BIAStatistics (2016) Vol. 10, No. 1, hal. 1-7
PENGGUNAAN ORDER STATISTICS DALAM MENENTUKAN SAMPEL PADA EKSPERIMEN LIFE-TESTING
1,2
Yeny Krista Franty1 , Budhi Handoko2 Departemen Statistika FMIPA Universitas Padjadjaran Bandung Email :
[email protected]
ABSTRAK Order statistics memainkan peranan yang penting dalam pengukuran lifetime (usia pakai) karena pengamatan dilakukan dalam waktu yang berurutan. Selama ini, dalam industri manufaktur proses pengukuran lifetime dilakukan sampai semua sampel mati, sehingga proses ini memerlukan waktu dan biaya yang cukup besar. Salah satu cara yang bisa dilakukan untuk mengurangi waktu dan biaya dalam melakukan eksperimen life-testing adalah dengan menentukan sampel minima. Sehingga proses pengukuran lifetime tidak perlu dilakukan sampai semua sampel yang diambil mati. Hal ini bisa didapatkan dengan cara memperoleh momen order ke-k dari fungsi densitas order statistics yang sesuai dengan distribusi data waktu kerusakan dari lifetime sebuah produk. Kata Kunci : Analisis reliabilitas, Eksperimen life-testing, Order statistics.
1.
PENDAHULUAN
Dalam industri manufaktur, salah satu tolak ukur kualitas dari produk adalah lifetime (usia pakai) produk tersebut. Konsumen selalu menginginkan lifetime produk yang panjang, oleh karena itu setiap perusahaan berusaha menjaga kualitas dari lifetime produk yang dihasilkan. Proses pengukuran dan pemeriksaan lifetime produk membutuhkan waktu yang lama dan biaya yang besar. Selama ini proses pengukuran lifetime produk dilakukan sampai semua produk yang diambil sebagai sampel mati, sehingga proses ini memerlukan waktu dan biaya yang cukup besar. Sehingga diperlukan suatu metode untuk mengatasi permasalahan ini. Salah satu cara yang bisa dilakukan untuk mengurangi waktu dan biaya dalam melakukan eksperimen life-testing sebuah produk adalah dengan menentukan sampel minimal dalam eksperimen. Sehingga proses pengukuran lifetime tidak perlu dilakukan sampai semua sampel mati. Hal ini bisa didapatkan dengan cara memperoleh momen order ke-k dari fungsi densitas order statistics yang sesuai dengan distribusi data waktu kerusakan dari lifetime produk tersebut. Order statistics memainkan peranan yang penting dalam analisis reliabilitas dan pengukuran lifetime (usia pakai). Penerapan order statistics berguna pada saat pengamatan dilakukan dalam waktu yang berurutan, sebagai contohnya adalah dalam pengukuran lifetime. Berdasarkan pengamatan yang terurut ini bisa didapatkan informasi mengenai fungsi hazard rate. Fungsi hazard rate ini dapat diperoleh dengan menggunakan plot yang diperkenalkan oleh Nelson (1982). Terdapat berbagai bentuk fungsi hazard rate yang sudah dikenal, diantaranya fungsi hazard rate bathtub-shaped yang diperkenalkan pertama kali oleh Hjorth (1980) dan kemudian dikembangkan oleh Dhillon (1983). Bentuk lain dari fungsi hazard rate dikaji oleh Lai dan Xie (2003) yang mempunyai distribusi kerusakan modifikasi dari distribusi Weibull (Modified Weibull Distribution). Namun demikian, sangat sulit menemukan momen dari fungsi densitas order statistics yang sesuai dengan model kerusakan tersebut (Pal, 2005).
1
Sehingga Pal (2005) memberikan alternatif lain dari fungsi hazard rate yang dapat digunakan untuk mencari fungsi densitas dari order statistics yaitu fungsi hazard rate yang meningkat secara linier yang mengikuti distribusi Weibull. 2.
METODOLOGI
Untuk menjawab tujuan penelitian yaitu menentukan sampel minimal dari eksperimen life-testing dilakukan dengan tahapan sebagai berikut : 1. Menentukan momen order ke-k dari fungsi densitas order statistics yang sesuai dengan distribusi waktu kerusakan Weibull, yaitu dengan cara: a.
Menentukan fungsi hazard rate yang meningkat secara linier, yaitu h(t ) at b1 , a dan b > 0. dengan:
, = parameter skala dari distribusi Weibull, >0 b = parameter bentuk dari distribusi Weibull, >0 a
b.
Menentukan H (t ) dengan rumusan t
H (t ) h(t )dt . 0
c.
Menentukan fungsi densitas order statistics, fr:n(t).
d.
Menurunkan momen order ke-k dari fungsi densitas order statistics,
r(:kn) t k f r:n (t )dt 0
2.
Menentukan sampling minimal dalam eksperimen life-testing lampu pijar berdasarkan urutan kerusakan yang terjadi, dengan cara: a.
Mengambil n buah sampel random dari suatu proses produksi lampu pijar.
b.
Menaksir parameter distribusi lifetime data sampel dengan menggunakan metode maximum likelihood estimation, setelah nilai dugaan untuk parameter bentuk () dan nilai dugaan untuk parameter skala () diperoleh dengan metode Newton-Raphson, maka perlu dilakukan transformasi untuk melakukan analisis lebih lanjut. Parameter skala yang digunakan dalam analisis ini adalah a, dengan nilai
a
, = parameter skala dari distribusi Weibull, >0, dan = parameter
bentuk dari distribusi Weibull, >0. Sedangkan parameter bentuk yang digunakan dalam analisis ini adalah b = parameter bentuk dari distribusi Weibull, >0.
2
c.
Menentukan fungsi h(t) dengan nilai parameter yang telah diperoleh dari langkah (b).
d.
Menentukan fungsi H(t) dari fungsi h(t) yang telah diperoleh sebelumnya.
e.
Menentukan sejumlah nilai r (urutan kerusakan) dalam n buah sampel (28), dimana r = 1,2,3,…,28.
Biastatistics Vol 10, No.1, Februari 2016
3.
f.
Menghitung nilai ekspektasi dari setiap nilai r dengan menggunakan rumusan momen order ke-k ( r(:kn) ) yang diperoleh dari tujuan (1).
g.
Menghentikan pengujian pada suatu r tertentu ketika nilai ekspektasinya sudah melebihi 1250 jam (sesuai dengan Standar Nasional Indonesia).
HASIL DAN PEMBAHASAN
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data riil mengenai pengukuran lifetime (usia pakai) lampu pijar yang diproduksi oleh PT Phillips Ralin Electronics Surabaya yang diproduksi pada mesin B1 unit 10 dengan spesifikasi lampu pijar 220V/25W/A60/CL/E27. Data ini diambil mulai tanggal produksi 29 Maret 2001 sampai dengan 8 April 2001 (Juana dan Isnaini, 2001). Sampel minimal dalam eksperimen life-testing di PT Phillips Ralin Electronics Surabaya dapat dihitung dengan menggunakan momen order ke-k ( r(:kn) ) dari fungsi densitas order statistics yang sesuai dengan distribusi data waktu kerusakan dari lifetime lampu pijar tersebut yaitu Weibull. Dari hasil estimasi parameter menggunakan metode Maximum Likelihood Estimation (MLE) diperoleh nilai parameter bentuk () = 4,0495 dan nilai parameter skala () = 1303,6. Parameter skala yang digunakan dalam analisis selanjutnya adalah a, nilai
ˆ ˆ , dengan = parameter skala dari distribusi Weibull, >0, dan merupakan ˆ parameter bentuk dari distribusi Weibull, >0. Sehingga nilai b = = 4,0495 dan nilai a
a
ˆ 4,0495 9,8316 x 10-13 . ˆ 4,0495 ˆ 1303,6
Fungsi hazard rate dari data lifetime lampu yang menunjukkan waktu kerusakan berdistribusi Weibull adalah:
h(t ) at b 1 9,8316 x1013 t 3.0495 yang mempunyai plot seperti ditunjukkan pada Gambar 1.
Gambar 1. Grafik Fungsi Hazard Rate
Biastatistics Vol 10, No.1, Februari 2016
3
Fungsi hazard rate kumulatifnya adalah
a b t b 9,8316 x1013 4,0495 t 4,0495
H (t )
2,43x10-13t
4.0495
Fungsi distribusi kumulatif-nya adalah
F (t ) 1 exp[ H (t )]
1 exp 2,43x10-13t
4,0495
Fungsi distribusi kumulatif mempunyai plot seperti ditunjukkan pada Gambar 2.
. Gambar 2. Grafik Fungsi Distribusi Kumulatif Berdasarkan fungsi hazard rate dan fungsi distribusi kumulatif yang telah diperoleh sebelumnya maka fungsi densitas-nya adalah sebagai berikut
f (t ) h(t ){1 F (t )} 9,8316 x1013 t
3,0495
.exp 2,43x10-13t
4,0495
dengan plot fungsi densitas disajikan pada Gambar 3. Sehingga fungsi densitas order statistics dari data lifetime lampu adalah: a
a
( n r 1) t b tb n b 1 e b f r:n (t ) r at b 1e r
365061060 x 9,8316 x10
4
13
t
r 1
3,0495
e
4,0495 12 x2,43x10-13t
16
4,0495 2,43x10-13 t 1 e
Biastatistics Vol 10, No.1, Februari 2016
Gambar 3. Grafik Fungsi Densitas Fungsi reliabilitas dari data adalah sebagai berikut:
R(t ) 1 F (t )
1 1 exp 2,43x10-13t
exp 2,43x10-13t 4,0495
4,0495
dengan plot grafik fungsi reliabilitas ditampilkan pada Gambar 4.
Gambar 4. Grafik Fungsi Reliabilitas Nilai rata-rata waktu terjadinya kerusakan bola lampu pijar untuk urutan kerusakan lampu (r) dan n sampel sebanyak 28 dapat dilihat pada Tabel 1. Interpretasi dari Tabel 1. adalah r merupakan urutan waktu terjadinya kerusakan bola lampu, dan r:n adalah nilai rata-rata waktu terjadinya kerusakan bola lampu pada urutan ke-r untuk sejumlah n sampel bola lampu. Untuk r = 1, artinya adalah rata-rata waktu terjadinya kerusakan pertama dari 28 bola lampu adalah 519,3 jam. Jika nilai r = 2, maka rata-rata waktu terjadinya kerusakan kedua dari 28 bola lampu adalah
Biastatistics Vol 10, No.1, Februari 2016
5
650,4 jam, dan seterusnya. Pengujian ini akan dihentikan ketika rata-rata kerusakan bola lampu melebihi nilai maksimum dari Standard Nasional Indonesia (SNI) yaitu 1250 jam yang terjadi pada kerusakan ke-17 dengan rata-rata waktu kerusakan 1265,2 jam. Hal ini dapat diartikan bahwa pengujian life-testing dapat dihentikan sebelum semua sampel sebanyak 28 mati, tanpa mengurangi informasi mengenai lifetime lampu karena setelah kerusakan ke-17 terjadi nilai rata-rata waktu kerusakan adalah 1265,2 jam. Tabel 1. Nilai Rata-rata Waktu Terjadinya Kerusakan Bola Lampu Pijar (jam) r 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
r:n 519,3 650,4 734,2 798,4 852,0 898,7 940,7 979,3 1015,4 1049,6 1082,3 1114,0 1144,8 1175,1
r 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
r:n 1205,2 1235,1 1265,2 1295,7 1326,9 1359,1 1392,7 1428,3 1466,5 1508,6 1556,5 1613,7 1688,7 1811,1
Dari hasil pembahasan ini diharapkan dapat mengurangi waktu dan biaya yang dikeluarkan dalam melakukan eksperimen life-testing. Penghematan yang dapat dilakukan dalam menerapkan metode ini adalah dapat menghemat waktu dan juga dapat menghemat banyaknya sampel bola lampu yang digunakan dalam eksperimen life-testing yaitu sebesar 39.3% . 4.
KESIMPULAN
Banyaknya sampel minimal yang seharusnya diperlukan untuk eksperimen lifetesting dari lampu pijar di PT Phillips Ralin Electronics yang diproduksi pada mesin B1 unit 10 dengan spesifikasi lampu pijar 220V/25W/A60/CL/E27 adalah 17 dengan ratarata waktu kerusakan 1265,2 jam. Hal ini dapat diartikan bahwa pengujian eksperimen life-testing dari lampu pijar ini dapat dihentikan ketika rata-rata kerusakan bola lampu melebihi nilai maksimum dari Standard Nasional Indonesia (SNI) yaitu 1250 jam yang terjadi pada kerusakan ke-17 dengan rata-rata waktu kerusakan 1265,2 jam. Sehingga pengujian life-testing tidak perlu dilakukan sampai semua sampel sebanyak 28 mati, tetapi perusahaan tetap memperoleh informasi mengenai lifetime lampu yang sesuai dengan SNI dan mendapat keuntungan dengan menghemat waktu dan banyaknya sampel bola lampu yang digunakan dalam eksperimen life-testing sebesar 39,3%.
6
Biastatistics Vol 10, No.1, Februari 2016
5.
DAFTAR PUSTAKA
Casela, G. Dan Berger, R.L., 2002, Statistical Inference, Duxbury, California. Dhillon, B.S., 1983, Reliability Engineering in Systems Design and Operation, Van Nostrand Reinhold, New York. Ebeling, C.E., 1997, An Introduction to Reliability and Maintainability Engineering, The Mc Graw-Hill Companies Inc, Singapore. Evans, M., Hastings, N., dan Peacock, B., 2000, Statistical Distribution, John Wiley & Sons, New York. Hjorth, U., 1980, A reliability distribution with increasing, decreasing, constant, bathtub-shape failure rate, Technometrics, 22, 99-107. Hoyland, A., dan Rausand, M., 1994, System Reliability Theori Models and Statistical Methods, John Wiley and Sons, New York. Lai, C.D. dan Xie, M., 2003, A Modified Weibull distribution, IEEE Transactions on Reliability, 52, 33-37. Mukaromah, A., 2003, Perbandingan Estimasi Parameter Model Keandalan Dengan Menggunakan Metode Bayesian Dengan Pendekatan MCMC dan Maximum Likelihood Estimation Pada Distribusi Weibull, Skripsi Jurusan Statistika FMIPA-ITS, Surabaya. Nelson, W., 1982, Applied Life Data Analysis, John Wiley, New York. Pal, S., 2005, Order statistics for some common hazard rate functions with an application, The International Journal of Quality & Reliability Management, 22, 201-210. Taylor, H.M. dan Karlin, S., 1998, An Introduction to Stochastic Modeling, Academic Press, New York.
Biastatistics Vol 10, No.1, Februari 2016
7
