PENGARUH TINGKAT DISKON DAN TINGKAT SUKU BUNGA TERHADAP PROPORSI TABUNGAN OPTIMAL DARI UNEARNED INCOME
DENDA RINALDI HADINATA
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012
ABSTRACT DENDA RINALDI HADINATA. The Influence of Discount and Interest Rates Toward the Optimal Savings Proportion Unearned Income. Supervised by RETNO BUDIARTI and TEDUH WULANDARI MAS’OED. National income is usually consumed in the form of government spending. When the income is not fully consumed, a part of it will be saved as national saving. In this manuscript, an optimal national saving is obtained by minimizing the difference between the satisfaction, which is enjoyed by the community directly (enjoyment), and the maximum of enjoyment level (bliss). The minimization problem is solved by using calculus of variations. The optimal proportion of saving is determined by considering a special case, i.e. when saving comes from unearned income. Furthermore, in this manuscript, the influence of discount and interest rates parameter on the optimal proportion of saving on unearned income is analyzed. The results show that if the discount rate increases, the proportion of saving on unearned income decreases. On the other hand, if the interest rate increases, the proportion of saving on unearned income also increases. Keywords: national income, calculus of variations, discount rate, interest rate.
ABSTRAK DENDA RINALDI HADINATA. Pengaruh Tingkat Diskon dan Tingkat Suku Bunga Terhadap Proporsi Tabungan Optimal dari Unearned Income. Dibimbing oleh RETNO BUDIARTI dan TEDUH WULANDARI MAS’OED. Dalam perekonomian, pendapatan nasional digunakan untuk kegiatan konsumsi dalam bentuk belanja negara. Pendapatan tersebut tidak selalu habis digunakan untuk konsumsi. Bagian pendapatan yang tidak habis dikonsumsi dinamakan tabungan nasional. Pada karya tulis ini, solusi untuk mendapatkan tabungan nasional yang optimal dilakukan dengan cara meminimumkan selisih antara kepuasan masyarakat yang dinikmati secara langsung (enjoyment) dengan tingkat maksimumnya (bliss). Masalah minimisasi diselesaikan dengan menggunakan metode kalkulus variasi, kemudian mencari proporsi tabungan optimal dengan kasus khusus yaitu tabungan berasal dari pendapatan di luar upah (unearned income). Selanjutnya, dianalisis pengaruh parameter tingkat diskon dan tingkat suku bunga terhadap proporsi tabungan optimal dari unearned income tersebut. Dari analisis yang dilakukan diperoleh hasil, yaitu saat tingkat diskon semakin meningkat, proporsi tabungan unearned income menurun dan saat tingkat suku bunga meningkat, semakin meningkat juga proporsi tabungan unearned income. Kata kunci: tabungan nasional, kalkulus variasi, tingkat diskon, tingkat suku bunga.
PENGARUH TINGKAT DISKON DAN TINGKAT SUKU BUNGA TERHADAP PROPORSI TABUNGAN OPTIMAL DARI UNEARNED INCOME
DENDA RINALDI HADINATA
Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012
Judul Skripsi : Pengaruh Tingkat Diskon dan Tingkat Suku Bunga Terhadap Proporsi Tabungan Optimal dari Unearned Income Nama : Denda Rinaldi Hadinata NIM : G54070064
Disetujui
Pembimbing I
Pembimbing II
Ir. Retno Budiarti, MS NIP. 19610729 198903 2 001
Teduh Wulandari Mas’oed, M.Si NIP. 19740915 199903 2 001
Diketahui Ketua Departemen Matematika
Dr. Berlian Setiawaty, MS NIP. 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus : ………………………………
KATA PENGANTAR Alhamdulillah, segala puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala rahmat, nikmat dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini yang berjudul Pengaruh Tingkat Diskon dan Tingkat Suku Bunga Terhadap Proporsi Tabungan Optimal dari Unearned Income. Dalam penyusunan skripsi ini, penulis banyak mendapatkan bimbingan dan bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis ingin menyampaikan terimakasih sebesar-besarnya kepada Ir. Retno Budiarti, MS dan Teduh Wulandari Mas’oed, M.Si selaku pembimbing yang telah banyak membantu dalam penyelesaian skripsi ini. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada orang tua dan keluarga atas segala doa, dukungan, kesabaran, didikan, dan kasih sayangnya. Penulis juga ingin mengucapkan terima kasih kepada seluruh dosen, staf pegawai, dan teman-teman di Institut Pertanian Bogor, khususnya di Departemen Matematika. Selain itu penulis ucapkan terima kasih pula kepada sahabat dan teman-teman atas doa dan dukungannya. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.
Bogor, April 2012
Denda Rinaldi Hadinata
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya serta shalawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari peranan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Keluargaku tercinta: Mamah dan Bapak (terima kasih atas doa, dukungan, didikan, kepercayaan, kasih sayang, motivasi dan segalanya), Kakakku Fanny dan Sanny (terima kasih atas doa, dukungan dan motivasi), Adikku Nanda (terima kasih atas doa, dukungan, motivasi, dan bantuannya), serta keluarga besar (terima kasih atas doa, dukungan, kasih sayang, dan motivasinya). 2. Ibu Ir. Retno Budiarti, MS selaku dosen pembimbing I (terima kasih atas semua ilmu, waktu, kesabaran, motivasi, nasihat dan bantuannya selama penulisan skripsi ini). 3. Ibu Teduh Wulandari Mas’oed, M.Si selaku dosen pembimbing II (terima kasih atas semua ilmu, waktu, kesabaran, motivasi, nasihat dan bantuannya selama penulisan skripsi ini). 4. Ibu Dr. Ir. Endar Hasafah Nugrahani, MS selaku dosen penguji (terima kasih atas semua ilmu, waktu dan sarannya). 5. Semua dosen Departemen Matematika IPB (terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan). 6. Staf Departemen Matematika IPB: Pak Yono, Bu Susi, Mas Heri, Pak Bono, Bu Ade, Mas Deni, dan lainnya (terima kasih atas bantuan dan motivasinya). 7. Sahabat-sahabat di matematika 44: Sri Septiana, Ayu Lembayung, Nurrachmawati, Fajar Gumilang, Mutia Indah Sari, M. Rofi Hidayat, Della Azizah Munawar, Aulia Retnoningtyas, Dian Nugraha, M. Rizqy Hidayatsyah, Pandi, Nurisma, Imam Ekowicaksono (terima kasih atas doa, bantuan, dukungan, motivasi, persahabatan, saran dan kebersamaannya). 8. Sahabat-sahabat terbaik: Ikra Nugraha, Gemby Ayu Ramadhani Gondewa Putri, Dwi Dinar Murjani, Wildan Saleh, Adi Putranto, Bunga Ananda Dystiara, Chandra Ronika, Ady Ratna Kemala, Nisa Nantami, Ridho Tristan, Dewi Anggraeni, Basworo Wicaksono, Annisa Hasanah, Tahmid Hidayat, Yunisty Ayu Larashati, Dwi Andini Putri, Arina Pramudita, R. Nugraha Adisucipto (terima kasih atas doa, dukungan, persahabatan, dan kebersamaannya). 9. Teman-teman Matematika angkatan 44: Ali, Arina, Aswin, Ayum, Christoper, Devi, Devina, Diana, Andika,Tanti, Eka, Fani, Fikri, Fitri, Gan-gan, Ihda, Ikhsan, Indin, Iresa, Lazuardi, Lilis, Lili, Lina, Lingga, Lugina, Lukman, Mariam, Masayu, Endro, Aqil, Nadiroh, Cita, Vani, Naim, Nurul, Nunuy, Nurus, Vianey, Wahyu, Wenti, Yanti, Yogie, Yuli, dan Zae (terima kasih atas doa, semangat, dukungan, bantuan, dan kebersamaannya). 10. Kakak-kakak 41, 42, 43 dan S2: Kak Sofyan, Kak Supri, Kak Apri, Kak Arum, Kak Nia, Kak Fely, Kak Resti, Kak Rangga, Kak Eyyi, Kak Slamet, Kak Kunto, Kak Fadhan, Kak Tami, Kak Wira, Om Baist, Kak Iput dan yang lainnya (terima kasih atas doa, bantuan, ilmu, dukungan, dan motivasinya). 11. Adik-adik Matematika angkatan 45 (terima kasih atas doa, bantuan, dan dukungannya). 12. Teman-teman Marching Band Gita Swara Pakuan Pemerintah Kota Bogor (terima kasih atas doa dan dukungannya). 13. Teman-teman Gear The Fun (terima kasih atas doa dan dukungannya). 14. Teman-teman Kontrakan-AAN: Eko, Bisri, Made, Vero, Alma, Yakub, Faisal, Eka, Ari (terima kasih atas doa dan dukungannya). 15. Ria Anggraeni, Diah Anggraeni, Silvia Dewi Sagita Andik, Tri Rahmawati Lestari, Ibu Fenny Sartana, Astari Haqi Apriliyanti (terima kasih atas doa, bantuan dan dukungannya). 16. Teman-teman TPB dan Asrama Putra C3 lorong 1 (terima kasih atas doa dan motivasinya). 17. Teman-teman lainnya yang telah mendukung selama ini, baik moril maupun materil. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.
Bogor, April 2012
Denda Rinaldi Hadinata
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Sukabumi pada tanggal 2 Desember 1989 sebagai anak ke tiga dari pasangan bapak Endang Rachmat Effendy dan ibu Tati Sunarti. Tahun 2001 penulis lulus dari SD Amaliah. Selanjutnya, penulis melanjutkan studinya di SMP Negeri 2 Bogor dan lulus pada tahun 2004. Tahun 2007 penulis lulus dari SMA Negeri 4 Bogor dan di tahun yang sama penulis diterima sebagai mahasiswa IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis memilih mayor Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif dalam organisasi kemahasiswaan, seperti Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) sebagai anggota Departemen Sosial, Informasi dan Komunikasi periode 2008-2010. Berbagai kegiatan kepanitiaan penulis ikuti selama menjadi mahasiswa seperti MPD Matematika pada tahun 2009 sebagai Kepala Divisi Penanggung Jawab Kelompok, MPD Matematika pada tahun 2010 sebagai Kepala Divisi Kreatif, Pesta Sains 2009 sebagai anggota Divisi Dana Usaha, Pesta Sains (Matematika Ria) 2010 sebagai Kepala Divisi Acara, dan IPB Green Living Movement tahun 2011 sebagai anggota Divisi Acara. Di luar perkuliahan, penulis tergabung dalam Marching Band Gita Swara Pakuan Pemerintah Kota Bogor.
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR GAMBAR ................................................................................................................. viii DAFTAR LAMPIRAN .............................................................................................................. viii I
PENDAHULUAN ............................................................................................................. 1.1 Latar Belakang .......................................................................................................... 1.2 Tujuan ....................................................................................................................... LANDASAN TEORI ......................................................................................................... 2.1 Sistem Persamaan Diferensial ................................................................................... 2.2 Istilah Ekonomi .......................................................................................................... 2.3 Fungsi Konkaf ........................................................................................................... 2.4 Kalkulus Variasi ........................................................................................................ 2.5 Persamaan Euler ........................................................................................................ 2.6 Kasus Khusus Persamaan Euler ................................................................................ 2.7 Syarat Batas dalam Kalkulus Variasi ........................................................................ HASIL DAN PEMBAHASAN ......................................................................................... 3.1 Formulasi Masalah Umum ........................................................................................ 3.2 Model Tabungan Optimal Unearned Income ............................................................ 3.3 Model Tabungan Optimal Unearned Income dengan Tingkat Diskon .......................
1 1 1 1 1 3 4 4 5 6 6 7 7 8 9
SIMPULAN ........................................................................................................................
11
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................................
12
LAMPIRAN ...............................................................................................................................
13
II
III
IV
vii
DAFTAR GAMBAR Halaman 1
Kurva Proporsi Tabungan Unearned Income terhadap Tingkat Diskon
2
Kurva Proporsi Tabungan Unearned Income terhadap Tingkat Suku Bunga
.....................
10
..............
11
DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1
Bukti Lema 1 .....................................................................................................................
14
2
Bukti Teorema 2 ................................................................................................................
14
3
Bukti Persamaan (2.17) .....................................................................................................
15
4
Bukti Persamaan (3.13) .....................................................................................................
15
5
Bukti Persamaan (3.22a) ....................................................................................................
17
6
Bukti Persamaan (3.22b) ...................................................................................................
17
7
Bukti Persamaan (3.27) .....................................................................................................
19
8
Bukti Persamaan (3.29) ......................................................................................................
20
9
Kurva Proporsi Tabungan Unearned Income terhadap Tingkat Diskon
.....................
21
..............
21
10 Kurva Proporsi Tabungan Unearned Income terhadap Tingkat Suku Bunga
viii
1
I PENDAHULUAN 1.1 Latar belakang Pertumbuhan ekonomi adalah pertambahan tingkat pendapatan per kapita yang terjadi di suatu negara dari tahun ke tahun. Pertumbuhan ekonomi tersebut merupakan salah satu indikator keberhasilan pembangunan. Oleh karena itu, negara-negara di seluruh dunia, baik negara miskin maupun kaya, yang menganut sistem kapitalis, sosialis, maupun campuran, sangat menginginkan pertumbuhan ekonomi terjadi di negaranya. Pertumbuhan ekonomi suatu negara menunjukkan suatu perkembangan kegiatan ekonomi dari suatu periode ke periode berikutnya. Kegiatan ekonomi yang dimaksud akan menghasilkan pendapatan (output), sehingga pertumbuhan ekonomi pada dasarnya menunjukkan perkembangan pendapatan dari suatu periode ke periode berikutnya. Pendapatan digunakan untuk kegiatan dalam bentuk pengeluaran atau belanja negara, seperti pembelian barang dan jasa. Pembelian tersebut dapat dinikmati langsung (enjoyment) atau tidak dapat dinikmati langsung (disutilitas) oleh masyarakat. Bagian pendapatan yang tidak habis digunakan untuk pengeluaran belanja negara disebut tabungan nasional. Tabungan nasional membentuk akumulasi modal yang pada periode berikutnya akan diinvestasikan kembali dengan tujuan memperbesar pendapatan. Oleh karena itu,
tabungan merupakan salah satu faktor penentu pertumbuhan ekonomi suatu negara. Menabung merupakan suatu penghematan ketika masyarakat melakukan konsumsi. Kegiatan konsumsi tersebut akan menghasilkan enjoyment, yang apabila dilakukan penghematan secara terus menerus akan menuju pada tingkat enjoyment maksimum. Menurut Ramsey (1928), solusi untuk menentukan tabungan optimal adalah dengan cara meminimumkan selisih antara kepuasan yang dinikmati secara langsung (enjoyment) dengan tingkat maksimumnya (bliss). Pada karya ilmiah ini, akan dibahas masalah peminimuman dengan menggunakan metode kalkulus variasi yang kemudian akan dicari proporsi tabungannya dengan kasus khusus, yaitu tabungan diperoleh dari unearned income atau pendapatan di luar upah. Selanjutnya, akan dianalisis pengaruh parameter, yaitu tingkat diskon dan tingkat suku bunga terhadap proporsi tabungan uneared income tersebut. 1.2 Tujuan Tujuan dalam penulisan karya ilmiah ini adalah 1. Menentukan proporsi tabungan optimal unearned income, 2. Menganalisis pengaruh tingkat diskon dan tingkat suku bunga dari proporsi tabungan optimal unearned income.
II LANDASAN TEORI Pada bagian ini akan diuraikan beberapa definisi dan penjelasan istilah-istilah yang digunakan dalam karya ilmiah ini.
Turunan Turunan fungsi dinyatakan dengan
pada bilangan adalah
2.1 Sistem Persamaan Diferensial Fungsi Dua Variabel Suatu fungsi dari dua variabel adalah suatu aturan yang memetakan setiap pasangan terurut di ke tepat satu bilangan real di yang dinyatakan . Himpunan adalah daerah asal fungsi dan daerah hasilnya adalah himpunan nilainilai di , ditulis . (Stewart 2001)
jika limit ini ada. Jika , maka mendekati 0 jika dan hanya jika . Sehingga dapat ditulis
dan mendekati
(Stewart 2001)
2
Integral Tentu Jika fungsi kontinu yang didefinisikan untuk , kita bagi selang selang bagian berlebar sama menjadi . Misalkan berupa titik ujung selang bagian ini dan pilih titik sampel di dalam selang bagian ini, sehingga terletak dalam selangbagian ke- , . Definisi integral tentu dari sampai adalah
(Stewart 2001) Turunan Parsial 1. Turunan parsial adalah
terhadap
didiferensialkan menjadi oleh hasil kali F '( x )
yang diberikan
f '( g ( x )) g '( x ).
Jika dan keduanya fungsi yang dapat didiferensialkan, maka
Andaikan adalah fungsi dari dan yang terdiferensialkan, dengan x g ( t ) dan dua-duanya adalah fungsi dari yang terdiferensialkan. Maka adalah fungsi dari yang terdiferensiasikan dan
di
(Stewart 2001) 2. Turunan parsial adalah
terhadap
di
Turunan parsial dari fungsi dua variabel adalah berupa fungsi lain yaitu dan yang didefinisikan
Sistem Dinamik Sistem Dinamik (SD) adalah suatu sistem yang berubah sesuai dengan waktu. Sistem Dinamik dinyatakan sebagai berikut:
dengan f (x) merupakan fungsi dari x. (Kreyszig 1993) Sistem Persamaan Diferensial Linear Suatu persamaan diferensial linear orde 1 dinyatakan sebagai berikut:
Notasi untuk Turunan Parsial adalah misalkan , maka
(Stewart, 2001) Aturan Rantai Jika dan keduanya dapat f g adalah fungsi didiferensialkan, dan F komposisi yang didefinisikan oleh F ( x) f ( g ( x )) , maka dapat
Dengan fungsi terhadap . Jika maka persamaan di atas disebut persamaan diferensial linear homogen dan jika maka disebut persamaan diferensial linear takhomogen. (Farlow 1994) Metode Pengintegralan Persamaan Diferensial Orde Pertama Misalkan diberikan bentuk umum persamaan diferensial linear orde pertama (2.1) Dengan menggunakan metode faktor pengintegralan yang dinotasikan oleh dapat diperoleh
3
(2.2) untuk mencari , persamaan (2.2) diturunkan dan disederhanakan menjadi
diproduksi dalam masyarakat bertambah. Tingkat pertumbuhan ekonomi menunjukkan persentase kenaikan pendapatan nasional real pada suatu tahun tertentu, dibandingkan dengan pendapatan nasional real pada tahun sebelumnya. (Mankiw 2003)
(2.3) Jika diasumsikan
, maka didapatkan (2.4)
lalu dengan mengintegralkan kedua ruas didapatkan (2.5) dengan dan adalah semua kumpulan anti derivatif . Selanjutnya, kalikan kedua ruas pada persamaan (2.1) dengan faktor pengintegralan, sehingga
Investasi Investasi adalah barang-barang yang dibeli oleh individu dan perusahaan untuk menambah persediaan modal mereka. (Mankiw 2003) Tenaga Kerja Tenaga kerja adalah kemampuan atau kemahiran yang dimiliki suatu produk untuk digunakan dalam proses produksi. (Sukirno 2004) Tabungan Tabungan adalah bagian dari pendapatan yang tidak dikeluarkan untuk konsumsi. (Mankiw 2003)
(2.6) Eliminasi persamaan (2.2) dengan persamaan (2.6), sehingga diperoleh (2.7) substitusikan faktor pengintegralan yang berasal dari persamaan (2.5) ke persamaan (2.7), akibatnya
Tabungan Nasional Tabungan nasional adalah pendapatan total dalam perekonomian yang tersisa setelah dipakai. (Mankiw 2000) Tingkat Diskon Tingkat diskon adalah tingkat bunga yang dibebankan oleh bank sentral ketika meminjamkan dana ke bank. (Mankiw 2003)
(2.8) Integralkan kedua ruas pada persamaan (2.8). Sehingga diperoleh
Konsumsi Konsumsi adalah kegiatan membeli barang-barang dan jasa-jasa yang dihasilkan oleh sektor perusahaan. (Sukirno 2004) Utilitas Utilitas adalah ukuran kegembiraan atau kepuasan.
dan didapatkan solusi umumnya yaitu
kebahagiaan, (Mankiw 2000)
(2.9) (Farlow 1994) 2.2 Istilah Ekonomi Pertumbuhan Ekonomi Pertumbuhan ekonomi adalah perkembangan kegiatan dalam perekonomian yang menyebabkan barang dan jasa yang
Enjoyment Enjoyment adalah dinikmati langsung.
kepuasan
yang
(Ramsey 1928) Disutilitas Disutilitas adalah kepuasan yang tidak dinikmati langsung. (Ramsey 1928)
4
Bliss Bliss adalah enjoyment maksimum. (Ramsey 1928) Modal Modal adalah peralatan, mesin, kendaraan, materi, dan keterampilan yang digunakan dalam produksi barang dan jasa. (Mankiw 2003) Akumulasi Modal Akumulasi modal (capital accumulation) akan diperoleh bila sebagian dari pendapatan yang diterima saat ini ditabung dan diinvestasikan lagi dengan tujuan meningkatkan pendapatan di masa depan. (Todaro et al 2003) Fungsi Produksi Fungsi produksi untuk suatu barang tertentu, dengan menyatakan input kapital dan menyatakan input tenaga kerja sedangkan tanda titik-titik pada fungsi di atas menunjukkan kemungkinan digunakannya input produksi yang lain, memperlihatkan jumlah output maksimum yang diperoleh dengan menggunakan berbagai alternatif kombinasi input produksi. (Mankiw 2003) Produk Marjinal Misalkan didefinisikan fungsi produksi dengan menyatakan input kapital dan menyatakan input tenaga kerja. Produk marjinal dari suatu input adalah output tambahan yang dapat diperoleh dengan menambah input yang bersangkutan 1 unit, sedangkan input-input lain dianggap konstan. Secara matematis dinotasikan sebagai berikut: Produk marjinal terhadap kapital PM Produk marjinal terhadap tenaga kerja PM (Nicholson 2002) Fungsi Utilitas Fungsi utilitas adalah suatu fungsi yang menunjukkan kepuasan seseorang dari mengonsumsi barang dan jasa, yang dinotasikan sebagai berikut :
Dengan adalah kegunaan atau utilitas total, merupakan banyaknya produk yang dikonsumsi. (Nicholson 2002)
2.3 Fungsi Konkaf Definisi 1 (Himpunan Konveks) Himpunan C R n dikatakan himpunan konveks jika dan hanya jika untuk setiap x dan y di C, maka ruas garis yang menghubungkan x dan y juga terletak di C. Dengan kata lain himpunan C R n dikatakan himpunan konveks jika dan hanya jika untuk setiap x dan y di C dan untuk setiap λ dengan juga 0 1 , maka vektor terletak di C. (Peressini et al. 1988) Definisi 2 (Fungsi Konkaf) Misalkan adalah fungsi bernilai real yang terdefinisi pada himpunan konveks C di n
R , maka fungsi f dikatakan konkaf di C
jika untuk setiap x, y di C dan untuk setiap λ dengan 0 1. (Peressini et al. 1988) Teorema 1 Jika f fungsi terdiferensialkan dua kali pada suatu selang I, maka f fungsi konkaf pada I jika dan hanya jika , untuk setiap . (Peressini et al. 1988) 2.4 Kalkulus Variasi Kalkulus variasi merupakan salah satu teknik untuk menyelesaikan masalah pengoptimuman fungsional yang menyelidiki nilai maksimum atau minimum dari integral tertentu yang bergantung pada suatu fungsi. Fungsional dan Variasi Fungsional, dinotasikan sebagai , adalah suatu aturan yang mengkaitkan tiap fungsi dengan suatu bilangan tunggal . Terdapat analogi antara fungsi dengan fungsional. Argumen dari fungsi merupakan peubah, misalnya , sedangkan argumen dari fungsional merupakan fungsi, misalnya . Apabila fungsi secara lengkap dapat ditentukan ketika peubahnya diberikan nilai-nilai tertentu, maka suatu fungsional secara lengkap ditentukan oleh pilihan fungsi tertentu dari sekumpulan fungsi yang admissible, yaitu fungsi yang membawa sistem dari state awal pada waktu kepada state terminal pada waktu
5
terminal . Increment atau kenaikan dari argumen fungsi adalah , sementara increment dari argumen fungsional disebut variasi yang dinotasikan dengan . Bentuk fungsional yang sering digunakan dalam kalkulus variasi adalah:
J (x
(2.10) dengan . Masalah selanjutnya adalah memilih fungsi dalam sehingga memaksimumkan integral pada persamaan (2.10) dengan syarat dan kedua titik ujung peubah ditentukan (fixed) yaitu dan , agar fungsional optimum (maksimum/minimum). Untuk memperoleh fungsional yang optimum, diperlukan nilai yang memberikan nilai ekstrem pada fungsional . Fungsi yang memberikan nilai ekstrem diperoleh dengan konsep variasi (increment). Variasi dari fungsional pada persamaan (2.10) dengan syarat dan kedua titik ujung peubah ditentukan, diperoleh dengan menggunakan deret Taylor dua peubah sebagai berikut J (x
T
h)
T 0
+
T
f ( x , x , t ) d t
1
T
2
0
O h J (x) +
h , t ) d t
h , x
f (x
0
1
T
2
0
2
( h f xx
0
(hf x
2 h h f
xx
h f ) d t x f
xx
2 h ) d t
2
T 0
(hf x
( h 2 f xx
h f ) d t x 2 h h f
xx
f
xx
2 h ) d t
O h
2
J ( x)
J (x)
2
J (x)
J ( x)
2
J (x)
O h
J ( x)
O h
2
2
dengan J
J (x
h) T
J (x) 2
dengan , adalah fungsi skalar, dan adalah konstanta. Fungsi diasumsikan mempunyai turunan parsial pertama dan kedua yang kontinu terhadap semua argumennya. Misalkan adalah kelas dari semua fungsi kontinu yang terdefinisi pada sebuah interval tertutup dan adalah kelas dari semua fungsi dan yang terdefinisi pada selang mempunyai turunan pertama yang kontinu Tanpa mengurangi sifat keumuman, misalnya ditentukan, dan . Sehingga bentuk fungsional di atas dapat diubah menjadi
h)
J (x)
h (t )
0
O h
1
T
2
0
h f ) d t x 2 h h f
( h 2 f xx *
x (t )
xx
f
xx
2 h ) d t
x (t )
adalah orde yang lebih tinggi dengan
2 O h
(hf x
x (t ) 2
J (x)
0
untuk
h
0
.
Notasi disebut variasi pertama dan disebut variasi kedua.Variasi pertama berperan sebagai syarat perlu untuk adanya ekstremum, sedangkan variasi kedua berperan sebagai syarat cukup. Definisi 3 (Nilai Maksimum dan Nilai Minimum) Fungsional dikatakan mencapai maksimum (minimum) lokal atau relatif sepanjang apabila ( ), yaitu untuk semua fungsi-fungsi yang cukup dekat dengan . Fungsional dikatakan mencapai maksimum (minimum) global sepanjang apabila ( ), yaitu untuk semua fungsi . (Tu 1993) 2.5 Persamaan Euler Persamaan Euler merupakan syarat perlu untuk menyelesaikan masalah optimum dalam kalkulus variasi. Misalkan menyatakan kelas semua fungsi kontinu yang terdefinisi pada selang dan menyatakan kelas semua fungsi yang didefinisikan di selang dan memiliki turunan ke- yang kontinu. Misal, masalah variasi diberikan (2.11) dengan titik ujung dan adalah tetap, , , dan dengan adalah fungsi skalar. Permasalahannya adalah memilih fungsi diantara fungsi-fungsi admissible, yaitu semua fungsi yang memiliki titik awal di dan titik akhir di yang memberikan nilai maksimum atau nilai minimum untuk fungsional .
6
Syarat perlu untuk adanya ekstremum adalah J ( x ) 0 . Misalkan,
(2.17) (2.12) dengan fungsi yang memenuhi Lema 1 Misal fungsi dan tetap. Jika
dan
sebarang .
dan himpunan semua kontinu dan dapat diturunkan di dengan adalah
(2.13) untuk semua semua
, maka
Bukti : (lihat Lampiran 3) Ini berarti bahwa , dengan
(2.18)
konstanta. (Tu 1993)
2.7 Syarat Batas dalam Kalkulus Variasi Misalkan, diberikan masalah menentukan ekstremum untuk fungsional objektif
untuk
.
Bukti : (lihat Lampiran 1) (Tu 1993)
dengan dan sedangkan dan pertamanya adalah
adalah tetap, adalah bebas. Variasi
Lema 1 ini berperan dalam pembuktian persamaan Euler Teorema 2 Misalkan didefinisikan pada dan memenuhi syarat batas , . Maka syarat perlu bagi untuk memiliki ekstremum adalah fungsi memenuhi persamaan Euler: ,
(2.19) Karena variasi pada titik ujung tidak mempengaruhi variasi dalam selang terbuka , maka syarat perlu untuk adalah dipenuhinya persamaan Euler, yaitu .
(2.14) Akibatnya,
Bukti : (lihat Lampiran 2)
persamaan
(Tu 1993) diketahui menghasilkan Syarat Batas:
2.6 Kasus Khusus Persamaan Euler Fungsi tidak memuat secara eksplisit (autonomous) Fungsional objektif diberikan dalam bentuk (2.15) Persamaan Euler memberikan
(2.19) menjadi . Dengan , kemudian
. (2.20) Syarat batas ini akan menentukan nilai dan . Secara umum, syarat batas (2.20) menjadi
(2.21) (2.16)
Kalikan persamaan (2.16) dengan , sehingga memberikan
Untuk kasus , , tetap dan bebas, maka , tetapi dan . Persamaan (2.20) memberikan (2.22) (Tu 1993)
7
III HASIL DAN PEMBAHASAN Dalam perekonomian, pendapatan nasional digunakan untuk kegiatan konsumsi dalam bentuk belanja negara. Pendapatan tersebut tidak selalu habis digunakan untuk konsumsi . Bagian pendapatan yang tidak habis dikonsumsi dinamakan tabungan nasional. Tabungan nasional tersebut menjadi sumber dana untuk pembangunan nasional. Menurut Ramsey (1928), solusi dalam menentukan tabungan optimal adalah dengan cara meminimumkan selisih antara kepuasan yang dinikmati secara langsung (enjoyment) dengan tingkat maksimumnya (bliss). Peminimuman tersebut dijelaskan pada Subbab 3.1. Kemudian pada Subbab 3.2 diberikan asumsi pendapatan masyarakat berasal dari upah (earned income) dan di luar upah (unearned income) yang selanjutnya pada Subbab 3.3 dibahas kasus khusus untuk tingkat diskon.
Enjoyment dinotasikan oleh , dengan utilitas marjinal dan disutilitas marjinal diberikan secara berturut-turut , Dengan
dan , , sedangkan tingkat enjoyment maksimum dinotasikan oleh atau bliss. Oleh karena itu, untuk mendapatkan tabungan optimal, selisih antara bliss dan enjoyment tersebut harus sekecil mungkin. Permasalahan peminimumannya sebagai berikut: (3.1) terhadap kendala , dengan
3.1 Formulasi Masalah Umum Bagian ini akan membahas tentang seberapa banyak pendapatan nasional yang harus ditabung. Asumsi yang digunakan sebagai berikut: 1. banyaknya penduduk konstan, 2. kapasitas enjoyment dan tenaga kerja konstan, 3. enjoyment pada waktu yang berbeda saling bebas dan dapat ditambahkan. Variabel-variabel yang digunakan dalam pembahasan adalah sebagai berikut : : total tingkat konsumsi masyarakat pada waktu : total tingkat tenaga kerja pada waktu : : : : :
modal pada waktu total tingkat utilitas konsumsi total tingkat disutilitas tenaga kerja tingkat utilitas marjinal konsumsi tingkat disutilitas marjinal terhadap tenaga kerja
Dalam kegiatan menabung tentunya akan melakukan penundaan dalam berkonsumsi. Penundaan konsumsi tersebut dinamakan penghematan. Kegiatan konsumsi akan menghasilkan enjoyment, yang apabila dilakukan penghematan secara terus menerus akan menuju pada tingkat enjoyment maksimum. Dengan cara itu tabungan yang optimal dapat ditentukan.
(3.2)
yaitu, tabungan diperoleh dari pendapatan dikurangi konsumsi. Pendapatan tersebut merupakan fungsi produksi yang dipengaruhi modal dan tenaga kerja yang dinotasikan oleh . Kendala lainnya adalah syarat batas , dengan adalah modal awal pada saat . Masalah optimum pada persamaan (3.1) diselesaikan dengan menggunakan kalkulus variasi. Untuk penyederhanaan dimisalkan (3.3) kemudian substitusikan kendala persamaan (3.2), sehingga menjadi
dari
.
(3.4)
Dalam kalkulus variasi, syarat perlu untuk optimal adalah persamaan Euler, yaitu dan Dari persamaan
diperoleh (3.5)
Persamaan (3.5) berarti bahwa disutilitas marjinal tenaga kerja sama dengan laju
8
perubahan produksi terhadap tenaga kerja, , dikalikan dengan utilitas marjinal konsumsi. Sedangkan dari persamaan diperoleh
(3.11) dengan mensubstitusikan nilai persamaan (3.8) ke syarat batas persamaan (3.11), didapatkan
dari pada
(3.6) 0 Persamaan Euler pada persamaan (3.6) ini berarti bahwa laju perubahan utilitas marjinal terhadap konsumsi berbanding terbalik dengan tingkat suku bunga, . Hal ini menunjukkan bahwa kegiatan konsumsi dipengaruhi oleh tingkat suku bunga. Fungsional objektif pada masalah kalkulus variasi ini tidak memuat (autonomous), maka persamaan Euler menjadi
0. Sehingga diperoleh, (3.12) akibatnya, c
B f (a, c)
(U ( x )
x
V ( a )) .
u(x)
dan
(3.13) Sehingga dari persamaan diperoleh
,
(3.7) dan dari diperoleh
persamaan
,
(3.8) dengan dan konstanta. Syarat batas yang diperlukan dalam solusi optimal ini yang pertama adalah
(3.9) dengan mensubstitusikan nilai persamaan (3.7) ke syarat batas persaman (3.9), maka diperoleh
dari pada
0 0 Sehingga, (3.10) yang berarti bahwa enjoyment terus meningkat mendekati bliss yaitu saat . Syarat batas optimal yang kedua adalah
(lihat Lampiran 4) Persamaan (3.13) berarti bahwa besarnya tabungan dikalikan dengan utilitas marjinal konsumsi sama dengan bliss dikurangi enjoyment, atau yang dikenal dengan aturan Ramsey (1928). Untuk mencapai bliss yang ditentukan, masyarakat harus menabung dengan cara menjumlahkan enjoyment sepanjang waktu sampai mendekati bliss. Jika dalam setiap waktu selalu menyisihkan pendapatan untuk ditabung, maka peningkatan modal yang didapat akan menuju ke tingkat yang diinginkan. Oleh karena itu, pendapatan harus ditabung untuk mencapai atau mendekati bliss pada suatu waktu, tetapi tidak berarti bahwa seluruh pendapatan harus ditabung. Semakin banyak menabung maka akan semakin cepat mencapai bliss. 3.2 Model Tabungan Optimal Unearned Income Bagian ini memberikan ilustrasi aturan Ramsey dalam menentukan tabungan jika pendapatan masyarakat berasal dari upah ) yang dibayar kepada setiap pekerja dan suku bunga yang dibayar kepada setiap pemilik modal. Sehingga dapat ditulis (3.14) dengan pengembalian modal dan upah tenaga kerja keduanya konstan dan saling bebas. Pada persamaan (3.14), adalah pendapatan yang berasal dari upah (earned
9
income) dan adalah pendapatan di luar upah (unearned income). Pendapatan dari upah habis untuk konsumsi, akibatnya tabungan dapat disisihkan dari pendapatan di luar upah. Konsumsi dari unearned income dinotasikan oleh dan tabungan unearned income diperoleh dari ( ).
(3.15) Persamaan (3.15) berarti bahwa semua pendapatan yang berasal dari unearned income digunakan untuk konsumsi . Utilitas konsumsi unearned income dinotasikan oleh yang sebelumnya dapat diketahui dari persamaan (3.5)
dengan adalah efisiensi marjinal tenaga kerja (upah) dan merupakan fungsi terhadap . Sesuai dengan persamaan (3.15), akibatnya persamaan (3.5) menjadi
(3.20) Diasumsikan fungsi adalah konkaf, yang memenuhi dan Parameter disebut sebagai constant relative risk aversion yaitu faktor menghindari resiko. Besaran adalah elastisitas substitusi antar waktu yang menentukan seberapa mudah individu mengganti konsumsi saat ini dengan yang lainnya. 3.3
Model Tabungan Optimal Unearned Income dengan Tingkat Diskon Bagian ini diperlihatkan adanya tingkat diskon konstan dalam menentukan tabungan yang optimal, dengan asumsi yaitu nilai tingkat diskon kurang dari tingkat suku . Dari persamaan (3.6), bunga memberikan
diasumsikan
konstan sebesar , sehingga (3.21)
Karena
, maka
(3.16) Karena semua pendapatan yang berasal dari unearned income digunakan untuk konsumsi , akibatnya
dengan mengintegralkan kedua ruas, diperoleh .
(3.22a)
(3.17) (lihat Lampiran 5) dan total utilitas konsumi unearned income diperoleh
.
(3.18)
Sehingga dari persamaan (3.13) memberikan model tabungan optimal unearned income c
rc
y
f (a , c )
x
Persamaan (3.21) juga memberikan
B
W ( y)
Sehingga diperoleh
,
w( y)
(3.19) dengan fungsi diberikan adalah
utilitas
konsumsi
yang
Selanjutnya dengan menggunakan metode pengintegralan persamaan diferensial orde pertama didapat
10
r B
w
(r
Su
)
y ( y )dy
B
1
r
dengan konstanta. Lalu, dengan menyamakan persamaan diperoleh,
w
(r
)
1
k y
( y)
(3.27)
r
K c
rc
w
y
(r
)
(lihat Lampiran 7)
( y )dy
r
w
(r
)
( y)
(3.22b)
dengan dan adalah konstanta. Apabila , tabungan unearned income yang diperoleh sebesar
(lihat Lampiran 6) Persamaan (3.22b) menunjukkan bahwa utilitas unearned income pada kasus ini telah dimodifikasi, yaitu dengan mengintegralkan utilitas marjinal unearned income yang dipangkatkan
r (r
)
maksimum . Bliss yang dimodifikasi ini menunjukkan sama dengan bliss pada bagian sebelumnya. Akibatnya terdapat tabungan optimal baru yang dipengaruhi tingkat diskon sebagai berikut : r
B rc
dengan proporsi yang harus ditabung sebesar (3.29)
.
Konstanta dapat diinterpretasikan sebagai bliss yang dimodifikasi, yaitu nilai
c
(3.28)
w
y
(r
)
( y )dy .
r
w
(r
)
( y)
(lihat Lampiran 8) Proporsi tabungan ini dipengaruhi oleh suku bunga dan tingkat diskon . Pengaruh parameter ρ terhadap pergerakan proporsi tabungan dapat dilihat pada Gambar 1 yang diperoleh dengan memasukkan nilai tingkat suku bunga sebesar dengan nilai parameter constant relative risk aversion sebesar yang digambarkan dengan menggunakan software Mathematica 7 (program dapat dilihat pada Lampiran 9).
(3.23)
0.4
(3.24)
0.6
,
0.8
S p p roporsi tabungan
Dengan diberikan fungsi utilitas dari persamaan (3.20), utilitas marjinal konsumsi unearned income dapat diketahui yaitu
1.0
0.2
pangkatkan
pada kedua ruas persamaan 0.0
(3.24), sehingga diperoleh
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
t ingkat diskon
(3.25) Untuk penyederhanaan, misalkan
,
Gambar 1
Kurva proporsi unearned income tingkat diskon (ρ).
tabungan terhadap
sehingga utilitas marjinal unearned income pada persamaan (3.25) menjadi (3.26) Selanjutnya, substitusikan persamaan (3.26) ke persamaan (3.23), akibatnya diperoleh model tabungan optimal unearned income dengan tingkat diskon sebagai berikut:
Gambar 1 menunjukkan bahwa, saat tingkat diskon semakin meningkat, proporsi tabungan unearned income semakin menurun. Hal ini berarti bahwa masyarakat lebih mementingkan kegiatan konsumsi saat ini, daripada melakukan konsumsi yang akan datang. Sehingga masyarakat akan
11
meningkatkan konsumsinya dan menurunkan kegiatan menabung. Pengaruh parameter terhadap pergerakan proporsi tabungan dapat dilihat pada Gambar 2 yang diperoleh dengan memasukkan nilai tingkat diskon sebesar dengan nilai parameter constant relative risk aversion sebesar yang digambarkan dengan menggunakan software Mathematica 7 (program dapat dilihat pada Lampiran 10).
Ini berarti bahwa, semakin tinggi tingkat suku bunga, semakin tinggi juga proporsi tabungan unearned income. Pada kondisi seperti ini masyarakat lebih tertarik untuk menabung, karena suku bunga yang diberikan terus meningkat, sehingga mendapatkan pengembalian modal yang tinggi.
0.30 0.28 0.26
S p p roporsi tabungan
0.32
0.24 0.22 0.20 0.15
0.16
0.17
0.18
r t ingkat suku bunga
Gambar 2
0.19
0.20
Kurva proporsi tabungan unearned income terhadap tingkat suku bunga (r).
V SIMPULAN Metode kalkulus variasi dapat digunakan untuk masalah pengoptimuman. Pada karya ilmiah ini, pengoptimuman yang digunakan adalah untuk mengetahui tabungan optimal dengan meminimumkan selisih antara kepuasan yang dinikmati secara langsung (enjoyment) dengan tingkat maksimumnya (bliss). Dari pembahasan didapatkan model tabungan optimal unearned income yang dipengaruhi tingkat diskon, selanjutnya dapat diperoleh: 1. Diberikan fungsi utilitas . Proporsi tabungan optimal unearned income adalah
2.
Proporsi tabungan optimal unearned income dipengaruhi oleh parameter (tingkat diskon) dan (suku bunga). Saat tingkat diskon semakin meningkat, proporsi tabungan unearned income akan menurun dan saat tingkat suku bunga meningkat akan semakin meningkat juga proporsi tabungan unearned income.
12
DAFTAR PUSTAKA Farlow
SJ. 1994. An Introduction to Differential Equation and Their Application. New York: Mc GrawHill.
Kreyszig E. 1993. Matematika Teknik Lanjutan. Terjemahan Bambang Sumantri. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama. Mankiw NG. 2000. Pengantar Ekonomi Jilid 2. H Munandar dan E Salim, penerjemah; Sumiharti Y, Kristiaji CW, editor. Jakarta: Erlangga. Mankiw NG. 2003. Teori Makroekonomi. Ed. Ke-5. Nurmawan I, penerjemah; Kristiaji CW, editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Macroeconomics. Nicholson W. 2002. Mikroekonomi Intermediate. Ed. Ke-8. Mahendra IB, Azis, penerjemah; Jakarta: Erlangga. Peressini AL, Sullivan FE, Uhl JJ. 1988. The Mathematics of Nonlinear Programming. New York: SpringerVerlag.
Ramsey FP. 1928. A Mathematical Theory of Saving. The Economic Journal. 38:543-559. Stewart J. 2001. Kalkulus Jilid 2. Ed. Ke-4. Susila IN dan Gunawan H, penerjemah; Mahanani N dan Hardani W, editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Calculus, Fourth Edition. Sukirno
S. 2004. Teori Pengantar Makroekonomi. Jakarta: PT Raja Grafindo Persada.
Todaro MP, Stephen CS. 2006. Economics Development. Ninth Edition. United Kingdom: Pearson Education Limited. Tu PNV. 1993. Introductory Optimization Dynamics : Optimal Control with Economics and Management Applications. Second Revised and Enlarge Edition. Berlin: Springer Verlag.
13
LAMPIRAN
14
Lampiran 1. Bukti Lema 1 Andaikan suatu selang
, yaitu
, pada
. Dengan sifat kekontinuan, maka .
, dengan
Misalkan
untuk
(1)
Diketahui adalah fungsi kontinu yang dapat diturunkan di dengan adalah tetap, maka
dan
(dengan menggunakan persamaan (1))
(Kontradiksi) Dengan demikian, haruslah
(2)
.
Lampiran 2. Bukti Teorema 2 Misalkan diketahui (3) Dengan memenuhi syarat batas
,
.
Maka syarat perlu untuk ekstremum adalah
, yaitu
(4) sehingga (5) Dengan
,
dan
adalah fungsi kontinu sebarang dan bersifat
. Dengan melakukan integrasi bagian terhadap suku kedua pada persamaan (5), yaitu (6) dengan menggunakan integral parsial dimisalkan
15
Sehingga diperoleh
(7) K\karena
. Sehingga persamaan (5) dapat dituliskan kembali sebagai (8)
yang akibatnya Lema 1 memberikan persamaan Euler : (9) Lampiran 3. Bukti Persamaan (2.17) Akan dibuktikan :
Misal:
Lampiran 4. Bukti persamaan (3.13) Akan dibuktikan : Diketahui : Masalah meminimumkan dengan fungsional objektif sebagai berikut (10) Terhadap kendala : ,
, sedangkan
bebas
16
Untuk penyelesaian, fungsional objektif disederhanakan menjadi substitusikan dengan kendala menjadi
, lalu (11)
Dari persamaan (11) diperoleh (12) (13) (14) (15) Syarat perlu untuk optimum yaitu persamaan Euler, Substitusikan persamaan (12) - (15), sehingga diperoleh persamaan Euler sebagai berikut : (16) (17) Karena fungsional tidak memuat maka (18) Persamaan (18) berarti bahwa
(19) (20)
Persamaan (20) berarti bahwa dengan
dan
(21)
konstanta.
Selanjutnya syarat batas untuk optimal , Kondisi pertama :
(22) Substitusikan persamaan (22) ke persamaan (19), sehingga diperoleh .
(23)
Kondisi kedua :
(24)
17
Substitusikan persamaan (24) ke persamaan (21), sehingga diperoleh .
(25)
Akibatnya, model tabungan optimal diperoleh (26)
Lampiran 5. Bukti persamaan (3.22a) Akan dibuktikan :
(27)
Dari persamaan diberikan
(28) (29)
, dengan diketahui dari persamaan (28), akibatnya
, dengan
(30)
Lampiran 6. Bukti persamaan (3.22b) Akan dibuktikan :
(31)
Diketahui :
(32) (33)
Persamaan kendala tabungan diberikan, (34) dengan
, sehingga
Dengan diketahui dari persamaan (32) dan (33), maka persamaan (34) menjadi (35) (36)
18
(37) Selanjutnya dengan menggunakan teknik pengintegralan persamaan diferensial orde pertama, dan dimisalkan : dan berarti,
, dengan
adalah konstanta
(38)
Selanjutnya dengan menggunakan integral parsial persamaan (38) diperoleh Misalkan :
Sehingga diperoleh (39)
19
, dengan
(40)
(41)
Lampiran 7. Bukti persamaan (3.27) Diketahui model tabungan optimal yang dipengaruhi tingkat diskon sebagai berikut : r
B
w
(r
c
)
( y )dy
(42)
r
w
(r
)
( y)
dan diberikan fungsi utilitas Constant Relative Risk Aversion sebagai berikut : (43) Turunan pertama dari persamaan (43) adalah (44) pangkatkan kedua ruas pada persamaan (44) dengan
, sehingga (45)
Untuk penyederhanaan dimisalkan
, sehingga persamaan (45) menjadi (46)
Selanjutnya substitusikan persamaan (46) ke persamaan (42), sehingga diperoleh tabungan unearned income dengan tingkat diskon untuk fungsi utilitas constant relative risk aversion r B
w
(r
Su
)
( y )dy
r w
(r
)
B
y y
( y)
dy
B
y
1
(
y
k
B
k
1)
y
1
1 y
(47)
20
Lampiran 8. Bukti persamaan (3.29) Diketahui model tabungan optimal unearned income dengan tingkat diskon untuk fungsi utilitas constant relative risk aversion sebagai berikut : y B
1
k 1
Su
(48)
y
Apabila y
, maka persamaan (48) menjadi
1 1
Su y y
1
y 1
y 1
(49) Dengan diketahui
, maka persamaan (49) menjadi
y
*
Su
1 y (
r r
)
1 y
r(
1)
r r
y r(
1)
Kemudian didapatkan proporsi yang harus ditabung unearned income sebagai berikut:
S
* p
r r(
(50) 1)
21
Lampiran 9. Kurva proporsi tabungan unearned income terhadap tingkat diskon (Gambar 1) Berikut akan disajikan operasi Mathetmatica 7 untuk membuat suatu grafik proporsi tabungan terhadap tingkat diskon, dengan diketahui tingkat suku bunga sebesar 10% dan
1.0
0.6
0.4
S p p roporsi tabungan
0.8
0.2
0.0 0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
t ingkat diskon
Lampiran 10. Kurva proporsi tabungan unearned income terhadap tingkat suku bunga (Gambar 2) Berikut akan disajikan operasi Mathetmatica 7 untuk membuat suatu grafik proporsi tabungan terhadap tingkat suku bunga, dengan diketahui tingkat diskon sebesar 10% dan
0.30 0.28 0.26
S p p roporsi tabungan
0.32
0.24 0.22 0.20 0.15
0.16
0.17
0.18
r t ingkat suku bunga
0.19
0.20
