PENGENDALIAN PROSES VARIABILITAS MULTIVARIATE MELALUI VEKTOR VARIANSI
CONTROL ON MULTIVARIATE VARIABILITY PROCESS THROUGH VARIANCE VECTOR
Sahabuddin, Erna Herdiani, Armin Lawi Bagian Matematika Terapan, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin.
Alamat Korespondensi: Sahabuddin Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin Makassar, HP: 085242033556 Email:
[email protected]
ABSTRAK Pengendalian proses variabilitas dimana melibatkan lebih dari dua karakteristik kualitas proses yang saling berhubungan yang disebut Pengendalian Proses Multivariate. Penelitian ini bertujuan melakukan pengkajian tentang vektor variansi dalam pengendalian variabilitas dalam proses multivariate. Jenis penelitian yang dilakukan dalah studi kepustakaan. Sumber data yang digunakan merupakan data sekunder dari Badan Meteorologi dan Geofisika Kota Semarang dengan melibatkan 4 variabel yakni Curah hujan (X1), Suhu Udara (X2), kelembaban udara (X3) dan kecepatan angin (X4). Pengendalian variabilitas proses melalui Vektor Variansi dapat dinyatakan dalam bentuk Tr(S) = (vec(S)) (vec(S)). Selanjutnya pembentukan bagan kendali dapat ditentukan dengan menggunakan statistik vektor variansi tersebut. Dari analisis data diperoleh vektor variansi BKA=7,22x108, BKB=-2,47x108 , dan GT= 2,37 108. Kata kunci : Multivariate, Vektor Variansi, Penaksiran Parameter, Bagan Kendali
ABSTRACT The variablity process control involved more than two process quality characteristics which were to each other called the variability control. The research aimed at conducting the variance vector in the variability control in the multivariate process. This was a library study research by collecting the literature in the forms of the relevant books and journals. The data resources used as the samples in the research were the secondary data from the board of Metorology and Geophsics of Semarang City by involving 4 variables i.e: rainfall (X1), temperature (X2 ), humidity (X3), wind velocity (X4 ). The research result indicates that the process variability control through the variance vector can be stated in the of Tr(S) = (vec(S)) (vec(S)). Then the controling chart formation is determine by using the variance vector statistics. The weather data analysis in Semarang through the variance vector statistics is found that BKA is: 7,22x108, BKB=-2,47x108 , and GT= 2,37 108.
Keywords: Multivariate, Variance Vector,Parameter Interpretation, Controling Chart.
PENDAHULUAN Pengendalian proses variabilitas merupakan salah satu dasar yang digunakan dalam industri untuk meningkatkan kualitas proses produksi. Dalam prakteknya pengendalian proses menggunakan peta kendali, merupakan salah satu alat atau cara untuk peningkatan kualitas produces, (Anderson, 2003). Peta kendali berdasarkan variabel yang terlibat terbagi atas peta kendali satu variabel (univariat) dan peta kendali lebih dari satu variabel (multivariate) (Djauhari, dkk. 2010). Pengendalian proses multivariat merupakan salah satu bagian yang cepat berkembang karena ada banyak situasi real yang melibatkan lebih dari dua karakteristik kualitas proses yang saling berhubungan. Pengendalian proses multivariate ini selanjutnya dikenal sebagai Multivariate Statistic Proses Control (MSPC), (Djauhari, 2011). Peta kendali Shewhort pada umumnya disamakan untuk pengendalian mean proses dan variabilitas proses. Pada tesis ini penulis akan membahas tentang peta kendali untuk variabilitas proses. Pada pengendalian variabilitas proses berdasarkan satu variabel, praktisi banyak menggunakan peta kendali Standar Deviasi (SD) dan Range (R), sedangkan untuk kasus multivariate pengendalian variabilitas proses menggunakan peta kendali | |, dimana S adalah matriks variasi kovariansi sampel atau disebut sebagai matriks dispersi,(Rencer, 2002). Pada penelitian univariate dimana sebuah teknik statistik yang digunakan untuk memastika bahwa proses memenuhi standar, membuat pengukuran dan mengambil tindakan
selagi
sebuah produk sedang diproduksi, (Render 2005). Untuk data yang cukup besar akan memiliki kendala dalam perhitungannya oleh karena itu, Herwindiati dkk (2009) mengatakan Tr (S2) sebagai ukuran dispersi multivariate. Pada proses ini penulis tertarik untuk mengkaji lebih dalam tentang Tr (S2) yang digunakan untuk masalah statistik pengendalian proses multivariate, dimana Tr (S2) pertama kali dikembangkan oleh, ( Djauhari 2007). Dengan demikian maka pada tesis ini akan dikaji tentang pembentukan peta kendali dari Variabilitas Proses melalui Statistik Vektor Variansi dan akan diaplikasikan pada data curah hujan, suhu udara, kelembaban udara dan kecepatan angin
yang merupakan data
sekunder BMG Semarang. Tujuan dalam penelitian ini adalah melakukan pengkajian tentang vektor variansi dalam pengendalian variabilitas dalam proses multivariate yang selanjutnya akan diaplikasikan pada data Sekunder dari Badan Meteorologi dan Geofisika Kota Semarang.
BAHAN DAN METODE Jenis penelitian ini merupakan studi kepustakaan dengan mengumpulkan literatur berupa buku dan jurnal yang berhubungan dengan pengendalian proses variabilitas multivariate. Sumber data yang akan digunakan sebagai contoh pada penelitian merupakan data Sekunder dari Badan Meteorologi dan Geofisika Kota Semarang. Dalam penelitian ini merupakan penelitian multivariat dengan melibatkan beberapa peubah yakni pada curah hujan, suhu udara, kelembaban udara dan kecepatan angin. Adapun metode atau langkahlangkah dalam menentukan bagan kendali dari data tersebut adalah menentukan variabelvariabel penelitian dan jumlah sampel, menentukan matriks varians-kovariansi sampel, menentukan variansi vektor (VV), menaksir parameter dari variansi vektor, menentukan batas-batas kendali (BKA dan BKB) yang dibangun berdasarkan variansi vektor, diperoleh batas kendali atas dan bawah untuk semua data berada dalam pengontrolan dan memonitoring data selanjutnya.
HASIL Berdasarkan analisis data tersebut dan dari tabel 1 dan 2 serta gambar 1 dan 2 terindikasi bahwa seluruh data pendahuluan berada di dalam pengendalian, sehingga batas kendali yang diperoleh dapat digunakan untuk memonitoring data selanjutnya yaitu data tahun 2004 dan 2005 sebagai fase ke II (Fase monitoring) dimana memiliki nilai yang masih berada dalam batas pengendalian. Jadi dapat disimpulkan bahwa keragaman data cuaca masih dalam pengendalian. Adapun analisis statistik dari aplikasi tersebut adalah sebagai berikut: Misalkan X⃗ , X⃗ , ⋯ , X⃗ adalah vektor-vektor acak yang saling bebas dan memiliki distribusi identik, sehingga vektor acak ⃗ berdistribusi normal p variat dengan vektor mean ⃗ dan matriks kovariansi
atau dituliskan dalam lambang: ⃗ ~ N ( ⃗, )
dimana
= jumlah (ukuran) sampel = banyaknya peubah dan X X ⃗= ⋮ X
(1)
,
Pada kasus univariat , jika
,⋯,
adalah sampel acak dengan
adalah matriks varian kovarians dari ⃗ , maka matriks variansi
Misalkan
~ ( ,
).
kovariansi
sampel dari ⃗ adalah S, dimana
×
=
⋯ ⋯ ⋮
⋯
⋱ ⋯
;
⋮
×
⋯ ⋯
=
⋮
⋯
⋱ ⋯
⋮
dengan maka
= ∑
−
−
, = 1,2, ⋯ , ,
= 1,2, ⋯ ,
( ) dapat ditulis sebagai ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ( ) = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⋮
⋮ ⋮
⋮
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
(2)
Selanjutnya, dapat dituliskan bahwa
(vec( )) (vec( )) = s s
= s
+s
⋯ s s
s
⋯s
+ ⋯ + s +s
⋯s
+s
s
⋯s
+⋯+ s
s ⎡s ⎢ ⋮ ⎢s ⎢s ⎢s ⎢ ⋮ ⎢s ⎢ ⎢ ⋮ ⎢s ⎢s ⎢ ⋮ ⎣s
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
+ ⋯ + s +s
+⋯+s
Adapun Tr S 2 Tr SS s11 s21 Tr s p1
s12 s22 sp2
s1 p s11 s2 p s21 s pp s p1
s12 s22 sp2
s112 s12 s 21 ... s1 p s p1 s 21 s11 s 22 s 21 ... s 2 p s p1 Tr s s s s ... s s p 2 21 pp p1 p1 11
s1 p s2 p s pp
s11 s12 s12 s 22 ... s1 p s p 2 2 s 21 s12 s 22 ... s 2 p s p 2 s p1 s12 s p 2 s 22 ... s pp s p 2
s11 s1 p s12 s 2 p ... s1 p s pp s 21 s1 p s 22 s 2 p ... s 2 p s pp s p1 s1 p s p 2 s 2 p ... s 2pp
2 = s112 s12 s21 ... s1 p s p1 + s21s12 s22 ... s2 p s p 2 +…+ s p1s1 p s p 2 s2 p ... s 2pp ,
Karena S merupakan matriks simetri maka sij = sji untuk setiap i,j = 1, 2, …, p, maka berlaku
Tr S 2 = s112 s 212 ... s 2p1 + s122 s222 ... s 2p 2 +…+ s12p s 22 p ... s 2pp ,
(3)
Dengan demikian Vektor Variansi sampel Tr S 2 = (vec( )) (vec( )) merupakan jumlah elemen-elemen diagonal dari matriks T (
)=∑
, yaitu
∑
(4)
Vektor Variansi dapat digunakan untuk pengendalian variabilitas proses. Salah satu caranya adalah dengan membentuk bagan kendali dengan menggunakan statistik variansi vektor tersebut. Kasus 1 Misalkan suatu sub grup ke 1, 2 ,...m memiliki jumlah sampel yang berbeda, selanjutnya jumlah sampel dari setiap sub grup itu disebut dengan n1 ≠
≠
…..≠
.
Statistik yang akan digunakan adalah : adapun mean dari Tr(
(
) ~ N(
) adalah Tr (
Adapun nilai taksiran adalah :
(
),
(
))
) dan variansi dari Tr(
(5) ) adalah
(
).
1
2 2 2 E Tr S gab 1 Tr S gab n m
(5a) 1
var Tr S gab
2
(
Jadi bagan kendali dari
4 8 12 12 Tr S gab 1 2 n 1 n m n m
(5b)
) adalah sebagai berikut :
Batas kendali atas (BKA): BKA = 1 +
Tr S
+3
Garis tengah
1+
+(
)
Tr S
(5c)
:
= 1+
Tr S
(5d)
Batas kendali bawah (BKB) : = 1+
Tr S
−3
1+
+(
)
Tr S
(5e)
m
n 1 S i
S gab
i
i 1 m
n 1
1 m ni 1 Si n m i 1
i
(5d)
i 1
m
dimana
n ni i 1
Kasus 2 Misalkan suatu sub grup ke 1, 2 ,...m memiliki jumlah sampel yang sama, selanjutnya jumlah sampel dari setiap sub grup itu disebut dengan n1=
=
…..=
=
. Statistik
yang akan digunakan adalah :
adapun mean dari Tr(
(
) ~ N(
(
) adalah Tr (
),
(
))
) dan variansi dari Tr(
(6)
) adalah
(
) .
Adapun nilai taksirannya adalah 1
2 2 2 E Tr S 1 Tr S , m n0 1
(6a)
1
4 8 12 12 Tr S 1 2 n0 1 m n0 1 m n0 1
var Tr S
2
(6b)
dimana :
n1 , n2 ,..., nm menyatakan jumlah sampel pada sub grup ke-1, 2, ….,m (
Jadi bagan kendali dari
) adalah sebagai berikut:
Batas kendali atas (BKA): = 1+
(
̅
)
+3
1+
(
)
+(
(
̅
))
(6c)
Garis tengah: = 1+
(
̅
)
(6d)
Batas kendali bawah (BKB): = 1+
(
̅
)
− 33
1+
(
)
+(
(
̅
))
(6e)
Berdasarkan batas batas inilah akan dilakukan pengendalian proses multivariate dari data cuaca di Kota Semarang.
PEMBAHASAN Penelitian ini menunjukkan bahwa keragaman data cuaca masih dalam pengendalian (
dengan menggunakan statistik vektor variansi
). Pada Peneliti sebelumnya salah
satunya adalah Sinderal (2007) mendalami pada statistik determinan matriks S, R, G, dan W, demikian pula Cleroux (1987) mengukur pada hubungan linear antara dua vektor
dan
sedangkan pada penelitian Nasrah (2010) mengatakan bahwa ada kesamaan signifikan matriks kovariansi melalui variansi vektor untuk beberapa sampel. berdasarkan batas kendali yang diperoleh maka statistik pengendalian multivariate melalui vektor variansi akan diaplikasikan dari data sekunder yang diambil berdasarkan curah hujan, suhu bulanan, kelembaban udara, dan kecepatan angin. Pada analisis tersebut penulis membagi dalam 2 fase yakni fase 1 sebagai data pendahuluan dan fase 2 sebagai monitoring. Analisis data tersebut adalah sebagai berikut : Untuk
= 3 dan ukuran sampel
= 12, maka diperoleh
Batas kendali atas (BKA): = 1+
(
)
̅
+3
1+
(
)
+(
(
))
̅
= 1+
(
(223907980,2) + 3
)
1+
(
)
+(
(
= 1+
2 8 12 12 (223907980,2) + 3 1+ + 3(11) 11 3(11) (3(11))
= 1+
2 8 12 12 (223907980,2) + 3 1+ + 33 11 33 363
(5,013 10 )
(5,013 10 )
= (1 + 0,061)(223907980,2) + 3 0,727{1 + 0,364 + 0,033} = (1,061)(223907980,2) + 3 0,727{1,397}
(5,013 10 )
))
(5,013 10 )
(5,013 10 )
= (1,061)(223907980,2) + 3 0,52(5,013 10 ) =237,566,366,992 + 3 26087,695 10 =237,566,366,992 + 3(161,52. 10 ) =237,57 10 + 484,56 10 =722,13 10 =7,22 10 Garis tengah (GT): = 1+
(
̅
)
= 1+
2 (223907980,2) 3(12 − 1)
= 1+
2 (223907980,2) 3(11)
= 1+
2 (223907980,2) 33
= (1,061)(223907980,2) =237,566,366 =2,37 10
Batas kendali bawah (BKB): = 1+
= 1+
(
(
)
)
̅
−3
(223907980,2) − 3
1+
(
1+
)
+(
(
(
)
+(
̅
))
(
= 1+
2 8 12 12 (223907980,2) − 3 1+ + 3(11) 11 3(11) (3(11))
= 1+
2 8 12 12 (223907980,2) − 3 1+ + 33 11 33 363
(5,013 10 )
))
(5,013 10 )
(5,013 10 )
= (1 + 0,061)(223907980,2) − 3 0,727{1 + 0,364 + 0,033}
(5,013 10 )
= (1,061)(223907980,2) − 3 0,727{1,397}
(5,013 10 )
= (1,061)(223907980,2) − 3 0,52(5,013 10 ) =237,566,366,992 - 3 26087,695 10 =237,566,366,992 – 3(161,52. 10 ) =237,57 10 - 484,56 10 =-246,99 10 =-2,47 10
KESIMPULAN DAN SARAN Pengendalian variabilitas proses melalui Vektor Variansi dapat dinyatakan dalam
Tr S 2
bentuk
= (
( )) (
( )) , Selanjutnya pembentukan bagan kendali dapat
ditentukan dengan menggunakan statistik vektor variansi tersebut. Batas kendali dari variansi vektor berdasarkan jenis dari data dibagi menjadi 2 yakni: jumlah sampel yang berbeda, n1 ≠
≠
…..≠
dan jumlah sampel yang sama n1=
=
…..=
=
. Dari hasil
Analisis data cuaca di Semarang melalui statistik vektor variansi diperoleh bahwa kondisi cuaca di kota tersebut masih dalam pengendalian. Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan, disarankan agar para peneliti selanjutnya menstandarkan data cuaca ini, karena keragaman pengukuran membuat nilai dari setiap peubah bernilai besar. Selain itu, perlu adanya perbandingan dengan statistic lain agar dapat diperoleh manakah yang lebih efektif dan efisien, statistik variansi vektor atau determinan dari matriks kovariansi untuk data cuaca ini.
DAFTAR PUSTAKA Anderson, T.W. (2003). An Introduction to Multivariate Statistical Analysis. John Wiley & Sons Inc. New York. Cleroux (1987), Multivariate Quality Control. In: Kotz, S, Johnson, N. eds.Encyclopedia of Statistical Sciences. 6. New York, N. Y.: John Wiley & Sons, hal. 110-122. Djauhari, Maman A. (2011). Geometric Interpretation of Vector Variance. Universiti Teknologi Malaysia. Jurnal Matematika, Volume 27, Number 1, 51–57. _________________. (2008). A Robust Estimation of Location and Scatter. Malaysian Journal of Mathematical Sciences 2(1), 1-24. _________________. (2007). A measure of Data Concentration. Journal of Applied Probalility & Statistics. 2(2). Hal 139-155. Djauhari, Maman A., dkk. (2010). How to Control Process Variability more Effectively: the case of a b-complex Vitamin production process, (Online), (http:sajie,journals,ac.za, diakses 10 Maret 2013 jam 11.00) _____________________. (2008). Communications in Statistics.
Multivariate
Process
Variability
Monitoring,
Herwindiati, dkk. (2009). The Robust Distance for Similarity Measure Of Content Based Image Retrieval. Journal. Vol II:1-5 Montgomery, D. C. (2001). Introduction to Statistical Quality Control 4th edition. John Wiley & Sons Inc. New York. Sirajang, Nasrah. (2010). Pengujian Hipotesis kesamaan Matriks Kovariansi Melalui Variansi Vektor Untuk Beberapa Sampel. Tesis. Universitas Hasanuddin Makassar. Rencher. (2002). Methods of Multivariate Analysis. John Wiley & Sons Inc. New York. Render. ( 2005). Optimal monitoring of multivariate data for fault patterns. Journal of Quality Technology, 39(2), 159-172. Sinderal (2007). Matrix Analysis for Statistics. John Wiley & Sons Inc. New York.
Tabel 1. Matriks Kovariansi sampel tahun 2001-2003 Tahun
(
Matriks
)
2001
12680,984 −25,809 −25,809 0,367 428,752 −1,503 −3932 −0,114
428,752 −3,932 −1,503 −0,114 25.639 1,422 1,422 1,037
161177038,1
2002
13899,416 −44,175 518,105 −32,169
518,105 −32.169 −2,514 0,253 27,409 −3,017 −3,017 1,386
193737388,4
−43,330 0,437 −3,817 −0,039
846,652 6,743 −3,817 −0,039 60,656 −1,45 −1,45 0,956
1477675,5
12258,495 −48,025 −48,025 0,462 504,49 −2,727 −61,233 0,345
504,49 −61,233 −2,727 0,345 28,373 −3911 −3911 1,063
223907980,2
2003
Rata-rata
18238,105 −43,330 846,652 6,743
−44,175 046,222 −2,514 0,253
Tabel 2. Matriks Kovariansi sampel tahun 2004-2005 Tahun 2003
2004
Rata-rata
12258,495 −48,025 504,49 −61,233 7702,719 −18,663 315,790 607,472 9980,607 −33,344 410,14 273,119
Matriks −48,025 504,49 −61,233 0,462 −2,727 0,345 28,373 −3911 −2,727 −3911 1,063 0,345 −18,663 315,790 607,472 0,289 −1,513 −3,148 −1,513 20,354 24181 −3,148 24181 257,059 −33,344 410,14 273,119 −2,12 −1,401 0,376 −2,12 24,364 10,135 −1,401 10,135 129,061
( ) 15079268,2
60337756,6
100117826,2
750000000
BKA = 7,22 10^8
550000000
350000000
GT = 2,37 10^8 150000000
-50000000 2000.5
2001
2001.5
2002
2002.5
2003
2003.5
BKB = -2,47 10^8
-2.5E+08
Gambar 1. Grafik bagan kendali vektor variansi pada data pendahuluan cuaca di Kota Semarang
750000000
BKA = 7,22 10^8
550000000
350000000
GT =2,37 10^8
150000000
-50000000 2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
BKB = -2,47 10^8 -2.5E+08
Gambar 2. Grafik bagan kendali vektor variansi pada data memonitoring cuaca di Kota Semarang
