Pengertian limit secara intuisi Perhatikan fungsi
x2 −1 f ( x) = x −1
Fungsi diatas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berbentuk 0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1 Dengan bantuan kalkulator dapat diperoleh nilai f(x) bila x mendekati 1, seperti pada tabel berikut
0.9 0.99 0.999 0.9999
1
1.0001 1.001 1.01
1.1
f(x) 1.9 1.99 1.999 1.9999
?
2.0001 2.001 2.01
2.1
x
2
Dari tabel dan grafik disamping terlihat bahwa f(x) mendekati 2 jika x mendekati 1
f(x) 2 f(x)
º
x
1
Secara matematis dapat dituliskan Sebagai berikut x
x2 −1 lim =2 x→1 x − 1 2 − 1 untuk x mendekati x Dibaca “ limit dari x −1 1 adalah 2
Definisi(limit secara intuisi). Untuk mengatakan bahwa
lim f ( x) = L x→c
berarti bahwa bilamana x dekat, tetapi berlainan dengan c, maka f(x) dekat ke L 3
Sifat-sifat dasar limit yang dinyatakan dalam beberapa teorema berikut ini sangat diperlukan dalam hitung limit. 1. lim A = A , A, c ∈ R 2. lim x = c x →c
lim f ( x ) dan
Jika
x →c
x →c
lim g( x ) keduanya ada dan k ∈ R maka berlaku
x →c
pernyataan-pernyataan berikut: lim {f ( x ) ± g( x )} = lim f ( x ) ± lim g( x ) 1 x →c
2 3
4
x →c
x →c
lim kf ( x ) = k lim f ( x )
x →c
x →c
lim f ( x ) g( x ) = lim f ( x ). lim g( x )
x →c
x →c
x →c
f ( x) f ( x ) xlim →c lim = , asalkan lim g( x ) ≠ 0 x →c x →c g ( x ) lim g( x ) x →c
4
Untuk menyelesaikan soal limit dapat dilakukan dengan beberapa cara. 1. Substitusi langsung 2. Dengan menyederhanakan (Pemfaktoran, Perasionalan akar) 3. Dengan prinsip limit sepihak (kiri dan kanan) Contoh Hitunglah nilai limit berikut ini!(Subtitusi Langsung) a. lim (3x − 5) c. lim 7 x 2 x −1 x →2
b.
lim (2 x 2 − 7 x + 6)
x →2
x →1
d.
2x + 3 x →−1 5 x + 2 lim
5
Jawab a. b.
lim (3 x − 5) = 3(2) − 5 = 6 − 5 = 1
x →2
lim (2 x 2 − 7 x + 6) = 2(2)2 − 7(2) + 6 = 8 − 14 + 6 = 0
x →2
c.
lim 7 x 2 x − 1 = 7(1) 2(1) − 1 = 7 1 = 7
d.
2 x + 3 2( −1) + 3 −2 + 3 1 lim = = =− x →−1 5 x + 2 5( −1) + 2 −5 + 2 3
x →1
6
Contoh Hitunglah nilai limit berikut ini!(Pemfaktoran) x 2 − 3x + 2 x2 − 4 b. lim a. lim x →2 x →2 x − 2 x2 − 4 Jawab a.
x 2 − 4 22 − 4 4 − 4 0 lim = = = (tidak terdefinisi) . Untuk x →2 x − 2 2−2 2−2 0 menyelesaikannya maka digunakan cara pemfaktoran sebagai berikut. ( x − 2) ( x + 2) x2 − 4 lim = lim = lim ( x + 2) = 2 + 2 = 4 x →2 x − 2 x →2 x →2 x −2
7
b.
x 2 − 3x + 2 22 − 3(2) + 2 4 − 6 + 2 0 = = = (tidak terdefinisi) . Untuk lim 2 2 x →2 4−4 0 x −4 2 −4 menyelesaikannya maka digunakan cara pemfaktoran sebagai berikut. ( x − 2) ( x −1) x 2 − 3x + 2 lim = lim 2 x →2 x →2 ( x − 2) ( x + 2) x −4 x −1 x →2 x + 2 2 −1 1 = = 2+2 4
= lim
8
Hitunglah nilai limit berikut ini!(Perasionalan Akar 2 − x2 + 3 x + 2 − 2 a. lim b. xlim 2 →−1 x →2
Solusi: a. lim x →2
x −2
x +2 −2 = x −2
1− x
2+2 −2 4 −2 0 = = (tidak terdefinisi) 2−2 2−2 0
9
lim
x →2
x +2 −2 = lim x →2 x−2 = lim
x →2
= lim
x →2
=
x +2 −2 x+2 +2 ⋅ x −2 x+2 +2
(
x+2
)
2
− 22
( x − 2) ( x + 2 + 2)
= lim
x −2
( x − 2)
(
1 = 2+2 +2
x+2 +2
x →2
)
( x + 2) − 4
( x − 2) ( x + 2 + 2) = lim
x →2
1 x+2 +2
1 1 1 = = 4 +2 2+2 4
10
b.
2 2 − x 2 + 3 2 − ( −1) + 3 2 − 4 0 lim = = = 2 2 x →−1 1 −1 0 1− x 1 − ( −1)
2 − x2 + 3 2 − x2 + 3 2 + x2 + 3 lim = lim ⋅ 2 2 x →−1 x →−1 1− x 1− x 2 + x2 + 3
( x + 3 ) = lim (1− x ) ( 2 + x + 3 ) 2
= lim
x →−1
= lim
x →−1
=
2
2
2 − 2
x →−1
2
1− x 2
(1− x 2 ) ( 2 + 1
2 + ( −1)2 + 3
=
x2 + 3
)
= lim
(
4 − x2 + 3
(1− x 2 ) ( 2 +
x →−1
)
x2 + 3
1 2 + x2 + 3
1 1 1 = = 2+ 4 2+2 4 11
)
x
c
lim− f ( x)
x→c
c
Jika x menuju c dari arah kiri (dari arahbilangan yang lebih kecil dari c) limit disebut limit kiri,
x
lim+ f ( x)
x→c
Jika x menuju c dari arah kanan (dari arah bilangan yang lebih besar dari c) limit disebut limit kanan,
lim f ( x) = L ⇔ lim− f ( x) = L dan lim+ f ( x) = L x→c
Jika
x→c
f ( x) lim− f ( x) ≠ xlim →c
x→c
+
x→c
Maka
lim f ( x) tidak ada x→c
12
x + 2 ; x ≤ −1 Diketahui fungsi berikut: f ( x ) = x 2 ; −1 < x < 2 . Tentukanlah: − x + 3 ; − x ≥ 2 lim f ( x ) lim f ( x ) a. b. x →−1
x →2
Jawab a. Perhatikan untuk x menuju -1 dari kiri aturan fungsi yang digunakan adalah x + 2 sedangkan untuk x menuju -1 dari kanan aturan fungsi yang digunakan adalah x 2 . Oleh karena itu, untuk mencari lim f ( x ) x →−1
digunakan limit sepihak (limit kiri dan limit kanan) lim − f ( x ) = lim − ( x + 2) = −1 + 2 = 1 x →−1
x →−1
lim + f ( x ) = lim + x 2 = (−1)2 = 1
x →−1
x →−1
lim − f ( x ) = lim + f ( x ) = 1 ⇒ lim f ( x ) = 1
x →−1
x →−1
x →−1
13
b. Perhatikan untuk x menuju 2 dari kiri aturan fungsi yang digunakan adalah x 2 sedangkan untuk x menuju 2 dari kanan aturan fungsi yang digunakan adalah − x + 3 . Oleh karena itu, untuk mencari lim f ( x ) digunakan limit sepihak x →2
(limit kiri dan limit kanan) 2
2
lim − f ( x ) = lim− x = 2 = 4
x →−2
x →2
lim+ f ( x ) = lim+ ( − x + 3) = −2 + 3 = 1
x →2
x + 2 ; x ≤ −1 ; −1 < x < 2 f ( x) = x2 − x + 3 ; − x ≥ 2
x →2
lim− f ( x ) ≠ lim+ f ( x ) ⇒ lim f ( x ) tidak ada
x →2
x →2
x →−1
14
Diketahui:
x2 , x ≤ 0 f ( x) = x , 0 < x < 1 2 + x2 , x ≥ 1
lim f ( x)
a. Hitung
x→0
b. Hitung)
lim f ( x)
Jika ada
x→1
c. Hitung
lim f ( x) x→2
Jawab
a. Karena aturan fungsi berubah di x=1, maka perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=1
lim− f (x) = lim− x2 = 0
x→0
x→0
lim+ f (x) = lim+ x = 0
x→0
lim f ( x) = 0 x→0
x→0
15
b. Karena aturan fungsi berubah di x=1, maka perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=1
lim− f (x) = lim− x = 1
Karena
2 lim+ f (x) = lim2 + x =3 +
lim f ( x) Tidak ada
x→1 x→1
x→1
lim− f ( x) ≠ lim+
x→1
maka
x→1
x→1
x→1
c. Karena aturan fungsi tidak berubah di x=2, maka tidak perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=2
lim f (x) = lim2 + x = 6 2
x →2
x →2
2
( x − 20) a. xlim →5 2 lim ( x + 3 x + 1) b. x →−2
x+2 c. lim x →0 x − 3 x 2 − 5x + 6 d. lim x →2 x−2 x 2 − 7 x + 12 e. lim x →−4 2x + 8
f.
x2 − 2x − 8 lim x →−2 x2 − 4
g.
x −1 lim x →1 x − 1
h. i.
lim
x →1
lim
x →2
x2 + 3 + 2 x 2 −1
x2 − 4 3 − x2 + 5
17
x2 ; x ≤ 1 1. Diketahui: f (x) = , tentukan apakah lim f (x) x →1 1 x >1 (jika ada)! x2 ; x≤0 2. Diketahui: f (x) = x 0 < x ≤ 1 , tentukan apakah 1 + x 2 x >1 lim f (x) dan lim f (x) (jika ada)! x →0
x →1
x < −1 − x − 2; 3. Diketahui: f (x) = − x 2 ; −1 ≤ x < 1 , tentukan apakah 1 + x2 ; x ≥1 lim f (x) dan lim f (x) (jika ada)!
x →−1
x →1
3x + 2, x ≤ 1 4. Diketahui: f (x) = 5, 1 < x ≤ 3 , tentukan apakah lim f (x) dan x →1 2 3x − 1, x > 3 lim f (x) (jika ada)! x →3
3x + 2, x ≤ 1 5. Diketahui: f (x) = 5 ,1 < x ≤ 3 , tentukan apakah lim f (x) x →1 x 2 − 1, x > 3 dan lim f (x) (jika ada)! x →3
Soal Latihan Pilihan Ganda Bab : Limit - 1
x2 − 2 x + 1 1. Nilai dari lim = …. x →1 x +1 a. -1 b. 0 x2 + 4 x − 5 2. Nilai dari lim = …. x →1 x −1 a. -1 b. 0 2 x 2 − 3x + 4 = …. 3. Nilai dari lim x →2 x−2 a. -1 b. 0 c. 5 d. 2 e. 6
c. 1 d. 2
e. 3
c. 1 d. 2
e. 6
x2 − 3x − 4 4. Nilai dari lim = …. x→−1 x2 −1 1 a. 2 5 b. 2 1 c. − 2 3− x + 7 = …. 5. Nilai dari lim 2 x→2 x + x − 6 1 a. 30 1 b. 11 1 c. − 11
x2 + 9 6. Nilai dari lim = .... x→4 x a. 3/4 b. 5/4
d. −
5 2
e. 0
1 30 1 e. 20
d. −
c. 3/2 d. 0
e. 1/2
7. Nilai lim x→2
4 − x2 3− x +5 2
= ....
a. 1 b. 4
2 − x2 + 3 = .... 8. Nilai dari lim 2 x→1 2− x 1 a. − 4 1 b. − 6 1 c. 4
c. 6 d. 8
e. 9
1 d. − 6 e. 0
x x + 1 , x ≤ −1 9. Nilai lim+ f ( x) dari fungsi f (x) = x ,-1 < x ≤ 1 x→1 1 − x , x >1 a. 1 c. -1 b. 0 d. 2 x x + 1 , x ≤ −1 10. Nilai lim− f ( x) dari fungsi f (x) = x ,-1 < x ≤ 1 x→1 1 − x , x >1 a. 1 b. 0 c. -1 d. 2 e. Tidak ada
adalah ....
e. Tidak ada
adalah....
