PENERBIT ANDI. Konsep a Aplikasi Penqantar. Te[nlk Si pll. ryeg{ rman

@ PENERBIT ANDI

Konsep a Aplikasi

Penqantar

Te[nlk Si pll ,i

ryeg{

rman

KONSEP DAN APLIKASI PENGANTAR TEKNIK SIPIL

E. Sutarman

Penerbit ANDI Yogyakarta

Konsep dan Aplikasi Pengantar Teknik Sipil

Oleh: Encu Sutarman Hak Cipta @ 2013 pada Penulis.

Editor

PutriChistian

Setting

Yulius Basuki

Desain Cover

dan_dut

Korektor

Arie Pramesta

Hak Cipta dilindungi undang-undang.

Dilarang memperbanyak atau memindahkan sebagian atau seluruh isi buku ini dalam bentuk apapun, baik secara elektronis maupun mekanis, termasuk memfotocopy, merekam atau dengan sistem penyimpanan lainnya, tanpa izin tertulis dari Penulis,

Penerbit:

CV ANDI OFFSET (

Penerbit ANDI )

Jl. Beo 38-40, Telp. (027$ 56188L (Hunting), Fax. (02741 588282 yogyakarta 55281

Percetakan: AN Dl OFFSET Jl. Beo 38-40, Telp. (0274) 561881 (Hunting), Fax. (O2741 588282 yogyakarta 55281

Perpustakaan Nasional: Katalog dalam Terbitan

KATA PENGANTAR

Berkat rahmat Allah Yang Maha Kuasa serta kehendak-Nya memberikan hidayah dan karunia-Nya kepada kami, sehingga buku ini selesai kami susun. Penyusun menyadari bahwa isi buku ini, masih jauh dari sempurna. Terlepas dari hal itu, kami berharap Konsep dan Aplikasi Pengantor Teknik Sipil ini dapat memberikan sumbangsih yang bermanfaat bagi khazanah sains - teknologi khusus bidang teknik sipil, pemahaman dan penalaran konsep ilmu pengetahuan di bidang teknik sipil, serta

terapannya dalam kehidupan. Saran dan kritik dari pembaca serta pemerhati sains - teknologi khususnya bidang keilmuan teknik sipil untuk perbaikan penyusunan dan penulisan serta kelengkapan isi buku ini, akan saya terima dengan kerendahan hati. Terima kasih.

Bandung, 201-3

Hormat Saya,

lr, Encu Sutarman, MT

DAFTAR ISI

....29

D.PEGA5........

Pemulih 2. Usaha Pegos......... 7.

Goya

............29

.....30

BAB 2. KESEIMBANGAN GAYA MOMEN DAN GARIS PENGARUH .....................33

A.

KESEIMBANGAN GAYA DAN

MOMEN.............

7. Gayo.......... 2. Keseimbongan Gaya 3. Goya Luar dan Gayo Da\am........

STATISTERTENTU. 1. Goris Pengaruh (GP)ReoksiPerletakan. 2. Goris Pengaruh (GP) Lintong don Momen BAB 3. APLIKASI INTEGRAL TtTtK BERAT DAN MOMEN A. APLIKASI INTEGRAL 7. Ponjong Kurvo pada Bidang ................ 2. Luas Bidong Rato .......... 3. Tekanan don Gaya Hidrostatiko ................ 4. Persamoon Azas Bernoulli ............. 5. Regongon Paniang dan Deformasi ............. 6. Momen don Pusot Masso B.TtTtK BERAT DAN MOMEN.... 1. Dua Dimensi o. Kerapatan Mossa (density) dan Massa b. Momen dan Pusot Masso ....... c. Pusot Massa Centroid d. Momen lnersia....... B.

GARIS PENGARITH

.....33 ...............33 ....-........'.....34 ................." 36

..................48 .-......48 ..-..49

.........-........53 ...........53 ...'......53 ..............56 ..........'............57 ................59 '.....................61 -..........62 ..---...........62 ..............62

.........'........"".62 ...."'...........63 ............65 ................68

Konsep dan Aplikasi Pengantar Teknik Stpil

-

1

dalom Bendungan Tanoh

b. Aliron Air c.

BAB

5. MINERAT

..................173 ...............775

TANAH, SIFAT FISIS DAN KLASIFIKASI TANAH...................... 123

A. MINERALTANAH 7. Mineral Lempung...

...,......,.723 ................... L24

2. Beberopo Mineral lempung.... 3. Batas - botos Atterberg 4. Sifat - sifat Rekoyasa Materiol Lempung..

TANAH.. c. KAStFtKASt TANAH

B.

ldentifikasi Berdasarkan

Butiran

....................139

Atterberg 3. Analisa Saringan 4. Analisis Hidrometer 5. Klasifikasi Unified 6.

TEGANGAN DAN REGANGAN

........ L41,

.......L42 .....................145 ....1.46

........

..................155

A. Tegangan.............

............755

Tonah Tegangan Loterol poda Tanah B. Regangan (stroin) 7. Regongan Ponjong..... 2. Regongon Volume...... L. 2.

C.

Tegongan Vertikal pado

Modulus Tegangan

L. 2.

Modulus

... L28

...........139

2. Batas

BAB

............ 125

........... 133

STFAT FtStS

1-.

...725

- Regangan

Serta Hukum

...................756 .....................1.69

............777 ...........,...177 ............... L72

Hooke

Elostisitos

Penentuon Modulus Tegongan - Regangan

.........L73 ...................77i

Es

.................................. L75

3. 4. D.

BAB

Poisson Rasio

.........

Modulus Geser (G) don Modulus

...................176

\utir...........

...............777

Ba1ok......... ...............181 1. Tegongon Lentur Murni pado Balok ...........183 2. Tegongan Lentur Akibot Gaya Normol Tekan otou Tarik ................. L85 3. Tegangan Lentur Akibat Gaya Normol Tekon otou Torik .................185 4. Tegangon Geser......... ............... 189 5. Tegongon Akibot Pelat di Atas Tanoh ......... L93

Tegangan pada

7.

PEMBORAN, KUAT GESER DAN DAYA DUKUNG TANAH......................197

Pemboran

............L97

Efektif Pemilihan Parameter Tanah 1. Total Stress Approoch... 2. Effective Stress Approoch.. Uji Geser Triaxiol Konsep Tegangan

.......200 .....,.............2O2 .............202 ........202

..................203

1. Kuat Geser Undroined ... 2. Kuot Geser Drained

3.

......204 ...................205

Hubungan Antaro Kekuotan Undroined don Droined Tanoh Kohesif

......

............206

Trioxiol ......207 Kriterio Keruntuhon Mohr Coulomb ............208 Persamaan Daya Dukung Fondasi Dangka! .............209 L. Teori Plastisitas Prondtl ..........209 2. Persamoan Daya Dukung Jumikis dan Dovidson...............................210 3. Persamoon Daya Dukung Terzoghi .............21_2 4. Daya Dukung Meyerhof (7951, 1963) .........215 4. 5.

Stress

- Stroin dalom Kompresi


-

1

.........

5.

Hubungon qprTerhadap

6.

Foktor Keamonon dalam Perenconoon

BAB 8. ANALTSA PENURUNAN

ev

..........-..-2L8

Fondosi

.............

...,......... 1. Totol Penurunon (AH)........... 2. Penurunon di Sekitor Lokosi Bebon 3. Penurunan Rangkok (AHr) otou Creep B. Tingkat Konsolidasi................ 7. Waktu Konsolidasi (t) ............. 2. Derajot Konsolidasi (U)..............

A. Penurunon

GEMPA A. Liquifaksi B. Parameter Dinamik Tanah

BAB

9.

pada Lereng dan

.......225

....."""

.......226 .......---....227

'...""" 230 ....."""" 231 ....231 .............'...--.232

..."' 235 ............." 236

Timbunan.........

Momen A. Kekokuon (stiffness) B. Foktor lnduksi (carry overfactor) C. Foktor Distribusi D. Menentukan Momen Primer....... E. Tsbel Momen Primer

........"""'

11. KONSTRUKSIJALAN

A.

RAYA

238

...--....25L

BAB 10. Distribusi

BAB

225

............235

ANALISA

C. Analisa Gempa

............227

""""

252

""'254 .......""" 255

"""256 ..""'274 .............285

Ketebalan Konstruksi Perkeroson Berdosorkan Kuot Geser lzin

Tondh.......

.....285

CBR Kuot Geser Tonah Terhodap C9R............

Ketebalan Konstruksi Perkerason Berdasorkan

1. Hubungan

2. Foktor Bebon

3.

Be

..........287 ........288

rula ng Terhado p Ketebolon Perkeraso n J a\on........... 290

Nilai Ekuivolen Lalu

Lintas.

c. Metode Tonpa Bahon Pengikat (unbound

......... 292

method)....

..........294

1". Foktor Beban Berulang Terhadap KetebalanPerkerosan Jolon ..........295

KonstruksiJolan........... 3. Foktor Regionol .... 2. Rencano

BAB

12.

PENGANTAR KONSTRUKSI

...................297

...299

BETON

................303

A. Umum 1. Kuot Tekon Karokteristik

...........303 .......... 303

2. Deviosi Stondor (S).. ... .... 3. Sifot - sifat Beton. 4. Modulus Elastisitas Beton E,............... 5. Regangan Ponjang..... 6. Hubungan Tegongan - Regangon

......

j04

..................... 305

B. DosdrPerhitunganKonstruksiBetonBertulang.,

.........306 .........."....307 ..............307

...,......,....,308

..................308 1. Tebol Selimut Beton 2. Koefisien dan Tegangon yong Diizinkan .....309 3. Jenis dan Kombinasi Pembtebanan................ ..................31.2 4. Hubungon Bojo don Beton pado Beton Bertulang ...,.....374 5. HubunganTegangan (o )-Regongon (e )Boja.... ........315 6. Under dan Over Reinforced Tulangon Beton Bertulang ....................316


-

1

BAB

13. BALOK BETON

.............317

A. Hubungan Tegongan - Regangan Baio pado Kekuaton Batos.....-........378 ......-...-..379 B. Metode Kuat Batos pada Tulangan Satu Rangkop 1. Hubungan Tegangon - Regongon Kondisi 9eimban9.............'.......-.31-9

2.

Penanpang Botok Beton Persegi Bertulongan Sotu Rangkap ....'....327 Mengalomi Lentur

3.

Penampong Balok Beton Persegi Bertulongan Satu Rangkop Menerima Bebon

Murni

Horizontal

C. Metode Kuat Batds poda Tulangon Dua Rdngkap....

1. 2. D,

Hubungon Tegangon

-

Penompang Bolok Beton Persegi Bertulangon Duo Rongkop .'..................329 Mengalami Lentur

Tulongon

Murni.........

Geser

MATRIKS A. tJmum B. Aljabar Matriks c' Determinan 14'

.......-...328

Regongan poda Kuot \atas................'.'...'..328

1. Tulongan Geser Berupo Sengkong 2. Type dan Luas Penompang Sengkong '."....... 3. Jarok Antor Sengkong 4. Diometer Sengkong... 5. Tulangan Geser Berupo Tulongon Miring 6. Tulangon Geser Puntir don Lentur Puntir E. Lendutan podd Balok Beton Bertulong F. Konsol... G. Tobet l.tltimdte Strength... BAB

....326

....,...-......345 ..............346 .".............346 ...............346 ................348

...348 ...349

...............354 ...........357 .............-....358

""'

387

............387 ...............397

""

394

D. Persomaon

Linier....

E. Matriks Adjoint

Ddn Matriks

,.........399

lnvers

..409

Linier G. Matriks Ortogonal F. Transformasi

H. Tronsformasi Ortogonol DAFTAR

..........406 ...........409

.

..409

PUSTAKA

.....4t2

KONVERSISATUAN


...4T7

-

1

--,

A.

1

VEKTOR, GAYA DAN GERAK

GEOMETRI DAN VEKTOR PADA BIDANG

Konsep vektor dan aljabar vektor pada bidang, dimana vektor digambarkan sebagai garis yang menghubungkan satu titik ke titik selanjutnya. Sedangkan dua buah vektor pada bidang dapat kita ukur panjangnya, sejajar serta mengarah ke satu titik.

ini kita akan membahas definisi dari sejumlah vektor, vector negative, hasil product) serta hasil kali silang (cross product) dari dua buah vektor pada (dot kali titik bidang. Pada bab

1.

Penjumlahan Vektor

Dua buah vektor dikatakan sama apabila kedua vektor itu besar serta arahnya sama, oleh sebab itu sebuah vektor dapat digerakan asal panjang dan arahnya tidak berubah. Penjumlahan dari dua buah vektor ditunjukan pada Gambar L;

":)4" (a)

(b) Gambar

1

Vektor C merupakan vektor hasil penjumlahan dari vektor A + B;

C=A+B=B+A Dan besarnya vektor C vaitu;

C2=A2+82-2ABcos0 atau C = VA'

+

82-2ABcos0

serta besar sudut antara vektor c dan A diperoleh dari hubungan; sina = sin 0 atau sin-10 B C

q=+

Metode lain untuk menghitung jumlah dari dua buah vektor, yaitu dengan mencari diagonal konkuren jajaran genjang, yang mana sisi-sisinya merupakan vektor yang akan dijumlahkan, misalnya vektor A dan B, dengan cara menarik vektor A dan B ke titik pangkal yang sama, untuk jelasnya perhatikan Gambar 2;

C:A*B

Gambar 2

Vektor C merupakan vektor hasil penjumlahan dari vector A + B; Seandainya vektor A dan B sejajar Gambar 3 (a) atau berlawanan seperti Gambar 3 (b),

dan vektor C merupakan vektor hasil penjumlahan kedua vector itu, untuk jelasnya sbb;

._____4_-

.-- l-

lD

A

_-_

--B --

C:A+B

-

Gbr.3 (a)

C:A+(_B):A-B Gbr.3 (b)

Apabila lebih dari dua vektor (polygon) dijumlahkan, kita dapat menentukan penjumlahan dari dua vektor sembarang, kemudian hasil ini dijumlahkan secara vektorial dengan vektor ketiga dan seterusnya, hal ini ditunjukkan pada Gambar 4, sbb;


-

1

E: A+B+C+D

Gambar 4

2.

Selisih vektor

Pengurangan vektor dengan vektor lainnya sama halnya dengan penambahan vektor negatif pengurang itu, dalam hal ini vektor negatif di definisikan sebagai vektor yang besarnya sama tetapi arahnya berlawanan dengan vektor itu, misalnya;

A-B=A+(-B) Perhatikan Gambar 5, untuk mencari selisih A dan B, kita dapat menggunakan metode jajaran genjang (b) atau metode segitiga (c);

*/

A

(a)

-

(b) Gambar 5

Vektor C merupakan vektor hasil selisih dari vektor A - B;

C=A-B

(c)

3.

Komponen Vektor

Menentukan komponen vektor sama halnya dengan menguraikan vektor itu terhadap sumbu-sumbunya, sumbu x dan sumbu y. Andaikan vektor A pada Gambar 6 kita urai, dan 0 merupakan sudut antara vektor A dengan sumbu x, maka komponen vektor A yaitu;

Ax=Acos0danAv=Asin0 Untuk lebih jelasnya perhatikan Gambar 6;

Gbr 6 (a)

Gbr 6 (b)

Gambar 6 (b); vektor A diurai terhadap sumbu x dan sumbu y, dan 0 merupakan sudut antara vektor A dengan sumbu x.

4.

Sifat Aljabar Vektor pada Bidang

Andaikan A, B dan C merupakan vektor pada bidang, serta s dan skalar, maka;

A+B =B+A c) A+0 -A e) (st)A = s(tA) g) (s+t)A =sA+tA

b) A+(B+C) d) A+(-A) f) s(A + B) h) lA

t

merupakan

=(A+B) +C =Q = sA + sB

=[

Vektor A, B dan C pada bidang disebut coplonar, jika ketiga vektor itu menempati titik tangkap yang sama, seperti ditunjukkan pada Gambar 7.


-

L

AC \/ \/ \_ Gambar

l

Teori 1; Tiga buoh vektor disebut coplonar

b dan

jiko dan hanyo jika berkoiton dengan skalor

a,

c;

oA+bB+cC=0 Dimona;

a=O b=O

dan c=0

Vektor satuan i dan j dalam arah sumbu x dan y positil dalam bidang xy non-coplanar, karena itu merupakan garis yang berdiri sendiri seperti ditunjukkan pada Gambar 8;

Gambar 8 i dan j disebut vektor standar dasar (basis stondard vector) di bidang xy. Setiap vektor pada bidang xy dapat dinyatakan dalam kombinasi linier dari i dan

j.

Kita

tinjau vektor R seperti ditunjukkan oleh Gambar 9 di bawah, yang berada pada bidang xy;

Q:

(x, y)

Gambar 9

Kita dapat menggeser titik tangkap vektor R ke titik asal 0, sebab itu vektor R = 0p yang merupakan posisi vektor dari titik p = (riy), yang mana titik q = lxiy) yang merupakan titik perpotongan titik P terhadap bidang?y. Di sini QP sejajar dengan vektor satuan

=>_->

j, maka Qp = vj sehingga;

R=0Q+QP Atau, kita nyatakan;

R=xi+yj Dimana, x dan y merupakan komponen scalor dari R dengan berpegang pada vektor standar dasar (bosis stondord vectorl i dan j.

Penjumlahan A + B, serta selisih A - B, dan hasil sA dapat dihitung, komponenkomponen vektor A dan B pada bidang xy, hanya jika;

A=ai+ai

dan

B=bi+bi

Sehingga;

a) A+ B - (o1+ blli + (a2+ b2li b) A-B = (or* br)i + (o2- b2li c) 54 = (so1)i+ (soz)j Konsep dan Aplikasi Pengantar Teknik Stpil

-

1

Contoh 1 Misalkan,

A=2i-3j dan B=i+2j

Cari;

a) A+B b) A-B Solusi

a)

A+B

A=2i-3j

B=i+2j A+ B = (2 + 1)i + (-3 + 2)j = 3i-j

b)

A-

B

A-B = (2-

(-3 -2)j = i-si Dua komponen scalor dari vektor pada bidang xy secara unik dapat 1)i +

menentukan vektor, untuk itu maka;

x1i+Ytj=xzi+Yzj sehingga;

(xr-

xz)i + (Yr- Yz)i = 0

Dikarenakan i dan j mempunyai sumbu tersendiri, maka

X1-X2=Q

;

Yr-Yz=0

sehingga; Xt=X2

Yr=

Yz

xi + yj serta yang lainnya, ini merupakan bentuk dari dua komponen scalar yaitu x dan y yang dimiliki oleh R sehingga dapat ditulis

Ketika

R

= (x, y).

R=

Cara ini, dapat kita gunakan untuk penyelesaian contoh 2 sbb;

Contoh 2 Misalkan, A=

2i-3j dan B=i+2i

Cari;

a) A+B b) A-B Solusi;

Jika A

=2i-

3j dan B = i+ 2j

maka;

a) A+B A + B = (2 -3) + (1 + 2) = (3,- L)

b) A-B

A- B = (2-3)-(1

+ 2) = (1,

-5)

Kami anjurkan agar menggunakan cara double vector yang sesuai untuk vektor pada bidang xy.

Sudut 0 yang terbentuk antara dua vektor A dan B pada bidang xy memiliki titik tangkap vektor sama, sehingga besarnya sudut dapat diketahui. Dengan cara dot product dari A dan B;

A.B=lAl Dimana

A.B

lBl cos0 maka; cos0= lAl lBl

lAl dan lBl merupakan panjang atau nilai dari vektor


-

1

A dan B.

5. Jarak antara Dua Titik dalam Bidang

xy

Kita sekarang dapat menurunkan persamaan untuk menentukan jarak antara dua P = (x,

titik

y) dan Q = (a, b) di dalam ruang xy, seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 10;

Gambar 10 Disini;

>-->

OP=xi+yj dan 0Q=ai+bi

PQ = 0Q- 0P dan --

Atau PQ dapat dinyatakan; PQ = (a

- x)i + (b -yli ___>

Disini komponen scolor dari vektor PQ di bidang xy dengan koordinat pada Q berbeda dengan koordinat P, maka jarak antara P dan Q sbb;

lpdt = l@-rl'+(b-y)'

Contoh 3 Jika koordinat P = (2, 3) dan Q =

(-

1, 1). Tentukan;

a)

Komponen scaloraaritsQ

b)

Jarak antara P dan Q

Vektor, Gaya dan Gerak

Solusi

6.

a)

PQ= (- 1-2li+

(1-3)j

b)

lPal = |/(-g)'

+(-zf

=-3i-2j =v13

Arah CosinusVektor

Yang dimaksud vector A tidak nol

di bidang xy yaitu, pindahkan A sehingga titik

tangkapnya di titik semula 0, serta a dan p merupakan sudut antara A terhadap sumbu x dan y. Hal ini ditunjukan oleh Gambar

Gambar

1.L;

11

Sudut o dan p sama halnya sudut antara A terhadap vektor basis standar i dan j, hal ini merupakan arah sudut vektor A.

Cosinus dari dua arah sudut disebut juga cosinus arah dari vektor didefinisikan sbb;

cosc,=A.i E!

cosP-


-

1

A.i lAl

A. yang

Sekarang andaikan bahwa;

A=xi+yj maka;

Ai=o dan

Aj =fi

lAl

=

o2+b2

Sehingga;

cos

o,

cos p

Wl =_'Vo2

bT

b

+ b2

Selanjutnya; (cos

a)i+

(cos g)j

o

w-7-

(oi + bil

A

= lAl Cosinus arah dari vector A tidak nol merupakan komponen scolor dari vektor satuan A/lAl sama dengan arah A. Karena (cos a)i + (cos p)j merupakan vektor satuan, maka;

cos'a*cos'6 =! Contoh 4 Jika P =

(-

1, 2) dan Q =

(-

3, 3). Tentu kan Cosinus arah dari PQ =

i

Solusi _->

PQ = A =

[- 3 - (- 1]li + (3 - 2lj= -2i

+

j

o


= fi- 2)2 + L2 =t5

jika

Maka; _L

cos

B.

0,

1

t-

15

dan

cos

B

_1t-

15

VEKTOR DALAM RUANG DIMENSI TIGA

Konsep vektor dan aljabar vektor pada bidang dapat dikembangkan ke dalam permasalahan vector dan aljabar vektor pada ruang.

Vektor pada ruang seperti halnya pada bidang digambarkan sebagai garis yang menghubungkan satu titik ke titik selanjutnya. Dua buah vektor pada ruang dapat kita ukur panjangnya, sejajar serta mengarah ke satu titik.

Pada sub bab ini kita akan membahas definisi dari sejumlah vektor, vektor negatif serta hasil kali titik (dot producf) dari dua buah vektor pada bidang yang dapat diterapkan pada ruang.

Sifat aljabar vektor pada ruang tentunya sama dengan aljabar vektor pada bidang;

1. Aljabar Vektor dalam Ruang Andaikan A, B dan C merupakan vektor pada ruang dimensi tiga serta merupakan scalor, maka;

a)A+B =B+A c) A+0 -A e) (st)A = s(tA) g) (s+t)A =sA+tA

b) A+(B+C) d) A+(-A) f) s(A + B) h) tA

Konsep dan Aplikasi Pengantar Teknik Sxpil

-

1

= (A+B)+C =Q = sA +sB

-A

s dan t

Vektor A, B dan C pada ruang disebut coplonor, jika ketiga vektor itu menempati titik tangkap yang sama, seperti ditunjukkan pada Gambar 12, di bawah ini;

Gambar 12 Teori 1; Tiga buoh vektor disebut coplanar b don c;

jiko dan hanyo jiko berkoitan dengan scolar

o,

aA+bB+cC=0 Dimano;

o=O

b=O

dan c=0

Vektor satuan i, j dan k dalam arah sumbu x, y dan z positif, dalam ruang xyz noncoplonar, karena itu merupakan garis yang berdiri sendiri seperti ditunjukkan pada Gambar 13;

Gambar 13 i,

j dan k disebut vektor standar dasar (bosrs standard vector) di ruang xyz.

Setiap vektor pada bidang xy dapat dinyatakan dalam kombinasi linier dari i dan j, juga setiap vektor dalam ruang xyz dapat dinyatakan dalam kombinasi linier i, j dan k.


Kita tinjau vektor R seperti ditunjukan oleh Gambar L4 di bawah, yang berada di ruang xyz;

Gambar 14 Kita dapat menggeser _>

R=

titik tangkap vektor

R ke

titik asal 0, sebab itu vektor

0P yang merupakan posisi vektor dari titik p = (x, y, z), serta titik

Q = (x, y, 0) dimana Q merupakan

titik perpotongan titik p terhadap bidang xy.

Di sini QP sejajar dengan vektor satuan

>>

k,

maka

-)

ep

=

zk sehingga;

R=0Q+QP Atau, kita nyatakan;

R=xi+yj+zk Dimana x, y dan z merupakan komponen scolor dari R dengan berpegang pada vektor standar dasar (basis standord vectorl i, j dan k. Penjumlahan A + B, serta selisih A - B, dan hasil sA dapat dihitung, komponenkomponen vektor A dan B di ruang xyz sama halnya pada bidang, hanya jika;

A= oi+

o2j+

qk

dan

B

=

bi+ bl+

fuk

Sehingga ;

a) A + B = (a1+ b1)i + (o2+ b2)j + (q+ b3)k b) A-B = (ot- btli+ (az- b2)j+ (q- bg)k

c) 54 = (so1)i + (soz)j + (so3)k


-

1

Contoh 5 Misalkan, A= 2i - 3j + k

B=i+2j+5k

dan

Cari;

a) A+B b) A-B Solusi;

a) A+B

A=2i-3j+k

B=i+2j+5k A+ B = (2 + 1)i + (-3 +2li+(1 + 5)k = 3i-j

b) A- B A- B = (2-

1)i +

(- 3 -z)i

+ 6k

+(1- s)k = i-5j-4k

Tiga komponen scolar dari vektor di ruang xyz secara unik dapat menentukan vektor, untuk itu maka; x1i +

y; * z1k = x2i + yi

+ z2k

Sehingga;

(xr-xz)i + (yr-yz)j + (zr-

z2)k = 0

Dikarenakan i, j, dan k mempunyai sumbu tersendiri, maka;

X1-X2=Q se h

i

Vr-Yz=0

21-22=Q

ngga;

Xr=Xz Yt=Yz dan Z1=7,

Ketika R = xi + yj + zk serta yang lainnya, ini merupakan bentuk dari tiga komponen scalor yaitu x, y dan z yang dimiliki oleh R dengan bentuk triple {x, y, z) dan dapat ditulis R = (x, y, z). Kami anjurkan agar menggunakan cara triple vector yang sesuai untuk vektor di ruang xyz.


Sudut 0 yang terbentuk antara dua vektor A dan B di ruang tiga dimensi memiliki pada bidang, sehingga besarnya sudut dapat diketahui.

titik tangkap vektor sama, maka dua vektor itu sama halnya dengan vektor Dengan cara dot product dari A dan B, seperti halnya vektor pada bidang;

AoB=lAl lBl cos0 maka;cos0= AoB

IAI IBI I merupakan panjang atau nilai dari vector A dan B. Kaidah dari dat product di ruang tiga dimensi serta penggunaannya, seperti halnya untuk vektor pada bidang. Dimana lA I dan

I

B

2. Jarak Antara Dua Titik dalam Ruang

xyz

Kita sekarang dapat menurunkan persamaan untuk menentukan jarak antara dua titik P = (x, y, z) dan Q = (a, b, c) di dalam ruang xyz, seperti yang ditunjukan oreh Gambar 15;

3: {x,l:}

Gambar 15 Disini; _>

0P=xi +yj+zk dan

--> OQ

=oi+ bj+ck

dan PQ

>_>

OQ-

OP

-'> Atau PQ dapat dinyatakan;

d = (, -x)i + (b - vli + {c - z)k Disini komponen scalor dari vektor d Oi ruang xyz dengan koordinat dari berbeda dengan koordinat P, maka jarak antara p dan e sbb;

tdt

=w


-

1

e

Contoh 5 Jika

koordinat

P = (2, 3,

-

2l dan Q = (- 1, 1, 5). Tentukan;

a)

Komponen scalaraari

b)

Jarak antara P dan Q

d

Solusi; PQ= {(- 1-2)i + (1-3)i + (s-(-2)k}=-3i -Zi+7k c) -> d) lfil = /erf +1212+72 ={62

3.

Arah Cosinusvektor

Yang dimaksud vektor A tidak nol di ruang xyz yaitu, pindahkan A sehingga titik tangkapnya di titik semula 0, serta a, p dan y merupakan sudut antara A terhadap sumbu x, y dan z positif. Hal ini ditunjukkan oleh Gambar 76;

}T

LTAIIIUAI

T

Sudut a, p dan y, sama halnya sudut antara A terhadap vektor basis standard i, i dan k, hal ini merupakan arah sudut vektor A.

Cosinus dari tiga arah sudut disebut juga cosinus arah dari vektor didefinisikan sbb;


A.

Dan

cosc =

cosp

+Al1i

- f,

dan cos

y

=

A.k lAl

Sekarang andaikan bahwa;

A=xi +yj+zk maka;

Ai=a Ai=b

Ak=c

Dan

lN=W + b'+t Sehingga;

coso

=

cosv=

-+

Selanjutnya; (cos

a)i+

(cos p)j + (cos

V)t =

(oi+ bj + ck )

Va' -i- + b'+ c'

= r*r A/lAl

Cosinus arah dari vektor A tidak nol, maka komponen scolor dari vektor satuan sama dengan arah A.

Karena (cos a)i + (cos p)j + (cos y)k merupakan vektor satuan, maka;

cos'a+cos'6+coszy=1


-

1

Contoh 7 Jika

P

=

(-

a) b)

1, 2, 3) dan Q =

(- 3, 3, 5). Tentukan;

Cosinus arah dari

d

=

n

Buktikan bahwa bentuk persamaan cosinus arah sama dengan

L

Solusi;

a)

Fe=e=[-3-(-1)]i+(3-2)j+(s-3)k a

-zi+j+2k

= t, z -f, ,r. , va D tc

COSd,

cosP

=

=

b2+c2 C

COSY =

b2+c2

jika fo\ b\C = \f2y * 1*7

=3

Maka;

aoro=

I

3 cosB = 3 d"n ,.sv=i'

-2

b) Buktikan

bahwa bentuk persamaan cosinus arah sama dengan 1!

cos'u,*cos'p+cos2y =1

F2Bf

C.

+Ol3)2 +(2/312

=1

(oketerbukti)

GAYA DAN GERAK

3aya yang bekeja pada benda, baik benda yang diletakkan pada suatu bidang maupun :ergantung pada seutas tali dengan sistem katrol maupun lift, pada prinsipnya berlaku caldah hukum Newton ke 2. Pada umumnya orang berpendapat supaya benda tetap bergerak maka pada :enda itu perlu suatu gaya yang bekerja. Meskipun pula benda tersebut berada di atas


permukaan datar yang licin tanpa gesekan atau di angkasa luar sekalipun. Newton dalam bidang mekanika membuktikan bahwa,

"Suotu benda sudah dibuat bergerok, tidak perlu dikerjakon goyo terhodop bendo itu agar tetap bergerak dan efek suotu goya bukonlah membuot gerak suotu bendo bertohon poda suotu kecepatan meloinkan meruboh kecepatannya". Perubahan kecepatan per satuan waktu berbanding lurus dengan gaya yang dikerjakan terhadap benda itu. Maka dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan sbb;

F=m at dimana -^

Av

on

dt

maka

F=ma

(persamaanl)

Dalam gerak lurus gaya F yang bekerja pada suatu benda dengan kecepatan v, maka selalu mempunyai garis kerja. Namun, jika arah gaya tidak sama dengan arah kecepatan, maka benda itu akan bergerak menyamping. Jadi dalam setiap kondisi, goyo vektor somo dengan hosil kali mossa bendo dengan percepoton vektor.

Jika gaya vektor yang bekerja membentuk sudut dengan salah satu sumbu koordinat (x,y), maka gaya itu dapat diurai menjadi komponen arah x dan arah y, jumlah aljabar vektor gaya )F* dan )F, dapat dihitung sebagai berikut;

IF"=m

&*

=lrl€lx

At

av*

IFv=m

il

=ffidy

Setara dengan persamaan;

IF=rn#

=ma

(persamaan 2)

Untuk lebih jelasnya seperti pada Gambar 17

;

F1---------) Gbr. 17b

Gbr. 17.a


-

1

Gbr. l7a: benda ditarik dengan gaya miring, sudut a terhadap garis horizontal Gbr. 17b: benda menerima beberapa gaya tekan

Untuk kondisi seperti pada Gambar L7a

Fr= Fcosc dan

Fy =

Fsin o. maka )F = F* +F,

Sedangkan untuk kondisi pada Gambar 17b,

IF*

=

Fr-

F2

-

F3

cos

IFv = F: sin p maka Fz

)F yaitu;

P

fF = )F* + )F,

bernilai negatif, karena arah vektor ke kiri.

lF = R (resultan gaya), dan nilai Resultan gaya dapat dicari dengan Persamaan 3, sbb;

(persamaan 3)

ft= Dimana R membentuk sudut 0, o = arc,.n

I"'

IF, Perjanjian nilai menurut arah vektor; Vektor goyo oroh ke kiri otau ke bawoh bernilai negotif ( - ). Vektor goyo aroh ke kanan qtdu ke otos bernilai positif ( + ).

1.

Gaya Normal dan Gaya Gesekan

Suatu benda diletakkan pada suatu bidang, baik datar maupun miring, maka pada bidang yang terkena beban akan memberikan gaya perlawanan sebesar beban atau gaya yang diberikan terhadap bidang tersebut. Gaya perlawanan tadi disebut gaya normal N, besarnya sama tetapi arahnya berlawanan dengan arah gaya aksi dan tegak lurus bidang' Hal ini sesuai azas hukum tiga Newtofl, Faksi= - Freaksi(negatif menunjukan suatu perlawanan).


N= T1's.rdn

Gbr Pada Gbr.

l3a

l8a yang mana N:

*

Gbr. 18b

W nenda

A

Gbr. l Bb merupakan ilustrasi adanya gaya Normal akibat benda A

Gaya gesek f merupakan gaya perlawanan akibat adanya gesekan antara alas terhadap permukaan bidang, terlebih efek dari adanya gerakan yang dilakukan benda. Gaya gesek f terdiri dari gaya gesek kinetik fp dan gaya gesek statis f,. Besarnya gaya gesek merupakan gaya Normal kali koefisien gesekan, secara matematik f = NU.

Untuk permukaan tertentu harga maksimum gaya gesek statik f, hampir berbanding lurus dengan gaya Normal N, jadi gaya gesek statik f, mempunyai harga di antara nol, dan maksimum berbanding lurus dengan N atau maka; f, S ;r, Harga

N

Nprr.

(persamaan 5)

f, = N[., terjadi tepat saat benda akan bergerak akibat gaya luar. Misalnya T atau gaya dorong yang menyebabkan benda itu

adanya gaya tarik bergera k/melu ncu r.

Saat benda meluncur gaya gesek berkurang, gaya gesek ini disebut dengan gaya gesek kinetik fp !ang besarnya berbanding dengan gaya Normal kali koefisien kinetiknya atau lewat persamaan;

f1=

;.rpN

(persamaan 6)

Jiko goya luor lebih besor daripado goya gesekan, mako bendo okan meluncur. Koefisien gesekan statik tergantung dari jenis atau sifat kedua permukaan yang bersinggungan. Untuk beberapa jenis material nilai koefisien statik dan kinetik, ditunjukan pada Tabel 1:


-

1

Tabel L Koefisien Gesekan

Koef. Kinetik (pr )

Bahan

Koef.Statik (p,

Baja di atas Baja

0, 74

0,57

Aluminium di atas Baja

0, 61

0,47

Tembaga di atas Baja

0,53

0, 36

Kuningan di atas Baja

0, 5L

0,44

Seng di atas Besi Tuang

0,85

0, 21

Tembaga di atas Besi Tuang

L,05

0,29

Gelas di atas Gelas

0,94

o,40

Tembaga di atas Gelas

0, 68

0, 53

Teflon di atas Teflon

0,04

o, 04

Teflon di atas Baja

o, 04

o, 04

)

Sumber: Sears Zemansky, Principles of Physics'1969

lodi nilai p berkisor dori

0 s.d.

1-

otau 0 < tt S 1, iiko;

It = 0: permukoon olos bidong/bidong kontok licin sempurno

lt = 1: permukaon alas bidang/bidang kontak kosar sempurna Dalam mekanika dan gerak sering kita jumpai kondisi dimana benda terletak di oidang datar atau di bidang miring atau dalam kondisi yang lebih kompleks. Maka gaya E yang bekerja termasuk berat benda W dan gaya normal N, harus dengan benar-benar dipahami. Sebagai gambaran kita tinjau kondisi seperti pada Gambar 3 dan Gambar 19, dl bawah ini;

a.

Benda Terletak pada Bidang Datar;

Gbr.

19a


Gbr. L9b : Merupokon ilustrosigoyo-goyo yong bekerja

pada benda A.

IF, =F-fr =F-p1N=ma dan N=W=r1g IF, = F-

[11ffig = m0

F- plmg -

ma

makaF=m(a+Fr.g) Jadi yang menyebabkan benda bergerak yaitu

F;

F>m(a+trrg) b. Benda Terletak pada Bidang Miring;

w Gbr.20a

Gbr. 20b

Jadi yang menyebabkan benda bergerak yaitu W sin

c

DimanafF=Wsinq-ft=ma Wsinc-f;.=1'113

Wsino-[pmg=66 Contoh 8 Dua buah benda terbuat dari aluminium dan satunya lagi terbuat dari kuningan yang masing-masing dengan berat Wa dan We terletak pada suatu bidang datar terbuat dari kaca. Bidang kontak benda terhadap alas memiliki koefisien gesek, masing-masing lrm dan p1s.


-

1

Tentukan percepatan luncur dari dua buah benda jika benda satu dengan yang lainnya terhubung tali pengikat dan ditarik dengan gaya seoesar F, seperti pada Gambar C 8, di bawah ini :

EJ.:F-,. Gbr-C8

Solusi

Wa=meB

Ws: mn8

Tinjau Benda A

Tn-fm=fflail

maka

Ta =

fu *

IItn d

Tinjau Benda B

F-Ts -fta=maa

maka

Te=F-fks-rTls3

Dimana Ta = Ts

Maka; q-

F-fe-fo m't

2.

*

filB

Benda Tergantung dan Digerakkan

sering kita jumpai di lingkungan sekitar berupa benda yang tergantung dan digerakkan caik ke atas serta ke bawah dengan menggunakan tali pengikat dan terhubrnt d"ng.n

Kita tinjau Gambar 21, di bawah ini, dimana kita tinjau tegangan T pada tali pengikat/penggantung, terdapat gaya tarik berupa reaksi akibat berat benda. Kemudian kita tinjau detail gaya-gaya yang bekerja pada benda A tersebut, dengan ilustrasi Gambar 21b:

Gbr. 2l.a

Gbr.21b

Dalam hal ini ada dua kondisi, apakah benda ditarik ke atas atau ke bawah. Jika ditarik ke atas, berarti benda itu berlawanan dengan arah berat W benda, sebaliknya jika ditarik ke bawah, berarti arah gerak benda tersebut searah dengan arah berat W benda.

1.

Benda tergantung dan digerakkan/ditarik ke atas;

T-W=ma

maka,

T= ffia*W=m(a+g)

2.

Benda tergantung dan digerakkan/ditarik ke bawah;

W-T =ma

maka,

T= W-ma =m(g-a) Dalam situasi dua benda atau lebih yang dihubungkan dengan katrol, maka tali penghubung akan mengalami tegangan sesuai dengan bagaimana konstruksi tersebut. Tetapi pada prinsipnya sama seperti di atas, hanya apakah benda yang terhubung itu bergerak atau dalam keadaan diam. Sebagai ilustrasi dan penurunan persamaan ditunjukkan pada Gambar 22;


-

1

Gambar 22.b: Bila W benda

B>W

bendo A,

Percepaton o seoroh dengon gerok bendo B, kebawoh.

Tegongan T seponjong

toli penghubung antora

bendo A dan B samo, boik toli bendo

A moupun

dua buah

B.

J*. Gbr.22.a

Gbr 22.b

Untuk menentukan persamaan percepatan a, harus diketahui tegangan tali seperti diuraikan di bawah ini;

-

Tinjau benda A;

Tinjau benda B;

T-Wa=lrln?

We-T: T: We -

T=Wa*II'tao

T,

mea IIleo

Maka,

Wa+l'Ilna =Ws-

d-

Ws-wA ffis*m4

IYte0

atau

a=

g(ms-me) ms*ma

Contoh 9 Dua buah benda terbuat dari baja dan satunya lagi terbuat dari tembaga yang masing-

masing memiliki berat Wa. Terletak pada suatu bidang datar meja dan terbuat dari kaca, kemudian bidang kontak benda A terhadap alas memiliki koefisierl g€sek J.rpa, sedangkan benda B tergantung yang dihubungkan oleh tali antara dua buah benda dengan sistem katrol. Jika berat benda B lebih besar daripada berat benda A, tentukan percepatan luncur tanpa ada gaya luar terkecuali berat benda B yang tergantung itu. Contohnya pada Gambar C 9:


_l__j

[]il r-E

r---------------

Gbr

-

C9

I

IVWB

l--=#-:::-;:-::

Tinjau Benda A maka Tn = f1a *

Tr-fm=lTlAo Tinjau Benda Te

IY'14

o

B

-Wg=-lTlB0

maka Ts =

Dimana Te = Ta

f6+ma3=We-fi1g0 ma$J&a*IT.la0=Wg-rns8 a(ma+ ms ) = I ( ms -ma[r,e)

g(ms-meFr.a) Maka; file

*

ms


-

L

Ws-

rnso

D.

PEGAS

Suatu benda melakukan gerak bolak-balik terhadap suatu titik tertentu maka benda itu dikatakan bergetar. Dalam hal ini, jika pegas dalam posisi tergantung dan kemudian menerima gaya luar misalnya dengan cara ditarik setelah gaya luar dihilangkan atau pegas dilepas. Maka yang terjadi ialah pegas akan mengalami suatu gerakan yang berupa getaran, gerak seperti itu dinamakan gerak harmonik, dimana terjadi gerakan bolak-balik terhadap suatu titik, atau melewati garis keseimbangan.

I.

Gaya Pemulih

Apabila suatu benda berubah bentuk akibat menerima gaya, maka gaya yang nnenyebabkannya proporsional dengan besar perubahan dan batas elastisitas tidak terlampaui. Artinya perubahan itu dapat berupa bertambah atau berkurang canjangnya dari semula.

Gaya luar di sini diartikan secara luas, atau apa saja yang menyebabkan oerubahan bentuk tersebut. Gaya dimana benda itu elastik dalam menarik kembali suatu benda yang terletak padanya, maka gaya seperti itu disebut dengan gaya cemulih (restoring force); seperti yang dimiliki pegas. Menurut hukum Hooke, gaya aemulih elastik sbb; F=

- k.

Ax

(persamaan 7)

Jimana

Gambar 23

Tanda minus menunjukan goyo perlawanan (reaksi).

Pada pegas yang menerima gaya tarik atau gaya tekan maka akan terjadi -lbungan antara besarnya gaya terhadap perubahan panjang dari pegas tersebut. 3rafik hubungan antara gaya terhadap perubahan panjang merupakan grafik linier, seperti pada Gambar 24 di bawah ini;


Axt

Axz

Gambar 24

2.

Usaha Pegas

Adanya gaya yang diterima pegas baik gaya tarik maupun gaya tekan, menyebabkan timbulnya reaksi atau perlawanan dari pegas untuk mempertahankan kondisi awalnya. sehingga ada suatu usaha (W) yang dilakukan pegas, mari kita tinjau usaha yang dilakukan pegas akibat adanya usaha luar, ditunjukan pada Gambar 25 di bawah ini; V1

(b)

Gambar 25

Gambar 25 dari a, b dan c, merupakan ilustrasi usaha yang dilakukan benda A berupa gerakan untuk menumbuk dengan kecepatan v1. Menumbuk pegas pertama kali ditunjukkan oleh Gambar (a), lalu pada Gambar (b) pegas mempertahankan diri dengan tingkat elastisitas yang proporsional sebesar gaya F, dan pada gambar (c) dimana benda A terpental kembali dengan kecepan v1. Gaya resultan yang terjadi tidak lain berupa gaya pemulih

elastik sebesar - k. Ax

dan berdasarkan hukum kedua Newton. Dari ilustrasi di atas, dapat kita turunkan persamaan Usaha (Energi) yang terjadi;

F=-k.Ax=ma a=Avl Ax mAv4+kAx =0 karenaJmAvdv+ ax

JkAxdx =0


-

1

maka;

lrmLvz+ lrkLx2=

C

(persamaan8)

Persamaan 8 menunjukkan bahwa E1 + Ep = C = E, dimana C merupakan konstanta integrasiyang nilainya sama dengan energitotal E. Dimana W untuk pegas sama dengan Ep, ditunjukkan oleh persamaan 9, sbb;

Ep=/rk.

Ax2

(persamaan 9)

Usoha dori pegas merupokon energi potensiol pegas (

Eo

), dalam Joule.

Contoh 10 Suatu benda bermassa m dan bergerak dengan kecepatan v menghantam pegas, sehingga panjang pegas berkurang akibat dorongan dari benda tersebut. Di dalam
A

1

fr [mflffm,

Gbr. a: kondisi awal Gbr. b : kondisi setelah benda A menumbuk pegas, menekan pegas sebesar /x

I

(a) Gambar ClO

Solusi Ek benda Yz

=

Ep pug",

m . v2 = lrk.Ax2 maka Ax = v

\/^/k


KESETMBANGAN GAYA, MOMEN, DAN GARIS PENGARUH

-^r2 A.

KESEIMBANGAN GAYA DAN MOMEN

'1.

Gaya

Gaya dalam mekanika teknik diartikan sebagai beban yang bekerja pada suatu konstruksi. Gaya merupakan besaran vektor, yaitu suatu besaran yang mempunyai nilai dan arah serta

titik tangkap.

Jenis gaya terbagi

;

1. Gaya terpusat 2. Gaya terbagi a) b) c)

Terbagi rata

Teratur Tidak teratur

3. Gaya momen d) e)

Momen lentur Momen puntir

2. Keseimbangan Gaya a. Keseimbangan Dua Gaya Jika dua buah gaya yang besarya sama bekerja pada garis kerja yang sama pula,

namun dengan arah yang berlawanan satu dengan lainnya, maka dapat digambarkan seperti pada Gambar L di bawah ini.

Andai Fr dan

F2

besarnya sama dengan arah yang berlawanan;

@-----@-----I.

Gairbege F:

Gambar I

b.

Keseimbangan Tiga Gaya

Jika resultan dari dua gaya besarya sama dengan gaya ketiga

FE

dan bekerja

pada garis kerja yang sama, namun arahnya berlawanan satu dengan lainnya, maka dapat ditunjukkan seperti pada Gambar 2 di bawah ini.

Andai R merupakan resultan

F1

dan F2 besarnya sama dengan

arahnya berlawanan; ,

Gambar 2


-

1

Guiskerla

F3 sedangkan

Syarat Keseimbangan

Merupakan gaya yang bekerja saling kejar (rotasi) dan melalui titik pertemuan yang sama (tertutup). Sebagai contoh segi tiga gayo yang memiliki gaya saling

kejar dan tertutup, serta melalui titik pertemuan yang sama di titik

A.

Contohnya seperti pada Gambar 3;

Gambar

d.

3

Perletakan Dalam mekanika teknik perletakan ada empat macam, yaitu;

a.

Jepit

Jepit diberitanda; Sifat darijepit; Dapot menohan gaya vertikal, goyo horizontol don momen (rotosi)

b.

Sendi atau engsel

Sendidiberitanda;

,A

Sifat dari sendi; Dapot menahan gaya vertikol don gaya horizontaltetapi tidok dopat menahan momen (rotosi)

Keseimbangan Gaya, Momen dan Garis Pengaruh

c. Roll

Rolldiberitanda

; ,Z

Sifat dari roll;

Dopot menohan gaya vertikol (tegok lurus roll),

tetopi tidok dapat

menohan gayo horizontol (sejojar bidong roll) serta tidak dapat menahan momen (rotasi) d. Pendel

Pendel diberitanda;

o-

Sifat dari pendel; Honyo dopat menahan goya seorah dengan roll.

3. Gaya Luar dan Gaya Dalam a. Gaya Luar Gaya luar merupakan gaya yang bekerja

di luar konstruksi, gaya ini

dapat

berupa;

a.

Gaya vertikal (F,)

b.

Gaya horizontal (F6)

c.

Momen lentur (M)

d. Moment puntir

b.

Gaya Dalam Gaya

dalam merupakan gaya yang bekerja di dalam konstruksi, gaya ini dapat

berupa; Reaksi (R,)


-

1

Contoh 1 Jika pada balok dengan dua perletakan seperti pada gambar di bawah ini diberikan gaya F. Tentukan reaksi perletakan dititik A dan B.

lxtlxtl Solusi Gaya

F

arahnya ke bawah, maka reaksi perletakan

Rn

dan Rs arahnya ke atas.

Syarat;

IMn=0 -Rs(/)+F( %l)=g

maka

Re

=%F

(tl

IF'=0 Ra+Re

-F =0

makaRa=F-Re =%F

(ll

Garis kerja vertikal, maka gaya horizontal nol.


Contoh 2 Jika pada balok dengan dua perletakan seperti pada gambar di bawah ini diberikan gaya merata q. Tentukan reaksi perletakan di titik A dan B. qT* A

Lr.."-*,-

- -.

n

Solusi

7 {Tm Ar

-

n*f-

l

'lal'.14tl-

t n,

Bebantotal;Q=q/ Syarat;

IMn=0

-Rs(l)+ql(%l)=s

maka;Rs=%ql

IFr=0 Ra+ Rs

c.

-ql

=O

maka;Ra=g/-Re=%ql

Gaya lintang atau gaya geser lshear forcel (Sl

Gaya lintang atau gaya geser

s merupakan

panjang, dalam hal ini terhadap sb x atau sb y; S=

dM/ dx atau

S=

dM/ dy


-

1

diferensialisasi momen terhadap

Perhatikan Gambar 4 di bawah ini; F

lal

$l Gambar 4

Reaksi perletakan diA,

Rn=F.b/l

Reaksi perletakan di B,

Rs=F.a//

Kita tinjau potongan sejauh x dari A pada interval; 0 gaya geser S di potongan itu bertanda positif (+) Kita tinjau potongan sejauh

x'dari

B pada

xSa

f

interval; 0

gaya geser S di potongan itu bertanda negatif

(

(-)

S

x' < b

J

Ra Ingat ; Gaya geser bertanda posilifjika ;I t Gaya geser bertanda negatifjika ;tt

Gambar 5

L. Gaya normal (N) Gaya normal merupakan gaya yang bekerja tegak lurus bidang dan sejajar dengan garis sistem. Gaya normal seperti ini disebut gayo normalsentris.

Keseimbangan Gaya, Momen dan Gqris Pengaruh

Sedangkan jika gaya bekerja di luar garis sistem, maka gaya normal itu

disebut goyo normal eksentris. Perhatikan Gambar 6;

ll Gonsxorrmj;exlr,i.:

N G*ga rai:rnr*l eltsenlris tegak

Gambar 7

Ada dua macam gaya normal;

1.. Gaya normaltekan apabila gaya dalam itu arahnya ke titik pertemuan. Berdasarkan perjanjian bertanda negatif (ditunjukkan pada gambar 8 di bawah ini;

+..

), maka dapat

!-) _.+ Gambar 8

2.

Gaya normal tarik apabila gaya dalam itu arahnya ke luar dari

titik

pertemuan. Berdasarkan perjanjian bertanda positif ( + ), maka ditunjukkan pada gambar 9 di bawah ini; (+)

*+

Gambar 9


-

1

2.

Momen lentur (bending moment) (Ml Pada balok AB dimana A adalah engsel dan B merupakan roll seperti

ditunjukkan oleh gambar 1-0 di bawah ini, maka balok itu bekerja dengan gaya F dan berjarak a dariA atau berjarak b dari B;

It

I

:-_--.Bmsstsiffi

^n-a-

ffi

Gambar 10 Garis sistem merupakan garis berat dari balok AB di atas.

Perhatikan Gambar 10 (b)yang merupakan idealisasi dari Gambar 10 (a); erB

TB

ldl

il Gambar 10 (a)

Reaksi perletakan di A,

RA

= F .bl I


Re

= F . a/ I

Kita tinjau potongan sejauh x dari A, dan tinjau sebelah kiri potongan;

;

gads grotongan

Gambar 10 (b)

Keseimbangan Gaya, Momen dan Gnris Pengaruh

Tinjau sebelah kanan potongan; Sarispotongfir

I

f.

garls Elst€l]3

s RE

I-x Gambar 10 (c)

M11..;

a\ -- F.xb//f_ potongan = + Rs (t-x )- F(a -r)€ ) = + ( F . al l)(l -x )-F(o-x) =+(F.xl l)(l-o)* F.xbl I =+(F.xl t)(t-a)

thdpotongan = -

Mk.n.nthd

RaX

Jadi M kiri= M p.n.n, hanya arahnya berlawanan.

Perjanjian tanda momen; Jika balok AB dibebani dengan gaya sebesar F, maka balok itu cenderung

melentur ke bawah. Maka tanda momen adalah positif;

(f

Gambar 11

Jika balok CD dibebani dengan gaya sebesar F, dimana C jepit dan D bebas, maka balok itu cenderung melentur ke atas. Maka tanda momen

adalah negatif;;-

J

I

.L--+

IF

Gambar l-2


-

1

Contoh 3 Tentukan reaksi perletakan serta lukiskan diagram momen, gaya geser dan normal dari
L1

I

F=.1 to.,

',T

llTllllllTllll[flTlTlllTllllllll

':r.

-

rrst\i\\\

tlr '

4rt

.lm

Gambar C 3

Solusi Reaksi perletakan

diA,

IMe=0 Rn. 8

-

2(4)-1,(4) (2+ 4) = 0 maka

Ra =

4 Ton

(t)


IF,=0OR4+Re -2-1(4) =9 4+Rs

-2-L(4) =0 makaRs=2Ton(t)

DaerahAC(0sxs4) M, = =

Rn

x- lrqxz

4x-

%(Llx2 = 4x-Trx2

x=0 O Mx=0Tm x=4 O M,=8Tm


Mr.* i

Mr.,

jika; d M,/ dx = O

dM,/dx=4-x=0 O x=4m M ,.* = 4x- /.x2 = }Tm M=0 M=4x*Trx2 = 0 atau 8x-x2=0

x(8-x)=0(+x=0danx=8 S* =

d M,.,/ dx (bertanda positif karena bergerak dari kiri ke kanan)

Sx=4-x

x=0O N*=

S*=4Ton

0

Daerah BC (0 3 x'S 4 )

Mr= Rex=2x

x=0O x=4O

M*=0 M*=8Tm

- dM"/ dx Sr=-Re=-27 S,

=

N*=

(bertanda negatif karena bergerak dari kanan ke kiri)

0

Konsep dan Aplikasi Pengantar Teknik SUil

-

1

Gaebf,rdifrgrs#r M * S dan f{ sbb; S=JJimirm

3.

Konstruksi bersendi banyak (gerber) Perhatikan gambar 13 di bawah ini;

Pada konstruksi gambar 13 (a) ini reaksi yang tidak diketahui berjumlah 5 buah, sedangkan jumlah persamaan ada 3 yaituj F, = 0, Fr, = 0 dan M = 0. Maka konstruksi di atas termasuk statis tak tentu luar derajat 2, agar menjadi statis tertentu harus dipasang 2 buah sendi.

I

I

I

Dalam memasang sendi, kita harus hati-hati agar tetap stabil. Perhatikan Gamabar 13 (b) di bawah ini, terpasang 2 buah sendi o dan b pada daerah BC, yang mana balok ob merupakan balok anak, sedangkan balok Aba dan bCD merupakan balok induk.

Keseimbangan Gaya, Momen dqn Garis Pengaruh

Pada pelaksanaannya ditunjukkan sepertigambar 13 (c);

Gambar 13 (b)

Gambar 13 (c)

Untuk meletakkan kedua sendi itu, kita dapat juga meletakkan seperti pada gambar 14(a). sendi a diletakkan di balok AB, dan b diletakkan di balok cD. Pada pelaksanaannya ditunjukkan seperti gambar 14 (b) di bawah ini;

."F--

, Gambar 14 (a)

Balok Ao dan bD merupakan barok anak sedangkan oBCb merupakan

balok induk.

Hindari

Hindari pemasangan sendi seperti pada gambar 15 ini, sendi diletakkan di balok AB.

o dan

b

Balok ob merupakan balok anak, sedangkan balok Aa dan bBCD merupakan balok induk, jika balok anak diangkat maka balok Ao akan ambruk.


-

1

Pada pelaksanaannya ditunjukkan seperti gambar 15 (b) di bawah ini;

15 (a)

Gambar 15 (b)

4.

Konstruksi dengan beban tidak langsung

Andaikan kita berdiri di lantai papan panggung, sementara di bawahnya di topang oleh balok kayu, maka secara tidak langsung berat kita menjadi beban terhadap balok penopang lantai papan itu atau beban tidak langsung. Untuk lebih jelasnya perhatikan Gambar 16 ini; Bdolwri{tdhg

Gambar 16 (a)

merupakan beban tidak langsung terhadap balok AB, yang mana F bekerja pada papan lantai, kemudian diteruskan oleh balok melintang. F

5.

Konstruksi tiga sendi Konstruksi tiga sendi seperti ditunjukkan oleh gambar t7 di bawah ini; Pada konstrul<si Gambar l7 di samping ini, iumlah reaksi yang tidak diketahui ada 4, sedangkan jumlah perslmaan ada 3 yaitu ;

LF,:0,LFr:0dan>,M--0 Gambar l7(a)

Maka konstruksi ini termasuk statis tak tentu luar derajat 1 (kekurangan I persamaan).

Keseimbangan Gaya, Momen dan Gais Pengaruh

Agar konstruksi menjadi statis tertentu luar, maka pada konstruksi itu harus diberi L sambungan berupa sendi/engsel. Contohnya seperti ditunjukkan oleh gambar 17 (bl, f7 @) dan 17 (d) di bawah ini;

CE

CB

atau

Gambar 17(b)

etau

Gambar l7(c)

Gambar 17(d)

B. GARIS PENGARUH STATIS TERTENTU Dalam hal konstruksi, khususnya jembatan, ada beberapa beban bergerak atau hidup (live loads); misalnya kendaraan. Sedangkan berat gelagar dari jembatan merupakan beban mati (dead loods), misalnya berat sendiri. Beban bergerak bisa berupa;

L. 2.

Beban bergerak terpusat dan dalam aplikasinya adalah beban mobil. Beban bergerak terbagi rata.

1. Garis Pengaruh (GP) Reaksi Perletakan Gaya F bergerak di atas balok AB yang berjarak x dari gambar 18;

Konsep dan Aplikasi Pengantar Teknik Slpil

-

1

titik

B seperti ditunjukkan oleh

r*: i.F =

RE

=j.r U*tukFberiarahx dari B

{

3"r

RB

0

0

F

iiI

.nF

TL

ItF

rii

l.i

L

L

-in

I

'rT

r

F

0

Gambar 18 Balok AB dan GP reaksi perletakan

2. Garis Pengaruh (GP) Lintang dan Momen 3aya F bergerak di atas balok AB yang berjarak x dari titik A seperti ditunjukkan oleh 3ambar 19, di bawah ini;

Enlaupotongatr-r

Gambar 19. Balok AB dan GP lintang dan momen


Serta besarnya gaya lintang D yaitu ;

_ D"-"=

6M F6A

=Rr-

i

-j-

=

L

Gaya F berada antara Garis potong

n-

n dan B pada

interval ( a S x S

M*--

I--x

L-a L

,€l'

o

Ambil contoh

F

= 1 T, maka;

Mn-n = Ra?

.a =L:* L Besarnya gaya lintang

^So-r=

eh{" -=ca

S

yaitu; Mo-'

=Rrr

!:-B L

_ L-*

o

L

Garis Pengaruh (GP) akibat momen

Untuk lebih jelasnya kita tinjau gambar 20 di bawah ini;

Gambar 20 Diagram Pengaruh Ma


-

1

L)

Contoh 5

3ambarkan GP Ra, Rs dan Mc akibat F = lTon bergerak dari A ke B atau sebaliknya, :eperti ditunjukkan oleh gambar C 5 di bawah ini;

F: I

Tsrr

Gambar C 5

Solusi F

berada Ra

Rg

didaerahAC,(0SxS3m)

= ?

jikax=0()Ro=1

x

x=3QRe=/, jikax=0(+Rr=6

=

L

x=3ORs=y, Mc

=Rn.3-F(3-x)=0,5x

Mc=0,5x

jikax=09M.=9 x=3€Mc=1,5


APLIKASI INTEGRAL, TITIK BERAT DAN

-rr3

MOMEN

A.

APLIKASI INTEGRAL

l.

Panjang Kurva pada Bidang

pada bidang dapat dihitung panjangnya dan dapat digambarkan oleh sepasang :€rsamaan parameter x =/(t) dan y = g(t), fungsi f dan g kontinu pada interval [a, b] :engan a < t < b, yang mana t dinyatakan sebagai waktu. *...rrva

Apabila ( Jr-va itu.

t

bertambah dari a ke b, artinya bahwa titik P (x, y) bergerak sepanjang

Analisa panjang busur kurva; Perhatikan Gambar 1 di bawah ini;

Axi2 + Ayi2

i-r, ti ) dalam busur pe di atas, terdapat titik_titik t; dan t,; maka; Ax;= /(t1) -/(t,_1) =F(t'i)At; dan Ayi= g(tr) - g(t r_r) = g,(t,;)Ati

Pada selang (t

Dimana; At; = 1. - t i- r Sehingga; Arr=

V[/'(t'i)Ati1

2+

[g,(t,;)At;]

2

=

V'ft',ll' *

lg'{t',1

l'

At'

Untuk panjang segi banyak;

Ar;

=lyffi :r i

'

Jadi panjang busur kurva L di atas sebagai limit dari Ar; apabila garis normal mendekati nol maka L; b

L= ,lf A*)'+ i avf dt I l-::l I v I^dt dt a

Dimana;

f{t'i)=

$

Orn s,(t,,)=

*

Apabila kurvo memenuhi ketentuan oleh persomoon x = f(t) don y = g(t), a s t S b serto f' dan g' kontinu pada intervol {a, bl. Sedangkon (t) don g,(t) tidak f bersamo-samo nol di interval [a, b], kurva tersebut disebut kurvo mulus.

Mulus di sini menggambarkan seandainya sebuah partikel dengan lintasannya berupa kurva' Tiilk f @ dan g'(t) kontinu karena tidak bersama-sama nol, maka gerak dari partikel itu tidak serta-merta berubah secara ekstrem. Apabila persamaan kurva itu adalah y =f(x), o sxsb maka panjang kurva (L);


-

1

3an apabila persamaan kurva itu adalah x = g(y), a < y< bmaka panjang kurva (L); b

L- JV [.',t1+r ax'dy L-a 1

Contoh 1

3uktikan keliling lingkaran L = Znr, iika :,tunjukkan pada Gambar C Ll flxS:x2

Gambar C

f(x)=*'*Y'

0
+f

1

Solusi b ^ I l^toxtl2 +r r)\/

L=

A'

a

)

t2

'0t'

^nana;

f

Ax

a

dan

g'(t'i)= ry

x=rcost

dan

6x--rsint

dan

Y =rsint 6x = rcost

(t',) =

et

-& 6t

-2

=

r2 sin2

t

dan

dt

0t

I dx-]2 = 12 cos2 t -l Idt,

Aplikasi lntegral, Titik Berst dan Momen

Maka; Ingat ;

Ztr

't+r'cos't

r

sin2t+"ot't:l

lat 0

-2n )g

,.tl

2.

=

2nr OK

Luas Bidang Rata

Luas yang terbentuk serta dibatasi kurva, garis dan sumbu

x atau sumbu y, teorinya

sudah kita paparkan pada bab sebelumnya (integral). Contoh berikut ini sebgai aplikasi dan mengingat kembali;

Contoh 5 Tentukan luas A yang dibatasi kurva Y = 3 - tlx/2 danY ={x/2 seperti pada Gambar C 5 di bawah ini;

x):3 -

''lx/ 2


-

1

Solusi 4

4

I (3-{x/Z-.rlxt2)dx = [( 3-txldx 0 )' -0 2x''' =Jx. L

J

=[rror =

3.

+

I

l0

^y ]- [rtor ^y)

= 6,67 satuan

luas

Tekanan dan gaya Hidrostatis

-eKanan merupakan gaya yang bekerja per satuan luas' Gaya yang bekerja dapat :erupa gaya tekan atau gaya tarik. Tekanan hidrostatis merupakan tekanan yang diakibatkan oleh beban atau berat 3 r yang menekan satuan luas yang memikulnya. (P + dP)A

.!v dw

Gambar2

sembarang titik, tetapi perlu kita ketahui bahwa tekanan -erupakan fungsi dari kedalaman y, makin jauh dari dasar makin kecil tekanan - drostatis tersebut.

Kita ambil

di

Tekanan merupakan rasio gaya normal dF terhadap satuan luas penampang dA, :€rsamaan tersebut ialah;

dF=PdA

Aplikasi lntegral, Titik Berat dan Momen

F untuk seturuh ruas penampang A, dengan kaidah integrasi akan didapat o"r.rl1Xl

F=.[pdA =p4

Contoh 2

,

Bak dengan tinggi 0,9 dan panjang 1,5 m berisi air setinggi 0,5 m seperti pada Gambar c 2 (a) dan sarah satu tepi uat aiperriir*r" g.*bil c 2 (b) di bawah ini. "r-r, Jika kerapatan massa air pr;. r. = T/m3 dan g = m/s2, hitung gaya F yang menekan pada tepi tersebut. '0 0.7m

Gbr C 2 (a)

Solusi Kemiringan seberah kanan m 2 = maka persamaan garisnya;

(v-o)=m(x-a) (y-0 l=2(x-0,4),

maka y

=2x_0,g atau x= 1 y+9,4

Perhatikan Gambar c 2 (b) salah satu sisi bak oi u.rn7ar, ini;

x: o,s

-

Y2y + 0,4

vrl-,-

,

vil"'". / L:li ::i:ri,r:r'./

GbrC

T

10,5

Y

lt (b)

Konsep dan Aptikasi pengantar Teknik Sipil _

1

AF

=

pB (0,5

Maka; F = pS

- y )(%y + 0,4) Ay

H

fo,s -y)(%y+0,4)

dy

0

lo't (-1ur-3 yz +o,2yl -'-,' ) 6, 40, 0

s =o r,b\

= 0,0603

pE

= 0,0503 (1)

4.

(10) =0,603kN

Persamaan Asas Bernoulli

Fluida yang mengalir pada suatu pembuluh aliran dengan penampang lintangnya tidak

sama besar, maka kecepatannya akan berubah, entah bertambah atau berkurang. ,Jntuk massa fluida di dua titik dengan ketinggian yang berbeda, perbedaan tekanan tidak hanya perbedaan tinggi permukaan dari garis datum (garis acuan), tetapi :erdapat perbedaan kecepatan di masing-masing titik itu.

Daniel Bernoulli (1738) mengusulkan kaidah usaha atau energi untuk :ermasalahan ini.

kbagai bahan analisa, ditunjukkan oleh Gambar 3 beriku!

Gambar 3

Aplikasi Integral, Titik Berat dan Momen

Gaya yang bekerja terhadap penampang kiri melakukan usaha positif, sedangkan gaya yang bekerja terhadap penampang kanan melakukan usaha negatif' Netto usaha

(selisih usaha positif - negatif) yang dilakukan sama dengan perubahan energi kinetik ditambah perubahan energi potensial (fungsi dari ketinggian). perkalian Besar gaya yang bekerja di titik unsur fluida itu merupakan hasil tekanan di titik itu kali luas penampang yang bersangkutan, F = p.A. positif) Dari gambar di atas, usaha yang dilakukan terhadap muka kiri (usaha unsur fluida; Usaha netto yang dilakukan unsur fluida itu; W netto = W1

-

W2

,bccd

= [in,no, + JnrAds ] - [lo,Ads + Jo,no' I Pada segm"n

,Jn* ,.rn,

oo"r.,. tekanan ,.o"rttir

CC

"*'"0,

-

pz sehingga;

Jo,oot= JozAds Sehingga;

b

W netto =

Jornds-

JnzAds

aC

konstan, Jarak ab, juga jarak cd cukup kecil, sehingga tekanan serta luas dianggap maka; d o

Jnt

n ds = Pr Ar

Asr

serta

Irrods=

a

W netto = W1

-

W netto = Pr Ar

PzA2As2

W2

Asr

-

Pz

Az

Asz atau w netto = ( p1- p2 )v

Konsep dan Aptikasi Pengantat Teknik Sipil

-

L

5.

Regangan Panjang dan Deformasi

Regangan panjang didefinisikan sebagai perbandingan perubahan panjang AL akibat adanya gaya yang bekerja terhadap panjang benda yang ditinjau. Rasio antara perubahan panjang AL terhadap panjang awal disebut regangan e.

Didefinisikan dengan persamaan;

^-

AL Lo

Sehubungan dengan penambahan tekanan sebesar ceformasi/perubahan bentuk.

Besarnya deformasi sehubungan dengan regangan

Ao e

maka akan terjadi

didefinisikan dengan

Sersamaan;

6 = Jledl Contoh 3 Sebatang baja panjangnya L,5 m dengan luas penampang 1",13 cm2, ditarik dengan gaya sebesar 20 kN, modulus elastisitas dari baja itu 2,1.L06 kg/cm2.Jika regangan yang :erjadi dari baja itu 8,4 . L0 - o . Hitung besarnya deformasi 6 dari batang baja akibat gaya tarik itu. Solusi

6 = [e dL = e L'l''' = (8,4. 1O-o)

rl

1,5

" = 1,26. LO -4 m = 1,26 mm

Atau;

E = 2,7.7oG kg/cmz = 2,L

.Lo' Tlcm' l = 2,7.t0 4 kt!/cm2

)

Maka perubahan panjang AL adalah; F . Lo 20 .1,,5 . LO2

au =

5'4 ='IJ,.'Ja3

= 0,L26 cm = 1,26 mm

leformasi dalam hal ini sama dengan bertambahnya panjang (6

= AL)


6.

Momen dan Pusat Massa

Andaikan ada dua benda bermassa mr dan m2 lang berjarak masing-masing x1 dan terhadap satu tumpuan, seperti pada gambar 4 di bawah ini;

Xz

Maka agar seimbang; ITll

X1

II11 X1

= IIl2 X2 ataU =

M1

dan

lTlr Xr

-

IY11 X1

= M2

ff12 X2

=0

Dimana;

M:

momen yaitu

M = F x lengan (dalam mekanika)

Hal ini tentunya dapat dikembangkan jika terdapat beberapa benda serta massa dan jarak yang berbeda sehingga dapat diketahui titik pusat massanya.

B.

TITIK BERAT DAN MOMEN

1. Dua Dimensi a.

Kerapatan Massa ldensityl dan Massa

Penerapan integral lipat dua telah digunakan secara luas, andaikan ada suatu pelat tipis yang sedemikian tipisnya sehingga dipandang suatu bidang atau pelat berdimensi dua, yang demikian kita sebut lamina. Dalam pasal ini kita akan bahas lamina yang terbuat dari bahan yang tidak homogen atau kerapatannya (densityl tidak seragam.

Jika lamino menempati suatu region R dengan density o(x, y), dimana R merupakan kumpulan dari partisi-partisi Ri atau Rr, Rz, . . . Rb seperti ditunjukkan pada Gambar 5 (b);


-

1

Gambar 5 (b)

Gambar 5 (a)

Secara hompiran (pendekatan) -:mpiran massa total lomino adalah;

massa Rr adalah

o(x, y) Anr

, sehihgga secara

_f,,

m = I o(x1, y1) App r= Massa ,i,r^,no sebenarnya dengan mengambil -endekati nol, yaitu suatu integral lipat dua;

' { b.

Io(x'

limit untuk norma

partisi

Y) dA


ie<arang andaikan bahwa massa total m kontinu di region R pada lomino, yang mana I (, y) merupakan kerapatan massa dari lomina itu. Jika (x, y) titik di R, luas dari partisi -.- dA pada (x, y) seperti ditunjukkan oleh Gambar 6 di bawah ini ;

Gambar 6

Aplikasi lntegral,

Maka elemen massa dari dA itu yaitu dm, didefinisikan sebagai; dm = o(x, y)dA

Elemen massa berjarak x dan y satuan, sehingga momen dari elemen dengan luas dA berjarak y (lengan vertikal) dari titik 0, yaitu;

dM,= dmy- o(x,y)ydA Dan momen dari elemen dengan luas dA berjarak x (lengan horizontal) dari titik yaitu; 0,

dM, - dm x = o(x, y)x dA Dengan mengambil limit untuk norma partisi mendekati nol, yaitu suatu integral lipat dua, maka momen M* dari lamino terhadap jarak y, didefinisikan;

*- = IJ o(x, y) y dA R

Dan momen

*,

M, dari lomina terhadap jarak x, didefinisikan; = JI o(x, v) x dA R

Dari definisi di atas, kita dapat menentukan koordinat pusat massa, yaitu;

-M, x= m-

dan

Y=

M, m


-

1

c.

Pusat Massa Centroid

aada benda solid berbentuk centroid, yang mana titik pusat dalam arah tinggi atau dalam arah sumbu z memiliki posisi konstan. Namun hanya berubah pada tingginya saja jika ukurannya berubah, sedangkan letak titik arah z bergeser ke bawah atau ke atas. Contohnya seperti ditunjukkan oleh gambar 7;

Gambar 7

. ka A

=

I! no merupakan

luas dari region R dari centroid, maka koordinat dari

R

:entroid itu pada bidang

R

yaitu;

, =| {l* 7a a.n v = }flv

aa

Contoh 4

-entukan pusat massa dari lomina R yang memiliki kerapatan massa (densityl o(x, y) = .,-r, di bawah kurva y = x 1/3 sebagai batas pada sumbu x dan sebelah kanan oleh garis .ertikalx = 8, seperti ditunjukkan oleh gambar C 4;


:3rl-

atau

x:

y3

Gambar C 4

Batas dari lomino Xo

R

yaitu;

=y3dan x1=3

Yo=0 dan Yr=2 AtaubatasRyaitu; y3< x

(8dan0
Kerapatan massa lomino o(x, y) = px Massa (m) dari/omrno;

Yt xr m

= I I o(*, y) dN ll,,ro,

y) dx dy

Tahap 1; lntegralkan bagian dalam yaitu; 8

8

kx2l k Ju dx= ; l= ,[8r-(yr)r] -y3 v1

= (32_

6

i)n

Konsep dan Aplikasi Pengantar Teknik Stpit

-

1

-3hap 2; lntegralkan hasil daritahap L, terhadap dy, maka; 2

Ittr-{ro* 0-

2

=k

(32y

#)

= s+,esz k

] 0

Uomen terhadap lengan v atau Mx Yt xt

,-=

IIo(x,y)ydA = J Io(r,4vdxdv R

Yt

=I

Yoxo X1

I

Yo Xg

28 kxydxdy=

II*ydxdy 0y' 2

= Io I 0

"-l

8

2

Y')l*

=1

y'o

t", - !

tu

*

)

8= k (16y2

-fttl=

i,tomen terhadap lengan x atau M,

ot

o

0

Yt xt

,r=

IJo(x,Y)xdA= J J"t",y)xdxdy R

Yt

Yoxo X1

28

=I I kxxckdy =l!*'*ot Yo X6

0y'


g.

')z

=lo [ ]'l ov'

l*

=

{['1,

-+l- dy

t ( st?. ,'o t. l' =( ,.

rY-it

jo

= 307,2k

Maka koordinat pusat massa dari lamino itu yaitu;

_ My x= 11 = y- =

d.

M* =

#

307,2k 543571=5,6

48k

ffir.=0,875

atau(x;y)=(5,6;0,875)

Momen lnersia

Suatu partikel bermassa m bergerak dengan kecepatan v pada suatu garis lurus, maka energi kinetik yang dihasilkannya yaitu; Eu=Y' mvz

jika partikel berputar terhadap suatu sumbu dengan kecepatan sudut r.u rad per detik, maka kecepatan liniernya yaitu v = rul dengan r merupakan radius lintasannya. Jika kita substitusikan terhadap Eu maka;

Eu=/rmv2

=

%m(ralz

=7, mr2u2


-

1

)imana mr' merupakan momen inersia partikel dengan notasi l, sehingga; Ex=

/' lw2

Jadi, momen inersia suatu benda terjadi dalam gerak putar identik terhadap -"rassa benda dalam gerak linier. Seandainya n buah partikel pada sebuah bidang bermassa ffl1, ff12, IIl:. cerjarak t1,t2,13,... rndarigaris L, maka didefinisikan bahwa momen inersia; | = mrfr2

*

fi1ztz2* m3f32 + . . . mnrn' =

Ifln

I#nrn' k:1

lamino dengan kerapatan massa o(x, y), menempati region R dari bidang xy seperti ditunjukkan oleh gambar 8; Jika

J

ri,{r ulenlgnt

(x=

F*

vi

Gambar 8

r,tassa dari elemen dengan luas dA yaitu;

dm

=

o(x,

y)dA

t:n yang berjarak terhadap x yaitu I y I satuan, maka momen inersia terhadap dl*

= 1 y lzdm = y2 o(x, y) dA


x;

tiap elemen ,..rn?:?:.,Tfrenghampiri mendekati - -'emen

Rl serto kita jumrahkan dan mengambir rimit

nol' maka

dan z yaitu-

r_=/J.. t(x' Y) Y" dA = R

,or"n ,*

rsia raminot"rt,.ilp

xrYr

sumbu x, y

J J o(x, y) y2 dy dx xo

yo

L=JIo.(x,y) \z') r) x2dA ^ u^ -= I'I' o(x' Y) x' dY dx

R

l,

r, =J o,(x, y) (*, J

+

R

yr) ,o

J,

=

Io,*, y) (x, + yr)ay ax

i'

xoyo

= l*

*

ty

Dimana lo merupakan momen inersia polar. Dengan radius kitaran (girasi) sistem yaitu r =i,F

ataul=m(r)2

n"..rIlXir:ffi:-Jr::;tI, Ex=lrlw2

*I:,'',".,

vang berputar menser,ingi garis L dengan

=lrm(i)ruz

Contoh 5 Tentukan momen inersie sejajar

I I

r

^t-^ t",n,J.p,#il,l;;;illr:

::*iHJ<erapatan

r-

ii,1:;:^:,,n:.jffiT::,?::egi,

massa (densi,tvl seragam untuk region

I

il't=ri It

'l@-x I

: Gambar C 5

Konsep dan Aplikasi Pengantar Teknik Sipil _

1

memiriki sisi 2 cm

R raminadengan

totar

Solusi 3atas dari lomino Xo

R

yaitu;

=-1dan Xr=l-

Vo=-1dan Y1=1 Atau batas Ryaitu Luas

; -L3 x S 1 dan- 13 y< 1

total A = 4 cm2 dan total massa m = 8 gram

Kerapatan massa lomino o(x, y) = 8/4 = 2 gramf cm2

Momen inersia terhadap lengan y atau l,

,, = IIo(x,y)

y2

dA=

R

ll

2[ [v'a*av -r-l

1

I

r

,3

= zI2y':dy=L

-i-,3

= l.

-1

- (- 1)3 l= 8/g

(1'

Jadi momen inersia terhadap lengan y atau l* = 8/3 gr cm'

Mornen inersia terhadap lengan x atau l,

,, = IIo(x,v) x' dA=

R

1l

2[ !*' a*dy -r-r I

= 2l -1

,,

dy

x" 1

J

=1[t, '-

-1

4x3

=

a J

-l

(- r)J = s/ 3


Jadi momen inersia terhadap lengan x

atau

lv

= 813 gr cm'

Dan moment inersia polar lp;

lr=l*

+1,

=2(8/31= L6l3 Jadi momen inersia

polar

lo

= 1613 gr cm'

2. Tiga Dimensi

a.

Kerapatan Massa {densityl dan Massa Tiga Dimensi

Penerapan integral lipat tiga telah digunakan secara luas, andaikan ada suatu benda solid. Dalam bagian ini kita akan membahas mengenai benda solid terbuat dari bahan yang tidak homogen atau kerapatannya (densityl tidak seragam. Jika benda solid pada ruang tiga dimensi dengan density o(x, y, z), dimana merupakan kumpulan dari partisi-partisisiatau Sr, Sz, . . . Sr..

S

Secara hompiron (pendekatan) massa R1 adalah o(x, V, z) Vnr, sehingga secara hampiran massa total benda solid adalah ; n

m = I o (-xu yr.,7t )Vsr, k=1

Massa benda solid sebenarnya dengan mengambil limit untuk norma partisi mendekati nol, yaitu suatu integral lipat tig ;

M=

JJJ o(x, y, z) dV S

b.


Sekarang andaikan bahwa massa total m kontinu di S pada benda solid, yang mana o(x, y, z) merupakan kerapatan massa dari benda solid itu. Jika (x, y, z) titik di S


-

1

dengan volume dari partisi itu dV pada (x, y, d m, didefinisikan sebagai;

dm = o(x, y,zl

z), maka elemen

massa dari dV itu yaitu

^l

Momen dari elemen dengan volume dV berjarak z (lengan vertikal) dari titik 0, yaitu; 4Mxv= dmz= o(x,y)xdA Dengan mengambil limit untuk norma partisi mendekati nol, yaitu suatu integral ipat tiga, maka momen M*rdari benda solid terhadap jarak vertikal z, didefinisikan;

M*y

= IIJ "t*' Y' z) z N S

Momen M*, dari benda solid terhadap jarak y, didefinisikan;

M*, =

III "fr, y,z)y dy S

Dan momen Mr. dari benda solid terhadap jarak x, didefinisikan;

My, = IJI S

"fr,

y,z)xdY

Dari definisi di atas, kita dapat menentukan koordinat pusat massa, yaitu;

-x= Mr, vM'IIIM

M*,

dan

: z= M*,

Aplikasi lntegral, TitikBerat dan Momen

Contoh 5 k(x2 +

Tentukan titik massa dari benda solid jika kerapatan massa (density) = o(X, y, zl = y' )o't, seperti yang ditunjukan pada Gambar C 6, di bawah ini;

v

f --s Gambar C 6

Solusi; o(x, Y, z) = k(x2 +

Y2 )o's

BatasSyaitu;

= kr

r:0< r <3,0< z 32 danO
n/232

=l I 00

J*rdzdrdo 0

nl2

=

_t1

I2grde=rrriie

i:

o

tt/2 3 Mxy

=I

00

I

xl2

2

3

Irkrrdzdrdo= llzu?a,de

= I J J, kr rdzdr d0= J I 00 00

ril2

=

0

firsine)

J J2kr3 sino dr do

0

=

40,5

t

J

sin e de

0

2r I

40,5

kr rdz dr d0

rc/2

3

00

=

enk

00 1il23 2

0

nl2 12

M,,

9nk

=

k(-cos0),=40,5k 0

Nrnsep dnn Aplikasi Pengantar Teknik Stpil

-

1

1El2

3 2

7./23

2

My.= I I

krrdzdrd0 = J I I f.cos0) ktrdzdr I, 000 00 0 rc/2

=

3

nlz

I00 Jzm'.or 0 dr d0 = 4o,s

r<

ae Jsin o 0

2tr

=

40,5 k sin

0

I

i=

40,5 k

0

_ M*, v=,m

-X=- M,, m

oan

_ z=

M*, m

Maka pusat titik massa benda itu; ( x, y, z1 = l9/2n;9/2n;

Ll

Dan untuk menentukan volume dapat juga menggunakan persamaan; V = massa/density

Maka;

V=9nk/kr=9n/r =

c.

3n (karena r = 3)

Pusat Massa Centroid

Pada benda solid berbentuk centroid, yang mana titik pusat dalam arah tinggi atau dalam arah sumbu z posisinya konstan, hanya berubah pada tingginya saja jika :kurannya berubah. Sedangkan letak titik arah z bergeser ke bawah atau ke atas, ;eperti ditunjukkan oleh gambar 9;


Y rikaV=ff[

Gambar 9

*

S

merupakan volume dari region S dari centroid, maka koordinat dari centroid pada bidang S yaitu;

*=|lll.ô d.

=

+flf y dYdanr= $fjf , av

Momen lnersia

Jika benda solid S berjarak L dari garis A seperti ditunjukkan pada gambar 10, dengan kerapatan massa o (x, y, z). Kemudian yang dimaksud elemen dm massa pada titik P (x,y,zl, maka; dm = o (x, y, z) dV

k

\

\? ._Y \

,%

.

dJ,I

P(x,Y,z)

\ Grs

A

Gambar 10


-

1

dm yang berjarak

dl,=

L2

L

terhadap garis A, maka momen inersia, yaitu;

o(x, v, y) dV yang mana L merupakan garis diagonal bidang.

Dengan menghampiri tiap elemen Sr serta kita jumlahkan serta mengambil limit -ntuk norma elemen mendekati nol, maka momen inersia benda solid l*, l, dan l, , , aitu; \t Y1 zt

r- =JJJ

o(x,

y,z)L2ru=IJI

S

r, =JJJ o(x,

y,z)L2

*=

S

t' =JJJ o(x' y, z)L2

zo

xt Yr

zt

xo Yo

zo

[ll

*=Ti'

S

F

xo Yo

i

xo Yo

o(x, y,

,)(y'+ r')

dy dx dz

o(x, y,

z)(x'+ r')

dy dx dz

o(x, y,

4(*' + y') dy dx dz

zo

berada di daerah CB, ( 3 S x S 6 m ) Rn

= L-x L

jika x=3ORe=7,

i

jika x=3(-)Re=/z

Rs=

x=6ORn=0 x=6ORe=L

Mc=Ra.:=Li*

{a)

dimanaL=6maka;

Mc=3-0,5x jikax=3 () Mc= 1,5 x=6 OMc=0


F:

.xl il ..-__-_:v h*

I 0

i:iijjjii#r il,iiiiiliiil

I Tqn -1,

3ri"'- ' L:6

iiffiiiii

iiiiiiiiw iiiiliijjiiiitiil:irtiiir*ru*: G]P8-*

rrijrliillliiliiiiil


-

1

t

MEKANIKA FLUIDA

*.r4 A. HIDROSTATIKA Hidrostatika yaitu ilmu yang mempelajari zat alir/fluida dalam kondisi diam tidak bergerak. Fluida dapat berupa air dan gas, perbedaan antara air dan gas terletak pada tingkat kompresibilitasnya. Gas dapat dimampatkan sedangkan air tidak dapat dimampatkan. '

Air mempunyai massa dan volume, hubungan antara massa dan volume dinyatakan dengan kerapatan massa (density\, yaitu massa per satuan volume, dinyatakan dengan p (rho); p=

m/V

persamaan 1

Perlu dipahami perbedaan antara kerapatan massa ldensityl dengan berat jenis :ahan (grovityl. Dimana gravity merupakan rasio antara rapat massa bahan itu :erhadap rapat massa air. Beberapa kerapatan massa material ditunjukkan pada Tabel i di bawah ini;

Tabel 1 Kerapatan Massa Beberapa Jenis Material

Kerapatan

Jenis

massa

Material

Kerapatan Jenis Material

kr/cm3l

Air Aluminium

2,70

Baia

7,80

Benzena Besi

0,90 7,80

Emas

1_9,30

Tembaea

Es

0,92

Timah Hitam

L,00

massa

(grlcm3) Gliserin Kuningan Perak Platina

L,26

Raksa

8,60 10,50 2L,40 13,60 8,90 LL,30

Sumber; Seor Zemonsky

1.

Tekanan dan Gaya Hidrostatis

Tekanan merupakan gaya yang bekerja per satuan luas. Gaya yangi bekerja dapat berupa gaya tekan atau gaya tarik. Tekanan hidrostatis merupakan tekanan yang diakibatkan oleh beban atau berat air yang menekan satuan luas yang memikulnya.

I

PA

Gbr.

I

(b)


-

1

Gbr.

I

t I

Y

(a)

Kita ambil di sembarang titik, tetapi perlu kita ketahui bahwa tekanan -erupakan fungsi dari kedalaman y, makin jauh dari dasar makin kecil tekanan - drostatis tersebut. Tekanan merupakan rasio gaya normal dF terhadap satuan luas penampang dA, :€rsamaan tersebut ialah;

P

= dFldA

dF = P

-;di, =ari

F

dA

persamaan 2

untuk seluruh luas penampang A, dengan kaidah integrasi akan didapat besar

F;

p=JpdA

=PA

persamaan3

Artinya tekanon itu somo disembarang titik pada ketinggion yong somo. Hubungan umum antara tekanan P pada sembarang titik dengan ketinggian y : t1k itu, jika fluida dalam kesetimbangan maka semua unsur volumenya dalam resetimbangan pula. Lihatlah lapisan tipis seperti pada Gambar 1 (b) dengan tebal dy :an luas A. Rapat massa p, massa unsur itu pAdy dan beratnya; 61ry = pgAdy

Gaya yang bekerja selalu tegak lurus permukaan unsur.

Gaya ke atas pada permukaan sebelah bawah PA, sedangkan gaya bagian atas (P

-

dP)A.

Dalam kesetimbangan lF, = g

PA-(P+dP)A-PgAdy=0 maka;

dPldV = -

pg

dP negotif (berkurang

persamaan 4

jiko menjauh dari dosor) don dy bernilai positif.

Dalam ilmu terapan sering kita jumpai notasi tekanan P dengan oF adalah gaya, :alam hal ini berat dari air atau W.;.., dimana W.;,. = pgv dan pg = y mak?i W air = V V Sedangkan V = Ah,

sehingga;

oair=F/A=yV/A oair = yair

h

persamaan 5

Sedangkan gaya hidrostatika merupakan gaya yang diakibatkan air yang memiliki berat serta karakteristik dari air yang memungkinkan mendorong ke segala arah berupa gaya tekan; F=O";,. A

F=y";rhA

persamaanS

Atau;

F=p.;1ghA persamaanT

2. Tegangan pada

Fluida

jika pada titik materi fluida ada tekanan singgung, fluida itu akan menghindar ke samping selama tegangan itu ada. Jadi di dalam fluida diam semua tegangan tongensial/singgung tidak ada. Hal itu ditunjukkan oleh gambar Pada fluida diberikan tekanan dan

2 serta pembahasannya;

Gantbar 2


-

1

Fluida dalam keadaan setimbang maka;

Fv=Fcos0

F*= F sin 0 Juga

Av=Acos0

Ax=Asin0

Gaya bekerja tegak lurus bidang, sehingga;

F*f

A*=

FrlAr=

F sin

F

cos

0/A sin

0 = t/A

=

P

0/Acos 0 = F/A = P

persamaan 8

persamaan 9

Jelas bohwa gayo per sotuan luas dimano-mona somo atou tekonannyo sama da

n merupokan kompresi.

Gaya terhadap sembarang bidang

di dalam atau yang membatasi fluida

yang

diam, tekanan yang terjadi normal terhadap bidang itu. Bisa juga dengan ungkapan "tekonon di dalom fluida soma besor ke segala aroh". Perlu diingat, jika zat padat direndam ke dalam fluida yang tertekan, maka gaya per satuan luas akan sama di semua titik. Contoh 1 Bendung dengan kedalaman 15 m, jika massa kerapatan air p adalah 1T/m3 serta g sebesar 10 m/detik2. Buktikan tegangan akibat gaya fluida besarnya sama dalam segala arah. Solusi

W=F=rt'tg

=pvg

V = A h, A ambil 1

m'(

luas yang ditinjau)

Maka

F=pVg=pAhg =pgh = l- . L0 . 15 = 150 T/mdetik2 (= 150 kN)

F merupakan gaya yang dihasilkan dari berat air W dan di sini F merupakan F, (gaya vertikal).

F=Fy=150kN maka; F.

P=F/A=150kN/1m2 = 150 kN/m2

r

Jika Ax pada gambar di atas membentuk sudut misalnya 300, seperti pada gambar di bawah ini, maka gaya normal akan membentuk sudut pula dengan sama besarnya.

FJA*- Fsin0/Asin0 =F/A =P Di sini P adalah;

\= 'Yt''

Fuf

Frlcos

= A /cos 3oo

= Fy/A= Dan

3oo

F,

o

cos 300 .

cos 3oo

L5o kN/m2 (oKE)

F* = Fvtan 300

Sehingga, F,

=

150 . 0,5774 = 85,61 kN

(lebih kecil dibondingkan jika A tidak mempunyoi kemiringon), hol inilah yong menjodi alason kenopa kaki bendung dibuot miring.


-

1

Dari contoh ini dapat disimpulkan bahwa; tekanan normal akibat fluida dalam segala arah adalah sama.

3.

Paradoks Hidrostatis

-ika bejana dihubungkan seperti pada gambar 3, permukaan zat cairakan sama tinggi. ral ini dianggap aneh karena pada saat itu asas-asas hidrostatika belum dipahami :etul, sehingga hal tersebut merupakan keanehan atau paradoks hidrostatika. ,erhatikan gambar 3, di bawah ini;

Gambar

3

A' = B' = C',menunjukkan bahwa tekanan tergantung pada ::lamnya air H, dan bukan dari bentuk bejana itu. Besarnya tekanan air sebesar; Besarnya tekanan di

P=

p.irg

H

Mari kita tinjau Bejana c dan tekanan di C' pada gambar 4, sbb;

Gaya yang menekan bidang miring dari bejana akan diuraikan dalam komponen gaya vertikal dan horizontal, sedangkan gaya yang menekan dasar, dimana titik C' yang kita tinjau, berasal dari gaya vertikal daerah cz. Gambar.4

Bagaimanapun bentuk bejana tidak mempengaruhi besarnya tekanan yang 13'jadi pada dasar bejana.

Mekanika Fluida

Contoh 2

Botol berisi minyak tanah (p = 0,8 gr/cm3) memiliki tinggi 30 cm serta panjang leher botol 10 cm. Jika diameter luar botol bagian bawah L0 cm dan diameter luar leher botol 2 cm, terbuat dari kaca tebal 5 mm.Tentukan besar tekanan persis di tengah bagian dasar botol. Solusi

F= W=mg=(pV)g

p=WA=pyg/A =pAhg/A = pgh Maka besar tekanan persis di tengah bagian dasar botol yaitu;

p

=

= (0,8 grlcm311tooo cm /s2)(so cm)

24ooo dyne/cm2 = 24oo

Nlm2

(dyne/cm2 = L0 -1 lv/m,

)

sinijelas bohwa tekanon merupakan fungsi dori ketinggian (h) dan p = f (h) tidak tergantung dari bentuk botol atau medio. Di

4.

Hukum Archimedes

Archimedes (Tahun 287 - 212 sM) mengemukakan bahwa, ,,suatu benda yang terbenam dalam fluida akan terangkat ke atas oleh gaya yang sama besar dengan berat fluida yang dipindahkan", yang terkenal dengan asas Archimedes. Hal ini sesuai dengan hukum Newton serta sifat-sifat fluida. Balon udara yang melayang di udara tepat sama beratnya dengan berat volume balon udara, serta berat kapal selam yang melayang di bawah permukaan air pada suatu kedalaman tepat sama berat kapal selam dengan berat volume air. Kapal selam harus mengapung tegak serta kesetimbangan yang stabil agar tidak terbalik. Syarat kesetimbangan bahwa garis kerja gaya apung harus lewat pusat berat kapal. Kemudian apabila kapal miring ke arah kopel karena berat kapal serta oleh gaya apung, maka hal ini harus dapat menegakan kapal kembali.

Jika menimbang dengan neraca analitik yang peka, harus diadakan koreksi terhadap gaya apung yang ditimbulkan oleh udara. Jika rapat massa benda (pu) yang


-

1.

ditimbang berbeda dengan rapat massa anak timbangan, maka dapat menggunakan anak timbangan kuningan (pk). Kasus 1.

Sepotong kayu yang rapat massanla p6 = 0,4 gr/cm' dengan menggunakan anak timbangan dengan rapat massa nla p1= 8 gr/cm3 ditimbang beratnya 20 gr. Diketahui; Massa benda/kayu =

ffib dan Berat benda/kayu = Wr

Massa anak timbarlgdrl = mr IIlu = Pr V6

dan Berat anak timbangan

= W1

maka Wr = Pu I Vr

IIlr = Pr Vr maka Wr = Pu I Vr

Berat semu masing-masing benda yaitu selisih antara berat sesungguhnya dengan gaya apung udara. Rapat massa udara p. (0,00L3 grf cm3),maka gaya apung udara; Gaya apung udara terhadap benda

(kayu)

= pa B Vu

Fau

Gaya apung udara terhadap anak timbangan (kuningan) ----------

Fat=PaBVt Jadi berat semu;

Berat semu benda/kayu yaitu j Wu - Far = pu I Vu- p.

B Vu

=(Pr-P.)gvn Berat semu anak timbangan/kuningan yaitu; Wr

-

F"r = pb g Vr,- P. I

Vr.

= (pr-P.)gVr Massa sejati anak timbangan/kuningan Massa sejati benda/papan

yaitu;

yaitu; pi Vp

pu Vu = pr Vr +

p. (Vr

-

Vr)

Mekanika Fluida

Artinya

;

Massa sejati benda/papan = massa anak timbangan + p, (Vu

- Vr,)

Jadi dari contoh di atas, diketahui; Massa anak timbangan

p1 Vr

= 20 gr

Va= 2OlO,4 = 50 cm3

Vr=

20/8

P. (Vt

= 2,5 cm3

- Vt) = 0,001"3 (50 - 2,5)

= 0,O62 gr

Massa sejati benda/papan yaitu; Massa sejati benda/papan = massa anak timbangan + p, (Vu

=

20 gr + 0,062 gr

- V1)

= 20,062 gr

Jika penimbangan memerlukan tingkat ketelitian tinggi, jelas bahwa 0,062 gr atau 52 per seribu gram mempunyai arti.

Kasus 2

Tangki berisi air dengan berat Wra ditimbang di atas timbangan pegas, kemudian sebongkah batu dengan berat Ws diikat pada seutas tali dan dicelupkan ke dalam tangki air tanpa menyinggung dasar tangki seperti ditunjukkan pada Gambar 5. Tentukan berat seluruhnya (S), menurut jarum timbangan pegas tersebut.

*.r}*r* TI

d. Ws

Gambar. 5

Gambar 5 (b)

Gambar 5 (a)


-

1

Solusi

Kita tinjau batu tersebut, disini gaya-gaya yang bekerja yaitu tegangan tali T, dan berat dari batu We. Hukum kesetimbangan I Fy = 0.

Fuo

Sehingga;

T+Frr=Ws Lalu, seperti ditunjukkan Gambar 5 (b), mengikuti kaidah kesetimbangan dan rukum Newton ke tiga; S merupakan gaya reaksi akibat sistem yang dikerjakan :imbangan pegas terhadap tangki. Kita peroleh persamaan; T + S = Ws + Wrn sehingga; S=

Wr + Frp

persamaan 10

Artinya, jarum skala timbangan menunjukkan pertambahan berat sebesar gaya a

ngkat.

Cotatan;

Aroh vektor gayd menunjukkon besoran bernilai positif dan negotif sesuai perjonjion aroh. Contoh 3

Sebuah batu dengan volume 100 cm3 dimasukkan ke dalam -entukan gaya angkat yang diterima batu.

air (p =

Solusi

Fup

= mB = Vair Pair

= 1oo

g

cm'.

( di sini Vri, yang terdesak/dipindahkan = Vu.,, 1

)

gr/cm3 . looo cmf s2

= 1os gr cmf s2

=10sdyne=1N Cataton ;

gr

cmf s2 = dyne

1o-s N = dyne

Mekanika Fluida

1. gr/cm3).

5.

Gaya terhadap Tubuh Bendungan

Sebuah bendungan berisi air memiliki kedalaman H antara permukaan air dengan dasar bendungan. Resultan gaya horizontal yang diakibatkan air di bagian hulu berada di kedalaman t/3 H dari dasar bendungan. Untuk keperluan analisa ini ditunjukkan pada gambar 6, di bawah ini;

3*ld:;r Sryi IioizassJ

L

Sarg,ii;*lalLx ai:

Gambar 6 (b)

Gambar 6 (a)

Gaya yang bekerja pada ketebalan Ay dengan kedalaman y diperlihatkan oleh gambar 6 (b) dalam lebar bendungan, yaitu;

dF=PdA persamaan 11

=pLdy

Dimana tekanan P6, pada kedalaman tersebut

Pr,=pBy Maka gaya F6, yang diterima tubuh bendung yaitu; H

Fn

=IdF =jpgLydy o

Atau; Fn

= lrp

gL

H2

Persamaan 12


-

1

Momen gaya yang diakibatkan dF terhadap titik A (ujung dasar bendung);

dM=(H_y)dF = (H-y) pLdy Maka momen yang diakibatkan gaya total terhadap titik p yaitu;

M, = J(u-v) PLdy Mo =

[(H-v) (pgy) Ldy = ps LJHy-y'dy p

e

L (1./2 H

Mp = 1/6p

g

L

y'-

H3

:ekarang kita perhatikan persamaan

Mp=1/6Pg

tlt v')i p"rr.,li.rn ra 1-5,

dimana momen terhadap titik p;

LH3

-
-

F6,

sebesar 1/3

atau 2/3 H dari permukaan air. Di sini H' = 'J./3 H karena yang kita tinjau

Mp

=

titik

p berada di dasar bendungan, maka;

Fn H'

= (%

ps

L H2 )

$/3

Hl = L/6p

g

L H3

Contoh 4.

Dam terisi air dengan kedalaman H = L5 m. Jika momen terhadap dasar dam

:

625 kN m. Hitung gaya resultan horizontal

F6

!ang menekan tubuh bendungan per

e:ar bendungan, serta pada kedalaman berapa gaya itu bekerja? (pr,, = 1.F/m3 dan =

io

m/s2)

Mekanikq Eluida

g

Solusi

MP Fr,

=

H' = 5.625 Fr.,

= 5.62510/3H) =

Fr.,

FnH'

H = 15 m

t.!25 kN/ m lebar tubuh bendungan

bekerja pada kedalaman;

Fn=lrpgLH2 =% .1,.!O.1,.152 = 1.125 kN/m lebar tubuh bendungan (F6 sama dengan di atas) F6

H'= 5.625 H'= 5.625 / 7.725 = 5 m dan

B.

Fr.,

bekerja 5 m dari dasar dam

HIDRODINAMIKA DAN VISKOSITAS

Hidrodinamika merupakan ilmu tentang fluida (zat alir) bergerak. Untuk menelaah hal ini dengan menganalisa zat alir sempurna, yaitu zat alir yang tidak dapat dimampatkan dan tidak terjadi gesekan dakhilatau kekentalan (viskositas). Gas pun dapat termasuk katagori itu, asal dalam mengalirnya dibuat sedemikian rupa sehingga perbedaan tekanan tidak terlalu besar.

Gesekan dakhil dalam suatu fluida akan menimbulkan tegangan geser/luncur apabila dua lapisan yang berdekatan relatif bergerak satu sama lain, atau mengalir pada pipa maupun ketika mengalir melampaui sebuah rintangan. Pada beberapa aliran, gaya geser diabaikan, kecuali gaya gravitasi dan gaya akibat perbedaan tekanan.

Unsur fluida yang bergerak mempunyai suatu lintasan yang disebut garis alir. Secara umum kecepatan dan arah dari unsur fluida berubah besar di sepanjang garis alirnya. Jika unsur fluida bergerak mengikuti lintasannya secara konstan, maka aliran zat alir itu dikatakan bersifat stasioner atau tenang. Sifat stasioner ini umunya dialami


-

1

oleh zat alir setelah selang waktu tertentu, yang pada awalnya bersifat unstosioner atau tidak tetap. Pada aliran stasioner, kecepatan di semua

titik ruang secara berangsur menjadi

konstan, walaupun kecepatan bergerak partikel dapat berubah ketika bergerak dari suatu

titik ke titik lain.

Pandanglah sebuah kurva aliran yang garis singgungnya di setiap titik ke arah kecepatan fluida di titik yang bersangkutan, hal itu disebut garis arus (streom line). Pada aliran stasioner, garis arus berhimpitan dengan garis alir. Garis-garis arus itu, jika melewati sebuah penampang dengan luas A misalnya pada pipa, maka semua garis arus itu akan melalui batas luar (keliling) dari luas A tersebu.t Lalu garis-garis arus itu akan membentuk suatu pembuluh, atau pembuluh aliran ltube of ftow). Berdasarkan konsep tersebut, maka dinding pembuluh aliran pada aliran stasioner, akan membuat fluida di dalam pembuluh aliran yang satu tidak dapat bercampur dengan fluida pada pembuluh aliran lainnya. Gambar 7 di bawah ini menunjukkan pembuluh aliran yang dibentuk oleh garis-garis arus dan mengikuti bentuk suatu ruang penampang.

Gambar

7

Pembuluh aliran yang dibentuk oleh garis-garis arus

Tipe aliran yang sederhana adalah tipe aliran homogen, dimana semua oembuluh aliran di dalamnya lurus dan paralel dengan kecepatan di dalam tiap :embuluh adalah sama.

l.

Fluida ldeal

Fluida ideal yaitu fluida yang tidak kompresibel (tidak dapat dimampatkan), oerpindahannya tidak terjadi gesekan serta alirannya stasioner (tenang). Fluida ideal volumenya tidak berubah karena perubahan tekanan. Gesekan yang terjadi ketika fluida ini mengalir terhadap dinding ruang tempat mengalir diabaikan. Dan pada fluida ini setiap partikel fluida mempunyai garis alir (stream /ine) tertentu, serta pada penampang yang sama mempunyai kecepatan aliran yang sama pula.

Meklnikq Fluida

2. Viskositas Viskositas atau kekentalan merupakan gesekan di bagian dalam suatu fluida. Melalui adanya viskositas ini, maka dapat menggerakan salah satu lapisan fluida di atas lapisan lainnya. Bahkan permukaan satu dapat meluncur di atas permukaan lainnya bila terdapat fluida. Fenomena ini ditunjukkan oleh gambar 8; ---+ F

F

Gambar 8 Pada Gambar 8, pelat A bergerak dan pelat B diam, di antara pelat

itu terdapat lapisan fluida. Cairan yang bersentuhan dengan pelat A yang bergerak ternyata sama kecepatannya dengan pelat itu, sedangkan cairan yang bersentuhan dengan pelat B yang diam, tidak bergerak pula.

Kecepatan lapisan-lapisan zat cair di antara kedua pelat bertambah secara seragam dari pelat satu ke pelat yang lain, seperti ditunjukkan dengan gambar anakanak panah. Aliran seperti ini disebut lominer, dari kata lomino yang berarti lapisan tipis atau lembaran tipis. Akibat gerak demikian bagian cairan membentuk diagram abcd, beberapa saat kemudian akan berubah menjadi abc'd'. Lalu distorsinya makin lama makin bertambah saat gerak itu berlangsung terus, bahkan regangan luncur cairan itu bertambah secara terus-menerus.

Agar pelat A yang bergerak tetap bergerak, maka harus terus-menerus diberi gaya sebesar F (ke kanan). Secara tidak langsung hal ini memberikan gaya F pula terhadap permukaan cairan bagian atas. Di samping itu, kondisi ini cenderung menyeret lapisan cairan serta pelat di sebelah bawah ke kanan. Maka, agar pelat B itu tetap diam harus diberikan gaya sebesar F ke kiri. Pada fluida yang mengalami tegangan geser, kondisi ini akan bertambah terus tanpa batas selama ada tegangan. Tegangan ini tidak tergantung kepada regangan geser melainkan kepada cepat perubahannya.

Kortsep dan Apliknsi Pengantar Teknik Sipil

-

1

Dari Gambar 8, pada saat volume fluida berbentuk abc'd', tegangannya adalah :d'lad atau dd'/h, karena h konstan maka besar perubahannya adalah L/h kali cepat :erubahan dd' yang tidak lain adalah kecepatan titik d' atau v pelat A yang bergerak. Jepat perubahan regangan geser (y) = v/h

r= F/A viskositas (n) merupakan rasio tegangan geser terhadap

Tegangan geser

Sedangkan :erubahan regangan geser;

n-

T,

F/A

Y

vlh

F.h ^_ 'l- v. A

cepat

persamaan L4

Besar eaya (F)

v.A

F= Q. h

persamaan 15

Cairan yang mudah mengalir misalnya air atau minyak, viskositasnya relatif kecil (3'ena tegangan gesernya relatif kecil pula untuk cepat mengubah regangan geser

::r'tentu. Sedangkan untuk molase atau gliserin diperlukan tegangan geser yang lebih :esar untuk perubahan regangan geser yang sama. Viskositas gas relatif kecil sekali

:

candingkan viskositas cairan.

Viskositas fluida sangat dipengaruhi oleh temperatur. Pada temperatur tinggi , sKositas cairan berkurang, sebaliknya viskositas gas bertambah. Dalam hal kecepatan semakin bertambah secara seragam, maka semakin jauh ::.i pelat sebelah bawah (pada Gambar 8). Cepatnya perubahan kecepatan ruang :a am arah tegak lurus adalah gradien kecepatan dalam arah tersebut. Dalam hal ini ;-adien kecepatan adalah v/h.

:. :

Untuk kasus dimana gradien tidak uniform, maka besarnya di tiap titik adalah dy.

Dimana dv merupakan selisih kecil kecepatan dua titik yang berjarak satu dengan inya sebesar dy dan tegak lurus dengan arah aliran. Hal ini didefinisikan sebagai;

Mekanika Fluida

n=

i3

persamaan 16

Besar gaya (F); F = rl

A dv

persamaan L7

dy satuan viskositas dalam cgs dyne detik/cm2 atau 1 poise, sebagai bentuk penghargaan kepada sarjana prancis, poiseuille. Satuan viskositas yang kecil dalam centiPoise atau L cp = 10-2 poise dan

micro Poise atau 1uP

-

L0-6 Poise. Harga viskositas beberapa material serta

hubungannya dengan temperatur, ditunjukkan oleh Tabel 2, berikut; Tabel 2 Beberapa Harga Viskositas Material

Temperatur

(oc)

Viskositas Minyak jarak

Viskositas Viskositas Air

(centiPoise) (Poise)

0 20 40 60 80 100

Udara

(microPoise)

53,00

1.,792

L7L

9,g6

1,005

181

2,3L

0,656

L90

0,90

0,469

200

0,30

0,357

209

0,77

0,294

218

Sumber; Seor Zemansky' L98


-

1

Contoh 5 Sebatang pelat kuningan diletakkan di dalam kotak yang terbuat dari kaca seperti pada gambar di bawah ini. Di antara kaca dan pelat diberi pelumas yang kekentalannya 2,31 Poise seluas dasar kotak, luas penampang pelumas 5 cm2, dan kemudian pelat itu di dorong dengan gaya 0,2 N.

Jika diketahui kecepatan meluncur pelat itu 20 cm/detik, hitung tebal dari pelumas tersebut.

Solusi

\ = 2,3L Poise = 2,31 dyne detik/cm2 F =0,2N = 2.10adyne

v

= 20

F=

Tl

cm/detik

.v.A h

Tebal pelumas ( h ) yaitu;

[ = Tl 'v'A F h

-

2,31 '2-015. -ô= 0,0LL55cm = 0,1155mm 2.70"

3.

Persamaan Kontinuitas

Persamaan kontinuitas merupakan ungkapan matematis mengenaijumlah massa yang mengalir ke dalam sebuah permukaan terbatas, sama dengan pertambahan massa di dalam permukaan itu.

Kita bayangkan suatu permukaan terbatas dalam suatu fluida yang bergerak, fluida masuk pada volume dengan luas penampang di titik tertentu dan keluar di titik lain. Gambar 9, menggambarkan mengalirnya fluida pada sebuah pembuluh aliran yang penampang lintangnya 41 dan A2, serta mempunyai kecepatan masing-masing v1 dan vz.

Gambar 9

Aliran massa fluida dengan kerapatan massa p yang masuk melalui A1 ialah pAlvldt dan massa aliran fluida yang keluar melalui 42 ialah pAzvzdt. Sedangakan volumenya konstan, karena aliran tenang maka massa aliran masuk sama dengan massa yang keluar. Jadi ungkapan di atas bermakna:

pArvrdt = pA2v2dt persamaan 18 Serta hasil perkalian luas penampang terhadap kecepatannya di setiap panjang pembuluh aliran konstan adalah; A1v1 =

A2V2

Persamaan

1-9

Contoh 6

Air disalurkan dari satu tempat ke tempat lain menggunakan pipa berdiameter 2 inc. Jika diketahui kecepatan dalam pipa itu 5.101 m/detik, kemudian disambung menggunakan pipa berdiameter 1,5 inc. Hitung kecepatan air di pipa yang diameternya 1-,5 inc, serta debit alirannya.


-

1

Solusi

DL = 2 inc = 2( 2,54 cm) = 5,08 cm

Dz=1,5 inc = 1,5( 2,54cml = 3,81cm A1=

^

TDI

A2

nD.' = ---;+ +

_ 3.14 . 5.08'

_ 3.t4 .3^8f

4

4

=

20,26 cmz

=

1L,395 cm2

vr = 5.1-0-1 m/detik = 50 cm/detik Persamaan kontinuitasj Arvr = Azyz Sehigga kecepatan di pipa yang diameternya 1,5 inc atau v2 adalah;

vz= Atvrf

Az

= 20,26 .50

/ 1L,395 = gg,g cm/detik

Debit aliran (q)yaitu;

q=v2A2 = 88,9 . 11,395 = LOL3,O2 cm3/detik = l-,0i-3 . 10-3liter/detik

4.

Persamaan Asas Bernoulli

: uida yang mengalir pada suatu pembuluh aliran dengan penampang lintang yang : dak sama besar, maka kecepatannya akan berubah; entah bisa bertambah atau :erkurang. Untuk massa fluida di dua titik dengan ketinggian yang berbeda, perbedaan :ekanan tidak hanya perbedaan tinggi permukaan dari garis dotum (garis acuan), tetapi :erdapat perbedaan kecepatan di masing-masing titik itu. Daniel Bernoulli (1738) mengusulkan kaidah usaha-energi untuk permasalahan

Mekanika Fluida

Sebagai bahan analisa, ditunjukkan oleh gambar 10 berikut;

Gambar 10

Dari gambar 10, usaha yang dilakukan unsur fluida (diarsir) sama dengan pertambahan energi kinetik dan energi potensial. Unsur itu bergerak dari satu titik ke titik lain sepanjang pembuluh aliran. Ketinggian dari titik 1 adalah y1 dengan kecepatan v1 S€rtd luas penampang A1 ketinggian titik 2 adalah y2 dengan kecepatan v2 serta luas penampang A2. Perlu dipahami massa jenis/kerapatan massa, di kedua titik adalah sama p.

Semua titik fluida menderita tekanan, ditunjukkan dengan anak panah yang mengarah ke dalam terhadap kedua permukaan dari unsur kecil fluida itu. Ketika unsur fluida bergerak dari titik 1 ke titik 2, gaya yang mengarah ke penampang masingmasing melakukan usaha. Gaya yang bekerja terhadap penampang kiri melakukan usaha positif sedangkan gaya yang bekerja terhadap penampang kanan melakukan usaha negatif. Neto usaha

(selisih usaha positif-negatif) yang dilakukan sama dengan perubahan energi kinetik ditambah perubahan energi potensial (fungsi dari ketinggian). Besar gaya yang bekerja di titik unsur fluida itu merupakan hasil perkalian tekanan di titik itu, kali luas penampang yang bersangkutan, F = p.A.

Dari gambar di atas, usaha yang dilakukan terhadap muka kiri (usaha positif) unsur fluida, adalah; dw1 = pr A

ds sehingga wr

=

I

pr A ds

aC

= IprAds+JplAds 6b


-

1

Dengan cara yang sama, usaha yang dilakukan terhadap muka kanan unsur fluida

itu, adalah;

dw2=p2Ads b

wz =l p2Ads d cc

= bd [pzAds+JpzAds Usaha neto yang dilakukan unsur fluida itu; Wneto=W1

-Wz

h

=. j plAds

+

I

[.

" f plAds )- t

d

p2

Ads + J

p2

Ads

Pada segmen yang sama besar tekanan relatif sdm0 p1= p2 sehingga; bb

IprAds=JpzAds c

Sehinega; w

netto = Jop,

Jarak ab, maka;

A ds

-

Jop2

A ds

iuga;araf .O .rt rp kecil, sehingga tekanan serta luas dianggap konstan,

fnrod, = prArAsr serta lorodr= Wneto=W1

w

neto

-Wz

= Pr Ar Asr

-

p2 42 AS2

Dimana; A As: merupakan volume Az Asz =

Vr

Se

rta

jika Vr=Vz=V

42 As2 = V2

pr42As2

maka;

w

- pz Az Asz persamaan 20 w neto = ( pr- pz )V neto

= Pr Ar Asr

V=m/p W neto =

p

m

(pr-pr)

Usaha neto sebanding dengan perubahan energi kinetik dan perubahan energi potensial, sehingga; ( (

pr-

pz

)f

pr- p, )

'=

= {% mvz2

-%

mv12) + (mgyz

-

mgyr)

% pN22 -vr2) + pg (yz - yr)

Atau;

Lp = % p (vzz -vr2) + pg ( yz - yr) %

p{vr'

pB (yz

-

-

persamaan 21

vr2): perubahan tekanan akibat perubahan kecepatan aliran fluida.

y1): perubahan tekanan akibat perubahan berat fluida.

Persamaan 2L, dapatjuga ditulis;

pr+%gvr2+ pgyr =

pz+%pvz2+pgyz

persamaan 22

Sub-skrip L dan 2 merupakan penamaan untuk 2 buah titik di sembarang aliran, sehingga persamaan 22 dapat dinyatakan;

P+%Pv'+PgY = konstan Persamaan 23 p di sini merupakan tekanan mutlak, bukan tekanan relatif (p disertai sub-skrip). Persamaan 23, dikenal sebagai persomaon Bernoulli.


-

1

Contoh 7

Di dalam pipa diameter 1 inc mengalir air dengan kecepatan 5 cm/detik dengan tekanan 0,5 N/cm2, pipa itu menyempit dengan kecepatan menjadi 9 cm/detik. Seperti pada gambar di bawah ini.

Hitung tekanan dan berapa diameter dari pipa menyempit tersebut.

Solusi Soal di atas merupakan sistem kerja pipa venturi

Dr=1inc(=2,54cm\ Pr = 0,5 N/ cm2 ( = 5 .10 Vr = 5

cm/detik dan

p = L gr/cm' (=10

3

a

vz =

dyne/cm21

7cm/detik

dyne/cm3

)

Tekanan pipa vang menvempit

h+%pVr2 = pr+lzpv22 Pz= Pr+%P(vr'-vzzl pz = 5 .10

a+

% .Lo

' (5'- 9')=

22.10

3

dyne/cm2 (= o,22lt/cm2)

Diameter tekanan pada Pipa vang menvempit A1=

a-D(= 5,054 cm2

A1V1 = A2V2

Az =

=

Arvr/v2 = (5,064 .5)/9

2,8!34

cmz

r,r:r: r ameter pipa kecil (Dz)

n-ut =

5.

4Arlo's -

-Tt

|

)

1,893 cm (=

0,745inc) =Yoin,

Hukum Stokes

Sebuah bola bergerak dalam suatu fluida yang diam, garis-garis arusnya akan membentuk suatu pola simetri sempurna di sekeliling bola. Tekanan di sembarang titik permukaan bola yang menghadap arah aliran datang, tepat sama dengan tekanan terhadap titik pada permukaan bola yang menghadap ke hilir aliran. Maka resultan gaya terhadap bola itu adalah nol. Jika fluida itu mempunyai kekentalan, maka akan ada seretan-seretan gaya akibat kekentalan itu. Gaya kekentalan yang menghambat jalannya bola dikemukakan oleh Sir George Stokes (1845), yang dikenal dengan hukum Stokes. Gaya akibat viskositas itu adalah; F=

6nnrvu

persamaan 24

Bola jatuh ke dalam fluida kental, maka akan tercapai kecepatan dari bola v pada saat tercapai kesetimbangan antara gaya dari kekentalan, plus gaya apung dengan

berat dari bola. Jika berat bola W6 = ! nr3 po E, gaya apung F,p = 1 n' pg dan gaya akibat kekentalan fluida Fu = 6nqrv6. Kecepatan saat itu dari bola vb yaitu;

Fro+F, =W6 nr3prg+6n4rv6 4 =4 nr3puB

v6 =

?'t'

( pu -

pr) persamaan 25

,engetahui viskositas suatu fluida, dapat kita turunkan persamaan untuk itu dengan cara mengukur kecepatan akhir dari bola yang dijatuhkan ke dalam fluida. Kerapatan massa fluida, kerapatan massa dari bola serta radius bola sudah Jika kita ingin

diketahui.


-

1

n

Persamaan untuk viskositas yang diturunkan dari kecepatan akhir bola ialah;

n=

2 g

'2o

( Pu- Pr)

persamaan 25

Contoh 8 Bola terbuat dari logam kuningan berdiameter 1 cm, jatuh ke dalam fluida. Kecepatan dari bola ketika tercapai kesetimbangan vs = 10-1 m/detik, kerapatan massa fluida p1 = L,26 g/cm3 dan kuningsh po = 8,50 g/cm3. Tentukan viskositas dari fluida dan besarnya gaya dari viskositas itu. Solusi

D=Lcm, r=0,5cm p1= L,26 E/cm3 p6 =

8,60 g/cm3

g = 9,8 Vu

m/det2

=

= 10-1 m/detik

9,8.

=

LO2 cm/det2

10 cm/detik

Besar viskositas:

)) n = ;; = n=

(Pu-Pi)

2(0.5 cm)' . 980 cmldet'(8,60 g/cm' 9 . 10 cm/detik

-

I,26 glcm')

39,96 g/cm detik s

= 0,3996 . 10 dyne detik/cm2 = 0,4 N detik/cm2

Mekanikq Fluida

Gaya yang disebabkan viskositas fluida;

F=6nnrvu F=6.

3,L4 .39L62,98. 0,5 . 10 = 36891-52,71,6 dyne = 36,89 N

Cotaton; L Poise = dyne detik/cm2 = dyne/cm detik = 0,00L g/cm detik

g/ cm detik = ld dyne detik/cm2 = 7o-s N detik/cm2

1cP = L0-2 Poise dan microPoise otou 71tP = L0'6 Poise. 1-

6.

Poise. dyne detik/cm2

Bilangan Reynold

Jika fluida mengalir pada pipa melampaui harga kritis tertentu dan tergantung dari sifat fluida serta radius pipa, maka sifat aliran menjadi sangat kompleks. Antara dinding pipa dan fluida terdapat lapisan batas fluida yang sangat tipis, dengan sifat aliran laminer. Kecepatan aliran di dalam lapisan batas pada dinding pipa adalah nol dan bertambah besar secara uniform di dalam lapisan itu.

Sifat lapisan batas sangat penting dalam menentukan tahanan terhadap aliran dalam sirkulasi panas ke dalam atau dari fluida yang sedang bergerak.

Di luar lapisan batas, aliran fluida tidak teratur. Di dalam fluida timbul arus pusaran setempat yang memperbesar tahanan terhadap aliran. Aliran seperti ini disebut aliran turbulen atau bergejolak. Bilangan Reynold merupakan kombinasi dari empat faktor yaitu; kerapatan massa, kecepatan rata-rata atau kecepatan merata yang melalui penampang lintang dan menimbulkan pengosongan yang sama, viskositas, serta diameter pipa, untuk menentukan apakah aliran itu laminer atau turbulen. Definisi bilangan Reynold sbb; Ns =

pvD/q

persamaan 27


-

1

Berdasarkan percobaan, hubungan bilangan Reynold terhadap sifat aliran adalah sbb;

NR< 2000: aliran lominer

: aliran turbulen 2000 < NR < 3000 : aliran tidak stabil, dapat berubah dari lominer NR>

3000

ke bturbulen

juga sebaliknya.

Suatu sistem dikatakan sama secara dinamika jika bilangan Reynoldnya sama untuk kedua sistem itu. Bilangan Reynold sering digunakan dalam pemodelan seperti halnya dipakai dalam aerodinamik, contohnya torowongan angin untuk mengukur gaya yang menerpa pesawat terbang. Diameter dapat berupa sembarang dimensi suatu sistem, atau bisa diartikan rentang sayap pesawat terbang. Tentunya skala pada pemodelan ini akan menjadifaktor pengali dalam hal nyata.

Contoh 9 Air mengalir dalam pipa yang berdiameter 4 inc dengan kecepatan 10-1 m/detik. Dari tabel 3.1, air 40 0C memiliki viskositas sebesar 0,656 cP, serta kerapatan massa air L grf cm3. Cek apakah sifat dari aliran itu. Solusi D

=4 inc =!O,1,6cm dan e=Lgr/cm3 sertav= 10-1m/detik = L0

-3

cm/detik

n = 0,656 cP = 0,656 . 10 = 0,656

-2

P

. 10-2 dyne detik/cm2

= 0,656 . 10-2

(=

0,556 . to'7 N detik/cm2)

(o,oo1) g/cm detik = 6,656.10

5

g/cm detik

Ns = pvD/4

/cm') (10-' 6,656.10" grlcm detik 1526,44 (bersifat laminer)

Mekanika Fluida

C. KAPILARITAS DAN HIDROLIKA TANAH 1.

Kapilaritas

a. Kapilaritas pada Pipa

Naiknya zat cair di dalam pipa terbuka yang penampangnya sangat kecil disebut kapilaritas (kapiler artinya rambut), dengan sudut kurang dari 900 atau lebih dari 900. Hal ini merupakan efek permukaan air sampai mencapai tinggi kesetimbangan h. Jika

pipa beradius

r

dengan keliling pipa/selinder 2nr dan zat cair serta

gasnya

menyinggung pipa, maka zat cair akan membentuk suatu lengkungan permukaan yang disebut meniskus.

Kapilaritas sering kita jumpai pada kehidupan sehari-hari, seperti terhisapnya tinta oleh kertas hisap, bensin naik pada sumbu geretan, minyak tanah naik pada sumbu kompor, dll. Perhatikan gambar lL di bawah ini. Berat ke bawah merupakan berat silinder W yang beratnya sama dengan berat silinder air W = rr'h pg , serta gaya total ke atas F = Znry* cos q,.

r\\*h{+/ /r

'.

hi} l\y'h-'

, l'*llr

1Y$ Gambarl

1a

ffi

I I

1r nr

I I

L, * Gambarll b

Besarnya tinggi kesetimbangan h didefinisikan dengan Persamaan 28. Pada kolom pipa terjadi kesetimbangan gaya, sehingga;

W=F nr'h pg = 2firy* Maka;

, [=

2T"

rpg

persamaan 28

Persamaan ini berloku pulo jiko terjodi penurunon, seperti poda Gombor L1. (b).


-

1

Meniskus merupakan bagian dari permukaan sebuah bola, seperti ditunjukkan gambar L2. Jika radius permukaan R dan r merupakan radius pipa, maka R = r/cos c. Beda tekanan pada permukaan LP = 2 V.e/R dan tekanan di atas permukaan adalah tekanan udara luar p" , maka tekanan p tepat di bawah permukaan yang dapat dirumuskan;

p=pa- +

persamaan2g

,il* Gambar 12

Jika di titik A pada gambar t2 di atas merupakan tekanan atmosfer, maka tekanan di dalam kolom pada ketinggian h;

P=P.-pgh P-P.=pgh dari Persamaan2S,

P-Pa

2

y"n coso.

r

pBh=+ Maka h =

+, pgr

persamaan ini sama dengan persamaan 29.

Persomaan 28 digunakan untuk tinggi oir ketiko naik otau turunnya permukoon zot coir.

b. Kapilaritas pada Tanah Bas merupakan tekanan atmosfir, aliran homogen, dimana semua pembuluh aliran di

dalamnya lurus dan paralel dengan kecepatan di Zona air dalam massa tanah yang mempunyai muka air dapat dibagi menjadi dua, yaitu;

a)

Zona jenuh di bawah muka air

b)

Zona kapiler di atas muka air.

Di zona jenuh, sebagian ruang pori terisi udara, tetapi udara ini

sedikit pengaruhnya terhadap reaksi tanah kepada tegangan-tegangan luar. Sedangkan zona di atas muka air makin besar pengaruhnya karena semakin jauh jarak dari muka air. Zona kapiler dapat dibagi ke dalam tiga bagian zona, namun batas-batasnya tidak terlalu jelas;

7. Zona kapilerjenuh

Zona paling dekat dengan muka air, kandungan air dalam zona

ini mendekati 7OO%. Gaya-gaya yang dikeluarkan terhadap struktur tanah oleh kapilaritas sangat kecil, tanah berperilaku seperti kondisijenuh.

2. Zona kapiler jenuh

sebagian

Zona ini, air dihubungkan melalui pori-pori kecil dan jumlah udara lebih besar di zona ini.

3.

Zona air

kontak

d

air menyelimuti titik-titik kontak antar partikel dan juga menyelimuti partikel-partikel tanah. Akan tetapi tidak saling Zona ini,

berhubungan melalui Pori-Pori. Kenaikan tinggi kapiler dalam tanah mirip kenaikan kapiler dalam tabung gelas. Gaya-gaya yang menahan kolom air di dalam tabung untuk mencapai keadaan seimbang adalah kompleks, tetapi kita dapat menganggap bahwa permukaan air bertindak sebagai membran yang bekerja dalam tarikan menahan berat kolom air.


-

1

Tekanan terdistribusi dalam kolom air mempunyai bentuk diagram segitiga, tekanan di titik A sama dengan Nol dan y*h pada titik B. Kelengkungan bidang permukaan udara-air adalah 1/p. Perbedaan ketinggian tekanan sebesar pp. Seperti ditunjukkan pada gambar 73, di bawah ini;

Gambar l3 t"

Keseimbangan dari kolom air;

Fr=Wcosq

Y*(rr'h1=T,(2xr)cosa Tinggi kenaikan kapiler; 2 T' cos n-

a'

persamaan 3o

Ywr

Selisih tekanan antara udara dan uB

=

4.r

cos

q

air; persamaan

31-

Untuk air dalom tabung gelas bersih, a = 0 don p = r Ts: tegongan torik permukaan bogi oir = 0,0735

N/m

Pada tanah butir halus, zona kapiler mencapai suatu ketinggian yang cukup besar di atas bidang muka air, sedangkan pada pasir kenaikan kapiler dapat diabaikan. Tabel 3, merupakan

tabel tegangan dalam tanah terhadap tinggi kapiler rata-rata.

Tabel 3. Tegangan dalam Tanah Terhadap Tinggi Kapiler Rata-rata

Tegangan Tarik

Tinggi Kenaikan

(kN/m'z)

Kapiler (m)

0,5

0, 05

Lanau

- 10,0 10 - 100

Lempung

> 100

>10

Tanah Pasir

- 1,0 1,00 - 10

Sumber: lWoyon Sengaro, DR, Stobilitas Lereng

2.

Hidrolika Tanah

a. Permeabilitas Kemampuan fluida untuk mengalir melalui media porous merupakan sifat teknis yang disebut daya rembesan (permeabilitas), dimana fluida sebagai air dan media porous merupakan massa tanah. Pada massa tanah alamiah, ruang kosong antar butir (ruang pori) merupakan jalan yang dilalui air berupa rembesan. Semakin kecil ruang pori maka semakin kecil pula rembesan yang terjadi.

Porositas n dan ruang pori e dipergunakan untuk menerangkan ruang kosong dalam massa tanah. Permeabilitas darijenis tanah ditunjukkan pada Tabel 4 di bawah ini; Tabel 4 NilaiTipikal Koefisien Permeabilitas (k) KOEFTSTEN PERMEABTLTTAS (k)

JENIS TANAH

(mm/detik) Lempung

< 10-b

Lanau

10-4-10-6

Pasir

10-10

Kerikil

>10


-

1.

4

Pada saat air bergerak melalui tanah, tinggi tenaga berangsur berkurang secara linier. Koefisien permeabilitas untuk tanah berlapis kondisi aliran vertikal ( k, ) yaitu:

ky

= !'r,-

persamaan 32

te"l

tk"J Dimana;

Hvt : tebal per lapisan tanah

kv:

: koefisien permeabilitas arah vertikal

Sedangkan koefisien permeabilitas untuk tanah berlapis kondisi aliran horizontal ( k* ) yaitu: K,,

k.H)i = r( IHi

Dimana;

persamaan 33

llxt : tebal per Iapisan tanah kxj : koefisien permeabilitas arah horizontal b.

Aliran Air dalam Tanah

Pada zona dibawah muka air, perubahan tekanan dan elevasi adalah penyebab utama

terjadinya aliran serta adanya sifat tanah yang memungkinkan terjadinya permeabilitas. Hukum Darcy tentang kecepatan air dalam kondisi itu yaitu:

v = -k

hL L

persamaan 34

.hL L

v = -ki

persamaan 35

Debit aliran air (q) Q=

vA

persamaan36

Debit aliran air sebenarnya (q,) Qn

=

Vn

An

persamaan 37

Dimana;

Vn=v/n Volumeair(Vl V = vAt

persamaan38

Dimana; hL

tebal lapisan aliran air/hilang tinggi tekanan air

L

panjang lintasan air

i

gradien hidrolik

V

kecepatan aliran

Vn

kecepatan aliran sebenarnYa

n

porositas

A

luas penamPang

An

luas penamPang sebenarnya

q

debit aliran air

Qn

debit aliran air sebenarnYa

V

volume air

t

waktu

v atau q dari Darcy dijadikan Dalam menyelesaikan persoalan aliran air, maka qn; karena harus menghitung luas penampang formula penyelesaian ketimbang vn atau poriAn.


-

"l

c. Bendungan Tanah Bendungan dari tanah idealnya secara keseluruhan terbuat dari lempung atau hanya inti bendung, agar tidak tembus air. Tentu dengan garis freatik atau garis kejenuhan pula, yaitu garis yang mewakili batas aliran bagian atas. Sebuah zona kapiler basah akan terdapat di atas garis freatik ini.

Apabila nilai permeabilitas k,"/kinti > 100, yakni batas aliran dan permukaan freatik diperoleh, maka penurunan energi di dalam sel dapat diabaikan relatif terhadap inti. Contohnya seperti yang ditunjukkan pada gambar 4.

o

GeometriTempat Masuk Garis Freatik Tempat masuk garis freatik yaitu di hulu muka bendungan pada jarak sekitar 0,3 S. Jarak S tergantung kepada kemirlngan dari muka bendungan bagian hulu, karena muka bendungan bagian hulu ini merupakan garis ekipotensial. Garis ekipotensial sebenarnya masuk dan memotong muka bendungan secara tegak lurus dan memotong di elevasi kolom dengan muka bendungan. Hal ini sesuai persamaan Laplace;

k'

dh t' F'4 o a**'a- =

persamaan 39

Analog untuk alirantiga dimensi;

K Ctr ox-

-ut

*,

*k'd4 = e

persamaan 4o

Persamaan 40 akan menghasilkan kurva-kurva yang memotong bidang XY, perhatikan pada gambar 14. Di bawah ini dimana kurva

merupakan interpretasifisis, dua dari sejumlah kurva merupakan jalur aliran dari partikel air A menuju B. Sedangkan kurva lainnya merupakan tinggi tekan h konstan, atau disebut garis ekipotensial.

Mekanika Fluida !

,;i' ,.,.,,.

':

115

Gambar

l4 Perpotongan garis aliran dengan garis ekipotensial

Garis freatik ini kemudian bersambung secara halus dengan bagian utama garis freatik lainnya. t*l lt

..anl

rr.i*,o'*g*r* Hii

L

Felrrutego Hilk EsssL

,f;F{

Gambar 15

Titik F merupakan perpotongan antara air hilir dan muka bendungan bagian hilir, dalam kasus ini air hilir berimpit dengan garis tanah. Permukaan basah (a) bagian hilir untuk P < 3Oo, dimana a dapat dicari dengan persamaan 41;

d d2- -H' ^_ o = -' p cos c--B - sin2 B


persamaan 4L

-

7

Dimana; i = dY

/dx

serta v = ki

Luas pada koordinat (x,y) adalah 4 = y. lebar Sehingga;

Debit q aliran persatuan lebar bendung;

Q=Av=k(dy/dx)v(1) dapat diungkapkan dengan persamaan diferensial sbb;

qdx=kydy

k=k*=k Persamaan diferensial di atas kita integralkan maka akan dihasilkan

,2

qx= ,2 !L

+C

Maka,C= pada

persamaan42

gx y

x=d dan y=

H akan didapatkan

c= Qd-

Y

Sehingga persamaan;

+qdqx=g*c=S zt2 q(x

- d) = \{v'-u'\

kH2

persamaan 43

lni memperlihatkan bahwa persamaan garis freatik (kejenuhan) berupa parabola, sedangkan diskontinuitas pada parabola terjadi pada tempat keluar di hilir yang menghasilkan suatu zona basah a.

o

Sudut Keluar Garis Freatik"a" permukaan Hilir Basah

Itrnrukran l.lflt U;rnh

Gambar 16

sudut keluar garis freatik dapat dibentuk pada titik bendung hilir; Ah = csin Jika

(p-c)

L sepanjang muka

persamaan 44

b=c maka Ah = bsin (F-a)

Ah=dsinF Dari

titik 2 kita dapatkan;

Ah = c sin p/cos o

Akhirnya kita dapatkan, jika o, = 0, artinya sudut freatik = 0, tempat keluar sejajar dan berimpit dengan muka bendungan di bagian hilir pada puncak zona basah "a". sin

(P-a)

=sin P/cos

a

Pengantar Teknik Sipil

persamaan 45

-

1

o

Kuantitas Aliran q di Hilir

(y'-H''t AY- k2 (*-d\

persamaan 46

tan P = dY/dx = i dan

Y = a sin 9;

KarenaQ=vAdanv=ki

Q=ktanE(asinB) Atau ; Q

=

ka sin ptan

p

persamaan 47

Dengany= a sin 9dan x=a cos p, maka panjangzone basah "a " untuk B < 3Oo adalah sama seperti di atas.

a)

Kasusp<30o Garis freatik merupakan parabola, kita dapat pergunakan bentuk

persamaan sederhana yaitu; V=Kx2 Pada xo dan y

Sehingga

-

y6

;

K=yo/xo2

Persamaan 48

X*

Mekanika Fluida

Parabola itu menyinggung muka bendung di bagian hilir pada bagian atas dari bagian basah (titik A) dan berangsur tegak lurus terhadap muka bendungan bagian hulu pada garis air. Hal ini penting karena muka bendungan bagian hulu merupakan garis ekipotensial dan garis freatik yang merupakan garis aliran.

b)

Kasusp>3Oo Untuk memperoleh garis freatik pada kasus P > 3Oo maka dibutuhkan jarak parameter dari parabola p yang di ukur dari fokus F. Dapat ditunjukkan gambar 18 di bawah ini;

*-*&

M

:

titik dimana parabola teoriris menutupi muka bendungan di bagian hilir.

N : titik

dimana garis rembesan aktual menutupi muka

bendungan di bagian hilir. FN : jarak basah "a"

Casagrande (1937) mengemukakan bahwa rasio a/(a+Aa) adalah suatu bilangan sekalar yang ada hubungannya dengan sudut kemiringan p,

dengan notasi (1. Ditunjukkan oleh tabel 5;


-

1

Tabel

5. Hubungan Kemiringan p Terhadap

Rasio panjang daerah Basah Hilir (r

Tentukan jarak% p yang merupakan lokasi dari sebuah titik pada garis freatik. suatu busur dari F menentukan lokasi titik kedua pada parabola sepanjang garis tegak lurus dari F menuju busur. oleh karena titik awal di hulu telah diketahui, hal ini memberikan titik-titik cukup banyak untuk menggambarkan garis freatik yang parabolis ini. Apabila tidak, jarak tegak lurus lainnya dari garis horizontal DJ dapat dihitung dengan menggunakan; ,

yox' H .,f - -,2 _ ,r0

Dan

x2

Persamaan 49

fz

p*d=rdimanar=

H2+d2

Maka; p

=[ H' *

d']''t- o

persamaan 5o

Mekanika Fluida

-

,.03 A.

MINERAL TANAH, SIFAT FISIS, DAN KLASIFIKASI TANAH

MINERAL TANAH

Dari rekayasa geoteknik, makro struktur lebih penting karena dapat mengontrol perilaku rekayasa dari tanah seperti halnya:

L. 2. 3.

Kekuatan geser tanah

Settlement dan displocement Drainase

Mikro struktur merupakan dasar untuk memahami perilaku tanah, geologi, sejarah tegangan, pelapukan batuan baik secara kimiawi maupun fisik. Struktur akhir tanah adalah lingkungan kimiawi pada waktu sedimentasi.

Tanah dengan butir halus sangat terikat karena unsur kimiawinya dengan air, sehingga massa tanah lempung merupakan lapisan yang lemah serta mineral lempung sangat mempengaruhi sifat massa tanah secara keseluruhan.

Mineral-mineral tanah merupakan gumpalan komponen dari beberapa unsur kimia antara lain;

a. Oksigen (O2) b. Air

c.

(HzO)

Kalsium (K)

d. Ferrum

(Fe)

e. Aluminium

(Al) dll.

Analisis mineral tanah diperlukan jika ada tendensi aditif kimia. Reaksi kimia akan mempengaruhi kekuatan serta perilaku butirannya. Disamping dapat diketahui struktur mineral, juga dijumpai ikatan-ikatan mineral antara lain;

a. Silikat

(SiO4)

b. Aluminat (Al (OH)6)

c. Karbonat

1. Mineral

(CaCO:) atau kombinasi mineral tersebut dengan unsur lain.

Lempung

Partikel lempung ber-flokulosi (berkelompok) dalam satu satuan tekstur submikroskopis dan disebut domain (Collins dan MC Gown, L974; Young's dan Sheeran, L973). Domaln-domain berkelompok membentuk cluster, dan cluster berkelompok membentuk ped (butir tanah - dapat dilihat). Mineral lempung berukuran sangat kecil (kurang dari 2 Um) dan merupakan partikel yang aktif secara elektro kimiawi, serta hanya dapat dilihat dengan mikroskop elektron. Mineral lempung menunjukkan karakteristik yang berhubungan dengan air dan plastisitas yang dihasilkannya, namun tidak ditunjukkan oleh material lain walaupun berukuran lebih kecil seperti kuarsa. Setiap deposit lempung sekaligus mengandung mineral lempung dan berbagai partikel dari material-material lainnya yang dapat dianggap pengisi. Secara kimiawi mineral lempung merupakan ikatan hydrous aluminosilicotes (aluminasilika dengan air) ditambah ion metalik. Dari mikroskop elektron diketahui bahwa kristal berupa plates (lempengan) kecil dan diffraksi sinar x, merupakan lembaran kecil terdiri dari banyak lembaran kristal sebagai struktur atom berulang(repeating atomic structurel.


-

1

2. Beberapa Mineral lemPung a. Kaolinite ((OH)a Al4 Si4 O10) b.

Halloysite

((OH)s Al4 Si4 Oro 4HzO)

c. lllite (Al+ (Si6 Al2) Ozo Kz (OH)o) d. Montmorillonite (Al4 (Si8 02) (OH)4 n HzO) e.

Chlorite

f.

Vermecullite

g.

Attapulgite

h.

Allophane

3.

Batas

-

Batas Atterberg

a. Liquid Limit (batas cair) LL Kadar air dinyatakan dengan persen (%) dari tanah yang dibutuhkan untuk menutup goresan dalam uji batas cair yang berjarak 0,5 inci sepanjang dasar sampel tanah, sesudah 25 pukulan (N). Hubungan antara kadar air dengan log N dapat dianggap sebagai garis lurus (flow line), dan kemiringan dari flow line didefinisikan sebagai index aliran (flow indexl. US Waterways Experiment Station, Vicksburg, Mississippi (L949) mengajukan persamaan empiris seperti yang dinyatakan dengan persamaan 1, untuk menentukan batas cair; LL = wru

(N/25)t'"P

Persamaan 1

Dimana;

N :

jumlah pukulan untuk menutup goresan selebar 0,5 inci pada dasar contoh tanah yang diletakan dalam mangkok kuningan dalam uji batas cair.

Mineral Tanah, Sifat Fisis dan Klasifkasi Tanah

wx :

kadar

tan p

dibutuhkan pukulan sebanyak N. O,L2L (tidak semua tanah mempunyai harga tanp

:

air dimana untuk menutup goresan dari contoh tanah -

O,LZLI.

Untuk pengujian di laboratorium secara rutin, persamaan di atas digunakan untuk menentukan harga batas cair bila dilakukan satu pengujian untuk tiap-tiap contoh tanah. Cara ini disebut metode satu titik (one point method), dan persamaan memberikan hasil yang baik apabila jumlah pukulan antara 20 dan 30 pukulan . One Point Method telah masuk dalam ASTM No. D - 423. Harga

-

Harga ( N/25)t""8 ditunjukkan oleh tabel L di bawah ini; Tabel 1 Harga-harga ( N/25)t""8

(US Water ways Experiment Station, Vicksburg, Mississippi,1949) N

( N/25)'""p

N

( N/25)t""p

20

0,973

26

1,005

21

o,979

27

1,009

22

0,995

28

1,o74

23

0,990

29

1,018

24

0,995

30

7,O22

25

1,000

Casagrande (1932) menyimpulkan bahwa tiap pukulan dari uji batas cair sesuai dengan tegangan geser tanah sebesar kira-kira L g/ cmz (0,1 kPa). Oleh karena itu, batas cair dari tanah berbutir halus adalah kadar air dimana tegangan geser tanahnya kira-kira 25 g/cm2 (= 2,5 kPa).

Konsep dan Aplikasi Pengantar Teknik Siprl

-

1

b.

Plostic Limit lBatas Plastis) PL

Batas plastis merupakan batas terendah dari tingkat keplastisan suatu tanah. Didefinisikan sebagai kadar air dan dinyatakan dalam persen, dimana tanah apabila digulung sampai dengan L/8 inci (3,2 mm) menjadi retak-retak. Cara pengujiannya sangat sederhana yaitu dengan menggulung contoh tanah dengan telapak tangan di atas kaca datar.

c.

Plasticity lndex (lndeks Plastisitas) Pl

Plasticity tndex merupakan selisih antara batas cair dengan batas plastis suatu persamaan 2 tanah. ASTM Test Designotion D - 424, dimana; Pl = LL - PL Bagan hubungan batas cair LL, batas plastis PL serta batas susut SL disebut bagan bagan batas-batas Atterberg, seperti ditunjukkan oleh gambar L, di bawah ini;

Padat Cair Batas

Susut

I

semi Padat

Batas

Plastis

Gambar 1 Skema Batas

d.

Shrinkage Limit lBatas Susut)

Plastis

Batas Cair

- batas Atterberg

SL

Tanah menyusut apabila air yang dikandungnya perlahan-lahan hilang dalam tanah dan mencapai tingkat keseimbangan, yaitu kondisi dimana penambahan kehilangan air tidak menyebabkan perubahan volume.

Uji batas susut (ASTM Iest Designation D - 427) dilakukan di laboratorium menggunakan mangkok porselin diameter L,75 inc (44,4 mm'1dan tinggi 0,5 inc (12,7 mm). Bagian dalam dari mangkok dilapisivaselin atau petroleumielly, diisitanah basah sampai penuh, diratakan dengan menggunakan penggaris, lalu berat tanah basah ditentukan dan tanah dalam mangkok tersebut dikeringkan dalam oven. Volume dari contoh tanah yang telah dikeringkan diukur dengan menggunakan air raksa.

Mineral Tanah, Sifat Fisis dan Klasifikasi Tanah

e. lnteraksi Antara Air dan Mineral

Air berfungsi sebagai penentu plastisitas dari lempung dan akan menjadikan massa yang telah mengering pada suatu kadar air awal mempunyai kekuatan yang cukup besar. Apabila air ditambahkan kembali material, maka akan menjadi plastis dengan kekuatan kurang dari kekuatan bongkahan kering. Kekuatan lempung bervariasi dari nilai yang sangat rendah untuk S = l-00% (tingkat jenuh) sampai sangat

tinggi untukS=0.

Air merupakan bahan bipolar yang cenderung membentuk daya positif (+) dan negati (-) pada dua sisi berlawanan dari suatu molekul. Daya (+) pada satu sisi bipolar akan menarik daya negatif (-) dari setiap material yang ada, termasuk partikel lempung dan sisi negatif dari molekul air lainnya.

4. Sifat a.

Sifat Rekayasa Material Lempung

Karakteristik Perubahan Volume

pada umumnya, pengembangan dan penyusutan mineral lempung mengikuti sifat-sifat plastisitasnya. Semakin plastis, maka semakin potensial untuk menyusut dan mengembang.

Bertambahnya kemampuan susut dan mengembang tergantung beberapa faktor lain dari mineral seperti:

1. pengaturan partikel

2. kadar air semula 3. tekanan (confining pressuresl-

b.

Permiabilitas Permiabilitas dipengaruhi oleh;

L. komposisi mineral

2. ukuran partikel


-

1

3. distribusi angka pori

4. karakteristik air pori. Untuk rentang harga normal dari kadar air, batas plastis dan batas cair permiabilitas akan lebih kecil dari 10-10 cm/detik seperti halnya pada mineral smectite. 8 Dan yang paling umum untuk tanah lempung asli berkisar antara 10-6 sampai 10 cm/detik. Dengan melihat mineral lempung yang dominan maka permiabilitas mineral; Montmorillonite < Attapulgite < Kaolinite. c. Kekuatan Geser lsliding strengthl

Kekuatan geser dengan kriteria Mohr - Coulomb, menurut Olson (1974), semakin besar tekanan efektif maka semakin besar kekuatan geser dengan urutan non-Clay, Kaolinite, lllite, Montmorillonite. Perbedaan selubung keruntuhan merupakan faktor dari pabrik, tipe kation yang tertarik, PH dan OCR.

Kekuatan geser lempung merupakan kontribusi dari komponen kohesi yang tergantung pada angka pori (kadar air) dan geser akibat dari tekanan normal efektif (Lermmertman & Osterberg, 1960). Untuk mengevaluasi kedua bagian tersebut perlu pengukuran kekuatan geser dari dua contoh tanah pada angka pori yang sama dengan tegangan effektif yang berbeda dan contoh tanah itu sendiri; satu Normally Consolidated dan yang lainnya Overconsolidated. Parameter kekuatan geser seperti ini disebut parameter "Hoorslev", L937. Kenaikan dari kohesi dan penurunan dari friksi sebanding dengan kenaikan plastisitas dan aktivitas dari lempung. Persamaan 3 merupakan persamaan dari Mohr Coulomb untuk kekuatan geser yang didefinisikan sbb:

r

= c + on tan$ persamaan 3

Dimana:

o : kuat geser

on : tegangan normal efektif

c:

0 : sudut geser

kohesi


Tanah dapat dilalui air lewat ruang pori dan air yang akan berinteraksi dengan kerangka mineral, mengubah besar gaya pada bidang kontak antar partikel. Hal ini berpengaruh pada tekanan dan kekuatan geser tanah.

d.

Kompresibilitas

Kompresibilitas tergantung

dari

kandungan mineral

dan

umumnya

kompresibilitas naik dengan urutan Kaolinite < lllite < Monmorillonite. Harga index kompresi ( Cc ) ditunjukkan oleh tabel Tabel

2 untuk mineraltersebut:

2 lndex Kompresi Mineral

Jenis

Mineral

Lempung

lndex Kompresi

Kaolinite lllite

Montmorillonite

0,19

-

0,28

0,50

-

1,00

L,00

-

2,60

Semakin mampat suatu material, semakin nyata efek dari tipe kation tertarik dan konsentrasi elektrolisanya. Kemampatan juga dipengaruhi oleh:

a. b.

Komposisi tanah Koefisien konsolidasi (Cv).

Harga Cv sebanding dengan permiabilitas dan berbanding terbalik dengan koefisien kemampatan (av). Harga koefisien Cv (Cornell, 1951) ditunjukkan oleh tabel terse but:


-

1

3 untuk

mineral

Tabel

3 lndex

Compresi Mineral Lempung

Jenis Mineral

lndex Compresi

0,06x10-o-o,3x1o-o Kaolinite

cm'/detik lllite

o,3o x !o-4

Montmorillonite

-

2,4 x

!o4

cm2f dt

1.2 x1o-a- 9ox1oa cm'/de

e. Pengaruh Organik Dengan adanya pengaruh organik pada tanah, secara umum menyebabkan:

a) b) c) d) e)

Plastisitas tinggi

Penyusutan tinggi

Kompresibilitastinggi Permiabilitasrendah Kekuatan geser rendah

lkatan kimia mineral organik antara lain:

-

Karbohidrat Protein Lemak (/of), resin &woxes

Hldrokarbon Karbon.


Keberadaan pengaruh organik sangat komplek ditinjau dari segi kimiawi dan fisik, umumnya bervariasi dengan umur dan asal (Scmidt, 1965). Ukuran fisik material organik lebih kecil dari0,L gm.

Partikel organik tertarik sangat kuat pada permukaan mineral, akibat tertariknya organik tersebut mengakibatkan sifat-sifat mineral dan organiknya sendiri berubah, serta ikatan antar partikel dan terselubungnya partikel-partikel dalam jumlah besar.

f.

Pengaruh Shrinkoge dan Swelling

Shrinkage dan swelling lebih ditentukan oleh tipe dan jumlah tanah lempung, disamping factor-faktor lain seperti perubahan tegangan yang lebih ditentukan perubahan lingkungan. Hubungan swelling dengan plostic index (pl): s = 2,1-6 x Lo

3

(pll',oo

persamaan 4

Hubungan swelling dengan shrinkage index (Sl): S=

41,13 x 1o

-

6

(Sl)',u'

persamaan 5

Dimana; Sl (shrinkage index) = w1 - ws

g. Pengaruh PH PH berpengaruh pada interpartikel repulsion (tolak menolak antar partikel), dan merupakan faktor kontrol terbentuknya pabrik sedimen dari suspension, pengaruh ini sangat penting pada kaolinite tetapi kurang penting pada illite dan tidak sama sekali pada montmorillonite. PH

juga berpengaruh pada keberadaan sisi positif pada pH rendah.


-

1

B.

SIFAT FISIS TANAH

Apabila air dikumpulkan, butir-butir mengendap rapat tanpa ada sekecilpun ruang kosong yang tersisa. Hal ini merupakan upaya ilmuwan untuk menerangkan hubungan massa-volume, meskipun kenyataannya tanah secara alamiah tidak seperti itu. Dalam hal initerdapat hubungan massa dengan volume. Dari beberapa hubungan massa-volume, yaitu tentang: L. Angka pori (void rotiol, e

2. Porositas (porosity\,

n

3. Kadar Air (water contentl,w 4. Derajat kejenuhan (degree of saturationl,S 5. Berat Jenis (specific gravity\,

5. Kerapatan 7.

G,

Massa (density), p

Kadar udara, A,

8. Berat Satuan Volume/isi (unit weightl,y

1.

Angka Pori lvoid ratiol, e Angka pori dinyatakan dalam desimal, Rentang nilai e

:

0<e<

"o dan nilai

- pasir alam e berkisar - tanah kohesif e berkisar

2.

khas dari e;

: :

0,5

- 0,8

0,7

-

L,L

Porositas lporosityl, n

Porositas

(n) sering digunakan oleh dunia pertanian, dinyatakan

persentase, dan pemakaiannya dalam bentuk desimal.

Rentangnilai

n: 0(ns1

Minersl Tanah, Sifat Fisis dan Klasifikasi Tanah

dalam

3.

Kadar Air (woter contentl,w

Kadar air merupakan variabel bebas, oleh karena w konstan untuk kondisi tanah dalam keadaan tetap (steody state).

Rentangnilai dibawah 60%.

4.

w: 0S w (%)

n-Kadarairalami untuksebagianbesartanah

Derajat Kejenuhan ldegree of soturationl,

S

Derajat kejenuhan merupakan rasio antara volume air yang berada dalam pori terhadap volume void; Tanah dalam kondisijenuh S = l-00% Tanah Dalam keadaan kering S = 0

MakabatasnilaiSyaitu;

5.

0s

S

(%) < 700%

Berat Jenis (specific grovityl, G,

Salah satu fundamental dari sifat fisis tanah yaitu berat jenis (specific grovity) G,, dan nilai khas dari berat jenis antara lain;

tanah Air raksa

'.2,65

Emas

:

Butir

-

2,72

:13,6 \9,3

Definisi untuk menyatakan berat jenis antara lain Ir

berat volume satuan suatu material =

berat volume satuan suatu air pada 40

-


-

7

:

Nilai khas berat jenis G, partikel tanah ditunjukan oleh tabel

(a) dan a (b);

Tabel 4 (a) Nilai Khas G, Partikel Tanah

Jenis Tanah

G,

Kerikil, pasir dan lanau

2,65

Lempung non-organik

2,70

Lempung organik

2,60

Gambut

L,50

-

2,00

Sumber; Peter L Berry and David Reid ot An lntroduction to Soil Mechanics page 16

Tabel 4 (b) Rentang Nilai G, Partikel Tanah Jenis Tanah

G,

Kerikil

2,65

-2,68

Pasir

2,65

-2,68

Lanau, anorganik

2,62

-

2,68

Lempung, organik

L,58

-

2,65

Lempung, anorganik

2,68-2,75

Sumber; Joseph E. Bowles, Anolisis Don Desoin Pondosi

lilid

6.

t

hal 28

Kerapatan Massa ldensityl, p Kerapatan butir, p, dari tanah didapatkan berdasarkan massa per unit volume,

atau;

^_m .V

persamaan 6

Mineral Tanah, Sifat Eisis dan Klasifikasi Tanah

Dalam bentuk Persamaan lain;

P

= GrQlfD* (t+e)

persamaan 7

Jika tanah dalam kondisi jenuh air, maka S kondisijenuh Yaitu;

IG. + e-)

o,=

l-,*"-]

o*

=

L, dan keraPatan massa dalam

persamaan 8

kering p6, dimana s = 0' maka sedangkan kerapatan massa tanah dalam kondisi p6 yaitu;

po=

IG.] [l+erp*

persamaan 9

kerapatan massa tanah KeraPatan massa tanah efektif juga dapat dinyatakan basah lsubmorged\.

Atau daPat dinYatakan;

Pr'=P-P*

persamaan 10

Atau daPat dinYatakan;

. rG.-1-'r pr'=r l'*.=;P*

persamaan

1-L

kerapatan massa tanah KeraPatan massa tanah efektif juga dapat dinyatakan basah (submorged\


'1

Kita dapat menghubungkan antara kerapatan massa tanah kering (pu) dengan kerapatan tanah alamiah (p), yaitu;

p=pa(1+w)

persamaan 12

Serta kerapatan massa tanah kering (pa) dapat dinyatakan; oo

= su(1.4Ju *6*; P*

persamaan 13

Terzaghi dan Peck pada tahun 1967 mengungkapkan hasil penelitian untuk sifat fisis beberapa jenis tanah yang ditunjukkan oleh tabel 5; Tabel

5

Beberapa Sifat Fisis Khas Tanah (Terzaghi and Peck, 1967)

Void

Woter

Density

Rotio

Content w

(tvtg/m')

e

(%)

Pa

Pt

Porosity Description n (%) Loose uniform sond

46

0,85

32

't,44

7,89

Dense uniform sond

34

0,51

t9

1,75

2,08

Loose

well- groded sand

40

o,67

25

1,59

1,98

Dense

well- groded sond

30

0,43

1.6

1,86

2,16

till

20

o,25

9

2,L7

2,32

Soft glociol cloy

55

1,,20

45

1,21,

1,,76

Stiff glociol cloy

37

0,60

22

L,69

2,06

Soft slightly organic cloy

66

1,90

70

0,92

1,57

Soft very orgonic cloy

75

3,00

110

0,68

1,,43

Soft montmorillonite cloy

84

5,20

194

0,44

7,28

Pen peat

91

10

500

0,18

t,o9

Bog peat

94

15

1000

0,09

1,03

Well

-

groded glaciol

Note; N = kg xm/sz =

kg

n/s'dan

kN=M


7.

Kadar Udara, A.

Kadar udara A, merupakan persentase udara pada ruang pori tanah terhadap volume tanah V. Kadar udara, derajat kejenuhan serta kadar air merupakan parameter tanpa satuan. Tetapi umumnya dinyatakan dengan persen (%1, yang mana rentang nilainya; 0 S S. < 100 % dan0 ( A, ( n. Hubungan Sr, A, dan n; A. =

8.

n(l-

persamaan L4

S,.)

Berat Satuan Volume (unit weightl, y

Sebagai alternatif untuk kerapatan massa yang dinyatakan dalam bentuk berat satuan isi (unit weight), hal itu didapatkan berdasarkan berat per volume ;

Y=Y

persamaan 15

Atau didapatkan dari kerapatan massa kali percepatan gravitasi;

Y =pg

persamaan L6

Permasalahan lain terjadi ketika semua ruang pori terisi air, maka berat satuan isi yang didapatkannya yaitu berat satuan isi jenuh air y,r; dan ketika ruang pori dalam kondisi kering maka berat satuan isi yang didapatkannya yaitu berat satuan isi kering Ya.v.


-

1

C. KLASIFIKASI TANAH Perlu diketahui, bahwa tanah diklasifikasikan atas beberapa jenis.

Sistem klasifikasi yang digunakan antara lain klasifikasi tanah unified.

; sistem klasifikasi AASHTO dan sistem

Metoda percobaan tanah untuk klasifikasi dalam perspektif yang wajar antara lain;

-

Batas Atterberg

- Analisis Saringan

-

Analisis Hidrometer. Sistem klasifikasi tanah unified mendefinisikan tanah sebagai:

a) Tanah berbutir kasar apabila lebih dari 5O% tertahan pada saringan nomor 200 atau berukuran 0.074 mm.

b)

1.

Tanah berbutir halus apabila lebih dari 50% dapat lolos saringan nomor 200.

Identifikasi Berdasarkan Butiran

Tanah diklasifikasikan berdasarkan kondisi butiran yang dapat dibedakan sifat fisiknya, antara lain:

a. Lempung (cloyl b.

Lanau (silt)

c. Pasir {sondl

d. Kerikil (grovell. Lempung merupakan butiran halus berbentuk lempengan dalam kondisitersusun (dispersifl dan acak (flokulosi), kondisi dispersif lebih kokoh terhadap beban ketimbang pada kondisi flokulasi. Ukuran diameter butiran dari tanah menentukan sifat dan perilaku tanah.


Ukuran butir tanah menurut ASTM, ditunjukkan oleh tabel 6; Tabel 5 Butir Tanah Menurut ASTM

Butir

Diameter Butir (mm) < 0,0006

Koloidal

1)

Lempung

0,0006

-

0,0020

Lanau Halus

0,0020

-

0,0060

Lanau Sedang

0,0060

-

0,0200

Lanau Kasar

0,0200

-

0,0600

Pasir Halus

0,0600

-

0,2000

Pasir Sedang

0,2000

-

0,6000

Pasir Kasar

0,6000

-

2,0000

Tanah Tidak Kohesif (gronular soils) atau Tanah Berbutir Kasar

llmu pengetahuan tentang tanah merupakan bagian dari ilmu mekanika tanah, tetapi perlu diketahui berdasarkan jumlah persentase dari ukuran butir tanah terkait dengan permeabilitas tanah. Hal ini antara lain; Lempung (cloy),lanau (si/t), pasir (sond)dan krikil (gravell. Tanah berbutir kasar dimana tanah ini tidak kohesif antara lain;

1.

Kerikil, apabila dari setengah fraksi tanah tertahan pada saringan nomor 4 atau berukuran 101,6 mm.

2.

Pasir, apabila lebih dari setengah fraksi kasar berada antara saringan nomor 4 dan nomor 200.


-

1

2l Tanah Kohesif Tanah kohesif merupakan kumpulan dari partikel-partikel mineral yang mempunyai indeks plastisitas sesuai dengan batas Atterbeg. Mineral tanah kohesif atau lempung merupakan bahan campuran yang diperlukan untuk membuat deposit tanah menjadi bersifat kohesif. Kohesi dari tanah tergantung pada ukuran relatif serta jumlah berbagai butir tanah dan bahan orgillaceous yang ada. Apabila lebih dari 50% dari deposit mengandung partikel-partikel sebesar 0,002 mm atau lebih kecil, maka deposit tadi dapat disebut lempung.

2.

Batas Atterberg

Batas Atterberg (Atterberg limit) yailu ukuran untuk menentukan batas cair yang dimodifikasi Casagrande (1925). Hal ini menjadi metode untuk meningkatkan hasil percobaan yang dapat diulang kembali. Batas cair w1 dan batas plastis P1 biasanya dilakukan pada tanah kohesif yang kering udara. Tanah dikeringkan secara alamiah kemudian disaring, pengeringan ini tidak terlalu berpengaruh terhadap batas plastis. Kemudian tanah dihancurkan dan disaring melalui saringan nomor 40 (O,422 mm). Percobaan batas cair wL dan batas plastis P1 dapat diulang untuk contoh yang sama, percobaan dengan kerucut jatuh ffall cone test) sering dilakukan di Eropa.

Percobaan

ini untuk menambah daya ulang percobaan

batas cair, serta untuk

mengurangi beberapa kekurangan pada tes sebelumnya. Percobaan dengan kerucut jatuh (fall cone test) ditunjukkan oleh gambar 2 di bawah ini; Fl

n, =

s,,u',,

II

il

rvr I r'ufi

r

Jl

fI

l-

:o**

\uiloruilnbru(ilr,m1,, j,,.

t

II H-lhnULt -, .

.

Gambar 2Percobaan dengan kerucut jatuh


Tanah yang lolos saringan nomor 40 disimpan sedemikian rupa pada mangkok sehingga menyinggung ujung mangkok.

jatuh bebas terhadap tanah dan dibiarkan penetrasi pada tanah selama 5 detik, sehingga penetrasi bisa sedalam 20 mm. Kadar Pada waktu 0 detik, kerucut dilepas

air dari penetrasi sedalam 20 mm didefinisikan sebagai batas cair w1.

Mangkok dibersihkan, kemudian tes ini diulang beberapa kali untuk mendapatkan grafik hubungan semilog antara kadar air dengan penetrasi 20 mm. Hal ini sama seperti kita melakukan tes kadar air untuk mendapatksr w1 dari 25 kali ketukan.

3.

Analisis Saringan

Percobaan ini berlandaskan ASTM D422, AASHTO T88, yang pada dasarnya analisis ukuran butir ini terdiri dari;

1.

Mendapatkan contoh tanah yang representatif dan mengurangi menjadi partikel-partikel elemen, diaduk menjadi mortelserta dicuci pada saringan nomor 200.

2.

Contoh disaring melalui susunan saringan empat sampai enam buah saringan, kemudian butiran yang tertahan pada setiap saringan ditimbang.

3.

Hitung persentase tanah yang tertahan oleh masing-masing saringan berdasarkan berat kumulatif serta berat total contoh.

4.

Gambarkan persentase tanah yang lolos saringan pada kertas semilog. Gambaran semilog ini digunakan untuk memberikan keterangan dari ukuran butir tanah.

Perlu kita ketahui ukuran serta nomor saringan yang digunakan untuk percobaan, antara lain saringan standar A.S., lnggris dan Perancis yang ditunjukkan oleh tabel 7 (a) dan tabel 7 (b);


-

1

Tabel 7 (a) Standar Saringan A.S., lnggris, Perancis untuk Tanah Berbutir Halus

Standar saringan

Standar saringan

Standar saringan

A.S

lnggris

Perancis

*4

4,76

*39

5,000

5

4,00

37

4,000

6

3,36

+5

3,353

7

2,83

6

2,812

36

3,150

8

2,38

7

2,47!

35

2,500

10

2,00

8

2,057

34

2,000

L2

1,68

10

1-,676

33

1,600

t4

1,4!

t2

1,,405

32

1,250

16

t,t9

t4

1,2o4

18

1,00

16

1,003

31

1,000

20

0,841

L8

0,853

25

0,707

22

0,699

30

0,800

30

0,595

25

0,599

29

0,630

35

0,500

30

0,500

28

0,500

+40

0,420

+36

o,422

+27

0,400

45

0,354

44

0,353

26

0,315

50

0,297

52

0,295

60

0,250

60

0,251

25

0,250

70

0,210

72

0,211

24

0,200

80

0,177

85

0,78

23

0,160

Mineral Tanah, Sifat Fisis dan Klasifkasi Tanah

100

0,L49

100

o,152

1,20

0,125

120

0,1,24

22

0,125

1-40

0,105

150

o,Lo4

21

0,100

770

0,098

170

0,089 0,080

200

0,074

200

0,076

230

0,063

240

0,066

19

270

0,053

300

0,053

18

323

0,044

400

0,037

* : Untuk

L7

percobaan pemadatan standar dan f : Untuk batas-batas Atterberg

Tabel 7 (b) Standar Saringan A.S. untukTanah Berbutir Kasar

Standard saringan A.S Ukuran lubang Ukuran

Ukuran lubang Ukuran

(mm)

3" 2Y." 13/o

"

(mm)

101,6

1'

25,4

76,7

'/o'

1910

64,0

50,8

2" 1/2"

38,1

lYo"

32,0

45,3

5/9" Yr' 3/9" 5f 1,6"

16,0 L2,7

9,51 9,00

Yo"

6,35

(No.3)


-

1

Gradasi dapat dihitung secara numerik dari kurva ukuran butir untuk ukuran saringan # (+) nomor 200 dengan menggunakan koefisien keseragaman (coefficient uniformity) Cu !ang didefinisikan sebagai:

^ Deo Lu= D*

persamaan 17

Bentuk kurva dengan ukuran butir Doo dan Dro didefinisikan sebagai koefisien kecekungan (coefficient of concafity) C6, !ang didefinisikan sebagai: 2

Cc=

Dso

Dao. Dio

persamaan L8

Sebagai contoh, yang dimaksud seandainya lebih kecil dari 2 mm.

D56

= 2, artinya 60% dari butir tanah

Nilai Cc dan Cu hanya digunakan dalam sistem klasifikasi unified (USC). Cc dan Cu tidak mempunyai arti apapun jika lebih dari tO% butiran tanah itu dapat lolos saringan nomor 200.

Nilai Cc cenderung untuk memperlihatkan bentuk kurva antara butir Dro dengan D6e, sehingga tanah tadi memilikigradasiyang kurang baik. Jika Cc besar maka terdapat perbedaan yang besar antara ukuran D1s dengan

D66,

hal ini terjadi karena distribusi di antara dua ukuran persen ini.

4.

Analisis Hidrometer

Analisis ini diperlukan untuk memperpanjang kurva distribusi ukuran butir serta menentukan ukuran butir yang lolos saringan nomor 200 atau ukuran butir yang lebih kecil dari O,OO2 mm, sebagai contoh fraksi dari tanah lempung. Analisis hidrometer ini tidak dilakukan secara langsung pada sistem klasifikasi.

Minersl Tanqh, Sfot Fisis dan Klasifikasi Tonoh

5. Sistem

Klasifikasi Unified

ini telah digunakan di Amerika sejak tahun 1942 yang pada

awalnya dikembangkan untuk pembangunan lapangan terbang. Pada tahun 1948 Casagrande menguraikan sistem ini kemudian dimodifikasi pada tahun L952 agar dapat dipakai pada bendungan dan konstruksi lainnya.

Kelompok-kelompok tanah dengan prefik menunjukkan jenis tanah, sedangkan sufiks merupakan sub-kelompok. Ditunjukkan oleh tabel 8; Tabel 8 Jenis dan Kelompok-kelompok Tanah (Casagrande, L952)

Jenis Tanah

Prefiks

Sub-Kelompok

Sufiks

W

Gradasi baik

Kerikil

G

P

Gradasi buruk

Pasir

S

M

Berlanau

C

Berlempung

Lanau

M

Lempung

c

wL < 50%

Organis

o

w1 > 50%

Gambut

Pt

Tabel 8 menggambarkan bahwa analisis saringan dan batas Atterberg diperlukan. Sedangkan analisa saringan dilakukan serta penggambaran kurva distribusi ukuran butir dapat dibuat. Apabila butiran tanah yang kurang dari 12% lolos saringan # 2OO, situasi diperlukan untuk mendapatkan koefisien kecekungan C6 serta koefisien keseragaman Cu. Hal ini untuk menentukan bergradasi baik atau buruk.

Jika butiran tanah lebih dari L2% lolos saringan # 2OO, maka koefisien kecekungan C6 dan koefisien keseragaman Cu tidak mempunyai orti, hanya batas Atterberg yang diperlukan untuk menentukan klasifikasi tanah.


-

1

Kalsifikasi unified mendefinisikan tanah sebagai;

a) b)

Tanah berbutir halus apabila lolos saringan # 2OO > 50% Tanah berbutir kasar apabila tertahan saringan #

2OO >

50%

Tanah berbuti kasar adalah;

a)

Pasir, yaitu apabila fraksi kasar > 50% berada antara ukuran saringan

nomor 4 dan nomor 200.

b)

Kerikil, yaitu apabila fraksi kasar > 50% tertahan pada saringan nomor 4.

lngot; Soringon

No. 4 ukuron lubang 4,76 mm

Soringan No. 40 ukuron lubong 0,42 mm Soringan No. 200 ukuran lubong 0,074 mm Sebagai contoh; CH

Lempung dengan batas cair > 50%

CL

Lempung dengan batas cair < 5O%o

MH

Lanau dengan batas cair >

SM

Pasir berlanau

SW

Pasir bergradasi baik

SC

Pasir berlempung

5O%o

Tanah bergradasi buruk yaitu butirannya seragam, hal ini tergantung dari distribusi dari ukuran butir. Tanah seperti ini dapat kita peroleh dengan cara menggambarkan kurva ukuran butir. Salah satu contoh tanah bergradasi buruk yaitu pasir pantai.


1.

Prosedur tdentifikasi Lapangan dan Laboratorium

ldentifikasi lapangan tidak termasuk partikel-partikel yang lebih besar dari 75 mm, dimana mendasarkan fraksi-fraksi atas perkiraan berat. Tanah berbutir kasar yaitu tanah yang lebih dari setengah bahan fraksi lebih besar dari saringan # 200. Tanah berbutir kasar diklasifikasikan sebagai berikut; : GW, GP, SW dan

SP

Butiran halus lebih dari L2% : GM, GC, SM dan

SC

Butiran halus kurang dari

1)

5%o

Tanah Berbutir Kasar

1.

Kerikil

Kerikil memiliki lebih dari setengah fraksi kasar lebih besar dari saringan nomor 4. Klasifikasi visual, butiran ukuran 6 mm dapat digunakan sebagai ekuivalen dari ukuran saringan nomor 4.

a.

Kerikil bersih yaitu tidak ada atau sedikit butiran halus;

1)

Kisaran yang luas, dalam ukuran butir dan jumlah yang cukup

berarti dari semua partikel ukuran antara.

2) Satu ukuran saja yang banyak terdapat

atau suatu kisaran ukuran, dimana beberapa ukuran antara tidak terdapat.

b.

Kerikil berbutir halus yaitu adanya butir halus yang cukup banyak;

1) Butir halus tidak plastis (sebagai contoh ML) 2) Butir halus plastis (sebagai contoh CL)


-

1

2.

Pasir

Pasir lebih dari setengah fraksi kasar lebih kecil dari ukuran saringan nomor 4.

a.

Pasir bersih yaitu tidak ada atau sedikit butir halus;

1)

Kisaran yang luas, dalam ukuran butir dan jumlah yang cukup

berarti dari semua ukuran partikel antara.

2) Satu ukuran saja yang banyak terdapat atau suatu

kisaran

ukuran-ukuran, dimana beberapa ukuran antara tidak terdapat.

b.

2)

Pasir berbutir halus yaitu adanya butir halus yang cukup banyak.

1)

Butir halus tidak plastis (sebagai contoh ML)

2)

Butir halus plastis (sebagaicontoh

CL)

Tanah berbutir halus Tanah berbutir halus yaitu tanah yang lebih dari setengah bahan fraksi lebih kecil dari saringan # 200. Prosedur untuk identifikasi yaitu dari fraksi yang lebih kecil dari ukuran saringan nomor 40.

1.

Lanau dan lempung dengan batas cair wL <50%

a.

Kekuatan kering (karakteristik hancur);

1) 2) 3)

Tidak ada sampai sedikit. Sedang sampai tinggi.

Sedikit sampai medium.

Mineral Tanah, Sifat Fisis dan Klasifikasi Tansh

b.

Pemuaian (reaksi terhadap goncangan);

1) Cepat sampai lambat. 2) Tidak ada sampai sangat lambat. 3) Lambat.

c.

Ketahanan (konsistensi dekat batas plastis);

1)

Tidak ada.

2) Sedang. 3) Sedikit. 2.

Lanau dan lempung dengan batas cair wL > 5O%;

a.

Kekuatan kering (karakteristik hancur);

1) Sedikit sampai sedang. 2) Tinggi sampai sangat tinggi.

3)

b.

Mediumsampaitinggi.

Pemuaian (reaksi terhadap goncangan);

1) Lambat sampai tidak ada. 2) Tidak ada. 3) Tidak ada sampaisangat lambat. c. Ketahanan (konsistensi dekat batas plastis);

1)

Sedikit sampai sedang.

2l

Tinggi.

3)

Sedikit.


-

1

3)

Tanah organik

Tanah sangat organik langsung dapat diidentifikasi lewat warna, bau, lembut seperti busa dan tekstur serabut.

2.

Bagan Plastisitas

Penggunaan kurva ukuran butir berguna dalam mengidentifikasi fraksifraksiyang diberikan pada identifikasi lapangan dan laboratorium. Penentuan persentase kerikil dan pasir dari kurva ukuran butir, tergantung pada persentase butiran halus atau fraksi yang lebih kecil dari saringan # 200. Bagan plastisitas atau bagan A digunakan dalam klasifikasi tanah unified, seperti ditunjukkan pada gambar 3;

t$ :,r ]s 4ff B*te=

:8

sir n

5i

l{

8n

9{' l*c Note; Perpanjang garis A dan U (upper) untuk wL > l0

Gambar 3. Bagan plastisitas atau bagan A


o

o

Butiran halus 5% sampai L2%: di batas yang memerlukan simbolganda.

1. Cu > 4 dan C6 antara L dan 3. 2. Tidak memenuhigradasi untuk GW a. lP antara 4 dan 7 atau di atas garis "A" merupakan

kasus batas

antara yang membutuhkan simbol ganda.

b. c.

lP < 4 atau lP > 7

di bawah garis "A".

atau di atas garis "A"

3. Cu > 6 dan Cc antara 1 dan 3. 4. Tidak memenuhi gradasi untuk SW. a. lP antara 4 dan 7 atau di atas garis "A"

merupakan kasus batas

antara yang membutuhkan simbol ganda.

b. c. 3.

lP < 4 atau lP > 7

di bawah garis "A".

atau di atas garis "A".

Deskripsi dari KlasifikasiTanah Unified

Perlu untuk diketahui identifikasi dan deskripsi dari klasifikasi tanah unified, hal ini ditunjukkan oleh tabel 9; Tabel 9 ldentifikasi dan Deskripsi dari Klasifikasi Tanah Unified

Simbol

(elompok

GW

GP

(eterangan yang Diperlukan

Nama

rntuk Menerangkan Tanah

Kerikil bergradasi baik,

Berikan nama, tentukan persentase pasir kerikil, ukuran maksimum, bersudut atau bundar, kondisi permukaan, kekerasan butir, nama lokal atau geologi, keterangan penting lain dan simbol dalam kurung.

campuran kerikil pasir, tidak ada atau sedikit butir halus Kerikil bergradasi buruk, campuran kerikil pasir, tidak ada atau sedikit butir halus


-

1

Kerikil berlanau, GM

GC

SW

SP

campuran kerikil pasir lanau, bergradasi buruk

Kerikil berlempung, campuran kerikil pasir lempung, bergradasi buruk

Untuk tanah tidak terganggu tambahkan keterangan mengenai stratifikasi, derajat kekompaka n, segmentasi, kondisi kelembapan, dan karakter drainase. Pasir berlanau;

Pasir bergradasi baik, berkerikil sedikit atau tanpa butir halus

Mengandung kerikil sekitar 20% keras, partikel kerikil bersudut dengan ukuran maks. 12 mm, pasir bundar dan agak bersudut dari kasar sampai halus, sekitar 15% butir halus

Pasir bergradien buruk, berkerikil sedikit atau tanpa butir halus

nonplastis dengan kekuatan kering yang rendah, cukup padat dan lembap di tempat; pasir alluvial.

Pasir berlanau, campuran paslr SM

lanau, bergradasi buruk

Pasir berlempung, campuran SC

ML

pasir lempung, bergradasi buruk.

Campuran lanau inorganik dan pasir sangat halus, tepung batuan, pasir halus berlanau atau berlempung dengan sedikit plastisitas.

Berikan nama, tentukan derajat dan karakter plastisitas, jumlah dan maks. Butir-butir kasar; Warna, dalam kondisi basah, bau apabila ada, nama lokal atau

geologi, keterangan penting lain dan simbol dalam kurung.

Minersl Tanah, Sifat Fisis dan Klasifikasi Tanah

Lempung inorganik dengan CL

OL

plastisitas rendah sampai sedang, lempung berkerikil,

lempung berpasir, lempung berlanau, lempung kurus.

Untuk tanah tidak terganggu tambahkan keterangan mengenai stratifikasi, konsistensi dan sudah dibentuk, kondisi kelembapan

Lanau inorganik dan lanau

dan drainase.

lempung organik dengan plastisitas rendah.

MH

CH

OH

Pt

Lanau inorganik, tanah berpasir, atau berlanau halus,

mengandung mika atau diatoma,

Contoh

lanau elastik.

Lanau berlempung;

Coklat agak plastis, persentase kecil dari pasir, banyak lubanglubang akar yang vertikal, teguh dan kering ditempat, halus (ML),

Lempung inorganik dengan plastisitas tinggi, lempung gemuk.

Lempung organik dengan plastisitas sedang sampai tinggi.

Gambut (peatl, rawang (muckl, gambut rawa (peot bog) dsb.


-

1

TEGANGAN VERTIKAL REGANGAN

-"r6 A.

- LATERAL DAN

TEGANGAN

Perubahan bentuk atau volume suatu benda akibat gaya luar yang bekerja ditentukan oleh gaya antar molekulnya, tetapi teori molekuler saat ini belum cukup untuk dapat menjawab semua permasalahan fisika. Dalam permasalahan ini, teori molekuler kita kesampingkan dan kita tinjau besaran langsung yang dapat diukur.

Perhatikan gambar 1, dimana sebuah batang yang tegang akibat gaya tarik atau gaya tekan. Jadi tegangan merupakan besaran akibat gaya yang bekerja per satuan luas penampang, dan gaya yang bekerja dapat berupa gaya tegak lurus atau miring terhadap bidang; baik itu bidang rata atau miring.

(b)

(a)

Gambar lGaya yang bekerja dapat berupa gaya vertikal, horizontal serta miring. Gaya yang bekerja miring terhadap bidang dapat diurai ke dalam komponen gaya vertikal dan

horizontal. Tegangan di bidang miring berupa tegangan normal serta tegangan tangensiol. Tegangan dapat kita ungkapkan dengan persamaan berikut; P = Fl

A

Persamaan 1

Tentunya diperlukan pengetahuan untuk dapat menguraikan gaya ke dalam komponen gaya vertikal dan horizontal.

1.

Tegangan Vertikal pada Tanah

Suatu massa tanah jenuh air terdiri dari dua fase, yaitu soil skeleton dan pori di antara partikel tanah yang jenuh air. Tekanan kontak terjadi antar butir yang mengimbangi beban vertikal. Tekanan inilah yang membentuk suatu tahanan geser F1 terhadap gera ka n-gera ka n pa rti kel seperti tergu li ng, tergelinci r da n sebaga inya.

Dalam kondisi tanah jenuh air dan muka air telah stabil, semua ruang kosong yang saling berhubungan akan terisi air dan tegangan dari air di dalam yoid disebut sebagai tekanan air pori. Maka, gaya tekan P1 akan ditahan oleh kombinasi dari tekanan air pori dan tegangan efektif (o'). Persamaan tegangan efektif sebagai berikut:

o'= ot-u

Persamaan2

Tahanan geser tanah akan ditentukan oleh besarnya tegangan efektif di dalam tanah. Tegangan efektif tidak dapat ditentukan secara langsung, tetapi harus diketahui

tegangan total dan tekanan air pori. Kriteria untuk stabilitas lereng yaitu kriteria keruntuhan Mohr Coulomb. Perhatikan gambar 2 dibawah ini;

Gambar 2 Skema Statika Fluida

Konsep dnn Aplikasi Pengantar Teknik Stpil

-

1

Dengan menaikkan muka air sebesar Ah, maka akan menghasilkan tekanan pori baru ui sebesar: Ui

= hV*+AhV*

Ui

= U*Au

Persamaan 3

Apabila tahanan geser;

T=

UO'

r- uIot-(u+Au)]

Persamaan 4 Persamaan 5

Setiap kombinasi ot dan perubahan tekanan pori (Au) akan mengurangi tekanan efektif (o') sampai mendekati nol.

o'-

h (Vr"t- Y*)

o'-

hy'

Persamaan 6

Hal ini memperlihatkan berat satuan efektif dikali tinggi akan menghasilkan tegangan efektif.

Contoh 1 Pada sebidang lahan akan ada pekerjaan timbunan, tinggi timbunan 6 m menggunakan

tanah dengan berat satuan isi y = 77 kN/m3. Tebal lapisan tanah paling atas 5 m dengan berat satuan isi y, =77,5 kN/m3, kemudian muka airtanah ada di kedalaman 5 m dari permukaan tanah. Tanah di bawah muka air yrrl = l-9 kN/m3. Hitung tegangan total dan efektif di kedalaman 12 m sebelum dan sesudah adanya timbunan, seperti pada gambar di bawah ini;

,r4

.s.m

7m

Tegangan V ertikal-Lateral dan Regangan

Solusi

a)

Tegangan tanah sebelum adanya timbunan;

Tegangan Total (or)

or =5.Ys

+7.Vsat

= 5(17,5) + 7(19) = 220,5 kN/m2

Tegangan Efektif (o')

o =5.yr*7.Vrrn = 5 . V, + 7(vrr. = 5(17,5)

-

V*

+7(79-

)

10

yang mana

Vw

= 10 kN/m3

)= 150,5 kN/m2

Atau

o

= or

u=7

-u

yang mana tekanan air pori yaitu u = hw . y*

. L0 = 70 kN/m2

Maka tegangan efektif (o') yaitu;

o=Or-u=220,5-70 = l-50,5 kN/m2

b)

Tegangan tanah sesudah ada timbunan; Beban dari timbunan menyebabkan penambahan tekanan sebesar Ao;

Ao=G.y =

6.17

=

\02 kN/m2

Tegangan Total (o1) yaitu;

or = Ao +220,5 kN/m2

= 322,5

kN/m2


-

1

Tegangan Efektif (o ) yaitu;

o' = Ao + 150,5 kN/m2 =

252,5 kN/m2

Atau

o =or-u

= 322,5 -7O=252,5kN/m2

Tegangan efektif dijadikan dasar perhitungan, karena menunjukkan tegangan sebenarnya dari tanah yang tidak ada kontribusi penambahan kekuatan dari air. Perlu di ingot;

Air dalam ruong pori berfungsi pula menohan bebon luor, jaditidok hanya butirbutir tonah sajo memberikan reoksi ketika odo beban luor (oksi). Ketika air dalom ruong pori itu keluor (konsolidosi) sebagion atou seluruhnyo, moka okon teriodi penurunan (settlement), inilah soloh sotu faktor deformasi suatu konstruksi.

2. Tegangan Lateral

pada Tanah

Tekanan lateral dalam ilmu geoteknik diperlukan antara lain untuk;

a)

Kapasitas daya dukung yang diizinkan pada fondasi untuk menghindari keruntuhan geser.

b)

Settlement yang terjadi, baik segera maupun konsolidasi serta sett/e ment creep atau rangkak.

c)

Tekanan lateral terhadap dinding penahan tanah, disamping daya dukung lateral di sekitar galian.

1.

Tekanan Lateral pada Kondisi at Rest

Adanya tegangan vertikal akan berpengaruh terhadap tekanan lateral akibat Poisson rasio. Selama periode geologis, konsolidasi dan regangan rangkak vertikal serta lateral akan menjadi nol, dan saat ini tegangan dalam kondisi


stabil. Keseimbangan kondisi lapangan yang dihasilkan merupakan kondisi tekanan at rest Ko atau tegangan selama deposisi dan formasi deposit, seperti ditunjukkan oleh gambar 3;

-:

:.+

ci

-...tu.

,:":.".+..

Talrahg - c

?

r&=r& :;

.' ..

.s1

Gambar 3

(a)

Gambar 3 (o) Kondisitekonon

Gambar 3 (b)

ot rest

Gambor 3 (b) Kondisitekonan stobil

Ke

atau tegangan selama deposisi dan formasi deposit dapat didefinisikan;

Ko

= o,

05

Persamaan 7

Dimanaor=yh Dalam hal ini tegangan yang dipakai, yaitu tegangan efektif or' = y, h

f'

= fsubmarged = Vsat - Vw

Sehingga tekanan lateralnya menjadi tekanan lateral efektif;

orr'=

Ko .

v'

h

Serta nilai tekanan ot rest Ks, didefinisikan; Oh'

Ko= ov ,

Persamaan8


-

1

Dalam berbagai kasus nilai geologis tanah;

ft

< 1, perlu diketahui nilai

Ko

< 1 : tanah berkonsolidasi normal ( NC

Ko

< 1 : tanah oyer konsolidasi ( OC ) dengan OCR < 3

Ko

> 1 : tanah oyer konsolidasi ( OC ) dengan OCR > 3

Ko berdasarkan sejarah

)

Sedangkan OCR = PJPo Pada tahun 1948, Jaky kemudian Brooker dan lreland (1965), melakukan eksperimen terhadap tanah dengan pengamatan dari tekanan butir dan

mengusulkan persamaan; Ko

=M

-

sin

$'

Persamaan 9

Dimana M;

M=1

:

tanah kohesif dan non-kohesif yang berkonsolidasi normal

M = 0,95 : lempung oyer konsolidasi dengan OCR > 2. Sedangkan tekanan pada sisi depan galian ditunjukkan oleh gambar 4;

-t'1

l, I I rmhe-c,1 I L=rr

I

lr'-

- L Ll--

6!=0 ---.>

ffiffi*#ffi 1t

on=r'q

1) 14" ,--,.,..,,,,j

Gambar 4. Tekanan pada sisi depan galian


NC.

2.

Tekanan Lateral Kondisi Pasif dan Aktif Blok material pada bidang dengan sudut kemiringan p, koefisien geser di antara blok dan bidang ialah u. Seperti ditunjukkan pada gambar 5 a, b dan c di bawah;

a.

Kasus gaya eksternal horizontal

Fr.,

= 0 kondisi

at restKo.

Gambar 5 (a) Gaya eksternal horizontal yaitu;

Fr.,

= 0, maka gaya yang sejajar pada bidang miring

T-vN=0 Dimana;

v=tan0,

N=WcoscdanT=Wsina

T-vN=0 Wsina- Wcosa tan$=Q maka;

tanc=tan0

PersamaanL0

Artinya blok pada saat akan tergelincir, hal ini sesuai kondisi


-

1

Ko.

b. Kasus sudut kemiringan

I = c + Ao dan merupakan

kondisi tekanan aktif

Gaya-gaya yang paralel dengan bidang, blok tepat ditahan saat tergelincir oleh gaya eksternal horizontal F6, seperti ditunjukkan pada gambar 5 (b);

"",3i

T

Gambar 5 (b)

B=a+Acr

c

merupakan sudut kemiringan pada saat kondisi ot rest

Gaya eksternal horizontal F6 + 0, membantu menahan blok dengan F6 nilai minimum tertentu. Untuk membentuk geseran pembatas harus terdapat sedikit gerakan ke arah bawah pada bidang itu. Hal ini merupakan kondisitekanan aktif. Maka gaya eksternal horizontal F6 yaitu;

F6cos9+T-vN=0

Dimana;v=tan$, N=Wcosp danT=WsinF sehingga

;

F6cosB+T-vN=0 F6 coS E +

Maka

W sin

p-

W cos B tan 6 = g

;

Fn=W(tanp-tan$)

pada(p > 0)


c. Kasus

sudut kemiringan F = a + Aa dan merupakan kondisi tekanan pasif

Untuk membentuk geseran pembatas, harus terdapat gerakan ke arah atas pada bidang itu. Hal ini dikarenakan adanya gaya eksternal horizontal Fr.,. Hal ini merupakan kondisi tekanan pasif yang ditunjukkan oleh gambar 5 (c) di bawah ini;

Gambar 5 (c)

F=a+aa o merupakan

sudut kemiringan pada saat kondisi ot rest

Maka gaya eksternal horizontal

F6

yaitu;

F6cosp-T-vN=0 Dimana;v=tanQ, N=Wcosp danT=WsinB sehingga;

FncoSp-T-vN=0 F6 cos 9-W sin p-W

cos B tan

6

=

I

Maka; Fh =

W( tan p + tan Q)

Gaya eksternal horizontal akibat berat.

Fr.,

pada(p > 0) maksimum karena harus dapat gaya tangensial


-

1

Contoh 2 Jika tanah dengan Q = 300 dan y = 17 kN/m3 kita gali.

Tentukan sudut kemiringan ditunjukkan pada gambar;

q

maksimum yang aman dari galian itu, seperti yang

..1

:.1.1 1 1:1:l:

...

Solusi Kita tinjau kasus L di atas, bahwa;

tan

0, =

tan S

Sehingga sudut kemiringan maksimum aman a

=0

Atau a = 300

d. Tekanan Lateral Kondisi Pasif

dan Aktif pada Dinding Halang

Untuk lebih jelas kita tinjau gambar 6, di bawah ini;

Gambar 6 Dinding Halang Gaya dinding di kedalaman y yang diperlukan untuk mempertahankan tekanan dari tanah di atasnya yaitu; on = Ko y y. Sehingga dengan cara mengintegralkan

akan didapatkan tegangan lateral di kedalaman h, dan tekanan itu merupakan tekanan pasif.

on=

KoYh

sedangkan besarnya gaya dorong yang mempertahankan dinding dari dorongan tanah merupakan hasil kali tegangan dengan ruas penanpang dinding, yaitu;

Fn=/,

Ko V

h'

Persamaan l-1

Analisa untuk tekanan pasif pada bidang gelincir seperti ditunjukkan pada gambar 7;

Gambar 7 Berat W dari blok tanah yang ditahan dinding;

W =Tzy h2cot

p

Persamaan 12

Sedangkan besarnya tekanan pasif po adalah;

Fp=lry h2tan'z1+s

+l)

atau; Fp=TrY hzKp

Persamaan 13

Koefisien tegangan pasif;

Kr=tan'1+s+

\)


-

1

Besar tekanan pasif dari tanah yaitu;

op=yh tan'(q5*

y

atau

op= yh

Kp

Persamaan

1,4

Tekanan aktif pada bidang gelincir yaitu;

oa=Tzv h2

K"

Koefisien tegangan aktif

Ka=tan'(qs-

Persamaan 15 Ka

adalah;

\t

Besar tekanan aktif dari tanah yaitu;

o"= yh

3.

Persamaan l-5

K,

Tekanan Lateralterhadap Bidang Miring pada Tanah Tidak Kohesif Pada tanah tidak kohesif dengan permukaan miring, metode Rankine meninjau

kesetimbangan statis elemen pada kedalaman y. Berat tanah bekerja secara vertikal, sedangkan tekanan lateral bekerja sejajar dengan permukaan tanah. Asumsi dinding tanpa geseran, maka tegangan vertikal pada bagian depan yang vertikal dari elemen merupakan tegangan prinsipal seperti ditunjukkan oleh gambar 8, sehingga;

a. Ka

Koefisien Tekanan

=

COS 0,

coso

*

Aktif

Ka

Persamaan L7


b.

Koefisien Tekanan Pasif

Kp=cosq

Ko

coso + cos 0,

-

Persamaan l-8 J

cos' o,

-

cos'

rp

Gambar 8

3. Tekanan

Tanah Lateral untukTanah Kohesif

Pada tahun 1915, Bell dengan menggunakan lempung serta persamaan Rankine dan Coulomb mendapatkan persamaan;

0a=

yytan2lqS-E)=Vy

K.

op= yytan2(45+9)=yyK. Dengan menggunakan lingkaran Mohr serta perhitungan trigonometri untuk tanah kohesif, akan diperoleh; Tekanan lateral aktif yaitu;

oa = ov K. - 2c V K,

persamaan 19


-

1

Sedangkan tekanan lateral pasif yaitu; op =

o, K, + 2c V Ko

Persamaan 20

Pada galian vertikal tanah kohesif seperti ditunjukkan pada gambar xx, akan terjadi retakan akibat tarikan sedalam H1 dan pada titik H, kita dapatkan oa = 0i

,r ri. __2a - -i :

Persamaan 2L

T!K,

u1I(5-furr

I[

Gambar 9 (a) Sedangkan kedalaman kritis H. apabila

Fa

= 0 maka

H.=4-

Persamaan 22

H.=2Ht

Persamaan 23

Y! K,

Atau;

Gaya lateral F. per satuan lebar terhadap dinding yaitu;

Fa=lzy

H2

K"-

2Hc V K"

Persamaan 24


Juga gaya

aktif F, dapat dihitung dengan cara menentukan luas diagram tekanan;

-kt

I{"

Gambar 9 (b) Diagram Tekanan Kedalaman yang diperbolehkan Harr=

U. |,

H.s1

apabila yaitu;

persamaan 25

Dimana; FS :

faktor keamanan

Contoh 3 Tanah kohesif v = L9 kN/m3 dan kuat geser berdrainase S, atau C, = 20 penguatan atau dinding halang. Jika

FS

= 1,5 tentukan kedalaman galian yang diizinkan.

Solusi

FS=L,5 danQ=60 K,

''

=

=

tan' (4s -tr) = tan'

4c

,I

ra* =

4)o

JtTi

@s -o) = 1 = 4,2 m


-

1

kpa tanpa

ada

Kedalaman yang diizinkan;

n.,,=*=ff=2,8m Jadi kedalaman yang diizinkan digali sedalam 2,8 m.

B.

REGANG AN (sTBAtM

Regangan yaitu perubahan relatif dimensi benda karena mengalami tegangan. Perubahan dimensi (stroin) ada tiga jenis, antara lain; perubahan panjang, perubahan luas dan perubahan volume.

1. Regangan Panjang Yang dimaksud dengan regangan panjang adalah perbandingan perubahan panjang AL akibat adanya gaya yang bekerja terhadap panjang benda yang ditinjau. Gambar 10 menunjukan regangan panjang akibat gaya tarik dan tekan.

Gambar L0 Gambar 10 (a), sebuah batang memiliki panjang awal 16, setelah mendapat gaya tarik sebesar F maka panjangnya menjadi 11. Sedangkan gambar 10 (b) setelah mendapat gaya tekan sebesar F, panjangnya berkurang menjadi 11. Adanya perubahan dari

Lo

menjadi

Lt sebesar AL

yaitu;

Akibat gaya tarik, AL = Lt- h. Sedangkan akibat gaya tekan, AL = Lo-

1,.

Tegangan Vertikal-Lateral dan Regangan

Rasio antara perubahan panjang AL terhadap panjang awal disebut regangan e, yang didefinisikan dengan persamaan 26;

c-

2.

AL

Persamaan 26

Lo

Regangan Volume

Yang dimaksud dengan regangan volume yaitu perbandingan perubahan volume AV, akibat adanya gaya yang bekerja terhadap benda dalam tekanan hidrostatis. Gambar L1 menunjukkan regangan volume akibat gaya hidrostatis. d6: d6t

frl

:;t-r, i\

-.{

ul -,-

_Jl I \

\I4'

Cc-

- lz\,/r -4.'l+\U \ I r'\r.

I

;

\"1' v!

f-

Gambar 11 (a)

Gambar 11 (b)

Gambar 11 (a) sebuah titik volume awal Vo dalam tekanan o. Gambar 11 (b) titik volume setelah mendapat tambahan tekanan sebesar Ao, volumenya berkurang menjadiVt. AV merupakan perubahan dariV6 menjadiVl. Rasio antara perubahan volume AV terhadap volume awal Vs disebut regangan volume €votume. Regangan volume didefinisikan dengan persamaan 27;

Evotum

=

AV %

Persamaan2T

Besarnya perubahon baik ponjang, luas otaupun volume untuk benda, tergantung doriienis moterial bendo itu. Sekalipun gaya yong diberikon besornya soma, okan tetopi perubohannya tidak okon somo, hol ini ada hubungonnyo dengan kekakuon don tingkot elastisitas moterial.

Konsep dan Aplikasi Pengantar Teknik Siprl

-

1

C. MODULUS TEGANGAN -

REGANGAN SERTA HUKUM HOOKE

Hubungan deformasi dengan tegangan pada benda padat perlu untuk diketahui. Deformasi yang terjadi didefinisikan sebagai regangan dari total panjang' Hal ini didefinisikan oleh Persamaan 28;

6=eL

Persamaan 28

1. Modulus Elastisitas Apabila diplot hubungan tegangan terhadap regangan, akan didapatkan kurva garis lurus pada batas tertentu untuk baja dan beberapa material lainnya' Kurva akan melengkung untuk beton, tanah dan sebagian besar material lainnya yang ditunjukkan oleh gambar 12 sbb; Batr: ft+po*:i*ual Ega

I

{ f

ZoneP}ratis Baia

Knn"aBettqr. Tauek DaBeb$epa &.{skrial

Gambar 12 Karakteristik Tegangan-Regangan Salah satu parameter elastis yang digunakan untuk analisa deformasi dari benda

padat diberikan oleh kemiringan dari bagian lurus kurva tegangan - regangan' parameter itu yaitu modulus elastisitas E, yang merupakan rasio perubahan tegangan Ao terhadap perubahan regangan Ae. Ditunjukkan oleh persamaan 29 berikut ini;

E=ole

Persamaan 29

T egangan V ertikal-Lateral dan Regangan

Rentang nilai modulus tegangan ditunjukkan oleh Tabel 1

-

regangan statis E, beberapa jenis tanah

Tabel 1 Rentang nilai modulus tegangan

Jenis Tanah

-

regangan static E, tanah

-

Modulus Tegangan

Regangan Statis E,

(ksf)

MPa

- 250 100 - 500 300 - 1000 1000 - 2000 500 - s000

2- 15

Lempung Sangat lunak Lunak Sedang Keras

Berpasir

50

5-25 15-50

25 -

100

-

153

s0

250

Laci es Lepas

Padat Sangat padat

Tanah lus (loss)

- 3200 3000 - 1s000 10000 - 30000

-720 478- t440

-

1200

15-60

- 4s0 200 - 500

s-20

200

300

10 1.44

Pasir

Berlanau Lepas

Padat

150

L000

-

10-25 50-81

1700

Pasir kerikil Lepas

Padat Serpih Lanau

- 1s0 100 - 200

- 3000 2000 - 4000 3000 - 300000 1000

50

- 5000 2-20

150

40 -400


-

1

2.

Penentuan Modulus Tegangan - Regangan

E,

Beberapa metode untuk menentukan tegangan - regangan

1)

Er;

Tes kompresi tak terbatas

2) Tes kompresi triaxiol 3) Tes lapangan; a. SPT b. CPT c. Alat ukur tekan d. Percobaan beban pelat. Percobaan kompresi yang tak terbatas bertujuan memberikan nilai konservatif dari E,. Biasanya modulus tangen awal adalah kecil, lalu memberikan settlement yang dihitung lebih besar daripada saat dihasilkan di tempat.

Percobaan triaxiol bertujuan menyempurnakan nilai E, karena setiap tekanan pembatas dapat memperkeras tanah, sehingga modulus tangen awal didapatkan akan lebih besar. Umumnya percobaan ini memberikan nilaiyang konservatif.

Crawford dan Burn 11962), E, laboratorium dan

1-

di

lapangan memberikan 1,5 nilai percobaan triaxiol.

4 - 13 q,

dari

Alat ukur tekan dapat mencari nilai E, di lapangan, lazimnya di tempatkan di dalam lubang bor vertical. Maka nilai E, lateral akan didapatkan, kecuali jika tanah isotropik, hasil nilai E, lateral tidak akan sama dengan nilai

E,

vertikal.

Contoh 4 Sebatang baja panjangnya 1,5 m berdiameter 12 mm, ditarik dengan gaya sebesar 20 kN. Jika modulus elastisitas dari baja itu 2,1-.105 kgfcmz, hitung penambahan panjang dari batang baja akibat gaya tarik itu. Solusi A = r 12 = 3,L4(L,2/2)2 dinyatakan dalam satuan cm = 1,13 cm2

T egangan V er tikal-Later

al dan

Re gan

gan

E = 2,!.LO6 kg/cmz = z,L .LO'

T/cm'

(=

2,r.t0 4 kru/cm2;

Maka perubahan panjang AL adalah;

or

3.

= r4r.1=

20.1,5x102 2,1 .l0o . r,13

=

0,\26 cm = L,26 mm

Poisson Rasio

Jika benda padat dibebani maka akan memendek, akan tetapi menjadi lebih tebal atau memanjang serta lebih tipis. Poisson (18i.1) menunjukkan bahwa rasio regangan lateral e6 terhadap regangan vertikal €v merupakan konstanta untuk material yang

berada pada batas-batas proporsional. Konstanta ini disebut Poisson rasio p, sebagaimana persamaan 30, berikut: ttr

V=- -tv

Persamaan 30

Tanda minus untuk regongan memanjong.

Untuk regangan yang teramat kecil terdapat di daerah linier, tetapi deformasi yang terjadi untuk dapat menggambarkan regangan yang sekecil ini sulit didapatkan. Maka untuk tujuan praktis suatu kurva yang tidak linier akan didapatkan dari percobaan tekan di laboratorium. Rentang nilai Poisson rasiov untuktanah:

-L
Nilai khas Poisson rasio v beberapa bahan diberikan pada tabel 2. Akan tetapi nilai Poisson rasio untuk tanah tidak menentu terhadap nilai yang ada pada tabel 2 karena amat sukar untuk menentukan secara langsung.


-

1

Tabel 2 Rentang Nilai Khas Poisson Rasio v Poisson Rasio 0,4 - 0,5 jenuh Lempung tak 0,1- 0,3 Lempung berpasir 0,2 - 0,3 Lanau 0,3 - 0,35 Pasir padat o,7 - 1,,O Pasir berkerikil o,L - 0,4 Batuan (rock) 0,1- - 0,4 (tergantung jenis batuan) Tanah lus 0,1- 0,3 Es 0,36 Beton 0,L5 Jenis Tanah Lempung jenuh

Dengan adanya nilai negatif memungkinkan adanya modulus elastisitas modulus butir (Es) bernilai negatif dan Es = f(v).

4.

Modulus Geser (G) dan Modulus Butir (Butk Modutus-

Ea)

Perhatikanlah gambar 13, sebagai bahan analisa; 5 T

/-* _t

-

E=

Arlri Il

Gambar 13

€* = Ao*

/ E, dan e, = Ao, / E, serta

€, = 1rt,

Sehingga;

€x=ltEy


Pada Gambar L3, garis putus-putus merupakan volume tanah setelah menerima tekanan, bentuknya memendek akan tetapi panjangnya bertambah. Besarnya regangan yang terjadi di setiap arah sumbu sbb;

Ey=

#

Ex-

#; [o"--

cz-

t

[o"r-

$ ( Ao, +Ao,

)

p ( Ao,+ Aor)

Io",- pr ( ao'+ Aoy)

] J

e"rsamaan 31 (a)

]

nersamaan 31 (c)

n"rsamaan 31 (b)

Ketiga persamaan 31 (a), 31 (b) dan 31 (c), merupakan hukum tegangan regangan Hooke yang digeneralisir, maksudnya bukan regangan - regangan utama. Terdapat pula tiga persamaan regangan geser sebagai bagian dari hukum tegangan regangan.

Untuk lengkapnya ditunjukkan oleh gambar 14 sbb;

; i=1

Gambar 14 Keterangan; Tx,,yxz : tegangan, regangan normal pada sb x mengarah ke sb z ox, €x : tegangan, regangan sejajar dengan sb x


-

1

Modulus geser G banyak digunakan pada pekerjaan geoteknik terutama dalam hal dinamika tanah. Persamaan 32 merupakan definisi G: Persamaan 32

Dan modulus bulk atau modulus butir Es, rn€rupdkan rasio tegangan oktahedral terhadap regangan volumetrik. Penurunan formula modulus butir sbb;

=€x+Ey+tz

Ev

_

Ookt

=

ox +

o:_& J

-. o**or-lo, rtB= -_ 3 e.,, Atau; E,

6okt

=#

Persamaan 33

Dari hukum Hooke kita dapatkan hubungan Er, serta v terhadap Es dengan cara manipulasi dari hukum Hooke tersebut. Hal ini ditunjukan oleh persamaan 34 berikut; Eg=

Persamaan 34


Contoh 5 Sebuah contoh tanah berbentuk kubus yang masing - masing sisinya 5 cm berada dalam silinder fluida. Di dalam silinder itu diberikan tegangan sebesar 100 N/cm2, lalu setelah mendapatkan kompresi contoh tanah itu berubahmenjadi (5 cm x 5 cm x 5 cm). Jika contoh tanah itu mempunyai Poisson rasio 0,35, hitung modulus elastisitas E, serta

modulus geser G dari contoh tanah itu. Solusi ox = Oy = Oz = 100 N/Cm2

o okt = (o* + o, +

o,) / 3 =

300

/3 = LOON/cm2

cm' dan Vt = 125 cm3 Vo-Vt = 216 -L25 = 91 cm3 tvorum = AV/Vo=91/2L6 = 0,42L3 Vo = 2L6

AV =

Ea = ookt

/ er= LOO / 0,42L3 3 = 237,36 N/cm2 = 2,374. 10 kN/m2

Maka modulus elastisitas

Es

yaitu;

.237,36 (L-2. 0,35) 3 2L3,624 N/cm2 = = 2,L4. 10 kN/m2

E' = 3Es(1 - 2v)= 3

Sedangkan modulus geser G yaitu;

c=

E.

ffi

213.624 = ffi5y79,12

N/cm2 =79:.,2 kN/m2


-

1

D. 1.

TEGANGAN PADA BALOK Tegangan Lentur Murni pada Balok

Kita tinjau gambar

1"5

Balok AB yang dibebani oleh beban terbagi rata q akan melentur,

yang digambarkan oleh garis pututs

-

putus.

Untuk balok berpenampang T, seperti ditunjukkan gambar r.5 , di bawah ini; *ti'rs

it

ffi*! &rE*h

Gambar 15 (b)

Gambar 15 (a)

Gambar 15 (a) Balok T terbebani beban merata Gambar 15 (b) Potongan a - a balok berpenampang T Sekarang kita tinjau potongan a - a pada balok AB di atas.

Tegangan maximum or.* terjadi di serat terbawah atau disebut o."* serat tarik, dan sebaliknya minimuffr omin di serat teratas atau disebut o6;n s€r?t tekan. Sehingga;

umin

M

-

umax

Yt

-M - -'^

Persamaan 35 (a)

persamaan 35 (b)

Yz

ingot;

II Jr

dan

y,

: merupaka n section modulus w


Contoh 6 Penampang balok baja seperti pada gambar C 6, serat atas tertekan dan serat bawah tertarik akibat lentur.

Hitung momen yang dapat dipikul penampang seandainya tegangan tekan izin 3200 kg/cm2 dan tegangan izin tarik 0'1.,1L = ZLOO kg/cmz.

o'1"1rn =

Gambar C 6

Gambar Penampang Balok C 6 Solusi

Momen lnersia l; t* = {14(2)3 + L4

.2(8

-

+ {14(2)3 + L4 .2(8

Ll2]}/L2 + {2(L2)3 +

- LrI/I2

=

t2 .2(8 - 5f]}/L2

3 266,67 cm

Watas=Wbawah=W

* = -]* = 3 266,67 /8 = 408,334 cm3 Ya

o'= M/w M = wo'rekan =408,334.32oo = 1306 6G8,f kecm )ombil Myanglebihkecil M = w o'tarik = 408,334 .2LOO = 857 501',4 kg cm ) Momen yang dapat dipikul penampang yaitu M = 857 501,4 kg cm


-

1

2. Tegangan Lentur Akibat

Gaya NormalTekan atau Tarik

Kita tinjau gambar 16, balok AB dibebani oleh beban terpusat F yang membentuk sudut c terhadap garis sistem balok.

[--:.--l

B

lli-", ttl --l-l'-'--

*; ./.I I

gl ner:l "

I

1

il i":

l;'

serat baq'ah

Gambar 16 (b). Pot.

Gambar 16 (a)

x

a

-

a

Sekarang kita tinjau potongan a - a pada balok AB di atas. Tegangan akibat gaya normal N yaitu;

,n- - TN

Persamaan 36

Yang mana; N

:

gaya normal

A

: :

luas penampang balok (persegi)

negatif untuk tekan

Tegangan di serat atas o Uatas

_M -

dan w.1.,

atas;

Persamaan 37 (a) Watas

I Yr


Tegangan di serat bawah o

M

Oatas

= -

dan

wbawah

Persamaan 37 (b)

wba*

=

bawah,

I Y2

Diagram tegangan akibat momen ditunjukkan oleh gambar L7 di bawah ini; tr

l{te}u

M dan gaya normal N

cl{

berupa tekanan

6 1{+ $ els

H 6].I=]ltE i!

Gambar 17 (a) Diagram Tegangan Akibat Momen M dan Gaya Normal N Tekan

Pada awalnya garis netral berada tepat di tengah penampang balok (persegi), bergeser ke bawah atau ke arah serat tarik akibat adanya gaya tekan.

Diagram tegangan akibat momen ditunjukkan oleh gambar 17 (b);

M dan gaya normal N

6 liirriru

6 trI -

]tr

berupa tarikan

tehe

Gambar 17(b) Diagram Tegangan Akibat Momen M dan Gaya Normal N Tarik

Pada awalnya garis netral berada tepat di tengah penampang balok (persegi), lalu bergeser ke atas atau ke arah serat tekan akibat adanya gaya tarik.

i

l Konsep dan Aplikasi Pengantnr Teknik Sipil

-

1

*

3. Tegangan Lentur Akibat

Gaya NormalTekan atau Tarik

a. Akibat gaya normal sentris Kita tinjau gambar 18. Balok AB, dan dikatakan sentris jika gaya normal N bekerja tepat di titik berat penampang seperti ditunjukkan gambar 1g (b) di bawah ini;

LokasiN

Gambar 18 (a)

seret ban'ah

Gambar 18 (b) Pot. a - a

Gambar 18 (a) Balok AB dengan gaya normal N sentris. Sekarang kita tinjau potongan a - a pada balok AB di atas. Tegangan akibat gaya normal N yaitu;

o"=-*

Persamaan 38

Yang mana;

N :gaya normal

A

-

: luas penampang balok (persegi) : negatif untuk tekan

b. Akibat gaya normal eksentris Kita tinjau Gambar 19. Balok AB, dan dikatakan eksenteris jika gaya normal N bekerja tidak di titik berat penampang seperti ditunjukkan gambar pot. a - a di bawah ini; lokasi gaya normal N bekerja sejauh e, dari titik beraU


1.;

_t '

Gambar 19 (a)

eret

iaq'sl bi

Gambar 19 (b). Pot. a - a

Gambar 19 (a) Balok AB dengan gaya normal N eksentris. Gava normal N vans berlokasiseiauh e, Tegangan akibat gaya normal N yang berlokasi sejauh e, dari titik berat, maka akan menimbulkan momen. Sekarang kita tinjau potongan a - a pada balok AB di atas. Kita pindahkan gaya normal N ke garis netral, maka akan menimbulkan momen M sebesar;

M=Ne,

Persamaan 39 3

ti

Itiln x --+/.--Y1

n"..

I

-1,1,---

llN

3

Gambar 19 (c) Gaya Normal N Dipindahkan ke Garis Netral Sehingga; Tegangan LrN tekan

uN

oru

_N - -

tekan_N

tekan yaitu;

A

Persamaan 40

bh

Konsep dan Aplikasi lengantar Teknik Sipil

-

1

Tegangan akibat momen oM ttarik

(N er)Y I*

= M Y-

I,

yang mana l,

=

oy tarik, yaitu;

1

dan

iZbh'

6Ne"

-

uM ttarik -

Y

=%h maka;

Persamaan 41

bh---:-L

Agar pada penampang terjadi tegangan sejenis, yaitu tekan maksimum di serat atas dan tekan di serat bawah atau nol, maka onn ttarik S oN tekan. Maka e, harus terletak pada; OM ttarik

=

t*"=

-

Sehingga

ON

N/bh

;

Persamaan 42

",= *h

Gava normal N vang berlokasiseiauh e.

Tegangan akibat gaya normal N yang berlokasi sejauh e* dari titik berat seperti ditunjukkan oleh gambar 20, maka akan menimbulkan momen; .. .

hkeri N

*ral atat

ffiet etes

-E

eE

a

Gambar 20

(a)

serat beqzh

Gambar 20 (b) pot. penampang a

-

a

3tretber1ah

Gambar 20 (c) Gaya N dipindahkan ke garis netral

T egangan V ertikal-Lateral dan Regangan

Kita pindahkan gaya normal N ke garis netral, maka akan menimbulkan momen M ditunjukan oleh gambar 20(c), sebesar;

M=Ne*

Persamaan 43

Sehingga; Tegangan

or,r

tekan yaitu

;

NN

oNtekan=-

;

Tegangan akibat momen ovr tarik, yaitu;

oMttarik=

M= (N e-)x I,

*

yang mana l,

1

= tZhb' danx=lzb

maka;

oMttarik- 6Ng-

Persamaan 44

hh"

Agar pada penampang terjadi tegangan sejenis, yaitu tekan maksimum di serat atas dan tekan di serat bawah atau nol, maka orvr ttarik 3 (rN tekan. Maka e, harus terletak; OM ttarik = 0N

6Xg* hb-

N bh

Sehingga;

€rS +f)


-

1

4.

Tegangan Geser (sliding stress,

Kita tinjau gambar

21, balok

t

)

AB yang dibebani oleh beban terpusat

F.

FFuF

Gambar 21 (a) Sekarang kita tinjau potongan a - a dan b

-

b pada balok AB di atas.

Pada bagian sebelah kanan dari potongan b

dengan ditunjukkan oleh gambar 2L (bl;

- b bekerja momen M dan lintang D,

Gambar 21 (b) Gambar 21\al Balok AB yang dibebani oleh beban terpusat Gambar 21 (b) Balok AB sebelah kanan dari potongan b Sekarang kita tinjau elemen antara pot. a Gambar 21 (c) dan 21 (d);

-

-

b

F. .

a dan b

-

Gambar

zl(d)

b yang ditunjukkan oleh


Gambar 21(c) Element pot a - a,b - b. Gambar 21(d) Tegangan geser yang bekerja pada elemen dA.

t,,

Tegangan geser t*, bekerja pada bidang tegak lurus sb x dan searah dengan sb y, bekerja pada bidang p - p1 dan g - Qr yang akan menimbulkan momen kopel

sebesar;

r*, b dA

Persamaan 45

Atau;

r*rbdxdy=ry*bdydx Jadi

t*,

= ty*

Yang mana;

b dx dy

: lebar balok : lebar elemen dalam arah sb x : lebar elemen dalam arah sb y.

Tegangan geser r yang terjadi pada bidang penampang sama besarnya dengan tegangan geser yang bekerja pada bidang sejajar ll UiOang netral. Perhatikan Gambar 22;

6"+ -

IrIt t ru D

&*. ,t-

n** do" .\ r j M"* dhI" 1-/-'-'-'-'-'- " Io*- ao* L

Gambar 22 (al


Gambar 22(b)

-

1.

Gambar 22 (a) Elemen pot a -a, b - b. Gambar 22 (bl Elemen dA yang ditinjau. Elemen dA berjarak y dari garis netral dan gaya normal N yang bekerja pada dA

di potongana-a yaitu; N4J dA o,^1, dA =

Sedangkan di potongan b

(o* + do*) dA

Gaya horizontal

= Fr,

Ovt

t

-

b gaya normal N yang bekerja pada dA yaitu;

dtrl) Y dA

akibat tegangan geser yaitu;

F6=tr*bdx Jika

Fr',

=

0,

maka;

-JydA=tv*bdx ,fliaM)YdA I,, t*,= luLI$yoo ingot;

dM/dx = D

dan

Jy dA =

S

Sehingga;

.'

= -P,S bI,

Persamaan 46


Yang mana; b

lebar balok

S

statis momen

D

gaya lintang

I

momen inersia

Contoh 7

BalokkayuABtersusundariduabuahbaloksepertipadaGambarCT,ditengah lentur bentanganbekerjagayaterpusatFsebesar500kg,hitungtegangangeseryangterjadi ' dengin lainnya' serta tegangan ;; balok antara ontlt t pada bidang maksimum yang terjadt' ,= ,ro** -.I; *b-I-,-l i 9cm

i

scm

Gambar PenamPang balok Solusi GaYa lintang D Yang D --%r = Z (500 ke)

terjadi;

= 250 kB

Momen lnersia l;

,-=i56'= fltro) (1'6)3 = 3 4L3' 34 cma

Teknik SiPil KonsrP dan APlikasi Pertgantar

-

1

Statis momen S pada garis netral; S=15.8.4= 480cm3

D

S

bt,

250.480

= 2,344kg/cm2

t5 .34t3.34

Tegangan lentur maksimum omax yang terjadi. M,a* = %F l=%.50O kS (3 m) =375 kg m = 3,75.10a kg cm Watas=Wbawah=W

w- l) = ,

413,34/8

Yu

Omax tekan

=

426,67 cm3

M-r* =-

Omax tarik

=-

=

- H##ffi=-

Jadi tegangan lentur maksimum

omax

87'8sks/cm2

yang terjadi sebesar

-

g7,gg kg/cm2

Bernilai negatif (-) karena tekan.

5.

Tegangan Akibat Pelat diAtas Tanah

Kita tinjau gambar 23, pelat AB yang dibebani oleh beban terpusat F, pada bab ini pelat

diasumsikan sangat kaku sedangkan untuk pelat dengan kelenturan akan dibahas dalam mekanika teknik. E

Gambar 23 Pelat AB yang Dibebani oleh Beban


Kita tinjau gambar 23, pelat AB yang dibebani oleh beban terpusat F berjarak e, dari

titik berat pelat; F I

I L*k*si

$rtaf

?

-'

e-

I

It I

T,

I h

it)

Gambar 23 (b)Tampak atas

Gambar 23 (a)

Gambar diagram tegangan (a): diagram tegangan akibat M dan

F,

jika e > h/6

Gambar diagram tegangan (b): diagram tegangan akibat M dan

F,

jika e = h/6

Gambar diagram tegangan (c): diagram tegangan akibat M dan

F,

jika e
Dolam rekayosa fondosi, pada penampang tegongon sejenis otau tekonon semuo harus diupayakon eksentrisitos e < h/6. sedangkon jika e > h/6, maka odo bagion ydng mengolomi penarikan, hol ini m e nye ba bko n te ro n g kat nya fo nd o si. Dalam penerapannya, pelat di atas tanah seperti halnya fondasi pelat atau fondasi batu kali, dapat ditunjukkan pada gambar 1, di bawah ini;

Gambar 24(a) Pelat Setempat

194

Gambar 24 (b\ Pondasi Batu Kali


-

1

Contoh 8 Pondasi berupa pelat setempat, kaku dengan berat diabaikan. Terletak di atas tanah oer = 20 kN/m2. Gaya F sebesar 2 ton bekerja dengan jarak 20 cm dari titik berat pelat dalam arah sb x, sedangkan ukuran pelat 1,5 m x b.

Tentukan ukuran lebar pelat b itu agar pada pelat bekerja tegangan tekan semua atau tidak terjadi gaya angkat pada fondasi itu. Lskasi gar.aF

-,.-i

-

L.-,1---,.-----

it

-.

I

lu I

rYi F.,. --_--

:n

Gambar C 8

_i---

--_---

-q

I

Gambar Tampak Atas Solusi

F=2f=20kN Gaya

F

dipindahkan ke titik berat maka timbul momen;

Mv = F e*= 2(O,2ml = 0,4 Tm = 4 kN m

wy=

-Lbh'= b (1,512=0,375bm2

66

Cek eksentrisitas e; e,,

( h/6

O,2m
Tegangan V ertikal-Laterutl dan Regangan

0M tekan

*

M., d*

0N tekan S oefftanah

F

bh= 4/0,375b +20/7,5b=24/b

24lb < oeff tanah (= 20 k;/m2

b >24 / >24

/

)

o"fftanrh

20

(= 1,2 m)

Jadi lebar pelat fondasi,

b > L,2 m.


-

7

-.r7 A.

PEMBORAN, KUAT GESER, DAN DAYA DUKUNG TANAH

PEMBORAN

Pemboran yang dimaksud adalah pembuatan lubang ke dalam tanah dengan menggunakan alat bor manual maupun alat bor mesin, untuk tujuan:

1.

a)

Mengidentifikasijenis tanah sepanjang kedalaman lubang bor, diambil dari mata bor (core barrel).

b)

Mengambil contoh tanah asli yang diinginkan.

c)

Untuk memasukkan alat SPT (Standart Penetration Test), alat split spoon sampler.

d)

Untuk memasukan alat-alat uji lainnya; Uji Rembesan Lapangan (Field PermiabilityTest), Uji Sudut Geser (Vane Sliding Test), Uji Pressuremeter, Uji Tekanan Air Pori, dan sebagainya.

Jenis

-

Jenis Pemboran

a. Pemboran Dangkal lShallow Boringl L) Hond Auger Boring Pemboran ini memakai alat bor tangan (Hand Auger Equipmentl, digunakan untuk mengambil contoh tanah yang dangkal biasanya tidak lebih dari 10 m.

Tanah asli terganggu (disturbed sample) diambil untuk diidentifikasi, kemudian mata bor diganti dengan tabung untuk mengambil contoh tanah asli (sompling tubel, pengambilan tanah tidak boleh diputar. Tanah (disturbed sample) tersebut ditutup pada kedua ujungnya dengan parafin dan tutup tabung, sampai saatnya di tes di laboratorium. Tanah tersebut biasanya diambil dalam 1 sampai 3 kedalaman yang berbeda.

2) Mochined Auger Boring Prinsipnya sama dengan bor tangan, hanya menggunakan mesin. Mata bornya dapat berbeda dan pipa dapat dari jenis helikal (bersisip ulir), sehingga pada waktu pemboran tanah dapat naik dengan sendirinya.

b. Pemboran Dalam

lDeep Boringl

Untuk pemboran yang lebih dalam biasanya 10 sampai 50 m, dipakai mesin bor yang dapat berputar dan menekan mata bor atau gurdi pemotong yang disebut Rotary Drilling. Tanah yang sudah hancur terbawa ke permukaan tanah dengan cara;

1) Air dipompa dengan tekanan tinggi (wosh boring), tanah sulit diidentifikasi karena hancur, cara ini diutamakan hanya untuk memperdalam lubang bor saja.

2)

coring dengan wosh boring, mata bor diganti dengan tabung penginti (core borref jenis double tube atau tripple tube) untuk mengambil contoh batu yang mulus (core). Dimungkinkan memperoleh contoh tanah yang mulus dengan cepat, cocok untuk tanah kokoh atau batu.

3)

Dry Boring dengan Continous Coring, sebuah tabung panjang dengan diameter sedikit lebih kecil dari lubang bor (single tube core borrel). Dipasang dibagian bawah pipa bor, contoh tanah yang terbawa oreh tabung sesuai kedalamannya disimpan dalam kotak kayu (core box). contoh tanah dapat mencapai panjang 5m. cara tersebut terbaik karena mendapatkan contoh tanah yang menerus, tidak hancur karena semprotan air sehingga masih dalam warna dan kadar air aslinya, hanya strukturnya terganggu karena diputar.


-

1

2. Tampilan Hasil Bor lBore - Log atau Boring

- Logl

Memuat semua informasi selama pemboran, memuat deskripsi jenis jenis tanah, nilai NSPT pada kedalaman yang bersangkutan, dan sebagainya. 3.

-

Menentukan Letak dan Banyaknya Titik Bor

Letak dan banyaknya titik bor ditentukan oleh jenis dan karakteristik struktur yang direncanakan, geologis dan topografis setempat. 4.

Kedalaman Pemboran lBoring Depthl

Kedalaman pemboran ditentukan oleh karakteristik dan struktur tanah bawah permukaan yang ditemui selama pemboran. Untuk analisa stabilitas lereng kedalaman, titik bor harus mencapai kedalaman dibawah bidang longsor yang diperkirakan aktif. Atau bisa pula potensial/mencapai lapisan keras atau kedalaman dimana tidak mungkin lagi terjadi bidang runtuh, dilihat dari geometri potongan lereng yang ditinjau.

5.

Pengambilan Contoh Tanah lsoil Somplingl

Contoh tanah asli adalah contoh tanah yang struktur butiran dan kadar airnya sama dengan aslinya di dalam tanah. Contoh tanah harus mewakili asli nya (re p re se ntotive sa m pl e). Uji laboratorium untuk memperoleh parameter kuat geser, konsolidasi dan kompresibilitas dan mengukur berat volumenya, dilakukan terhadap contoh tanah asli. Biasanya contoh tanah diambil dari setiap perubahan kedalaman 2 sampai 3 meter, dan dari setiap ada perubahan jenis tanah yang dipantau selama pemboran.

Pemboran, Kuat Geser, danDaya Dukung Tanah

Beberapa cara pengambilan contoh tanah:

Sholby Tube

Mengambil contoh tanah asli dengan menggunakan tabung baja tipis, berdiameter luar 2" - 5" serta panjangnya antara 40 cm sampai 80 cm. Tabung ini digunakan untuk tanah kohesif atau jenis tanah yang tidak terlalu keras. Caranya tabung shalby dimasukkan kedalam lubang bor yang sudah bersih, kemudian ditekan dengan cepat dan halus, setelah di atas permukaan tabung shalby yang terisi penuh tanah ditutup pada kedua ujungnya dengan parafin dan diberi label. Dijaga tidak terbanting selama disimpan sampai tes di laboratorium.

b. Osterberg Piston Sampler Alat ini dipakai untuk tanah lempung, lanau atau yang berpasir . Caranya dimasukkan dengan tekanan hidrolis atau tekanan udara.

Denison Piston Sampler atau Denison Core Barrel Sompler

Alat ini digunakan untuk tanah kohesif yang kokoh sampai keras. caranya dengan diputar dan ditekan dengan tenaga hdrolik. Terdiri dari dua tabung (tabung luar dan tabung dalam), tabung luar diputar dengan menggunakan mesin sedangkan tabung dalam tidak ikut berputar dan tanah masuk kedalam tabung dalam. cara ini tidak cocok untuk tanah pasir lepas dan lempung lunak.

B.

KONSEP TEGANGAN EFEKI]F

Suatu massa tanah jenuh air terdiri dari dua fase yaitu soil skeleton dan pori di antara partikel tanah yang jenuh air. Tekanan kontak terjadi antar butir yang mengimbangi beban vertikal. Tekanan inilah yang membentuk suatu tahanan geser F6 terhadap gera ka n-gera ka n partikel seperti; tergu ing, tergel inci r da n sebaga inya. I


-

1

Dalam analisa geser; Fr

=

uN

Persamaan

1

Dimana;

Fr : tahanan geser u : koefisien antar butir

N : gaya kontak normal (tegangan bila Fr tegangan) Dalam kondisi tanah jenuh air dan muka air telah stabil, semua ruang kosong yang saling berhubungan akan terisi air dan tegangan dari air di dalam void disebut sebagai tekanan air pori. Maka gaya tekan Pt akan ditahan oleh kombinasi dari tekanan air pori dan tegangan efektif (o'). Persamaan Tegangan efektif sebagai berikut:

o'= ot-u

Persamaan2

Dimana;

u

= tekanan air pori

Tahanan geser tanah akan ditentukan oleh besarnya tegangan efektif di dalam tanah. Tegangan efektif tidak dapat ditentukan secara langsung, tetapi harus diketahui tegangan total dan tekanan air pori. Kriteria untuk stabilitas lereng yaitu kriteria keruntuhan Mohr Coulomb. Apabila tahanan geser;

T=

UO'

r- u[o1-(u+Au)]

Persamaan3

Setiap kombinasi ol dan perubahan tekanan pori (Au) akan mengurangi tekanan efektif (o') sampai mendekati nol.


o'= h (Y'r. - Y* o'=

)

hy'

Persamaan 4

Dimana:

h:

tinggi sampel

yr.1 : berat satuan basah dari tanah

Y*i o':

berat satuan air

Au : perubahan tekanan pori

tegangan efektif

y' : berat satuan efektif dari tanah

Hal ini memperlihatkan berat satuan efektif dikali tinggi akan menghasilkan tegangan efektif.

C. PEMILIHAN PARAMETER TANAH Untuk masalah Geoteknik ada dua pendekatan;

1. Total Stress Approach Kondisi yang sesuai dimana tekanan excess, tekanan air pori, belum terdisipasi. Parameter sesuai tegangan total dan parameter tahanan geser undroined (cul digunakan untuk totol stress anolysis. Parameter yang sesui yaitu parameter tahanan geser undrained, analisa dengan metode O = 0.

2.

Effective Stress Approach

Kondisiyang sesuai dimana tekanan excess dan tekanan air poritelah terdisipasi, maka parameter sesuai tegangan efectif dan parameter tahanan geser drained c' dan O' digunakan untuk effective stress onalysis. Parameter yang sesuai yaitu parameter tahanan geser droined (c', O') dengan tekanan air pori (u) terukur - ASTM (1988) STP No. 977.


-

1

Jika tidak diketahui kondisi total atau efektif yang menentukan keruntuhan, maka kedua kasus perlu ditinjau dan design ditentukan oleh keadaan yang lebih kritis. D.

UJI GESER TRIAXIAL

tJji trioxialyaitu dengan cara memberikan tegangan cel/ sebelum sliding, ditunjukkan dalam gambar L di bawah ini;

Gambar L a

Gambar L b

Gambar L c

Gambar 1a. Penyusun melakukan uji trioxioldi Lab mektan lTB, Februari 2006 Gambar 1b. Alat Uji Unconfined

Gambarlc. Pecah sampel tanah setelah melakukan uji unconfined atau uji triaxiol. Parameter-parameter tahanan geser tanah c dan $, sesuai dengan kriteria keruntuhan Mohr Coloumb, diperoleh dari beberapa tes trioxiol. Dalam analisa

stabilitas pemilihan parameter-parameter tanah, mensimulasikan keadaan sesungguhnya di lapangan mutlak untuk diketahui. Untuk tanah lempung ada tiga macam lest triaxiol; Consolidoted undrained lesf (CU - Test), Consolidated Drained Iest (CD - Test), Unconsolidoted Undrained Test (UU - Iesf).

Huruf pertama dari test triaxial menunjukkan kondisi pada saat awal pembebanan (confining pressure = or) di lapangan yang sesungguhnya, sedangkan huruf kedua menunjukkan keadaan setelah pembebanan geser.

Pemborqn, Kuat Geser, danDaya Dukung Tanah

Untuk tanah lempung, jika kondisinya ditinjau pada saat excess tekanan air pori belum terdisipasi (end of construction), maka keadaannya Undrained dan jika kondisinya ditinjau setelah terdisipasi (long term condition) maka keadaannya Droined.

-

Consolidoted Undrained Test (CU -Iest)

Sampel dikonsolidasikan dengan tegangan confining pressure 01. dan o3., drainase tidak diperbolehkan selama pemberian beban geser berlangsung (slidins).

-

Consolidoted Drained Test (CD - Iest) Sampel dikonsolidasikan dengan tegangan confining pressure 01. dan o3., drainase diperbolehkan selama pemberian beban geser berlangsun g $lidingl.

-

Uncosolidoted Undroined lest (UU - Testl

Sampel dengan tegangan confining pressure o1c dan o3c, tanpa terjadi konsolidasi dan selama pemberian beban geser berlangsung (slidingl, drainase tidak diperbolehkan.

1. Kuat Geser Undrained

(Undrained Sliding Strength)

Apabila kondisi dari suatu lempung jenuh di analisa dengan pendekatan tegangan total, maka evaluasi tekanan air pori tidak diperlukan. Pada kondisi ini analisa dengan metode O = 0 diasumsikan kuat geser Undroined cu sama dengan nilai kohesi pada selubung Mohr Coulomb untuk tegangan total. Maka undroined strength dari lempung jenuh ini tidak dipengaruhi oleh perubahan confining pressure sepanjang kadar air tidak mengalami perubahan. Natural deposit tanah lempung jenuh (soturoted clayl yang terkena beban secara cepat relatif terhadap kecepatan konsolidasi atau drainase yang terjadi diasumsikan mengalami undroined ideal.


-

1

2.

Kuat Geser Drained (Drained Shear Strength)

Prinsip tegangan effektif maximum tahanan geser pada suatu tanah T' =

c'+ (on- u) tan O'

;

Persamaan 5

Dimana;

T' : c' :

o':

kuat geser drained tanah

u:

kohesi efektif

sudut dalam efektif tekanan air pori

Umumnya tekanan pori atas tekanan pori awal ue dan perubahan tekanan air pori Au (excess pore woter pressure), diakibatkan adanya perubahan beban. Tabel 1 Nilai Consistency

Jenis Tanah Verv soft

cu

untuk Cloy/Cohesive (Terzaghi dan Peck, 1967)

c, BS 5930 1981

<20

soft

20-

Firm

40

40

-75

Medium

stiff Very

Hard

75

stiff

- 150

>150

(kPa)

Terzaehi dan Peck <

1,2

L2-25 25-50

- 100

50

-

200 >50

100


Nilai sudut geser dalam O' hasil test direct sliding ditunjukkan oleh tabel 2 di bawah ini; Tabel 2 Nilai Sudut Geser Dalam O' untuk Tanah Granular/Non Cohesive (

Jenis Tanah

Silt Silty sand

Uniform sand Wellqraded sond Sandy grovel

3.

Terzaghi dan Peck, 1967)

o' Loose

27 27

Dense

30-34 30-35

-30 -33 28

34

33

45

35

50

Hubungan Antara Kekuatan Undraineddan DrainedTanah Kohesif

Kuat geser undroined pada suatu tanah jenuh tidak dipengaruhi oleh adanya perubahan pada tegangan total, tanah yang berperilaku seperti ini memiliki O = 0. Konsep ini dapat digunakan untuk tanah Normolly Consolidated dan Slightly Overconsolidated.

Pada saat loading untuk tanah lempung NC mengikuti bertambahnya waktu, berkurangnya akses tekanan air pori mengakibatkan naiknya kekuatan geser tanah dan faktor keamanan. Sebaliknya pada unloading akan bertambah akses tekanan air pori dan mengakibatkan turunnya kekuatan geser tanah dan faktor keamanan. Tanah yang mempunyai OCR antara 4

-

8, volume tanah cenderung meningkat (terjadi dilatasi) lama untuk pembebanan geser yang memberikan konsekuensi menurunnya tekanan air pori selama pembebanan geser. Dalam hal ini, kuat geser undrained akan lebih besar dari kuat geser drained.

Tekanan air pori negatif yang tinggi akan mengakibatkan tanah mengalami swelling dan mereduksi kekuatan tanah. Menurut Terzghi dan Peck (19671, konsep O = 0 tidak dapat digunakan untuk tanah lempung dengan OCR lebih besar dari 2 sampai 4.


-

1

Tabel

3 Kondisi

Kritikal untuk Stabilitas Lempung Jenuh (Lee, 1995) Jenis Tanah

Stiff (Highly OC) Clay Timbunan

Soft (NC) Clay

Kondisi Kritikal

Kemungkinan kasus UU tetapi cek juga kasus Conso lidoted Droined (CDl

Kasus

Unconsolidated

Undrained (UU) tanpa drainase Stabilitas biasanya bukan problema utama

Catatan

GunakanO=0,c= 16 dengan koreksi

yang sesuai Galian atau Natural Slope Kondisi Kritikal

Kasus CD (drainase penuh)

Bisa, kasus UU atau CD

Catatan

4.

Stress

Jika tanah sangat

sensitif, dapat beralih dari drained ke undroined

Gunakan analisis tegangan efektif dengan equilibrium pore pressure; jika cloy agak fissured, c' dan O'dapat menurun sebagai

fungsiwaktu

- Straindalam Kompresi Triaxial

Pembebanan dalam test triaxial stondart terdiri dari melakukan konsolidasi sampel

sehingga mempunyai stress isotropic, kemudian dilakukan sliding

dengan

menggunakan verticalstress sementara horizontolstress isotropic, stress minor adalah horizontal stress. Lempung yang terkonsolidasi normal, dikonsolidasi kemudian

diruntuhkan dengan vertical stress.


Spesimen yang over konsolidasi, pertama kali di konsolidasi secara isotropic. Spesimen ini diruntuhkan dengan meningkatkan verticol stress. Hasil tes diplot strain versus stress, dengan kata lain deviotor stress telah dinormalisir. Karakteristik penting antara normolly consolidoted dengan over consolidated

:

a. Lempung yang over consolidoted lebih kuat dan lebih lentur. Lempung ini mempunyai sliding strength maximum yang akan hilang bila dikenai lagi strain. Dengan demikian strength lempung normally consolidoted dan lempung over consolidated akan saling mendekati pada strain yang tinggi.

b. Volume lempung yang over consolidated pertama kali menurun kemudian meningkat, sedangkan lempung vang normally consolidated volumenya akan terus menurun.

- stroin suatu lempung vang over consolidated mirip dengan pasir, kurva sedangkan lempung yang terkonsolidasi secara normal serupa dengan pasir gembur (loose sand). Umumnya strain yang dibutuhkan untuk peak strength ( strength maximum ) lebih besar, untuk lempung yang terkonsolidasi normal memperlihatkan kecenderungan yang kecil berekspasi setelah terjadinya pengecilan volume. lJltimate strength lempung over consolidoted dengan normolly consolidoted saling mendekati pada strain yang besar.

c. Kurva stress

5. Kriteria Keruntuhan Mohr Coulomb Kriteria keruntuhan Mohr Coulomb dapat ditulis konsisten dalam keadaan efektif; Tff = g'ff

tan O'+ c

Persamaan 6

Dimana; Tr

tegangan geser pada bidang runtuh saat runtuh

cJ'ff

tegangan normal efektif pada bidang runtuh saat runtuh

o'

sudut geser dalam, keadaan efektif

c

kohesi dari tanah


-

1

I (Sliding strength

Tm

x

:L o:B

oaA orB

orA

Normalstress (o')

Gambar 2 Mohr Coulomb Foilure Envelope

Kriteria keruntuhan ditunjukkan oleh garis lurus (Mohr Coulomb Failure Envelope\, garis ini menunjukkan batas kondisi stabil dan keruntuhan. Untuk analisa teori keseimbangan batas diperlukan parameter-parameter (c dan O) tanah dari tes laboratorium maupun di lapangan.

E.

PERSAMAAN DAYA DUKUNG FONDASI

1.

Teori Plastisitas Prandtl

Pada sekitar tahun 1920 Prandtl mengusulkan teori daya dukung berdasarkan teori plastisitas. Membentuk persamaan dari analisis kondisi aliran yang mana keruntuhan daya dukung fondasi pada permukaan tanah, seperti ditunjukkan pada gambar 3;

e

Gambar

3

Bidang keruntuhan daya dukung fondasi


lika kita perhatikan gombor 3 di otas, tanoh berdekoton dengan fondasi bergerak menuju ke otas. Bagian melengkung bidang cd maupun ce merupakan bagian spiral logaritmis, busur lingkaran dan daya dukung Prandtl, untuk fondasi di tanah lempung dengan Q = 0, yaitu; Qurt

= (n +2)c = 5,L4 c

Persamaan 7

yang lain menemukan 5,54c sampai 5,74c, sedangkan dari metode Prandtl 5,1,4c merupakan daya dukung untuk fondasi-fondasi di permukaan tanah. Nilai N. sebesar 5,14 dan bebannya sebesar 5,14 adalah pertambahan akibat geser di antara tanah dan dasar fondasi.

2. Jumikis (1962) dan Davidson (1973), Fondasi diAtas Tanah q

-

c

Yang dimaksud tanah $ - c yaitu tanah yang memiliki sifat kohesif maupun gesekan (sudut geser dalam). Kerusakan pasak berdasarkan teoritis dan pemodelan Jumikis (1962) dan Davidson (1973). Pada waktu pasak menghujam tanah, tekanan lateral

sepanjang garis og cenderung mengalihkan blok diperlihatkan oleh gambar 4 di bawah ini;

ogf

secara horizontal, seperti

F=4i-F,2

Yang mana;

s=

|t.no

[=

Pru=

2cosu


-

1

#ro

w =/,y Bl2) Kp=tan2

f

t.n o

1+s+\l

=

B2

g

yrana

dan K. = tan2 ( 45

-y)

Pasak ogb menimbulkan garis gelincir tegangan seperti yang dinyatakan sisipan kecil

blok tegangan pada c = 45 + +12 terhadap horizontal. Lalu untuk telapak dengan alas licin sehingga ob merupakan bidang utama, dengan cara yang sama maka pasak afe mempunyai sudut gelincir sebesar I = 45 - 6/Z yang keluar pada bidang oe yang juga sebagai bidang utama pada sudut p.

Kita dapat menghitung tekanan tanah tahanan total sebagai gaya po dengan cara integrasi dari blok tegangan sebelah kanan dari garis o/ sepanjang H dari gambar 1 di atas;

HH pr =l o,

00

a, =!

[ ( vz + q') tan2 (4s

+ Qlz) + 2c tan @s + g/21)

Perlu dipahami o1 bervariasi dari a sampai

f berdasarkan kedalaman

dz

z.

Maka kita peroleh; Pp

=

vH2

'2

K, + q'H K, +

2cHVK,

Persamaan 8

Dengan cara menjumlahkan gaya-gaya vertikal untuk setengah pasak adg dalam satu satuan lebar;

q,n

.

E+ y + L;rA

Qu,=c[

ffi+vr,]+r'[

cosp

-

-#*=

o

tl['J.ur[#r+' ]

r",,.,aane


Atau dapat kita nyatakan dengan faktor N, sehingga; gutt= c N.

3.

*

Q' No + y B

N,

Persamaan 10

Persamaan Daya Dukung Terzaghi

Persamaan daya dukung Terzaghi (1943) merupakan pengembangan teori daya dukung Prandtl (1920) dengan teori plastisitas untuk analisis penghujaman pasak sebuah alas kaku ke dalam tanah yang lebih lunak. Terzaghi menggunakan o = Q, sedangkan teori yang lain menggunakan 45 + +12 dan Terzaghi menggunakan faktor bentuk dengan ketentuan kohesi sc dan alas sv. Persamaan Terzaghi dikembangkan sebagaimana persamaan 2. Persamaan daya dukung Terzaghi dimaksudkan untuk fondasi dangkal dengan D < B. cr =

Seperti ditunjukkan oleh gambar 5;

Persamaan Terzaghi sbb ; Qutt= c N.

s.+ Q' Nq + 0,5y

B Nr s,

Persamaan 11

Yang mana faktor N yaitu; 2

Nq=

2

-

N.=(Nq-1)cotQ (0,7sa

"

- 0/2)

tan

0

-*"145*rr,

[4

Nv= "i* _LcosA) -11


-

L

Yang mana;

N. : pertambahan akibat geser diantara

tanah dan dasar fondasi No : konstribusi utama daya dukung akibat tambahan beban tanah atas fondasi juga merupakan konstribusi utama dalam daya dukung terutama untuk tanah dengan kohesi kecil Ny : kontribusi zona tumbukan (punch) obc dalam gambar 5, tidak terlalu besar pengaruhnya terhadap daya dukung kecuali fondasi itu sangat besar

Faktor bentuk s. dan s, sbb; Tabel

Faktor

4

Faktor Bentuk dari Terzaghi

Bundar

Menerus

Bujur sangkar

sc

1,

t,3

L,3

sv

t

0,6

0,8

Daya dukung batas Qurt= c N.

*

Daya dukung batas

qu;1

fondasijalur sbb;

Q' No + 0,5y B

qu;1

N,

Persamaan tZ (a)

fondasi bujur sangkar sbb;

qrl1= L,3c N. + g' No + 0,4y B

N,

Persamaan 12 (b)

Daya dukung batas qurt fondasi bundar sbb; Quh= 1,3c N. +

9'

No +

0,6y B N,

Persamaan 12 (c)


Faktor berikut ini;

daya dukung untuk persamaan Terzaghi, diperlihatkan oleh Tabel 5

N

abel 5. Faktor

Dukung untuk Persamaan Ter

I

o

N.

N

N,

Kou

0

5,7 7,3

0,0

l-0,8

12,9 17,7

4,4 7,4

0,5 1,2 2,5

!2,2

9,6

1,0 7,6 2,7

5

10 15 20 25 30 34 35

40 45 48 50

1-4,7

L8,6 25,0

25,L

12,7

5,0 9,7

37,2 52,6 57,8 95,7 172,3

22,5

1,9,7

36,5 41,4

36,0 42,4

82,0

81,3

too,4

141,,0

L73,3

297,5

298,0

258,3 347,5

287,9

780,1_

415,1

tL53,2

35,0 52,0

800,0

Contoh 1 Hitung besarnya daya dukung fondasi yang diizinkan q"rr dengan faktor keamanan 3, jika lebartelapak B = 1,5 m serta B = 3 m.

Data tanah dari hasil test trioxial undrained serta dimensi dari fondasi seperti ditunjukan oleh gambar C 1 berikut ini; p I I

+

c: ',2m

14.5 kPa

Q:200 y

J l

:

17,5 kN/m3

B

Gambar C

1


-

1

Solusi SF =

0

3 biasanya dipakai jika c > 0

= 200 dari

Tabel2 didapat Nr=17,7,

Nq =

7,4serta

Nv = 5

Faktor bentuk si; s. = 1,3

dan s, = g,g karena bujur sangkar

Persamaan Terzaghi sbb; Qurt= c N. s. + Q'

Nq + 0,5Y B Nr s,

Yang mana, q' = V H Daya dukung batas qrp; Qu11=

L4,5 .L7,7.1,3 + (L,2.17,5)7,4

+O,5.17,5.8.5

' 0,8

= 489,5 + 35 B

Maka daya dukung yang diizinkan

q.11

yaitu;

Qalt= gutt/ SF = l_63,L7 + 7L,67 B

jika,

m m

B = 1,5 B=3

4.

maka q.rr = !80,67 kN/m2 = L8,1 T/ m' maka q.11 = L98,2 kN/m2 = 19,8 T/ m'

Daya Dukung Meyerhof (1951 ,1963)

Daya dukung Meyerhof mirip dengan daya dukung Terzaghi, tetapi memasukan faktor

bentuk yang mana so untuk suatu kedalaman No. Faktor kedalaman disertai faktor kemiringan i;. la menyarankan bentuk persamaan sbb; Beban vertikal; Qutt= c N. s. d. +

g'Nq

so do +

0,5y B N, s, d,

Persamaan 13 (a)

Pemboran, Kuat Geser, danDaya Dukung Tanalt

Beban miring; Qutt

= c N. dc i. +

g'

Nq do io +

0,5y B Nv dv

iv

persamaan 13 (b)

Yang mana faktor N yaitu; Nq = €

ot'no

1an2 (45 + Q/2)

N.=(Nq-1)cotQ Nv = (Nq

-

L) tan (1,4 0)

Faktor bentuk, kedalaman serta kemiringan ditunjukkan oleh tabel 6, tabel tabel 8 sbb; Tabel 6 Faktor Bentuk s dari Meyerhof

Faktor Bentuk

Kegunaan

B

s.=1+0,2Kp L

Semua nilaiQ

sq=1+0,LKof=s,

o>10o

s,=s"=1

0=

oo

Tabel 7 Faktor kedalaman d dari

Faktor Kedalaman

d.=L+0,2

D BVKe

Kegunaan

Semua

do=dr=t+0,1*VKo

o>10o

do=dr=1 Kp =

tan

2@s

+

0=

+lz)


nilai0

-

1

oo

7

dan

abel 8 Faktor Kemiringan i dari Meyerhof g00

Faktor Kemirinsan

Kegunaan

2

i.=i.-[r-#]

Semua nilaiQ

i,=[1-9]' 'q

o>100

iv=0

0=oo

0 : sudut kemiringan terhadap vertikal Faktor N daya dukung untuk persamaan Meyerhof, diperlihatkan Tabel 9; Tabel 9. Faktor N

10

5,L4 6,49 8,34

15

LO,97

0 5

20 25 26 28 30 32 34 36 38 40 45 50

untuk Persamaan 1,0 L,6 2,5 3,9

0,0 0,1 0,4

14,83

6,4

2,9

20,7\

10,7 1L,8 L4,7 18,4 23,2

22,25 25,79 30,13 35,47 42,74 50,55 51,31 75,25 133,73 266,5

29,4 37,7 48,9

t,L 6,8

8,0 1-1-,2

!5,7 22,0 37,7 44,4 64,0

134,7

93,6 262,3

318,5

871,,7

64,1,

Sompoi sekitar D = B nilai daya dukung botos qult Meyerhof tidak jauh berbeda dengon Terzoghi, perbedoannya lebih kelihotan poda rasio D/B yang lebih besar.

Pemboran, Kuat Geser, danDaya Dukuttg Tan,tJr

'

217

5.

Hubungan gp,Terhadap gt,

Perlu untuk diingat bahwa sudut geser dalam $ dari uji trioxialQl, adalah 1- 5 0lebih kecil daripada sudut geser dalam dari uji regangan bidang (plane strain). Jadi 0p, merupakan hasil pokok dari ujigeser langsung.

Di lapangan pada waktu sebuah tembok panjang condong ke depan karena tekanan tanah lateral, berkembanglah kondisi regangan bidang sepanjang dinding kecuali ujung-ujungnya.

Hal yang serupa telapak panjang suatu dinding adalah suatu kasus regangan bidang lawan kasus trioxioluntuk suatu telapak bujur sangkar, hubungan plane strain terhadap regangan triaxiol oleh Lee (1970) dan Meyerhof memodifikasi peralihan kasus regangan triaxialpenuh menjadi kasus regangan bidang penuh untuk telapak L,L

- 0,1. B/L. Lade dan Lee (L976) mengusulkan hubungan 0p, terhadap Otr yaitu;

$p, =

1,5$t,-!7o

untukO > 340

Contoh 2 Diketahui fondasi telapak dengan lebar B = 0,5 m, panjang L = 2m dan dalam fondasi D = 0,5 m. Serta dari test trioxialdidapatkan 0t = 42,70 dan c = 0. Seperti ditunjukkan oleh gambar C 2. Hitung daya dukung batas q,l1fondasi.

,,. J

c--0

0,5 m

Qtr:42,70

Y' :9,31 B:0,5

m

Ganbar C 2


-

1

Solusi

q' = y' D = 9,31. 0,5 = 4,65 kpa

B/L=0,5/2=0,25 dan D/B =O,5/0,5=L Qp, = 1,5Qt

r-

17

0p, = 1,5(42,70

o

)-

untuk O > 340 o

L7 = 47o

dari hasil interpolasi didapatkan Nv = (Nq

-

Nq

= 186,9 sehingga

1) tan (1,4 0) = (186,9

-

;

1) tan {L,4 970 | )

= 4t3,6 Kp =

tan'(45 + 6/2) =tan

sq=sv= l-+0,1

Ke*

2(45

+ a7

/2)

untuk O >10

= 6,44dan VKo = 2,54

o

Sq=sv= 1,16 dq =

dv=

1+0,1*r*,

untukO >1Oo

= 1,25 Qutt = Q' No so do +

0,5y B N, s,

du

= ( 4,65 . 186,9 . 1,16 . 1,25 ) + ( 0,5 . g,3l-

.0,5 . 4L3,6 . L,16 . 1,25ll

= 2659 kPa

Contoh 3 Berdasarkan uji sPT pada pengujian lubang bor didapatkan q, rata-rata 200 kN/m2. Rencanakan daya dukung yang diizinkan dengan SF = 3 untuk fondasi telapak bujur sangkar berdasarkan metode Meyerhof dan Terzaghi.


Solusi

cu= 9ul 2

a)

Daya dukung berdasarkan metode Meyerhof yaitu;

6 dan sr= L,2 untuk Metode Meyerhof

N.= 5,14 dariTabel gutt = sccu Nc +

9'

Nq = 1,2

(q"/ 2l5,L4 + Q' Nq

= 3,084 Q, + Q' Nq earr =

guh/ SF = l-,03 qu + 0,334 q'

No

0,334 q' No diabaikan maka q"rr; qr1; = 1,03 Qu

b)

Daya dukung berdasarkan metode Terzaghi yaitu;

N.= 5,7 dariTabel

2 dan s. = 1,3 untuk Metode

Qutt = sc cu Nc + Q' Nq

= L,3 (q"/ 2 ) 5,7 + Q'

Terzaghi untuk 0 = 0

Nq

=3,705 Q, + Q, Nq ga1 = Quh/ SF =

\,23 qu + 0,334 q'

No

0,334 q' No diabaikan maka q"rr; q311

= 1,23

Qu

Dapot disimpulkon bahwo daya dukung izin dori keduo metode itu mendekati qu dari SPT karena es11= L,03 qu ataupun Qs11 = L,23 q, mendekoti qudori SPT. Penggunaoff Qu = qorr hampir bersifot umum bila contoh tonoh dori SPT digunakan untuk qr, koreno contoh tonoh ini poda keodaon tergonggu sehinggo SF berada podo 4 atou 5 sebogai penggonti SF = 3 seperti contoh 2 di otas.

Metode seperti ini tidok diperbolehkan iika Qu < 75 kPa dan hal ini su harus ditentukan pado bahan atau tonah yang kualitosnya lebih boik daripoda contoh bohan dori SPT.


-

1

6.

Faktor Keamanan dalam Perencanaan Fondasi

Faktor keamanan yaitu nilai banding yang sesuai dari kekuatan bahan dengan beban. Bahan teknik seperti beton dan baja dengan kontrol kualitas yang ketat namun demikian dalam perencanaan kekuatan untuk beton nilai batas efektif diambil 85% kekuatan komprehensif. Pada logam serta baja diambil 80-90% dari kekuataan leleh yang diukur, hal inifaktor keaman sudah diterapkan. Berat sendiri dari bangunan atau beban mati dapat ditentukan setelah konstruksi direncanakan, faktor beban untuk beban mati dan hidup menyatakan secara terbatas derajat ketidakpastian yang berbeda untuk setiap jenis beban. Ketidakpastian dalam penentuan kekuatan tanah izin lebih besar daripada beton dan baja, ketidakpastian ini sbb;

a) b) c)

Kurang kontrolnya terhadap perubahan lingkungan setelah konstruksi selesai

d)

Ketidakmampuan dalam pemodelan matematik untuk fondasi.

Rumitnya sifat dari tanah Pengetahuan tentang tanah serta menentukan parameter tanah yang tidak memadai

Ketidakpastian yang dihasilkan ini harus dihitung untuk setiap lokasi dengan faktor keamanan yang sesuai yang tidak terlalu konservatif tetapi memperhitungkan;

a) Besarnya kerusakan jika terjadi kegagalan b) Biaya dari penggunaan SF c) Kemunkinan terjadinya keruntuhan jika SF diubah d) Akurasi data tanah, sifat tanah akibat pembangunan serta pengaruh e) Ketelitian dalam penggunaan metode perencanaan fondasi.

lainnya

Geseran ditafsirkan sebagai daya dukung untuk fondasi telapak, ketidakpastian dalam penentuan tegangan geser izin menghasilkan SF yang lebih besar daripada yang ditunjukkan oleh Tabel 11. Misalnya ga1 = q, seperti pada contoh 3 yang mana SF > 3 karena tanah pada kondisi terganggu sehingga SF berkisar 50 - 60 persen dari nilai di tempat, maka SF yang sebenarnya jauh lebih besar.


Jika settlemenf (penurunan) membatasi, maka daya dukung izin akan berkurang sehingga SF nilainya jauh lebih besar.

Hansen (1967) dan Meyerhof (1970) mengusulkan SF parsial untuk parameterparameter tanah;

-

Pada tanah tidak kohesif Q, SF berkisar 1,2 Pada tanah kohesif c, SF berkisar l-,5

-

-

1.,3.

2,5 (lebih tergantung keadaan).

Beban rencana didapatkan dari yang paling kritis. Faktor pembesaran dari peraturan Rikombinasi beban rencana berikut perlu untuk diselidiki;

a) RoDL+R1LL+R5S+HS b) RoDL+R1LL+R1,yW+HS

c)

RDDL+R1LL+REE+HS

SF=3 SF=2 SF=2

mana; beban mati seperti berat konstruksi dan semua beban yang membebani DL secara permanen. beban hidup atau semua beban yang membeban secara tidak permanen LL tetapi mempe W beban angin bekerja pada konstruksi yang terbuka.

HS

beban gempa atau gaya lateralyang bekerja pada konstruksi. beban hidrostatika atau semua beban yang disebabkan tekanan

atau

(

-

(+)

).

beban salju bekerja pada atap, nilainya berdasarkan peraturan. beban akibat tekanan tanah bisa vertikal atau lateral.

Umumnya SF untuk beban sementara seperti angin dan gempa lebih kecil yang bukan suatu keharusan. Jika perencona menemukon intensitos beban yong tinggiokibot kombinasi bebon

sementoro, mako tekonon dukung yang direkomendasikan tidok dinoikkon secara sembarangan sebesor sotu per tiga otou nilai lainnya; tonpa berkonsultasi de nga n pe re nca na geotekn ik.


-

1

Faktor keamanan SF yang lazim digunakan pada pekerjaan konstruksi ditunjukkan oleh tabel 10; abel 0 Faktor Keamanan SF vang Lazim

Jenis

Kegagalan Geser

Geser Geser

kan

Jenis Fondasi Pekerjaan tanah, bendungan, urugan dll Konstruksi penahan dinding Dinding turap Bendungan elak, galian yang ditopang sementara Fondasi telapak setempat

Geser

Fondasi rakit Fondasi tarikan ke atas

Rembesan

Tarikan ke atas, naiknya dasar galian serta erosi bawah tanah

SF

L,2

-

1_,5

-2,O

7,27,2-

7,6

1,6 L,5

2-3 1,7 7,7

-2,5 -2,5

3-5


ANALISIS PENURUNAN

--r8 A.

(Settlement)

PENURUNAN

Penurunan (Settlement) terjadijika material tanah menerima beban di atasnya.

Settlement yang terjadi merupakan perubahan regangan sepanjang kedalaman.

6g=JedH

PersamaanL

e=AH/H ataue=o/E, Dimana:

s : regangan AH : settlement o

:

tegangah E, : modulus

elastisitas tanah

Settle m e nt, terbagi atas:

a. Penurunan Langsung ( AHL ) atau short term b. Penurunan Konsolidasi (AH. ) atau long term c. Penurunan Rangkak ( AHc.."o ) atau long term

Untuk menetukan settlement yang terjadi, selain harus diketahui parameter tanah dan kedalaman dari muka air tanah, sebaiknya diketahui sejarah dari tanah itu sendiri, antar lain: a. normolly consolidated, iika o'u = P. b. under consolidoted,iika o'u ) P. c. over consolidoted,

iika,jika o', < P.

Sehingga akan diketahui OCR ( rasio over consolidatedl OCR ; 1 OCR >

- 4: term asuk lightly

4 :

over consolidated over consolideted heavily termasuk

) P., tidak akan menghasilkan

Kondisi under consolidoted dimana o'u

consolidated settlement (penurunan konsolidasi), penurunan langsung atau short term yang dihitung. Dimana;

1.

Ou'

:

tegangan over burden efektif dari tanah

P.

:

tegangan pro consolidoted

Total Penurunan (AH) setttement(aH) =

#.

H.log t

d+-]

,urrumaan

Settlement (AH )dapat juga dengan persamaan: AH = mu Aou'

H

Persamaan 3

Dimana;

Settlement

AH

:

cc

: lndeks Kompresi

c,

: lndeks Muai


-

1

2.

Angka pori mula

-

mula

e6

:

Ao,'

: Penambahan beban akibat beban luar

or'

:

Tekanan over burden tanah efektif

P.

:

Tekanan pra konsolidasi

mv

: Koefisien kompresi volume tanah

Penurunan di Sekitar Lokasi Beban

Lokasi beban sangat kecil dibandingkan dengan ketebalan lapisan tanah sebagai contoh dalam masalah fondasi, kita tinjau elemen tanah di bawah beban fondasi seperti ditunjukkan gambar L, di bawah ini;

PS1r,lJm{eEe

Gambar 1. Elemen tanah dibawah beban fondasi

Beban q yang disalurkan melalui fondasi berdiameter B, akibat beban q maka pada elemen tanah yang ditinjau bekerja adanya perubahan beban vertikal total Ao, dan perubahan beban horizontal total Aor.,. Akibat tekanan air pori awal (initial excess pore woter pressurel u"o meningkat pada elemen itu lebih kecil dari Aou dan lebih besar dari Aon, maka;

Aou< u"6(A06 Dalam bentuk tegangan efektif;

Aou'=AOr-u"o A06'=A06-u"o

Analisis P enurunan (settlement)

Tegangan vertikal efektif meningkat sedangkan tegangan horizontal efektif menurun, hal inilah yang menyebabkan terjadinya penurunan segera (immediate settlement) AHi. Penurunan konsolidasi pada elemen saat tekanan air pori terdisipasi, ue menurun sehingga tegangan horizontal efektif Ao6' meningkat mendekati tegangan horizontal efektif awal Ao66'. Skempton dan Bjerrum (1957) menyatakan bahwa regangan lateral e6 selama konsolidasi LS%o eu, maka kita gunakan test konsolidasi menjadi dasar untuk memprediksi batas penurunan konsolidasi AH.. Dalam permasalahan ueo < Ao, kita dapat nyatakan;

AH. = p mu Aor'

Persamaan 4

H

Dimana;

p : faktor pengaruh wilayah beban Nilai dari p ditunjukkan pada gambar 2; Gambar 2 Nilai Koefisien Penurunan B (Scott, 1963) tr'.:l::ti *g ;::i:.-:r =

H

E .:

:ilcl:

-

---

{.

ilif

"..r'-

:i-

,|F

r'kF "u,u

-?ia z.

r tt-'

.'i

r I

*:i i

I

:;'': ;i' :: :; : i:a:i

lt


€ I

-

1

Penurunan

p..

2 adalah hubungan

Pore Water Parameter yaitu; penurunan total Maka

Gambar

A Terhadap

Koefisien

AH=AHi+AH. Atau; AH =AHi+

lrIYlrAor'H

Persamaan

1-) Penentuan beban o'udan Ap

or' = yH

Persamaan 6

Dikarenakan kedalaman dan berat isi satuan tanah (V) bervariasi, maka harus dicari secara linier.

2) lndeks Tekanan

(C.)

lndeks tekanan atau indeks kompresi Azzouz, L976 mengusulkan; a. Tanah tidak organis, lanau, lempung dan lempung berlanau ; Persamaan 7 (a)

c. = 0.3( eo- 0.271

b.

Tanah organis, gambut, lempung dan lempung organis; Persamaan 7 (b)

C. = 0.0115wn

Dimana;

wn : kadar air natural/lapangan

3)

KoefisienKonsolidasi C, untuk tipe tanah dengan lP > 25

mempunyai Cu : 0.1 - 1m2/tahun = lndeks tekanan atau indeks kompresi Terzaghi dan Peck, 1976 dariterdahulunya Skempton mengusulkan; cu =

Nilai

Cu

o.oo9( wL

-

1o%

)

Persamaan 8

bervariasi, tergantung jenis dan kondisi tanah di lapangan.

Analisis

P enurunan

(settlement)

3.

Penurunan Rangkak (AH') atau Creep

prosesnya memakan Penurunan rangkak terjadi setelah konsolidasi utama selesai, waktu yang cukuP lama. settlement (AH,;

=

#;

H . log (tzltr)

Atau

Settlement(AH,; = co .H log

1

to+-

tIt

lt

Persamaan 9

)

Persamaan L0

)

C'o = Ae ln (tz/tr) Dimana C'o : koefisien tekanan kedua

At

: Penambahan waktu

tp:waktuketikakonsolidasipertamatelahselesai Hubungan C" dan Co Co < 0.05

Cc

Co < 0.07 s.d. 0.1

: untuk tanah tidak organis

C.

: untuk tanah organis, bergambut

Contoh 1

timbunan dengan Vti-t = 18 Pekerjaan timbunan tanah setinggi 4 m dengan bahan y 17,5 kNlmi, di atas tanah lempung bongkahan dengan ketebalan 5 m, memiliki = k*7;r. Alas timbunan diberi lapisan pasir tipis untuk mengalirkan air arah horizontal, seperti pada gambar Cl di bawah ini' Jika hasil

-'m'/kN' lob untuk tanah dasar timbunan memiliki ffi, = 1,2.10

Hitung total sett/e ment yang terjadi'


-

1

4a:

Hu;6*rr"

----},;:'',

FsEXr

Gambar. Cl Solusi

Aor'=Yti.n,Htimbunan

=18.4=72kN/m2 Maka total sett/e ment yang terjadi; AH = ffiv Aou'

H1

= L,2.10-o

.72 .5

= 0,0432 m = 4,32 cm

B. TINGKAT KONSOLIDASI 1. Waktu Konsolidasi

(

tr)

Lama proses te-rjadinya konsolidasi yang berakibat pada terjadinya settlement, dapat ditentukan dengan diketahuinya c, ( Lab ). Posisi t diambil pada saat konsolidasi mencapai 50%, sehingga waktu yang digunakannya adalah tso. c, = k/( m,V*) = k( 1 + el

/(a,y*)

Atau;

cu=THz/ti

Persamaan 1l-

ti = TH2/ c,

Persamaan L2

Maka;

An ali si s P enurun an

(s

ettl ement)

2.

Derajat Konsolidasi( U ) U = VT/n

Persamaan

1-3

Dimana:

T:

merupakan faktor waktu

ti : lamanya proses terjadinya konsolidasi ( waktu ) Hubungan antara derajat konsolidasi U terhadap faktor waktu ditunjukkan oleh tabel L; Tabel. 1. Hubungan Persentasi Konsolidasi Terhadap Waktu U

T

00 20

0.000 0.008 0.031

30

0.071,

40

0.L26

50

o.L97

60

0.287

70

0.403 0.567 0.848

10

80 90 100


F

-

1

Contoh 2 Dari hasiltes laboratorium terhadap contoh tanah lempung dari lapangan setebal H = L cm (setengah tebal), tso = 10 menit dan c, = 10 -6 m2/menit. Hitung waktu yang diperlukan untuk konsolidasi, seperti pada gambar C2, di bawah ini. pesII

t

I4-=

Gambar. C 2 Solusi Karena tingkat konsolidasi lOO% tak terhingga, ambil U 90%

Faktor waktu T untuk tingkat konsolidasi U 90 %, didapat T = 0,848 Maka waktu yang diperlukan untuk konsolidasi yaitu; Dari persamaan L2;

Ambil tebal tanah lempung lapangan H = 5 m Karena tanah lempung diambil untuk

di tes dengan koefisien

sebesar; cv = 1o

t

*6

m2/menit.

=\H2/ cu = (0,848x5)'/ tO-u = 2,L2. 10

7

menit = 40,34 tahun

An alisis

P enurunan (s e t tlemen

t)

konsolidasi

ANALISIS GEMPA PADA TIMBUNAN

--r9 A.

LIQUIFAKSI

Liquifaksi (liquifactionl dan tingkat kerusakan akibat gempa dimana sifat dan penyebaran kerusakan akibat gempa terutama dipengaruhi oleh respons tanah terhadap beban siklik. Respon tanah ini ditentukan oleh parameter tanah, dalam hal ini parameter dinamik tanah antara lain; modulus geser maksimum (G ,.*), kecepatan rambat gelombang geser (V,) dan damping (0. Liquifaksi yaitu hilangnya kekuatan tanah akibat kenaikan tegangan air pori yang timbul akibat beban siklik.

o'=otot-u=0

Persamaanl

Potensi liquifaksi pada suatu tanah dapat ditentukan dari kombinasi sifat-sifat tanah, faktor lingkungan dan karakteristik gempa, antara lain: 1. Sifat

Tanah

2. Faktor

:

Lingkungan :

3. Karakteristik

modulus geser, sifat redaman, karaktristik butiran dan kepadatan. cara pembentukan tanah, riwayat geologis, koefisien tekanan lateral, kedalaman air tanah, tegangan keliling tanah.

gempa : intensitas getaran, lama getaran, besar dan arah getaran.

Analisa liquifksi dapat dihitung berdasarkan void rotio/relative density dan SPT;

ou'dalam satuan psi Dr =V ( N/ 1.7

o,' dalam satuan

(o,'

+

Persamaan 2

T/m2

gr=@ Jika Dr >

7O%=

Persamaan 3

Tidak terjadi liquifaksi.

Perambatan Gelombang Gempa

Epicenter ----+Bed Rock

Surfoce -------+Structure

--*pokok untuk mengetahui perambatan gelombang Perlu diketahui beberapa hal antar lain: a. Properti Dinamik Tanah b. Perambatan Gelombang

Gempa.

c. Perubahan Percepatan dan

Response Spectro dari Batuan dasar.

PARAMETER DINAMIK TANAH

B.

Sifat dan penyebaran kerusakan akibat gempa terutama dipengaruhi oleh respons tanah terhadap beban siklik. Respon tanah ini ditentukan oleh parameter tanah dalam hal ini parameter dinamik tanah. Parameter dinamik yang digunakan antara lain:

a. Modulus geser maksimum

(G

,.*

)

b. Kecepatan rambat gelombang geser (V, ) c. Damping([). Nilai modulus geser dan damping ratio bergantung pada;

Jenis tanah, tekanan keliling, tingkat regangan dinamik, derajat kejenuhan, frekuensi, mognitude tegangan dinamik, dan regangan dinamik (Hardin dan Black, 1e6e).


-

1

Korelasi G n,,", dengan Nilai N SPT Seed dkk ( 1984 ) mengajukan persamaan:

G."* = 2o,ooo ( Nr

1/3 )eo

oo

o's

yaitu N yang telah dikoreksi dengan tegangan over burden efektif sebesar 96 kPa dan menyatakan efisiensi 6% dari energijatuh bebas teoritis. (Nr)oo

abel 1 Korelasi

Referensi

Korelasi G max

G

n

Jenis

Tanah

CPT

Keterangan Berdasarkan Hasil Uji

Rix dan Stroke,

1991

Mayne dan

(o,')o

Rix,

1993

Bouckovalas dkk, 1989

G."* = 1634

(q.)o'2s

"t

Gr", = 406(q.)o'6es

eu-

Pasir

1..13

Lempung

G."* = 28 (q.)t'oo

Lempung

Lapangan di ltalia dan

Kalibrasi Chomber Test Gmax, qc, dan o,'dlm kPa Berdasarkan Hasil Uji Lapangan di beberapa Lokasi Dunia. Gmax, qc, dan o,'dlm kPa Berdasarkan Hasil Uji Lapangan di Yunani untuk

Soft Clay. Gmax, qc, dan

o"'dlm

kPa

Sumber: lr. Mosyhur lrsyam, MSE., Ph.D

Catotan: Untuk anoliso liquifaksi dan dompak kerusokan akibat gempa diperlukan dato hosil SPT dan CPT.

An alisis G emp a p ad n T imbun an

C.

ANALISIS GEMPA PADA LERENG DAN TIMBUNAN

Gempa merupakan beban siklik yang perlu untuk dianalisis terhadap stabilitas timbunan. Begitu juga terhadap kuat geser tanah yang akan mereduksi berupa transmisi beban, sehingga mengakibatkan terjadinya regangan siklik (cyclic stroinsl. Beban siklik mengakibatkan hilangnya kekuatan daritekanan air pori (pore woter pressure) pada tanah non-cohesive, sehingga menyebabkan terjadinya liquifaksi.

Pada tanah cohesive yang tidak sensitif masih ada 8O% kekuatan tanah statis (Makdisi dan Seed, L978). Secara umum ada empat metode analisa untuk stabilitas lereng akibat gempa;

-

Pseudostatic Method; Beban gempa disimulasikan berupa gaya horizontal dan vertikal dengan analisa kekuatan batas. N

ew m

a

rk's Displ oce

m

e

nt

M ethod ;

ini didasari oleh

konsep bahwa percepatan terhadap lereng merupakan percepatan stotic yield sehingga mengakibatkan timbulnya

Metode

displacement permanen (Newmark, L965). Post E rth

quo

ke Sta bil ity

Metode ini berdasarkan dari data laboratorium, kekuatan geser undroined ditentukan oleh contoh tanah ketika menerima beban cyclic berupa beban gempa (Castro et al., 1985). Dynamic Finit Element Analysis

Analisa ini memakai dua atau tiga dimensi dan analisa menggunakan pendekatan model tanah, sehingga mendapatkan data tegangan, regangan serta displacement permanen (Finn,1988; Prevost et a1.,1985).


-

7

1. Pseudostatic

Method

Beban gempa disimulasikan berupa gaya horizontal dan vertikal dengan analisa kekuatan batas, serta pendekatan secara simple pada lereng yang diimplementasikan oleh metode keseimbangan batas. Gaya stotic seismik vertikal dan horizontal dipakai untuk mensimulasikan gaya inersia yang merupakan percepatan gempa.

Gaya seismik yang diperhitungkan hanya arah horizontal kn, sedangkan arah

vertikal k, = 0, yang mana

kr.,W

bekerja pada lereng serta berat W tanah akan

berpotensi terjadinya longsor (sliding moss), seperti ditunjukkan oleh gambar 1;

{,ilmnJ rru*l*ratinn

Gambar

1

Perhitungan faktor keamanan (FOS) menggunakan metode konvensional, sulitnya metode iniyaitu cara menentukan koefisien seismiknya. Koefisien seismik magnitude akan menunjukan besarnya gaya gempa, yang berdasarkan;

-

lntensitas gempa, sebagai contoh peok ground occeleration (PGA)

Frekuensi yang salah satunya dapat dipilih sebagai koefisien seismik dan setara untuk peok ground occelerotion pada lereng.

An alisi s G emp a p ada T imbunan

"!n 1,S

1$

p

';

1J

-

G rJ -

t.:

I

na 0,6 UU

0-l

0;

0_3

lirrtison

o3

n{

$"6

Snlsrntc

Gambar 2 Hubungan Koefisien Seismic Terhadap FOS

Koefisien Seismik dan FOS untuk penggunaan praktis ditunjukkan tabel 2. Tabel

Seismic

koef

0,1 0,15 O,'1,5

0,05

- 0,25 - 0,15

0,L5

1./3-%PGA

%PGA

2.

2 Koefisien

Seismik dan FOS untuk Penggunaan Praktis

Keterangan

Gempa secara umum, FOS > 1(Corp of Engineer,1982) Gempa lebih besar, FOS > 1(Corp of Engineer, !982) Jepang, FOS > 1 California Seed (1979) dengan FOS > 1,1-5 dan2Oo/o reduksi kekuatan Marcuson dan Franklin (1983), FOS >1 Hynes - Griffin dan Franklin (1984), FOS >1 dan20% reduksi kekuatan

Makdisi dan Seed (1977,1978)

Makdisi dan Seed mengusulkan konsep yang pada awalnya merupakan konsep Makdisi

dan Martin (1965) untuk perhitungan respon dinamik gempa pada timbunan dan menentukan percepatan digaris keruntuhan permukaan pada timbunan.


-

L

Lebih jelasnya hal ini ditunjukkan oleh gambar 3 yang mana gelombang gempa merambat dari tanah dasar kemudian merambat ke tubuh timbunan.

Gambar 3 Langkah - langkah perhitungan analisis gempa pada timbunan

-

;

Rencanakan tingkat regangan geser rata-rata pada timbunan.

Tentukan shear stroin y untuk mendapatkan rasio G/G."*. Grafik hubungan shear stroin terhadap rasio G/G.r*ditunjukkan oleh gambar 4; 1ff i

i :.-

4

UO F

-=a

T

,, L

1E

1, J

fi.s001

0.101

t$t $hmr ttnnr

[.

1

1.$

E

.l

10

7,*

Gambar 4. Hubungan Shear Strain y,% terhadap Gf G^",ratio

Analisis

Gemp a

p

ada Timbunan

Untuk memilih tingkat regangan geser, tentukan modulus geser G dan rasio damping l, dan hitung kecepatan gelombang (wove velocity) v dengan formula; o'u v = (G/ p)

Persamaan 4

Dimana;

-

V

: kecepatan gelombang permukaan dalam (m/detik)

G

: modulus geser (sheor modulus, kPa)

P

: kerapatan massa

(f/ m')

Hitung tiga model perioda (T, detik)

Tt= 2,618 H/ v

Persamaan 5

Tz= L,L38 H/ v

Persamaan 6

Tz= 0,726 H/ v

Persamaan 7

Hitung percepatan maksimum di puncak dam (ti ,.*) (l ,n.* = 12,56 Srr2

+

7,125"22 +

O,74S"z2lo's

Persamaan 8

Dimana;

Sai : merupakan spectro accelerotion yr, = 0,195( H/v2

)S.i

Persamaan 9

Atau; sai = vav .v'/ 0,195

H

Persamaan 10

S.; didapatkan dari grafik hubungan Periode T terhadap rasio spectro occelerotion serta PGA atau Sai/ PGA. Hal ini ditunjukkan oleh gambar 5;


-

1

F(;A- tl.ll{ q l',,\]rf [J.lll (Lrmpufnt, ;

I

l9i)

ii

1

,.i 1-

E1

)alrDllls, S.}'

n

E

'i_+_____'

I

E

at

I

,

i..",

tl{'s

!

;J

-* Jil% -4._.4*\L

0,J

1,0 Ps irrJa'I-,

Gambar

5

av

=

..g"

l,J

3,0

d.tik

Accelerotion Response Spectra N21E Taft,L952 Kern Country California Eorthquake

Hitung overage sheor strain (y y

l

0,195[H/v2]Sri

^r)

Persamaan 1L

Tentukan y/H rasio hubungan dari yield occeleration dengan menggunakan gambar 6, sehingga didapatkan hubungan y/H dengan k,.* / (i ,.* dan k .,* didapatkan.

Analisis

Gemp a

p

ada Timbunan

B,l

s.4

Arrclu

Gambar

6 Variation

atinn

0,6

Rrtirr

0,8

k"-: ii ".

of maximum occelerotion rotio with depth of sliding

moss (Makdisi and Seed, 1978 by permission of ASCE)

Tentukan ky/ k..* untuk mendapatkan displacement U (dalam cm) dengan menggunakan gambar 7; losc

7n,,/,li

100

l,{= i

,/\ 10

/'

E

a.'\

<:t t

rHh;_''/,/.x:\

EI

'<,]:t/

4

a

",

5'

t 1l

u

01

s.01

0

0,3

Gambar

7

B$

rJ ,&*liBtiun

lliti!

lit

:

k

0,8

1,n

-,

Variation of permonent displocement with yield occelerotion moss


-

1

Displacements tetap untuk timbunan

Tabel

3 di

bawah

ini

menunjukkan hubungan mognitude gempa terhadap

displacement tetap; abel 3 Permonent

t untuk timbunan

Mognitude

Permanent

Gempa

Displacement

6,50

L-8

7,50

1.-14

8,25

1.4

-

40

Contoh Timbunan setinggi 46 m memiliki parameter tanah bahan timbunan yaitu;

berat satuan volume y = 20,4 kN/m3. Respon spectra percepatan untuk damping rasio antara 5 - 20% ditunjukkan oleh gambar 5. Tentukan displacement permonent untuk percepatan max (peak ground accelerotionl 0,2 g, yang mana rasio keruntuhan permukaan y/H untuk masalah ini sebesar 0,85 dan acceloration kritis leleh (crifical yield occelerotion) sebesar O,14 g. Gr"* =

175OOO kPa,

Solusi

Putaran 1 Tahap 1; Asumsi regangan rata - rata (sheor strain averoge) y"u = 0,06%o Tahap 2; Pada gambar 4, Yû = O,06% didapatkan G/Grr* = 0,4 sehingga; G = 0,4 . Gr.* = 0,4

.175 000 kPa = 70 000 kPa Serta rasio damping l',= L3%o, sehingga kecepatan geser gelombang v;

v=f[0.4. G,,-.r-.] y

=

183,5 m/s

o't

I o,q.r75 000 .9,81

-l

0.s

, =|

-2oA

An alisis G emp a p ada T imbun an

Tahap 3; Hitung tiga modal periode T;

Tr=2,6!8H/v

recall pers. 5

Tz= 7,L38 H/ v

recall pers. 6

Tz= 0,726 H/ v

recallpers. 7

Maka;

f r= 2,6L8 Hf v = 2,678 . 461 183,5 = 0,656 detik Tz= 1,L38 Hf v = 1,138 . 46/ 783,5 = 0,285 detik

Tz= 0,726 Hf v = 0,726 . 46/ L83,5

= 0,182

detik

Tahap 4; Gunakan respon spectro normal pada gambar 5

Hitung spectro occeleration

Sî

F(ir\= [ llg "1"]U:-fS.

IiL'mr4re-r 4

leil

/3 ri .T

E

r,.

l.i ':J

li

II i :'. 1i I

L, t1

.muine.

i3

i*l:X

u

E

3

i-'i.----+

---'-----*!5-"," n

.r : rro. "..::-ic:::-..?}-U/q L%-

i*-q ,1

ni

1r1

Ii

1t*

tn

lltsiudr "l', drlik

Gambar

5

Acceleration Response Spectra N27E Taft,1952 Kern Country California Earthquake


-

L

;

Untuk; T = 0,655 detik T = 0,285 detik T = 0,182 detik

0,2 . 1-,3 = 0,26 E 522 = 0,2 .7,5 = 0,32 g S33 = 0,2 . L,45 = O,29 8 S31 =

Tahap 5 ; Hitung percepatan maksimum di puncak dam ([.i ,.*); Li

*

0's recollpers. 8 L,!25"22 + 0,745"32] 0's + (032]12 + L,L2 0,74(0,29)2 ] = [2,55(0,2612 = 0,591 g

,"* = 12,56

S.r2

Tahap 6; Hitung average sheor strain ly",);

y.,

= 0,L95( H/v2)S.i

= 0,195[46/(L83,5)2 ] (0,26 . 9,81) = 0,00068 = O,O68Yo

Tahap 7

Nilai 0,068% didapatkan dari perhitungan dengan asumsi awal sheor stroin overoge yû = O,O6Yo, selanjutnya ulang perhitungan dari tahap 1 sampai 6 dengan asumsi strain overage yru = O,O7Yo;

;

Putaran 2 Tahap L; Asumsi regangan rata-rata (shear strain overagel y"u = O,O7%o Tahap 2; Pada Gambar 4, Yau = 0,07% didapatkan G/G,n.* = 0,36, sehingga; G = 0,36 .Gr.* = 0,36 . 175 000 kPa = 63 000 kPa Serta rasio damping h= 74o/o sehingga kecepatan geser gelombang v;

'r--m _v20A

0,36 . G*u*.g

= L74,Lm/s

Analisis

Gemp a p ada

Timbunan

Tahap 3; Hitung tiga modal periode T;

Tr=2,618H(v

recoll pers. 5

Tz= L,738 H/ v

recallpers. 6

Tt= 0,726 H/ v

recall pers. 7

Maka;

Tt = 2,6L8 Hf v = 2,618 . 46/ 174,L = 0,692 detik Tz = 1,138 Hf v = 1,138 . 461 L74,L = 0,301 detik Tz = 0,726 Hf v = 0,726 .46/ 174,1= 0,192 detik Tahap 4; Gunakan respon spectro normal pada gambar 5 (sepertitahap 4 putaran 1 di atas, hanya lt= L4%);

Hitung spectro occeleration

Sî

Untuk;

detik S31 = 0,2 .1,22 = 0,244 g detik 522 = 0,2 .1-,6 = 0,32 B T = 0,192 detik 563 = 0,2 . L,47 = 0,294 g T = 0,692 T = 0,301

Tahap 5; Hitung percepatan maksimum di puncak dam (u *"*); (i .a* = 12,56 S.r2

0's

*

(pers. 8) 1,,12 Sr22 + O,74562 ] (0,3212 + + 0,74(O,2gq2 |o's = 0,575 g = 12,56(0,244)2 L,L2

Tahap

6; Hitung overage sheor stroin (y",); yr, = 0,L95( H/v2 )S.i = 0,195[46

]$74,1r) p,244.

9,81) = 0,0007]- = O,O7Lyo


-

7

Tahap 7; Nilai shear strain average yru= O,O7L% nilainya mendekati dengan asumsi awal denga n shear stroin overoge y"u = O,O7Yo. Tahap 8; Keruntuhan permukaan kritis memiliki rasio y/H = 0,85 serta percepatan leleh k, = 0,14 8. Tahap 9 ; Gunakan grafik pada gambar 6 untuk rasio y/H = 0,8, maka;

..ti: Fli

m

dnt

\d

,*#

{.tf""'i

.4. i, fri'i".:.

i

,r:!;'i:,f ":ttifriiii{:i ':ll:.1.":Lili:

ilirii.!iiil

:

6@ :lii:ff1:r.. :iiYi:. liii: ""."".',

1

;\

i'\

f.'.".r;i:

th

sliT

!i!!1:i.,,.i.i.',4;::r"

E = 3 !

.!h.:"::,

'J.6

;r\

-Aw gr

ftIrldir

Lr_5

?*:iililriill liiiiiii.::;ilal r!irlii!!i!t :!ii:.:.:::it i!!:! !il:! !4 { i: i':!.,'.'! i:il

*.:

"- *

*,:g

*,S

*.8

g$

i\crd,u,rtiun ll.rtir: k -,r'u ,o

Gambar

6

Voriotion of moximum occeleration rotio with depth of sliding moss

k..*/ 0 *^* = 0,4 maka kr.* = 0,4. ii ,.* = 0,4 .0,575 = 0,23 8

Analisis Gempa pada Timbunan

Tahap L0; Untuk rasio

kr/ k,r*

= 0,1,4/ 0,23 = 0,61.

Gunakan grafik pada gambar 7 untuk rasio kr/ k d isplce me nt pe rm o ne nt-nya ya itu;

,r*

= 0,G1_ maka;

= e10 tr 6

:t

fi Gambar

7

0.2

0-s ir[Lrrit]on Rrfin li.; t* sJ

0,8

1,0

Voriation of permonent displacement with yield occelerotion mass

Permonent displocement untuk timbunan pada contoh ini;

Mognitude

Permanent displacement

Gempa

(cm)

6,50

0,8

-

2,50

7,50

2,5

-

20

8,50

20-60


-

1

_",

10

DISTRIBUS! MOMEN

Metode distribusi momen dapat digunakan untuk menganalisis balok statis tak tentu dan portal. Perhatikan gambar 1 berikut ini;

i.:,,:,rr,,,:;,;,,:,,,

Bolok AB dibeboni, misolnyo beban meroto mako di A akan terjadi putoran sudut otou

L I

Jal

* '*-""{q.qr-

-

GambarT(a)danGambarT(b);

rotasi sebesarOadon di B sebesorOs. Seperti ditunjukkon oleh Gombar (b).

-;::-5-gE"-*= Gambar (c);

Jbl

Mtx

M'*

,

\{

B

(c)

Gambar

1

Agar di A tidak terjadi putaran sudut (rotasi) sebesar 01 dan di B sebesar fu, maka harus diberikan momen perlawanan sedemikian rupa sehingga di titik itu 0 : 0. Dalam hal ini llf o, dan lld 61 atau kita sebut momen fixed end moment = momen primer.

A. KEKAKUAN 1.

Sendi

-

(STIFFNESS)

Jepit

Perhatikan gambar 2. Balok AB (sendi- jepit), di bawah ini;

Gambar 2

Gambor 2(a); Balok AB (sendi -

jepit)

Di A diberikan momeff Mns, maka di A okan terjodi putaran sudut (rotasi) sebesar En.

Gambar 2(b) don (c) ;

Momen Mns diinduksikan ke B berupo momen Msa. Syarat untuk stabil, rotasi 0 yang terjadi harus sama dengan nol (0 = 0).

0a1-Qa2=Q 0s2

-

Qs1=Q

Yang mana;

L

Onr

= 3EI Mos

grr=*

dan oaz=

#

Msn

Men danosr=#ro,


-

1

Jika kita selesaikan persamaan dari syarat stabil di atas;

Di A bekerj? Mae dan di

onr-oaz=o -)

B bekerja Msn;

*ro=o

#M*-#

maka; Maa

= T"Mea

Momen MMdiinduksikon ke B berupa momen Msl' fdnQ mono nilai% merupokan foktor induksi (carry over foctor) poda luas penampong yong konstan doribalok. Dan;

)

0a1-0a2=Qa

--I-

Y1o,

-

L 6EI

(%

Morl=

go

maka; Mas

=

lEIeo

jika 0e = 1

)

Mne

=

€r'

artinya untuk memutar (rotasi) di A sebesar 1 rad

diperlukan momen Mae sebesa,

ff,

yang mana 4El/L= Kae atau kekakuan (stiffnessl, sehingga; Maa

=

@r'ro =

Kas gn

2.

Sendi

-

Roll

Perhatikan Gambar 3 Balok AB (sendi- roll), di bawah ini;

Gambar

3

Gambar 3 Balok AB (sendi- roll) Di A diberikan momen Mne maka di A akan terjadi putaran sudut (rotasi) sebesar

0r. maka;

Mrs=

Se^

jika 0a = L )

3EL 3;1;6ya untuk memutar (rotasi) di A sebesar 1 rad L diperlukan momen Mes sebesar E-I L Mes =

yang mana 3El/L = Kas ?tdu kekakuan (stiffnessl, sehingga; Mns

B.

=

T'

t^ = Kne oe

FAKTOR INDUKSI (CARRY OVER FACTOfr)

Balok AB seperti ditunjukkan oleh gambar 4 berikut;

Gambar 4 (b)


-

1

Gambar a (a) di A diberi momen sebesar Mas, maka B menerima induksi dari Mas sebesar /, Maa, nilai % tersebut merupakan faktor induksi. Gambar 4 (b) di A diberi momen sebesar Mae, sedangkan B tidak menerima induksi dari Mas, atau faktor induksinya bernilai nol.

C. FAKTOR DISTRIBUSI Untuk menganalisis faktor distribusi kita tinjau kekakuan dari batang seperti ditunjukkan oleh gambar 5 di bawah ini; Gambsr 5

Di A diberikan momen M, maka di A akan terjadi putaran sudut (rotasi) sebesar 0. Kekakuan batang AB "- K,cn Kekakuan batang AC + K.tc Kekakuan batang AD ---, K,qo

r Gambar

5

Akibat di A dikerjakan momen, maka di setiap batang terjadi rotasi sebesar 0, serta momen yang terjadi =;

Mn=Mas+Mrc+Mro Jika Krs, KAc , Kno kita nyatakan dalam notasi K;;, maka; Ma = Kae 0 + Ka60+ K4e 0 = 0 Kii

I

Jika Mas, Mac, Mec kita nyatakan juga dalam notasi M;;,maka;

M;;=0fK;;

atau0- fe-

IK,

Hal ini akan memberikan suatu persamaan untuk setiap momen yang terjadi pada batang ijyaitu;

,,,=#U

M, =

f,

rrr,

Artinya momen M di distribusikan ke setiap batang; Mag = K,,

t ri,,

&"r,

,o

rvro. =

ff

Ma

dan

Mno =

fr,

v^

; meruPakan faktor distribusi

lngat; Momen titik bertando ( + ) : searoh jorum jom Momen titik bertanda ( - ) : berlowanan aroh jarum jam.

D.

MENENTUKAN MOMEN PRIMER

1. Perhatikan gambar 6 Balok

AB (jepit

- jepit), di bawah ini

Gambar 6


-

1

Gambar 6 (a); Balok AB melentur serta terjadi rotasi di A dan B oLz diA akan terjadi putaran sudut (rotasi) sebesar Onr = Osr = ,iqpl

TI

Mo dan Oaz =

0o, =a=-EI

=# M, dan

0.,

Ong

Oit

Mo

=r|, v,

Syarat untuk stabil, rotasi 0 yang terjadi harus sama dengan nol (0 = 0).

0e= Oer- Qnz- Qas=0 0s= Osr- Qsz- 0ag=0 Jika kita selesaikan persamaan dari syarat stabil di atas;

0n=0a1-Qnz-Qffi=0

E-LT-Mo -

24Et

3EI

r,

Me = 0

maka;

,^=# 2.

dan Ms=

_qL'

t2

Momen primer akibat perletakan turun

Pada Gambar 7 {al, balok AB dengan perletakan jepit - jepit. Di B turun sebesar 6, maka akan timbul momen di A sebesar Mae dan momen di B sebesar Mee.

Gambar 7(a) Mas

=

Mea

Distribusi Moment

Yang mana;

Mas

TP

=

atau

6=#r*ou

Pada Gambar 7 (b), balok AB dengan perletakan jepit - sendi. Di A turun sebesar 6 maka akan timbul momen di A sebesar Mas Yang mana;

Gambar 7(b)

Mea

=

3EI 6 -i?-

-2 atau 6 = Mo, L

3EI

Contoh 1. Balok menerus ABC ( A jepit, B dan C sendi ), yang mana kekakuan dari batang AB yaitu 3l dan batang BC kekakuannya 21, serta bekerja beban seperti ditunjukkan oleh gambar C 1 berikut; q = 0,5 T/m

Gambar C 1

Solusi

L. Pertama asumsikan tumpuan di

B

B dan C

jepit (jepit sementara) agar tidak terjadi rotasi

dan C.


-

1

a. Tentukan momen

-

momen primer

lntervalAB Di

A;

MFns=

_il=

Di

B;

MFaa=

-

lnterval

ry=o,67rm

t2

Mto,

(

=-0,67Tm (

BC

Di

B;

MFsc=

Di

c;

MFcs=

b. Tinjau masing

-

Fab2 'ff =

51.22

=2'22tm(

=- 5.?;l' = -1,11.r, ( 12

-++ L' masing

-f

titik tumpuan

Dititik A Agar tidak terjadi rotasi di A, maka harus ada locking moment Ma 1e6p larg besarnya sama dengan MFas tetapi arahnya berlawanan atau sebesar (Marock

0,67 Tm ).

=

-

o,67

iliufu Dititik

B

Agar tidak terjadi rotasi di B, maka harus ada locking moment Ms 1s61yang besarnya sama dengan MFs, tetapi arahnya berlawanan atau sebesar (Msrock =L,55 Tm ). Msto"l=-1,55

MFea=-o,ur( *=&,

*'*',

) MFec=2,22 - :*tmana; MFs: =

r,r,

MFuc + MFea

Distribusi Moment

F_

Dititik c Agar tidak terjadi rotasi di C, maka harus ada locking moment dengan MF.r, tetapi arahnya berlawanan atau sebesar (Mcr.r

Mrce=-1,!? C'.Mcto.t = !,1! t-

\-,' 2.

Langkah kedua, B dilepas sedangkan A dan C tetap dipegang;

Locking moment B atau Ms

rock =

Distribusi ke balok BA sebesar

- 1,55 Tm didistribusikan

*P ,r,o.r = p aa. Ma )ks

Distribusi ke balok BA sebesar Lae Vrrock = [ ac.

Iks

rock

Msrock

yang mana; U.

s4:

faktor distribusi

kee

dan p 96: faktor distribusi BC

, odnT-kB=Psc kec

I-kB=Psn rro

BC

= T=4El31la=3Et

aff ksc =

+ Eetll3 = 2,07

LU= Et

kea*kec=5,67El

)

p se = 3 El/5,67 El = 0,53 dan p ss = 2,67 Ell5,67 El = 0,47

Moment balance Balok BA di B

M BAbrt.n." = 1t sn . Mstocr = 0,53(- ]-,55 Tm ) =-0,82 Tm Balok BC di B

M

Bc

brt.n." = !t sc . Me

tock

= O,47(- L,55 Tm ) =

- 0,73 Tm


-

1

Mq;sg1

!ong besarnya sama

= 1,11Tm

).

3. Langkah ketiga yang pada langkah kedua dilepas sekarang jepit kembali, sedangkan C dilepas. (A : jepit tetap hal initidak perlu dilepas). Locking moment C atau Mc tock = \,tL Tm didistribusikan. B

Distribusi ke balok BA sebesar = U cs. Me (karena jepit sementara) lr ce = 1

tock

Moment balance Balok CB diC M

cB

brt.n." = B ce . Mc

tock

= 1( L,!L Tm ) = L,l.1 Tm

Titik A: A merupakan jepit tetap, hal ini tidak perlu dilepas. Locking moment A atau Mr tock = - 0,67 Tm didistribusikan. p

ns =

0

(karena jepit tetap)

Distribusi ke balok AB sebesar = lr ns. Mn tock = 0,0 Tm

Moment balonce Balok AB di A

M

AB

b.trn." = Fns . Mrtock = 0(

Longkah

1-

4. Siklus ke -

s.d langkah

j

-0,67 Tm

)=

0,0Tm

merupokan siklus ke -

1-

(first cycle).

2

M BA brtrn." = - 0,82 Tm diinduksikan T, nya ke titik A, M ea = - 0,41 Tm M Bc brtrn." = - 0,73 Tm diinduksikan Tz nla ke titik C, M cs = - 0,365 Tm M ce b.trn." = L,LL Tm diinduksikan /. nya ke titik B, M ec = 0,555 Tm

Momen - momen induksi ini merupakan corry over penyebab rotasi dititik B dan sehingga perlu locking moment yang arahnya berlawanan dengan momen tadi. Locking moment di distribusikan, hal ini merupakan akhir dari siklus ke - 2.

C,

5. Lanjutkan ke siklus 3, dst.

Minimal

3

siklus, semakin bonyok siklus moka semokin teliti perhitungon momen

yang dihasilkon. 6. Jumlahkan,

mulai momen primer sampai dengan momen bolonce dari siklus terakhir

yang diinginkan sehingga akan diperoleh Mne, Mer dan Mec. Untuk lebih A

M'

ke-1

-

ke-2

M brt.n"" M i.drkri M b"l"n""

Siklus

M,^".,u.,

ke-3

-

M

Siklus

M,-.,,u.,

ke-4

M b"l"n." M i.drk.i M b"l"n."

Siklus

ke-5 Total

BA

BC

CB

0,53

0,47

1

2,22

- t,tL

-0,824

-0,728

L,L!

0

0,555

-0,364

-0,294

-o,26L 0,t82

o,364

-

0,67 0

0,4L2 0

0,147

-

-

0,04825 0

-

0

-

0,1305 0,1305

- 0,0855 .

0,0965

0,06525

0

-

0,03458

0,03067

v

-o,o4275 4,04275

0

o,a2t37

0,011326 - L,93 Tm

- 0,010044

0,015335 0,015335

L,93 Tm

0Tm

- 0,0t729 0,045 Tm

0,67

0

0

b"l"n."

c

B

AB 0

Siklus Siklus

dalam bentuk tabel

ungan

Titik lnterval Faktor distribusi (ul

-


-

1

-

Skema momen

titik

0,045 Tm

\ 1,93 Tm

Skema momen batang

,-ofasrn (a

\z

1

B

L93Tm c

^

1,93 Tm

Gambar C 1

Contoh 2 Balok menerus ABCD ( A, B, C dan D sendi ), yang mana kekakuan dari batang AB yaitu l, BC yaitu 2l serta kekakuan batang CD yaitu 21, bekerja beban seperti ditunjukkan oleh gambar C 2 berikuU

F=5

a=5m

rt I

c=5m

o=.,.n Gambar C2

I

Solusi

1. Tentukan momen lntervalAB

A;

Di

M'o,

Di B; lnterval

_t -t2

=

Ty

= 1,0415

- Mto, = -

MFan =

1,0415

rm

f* (

BC

+

MFsc=+ = MFcs = - 2,5 Tm (

Di B; Di

momen primer

-

C;

=

z,st^(

lntervalCD

Di

C;

MFco =

Di

D;

MFoc

=

=2,083 Tm( # ='E i-'-Z,OSEf,

(

--t tt.o

2. Kekakuan k

Kekakuan balok AB (kor) = Kekakuan balok BC

(kr.)

=

Kekakuan balok CD (k.r) =

4El = 4E-(I) = o,g rr L) 4Er _ 4E(21)

=2Et L4 4yr - 4E(2r) = 1,6 L5

Er

Pada contoh soal ini; kec

=

kcs

kco = koc

Jumlah kekakuan di titik; B;

ke = kga

*

ks6 =

di c;

kc = kca

*

kss = 2El + 7,6 El = 3,6 El

di

0,8

El + ZEl = 2,8 El

Konsep dan Aplikasi Pengantar Teknik SUil

-

1

3.

Faktor distribusi p;

Iea=1

Kro ogEI

},se= ,,, = i,ggr =o.29

u*=f =#=0,71 Lrca=&*B

Fco=

=

Kco

=

*

2Et 3,6 EI

= 0,56

1.6 EI

3,6 EI

= 0,44

Foc =1 Perhitu

Titik lnterval Faktor distribusi (u) MF Siklus ke - 1 M b"l"n."

-

2

Siklus ke

-

3

Siklus ke

-

4

Siklus ke

Siklus ke

Total

-

5

M,^r,,r.,

M

b"lrn""

M

,ndrk.,

M brl"n.. M indukri M ".',,.. M indukri M brtrn..

dalam bentuk tabel

di

A

c

B

D

AB

BA

BC

CB

CD

DC

1

0.29 -1.0413

0.71

0.56

1

2.500

- 2.500

- o.423

- 1.036

0.234

0.44 2.083 0.183

1.0413

- 1..041 -0.212 0.212 0.059 - 0.0s9 0.006 - 0.006 0.008 - 0.008 0.000

- 2.083

- 0.521,

0.Lt7

- 0.518

L.042

o.1.17

0.287

- 0.293

- 0.230

0.105

- 0.1,47

o.143

o.o12 - 0.029

0.029

- 0.055

- 0.046 - 0.043

2.083 0.092 - 0.092 - 0.115 0.115

0.016 - 0.003 0.007 - 1.759

- o.027

0.015

0.058

- 0.021,

0.040

- 0.040

- 0.032

o.o21.

- 0.020

0.020

0.011

- 0.016

0.016

- 0.0L7

- 0.014

0.015

1.759

-3.012

3.OLz

0.000

Skema momen

titik

, .1.759 .

ao 1.759

\ Br,

,.or)

.3.012

ar,

Skema momen batang 7.759

L.759

3.0L2

3.012

Gambar C Reaksi perletakan

free body

Batans AB

,Mae = 1.759

Ra =

Rs=

/zq6

Re=y,q*

0.898

Ra

= 1.602

+

!4+f4* = % (o.sXs) !-#lf

-

y+114*

.,.

=% (o.sl$l

- o - !'759


-

= 0.8e8

ron

= 1.602

ron

L

Batane BC

I{ca :3.012

Rc:2.813

Ra=

Rc=

lzF

+ *f&=

lzF

- u$Ia"e %$l -

%(s)

+

1.759

- 3.0t2 4

r.759

= 2.187 T

- 3.0t2 = 2.813 T

Batane CD

Mcp :3.012

fu::.rOz Rg= y2q2c*

no:

Uqqj 14"" c

Rs=

lrq2c

-

Mcr+

r.SSS

c

Mo.

c

*

3.012

+

0= 3.102 T

=%

(Ll$)

=%

(ll5) _ 3.012+ 0=1.8987

5

5

Maka reaksi perletakan total;

Rer=0.898T(t)

'

t

)

2.813T+3.102T=5.915T(I

)

Rgr = 1.602 T + 2.187 T = 3.789 T (

R61=

Ror=1.898T('lt)

M,

lnterval

Batang

0(xS5

M, =

RaX

D* = 0

M=0

Batang

BE

M=0

Batang

M--0

Ax

0.90 0.40

3.0 4.0 5.0

- 0.4L - L.76

1.8

0.807

0.00

3.5

0.0

- 0.90

- 0.10 - 0.60

0.44

- 1.10 - 1.60

lnterval

M,

0SxS2

M,=RsX-Mec

0.0

-1,.759

2.1.87

1.0 2.0

o.428 2.614

0.804

0.00

2.187 2.187 2.L87

M*

D,

lnterval

23x3 EC

(Rax-%qrx")

D

2.0

1.0

M."* jika

QMr: Ax

qrx'

0.00 0.65 0.80

0.0 AB

-Y,

D,

4

M, =

RsX

-

D*

QMr: ax

2.61.4

3.0

4.0

- 0.199 - 3.O1.2

2.930

0.00


Ax

14" : 6 (Rsx-Msc-F(x

Msc- F(x - 2)

2.0

0 (Rsx-Msc)

)x

ax

-2.813 -2.813 -2.81.3

-2.8L3

-

1

- 2))

M,

lnterval

Batang

0(xS5

Mm., jika D, = 0

R6X

-

Mge-1'f 2q2x2

1.0

- 3.0L2 - 0.409

2.0

1.193

3.0 4.0 5.0

t.795

0.0 CD

M, =

3.1

1.398 0.000 M.r, = 1.801

D*

aML:

ax

a

(fux - Mcn- ll2q2x')

Ax

3.102 2.102 7.102

o.to2 - 0.898

- 1.898 0.00

Diagram Momen dan Lintang e

.srE

Distibusi Moment

Contoh 3 Balok menerus ABCD yang mana kekakuan dari batang AB yaitu 31, BC yaitu 3l serta kekakuan batang CD yaitu 21, bekerja beban seperti ditunjukkan oleh gambar C 3 berikut;

b=4m

Gambar C

Tentukan momen, lintang dan normal. Solusi

1. Tentukan momen

momen primer

-

lntervalAB

B; Di C; Di

lnterval

Di

B;

Di

C;

gL'

12 =

MFec = MFca =

|

.52

t2

= 2.083 fm

(\

- 2.083 Tm \/

BC

MFna= MFsa=

= L.667r, M'o, = * L.657Tm (

#= +

-

(

2. Kekakuan k; Kekakuan balok

AB

Kekakuan balok

BC

(kas) (kac)

- 4EI+1u= z,4Et L -4EI - 5D=ger L


-

1

Jumlah kekakuan di titik; di B; ks = kas * ks1= 2,4 El + 3 El = 5,4

El

3. Faktor distribusi p; p as =

0

Kse ,, ^. = FrBA-

jepit

karena

- 4El

K" - srgl

P ec =

Kec

=o.44

3Fr - iiir=

--*= Ucg=r

o,so

Perhitungan disajikan dalam bentuk Tabel

Titik lnterval Faktor distr busi(u) Siklus ke Siklus ke

-

1

2

-

3

Siklus ke

-

4

Siklus ke

-

5

Siklus ke

A

c

B

AB

BA

BC

CB

0

0.44

0,56

1

- 2.0833

1..667

M b"l"n." M '^r,,u., M b"l"n."

2.0833 0.000 0.093 0.000

M indrkri

0.481

M

0.000 0.013 0.000 o.067 0.000 2.737

- t.667 - 4.333 0.116 - 0.116 0.602 - 0.602 0.016 - 0.015 0.084 - 0.084 - 6.000

M'

M

b"l"n."

'.r,,r.,

M b"l"n." M r^r.,u., M b"l"n."

Tota!

0.L85 0.000 0.963 0.000 0.026 0.000 0.134 0.000 0.004 - o.772

o.231 - 2.167

t.204 - 0.058

0.032 - 0.301

0.t67 - 0.008

0.004 o.772

Skema momen 0.772

6.0

,'-c 2.737

0.772

t. 6.0

Distibusi Moment

CD

6.0

6.0

Reaksi perletakan

free body Batane AB Maa:2.737

Ra:

Rs:2.107 Man

Rs=Y2qG +

* Mea

a

Rs = Yrqza

MnB* Ms.A.

-

a

%(Ll(sl

=

= %

2!)l_

+

2.737

(Ll(s)

r.7'72

5

= 2.893 Ton

-

0.772= 2.LO7 Ton

Batane BC

Msc:0.772 \7

RB

-

= Utqzb-

ry#e M"J M"'

:

6.0

: = \Mco

r)

:2.693

Rn = 1/4qzb

Re

Mcs

6.0

Rc:5.307

=

Q)v)/4

. o#= _

= (21{4)14

0.772 4

2.6e3 ron

- 6 = 5.3o7Ton

Maka reaksi perletakan total;

Rar=2.893T(t) 2.107 T + 2.693T = 4.800 T ('tt Rcr = 5.307 T + 2T = 7.307T ( t ) Rer =

)


-

1

BatangAB(0SxS5m) Mx=Rrx-Ll2qrx2-Meg Dx=Ra-

QrX RA

9r

2.893 1.000 2.893 1.000 2.893 1.000 2,893 1.000 2.893 1.000 2.893 1.000

t/2q62

Rex

Qrx

0.000 0.000 0.000 0.s00 2.893 1.000 2.000 5.786 2.000 4.500 8.679 3.000 8.000 tt572 4.ooo 12.500 14.46s 5.000

2.74 2.74 2.74 2.74 2.74 2.74

Mr", 2.9 2.893 1.000 4.18s 8.369 2.893 M=0 4.59s 2.893 1,.000 10.5s7 13.293 4.595 M=0 7.790 2.893 1.000 0.708 3.443 1.190

2.74 2.74 2.74

0.0 1.0 2.0 3.0

4.0

5.0

Mx

Mae

-

2.74 0.34

1.0s L.44 0.83 -

0.77

7.45 o.oo 0.00

Dx

2.89 1.89

0.89 - 0.11 - 1.11 - 2.1.1

0.00 - 1.70 L.70

BatangBE(0SxS2m) Reaksi = Rs 1Vx = (Rsx -x3/t2\- Msc

D*=Rs-x2/4 Qr= x/3 q*xzf6= x3/Lz M=Mec Reaksi

q

RaX Q,

M,

qrx2 /6

D,

RB

0.0 1.0 2.O M=0

2.693 2.693 2.693

0.287 2.693

2.O

0.000 0.000 2.693 0.333 s.386 0.667

2.0

0.773 0.095 0.002

2.O 2.O

0.000 0.083

0.667

0.77 0.77 0.77 O.77

-

0.77 1.84 3.95

2.69 2.44 1.69

0.00

2.67

Distribusi Moment

BatangCE(0SxS2m) Reaksi = Rc

M*=(R6x -x'/tZ)-Mce

D*=- (Ar-x2lql Q*= x/3 q*xz/G = x3/Lz

M=Mce

Reaksi

q

M*

qrxz /6

Rcx

D,

Rc

0.0 1.0 2.O

M = 0 0.827

7.307 7.307 7.307

2.O 2.O

0.000 7.307

7.307

0.000

2.0

14.6L4

0.000 0.333 0.667

0.083 o.667

6.00 6.00 6.00

2.O

5.043

0.276

o.047

6.00

6.00

-

L.22 7.95 0.00

-7.3L - 7.06 - 6.31 - 7.L4

TABEL MOMEN PRIMER

E.

Perletakan Jepit

No

- jepit

Momen Primer

oL2

Mns

= if

Man

=

Mna

ll oL2 = ln'

1

-

Maa

2

Mse=

-Mlg

Mrs= dur{lt - zu) 3

A

B

=----a.7l-

--6-l-

a....-

Msn =


-

1,

-

Mas

Perletakan Jepit

- jepit

Momen Primer

rvlo, =

+ -r>l<-.-T_=+l*-

,

-

(3o' - 8a + 6)

TP

Mer=-

@s'{+ -o)

Mra

ff {tr' -a'1

Mse

=

-

Meg

# Mea= # Wor=

reu' +lobt,)

Mng=

ff

Men=

-#r(5L

Mns

= |{rroat'

?i.----t--i-

Man

-

15aL + 8a2)

gL -4a)

Man= * Mra=

-3a)

ffittt'+4al--4u,)

=-

Mag

Distibusi Moment

Perletakan Jepit

No

- jepit

Momen Primer

Mae

= *'

Mea

=

10

q{ 17

q{ AI 'aba'

Msn

13

<---e---+ <*--5----+ <_u''''*> I

|

a: q

Mea

od A'

Mae

$ret-r"l -

=

Mns

a/L

..,-lnlhfl1

Mns=

=-_--b----_|=a_

Man

=

P'r,-a.'(2-0)l -

Mas= 15

Mns

Ser-a

=*

Mas =

14

-

=

Mng= lr

Mae

g

Mre=

AL Msn

12

-

Mas

{ Msn= -#


-

1

Or, +2w) (2q1 +3q2)

Perletakan Jepit

- jepit

Momen Primer

Mna=

#',,+p+82-r,5p3) Msn=- *',, *o+a2- 1,5o3 ;

#

Mng= Msa

=

-

Mas=

Mne

#

Msn=- *' Mra=

Mb

- ,(3a-L)

Mse=-

Mns

Il (:u-r)

Fab2 = -E

Men=

-y

Perletakan Jepit

No

- jepit

Momen Primer

Mns= i3(L-a) 22

A

B

Mea

=-

Mes= 23

< +|*---------l< =|<------> Lln Lln Lln Lln

Msa

=

Mns=

Mns

Ilr,"'-,, -

Mne

lL{zn2+t)

24 -----+

l<---- - -=

Ll2n Lln

<---+: l.-_+ Lln Lln |

<--> Ll2n

Msa


-

=

1

-

Mae

Perletakan Jepit

-

Sendi

Momen Primer

,r^=g

Mn=

'#'

Mo=

L*'

*^=

_ 4- eL za)

,^=

S

(2 _ a)'

,^=

+

Q -p')

Distribusi Moment

Perletakan Jepit

No

- jepit

Momen Primer

Ma

= ff1,

8

Mn

= a6-

9

Ma

=

7

A

(a'

- c'112t' - c'- d')

2oL2

7oLz

t-zo

qI AI 10

11

*^ = ,#,

Mr=


-

L

oa

r

2Q*

-

15aL

+

2oL2)

2

(o'ls-3a14 +213)

No

Perletakan Jepit

12

13

14

-

sendi

Momen primer

ob2

Mo=

dfu

rvro

=

#,(

Ma=

#'

*o=

ff'

( l0l'?-:br)

5L2 + 4aL

o{ 15

16

AL

wo= Srtzr -

17

,^

=

g

a)

(L-3a)

-

4a2)

Perletakan Jepit

No

Momen Primer

*o= *(1

.,,1,,t'rHllllltlllllltlltltl llll,l

18

19

- jepit

of, A'

-o') (2_ a)

L2 (8q1 + 7q2)

Ma=

t20

q I

20

lltt'-,

Ma

=

{ro+

BX7

- 3P')

a

Ma

21

22

23

A

Konsep dan Apliknsi Pengantar Teknik Slpil

=

OL _-10

aLz

Mn=

f

Mn=

- Yrr-6u+3o2)

-

1.

No

Perletakan Jepit

- jepit

Momen Primer

=

24

rvro

25

Mo=

26

A

27

28

*o=

A J

Lln

l-rn

&zLr(L' _b')

#G-a)

Mu=*("*t)

?|<_+I<_> <_>i+> L/n L/n Lln Lln ' L/n

__

)€.+i<-+i< Ll2n Lln

3*o

Mn )

'l.Dn

=

FL.(2n' -l -l6n

I\

".,

11

KONSTRUKSI JALAN RAYA

A. KETEBALAN KONSTRUKSI PERKERASAN BERDASARKAN KUAT GESER IZIN TANAH Kendaraan menimbulkan muatan atau beban berulang pada suatu tempat di permukaan jalan, akibat berulang akan memperbesar nilai muatan dinamik sampai tak terhingga.

Jika frekuensinya sama dengan frekuensi dari kelenturan penahan beban, penahan tersebut akan hancur.

Dalam menetukan tebal konstruksi perkerasan jalan, tentu saja berhubungan dengan kepadatan lalu lintas. Agar memenuhi faktor keamanan yang baik harus memperhitungkan koefisien kejut, kuat geser tanah 01 serto tekanan gandar tunggal maksimum yang akan terjdi. Ketiga faktor tersebut ditunjukkan oleh tabel l-, 2 dan 3. Tabel 1 Nilai Koefisien

KEADAAN LALU LINTAS

KOEFISIEN KEJUT (v)

Lalu Lintas sangat padat

4

Lalu Lintas oadat

3.085

Lalu Lintas sedans

2.170

Lalu Lintas jarang

1,.25

Sumber; Konstruksi Jolon Rayo, BP PU, 1979

abel

2

Diizinkan o', (kg/cm')

Kuat Geser Tanah Dasar

KLASIFIKASI

TANAH DASAR

KUAT GESER TANAH

JENIS TANAH

YANG DIIZINKAN

Tanah sangat baik

Pasir berkerikil

Tanah baik Tanah sedang

Pasir

2,75

Lempung, lanau Lempung, lanau organik Tanah rawaffeot, lumpur

r,75

Tanah jelek

Tanah sangat jelek

9

L,25

Sumber; Konstruksi lolon Raya, BP PU, L979

abel

3 Tonase

KELAS JALAN

Klas

Kelas Jalan (standar tekanan

TEKANAN GANDAR TUNGGAL

(tons) 7

I

Klas ll Klas

P

5

lll

3,5

Klas llla

2,7s

Klas lV

2

Klas V

1,5

Sumber; Konstruksi lolon Royo, BP PU, 1979

Berdasarkan keterangan di atas, sehingga ketebalan konstruksi jalan dinyatakan oleh persamaan 1-; P h =\/T Vffi,

Persamaan

L

Yang mana; H

: ketebalan konstruksijalan dalam cm

P

:

O1

: kuat geser tanah dasar dalam kg/cm2

tekanan gandar tunggal maksimum dalam tons


-

1

y

: koefisien kejut

Persamaan 1 dapat dinyatakan dalam tonase kelas jalan P

Po;

=2Po dan ot=20't

Po merupakan tonase kelas jalan (standar tekanan gandar tunggal), serta o'1 merupakan kuat geser izin tanah dasar. Sehingga

;

,n =

/YPO

,2fio't

Persamaan 2

Yang mana;

B.

h

ketebalan konstruksi jalan dalam cm

Po

tonase kelas jalan (standar tekanan gandar tunggal) dalam tons

o't

kuat geser izin tanah dasar dalam kg/cm2

v

koefisien kejut

KETEBALAN KONSTRUKSI PERKERASAN BERDASARKAN CBR

atau California Beoring Rotio dapat digunakan untuk menghitung ketebalan dari perkerasan jalan.

CBR

Prinsipnya sederhana;

Perkerasan dari batu pecah yang berbutir rapat kekuatannya dinilai tOO%, sedangkan lumpur dinilai memiliki kekerasan 0% yang selanjutnya variasi nilai kekerasan dari jenis tanah lainnya.

Penetrometer merupakan alat untuk mengukur CBR, alat tersebut cepat dan mudah dalam menentukan nilai CBR.

1. Hubungan

KuatGeserTanah TerhadapCBR

Kuat geser tanah terhadap CBR dapat diturunkan berdasarkan hukum Hook sbb;

ot=EE

Persamaan 3

Menurut Yeuff rey, € merupakan konstanta dan yang lazim digunakan adalah e 0,008, sedangkan menurut Acun dan Fox nilai e = 0,006 jarang dipakai untuk = konstruksi perkerasan jalan. Rekomendasi Darmon; E = 100 CBR (%). Hasil uji Laboratorium, nilai

Untuktanah ; E = L00

E

berkisar antara 50

CBR serta e = 0,008

Sehingga persamaan 3 menjadi;

ot = 0,008.100 CBR ot = 0,8 CBR

Persamaan 4

substitusikan pers. 4. ke persamaan 2. sehingga;

r= \/V t.o'n"n cBR L

Persamaan 5 (a)

ton = 1000 kg

Maka pers. 5 (a) menjadi;

[=

/ttooo V ,û

h =14

,,

TP"

a"*

,,8 V CBR

Persamaan 5 (b)


-

1

-

200 CBR.

Yang mana; H


Po


Y

koefisien kejut

CBR

Colifornia Bearing Ratio dalam% Tabel

4

Tebal Minimum Perkerasan (Ashoal lnstitute

KEPADATAN LL MAX

TEBAL MIN

PER JALUR PER HARI

KLASIFIKASI

BASE+ASPALAN

LALU LINTAS

KEND.RINGAN (< 3 TONS)

KEND. BERAT ( > 3 TONS)

@

F

LL sangat padat LL padat

€

LL sedang LL jarang

(cm)

TEBAL ASPAL BETON YANG

DIANJURKAN (cm)

25

10

250

20

7,5

500

25

15

7,5

25

5

12,5

5

Sumber; Konstruksi Jolon Rayo, BP PU, 1979

Untuk lebih jelasnya dalam pelaksanaan ditunjukkan oleh gambarl-; Gambar rencana konstruksi jalan

I s*f"...o"rr* T Biud*r.o*r. I I t+

r'i

{'!.-)

! +'} ;ira"',1, +a a

4+t.$+'i6!i+

1

T f

*....o"rr"

sub

b*r*.o*rr.

t

__-L

Gambar 1 Rencana Konstruksi

Konstruksi lalan Rayn

2.

Faktor Beban Berulang terhadap Ketebalan perkerasan Jalan

Pada pembahasan sebelumnya pengaruh kepadatan lalu lintas terhadap ketebalan perkerasan hanya berdasarkan klasifikasi kepadatan lalu lintas, sedangkan beban akibat kendaraan n yang berulang tidak dipehitungkan. Beban berulang kendaraan n kali rekomendasi Kerkhoven dan Darmon;

eE

0t=

Persamaan 5

I +0,7logn

dan;

eE=0,8CBR Sehingga untuk menentukan ketebalan konstruksi jalan dinyatakan oleh

persamaan 7;

L rr _ - ,/

pr r +

[

o.zloe n;

t,oru

cnR

Jika kita perhatikan nilai

Persamaan 7

kejut, y = (1 + 0,7 log n)

atau dapat dinyatakan dalam stondord oxle lood atau tonase kelas jalan po, dan p =

2Po

Maka;

h1

I

\/

+ 0.7 log n)

,cBR '

I ,25P"( 1

Persamaan 8 (a)

ton = 1000 kg


-

1

Maka pers.8 (a) menjadi;

fi=r@ V

h =20 Yang mana;

zr

CBR

,@ |

Persamaan 8 (b)

-cen

h


Po


n

jumlah beban berulang

CBR

California Bearing Ratio dalam%

Dalam menentukan tebal konstruksi perkerasan jalan, berhubungan dengan kepadatan lalu lintas dan beban berulang dari kendaraan sebesar n kali. perlu mengetahui klasifikasi kepadatan lalu lintas yang hubungannya dengan n kali. Hal ini ditunjukkan oleh tabel 5; Tabel 5 Klasifikasi Lalu Lintas Berdasarkan Beban Berulang

KLASIFIKASI LALU LINTAS

Lalu Lintas sangat padat Lalu Lintas padat Lalu Lintas sedanq Lalu Lintas jarang

n

> 1000

- 1000 L0 - 100

100

1-

10

Sumber; Konstruksi Jalan Raya, BP PU, 1979

Karena

n dari jenis kendaran

dalam satuan waktu tidak sama, maka perlu setiap jenis kendaraan diekuivalenkan terhadap kelas jalan po yang ditetapkan.

3.

Nilai Ekuivalen Lalu Lintas

Berat kendaran yang melewati suatu ruas jalan, berat gandarnya bervariasi, serta kondisi permukaan jalan mempengaruhi kecepatan dari laju kendaraan tersebut.

Konsisi permukaan jalan atau service oblelity ditunjukkan oleh tabel 6 di bawah ini;

p berkisar dari 1 - 5, yang

Tabel 6 Kondisi Permukaan Jalan (service ablelity pl

KONDISIJALAN

SERVICE ABLELIW

p

Sangat baik

5

Baik

4

Sedans

3

Jelek

2

Sangat Jelek

1,

Permukaan jalan sangat baik dan rata serta aspalan baru service oblelity -nya bernilai 5 sesuai umurnya, nilai ini makin lama makin berkurang. Jalan raya lalu lintas cepat (jalan utama) memiliki nilai service oblelity-nya 2,5. Jalan raya lalu lintas sedang (jalan biasa) memiliki nilai service oblelity 2.

Berdasarkan penelitian)

Penyetaraan berat persamaan 9;

[*].

Q

= 2maka nilai x =

3,5 dan p = 2,5 maka nilai x = 3

itu kita sebut ekuivalen lalu lintas yang ditunjukkan

Persamaan 9

seta ra;

pl.

n = IL%J

Persamaan 10


-

1

oleh

Yang mana; e

nilai ekuivalen lalu lintas

n

nilai jumlah beban berulang

P

tekanan gandar tunggal maksimum dalam tons

Po


p

service oblelity

x

nilai yang tergantung dari kondisi permukaan jalan atau service ability

Untuk jalon rayo biaso service oblelity diombil batos p =

2 nilaix = 3,5

Jolon roya utoma service ablelity diambil batas p = 2,5

niloi x = 3

Faktor ekuivalen untuk standar gandar tunggal Po = 8 Tons (jalan kelas l). Untuk jalan raya biasa seryice ablelity diambil batas p = 2 nilaix = 3,5

ditunjukkan oleh tabel 7; N

=

r \3-s I pt t%J Tabel

7 Nilai n Berdasarkan

Tonase Kendaraan

BERAT

n

n

KENDARAAN

GANDAR TUNGGAL

GANDAR

(roNASE)

Mobil Penumpang 0,90 - 3,60

11,0 13,5 -

0,0002 0,006 0,18

0,02

t,

0,09

11,0

2,35

0,17

13,5

5,8

0,42

L5,4

LZ

0,83

3,60 -7,25 7,2s -9,00 9,00

KEMBAR

Sumber; Konstruksi Jolan Rayo, BP PU, 1979

Faktor ekuivalen untuk standar gandar tunggal

Po = 8

Tons

(jalan kelas I).

Jalan raya utama service ablelity diambil batas p

- 2,5

nilaix = 3

ditunjukan oleh tabel 8;

n- [r.J' Tabel

8

Nilai n Berdasarkan Tonase Kendaraan

BERAT

KENSDARAAN (TONASE)

Mobil Penumoang 0,90 - 3,60

3,60 -7,2s 7,25 -9,00

- Ll_,0 11,0 - 13,5 13,5 - 15,4

9,00

4.

n

n

GANDAR TUNGGAL

GANDAR KEMBAR

0,0002 0,006 0,20

o,o2

1,00

0,09

2,20

o,2t

5,00

0,50

9,20

0,87

Metode Tanpa Bahan Pengikat (Unbound Method)

Perhitungan tebal perkerasan dengan metode tanpa bahan pengikat atau unbound method, mengasumsikan bahwa seluruh konstruksi perkerasan terdiri dari butiran lepas seperti pasir. Gaya tekan yang terjadi diteruskan ke segala arah dengan sudut 450 terhadap garis vertical, sehingga lapisan bagian atas akan menerima tekanan yang paling besar sedangkan lapisan bagian bawah menerima tekanan relatif lebih kecil. Tekanan ini semakin bawah semakin kecil karena penyebaran gaya semakin luas, dalam hal ini tekanan dari atas relatif sama dengan daya dukung tanah dasar.


-

1

Pada sistem ini, meskipun konstruksi perkerasan dibuat berlapis (surfoce, base dan sub basel, penyebaran gaya dianggap rata 450 dan muatan dari atas diteruskan sama rata ke tanah dasar.

Untuk lebih jelas, ditunjukkan oleh gambar 2;

r*lr Gambar 2 Penyebaran Gaya

5.

Faktor Beban Berulang Terhadap Ketebalan Perkerasan Jalan

Pada pembahasan sebelumnya, pengaruh kepadatan lalu lintas terhadap ketebalan perkerasan hanya berdasarkan klasifikasi kepadatan lalu lintas. Sedangkan beban akibat kendaraan n yang berulang tidak diperhitungkan. Beban berulang kendaraan n kali rekomendasi Kerkhoven dan Darmon;

eE ot= r+o,zrog,

Persamaan 1L

dan;

eE=0,8CBR Sehingga untuk menentukan ketebalan konstruksi jalan dinyatakan oleh persamaan L2;

ll

rl P(l =

.,-

!

+ 0.7 log n)

l.6n CBR

Persamaan 12

Jika kita perhatikan nilai

kejut,

V

=

(1 + 0,7 log n)

atau dapat dinyatakan dalam standord oxle load atau tonase kelas jalan

po,

p=2po Maka;

h "= L

I + 0.7 log n)

1/ 1.25P"(

t

ICBR

Persamaan 13 (a)

ton = 1000 kg

Maka pers. L3(a) menjadi; (1 + 0,7 log n) r= ! 1250 yP"n CBR

h=20 \/i

ye"1t

*

O7 t,og n; CBR

Persamaan 13 (b)

Yang mana; H

: ketebalan konstruksijalan dalam cm

Po

:


n

:

jumlah beban berulang

CBR

: Californio Bearing Ratio dalam %

Dalam menentukan tebal konstruksi perkerasan jalan, berhubungan dengan kepadatan lalu lintas dan beban berulang dari kendaraan sebesar n kali. Perlu diketahui klasifikasi kepadatan lalu lintas hubunganya dengan n kali.


-

1

Hal ini ditunjukkan oleh tabelg; Tabel 9 Klasifikasi Lalu Lintas Berdasarkan Beban Berulang n

KLASIFIKASI LALU LINTAS

(LER)

Lalu Lintas sangat padat

> 1000

Lalu Lintas padat Lalu Lintas sedang

100 10

Lalu Lintas jarang

- 1000 - 100

1-10

Sumber; Konstruksi Jalan Rayo, BP PU, 7g7g

LER

: lalu lintas ekiuvalen rata-rata yaitu LHR yang telah diekuivalenkan

terhadap

LHR

Po.

: lalu lintas harian rata-rata, sebelum diekuivalenkan terhadap

Po.

Karena n darijenis kendaran dalam satuan waktu tidak sama, maka perlu setiap jenis kendaraan diekuivalenkan terhadap kelas jalan po yang ditetapkan.

6.

Rencana Konstruksi Jalan

Konstruksi perkerasan jalan umumnya berlapis (konstruksi sandwich) secara detail ditunjukkan gambar 3 di bawah ini; Jalu

la1u lintec

Gambar 3 (a) Konstruksi Perkerasan Jalan Berlapis

Konstruksi Jalan Raya

P#sEs&A.M:hsre

P

d,.erea,e. EgcE&,' p:rh

lq:e

Gambar 3 (b) Potongan Melintang Konstruksi Perkerasan

Konstruksi perkerasan umumnya terdiri dari tiga lapisan seperti ditunjukkan Gambar 3 (c) di bawah ini; Ftm

Eerc/brtnpecr[

Gambar 3

(c) Konstruksi Umum Perkerasan

Maka ketebalan dari masing-masing lapisan dapat dihitung sbb; P^(1 + 0.7 los n)

Dr=hb =20

Persamaan 1a (a)

CBR6ur.

h,u = hu+

ht

=

hu

+

D2 =

D2

r, 1ffi)

,"rramaan 14 (b)

20

persamaan 1a (c)

+ Ds =

F+*m


-

1

7.

Faktor Regional

faktor untuk menentukan ketebalan perkerasan yaitu faktor regional atau lingkungan. Jika faktor regional ingin diperhitungkan, maka n perlu diganti dengan no yang dinyatakan dalam persamaan beriku| Salah satu

no=6qn,

Persamaan 15

yang mana; 6

keadaan drainase setempat

n

curah hujan

nr

lalu lintas ekuivalen rencana

no

lalu lintas ekuivalen yang diperhitungkan

Jika air tertahan dalam konstruksi perkerasan atau di tanah dasar, hal ini dipengaruhi oleh:

a)

Keadaan drainase, baik alam maupun buatan.

b)

Volume curah hujan di daerah tersebut.

c)

Karakteristik dari tanah, jika plastisitas indeks atau Pl-nya kecil, hal ini menunjukkan bahwa tanah mudah melepaskan air, contohnya pasir. Sebaliknya lempung sulit melepaskan air dari ruang porinya sehingga Pl-nya besar.

Pl dalam hal ini dimasukkan ke pengaruh akibat curah hujan 4.

Faktor-faktor tersebut selain untuk menentukan ketebalan perkerasan, juga sebagai faktor koreksi terhadap umur rencana (U). Bila; 6

keadaan drainase setempat

n

curah hujan

nr

lalu lintas ekuivalen rencana

ne


11o


Konstruksi lalan Raya

maka;

flo=U6nn,

Persamaan L6

Sehinggo rumus umum untuk tebal konstruksi perkerosan yoitu: Po

h"t =20

(

1+ 0,7logU 5 q n, )

Persamaan L7 (al

otau rumus umum untuktebol konstruksi perkeroson:

h"t =20

i/ P, ( 1+ 0,71og n")

Rumus tebal konstruksi perkerasan untuk

Persamaan L7 (b) Po

- 8 tons yaitu:

I

h91

=56,6

ffW

Persamaan L8

Rumus tebal konstruksi perkerasan untuk umur 20 tahun dan Po = 8 tons, atau U = 20 th dan Po = 8 tons, yaitu: h

(L,9 + 0,7log

et = 56,6

6I ,. )

Persamaan 19 (a)

Rumus tebal konstruksi perkerasan untuk umur l-5 tahun dan Po = 8 tons, atau U = 15 th dan Po = 8 tons, yaitu: h sk =

56,6 \/

I

(1'82 +9rZ1og 6 n n' )

Persamaan 19 (b)

cnn


-

1

Rumus tebal konstruksi perkerasan untuk umur L0 tahun dan po = 8 tons, atau U = L0 th dan Po = 8 tons, yaitu: t--

h"1

=56,G \/ li

(1,7+o,71og6nn) Persamaan 19 (c)

Cr*

Rumus tebal konstruksi perkerasan untuk umur 5 tahun dan po = 8 tons, atau U = 5 th dan Po = 8 tons, yaitu:

h gk =

( t,q9 * o,7log a 11 ry; 56,6 ,l \/ a*

Faktor drainase

6

berkisar dari

1-

persamaan 19 (d)

5, yang ditunjukan oleh Tabel

J_0;

Tabel 10 Faktor Drainase 6

KONDISI DRAINASE

AIR TANAH

JENIS TANAH

Sangat baik

Dalam

Berbutir kasar

1,0

- 1,5

Baik

Dalam

6

-

Danekal

Berbutir halus Berbutir kasar

1,,5

Sedang

2,5

-3,5

Jelek

Dangkal

Berbutir halus

3,5

-

Faktor curah hujan

11

2,5 5,0

ditunjukkan oleh tabel 11; Tabel 11 Faktor Curah Hujan q

Pl<10

10< Pt<20

20< Pt<30

-

2,00-2,50

2,50

-

3,00

3,00

-

4,00

Kecil

1,,25

Sedang

1.,75

-2,50

2,50

-

4,00

Tinggi

2,50

-

4,OO

-

7 ,OO

7,75 4,OO

4,OO-L2,50

=nPerlu kita ketahui istilah serta notasi yang digunakan; e

nilai ekuivalen lalu lintas.

U

umur yang direncanakan.

LHR

lalu lintas harian rata-rata, sebelum diekuivalenkan terhadap

LER

: lalu lintas ekiuvalen rata-rata, yaitu LHR yang telah

diekuivalenkan terhadap

LEP LEA LEH

po.

po.

: lalu lintas ekiuvalen permuraan,

yaitu

LE pada

awal umur rencana.

: lalu lintas ekuivalen akhir yaitu LE pada akhir umur rencana. : lalu lintas ekuivalen yang diperhitungkan, yaitu LER yang telah dikoreksi dengan faktor umur U atau faktor regional.


-

1

._,

12

PENGANTAR KONSTRUKSI BETON

A. UMUM Beton terbagi atas kelas, mutu serta didasari oleh tujuan penggunaannya. Pada beton dikenal tegangan dan regangan.

1. Kuat Tekan Karakteristik Beton Kuat tekan karakteristik beton yaitu kuat tekan khas yang dimiliki beton, hal ini menunjukkan kelas dari beton itu sendiri. Kuat tekan karakteristik o'51 dari sejumlah benda uji beton pada umur beton 28 hari ditunjukkan oleh tabel L, di bawah ini; Tabel 1 Kuat tekan karakteristik beton (o'r,r dalam kg/cm Kelas

o'bk K

Beton

( kglcm2

)

o'b, (kglcm2)

Tujuan Pemakaian

Pengawasan

Mutu Agregat

Non

1

Bo

Br 2

Krzs

Kr:t Kzzs

3

)

Sumber PBl, 71

Kzzs

L25 175

200

225 > 225

300

250 > 300

Struktural Struktural Struktural Struktural Struktural Struktural

Kuat Tekan

Ringan Sedane

Ketat Ketat Ketat Ketat

Kontinu Kontinu Kontinu Kontinu

o'6p

rrle

rupakan kekuatan tekan beton rata-rata dari sejumlah benda uji.

Hal ini didefinisikan; E

F s'"* -1 eEm

'^^ #'

Persamaan 1 Ix

Yang mana;

o'b o'b, n 2.

: kuat tekan benda uji beton : kuat tekan rata-rata dari benda uji beton

:jumlah benda uji.

Deviasi Standar (5)

Deviasi standar yaitu tingkat penyebaran kekuatan tekan dari benda uji. Penyebaran ini tergantung tingkat kesempurnaan dari pelaksanaan yang didefinisikan sbb;

C_

5-IffiTi tVl"H."h-ubrJ-

Persamaan 2

Kuat tekan kaiikteristik o'bk dapat dirumuskan dari hubungan 0'6, dengan standar deviasi S, yaitu o'bk = o'b*

-

Lr64

Persamaan 3

S

Batas-batas standar deviasi ditunjukkan oleh tabel 2, berikut; Tabel 2 Batas

-

batas Standar Deviasi

DeviasiStandar

Volume Pekerjaan Keterangan

Jumlah beton ( m3 )

Baik sekali

Kecil

< 1000

35sSs45

55<S<55

65<S<85

-

35<S<45

45<S<55

55<S<65

25<S<35

35<S<45

45<S<55

Sedang Besar

1000

3000

> 3000

Sumber PBl,71.


-

L

Baik dan dapat diterima

Kuat tekan beton tergantung dari umur beton serta pemakaian darijenis semen,

hal ini ditunjukkan oleh tabel 3; Tabel 3 Hubungan Umur Beton Terhadap Kuat Tekan Beton

Umur Beton Terhadap Persentase Kuat Tekan Beton

Jenis Cement Forland

(hari)

(Fc) 3

7

L4

2L

28

90

365

Cement forlond biasa Cement forlond

40%

65%

88%

95%

LOO%

120%

135%

dengan kekuatan

55%

75%

90%

95%

100%

11.5%

!2O

o/o

awaltinggi Sumber PBl, 77

Sifat

-

sifat Beton

a. Yang paling penting dari sifat beton yaitu kuat tekan hancur, tarik hancur dan kuat lentur hancur. Kuat tarik hancur berkisar UtO gambar 1-, di bawah ini;

Gambar

l

-

1-/25 tekan hancur, sekarang perhatikan

Tekan Lentur pada Balok

Kuat tekan lentur;

srr:

I\'{

E-

Persamaan 4

yang mana;

M=F L,'6

dan a: = bhr,,'6

P en g ant

ar Kons truksi

B e ton

b.

Susut beton

Setelah pengecoran beton akan terjadi proses pengerasan, pada proses itu beton menyusut rata-rata 0,5 mm untuk 1 m balok beton. Penyusutan beton tergantung;

1) Perbandingan campuran material adukan

2) Bahan tambahan 3) Faktor air dan semen atau w/c 4) Jenis semen 5) Temperatur.

4. Modulus Elastisitas Beton E Jika batang beton dengan panjang awal

serta luas penampang A ditarik dengan gaya sebesar F seperti ditunjukkan oleh gambar 2a, maka akan terjadi penambahan panjang sebesar AL. Juga sebaliknya jika batang itu ditekan yang ditunjukkan oleh gambar 2 b. Le

F

Gambar 2 (a)

Gambar 2 (b)

Gambar 2 Modulus Elastisitas Beton

Modulus elastisitas beton E.; e

= {t

Persamaans

yang mana;

o=F/A

dan e=AL/Lo


-

1

5. Regangan Panjang Regangan panjang didefinisikan sebagai perbandingan perubahan panjang AL akibat

adanya gaya yang bekerja terhadap panjang benda yang ditinjau. Gambar menunjukkan regangan panjang akibat gaya tarik dan tekan.

2

Gambar 2 (a) sebuah batang yang memiliki panjang awal Lo setelah mendapat gaya tarik sebesar F maka panjangnya menjadi L1, sedangkan Gambar 2 (b) setelah mendapat gaya tekan sebesar F panjangnya berkurang menjadi 11. Adanya perubahan dari

L6

Akibat gaya tarik, AL = Lt-

menjadi 16,

Lt sebesar AL

yaitu;

sedangkan akibat gaya tekan AL =

h-

Lt.

Rasio antara perubahan panjang AL terhadap panjang awal disebut regangan e,

yang didefinisikan dengan persamaan 6; .,{T.

Persamaan 6

-Lo

6.

Hubungan Tegangan

-

Regangan

Terdapat suatu hubungan antara tegangan (stress)terhadap regangan (stroinl, dimana tegangan merupakan rasio antara gaya yang bekerja terhadap luas penampang A, baik berupa gaya tarik maupun gaya dorong. Sedangkan regangan e merupakan rasio dari perubahan panjang AL terhadap panjang awal [.

Di sini terdapat hubungan antara tegangan dari gaya yang bekerja terhadap reganganyang dihasilkan akibat gaya itu dengan membandingkan perubahan panjang terhadap panjaang awal. Berupa modulus elestisitas 3, di bawah ini; Perlu dipahami bahwa Eu=

a'alE'v

E

E

yang diperlihatkan oleh gambar

setiap material tidak sama, yang didefinisikan; Persamaan 7

P en g antar

Kons tr uksi

Be

ton

B'

C' ------------;;T

,ii

B

OAA' Gambar 3 Hubungan Tegangan - Regangan Atau; Eu

= 19oo

(o'o.,n)o't

Persamaan 8

Yang mana o'bn,,h r kekuatan

B.

tekan beton setelah h hari.

DASAR PERHITUNGAN KONSTRUKSI BETON BERTULANG

- Peraturan - Peraturan - Peraturan 1.

Beton Bertulang lndonesia PBI 1-971 N. I - 2. Perencanaan Tahan Gempa lndonesia untuk Gedung 1981-. Pembebanan untuk Gedung 1983. American Concrete lnstitute (ACl) 3L8 - 83.

Tebal Selimut Beton

Pada konstruksi beton bertulang yang dicor di tempat, harus mempunyai selimut atau

penutup beton. Tebal minimum selimut beton darijenis pekerjaan ditunjukkan oleh tabel 4;

Konsep dan Aplikasi Pengantar Teknik SiPil

-

1

abel 4. Tebal minimum selimut beton dari jenis

beton

Tebal Minimum Selimut Beton (cm) Jenis Konstruksi

Tidak

Di Dalam

Di Luar

Pelat dan selaput

1,0

1,5

2,0

Dinding dan keping

1,5

2,0

2,5

Balok

2,0

2,5

3,0

Kolom

2,5

3,0

3,5

Terlihat

Sumber PBl,71

Yang dimaksud;

Didalam

: Beton terlindung dari pengaruh cuaca dan air.

Di luar

: Beton yang kontak dengan pengaruh cuaca dan air.

Tidak terlihat

: Setelah

dicor beton tidak dapat diperiksa kembali.

2. Koefisien dan Tegangan yang Diizinkan Koefisien di sini yaitu suatu faktor perencanaan yang diperhitungkan berdasarkan keamanan pemakaiannya. Koefisien-koefisien tersebut antara lain;

a. Koefisien Pemakaian (ypl Koefisien pemakaian yaitu suatu nilai yang memperhitungkan kemunduran kekuatan akibat pemakaian faktor pemakaian. Koefisien ini berhubungan antara jenis pembebanan serta sifat dari beban itu sendiri. Koefisien pemakaian untuk beton diperlihatkan oleh Tabel 5;

P eng

antar Kons tr uksi

Be

ton

Tabel 5 Koefisien Pemakaian untuk Beton (yr)

Jenis Pembebanan

Sifat Pembebanan Tetap Sementara

Lentur tanpa atau ada gaya

normal

-

Tegangan tekan Tegangan tarik

7,2

1,0

1,0

1r0

Gaya aksial

-

Tegangan tekan

1,2

L,0

-

Tegangan tarik

1,0

L,O

Lentur atau puntir Tegangan tekan

L,1

1,0

-

L,1.

1,0

-

Tegangan tarik

Sumber PBl,71

Perlu diingat; Untuk bojo poda semuo pemokaian, ypo= 7.

b. Koefisien Bahan (y,") Pada pelaksanaan pekerjaan beton, adanya penyimpangan pelaksanaan akan menyebabkan kemunduraan kekuatan kualitas beton. Hal ini perlu dimasukkan sebagai faktor koreksi berupa koefisien bahan ym. Koefisien bahan untuk beton yaitu;

Yn: lr4 /9 Yang mana Q merupakan koefisien kekuatan beton, besarnya nilai dari Q ditunjukan oleh tbel 6;

3lo


-

1

Tabel 6 Koefisien Bahan untuk Beton (y.)

No

Uraian Prosedur Pelaksanaan

0

t

Beton dibuat di pobrik dengan pengowoson baik, dicor dalam lapis-lapis horizontal dengan kemiringan 300.

L,08

2

Beton dibual di tempot pekerjoan dengan pengawoson normol, dicor dalam lapis-lapis horizontal atau dengan kemiringan mox 300, atau di buat di pabrik yang dicor dalam lapis-lapis vertikal dengan kemiringan mox 3Oo.

1,00

3

Beton dibuat di tempot pekerjaan dengan pengowoson normol, dicor dalam lapis-laois vertikal densan kemirinsan lebih dari 300.

0,93

4

Beton dibuat di tempat pekerjoon dengan pengowasan kurang, dicor dalam lapis-lapis horizontal dengan kemiringan max 300.

0,9

5

Beton dibuat di tempat pekerjoan dengan pengowosdn jelek, dicor dalam lapis-lapis vertikal dengan kemiringan lebih dari 300.

0,87

Sumber PBl,71

Koefisien Beban (y,) Pada konstruksi beton perlu memperhitungkan pengaruh beban sampai mendapatkan beban batas (ultimote load), ada dua jenis beban yaitu; - Beban tetap, y, = 1,5 - Beban sementara, y, = L,05

Dari ketiga koefisien di atas yaitu koefisien pemakaian, bahan dan beban, kita dapatkan kekuatan izin beton yaitu;

Gtb :

tr{"ekuatan

bahar

Tp'?* 'Y'

Persamaan L0

3.

Jenis dan Kombinasi Pembebanan

Pada perancangan serta pelaksanaan konstruksi beton seharusnya diperhitungkan selain sifat beban, juga jenis pembebanan.

1.

Jenis pembebanan antara lain; Beban mati

a. b. c. d. e.

Beban hidup Beban angin Beban gempa

Beban khusus (akibat settlement fondasi, rem dari kran,

gaya

dinamis dari mesin).

2.

Kombinasipembebanan

Ada beberapa jenis kombinasi pembebanan, hal ini dimaklumi bahwa konstruksi beton merupakan bagian yang penting dari sebuah bangunan baik gedung maupun bangunan lain. Kombinasi pembebanan antara lain; a. Pembebanan tetap ; ( Beban mati+ beban hidup ).

b. Pembebonon sementara

; ( pembebanan tetap + beban lain ).

Selain kombinasi di atas ada rekomendasi dari ACI Code 318 faktor beban (U).


-

1

-

93 untuk

A{'I {l*de -: i$ - 9l u:ltr"r-k ta}tcu h*!an i$j * b*han hidup itl ;

R*k*urrndssi d*xi

a.

Behar: rr:*ti

r.'U}

Lr= 3.-i& - t.;L Beban ruati

Ata*

u

,D, l.,ehl: l"iJLrp: ,L: -

L,*l-art ,rngin ,11^,

.

,

=i.r"$I)

* l.]xr

il*i + h*hax hjd*p ill.* u ={_1. )ti"+t"}- I I.*.!"} h"

&ebw n:ati

bebs$ getnpe.

if i;

}

Ata* L1

;

*;}"$fi + i,+ilii

Br$*:t vlurti iJ,}.! * l:*'h*n kid*trt lt.i LI

* 1"-113 +:.rit

h*l;all akib;*r ai:' ;rre* rx**ir

:

+ f.{l

&t.n*,

LIH*.tl:r* l.?L

Yang mana; D

Deod lood

W

: Wind lood

L

Live lood

: Earth quake load

H

Heod

E T

H

merupakan beban khusus, beban initimbul akibat adanya

: Tension load

penurunan fondasi, creep atau karena susut.

P en gan t ar

Kons truksi

B e ton

4.

Hubungan Baja dan Beton pada Beton Bertulang

Besi beton atau baja banyak beredar di pasaran, bentuk polos atau ulir serta bervariasi

diameternya, seperti;

D6 mm, D8mm,

D

10mm, D L2 mm, D 14mm, D 16 mm, D 19 mm, dll.

Baja yang menjadi tulangan pada konstruksi beton dan tegangan baja pada kondisi tegangan leleh o, merupakan faktor penting karena pada keadaan tersebut regangan baja maksimum, sehingga beton di sekitar tulangan ikut mulur sampai hancur.

Perlu diingat kembali bahwa setiap material memiliki modulus elastisitas

E

sendiri, yang merupakan rasio antara tegangan terhadap regangan. Modulus elastisitas baja E, sebesar 2,L . LO6 kg/cmz. Dalam hal mutu digunakan notasi U, tegangan tekan dan tarik baja yang diizinkan o'" ditunjukkan oleh tabel 7, dalam satuan kg/cm2. Tabel 7 Tegangan Tekan dan Tarik Baja yang Diizinkan

Tegangan Tekan dan Tarik lzin Baja U

Pembebanan Tetap

Uzz

t.2so

Uzq

1.400

Usz

1.850

UEg

2.250 2.750 0,58 o",

U+s

Uu-r-

o'.

(kelcm2)

Mutu baja

Pembebanan Sementara 1.800 2.000 2.650

3.200 4.000 0,83

o,,atau 0,83

ooz

Sumber; PBl,71.

Tegongan tekon don torik boja leleh karakteristik atou yong memberikan tegongan tetap sebesar 0,2% (os,) ditunjukkon oleh Tabel 8, dalam satuan kg/cm2.


-

1

Tabel 8 Tegangan Tekan dan Tarik Baja Leleh Karakteristik

Mutu baja

oau

U

atau 0,2 % (os,2l (kelcm2)

Keterangan

2.200 2.400

Uzz

Uro

Baia lunak Baia lunak

3.200 3.900 4.800

Ua,

U.o Uqa

Baia sedane Baia keras Baia keras

Sumber; PBl,71

Untuk merencanakan tulangan pada beton bertulang gunakan kekuatan baja rencana, hal ini akan memberikan faktor keamanan yang memadai. Tegongon tekan don torik bojo rencano (o*ou) ditunjukkan oleh tabel 9, dalam satuan kg/cm2. Tabel 9 Tegangan Tekan dan Tarik Baja Rencana (o*",)

Mutu U

Uzz

Uro

Tegangan Tekan dan Tarik Baja Rencana (kg/cm2) 1.910 2.080

Usz

2.780

U.o

3.390

Uro

4.170

Umum

0,87 oo,,atauO,87 ont

Sumber; PBl,77

5.

HubunganTegangan(

Pada gambar 4

o )-Regangan( e )Baja

di bawah ini menunjukikan hukum Hooke yang mana hubungan linier

antara tegangan dan regangan masih selaras garis 0P. Baja terus menerima tegangan o sampai mencapai tegangan leleh di

jika pemberian tegangan masih terus berlangsung maka akan terjadi kondisi ketidakselarasan antara penambahan tegangan dengan regangan e. Sedikit kenaikan tegangan dibandingkan dengan regangan yang terjadi.

P en g an

tar Kons truksi B eton

titik

S.

Untuk jelasnya perhatikan gambar 4; I

q.R

Qp; mr*h ko*ili*i liniw

{ll"+qte,o*EeJ p,a

.v"

*;ddeLlidff

r

0

:titikb*txdrstie

R

r

tfuikptnc&, &aje prrtur

$.r.:63

Gambar 4 Hubungan Tegangan

6.

-

Regangan Baja

Under dan Over ReinforcedTulangan Beton Bertulang


-

1

-_,

13

BALOK BETON

Pada perhitungan balok beton bertulang akibat beban berdasarkan metode kekuatan batas (ultimate strength). Metode ini JiOagi atrs; 1. Keadaan seimbang (batonced)

2. Keadaan tulangan lemah (under reinforcedl 3. Keadaan tulangan kuat (ouer reinforced).

Metode kekuatan batas (uttimote strength) untuk balok beton bertulongdengan

asumsi;

a' Bidang rata dianggap tetap rata setetah mengarami rentur dan tetap tegak sumbu konstruksi, seperti iitrniutt.n gambar 1 di bawah ini;

b. Regangan di dala netrar,

rurus

Gambar 1 Balok beton mengalami lentur

pernatl<arftffillTiTi;';:tn:'o

berbanding turus dengan jaraknya ke garis ,b r I

€t,

Garisaeual

---

Gambar 2 Diagram regangan beton _ baja

, ^, ^t E6iEs=y:X -,

Sehingga;

€"

x t'u

Persamaan

1

Yang mana;

: r€gdt'lgan beton E', : regangan baja €'6

c.

Tegangan tekan beton tidak sebanding dengan regangannya. Tegangan tekan maksimal sebagai kekuatan tekan lentur beton, pada umumnya tidak terjadi pada serat tepi.

d. Tegangan tarik dianggap dipikul seluruhnya oleh tulangan.

A. HUBUNGAN TEGANGAN

-

REGANGAN BAJA PADA KEKUATAN

BATAS

a.

Kuat tekan atau tarik pada baja rencana cr*a, = 0,87

o., oau merupakan kuat tekan atau tarik baja dalam kondisi leleh dimana baja memberikan tegangan tetap sebesar 0,2%o atau o

b.

6,2.

Hubungan tegangan - regangan baja dianggap bilinier, yaitu menurut garis lurus, miring dengan tangen dari sudut kemiringan antara E, dan garis lurus yang menyatakan tegangan tetap sebesar o*"r. Lebih jelasnya perhatikan gambar 3 di bawah ini;

ot.,

0

8.

0)96

Gambar 3 Diagram tegangan - regangan baja pada kekuatan batas


-

1

Eg-

o*o,

Persamaan 2

Yang mana;

re

: regangan

E,

: modulus elastisitas baja, E" = 2,1 . L06 kg/cm2

tarik leleh baja

o*rr: kuat baja rencana

c.

B.

Regangan baja tidak boleh lebih dari0,3%

METODE KUAT BATAS (ULTIMATE STRENGTI+ PADA TULANGAN SATU RANGKAP

1.

Hubungan Tegangan

-

Regangan Kondisi Seimbang (balanced)

Perhatikan gambar 4 di bawah ini; €'i = E'*

L--i_----J

Gambar 4 Diagram tegangan - regangan pada kondisi bolanced

1. Kuat tekan beton mox lo*aul dan regangan beton max le'6ul

Kuat tekan beton mox sebagai kekuatan tekan lentur beton rencana didefinisikan sbb;

Persamaan 3

CI*b, = Ko O'bk

Jadi regangan tekan mox beton (e'5,) sebagai regangan batas di serat tepi balok beton yang tertekan sebesar t'u, = 0,0035.

2. Jarak garis netral ke tepi penampang 0*r,

Ee= t Di sini;

€e=€au, E^=2,1

LOG

kg/cmz dan €'5,

= O,OO35

3

4bu

g r tl '-"'

h

I

d hrr

*3

Sehingga;

135* 735*

* o*o

Persamaan 4

3. Koefisien tufangan tarik kondisi bolonced lr,l,6l &)b=

JL'

bh

-

T. = A'o*.,

dan D = ab o*ru

Di sini;

Ta=D dana=0,8V,

o*b, = Ko o'nt

Sehingga;

all^xubk

&)b

: -E $a*-


-

1

Atau; ..,.

=

__]9:i.[_ (] ]fu o'* ) 350 + g** s**

?

Persamaan 5

Yang mana; (t)6

koefisien tulangan tarik kondisi balanced

A'

luas penampang baja tulangan tarik

0*",

kekuatan baja rencana

oau

kekuatan leleh karakteristik baja

o'bk

kekuatan tekan karakteristik beton

Ta

resultan tegangan tarik

a

tinggi blok persegitegangan tekan beton ekuivalen (a = oh)

q,

rasio tinggi blok tegangan tekan beton ekuivalen terhadap

tinggi manfaat penampang balok Ko

koefisien koordinat blok tegangan tekan beton. Ko

2.

=

0,5 0 untuk pembebanan tetap sedangkan untuk pembebanan sementara K6 = 0,6 0 (fi pada Tabel 6, Bab L2 halaman 253)

Penampang Balok Beton Persegi Bertulangan Satu Rangkap

a)

Mengalami Lentur Murni

Penampang balok beton persegi mengalami lentur murni diperlihatkan oleh gambar 5;

€'bE L-_________l

:FL. I

I

Z

Garis netral

=

_..tI

Gambar 5 Penampang balok persegitulangan satu rangkap mengalami lentur murni Syarat; ut < 0,75 trl6 QminSQSQ'nr*

lndeks tulangan tarik maksimum (q,,,"*) 6,4

- qi-I1::.l Ii..:

S'rr

:9r0 -'" ti!0-s',, il-g,.-

{,t:e.t

= U.,'-r

,o

I K:0't:, T"

Atau; q,o8-1

: t0_i - ll-ao-u--

Persamaan 5

Batas tulangan (indeks tulangan minimuml, wErr

-

-

s*.,,

1Ii.;

s".1p

Oan A*;-

1t bh

=

O'.,

Sehingga ; {t)snr- =

A*" BII


-

Q min

1

Q

.;n untuk pembebanan tetap dengan Ko = 0,5

#-

9-* = ubt

Q

Persamaan 7

,;l untuk pembebanan sementara

9uin

dengan Ko = 0,5

Persamaan 8

t0

- ET-

Hubungan Eu,fludan a alE Ega

tA vr!-:

-

iu

I--u

s'lo -

i" -

:

h-

atau

vu:

iu h

a=0,8yrdana=q.h q, h = 0,8 y, 0,8 ([, h) = sehingga; 0, =

-

0,8 €, atau €, = 1,25

cr

Menentukan momen batas lultimotel,Mu

IPr,=0

dan T.-D Ta=Ao*., dan D=2 bKoo'ur

Ao*.r=2bKoo'ur ^_

]bKooil

-

EN,.o-If

"

S**

A0r,

EtSU

a

-3h

=

Aot*

ffiE"68

As**

yseg

tA:X*fit=bL = e

A : * mEr.E bh

o*"u

'

IILoo'hl

Meke;

q= +.Ifr

atau q =Yta

Dan; Mu = Tr(h

-%

a)

Yang mana;

a=q,h, danTrg=q Maka;

M,

=

Ao*., hlL-%o'l

Persamaan 9a

Aho*", (1- q)

Persamaan 9b

Atau; Mu =

Karena,

Ao*., = abKoo'ut dan a=2qh

Maka;

M,

= 2qbh2Koo'bk

(r

-

q)

Persamaan 9c


-

1

Menentukan diameter beban atau reaksi tumpuan terpusat (cu) dan tinggi manfaat balok Recallpersamaan 9a,

M,

=

Ao*., h(L-% al

Yang mana;

L-lz a=\u

1-q=(, Maka;

Mr=Ao*rrh(,

Persamaan 9d

Atau;

M,

= 2qbhzKoo'ur

(,

Jika persamaan 9d, Mu = Ao*", h (u dikalikan

Maka didapatkan;

y,= F}fuo'61bh:] ' A Koo'lr bh 2=9**= Yang mana;

A lK"S'* _-qo* -'{"

EE-

M, = Q, (2bh2Koo'61(u

)

Dan;

{

1I"

h=i 2 ltr*ra t,

b q,, iu

jot

persamaan 1o

densan

*lg.qi! fbh l{n(I'ur

( t lo'r :cu L-"GJ Atau;

h=rof 1Io,

L zILb {t'u*

Jo'' I'

Persamaan 1L

Sehingga;

]["

_l ru=h"-illth{I'*

r

,

- o'i

Persamaan L2

I

Yang mana;

c,

:

(,

: rasio lengan momen dalam zuterhadap tinggi manfaat penampang

diameter beban atau reaksitumpuan terpusat

balok

3.

h

pada keadaan ultimate

Penampang Balok Beton Persegi Bertulangan Satu Rangkap Menerima Beban Horizontal

-

Syarat; trl < 0,5 ur6 dan Qmin S Q S Qr"*

untuk

Q6;n s?ryld

dengan persamaan 7 dan 8

q^rronalog dengan persamaan di atas {lmu:0"5

c,:t

{{9JL

Atau;

Yffi

I 110 - 7350-ot

Persamaan 13


-

1

Koefisien kekuatan beton 0,

-

regangan

t

Ada dua keadaan untuk kekuatan beton 0u

1)

6u1 Qu^^* Ada di bawah garis netral, yang mana untuk regangan €'5

6..

{ O, *o-c-: -t=!r = t"i u:.l Lt

€'b

= €'b, maka tau (

€'a

Ada di atas garis netral, yang mana untuk regangan t'b

Tentukan nilai a untuk Au= Au^"*

t'6

(

* )o,*=ff €'5u maka

Eau

e'6u

max

2l Ou) 0u^"*

0,=

)

= t'arn.*

Duo keodaon ini diperbolehkan/dapot dipokoi'

(

t'b'

c.

METODE KUAT BATAS

(ULTITI4ATE

STRENGTII PADA

TULANGAN DUA RANGKAP

1. Hubungan Tegangan

Regangan pada Kuat Batas (ultimate

strength) Perhatikan gambar 6 di bawah ini; giE

b

h1

Gambar 5 Diagram tegangan - regangan

ultimote strength

Dari gambar 6, bahwa;

-

Tegangan beton moximum sebagai kekuatan tekan lentur beton rencana; Obr=Kog'bk=0*b,

-

Regangan beton moximum sebagai regangan batas tertekan E'u, = 0,0035

-

Blok tegangan diidealisasikan menjadi suatu blok tegangan tekan beton ekuivalen dengan tegangan tekan tetap o*s, dan tinggi blok o. cr =

0,8 (,

u:1-

0'2 (rr

untuk [,

(

1

untuk [, > 1-

Yang mana;

h y,

:tinggi manfaat balok beton :

jarak garis netral ke serat tertekan


-

1

di serat tepi

yang

a

tinggi blok tegangan tekan beton ekuivalen

o,

rasio tinggi blok tegangan tekan beton ekuivalen o terhadap

tinggi manfaat balok beton h atau koefisien garis netral yang merupakan rasio jarak garis netral

€,

ke serat tertekan y, terhadap tinggi manfaat balok beton h €a

regangan tarik baja

E,"

regangan tekan baja

Ebu

regangan tekan beton di serat tepi pada keadaan batas

sebesar 0,0035

!-

o'bk

tegangan tekan beton karakteristik yang diizinkan

o*b,

tegangan tekan beton rencana

0'b,

tegangan tekan beton izin pada keadaan batas

,u

L

fl

dan

0:_

a

h

2. Penampang Balok Beton

Persegi

Bertulangan Dua Rangkap

Mengalami Lentur Murni Penampang balok beton persegi dua rangkap mengalami lentur murni yang diperlihatkan oleh gambar 7, di bawah ini; t-*l

E o**

Garis netml

Gambar 7 Penampang balok persegi bertulangan dua rangkap mengalami lentur murni

Yr=€rh O": l-a tul*

z

O'u

-A'

=(uh

A

0):-

A bh

.A'

oeu u t,u

(U -on

Dan;

A o*"* bli I I( o'ut

'

Maka luas penampang tulangan tarik A yaitu;

2IAO'rt

4=qbh o*;-

Persamaan 1a (a)

Serta luas penampang tulangan tekan A' yaitu;

A'= 6A

L.

Persamaan 14 (b)

Tulangan Tekan Sudah Meleleh Pada kondisi tulangan tekan sudah meleleh, tegangan tekan baja yang diizinkan o'., mencapai tegangan tekan baja renca.na o*.r. Maka; - Pada bagian tekan

€3uit'6u=(h-Yu):Y,

€", :q-y') t'n, Y"

1l l-qu 5u

Atau; 1l 'r:o:0,, (*

Persamaan L5

Pada bagian tarik

€'.r:€'5r=(Yr-d'):Y,


-

1

:tr:ll: y"

Gau

J

€"h-d' fuh

d'

=,-

(uh

j'' : l- ("h

o'o

Persamaan L6

Atau;

o'u:1- (0'8d'/tl) ([

Persamaan 17

Yang mana;

d'

jarak dari tulangan tarik baja ke serat tepi : koefisien kuat tarik :

6', 2.

lndeks Tulangan Tarik, q

IFn=0makaTa=Da+Do

T" = Ao*", D.

=

A'o*., atau D" = 6Ao*r, dan Dr = db o*uu

T" = D.+ = A'

P6

ox.,

+ ab o*bu

AO*", = A' O*ru + ab OxUu Dimana;

A' = 6A, o*b, = K, o'bu dan a = cth Maka;

Ao*r,

=

A' ox., + ab o*0,

Ao*.u = 6A o*., + q.h b o*uu

(1- 6)A O*.u = ch b o*6,

Dimana;

o*b, = Ko o'bk Maka; (1

-

6)A o*.u = cth b

Kq o'6k

Ao*", = 0, bhK. o'* (I S)

atau

-

As*., I(" o'ur

2bh

&

2(I

-

6l

Dimana;

As*".

bh(2K"$i*)

:

q

Sehingga; 0,

e 2(l-

o)

Persamaan 18

Yang mana;

A

: luas tulangan

A'

: luas tulangan tekan

q

rasio luas tulangan tekan terhadap tarik : indeks tulangan tarik

tarik

Jarak Resultan Gaya, 4

q merupakan jarak resultan gaya dari serat tepi atas atau dari serat tertekan; rl(D. + Du) = D. d' + lz a

Du

Dimana; Ta=Du+Da D, = 6Ao*., dan Ta = Ao*.,


-

L

Maka; Q(D" + Du) = ( A'

o*r, I d' + T, a ( T. - D. )

- 64o*., ) = ( A' o*,u ) d' + Ao*., l% a - 6 | =o*au(A'd'+%aA-64)

= ( A' o*au I d' + %a (Ao*.u

T:

o**( A'd'

+

%

aA-EA

)

As*"o

Dimana;

-A'_ o: A Maka;

G*"oIEd'+(Yza-A)] *,

O*.u

Tl:5d'+Yza(1-6)

Persamaan 19

Yang mana;

D, : gaya tekan terhadap D6

: gala tekan terhadap beton

D, :

n

baja

gaya tarik terhadap baja

: jarak resultan

gaya

Momen Ultimate M, pada Tulangan Dua Rangkap

z

M, = T.

dan T" = Ao*au

Dimana;

z=h-11 a = ch =

atau

z=h-6d'+%a(7-6l,

[2q(1- 6)] h

z={h-[6d'+qh(l-6)']] Maka;

M, =Ao*,,t

h- t6 d'+ qh(1-6)'l)

Persamaan 20

Atau;

I\L 2

I(

hd

o'u. bh2

: q[el-s+)-(r-ay1

: q kt -uf i-(r -oy][zx,o'ontrn4

Koefisien Lengan Momen Dalam,

Persamaan 21

(,

(,

merupakan rasio antara lengan momen dalam z terhadap tinggi manfaat penampang balok yang didefinisikan;

v-Z L"-

n

Mo: As***h I I -df -

',/,

u(l - E]l

Yang mana; Mu = T"

(,

h dan

Ta =

Ao*.,


-

1

Sehingga;

(": I I -6# -];a(i -S)l 6.

persamaan 22

Diameter Beban atau Reaksi Beban Terpusat, c,

M,

= T.

IvIu

=

(,

h dan

T. = Ao*",

Aof.,'E 6Fh { 2lqo'bkbh } ---

M.,=

I zx"o'*bh J

* *ffi

L(:t<.o'rr.bh2)

Yang mana;

A o*.o T[ zno'-*=^Y Mu = Q h (2Koo'ur.bh2

h=

f

I\lL

l

)

o'5

{zn'i--uq5}

Dan;

i

+ ll'': ".

Persamaan 23 (a)

LqhJ

atau;

,- [ Mu . I cu=h1rKb"1f

-o't

persamaan 23 (b)

Sehingga;

.h: 7.

( ""1

h/t

lo'5

2rqb"L-

I

Pembatasan Tulangan

a.

Penampang Balok Umum Mengalami Lentur Murni A

- A' <0,75 An atau t.rr ( trlu

Sehingga; 2245

r':(1-E)S 7350+c%

b.

2I("o'rr Persamaan 24

o*"*

Penampang Balok Merupakan Bagian dari Sistem Pemikul Beban Horizontal ro(1

-

o)

=

1470 ?Ito"ur. o* -;%-

3ro *

Persamaan 25

o'bk, o*ou , tegongan beton don bajo dolom satuon kg/cm2

c.

-r

lndeks Tulangan Tarik, q

1) Penampang dari balok umum mengalami

lentur; Persamaan26a

Q,*:# 2l

Penampang dari balok yang merupakan bagian dari sistem pemikul beban horizontal e*o

:

I

470

65117;361;;;1


Persamaan 26 b

-

1

d.

Tulangan Tekan Belum Leleh

1)

Syarat;

o't' ( o*t' Dari diagram regangan gambar 7,kita dapatkan;

€'"r:t'6u=(Yu-d'):yu

€'"r:t'b"{r-

#

}

Yang mana; Eu= L,25 o.

q=2q(1-6)

dan

o'.u = E, €'"u

Maka;

-_ {1- o4d.rh ".,* " o"u:73501

q(l-d)

I

2)

I

I

Persamaan 27

J

Menentukan Momen Ultimote Mu dan a

Ta=Da+Du IFn=0 o*., = A'o'., + ( a b Ko o'ut)

A

Yang mana;

4=qbh q bh o*r, = A'o'., + ( a b qbh (2 BL o'ur.) =

d

Ko

o'ut

)

h + l] a bh Ko o'rt - q(1-o)iJ L

qbh (2 K" o'ou)lz:soIr

L

0'1d"

Mr=T"(rh T" =

Ao*.u dan

L: t 1 - S# -',4 u(1 -

S

)l

Sehingga;

rr{,=bh:(2rqc;kl[(r-5)(t-

])*eotr-#lr,

**,] r;

persamaan 28

Dan;

.={[ry*-0J". *#+*]-'- [#**-oJ e""'* aan2e e. Tulangan 1)

Tekan Sudah Leleh

Syarat;

E'" ) t" Dari diagram regangan gambar 7, kita dapatkan;

€'r:t'6r=(Vr-d'):Y, t', :

O:-U } t'h,, {r tFt L{-u)

Yang mana; €u

dan

= 1,25 a

(,

= 1,2sq{2(1

- 6)}

= 2,5q(1

q=2q(1-6) e'.:O,OO:SIt

d'/h __t>

.}

\n

6*ro

T,r-

1oa

Maka; c( I -0 ) "

-=

0.4

d'l h

'

7f5A-

--iI

Persamaan 30

0"u


-

1.

-

6)

Cara menentukan angka-angka pada tabel ultimote strength

dimana 6 dan a diketahui;

(":1.25o

o,:

6'u:1- (0'8d'lh) fi

G:(l e

_

ld'/ht- {1:6}q

cr. = 211- s;

dan

dan

(

c.: La'|

6 =A'/A

)0.5 "l

Contoh 1 Balok beton berpenampang persegi dengan lebar 30 cm, tinggi total 60 cm, selimut beton daerah tekan 5 cm serta mutu beton yang digunakan Krzs. Baja yang digunakan sebagai tulangan dari Ugz. Rencanakan penulangan dua rangkap jika balok itu menerima beban berupa momen M = 15 Tm yang merupakan pembebanan tetap.

Solusi

) Usz ) Krzs

o'ur = 175

o*.,

=

Pembebanan tetap

kg/cm2

278Okglcm' K6 =

t'u, =0,0035 e'rr.*

=0,01 E"=2,L.

0,5 dan y, = L,5

ht=60cm d=5cm h=ht-d=60-5=55cm

b=30cm

L06 kg/cm2

Diminta luas penampang tulangan; recall persamaan 1a (a);

A=obh2K'o'ut ,

O*u, penampang tulangan tekan A' recallpersamaan 14 (b)yaitu; Serta luas

A'-- 6A Untuk mengetahui q atau indeks tulangan tarik, kita harus ketahui diameter beban atau reaksi beban terpusat

cu.

Recollpersamaan 23 (b) untuk C,.

Mu t-'''-- J 1,5 . 1,5. 106 I 1 znu"i. t= 55 1r.-J.?0-175J

. I cu=h Mu = cu =

Vs

M

2,657 dengan 6 = 0,4 dari tabel ultimate strength didapaU

Syarat ke @u

-

)

1-;

@r

r.*

Qu) @uo

@'u)@uo

Q'u)Quo (tulangan tekan sudah meleleh)

@,,.,

= -# -r* tt,

@uo=

0,0 I 2,68 a3-635

+ = ffiH,,"

lngat;

t"=

-=2,6st

dalam contoh soal ini dalam satuan kg cm

Qu=3,255 @'u=0,574 dan q =O,L567

.

o'1

o*u, E^

#%o,oo13


-

L

)

r.* @, > @ro Q'r) Quo @,

@r

Syarat

(3,255 > O,37) ok (O,Sl4 > 0,37) ok

ke-2;

4min( Q ( Q min

(3,255 > 2,68) ok

9r.*

untuk pembebanan tetap dengan

.Qou::_11 ;;

Ko =

0,5 kita recallpersamaan 7;

= 0,0686

Penampang dari balok umum mengalami lentur, q ..*;

kita recallpersamaan 26

a;

220s

2205

Q*u:[-J1g35gao*"*; = 1ry;0,3628 Syarat ke

- 2 terpenuhi

; 0,0686 < O,L56l < 0,362g OKE

Maka luas penampang tulangan tarik;

4= q bh

25i*=

o,!s6t.3o

.

ss , li;irt

= L6,27 cmz

Dan luas tulangan tekan A'; A, = 6A = 0,4 . L6,27

= 6,51 cm2

Dalam menentukan jumlah tulangan, baik tekan maupun tarik, tergantung kecermatan dari perencana serta hubungannya dengan diameter besi di pasaran. Misalnya untuk soal ini didapatkan;

) Luas tulangan tekan, A' = 6,51 cm' ) Luastulangan tarik, A=!6,27

cm'

2 btg D 28 mm + 2 btg D 22 mm

l

btg D 25 mm

Seperti pada gambar berikut;

D22

D22

Daerah bidang tekan

Sengkang gunakan diameter yang sesuai mutu baja, D > 6 mm

D28 D2s

D28

Contoh 2 Balok beton berpenampang persegi dengan lebar 30 cm, tinggi total 50 cm, selimut beton 5 cm serta mutu beton yang digunakan K175. Serta baja yang digunakan sebagai tulangan dari Uz+.

iika beban berupa momen i.0 Tm yang merupakan pembebanan sementara, tulangan tekan menggunakan 4 D 1-9 mm, tulangan tarik menggunakan 5 D 22 mm. Tentukan momen batas yang diizinkan.

Solusi

) Uzq )

o'ax=L75kg/cm2 €'0, =0,0035 o*.u = 2080 kg/cm' e'^r.* Pembebanan sementara Ko = 0,6 Krzs

=

0,01-

-

1

ht=50cmd=5cm b=30cm h=ht-d=50-5=45cm tulangan tekan, A' = 4 D l-9 mm = !1,4 cm2 tulangan tarik, A = 5 D 22mm = 19 cm2


E"

=2,L.

1-06

kg/cm2

Diminta momen batas yang diizinkan M,;

dan

Mr=T.(rh M,

= Aox"u

(,

h

T. = Ao*a,

pers. (*

Atau recollpersamaan 23 (b)

, cu=n

i

o't

M,

,-

zr<"b"i*J

Sehingga; 2

,,= i*)2Kobo'sp

pers. (**

Kita bandingkan besarnya Mu dari persamaan (* dan (*x L'

6= [

=1_L,4/7g=0,6

Untuk mengetahui @u,\u serta cu, maka 6 dan q recall persamaan 14 (a);

4= q' bh

25{'ut Oûu

maka

q

A o*u,= 19

=-bh

](dbk

30

2080

.rt5 2 .oT. tT5

= 0,139 q ,in kita recallpersamaan 8 untuk pembebanan, sementara dengan Ks = 0,6 Qmin

= *O=

0,057

qr.* kita recall persamaan Q-*

:

26 a;

2?45

{l - E; g 350 + o*.";

=

_2205

(l -

_

0,6 x7350 *zoffi)o'584

Syarat;

gmin( @,

g( grn"* )

@r.",

)

0,057<

0,1-39<0,584

cDuo

(Du)

syorot

Q'u)(Duo

Dari tabel ultimote strength dengan 6 = 0,6 dan q = 0,139

Qu = 6,273

cu

(, .

= 2,82

= 0,918

@,

,.*

-u, 0,0 = 2,68 = ttu;,;;.= o.ools 1

t"c

@ro =E-;, = "

0,286

-lngat;

e" =

o*u,

ti= -

) @r r.* @, ) @uo @,

zq!q--

(6,273 > 0,286) ok Pers. (*

= 19 . 2080 . 0,918

M,=

.45 = 1,632 571

I hl2 2Kobo'6p tej f t<

-

= 0,001

(6,273 > 2,68) ok

M, = Aox", (, h M,

n

^^ôo 2J .16r= 0,00099

kg cm = 1,632 Tm

pers. (**

)2

ra"= \t'SzJz . o,a. 30 . L75 = L 504 233 kg cm = l-,604 Tm Momen batas yang diizinkan M, diambil dari pers (xx karena nilai lebih kecil.


-

1-

D.

TULANGAN GESER

Sengkang atau beugel merupakan tahanan geser untuk menahan gaya geser yang bekerja pada balok beton, atau berupa tulangan miring. Perhatikan gambar 8, di bawah ini;

Gambar

8

Tulangan geser

Jika gaya lintang F diperbesar, maka balok beton akan retak di zona retak. Gaya yang dapat dipikul sengkong yaitu;

Persamaan 3L Yang mana; as

jarak antar sengkong

z

lebar zona retak dan z = n as

n

jumlah sengkang

As

luas penam pang

se n

gko ng

1.

Tulangan Geser Berupa Sengkang a. Tipe dan Luas PenampangSengkang 9 berikut ini;

Gambar 9a, tipe sengkong 2 penampang dengan luas;

A,=2[aD' Gambar 9b, tipe sengkong 3 penampang dengan luas;

In

A,=31-D'l-l

t+

I

Gambar 9c, tipe sengkang 4 penampang dengan luas;

n.=+[]-orl -

l+

I

Yang mana;

D : diameter

besi

sengkong dan A, : luas penampangsengkong

b. Jarak antar Sengkang

Jarak antar sengkang a, di tumpuan, lebih rapat daripada di tengah bentang/lapangan balok. Jarak antar sengkong berdasarkan gaya lintang yang maksimum, makin ke tengah makin kecil gaya lintangnya, sehingga jaraksengkong-nya makin besar. Perhatikan gambar 10;


-

1

a

Gambar 10 Gambar 1-0 (b) Gambar L0 (c)

1l

: diagram gaya

lintang

: diagram gaya geser

Jarak Sengkong o, untuk Jarak

os=

A. o*u,

;*o

[r

Persamaan 32

Tegangan geserrru dipikulkan terhadap sengkong sebesar;

Tsu=Tbr-T*bu

2l

Jarak Sengkong osuntuk larakLz Pada bentang sejarak

L2

dipasang lebih renggang dan kita harus periksa,

bahwa;

tr'r 2J#" Jiko lebih kecil, moka o, harus dirapotkon kembali.

Jarak senqkonq menurut PBI Jarak sengkong

untuk balok = 30 cm dan jika sengkang merupakan

tulangan geser, maka jarak sengkong 2

o,= J (

h1

ht

merupakan tinggitotal balok

)

Diameter Sengkong Dalam pelaksanaan, bahan sengkang yang digunakan; - Baja lunak sampaisedang (Uzz,Uzz dan U3e) digunakan diamater D>6 mm. - Baja keras ( > Uag ) digunakan diamater D > 5 mm.

2. Tulangan Geser Berupa Tulangan Miring Tulangan miring dapat menjadi tulangan geser, seperti ditunjukkan gambar LL berikuU

:

Gambar Ll Tulangan miring sebagai tulangan geser

a. Tegangan

geser

Pada keadaan batas, besarnya tegangan geser; Tmu

b.

=

Aro*.r(sin0+cos0)

Persamaan 33

-n;{

Jarak antar tulangan miring

Jarak antar tulangan miring (jarak antar tulangan diambil dari belokan tulangan miring) yaitu;


-

1.

Aro*.r(sin0+cose)

om

= -- -;; r-

Persamaan 34

lika sengkong digunakan bersama-sama dengan tulangan miring, tujuannya untuk menahan tegangan geser dengan syara! Tsu

*

Tmu

) Ttu yang mana

rtu = T bu- T*bu

jika 16r( t'br, maka tidak perlu tulangan geser Keterangan notasi;

om

sudut antara tulangan miring dengan garis horizontal, 0 = 450. jarak tulangan miring, diukur sepanjang sumbu balok

Tmu

tegangan geser yang dapat dipikul oleh tulangan miring pada

e

kondisi batas Tsu

tegangan geser yang dapat dipikul oleh sengkong pada kondisi batas

A*

luas penampang tulangan miring

Ttb

tegangan geser izin dipikul beton

T6

tegangan geser dipikul beton

Ttu

tegangan geser total yang diterima tulangan

3. Tulangan Geser Puntir dan Lentur Puntir a. Tegangan Geser Puntir

r'6u

Tegangan geser puntir pada penampang balok beton akibat beban batas dapat dihitung sbb;

1) Di tengah tepi penampang vertikal;

t'br= .t,

#

Persamaan 35 (a)

horizontal; 2) Di tengah tepi penampang

r'bu= qr

Persamaan 35 (b)

H3

yang mana koefisien

U'f,f;f

ht> b maka i S = 3 + 0756-+-ht h1< b maka

i

S = 3+

o'i!,|'.0

dan Puntir b. Tegangan Geser Lentur

Tegangangeserlenturdanpuntirbersama-sama,makaditengah-tengah

tepipenampangvertikaltegangangeserlenturt's,dantegangangeser terpenuhi; dan harus puntir r'6u, saling memperbesar T 6u *

t'6g 3 t*br,'

apabila;

T 6u * T'5u 2

c. Tulangan Geser

diperbesor' T*b',u moko penompang horus

Lentur-Puntir

Diperlukanuntukmemikulseluruhjumlahtegangangeseritusertabeton terjadi jika; memikul' hal ini harus dianggap tidak ikut

r

6u

*

T'6u 2 T*b,,u

geser dapat memperbesar tegangan dianggap dapat puntir Tegangan geser

balok sebesar; teritur paOa seluruh lebar Persamaan 36 -r - Mto ,Or-

bA'

Yang mana;

puntir batas akibat beban batas

Mt, &

: momen

T*b.,u

: kuat geser beton rencana

: luas Penampang

teras balok beton

Teknik Stpil Konsep dan Aplikasi Pengantar

-

1

d. Sengkong sebagai Tulangan Geser

Apabila sebagai tulangan geser, lentur puntir hanya dipakai sebagai sengkang, maka tegangan geser yang dapat dikerahkan oleh sengkong r'r, di setiap tempat tulangan lentur puntir, yaitu; Trr

2 T.r+T"b,

ingat; Lsu

-

A, oxuu a"b

Perhatikan gambar 12 di bawah ini, yang mana tulangan geser hanya berupa sengkang - sengkang;

/, qr, /, orz

m.

Gambar 12 Tulangan geser berupa sengkang yang mana;

r"s, : tegangan geser puntir fiktif pada keadaan batas untuk perhitungan tulangan geser

e. Tulangan Miring Lentur- puntir Apabila tulangan geser lentur dan puntir dipakai sengkang dan tulangan miring, maka di setiap tempat, tulangan lentur dan puntir diperlukan.

Tegangan geser yang dapat dikerahkan oreh sengkang rsu dan tegangan geser

miring

rrr,

harus memenuhi syarau tsu *Tmu 2 T6r* T"gu Sefta Tr, ) T,,b, tmu

-

A.o*ou(sin0*cos0)

a-A

Persamaan 37

Hal inidiperlihatkan oleh gambar 13;

''

.

,v.:

Gambar L3 Turangan geser berupa sengkang dan turangan miring Yang mana;

A,

o.

f.

: luas efektif turangan miring (daram satu bengkokan).

: jarak tulangan miring diukur sepanjang sumbu balok.

Tulangan Memanjang di Keliling Teras

cara penulangan di poin (4) maupun poin (5) pada keliling teras masih harus dipasang turangan memanjang yang diperrukan untuk memikur momen lentur dengan jarak sama serta ruas totar minimum sebesar;

Amin

Yang mana;

Amin pt At

=

'#,

o,

: luas tulangan

Persamaan 38

total minimum

: keliling penampang teras : luas penampang teras

Konsep dan Aplikasi pengnntar Teknik Sipil _

1

g.

Dalam HalTegangan Geser Hanya terjadi akibat puntir, rumus berlaku.

- rumus dari poin 2 sampai poin 5 tetap

Dalam perencanaan untuk menentukan tegangan beton digunakan kekuatan beton rencana. Tabel 1 di bawah ini merupakan kekuatan beton rencana untuk $ =

Mutu

Kekuatan Beton Rencana (kg/cm

Notasi

Kuat tekan

Lentur tanpa/+ gaya normal

o'*

Tekan Tarik

0*bu

Gaya aksial

at*

Tekan Tarik

Pembebanan Tetao

o*

br,u

Pembebanan Sementara

B1

Krzs

Krzs

Kzzs

Umum

B1

Krzs

K:.zs

Kns

Umum

100

t25

175

22s

o'bk

60

125

775

22s

o'ur

50

62

88

112

60

75

105

135

5o'

7

8

9,5

11.

7

8

9,5

TL

0,71Vo'sr

50

62

88

1_72

60

7,5

10s

135

6

7

8

0.6 o' 0,54 Vo'61

7

8

9,5

1.7

18

20

24

27

9

10

12

13

22

75

30

33

11

t2

14

15

o'bk

Beton karakteristik

1

5,s

6

7

8

5.5

7,5

8.5

9,s

1-6

18

2t

24

8

9

L7

12

0,5

o'r.r,

O,7t'lo'd'"

0.5 o' 0,54 Vo'61

5, 5

Geser oleh

lentur/puntir

T+

Tanpa tulangan geser Ada tulansan seser

t

bm,u

0,65 Vo'r.r t,62 tlo'6y

0,7I,'lo'a, 1,78 Vo'61

Geser oleh lentur &

puntir

r*n,

Tanpa tulangan geser Ada tulangan geser Geser pons pd

2,O3 tlo'6y

T*br,,

penampang kritis Tanpa tulangan geser Ada tulangan geser Sumber PBI

Tl

0.81Vo'

r

20

23

77

30

10

11

13

15

0,97 Vo'61

2,23,,1o'a*

L,94tto'* bpm,u

20

22

26

29

0.89 Vo'n,

1.07 Vo',

2,t4 22

24

28

32

Tobel 10.4.4

Untuk kekuotan beton rencona dengon e sesuoi

t 7 horus dikalikan dengon e yang

Balok Beton

tto'61,

E.

LENDUTAN PADA BALOK BETON BERTULANG

Setiap balok maupun pelat dari beton bertulang harus memiliki tinggi penampang yang sedemikian rupa, sehingga lendutannya (f)akibat beban kerja cukup aman. Syarat besarnya lendutan akibat pembebanan tetap yaitu;

f<# yang mana

a)

Persamaan 39

Lo

yaitu;

Pada balok dan pelat lantai terletak bebas diatos duo tumpuon, L6yaitu

panjang dari balok tsb.

b)

Pada balok dan pelat lantai di atas tumpuon menerus, Leyaitu jarak antara dua titik balik, titik yang mana momen sama dengan nol.

c)

Pada balok dan pelat lantai yang terletak di atos tumpuon jepit yaitu 0,85 kali panjang bentang L atau Lo = 0,851.

d)

Pada balok dan pelat lantai yang terletak di otas tumpuan jepit yaitu 0,75 kali panjang bentang L atau Lo= 0,751.

e)

Pada balok dan pelat lantai kantilever, Lsyaitu 2 kali panjang bentang L atau Lo

f)

- bebos, Ls jepit,

Ls

= 2L'

Pada balok dan pelat lantai yang menumpu pada ke empat tepinya,

L6

merupakan bentang terpendek serta memperhitungkan poin c dan d apakah pelat lantai pada tumpuannya terjepit atau menerus. Podo pelat lontai dengan bentang terpendek kurang dari 4,5 m atou balok beton kurong dori 5 m, lendutan dioboikon (tidok perlu diperiksa ).

Lendutan dapat dihitung dengan persamaan;

r I'kt. kz* F' ri -- re q +F

Persamaan 40


-

1

yang mana; k1.

k2) 0,6

Keterangan notasi; F

lendutan

f"

lendutan elastik akibat beban kerja

F

beban tetap terbagi rata per m2 pada pelat lantai atau per ml pada balok beban sementara atau beban yang bekerja kontinu pada selang waktu kurang dari24jam, terbagi rata per m2 pada pelat lantai atau per m1 pada balok

Lo

panjang bentang yang diperhitungkan untuk lendutan

q

beban matiterbagi rata per m2 pada pelat lantai atau per m1 pada balok

Katagori beban sementara F

-

:

Bangunan industri, beban terbagi rata per m2 pada pelat lantai atau per m' pada balok harus dianggap sebagai beban jongka pendek (besornyo = 750 kg/cm2).

-

Bangunan mesjid, rumah tinggal, kantor, hotel dan sejenisnya. Beban hidup harus dianggap sebagai beban jangko pendek.

-

Bangunan gudang, perpustakaan, gedung arsip dan sejenisnya. Beban harus dianggap sebagai beban jangka panjong.

Koefisien kl dan

-

k2

Koefisien kl yaitu koefisien yang tergantung dari bentuk penampang balok atau pelat. Ditunjukkan oleh tabel 2. Tabel 2 Koefisien k1 faktor bentuk penampang balok beton

Bentuk penampang

k1

Balok T dengan flens pada kondisi terte ka n Balok perseei, I dan balok kotak Balok T dengan flens pada kondisi

1,5 2,0 2,5

tertarik Koefisien tarik.

k2

yaitu koefisien yang tergantung dari rasio luas tulangan tekan dan

A

kz

= A +A'

Persamaan 41

Lendutan akibat beban kerja; oa Lo2. 10-6 . ]gr1t (t') f"= - 6;6 ,

Persamaan 42

Yang mana;

a

: koefisien dari jenis tulangan

- Batang baja polos, o = 20,8 - Batang baja diprofilkan, o = 22,4 tegangan tarik baja yang bekerja di daerah lendutan akibat beban kerja

Og

:

E

: rasio garis netral terhadap tinggi manfaat balok

Ao*u, \c-rtr - .tJ bh O,Ut tinggi manfaat balok A : luas tulangan tarik A, : luas tulangan tekan h

:


-

1

F. KONSOL Apabila konsol memikul beban luar gaya horizontal, pelat perletakan harus di las pada tulangan tarik. Tegangan perletakan oo pada konsol akibat beban batas yang tidak boleh melebihi nilai dari;

1. Pada pembebanan tetap 2. Pada pembebanan sementara

: 0,3 o'gp Q

: 0,35 o'ul S

Perhatikan gambar L4 berupa konsol pendek berikut ini; yang mana ; ? -< ht

t

Gambar L4 Konsol pendek

Tinggi konsol h, harus diukur pada bidang muka dari kolom atau konstruksi pemikul yang tidak boleh lebih dari 2 kali ht di bagian luar. Tulangan tarik A harus diperhitungkan terhadap momen lentur akibat beban batas sebesar Fr. a.

Apabila konsol memikul gaya horizontal atau tarik horizontal, misalnya pada perlintasan kren, maka gaya harus diperhitungkan dalam menentukan tulangan tarik pokok A.

nasio

h* tidak boleh kurang dari o,o3

f

$* ,rnarn menahan tegangan geser harus dipasang tulangan horizontal yang sejajar d6ngan tulangan tarik pokok A sebesar Ah di 2/3 tinggi manfaat konsol. Persamaan untuk menentukan luas efektif dari dari tulangan horizontal Ah yaitu;

An=

S",

Persamaan 43

Yang mana;

p

: koefisien gesek

= L,4: konsol di cor monolit Lr = 1,0 : konsol di cor kemudian

It

A : tulangan

tarik 46 : tulangan horizontal dan

F, :

G.

Ar,

tidak boleh kurang dari 0,5A

gaya batas

TABEL ULTIMATE STRENGTH (SUMBER : PROF. WTRATMAN)

6=0 0.055 0.059 0.0s8 0.073 0.060 0.075 0.063 0.079 0.065 0.081 0.068 0.085 0.070 0.088 0.073 0.091 0.07s 0.094 0.078 0.098 0.080 0.100 0.083 0.104 0.085 0.105

13.54s 0.00 \2.793 0.OO r.2.333 0.00 1L.598 0.00 11.308 0.00 10.765 0.00 10.429 0.00

9.959 9.667 9.255 9.000 8.639 8.4L2

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.OO

0.973 0.028 0.971 0.029 0.970 0.030 0.969 0.032 0.968 0.033 0.966 0.034 0.965 0.035 0.964 0.037 0.963 0.038 0.961 0.039 0.960 0.040 0.959 0.042 0.958 0.043


-

1

5.11 5.95 5.85 5.73

5.64 5.52 5.44 5.33 5.26 5.77 5.10 s.01 4.96

0.088 0.110 0.090 0.113 0.093 0.116 0.09s 0.119 0.098 0.123 0.L00 0.125 0.103 0.129 0.105 0.131 0.108 0.135 0.110 0.138 0.113 0.1.41. 0.11s 0.144 0.118 0.148 0.120 0.150 0.123 0.154

o.t2s 0.128 0.130 0.133

0.156 0.160 0.163 0.165

8.091 7.889 7.602 7.42L

0.956 0.044 4.88 0.955 0.045 4.82 0.9s4 0.047 4.75 0.9s3 0.048 4.70 0.9s1 0.049 4.63 0.950 0.050 4.59 0.949 0.052 4.52 0.948 0.053 4.48 0.946 0.054 4.42 0.945 0.055 4.39 0.944 0.0s7 4.33 0.943 0.058 4.30 0.941 0.059 4.24 0.940 0.060 4.21. 0.939 A.062 4.L6 0.938 0.063 4.13 0.936 0.064 4.09 0.935 0.065 4.06 0.934 0.067 4.01

0.00 0.00 0.00 0.00 7.1.63 0.00 7.000 0.00 6.767 0.00 6.6L9 0.00 6.407 0.00 6.273 0.00 6.080 0.00 5.957 0.00 5.780 0.00 5.667 0.00 5.504 0.00 5.400 0.00 s.250 0.00 5.L54 0.00 5.015 0.00

6=0 fiu",' fi'*'l 0.135 0.169 4.926 0.00 0.138 0.t73 4.797 0.00 0.L40 a.175 4.71,4 0.00 0.143 0.179 4.594 0.00 0.145 0.181 4.5t7 0.00 0.148 0.18s 4.40s 0.00 0.150 0.188 4.333 0.00 0.153 0.191 4.229 0.00 0.1s5 0.194 4.L61 0.00 0.1s8 0.198 4.063 0.00 0.160 0.200 4.000 0.00 0.163 0.204 3.908 0.00 0.165 0.206 3.848 0.00 0.168 0.210 3.762 0.00

'

rtt

0.933 0.068 0.931 0.069 0.930 0.070 0.929 0.072 0.928 0.073 0.926 0.074 0.925 0.07s 0.924 0.077 0.923 0.078 0.92L 0.079 0.920 0.080 0.919 0.082 0.9L8 0.083 0.916 0.084

3.99

3.9s 3.92 3.88 3.86 3.82 3.80 3.76 3.74 3.71 3.69 3.65 3.63 3.61

'.

0.170 0.2L3 0.L73 0.2\6 0.17s 0.219 0.178 0.223 0.180 0.22s 0.183 0.229 0.18s 0.231 0.188 0.235 0.190 0.238 0.1_93 0.241. 0.195 0.244 0.198 0.248 0.200 0.250

0.203 0.2s4 0.205 0.256 0.208 0.260 0.210 0.263 0.213 0.266 0.21s 0.269 0.218 0.273 0.220 0.275 0.223 0.279 0.225 0.281.

3.706 0.00 3.624 0.00

3.57t

0.00 3.494 0.00 3.444 0.00 3.372 0.00 3.324 0.00 3.2ss 0.00 3.2L1 0.00 3.145 0.00 3.103 0.00 3.040 0.00 3.000 0.00 2.94L 0.00 2.902 0.00 2.846 0.00 2.810 0.00 2.756 0.00 2.721 0.00 2.670 0.00 2.636 0.00 2.587 0.00 2.556 0.00

0.915 0.085 3.59 0.91.4 0.087 3.56 0.913 0.088 3.54 0.911 0.089 3.51 0.910 0.090 3.49 0.909 0.092 3.47 0.908 0.093 3.4s 0.906 0.094 3.43 0.90s 0.095 3.41, 0.904 0.097 3.39 0.903 0.098 3.37 0.901 0.099 3.3s 0.900 0.100 3.33 0.899 0.102 3.31 0.898 0.103 3.30 0.896 0.104 3.28 0.895 0.105 3.26 0.894 0.107 3.24 0.893 0.L08 3.23 0.891 0.109 3.21. 0.890 0.11"0 3.20 0.889 0.L12 3.18 0.888 0.113 3.1_5

6=0 0.228 0.230 0.233 0.235 0.238 0.240 0.243 4.24s 0.248

{, 0.285 0.288 0.291. 0.294 0.298 0.300 0.304 0.306 0.310

0"

fi:u

2.s09 0.00 2.478 0.00 2.433 0.00 2.404 0.00 2.36L 0.00 2.333 0.00 2.292 0.00 2.265 0.00 2.226 0.00

CU

0.886 0.885 0.884 0.883 0.881 0.880 0.879 0.878 0.876


-

0.L14 3.1s 0.115 3.13 0.1L7 3.1-2 0.118 3.11 0.119 3.09 0.120 3.08 0.122 3.06 0.L23 3.0s 0.724 3.03

1

0.250 0.313 0.253 0.316 0.255 0.31-9 0.258 0.323 0.260 0.325 0.263 0.329 0.265 0.331 0.268 0.33s 0.270 0.338 0.273 0.341 0.275 0.344 0.278 0.348 0.280 0.350 0.283 0.354 0.28s 0.356 0.288 0.360 0.290 0.353 0.293 0.366 0.29s 0.369 0.298 0.373 0.300 0.375 0.303 0.379 0.30s 0.381 0.308 0.38s 0.310 0.388 0.313 0.391 0.31s 0.394 0.318 0.398

2.200 0.00 2.L62 0.00 2.L37 0.00 2.101. 0.00

2.077 2.042 2.4L9 1.985 1.963 L.930

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1".909 0.00 L.878 0.00 L.857 0.00 L.827 0.00 L.807 0.00 L.778 0.00 1.759 0.00 1.730 0.00 L.712 0.00 1.58s 0.00 1.667 0.00 1.640 0.00 1..623 0.00 1.597 0.00 1.s81 0.00 1.556 0.00 L.540 0.00 1.s16 0.00

0.875 0.125 3.O2 0.874 0.L27 3.01 0.873 0.128 3.00 0.871 0.129 2.98 0.870 0.130 2.97 0.869 0.L32 2.96 0.868 0.133 2.95 0.866 0.134 2.94 0.85s 0.135 2.93 0.864 0.137 2.91. 0.863 0.138 2.90 0.851 0.139 2.89 0.860 0.140 2.88 0.859 0.L42 2.87 0.8s8 0.143 2.86 0.8s6 0.1.44 2.8s 0.855 0.14s 2.84 0.854 0.L47 2.83 0.8s3 0.148 2.82 0.8s1 0.149 2.8L 0.850 0.1s0 2.80 0.849 0.1s2 2.79 0.848 0.1s3 2.78 0.846 0.154 2.77 0.845 0.1ss 2.76 0.844 0.157 2.75 0.843 0.1s8 2.7s 0.841 0.159 2.73

6=0 0.320 0.400 1.500 0.00 0.323 0.404 1.477 0.00 0.32s 0.405 1..462 0.00

0.840 0.160 0.839 0.L62 0.838 0.153

2.73 2.72 2.7L

0.328 0.410 0.330 0.413 0.333 0.4t6 0.33s 0.4t9 0.338 0.423 0.340 0.425 0.342 0.428 0.345 0.43L 0.348 0.435 0.350 0.438 0.353 0.441. 0.355 4.444 0.358 0.448 0.360 0.450 0.363 0.454 0.365 0.456 0.368 0.460 0.370 0.463 0.373 0.466 0.375 0.469 0.378 0.473 0.380 0.47s 0.383 0.479 0.38s 0.481 0.388 0.485 0.390 0.488 0.393 0.491. 0.395 0.494 0.398 0.498 0.400 0.s00 0.403 0.s04 0.405 0.505 0.408 0.s10 0.410 0.513

3..439 0.00 L.424 0.00 L.402 0.00 1.388 0.00 L.367 0.00 1.353 0.00 1.339 0.00 1.319 0.00 L.299 0.00 1..286 0.00 1.266 0.00 t.254 0.00 L.23s 0.00 L.222 0.00 t.204 0.00 L.L92 0.00 1.L74 0.00 1,.1,62 0.00 1,.145 0.00 1.133 0.00 L.t1,6 0.00 1.105 0.00 1.089 0.00 L.O78 0.00 L.062 0.00 1.051 0.00 1.035 0.00 1.025 0.00 1.010 0.00 1.000 0.00 0.985 0.00 0.975 0.00 0.961 0.00 0.951 0.00

0.836 0.L64 2.70 0.83s 0.165 2.69 0.834 0.1.67 2.68 0.833 0.168 2.68 0.831 0.169 2.67 0.830 0.L70 2.66 0.829 0.L7L 2.66 0.828 0.L73 2.65 0.826 0.L74 2.64 0.82s o.L7s 2.63 0.824 0.177 2.62 0.823 0.178 2.62 0.82L 0.t79 2.61, 0.820 0.180 2.60 0.819 0.182 2.59 0.818 0.183 2.59 0.816 0.184 2.58 0.81s 0.18s 2.58 0.8L4 0.L87 2.57 0.813 0.L88 2.56 0.81L 0.189 2.s5 0.810 0.190 2.55 0.809 0.192 2.s4 0.808 0.193 2.s4 0.806 0.194 2.53 0.80s 0.195 2.52 0.804 0.197 2.s2 0.803 0.198 2.s1. 0.801 0.L99 2.50 0.800 0.200 2.50 0.799 0.202 2.49 0.798 0.203 2.49 0.796 0.204 2.48 0.795 0.20s 2.48


-

7

6=0 6;",",.6'.u

0.4L3 0.516 0.41s 0.519 0.418 0.523 o.420 0.525 0.423 0.529 0.425 0.531 0.428 0.535 0.430 0.538 0.433 0.541 0.435 0.544 0.438 0.s48 0.440 0.550 0.443 0.554 0.445 0.556 0.448 0.560 0.4s0 0.563 0.4s3 0.566 0.4ss 0.569 0.458 0.573 0.460 0.575 0.463 0.579 0.465 0.58L 0.468 0.585 o.470 0.588 0.473 0.591 0.478 0.598 0.480 0.600 0.483 0.604 0.485 0.606 0.488 0.610 0.490 0.613 0.493 0.616

o.937 0.00 0.928 0.00 0.91.4 0.00

0.905 0.891 0.882 0.869 0.860 0.848 0.839 0.826 0.8L8 0.806 0.798 0.786 0.778 0.766 0.758 o.747 0.739 0.728 0.720 0.709 0.702 0.691 0.674 o.667 0.6s6 0.649 0.639 0.633 0.623

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

Ev

0.794 0.207 2.47 0.793 0.208 2.47 0.791. 0.209 2.46 0.790 0.210 2.46 0.789 0.2t2 2.45 0.788 0.2L3 2.44 0.786 4.274 2.44 0.785 0.215 2.43 0.784 0.2t7 2.43 0.783 0.218 2.42 o.78L O.2L9 2.42 0.780 0.220 2.4L 0.779 0.222 2.4'1. 0.778 0.223 2.40 0.776 0.224 2.40 4.775 0.225 2.39 0.774 0.227 2.39 0.773 0.228 2.39 0.771 0.229 2.38 0.770 0.230 2.38 0.769 0.232 2.37 0.768 0.233 2.37 0.766 0.234 2.36 0.76s 0.23s 2.36 0.764 0.237 2.35 0.767 0.239 2.34 0.760 0.240 2.34 0.759 0.242 2.34 0.758 0.243 2.33 0.756 0.244 2.33 0.755 0.245 2.33 0.754 0.247 2.32

0.495 0.498 0.500 0.530 0.550

0.619 0.623 0.62s 0.653 0.688

0.616 0.506 0.600 0.509 0.455

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.753 0.751 0.750 0.735 0.725

0.248 2.32 0.249 2.31 0.250 2.31. 0.265 2.27 0.275 2.24

6=0.2 0.055 0.058 0.060 0.063 0.065 0.068 0.070 0.073 0.075 0.078 0.080 0.083 0.085 0.088 0.090 0.093 0.095 0.098

13.s4s - 0.45s 0.958 0.034 5.51 L2.793-0.379 0.957 0.036 5.37 L2.333 - 0.333 0.9s5 0.038 5.28 11.698 - 0.270 0.955 0.039 s.15 11.308 - 0.231_ 0.954 0.041 s.08 10.76s -0.L760.953 0.043 4.97 10.429 -0.1430.952 0.044 4.90 9.959 - 0.096 0.951 0.046 4.80 9.667 -0.067 0.9s0 0.047 4.74 9.256 - 0.025 0.949 0.049 4.6s 9.000 0.000 0.948 0.050 4.s9 8.639 0.035 0.947 0.0s2 4.5L 8.412 0.059 0.946 0.053 4.46 8.091 0.091 0.94s 0,055 4.39 0.11_3 7.889 0.111 0.944 0.056 4.34 0.116 7.602 0.140 0.943 0.0s8 4.27 0.1r_9 7.421. 0.158 0.942 0.059 4.23 0.123 7.1"63 0.184 0.947 0.051 4.L7 0.1_00 0.125 7.000 0.200 0.940 0.063 4.I3 0.069 0.o73 0.07s 0.079 0.081 0.08s 0.088 0.091 0.094 0.098 0.L00 0.L04 0.L06 0.110

0.103 0.I29 6.767 0.223 0.939 0.105 0.13L 6.6L9 0.238 0.938 0.108 0.135 6.407 0.259 0.937 0.110 0.1.38 6.273 0.273 0.936 0.1.13 A.L4L 6.080 0.292 0.935 0.115 0.1.44 s.9s7 0.304 0.934 0.1_18 o.',t48 5.780 0.322 0.933 0.120 0.150 5.667 0.333 0.932


-

0.064 4.O7 0.066 4.03 0.068 3.98 0.059 3.94 0.071. 3.89 0.A72 3.86

0.074 3.81 0.07s 3.78

L

0.L23 0.125 0.L28 0.130 0.133 0.135 0.138 4.74A 0.143 0.145

0.154 0.156 0.160 0.163 0.166 0.169 0.173 0.775 0.L79 0.181

s.504 5.400 s.250 s.154 5.015 4.926 4.797 4.7L4 4.594 4.5L7

0.350 0.360 0.37s 0.38s 0.398 0.407 0.420 0.429 0.441 0.448

0.931 0.930 o.929 o.928 0.927 0.926 0.925 0.924 0.923 0.922

0.077 3.74 0.078 3.71 0.080 3.67 0.081 3.64 0.083 3.60 0.084 3.58 0.086 3.54 0.088 3.s2 0.089 3.48 0.091 3.46

6=0.2 t'

0.148 0.1s0 0.153 0.15s 0.158 0.160 0.163 0.165 0.168 0.170 0.173 0.175 0.L78 0.180 0.183 0.185 0.188 0.190 0.193 0.195 0.198

0.185 4.405 0.188 4.333 0.191 4.229 0.194 4.161, 0.198 4.063 0.200 4.000 0.204 3.908 0.206 3.848 0.210 3.762 0.2L3 3.706 0.21.6 3.624 0.219 3.571 0,223 3.494 0.225 3.444

0.229 3.372 0.23L 3.324 0.235 3.2s5 0.238 3.2L1, 0.24L 3.145 0.244 3.103 0.248 3.040

q

6to.

0.459 o.467 o.477 0.484 0.494 0.500 0.509 0.5L5 0.s24 0.s29 0.538 0.554 0.551 0.556 0.s53 0.568 o.s74 0.579 0.585 0.590 0.596

0.921 0.920 0.919 0.918 0.9L7 0.916 0.915 4.914 0.913 0.912 0.911 0.911 0.909 0.908 0.907 0.906 0.905 0.904 0.903 0.902 0.901

0.093 3.43 0.094 3.41 0.096 3.37 0.097 3.35 0.099 3.32 0.100 3.30 0.102 3.28 0.103 3.26 0.105 3.23 0.106 3.21 0.108 3.19 0.109 3.L7 0.111 3.14 0.113 3.13 0.1.L4 3.L1. 0.11_6 3.09 0.118 3.07 0.119 3.05 o,LzL 3.03 0.722 3.02 0.724 3.00

0.200 0.203 0.205 0.208 o.2LO

0.2L3 0.215 0.218 0.220 0.223 0.225 0.228 0.230 0.233 0.235 0.238

0.250 0.254 0.2s6 0.260 0.263 0.266 0.269 0.273 0.275 0.279 A.28L 0.285 0.288 0.297 0.294 0.298

3.000 0.600 0.900 0.12s 2.98 2.941" 0.606 0.899 0.127 2.96 2.902 0.610 0.898 0.128 2.95 2.846 0.51s 0.897 0.130 2.93 2.8LO 0.6L9 0.896 0.131 2.92 2.756 0.624 0.89s 0.133 2.90 2.72L 0.628 0.894 0.L34 2.89 2.670 0.633 0.893 0.136 2.87 2.636 0.636 4.892 0.138 2.86 2.587 0.641 0.891 0.139 2.84 2.556 0.644 0.890 0.1.4L 2.83 2.509 0.649 0.889 0.L43 2.81 2.478 0.6s2 0.888 0.L44 2.80 2.433 0.657 0.887 0.146 2.78 2.404 0.660 0.886 0.1.47 2.77 2.361" 0.664 0.885 0.149 2.76

6=0.2 0u

0.240 0.300 0.243 0.304 0.245 0.306 0.248 0.310 0.2s0 0.313 0.253 0.316 0.2s5 0.319 0.258 0.323 0.260 0.325 0.263 0.329 0.26s 0.331 0.268 0.335 o.270 0.338 0.273 0.341 0.275 0.344 0.278 0.348

2.333 2.292 2.265 2.226 2.200 2.162 2.137

z.lot 2.077 2.042 2.019 1.985 1.963 1.930 1.909 L.878

Q'U

0.667 0.671 0.673 0.677 0.680 0.684 0.686 0.690 0.692 0.696 0.598 0.70L 0.704 0.707 0.709 0.712

g

r*

0.884 0.883 0.882 0.881 0.880 0.879 0.878 0.877 0.876 0.875 0.874 0.873 0.872

cs

0.150 2.7s 0.152 2.73 0.153 2.72 0.155 2.71 0.1s6 2.70 0.158 2.68 0.1s9 2.67 0.161 2.66 0.163 2.6s 0.L64 2.64 0.166 2.63 0.168 2.62 0.169 2.6L

0.871, 0.77'1. 2.59

0.870 0.L72 2.59 0.869 0.L74 2.57


-

1

0.280 0.350 0.283 0.354 0.28s 0.356 0.288 0.360 0.290 0.363 0.293 0.366 0.295 0.369 0.298 0.373 0.300 0.375 0.303 0.379 0.30s 0.381 0.308 0.38s 0.310 0.388 0.313 0.391 0.3L5 0.394 0.318 0.398 0.320 0.400 0.323 0.404 0.32s 0.406 0.328 0.410 0.330 0.413

1,.857 0.71.4 L.827 0.717 1.807 0.7L9 1,.778 0.722 1..759 0.724 L.730 0.727 1..712 0.729 1.68s 0.732 L.667 0.733 L.640 0.736 1.623 0.738 1,.597 0.740 1.s81 0.742 1.556 0.744 1.540 0.746 1.s16 0.746 1.500 0.750 1,.477 0.752 L.462 0.754 1.439 0.756 1,.424 0.758

0.868 0.L7s 2.57 0.867 0.L77 2.55 0.865 0.178 2.55 0.85s 0.L80 2.s3 0.864 0.18L 2.s3 0.863 0.L83 2.52 0.862 0.184 2.5L 0.861 0.186 2.50 0.860 0.188 2.49 0.859 0.189 2.48 0.8s8 0.1.91 2.47 0.857 0.193 2.46 0.856 0.194 2.46 0.855 0.196 2.45 0.854 0.L97 2.44 0.8s3 0.199 2.43 0.852 0.200 2.42 0.8s1 0.202 2.41 0.8s0 0.203 2.41. 0.849 0.20s 2.40 0.848 0.206 2.39

6=0.2 0.333 0.335 0.338 0.340 0.343 0.345 0.348 0.350 0.353 0.355

t 0.41.6

0.4L9 0.423 0.42s 0.429 0.431-

0.435 0.438 0.441-

0.444

fiu

fi',

1..402 0.760 1.388 0.761 L.367 0.763 1.3s3 0.763 1,.332 0.767 1.319 0.768 L.299 0.770 L.286 0.77L L.266 0.773 7.254 0.775

Cu

0.847 0.846 0.845 0.844 0.843 0.842 0.841 0.840 0.839 0.838

0.208 2.38 0.209 2.38 0.211. 2.37

0.213 2.35 0.214 2.3s 0.2L6 2.35 0.21.8 2.34

0.2!9

2.33

0.221. 2.32

A.222

2.32

Balok Beton

0.3s8 0.448 0.360 0.450 0.363 0.454 0.36s 0.456 0.368 0.460 0.370 0.463 0.373 0.466 0.375 0.469 0.378 0.473 0.383 0.479 0.385 0.481 0.388 0.485 0.390 0.488 0.393 0.49L 0.395 0.494 0.398 0.498 0.400 0.s00 0.403 0.504 0.405 0.506 0.408 0.510 0.410 0.513 0.4L3 0.516 0.415 0.519 0.418 0.523 0.420 0.525 0.423 0.529 0.425 0.531

1.235 0.777 0.837 1,.222 0.779 0.836 L.204 0.780 0.835 L.192 0.781 0.834 L.174 0.783 0.833 L.t62 0.784 0.832 L.L45 0.786 0.831 1.L33 0.787 0.830 L.71.6 0.788 0.829 1..089 0.791 0.827 L.078 0.792 0.826 1.062 0.794 0.825 1.051 0.79s 0.824 1.036 0.796 0.823 1.025 0.797 0.822 1.010 0.799 0.82L L.000 0.800 0.820 0.985 0.801 0.819 0.97s 0.802 0.818 0.961 0.804 0.8L7 0.9s1 0.80s 0.816 0.937 0.806 0.8L5 0.928 0.807 0.814 0.91_4 0.809 0.813 0.905 0.81.0 0.812 0.891 0.811 0.81_1 0.882 0.8L2 0.810

0.224 2.31, 0.225 2.3L 0.227 2.30 0.228 2.29 0.230 2.28 0.231 2.28 0.233 2.27 0.234 2.27 0.236 2.26 0.239 2.25 0.241" 2.24 0.243 2.24

0.244 2.23 0.246 2.22 0.247 2.22 0.249 2.2L 0.250 2.2L 0.252 2.20 0.253 2.20 0.255 2.19 0.2s6 2.19 0.2s8 2.!8 0.2s9 2.18 0.26L 2.17 0.263 2.L7 0.264 2.1.6 0.266 2.L6

6=0.2 0.428 0.430 0.433 0.435 0.438

0.s3s 0.538 0.s41 0.544 0.s48

0.869 0.850 0.848 0.839 0.826

0.813 0.809 0.268 2.15 0.8L4 0.808 0.269 2.1s 0.815 0.807 0.27'J. 2.L4 0.81_6 0.806 0.272 2.L4 0.8L7 0.805 0.274 2.t3


-

1

0.440 0.550 0.443 0.554 0.448 0.560 0.450 0.563 0.453 0.s56 0.45s 0.s69 0.458 0.573 0.460 0.575 0.453 0.579 0.46s 0.s81 0.468 0.585 0.470 0.588 0.473 0.591 o.478 0.598 0.480 0.600 0.483 0.604 0.485 0.606 0.488 0.610 0.490 0.613 0.493 0.616 0.495 0.619 0.498 0.623 0.500 0.625 0.s30 0.563 0.550 0.588

0.81_8 0.81.8 0.806 0.819 0.786 0.82L 0.778 0.822 0.766 0.823 0.758 0.824 o.747 0.825 0.739 0.826 0.728 0.827 0.720 0.828 0.709 0.829 0.702 0.830 0.691 0.831 0.674 0.833 0.667 0.833 0.6s6 0.834 0.649 0.835 0.639 0.836 0.633 0.837 0.623 0.838 0.616 0.838 0.606 0.839 0.600 0.840 0.509 0.849 0.455 0.855

0.804 a.275 2.!3 0.803 0.277 2.12 0.801 0.280 2.tt 0.800 0.281 2.1L 0.799 0.283 2.10 0.798 0.284 2.70 0.797 0.286 2.09 0.796 0.288 2.09 0.795 0.289 2.O9 0.794 0.291 2.08 0.793 0.293 2.08 0.792 0.294 2.07 0.791 0.296 2.07 0.789 0.299 2.06 0.788 0.300 2.46 0.787 0.302 2.05 a.786 0.303 2.0s 0.785 0.305 2.O4 0.784 0.306 2.04 0.783 0.308 2.04 0.782 0.309 2.03 0.78L 0.311 2.03 0.780 0.313 2.03 0.758 0.331 L.98 0.76A 0344 L.96

6=0.4 tn 0.055 0.069 0.058 0.073 0.060 0.07s 0.063 0.079 0.065 0.081 0.068 0.085

$; ', 13.54s 12.793 L2.333 11.698 11.308 !0.765

,,,t.gtu,l' ,(u - 0.455 0.943 - 0.379 0.943 - 0.333 0.942 - 0.270 0.941 - 0.2310.940 - 0.!76 0.940

Cu

0.046 0.048 0.050 0.053 0.054 0.057

4.8L

4.69 4.6L 4.50 4.43 4.33

0.070 0.088 0.o73 0.091 0.07s 0.094 0.078 0.098 0.080 0.100 0.083 0.104 0.08s 0.106 0.088 0.110 0.090 0.L13 0.093 0.L16 0.095 0.119 0.098 0.123 0.100 a.125 0.103 0.L29 0.10s 0.131 0.108 0.13s 0.110 0.138 0.1L3 0.1.41. 0.1L5 0.t44 0.118 0.148 o.L2A 0.150 0.L23 0.154 0.125 0.156 0.128 0.160 0.130 0.163 0.133 0.165 0.13s 0.169 0.138 0.173 0.140 0.L75 0.143 0.L79 0.145 0.181

0.939 0.058 4.27 0.938 0.061 4.19 0.937 0.063 4.13 0.937 0.06s 4.05 9.000 0.000 0.936 0.067 4.00 8.639 0.036 0.93s 0.069 3.93 8.4L2 0.0s9 0.935 0.07L 3.89 8.09L 0.091 A.%4 0.073 3.82 7.889 0.111 0.933 0.075 3.78 7.602 0.L40 0.932 0.078 3.72 7.42L 0.158 0.932 0.079 3.68 7.L63 0.184 0.931 0.082 3.63 7.000 0.200 0.930 0.083 3.s9 6.767 0.223 0.929 0.086 3.54 6.619 0.238 0.928 0.088 3.s1 6.407 0.259 0.928 0.090 3.46 6.273 0.273 0.927 0.092 3.43 6.080 0.292 0.926 0.094 3.39 s.9s7 0.304 0.92s 0.096 3.36 5.780 0.322 0.925 0.098 3.32 5.667 0.333 0.924 0.L00 3.29 5.504 0.350 0.923 0.103 3.25 5.400 0.360 0s23 0.104 3.23 s.2s0 0.375 0.922 0.LO7 3.19 s.Ls4 0.385 0.92L 0.108 3.L7 5.015 0.398 0.920 0.1L1 3.13 4.926 0.407 0.919 0.113 3.1.L 4.797 0.420 0.919 0.11s 3.08 4.7L4 0.429 0.918 0.LL7 3.06 4.594 0.441" 0.977 0.119 3.02 4.s17 0.448 0.916 0.121 3.01 to.429 - 0.143 9.959 - 0.096 9.667 - 0.067 9.2s6 - 0.026


-

1

6=0.4 0.148 0.1s0 0.153 0.155 0.1s8 0.160 0.163 0.165 0.168 0.170 0.173 0.175 0.178 0.L80 0.183

0.185 4.405 0.188 4.333 0.191 4.229 0.194 4.76',1. 0.198 4.063 0.200 4.000 0.204 3.908 0.206 3.848 0.210 3.762 0.213 3.706 0.216 3.624 0.2L9 3.571 0.223 3.494 0.225 3.444 0.229 3.372

0.1_8s 0.231. 3.324 0.188 0.23s 3.2ss 0.190 0.238 3.2L1 0.1_93 0.247 3.145 0.19s 0.244 3.103 0.198 0.248 3.040 0.200 0.250 3.000 0.203 0.2s4 2.94L 0.20s o.2s6 2.902 0.208 0.260 2.846 0.210 0.263 2.810 0.213 0.266 2.756

0.21,5 0.269

2.721,

0.273 0.275 0.279 0.281

2.670 2.636 2.587 2.556

0.218 0.220 0.223 0.225

0.4s9 4.467 0.477 0.484 0.494 0.500 0.509 0.515 0.524 0.529 0.538 0.564 0.55L 0.5s6 0.563 0.s68 0.s74 0.s79 0.s85 0.s90 0.596 0.600 0.606 0.610 0.615 0.619 a.624 0.628 0.633 0.636 0.641 0.644

0.91_6

0.915 0.914 0.914 0.913 0.912 0.911 0.910 0.910 0.909 0.908 0.909 0.907 0.905 0.905 0.905 0.904 0.903 0.902 0.902 0.901 0.900 0.899 0.899 0.898 0.897 0.896 0.896 0.895 0.894 0.893 0.892

0.123 2.98 0.125 2.96 0.128 2.93 0.129 2.9L 0.132 2.88 0.133 2.87 0.136 2.84 0.138 2.83 0,140 2.80 o.L42 2.79 0.L44 2.76 0.L46 2.75 0.1_48 2.73 0.1s0 2.7L 0.1s3 2.69 0.L54 2.68 0.157 2.66 0.158 2.64 0.161 2.63 0.163 2.61 0.165 2.59 0.1.67 2.58 0.169 2.56 o.L7t 2.55 o.L73 2.54 o.L75 2.52 0.178 2.5L 0.179 2.50 0.1.82 2.48 0.183 2.47 0.186 2.45 0.188 2.44

0.228 0.230 0.233 0.235 0.238

0.285 2.509 0.649 0.288 2.478 0.652 0.291 2.433 0.657 0.294 2.404 0.660 0.298 2.361 0.664

0.892 0.89L 0.890 0.890 0.889

0.190 0.192 0.194 0.196 0.198

2.43 2.42 2.41.

2.40 2.38

6=0.4 4.240 0.300 0.243 0.304 0.24s 0.306 0.248 0.310 0.250 0.313 0.253 0.316 0.255 0.319 0.258 0.323 0.260 0.325 0.263 0.329 0.265 0.331 0.268 0.33s 0.270 0.338 0.273 0.341. 0.275 0.344 0.278 0.348 0.280 0.350 0.283 0.354 0.28s 0.356 0.288 0.360 0.290 0.363 0.293 0.366 0.295 0.369 0.298 0.373 0.300 0.375 0.303 0.379 0.30s 0.381

0.888 0.200 2.37 0.887 0.203 2.36 0.886 0.204 2.35 0.886 0.207 2.34 0.885 0.208 2.33 0.884 0.2Lt 2.32 0.883 0.2L3 2.31 0.883 0.2L5 2.30 0.882 0.217 2.29 0.881 0.219 2.28 0.880 0.22! 2.27 0.880 0.223 2.26 0.879 0.22s 2.25 0.878 0.228 2.24 0.877 0.229 2.23 0.877 0.232 2.22 0.876 0.233 2.27 0.875 0.236 2.20 4.874 0.238 2.L9 0.874 0.240 2.18 0.873 0.242 2.L8 0.872 0.244 2.17 0.872 0.246 2.1.6 o.87L 0.248 2.15 1..667 0.733 0.870 0.2s0 2.14 L.640 0.736 0.869 0.2s3 2.L3 1.623 0.738 0.869 0.254 2.L3 2.333 A.667 2.292 0.67t 2.265 4.673 2.226 0.677 2.200 0.580 2.L62 0.684 2.L37 0.685 2.10L 0.690 2.077 0.692 2.042 0.696 2.019 0.698 1.985 0.70',J. L.963 0.704 1.930 0.707 1.909 0.709 1.878 4.712 1.857 0.71.4 L.827 0.7L7 1.807 0.719 L.778 0.722 1.7s9 0.724 1.730 0.727 1.772 0.729 1.685 0.732


-

1

0.308 0.310 0.313 0.315 0.318 0.320 0.323 0.325 0.328 0.330

0.385 0.388 0.391 0.394 0.398 0.400 0.404 0.406 0.410 0.413

L.597 1.58L 1.556 1.540 1.516 1.s00 1.477 1.462 1.439 7.424

0.740 0.742 0.744 0.746 0.746 0.750 0.752 0.754 0.756 0.7s8

0.868 0.867 0.866 0.865 0.864 0.854 0.853 0.863 0.862 0.861

0.257 2.12 0.258 z.tL 0.26L 2.10 0.263 z.to 0.265 2.09 0.267 2.08 0.269 2.O7

0.27t 0.273 0.275

2.07 2.06 2.06

6=0.4 0.333 0.416 0.335 0.419 0.338 0.423 0.340 4.42s 0.343 0.429 0.345 0.431 0.348 0.435 0.350 0.438 0.353 0.44L 0.3ss 0.444 0.358 0.448 0.360 0.450 0.363 0.454 0.365 0.456 0.368 0.460 0.370 0.453 0.373 0.465 0.375 0.469 0.378 0.473 0.383 0.479 0.38s 0.48L

1.402 0.760 1.388 A.76L 1.367 0.763 1.353 0.763 L.332 0.767 L.319 0.768 L.299 0.770 1.286 0.77L 1.266 0.773 L.254 0.77s L.23s 0.777 L.222 0.778 L.204 0.780 1.192 0.78t 1..174 0.783 L.L62 0.784 L.L45 0.786 1.133 0.787 1.116 0.788 1.089 0.79L 1.078 0.792

0.860 0.278 2.O5 0.859 A.279 2.04 0.859 0.282 2.O3 0.8s8 0.283 2.03 0.857 0.286 2.02 0.856 0.288 2.02 0.856 0.290 2.O1 0.8ss 0.292 2.00 0.854 0.294 2.00 0.8s4 0.296 L.99 0.8s3 0.298 1.98 0.8s2 0.300 L.98 0.851 0.303 1.97 0.8s1 0.304 1.97 0.850 0.307 1.96 0.849 0.308 1.95 0.848 0.31_1 1.95 0.848 0.313 L.94 0.847 0.31s 1..94 0.845 0.319 1.93 0.844 0.32L L.92

0.388 0.390 0.393 0.39s 0.398 0.400 0.403 0.405 0.408 0.410 0.4L3 0.415 0.418 0.420 0.423 0.425

0.485 0.488 0.49L o.494 0.498 0.500 0.504 0.506 0.s10 0.513 0.516 0.s19 0.523 0.525 0.s29 0.531

L.O62 0.794 0.844 0.323 L.91

1.051 0.79s 0.843 0.32s 1.91_ 1.036 0.796 0.842 0.328 1.90 L.O2s 0.797 0.841 0.329 1.90 L.010 0.799 0.84L 0.332 1.89 1.000 0.800 0.840 0.333 1.89 0.98s 0.801 0.839 0.336 1.88 0.975 0.802 0.838 0.338 1.88 0.961 0.804 0.838 0.340 L.87 0.9s1 0.805 0.837 A342 1.87 0.937 0.806 0.836 0.344 1.86 0.928 0.807 0.83s 0.346 L.86 0.914 0.809 0.835 0.348 1.85 0.905 0.810 0.834 0.3s0 1.85 0.891 0.811 0.833 0.353 1.85 0.882 0.812 0.833 0.354 L.84

6=0.4 (" 0.428 0.s35 0.430 0.538 0.433 0.541 0.435 0.544 0.438 0.548 0.440 0.550 0.443 0.s54 0.448 0.s60 0.450 0.563 0.453 0.566 0.455 0.s69 0.458 0.573 0.460 0.575 0.463 0.s79 0.465 0.58L

*,n $" 0.869 0.813 0.860 0.814 0.848 0.815 0.839 0.816 0.826 0.8L7 0.818 0.818 0.806 0.819 0.786 0.821 0.778 4.822 0.766 0.823 0.758 0.824 o.747 0.825 0.739 0.826 0.728 0.827 0.720 0.828

a.832 0.831 0.830 0.829 0.829 0.828 0.827 0.826 0.825 0.824 0.823 0.823 0.822 0.821 0.821


-

0.3s7 L.84 0.3s8 1.83 0.361 1.83 0.363 1.82 0.36s L.82 0.367 1.81 0.369 1.81. 0.373 1.80 0.375 1.80 0.378 1.79 0.379 7.79 0.382 1.78 0.383 L.78 0.386 1..78 0.388 L.77

1

0.468 0.470 0.473 0.478 0.480 0.483 0.485 0.488 0.490 0.493 0.49s 0.498 0.500 0.530 0.550

0.s8s 0.588 0.591 0.598 0.600 0.604 0.606 0.610 0.513 0.616 0.619 0.623 0.625 0.663 0.688

0.709 0.702 0.691 0.674 0.667 0.656 0.649 0.639 0.633 0.623 0.616 0.606 0.600 0.509 0.455

0.829 0.830 0.83L 0.833 0.833 0.834 0.83s 0.836 0.837 0.838 0.838 0.839 0.840 0.849 0.855

0.820 0.819 0.818 o.8L7 0.816 0.815 0.814 o.8L4 0.813 0.812 0.811 0.811 0.810 0.801 0.795

0.390 0.392 0.394 0.398 0.400 0.403 0.404 0.407 0.408 0.4L1 0.413 0.41s

0.4!7 0.442 0.458

1.77 1.77 7.76 7.75 1..75

1..75

1.74 1..74

L.74 L.73 1..73

1.72 L.72 1.68 1.66

6=0.6

(r0uO'uftq 0.0s5 0.069 0.058 0.073 0.060 0.075 0.063 0.079 0.06s 0.081 0.068 0.085 0.070 0.088 0.073 0.091 0.075 0.094 0.078 0.098 0.080 0.100 0.083 0.104 0.08s 0.105 0.088 0.110 0.090 0.113 0.093 0.116

13.54s - 0.455 0.929 12.793 - 0.379 0.928 12.333 - 0.333 0.928 11.698 -0.2700.927 11.308 - 0.231.0.927 LO.765 - 0.176 0.926 LO.429 - 0.143 0.926 9.959 - 0.096 0.925 9.667 - 0.067 0.925 9.256 - 0.026 0.924 9.000 0.000 0.924 8.639 0.036 0.923 8.4L2 0.0s9 0.923 8.091 0.091 0.922

Cu

0.069 3.96 0.073 3.85 0.075 3.79 o.o79 3.70 0.081 3.64 0.085 3.56 0.088 3.s1 0.091 3.44 0.094 3.40 0.098 3.33 0.L00 3.29 0.L04 3.23

0.1_06 3.19 0.1_10 3.14 7.889 0.11L 0.922 0.L13 3.10 7.602 0.140 0.921 0.116 3.06

0.095 0.119 0.098 0.123 0.100 0.125 0.103 0.129 0.105 0.131 0.108 0.135 0.L10 0.138 0.L13 0.1.41. 0.115 0.L44 0.118 0.148 0.L20 0.150 0.123 0.!s4 o.12s 0.1s6 0.128 0.160 0,130 0.1_63 0.133 0.166 0.13s 0.169 0.138 0.173 0.140 0.175 0.143 0.179 0.145 0.181

7.42L 7.L63 7.000 6.767 6.61"9

6.407 6.273 6.080 5.957 5.780 5.667 5.504 s.400 5.250 s.154 5.015 4.926 4.797 4.7L4 4.594 4.517

0.L58 0.184 0.200 0.223 0.238 0.259 0.273 0.292 0.304 0.322 0.333 0.350 0.360 0.37s 0.385 0.398 0.407 0.420 4.429 0.44L 4.448

o.92L 0.920 0.920 0.919 0.919 0.918 0.918 0.9L7

0.129 2.91. 0.131 2.88 0.13s 2.84 0.138 2.81 0.141 2.78

asu

0.1.44 2.75

0.916 0.916 0.915 0.91s 0.914 0.914 0.913 0.913 0.9L2 0.9L2 0.911 0.911

0.148 2.72 0.1s0 2.70 0.154 2.67 0.156 2.64

0.119 3.02 0.123 2s8

0.!2s

2.9s

0.1.60 2.61

0.163 2.59 0.166 2.s7 0.169 2.55

0.!73

2.52

0.L75 2.50 0.179 2.48 0.181 2.46

6=0.6

0" 0.148 0.185 4.405 0.1s0 0,L88 4.333 0.153 0.191 4.229 0.155 0.194 4.L61. 0.1s8 0.198 4.063 0.160 0.200 4.000 0.163 0.204 3.908 0.165 0.206 3.848 0.168 0.2L0 3.762 0.L70 0.2L3 3.706 0.173 0.216 3.624

6',,

0.459 0.467 0.477 0.484 0.494 0.500 0.s09 0.515 0.524 0.529 0.s38

Cu

0.18s 2.44 0.188 2.42 0.191 2.40 0.194 2.38 0.198 2.36 0.200 2.3s 0.204 2.33 0.206 2.31 0.2L0 2.29 0.213 2.28 0.276 2.26

0.910 0.910 0.909 0.909 0.908 0.908 0.907 0.907 0.906 0.905 0.90s


-

1

0.175 0.2L9 0.178 0.223 0.180 0.225 0.183 0.229 0.185 0.231 0.188 0.23s 0.L90 0.238 0.193 0.241 0.19s 0.244 0.198 0.248 0.200 0.250 0.203 0.254 0.20s 0.255 0.208 0.260 0.210 a.263 0.213 0.266 0.21.5 0.269

0.218 0.220 0.223 0.225 0.228 0.230 0.233 0.23s 0.238

0.273 0.27s 0.279 0.281. 0.285 0.288 0.291. 0.294 0.298

3.s71 0.564 3.494 0.551 3.444 0.556 3.372 0.563 3.324 0.558 3.255 0.574 3.21,1 0.579

3.145 0.585 3.103 0.590 3.040 0.596 3.000 0.600 2.947 0.606 2.902 0.610 2.846 0.615 2.810 0.619 2.756 0.624 2.72L 0.628 2.670 0.633 2.636 0.636 2.587 0.64L 2.556 0.644 2.s09 0.649 2.478 0.652 2.433 0.657 2.404 0.660 2.367 0.564

0.908 0.2L9 2.24 0.904 0.223 2.23 0.904 0.22s 2.22 0.903 0.229 2.20 0.903 0.231 2.19 0.902 0.235 2.17 0.902 0.238 2.L6 0.901 0.241 2.L4 0.901 0.244 2.13 0.900 0.248 2.12 0.900 0.2s0 2.L1. 0.899 0.254 2.O9 0.899 0.256 2.08 0.898 0.260 2.O7 0.898 0.263 2.06 0.897 0.266 z.Os 0.897 0.269 2.04 0.896 0.273 2.02 0.896 0.275 z.OL 0.895 0.279 2.OO 0.895 0.281 1.99 0.894 0.28s 1.98 0.894 0.288 1.97 0.893 0.29L 1.96 0.893 0.294 1.9s 0.892 0.298 L.94

6=0.6

0u fi'u 0.240 0.243 0.24s 0.248 0.250

0.300 0.304 0.306 0.310 0.313

2.333 2.292 2.265 2.226 2.200

0.667 0.671 0.673 0.677 0.680

(o

0.892 0.300 0.891 0.304 0.891 0.306 0.890 0.310 0.890 0.31"3

Cu

L.93 1,.92 1..91

1.90 1.90

0.2s3 0.316 0.25s 0.319 0.258 0.323 0.260 0.32s 0.263 0.329 0.26s 0.331 0.268 0.335 0.270 0.338 0.273 0.341 0.275 0.344 0.278 0.348 0.280 0.350 0.283 0.354 0.285 0.356 0.288 0.350 0.290 0.363 0.293 0.366 0.295 0.369 0.298 0.373 0.300 0.375 0.303 0.379 0.305 0.381 0.308 0.38s 0.310 0.388 0.313 0.391 0.315 0.394 0.318 0.398 0.320 0.400 0.323 0.404 0.325 0.406 0.328 0.410 0.330 0.413

2.1.62 0.684 0.889 0.31.6 1.89

2.L37 0.686 0.889 0.319 1.88 2.tol 0.690 0.888 0.323 1.87 2.077 0.692 0.888 0.325 1.86 2.042 0.696 0.887 0.329 1.85 2.019 0.698 0.887 0.331 t.84 1.985 0.701. 0.886 0.33s 1.84 1.963 0.704 0.886 0.338 1.83 1.930 0.707 0.88s 0.341 1.82 1.909 0.709 0.885 0.344 1.81 1..878 0.7L2 0.884 0.348 1.80 L.857 0.714 0.884 0.350 1.80 1.827 0.717 0.883 0.3s4 1.79 1.807 0.7t9 0.883 0.356 1..78 1.778 0.722 0.882 0.360 1,.77 '1..759 0.724 0.882 0.363 1.77 t.730 0.727 0.881 0.366 L.76 1.712 0.729 0.881 0.369 1.75 1.685 0.732 0.881 0.373 1,.7s L.667 0.733 0.880 0.375 L.74 1.640 0.736 0.879 0.379 1.73 1..623 0.738 0.879 0.381 L.73 1..597 0.740 0.878 0.38s 1.72 1.581 0.742 0.878 0.388 t.7L 1.556 0.744 0.877 0.391 ',t.71. 1.540 0.746 0.877 0.394 1".70 1.5L6 0.746 0.876 0.398 1.69 L.500 0.750 0.876 0.400 1.69 1.477 0.752 0.875 0.404 1.68 1.462 0.754 0.875 0.406 1.68 1.439 0.756 0.874 0.410 1..67 1.424 0.758 0.874 0.413 t.67


-

1

6=0.6 0.333 0.41.6 0.33s o.419 0.338 0.423 0.340 0.425 0.343 0.429 0.345 0.431 0.348 0.435 0.350 0.438 0.353 0.441. 0.35s 0.444 0.3s8 0.448 0.360 0.4s0 0.363 0.4s4 0.35s 0.456 0.368 0.460 0.370 0.463 0.373 0.466 0.375 0.469 0.378 0.473 0.383 0.479 0.38s 0.481 0.388 0.485 0.390 0.488 0.393 0.491_ 0.395 0.494 0.398 0.498 0.400 0.500 0.403 0.s04 0.405 0.s05 0.408 0.s10 0.4L0 0.513 0.413 0.516

0" 0'uGqcu L.402 0.750 0.873 0.416 L.66 1.388 0.76L 0.873 0.419 1.6s L.367 0.763 0.872 0.423 1.65 1.353 0.763 0.872 0.425 L.64 1..332 0.767 0.871 0.429 L.64 1.31_9 0.768 0.871 0.431. 1.63 L.299 0.770 0.870 0.43s 1.63 1..286 0.771. 0.870 0.438 1.62 L.266 0.773 0.869 0.441_ 1.61 L.254 0.775 0.869 0.444 1".5L L.235 0.777 0.869 0.448 1.60 L.222 0.778 0.868 0.4s0 1.60 L.204 0.780 0.868 0.454 1.59 1..L92 0.781. 4.867 0.4s6 1.59 L.L74 0.783 0.867 0.460 1.58 1.1,62 0.784 0.866 0.463 1.s8 1".L45 0.786 0.856 0.466 1..s7 L.L33 4.787 0.865 0.469 L.57 L.1,L6 0.788 0.864 0.473 1.56 1.089 0.791 0.863 0.479 1.s6 L.078 0.792 0.863 0.481 1.ss L.062 0.794 0.862 0.48s L.55 1.051_ 0.795 0.862 0.488 1.54 1.036 0.796 0.861 0.491 7.54 L.025 0.797 0.861 0.494 1.53 1.010 0.799 0.860 0.498 1.53 1.000 0.800 0.860 0.500 1..s2 0.98s 0.801 0.859 0.s04 L.52 0.975 0.802 0.859 0.506 1,.s2 0.961 0.804 0.858 0.510 1.s1 0.9s1 0.80s 0.858 0.513 1.5L 0.937 0.805 0.857 0.516 1.s0

0.415 0.4L8 0.420 0.423 0.42s

0.519 0.523 0.s2s 0.s29 0.531

o.928 a.974 0.905 0.891 0.882

0.807 0.809 0.8L0 0.8L1 0.8L2

0.5L9 0.s23 0.525 0.s29 0.53L

0.857 0.857 0.856 0.855 0.855

1.50 L.49 1.49 7.49 1.48

6=0.6 o.428 0.535 0.430 0.538 0.433 0.54L 0.435 0.544 0.438 0.548 0.440 0.550 0.443 0.554 0.448 0.s60 0.450 0.563 0.453 0.566 0.455 0.s69 0.458 0.573 0.460 0.s75 0.463 0.s79 0.465 0.581 0.468 0.s85 0.470 0.588 0.473 0.591_ 0.478 0.598 0.480 0.600 0.483 0.504 0.485 0.606 0.488 0.610 0.490 0.613 0.493 0.516 0.495 0.619 0.498 0.623

0.869 0.8L3 0.860 0.814 0.848 0.815 0.839 0.816 0.826 0.8L7 0.818 0.818 0.806 0.819 0.786 0.821 0.778 0.822 o.766 0.823 0.758 0.824 o.747 0.82s 0.739 0.826 0.728 0.827 o.720 0.828 0.709 0.829 0.702 0.830 0.691 0.831 0.674 0.833 0.667 0.833 0.656 0.834 0.649 0.835 0.539 0.836 0.633 0.837 0.623 0.838 0.615 0.838 0.606 0.839

0.854 0.535 L.48 0.8s4 0.538 1.48 0.853 0.541 L.47 0.8s3 0.544 L.47 0.852 0.s48 L.46 0.8s2 0.550 L.46 0.8s1 0.554 L.46 0.8s0 0.s60 1.45 0.850 0.563 L.45 0.849 0.566 L.44 0.849 0.569 1..44 0.848 0.573 1.43 0.848 0.575 L.43 o.847 0.579 L.43 0.847 0.581 L.43 0.846 0.585 L.42 0.846 0.588 1.42 0.845 0.591 L.4L 0.845 0.598 L.41 0.844 0.600 L.41 0.843 0.604 1..40 0.843 0.606 1.40 0.842 0.610 L.40 0.842 0.613 1.39 0.842 0.616 1.39 0.841 0.619 1.39 0.840 0.523 1.38


-

1

0.500 0.625 0.600 0.840 0.840 0.625 0.s30 0.663 0.509 0.849 0.834 0.653 0.550 0.688 0.4ss 0.855 0.830 0.688

1.38 1.35 L.32

6=0.8 0.055 0.069 0.058 0.073 0.060 0.075 0.063 0.079 0.06s 0.081 0.068 0.085 0.070 0.088 o.o73 0.091 0.075 0.094 0.078 0.098 0.080 0.100 0.083 0.104 0.08s 0.106 0.088 0.1L0 0.090 0.L13 0.093 0.L16 0.095 0.L19 0.098 0.123 0.100 0.125 0.103 0.129 0.10s 0.131 0.1-08 0.135 0.110 0.L38

0.113

0.l1s

0.1.4L

o.'t44 0.118 0.148 o.L20 0.150 o.L23 0.154

13.s4s 12.793 12.333 1L.698

- 0.455 0.9L4

-0.379 0.914 - 0.333 0.914

-0.2700.9L4 11_.308 - 0.23t 0.913 LA.765 - 0.176 0.913 L0.429 - 0.143 0.913

9.959 9.667 9.2s6 9.000 8,639 8.412 8.09L 7.889 7.602 7.421

- 0.096 0.913 - 0.067 0.912

0.138 2.82 0.145 2.75 0.150 2.70 0.1s8 2.64 0.163 2.60 o.L70 2.54 o.L75 2.50 0.183 2.45 0.188 2.42

- 0.026 0.912 0.1"95 2.37

0.000 0.036 0.059 0.091 0.111 0.140 0.158 7.1.63 0.184 7.000 0.200 6.767 0.223 5.619 0.238 6.407 0.259 6.273 0.273 6.080 0.292 5.957 0.304 5.780 0.322 5.667 0.333 s.s04 0.3s0

0.912 0.912 0.912 0.911 0.911 0.911 0.911 0.910 0.910 0.910 0.909 0.909 0.909 0.909 0.908 0.908 0.908 0.908

0.200 2.34 0.208 2.30 0.2L3 2.27 0.220 2.23 0.225 2.2L 0.233 2.17 0.238 2.15 0.245 2.12 0.250 2.!O 0.258 2.O7 0.263 2.0s 0.270 2.02 o.27s 2.OO 0.283 1.97 0.288 1.96 0.29s 1.93 0.300 L.92 0.308 1.89

0.125 0.128 0.130 0.133 0.13s 0.138 0.140 0.143 0.145

0.156 0.160 0.163 0.156 0.169 0.173 0.175 0.L79 0.181

6=0.8

t" 0.148 0.185 0.1s0 0.188 0.153 0.L91 0.1_55 0.L94 0.158 0.198 0.160 0.200 0.163 0.204 0.165 0.206

0.168 0.L70 o.L73 0.L75

0.t78 0.180 0.183 0.185 0.188 0.19o 0.1_93

0.19s 0.198 0.200 0.203

0.2t4 0.213 0.216 0.219 0.223 0.225 0.229 0.23L 0.235 0.238 0.241 0.244 0.248 0.250 0.254

5.400 5.250 5.154 5.015 4.926 4.797 4.7L4 4.594 4.5L7

0.908 0.907 0.907 0.907 0.906 0.906 0.906 0.44t 0.906 0.448 0.905 0.360 0.37s 0.385 0.398 0.407 0.420 0.429

:$u ',' 6ru :: Q 4.405 0.459 0.90s 4.333 0.467 0.905 4.229 4.477 0.905 4.L6L 0.484 0.905 4.063 0.494 0.904 4.000 0.500 0.904 3.908 0.509 0.904 3.848 0.515 0.903 3.762 0.524 0.903 3.706 0.529 0.903 3.624 0.538 0.903 3.57L 0.564 0.906 3.494 0.551 0.902 3.444 0.5s6 0.902 3.372 0.563 0.902 3.324 0.568 0.902 3.255 0.574 0.901 3.21.L 0.579 0.901 3.L45 0.585 0.901 3.103 0.590 0.901 3.040 0.595 0.900 3.000 0.600 0.900 2.94L 0.606 0.900


-

0.313 0.320 0.325 0.333 0.338 0.34s 0.350 0.358 0.363

1.88 1.86 1.84 1.82 1.81 L.79 1..78 1..76 1,.75

cu

0.370 L.73 0.375 L.72 0.383 L.70 0.388 1.69 0.395 1..67 0.400 1.66 0.408 1.6s 0.4L3 7.64 0.420 1.62 0.425 1.61_ 0.433 L.60 0.438 1.59 0.445 1.58 0.450 1.57 0.458 1.56 0.463 1.55 0.470 L.54 0.475 L.53 0.483 1.52 0.488 1.51 0.49s 1.s0 0.500 L.49 0.s08 L.48

1

0.20s 0.2s6 0.208 0.260 0.210 0.263 0.213 0.266 0.215 0.269 0.218 0.273 4.220 0.275 0.223 0.279 0.225 0.281 0.228 0.285 0.230 0.288 0.233 0.29L 0.23s 0.294 0.238 0.298

2.902 2.846 2.810 2.756 2.72L 2.670 2.636 2.587 2.ss6 2.509 2.478 2.433 2.404 2.361

0.610 0.615 0.619 0.624 0.628 0.633 0.636 0.64L 0.644 0.649 0.652 0.657 0.660 0.664

0.900 0.899 0.899 0.899 0.899 0.898 0.898 0.898 0.897 0.897 0.897 0.897 0.897 0.895

0.513 1.47 0.s20 L.46 0.s2s L.46 0.533 1..4s 0.538 1..44 0.545 1..43 0.550 1,.42 0.558 t.4L 0.563 L. 0.570 1.40 0.575 1.39 0.s83 1.38 0.588 1.38 0.595 7.37 ',t

6=0.8 6u

0.240 0.300 0.243 0.304 0.24s 0.306 0.248 0.310 0.250 0.313 0.253 0.316 0.2ss 0.319 0.2s8 0.323 0.260 0.325 0.263 0.329 0.26s 0.331 0.268 0.33s 0.270 0.338 0.273 0.341 0.275 0.344 0.278 0.348 0.280 0.350

6l

G

q

eu:',

0.896 0.600 L.36 0.896 0.608 1.36 0.895 0.613 1.35 0.895 0.620 7.34 0.89s 0.62s 1,.34 2.1,62 0.895 0.633 1.33 2.137 0.894 0.638 1".32 2.101. 0.894 0.645 1.32 2.077 0.894 0.650 1.3L 2.042 0.894 0.658 1.30 2.019 0.893 0.663 1.30 1.985 0.893 0.670 1.29 1.963 0.893 0.67s 1..29 1.930 0.893 0.683 1.28 1.909 0.892 0.688 L.28 1..878 0.892 0.695 7.27 L.8s7 0.7t4 0.892 0.700 7.27 2.333 2.292 2.265 2.226 2.200

0.667 0.671 0.673 0.677 0.680 0.584 0.686 0.690 0.692 0.696 0.598 0.701 0.704 0.707 0.709 0.7L2

0.283 0.354 0.285 0.356 0.288 0.360 0.290 0.363 0.293 0.356 0.29s 0.369 0.298 0.373 0.300 0.375 0.303 0.379 0.30s 0.381 0.308 0.385 0.310 0.388 0.313 0.391 0.315 0.394 0.318 0.398 0.320 0.400 0.323 0.404 0.32s 0.406 0.328 0.410 0.330 0.413

L.827 0.7L7 0.892 1.807 0.719 0.891 L778 0.722 0.891 !.759 0.724 0.891 1,.730 0.727 0.891 1..712 0.729 0.891 1.685 0.732 0.890 1.667 0.733 0.890 1.640 0.736 0.890 L.623 0.738 0.890 1.s97 A.740 0.889 1.581 0.742 0.889 1.556 0.744 0.889 1.540 0.746 0.888 1.516 0.746 0.887 1.500 0.750 0.888 L.477 0.752 0.888 1,.462 0.754 0.888 t.439 0.756 0.887 1..424 0.758 0.887

0.708 1.26 0.7L3 1..2s 0.720 t.2s 0.725 L.24 0.733 1.24 0.738 1.23 0.745 L.23 0.750 1..22 0.758 7.22 0.763 L.27 0.770 L.21 0.775 1..20 0.783 1*20 0.788 L.20 0.795 1.19 0.800 1..19 0.808 1.18 0.813 L.18 0.820 1..17 0.825 L.L7

6=0.8

t 0.333 0.335 0.338 0.340 0.343 0.345 0.348 0.350 0.3s3 0.3s5 0.358 0.360

0.41"6

0.419 0.423 0.425 0.429 0.431. 0.435 0.438 0.44L 0.444 0.448 0.4s0

fi" 1.402 1.388 L.367 1.3s3

r.332 1.319 1,.299

1.286

t.266 L.254 1".235

1.222

g

6',; 0.760 0.761 0.763 0.763 0.767 0.768 0.770 A.77L 0.773 0.775 0.777 0.778

0.887 0.886 0.886 0.885 0.886 0.88s 0.885 0.885 0.885 0.885 0.884 0.884


-

Cu

0.833 1..16 0.838 1.16 0.84s L.L6 0.8s0 1.1s 0.858 1.15 0.863 1..1.4 0.870 L.L4 0.875 1_.74 0.883 1.13 0.888 1.13 0.895 L.Lz 0.900 t.t2

1

0.363 0.454 0.36s 0.456 0.358 0.460 0.370 0.463 0.373 0.466 0.37s 0.469 0.378 0.473 0.383 0.479 0.385 0.481 0.388 0.485 0.390 0.488 0.393 0.491 0.395 0.494 0.398 0.498 0.400 0.500 0.403 0.504 0.405 0.s06 0.408 0.510 0.410 0.513 0.473 0.516 0.415 0.519 0.418 0.523 o. za 0.525 0.423 0.s29 0.425 0.531

0.905 0.891 0.882

0.780 0.78L 0.783 0.784 0.786 0.787 0.788 0.79L A.792 0.794 0.795 4.796 0.797 0.799 0.800 0.801 0.802 0.804 0.80s 0.806 0.807 0.809 0.8L0 0.81r. 0.812

0.884 0.908 L.L2 0.884 0.913 L.11 0.883 0.920 L.LL 0.883 0.925 L.LL 0.883 0.933 1.10 0.883 0.938 1.r.0 0.882 0.945 1.10 0.882 0.958 1.09 0.881 0.963 1.09 0.881 0.970 1.08 0.881 0.975 1.08 0.88L 0.983 L.08 0.880 0.988 L.07 0.880 0.99s L.O7 0.880 1.000 L.o7 0.880 1.008 l_.06 0.879 1.013 1.05 0.879 L.020 1.06 0.879 L.02s 1.05 0.879 L.033 1.0s 0.878 1.038 1.05 0.878 1.045 1.04 0.878 1.0s0 1.04 0.878 1.058 1.04 0.878 1.063 LA4

0.869 0.860 0.848 0.839 0.826 0.818

0.813 0.8L4 0.815 0.816 0.817 0.818

o.877 0.877 0.877 0.876 0.876 0.876

1.204 L.192 L.174 L.L62

t.L45 L.133 1.L15 1.089 1.078 1_.062

1.051 1.036 1.025 1.0L0 1.000 0.985 0.97s 0.961 0.9s1 0.937 0.928 0.91.4

6=0.8 0.428 0.430 0.433 0.435 0.438 0.440

0.53s 0.538 0.s41 0.544 0.548 0.5s0

1.070 1.075 1.083 1.088 1.095 1.100

1.03 1.03 1.03 r.O2 L.Az L.Oz

0.443 0.554 0.448 0.s60 0.450 0.563 0.453 0.566 0.455 0.569 0.4s8 0.573 0.460 0.575 0.453 0.579 0.465 0.581 0.468 0.58s 0.470 0.588 0.473 0.59L 0.478 0.598 0.480 0.600 0.483 0.604 0.485 0.606 0.488 0.610 0.490 0.613 0.493 0.616 0.49s 0.619 0.498 A.623 0.s00 0.62s 0.530 0.663 0.ss0 0.688

0.806 0.786 0.778 0.766 0.758 o.747 0.739 0.728 0.720 0.709 0.702 0.69L 0.674 0.667 0.656 0.649 0.639 0.633 0.623 0.616 0.606 0.600 0.509 0.455

0.819 0.821 0.822 0.823 0.824 0.82s 0.826 0.827 0.828 0.829 0.830 0.831 0.833 0.833 0.834 0.83s 0.835 0.837 0.838 0.838 0.839 0.840 0.849 0.855

1.108 L.02 1.120 1.01_ L.L25 L.01 1.133 L.00 1.138 1.00 L.L45 1.00 1.1s0 1.00 1.158 0.99 1.163 0.99 1.170 0.99 L.175 0.99 1.183 0.98 1.195 0.98 1.200 0.98 1.208 0.97 1.213 0.97

0.87b 0.87s 0.875 0.875 0.874 O.874 A.874 0.874 0.874 0.873 0.873 0.873 0.872 0.872 0.872 0.871 0.871

1,.220 0.97 1,.225 0.97

0.87',J.

L.233 0.97

0.87L 0.870 0.870 0.870 0.867 0.865


t.238 0.96 1.245 0.95 1".250 0.96 1,.325 0.93 1.375 0.92

-

1

..,

14

MATRIKS

A. UMUM Sebuah matriks biasanya dinyatakan dengan huruf kapital misalnya A, serta bilangan yang terdapat di dalamnya merupakan elemen dari matriks itu. Semua bilangan yang tersusun dalam jalur vertikal disebut kolom, sedangkan elemen yang tersusun dalam jalur horizontal disebut baris. Objek matriks dapat berupa bilangan reof kompleks ataupun fungsi.

Elemen matriks dapat dinyatakan dengan notasi a;;, !ang mana baris sedangkan j menyatakan kolom. Bentuk umum matriks A dengan elemen a

Att AtZ Atl ...

[ = | or., ":, ":' ' I

Aml Am2 Am3 ..

a;1

sebagai berikuU

Atn :.r." Amn

t Dimana; m = urutan baris

n = urutan kolom

i

j=L,2,3,4....n

=

1,2,3,4

....m

i

menyatakan

Matriks A dengan jumlah baris m, dan kolom n, maka matriks A itu dikatakan berordo m x n atau A.*n Matriks A dengan elemen

a;l

dapat dinyatakan oleh ; A =

6,i

l

Contoh 1

[:

JikaA= i_2_t-4

2) I

Matriks A di atas, dengan m = 2dan n = 3, maka A berordo 2 x 3 atau AzE Jika kita ingin mengetahui element misalnya a2 2, kita harus melihat baris ke - 2 dan kolom ke '2, di sini dzz= - t

Contoh 2 Tentukan ordo dari matriks A dan

JikaA=[3-4 2)

B,

jika;

dan

[:-] -41

g=

[2,]

Solusi

Matriks A di atas, dengan m = 1 dan n = 3, maka A berordo 1 x 3 atau Arg Matriks B, dengan m = 3 dan n = 1, maka B berordo 3 x 1 atau Bsr Jika matriks memiliki baris dan kolom sama atau ffi = h, maka matriks itu disebut matriks bujur sangkar, di antara matriks bujur sangkar yang penting yaitu;

1. Matriks Satuan I I ] Matriks satuan adalah matriks yang memiliki elemen ory dimana ; = bernilai 1, sedangkan i * j bernilai nol, seperti contoh berikut;

A=

h

ol

|

[0

1.]

I 0

0-r

0 I ol oo

I

$=

1,1


-

1

j

dan

Hal ini element a11dan Er22, rT1€r"runjukan I = j dan bernilai 1, sedangkan i

Ij

bernilai 0.

Matriks B, elemen br r, bz z dan b3 3, In€hUnjukkan i = j dan bernilai sedangkan i * j bernilai 0.

2.

L,

Matriks Nol Matriks nol semua elemennya bernilai nol, sifat dari matriks nol sama seperti bilangan nol dan umumnya dituliskan [0 ], sebagai contoh;

tol 3.

,l

[o

io

ol

0 0

0-l

000

0 0 0l

Matriks Transpose

Matriks transpose didapatkan dengan cara memindahkan antara baris dengan kolom atau sebaliknya, misalnya matriks Atronspo.se Ar. Sebagai contoh;

lu b A= I Ld

4.

c

I

. f

l

lmaka Ar=

ad be cf

Matriks Vektor Matriks vektor yaitu matriks yang elemennya berupa komponen vektor, dan dinyatakan ke dalam matriks kolom, sebagai contoh;

It'-l ]r, 1-l i=1. | =trrrz..rnlr I

['"-]

t1 t2

rn

menunjukkan elemen dari matriks yang mana vektornya

merupakan vektor dalam ruang n.

5.

Matriks Diagonal Matriks diagonal A merupakan matriks bujur sangkar, yang mana elemen elemennya a;; . Jika I = j, maks d1i *0, sedangkan jika i * j, maka ait = 0, lebih jelasnya;

lu o o-l

A- o e

o

lo o i

l

Elementa,edani*0 Dan jika sebuah matriks mempunyai semua elemennya nol di atas atau di bawah diagonal utama, maka matriks itu disebut matriks segi tiga, sebagai contoh ;

,^

b

c

],

e

r

Lo o 6.

i

Atau

lu o

o

de0 [* h

i

Matriks Simetri Jika matriks bujur sangkar yang matriks tronspose-nya matriks itu sendiri, maka matriks itu disebut matriks simetri, Ar = A.


-

1

B.

ALJABAR MATRIKS

t.

Dua Matriks Sama Besar

Dua matriks sama besar jika aij = bij, yang mana a1; elemen dari A dan b1i elemen dari B, dikatakan A = B

Sebagaicontoh,misalnya;A=[1

4 2ldanB=lt 4 2)

Di sini; Otr = 2.

brr

d111-=bn

dan

a13 = b13

Penjumlahan Matriks Dua buah matriks atau lebih dijumlahkan, pada dasarnya merupakan penjumlahan dari elemen-elemen matriks itu yang letaknya sama, dengan syarat matriks yang akan dijumlahkan memiliki ordo yang sama satu dengan yang lainnya, serta matriks hasil perkaliannya pun berordo sama. Misalnya; A = [arr.

an dn ] dan

B=

[brr brz br:

]

A+B=[(arr+ brr) (arz+ brz) (a13+ b13) ] 3.

Perkalian Matriks Terhadap Bilangan Perkalian matriks dengan suatu bilangan k, maka akan menghsilkan matrik yang ordonya sama dengan matriks semula, serta elemen-elemennya merupakan hasil perkalian elemen matriks semula terhadap bilangan k itu.

contoh; Bilangan k dikalikan terhadap matriks A, misalnya;

la b

a=]a "

cl

r] maka kA =

lrh']

kb *l ,ka ke kfl )kd t" kpkhk

,)

4.

Perkalian Matriks dengan Matriks Sebuah matriks A dapat dikalikan dengan matriks B dengan syarat; jumlah baris A = jumlah kolom B.

Hasilnya matriks baru C yang mana jumlah barisnya = jumlah baris A serta jumlah kolomnya = jumlah kolom B. Misalnya; Matrik A berordo p q, dan matriks B berordo qr, maka hasil perkalian berupa matriks C berordo p r. Atau;

AooxBo,.=Cp, Dalam perkalian matriks dengan matriks perlu diingat;

a) AxB*BxA b) Ax( B+C)=(AxB

)+(AxC)

c) Matriks A x Matriks satuan

= Matriks A

Axill=4 d) Ax[0]=[0] atau;

Contoh 3

t1 Jika A =

dan

0 .)

B=[125]

a

TentukanmatriksC=AxB Solusi

A:,,rX Bt*3 = C:rl [1 .

r,-r

i,i lttzsl=lo.

tz)

lr.

t-2 0.2 2.2

[r 2 s) lo o ol

1.5

0.5 2.5


I

=l

[, 4 -

1

ro]

Contoh 4

t JikaA=1.1rlidanB=[20] t JJ

TentukanmatriksC=Ax

B

Solusi

AzrrX Bt*z

=

Cz*z

[, ]r, or= ,,1.2 [r'2''ol=[' 3.ol

L3-

o-

lool

Contoh 5

Il

2)

JikaA=i4 5 lo ol

danB=

03 51

TentukanmatriksC=AxB Solusi

Ar*z X B2r2

= Cs,

Il 2]To:r l+ sl I t;

1o ol Is

l=

z

-(1.0+2.5)

(1.3+2.r)l [10 5 (4.3+5.1)'= i(+.0+5.5) lrt l7 Ito.o+0.5) (6.3+o.t)] | o t8

C.

DETERMINAN

Determinan merupakan nilai sebuah matriks bujur sangkar, misalnya matriks A, maka determinannya dengan notasi det A,iika;

A-

t. l,"o'

detA=': :

o .-] [" B- d e 1 maka detB= [* n ,]

abc d ef g hi

Determinan hanya untuk matriks berordo n sehingga disebut determinan ordo n.

!.

x n atau matriks bujur

sangkar,

Metode Perkalian Diagonal Metode ini hanya untuk mencari determinan matriks ordo 2 dan ordo 3 a) Determinan untuk matriks berordo 2 x 2, misalnya matriks A di atas,

detA=

l"

lc

o

=ad-bc

d

b) Determinan untuk matriks berordo 3 x 3, misalnya matriks B di atas,

b c lu b c a

b

detB=iaefl- d e f 6 e g h il lg ts.t's-h = { aei + bfg + cdh

}-{

bdi + afh + ceg }


-

1

2.

Metode Minor Determinan Cara ini merupakan pengembangan Laplace, perlu diketahui bahwa;

a) b)

c)

Determinan ordo n berasal dari matriks ordo n detA= I A I = | a;1 | dengani=j=n j Setiap elemen memiliki tanda (- 1 )'Determinan minor dari elemen a;; Untuk menentukan determinan minor aij yaitu; Tarik garis vertikal dan horizontal dari elemen ai j, jika elemen tidak terletak pada kedua garis itu; maka merupakan elemen dari determinan minor. Determinan minor a;; dinotasikan dengan M;; Untuk lebih jelas misalnya; Att det A=

AtZ Atl

AZt AZZ A3

t

AIZ

A23 AZZ

Untuk mencari determinan arr lakukan prosedur di atas; Qtt

AtZ

Cl2t AZZ AZ

t

AIZ

AtS AZ3

Azz

Di sini yang tidak terletak yaitu

; o2 2 , o2 3 ,

O3

2

dan

O3

3, lTl0k0

determinan dari arr adalah; azz azl

Mtt

=

azz all

Sedangkan kofaktor M;; yaitu hasil perkalian tanda

Kofaktor Mit= (- 1)'*

jM,i.

a;1

dengan M;1;

d)

penjumlahan dari hasil Determinan matriks ordo n merupakan hasil perkalian elemen a1; dengan kofaktornya' det A=

I aii(- 1)'*'M,i.

Contoh 6 Tentukan determinan dari matriks A' seandainya;

, ,l [' [= 4 s tl Jrl s

6l 9J

Solusi

Misalnyaelemenyangkitaambilterletakpadabarispertama,maka sesuai Prosedur; det

jMi; (- 1)i* (- 1)t*'Mrs = ar, (l rJtlt vtrr* atzFl)1*2 Mr z.* dt - 1(- 1)' M. i 2(- 1)' Mt z + 3(- L)a Mr r = LMtr-2Mrz +3Mrs

A=I

a,,

Sekarangcarinilaidarikofaktor-kofaktornya,dengancaramenarik baris pertama; garis vertikal dan horizontalterhadap elemen-elemen

ruti [*i l4l 5 6.l U* el

makaMrr=

I

maka Mrz =

maka Mra =

15

i*

6 e

46 79

= (5o9-6.8)=-3

= (4o9-6'71=-e

45 78 [,0.8-5'

Konsep dan Aptikasi Pengantar Teknik StPil

-

L

7\

---3

detA=1Mrr-2Mtz+3MrE =1(-3)-2(-6) +3(-3) =Q

3.

Teorema pada Determinan

a.

Perkalian Determinan dengan Bilangan k

Jika bilangan k dikalikan dengan sebuah determinan, maka akan menghasilkan determinan baru, dimana elemen-elemennya merupakan hasil perkalian dengan elemen determinan semula. Misalnya;

Jika M;;

(s

= ]7

8

dank=2 maka;,Mij

4sl l_ 7

8l

810 t4 t6

Perubahan Tanda pada Determinan

L).Determinan tidak berubah tanda jika baris dan kolom ditukarkan letaknya;

)4-5

l',

8

47 -5 8

2).Determinan tidak berubah jika elemen-elemen pada baris atau kolom merupakan hasil penjumlahan elemen-elemen sebaris atau sekolom, ditambah hasil k kalielemen-elemen itu. Misalnya ; k= 2

detA=

4-5 78

4 -5+ (4.2 )l 7 8+ (7.2)l

43

722 =67

3).Determinan berubah tanda jika dua baris atau kolom dipertukarkan letaknya;

4-5 78

= 67 akan berubah tanda jika;

78 4-5 c.

atau

-5

4l

8

tl

l= -67

Determinan Sama dengan Nol

1)

Determinan sama dengan sebuah baris atau kolom;

nol jika semua elemennya nol

pada

4 -sl

0 0 l= o 2) Determinan sama dengan norjika

15 15

dua baris atau kolom sama besar;

=Q

3) Determinan

sama dengan nol jika sebuah baris atau kolom

merupakan kelipatan baris atau kolom lain;

l3 6l=o lz 4l


-

1

D.

PERSAMAAN LINIER Sebelum kita selesaikan persamaan linier dengan metode matriks, kita tinjau persamaan linier serempak sbb; O11X1

*

?12X2* 013X3

az1x1+

^r?.*r* ?61X1

*

* .... *

azsTs+ ....

d11.2X2*

.+

Xn = br ?2nx1 = O, O1n

,

063X3* .... * €lmnXn =

Terdapat n buah variabel x, yaitu konstanta.

bn

X1, Xz

....... xn serta a dan b yang merupakan

Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sbb ilt

r

?tZ

Ot3 .... illn

X1

br

zlt

Zl't

Zlz .... A't^

n.,

\,

xn

bn

:

:

Om1

fup

:: 2-3 ....

Zlmn

Atau;

AX=b Dimana;

b=(bi)

A=(a.n) i=

L,2,3,

X=(xi)

...... h

Kita tinjau persamaan linier serempak di bawah ini;

?1X+b1y=9,

pers.

?2X*b2\=C2

pers. 2

L

Yang mana a, b dan c merupakan konstanta, dari kedua persamaan linier ini kita dapat mencari nilai x dan y, yaitu dengan cara menghilangkan salah satu variabel x atau y.

Seandainya sekarang kita ingin mengetahui besarnya y, maka hilangkan variabel x.

Kalikan pers. L dengan az sedangkan pers. 2 dengan a1 sehingga; d1X + 32X

b1! = C1

[.rl

c2

[rr]

+ b2! =

tl

Maka; dzdtX + Sz brY = d2C! 31 OzX

+ dr bzY =

(az br

-

O1 C2

ar bz)y = (a2 c1- a1 c2)

r_.- .. y= (a2c1 - ayc2) oan

{urU,_

u-,

Sebaliknya dengan cara menghilangkan variabely, x dapat di cari.

1. Matriks Koefisien dan Matriks

Lengkap

Kita perhatikan pers. 1 dan 2, yang mana memiliki koefisien-koefisien dari persamaan itu yang dapat kita susun dalam bentuk matriks. Sehingga kita sebut matriks itu matriks koefisien, jelasnya matriks di bawah ini merupakan matriks koefisisen persamaan di atas;

I

u,

tl la, l- -

b,l b,-)

Dan matriks lengkap dari dua persamaan di atas;

fu, br crl l u, b, - .,1-)

t-


-

1-

2. Cara Menyelesaikan Persamaan Linier dengan Kaidah Cramer

Jika matriks koefisien persamaan di atas;

dv brl

- ,br'l

o..>

lmaka determinannya yaitu; i

Jadi D = ?1 b2-

&v b,l , i-a1bz-braz

dz

Dzl

b1 ?2

Jika kita ingin mencari variabel x atau y, kita harus mengetahui determinan dominator x dan y masing-masing dengan notasi D* dan Dr. Untuk mencari determinan dominator x atau D* dengan cara; Pertukarkan tempat o sebagoi koefisien dorivoriobel x dengan konstonto c D*=

c1

br

cz

bz

= Cr

bz- br Cz

Untuk mencari determinan dominator y atau D, dengan cara; Pertukorkan tempat b sebogoi koefisien dorivoriaele y dengon konstonta c Dv=

dt

c1

z2

c2

= dt Cz- Ct dz

Selanjutnya; x dan y dapat dicari dengan didefinisikan sbb;

D* x= p dany=

Dy

D

Jika persamaan linier dengan n buah variabel tak diketahUi, X1, x2, .... xn dengan determinan koefisien D * 0, maka;

Xr=

D1 D2 -D , X2= D

r..'..'..

D,

/(n

-

r

Contoh 7 Tentukan x dan y dari persamaan ini;

2x+5y-9

serta 3x-2Y=4

Solusi

2x+5Y =9

3x-2Y

=4

Matriks koefisien persamaan di atas;

lz I

sl I maka determinannya yaitu

| : -2)

;

2 .,

-)l='Fz)-5'3

Jadi D=-19

D*=

95 42

= 9(-21-5.4=-38

Dv=

29 34

=2.4-9.3=-19

Maka;

-38 x=--lg=2 Y= -t9

J9=r

Konsep dan Aplikasi Pengantar Teknik SxPil

-

1.

=-

1e

E.

MATRIKS ADJOINTDAN MATRIKS INVERS 1. Matriks Adjoint

Matriks adioint Kr yaitu matriks yang elemennya terdiri dari elemen kofaktor yang di-transpose-kan, yang mana K merupakan kofaktor. Jelasnya seperti contoh g; Contoh 8 Jika;

trl

A_

2 4)

Tentukan matriks odjoint dariA. Solusi K1 = (Krz = (Kzr = (-

1)'*'M1 =(-1)2Mrr = l-t)2(q 1l'*'Mp =(-1)3Mrr = Ftl3(Z) 1)'*'M1 = (- 1)3Mrr = (- 1)3(g) Kzz= (- 1)'*'M1 =(-1)4M, =(-r)a(r)

Jadi

matrik

K=

l+

[-:

=q

=-Z =-e

=f

-2) ,]

Maka matriks Kr atau odjoint A=

lq -31 [-, r]

2. Matriks lnvers Matriks invers dari matriks A yaitu matriks A- 1, lika matriks A- 1 kali A

menghasilkan matriks satuan l.

Jadi;

A-tA=l

atau AA-1=l

A-1=

I

dArd.'

Dimana; K : matriks kofaktor Kr : adjoint A Sehingga;

A-1= *"odioint

A

Contoh 9 Jika;

[=

I 3l 2 4)

Tentukan matriks inversA atau A-1dan buktikan A A-1 = | Solusi

AA-1=lyangmanal=

10 01

Misalnya;

A-1_

la bl I s d]

.1r A-' = dot rK'


-

1

3

A=

[' ] 12 4) 1

det

I 3l

det A=

2

F1' 4-3.2=-2 4l

F - t/2

(- 1)'* t Mr, = (- L)2 M1r =(-1)2@) = 4 Krz = (- L)r*, M1. (_ 1)3 Mir =(-1)3Q) =_2 = l Kzr = (- 1)2* Mrr (- 1)3 M1r =(-1)3(3) =_g = Kzz = (- 1)'*, Mr, = (- 1)a M1r = (- 1)o(1) = 1 Krr =

Jadi

matrik K=

o -r] i -3 lJ [

Maka matriks Kr atau odjoint

A= i:

-3

t

Maka A-r=-/,

I

,]

-3 3D] i^ [-, l_2 t) | r_rrz)

BuktikanAA-1=; Az*zX

A*trr2=

,l[, It lz 4)l I

l2*2

3/2

t_

-1/2 l

=l

(l(-2)+3. t)

( 1 .312 + 3(-

(2(-2)+4. 1)

( Z .3/2 +

[t

ol

lo r)

l

(oke terbukti)

4(-

u4J U2) )

Perlu diingat;

- Matriks A disebut matriks

non-singular jika det A

* 0 dan matriks

itu

memiliki invers.

-

F.

Matriks A disebut matriks singulor jika det A = 0 dan matriks itu tidak memiliki invers.

TRANSFORMASI LINIER

Transformasi linier merupakan hubungan antara variabel lama dengan variabel baru dari hasil transformasi. Misalnya;

X=ax+by y=cx+dy Dimana; A, b, c dan d: konstanta Hubungan itu dapat kita nyatakan dalam bentuk matriks;

x Y

x

ab cd

v

Perhatikan gambar 1

v

Gambar

1

R merupkan vektor atau garis yang menghubungkan titik (0,0) ke titik (0,0) ke titik Q

Sedangkan vektor r garis yang menghubungkan


-

1

titik P (X,Y).

(x, y). x

r=xi+yi=

v

x

R=Xi+Yj=

Y Hubungan antara titik P dan Qyaitu;

R=Mr

=

ab cd

x v

Yang mana; M =

ab cd

M merupakan matriks transformasi, yaitu matriks yang menghubungkan vektor r dan R.

Pada kasus lain, seandainya sumbu xy berputar sehingga menyebabkan berimpitnya sebuah titik dengan titik lain, sumbu xy yang berputar itu kita nyatakan dengan sumbu x'y', sehingga koordinat (X,Y) menjadi (x',y'), seperti ditunjukkan oleh gambar 2;

Gambar 2

Dari gambar

di

atas yang mana menghubungkan titik (0,0) ke titik P(x,y).

i dan {

masing-masing vektor yang

Sehingga;

x'=ax*by Y'=cx+dY dan

i=7

maka xi + yj = x'i +

y'j

Jadi fungsi dari matriks transformasi M yaitu memberikan informasi mengenai komponen yang menyebabkan r = r'.

G.

MATRIKS ORTOGONAL

Matriks A berordo n disebut orthogonal, jika A dikalikan dengan matriks tronspose AI dan menghasilkan matriks satuan l. Dimana; Ar = A-1 sehingga; AAr = AA-1 =

Contoh 10

I

(

A= ltot0 -sine [sin

0

cos 0

Apakah matriks A merupakan matriks ortogonal untuk semua harga 0. Solusi

.o. e

sin 0

l- ,i,, e

cos 0

or- [ AAr =

cos 0

sin 0

-

sin

olI coso

cos

,] [-.*

o

sino cos o

+ (- sin 0)(- sin 0)) (sin 0cos0 * cos 0 (- sin 0))

(cos 0cos0


( (cos 0 sin 0 +

(-

sin 0) cos 0))

(sin0sin0 *cos0cos0)

-

1

(cos20+sin20)

(cos0sin0-sin0cos0)

(sin0cos0-cos0sin0)

(sin20 +cos20)

lrcI

=[O t]

@ke terbukti, matrik A orthogonol untuk semuo E)

tngot; cos' O + sin2O = 7

H.

TRANSFORMASIORTOGONAL

Seperti halnya transformasi linier, jika sumbu xy diputar sebesar 0, sehingga (x, y) menjadi (x', y') dan x'I y'. Perhatikan gambar 3;

P(*, y) = P"{x',

Gambar 3 Sehingga;

x'= xcos0+ysin0 y'=-xsin0+ycos0

y'}

Dalam bentuk matriks;

0 -sin0

x'

cos

v'

0 -sin0 cos

Dimana

sin 0

x

cos0

v

sin 0

cos0

= M atau matriks transformasi

Dan, MMr = l, maka matriks transformasi adalah matriks ortogonal.

Kita tinjau permasalahan vektor, misalnya vektor

x

dalam bidang yang

menghubungkan (0,0) ke P(x1,x2), dapat kita nyatakan dalam bentuk matriks;

t_

x= xr l*rJ Panjang

[x1 xzJ

I

darivektori=

(xrz

+

xzzloj

Jika vektor x dalam ruang n, dapat kita nyatakan dalam bentuk matriks;

... xn]r

x=

Panjang dari

vektoii

= (x12

+

xzz +

..... xn' )o't

Atau;

tit=[:l'-]"' Bentuk umum dari perkalian titik dalam dari dua

<x,y>= f*,y, atau (X,y)= X.y i:1


-

1

vectoridanf ditulis;

Untuk vektor pada bidang;

< x; f>= I x

||y

I cosO

0 sudut antara dua vektor idrn yl tit, cos 0 = 0 ini menunjukkan bahwa vektor tegak lurus satu sama lainnya, yang merupakan ortagonalitas vektor x dan y dalam ruangn, jadixa y jika<x,y>=0 atau;

li

*y-l' = l*

l'*

ly l'

Contoh 11 Hitung panjang vektor x dan y serta ( X, y > dan buktikan kedua vektor itu tegak lurus, jika x = (1, L,-1, 2) dan y = (3, - 1., O, - 1)

Solusi J

1

x=

1

-1

dan fl=

-1 0

-1

2

Panjang dari vektor;

I

i

I

V I = (3' + (- 1)2+ (0)2 + (- 1)')0's

l = (12 +

L2

+

(- 1)'+ 22 ];o's =117

X'ffjika<X,!)=0

= V1L

atau;

li +f l' = l il'* l y-l' <x, Y>= )l

xiYi

i:1

f

>=(1o

l+ L. (-1)+ (-1) oQ+ 2 o (-2) )=0

lil2=(V7)2 =J

lj l' = (Vtt

12

li l'*Ty l'

= 11

=7 +1.1.=!8

Cek;

li *7 l' = (1+ 3 )2 + (1+ (- 1))'+ ((- 1)+ 0l'* Q+ (- t))2 = 13 11 +f l'=lf,l'+ lV*12=18 Oke, bohwa vector x don y saling tegok lurus.


-

1

DAFTAR PUSTAKA

Ayres, Frenk Jr, Ph. D. 1974. Theory and Problems of Motrices Hill, lnc.

-

Sl Edition. Mc Graw

Berry Peter L. 1987. An lntroduction to Soil Mechanics. Mc Graw England.

- Hill Book Company

Bowles, Joseph E. 1988. Foundotion Anolysis and Design, Fourth Edition. Mc Graw Hill, lnc. Bowles, Joseph E. 1984. Foundotion. Mc Graw

-

Chu Kiawang. L983. lntermediate Structural Anolysis. Mc Graw Chu Kiawang. 1953. Stoticolly lntermediate Stuctures. Mc

Foulis

-

& Embankments,

Graw- Hill Kogakusha

CEE

-

Hill,

Hill Book Co.

of Geotechnicol Engineering. Hemisphere

Edil, Tuncer B. 1982. Seepoge, Slopes Of Wisconsin .

-

Hill, lnc.

Bowles, Joseph E. L984. Physicol ond Geotechnical Propertises Of Soils. Mc Graw lnc.

Das, Braja M. 1985. Principles Coorporation.

-

Ltd.

Publishing

530. Medison: University

& Munem. 1982. Colculus, Fourth Edition. Massachusetts,: Addison

-

Wesley

Publishing Company, lnc. Reading. Gunawan T, lr. & Margaret S.,lr. 1985. Soal dan Penyelesoian Mekoniko Teknik Jilid 1. Jakarta: Delta Group.

Kamajaya, Drs. & Linggih, Suardhana, lr. l-985. Fisika, Edisi Pertomo. Bandung: Ganeca Exact Bandung. Karyasuparta, Suyud R. 1990. Explorosi (Survey) Geoteknik Lapangan. Bandung: lnstitut Teknologi Bandung. Karyasuparta, Suyud R. 1996. Swelling Soil. Bandung: lnstitut Teknologi Bandung. Khurmi, RS. Strength of Materiol. New Delhi: schand & company Ltd. Ram Nagar. Kusminarto, DR. 1994. Pokok-pokok Fisiko Modern. Jakarta: DlKTl.

& Fr:a1s J. Krips. 1995. Matemotika Fisika. Bandung: lnstitut Teknologi Bandung.

Mudjiarto, Roswati

Nasution, Syarifuddin. 2000. Perboikon Tgnah. Bandung: lnstitut Teknologi Bandung.

Pradoto, Suhardjito. L990. Periloku Tonoh. Bandung: Laboratorium Geoteknik pusat Antar Universitas llmu Rekayasa lnstitut Teknologi Bandung. Prakash. 1987. File Foundotion Engineering. London.

Purcell, Edwin J. L984. Colculus with Anolytic Geometry, Fourth Edition. prentice lnc. Ryder, GH. 1975. strength of Material,

Sengara,

I

jrd Edition. Mc - Millian

- Hall,

press Ltd.

Wayan. 2000. Anolisis Stabilitas Lereng. Bandung: lnstitut Teknologi Bandung.

Sertifikasi G 1. 2000. Workshop Hatti. Suratman llyas, DR., CEA., lr. 2004. Perilaku Tanah. Bandung: lTB. Suratman, Encu. 2009 . Diktot Mekoniko Tanah. Bandung. Sutarman, Encu. 2009 . Fisiko Terapan. Bandung: CV Armico.


-

1

Sutarman, Encu. 2009. Matematika Teropan. Bandung: CV Armico.

Sutarman, Encu. 2006. Pengaruh Kimia Terhodap Kuat Geser Tanah. Bandung: lnstitut Teknologi Bandung. Sutrisno, Ph D. 1981-. Fisiko Modern. Bandung: lnstitut Teknologi Bandung.

Timoshenko, Sp. & Young Dh. !977. Element of Strength of Moterials. Affliated East west Press Pvt Ltd.

Timoshenko, Sp. 1976. Strength

of

Materials Part L, g'd Edition Van Nostrand

Reinhold.

Timoshenko, Sp. & Young Dh. 1965. Theory of Structures. Mc Graw

-

Hill Kogakusha

Ltd.

Vazirani V.N. & Ratwani M.M. 1978. Analysis of Structures. Khana Publishers 2 Market NaiSarak Delhi 110086.

Zemansky, Sears. L962. University Physics. Massachusetts: Publishing Company, lnc. Reading.

-

B Nath

Addison Wesley

FAKTOR KONVERSI SATUAN

Panjang

Luas

Volume Kecepatan

m km m inc mil Ar cm

2

liter

ftr

cm/detik mit / men

:\./,

dettk' Percepatan

Gaya

Tekanan

Energi

1000 mm

0,6Zl4mil

ft

detik2

dr". N

slus k" atm',,2

i ev "mu

1,609

kq

-'

m'

1o

0,155 inc' 144 incz 1000 cmj 0.0283 0,03281 ft /detik 60 mil/

m3

7,5 gal

jam

88 ft / detik

/detik2

o.o328l ft

10

o,ol m I

detiP m / detixr 1oo cm / deti,f ft I

g Massa

cm m

100 1000 39,37 nc 2.54 cm 5280 Ecm

30,48 cm

t

N 5 10 dvne 4.45 . l0 dvne -5

10

5

10

-'kg

14,59

l0

3

ke sr

1.013 . 10 oYne/cm

detik2

o'Tiluf

'

'3;*r1o*'

2,247 .10

-'lb

0,2247l\ 4,45 N

u't';Lo 1,459 - 10 " g 0,0685 slug

6

kal

* 'erg 1,6 . 10 -: erL Mev 1.66.10-zag, 1,49.10'erg 10 10

0,239

KONSTANTA DAN FAKTOR KONVERSI PENTING Laju cahaya dalam ruang hampa c=2,998.108m/s Besar muatan elektron

e:

1,602. l0 - lo Coulomb

Tetapan Bolzmann

k:

1,381

Tetapan Coulomb Tetapan Plank

. 10 -23 Joule / oK

1

/ 4 neo = g,9gg . 10 eNmz/

h

:

6,.626. l0 - 34 Js serta h /

lo -3a Js Bilangan Avogadro

No

Massa elektron

mr= (

12

C)

Magneton Bohr Magneton Nuklir Jari

-jari

Bohr

Panjang gelombang Compton

u: Ps

1,672

1,661

:

eh

)v

I

Mev I c2

.10-27 kg = 93g,3 Mev I c2

. l0 - 27 kg = 93 1,5 Mev I c2

I 2 m.: 9,27 . 10-24 J / T

i lrN: eh / 2mo = 5,05 .

do: 4 n

2n: 1,055 .

/ mol

m" = 9,109 . l0 -31 kg 0,51 =

Massa proton Satuan massa atom

= 6,02 ,1023

C2

.l^hz I m"

",

:

l0-7 J / T

0,529

A

c:0,0243 A

Tetapan struktur halus

a.: e' I 4 n eohc:

k T ( suhu kamar )

k . 300 0K : 0,025g ev l/40 eY =

Tetapan Rydberg

R-:

l/ 137

1,097373 . W7

Konsep dan Aplikasi pengantar Teknik Stpil _

1

/m

KONVERSI 1

eV: I,602 .10 - 1e Joule

1A :10-1om

1fm:10 "m 18 eV 1 J :6,242. 10 I barn: 1

10 -28 m2

Ci:3,7

10 . 10 Bq

PENERBIT ANDI. Konsep a Aplikasi Penqantar. Te[nlk Si pll. ryeg{ rman

Recommend Documents