PENGATURAN KEDATANGAN EKSTERNAL OPTIMAL PADA ANTRIAN JARINGAN JACKSON ( ARRANGEMENT OF OPTIMAL EXTERNAL ARRIVAL AT JACKSON NETWORK QEUEUING )

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA 2009 FMIPA UNIVERSITAS NEGERI JEMBER

PENGATURAN KEDATANGAN EKSTERNAL OPTIMAL PADA ANTRIAN JARINGAN JACKSON ( ARRANGEMENT OF OPTIMAL EXTERNAL ARRIVAL AT JACKSON NETWORK QEUEUING )

Gumgum Darmawan Staf Pengajar Jurusan Statistika FMIPA UNPAD Jln Raya Bandung Sumedang-Jatinangor KM.21 Gedung Statistika D14 Jawa Barat [email protected] Abstrak. Pada makalah ini akan ditentukan pengaturan kedatangan optimal pada Antrian Jaringan Jackson. Pengaturan terbaik ditentukan berdasarkan banyaknya, rata-rata dan deviasi standar dari fasilitas yang terpakai pada sistem antrian. Workstation pada antrian Jaringan Jackson terdiri atas banyak fasilitas dengan model antrian (M/M/s):(FCFS/~/~). Analisis pengaturan kedatangan eksternal optimal dilakukan dengan menggunakan Software R versi 2.72 dan kasus antrian jaringan pada tempat wisata yang mempunyai enam fasilitas pelayanan. Berdasarkan hasil perhitungan diperoleh optimalisasi sarana workstasion terjadi jika setengah dari workstation yang ada pada sistem antrian dibuka dan yang lainnya ditutup. Sedangkan jika berdasarkan waktu tunggu konsumen/pendatang terpendek jika workstasion ke-5 ditutup dan yang lainnya dibuka. Kata Kunci : Jackson Network, Multi Server Model, OSS R

1.

PENDAHULUAN

Antrian

aj ringan

merupakan

sekelompok

orkstasion w

dimana

pelanggan/pendatang dapat berpindah dari satu workstasion ke workstasion lebih dari satu kali. Workstasion merupakan sarana pelayanan yang berada pada sistem antrian jaringan dimana pada sistem antrian jaringan terdapat lebih dari satu workstasion. Antrian jaringan (Queueing Network) telah banyak dikaji oleh para peneliti seperti Jackson, J.R. (1957), mengkaji karakteristik dari antrian jaringan, Kelly (1975) yang mengkaji karakteristik konsumen/pendatang pada antrian jaringan.Lemoine (1977) yang mengkaji keseimbangan pada suatu antrian jaringan, Perros (1994) yang mengkaji blocking system pada sistem antrian jaringan. Salah satu jenis antrian jaringan yang menarik dikaji adalah Antrian Jaringan Jackson dimana setiap workstasion mempunyai pelayanan tunggal dengan konsumen dapat berpindah dari workstasion satu ke workstasion lainnya dapat lebih dari satu kali. Antrian Jaringan Jackson berdasarkan sumber kedatangan konsumen terbagi menjadi dua yaitu Antrian Jaringan Jackson terbuka ( Open Jackson Networks) dan Antrian Jaringan Jackson tertutup (Closed Jackson Networks). Antrian Jaringan Jackson terbuka (Open Jackson Networks) pendatang/konsumen berdatangan dari luar dan dalam sistem itu sendiri, sedangkan Antrian Jaringan Jackson tertutup (Closed Jackson Networks), konsumen/pendatang berpindah dari workstasion ke workstasion lainya hanya didalam sistem itu sendiri.

1

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA 2009 FMIPA UNIVERSITAS NEGERI JEMBER

Antrian Jaringan Jackson terbuka (Open Jackson Networks) telah banyak dikaji seperti Burke (1969), mengkaji tiga workstasion dengan workstasion pertama dan ketiga mempunyai pelayanan tunggal dan pelayanan kedua mempunyai pelayanan multipel, Simon dan Foley (1979), yang mengkaji tiga workstasion dengan pelayanan tunggal. Antrian Jaringan Jackson tertutup (Closed Jackson Networks) telah dikaji oleh Buzen (1973) dan Bruell dan Balbo (1980) yang membuat algoritma komputasi dari Antrian Jaringan Jackson tertutup (Closed Jackson Networks). Pada penelitian ini akan dikaji Antrian Jaringan Jackson terbuka (Open Jackson Networks) dengan multi server yang mengacu pada Kulkarni (1999). Sistem terdiri atas enam (6) buah workstasion dengan pelayanan lebih dari satu. 2.

ANTRIAN JARINGAN JACKSON

Antrian Jaringan adalah sebuah antrian dimana konsumen dapat pindah dari satu workstasion ke workstasion lain beberapa kali sebelum meninggalkan sistem. Pada antrian ini terdapat lebih dari satu workstasion. Asumsi pada Antrian Jaringan Jackson  Jaringan mempunyai N pelayanan tunggal  Stasion ke-i mempunyai pelayan sebanyak si .  Setiap stasion mempunyai ruang tunggu tak terbatas.  Pelanggan datang pada stasion ke-i dari luar sistem dengan tingkat kedatangan P  i  dengan semua kedatangan bersifat independent.  Waktu pelayanan pada stasion ke-i berdistribusi iid Exp  i  .  Konsumen keluar dari workstasion ke-i dan sampai ke workstasion ke-j dengan peluang pi, j yang bersifat bebas untuk setiap workstasion. Langkah-langkah penentuan Performansi Antrian Jaringan Jackson 2.1 Menentukan Tingkat kedatangan ai   i i b , 1  i  N N

i   tot i

 i  i 1

Nilai-nilai parameter pada sistem meliputi, ai = tingkat kedatangan total pada workstasion ke-i, si = Banyaknya fasilitas pelayanan workstasion ke-i, λi = Tingkat kedatangan eksternal pada workstasion ke-i, bi = Tingkat kedatangan internal pada worstasion ke-i, γi = Arrangement Code ( 1 jika terbuka, 0 jika tertutup), N = Banyaknya workstasion,

2

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA 2009 FMIPA UNIVERSITAS NEGERI JEMBER

λtot = Tingkat kedatangan eksternal total pada sistem. N

b j  i ai jp , , 1  j  N i 1 N

a j  j   i iaj p , , 1  j  N i 1

dengan a  a1 , a2 ,.., aN 

  1 , 2 ,.., N  Sehingga, a    aP a( I  P )   a    I  P

1

2.2 Menentukan Matriks Transisi Jackson Matriks Transisi Jackson menunjukan besarnya peluang perpindahan didalam sistem antrian, mempunyai bentuk sebagai berikut,  p1,1 p  2.1  p3,1 P  .  .   pN ,1

p 1,2

1,3p

p 2,2

2,3p

p 3,2

3,3p

.

.

.

.

Np,2

N ,3p

. 1,. . 2,.

p p

  N  . 3,. p N  , . . .  . . .   .N ,N. p  N

N

 pi , j  1, 1  i  N . j 1

2.3 Menentukan Stabilitas Sistem Antrian Jaringan Jackson dikatakan stabil jika, matriks I-P invertibel dengan P adalah matriks transisi Jackson network dan ai  is i untuk semua i = 1,2,..,N dengan a  a1 , a2 ,.., aN  . Dengan kata lain Jackson Network disebut stabil jika

ai  si i

, untuk

i = 1,2,….N.

2.4 Menentukan Ukuran Performansi Sistem antrian. Ukuran performansi antrian merupakan ukuran yang menunjukan efektifitas dan efisiensi dari antrian. Ukuran performansi antrian untuk model (M/M/s):(FCFS/~/~) adalah,

3

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA 2009 FMIPA UNIVERSITAS NEGERI JEMBER

an  a, n  0,1, 2,... n  n    s 

0ns ns

Jika a  s  , maka hasil steady state  nya adalah 1

P0  s 1

 n 0

a /  



n!

  a

n

 a     s 

n ss !

n s

1

 s 1

 n 0

a /   n!

  a

n



n   a  P0  n!  Pn    n  a   P  s ! s n s 0

 

Dengan   a

s

s

1 1 a

s!

s

jika 0  n  s

 

jika n  s

, maka

s

    P ,W  L , W  W  1 a

Lq 

s



s !1   

2 q0

q q



a

 1 L  a  Wq     a  Lq  

Dengan P0 = Peluang tidak terdapat konsumen/pendatang pada sistem antrian, Pn = Peluang terdapat ada n konsumen pada sistem antrian, Lq = Rata-rata banyaknya konsumen yang mengantri pada sistem antrian, Ls = Rata-rata banyaknya konsumen yang mengantri ditambah dengan konsumen yang sedang dilayani pada sistem antrian, Wq = Rata-rata lamanya konsumen menunggu sampai dilayani, W = Rata-rata lamanya konsumen menunggu dan dilayani, ρ = Utilitas Sistem (tingkat kesibukan pelayanan). 2.5 Menentukan Pelayanan yang menganggur Untuk menentukan banyaknya pelayanan yang menganggur dapat digunakan persamaan sebagai berikut;





Idlei  is  s L  iq  L  i  , dengan 1  i  N .

4

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA 2009 FMIPA UNIVERSITAS NEGERI JEMBER

Idlei adalah banyaknya pelayanan yang menganggur pada workstasion ke-i. 3.

APLIKASI Aplikasi pada makalah ini mengambil kasus pada Kulkarni (1999), dimana terdapat enam buah workstation. Workstasion merupakan fasilitas pelayanan pada suatu tempat Rekreasi. Masing-masing Roller Coaster (A), Water Tube (B), Fantasy (C), Merry goAround (D), Journey to the Moon (E) dan Ghost Montain (F). Skema sistem Antrian Jaringan Jackson dapat dilihat pada gambar 1. Software yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan ini digunakan software R versi 2.72.

B

D

A

F

C

E

Gambar 1. Skema Antrian Jaringan Jackson dengan Enam Workstation Berdasarkan pada Kulkarni (1999), dapat ditentukan parameter-parameter sebagai berikut; N= 6 Wokstation, s = (24, 35, 20, 60, 16,20), µ = (30, 20, 40,12,40,36) sedangkan tingkat kedatangan pada sistem (total) adalah 600 orang/jam. Matriks Transisi Jackson dari gambar 1 dapat ditentuka sebagai berikut; 0  1  6 1  6 P 1  6   16   16 

1

6

0 1 1 1 1

6 6 6 6

1 1

6 6

0 1 1 1

6 6 6

1 1 1

6 6 6

1 1 1

6 6 6

0

1

1

0

1

6 6

1

6

6

1  6 1  6 1  6 . 1  6  1  6  0 

Matriks P diatas digunakan untuk menentukan nilai a dengan menggunakan persamaan a    I  P 1 . Nilai γ diinput untuk menentukan performansi antrian terbaik. Berdasarkan tabel 1, Nilai idle terkecil yaitu sebesar 20,7 diperoleh dengan nilai   1,1, 0,1, 0, 0  , artinya pintu pertama , kedua dan keempat dibuka sedangkan pintu

ketiga, kelima dan keenam ditutup. Berdasarkan lama menunggu pelayanan diperoleh

5

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA 2009 FMIPA UNIVERSITAS NEGERI JEMBER

untuk nilai   1,1,1,1, 0,1 dengan waktu menunggu 0,003 jam. Nilai-Nilai γ yang tidak ditulis pada tabel 1 seperti   1,1, 0,1,1, 0  , menunjukan system tidak stabil. Tabel 1. Ukuran Performansi Dari Antrian Jaringan Jackson

4.

γ (N=6)

Idle

Ratarata

Deviasi Standar

Lq

Ls

Wq

(1,1,1,1,1,1) (1,1,1,0,0,0) (0,1,1,1,0,0) (1,1,0,1,0,0) (1,1,0,0,0,1) (1,0,1,1,0,0) (0,1,1,0,0,1) (0,0,1,1,0,1) (1,1,1,1,1,0) (1,1,1,1,0,1) (1,1,1,0,1,1) (1,1,0,1,1,1) (1,0,1,1,1,1) (1,0,1,1,1,1) (1,1,1,1,0,0) (0,1,1,1,0,1) (1,0,1,1,0,1) (1,1,0,1,0,1)

28,30 30,70 22,10 20,70 30,20 25,00 31,60 25,90 27,00 26,71 32,71 26,71 29,28 27,57 24,64 25,36 27,50 24,29

4,72 5,12 3,69 3,45 5,04 4,16 5,28 4,32 4,50 4,45 5,45 4,45 4,88 4,59 4,11 4,23 4,58 4,04

2,97 6,15 2,22 2,53 6,40 2,90 6,22 3,10 2,64 2,11 5,89 2,93 3,40 2,84 1,60 1,96 2,76 2,16

2,82 10,04 9,64 11,70 12,16 5,26 10,10 5,28 4,93 1,73 5,12 5,19 4,86 4,96 2,50 2,54 2,24 3,02

27,26 34,09 35,12 37,41 36,29 30,26 33,99 30,16 29,60 26,44 28,84 29,91 29,15 29,53 27,56 27,48 26,82 28,14

0,005 0,015 0,014 0,017 0,018 0,008 0,015 0,008 0,008 0,003 0,008 0,008 0,008 0,008 0,004 0,004 0,003 0,005

KESIMPULAN Berdasarkan tabel 1 hasil perhitungan dengan menggunakan Software R versi 2.72, dapat di buat dua kesimpulan. Jika antrian dititik beratkan pada pengurangan fasilitas

yang

menganggur

maka lebih

baik

melakukan

pengaturan

dengan

γ = (1,1,0,1,0,0). Jika antrian dititik beratkan pada cepatnya menunggu untuk mengantri maka lebih baik melakukan pengaturan dengan γ = (1,1,1,1,0,1), artinya hanya pintu ke lima yang ditutup sedangkan yang lainnya di buka. 5.

UCAPAN TERIMA KASIH

Penulis mengucapkan banyak terima kasih atas bantuan dana pada Jurusan Statistika dan Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Padjadjaran sehingga makalah ini dapat diseminarkan di Universitas Negeri Jember.

6

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA 2009 FMIPA UNIVERSITAS NEGERI JEMBER

DAFTAR PUSTAKA Bruell SC & Balbo G. 1980. Computational Algorithm for Closed Queueing Networks. Operating and Programming System Series. P.J.Denning (Ed.). New York. Oxford:North Holland. Burke PJ. 1969. The Dependence of Service in Tandem M/M/s Queues. Operational Research.17:754-755. Buzen JP. 1973. Computational Algorithms for Closed Queueing Networks with Exponential Servers. Communication. ACM 16 : 527-531.

Jackson JR. 1957. Networks of Waiting Lines. OperationalResearch.5 : 518-521. Kulkarni VG. 1999. Modeling, Analysis, Design, and Control of Stochastic System. Springer-Verlag New York USA. Kelly FP. 1975. Networks of Queues with Customers of Different Types. Journal of Applied Probability.12 : 542-554. Lemoine AJ.1977. Networks of Queues-A Survey of Equilibrium Analysis. Management Science.24 : 464-481. Perros H. 1994. Queueing Networks with Blocking. New York:Oxford University Press. Simon B & Foley RD. 1979. Some Results on Sojourn Times in Cyclic Jackson Networks. Management Science. 25 : 1027-1034.

7

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA 2009 FMIPA UNIVERSITAS NEGERI JEMBER

BIODATA PENELITI Nama Lengkap NIP Tempat/Tanggal Lahir Jenis Kelamin Bidang Keahlian Fakultas/Puslit Alamat Kantor

: : : : : : :

Telepon ( ) Faksimile ( ) E-mail Alamat Rumah

: : : :

Kota Kode Pos Telepon ( ) Faksimile ( ) E-mail No. Telepon Genggam

: : : : :

Gumgum Darmawan,S.Si,M.Si 132 284 877 Bandung, 18 Mei 1973 Pria Time Series, Queueing, Reliability MIPA Kampus UNPAD Jatinangor Gedung D-14 Jl. Raya Bandung- Sumedang km. 21 Jatinangor Sumedang (022) 7796002 (022) 7796002 [email protected] Jln.Terusan Sersan Bajuri 29 RT.03/07 KP.Cihideung Kec.Parongpong Kab.Bandung Barat 40559 (022) 2785556 [email protected] 081938337158

Pendidikan No.

Perguruan Tinggi

Kota & Negara

Tahun Lulus

Bidang Studi

1

Universitas Padjadjaran

1998

S1 Statistika

2

Institut Teknologi Sepuluh Nopember

Bandung, Indonesia Surabaya, Indonesia

2008

S2 Statistika

Penelitian No. 1.

2. 3. 4.

5

6

Judul Penelitian

Tahun

Penerapan Model Autoregressive SpatialRegresif Campuran untuk Memprediksi Hasil Panen Padi Kabupaten Sumedang Comparison of the Differencing Parameter Estimation of ARFIMA Model by Spectral Regression Method Perbandingan Metode Peramalan pada Model ARFIMA Pemodelan ARFIMA Nonstasioner melalui Metode Modifikasi GPH(Geweke and PorterHudak) Perbandingan Model Deret Waktu pada Data Pemakaian Listrik Jangka Pandek yang Mengandung Pola Musiman Ganda Comparison of Differencing Parameter Estimation From Non stationer ARFIMA Model by GPH Method with Cosine Tapering

8

2006

2008 2008 2008

2008

2009