PENENTUAN NILAI MINIMUM DAN MAKSIMUM PELABELAN γ PADA GRAF FIRECRACKER Fm.n
oleh FEBIANI SARASWATI M0104031
SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2009
i
SKRIPSI PENENTUAN NILAI MINIMUM DAN MAKSIMUM PELABELAN γ PADA GRAF FIRECRACKER Fm.n yang disiapkan dan disusun oleh FEBIANI SARASWATI M0104031
dibimbing oleh Pembimbing I
Pembimbing II
Dra. Mania Roswitha, M.Si.
Winita Sulandari , M.Si.
NIP. 19520628 198303 2 001
NIP. 19780814 200501 2 002
telah dipertahankan di depan Dewan Penguji pada hari Selasa, tanggal 4 Agustus 2009 dan dinyatakan telah memenuhi syarat. Anggota Tim Penguji
Tanda Tangan
1. Drs.Tri Atmojo K, M.Sc., Ph.D.
1.
NIP. 19630826 198803 1 002
...................................
2. Dra. Diari Indriati, M. Si.
2.
NIP. 19610112 198811 2 001
...................................
3. Dra. Sri Sulistijowati H, M.Si.
3.
NIP. 19690116 199402 2 001
................................... Surakarta, 4 Agustus 2009
Disahkan oleh Fakutas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Dekan,
Ketua Jurusan Matematika,
Prof. Drs. Sutarno, M.Sc. Ph.D
Drs. Kartiko, M.Si.
NIP. 19600809 198612 1 001
NIP. 19500715 198601 1 001
ii
ABSTRAK
Febiani Saraswati, 2009. PENENTUAN NILAI MINIMUM DAN MAKSIMUM PELABELAN γ PADA GRAF FIRECRACKER Fm.. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret. Pelabelan pada graf adalah fungsi bijektif yang menghubungkan elemen–elemen graf dengan suatu himpunan bilangan bulat non negatif. Suatu pelabelan γ dari sebuah graf yang berorder |V(G)| dan berukuran |E(G)|, merupakan sebuah fungsi 1-1, f : V(G) à{0, 1, 2, . . . |E(G)|} yang menurunkan sebuah pelabelan f’ : E(G) à{1, 2, . . . |E(G)|} terhadap edgeedge G. Dengan kata lain pelabelan γ didefinisikan sebagai selisih dari label pada vertexvertex pada kedua ujung edge, f’(e) = | f(u) – f(v)|, untuk setiap edge e = (u,v) dari G. Setiap pelabelan γ dapat ditentukan sebuah nilai yang dinotasikan dengan val(f), yang didefinisikan dengan val(f) = å f ' (e) .Nilai maksimum dan minimum dari eÎE ( G )
pelabelan γ graf G didefinisikan sebagai valmax(G) = max{val(f)} dan valmin(G) = min{val(f)} dengan f adalah pelabelan γ graf G. Sebuah pelabelan γ dari graf G disebut pelabelan maksimum γ jika val(f) = valmax(G) dan sebuah pelabelan minimum γ jika val(f) = valmin(G). Tujuan penulisan skripsi ini adalah dapat menentukan nilai minimum dan maksimum dari graf firecracker Fm,n. Metode yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah studi literetur. Berdasarkan hasil pembahasan, diperoleh kesimpulan sebagai berikut. 1. Nilai minimum dari pelabelan γ pada graf firecracker Fm,n
2m valmin (Fm,n) =
æ n+1ö ç2÷ ç2÷ è ø
+ (m – 2)n + 1 , untuk n ganjil
m æçn+1ö÷ + m ç22 è
÷ ø
ænö ç2÷ ç2÷ è ø
+ (m – 2) + 1, untuk n genap
2. Nilai maksimum dari pelabelan γ pada graf firecracker Fm,n
( 3( 4( 5( 2
)+ 2n – 3 , m = 2, n ≥ 4 , m = 3, n ≥ 4 )+5n -8 )+ 10n – 4n – 5 , m = 4, n ≥ 4 )+ 16n – 9n – 1 , m = 5, n ≥ 4
n -1 2
n -1 2
valmax (Fm,n) =
2
2
n -1 2
2
n -1 2
2
() (5m – 2) m + ( ) (2m – 1)m +
m 2
, m ≥ 3, n = 2
m 2
, m ≥ 3, n = 3
Kata kunci : pelabelan γ, graf firecracker
iii
ABSTRACT Febiani Saraswati, 2009. ON MINIMUM AND MAXIMUM VALUES OF γ-LABELING OF FIRECRACKER GRAPH Fm,n.. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University. A labeling of a graph is a one to one function that carries graph elements to numbers (non negative integers). A γ-labeling of a graph of order |V(G)| and size |E(G)| is one to one function, f : V(G) à{0, 1, 2, . . . |E(G)|}, that induces a labeling f’ : E(G) à{1, 2, . . . |E(G)|} of the edges of G defined by the difference of labels on the vertices on the both side of edge, f’(e) = | f(u) – f(v)|, for each edge e = (u, v) of G. The value of a γ-labeling denoted by val(f) and defined by val(f) = å f ' (e) . The maximum and eÎE ( G )
minimum values of a γ-labeling graph G are defined by valmax(G) = max{val(f)} dan valmin(G) = min{val(f)} where f is a γ-labeling of graph G. A γ-labeling of graph G is denoted by a γ-max labeling if val(f) = valmax(G) and aγ-min labeling if val(f) = valmin(G). The aims of this research are to determine the maximum and minimum values of a γlabeling of firecracker graph Fm,n.. The method on this research is a literary study. According to the discussion, it can be concluded that 1. The minimum value of a γ-labeling of firecracker Fm,n 2m æç n+1ö÷ + (m – 2)n + 1 , for n odd
valmin (Fm,n) =
ç è
2 2
÷ ø
m æçn+1ö÷ + m ç22 ÷ è ø
ænö ç2÷ ç2÷ è ø
+ (m – 2) + 1, for n even
2. The maximum value of a γ-labeling of firecracker Fm,n
)+ 2n – 3 , m = 2, n ≥ 4 )+5n -8 , m = 3, n ≥ 4 )+ 10n – 4n – 5 , m = 4, n ≥ 4 )+ 16n – 9n – 1 , m = 5, n ≥ 4 (2m – 1)m + ( ) , m ≥ 3, n = 2 (5m – 2) m + ( ) , m ≥ 3, n = 3 ( 3( 4( 5( 2
valmax (Fm,n) =
n -1 2
2
n -1 2
2
n -1 2
2
n -1 2
2
m 2
m 2
Keywords : γ-labeling, firecracker graph
iv
MOTTO
Sesungguhnya
beserta kesukaran itu ada kemudahan, sesungguhnya beserta
kesukaran ada kemudahan, maka apabila kamu telah selesai (dari suatu urusan), kerjakanlah sungguh-sungguh urusan yang lain. ::: QS Al Insyrah ayat 5 – 8 :::
“…niscaya Allah akan meninggikan orang-orang yang beriman di antaramu dan orang-orang yang berilmu pengetahuan dengan beberapa derajat”. :: QS. Al-Mujadalah ayat 11 ::
v
PERSEMBAHAN
Alhamdilillahirobbil ‘alamiin… Karya sederhana ini dapat kupersembahkan teruntuk :
:: Ibuku tercinta :: Terima kasih untuk seluruh cinta, kasih sayang, kesabaran dan do’a yang tak henti-hentinya diberikan kepadaku.
:: Bapak tercinta :: Terima kasih atas didikan, nasihat dan kesabaran yang diberikan kepadaku.
:: Kakakku :: Terima kasih atas do’a dan dukungannya.
:: Sahabat-sahabatku Dhona, Anggit, WP, GD :: Terima kasih atas dukungan, bantuan, semangat, motivasi dan do’a yang diberikan untukku.
:: Diriku sendiri:: Jangan menyerah, perjuangan masih panjang...
vi
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah, puji dan syukur penulis panjatkan atas kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat serta hidayahNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Penghargaan dan ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada: 1.
Ibu Dra. Mania Roswitha, M.Si dan Ibu Winita Sulandari, M.Si selaku dosen pembimbing I dan II atas bimbingan, kesabaran dan motivasinya.
2.
Drs. Tri Atmojo K,M.Sc.,Ph.D., Dra. Diari Indriati, M.Si., Dra, Sri Sulistijowati H, M.Si., selaku dosen penguji atas saran dan masukannya.
3.
Bapak, ibu, kakak dan sahabat-sahabatku atas do’a dan motivasinya untuk segera menyelesaikan skripsi ini.
4.
Teman – teman jurusan Matematika angkatan 2004 Fakultas MIPA UNS atas semangat dan doanya.
5.
Semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Semoga Allah memberikan balasan yang berlipat ganda. Akhir kata, penulis
berharap semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat sebagaimana yang diharapkan.
Surakarta, Agustus 2009
Penulis
vii
DAFTAR ISI JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
ABSTRAK
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
ABSTRACT
. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
MOTTO
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
KATA PENGANTAR
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vii
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
viii
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
.
DAFTAR ISI . . . . . . DAFTAR GAMBAR
DAFTAR NOTASI . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xi
I. PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1
Latar Belakang Masalah
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3 Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4 Tujuan
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.5 Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
II. LANDASAN TEORI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.1 Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.1.1
Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.1.2
Pelabelan Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Kerangka Pemikiraan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
III. METODE PENELITIAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.2
IV. PEMBAHASAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
V.
4.1 Nilai Minimum pada Graf Firecracker Fm,n
. . . . . . . . . . . . .
11
4.2
. . . . . . . . . . . . .
15
PENUTUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
Nilai Maksimum pada Graf Firecracker Fm,n.
viii
5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
DAFTAR PUSTAKA
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
31
DAFTAR GAMBAR 1.1
Beberapa pelabelan γ dari graf firecracker F2,2 . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.1
Graf G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Walk, trail, path . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.3
(a) Graf connected (b) Graf disconnected . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.4
Graf pohon order 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.5
Graf firecracker Fm,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
4.1
Fm,n dengan m = 2, n ≥ 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
4.2
Fm,n dengan m = 3, n ≥ 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4.3
Fm,n dengan m = 4, n ≥ 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
4.4
Fm,n dengan m = 5, n ≥ 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
4.5
Fm,n dengan m ≥ 3, n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
4.6
Fm,n dengan m ≥ 3, n = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
x
DAFTAR NOTASI V(G)
: himpunan vertex dari graf G
E(G)
: himpunan edge dari graf G
|V(G)|
: banyaknya vertex dari graf G
|E(G)|
: banyaknya edge dari graf
e
: edge
v
: vertex
(u,v)
: edge yang ujung – ujungnya adalah vertex u dan v
degGv
: derajat (degree) vertex v dari graf G
Sn
: graf star dengan n daun
valmaxG
: nilai maksimum dari pelabelan γ pada graf G yang selanjutnya disebut nilai maksimum
valmin G
: nilai minimum dari pelabelan γ pada graf G yang selanjutnya disebut nilai minimum
va
:titik pusat dari graf firecracker Fm,n
vai
: daun
di tiap star
xi
BAB I PENDAHULUAN 1. Latar Belakang Masalah Salah satu dari cabang ilmu yang sering dikembangkan oleh para ilmuwan untuk melakukan riset ialah teori graf. Hal ini dikarenakan penerapan teori graf yang luas dalam kehidupan nyata. Contoh dari penerapan teori graf antara lain topologi jaringan komunikasi, jaringan komputer, jaringan listrik, dan sebagainya. Adapun representasi dari graf yaitu vertex menunjukkan titik atau node, sementara edge menunjukkan garis yang menghubungkan titik-titik tersebut. Di antara bidang-bidang yang ada di teori graf, pelabelan merupakan salah satu bidang yang banyak peminatnya karena pelabelan dapat diterapkan dalam permasalahan di kehidupan sehari-hari. Contohnya dalam mencari jarak maksimum atau minimum dari suatu distribusi minyak. Dalam skripsi ini, pelabelan yang dibahas adalah pelabelan γ. Menurut Wallis [10], pelabelan pada graf
adalah fungsi bijektif yang
menghubungkan elemen-elemen graf dengan suatu himpunan bilangan bulat non negatif. Menurut Chartrand et al. [2], pelabelan γ dari sebuah graf yang berorder |V(G)| dan berukuran |E(G)|, merupakan sebuah fungsi 1-1, f : V(G) à{0, 1, 2, . . . |E(G)|} yang menurunkan sebuah pelabelan f’ : E(G) à{1, 2, . . |E(G)|} terhadap edge-edge G, didefinisikan sebagai selisih dari label pada vertex-vertex pada ujung kedua edge, f’(e) = |f(u) – f(v)|, untuk setiap edge e = (u,v) dari G. Setiap pelabelan γ, f dari graf G yang berorder |V(G)| dan berukuran |E(G)| menetapkan sebuah nilai yang dinotasikan sebagai val(f) yang didefinisikan sebagai val(f) =
å f ' (e) . Dalam
eÎE ( G )
hal ini f adalah fungsi 1-1 dari V(G) à {0, 1, 2, …,|E(G)|}. Untuk sebuah graf G yang berorder |V(G)| maksimum
dari
sebuah
pelabelan
γ
dari
graf
dan berukuran |E(G)|, nilai G
didefinisikan
sebagai
valmax(G) = max{val(f)} dengan f adalah pelabelan γ dari G sementara nilai minimum dari sebuah pelabelan γ dari graf G didefinisikan sebagai valmin(G) = min{val(f)}
xii 1
dengan f adalah pelabelan γ dari G. Sebuah pelabelan γ dari graf G disebut pelabelan maksimum γ jika val(f) = valmax(G) dan sebuah pelabelan γ dari graf G adalah pelabelan minimum γ jika val(f) = valmin(G). Sebagai contoh, pada pelabelan graf firecracker F2,2, memperlihatkan enam pelabelan γ f1, f2, . . ., f6. Pada Gambar 1.1 label dari vertex ditunjukkan oleh angka yang berada di dekat vertex, dan label edge yang diturunkan ditulis di samping atau di bawah setiap sisi. 0
3
1
1
f1:
1
1
f2 :
2
2
1 2
0
2
val( f4 ) = 6 0
2
f5 :
1
3 3
1 1 2 val( f2 ) = 5
f3:
3
3
2
1
1
f 4:
val( f1 ) = 3 0
3
1 1
2
val( f5 ) = 5 3
2 2
f6 :
3 0 3 val( f3 ) = 7
1
1 2
2 1 0 val( f6 ) =4
Gambar 1. 1. Beberapa pelabelan γ dari graf firecracker F2,2
xiii
Dari contoh pelabelan γ dari graf firecracker F2,2, diperoleh pelabelan minimum γ dengan valmin(f1) = 3 yang ditunjukkan oleh pelabelan γ dari f1 dan pelabelan maksimum γ dengan valmax(f3) = 7 yang ditunjukkan oleh pelabelan γ dari f3. Dalam penelitiannya, Chartrand et al. [2], telah menemukan rumusan umum untuk valmin dan valmax dari beberapa kelas graf diantaranya adalah path Pn dengan 2 valmax(Pn) = êên -2 úú dan valmin (Pn) = n -1.
ë
2
û
Dalam skripsi ini, penulis tertarik untuk mengembangkan penelitian yang sebelumnya telah dikerjakan oleh Chartrand et al. [2]. Dengan menerapkan pelabelan γ pada graf firecracker Fm,n, dan akan dicari pola pelabelan γ secara umum untuk
menentukan valmin dan valmax untuk nilai m dan n tertentu, dari kelas graf tersebut.
2. Perumusan Masalah Berdasarkan latar belakang masalah, permasalahan yang muncul adalah bagaimana menentukan nilai minimum dan maksimum untuk graf firecracker Fm,n
3. Batasan Masalah Batasan masalah yang digunakan dalam skripsi ini adalah graf yang digunakan adalah graf sederhana dan finite.
4. Tujuan Penelitian Tujuan penulisan skripsi ini adalah menentukan nilai minimum dan maksimum dari graf firecracker Fm,n.
5. Manfaat Penelitian Manfaat dari penelitian ini adala memberikan kajian teoritis tentang pelabelan γ khususnya pada kelas graf firecracker Fm,n
BAB II
xiv
LANDASAN TEORI Pengetahuan yang cukup, sangat diperlukan untuk menyelesaikan suatu masalah dengan baik. Oleh karena itu, untuk mencapai tujuan penulisan, bagian pertama bab ini memuat beberapa definisi yang merupakan pengertian dasar dalam pelabelan γ untuk menentukan nilai minimum dan
teori graf dan konsep dasar
maksimum pelabelan γ pada graf firecracker Fm,n. Sebagian materi yang disajikan dalam bab ini dapat ditemui dalam buku–buku teks ataupun jurnal matematika yang diacu. Pada bagian kedua, disusun kerangka pemikiran yang menjelaskan alur pemikiran penulis dalam penyusunan skripsi ini. 2.1 Tinjauan Pustaka Pada tinjauan ini diberikan beberapa definisi dan teorema yang mendasari dilakukannya penulisan skripsi, yakni definisi-definisi dalam teori graf dan konsep dasar pelabelan. 2.1.1 Graf Definisi 2.1.1 (Chartrand and Lesniak [4]) Suatu graf G adalah himpunan tak kosong berhingga V(G)= {v1, v2 ,. . ., vn} yang disebut vertex dan E ={e1, e2,. . . , en} merupakan himpunan pasangan tidak berurutan dari anggota-anggota V disebut edge. Graf G pada Gambar 2.1 mempunyai V = {v1, v2, v3, v4, v5} dan E = {e1 ,e2,, e3 , e4, e5, e6}. Banyaknya vertex dalam suatu graf disebut order dan banyaknya edge dalam suatu graf disebut ukuran. v1
v2
e1
e5
e6 e4
e2
v5
e3
v4
v3 Gambar 2.1 Graf G
Definisi 2.1.2 (Chartrand [1])
4
xv
Jika u dan v adalah sembarang dua vertex dari graf G yang dihubungkan oleh edge e, dinotasikan e = (u,v) maka dikatakan u dan v adalah vertex yang adjacent. Kemudian vertex u dan v dikatakan incident dengan edge e dan e disebut join vertex u dan v.
Pada Gambar 2.1 vertex v1 dan v2 dikatakan vertex yang saling adjacent, vertex v1 dan v2 dikatakan incident dengan edge e1. Kemudian edge e1 disebut join vertex v1 dan v2.
Definisi 2.1.3 (Harary [7]) Degree vi graf G, dinotasikan dengan degG vi , adalah banyaknya edge yang incident dengan vi. Dari Gambar 2.1 deg v1 = 3, deg v2 = 2, deg v3 = 2, deg v4 = 2 dan deg v5 = 3.
Definisi 2.1.4 (Chartrand and Lesniak [4]) Suatu u – v walk dari graf G adalah barisan bergantian antara vertex dan edge, yang dimulai dari vertex u dan berakhir di vertex v, sehingga ei=(ui-1, ui) untuk i = 1,2, ,….,n. Suatu u-v trail adalah u-v walk dengan tidak mengulang sembarang edge. Suatu u-v path adalah u-v walk yang tidak mengulang sembarang vertex.
Berikut adalah contoh walk, trail dan path pada Gambar 2.2. Walk : v1,e1, v2, e2, v3, e3, v5, e4, v6, e9, v3, e10, v7, e8, v6, e9, v3, e12, v4. Trail : v1, e1, v2, e2, v3, e3, v5, e4, v6, e9, v3, e10, v7, e8, v6, e5, v9, e6, v8, e7, v7, e11, v4. Path : v1, e1, v2, e2, v3, e9, v6, e5, v9, e6, v8, e7, v7, e11, v4.
v1
e1 e13
e11 v
e2
v3 e3
e12 v4
v2
xvi e10
e9 e8
v5 e4 v
Gambar 2.2 Walk, trail, path.
Definisi 2.1.5 (Chartrand [1]) Suatu u-v trail dengan u = v, paling sedikit terdiri dari 3 vertex disebut circuit. Circuit dengan tidak mengulang sembarang vertex disebut cycle.
Definisi 2.1.6 (Chartrand and Oellerman [3]) Jika u dan v adalah vertex dari graf G, dikatakan u connected dengan v jika terdapat path yang menghubungkannya. Suatu graf G dikatakan connected jika pada setiap pasang vertex terdapat path yang menghubungkan, jika tidak maka graf G disconnected.
Gambar 2.3 (a) merupakan contoh dari graf connected, karena setiap 2 vertex terhubung dengan sebuah path. Sedangkan Gambar 2.3 (b) merupakan contoh graf disconnected karena terdapat path yang tidak menghubungkan pasang vertex.
v1
v3
v2
v4
v1
xvii
v2
v3
v4
Gambar 2.3 (a) Graf connected (b) Graf disconnected Definisi 2.1.7 (Chartrand dan Lesniak [4]) Pohon P adalah graf terhubung yang tidak memuat cycle. Contoh Pohon berorder 8 ditunjukkan pada Gambar 2.4
Gambar 2.4 Graf pohon order 8
Definisi 2.1.8 (Harary [7], Pemmaraju and Skiena [8] , Tutte [9]) Graf Star Sn ,atau dikenal dengan “n-star” adalah pohon dengan n vertex dimana 1 vertex mempunyai degree n-1 (titik pusat) dan vertex yang lain mempunyai degree 1.
Definisi 2.1.9 (Chen et al. [5] dan Gallian [6]) Graf firecracker Fm,n adalah sebuah graf yang berasal dari rangkaian m star Sn dan n adalah banyaknya vertex pada star Sn , dengan menghubungkan salah satu daunnya untuk tiap – tiap star Ilustrasi graf firecracker Fm,n ditunjukkan pada Gambar 2.5
v12
v13 v1
xviii v1(n-1)
v23 v2 v11
vm2
vm3
v22
vm
v21
vm1
v2(n-1)
vm(n-1)
Gambar 2.5 Graf firecracker Fm,n
2.1.2 Pelabelan Graf Menurut
Wallis [10], pelabelan pada graf adalah fungsi bijektif yang
menghubungkan elemen-elemen graf dengan satu himpunan bilangan bulat nonnegatif.
Definisi 2.1.10 (Chartrand et al. [2]) Untuk sebuah graf yang berorder |V(G)| dan berukuran |E(G)|, pelabelan γ graf G adalah sebuah fungsi 1-1, f : V(G) à{0, 1, 2, . . . |E(G)|} yang menurunkan sebuah pelabelan f’ : E(G) à{1, 2, . . . |E(G)|} terhadap edge-edge G yang didefinisikan sebagai
selisih
dari
label
pada
vertex-vertex
pada
kedua
ujung
edge,
f’(e) =| f(u) – f(v)|, untuk setiap edge e = (u, v) dari G.
Definisi 2.1.11(Chartrand et al. [2]) Untuk sebuah graf yang berorder |V(G)| dan berukuran |E(G)|, ditentukan sebuah nilai yang dinotasikan dengan val(f), didefinisikan dengan val(f)=
å f ' ( e) .
eÎE ( G )
Dalam hal ini f adalah fungsi 1-1 dari V(G)à {0, 1, 2, . . . |E(G)|}.
Definisi 2.1.12 (Chartrand et al. [2])
xix
Untuk sebuah graf G yang berorder |V(G)| dan ukuran |E(G)| ditentukan nilai maksimum dari sebuah pelabelan γ dari graf G yang didefinisikan sebagai valmax(G) = max{val(f)} di mana f adalah pelabelan γ graf G. Sedangkan nilai minimum dari sebuah pelabelan γ dari graf G didefinisikan sebagai valmin(G) = min{val(f)} di mana f adalah pelabelan γ graf G.
Definisi 2.1.13 (Chartrand et al. [2]) Sebuah pelabelan γ dari graf G disebut pelabelan maksimum γ jika val(f) = valmax (G) dan sebuah pelabelan γ dari graf G disebut pelabelan minimum γ jika val(f) = valmin (G).
2.2 Kerangka Pemikiran Berdasarkan tinjauan pustaka yang telah diberikan, selanjutnya dapat disusun suatu kerangka pemikiran untuk menyelesaikan permasalahan dalam penulisan skripsi ini. Pelabelan γ dari graf G adalah fungsi 1-1, f : V(G) à{0, 1, 2, . . . |E(G)|} yang menurunkan sebuah pelabelan f’ : E(G) à{1, 2, . . . |E(G)|} merupakan selisih dari label pada vertex-vertex pada kedua ujung edge, f’(e)=| f(u) – f(v)|, untuk setiap edge e = (u, v) dari G. Untuk mendapatkan nilai minimum dan maksimum dari graf firecracker Fm,n yang merupakan penyelesaian dari penelitian ini maka terlebih dahulu memberi label pada tiap vertex dari graf firecracker Fm,n. Selanjutnya menentukan nilai dari pelabelan dengan cara menjumlah f’(e) yang telah diperoleh. Dari nilai tersebut dapat ditentukan nilai minimum dan maksimum dari graf firecracker Fm,n. Jika pola dari nilai minimum dan maksimum telah diperoleh maka nilai minimum dan maksimum dapat dirumuskan.
xx
BAB III METODE PENELITIAN Metode yang digunakan dalam penulisan skripsi adalah studi literatur. Keseluruhan bahan dalam penulisan skripsi diambil dari buku-buku referensi dan jurnal yang membahas berbagai pengetahuan yang berkaitan dengan persoalan yang dibahas dalam tulisan ini. Untuk mencapai tujuan dari penulisan ini, diambil langkah-langkah sebagai berikut 1. mengkaji ulang pengertian dasar dari graf, graf firecracker Fm,n. 2. melakukan pelabelan pada graf firecracker Fm,n. Pelabelan pada graf firecracker Fm,n dimulai dari m = 2 dan n = 2 dan dilakukan hingga m dan n tertentu sampai ditemukan pola untuk menentukan rumusan umum nilai minimum dan maksimum graf firecracker Fm,n 3. menentukan rumus umum nilai minimum dan maksimum dari pelabelan γ pada graf firecracker Fm,n serta membuktikan rumus yang telah diperoleh. 4. membuat analisa dan kesimpulan.
BAB IV 10 xxi
PEMBAHASAN Dalam bab ini dibahas mengenai pelabelan γ pada graf
firecracker Fm,n
sehingga diperoleh rumusan umum nilai minimum dan maksimumnya, disertai dengan pembuktian setiap rumusan yang telah diperoleh. 4.1 Nilai Minimum Pelabelan γ Pada Graf Firecracker Fm,n. Pada bagian ini dibahas mengenai pelabelan γ untuk menentukan nilai minimum dari graf firecracker Fm,n Teorema 4.1.1 Untuk semua bilangan bulat m,n ≥ 2 berlaku
valmin(Fm,n) =
æ n+1ö 2m ç 2 ÷ + (m – 2)n + 1 , untuk n ganjil ç2÷ è ø æ n+1ö m ç2 ÷ + m ç2÷ è ø
ænö ç 2 ÷ + (m – 2) + 1, untuk n genap ç2÷ è ø
Bukti. Graf firecracker Fm,n adalah graf yang berasal dari rangkaian m star Sn dan n adalah banyaknya vertex pada star Sn , dengan menghubungkan salah satu daunnya untuk tiap – tiap star. Jika f adalah pelabelan γ dari graf firecracker Fm,n dengan pusat dari star ditentukankan sebagai va = {vI, v2, ..., vm} dan setiap pusatnya mempunyai degree (n – 1). Namun kasus khusus untuk graf firecracker Fm,n dengan n = 2, yang dianggap sebagai pusat adalah vertex dengan degree lebih besar sama dengan 2. Ilustrasi dari graf firecracker Fm,n dapat dilihat pada Gambar 2.5 Ditentukan pelabelan minimum γ dari graf firecracker Fm,n sebagai berikut Untuk n ganjil dengan 1≤ a ≤ m, pelabelan pada pusat va berlaku ( 2a - 1) n - 1
f(va) =
2
sedangkan pelabelan pada daun di tiap-tiap11star vai berlaku
xxii
i – 1 , 1≤ i ≤ a<2 i f(vai) =
,
n +1 2
(a – 1)n + i
n -1 2
≤ i ≤ n-1 , 1≤ i <
(a – 1)n + i + 1 ,
2≤a≤m
(a - 1)n
n -1 2
n -1 2
≤ i < n-1
,i=n-1
(4.1)
Berdasarkan Definisi 2.1.10 dan 2.1.11 dan persamaan (4.1) diperoleh m ( n -1) / 2
val(f1) =
å å f (v ) - f ( v a =1
i =1
a
m
ai
) +
n -1
å å f (v a =1 i = ( n +1) / 2
a
) - f (v ai )
( n -1) / 2
=
å
n -1
(val(f(v1v1i)) + (val(f(v2v2i))) + . . . + (val(f(vmvmi)))) +
å
val(f(v1v1i))
i = ( n +1) / 2
i =1
+ (val(f(v2v2i))) + . . . + (val(f(vmvmi)))) = æç æç n -1 - æç n -1 -1 ö÷ ö÷ + ... + æç n -1 - 0 ö÷ ö÷ + æç æç 3n -1 - æç n + n -1 -1 ö÷ ö÷ + ... + æç 3n -1 - ( n +1) ö÷ ö÷ + ... 2 è 2 øø èè 2 è øø è 2 øø èè 2 è 2 øø ( 2 m -1) n -1 æ n -1 ö ö æ ( 2m -1) n -1 - (( m -1) n +1) ö ö + æç æç - ç (m -1)n + -1 ÷ ÷ + ... + ç ÷÷ 2 2 2 è øø è øø èè
+ æç æç n +1 - æç n -1 ö÷ ö÷ + ...+ æç ( n -1) - æç n -1 ö÷ ö÷ ö÷ è 2 øøø è èè 2 è 2 øø + æç æç 3 n - 1 - ( n + n - 2 + 1) ö÷ + ... + æç 3n - 1 - æç n + n -1 + 1 ö÷ ö÷ + æç 3n - 1 - n ö÷ ö÷ + ... 2 ø øø è 2 øø è 2 è èè 2 ( 2 m -1) n -1 ö æ ( 2 m -1) n -1 - æ ( m -1) n + n -1 +1 ö ö + ( 2 m -1) n -1 - ( m -1) n ö + æç æç - ((m -1)n + n - 2 +1) ÷ + ... + ç ç ÷÷ ÷ 2 2 2 2 è øø ø è èè ø
n -1 ö n-3 ö n -3 ö n -1 ö = æç 1+ ... + ÷ + æç 1+ ... + ÷ +. . . + æç1+ ...+ ÷ + æç 1+ ... + ÷ 2 ø 2 ø 2 ø 2 ø è è è è n -1 n -1 ö n -1 n -1 ö + + + æç 1+ ... + ÷ + . . .+ æç 1+ ... + ÷ 2 2 ø 2 2 ø è è n -1 ö n -1 ö n -1 ö n -1 ö = æç 1+ ... + ÷ + æç 1+ ... + ÷ + . . . + æç 1+ ... + ÷ + æç 1+ ... + ÷ 2 2 2 2 ø è ø è ø è ø è
xxiii
n -1 ö n -1 ö + æç 1+ ... + ÷ + . . . + æç 1+ ... + ÷ 2 ø 2 ø è è n -1 ö n -1 ö = m æç 1+ ... + ÷ + m æç 1+ ... + ÷ 2 ø 2 ø è è
n -1 ö = 2m æç 1+ ... + ÷
è
2
ø
æ n +1 ö ÷ ç 22 ÷ è ø
= 2m ç
(4.2)
Untuk n genap dengan 1≤ a ≤ m, pelabelan pada pusat va berlaku ( 2 a - 1) n
f(va) =
2
sedangkan pelabelan pada daun di tiap-tiap star vai berlaku i – 1 , 1≤ i ≤ a<2 i f(vai) =
,
n 2
+1
(a – 1)n + i
n 2
≤ i ≤ n-1 , 1≤ i <
(a – 1)n + i + 1 ,
2≤a≤m
(a- 1)n
n 2
+1
n 2
≤ i < n-1
,i=n-1
(4.3)
Persamaan (4.4) diperoleh dari (4.3) dan Berdasarkan Definisi 2.1.10 dan 2.1.11 m n/ 2
val(f2) =
åå f (v a =1 i =1
=
n/2
å
a
) - f (v ai ) +
m
n -1
å å f (v
a
) - f (v ai )
a =1 i = ( n / 2 ) +1
(val(f(v1v1i)) + (val(f(v2v2i))) + . . . + (val(f(vmvmi)))) +
n -1
å
i = ( n / 2 ) +1
i =1
+ (val(f(v2v2i))) + . . . + (val(f(vmvmi)))) = æç æç n - æç n -1ö÷ ö÷ + æç n - æç n - 2 ö÷ ö÷ + ...+ æç n - 0 ö÷ ö÷ è 2 øø èè 2 è 2 øø è 2 è 2 øø + æç æç 3n - æç n + n + 1 ö÷ ö÷ + æç 3n - æç n + n + 2 ö÷ ö÷ + ... + æç 3n - n ö÷ ö÷ + ... è 2 øø èè 2 è 2 øø è 2 è 2 øø
xxiv
val(f(v1v1i))
æ ( 2m -1) n - æ (m -1)n + n +1ö ö + æ ( 2m -1) n - (( m -1) n + n +1) ö + ... + æ ( 2m -1) n - ((m -1) n + ö ö + ç æç ç ÷÷ ç ÷ ç ÷÷ 2 øø è 2 2 è ø è 2 øø èè 2 3n + æç æç n - æç n +1ö÷ ö÷ + ... + æç ( n -1) - n ö÷ ö÷ + æç æç 2 øø è èè 2 èè 2 è 2 øø
(
)
3n n n + -1 ö ÷ + ... + æç - ( n +1) ö÷ ö÷ 2 ø è 2 øø
( 2 m -1) n æ n ö æ ( 2m -1) n - ((m -1)n +1) ö ö + . . . + æç æç - ç (m -1)n + -1 ö ÷ ÷ + ... + ç ÷÷ 2 øø è è 2 øø èè 2
( ( )
n n n n = æç 1+ 2 + ... + ö÷ + æç 1+ 2 + ... + ö÷ +... + æç 1+ 2 + ... + ö÷ + 1 + ... + - 1 2 2ø 2ø 2ø è è è
( ( )
+ 1 + ... +
n -1 2
( ( ) ( ( )
+ . . . + 1 + ... +
n -1 2
n n = m æç 1+ 2 + ... + ö÷ + m 1 + ... + - 1 2 2ø è
=m
æ n + 1ö ç2 ÷ ç 2 ÷ è ø
+m
ænö ç2÷ ç2÷ è ø
(4.4)
Untuk vertex yang connected dengan star Sn m
val(f3) =
å f (v a =1
a
) - f (v an -1 )
= |f(vmn-1) - f(vm-1n-1)| + |f(vm-1n-1) - f(vm-2n-1)| + ... + |f(v2n-1) - f(v1n-1)| =n+n+...+1 = (m – 2)n + 1
(4.5)
Berdasarkan (4.2) dan (4.5) diperoleh nilai minimum untuk n ganjil æ n +1ö ç 2 ÷ ç 2 ÷ è ø
valmin(Fm,n) = 2m
+ (m – 2)n + 1
Sedangkan untuk n genap dari persamaan (4.4) dan (4.5) diperoleh valmin(Fm,n) = m
æ n +1ö ç2 ÷ ç 2 ÷ è ø
ænö ç2÷ è ø
+ m ç 2 ÷ + (m – 2)n + 1
Jadi, diperoleh nilai minimum graf firecracker Fm,n untuk m,n ≥ 2 sebagai berikut
xxv
æ n+1ö 2m ç 2 ÷ + (m – 2)n + 1 , untuk n ganjil ç2÷ è ø
valmin(Fm,n) =
æ n+1ö m ç2 ÷ + m ç2÷ è ø
ænö ç 2 ÷ + (m – 2) + 1, untuk n genap ç2÷ è ø
Nilai Maksimum Pelabelan γ Pada Graf Firecracker Fm,n.
4.2
Pada bagian ini dibahas mengenai pelabelan γ untuk menentukan nilai maksimum dari graf firecracker Fm,n . Lemma 4.2.1 Untuk semua bilangan bulat m = 2, n ≥ 4 , berlaku valmax (F2,n) = 2
æ n - 1ö çç ÷÷ è 2 ø
+ 2n2 - 3
Bukti. Misalkan graf firecracker F2,n mempunyai 2 pusat yaitu u dan v. Pusat u terletak di sebelah kiri dan pusat v terletak di sebelah kanan. Masing–masing pusat adjacent dengan n – 1 vertex. Pusat u adjacent dengan u1 , u2, … un-1 dan pusat v adjacent dengan v1, v2, … vn-1. Ilustrasi dari graf firecracker Fm,n dengan m = 2, n ≥ 4 dapat dilihat pada Gambar 4.1 u1
u2
v2
u
u2
v1
u3
v
u1
v3
u4
v4 F2,5
F2,4
xxvi
v1 v
u v3
u3
v2
Ditentukankan pelabelan maksimum γ dari graf firecracker Fm,n sebagai berikut f(u) = 0, f(v) = 2n – 1,
(4.6)
f(ui) = n -1 + i
(4.7)
, i =1,2, . . . ,n -1,
dan f(vj) =
1+ j , j = 1, 2, . . ., n - 2 1
, j = n -1
(4.8)
Berdasarkan Definisi 2.1.10 dan 2.1.11 dan persamaan (4.6)-(4.8) diperoleh valmax(F2,n) yaitu valmax(F2,n ) = val(f(un-1vn-1)) + val(f(uui)) + val(f(vvj)) = (2n - 2 - 1) + ((n - 0 ) + (n + 1 - 0) + … + (2n – 3 - 0) + (2n - 2 - 0)) + ((2n - 1 - 2 ) + (2n – 1 – 3 ) + . . . + (2n – 1 - (n - 1)) + (2n – 1 – 1 ) = (2n – 3) + ( n + (n + 1) + . . . + (2n – 3) + (2n – 2)) + ((2n – 3) + (2n - 4) + . . . + n + (2n – 2)) = (2n – 3) + (2n – 2) + (2n – 2) + (n + (n + 1) + . . . + (2n – 3)) + (n +. . . + (2n – 4) + (2n – 3) ) = (6n – 7) + ( 1 + 2 + . . . + (n – 2) + (n – 1) (n – 2)) + ( 1 + 2 + . . . + (n – 2) + (n – 1) (n – 2)) = (6n – 7) + ( æç n - 1ö÷ + (n – 1) (n – 2)) + ( æç n - 1ö÷ + (n – 1) (n – 2)) ç 2 ÷ è ø
ç 2 ÷ è ø
=2
æ n - 1ö çç ÷÷ è 2 ø
+ (6n – 7) + (n – 2) (n – 1 + n – 1)
=2
æ n - 1ö çç ÷÷ è 2 ø
+ (6n – 7) + (n – 2) (2n – 2)
=2
æ n - 1ö çç 2 ÷÷ è ø
+ (6n – 7) + (2n2 – 2n – 4n + 4 )
= 2 æç n - 1ö÷ + 2n2 – 3. ç 2 ÷ è ø
xxvii
Lemma 4.2.2 Untuk semua bilangan bulat m = 3, n ≥ 4 berlaku, valmax(F3,n) = 3
æ n - 1ö çç ÷÷ è 2 ø
+ 5n2 -8
Bukti. Misalkan graf firecracker F3,n mempunyai 3 pusat yaitu u, v dan w. Pusat u terletak di sebelah kiri, pusat v terletak di tengah dan pusat w terletak di sebelah kanan. Masing–masing pusat adjacent dengan n–1 vertex. Pusat u adjacent dengan u1, u2,…, un-1, pusat v adjacent dengan v1, v2, … , vn-1 sedangkan pusat w adjacent dengan w1, w2, …., wn-1. Ilustrasi dari graf firecracker Fm,n dengan m = 3, n ≥ 4 dapat dilihat pada Gambar 4.2. u2
u1 v2
v1 w2
w1
u1 v3
u3 u
v
w
u3
v3
w3
v2
u2
v v4
u u4
w2 v1 w3 w
w1
w4
Gambar 4.2 Fm,n dengan m = 3, n ≥ 4 Pelabelan maksimum γ dari graf firecracker F3,n ditentukan sebagai f(u) = 0, f(v) =3n -1, f(w) = 1, f(ui) = 2n – 2 + i f(vj) =
(4.9)
, i = 1, 2, . . ., n – 1,
2+j
, j = 1, 2, . . ., n – 2,
2
, j = n -1,
n+k
, k = 1,2, . . ., n – 2
3n – 2
, k = n – 1.
(4.10)
(4.11)
dan f(wk) =
(4.12)
Nilai maksimum F3,n diperoleh dari (4.9)-(4.12) dan berdasarkan Definisi 2.1.10 dan 2.1.11 sehingga valmax(F3,n) = val(f(un-1vn-1)) + val(f(vn-1wn-1)) + val(f(uui)) + val(f(vvj)) + val (f(wwk)) = (3n – 3 – 2 ) + (3n – 2 – 2 ) +
((2n – 1 – 0 ) + (2n – 0 ) + …
+ (3n – 4 – 0 ) + (3n – 3 – 0)) + ((3n – 1 – 3 ) + (3n – 1 – 4 ) + . . .
xxviii
+ (3n – 1 ) + (3n – 1 – 2)) + ((n + 1 – 1) + (n + 2 – 1) + . . . + (2n – 2 – 1) + (3n – 2 – 1 )) = (3n – 5) + (3n – 4) + ((2n – 1) + (2n) + . . . + (3n – 4) + (3n – 3)) + ((3n - 4) + (3n – 5) + . . . + (2n – 1) + (3n – 3)) + (n + (n + 1) + . . . + (2n – 3) + (3n – 3)) = (3n – 5) + (3n – 4) + (3n – 3) + (3n – 3) + (3n – 3) + ((2n – 1) + 2n + . . . + (3n – 4)) + ((2n – 1) + . . . + (3n – 5) + (3n – 4)) + ( n + (n + 1) + . . . + (n – 3 )) = (15 n – 18 ) + ( 1+ 2 + …+ (n – 2) + (2n – 2) (n – 2)) + (1 + 2 + … + (n – 2) + (2n – 2) (n – 2)) + (1 + 2 + . . . + (n – 2) + (n – 1) (n – 2)) = (15 n - 18) + ( æç n - 1ö÷ + (2n – 2) (n – 2)) + ( æç n - 1ö÷ + (2n – 2) (n – 2)) + ç 2 ÷ è ø
ç 2 ÷ è ø
( æç n - 1ö÷ + (n – 1) (n – 2)) ç 2 ÷ è ø
=3
æ n - 1ö çç ÷÷ è 2 ø
=3
æ n - 1ö çç ÷÷ è 2 ø
+ (15 n - 18) + 5n2 – 10 n – 5n + 10
=3
æ n - 1ö çç ÷÷ è 2 ø
+ (15 n - 18) + (5n2 – 15n + 10)
=3
æ n - 1ö çç ÷÷ è 2 ø
+ 5n2 – 8.
+ (15 n - 18) + (n – 1) (5n – 5)
Lemma 4.2.3 Untuk semua bilangan bulat m = 4, n ≥ 4 berlaku, valmax (F4,n) = 4 æç n - 1ö÷ + 10n2 – 4n – 5 ç 2 ÷ è ø
Bukti. Misalkan graf firecracker F4,n mempunyai 4 pusat yaitu u, v, w dan x. Pusat u terletak di sebelah kiri, pusat v dan pusat w terletak di tengah sedangkan pusat x terletak di sebelah kanan. Masing–masing pusat adjacent dengan n–1 vertex. Pusat u adjacent dengan u1, u2,…, un-1, pusat v adjacent dengan v1, v2, … , vn-1, pusat w
xxix
adjacent dengan w1, w2, …., wn-1 sedangkan pusat x adjacent dengan x1, x2, …., xn-1. Ilustrasi dari graf firecracker Fm,n dengan m = 4, n ≥ 4 dapat dilihat pada Gambar 4.3. u2
u1 v2 u u3
w1
v1 w2
v
w v3
x2
x1
x
w3
u2
v2 u1
u3 u
x3
v3 v
u4
w2 v1
w3 w
v4
x2 w1 x3 x
w4
x1 x4
F4,5
F4,4
Gambar 4.4 Fm,n dengan m = 4, n ≥ 4 Pelabelan maksimum γ dari graf firecracker F4,n ditentukan sebagai f(u) = 0, f(v) =4n – 3, f(w) = 2, f(x)= 4n – 1,
(4.13)
f(ui) = 3n – 3 + i , i = 1, 2, . . . , n – 1,
(4.14)
f(vj) = f(wk) =
2n – j
, j = 1, 2, . . . , n – 2,
1
, j = n -1,
(4.15)
2n – 1+ k , k = 1, 2, . . . , n-1, 4n – 2
, k = n – 1,
(4.16)
dan f(xl) =
3+ l
, l = 1, 2, . . . , n – 2,
3
,l = n – 1.
(4.17)
Berdasarkan persamaan (4.13)-(4.17) dan Definisi 2.1.10 dan 2.1.11 maka diperoleh valmax(F4,n) yaitu valmax(F4,n) = val(f(un-1vn-1)) + val(f(vn-1wn-1)) + val(f(wn-1xn-1)) + val(f(uui)) + val(f(vvj)) + val(f(wwk)) + val(f(xxl)) = (4n – 4 – 1) + (4n – 2 – 1) + (4n – 2 – 3) + ((3n – 2 – 0) + (3n – 1 – 0) + . . . + (4n – 5 – 0) + (4n – 4)) + ((4n – 2 – (2n – 1)) + ((4n – 3) – (2n – 1)) + . . . + ((4n – 3) – ( n + 2)) + ((4n – 3) – 1)) + ((2n – 2) + (2n + 1 – 2 ) + . . . + (3n – 3 – 2 ) + (4n – 2 - 2)) + ((4n – 1 – 4) + (4n – 1 – 5) + . . . + ((4n – 1) – (n + 1)) + (4n – 1 – 3))
xxx
= (4n – 5) + (4n – 3) + (4n – 5) + ((3n – 2) + (3n – 1) + . . . + (4n – 5) + (4n – 4 )) + ((2n – 2) + (2n – 1) + . . . + (3n – 5) + (4n – 4)) + ((2n – 2) + (2n – 1) + . . . + (3n – 5) + (4n – 4)) + ((4n – 5) + (4n - 6) + . . . + (3n – 3) + (4n – 4)) = (4n – 5) + (4n – 3) + (4n – 5) + (4n – 4) + (4n – 4) + (4n – 4) + (4n – 4) + ((3n – 2) + (3n – 1) + . . . + (4n – 5)) + ((2n – 2) + (2n – 1) + . . . + (3n – 5)) + ((2n – 2) + (2n – 1) + . . . + (3n – 5)) + ((4n – 5) + (4n – 6)+ . . . + (3n – 2)) = (28n – 29) + (1 + 2 + . . . + (n – 2) + (3n – 3) (n – 2)) + (1 + 2 + . . . + (n – 3 ) + (2n – 3) (n – 2)) + (1 + 2 + . . . + (n – 2) +(2n – 3) (n – 2)) + (1 + 2 + . . . + (n – 2) + (3n – 3)(n – 2)) = (28n – 29) + ( æç n - 1ö÷ + (3n – 3) (n - 2)) + ( æç n - 1ö÷ + (2n – 3) (n – 2)) ç 2 ÷ è ø
ç 2 ÷ è ø
+ ( æç n - 1ö÷ + (2n – 3) (n – 2)) + ( æç n - 1ö÷ + (3n – 3) (n – 2)) ç 2 ÷ è ø
ç 2 ÷ è ø
= (28n – 29) + 4 æç n - 1ö÷ + ((3n – 3) (n - 2) + (2n – 3) (n – 2) + ç 2 ÷ è ø
(2n – 3) (n – 2) + (3n – 3) (n - 2)) = (28n – 29) + 4 æç n - 1ö÷ + (n – 2) ((3n – 3) + (2n – 3) + (2n – 3) ç 2 ÷ è ø
+ (3n – 3)) = (28n – 29) + 4 æç n - 1ö÷ + (n – 2) (10n – 12) ç 2 ÷ è ø
= 4 æç n - 1ö÷ + (10n2 – 12n – 20n + 24) + (28n – 29) ç 2 ÷ è ø
= 4 æç n - 1ö÷ + (10n2 – 32n + 24) + (28n – 29) ç 2 ÷ è ø
= 4 æç n - 1ö÷ + 10n2 – 4n – 5. ç 2 ÷ è ø
xxxi
Lemma 4.2.4 Untuk semua bilangan bulat m = 5, n ≥ 4 berlaku, æ n - 1ö çç ÷÷ è 2 ø
valmax(F5,n) = 5
+ 16n2 – 9n – 1
Bukti. Misalkan graf firecracker F5,n mempunyai 5 pusat yaitu u, v, w,x dan y. Letak titik pusat berurutan dari kiri ke kanan. Masing–masing pusat adjacent dengan n–1 vertex. Pusat u adjacent dengan u1, u2,…, un-1, pusat v adjacent dengan v1, v2, … , vn-1, pusat w adjacent dengan w1, w2, …., wn-1, pusat x adjacent dengan x1, x2, …., xn-1. sedangkan pusat y adjacent dengan y1, y2, …., yn-1. Ilustrasi dari graf firecracker Fm,n dengan m = 5, n ≥ 4 dapat dilihat pada Gambar 4.4 u2
u1 v2
u
v
v1 w2 w1 x2
x1 y2
u2
y1 u3
u3
w v3
x w3
y3
w2
x2
v1 w3 w1 x3
u1 v3
y x3
v2
u
v
u4
v4
w w4
y2 x1 y3
y1
x
y
x4
y4
F5,5
F5,4 Gambar 4.4 Fm,n dengan m = 5, n ≥ 4
Ditentukan pelabelan maksimum γ dari graf firecracker Fm,n sebagai berikut f(u) = 0, f(v) =5n – 4, f(w) = 2, f(x) = 5n – 2, f(y)= 4, f(ui ) = 4n – 4 + i f(vj ) =
f(wk ) = f(xl ) =
, i = 1, 2, . . . , n -1,
(4.18) (4.19)
2n +1 – j , j = 1, 2, . . . , n – 2, 1
, j = n -1,
3n – 2 + k
, k = 1, 2, . . . , n – 2,
5n – 3
, k = n – 1,
4+l
, l = 1, 2, . . ., n – 2,
3
, l = n – 1,
2n + p
, p = 1, 2, . . ., n – 2,
5n – 1
, p = n – 1.
(4.20)
(4.21)
(4.22)
dan f(yp ) =
xxxii
(4.23)
Nilai maksimum F5,n
diperoleh berdasarkan Definisi 2.1.10 dan 2.1.11 dan
persamaan (4.18)- (4.23) sehingga valmax(F5,n) = val(f(un-1vn-1)) + val(f(vn-1wn-1))+ val(f(wn-1xn-1)) + val(f(uui))
+
val(f(vvj)) + val(f(wwk)) + val(f(xxl)) + val(f(yyp)) = ((4n – 4 + n – 1) – 1) + (5n – 3 – 1) + (5n – 3 – 3) + (5n – 1 – 3) + ((4n – 3 – 0) + (4n – 2 – 0) + . . . + (4n – 4 + n – 2 – 0) + (4n – 4 + n – 1 – 0)) + ((5n – 4 – 2n) + (5n – 4 – (2n – 1)) + (5n – 4 – (2n – 2)) + . . . + (5n – 4 - (n – 3)) + (5n – 4 – 1)) + ((3n – 1 – 2) + (3n – 2) + . . . + (4n – 4 – 2) + (5n – 3 – 2)) + ((5n – 2 – 5) + (5n – 2 – 6) + . . . + (5n – 2 – (n + 2)) + (5n – 2 – 3)) + ((2n + 1 – 4 ) + (2n + 2 - 4) + . . . + (3n – 2 – 4 ) + (5n – 1 – 4)) = (5n – 6) + (5n – 4) + (5n – 6) + (5n – 4) + ((4n – 3) + (4n – 2) + . . . + (5n – 6) + (5n – 5)) + ((3n – 4) + (3n – 3) + . . . + (4n – 7) + (5n – 5)) + ((3n – 3) + (3n – 2) + . . . + (4n – 6) + (5n – 5)) + ((5n – 7) + (5n – 8) + . . . + (4n – 4) + (5n – 5)) + ((2n – 3) + (2n – 2) + . . . + (3n – 6) + (5n – 5)) = (5n – 6) + (5n – 4) + (5n – 6) + (5n – 4) + (5n – 5) + (5n – 5) + (5n – 5) + (5n – 5) + (5n – 5) + ((4n – 3) + (4n – 2) + . . . + (5n – 6)) + ((3n – 4) + (3n – 3) + (3n – 2) + . . . + (4n – 7)) + ((3n – 3) + (3n – 2) + . . . + (4n – 6)) + ((5n – 7) + (5n – 8) + . . . + (4n – 4)) + ((2n – 3) + (2n – 2) + . . . + (3n – 6)) = 45 (n – 1) + ( 1+ 2 + …+ n – 2 + (4n – 4)(n – 2)) + (1 + 2 + … + (n – 2) + (3n – 5)(n - 2)) + (1 + 2 + . . . + (n – 2) + (3n – 4) (n – 2)) + (1 + 2 + . . . + (n – 2) + (4n – 5)(n – 2)) + (1 + 2 + . . . + (n – 2) + (2n – 4) (n – 2))
xxxiii
= 45 (n – 1) + ( æç n - 1ö÷ + (4n – 4) (n – 2)) + ( æç n - 1ö÷ + (3n – 5)(n - 2)) + ç 2 ÷ è ø
ç 2 ÷ è ø
( æç n - 1ö÷ + (3n – 4)(n – 2)) + ( æç n - 1ö÷ +(4n – 5)(n – 2)) + ç 2 ÷ è ø
ç 2 ÷ è ø
( æç n - 1ö÷ + (2n – 4) (n – 2)) ç 2 ÷ è ø
= 45(n – 1) + 5 æç n - 1ö÷ + (n – 2) (4n – 4 + 3n – 5 + 3n – 4 + 4n – 5 + ç 2 ÷ è ø
2n – 4 ) = 5 æç n - 1ö÷ + 16n2 – 22n – 32n + 44 + 45n – 45 ç 2 ÷ è ø
=5
æ n - 1ö çç ÷÷ è 2 ø
+ 16n2 – 9n – 1.
Teorema 4.2.6 Untuk semua bilangan bulat m ≥3, n = 2, berlaku valmax (Fm,2 )= (2m – 1)m +
æ mö çç ÷÷ è2ø
Bukti. Graf firecracker Fm,n adalah graf yang berasal dari rangkaian m star Sn dan n adalah banyaknya vertex pada star Sn , dengan menghubungkan salah satu daunnya untuk tiap–tiap star sehingga graf firecracker Fm,n mempunyai m pusat. Namun kasus khusus untuk graf firecracker Fm,n dengan n = 2, yang dianggap sebagai pusat adalah vertex dengan degree lebih besar sama dengan 2. Dalam hal ini berarti vertex tersebut adjacent dengan vertex yang menghubungkan dengan star yang lain. Ilustrasi dari firecracker Fm,n dengan m ≥ 3, n = 2 dapat dilihat pada Gambar 4.5 u1
v1
w1
u1
v1
w1
x1
u1
v1
w1
x1
y1
u
v
w
u
v
w
x
u
v
w F5,2
x
y
F3,2
F4,2 Gambar 4.5 Fm,n dengan m ≥ 3, n = 2
xxxiv
Jika f adalah pelabelan γ dari graf firecracker Fm,n maka rumusan umum nilai maksimum graf firecracker Fm,3 adalah sebagai berikut Pandang graf firecracker Fm,n dengan m = 3, n = 2. Misalkan graf firecracker F3,2 mempunyai 3 pusat yaitu u, v dan w. Pusat u terletak di sebelah kiri, pusat v terletak di tengah dan pusat w terletak di sebelah kanan. Masing–masing pusat adjacent dengan n–1 vertex, sehingga pusat u, v dan w adjacent dengan u1, v1 dan w1. Ditentukan pelabelan maksimum γ dari graf firecracker F3,2 sebagai berikut f(u) = m + 2, f(v) =0 , f(w) = m + 1,
(4.24)
f(ui) = 2
,i = 1,
(4.25)
f(vj) = m
, j = 1,
(4.26)
f(wk) = 1
, k = 1.
(4.27)
Persamaan (4.32) diperoleh berdasarkan Definisi 2.1.10 dan 2.1.11 dan persamaan (4.24)-(4.27) sehingga valmin(F3,2) adalah valmax(F3,2) = val(f(uv)) + val(f(vw)) + val(f(uui )) + val(f(vvj )) + val(f(wwk )) = (m + 2 – 0) + (m + 1 – 0) + (m + 2 – 2) + (m – 0) + (m + 1 – 1) = (m + 2) + (m + 1) + m + m + m = 5m + 3.
(4.28)
Pandang graf firecracker Fm,n dengan m = 4, n = 2. Misalkan graf firecracker F4,2 mempunyai 4 pusat yaitu u, v, w dan x. Pusat u terletak di sebelah kiri, pusat v dan pusat w terletak di tengah sedangkan pusat x terletak di sebelah kanan. Masing– masing pusat adjacent dengan n–1 vertex, sehingga pusat u, v, w dan x adjacent dengan u1,v1,w1 dan x1. Pelabelan maksimum γ dari graf firecracker F4,2 ditentukan sebagai f(u) = m+ 3, f(v) = 0, f(w) = m + 2, f(x) = 1,
(4.29)
f(ui) = 3
, i = 1,
(4.30)
f(vj) = m
, j = 1,
(4.31)
f(wk) = 2
,k = 1,
(4.32)
f(xl) = m + 1
, l = 1.
(4.33)
xxxv
Persamaan (4.33) diperoleh dari (4.29)-(4.32) dan mengacu pada Definisi 2.1.10 dan 2.1.11 sehingga valmax(F4,2) =
val(f(uv)) + val(f(vw)) + val(f(wx))+ val(f(uui)) + val(f(vvj)) + val(f(wwk)) + val(f(xxl))
= (m + 3 – 0) + (m + 2 – 0) + (m + 2 – 1)+ (m + 3 – 3) + (m – 0) + ( m + 2 – 2) + (m + 1 – 1) = (m + 3 ) + (m + 2) + (m + 1) + m + m + m + m = 7m + 6.
(4.34)
Pandang graf firecracker Fm,n dengan m = 5, n = 2. Misalkan graf firecracker F5,2 mempunyai 5 pusat yaitu u, v, w, x dan y. Pusat u dan pusat v terletak di sebelah kiri, pusat w terletak di tengah sedangkan pusat x dan y terletak di sebelah kanan. Masing –masing pusat adjacent dengan n–1 vertex, sehingga pusat u, v, w, x dan y adjacent dengan u1,v1,w1, x1 dan y1. Pelabelan maksimum γ dari graf firecracker F5,2 ditentukan sebagai f(u) = m + 4, f(v) = 0, f(w) = m + 3, f(x) = 1, f(y)= m + 2,
(4.35)
f(ui) = 4
, i = 1,
(4.36)
f(vj) = m
, j = 1,
(4.37)
f(wk) = 3
, k = 1,
(4.38)
f(xl) = m + 1
, l = 1,
(4.39)
f(yp)= 2
, p = 1.
(4.40)
Nilai maksimum F5,2 diperoleh dari persamaan (4.35)-(4.40) dan berdasarkan Definisi 2.1.10 dan 2.1.11 valmax(F5,2) = val(f(uv)) + val(f(vw)) + val(f(wx))+ val(f(uui )) + val(f(vvj )) + val(f(wwk )) + val(f(xxl )) = (m + 4 – 0) + (m + 3 – 0) + (m + 3 – 1)+ (m + 2 – 1) + (m + 4 – 4) + (m - 0) + (m + 3 – 3) + ( m + 1 – 1) + (m + 2 – 2) = (m + 4 ) + (m + 3) + (m + 2) + (m + 1) + m + m + m + m + m = 9m + 10.
(4.41)
xxxvi
Berdasarkan persamaan (4.28), (4.34) dan (4.41) diperoleh valmax(Fm,2) dengan m ≥ 3, n=2 valmax(F3,2) = 5m + 3 valmax(F4,2) = 6m + 6 valmax(F5,2) = 9m + 10
valmax(Fm,2) = (2m – 1) m +
æ mö çç ÷÷ è2ø
Dengan demikian teorema terbukti. Teorema 4.2.7 Untuk semua bilangan bulat m ≥ 3, n = 3 berlaku, valmax(Fm,3) = (5m – 2) m +
æ mö çç ÷÷ è2ø
Bukti. Graf firecracker Fm,n adalah graf yang berasal dari rangkaian m star Sn dan n adalah banyaknya vertex pada star Sn , dengan menghubungkan salah satu daunnya untuk tiap – tiap star sehingga graf firecracker Fm,n mempunyai m pusat. Ilustrasi dari firecracker Fm,n dengan m ≥ 3, n = 3 dapat dilihat pada Gambar 4.6 u2 u
v2 v
u1
w2 w
v1 F3,3
u2 u
w1
v2 v
u1
w2 w
u2
x2 u
x
v1 w1 F4,3
x1
v2 v
u1
w2 w
v1
x2 x
w1
y2 y
x1
y1
F5,3
Gambar 4.6 Fm,n dengan m ≥ 3, n = 3 Jika f adalah pelabelan γ dari graf firecracker Fm,n maka rumusan umum nilai maksimum graf firecracker Fm,3 adalah sebagai berikut Pandang graf firecracker Fm,n dengan m = 3, n = 3. Misalkan graf firecracker F3,3 mempunyai 3 pusat yaitu u, v dan w. Pusat u terletak di sebelah kiri, pusat v terletak di tengah dan pusat w terletak di sebelah kanan. Masing–masing pusat adjacent
xxxvii
dengan n–1 vertex. Pusat u adjacent dengan u1 dan u2, pusat v adjacent dengan v1 dan v2 sedangkan pusat w adjacent dengan w1 dan w2. Pelabelan maksimum γ dari graf firecracker F3,3 ditentukan sebagai f(u) = 1, f(v) = 2m, f(w) = 2, f(ui ) =
f(vj ) =
m+1
, i = 1,
2m + 1
, i= n – 1,
m
, j = 1,
0
, j = n -1,
(4.42)
(4.43)
(4.44)
dan f(wk) =
m+2
, k = 1,
2m + 2 , k = n – 1.
(4.45)
Berdasarkan Definisi 2.1.10 dan 2.1.11 dan persamaan (4.42)-(4.45) diperoleh valmax(F3,3) adalah valmax(F3,3) = val(f(un-1vn-1)) + val(f(vn-1wn-1)) + val(f(uui)) + val(f(vvj)) + val (f(wwk)) = ( 2m +1 – 0) + (2m + 2 – 0) +((m + 1 – 1) + (2m + 1 – 1)) + ((2m – m)+ (2m – 0)) + ((m + 2 – 2) + (2m + 2 – 2)) = (2m + 1) + (2m + 2) + m + 2m + m + 2m + m + 2m = 13m + 3.
(4.46)
Pandang graf firecracker Fm,n dengan m = 4, n = 3. Misalkan graf firecracker F4,3 mempunyai 4 pusat yaitu u, v, w dan x. Pusat u terletak di sebelah kiri, pusat v dan pusat w terletak di tengah sedangkan pusat x terletak di sebelah kanan. Masing– masing pusat adjacent dengan n–1 vertex. Pusat u adjacent dengan u1 dan u2, pusat v adjacent dengan v1 dan v2, pusat w adjacent dengan w1 dan w2 sedangkan pusat x adjacent dengan x1 dan x2. Ditentukan pelabelan maksimum γ dari graf firecracker F4,3 sebagai berikut f(u) = 3, f(v) = 2m, f(w) = 2, f(x) = 2m + 1, f(ui ) =
m+3
, i = 1,
2m+ 3
, i = n – 1,
xxxviii
(4.47)
(4.48)
f(vj ) = f(wk) =
m
, j = 1,
0
, j = n -1,
m+2
, k = 1,
2m + 2
,k = n – 1,
(4.49)
(4.50)
dan f(xl ) =
m+ l
, l = 1,
1
,l = n -1.
(4.51)
Berdasakan persamaan (4.47)-(4.51) dan mengacu pada Definisi 2.1.10 dan 2.1.11 diperoleh valmax(F4,3) adalah valmax(F4,3) = val(f(un-1vn-1)) + val(f(vn-1wn-1)) + val(f(wn-1xn-1))+ val(f(uui)) + val(f(vvj)) + val (f(wwk)) + val (f(xxl)) = ( 2m + 3 – 0) + (2m + 2 – 0) + (2m + 2 – 1)+((m + 3 – 3) + (2m + 3 – 3)) + ((2m – m)+ (2m – 0)) + ((m + 2 – 2) + (2m + 2 – 2))+ ((2m + 1 – 1) + (2m + 1 – (m + 1))) = (2m+ 3) + (2m + 2) + (2m + 1) + (m + 2m) + (m + 2m) + (m + 2m) + (2m + m) = 18m + 6.
(4.52)
Pandang graf firecracker Fm,n dengan m = 5, n = 3. Misalkan graf firecracker F5,3 mempunyai 5 pusat yaitu u, v, w, x dan y. Pusat u dan pusat v terletak di sebelah kiri, pusat w terletak di tengah sedangkan pusat x dan y terletak di sebelah kanan. Masing – masing pusat adjacent dengan n–1 vertex. Pusat u adjacent dengan u1 dan u2, pusat v adjacent dengan v1 dan v2, pusat w adjacent dengan w1 dan w2 ,pusat x adjacent dengan x1 dan x2 sedangkan pusat y adjacent dengan y1 dan y2. Ditentukan pelabelan maksimum γ dari graf firecracker F5,3 sebagai berikut f(u) = 4, f(v) = 2m, f(w) = 3, f(x) = 2m + 1, f(y) = 2, f(ui ) =
f(vj ) =
m+4
jika i = 1,
2m + 4
jika i = n – 1,
m
jika j = 1,
0
jika j = n – 1 ,
xxxix
(4.53)
(4.54)
(4.55)
f(wk) =
f(xl ) =
m+3
jika k = 1,
2m + 3
jika k = n – 1,
m+ l
jika l = 1,
1
jika l = n – 1,
m+2
jika p = 1,
2m + 2
jika p = n – 1.
(4.56)
(4.57)
dan f(yp ) =
(4.58)
Persamaan (4.59) diperoleh berdasarkan Definisi 2.1.10 dan 2.1.11 dan persamaan (4.53)-(4.58) sehingga valmax(F5,3) = val(f(un-1vn-1)) + val(f(vn-1wn-1)) + val(f(wn-1xn-1))+ val(f(uui)) + val(f(vvj)) + val(f(wwk)) + val(f(xxl)) = ( 2m + 4 – 0) + (2m + 3 – 0) + (2m + 3 – 1)+ (2m + 2 – 1) + ((m + 4 – 4) + (2m + 4 – 4))+ ((2m – m)+ (2m – 0)) + ((m + 3 – 3) + (2m +3 – 3)) + ((2m + 1 – (m + 1))+ (2m + 1 – 1)) + ((m + 2 – 2) + (2m + 2 – 2)) = (2m+ 4) + (2m+ 3) + (2m + 2) + (2m + 1) + (m + 2m) + (m + 2m) + (m + 2m) + (m + 2m) + (m + 2m) = 23m + 10.
(4.60)
Berdasarkan (4.46), (4.52) dan (4.60) maka dapat diperoleh bentuk umum valmax(Fm,3) valmax(F3,3) = 13m + 3 valmax(F4,3) = 18m + 6 valmax(F5,3) = 23m + 10
valmax(Fm,3) = (5m – 2)m + Dengan demikian teorema terbukti.
BAB V
xl
æ mö çç 2 ÷÷ è ø
PENUTUP
5.1
Kesimpulan
Berdasarkan uraian pada pembahasan, maka kesimpulan yang dapat diambil adalah sebagai berikut 1. Nilai minimum dari pelabelan γ pada graf firecracker Fm,n n+1 2m æç 2 ö÷ + (m – 2)n + 1 , untuk n ganjil
valmin(Fm,n) =
ç è
2
÷ ø
n n m æç2+1ö÷ + m æç 2 ö÷ + (m – 2) + 1, untuk n genap
ç2÷ è ø
ç2÷ è ø
2. Nilai maksimum dari pelabelan γ pada graf firecracker Fm,n 2 3 4
valmax(Fm,n) = 5
( ( ( (
) ) ) )
n -1 2
+ 2n2 – 3
, m = 2, n ≥ 4
n -1 2
+5n2 -8
, m = 3, n ≥ 4
n -1 2
+ 10n2 – 4n – 5 , m = 4, n ≥ 4
n -1 2
+ 16n2 – 9n – 1 , m = 5, n ≥ 4
(2m – 1)m + (5m – 2) m +
5.2
() () m 2
, m ≥ 3, n = 2
m 2
, m ≥ 3, n = 3
Saran
Penelitian mengenai pelabelan γ masih dapat dikembangkan lagi. Bagi pembaca yang tertarik dengan topik ini, penulis memberikan saran agar pembaca dapat mengembangkan pelabelan γ untuk kelas graf firecracker Fm,n yang berlaku untuk sembarang m,n karena untuk nilai maksimum dari graf firecracker Fm,n dengan n ≤ 3 dan n ≥ 4 belum dapat digeneralisasikan.
30
xli
DAFTAR PUSTAKA [1]
Chartrand, G, Introductory of Graph Theory, Western Michigan University, Dover Publications Inc., New York, 1977.
[2]
Chartrand, G , D.Erwin, D.W.VanderJagt, and P.Zhang, γ-labeling of graphs, Western Michigan University, 2005.
[3]
Chartrand, G. and Oellermann, O. R., Applied and Algorithmic Graph Theory, McGraw Hill Inc., New York, 1993.
[4]
Chartrand, G. and Lesniak, L., Graphs and Digraphs, second ed, Wadsworth Inc., California, 1979
[5]
Chen, W. C.; Lü, H. I.; and Yeh, Y. N. "Operations of Interlaced Trees and Graceful Trees." Southeast Asian Bull. Math. 21, 337-348, 1997.
[6]
Gallian, J. "Dynamic Survey of Graph Labeling." Electronic Journal of Combinatorics 14, No. DS6, Jan. 3, 2007.
[7]
Harary, F, Graph Theory, Addison-Wesley Publishing company Inc., Canada, 1969.
[8]
Pemmaraju, S. and Skiena, S. "Cycles, Stars, and Wheels." §6.2.4 in Computational Discrete Mathematics: Combinatorics and Graph Theory in Mathematica. Cambridge, England: Cambridge University Press.
[9]
Tutte, W. T. Graph Theory. Cambridge, England: Cambridge University Press, 2005.
[10]
Wallis, W.D., Magic Graphs, Birkhausser, Boston, 2001 .
.
31 xlii
