PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW
KADAR STEVIOSIDA MAKSIMUM PADA WAKTU DAN MASSA YANG MINIMUM H.A. Parhusip dan Y. Martono Center of Applied Science and Mathematics Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana hannaariniparhusip@ yahoo.co.id ABSTRAK Kadar steviosida maksimum pada waktu dan massa minimum dijelaskan pada makalah ini. Beberapa hasil pengukuran laboratorium diformulasikan dalam model fungsi kuadratik 2 peubah (waktu dan massa). Fungsi ini dipilih karena secara teoritis mempunyai peminimum (nilai waktu dan massa minimum yang meminimumkan fungsi tujuan). Karena yang dikehendaki adalah kadar steviosida maksimum maka problem diubah menjadi masalah minimax dalam optimasi. Fungsi leastsquare pada MATLAB 6.5 digunakan untuk mencari parameter pada fungsi kuadratik. Data dinyatakan dalam bentuk takberdimensi terlebih dahulu dengan membagi setiap data dalam 1 variabel dengan maksimumnya. Setelah dianalisa, maka diperoleh bahwa pada sekitar 2.5 hari dan massa 260.89gr diperoleh 0.05 (prosentase kadar steviosida) maksimum. Keywords: minimax, leastsquare, steviosida.
PENDAHULUAN Steviosida adalah suatu pemanis rendah kalori sebagai hasil ekstrasi dari daun Stevia rebaudiana Bertoni yang dinyatakan aman bagi penderita penyakit diabetes maupun yang mengalami obesitas (Web 1). Karena sifat alami pemanis ini (stevioside and cyclamate-saccharin) maka pengembangan produksi steviosida terus diupayakan. Beberapa kandungan anorganik pada pemanis inipun menjadi kajian peneliti [1]. untuk dapat kemudian diproduksi secara komersial. Selain itu proses adsorpsi steviosida dari campuran ekstrasi pada XAD-7 pada keadaan ekuilibrium diamati [2] termasuk pengaruh pH dan suhu dipelajari pada tulisan tersebut. Steviosida juga dinyatakan tidak mengganggu pertumbuhan dan fertilitas yang dibuktikan pengujiannya pada hamster [3]. Karena berbagai manfaat maupun akibat penggunaan steviosida berdampak positif, maka penulis melakukan penelitian tentang pengembangan steviosida yang pada masa yang akan dating dapat diproduksi massal hingga dapat dikonsumsi oleh masyarakat. Untuk itu perlu diketahui hubungan massa yang digunakan untuk ekstrasi steviosida sehingga dapat diperoleh hasil yang optimal. Paper ini menjelaskan tentang hubungan tersebut dengan data hasil pengukuran pada Laboratorium Kimia Fakultas Sains dan Matematika Januari-Maret 2011. Data hasil pengukuran ditunjukkan pada Tabel 1. Sebagai permulaan pendekatan maka data kadar steviosida (S) sebagai fungsi hari (t) dan massa (m), atau ditulis S = f(t,m) = S(t,m) . Kita dapat memformulasikan masalah mencari waktu dan massa minimal untuk S yang optimal. Oleh karena itu waktu dan massa minimal sebutlah ( x * (t * , m* )T (dengan T menyatakan transpose) maka kita mempunya masalah optimasi . Kasus optimasi yang diperlukan adalah memaksimalkan S dengan waktu dan massa yang minimal.
645
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW
Secara umum dapat ditulis
min max S ( x ) . x
(*)
S
Tabel 1. Hasil pengukuran kadar steviosida (%) dalam massa dan waktu yang ditetapkan kadar steviosida (%) Massa hari 50
0
0,38
100
0
0,10
200
0
0,04
300
0
0,04
50
2
0,28
100
2
0,33
200
2
0,10
300
2
0,07
50
4
0,76
100
4
0,20
200
4
0,15
300
4
0,06
50
6
0,45
100
6
0,27
200
6
0,14
300
6
0,11
Dalam optimasi hal ini disebut minimax problem atau dapat ditulis menentukan peminimal x * sehingga S(t,m) optimaldengan kendala t 0 , m 0 .Pada literatur optimasi [4] seringkali S(t,m) telah diketahui sehingga teori optimasi dapat langsung digunakan. Karena pada makalah ini data masih diskrit, maka kita perlu memilih suatu fungsi kontinu yang dianggap tepat untuk merepresentasikan data Tabel 1. Hal inilah yang akan dibahas pada makalah ini. Model Steviosida sebagai fungsi massa dan waktu
Diketahui bahwa fungsi yang strictly convex yang menjamin peminimum x * ada. Adapun definisi tersebut ditunjukkan pada Teorema berikut ini tanpa menunjukkan bukti untuk penyederhanaan. Teorema 1[4] Anggap bahwa f (x ) fungsi yang mempunyai derivatif pertama parsial yang kontinu pada suatu himpunan convex D R n , maka (a) Fungsi f (x ) dikatakan convex jika dan hanya jika f ( x ) f ( x ) ( y x ) f ( y ) , untuk semua x, y D .
(b) Fungsi jika dan f (x ) dikatakan strictly convex f ( x ) f ( x ) ( y x ) f ( y ) , untuk semua x, y D dengan x y .
hanya
jika
Telah diketahui pula [4] bahwa fungsi kuadratik multivariabel mempunyai sifat konveks dan fungsi ini jelas mempunyai peminimum. Oleh karena itu dipilih model kuadratik (1) S (t , m) (t ) 2 (m ) 2 := S model dengan , ditentukan dari data. Agar peminimum terjamin ada, maka , harus ditentukan dengan memenuhi kondisi pada Teorema 1. Artinya, kondisi (a-b) dapat digunakan sebagai kendala dalam menemukan , .
646
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW
Akan tetapi hal ini menjadi terlalu sulit pada awal pembahasan. Untuk mempermudah kita hanya mencari , berdasarkan data tanpa menggunakan kondisi tersebut. Jadi , dapat dicari dengan prosedur fitting atau interpolasi nonlinear. Secara sederhana ide interpolasi atau fitting tersebut adalah meminimalkan kuadrat residu sebagaimana dinyatakan oleh least square [5] yaitu 2
Minimumkan R , S i ,data S i ,mod el = S i ,data ti 2 (mi ) 2 n
i 1
n
. 2
(2)
i 1
Sebagaimana prosedur dalam kalkulus, titik kritis R , diperoleh harus memenuhi kondisi
R 0 . Secara detail berarti
R R R
T
=
0 . Tiap elemen vektor dari
T
R R R adalah
n R 2 2 Si ,data ti (mi ) 2 2ti i 1 n n n 3 4 Si ,data ti ti (mi )2 ti 0. i 1 i 1 i 1
Demikian pula
(3a)
n R 2 2 Si ,data ti (mi ) 2 2(mi ) i 1
n n n 2 (3b) 4 Si ,data (mi ) ti (mi ) (mi )3 0. i 1 i 1 i 1 Kedua persamaan (3a-3b) itulah yang perlu diselesaikan dan merupakan sistem persamaan nonlinear homogen. Ada beberapa algoritma yang dapat digunakan tetapi pada makalah ini kita menggunakan fungsi lsqnonlin.m yang telah disediakan oleh MATLAB 6.5.
METODE PENELITIAN 1. Menyatakan data dalam bentuk tak berdimensi Perlu diperhatikan bahwa teori diberikan secara umum yang artinya bebas dari dimensi. Oleh karena itu agar analisa dapat dilakukan dengan benar, maka data perlu ditulis tak berdimensi. Data dinyatakan dalam bentuk tak berdimensi dengan cara membagi setiap data tiap kolom dengan maksimum tiap kolom. Jika t dan m menyatakan masing-masing waktu dan massa yang berdimensi maka t , m , S (4) t m S t Re f
mRe f
S Re f
menyatakan variabel waktu dan massa yang tak berdimensi dengan t Re f , mRe f , S Re f masingmasing menyatakan referensi waktu, referensi massa dan referensi kadar steviosida. Pada makalah ini kita menggunakan data referensi adalah maksimum data. 2. Memilih fungsi kontinu untuk menyatakan data kadar steviosida sebagai fungsi waktu dan massa serta mencari parameter dengan menggunakan least square. Fungsi yang dipilih adalah fungsi kuadratik pada persamaan (1) dan nilai parameter dicari dengan menyelesaikan sistem persamaan nonlinear (3a-3b). 3. Jika nilai parameter telah diperoleh, maka perlu dicari S dengan t dan m minimal. 4. Menyatakan waktu, massa dan S yang optimal dalam bentuk berdimensi menggunakan persamaan (4). 5. Mengevaluasi model (1) dan mengupdate model menjadi model (1’). 647
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW
HASIL DAN PEMBAHASAN Pendekatan pertama Dengan menggunakan fungsi lsqnonlin.m pada MATLAB 6.5 kita dapat menentukan parameter , dan diperoleh 0.4295, =0.8194. Artinya , data dalam bentuk tak berdimensi dapat dinyatakan sebagai S (t , m) (t 0.4295) 2 (m 0.8194) 2 . Fungsi ini diilustrasikan dan perbandingannya dalam Tabel 2 dan Gambar 1. Tabel 2. Hasil data (kolom 1) dan pendekatan (kolom 2 untuk kadar steviosida 0.5000
0.6105
0.1316 0.4207 0.0526 0.2078 0.0526 0.2171 0.3684 0.4353 0.4342 0.2455
Gambar 1.perbandingan pengukuran dan hasil pendekatan kadar steviosida
0.1316 0.0326 0.0921 0.0419 1.0000 0.4822 0.2632 0.2925 0.1974 0.0796 0.0789 0.0889 0.5921 0.7515
Gambar 2. Ilustrasi
S (t , m) (t 0.4295) 2 (m 0.8194) 2
0.3553 0.5617 0.1842 0.3488 0.1447 0.3581
Dalam bentuk 3 dimensi fungsi S yang diperoleh dapat diilustrasikan dengan menggunakan MAPLE dan ditunjukkan pada Gambar 2. Fungsi yang dipilih merupakan fungsi kuadratik yang secara teoritis jelas merupakan fungsi konveks. Untuk menyelidiki hal ini sebagaimana dinyatakan dalam dasar teori kita perlu menunjukkan sifat fungsi S Untuk menggunakan Teorema 1 kita perlu mencari S yaitu T S S T S 2(t ) 2(m ) . t m
Dari hasil penyelidikan melalui program maka Teorema 1 berlaku bahwa fungsi S konveks sehingga terjamin adanya peminimum.
648
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW
Selain itu kita perlu mempelajari Hessian S, diperoleh H t S S 2S 2
2S tm
2
tm
2S m 2
2 0 yang jelas 0 2
positive definite (matriks mempunyai nilai eigen positif) sehingga titik kritis sebagai peminimum global. Titik kritis dapat dengan mudah diperoleh yaitu kita menggunakan kondisi S S T T . Hal ini terjadi untuk t*= S 2(t ) 2( x ) 0 0 t x T
0.4295 dan
m*= =0.8194. Dalam bentuk dimensi sebutlah berturut turut ( t * , m * ) dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan (4) yaitu t * t *tmaksimum 0.4295 x 6 hari = 2.5771 hari dan
m * = m* mmaksimum =0.8194x300gr=245.8084gr.
Hasil yang diperoleh juga merupakan peminimum global karena matriks Hessian berlaku positive definite untuk sembarang (t,m) karena tidak tergantung (t,m). Secara aplikasi hal ini berarti berapapun pengukuran yang dilakukan maka nilai peminimal t*= , m*= . Sedangkan nilai peminimal yang berdimensi tergantung dari maksimum data yang digunakan sebagai referensi. Untuk S optimal dapat diperoleh dengan mensubstitusikan nilai t*= , m*= . (masih dalam bentuk tak berdimensi). Akan tetapi jelas diperoleh S * 0 . Hal ini tidak benar secara aplikatif sekalipun benar secara teoritis. Oleh karena itu model perlu dimodifikasi yang tidak mengijinkan S = 0 pada setiap t,m. Pendekatan kedua Kita dapat memodifikasi model (1) menjadi (1’) S (t , m) (t ) 2 (m ) 2 := S model dengan , , ditentukan dari data. Artinya, dengan least square sebagaimana telah dijelaskan di depan perlu diselesaikan masalah 2
Minimumkan R , , S i , data S i , mod el = S i , data t i 2 (mi ) 2 n
i 1
n
i 1
. 2
(5a)
Dengan prosedur yang sama pada pendekatan pertama maka kita perlu menyelesaikan n n n R n 3 4 S i ,data t i t i (mi ) 2 t i t i 0. i 1 i 1 i 1 i 1
(5b)
n n n R n 4 Si ,data (mi ) (ti ) 2 (mi ) (mi ) 3 (mi ) 0. i 1 i 1 i 1 i 1
(5c) n n R n 2 S i ,data (ti ) 2 (mi ) 2 n 0. i 1 i 1 i 1 Diperoleh nilai parameter yaitu
(5d)
, , T = (0.4201, 0.8696,- 0.0688)T.
Dengan parameter ini, kita dapat menuliskan (1’) sebagai S (t, m) (t 0.4201) 2 (m 0.8696) 2 0.0688 := S model. Fungsi ini diilustrasikan pada Gambar 3.
(6)
649
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW
S (t, m) (t 0.4201) 2 (m 0.8696) 2 0.0688 . Selanjutnya fungsi persamaan (6) kita substitusikan pada problem (*) yang kemudian kita perlu menyelesaikan (*). Titik kritis dapat dengan mudah diperoleh yaitu kita menggunakan kondisi Gambar 3. Ilustrasi fungsi
S S T T S 2(t ) 2(m ) 0 0 . Hal ini terjadi untuk t*= 0.4201 dan t m m*= =0.8696. Dalam bentuk dimensi dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan (4) T
yaitu
t * t *tmaksimum 0.4201 x 6 hari = 2.5207 hari dan m * = m* mmaksimum =0.8696x300gr=260.89gr.
Sehingga nilai minimal S * adalah = -0.0689. Karena kita menghendaki nilai S maksimal dan dalam bentuk berdimensi diperoleh
S * 0.0689 xS Re f 0.0689 xS maksimum 0.0524 (prosentase kadar steviosida).
Jadi nilai optimal untuk semua variabel telah dipenuhi. Tentunya hasil ini dianggap cukup baik karena dari data Tabel 1, hingga saat ini hasil yang diperoleh dengan optimasi ini dapat memberikan jawaban yang dikehendaki. Tentunya dapat pula dikehendaki bahwa pada himpunan data (t,m) yang berada pada interval pengamatan dapat pula didekati nilai S yang mungkin. Artinya kita dapat menggunakan persamaan (6). DAFTAR PUSTAKA [1] Sousa, R.A, Baccan, N., Cadore, S., 2006. Analysis of Liquid Stevioside and CyclamateSaccharin Dietetic Sweeteners by Inductively Coupled Plasma Optical Emission Spectrometry without Sample Treatment, J.Braz, Chem, Soc, Vol 17(7),1393-1399. [2] Hafizuddin, W.M., Yussof, W., Sarmidi, M.R.,2003. Equilibrium and Kinetic Modeling of the Adorption of Stevioside on Amberlite XAD-7 Beads, Proceedings of International Conference On Chemical and Bioprocess Engineering, Universiti Malaysia Sabah, Kota Kinabalu. [3] Yodyingyuad, V and Bunyawong, S., 1991. Effect of stevioside on growth and reproduction , Hum. Reprod. 6 (1): 158-165. [4] Peressini, A.L, Sullivan, F.E., Uhl,J. 1988. The Mathematics of Nonlinear Programming, Springer Verlag, New York, Inc. [5] Parhusip, H. A. 2009. Determination Parameter by Nonlinear Least Square, Proceedings of 4th International Conference on Mathematics and Statistics (ICOMS 2009) , Universitas Malahayati Badar Lampung @MSMSSEA and Univ.Malahayati, 295-304, ISSN 2085-7748. Pustaka internet Web1, http://www.steviosidesafety.info/
650
