Penerapan Relasi Preferensi pada Pengambilan Keputusan yang Melibatkan Banyak Pihak Eko Hari Parmadi Fakultas Sains & Teknologi Univ. Sanata Dharma Kampus III Paingan, Maguwoharjo, Depok, Sleman. Email:
[email protected]
Abstract Multiperson decision making is a process to solve different opinions in a group to find the best final decision. It consists of a five-stage process .i.e. determination of domination individual, preference relation, construction of individual preference relations, aggregation of individual preference relations, and the last is determination of final decision. The result of this process is a final decision that is satisfying all members of the group. Keywords: domination, preference relation, individual preference relation, final decision
1. Pendahuluan Pengambilan keputusan yang melibatkan banyak pihak (kelompok) adalah model pengambilan keputusan yang melibatkan banyak individu pembuat keputusan. Pendapat atau persepsi yang berbeda dari para pengambil keputusan dapat mengakibatkan keputusan yang dihasilkan berbeda-beda dan belum tentu keputusan tersebut diterima oleh pihak yang lain. Masalah lain yang muncul dalam pengambilan keputusan adalah jika kriteria yang dipakai untuk pengambilan keputusan tersebut kabur atau tidak tegas. Sebagai contoh proses pengambilan keputusan untuk memilih sebuah banner dari tiga desain yang diberikan berdasarkan tingkat kemenarikan desain banner tersebut.. Kriteria menarik untuk sebuah banner merupakan istilah yang kabur atau tidak tegas karena tidak ada batasan yang tegas antara menarik dan tidak menarik. Akibatnya, pembuat keputusan menjadi kesulitan dalam mengambil keputusan. Melalui pendefinisian relasi preferensi pada pengambilan keputusan yang melibatkan banyak pihak maka akan dihasilkan keputusan akhir yang baik, yaitu keputusan yang merupakan kompromi dari banyak individu pengambil keputusan. Selain itu, masalah kekaburan pada kriteria juga dapat diatasi 2. Pengambilan Keputusan yang Melibatkan Banyak Pihak Masalah pengambilan keputusan adalah masalah menentukan pilihan berdasarkan sekumpulan alternatif dan kriteria-kriteria yang ada. Proses pengambilan keputusan yang melibatkan banyak pihak memerlukan suatu masukan berupa pilihan dari masing-masing individu terhadap beberapa alternatif pilihan yang ada. Penentuan dari fungsi pemilihan yang melibatkan banyak pihak terdiri dari beberapa proses, yaitu: penentuan fungsi sasaran individual, penyusunan relasi pemilihan individual dan pengumpulan relasi pemilihan individual untuk sampai kepada relasi pemilihan yang melibatkan banyak pihak [1]. Misalkan diberikan A = {a1 , a 2 , L, a n } adalah himpunan alternatif dan F = { f 1 , f 2 , L, fm} adalah himpunan individu pengambil keputusan, maka pilihan
dari masing-masing individu ini dinotasikan dengan rij , dimana rij = f i (a j )
menunjukkan nilai kemenarikan yang diberikan oleh individu f i untuk sebuah alternatif a j . Nilai rij ini berada di dalam selang tertutup [0,10]. Semakin nilai rij mendekati 10, maka individu f i memberikan pendapat semakin kuat untuk alternatif a j . Sebaliknya, jika nilai rij semakin mendekati nol, maka individu memberikan pendapat semakin lemah untuk alternatif a j [2] . Tabel 1. Data Pengambilan Keputusan yang Melibatkan Banyak Pihak
individu f1 f2 f3 .... fm
a1 r11 r21
a2 r12
Alternatif a3 r13
.... rm1
.... rm2
.... rm3
.... .... .... .... .... ....
an r1n
.... rmn
Definisi 2.1 (Relasi Preferensi) Diberikan f adalah sebuah aturan perkawanan dari himpunan alternatif A ke himpunan bilangan real. f : A → ℜ, dimana, ∀a ∈ A, maka f (a ) merupakan nilai dari alternatif tersebut terhadap sebuah kriteria. Pada saat dua alternatif dibandingkan, a, b ∈ A, maka harus dapat ditentukan perbandingan preferensinya. P disebut relasi preferensi alternatif a terhadap alternatif b, dinotasikan dengan P (a, b) = f (a ) − f (b) . • P (a, b) = 0 berarti tidak ada preferensi a lebih baik daripada b • P(a, b) ≥ 0 berarti preferensi a lebih baik daripada b • P(a, b) ≤ 0 berarti preferensi b lebih baik daripada a Definisi 2.2 (Dominasi ) Misalkan diberikan A = {a1 , a 2 , L , a n } adalah himpunan alternatif dan F = { f 1 , f 2 , L, fm} adalah himpunan individu maka dapat didefinisikan: d i (rij , rik ) = rij − rik , yaitu nilai dominasi alternatif a j terhadap alternatif a k yang diberikan oleh individu f i . Untuk memberikan gambaran yang lebih baik, digunakan fungsi selisih nilai kriteria antar alternatif yang dinotasikan H(d) dengan d = f (a) − f (b) , dimana hal ini berhubungan langsung pada relasi preferensi P. Ada banyak kriteria preferensi yang dapat digunakan seperti, kriteria biasa, kriteria quasi, kriteria level, kriteria gaussian dan masih banyak kriteria lainnya [2]. Salah satu fungsi yang digunakan adalah dengan kriteria preferensi linear, seperti pada definisi 2.3 berikut ini:
Definisi 2.3 (Kriteria Preferensi Linear) Kriteria preferensi linear didefinisikan sebagai:
⎧ 1 ⎪ H ( d ) = ⎨d / p ⎪ 0 ⎩
jika
d>p
jika 0 < d < p jika d <0
Kriteria preferensi linear dapat menjelaskan bahwa selama nilai selisih memiliki nilai yang lebih rendah dari p, maka preferensi dari pembuat keputusan meningkat secara linear dengan nilai d. Jika nilai d lebih besar dari nilai p maka terjadi preferensi mutlak. Pada saat pembuat keputusan mengidentifikasi beberapa criteria untuk tipe ini,dia harus menentukan nilai dari kecenderungan atas nilai p.
1
0
p
d
Gambar 1. Kriteria Preferensi Linear 3. Himpunan Kabur Tidak semua hal yang dijumpai dalam kehidupan sehari-hari dapat didefinisikan secara tegas. Hal ini disebabkan oleh batasan yang kabur atau tidak dapat ditentukan secara tegas. Banyak kata-kata, kriteria atau istilah dalam kehidupan seharihari yang mengandung ketidaktegasan, seperti: tinggi, mahal, kaya, cantik, menarik, hemat dan sebagainya. Untuk mengatasi permasalahan himpunan dengan batas yang tidak tegas ini, Zadeh mengaitkan himpunan semacam itu dengan suatu fungsi yang menyatakan derajat kesesuaian unsur-unsur dalam semestanya dengan syarat konsep yang merupakan syarat himpunan tersebut. Fungsi ini disebut fungsi keanggotaan dan nilai fungsi itu disebut derajat keanggotaan suatu unsur dalam himpunan itu, yang selanjutnya disebut himpunan kabur. Derajat keanggotaan dinyatakan dengan suatu bilangan real dalam selang tertutup [0,1]. Dengan kata lain, fungsi keanggotaan dari suatu himpunan kabur à dalam semesta X adalah pemetaan µÃ dari X ke selang [0,1][3]. Misalkan diberikan himpunan semesta X, maka suatu himpunan kabur ~ A didefinisikan sebagai: ~ A = {( x, μ A~ ( x)) | x ∈ X } ~ μ A~ disebut fungsi keanggotaan dari suatu himpunan kabur A dan nilai fungsi μ A~ ( x) ~ menyatakan derajat keanggotaan unsur x ∈ X dalam himpunan kabur A [3],[4],[5],[6]. μ A~ ( x) : X → [ 0 ,1]
Salah satu contoh fungsi keanggotaan himpunan kabur adalah fungsi keanggotaan trapesium. Suatu fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi
keanggotaan trapesium jika mempunyai empat buah parameter, yaitu a, b, c, d ∈ R dengan a < b < c < d dan dinyatakan dengan trapesium(x; a, b, c, d) dengan aturan :
Fungsi keanggotaan tersebut dapat juga dinyatakan sebagai berikut : ⎛ ⎛ x−a d −x⎞ ⎞ Trapesium( x; a, b, c, d ) = max ⎜ min ⎜ ,1, ⎟,0⎟ ⎝ b−a d −c ⎠ ⎠ ⎝ 1
0
a
b
c
d
R
Gambar 2. Fungsi Keanggotaan Trapesium(x; a, b, c, d)
Sejalan dengan definisi relasi tegas pada himpunan tegas, maka antara elemenelemen dalam himpunan X dengan elemen-elemen dalam himpunan Y dapat dibuat ~ Relasi Kabur R yang didefinisikan sebagai himpunan kabur dari X × Y , yaitu himpunan kabur: ~ R = {(( x, y ), ( μ R~ ( x, y )) | ( x, y ) ∈ X × Y } ~ Relasi Kabur R itu juga disebut relasi kabur pada himpunan (semesta) X × Y . ~ Jika X = Y maka R disebut relasi kabur pada himpunan X [3],[4],[5],[6]. 4. Operasi Baku Pada Himpunan Kabur
Operasi-operasi pada himpunan kabur dapat didefinisikan sesuai dengan operasi-operasi pada himpunan tegas, antara lain : 4.1 Komplemen Komplemen dari suatu himpunan kabur à adalah himpunan kabur ÃC dengan fungsi keanggotaan: μ A~ C ( x) = 1 − μ A~ ( x) , untuk setiap x ∈ X
Gambar 3. Komplemen dari Himpunan Kabur à 4.2 Gabungan ~ Gabungan dua buah himpunan kabur à dan B adalah himpunan kabur ~ B dengan fungsi keanggotaan: μ ~ ~ ( x) = maks{ μ A~ ( x) , μ B~ ( x)} , untuk setiap x ∈ X. A∪ B
~ B
~ B
~ Gambar 4. Gabungan Dua Himpunan Kabur à ∪ B 4.3 Irisan
~ Gabungan dua buah himpunan kabur à dan B adalah himpunan kabur ~ à ∩ B dengan fungsi keanggotaan μ ~ ~ ( x) = min{ μ A~ ( x) , μ B~ ( x)} , untuk setiap x ∈ X A∩ B
~ B
~ B
~ Gambar 5. Irisan Dua Himpunan Kabur à ∩ B
Ã∪
5. Aplikasi Pengambilan Keputusan yang Melibatkan Banyak Pihak Seperti dijelaskan di bagian awal bahwa penentuan dari fungsi pemilihan yang melibatkan banyak pihak terdiri dari beberapa proses, yaitu: penentuan fungsi sasaran individual, penyusunan relasi pemilihan individual dan pengumpulan relasi pemilihan individual untuk sampai kepada relasi pemilihan yang melibatkan banyak pihak. Namun tahapan tersebut dapat diperluas menjadi lima tahap, yaitu: a. Hitung nilai dominasi kemenarikan untuk tiap individu b. Menentukan kriteria preferensi yang akan digunakan c. Menentukan tingkat pilihan relatif untuk masing-masing individu d. Tingkat pilihan relatif, untuk keseluruhan pembuat keputusan e. Keputusan akhir
Salah satu aplikasi pengambilan keputusan yang melibatkan banyak pihak adalah menentukan sebuah banner yang akan dipilih dari 3 desain banner yang diberikan berdasarkan kriteria menarik.
Gambar 6. Desain Banner
Dari sebanyak 4 individu pengambil keputusan diperoleh data sebagai berikut:
Individu 1 Individu 2 Individu 3 Individu 4
Desain 1 9 7 5 6
Desain 2 5 7 8 8
Desain 3 6 8 8 5
Berdasarkan data tersebut di atas, desain banner mana, yang harus diputuskan dipilih sedemikian sehingga keputusan tersebut merupakan kompromi dari banyak individu pengambil keputusan (individu 1 sampai individu 5). Karena kriteria menarik tidak tegas maka digunakan himpunan kabur sebagai cara pemecahan masalah tersebut. Adapun tahap-tahap yang dilakukan adalah sebagai berikut: a. Hitung nilai d (ai , a j ) yaitu dominasi kemenarikan desain ke-i dengan desain ke-j untuk tiap individu Tabel 3. Dominasi Kemenarikan Desain untuk Tiap Individu
Desain 1 Desain 2 Desain 3
individu 1 Desain Desain 1 2 4 -4 -3 1
Desain 3 3 -1 -
Desain 1 Desain 2 Desain 3
individu 3 Desain Desain 1 2 -3 3 3 0
Desain 3 -3 0 -
Desain 1 Desain 2 Desain 3
individu 2 Desain Desain 1 2 0 0 1 1
Desain 3 -1 -1 -
Desain 1 Desain 2 Desain 3
individu 4 Desain Desain 1 2 -2 2 -1 -3
Desain 3 1 3 -
Hasil pada perhitungan ini masih berupa nilai tegas. b. Menentukan kriteria preferensi linear Misalkan dipilih nilai p = 4, maka diperoleh tabel kriteria preferensi sebagai berikut: Tabel 4. Kriteria Preferensi Linear individu 1 Desain Desain 1 2 1 0 0 0.25
Desain 3 0.75 0 -
individu 3 Desain Desain 1 2 0 Desain 1 Desain 2 0.75 0.75 0 Desain 3
Desain 3 0 0 -
Desain 1 Desain 2 Desain 3
Desain 1 Desain 2 Desain 3
individu 2 Desain Desain 1 2 0 0 0.25 0.25
Desain 3 0 0 -
Desain 1 Desain 2 Desain 3
individu 4 Desain Desain 1 2 0 0.5 0 0
Desain 3 0.25 0.75 -
Melalui kriteria preferensi linear, maka semua nilai real pada interval [0,10] dinyatakan dalam suatu derajat keanggotaan pada interval [0,1]. Dengan kata lain, akan didapat relasi kabur H pada A ={desain1, desain2, desain3} untuk masingmasing individu. c. Tingkat pilihan relatif untuk masing-masing individu p ( f k ) = min{H (a k , a j )}
untuk suatu k, dan untuk setiap j=1,2,..., n . Hasil perhitungan tingkat pilihan relatif untuk masing-masing individu dapat dilihat pada Tabel 5. berikut ini: Tabel 5. Tingkat Pilihan Relatif untuk Masing-Masing Individu Individu 1
Desain 1 Desain 2 Desain 3
Desain 1 1 0.75
Desain 2 1 0.25
Desain 3 0.75 0.25 -
p(f1)
Desain 1 0 0.25
Desain 2 0 0.25
Desain 3 0.25 0.25 -
p(f2)
Desain 1 0.75 0.75
Desain 2 0.75 0
Desain 3 0.75 0 -
p(f3)
Desain 1 0.5 0.25
Desain 2 0.5 0.75
Desain 3 0.25 0.75 -
p(f4)
0.75 0 0
Individu 2
Desain 1 Desain 2 Desain 3
0 0 0.25
Individu 3
Desain 1 Desain 2 Desain 3
0 0 0
Individu 4
Desain 1 Desain 2 Desain 3
0 0.5 0
d. Tingkat pilihan relatif, untuk keseluruhan pembuat keputusan, diperoleh dengan cara menghitung rata-rata tingkat pilihan relatif tiap individu.
Tabel 6. Tingkat Pilihan Relatif untuk Keseluruhan Pembuat Keputusan
individu 1 individu 2 individu 3 Individu 4 Rata-rata
Desain 1 0.75 0 0 0 0.1875
Desain 2 0 0 0 0.5 0.125
Desain 3 0 0.25 0 0 0.0625
e. Keputusan akhir Keputusan akhir dari proses pengambilan keputusan tersebut adalah nilai maksimum dari rata-rata tingkat pilihan relatif, untuk keseluruhan pembuat keputusan. Berdasarkan tabel 6. diperoleh hasil bahwa keputusan akhir yang menjadi kesepakatan semua individu pengambil keputusan adalah banner yang menarik adalah banner dengan desain 1. 6. Penutup Berdasarkan pembahasan di atas, dapat disimpulkan bahwa relasi preferensi dapat diterapkan pada pengambilan keputusan yang melibatkan banyak pihak. Proses pengambilan keputusan juga sangat bergantung pada kriteria preferensi yang dipilih. Daftar Pustaka [1] Zimmermann, H-J.,1991, Fuzzy Sets, Decision Making and Expert Systems. Kluwer Academic Publishers, Boston [2] Suryadi, Kadarsah & Ramdani, M. Ali, 1998, Sistem Pendukung Keputusan Suatu Wacana Struktural Idealisasi dan Implementasi Konsep Pengambilan Keputusan, PT Remaja Rosdakarya, Bandung [3] Susilo, Frans.,2003, Pengantar Himpunan dan Logika Kabur serta Aplikasinya. Penerbit Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta [4] Klir, G.J & Yuan, B., 1995, Fuzzy Sets and Fuzzy Logic: Theory and Applications. Englewood Cliffts, Prentice Hall, N.J. [5] Wang, Li Xin, 1997, A Course in Fuzzy System and Control, Prentice Hall, New Jersey [6] Zimmermann, H.J.,1991, Fuzzy Sets Theory and Its Applications. Boston : Kluwer Academic Publishers
