JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011
PENGGUNAAN INTERPOLASI HERMITE KUBIK DALAM PENYELESAIAN PERSAMAAN STURM-LIOUVILLE DENGAN METODE ELEMEN HINGGA Dwi Maryono Program Studi Pendidikan Matematika FKIP UNS ABSTRAK Penerapan matematika dalam bidang fisika sering menghasilkan suatu masalah nilai eigen, khususnya persamaan Sturm-Liouville. Dari persamaan ini dapat dibentuk syarat batas Dirichlet atau campuran yang homogen. Untuk mendapatkan penyelesaian pendekatan nontrivial dapat digunakan metode elemen hingga. Tujuan dari penulisan ini adalah menentukan penyelesaian pendekatan (nilai eigen dan fungsi eigen pendekatan) dari persamaan Sturm-Liouville dengan metode elemen hingga khususnya, dengan interpolasi Hermite kubik. Hasil secara numerik menunjukkan bahwa metode tersebut cukup baik untuk menyelesaikan persamaan Sturm Liouville, di mana error yang dihasilkan sangat tergantung pada panjang elemen yang diambil dan juga tergantung pada indeks nilai/fungsi eigennya. Kata kunci : elemen hingga, Sturm-Liouville, Hermite kubik, nilai eigen
ABSTRACT Eigenvalue problems especially Sturm-Liouville equations often occur in physics. Homogenous Dirichlet or mixed boundary value problems can be constructed from these equations. The nontrivial solution from these equations can be obtained using finite element methods. The purpose of this research is to obtain the details of the construction of finite element method using cubic Hermite interpolation in solving Sturm-Liouville equations. The result shows that the solutions of the finite element method using cubic Hermite interpolation is good enough in solving Sturm Liouville equation. Based on the example, its error depends on the element’s length and the index of the eigenvalue or eigen function.
Persamaan (1) dengan syarat batas (2a)
PENDAHULUAN Penerapan matematika dalam bidang
dan (2b) mempunyai penyelesaian
u0
fisika sering menghasilkan suatu bentuk
(penyelesaian
khusus dari masalah syarat batas yang dikenal
mempunyai penyelesaian nontrivial jika dan
dengan masalah nilai eigen. Masalah syarat
hanya jika parameter berharga tertentu yang
batas seperti ini pada umumnya berbentuk
disebut dengan nilai eigen. Penyelesaian u
persamaan Sturm-Liouville, seperti persamaan
yang terkait dengan eigen disebut fungsi
berikut.
eigen. Penyelesaian (1) dapat diperoleh dengan
d du p( x) q( x)u u, dx dx
trivial).
Persamaan
(1)
metode beda hingga (Gerald dan Wheatley,
0 x L,
1994) dan metode elemen hingga (Reddy,
(1)
1984). Metode beda hingga lebih sederhana dengan p(x), p(x)0, q(x), dan w(x)0 adalah
dibandingkan dengan metode elemen hingga
=(0, L)
tapi fungsi eigen pendekatan yang diperoleh
fungsi yang kontinu pada domain dan adalah suatu parameter.
tidak berbentuk fungsi tapi hanya nilai-nilai
Dari persamaan (1) dapat dibentuk syarat batas 1. Dirichlet : u(0) u( L) 0, (2a) 2. Campuran: atau u(0) u' ( L) 0 (2b) u' (0) u( L) 0.
pendekatan dari fungsi eigen eksak di titik-titik yang ditentukan sehingga untuk mendapatkan nilai pendekatan di titik lain diperlukan perhitungan lagi dari awal. Sedangkan dengan metode elemen hingga, hasilnya berupa fungsi, 46
JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011
yang diperoleh dari interpolasi terhadap nilai-
positif pada ruang Hilbert H maka dapat
nilai pasangan di antara domainnya.
dibentuk fungsional kuadratik I (v) Av, v
Dalam metode elemen hingga, fungsi
H
2 f ,v
H
.
polinomial
dengan , adalah hasil kali dalam. Jika fungsi
interpolasi, biasanya menggunakan interpolasi
u adalah penyelesaian dari (3) maka menurut
Lagrange. Hasil dari metode elemen hingga
Reddy [1986], u akan meminimumkan I(v).
dengan menggunakan interpolasi Lagrange
Menurut Strang dan Fix [1973], jika u adalah
akan menghasilkan fungsi pendekatan yang
minimum dari I(v) maka u memenuhi
pendekatan
diperoleh
dari
merupakan keluarga dari kelas himpunan
Au, v
H
C0() dengan
menggunakan kolokasi
metode
tersebut
mengaplikasikannya
menentukan
penyelesaian
disebut
fungsi
tes.
Dengan
ruang admissibel, dinotasikan dengan HA. Dengan demikian, formulasi variasionalnya
adalah
menjadi
interpolasi Hermite kubik. Untuk itu penulis mencoba
v
yang lebih besar daripada H. Ruang ini disebut
keluarga dari kelas himpunan yang lebih tinggi Interpolasi
sebagai
penyelesaian u dapat diperluas menjadi ruang
fungsi
penyelesaian pendekatan yang merupakan C0().
disebut
menerapkan (4) terhadap (3) maka domain dari
variasional
diperlukan
(4)
(4)
formulasi variasional dari persamaan (3).
fungsi
kasus dengan orde yang lebih tinggi atau
dari
untuk setiap vH
Fungsi u dalam (4) disebut fungsi trial dan
Menurut Carey dan Oden [1983], untuk
seperti
H
Persamaan
C m () {u( x), x / u, u' ,...,u ( m) kontinu pada }
dengan
f ,v
Au, v
dalam
H
f ,v
H
untuk setiap vHA
atau
pendekatan
B(u, v) l (v) untuk setiap vHA
persamaan Sturm-Liouville dengan metode
(5)
dengan B: HA HA adalah fungsi bilinear
elemen hingga.
dan l adalah fungsional linear. PEMBAHASAN
Pendekatan Galerkin dari persamaan (3)
Formulasi Variasional dan Pendekatan Galerkin
diperoleh dengan membawa persamaan (5) ke dalam subruang berdimensi hingga H h HA
Secara umum persamaan diferensial
sehingga pendekatan Galerkin uh memenuhi
dapat dinyatakan dengan Au = f pada
B(u h , v) l (v) untuk setiap v H h HA.
(3)
dengan A adalah operator linear atau nonlinear
Untuk masalah nilai eigen Au = u,
dari suatu ruang hasilkali dalam U ke suatu ruang hasilkali dalam V dan domain dari
digunakan metode variasional
Au , v u, v untuk setiap v HA
persamaan diferensial (Reddy, 1984). Jika A adalah operator
(6)
linear simetris dan definit
atau dapat disajikan 47
JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011
B(u, v) u, v untuk setiap v HA
Kelemahan
metode
variasional
adalah sulitnya mencari fungsi trial u dalam
(7)
persamaan (4). Penyelesaian pendekatan yang
dengan B: HA HA adalah fungsi bilinear
diperoleh dari interpolasi fungsi kurang efektif
dan HA adalah ruang fungsi admissibel.
jika digunakan pada interval yang besar.
Pendekatan Galerkin dari persamaan (6)
Berdasarkan hal tersebut, pendekatan Galerkin
diperoleh dengan membawa persamaan (7) ke
diharapkan berhasil dengan baik jika domain
dalam subruang berdimensi hingga H h HA
dibagi menjadi subdomain-subdomain yang
sehingga pendekatan Galerkin uh memenuhi
lebih kecil. Teknik seperti ini disebut dengan
B(u , v) u , v untuk setiap vH . h
dari
h
h
metode elemen hingga. Secara garis besar langkah-langkah dasar
Interpolasi Hermite
metode elemen hingga menurut Reddy [1984],
Misalkan diberikan domain =[xi1,xi]. Untuk
menerapkan
interpolasi
Carey dan Oden [1983], dan Gerald dan
Hermite,
Wheatley
domain ditransformasikan secara linear ke domain
ˆ [1, 1]
oleh
[1994]
untuk
menyelesaikan
masalah syarat batas pada domain (0, L)
pemetaan
adalah sebagai berikut
=[2x(xi1+xi)] / (xixi1). Menurut Carey dan
1. Pembagian
[0, L] ,
domain
Oden [1983], polinomial Hermite kubik
dengan batas dari menjadi subdomain
mempunyai bentuk
e , e 1, 2, ..., E 2
2
j 1
j 1
Uˆ () uˆ j ˆ 0j () uˆ j ' ˆ 1j ()
elemen-elemen
dengan
a) Setiap e tertutup dan tak kosong
ˆ 11 ( ) ( 1)( 1) / 4,
b) e j , untuk j e
ˆ 20 ( ) ( 1)(2 ) / 4, ˆ 21 ( ) ( 1)( 1) / 4.
E
c) e . e 1
Dengan pemetaan x dapat diperoleh basis-
2. Mengkonstruksikan fungsi bentuk ie , i =
basis 0j , dan 1j pada domain sehingga
1, 2, ..., Ne untuk tiap e sedemikian
polinomial Hermite menjadi U ()
sesuai
Reddy (1988) sebagai berikut.
ˆ 10 ( ) ( 1)( 2) / 4,
0 u j j ( x) j 1
hingga
ketentuan yang diberikan Griffin dan
dengan fungsi-fungsi basis adalah
2
yang disebut dengan
sehingga fungsi pendekatan u h
h 2 1 u j ' j ( x) 2 j 1
dapat
ditulis dalam bentuk Ne
dengan h = xi xi1adalah panjang domain
ueh ( x) ej ej , e 1,2,..., E. j 1
Metode Elemen Hingga
3. Menerapkan metode variasional dengan fungsi 48
pendekatan
yang
yang
telah
JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011
diperoleh dari langkah 2 sehingga dapat
ruang Sobolev H1(). Carey dan Oden [1983]
diperoleh sistem persamaan linear untuk
menambahkan bahwa fungsi trial dan fungsi
masing-masing elemen.
tes harus memenuhi syarat batas essensial dari
4. Mengkombinasikan
sistem
persamaan
masalah yang diberikan, yaitu
syarat batas
linear yang diperoleh dari tiap elemen.
yang memberikan nilai-nilai turunan dengan
5. Menerapkan syarat batas yang diberikan
orde 0, 1, 2, …, m1 dengan m adalah derajat
dan
menyelesaikan sistem persamaan
dari ruang fungsi admissibel, dalam hal ini
akhirnya.
adalah ruang Sobolev. Dengan demikian,
Formulasi Variasional untuk Persamaan
berdasarkan syarat batas (2a) dan (2b) dapat
Sturm-Liouville
diperoleh
Pandang persamaan Sturm-Liouville Au
d du p( x) q( x)u u, dx dx
L
B(u, v) Au, v [ p
0 x L
0
du dv quv]vdx dx dx
sehingga (9) menjadi (8)
B(u, v) u, v untuk semua v HA.
(11)
dengan syarat batas (2a) dan (2b) dan p (x), p(x)0, q(x)0 adalah fungsi kontinu pada
Metode Elemen Hingga untuk Persamaan
domain = (0,L).
Sturm-Liouville
Dari persamaan (8) dapat dilihat
Dalam metode elemen hingga pertama
bahwa penyelesaian u adalah di dalam ruang
dibentuk domain dari = (0, L)
H2().
Sobolev
Dengan
dengan adalah batas dari . Selanjutnya
menggunakan
domain
hasilkali dalam
ketentuan sebelumnya. Untuk menerapkan
diperoleh formulasi variasional
interpolasi (9)
Hermite
dibentuk
elemen
e [ x1e , x2e ] . Panjang tiap elemen adalah
dengan HA adalah ruang fungsi admissible
he=x2ex1e dan berlaku x2e = x1e+1.
yang memuat u dan v. Kemudian dapat
Langkah selanjutnya adalah dikonstruksikan
diperoleh
fungsi bentuk ie , i= 1, 2, …, Ne untuk tiap-
d du Au , v [ p qu ]vdx dx dx 0 L
tiap elemen e sehingga fungsi pendekatan uh dapat disajikan dengan
L
du du dv p quv vdx v( p ) dx dx dx 0 0 L
dibagi menjadi berhingga E
subdomain e , e = 1, 2, …, E sesuai dengan
u, v u ( x)v( x)dx ,
Au, v u, v untuk semua vHA
Ne
ueh j e j e , e 1,2,..., E. j 1
(10) Dari persamaan (10) dapat dilihat bahwa ruang fungsi admissibel yang sesuai berada dalam 49
JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011
Dengan
menggunakan
interpolasi
e
e4 12 . Subtitusi (15) ke dalam (14) dan
Hermite kubik dapat diperoleh penyelesaian
dipilih v i e , i = 1, 2, 3, 4 diperoleh
pendekatan untuk tiap elemen , yaitu e
h 2 e 1e e 0e u j j ( x) e u j ' j ( x) 2 j 1 j 1
uhe ( x)
N
j 1
j 1
dengan
(12) dengan fungsi–fungsi bentuk pada elemen
x 2e
kij [ pe (i e )' ( j e )' qei e j e ]dx , e
e
x1e
adalah 3
x1e
( x) [2( x x ) ( x x )] / he , 1e 1
e 2 2
3
e 1
ri e Q1i e ( x1e ) Q2i e ( x2e ) .
( ) [( x x ) (2( x x ) he )] / he , 0e 2
e 2 1
3
e 2
x2e
mij i e j e dx , dan e
1 ( x) [( x x 2e ) 2 (2( x x1e ) he )] / he , 0e
Untuk selanjutnya dapat disajikan
21 ( ) [2( x x1e ) 2 ( x x 2e )] / he 3 . e
sebagai persamaan matriks (13)
e
Karena x2 = x1 e
(du/dx)2 =
e+1
e
maka u2 = u1
(du/dx)1
e+1
.
e+1
Hubungan
Ke ue =Me ue + re
dan ini
ue=[je]. Persamaan (17) dapat disajikan dalam bentuk Ge ue=re dengan entri-entri
sistem persamaan linear yang diperoleh dari
gije=kijemije. Untuk elemen ke-E dapat
tiap elemen.
diperoleh persamaan matriks
Jika digunakan formulasi variasional
E g11 E g 21 g E 31 E g 41
(9) dalam elemen e maka diperoleh x2e
e
x2 du dv qeuv]dx uvdx Q1ev( x1e ) Q2ev( x2e ) 0, e [ pe dx dx x1 x1e
(14)
Dengan Hermite
diperoleh
2
berlaku 3e 1e 1 dan e4 e21 . Dengan
penyelesaian
demikian dapat dinyatakan 11 U1 , 12 U 2 , 13 U 3 12 ,
e
j 1
he 2 e 1 e u j ' j ( x) 2 j 1
..., (15)
j 1
14 U 4 22 ,
3E 1 U 2 E 1 1E ,
32 U 5 13 ,
4E 1 U 2 E 2E ,
3E U 2 E 1 , 4E U 2 E 2 sehingga diperoleh
4
ej j e ( x) ,
dengan
E E E g14 1 Q1 E E g 24 2 0 . E E E g 34 3 Q2 E E g 44 4 0
polinomial
pendekatan uhe ( x) u ej 0j ( x)
E g13 E g 23 E g 33 E g 43
antar elemen u2e u1e 1 dan u'e2 u'1e 1 sehingga
x2
menggunakan
(12),
E g12 E g 22 E g 32 E g 42
Dari pembagian domain diperoleh hubungan
dengan Q1e ( peu ' ) x e dan Q2e ( peu ' ) e . 1
(17)
dengan Ke=[kije], Me=[mije], re=[rie], dan
digunakan dalam perakitan sistem dari seluruh
e4
N
e e e e e j kij j mij ri 0
2
hasil perakitan semua persamaan tiap elemen 1e u1e ,
he e u '2 , 2
e 1e 10 ,
e2
he e u '1 , 2
e e2 11
yang disajikan dalam bentuk persamaan
3e u2e ,
e 3e 02
matriks GU=r,
, dan 50
JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011
dengan matriks G, vektor U dan r seperti
2. Syarat batas Campuran
pada persamaan 18. Selanjutnya
a) Penerapan x2e x1e 1 ,
karena
u(0)=0
maka
Q2e Q1e 1 0 , e = 1, 2, ..., E
dan
b) Penerapan
batas
u(L)=0
campuran
menghasilkan
persamaan matriks (20).
sehingga
diperoleh r Q1 0 0 0 0 0 0 0 Q2E
syarat
u(0)=0
0.
syarat
dan
batas
u(L)=0
campuran
menghasikan
persaamaan matriks (21). Untuk mendapatkan U 0 harus dicari
Penerapan syarat batas (2a ) dan (2b)
sehingga det (K-M) = 0. Akar-akar dari
adalah sebagai berikut berikut
persamaan (K-M) = 0 adalah nilai-nilai eigen 1 g11 1 g 21 g1 131 g 41 0 G 0 0 0 0 0
1 1 1 g12 g13 g14 0 0 1 1 1 g 22 g 23 g 24 0 0 1 1 2 1 2 2 g 32 g 33 g11 g 34 g12 g13 g142 2 2 2 2 g 141 g 143 g 21 g 144 g 22 g 23 g 24 2 2 2 3 2 3 0 g 31 g 32 g 33 g11 g 34 g12 2 2 2 3 2 3 0 g 41 g 42 g 43 g 21 g 44 g 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 E 1 E E 1 g 33 g11 g 34 g12E E 1 E E 1 E g 43 g 21 g 44 g 22 E E g 31 g 32 E E g 41 g 42
U U1 U 2 U 3 U 4 U 5 U 6 U 2 E 1 U 2 E
r Q1 0 Q21 Q12
0 0 0 0 0 0 g13E E g 23 E g 33 E g 43
U 2 E 1 U 2 2 T , dan
0 Q22 Q13 0 Q2E 1 Q1E
0 Q2E
0 0 0 0 0 0 , g14E E g 24 E g 34 E g 44
0
T
(18) g 122 1 g 32 g1 42 0 0 0 0 0
g 123 2 g 133 g11 2 g 143 g 21 2 g 31 2 g 41
g 124 2 g 134 g12 2 g 144 g 22 2 g 32 2 g 42
0 2 g13 2 g 23 2 3 g 33 g11 2 3 g 43 g 21
0 2 g14 2 g 24 2 3 g 34 g12 2 3 g 44 g 22
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0
E 1 E g 33 g11 E 1 E g 43 g 21 E g 41
0 0 0 0 0 E 1 E g 34 g12 E 1 E g 44 g 22 E g 42
U 2 0 U 3 0 U 4 0 U 5 0 U 0. 6 E U g14 2 E 1 0 E U 0 g 24 2E E U g 44 2 E 2 0 0 0 0 0 0
(19) 1. Syarat batas Dirichlet
pendekatan dan penyelesaian U yang terkait
Penerapan syarat batas Dirichlet adalah u(0)=0
dan
u(L)=
0
adalah dengan nilai eigen tersebut digunakan
menghasilkan
untuk memperoleh fungsi eigen pendekatan
persamaan matriks (19).
pada persamaan (15). 51
g 122 g 123 g 124 0 0 1 1 2 1 2 2 g13 g142 g32 g33 g11 g34 g12 2 2 2 2 g 142 g 143 g 21 g 144 g 22 g 23 g 24 2 2 2 2 g31 g32 g33 g113 g34 g123 0 2 2 2 3 2 3 0 g 41 g 42 g 43 g 21 g 44 g 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0
0 U2
0
0
I Nomor 01, Juli 2011 JMEE Volume 0 0 U 3 0 U 4 0 0 U 5 0 0 U 6 0. 0 g13E U 2 E 1 0 E U 2 E 0 g 23 g33E U 2 E 1 0
0
0 0 0 0 E 1 E E 1 g33 g11 g34 g12E E 1 E E 1 E g 43 g 21 g 44 g 22 g31E g32E
(20) 1 g11 1 g 31 g1 41
1 g13
1 g14
0 0
2 g 31 2 g 41
0 0 0
0 0 0
g 133 g 143
2 g11 2 g 21
2 g 32 2 g 42
0 2 g13 2 g 23 2 3 g 33 g11 2 3 g 43 g 21
0 2 g14 2 g 24 2 3 g 34 g12 2 3 g 44 g 22
0 0 0
0 0 0
0 0 0
g 134 g 144
2 g12 2 g 22
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
E 1 E g 33 g11 E 1 E g 43 g 21 E g 41
U1 0 U 3 0 U 4 0 U 5 0 U 0. 6 E U g14 2 E 1 0 E U g 24 2 E 0 E U g 44 2 E 2 0 0 0 0 0 0
E 1 E g 34 g12 E 1 E g 44 g 22 E g 42
(21) Dari langkah-langkah
yang telah
Selanjutnya dapat ditentukan fungsi
diberikan di atas maka metode ini dapat
eigen pendekatan untuk tiap-tiap elemen
digunakan
seperti dalam persamaan (15). Misalkan
untuk
menyelesaikan
contoh
berikut.
ditentukan banyaknya elemen adalah 2, maka
Contoh 1:
diperoleh elemen 1 0, / 2 dan 2 / 2, dan h / 2 .
Perhatikan persamaan Sturm-Liouville
d 2u dx2
2u u, 0 x
Dengan menerapkan (17) dan syarat batasnya,
(22)
diperoleh persamaan
dengan syarat batas campuran u(0) = u()=0.
0.459-0.059 0.067 - 0.097 - 0.174 0.044 0
Penyelesaian eksak dari persamaan (22) adalah i = (i 0.5)2 + 2 dan ui ( x) c
1 Sin (i ) x 2 2
-0.174 0.044 0 0.918 - 0.119 0.067 - 0.097
0 U 2 0 - 0.360 - 0.201 U 3 0 . 0.067 - 0.097 U 4 0 1.930 - 0.583 U 5 0
Untuk mendapatkan penyelesaian nontrivial, maka
dengan c konstanta dan i = 1, 2, 3, …. Untuk menyelesaikan
0.067 -0.097 3.861 - 1.166 0 - 0.360 - 0.201
0.459-0.059 0.067 - 0.097 det - 0.174 0.044 0
masalah (22)
dengan menggunakan elemen hingga Hermite kubik, terlebih dahulu domain
dicari
nilai 0.067 -0.097 3.861 - 1.166 0 - 0.360 - 0.201
yang
-0.174 0.044 0 0.918 - 0.119 0.067 - 0.097
memenuhi 0 - 0.360 - 0.201 0. 0.067 - 0.097 1.930 - 0.583
(23) dibagi
Dari persamaan (23) diperoleh nilai-nilai eigen
menjadi berhingga banyak elemen, misalkan E. Dapat ditentukan misalkan elemen ke-e
pendekatan h1 = 2.25, h2 = 4.25417, h3 =
adalah e h(e 1), he dengan h he 2
8.38806, h4 = 15.8836 dan fungsi–fungsi
untuk e = 1, 2, .., E.
eigen pendekatan 52
JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011 2 3 c(0.5010 x 0.0037 x 0.0182 x ), u1h ( x) c(-0.0543 0.5966 x 0.0593x 2 0.0075 x 3 ), 2 3 c(-1.615x 0.469 x 0.173x ), u2h ( x) c(0.651 - 3.903x 2.590 x 2 0.417 x 3 ), 2 3 c(3.634 x 3.850 x 0.796 x ), u3h ( x) c(23.974 - 33.599 x 14.406 x 2 1.922 x 3 ),
0x
2
1
x , 2 0x 2 x , 2 0x 2 x , 2
ui ui
h 0
dengan ui , dan ui
h
L 2 h 2 u i u i dx 0 adalah fungsi eigen eksak
dan pendekatan yang telah dinormalkan, maka diperoleh error seperti pada Tabel 2. Tabel 2. Error fungsi eigen pendekatan dari contoh soal
2 3 c(-12.016 x 21.568 x 8.678 x ), h u4 ( x ) c(55.5594 - 70.213x 28.115 x 2 3.594 x 3 ) ,
0x
2
yang telah dihitung dengan Mathematica untuk jumlah
x , 2
elemen E = 2, 4, dan 8.
untuk c suatu konstanta. Hasil
penghitungan
ui ui
Fungsi
nilai
Eigen
eigen
h 0
E=2
E=4
E=8
pendekatan dengan elemen hingga Hermite
u1
2.9611×10-4
2.0733×10-5
1.3373×10-6
kubik untuk nilai E = 2, 4, dan 8 tampak pada
u2
0.0125014
1.2807×10-3
9.9900×10-5
Tabel 1. Dari Tabel 1, dapat dilihat bahwa
u3
0.0630196
6.9964×10-3
6.7065×10-4
u4
0.3646037
0.0215540
2.1762×10-3
error nilai eigen pendekatan akan semakin
u5
-
0.0436230
4.9927×10-3
u6
-
0.0955514
9.4676×10-3
(panjang elemennya semakin kecil). Akan
u7
-
0.0215540
0.0163075
tetapi, error semakin besar seiring dengan
u8
-
0.0436230
0.0323568
bagus jika jumlah elemen semakin banyak
semakin besarnya indeks nilai eigen. Hal ini juga berlaku pada fungsi eigen pendekatan.
Dari Tabel 2, dapat dilihat bahwa fungsi eigen pendekatan yang dihasilkan
Tabel 1. Nilai eigen pendekatan dari contoh soal yang
cukup baik. Seperti halnya pada nilai eigen
telah dihitung dengan Mathematica untuk jumlah
pendekatan, norm error ini akan semakin kecil
elemen E = 2, 4, 8, dan 16
Eigen
E=2
E=4
E=8
jika jumlah elemennya semakin bertambah,
Eksak
1
2.25
2.25
2.25
tapi error semakin besar seiring dengan
2
4.25417 4.25013 4.25
4.25
besarnya indeks dari fungsi eigennya. Hasil
3
8.38806 8.25488 8.25014 8.25
yang kurang lebih sama dapat dilihat pada
4
15.8836 14.2965 14.2516 14.25
contoh berikut.
2.25
5
-
22.5112 22.2595 22.25
6
-
33.3742 32.2873 32.25
Contoh 2:
7
-
48.287
Perhatikan persamaan Sturm-Liouville
8
-
66.2227 58.5422 58.25
44.3638 44.25
Jika error fungsi eigen dihitung dengan
d 2u u, 0 x 1 dx 2
(24)
dengan syarat batas Dirichlet u(0) = u(1) = 0.
menggunakan norm kuadrat rata-rata berikut,
Nilai eigen eksak dari persamaan (4.17) adalah 53
JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011
i = i22 dan fungsi eigen eksaknya adalah
Sebagaimana pada Contoh 1, error baik nilai
ui ( x) c Sinix .
eigen dan fungsi eigen pendekatan cukup baik, di mana keduanya sangat dipengaruhi oleh
Dengan metode yang sama diperoleh hasil
panjang elemen yang digunakan dan indek
nilai eigen dan fungsi eigen pendekatan seperti
nilai atau fungsi eigen yang dihitung. Namun
pada Tabel 3 dan Tabel 4.
demikian
Tabel 3 Nilai eigen pendekatan untuk Contoh 2
karena
beberapa
keterbatasan,
menggunakan elemen hingga Hermite kubik dengan E =
pembahasan secara detail mengenai perilaku
2, 4, 8, 16
error nilai eigen dan fungsi eigen pendekatan
Eigen
E=2
E=4
E=8
Eksak
1
9.87218
9.86967
9.86961
9.8696
2
40.0
39.4887
39.4787
39.4784
3
94.2509
88.9912
88.8317
88.8264
4
168.0
160.0
157.955
157.914
akan dijadikan topik untuk penulisan makalah berikutnya.
PENUTUP
5
-
252.19
246.933
246.74
6
-
377.004
355.965
355.306
metode elemen hingga Hermite kubik dapat
7
-
548.143
485.466
483.611
diterapkan dengan baik untuk menyelesaikan
8
-
672.0
640.0
631.655
persamaan
Dari hasil di atas disimpulkan bahwa
Sturm-Liouville
Langkah-langkah
berorde
penyelesaiannya
dua. adalah
sebagai berikut. 1.
Membagi
domain
menjadi
elemen-
untuk
masing-
elemen 2.
Tabel 4 Error fungsi eigen pendekatan untuk
digunakan interpolasi Hermite kubik.
kubik dengan E = 2, 4, 8. u1 u1
h
u2 u2
h
u3 u3
h
u4 u4
h
u5 u5
h
u6 u6
h
u7 u7
h
u8 u8
h
interpolasi
masing elemen, dalam penelitian ini
Contoh 2 menggunakan elemenhingga Hermite
Error
Memilih
3.
Menerapkan formulasi variasional untuk
E=2
E=4
E=8
0.0034002
0.0002961
0.0000207
0.0380198
0.0034002
0.0002961
0.1483822
0.0125014
0.0012807
0.1308460
0.0380198
0.0034002
5.
Menerapkan syarat batas.
-
0.0630196
0.0069963
6.
Menghitung nilai eigen dan fungsi eigen
-
0.1483822
0.0125014
-
0.3646037
0.0215540
tiap-tiap
0. 1308460
sehingga
diperoleh
persamaan linear untuk tiap-tiap elemen. 4.
-
elemen
Melakukan
perakitan
terhadap
persamaan linear dari tiap-tiap elemen.
dari persamaan linear akhir.
0.0323009
54
JMEE Volume I Nomor 1, Juli 2011
DAFTAR PUSTAKA Carey, G. F., and J. T. Oden, 1983. Finite Element: A Second Course Volume II. New Jersey: Prentice Hall, Inc. Gerald, C. F., and P. O. Wheatley, 1994. Applied Numerical Analysis. AddisonWesley Publicing Company, Inc. Griffin, T. B. and B. D. Reddy, 1988. Variational
Principles
Convergence
of
Finite
and Element
Aproximation of a Holonomic ElasticPlastic
Problem.
Numerische
Mathematik Volume 52: 101-117. Springer-Verlag Reddy, J. N., 1984. An Introduction to the Finite Element Method. New York: McGraw Hill, Inc. Reddy, J. N., 1986. Applied Functional Analysis and Variational Methods in Engeneering.
New York: McGraw
Hill, Inc. Strang, G., and G. Fix, 1973. An Analysis of Finite Element Method. New Jersey: Prentice Hall, Inc.
55
