 %. Nilai t-Student dengan taraf nyata % % uji satu arah dengan derajat bebas(db) n-1 = 9 adalah 2,262 3. Melakukan Uji statistik (d ) 2 d n n 1 2
Sd
Sebelum
Sesudah
d
d2
9
5
-4
16
5
5
0
0
7
6
-1
1
6
4
-2
4
8
6
-2
4
7
4
-3
9
4
2
-2
4
4
1
-3
9
3
3
0
0
7
6
-1
1
Sd
48 ( 18) 2 / 10 10 1
( d )2 d n n 1 2
Sd
t hit
→
d
→
sd / n
t hit
1,8 1,32 / 10
Kriteria Keputusan
Tolak Ho
- 0,432
1,833
1,32
0,432
Keputusan Tolak Ho ( d = 0) berati terima Ha ( d
0) Berarti harga saham sebelum dan
sesudah ada bom tidak sama.
5. Pengujian Hipotesis untuk Proporsi a. Pengujian Hipotesis untuk Satu Proporsi Dalam praktek, yang harus diuji seringkali berupa pendapat tentang proporsi (persentase). Misalnya persentase barang yang rusak = 10%, nasabah yang tidak puas = 25%, penduduk suatu daerah yang buta huruf = 15%, dan lain sebagainya. Pengujian hipotesis dinyatakan dalam proporsi. Perumusan hipotesis sebagai berikut : H0 : p = p0 H1 : p > p0, atau p < p0, atau p ≠ p0 Cara pengujiannya sama dengan pengujian rata-rata.
Z0 =
X
npO
np0 (1 p 0 )
X p0 n p 0 (1 p 0 ) n
Dimana : n = banyaknya elemen sample X = banyaknya elemen sample dengan karakteristik tertentu P0 = proporsi hipotesis. Contoh soal : Seorang pemborong menyatakan bahwa di 70% rumah-rumah yang baru dibangun di kota Yogyakarta dipasang suatu alat pendeteksi gempa bumi. Apakah anda setuju dengan pernyataan tersebut bila diantara 15 rumah baru yang diambil sebagai sample secara acak ternyata terdapat 8 rumah yang menggunakan alat pendeteksi gempa bumi tersebut. Gunakan taraf nyata 0,10. Jawab : X = rumah yang menggunakan alat pendeteksi gempa bumi = 8 n = 15 H0 : p0 = 0,7
H1 : p0 ≠ 0,7 α = 0,10, maka Zα/2 = Z0,05 = 1,645
Z0 =
X p0 n p0 (1 p 0 ) n
8 0,7 15 0,7(1 0,7) 15
0,16 1,18
0,13
Daerah kritis :
-1, -1,645 -0,13
1,645
Kesimpulan : Karena Z0 terletak antara –Zα/2 dan Z α/2 maka terima H0, yang berarti bahwa tidak ada alasan yang kuat untuk meragukan pernyataan pemborong di atas.
b. Pengujian Hipotesis untuk Dua Proporsi Untuk menguji proporsi dari dua populasi digunakan suatu pengujian hipotesis yang menggunakan perumusan hipotesis sebagai berikut : H0 : p1 - p2 = 0 atau p1 = p2 dengan H1 : p1 - p2 > 0 atau p1 > p2 p1 - p2 < 0 atau p1 < p2 p1 - p2 ≠ 0 atau p1 ≠ p2
Dengan rumus untuk
( Z0 =
(
X1 n1
X1 n1
X2 ) n2
X2 X1 )(1 n2 n1
X2 1 )( n 2 n1
1 ) n2
Contoh : Sebuah pabrik rokok memproduksi dua merek rokok yang berbeda. Ternyata 56 orang diantara 200 perokok menyukai merek A dan 29 diantara 150 perokok menyukai merk B. Dapatkah kita menyimpulkan pada taraf nyata 0,06 bahwa merek A terjual lebih banyak daripada merek B? Jawab : p1 =
x1 n1
x 56 ; p2 = 2 200 n2
29 150
H0 : p1 – p2 = 0 atau p1 = p2 H1 : p1 – p2 > 0 atau p1 > p2 α = 0,06, Zα = 1,55
( Z0 =
(
X1 n1
X1 n1
X2 X1 )(1 n2 n1
X2 1 )( n 2 n1
1 ) n2
56 29 ) 200 150 56 29 56 29 1 1 ( )(1 )( ) 200 150 200 150 200 150 (
Z0 =
X2 ) n2
Daerah kritis
0,086 0,00214
40,18
Z = 1,55
Z = 40,18
Kesimpulan : Karena Z0 = 40,18 > Zα = 1,55 maka tolak H0. Yang berarti proporsi penjualan rokok merek A lebih banyak daripada penjualan rokok merek B.
ANALISIS VARIANS
Tujuan Instruksional Umum : 1.
Mahasiswa mampu memahami apa yang dimaksud dengan Analisis Varians
2.
Mahasiswa mampu memahami kegunaan Analisis Varians.
3.
Mahasiswa mampu memahami beberapa pengujian di dalam Analisis Varians
Tujuan Instruksional Khusus : 1. Mahasiswa mampu untuk menghitung Analisis Varians 2. Mahasiswa mampu menghitung Analisis Varians satu arah 3. Mahasiswa mampu menghitung pengujian untuk kesamaan beberapa ratarata dan varians
Pertemuan minggu ke 3. Distribusi F (Fisher) Rasio ragam dari dua populasi yang bersifat bebas, dapat diduga dari rasio varians sampel. Dan rasio ini akan memiliki bentuk sebaran (distrbusi). Sebaran ini disebut sebaran F (Fisher), dengan derajat bebas (db1)= n1 -1 dan db2 = (n2-1)
Sebaran F digunakan untuk menguji apakah dua atau lebih sampel berasal dari populasi yang memiliki varians yang sama?
Pada gambar di atas terlihat bahwa distribusi dengan derajat bebas pembilang 5 dan penyebut 5 yang ditulis df(5,5) mempunyai distribusi F yang berbeda dengan distribusi df(20,7) dan df(29,28). CIRI CIRI DISTRIBUSI F Distribusi F memiliki beberapa karakteristik, yaitu antara lain: 1. Distribusi F tidak pernah mempunyai nilai negatif sebagaimana pada distribusi Z. Distribusi Z mempunyai nilai positif di sisi kanan dan negatif sisi kiri nilai tengahnya. Distribusi F seluruhnya adalah positif atau menjulur ke positif (positively skewed) dan merupakan distribusi kontinu yang menempati seluruh titik di kurva distribusinya. 2. Nilai distribusi F mempunyai rentang dari tidak terhingga sampai 0. Apabila nilai F meningkat, maka distribusi F mendekati sumbu X, namun tidak pernah menyentuh sumbu X tersebut Distribusi F juga memerlukan syarat yaitu: (a) populasi yang diteliti mempunyai distribusi yang normal, (b) populasi mempunyai standar deviasi yang sama, dan (c) sampel yang ditarik dari populasi bersifat bebas serta diambil secara acak.
BAB 3: ANALYSIS OF VARIANCES (ANOVA)
A. Pendahuluan ANOVA
pada dasarnya merupakan suatu metode yang menguraikan sumber
keragaman (varian) dari suatu perbedaan
rata-rata lebih dari dua populasi. Dengan
mempergunakan metode analisa varians kita kan dapat mengambil suatu kesmpulan apakah sample tersebut berasal dari populasi yang memiliki nilai rata-rata yang sama atau tidak. Analisa Varian diperkenalkan oleh RA Fisher pada tahun 1920. oleh karena itu lebih sering dikenal dengan nama distribusi F atau F-test.
B. Perumusan Hipotesis (Contoh dengan 3 kelompok sample) :
H0 :
1
2
3
Ha :
1
2
3
C. Konsep Dasar Analisa Varian a. Varian antar sample (Among sample means) 2
Varian antar sample dinotasikan dengan S a . Varian antar sampel adalah varian diantara nilai rata-rata sampel 1, sampel 2, sampel 3 dan seterusnya, tergantung dari jumlah kelompok sampel yang diuji. Dimana : 2
Sa
x
2
x
n 1
b. Varian dalam sample (Within sample means) 2
Varian dalam sample dinotasikan dengan S w . Yaitu menghitung rata-rata dari setiap varian pada setiap kelompok sampel. Dimana : Sw
2
S1
2
S2
2
......... n
Sn
2
D. Pengujian Statistik F Statistik F merupakan rasio dari varians antar sampel sebagai penduga varians populasi yang pertama dengan varians dalam sampel. Dirumuskan :
F
nS a Sw
2
2
Sedangkan untuk F tabelnya adalah sebagai berikut : Df 1 = Derajat kebebasan pembilang (numerator) = (k - 1 ) Df 2 = Derajat kebebasan penybeut (denominator) = (n – k)
Contoh : Analisa Varian dengan Jumlah Sampel Sama Berikut ini adalah data dari produksi kaset yang mampu dihasilkan oleh 15 karyawan (dalam unit) dengan metode yang berbeda. Metode I
Metode II
Metode III
15
22
18
18
27
24
19
18
16
22
21
22
11
17
15
Hipotesis :
H0 :
1
2
3
Ha :
1
2
3
Terima H0 jika F Hitung < F Tabel Tolaj H0 jika F hitung > F tabel F Hitung : Metode I
Metode II
Metode III
15
22
18
18
27
24
19
18
16
22
21
22
x1
11
17
85
105 x2
17
15 95 x3
21
19
Langkah 1 : Menghitung rata-rata setiap kelompok sampel (lihat hasil pada tabel diatas)
Langkah 2 : Menghitung varians antar sampel 2
x
x
x x
x x
17
19
-2
4
21
19
2
4
19
19
0
0
8
Sa
8
2
(3 1)
4
Langkah 3 : Menghitung varians dalam sampel Metode I
Metode II
x 17 x
x
x
x2 x x
2
x
Metode III
x3
21
x
x
x x
2
x
19
x
x
x x
15
-2
4
22
1
1
18
-1
1
18
1
1
27
6
36
24
5
25
19
2
4
18
-3
9
16
-3
9
22
5
25
21
0
0
22
3
9
11
-6
36
17
-4
16
15
-4
16
70
62
2
60
S1
2
S2
2
S3
2
SW
2
70 5 1 62 5 1 60 5 1 17.5
17.5 15.5 15 15.5 15 3
48 16 3
Langkah 4 : Menghitung F hitung
F
nS a Sw
2
5 4 16
2
20 1,25 16
F Tabel ; Dengan taraf nyata 5%, derajat kebebasan pembilang = k – 1 = 3 – 1 = 2 dan dengan derajat kebebasan penyebut = n – k = 15 – 3 = 12 maka nila F tabel = 3,89
Kesimpulan : Karena nilai F hitung < F tabel atau 1,25 < 3,89 maka terima H0 atau tidak terdapat perbedaan produktifitas radio yang dihasilkan dengan 3 metode yang berbeda.
Contoh : Analisa Varian dengan Jumlah Sampel Tidak Sama Berikut ini adalah persentase absensi karyawan yang diambil dari lima perusahaan yang berbeda, dimana setiap perusahaan diambil jumlah sampel yang berbeda. Perusahaan
Persentasi Absensi
A
8
9
10
11
7
B
7
6
8
7
7
C
8
7
9
8
D
6
5
7
E
11
10
Jumlah anggota sampel 9
6 5 4 3 2
Hipotesis :
H0 :
1
2
3
4
5
Ha :
1
2
3
4
5
F Hitung Langkah 1 : Varians antar sampel 2
x
x (***)
x x
x x
9
8
1
1
7
8
-1
1
8
8
0
0
6
8
-2
4
10.5
8
2.5
6.25
12.25
Sa
2
12.25 5 1
3.06
karena jumlah anggota sampel setiap kelompok berbeda, maka perhitungan x menjadi : x
(9 6) (7 5) (8 4) (6 3) (10.5 2) 6 5 4 3 2
160 20
8
Langkah 2 : Menghitung varians dalam sampel Perusahaan A
x
Perusahaan B
Perusahaan C
Perusahaan D
Perusahaan E
x
9
x
7
x
8
x
6
x
10
n
6
n
5
n
4
n
3
n
2
x
x
x x
x
2
x
x
x x
2
x
x
x
x x
2
x
x
x
x x
2
x
x
x
x x
8
-1
1
7
0
0
8
0
0
6
0
0
11
1
1
9
0
0
6
-1
1
7
-1
1
5
-1
1
10
0
0
10
1
1
8
1
1
9
1
1
7
1
1
11
2
4
7
0
0
8
0
0
7
-2
4
7
0
0
9
0
0
2
10
2
Dengan hasil tabel diatas maka : S1
2
S2
2
S3
2
S4
2
S5
2
Sw
2
10 2 6 1 2 0.5 5 1 2 0.67 4 1 2 1 3 1 0.5 0. 5 2 1 2 0.5 0.67 1 0.5 5
4.67 5
Langkah 4 : Menghitung F Hitung
F
Sa
2
Sw
2
3,09 0.934
3.26
0.934
2
1
2
F Tabel Dengan taraf nyata 5%, derajat kebebasan pembilang = k – 1 = 5 – 1 = 4 dan dnegan derajat kebebasan penyebut = n – k = 20 – 5 = 14 maka nilai F tabel = 3.06
Kesimpulan Karena nilai F hitung > F tabel atau 3.26 > 3.06 maka tolak H0 atau terdapat perbedaan yang signifikan persentase absensi diantara ke lima perusahaan tersebut.
E. One Way-ANOVA Test Contoh : Misalkan ada sejumlah 5 Populasi yang bersifat independent dan memiliki sebaran normal, rata-rata dan varians. Kita ingin menguji apakah kelima populasi tersebut memiliki rata-rata yang sama? Kemudian kita ambil sampel dari kelima populasi tersebut.
Untuk mempermudah pengujian, digunakan tabel ANOVA berikut : Sumber variasi
Jumlah Kuadrat
Derajat Bebas
Kuadrat tengah
F hit
Antar kolom
JKK
K–1
A
A/B
Galat
JKG
N–k
B
Total
JKT
Dimana; JKK = Jumlah kuadrat Kolom JKG = Jumlah kuadrat Galat JKT = Jumlah kuadrat Total K = Jumlah perlakuan atau jumlah N = n1 + n2 + n3 . Dst A = JKK/K – 1 B = JKG/N – k
JKK, Jumlah kuadrat antar perlakuan atau antar kelompok sering disebut Sum of square treatment, adalah pangkat dua dari faktor pembeda.Dicari dengan rumus sbb:
JKK
Ti 2 n
T N
Ti = Total per kelompok T = T1+T2+T3 N = n1 + n2 + n3
JKG = JKT-JKK
JKT
X
2 i
{ T) 2 N
Kasus: Dari 5 tablet obat sakit kepala yang berbeda diberikan kepada 25 orang yang sakit kepala (pusing). Setelah beberapa jam, obat itu dapat mengurangi rasa sakit. Ke-25 orang tersebut dibagi secara acak kedalam 5 kelompok dan masing-masing diberi satu jenis obat. Berikut data lamanya minum obat tersebut dengan berkurangnya rasa sakit. Obat A
B
C
D
E
5
9
3
2
7
4
7
5
3
6
8
8
2
4
9
6
6
3
1
4
3
9
7
4
7
∑
26
39
20
14
33
132
Mean
5,2
7,8
4,0
2,8
6,6
5,28
Dengan menggunakan Anova dan taraf nyata 5 %, Ujilah pendapat yang mengatakan bahwa rata-rata kelima obat tersebut memberikan efek yang sama. Langkah langkah pengujian hipotesa adalah sbb: 1. Merumuskan hipotesa: Ho: 1= 2= 3= 4 Ha: 1
2
3
4
2. Menetukan Alpha, misal 5% 3. Tentukan wilaya kritik: f > f , dengan db1= k-1 dan db2 = k(n-1) = f0,05 ( 4:20)=2,87
JKT
X
52
JKT
JKK
{ T) 2 N
2 i
42
{26) 2
..7 2
{132) 2 25
137
(39) 2 ....... 332 5
1322 25
79,440
Tabel analisanya sebagai berikut: Sumber
Jumlah
Derajat
Kuadrat
variasi
Kuadrat
Bebas
tengah
Antar kolom
79,440
4
19,860
Galat
57,6
20
2,880
Total
137
24
Tolak Ho
2,87
6,9
F hit
6,90
Keputusan: Tolak Ho, artinya rata-rata lamanya tablet dapat mengurangi rasa sakit, tidak sama untuk semua orang.
QUIZ
1. Sebuah biro perjalanan di jogja mengadakan penelitian tentang pariwisata di jogja dan ingin memperkirakan pengeluaran rata-rata para wisatawan asing yang berkunjung di jogja. Untuk keperluan ini diambil 100 sampel wisatawan asing yang akan dijadikan responden dalam penelitian ini. Dari hasil penelitian didapat hasil bahwa rata-rata pengeluaran setiap pengunjung adalah $500 per wisatawan perhari. Jika didapat bahwa standard deviation adalah sebesar $100, maka dengan interval keyakinan sebesar 95% buatlah estimasi atau pendugaan rata-rata seluruhpopulasi pengeluaran wisatawan asing di Jogja per hari!
2. Sebuah random sample dipilih dari 100 pedagang kaki lima di Pasar Mingggu, dari seluruh pedangan kaki lima di Pasar Minggu. Rata-rata tingkat keuntungan yang diperoleh adalah 20% dengan deviasi standard 2%. Dengan menggunakan interval keyakinan sebesar 95%, berapa tingkat keuntungan seluruh populasi pedangan kaki lima di Pasar Minggu?
3. Suatu penelitian dilakukan oleh sebuah perguruan tinggi swasta terhadap ketepatan pembayaran SPP dari para mahasiswanya. Dari 100 orang mahasiswa yang diteliti ternyata 30 orang mahasiswa melakukan pembayaran SPP tidak tepat waktu. Dengan tingkat interval keyakinan 95%, tentukan pendugaan interval proporsi dari mahasiswa yang melakukan pembayaran tidak tepat waktu!
4. Penelitian lain dilakukan terhadap sampel 16 orang mahasiswa asing yang berkunjung ke Jakarta. Menunjukkan pengeluaran 16 mahasiswa tersebut adalah sebesar $500 seminggu, dengan standard deviasi $100, dan tingkat keyakinan 95%,
berapakah interval pengeluaran rata-rata seluruh populasi mahasiswa asing di Jakarta perminggunya?
5. Perusahaan farmasi cepat sehat memproduksi 3 jenis obat diet, Diet A; Diet B dan Diet C. Berikut ini data penurunan berat badan dari masing-masing obat diet. Dimana sampel pasien dengan obat diet A ada 5 orang, sample Pasien dengan obat diet B ada 6 orang dan sample pasien obat diet C ada 7 orang. Dari data tersebut dengan alpha 5%, apakah terdapat perbedaan rata-rata penurunan berat badan dengan obat diet yang berbeda ? Diet A
Diet B
Diet C
7
11
4
8
9
6
7
9
5
9
8
8
9
12
5
11
8 6
6. Berikut ini adalah data produktivitas karyawan dari 3 pabrik yang berbeda. Masingmasing pabrik diambil 5 sampel karyawan. Ujilah pada alpha 5% apakah terdapat perbedaan produktivitas karyawan di 3 cabang pabrik yang berbeda? Pabrik A
Pabrik B
Pabrik C
19
22
18
18
27
24
19
30
18
22
21
22
16
17
17
7. Seorang manajer produksi yang menghasilkan pompa air ingin membandingkan efisiensi waktu perakitan pompa A dan POmpa B. untuk pompa A diambil sample sebanyak 10 buah, didapat rata-rata waktu perakitannya adalah 20 menit dengan standar deviasi sebesar 3 menit. Sedangkan pompa B diambil sample 15 unit ternyata membutuhkan rata-rata waktu perakitan 21 menit dengan standar deviasi 2 menit. Dengan menggunakan taraf nyata 5%, apakah terdapat perbedaan rata-rata waktu perakitan pompa A dengan pompa B?
UJI CHI-SQUARE
Tujuan Instruksional Umum : 4.
Mahasiswa mampu memahami apa yang dimaksud dengan Uji Chi Square.
5.
Mahasiswa mampu memahami kegunaan Uji Chi Square.
6.
Mahasiswa mampu memahami beberapa pengujian di dalam Uji Chi Square.
Tujuan Instruksional Khusus : 4. Mahasiswa mampu untuk menghitung Uji Chi Square. 5.
Mahasiswa mampu menghitung pengujian hipotesis untuk uji independensi dan uji kecocokan (Uji Goodness of Fit)
Pertemuan minggu ke 4.
BAB 4: Chi Square Test
A. Pendahuluan Pengujian dengan menggunakan Chi Square diterapkan pada kasus dimana akan diuji apakah frekuensi data yang diamati (frekuensi/data observasi) sama atau tidak dengan frekuensi harapan atau frekuensi secara teoritis
B. Test of Independensi Uji ini digunakan untuk menentukan apakah ada hubungan antara dua faktor (variabel). Apabila dua variabel tersebut mempunyai keterkaitan disebut bersifat tidak bebas (Nonindependent). Sebaliknya, jika kedua variabel tersebut TIDAK mempunyai keterkaitan dikatakan bersifat Independent (tidak saling mempengaruhi) Alat uji yang digunakan:
2
fe )2
( fo fe
Dimana : χ2
: Chi Square
Fo
: Frekuensi Observasi
Fe
: Frekuensi Ekspektasi
Kasus : Dari 100 karyawan di PT XYZ, 60 adalah pria dan 40 adalah wanita. Dari 60 orang pria ternyata 10 menyukai pakaian warna merah muda, 20 menyukai warna putih dan 30 menyukai warna biru. Sedangkan dari 40 orang karyawan wanita, 20 menyukai warnal merah muda, 10 menyukai warna putih dan 10 menyukai warna biru. Dengan tingkat kepercayaan 95% apakah terdapat hubungan antara pemilihan warna dengan jenis kelamin?
JAWAB : 1. Hipotesa H0 : Pilihan warna pakaian dan jenis kelamin saling independen (tidak ada hubungan) Ha : Pilihan warna pakaian dan jenis kelamin tidak saling independen (ada hubungan)
Terima H0 jika Nilai Nilai
2
tabel.
2. Nilai
2
tabel
2
hitung < Nilai
2
table dan tolak H0 jika Nilai
2
hitung >
Derajat kebebasan = (r-1)(c-1) = (3-1)(2-1) = 2 dengan taraf nyata 5% maka nilai tabel = 5.991
2
3. Nilai
2
hitung
fe )2
( fo fe
Frekuensi Observasi (Fo) Warna pakaian
Pria
Wanita
Jumlah
Merah Muda Putih Biru
10 20 30
20 10 10
30 30 40
Jumlah
60
40
100
Frekuensi Ekspektasi (Fe) Warna pakaian Pria Merah Muda Putih Biru
30x60/100 = 18 18 24
Wanita 30x40/100 = 12 12 16
2
Maka :
10 18 18 13.19
2
2
2
(20 12) 2 12
(20 18) 2 18
(10 12) 2 12
(30 24) 2 24
(10 16) 2 16
4. Kesimpulan : 2
Nilai
hitung > Nilai
2
tabel atau 13.19 > 5.99 maka tolak H0 atau antara
pemilihan warna pakaian tidak saling independen (ada hubungan)
B. Goodness of Fit Uji Goddness of Fit bertujuan untuk mengetahui apakah sebuah distribusi data dari sampel mengikuti sebuah distribusi teoritis tertentu atau tidak..Goodness of Fit akan membandingkan dua distribusi data, yaitu yang teoritis (frekuensi harapan) dan yang sesuai kenyataan (frekuensi observasi). Kasus : Berikut ini adalah hasil survey terhadap 1000 perokok terhadap 5 merek rokok yang mereka pilih : Preferensi Merk rokok A B C D E
Jumlah Konsumen (fo) 210 310 170 85 225
Jumlah 1000 a. Ujilah apakah preferensi konsumen dalam memilih merek rokok sama pada alpha 5%! b. Ujilah apakah yang memilih rokok merek A 20%, merek B 30%, merek C 15%, merek D 10% dan merek E 25% pada alpha 5%?
JAWAB : 1. Hipotesa a.
b.
H 0 : PA
PB
Pc
PD
PE
H 1 : PA
PB
PC
PD
PE
H 0 : PA
0.2; PB
0.3; Pc
0.15; PD
0.1; PE
0.25
H 1 : PA
0.2; Pb
0.3; PC
0.15; PD
0.1; PE
0.25
Terima H0 jika Nilai Nilai
2
tabel.
2. Nilai
2
tabel
2
hitung < Nilai
2
2
table dan tolak H0 jika Nilai
Derajat kebebasan = k -1 = 5 – 1 = 4 dengan taraf nyata 5% maka nilai
2
hitung >
tabel =
9.4888
3. Nilai
2
2
hitung
fe )2
( fo fe
Untuk nilai
2
hitung a :
Preferensi Merk rokok
Jumlah Konsumen (fo)
A B C D E
210 310 170 85 225
Fe Jika p1=p2=p3=p 4=p5=0.2 200 200 200 200 200
Jumlah
1000
1000
( fo
fe ) ( fo
fe )2
fo
fe
2
fe
10 110 -30 -115 25
100 12100 900 13225 625
0.5 60.5 4.5 66.125 3.125
134,75
2
Untuk nilai Preferensi Merk rokok
hitung b : Jumlah Konsumen (fo)
A B C D E
210 310 170 85 225
Fe JIka P1 = 0.2; P2 = 0.3; P3 = 0.15; P4 = 0.1 dan P5= 0.25 200 300 150 100 250
( fo
fe ) ( fo
fe )2
fo
fe
2
fe
10 10 20 -15 -25
100 100 400 225 625
0,5 0,3333 2,6667 2,25 2,5 Σ = 8,25
Jumlah
1000
1000
Contoh soal :
1. Sebuah perguruan tinggi swasta yakin bahwa untuk mata kuliah statistika, persentasi mahasiswa yang akan mendapat nilai A adaslah 10%, nilai B adalah 20%, nilai C adalah 40%, nilai D 20 % dan yang mendapat nilai E sebesar 10%. Dari hasil ujian akhir sebanyak 50 mahasiswa didapat hasil sebagai berikut :
Nilai A B C D E
Jumlah mahasiswa 10 10 10 14 6
Jumlah
50
Dengan melihat hasil tersebut, benarkah pernyataan dosen perguruan tinggi swasta tersebut pada alpha 5%?
2. Berikut ini dilakukan penelitian untuk mengetahui apakah terdapat hubungan antara status dengan pengeluaran per bulan. Dari 200 mahasiswa 100 mengaku punya pacar, dan sisanya jomblo. Dari 100 mahasiswa yang punya pacar , 83 mengaku pengeluaran besar, 5 pengeluaran sedang dan 12 pengeluaran tetap rendah. Sedangkan dari mahasiswa yang jomblo, 87 mengaku pengeluaran tinggi, 11 pengeluaran sedang dan 2 pengeluaran rendah. Ujilah pada alpha 10% apakah terdapat hubungan antara status dengan tingkat pengeluaran mahasiswa?
REGRESI DAN KORELASI
Tujuan Instruksional Umum : 1. Mahasiswa mampu memahami apa yang dimaksud dengan Regresi dan Korelasi 2. Mahasiswa mampu memahami regresi linier sederhana. 3. Mahasiswa mampu memahami korelasi linier dan parsial 4. Mahasiswa mampu memahami pengujian koefisien regresi. 5. Mahasiswa mampu memahami pengujian koefisien korelasi
Tujuan Instruksional Khusus : 1. Mahasiswa mampu untuk membuat persamaan garis regresi dan korelasi 2. Mahasiswa mampu menghitung koefisien regresi linier sederhana 3. Mahasiswa mampu menghitung koefisien korelasi linier sederhana dan parsial 4. Mahasiswa mampu menghitung pengujian hipotesis untuk uji koefisien regresi dan korelasi.
Pertemuan minggu ke 5 dan 6.
ANALISIS KORELASI DAN REGRESI SEDERHANA
A. Analisis Korelasi Sederhana 1. Pendahuluan Pengertian dari analisis korelasi adalah suatu analisis untuk mengetahui kuat tidaknya hubungan yang terjadi antara variabel bebas [X] dan variabel terikat [Y]. Kuat tidaknya hubungan kedua variabel yang berbeda ini diukur dengan koefisien korelasi dan diberi simbol huruf [r], dimana nilainya antara -1 s/d +1 [ -1 < r < +1 ].
Gambar : Koefisien Korelasi Kuat negatif -1
Kuat Positif 0
Lemah negatif
+1 Lemah positif
Netral (r = 0) Keterangan : - Jika 0 < r < 0,50 yaitu dari r = 0,50 mendekati r = 0 bahwa r lemah positif berarti hubungan variabel bebas [X] dan variabel terikat [Y] dapat dikatakan lemah yaitu pengaruhnya relatif kecil dan mempunyai arah perubahan yang sama atau searah. Maksudnya bila variabel bebas [X] mengalami perubahan naik maka variabel terikat [Y] akan berubah naik, dan sebaliknya jika variabel bebas besarnya turun, maka nilai variabel terikat mengalami penurunan. Di samping itu pengaruh tersebut relatif tidak terlalu sensitif. - Jika +0,51 < r < +1 yaitu dari r = +0,51 mendekati r = +1, bahwa r dikatakan kuat positif berarti hubungan kedua variabel itu relatif sangat sensitif terhadap perubahan yang terjadi pada variabel bebas. Bila variabel bebas berubah maka variabel terikat segera berubah pula dimana perubahan tersebut berjalan searah dan hubungan ini disebut hubungan linear sempurna.
- Jika 0 > r > -0,50 yaitu dari r = -0,50 mendekati r = 0 bahwa dikatakan r lemah negatif berarti hubungan kedua variabel relatif tidak terlalu sensitif terhadap perubahan yang terjadi pada variabel bebasnya. Di samping itu perubahan tersebut berjalan tidak searah atau mempunyai arah yang berlawanan. Bila nilai variabel bebas dinaikan maka nilai variabel terikat justru mengalami penurunan dan sebaliknya jika nilai variabel bebas diturunkan, nilai variabel terikat mengalami kenaikan. - Jika -0,51 > r > -1 yaitu dari r = -0,51 mendekati atau sama dengan r = -1 dikatakan hubungan variabel bebas dan variabel terikat kuat negatif yang berarti sangat sensitif terhadap perubahan yang terjadi pada variabel bebas. Namun perubahan tersebut saling berlawanan satu sama lain seperti pada 0 > r > -0,50 dan hubungan demikian dikatakan hubungan linear tidak sempurna. - Jika r = 0 berarti kedua variabel tidak mempunyai hubungan apapun dan persamaan fungsi regresi yang terbentuk hanyalah faktor hubungan angka saja.
2. Koefisien Determinasi dan Koefisien Korelasi dalam Regresi Linier Sederhana Indeks determinasi atau koefisien determinasi digunakan untuk mengukur derajat hubungan yang terjadi antara variabel bebas [independent variable] dengan variabel terikat [dependent variable] bila kedua variabel tersebut mempunyai hubungan regresi linear yaitu Y = f [X]. Koefisien determinasi dilambangkan dengan r kuadrat [r2] yang besarnya 0 < r2 < +1 dalam bentuk persen yaitu 0% < r2 < 100%. Jika r2 = +1 atau r2 = 100%, maka variasi yang terjadi pada variabel terikat/dependent variable [Y] hasil observasi secara riil dapat dijelaskan 100% oleh variabel bebas/independent variable [X] dengan regresi linear Y atas X. Karena titik variasi Y jika digambar grafik akan mendekati titik garis regresi yang dibuat. Jika r2 = 0 atau r2 = 0%, variasi variabel terikat Y tidak dapat dijelaskan semua oleh variabel bebas X dengan regresi linear Y atas X dan titik-titik variasi Y akan menjauhi garis regresi.
Formulasi koefisien determinasi yaitu : r=
n ΣXY – [ΣX] [ΣY] √ n ΣX² - [ΣX]² [-n ΣY² [ΣY]]
Contoh : Data PT.KALI CILIWUNG diketahui : ΣXY = 8.240
ΣY = 600
ΣX = 63
Σ [Y – Y’] 2 = 120,808
Y = 600/5 = 120
ΣX² = 913
ΣY² = 76.000
Σ [Y – Y’] 2 [100 – 120]2 = 400 [80 – 120]2 = 1.600 [120 – 120]2 = 0 [160 – 120]2 = 1.600 [140 – 120]2 = 400 Jumlah = 4.000 Perhitungan Koefisien Determinasi : r=
n ΣXY – [ΣX] [ΣY] √ n ΣX² - [ΣX]² [-n ΣY² [ΣY]]
r=
3.400
=
√[596] – [20.000 ]
5[8.240] – [63] [600]
=
√[5[913] – [63]2 ] [5[76.000] – [600]2 ]
3.400
= 0,984
3.452,5353
Berarti hubungan kedua variabel [X dan Y] adalah kuat positif dan sangat sensitif terhadap perubahan yang terjadi.
B. Analisis Regresi Linier Sederhana 1. Pendahuluan Analisis regresi mempunyai pengertian suatu analisis tentang hubungan, yaitu seberapa jauh hubungan antara variabel bebas (independent variable) dan variabel tidak bebas /
terikat (dependent variable). Analisis regresi juga disebut sebagai suatu analisis statistik yang memanfaatkan hubungan antara dua variabel atau lebih.
Dimana variabel bebas adalah variabel yang berdiri bebas dan biasanya variabel yang mudah didapat dan besar kecilnya nilai variabel tersebut tidak dipengaruhi oleh variabel yang lain atau disebut juga prediktor. Misal : variabel bebas dinyatakan X1,X2,X3,........,Xn sebagai prediktor yang akan mempengaruhi besar kecilnya variabel terikat.
Sedangkan variabel terikat adalah variabel yang nilainya dipengaruhi oleh variabel yang lain dalam hal ini variabel bebas atau diesbut juga variabel Respon yang disimbolkan dengan huruf Y.
Dalam suatu analisis untuk mengetahui hubungan atau seberapa jauh hubungan antar variabel dengan menggunakan satu variabel bebas dan satu variabel terikat dinamakan analisis Regresi Linear Sederhana. Sedangkan jika analisis tersebut menggunakan satu variabel terikat dan lebih dari satu variabel bebas [X1,X2,X3,........,Xn] dinamakan analisis Regresi Berganda [Multiple Regression Analisys].
Y = f [X] ……….Y = a + bX Dimana : Y = variabel terikat a = konstanta [nilai tetap] pada saat nilai veriabel bebas [X] = 0 b = koefisien arah garis / gradien / lereng garis X = variabel bebas
Misal : Y = 10 + 0,5X Pada saat besar variabel bebas [X] = 0 maka besar variabel terikat Y = 10. Jika nilai X berubah sebesar satu satuan, berarti nilai Y akan berubah sebesar 0,5 satuan. Jika nilai x berubah sebesar dua satuan berarti nilai Y akan berubah sebesar satusatuan dan
seterusnya, perubahan tersebut tinggal mengalikan antara koefisien arah garis [b] dengan variabel bebas [X]. Semakin besar perubahan yang terjadi pada variabel bebas akan semakin besar pula tingkat perubahan yang terjadi pada variabel terikat Y. Namun perubahan tersebut ditentukan pula besar kecilnya koefisien arah garis / gradien / lereng garis. Baik perubahan berupa penurunan atau peningkatan, persamaan fungsional dapat digunakan untuk memprediksi atau mengestimasi nilai-nilai variabel terikat pada periode yang akan datang.
Berbeda dengan hubungan fungsional, hubungan statistik merupakan hubungan tidak sempurna. Observasi atau hasil pengamatan langsung pada objek untuk hubungan statistik tidak tepat jatuh pada hubungan kurva. Dengan kata lain analisis regresi digunakan untuk menyatakan dua hal yaitu : 1. Pengaruh variabel bebas terhadap variabel terikat yang fluktuatif yang terbentuk sistematis. 2. Titik-titik observasi yang berpencar di sekitar kurva.
Y
Garis Regresi
Y
Garis Regresi
. . .. . . ... .. . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .
. .
.
..
Dist. Prob
X
X
2. Bentuk Fungsional Persamaan Regresi Persamaan regresi kebanyakan sebelumnya tidak diketahui. Dengan menggunakan data masa lampau atau periode yang lalu dapat ditentukan persamaan regresi. Ini merupakan
suatu pendekatan yang baik dan pendek. Namun cukup memuaskan guna mengestimasi nilai data masa mendatang.
Untuk keperluan estimasi tersebut ada 2 metode yang dapat dipakai yaitu : a. Metode tangan bebas Metode ini kelebihannya dapat dengan mudah menentukan nilai estimasi masa yang akan datang dengan cara menarik garis bebas dengan perkiraan nilai garis tersebut mendekati garis data atau titik-titik data sesungguhnya. Tingkat kemiringan garis yang dibuat sangat mempengaruhi nilai estimasi yang didapat, tergantung si pembuat / estimator.
Biasanya ketepatan dalam estimasi sangat ditentukan oleh faktor pengalaman estimator. Dengan kata lain semakin banyak pengalaman, semakin tepat atau mendekati kebenaran.
Di samping kelebihan, metode ini ada kelemahannya yaitu tidak berdasarkan perhitungan ilmiah atau rasional. Hanya berdasarkan faktor pengalaman dan mungkin
kebiasaan.
Padahal
belum
tentu
benar
dan
tidak
dapat
dipertanggungjawabkan secara ilmiah. Maka unsur subyektifitas estimator sangat dominan. Contoh : Titik-titik adalah letak data riil Y
Garis Regresi untuk estimasi Y1 Nilai estimasi / proyeksi
X X1 b. Metode kuadrat terkecil sederhana [Method of Ordinary Least Square Simple]
Metode ini mempunyai dasar bahwa jumlah pangkat dua [kuadrat] dari jarak antara titik-titik dengan garis regresi yang sedang dicari harus sekecil mungkin. Model persamaan regresi sederhana metode kuadrat terkecil sebagai berikut : ŷ = a + bX Jika diketahui sejumlah data, untuk mencari persamaan regresi di atas dengan menggunakan dua cara yaitu : 1. Dua persamaan normal. Persamaan I : ΣY = an + b ΣX Persamaan II : ΣXY = a ΣX + b ΣX2
2. Cara langsung. a = [ΣX2] [ΣY] – [ΣX] [ΣXY] n ΣX2 – [ΣX]2 b = n [ΣXY] - [ΣX] [ΣY] n ΣX2 – [ΣX]2 Nilai estimasi / taksiran / proyeksi untuk Y adalah : ŷ = a + bx
Titik-titik di sekitar garis regresi merupakan letak data yang sesungguhnya. Berarti dengan garis regresi mempunyai jarak tertentu. Data-data tersebut hanya berada di
sekitar garis regresi atau estimasi yang diharapkan [Expected estimation]. Ada yang berada di atas garis regresi berarti nilai estimasi lebih kecil daripada data sesungguhnya / kenyataan. Namun ada juga titik data berada di bawah garis regresi berarti nilai estimasi lebih besar dari data sesungguhnya.
Contoh : PT. KALI CILIWUNG menjual motor bekas merk DOCOCKNO. Diketahui lima tahun berturut-turut tingkat penjualan dan biaya iklan sebagai berikut :
Tahun Penjualan [juta Rp.] Biaya iklan
1995 100 8
1996 80 7
1997 120 12
1998 160 20
1999 140 16
Diminta : b. Buatlah persamaan regresi sederhana! c. Jika biaya iklan tahun 2000 sebesar Rp. 25.000.000,- berapa proyeksi penjualan yang diharapkan tahun 2000 ? d. Gambarlah garis regresi dan titik letak data! Jawab : a. Kita dapat menggunakan salah satu cara dari dua alternatif formulasi di atas. Misal dengan cara pertama. Namun sebelumnya ditentukan terlebih dahulu variabel terikat dan variabel bebas. Secara rasional penjualan dipengaruhi oleh iklan atau sebaliknya iklan mempengaruhi penjualan. Dengan demikian penjualan merupakan variabel terikat [dependent variable/ Y]. Sedangkan biaya iklan tentu variabel bebas [independent variable/ X]. Tahun
Y
X
X2
XY
1995
100
8
64
800
1996
80
7
49
560
1997
120
12
144
1440
1998
160
20
400
3200
1999
140
16
256
2240
Jumlah
600
63
913
8240
I. ΣY = an + b ΣX
II. ΣXY = a ΣX + ΣX2
600 = 5a + 63 b
8240 = 63a + 913b
Untuk mencari a dan b dieliminasi yaitu dinolkan salah satu nilai a atau b.
600
= 5a + 63b [x63]
37.800 = 315ª + 3.969b
8240
= 63a + 913b [x5]
41.200 = 315ª + 4.565b – -3400 = -596b b
= 5,7
Pergunakan salah satu dari dua persamaan di atas untuk mencari nilai a : Persamaan I :600 600 600 a
= 5a + 63b = 5a + 63 [5,7] = 5a + 359,1 = 240,9 = 48,18 5
b = 5,7
Jadi persamaan regresi adalah : ŷ = a + bX ŷ = 48,18 + 5,7X
b. Diketahui biaya iklan tahun 2000 sebesar Rp. 25.000.000,- maka proyeksi penjualan yang diharapkan tahun 2000. ŷ = 48,18 + 5,7X X = 25 [juta Rp] ŷ = 48,18 + 5,7[25] ŷ = 190,68 atau Rp. 190.680.000,-
Jika dicari dengan cara langsung sebagai berikut : a = [ΣX2] [ΣY] – [ΣX] [ΣXY] = [913[600]] – [63] [8240] n ΣX2 – [ΣX]2 = 547.800 – 519.120 4.565 – 3.969
5[913] – [63]2
= 28.680
= 48,12 596
[Selisih disebabkan adanya pembulatan bilangan pecahan dalam perkalian] b = n ΣXY – [ΣX] [ΣY] = 5[8.240] – [63] [600] n ΣX2 – [ΣX]2
5[913] – [63]2
b = 3.400 = 5,7 596 Hasil dari cara pertama dan kedua sama !
c. Gambar garis regresi dan letak data. Untuk menggambar garis regresi ditentukan terlebih dulu nilai proyeksi volume penjualan dari tahun 1995 s/d 1999 dengan persamaan regresi diatas :
Y95
= 48,18 + 5,7[8]
= 93,78
Y96
= 48,18 + 5,7[7]
= 88,08
Y97
= 48,18 + 5,7[12]
= 116,58
Y98
= 48,18 + 5,7[20]
= 162,18
Y99
= 48,18 + 5,7[16]
= 139,38
REGRESI DAN KORELASI
Tujuan Instruksional Umum : 6. Mahasiswa mampu memahami apa yang dimaksud dengan Regresi dan Korelasi 7. Mahasiswa mampu memahami regresi linier berganda 8. Mahasiswa mampu memahami korelasi linier berganda dan parsial 9. Mahasiswa mampu memahami pengujian koefisien regresi. 10. Mahasiswa mampu memahami pengujian koefisien korelasi
Tujuan Instruksional Khusus : 1. Mahasiswa mampu untuk membuat persamaan garis regresi dan korelasi 2. Mahasiswa mampu menghitung koefisien regresi berganda 3. Mahasiswa mampu menghitung koefisien korelasi linier berganda dan parsial 4. Mahasiswa mampu menghitung pengujian hipotesis untuk uji koefisien regresi dan korelasi.
Pertemuan minggu ke 7.
ANALISIS KORELASI DAN REGRESI BERGANDA
A. Analisis Korelasi Berganda 1. Pendahuluan Pengertian dari analisis korelasi berganda adalah suatu analisis untuk mengetahui seberapa kuat hubungan yang terjadi antara variabel bebas [X] dan variabel terikat [Y]. Kuat tidaknya hubungan kedua variabel yang berbeda ini diukur dengan koefisien korelasi dan diberi simbol huruf [R], dimana nilainya antara -1 s/d +1 [ -1 < R < +1 ].
Gambar : Koefisien Korelasi Kuat negatif -1
Kuat Positif 0
Lemah negatif
+1 Lemah positif
Netral (R = 0) Keterangan : - Jika 0 < R < 0,50 yaitu dari R = 0,50 mendekati R = 0 bahwa R lemah positif berarti hubungan variabel bebas [X] dan variabel terikat [Y] dapat dikatakan lemah yaitu pengaruhnya relatif kecil dan mempunyai arah perubahan yang sama atau searah. Maksudnya bila variabel bebas [X] mengalami perubahan naik maka variabel terikat [Y] akan berubah naik, dan sebaliknya jika variabel bebas besarnya turun, maka nilai variabel terikat mengalami penurunan. Di samping itu pengaruh tersebut relatif tidak terlalu sensitif. - Jika +0,51 < R < +1 yaitu dari R = +0,51 mendekati R = +1, bahwa R dikatakan kuat positif berarti hubungan kedua variabel itu relatif sangat sensitif terhadap perubahan yang terjadi pada variabel bebas. Bila variabel bebas berubah maka variabel terikat segera berubah pula dimana perubahan tersebut berjalan searah dan hubungan ini disebut hubungan linear sempurna. - Jika 0 > R > -0,50 yaitu dari R = -0,50 mendekati R = 0 bahwa dikatakan R lemah negatif berarti hubungan kedua variabel relatif tidak terlalu sensitif terhadap perubahan yang terjadi pada variabel bebasnya. Di samping itu perubahan tersebut
berjalan tidak searah atau mempunyai arah yang berlawanan. Bila nilai variabel bebas dinaikan maka nilai variabel terikat justru mengalami penurunan dan sebaliknya jika nilai variabel bebas diturunkan, nilai variabel terikat mengalami kenaikan. - Jika -0,51 > R > -1 yaitu dari R = -0,51 mendekati atau sama dengan R = -1 dikatakan hubungan variabel bebas dan variabel terikat kuat negatif yang berarti sangat sensitif terhadap perubahan yang terjadi pada variabel bebas. Namun perubahan tersebut saling berlawanan satu sama lain seperti pada 0 > R > -0,50 dan hubungan demikian dikatakan hubungan linear tidak sempurna. - Jika R = 0 berarti kedua variabel tidak mempunyai hubungan apapun dan persamaan fungsi regresi yang terbentuk hanyalah faktor hubungan angka saja.
2. Koefisien Determinasi dan Koefisien Korelasi dalam Regresi Linier Berganda Indeks determinasi atau koefisien determinasi digunakan untuk mengukur derajat hubungan yang terjadi antara variabel bebas [independent variable] dengan variabel terikat [dependent variable] bila kedua variabel tersebut mempunyai persamaan regresi linear yaitu Y = a + b1 X1 + b2 X2 + b3X3 + … + bk Xk Koefisien determinasi dilambangkan dengan R kuadrat [R2] yang besarnya 0 < R2 < +1 dalam bentuk persen yaitu 0% < R2 < 100%. Jika R2 = +1 atau R2 = 100%, maka variasi yang terjadi pada variabel terikat/dependent variable [Y] hasil observasi secara riil dapat dijelaskan 100% oleh variabel bebas/independent variable [X] dengan regresi linear Y atas X. Karena titik variasi Y jika digambar grafik akan mendekati titik garis regresi yang dibuat. Jika R2 = 0 atau R2 = 0%, variasi variabel terikat Y tidak dapat dijelaskan semua oleh variabel bebas X dengan regresi linear Y atas X dan titik-titik variasi Y akan menjauhi garis regresi. Formulasi koefisien determinasi yaitu : R
2
(Yˆ Y ) 2 (Y Y ) 2
atau
R
2
n(a.
Y
b1 .
YX 1
n.
Y2
b2 YX 2 ) ( (
Y )2
Y )2
Contoh : PERMINTAAN DIPENGARUHI HARGA DAN PENDAPATAN Nomor
Permintaan (Y)
Harga
Pendapatan (Rp
Sampel
Minyak (
minyak (X1) (X2)
1
3
8
10
2
4
7
10
3
5
7
8
4
6
7
5
5
6
6
4
6
7
6
3
7
8
6
2
8
9
6
2
9
10
5
1
10
10
5
1
Untuk mendapatkan koefisien regresi, perlu dihitung : Y, X1, X2, X1Y, X12,
X1 X2, X2Y,
X22
Y
X1
X2
YX1
YX2
X12
X22
X1X2
3
8
10
24
30
64
100
80
4
7
10
28
40
49
100
70
5
7
8
35
40
49
64
56
6
7
5
42
30
49
25
35
6
6
4
36
24
36
16
24
7
6
3
42
21
36
9
18
8
6
2
48
16
36
4
12
9
6
2
54
18
36
4
12
10
5
1
50
10
25
1
5
10
5
1
50
10
25
1
5
X1 = X2 Y=68 63
X1Y=
=46
409
X2Y= 239
X12= 405
X22= 324
X1 X2 = 317
Dengan metode eliminasi 68 = 10a + 63b1+ 46b2
…(1)
409 = 63a + 405b1+ 317b2 …(2) 239 = 46a + 317b1+ 324b2 …(3) Untuk mendapatkan nilai koefisien regresi a, b1, dan b2 dapat dilakukan dengan Subtitusi antar persamaan -428,4 = -63a –396,9 b1-289,8b2 409
= 63a + 405b1
-19,4 = 0
+ 317b2 …..…………………. (2)
+ 8,1b1
+ 27,2b2 ……………………. (4)
312,8 = -46a –289,8 b1 - 211,6b2 239 = 46a + 317b1 -73,8 = 0
…persamaan 1 dikalikan – 6,3
Persamaan 1 dikalikan –4,6
+ 324b2 ………………………..... (3)
+ 27,2b1
+ 112,4b2 ………………………. (5)
Dari persamaan diatas, nilai b2 adalah = -8,65/21,06 = -0,41. Setelah menemukan nilai b2, nilai b1 dapat dicari dengan mempergunakan persamaan 4 atau 5. -19,4 = 0
+ 8,1b1
19,4 = 8,1b1
- 11,18
+ 27,2(-0,41) ……… (4)
8,1b1 = -19,4 + 11,18 8,1 b1 = - 8,22 b1 = -8,22/8,1 = -1,015 68 = 10a + 63 (-1,015) + 46(-0,41)……………………….. (1) 68 = 10a - 63,96 – 18,90 10a = 63 + 92,86 a = 150,86/10 = 15,086 Dengan menemukan nilai koefisien regresi a, b1, dan b2 maka persamaan regresinya dapat dinyatakan sebagai berikut: Y = 15,086 – 1,015X1 – 0,41 X2 R
10
2
Y
b1 . n.
YX 1 Y2
b2 YX 2 ) ( (
Y )2
Y )2
R2
10 (15,086)(68) 1,015(409) (0,41)(239) (10)(516) (68) 2
R2
0,939
(68) 2
B. Analisis Regresi Linier Sederhana 1. Pendahuluan Analisis regresi mempunyai pengertian suatu analisis tentang hubungan, yaitu seberapa jauh hubungan antara variabel bebas (independent variable) dan variabel tidak bebas / terikat (dependent variable). Analisis regresi juga disebut sebagai suatu analisis statistik yang memanfaatkan hubungan antara dua variabel atau lebih.
Dimana variabel bebas adalah variabel yang berdiri bebas dan biasanya variabel yang mudah didapat dan besar kecilnya nilai variabel tersebut tidak dipengaruhi oleh variabel yang lain atau disebut juga prediktor. Misal : variabel bebas dinyatakan X1,X2,X3,........,Xn sebagai prediktor yang akan mempengaruhi besar kecilnya variabel terikat.
Sedangkan variabel terikat adalah variabel yang nilainya dipengaruhi oleh variabel yang lain dalam hal ini variabel bebas atau diesbut juga variabel Respon yang disimbolkan dengan huruf Y.
Dalam suatu analisis untuk mengetahui hubungan atau seberapa jauh hubungan antar variabel dengan menggunakan satu variabel bebas dan satu variabel terikat dinamakan analisis Regresi Linear Sederhana. Sedangkan jika analisis tersebut menggunakan satu variabel terikat dan lebih dari satu variabel bebas [X1,X2,X3,........,Xn] dinamakan analisis Regresi Berganda [Multiple Regression Analisys].
Y = f [X] ……….Y = a + bX Dimana : Y = variabel terikat a = konstanta [nilai tetap] pada saat nilai veriabel bebas [X] = 0 b = koefisien arah garis / gradien / lereng garis X = variabel bebas
Misal : Y = 10 + 0,5X Pada saat besar variabel bebas [X] = 0 maka besar variabel terikat Y = 10. Jika nilai X berubah sebesar satu satuan, berarti nilai Y akan berubah sebesar 0,5 satuan. Jika nilai x berubah sebesar dua satuan berarti nilai Y akan berubah sebesar satusatuan dan seterusnya, perubahan tersebut tinggal mengalikan antara koefisien arah garis [b] dengan variabel bebas [X].
Semakin besar perubahan yang terjadi pada variabel bebas akan semakin besar pula tingkat perubahan yang terjadi pada variabel terikat Y. Namun perubahan tersebut ditentukan pula besar kecilnya koefisien arah garis / gradien / lereng garis. Baik perubahan berupa penurunan atau peningkatan, persamaan fungsional dapat digunakan untuk memprediksi atau mengestimasi nilai-nilai variabel terikat pada periode yang akan datang.
Berbeda dengan hubungan fungsional, hubungan statistik merupakan hubungan tidak sempurna. Observasi atau hasil pengamatan langsung pada objek untuk hubungan statistik tidak tepat jatuh pada hubungan kurva. Dengan kata lain analisis regresi digunakan untuk menyatakan dua hal yaitu : 3. Pengaruh variabel bebas terhadap variabel terikat yang fluktuatif yang terbentuk sistematis. 4. Titik-titik observasi yang berpencar di sekitar kurva.
Y
Garis Regresi
Y
Garis Regresi
. . .. . . ... .. . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .
. .
.
..
Dist. Prob
X
X
2. Bentuk Fungsional Persamaan Regresi Persamaan regresi kebanyakan sebelumnya tidak diketahui. Dengan menggunakan data masa lampau atau periode yang lalu dapat ditentukan persamaan regresi. Ini merupakan suatu pendekatan yang baik dan pendek. Namun cukup memuaskan guna mengestimasi nilai data masa mendatang. Untuk keperluan estimasi tersebut ada 2 metode yang dapat dipakai yaitu : c. Metode tangan bebas Metode ini kelebihannya dapat dengan mudah menentukan nilai estimasi masa yang akan datang dengan cara menarik garis bebas dengan perkiraan nilai garis tersebut mendekati garis data atau titik-titik data sesungguhnya. Tingkat kemiringan garis yang dibuat sangat mempengaruhi nilai estimasi yang didapat, tergantung si pembuat / estimator.
Biasanya ketepatan dalam estimasi sangat ditentukan oleh faktor pengalaman estimator. Dengan kata lain semakin banyak pengalaman, semakin tepat atau mendekati kebenaran.
Di samping kelebihan, metode ini ada kelemahannya yaitu tidak berdasarkan perhitungan ilmiah atau rasional. Hanya berdasarkan faktor pengalaman dan mungkin
kebiasaan.
Padahal
belum
tentu
benar
dan
tidak
dapat
dipertanggungjawabkan secara ilmiah. Maka unsur subyektifitas estimator sangat dominan. Contoh : Titik-titik adalah letak data riil Y
Garis Regresi untuk estimasi Y1 Nilai estimasi / proyeksi
X X1 d. Metode kuadrat terkecil sederhana [Method of Ordinary Least Square Simple] Metode ini mempunyai dasar bahwa jumlah pangkat dua [kuadrat] dari jarak antara titik-titik dengan garis regresi yang sedang dicari harus sekecil mungkin. Model persamaan regresi sederhana metode kuadrat terkecil sebagai berikut : ŷ = a + bX
Jika diketahui sejumlah data, untuk mencari persamaan regresi di atas dengan menggunakan dua cara yaitu : 3. Dua persamaan normal. Persamaan I : ΣY = an + b ΣX Persamaan II : ΣXY = a ΣX + b ΣX2
4. Cara langsung. a = [ΣX2] [ΣY] – [ΣX] [ΣXY] n ΣX2 – [ΣX]2 b = n [ΣXY] - [ΣX] [ΣY] n ΣX2 – [ΣX]2 Nilai estimasi / taksiran / proyeksi untuk Y adalah : ŷ = a + bx
Titik-titik di sekitar garis regresi merupakan letak data yang sesungguhnya. Berarti dengan garis regresi mempunyai jarak tertentu. Data-data tersebut hanya berada di sekitar garis regresi atau estimasi yang diharapkan [Expected estimation]. Ada yang berada di atas garis regresi berarti nilai estimasi lebih kecil daripada data sesungguhnya / kenyataan. Namun ada juga titik data berada di bawah garis regresi berarti nilai estimasi lebih besar dari data sesungguhnya. Contoh : PT. KALI CILIWUNG menjual motor bekas merk DOCOCKNO. Diketahui lima tahun berturut-turut tingkat penjualan dan biaya iklan sebagai berikut :
Tahun Penjualan [juta Rp.] Biaya iklan
1995 100 8
1996 80 7
1997 120 12
1998 160 20
1999 140 16
Diminta : e. Buatlah persamaan regresi sederhana! f. Jika biaya iklan tahun 2000 sebesar Rp. 25.000.000,- berapa proyeksi penjualan yang diharapkan tahun 2000 ? g. Gambarlah garis regresi dan titik letak data! Jawab : d. Kita dapat menggunakan salah satu cara dari dua alternatif formulasi di atas. Misal dengan cara pertama. Namun sebelumnya ditentukan terlebih dahulu variabel terikat dan variabel bebas. Secara rasional penjualan dipengaruhi oleh iklan atau sebaliknya iklan mempengaruhi penjualan. Dengan demikian penjualan merupakan variabel terikat [dependent variable/ Y]. Sedangkan biaya iklan tentu variabel bebas [independent variable/ X]. Tahun
Y
X
X2
XY
1995
100
8
64
800
1996
80
7
49
560
1997
120
12
144
1440
1998
160
20
400
3200
1999
140
16
256
2240
Jumlah
600
63
913
8240
I. ΣY = an + b ΣX 600 = 5a + 63 b
II. ΣXY = a ΣX + ΣX2 8240 = 63a + 913b
Untuk mencari a dan b dieliminasi yaitu dinolkan salah satu nilai a atau b.
600
= 5a + 63b [x63]
37.800 = 315ª + 3.969b
8240
= 63a + 913b [x5]
41.200 = 315ª + 4.565b – -3400 = -596b b
= 5,7
Pergunakan salah satu dari dua persamaan di atas untuk mencari nilai a : Persamaan I :600 = 5a + 63b 601 = 5a + 63 [5,7]
b = 5,7
601 a
= 5a + 359,1 = 240,9 = 48,18 5
Jadi persamaan regresi adalah : ŷ = a + bX ŷ = 48,18 + 5,7X
e. Diketahui biaya iklan tahun 2000 sebesar Rp. 25.000.000,- maka proyeksi penjualan yang diharapkan tahun 2000. ŷ = 48,18 + 5,7X X = 25 [juta Rp] ŷ = 48,18 + 5,7[25] ŷ = 190,68 atau Rp. 190.680.000,-
Jika dicari dengan cara langsung sebagai berikut : a = [ΣX2] [ΣY] – [ΣX] [ΣXY] = [913[600]] – [63] [8240] n ΣX2 – [ΣX]2 = 547.800 – 519.120
5[913] – [63]2
= 28.680
4.565 – 3.969
= 48,12 596
[Selisih disebabkan adanya pembulatan bilangan pecahan dalam perkalian] b = n ΣXY – [ΣX] [ΣY] = 5[8.240] – [63] [600] n ΣX2 – [ΣX]2
5[913] – [63]2
b = 3.400 = 5,7 596 Hasil dari cara pertama dan kedua sama !
f. Gambar garis regresi dan letak data.
Untuk menggambar garis regresi ditentukan terlebih dulu nilai proyeksi volume penjualan dari tahun 1995 s/d 1999 dengan persamaan regresi diatas :
Y95
= 48,18 + 5,7[8]
= 93,78
Y96
= 48,18 + 5,7[7]
= 88,08
Y97
= 48,18 + 5,7[12]
= 116,58
Y98
= 48,18 + 5,7[20]
= 162,18
Y99
= 48,18 + 5,7[16]
= 139,38
STATISTIKA NON PARAMETRIK I
Tujuan Instruksional Umum : 1.
Mahasiswa mampu memahami apa yang dimaksud dengan Statistika Non Parametrik
2.
Mahasiswa mampu memahami kegunaan dari Statistika Non Parametrik
3.
Mahasiswa mampu memahami pengujian-pengujian yang dilakukan didalam Statistika Non Parametrik
Tujuan Instruksional Khusus : 1.
Mahasiswa mampu untuk menghitung Uji Tanda (Sign Test)
2.
Mahasiswa mampu menghitung Uji Mann Whitney
3.
Mahasiswa mampu menghitung Uji Wilcoxon (Wilcoxon Rank Test)
4.
Mahasiswa mampu menghitung uji Kruskal Wallis
Pertemuan minggu ke 9.
STATISTIKA NON PARAMETRIK I
A. Pendahuluan * Metode Non Parametrik = statistic bebas distribusi * Dua asumsi tentang sampel yaitu : ~ Observasi sampel harus independen dan random ~ Variabel harus continue * Metode ini berguna apabila sifat observasi datanya hanya dapat dinyatakan dalam urutan (order) atau pangkat (rank) tetapi tidak dapat diukur pada skala kuantitatif.
B. Berbagai Macam Uji Non-Parametrik 1. Pengujian Tanda (the sign test) Uji Tanda I •
Jika data berbentuk ordinal (peringkat)
•
Melihat apakah ada beda sampel yang satu dengan yang lain.
•
Pada uji tanda tidak memperhatikan besarnya perbedaan, tetapi hanya tanda “Positip” atau”negatif” dan apabila tidak ada perbedaan diberikan tanda “Nol”.
Langkah-langkah uji tanda 1. Merumuskan hipotesa 2. Memilih taraf nyata atau 3. Menghitung frekuensi tanda, yaitu yang mempunyai tanda + atau - , sementara tanda Nol tidak dipergunakan. 4. Menentukan nilai “r” yaitu jumlah objek yang memiliki jumlah paling kecil. 5. Menentukan probablitas hasil sampel yang di observasi, dengan rumus:
P(r )
C rn P r Q n
r
6. Kesimpulan: Menerima Ho, apabila taraf nyata ( ) < probablitas hasil sampel dan menolak Ho apabila taraf nyata ( ) > probablitas hasil sampel
a. Pengujian dengan sample kecil H0 : P = P0 atau H0 : P = 0,50 H1 : P ≠ P0 atau H1 : P ≠ 0,50 Contoh : Nomor
Jml Produk rusak
Jml Produk rusak
Tanda
Partai
per partai = X1
per partai = X2
X1 – X2
01
138
135
+
02
135
139
-
03
130
140
-
04
180
165
+
05
146
115
+
06
135
136
-
07
148
135
+
08
165
163
+
09
190
193
-
10
110
85
+
11
137
130
+
12
163
150
+
13
160
162
-
14
129
119
+
15
149
150
-
16
206
173
+
17
165
151
+
18
119
125
-
19
167
155
+
20
125
130
-
1. H0 : P = 0,50 ; P > 0,50
2. α = 0,05 3. Stat. Uji : X = Sp = jumlah tanda positif (+) 4. Daerah Kritis : Dari table binomial kumulatif untuk n = 20, p = 0,5 Nilai yang mendekati α = 0,05 adalah 0,058 untuk X = r = 14 Maka daerah kritis adalah X ≥ 14, tolak H0 5. Hasil Observasi sampel ialah X = Sp = 12 6. Kesimpulan : Karena 12 < 14 maka H0 : P = 0,50 ; H0 diterima. Maka tidak cukup alasan guna menolak Hipotesis yang menyatakan bahwa jumlah produk rusak per partai dari hasil penggunaan mesin M1 dan M2 adalah identik.
b. Pengujian dengan Sampel Besar ( n > 30) μx = np = 20 . 0,50 = 10 1. H0 : μx = 10 ; H1 : μx ≠ 10 2. α = 0,05
X - np
3. Stat. Uji : Z =
np(1 p)
4. Daerah Kritis : Z > Zα/2 dan Z < - Zα/2 atau Z > 1,96 dan Z < - 1,96 5. τx = √ np (1- p) = √ 20 . 0,5 . 0,5 = 2,23607 Z = 12 -10
= 0,89443
2,23607 Karena 0,89443 < 1,96 maka kita tidak ada alasan guna menolak H0 : μx = 10, Maka Hal ini berarti jumlah produk rusak per partai dari kedua mesin adalah identik.
Uji Tanda II a. Uji Tanda satu sample Contoh Soal : berikut ini adalah hasil penelitian dari jajak pendapat mengenai lokasi yang diinginkan oleh beberapa pedagang kaki lima Nomor Pedagang Lokasi Yang dikehendaki Tanda 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Rata-rata :
Lokasi baru Lokasi baru Lokasi lama Lokasi baru Lokasi lama Lokasi lama Lokasi baru Lokasi lama Lokasi lama Lokasi lama Lokasi baru Lokasi baru Lokasi lama Lokasi lama Lokasi lama Lokasi baru Lokasi lama Lokasi lama Lokasi lama Lokasi baru
np 20 0,5
Standar Deviasi : npq
np(1 p)
20 0,5 0,5 2,24
Jumlah tanda + = 8.
+ + 0 + 0 0 + 0 0 0 + + 0 0 0 + 0 0 0 +
H0 : diduga jumlah pedagang yang memilih lokasi baru sama dengan jumlah pedagang yang memilih lokasi lama Ha : Diduga jumlah pedang yang memilih lokasi lama tidak sama dengan jumlah pedangan yang memilih lokasi baru Z Z
X 8 10 2,24
0.9
Kesimpulan : Terima H0 b. Uji Tanda dua sample Contoh : berikut ini adalah hasil tes statistic mahasiswa dengan dua dosen yang berbeda Mahasiswa Dosen A Dosen B 1 90 80 2 85 75 3 70 67 4 80 85 5 60 67 6 55 50 7 72 75 8 67 70 9 56 50 10 78 74 11 82 80 12 66 63 13 65 60 14 89 90 15 75 80 16 84 87 17 77 75 18 50 56 19 88 90 20 97 87
Mahasiswa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Dosen A 90 85 70 80 60 55 72 67 56 78 82 66 65 89 75 84 77 50 88 97
Dosen B 80 75 67 85 67 50 75 70 50 74 80 63 60 90 80 87 75 56 90 87
Perbedaan + + + + + + + + + -
H0 : Tidak ada perbedaan nilai antara mahasiswa yang diajar dosen A dengan mahasiswa yang diajar dosen B Ha : Tidak ada perbedaan nilai antara mahasiswa yang diajar dosen A dengan mahasiswa yang diajar dosen B
2. Pengujian Pangkat Bertanda ( Wilcoxon’s signed rank test) 1. Uji Tanda Wilcoxon hanya melihat perbedaan dan arah tanpa melihat besarnya perbedaan. 2. Berikut adalah langkah-langkah dalam Wilcoxon Signed-rank test Langkah – Langkah : 1. Merumuskan hipotesa 2. Menentukan nilai kritis. Nilai kritis diperoleh dengan mempergunakan tabel uji peringkat bertanda Wilcoxon. Dan sebelumnya memilih taraf nyata (merupakan tingkat toleransi terhadap kesalahan kita terhadap sampel =
).
3. Menentukan nilai statistik Wilcoxon, dengan cara : – Membuat perbedaan data berpasangan tanpa memperhatikan tanda. – Memberikan ranking, tanpa memperhatikan tanda – Memisahkan nilai ranking yang positif dan negatif. – Menjumlahkan nilai rangking
yang positif dan negatif. Nilai terkecil
merupakan nilai statistik Wilcoxon. 4. Menentukan keputusan. Jika nilai statistik Wilcoxon < nilai kristis, maka Tolak Ho dan terima H1, begitu sebaliknya. a. Pengujian dengan Sampel Kecil Contoh : Nomor
Jml. Produk rusak dari M1 & M2
Pangkat Bertanda = τ
Pas
X1
X2
X1 – X2
Pangkat
01
138
135
+3
5,5
02
135
139
-4
7
-7
03
130
140
-10
11,5
-11,5
04
180
165
+15
17
+17
05
146
115
+31
19
+19
06
135
136
-1
1,5
07
148
135
+13
14,5
+14,5
08
165
163
+2
3,5
+3,5
Negatif
Positif +5,5
-1,5
09
190
193
-3
5,5
-5,5
10
110
85
+2,5
18
+18
11
137
130
+7
10
+10
12
163
150
+13
14,5
+14,5
13
160
162
-2
3,5
14
129
119
+10
11,5
15
149
150
-1
1,5
16
206
173
+33
20
+20
17
165
151
+14
16
+16
18
119
125
-6
9
19
167
155
+12
13
20
125
130
-5
8
-3,5 +11,5 -1,5
-9 +13 -8 -47,5
+162,5
Uji Hipotesa : 1. H0 : Jml produk rusak per partai M1 = Jml Produk rusak per partai M2 H1 : Jml produk rusak per partai M1 ≠ Jml Produk rusak per partai M2 2. α = 0,05 3. Stat. Uji τ : hasil penjumlahan yang terkecil dari nilai –nilai pangkat bertanda yang sama. Untuk contoh soal : τ = 47,5 4. Daerah Kritis : Untuk n = 20, α = 0,05 ; pada tabel XIII, secara dua arah sehingga nilai kritisnya adalah 52. Maka daerah Kritis : τhit ≤ 52, H0 ditolak. 5. Hasil Observasi Sampel : τ = 47,5 , karena τhit < 52 maka H0 ditolak 6. Kesimpulan : Jml produk rusak per partai dari M1 ≠ Jml Produk rusak per partai dari M2
b. Pengujian dengan Sampel Besar
Jika pasangan n ternyata sama = atau lebih besar daripada 8 maka distr. Var. Random τ akan kurang lebih normal dengan rata-rata : E (τ ) = n (n+1) 4 ∂ (τ ) = √ n (n+1) (2n+1) 24 Stat.Uji : Z = τ – E (τ ) ∂ (τ ) Contoh : 1. H0 : Jml produk rusak per partai M1 = Jml Produk rusak per partai M2 2. H1 : Jml produk rusak per partai M1 ≠ Jml Produk rusak per partai M2 3. α = 0,05 4. Stat. Uji : Z = τ – E (τ ) ∂ (τ )
5. Daerah Kritis : Z > Zα/2 dan Z < - Zα/2 atau Z > 1,96 dan Z < - 1,96 6. E (τ ) = 20 (20 +1) = 105 4 ∂ (τ ) = √{20(20+1)} {2 (20+1)} 24 = 26,7862 Z = 47,5 – 105 = -2,33329 26,7862 Karena – 2,33329 > -1,96 maka kita seharusnya menolak hipotesis yang menyatakan bahwa Jml produk rusak per partai dri M1 sama dengan Jml Produk rusak per partai dari M2 .
3. Pengujian Mann-Withney U Untuk menguji hipotesis nol yang menyatakan bahwa tidak ada perbedaan yang sesungguhnya antara kedua kelompok data dan dimana data tersebut diambil dari dua sampel yang tidak saling terkait. Prosedur pengujian Mann – Whitney 1. Menyatakan hipotesis dan α 2. Menyusun peringkat data tanpa memperhatikan kategori sample 3. Menjumlahkan peringkat menurut tiap kategori sample dan menghitung statistik U.
Stat.
U
n 1n 2
n 1 (n1 1) R1 2
atau
U n 1n 2
n 2 (n 2 1) R2 2
dimana : R1 : jml peringkat yang diberikan pada sampel dengan jml n1 R2 : jml peringkat yang diberikan pada sampel dengan jml n2 ~ Penarikan kesimpulan statistik mengenai hipotesis nol. Contoh : Gaji sarjana yang berkonsentrasi di bidang manajemen pemasaran dan sarjana yang berkonsentrasi di bidang keuangan yang telah lulus 10 tahun lalu, diberikan dalam tabel berikut : Konsentrasi
Pendapatan
Peringkat
Konsentrasi
Pendapatan
Peringkat
Pemasaran
tahunan
pendapatan
keuangan
tahunan
pendapatan
(ribuan)
(ribuan)
Ali
22,4 (14)
14
Lee
21,9 (13)
13
Ani
17,8 (3)
2
Leman
16,8 (1)
1
Ira
26,5 (15)
15
Frank
28,0 (16)
16
Sari
19,3 (7)
7
David
19,5 (9)
9
Tomi
18,2 (5)
4,5
Toni
18,2 (4)
4,5
Budi
21,1 (12)
12
Sam
17,9 (3)
3
Fani
19,7 (10)
10
Carter
35,8 (17)
17
Kiki
43,5 (18)
18
Wati
20,5 (11)
11
Tita
18,7 (6)
6
Laura
19,4 (8)
8
n1 = 8
R1 = 82,5
n2 = 10
R2 = 88,5
1. H0 : Gaji alumni dari kedua konsentrasi sama H1 : Gaji alumni dari konsentrasi pemasaran lebih tinggi daripada konsentrasi keuangan 2. α = 0,01 3. Uji Stat : µ = 8.10 + 8.9 – 82,5 = 33,5 2 atau µ = 8.10 + 10.11 – 88,5 = 46,5 2 Nilai µ terkecil = n1n2 – nilai µ terbesar = 8.10 – 46,5 = 33,5 4. Daerah Kritis : µ terkecil ≤ nilai dalam tabel µ , tolak H0 5. Kesimpulan : karena 33,5 > 13, maka terima H0. Maka tidak terdapat perbedaan gaji yang nyata antara alumni konsentrasi pemasaran dan alumni konsentrasi keuangan.
Uji Mann Whitney II H0 :
A
B
Ha :
A
B
Rata-rata Populasi: n1 n2 U 2
Standard Deviasi n1 n2 (n1 n2 1) 12 Rata-rata Sampel : n1 (n1 1) R1 2 n 2 (n 2 1) X 2 n1 n 2 R2 2 X 1 dan X 2 dipilih yang nilainya paling kecil X1
n1 n 2
Z hitung :
Z
X
U
Contoh : berikut ini adalah data penjualan setelah beriklan di TV dan setelah beriklan diradio. Toko Radio TV A 70 20(2) B 72 23 C 69 21(3) D 68 19(1) E 71 24 F 73 27 G 75 26 H 77 25 I 76 28 J 80 30 K 79 29 L 90 37 M 91 33 O 94 31 P 95 32 Q 96 34 R 97 36 S 99 39 T 100 40
H0: tidak terdapat perbedaan jumlah penjualan setelah beriklan di TV dengan Radio Ha: terdapat perbedaan jumlah penjualan setelah beriklan di TV dengan Radio
Ranking : Toko A B C D E F G H I J K L M O P
Radio 70 72 69 68 71 73 75 77 76 80 79 90 91 94 95
TV 20 23 21 19 24 27 26 25 28 30 29 37 33 31 32
Q R S T
U
X1 X2
Z
96 97 99 100
(20) (20) 200 2 20 20 (20 20 1) 16400 2 12 20 (20 1) 20 20 610 0 2 20 (20 1) 20 20 210 400 2 0 200 36.39
34 36 39 40
36.39
5,14
Kesimpulan : Terima Ha
LAtihan Soal Contoh : berikut ini adalah data nilai kinerja dari dua kelompok karyawan yang sudah ditraining dan yang belum di training Sudah ditraining (6 Karyawan) 78 67 89 90 89 76
Belum Ditraining (7 Karyawan) 67 65 80 90 74 77 82
Apakah terdapat perbedaan penilaian kinerja antara karyawan yang sudah ditraining dengan karywan yang belum ditraining ?
4. Pengujian Kruskal-Wallis
Merupakan generalisasi uji dua sampel Wilcoxon untuk k > 2 sampel. Uji ini digunakan untuk menguji hipotesis nol (H0) bahwa k contoh bebas (sampel bebas) itu berasal dari populasi yang identik. h=
k 12 Σ n (n+1) i=1
ri2 - 3 (n+1) n1
bila h > X2α, k-1 maka H0 ditolak pada taraf nyata α ,bila h ≤ X2α, k-1 terima H0 . Contoh : Dalam percobaan untuk menentukan sistem peluru kendali yang terbaik, dilakukan pengukuran pada laju pembakaran bahan bakarnya. Datanya setelah dikodekan diberikan dalam tabel berikut. Gunakan uji Kruskal Wallis dan taraf nyata 0,05 untuk menguji hipotesis bahwa laju pembakaran bahan bakar sama untuk ketiga sistem tersebut.
Jawab : Laju pembakaran bahan bakar Sistem Peluru Kendali 1
2
3
24,0
23,2
18,4
16,7
19,8
19,1
22,8
18,1
17,3
19,8
17,6
17,3
18,9
20,2
19,7
17,8
18,9 18,8 19,3
1. H0 : µ1 = µ2 = µ3 2. α = 0,05
H1 : ketiga nilai tengah tidak semuanya sama.
3. Daerah Kritis : h > X20,05 ; 3-1 = 5,991 4. Uji Stat : dalam tabel diatas kita ubah pengamatan itu menjadi peringkat dan kemudian menjumlahkan semua peringkat untuk masing-masing sistem.
Peringkat bagi Data Laju pembakaran bahan bakar Sistem Peluru Kendali 1
2
3
19
18
7
1
14,5
11
17
6
2,5
14,5
4
2,5
9,5
16
13
r1 = 61,0
5
9,5
R2 = 63,5
8 12 r3 = 65,5
n1 = 5 , n2 = 6 , n3 = 8 r1 = 61 ; r2 = 63,5 ; r3 = 65,5 maka diperoleh nilai uji stat : h = 12 [ 612 + 63,52 + 65,52 ] – (3) (20) 19.20 5 6 8 = 1,66 5. Kesimpulan : Karena h = 1,66 tidak jatuh dalam daerah kritis yaitu h > 5,991 berarti kita tidak mempunyai bukti yang cukup untuk menolak hipotesis bahwa laju pembakaran bahan bakar sama untuk ketiga sistem peluru kendali itu.
Uji Kruskal Walis II H 0 : tidak terdapat perbedaan dari k kelompok sample Ha : terdapat perbedaan dari k kelompok sample Dengan menggunakan table Chi Square ( df = k -1)
H
12 N ( N 1)
Rk 2 nk
3( N 1)
Contoh : Beriut ini adalah jumlah output yang dihasilkan oleh 3 kelompok karyawan, yang belum ditraining, yang sedang diraining dan yang sudah ditraining Belum diraining (5 karyawan) 96 128 83 61 101
Sedang ditraining (5 karyawan) 82 124 132 135 109
Sudah ditraining (4 karyawan) 114 149 166 147
Ranking : Belum ditraining (5 karyawan) 96(4) 128(9) 83(3) 61(1) 101(5)
Sedang ditraining (5 karyawan) 82(2) 124(8) 132(10) 135(11) 109(6)
Sudah ditraining (4 karyawan) 114(7) 149(13) 166(14) 147(12)
H0 : Ha :
Chi Square table :
H H
12 14(14 1) 6.28
Kesimpulan :
22 2 5
37 2 5
46 2 4
3(14 1)
STATISTIKA NON PARAMETRIK II
Tujuan Instruksional Umum : 4.
Mahasiswa mampu memahami apa yang dimaksud dengan Statistika Non Parametrik
5.
Mahasiswa mampu memahami kegunaan dari Statistika Non Parametrik
6.
Mahasiswa mampu memahami pengujian-pengujian yang dilakukan didalam Statistika Non Parametrik
Tujuan Instruksional Khusus : 5.
Mahasiswa mampu untuk menghitung Uji korelasi rank Spearman
6.
Mahasiswa mampu menghitung Uji Kosmolgorov Smirnov
7.
Mahasiswa mampu menghitung Uji Kendall Concordance
Pertemuan minggu ke 10.
STATISTIKA NON PARAMETRIK II 5. Pengujian Korelasi Spearman
Nilai Korelasi :
Rs 1
d i2
6
n(n 2 1)
Uji Korelasi H0 : =0 (tidak terdapat korelasi) Ha : 0 (terdapat korelasi) thitung
rs n 2 1 rs
2
Contoh : Hasil ujian matematika dan bahasa dari 12 siswa sekolah lanjutan: No.Siswa Matematika Bahasa
1 2 3 0 0 1 42 46 39
4 1 37
5 3 65
6 4 88
7 5 86
8 6 56
9 7 62
10 8 92
11 8 54
12 12 81
Apakah terdapat hubungan antara nilai matematika dengan nilai bahasa? Jawab : Nomor Siswa 01 02 03 04 05 06 07 08
SKOR
Ranking
Mat = X
Bahasa = Y
Mat : X
Bahasa : Y
0 0 1 1 3 4 5 6
42 46 39 37 65 88 86 56
1,5 1,5 3,5 3,5 5 6 7 8
3 4 2 1 8 11 10 6
di
di2
-1,5 -2,5 1,5 2,5 -3 -5 -3 2
2,25 6,25 2,25 6,25 9 25 9 4
09 10 11 12
7 8 8 12
62 92 54 81
9 10,5 10,5 12
7 12 5 9
2 -1,5 5,5 3
di
di2
Nilai Korelasi : Rs
1
6(109,5) 12(12 2 1)
t hitung :
Nomor
SKOR
PANGKAT #
#
Siswa
Mat = X
Bahasa = Y
Mat : X
Bahasa : Y
01
0
42
1,5
3
-1,5
2,25
02
0
46
1,5
4
-2,5
6,25
03
1
39
3,5
2
1,5
2,25
04
1
37
3,5
1
2,5
6,25
05
3
65
5
8
-3
9
06
4
88
6
11
-5
25
07
5
86
7
10
-3
9
08
6
56
8
6
2
4
09
7
62
9
7
2
4
10
8
92
10,5
12
-1,5
2,25
11
8
54
10,5
5
5,5
30,25
12
12
81
12
9
3
9 109,5
4 2,25 30,25 9 109,5
Σ X2 =
123 12 12
Σ Y2 =
123 12 0 143 12
rs =
23 2 12
(141,5 143 109,5) 2 (141,5)(143)
23 2 12
23 2 12
141,5
0,6151
b. Pengujian Koef. Korelasi Pangkat Spearman 1. H0 : ρs = 0
H1 : ρ s ≠ 0
2. α = 0,05
3. Stat. Uji t =
rs n 2 1 rs
2
dengan d.f = n – 2
4. Daerah Kritis ialah t > t0,025,10 dan t < - t0,025,10 atau t > 2,228 dan t < - 2,228
5. t =
0,6151 10 1 0,61512
3,125
Karena t = 3,125 > 2,228 maka tolak H0
6. Uji Kolmogorov Smirnov Uji Kenormalan: Apakah data tersebut memiliki distribusi normal atau tidak Menguji hipotesis komparatif dua sampel independen yang telah disusun pada tabel distribusi frekuensi kumulatif dengan menggunakan kelas-kelas interval Selain Uji Mann-Whitney, uji untuk mengetahui ada tidaknya perbedaan yang signifikan untuk dua sampel yang independent juga dapat diuji dengan Kolmogorov-Smirnov Misalkan Anda ingin mengetahui apakah ada perbedaan nilai ujian antara siswa yang duduk di belakang dengan yang duduk didepan. Berikut data nilai mahasiswa yang duduk dibelakang dan duduk didepan. Duduk di Belakang No
Nama
Duduk didepan Nilai
No
Nama
Nilai
01
6,5
01
6
02
7,5
02
7
03
8
03
7
04
6
04
8
05
5
05
8
06
7
06
8,5
07
7,5
07
8,5
08
8
08
9
09
8,5
09
6,5
10
6
10
7
Data dimasukkan dalam distribusi frekuensi Duduk
Frekuensi kumulatif
Nilai
Beda
Rasio
0
1
0,1
3
1
2
0,2
1
4
2
2
0,2
1
3
5
5
0
0
7,5
2
0
7
5
2
0,2
8
2
2
0
7
2
0,2
8,5
1
2
10
9
1
0,1
9
0
1
10
10
0
0
Belakang
Depan
Belakang
Depan
5
1
0
1
6
2
1
6,5
1
7
Nilai selisih terbesar adalah 2 (ini menjadi nilai KS hit) Selisih terbesar dari frekuwnsi kumulatif kedua kelompok tersebut adalah 0,2 untuk nilai positif (Diffrences Positive), sedangkan untuk nilai negatif (Diffrences negative), tidak ada atau nol. Dari tabel Kolmogorov-Smirnov untuk
5 % dan jumlah pengamatan 10 pasang adalah
7 (Nilai ini merupakan KStab) Karena KS hit (2) < KS tab (7) maka terima Ho. Dengan kata lain ada perbedaan nilai ujian antara siswa yang duduk di belakang dengan yang duduk didepan. Kasus 2: Anda ingin mengetahui apakah suatu data memiliki sebaran normal atau tidak? Berikut contoh dari pertumbuhan total revenue (TR) salesmen anda
Thn
1
2
3
TR
3,2 2,6
4
5
3,2 3,2 2,2
6
7
2.0 2.3
8
2.1
20,8
2,6 0,49
Alat statistik yang digunakan untuk mengetahui apakah data yang dikumpulkan mempunyai sebaran atau distribusi normal atau tidak adalah: Kolmogorov-Smirnov Tahapan Pengujian hipotehesis Langkah 1. Merumuskan hipotesa Ho : Data berasal dari populasi yang memiliki sebaran normal H1 :
Data berasal dari populasi yang tidak memiliki sebaran normal
Langkah 2. Menentukan nilai kritis ataupun taraf nyata Langkah 3. Menentukan alat Uji Dmax
P ( z ) P ( e)
P(e) = nilai harapan
P( Z )
Xi
X s
Langkah 4 Kriteria Pengujian Terima
Ho
jika
Tolak Ho jika Dmax > dari D Langkah 5. : Menarik kesimpulan
Dmax
D
Keputusan: Dmax = 0,7458
Dtab. (0,05) n=8 = 6 Terima Ho, artinya data nilai Total
revenue tidak memiliki sebaran normal
Anda ingin mengetahui apakah total revenue (TR) salesmen memiliki sebaran normal?
( X i X )2 . n 1
0,53
Dari data TR: Rata ( ) 2,6 dan =0,53 Urut
TR
Z = (Xi- )/
Ztab
1
2.0
(2,0 - 2,6)/0,53 =- 0,8708
P(e) 0,125 0,7458
1,13 2
2.1
(2,1 - 2,6)/0,53 =- 0,8264
0,250 0,5764
0,94 3
2,2
(2,2 - 2,6)/0,53 =- 0,7734
0,375 0,3984
0,75 4
2.3
(2,3 - 2,6)/0,53 =- 0,7123
0,5
0,2157
0,56 5
2,6
(2,6 - 2,6)/0,53 = 0,50
0,625 0,125
0,00 6
3,2
(3,2 - 2,6)/0,53 = 0,8708
0,75
0,1208
1,13 7
3,2
(3,2 - 2,6)/0,53 = 0,8708
0,875 0,0042
1,13 8
(3,2 – 2,6)/0,53= 1,13 0,8708
3,2
P (e)
1 n
P (e)
1 n
1 8
0,125
1
0,1292
P (e)
1 n
2 8
0,250
P (e)
1 n
3 8
0,375
Dengan SPSS, angka hasil pengujian yang digunakan adalah angka sig. (signifikansi) dari angka statistik Kolmogorov-Smirnov jika sig. > 0,05 maka data tersebut berdistribusi normal. Akan tetapi jika sig. < 0,05 maka data berdistribusi tidak normal Print
out
SPSS:
Statistik
Kolmogorov-Smirnov
Variabel Kualitas Produk
Tests of Normality a
QLTY
Kolmogorov-Smirnov Statistic df Sig. .132 100 .000
Shapiro-Wilk Statistic df .968 100
Sig. .017
a. Lilliefors Significance Correction
Dari Tabel test of normality terlihat angka Kolmogorov-Smirnov adalah sebesar 0,132 dengan tingkat signifikansi atau sig. 0,000 < 0,05 Ini menunjukkan bahwa sebaran data variabel kualitas produk dapat dipastikan memiliki distribusi yang tidak normal
2. Uji Kendal Korelasi Kendal Tau digunakan untuk mencari hubungan dan menguji hipotesis antara dua variabel atau lebih dan datanya berbentuk ordinal atau ranking. Untuk menghitung korelasi Kendall ( ), rumusnya adalah sebagai berikut:
=
2S n (n -1)
Dimana •
=Korelasi Kendall Tau
•
S=Selisih Jumlah > y Dikurangi Jumlah < y.
•
n=Jumlah Observasi.
Korelasi parsial Kendall: Hubungan antara dua variabel, dimana variabel lain dianggap konstan
xy.z =
xy -
[1- (
xz )
2
xz
][1- (
yz yz )
2
]
Selanjutnya dilakukan pengujian signifikansi dengan cara membandingkan antara z hitung dengan z tabel. Adapun untuk menentukan z hitung
Z hit = 3
n(n-1) 2 (2n + 5)
Dimana : Z
= Angka z hitung atau z statistik.
t
= Korelasi Kendall Tau. = Korelasi parsial Kendall Tau.
n
= Jumlah Observasi.
Keputusan : Jika Zhit < Ztab maka TERIMA Ho Jika Zhit
Ztab maka TOLAK Ho
Uji Kendall of Concordance (kecenderungan) H0 : Setiap responden memiliki kecenderungan yang sama dalam meranking jawaban Ha : Setiap responden memiliki kecenderungan yang TIDAK sama dalam meranking jawaban
Tabel Chi Square (df = n -1)
2
12
R2
3n k n 1
2
kn(n 1)
Contoh : Berikut ini adalah jawaban responden terhadap ranking pilihan perguruan tinggi di Jakarta Barat (1 = untuk yang paling dipilih, 8 = yang paling tidak dipilih)
Calon
UNTAR UI
TRISAKTI STEKPI UMB ATMA SUPRA UPN
A
3
2
1
5
8
6
7
4
B
2
5
1
3
4
7
6
8
C
4
3
2
1
7
5
8
6
Mahasiswa
Ranking
Calon
UNTAR UI
TRISAKTI STEKPI UMB ATMA SUPRA UPN
A
3
2
1
5
8
6
7
4
B
2
5
1
3
4
7
6
8
C
4
3
2
1
7
5
8
6
R
9
10
4
9
19
18
21
18
Mahasiswa
2
12(1728) 3 8 3(8 1) 3(8)(8 1)
Kesimpulan :
2
15
DECISION MAKING THEORY I
Tujuan Instruksional Umum : 7.
Mahasiswa mampu memahami apa yang dimaksud dengan Teori Pengambilan Keputusan.
8.
Mahasiswa mampu memahami kegunaan dari Teori Pengambilan Keputusan.
9.
Mahasiswa mampu memahami pengujian-pengujian yang dilakukan didalam Teori Pengambilan Keputusan.
Tujuan Instruksional Khusus : 8.
Mahasiswa mampu untuk mengambil keputusan dengan resiko.
9.
Mahasiswa mampu untuk mengambil keputusan dalam ketidakpastian.
10.
Mahasiswa mampu menghitung Margin Analysis.
Pertemuan minggu ke 12.
DECISION MAKING THEORY I
A. Pengambilan Keputusan dengan Resiko Pengambilan keputusan dengan resiko.(risk) adalah keputusan yang diambil terhadap alternatif-alternatif yang tersedia dimana masing-masing alternatif memiliki nilai peluang. Langkah-langkah pada pengambilan keputusan yang beresiko: 1. Mengidentifikasi berbagai macam alternatif 2. Menduga probablitas terhadap setiap alternatif yang ada 3. Menyusun hasil atau payoff untuk semua alternatif yang ada 4. Mengambil keputusan terhadap hasil yang terbaik Example : Anda ingin melakukan investasi di pasar modal, dengan modal sebesar Rp30.000. Ada 3 perusahaan yang sedang anda pelajari, yaitu Saham PT. ANA. Saham PT. Badu dan Saham PT. Cono. Berikut matriks hasil atau payoff dari ketiga saham tersebut. Prsh
Harga
Jumlah
Kondisi baik/lbr
saham
saham
Dividen
Total
Dividen
Total
PT.ANA
200/lbr
150
50
7500
15
2250
PT.BADU
300/lbr
100
70
7000
21
2100
PT.CONO
500/lbr
60
95
5700
32
1920
Saham perusahaan mana yang anda beli? 1. Kriteria Expected value-EV
Kondisi buruk/lbr
Yaitu rata-rata tertimbang dari payoff untuk setiap alternatif dengan probablitas setiap peristiwa. Nilai EV dicari dengan rumus : EV = payoff x Probablitas suatu peristiwa EV anda untuk ketiga saham adalah sbb: Perhitungan EV Prsh
K. Baik
K. Buruk
Perhitungan EV
Nilai EV
(P= 0.5)
. (P= 0.5)
PT.ANA
7500
2250
(7500x0,5)+ 2250x0,5
4875
PT.BADU
7000
2100
(7000x0,5)+ 2100x0,5
4550
PT.CONO
5700
1920
(5700x0,5)+ 1920x0,5
3810
Nilai EV yang terbesar merupakan keputusan yang terbaik, dari nilai EV maka keputusan investasi anda adalah untuk membeli saham PT.ANA. 2. Kriteria Expected Oppurtunity Loss (EOL) Kriteria
Expected
Oppurtunity
Loss
(EOL)
mempunyai
prinsip
meminimumkan kerugian (loss) yang disebabkan oleh pemilihan alternatif tertentu.atau pemilihan alternatif yang bukan terbaik. EOL dihitung untuk setiap peristiwa dengan pertama kali mengidentifikasi tindakan terbaik untuk setiap peristiwa.EOL lanjutan Expected value-EV. Dari hasil EV mana yang terbaik? Yang terbaik diberikan nilai Nol dan berfungsi sebagai pengurang. Nilai
Expected
Oppurtunity Loss (EOL) yang paling kecil adalah yang terbaik sebagi keputusan. Dicari dengan rumus: EOL = Oppurtunity Loss x Probablitas suatu peristiwa
Berdasarkan contoh diatas, hitunglah EOL dan investasi mana yang terbaik?
Berikut adalah perhitungan EOL Saham
OL baik
OL buruk
Nilai EOL
PT.ANA
7500*-7500= 0
2250*-2250=0
0x0,5 + 0x0,5 = 0
2250 -
500x0,5 + 150x0,5=375
PT.BADU
750
-7000=500
2100=150 PT.CONO
7500 -
2250 -1920
1800x0,5
5700=1800
=330
+330x0,5=1065
Cat. *7500 dan 2250 sebagai pengurang, karena nilai yang terbesar (terbaik) pada peristiwa baik dan buruk. Dengan melihat nilai EOL, nilai EOL yang paling kecil adalah Nol, berarti saham PT ANA direkomendasikan untuk anda beli.
B. Pengambilan Keputusan dalam Ketidakpastian Keputusan dalam ketidakpastian menunjukkan tidak adanya probablitas atau informasi yang sempurna tentang suatu kejadian. Ada 5 kriteria dalam pengambilan keputusan dalam kondisi ketidakpastian. 1. Kriteria Laplace Kriteria ini mengatakan, setiap peristiwa diasumsikan mempunyai probablitas yang sama. Keputusan yang akan diambil apabila hasil perkalian antara hasil dengan probablitas adalah yang tertinggi
Contoh : Berikut adalah deviden yang dibagikan oleh 3 perusahaan yang ada di BEJ yaitu ANA, BADU DAN CONO. Dividen dibagikan berdasarkan keuntungan dan juga berdasarkan kondisi ekonomi yaitu kondisi ekonomi dalam krisis, normal dan boom. Tabel selengkapnya adalah sbb : Perusahaan
Kondisi perekonomian Boom
Normal
Krisis
ANA
1180
488
250
BADU
2000
1356
300
CONO
4463
1666
185
Pada kondisi diatas ada tiga peristiwa dan diasumsikan memiliki probablitas yang sama (Kriteria Laplace), sehingga setiap peristiwa memiliki nilai probablitas 1/3, sehingga nilai yang diharapkan (expected value-EV) dari setiap alternatif adalah : Perusahaan
Perhitungan nilai expected value-EV Boom
ANA
Normal 1180x0,3 + 488x0,3
Krisis + 250x 0,3 =639
BADU
2000x0,3 + 1356x0,3 + 300x0,3 = 1219
CONO
4463x0,3 + 1666x0,3 + 185x0,3= 2015
Hasil perhitungan expected value-EV yang terbesar adalah perusahaan CONO
2. Kriteria Maximin
Dalam kondisi penuh ketidakpastian pengambilan keputusan sebaiknya bersifat Pesimis terhadap masa depan dan memilih hasil yang terbaik yang bernilai maksimum dari kondisi yang pesimis. (yang terbaik dari terburuk). Dari data diatas, kondisi terburuk adalah kondisi perekonomian yang krisis, dan keputusan yang terbaik atas kriteria maximin adalah memilih perusahaan Badu.
3. Kriteria maximax Kriteria ini kebalikan dari kriteria yang maximin. Kriteria ini menyarankan pengambilan keputusan bersifat optimis, dan memilih hasil yang maksimum dari alternatif yang terbaik. Dari contoh diatas, kondisi yang optimis adalah kondisi perekonomian yang Boom dan keputusan yang terbaik adalah memilih perusahaan Cono, karena memiliki nilai yang terbesar. 4. Kriteria Hurwicz Kriteria ini merupakan kompromi dari pendekatan kriteria maximin dan maximax. Kriteria ini menghendaki koefisien Optimisme (coefficient Optimism). Koefisien ini memiliki nilai antara 0-1. Nilai Nol untuk kondisi yang sangat pesimis dan nilai 1 untuk kondisi yang Optimis. Apabila koefisien optimis adalah “a”, maka koefisien pesimis adalah “b”, dimana b = 1 - a. Kriteria ini menyarankan bahwa alternatif yang terbaik adalah nilai yang tertinggi dari hasil perkalian antara hasil atau payoff dengan koefisien optimisme. Contoh : Dari data diatas, menurut penelitian ternyata koefisien optimisme 0,63. Bagaimanan keputusan anda?
Prsh
Boom
Normal
Krisis
Perhitungan EV
ANA
1180
Diabaikan
250
1180x0,63 + 250x0,37= 836
BADU
2000
300
2000x0,63 + 300x0,37 =1371
CONO
4463
185
4463x0,63 + 185x0,37 =2880
Berdasarkan pada kriteria Hurwicz, keputusan yang terbaik adalah memilih nilai EV yang tertinggi yaitu Perusahaan CONO 5. Kriteria minimax regret Kriteria ini merupakan pengembangan dari kriteria oppurtinity loss (OL). Prinsip dari pendekatan ini adalah menghitung regret (penyesalan) yang terjadi akibat tidak memilih alternatif maksimum pada setiap kondisi (OL). Kriteria ini memilih alternatif dengan regret minimum (lakukan yang terbaik pada kondisi yang terburuk). Pendekatan minimax regret dilakukan dengan mengurangkan setiap alternatif dengan alternatif maksimumnya. Kemudian nilai OL pada setiap kondisi dipilih yang maksimum. Alternatif keputusan yang diambil adalah nilai regret yang minimum. Nilai hasil atau payoff yang tertinggi diberikan nilai Nol, dan nilai lainnya merupakan selisih antara nilai alternatif tertinggi dengan nilai pada alternatif tersebut. Perusahaan
Nilai OL pada kondisi Boom
Normal
Krisis
ANA
4463-1180=3283
1666-488=1178
300-250=50
BADU
4463-2000=2463
1666-1356=310
300-300=0
CONO
4463-4463=0
1666-1666=0
300-185=115
Untuk memilih keputusan yang terbaik adalah memilih nilai minimum dari regret maksimi untuk setiap alternatif, sehingga yang dipilih adalah CONO. Perusahaan
Nilai minimax regret maksimum untuk semua kondisi
ANA
3283
BADU
2463
CONO
115
DECISION MAKING THEORY II
Tujuan Instruksional Umum : 10.
Mahasiswa mampu memahami apa yang dimaksud dengan Teori Pengambilan Keputusan.
11.
Mahasiswa mampu memahami kegunaan dari Teori Pengambilan Keputusan.
12.
Mahasiswa mampu memahami pengujian-pengujian yang dilakukan didalam Teori Pengambilan Keputusan.
Tujuan Instruksional Khusus : 11.
Mahasiswa mampu untuk memahami Decision Tree Analysis.
12.
Mahasiswa mampu untuk memahami Utility Theory dan Expected Utility Criterion.
Pertemuan minggu ke 13.
DECISION MAKING THEORY II
A. Decision Tree Analysis Ada 3 alternatif saham perusahaan yang akan anda beli sahamnya, dimana probablitas Boom adalah 0,63 dan probablitas krisis adalah 0,37 untuk ketiga perusahaan tersebut. Prsh
Boom
Krisis
ANA
1180
250
BADU
2000
300
CONO
4463
185
Dengan menggunakan pohon keputusan akan dapat ditentukan saham perusahaan mana yang akan dibeli
ANA 1180x0,63 + 250x 0,37 =836
0,63 BOOM 1180
0,37 KRISIS 250
Membe li saham 2880 BADU 2000x0,63 + 300x 0,37 =1371
0,63 BOOM 2000
0,37 KRISIS 300
CONO 4463x0,63 + 185x 0,37 =2880
0,63 BOOM 4463
0,37 KRISIS 185
B.Utility Theory dan Expeted Utility Criterion 1. Bagaimana anda mengambil keputusan berdasarkan kriteria yang ada? 2. Utility Theory dan Expeted Utility Criterion adalah teknik mengambil keputusan berdasarkan kriteria yang telah ditentukan sebelumnya. 3. Multi Attribute Utility (MAU) models salah satu alat yang digunakan untuk mengambil keputusan lebih dari satu atribut yaitu dengan cara menilai utility dari setiap atribut. 4. Dalam model ini diperkirakan utility atribut dari alternatif yang ada. 1.Pengertian Atribut Atribut adalah ciri atau kharakteristik dari suatu objek. Misalnya, seorang manajer dalam rangka memilih seorang pegawai yang akan dipromosikan ke posisi yang lebih tinggi, memakai kriteria latar belakang yang bersangkutan sebagai patokan utama. Latar belakang pegawai diukur dengan atribut lama pengalaman kerja. Selanjutnya dilihat hubungan dengan utility dari alternatif tersebut. Masing masing kriteria diberikan bobot. Contoh. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut. Misalnya anda ingin mencari karyawan. Anda menggunakan dua kriteria dalam pengambilan keputusan., yaitu 1. Latar belakang dan 2. Gaji yang diinginkan. Latar belakang memiliki tiga atribut, yaitu a. Pendidikan, b. Usia dan c. Pengalaman kerja.
Dan kriteria yang anda gunakan sbb: No
Atribut
Kriteria
Bobot
No
Atribut
Kriteria
Bobot
01
Pendidikan
< S1
0,1
03
P.Kerja
< 2 Thn
0,1
>S1
0,2
> 2 Thn
0,5
< 24
0,7
> 24
0,3
02
Usia
Berikut adalah skema yang dipakai, dimanaKeputusan angka yang ada didalam kurung
untuk Calon
menunjukkan proporsi bobot untuk masing-masing atribut bagi seorang calon karyawan
LATAR BELAKA NG (0,6) Pendidikan (0,2)
Usia (0,3)
Bobot: 0,6x0,2=0,1 2
Gaji yang diinginkan (0,4) Pengalama n (0,5)
Bobot 0,6x0,3= 1,8
Gaji (0,4)
Bobot 0,6x0,5= 0,3
Bobot 0,4
Total skor calon ANA adalah 0,12 + 1,8 + 0,3 + 0,4 = 2,62 Dengan cara yang sama untuk calon yang lain. Skor paling tinggi adalah calon karyawan yang akan diputuskan untuk diterima.
C. Sensitivity Analysis (sensitivity of the analysis) •
Apabila suatu keputusan sudah dibuat, satu alternatif keputusan sudah dipilih berdasarkan satu atau lebih kriteria yang dipakai.
•
Jika ada keberatan terhadap keputusan maka akan lebih ditujukan terhadap asumsi yang mendasarinya dari pada metodologinya.
•
Untuk mengurangi kesalahan asumsi dalam merumuskan keputusan, digunakan analisa sensistivitas
Contoh. Misalkan anda ditempatkan pada posisi untuk mengambil keputusan, apakah membangun gudang besar atau kecil. Probablitas sukses 0,65 dan probablitas gagal membangun gudang adalah 0,35. Jika pembangunan gagal anda tetap membayar uang konsultan sebesar 3500 dan 2000 untuk gudang kecil. Sesuai dengan keterangan diatas, apa yang sebaiknya anda lakukan? Situasi masa depan Alternatif
Sukses (S)
Gagal (G)
Gudang besar
18000
3500
Gudang kecil
11500
2000
Pohon keputusan bagi pembangunan gudang KEPUTUSAN: GUDANG BESAR 10475
GUDANG BESAR 18000x0,65 + -3500x 0,35 =10475
SUKSES (0,65) 18.000
GAGAL(0,35) -3500
GUDANG KECIL 11500 x 0,65 + -2000 x 0,35 =6775
SUKSES (0,65) 11.500
GAGAL(0,35) -2000
QUALITY CONTROL
Tujuan Instruksional Umum : 13.
Mahasiswa mampu memahami apa yang dimaksud dengan Quality Control.
14.
Mahasiswa mampu memahami kegunaan dari Quality Control.
15.
Mahasiswa mampu memahami pengujian-pengujian yang dilakukan didalam Quality Control.
Tujuan Instruksional Khusus : 13.
Mahasiswa mampu untuk menerapkan Statistical Process Control.
14.
Mahasiswa mampu untuk menerapkan Control Charts for Process Means.
15.
Mahasiswa mampu untuk menerapkan Control Charts for Process Variability.
16.
Mahasiswa mampu untuk menerapkan Control Charts for Attributes.
Pertemuan minggu ke 14.
QUALITY CONTROL
a. Statistical process control Proses pengendalian dengan statistika (Statistical process control) mengembangkan apa yang disebut diagram kontrol (control diagram). Dengan maksud untuk melihat variasi atau fluktuasi antara nilai sebenarnya dengan nilai yang diharapkan, dan apakah masih dalam batasan yang normal atau terkendali dalam suatu proses produksi Tujuan dari Statistical process control adalah untuk mengontrol mutu barang dan jasa yang dihasilkan sesuai dengan ketentuan . Hal ini dilakukan dengan menggunakan sampling. Untuk menentukan apakah suatu nilai masih dalam batas kendali atau tidak, dikenal dengan diagram kontrol.
68,26% 96,44% 97,74% μ-3σ
μ-2σ
μ-1σ
μ
Batas kontrol mutu (LCL dan UCL) = rata-rata LCL= lower control limit
μ+1σ
μ+2σ
μ+3σ
3 UCL=upper control limit
Batas kepercayaan 99,74 % menunjukkan bahwa apabila ada pengisian 1000 gelas air maka akan ada 997 gelas pada kisaran interval LCL sampai UCL.
B. Control Charts for Process Means. Salah satu diagram control untuk menampilkan fluktuasi rata-rata sampel dari proses produksi adalah Diagram rata-rata. Diagram ini berfungsi melihat batas bawah dan batas atas nilai rata-rata setiap pengambilan sampel, apakah dari setiap sampel tersebut normal atau tidak. Dimana batas bawah (lower control limit= LCL) dan batas atas (upper control limit = UCL), dicari dengan rumus : UCL = X + A2R dan LCL = X - A2R Dimana : UCL = upper control limit dan LCL = lower control limit X
= Nilai tengah diagram atau rata rata dari rata-rata.
A2
= Faktor peta kendal dan
R
= Nilai rata rata rentang.
Contoh: Misalkan anda sebagai produsen air mineral yang menghasilkan ribuan gelas setiap hari. Setiap gelas berisi 240 ml air. Untuk menjamin mutu dan memastikan bahwa isi air dalam gelas masih dalam batasan normal dilakukan 5 kali pengambilan sampel dan setiap pengambilan ada 4 gelas sampel. Berikut adalah data yang diperoleh Ex. 4 Gelas Auqa sebagai sampel.
Jam
07.00
Gelas sampel 1
2
3
4
241
243
242
241
11.00
243
239
240
240
16.00
239
242
241
244
21.00
243
246
241
238
02.00
239
240
239
239
Langkah pertama adalah mencari rata-rata dari rata-rata Jam
07.00
Gelas sampel
Rata-rata
1
2
3
4
241
243
242
241
241,75
11.00
243
239
240
240
240,05
16.00
239
242
241
244
241,05
21.00
243
246
241
238
240,00
02.00
239
240
239
239
239,25
Rata-rata dari rata-rata. 1205/5 =
241
Langkah kedua, adalah menghitung rata-rata rentang ( nilai tertinggi dikurang nilai terkecil) dari seluruh sampel.
Jam
Tertinggi
Terendah
Rentang (R)
07.00
243
241
2
11.00
243
239
5
16.00
244
239
4
21.00
246
238
8
02.00
240
239
1
Rata-rata rentang
Langkah ketiga adalah menghitung UCL dan LCL UCL = X + A2R UCL = 241 + 0,729 (4) = 243,96 0,729 dari tabel Kendal, dengan n=4 dan peta rata-rata untuk A2 LCL = X - A2R
20/5=4
LCL = 241 - 0,729 (4) = 238,08 Sehingga bentuk diagram rata-rata controlnya adalah sbb:
243
241
238 07.00
11.00
16.00
21.00
02.00
Dari diagram diatas, pengisian air masih dalam batas normal C. Control Charts for Process Variability. Untuk melihat variasi atau keragaman dari rentang sampel digunakan diagram rentang (Control Charts for process variability). Dimana nilai UCL dan LCL dicari dengan rumus sbb: UCL = D4R LCL = D3R R = Nilai rata rata rentang dan D4 , D3 = Faktor peta kendal diagram kontrol Contoh diagram rentang Jam
Volume air dalam gelas
Rentang
1
2
3
4
Tinggi
Rendah
Beda
07.00
241
243
242
241
243
241
2
11.00
243
239
240
240
243
239
5
16.00
239
242
241
244
244
239
4
21.00
243
246
241
238
246
238
8
02.00
239
240
239
239
240
239
1
Rata-rata rentang (R) =
R/n
20/5 = 4
UCL = D4R = 2,11 x 4 = 8,46 LCL = D3R = 0 x 4 = 0 Nilai 2,11 dan 0 dilihat dari tabel faktor peta kendal. Dari nilai diatas, bila nilai rentang (selisih nilai tertingi dengan terkecil) antara 0 s/d 8,46, dikatakan proses produksi masih berjalan normal. Dari diagram berikut tampak bahwa siklus pada malam hari yaitu jam 21 dan 02 lebih besar dari siang hari. D. Control Charts for Attributes Pengendalian dengan diagram atribut (Control Charts for atributes) adalah diagram kontrol yang dapat diklasifikasikan secara dikotomi. Misalnya baik memenuhi syarat atau tidak. Usaha yang layak atau tidak. Diagram ini dinamakan juga diagram proporsi karena menunjukkan suatu proporsi. Untuk menentukan batas bawah dan batas atas dicari dengan rumus sbb : UCL = Þ+3 Þ(1- Þ)/n dan LCL = Þ-3 Þ(1- Þ)/n Dimana: Þ = rata-rata proporsi ke-cacat-an n = banyaknya sampel Contoh : .Misalkan anda sebagai kepala Quality control di pabrik sepatu,yang menggunakan mesin pemotong dengan ketepatan 0,1 cm. Apabila potongan > 0,1 Cm maka dianggap “cacat”. Berikut adalah jumlah yang cacat selama satu hari dalam 3 shift kerja. Dengan
menggunakan Control Charts for atributes, apakah kondisi proses produksinya normal atau tidak? Jika jumlah yang cacat selama satu hari sbb: Ex.Jumlah cacat Jam shift
Produksi
Jumlah yang cacat
07.00 – 1–5.00
1760
48
15.00 – 23.00
1026
13
23.00 – 07.00
1101
52
Langkah 1. menghitung proporsi rata-rata Jam shift
Produksi
Jumlah yang
Proporsi
cacat 07.00 – 1–5.00
1760
48
48/1760 = 0,03
15.00 – 23.00
1026
13
13/1026 = 0,01
23.00 – 07.00
1101
52
52/1101 = 0.05
Þ= p/n = (0,03+0,01+0,05)/3 = 0,03
Langkah 2. Menghitung nilai LCL dan UCL UCL = Þ+3 Þ(1- Þ)/n = 0,03 + 3 0,03(1-0,03)/3 = 0,32 LCL = Þ-3 Þ(1- Þ)/n = 0,03 - 3 0,03(1-0,03)/3 = -0,261
Dari nilai LCL dan UCL diatas, proporsi yang cacat antara -0,261 sampai 0,32 dapat dikatakan normal. Apabila diluar interval tersebut tidak normal. Dari data didapat bahwa proporsi terkecil adalah 0,01 dan terbesar adalah 0,05, dimana kedua nilai ini berada dibawah 0,32 dan diatas - 0,261, sehingga proses produksi berjalan normal.
