Nilai Maksimum dan Minimum Sebuah Fungsi

Nilai  Maksimum  dan  Minimum   Sebuah  Fungsi  

Persoalan  Maks-­‐Min  =  Persoalan  Ti9k  Belok   l 

Yang  dimaksud  “99k  belok”  adalah  berubahnya  nilai  kemiringan,  slope  atau   turunan  pertama  fungsi  dari  plus  ke  minus  atau  sebaliknya.  

l 

Jika  slope  berubah  dari  plus  ke  minus,  maka  pada  99k  perubahan  tersebut   yang  mempunyai  slope  nol  adalah  nilai  maksimum,  

l 

Jika  sebaliknya,  maka  99k  perubahan  tersebut  adalah  99k  minimum   y’’(x)  <  0,  cembung   y’’(x)  >  0,  cekung  

Ti9k  Belok  /  Turning  Point   l 

Pada  99k  belok,  nilai  fungsi  lebih  9nggi  (maks)  atau  lebih  rendah  (min)  dari   nilai  di  sekirarnya.  Sifat  nilai  maks  dan  min  ini  merupakan  sifat  yang  berlaku   lokal  saja  (maksimum  lokal  dan  minimum  lokal)  

l 

Dimungkinkan  pada  fungsi  tersebut  di  tempat  lain  mempunyai  nilai  yang   lebih  9nggi  (maks)  atau  lebih  rendah  (min).  

l 

   

Maksimum  lokal  

Ada  yg  lebih  9nggi  di  sini  

Parameter  Ciri  Ti9k  Belok   l 

Terjadi  pada  bagian  fungsi  yang  menerus  (con9nous)  

l 

Ti9k  belok,  pada  fungsi  dengan  turunan  pertama  menerus  (differen'able),   sesuai  definisi  di  atas,  adalah  tempat  dengan  mempunyai  kemiringan  nol.  

l 

Pada  fungsi  menerus  dengan  turunan  pertama  9dak  menerus,  ciri  tersebut   menjadi:   l 

   

max : lim x→a− y' ( x ) > 0 & lim x→a+ y' ( x ) < 0

l 

 min   : lim

x→a−

y' ( x ) < 0 & lim x→a+ y' ( x ) > 0 a  

Contoh   l 

Dimanakah  letak  99k  belok  fungsi  berikut  dan  apakah  jenis  99k  belok   tersebut  ?   y = x 2 − 6x + 3

l 

Jawab:     l  l 

Dari  grafik  99k  belok  merupakan  99k  minimum   Karena  y’  menerus  pada  99k  belok,  maka    

y' = 2x − 6 = 0,

∴x = 3

y = 32 − 6 (3) + 3 = −6

l  l 

Ti9k  belok  di  (3,-­‐6)   Karena  y’’(3)  =  2  >  0,  maka  99k  belok  =  99k  minimum  

La9han   l 

Cari  99k  belok  pada  fungsi  berikut  dan  tentukan  jenisnya  

Fungsi  Naik  dan  Fungsi   Turun  

Fungsi  meningkat  (naik)  dan  fungsi   menurun  (turun)   l 

Fungsi  naik  adalah  fungsi  dengan  y  menjadi  lebih  besar  jika  x  lebih  besar   (nilai  turunan  fungsi,  y’  >  0,  non-­‐nega9f,  untuk  semua  x)  

l 

Fungsi  turun  adalah  fungsi  dengan  y  menjadi  lebih  kecil  jika  x  lebih  besar   (nilai  turunan  fungsi,  y’  <  0,  non-­‐nega9f,  untuk  semua  x)  

l 

Fungsi  strictly  naik  à  y’  >  0  untuk  semua  x,  

l 

Fungsi  strictly  turun  à  y’  <  0  untuk  semua  x.  

Contoh  grafiknya  

Fungsi  naik  

Fungsi  strictly  naik  

La9han   l 

Sebuah  perahu  membawa  peluru  emergensi.  Pada  saat  emergensi  peluru   tersebut  dapat  ditembakkan  keatas  dan  akan  meledak  setelah  k  de9k.  Tinggi   peluru  tersebut  setelah  mulai  ditembakkan  adalah  h  =  60t  –  5t2  dengan  t   adalah  waktu  dalam  de9k  yang  dihitung  dari  saat  mulai  ditembakkan.     l  l  l  l 

Berapakah  9nggi  maksimum  peluru  tersebut  ?   Kapan  peluru  tersebut  mencapai  9nggi  maksimum  ?   Pada  t  berapa  posisi  peluru  bergerak  keatas  ?   Untuk  keamanan  peluru  diledakkan  pada  ke9nggian  lebih  dari  100  m.  pada  kisaran   berapakah  nilai  k  supaya  peledakan  aman  ?    

Kurva  Cembung,  Kurva   Cekung,  Ti9k  Stasioner   dan  Ti9k  Balik     Inflec9on  point  

Kurva  Cembung  dan  Kurva  Cekung   l 

Kurva  atau  bagian  kurva  dikatakan  cembung,  jika  y”  <  0  

l 

Kurva  atau  bagian  kurva  dikatakan  cekung,  jika  y”  >  0  

Ti9k  Stasioner   l 

Ti9k  stasioner  adalah  99k  pada  kurva   dengan  slope  nol  (datar),  y’(x)  =  0  

l 

Ti9k  maksimum  dan  minimum  lokal   adalah  salah  satu  (dua)  dari  99k   stasioner  (99k  belok).  

l 

Selain  itu,  99k  stasioner  dapat  berupa   99k  balik  (inflec'on  point).  Pada  99k   balik  kelengkungan  berubah  dari   cembung  ke  cekung  atau  sebaliknya.  

l 

   

Ti9k  Balik   l 

Ti9k  balik  adalah  99k  dimana  kelengkungan  berubah  dari  cembung  (nega9f)   menjadi  cekung  (posi9f)  atau  sebaliknya,  dengan  y”(x)  =  0.  

l 

Ti9k  balik  dapat  berupa  99k  stasioner  namun  dapat  pula  bukan  99k   stasioner.  Tidak  semua  99k  dengan  y”(x)  =  0  adalah  99k  balik.  

Kasus  Tidak  Tentu  pada  y’(x)  =  y”(x)  =  0   l 

Terjadi  pada  fungsi  pangkat  4  

y = x 4 ; y' ( 0 ) = 0; y"( 0 ) = 0 → min

3

y = ( x −1) ; y' ( 0 ) = 0; y"( 0 ) = 0 → titik balik

Asimtot  

Definisi   l 

Asimtot  adalah  garis  lurus/  linier  yang  mana  sebuah  fungsi  mendeka9nya   sangat  dekat  (jaraknya  mendeka9  nol)    pada  nilai  x  tertentu  namun  9dak   menyentuh  atau  berpotongan  pada  99k  tersebut    

Mencari  asimtot  suatu  fungsi  dalam  bentuk   pembagian  (ra'onal  func'on)   l 

y  =  1/x  à  asimtot  horisontal  garis  y  =  0  dan  asimtot  ver9kal  garis  x  =  0   y   garis  x  =  0   fungsi  y  =  1/x  

garis  y  =  0  

x  

Mencari  Asimtot  Ver9kal   l 

Sebuah  fungsi  rasional  dapat  mempunyai  seberapa  saja  asimtot  ver9kal  

l 

Garis  asimtot  ver9kal  pada  nilai  denumerator  nol   y  =  1/x  à  asimtot  x  =  0   y  =  (x  +  2)/(x  +  3)  à  x  =  -­‐3  

Asimtot  à  

Mencari  Asimtot  Horisontal  

l 

Sebuah  fungsi  rasional  dapat  mempunyai  maksimum  2  asimtot  horisontal   Asimtot  horisontal  ada  jika  pangkat  terbesar  denumerator  lebih  besar  atau  sama   dengan  pangkat  terbesar  numerator   Pilih  suku  dominan  /  dengan  pangkat  terbesar  pada  nominator  dan  denominator  

l 

Suku  lain  akan  9dak  berar9  saat  x  bernilai  sangat  besar    

l 

Contoh:  

l 

Pada  x  sangat  besar,  y  akan  mendeka9  2/3     à  asimtot  horisontal  y  =  2/3  

l  l 

l 

Mencari  Asimtot  Horisontal   l 

Menggunakan  limit  x  à  +  takterhingga  

Jadi  à  

Asimtot  Miring  (Oblique  /  Slant)   Jika  pangkat  terbesar  numerator  lebih  besar  dari  pangkat  terbesar   denumerator     l  Sebuah  fungsi  hanya  dapat  mempunyai  maksimum  2  asimtot  horisontal   atau  miring.   l  Asimtot  miring  dapat  dicari  dengan  pembagian  untuk  membentuk   persamaan  garis  lurus  terutama  jika  x  sangat  besar.   l  Contoh:   l 

Jika  x  takterhingga,  suku  terakhir   mendeka9  nol   Asimtot  à  

Contoh:   l 

Fungsi    

Asimtot  à    y  =  -­‐  3x  -­‐  3  

Prosedur  Mencari  Asimtot   l 

ini  

La9han:   l 

Cari  asimtot