Pengertian Secara Intuisi Coba Gambarkan grafik fungsi-fungsi berikut.
1. f ( x ) = x + 1, pada [0, 2]. 2. g( x ) =
x2 − 1 pada [0, 2] dan x ≠ 1. x−1
1.
2. 3.
Dari grafik fungsi yang kamu peroleh, apa yang dapat kamu katakan tentang nilai-nilai ketiga fungsi tersebut di semua titik pada interval ? . Bagaimanakah nilai-nilai ketiga fungsi di atas di titik dengan menentukan (jika ada) nilai dari ? Tentukan nilai-nilai ketiga fungsi di atas di sekitar (dekat) baik dekat di sebelah kiri maupun dekat di sebelah kanan , dengan melengkapi tabel berikut.
x + 1, 0 ≤ x ≤ 1 3. h( x ) = . x − 1, 1 < x ≤ 2
Konsep Limit • Definisi Intuitif • Misalkan y=f(x) suatu fungsi, a dan L bilangan riil • sedemikian hingga: • Bila x dekat a tetapi tidak sama dg a (x≠a), f(x) dekat ke L • Bila x mendekati a tetapi x≠a, maka f(x) mendekati L • Misalkan f(x) dapat kita buat sedekat mungkin ke L dg membuat x cukup dekat a tetapi tdk sama dg a • Maka dapat dikatakan bhw limit f(x) bila x mendekati a adalah L, lim f ( x ) = L x →a
Contoh
lim x →2
x
x2 − 4 4 = x + x −6 5 2
x
f ( x)
1
0.75
f ( x)
3
0.83333
1.5 1.9 1.999
0.7778 0.7959 0.79996
2.5 2.1 2.001
0.81818 0.80392 0.80004
↓ 2
↓ 0.8
↓ 2
↓ 0.8
1
Pengertian Secara Intuisi Coba Gambarkan grafik fungsi-fungsi berikut.
1. f ( x ) = x + 1, pada [0, 2]. 2. g( x ) =
x2 − 1 pada [0, 2] dan x ≠ 1. x−1
1.
2. 3.
Dari grafik fungsi yang kamu peroleh, apa yang dapat kamu katakan tentang nilai-nilai ketiga fungsi tersebut di semua titik pada interval ? . Bagaimanakah nilai-nilai ketiga fungsi di atas di titik dengan menentukan (jika ada) nilai dari ? Tentukan nilai-nilai ketiga fungsi di atas di sekitar (dekat) baik dekat di sebelah kiri maupun dekat di sebelah kanan , dengan melengkapi tabel berikut.
x + 1, 0 ≤ x ≤ 1 3. h( x ) = . x − 1, 1 < x ≤ 2
Konsep Limit • Definisi Intuitif • Misalkan y=f(x) suatu fungsi, a dan L bilangan riil • sedemikian hingga: • Bila x dekat a tetapi tidak sama dg a (x≠a), f(x) dekat ke L • Bila x mendekati a tetapi x≠a, maka f(x) mendekati L • Misalkan f(x) dapat kita buat sedekat mungkin ke L dg membuat x cukup dekat a tetapi tdk sama dg a • Maka dapat dikatakan bhw limit f(x) bila x mendekati a adalah L, lim f ( x ) = L x →a
Contoh
lim x →2
x
x2 − 4 4 = x + x −6 5 2
x
f ( x)
1
0.75
f ( x)
3
0.83333
1.5 1.9 1.999
0.7778 0.7959 0.79996
2.5 2.1 2.001
0.81818 0.80392 0.80004
↓ 2
↓ 0.8
↓ 2
↓ 0.8
1
Hukum2 Limit: f ( x) =
x2 − 4 x2 + x − 6
1. lim C = C
(Hk. Konstanta).
x→a
Jika limit berikut ada 2.
lim f ( x) = L dan x →a
lim g ( x) = M maka x→a
lim[ f ( x) ± g ( x)] = [lim f ( x)] ± [lim g ( x)] = L ± M (Hk. Penjumlahan) x →a
x →a
x →a
3. lim[ f ( x) g ( x)] = [lim f ( x)][lim g ( x)] = LM x →a
4. lim x→a
x →a
x→a
f ( x) L f ( x) lim = x→a = g ( x) lim g ( x) M
(Hk. Perkalian)
asalkan jika M ≠ 0.
(Hk. Pecahan)
x→a
Teorema2 Limit 5. Jika n suatu bilangan bulat positif dan jika a > 0 untuk nilai n genap, maka lim n x = n a . x →a
(Hk.Akar)
6. Misalkan lim g ( x) = L dan lim f ( x) = f ( L) maka x →a
x→ L
1. Teorema Limit trigonometri: sin x =1 x 2. Hukum Apit: Misalkan f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) untuk semua x disekitar a namun x≠ a, dan lim x →0
lim f ( x ) = L = lim h( x )
lim f ( g ( x)) = f (lim g ( x)) = f ( L). (Hk.Substitusi/ Limit Komposisi) x →a
x →a
x →a
maka
x →a
lim g ( x ) = L x →a
2
Pengertian Secara Intuisi Coba Gambarkan grafik fungsi-fungsi berikut.
1. f ( x ) = x + 1, pada [0, 2]. 2. g( x ) =
x2 − 1 pada [0, 2] dan x ≠ 1. x−1
1.
2. 3.
Dari grafik fungsi yang kamu peroleh, apa yang dapat kamu katakan tentang nilai-nilai ketiga fungsi tersebut di semua titik pada interval ? . Bagaimanakah nilai-nilai ketiga fungsi di atas di titik dengan menentukan (jika ada) nilai dari ? Tentukan nilai-nilai ketiga fungsi di atas di sekitar (dekat) baik dekat di sebelah kiri maupun dekat di sebelah kanan , dengan melengkapi tabel berikut.
x + 1, 0 ≤ x ≤ 1 3. h( x ) = . x − 1, 1 < x ≤ 2
Konsep Limit • Definisi Intuitif • Misalkan y=f(x) suatu fungsi, a dan L bilangan riil • sedemikian hingga: • Bila x dekat a tetapi tidak sama dg a (x≠a), f(x) dekat ke L • Bila x mendekati a tetapi x≠a, maka f(x) mendekati L • Misalkan f(x) dapat kita buat sedekat mungkin ke L dg membuat x cukup dekat a tetapi tdk sama dg a • Maka dapat dikatakan bhw limit f(x) bila x mendekati a adalah L, lim f ( x ) = L x →a
Contoh
lim x →2
x
x2 − 4 4 = x + x −6 5 2
x
f ( x)
1
0.75
f ( x)
3
0.83333
1.5 1.9 1.999
0.7778 0.7959 0.79996
2.5 2.1 2.001
0.81818 0.80392 0.80004
↓ 2
↓ 0.8
↓ 2
↓ 0.8
1
Hukum2 Limit: f ( x) =
x2 − 4 x2 + x − 6
1. lim C = C
(Hk. Konstanta).
x→a
Jika limit berikut ada 2.
lim f ( x) = L dan x →a
lim g ( x) = M maka x→a
lim[ f ( x) ± g ( x)] = [lim f ( x)] ± [lim g ( x)] = L ± M (Hk. Penjumlahan) x →a
x →a
x →a
3. lim[ f ( x) g ( x)] = [lim f ( x)][lim g ( x)] = LM x →a
4. lim x→a
x →a
x→a
f ( x) L f ( x) lim = x→a = g ( x) lim g ( x) M
(Hk. Perkalian)
asalkan jika M ≠ 0.
(Hk. Pecahan)
x→a
Teorema2 Limit 5. Jika n suatu bilangan bulat positif dan jika a > 0 untuk nilai n genap, maka lim n x = n a . x →a
(Hk.Akar)
6. Misalkan lim g ( x) = L dan lim f ( x) = f ( L) maka x →a
x→ L
1. Teorema Limit trigonometri: sin x =1 x 2. Hukum Apit: Misalkan f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) untuk semua x disekitar a namun x≠ a, dan lim x →0
lim f ( x ) = L = lim h( x )
lim f ( g ( x)) = f (lim g ( x)) = f ( L). (Hk.Substitusi/ Limit Komposisi) x →a
x →a
x →a
maka
x →a
lim g ( x ) = L x →a
2
Contoh
cos(x) ≤ sin(x)/x ≤ 1/cos(x) lim cos( x) = 1 = lim x →0
x →0
1 sin( x) , maka lim =1 x →0 cos( x) x
Bukti:
1 = 0. x
lim x 2 sin
Tunjukkan
x →0
Untuk x ≠ 0, − 1 ≤ sin
1 ≤1 x
− x 2 ≤ x 2 sin
karena maka
• Limit kiri (limit f(x) bila x menuju a dari kiri)
lim f ( x ) = L
x →a −
• Limit kanan (limit f(x) bila x menuju a dari kanan) lim+ f ( x ) = L x →a
• Teorema 2:
x2 > 0
1 ≤ x2 x
lim(− x 2 ) = 0 dan lim x 2 = 0 x →0
x →0
1 lim x sin = 0 (menggunakan Prinsip Apit). x →0 x 2
Contoh 1, x ≥ 0 f ( x) = . − 2, x < 0 Untuk x > 0, lim f ( x) = lim 1 = 1. x →0 +
x →0 +
limit kanan.
Untuk x < 0, lim f ( x) = lim (−2) = −2. limit kiri. x →0 −
Maka
lim f ( x ) = L
dan
x →0 −
lim f ( x) tidak ada x →0
x →a
jika dan hanya jika
lim f ( x ) = L = lim+ f ( x )
x →a −
x →a
3
Pengertian Secara Intuisi Coba Gambarkan grafik fungsi-fungsi berikut.
1. f ( x ) = x + 1, pada [0, 2]. 2. g( x ) =
x2 − 1 pada [0, 2] dan x ≠ 1. x−1
1.
2. 3.
Dari grafik fungsi yang kamu peroleh, apa yang dapat kamu katakan tentang nilai-nilai ketiga fungsi tersebut di semua titik pada interval ? . Bagaimanakah nilai-nilai ketiga fungsi di atas di titik dengan menentukan (jika ada) nilai dari ? Tentukan nilai-nilai ketiga fungsi di atas di sekitar (dekat) baik dekat di sebelah kiri maupun dekat di sebelah kanan , dengan melengkapi tabel berikut.
x + 1, 0 ≤ x ≤ 1 3. h( x ) = . x − 1, 1 < x ≤ 2
Konsep Limit • Definisi Intuitif • Misalkan y=f(x) suatu fungsi, a dan L bilangan riil • sedemikian hingga: • Bila x dekat a tetapi tidak sama dg a (x≠a), f(x) dekat ke L • Bila x mendekati a tetapi x≠a, maka f(x) mendekati L • Misalkan f(x) dapat kita buat sedekat mungkin ke L dg membuat x cukup dekat a tetapi tdk sama dg a • Maka dapat dikatakan bhw limit f(x) bila x mendekati a adalah L, lim f ( x ) = L x →a
Contoh
lim x →2
x
x2 − 4 4 = x + x −6 5 2
x
f ( x)
1
0.75
f ( x)
3
0.83333
1.5 1.9 1.999
0.7778 0.7959 0.79996
2.5 2.1 2.001
0.81818 0.80392 0.80004
↓ 2
↓ 0.8
↓ 2
↓ 0.8
1
Hukum2 Limit: f ( x) =
x2 − 4 x2 + x − 6
1. lim C = C
(Hk. Konstanta).
x→a
Jika limit berikut ada 2.
lim f ( x) = L dan x →a
lim g ( x) = M maka x→a
lim[ f ( x) ± g ( x)] = [lim f ( x)] ± [lim g ( x)] = L ± M (Hk. Penjumlahan) x →a
x →a
x →a
3. lim[ f ( x) g ( x)] = [lim f ( x)][lim g ( x)] = LM x →a
4. lim x→a
x →a
x→a
f ( x) L f ( x) lim = x→a = g ( x) lim g ( x) M
(Hk. Perkalian)
asalkan jika M ≠ 0.
(Hk. Pecahan)
x→a
Teorema2 Limit 5. Jika n suatu bilangan bulat positif dan jika a > 0 untuk nilai n genap, maka lim n x = n a . x →a
(Hk.Akar)
6. Misalkan lim g ( x) = L dan lim f ( x) = f ( L) maka x →a
x→ L
1. Teorema Limit trigonometri: sin x =1 x 2. Hukum Apit: Misalkan f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) untuk semua x disekitar a namun x≠ a, dan lim x →0
lim f ( x ) = L = lim h( x )
lim f ( g ( x)) = f (lim g ( x)) = f ( L). (Hk.Substitusi/ Limit Komposisi) x →a
x →a
x →a
maka
x →a
lim g ( x ) = L x →a
2
Contoh
cos(x) ≤ sin(x)/x ≤ 1/cos(x) lim cos( x) = 1 = lim x →0
x →0
1 sin( x) , maka lim =1 x →0 cos( x) x
Bukti:
1 = 0. x
lim x 2 sin
Tunjukkan
x →0
Untuk x ≠ 0, − 1 ≤ sin
1 ≤1 x
− x 2 ≤ x 2 sin
karena maka
• Limit kiri (limit f(x) bila x menuju a dari kiri)
lim f ( x ) = L
x →a −
• Limit kanan (limit f(x) bila x menuju a dari kanan) lim+ f ( x ) = L x →a
• Teorema 2:
x2 > 0
1 ≤ x2 x
lim(− x 2 ) = 0 dan lim x 2 = 0 x →0
x →0
1 lim x sin = 0 (menggunakan Prinsip Apit). x →0 x 2
Contoh 1, x ≥ 0 f ( x) = . − 2, x < 0 Untuk x > 0, lim f ( x) = lim 1 = 1. x →0 +
x →0 +
limit kanan.
Untuk x < 0, lim f ( x) = lim (−2) = −2. limit kiri. x →0 −
Maka
lim f ( x ) = L
dan
x →0 −
lim f ( x) tidak ada x →0
x →a
jika dan hanya jika
lim f ( x ) = L = lim+ f ( x )
x →a −
x →a
3
Contoh2 limit (1) lim ( x 2 + 1) = 12 + 1 = 2. x →1
(2) lim | x |= 0. x →0
1 does not exist. x2 1, x ≥ 0 (4) f ( x) = − 1, x < 0 (3) lim
x →0
lim f ( x) does not exist. x →0
Need one - sided limits for such example - discussed later.
4
