PENDITEKSIAN PENCILAN (OUTLIER) DAN RESIDUAL PADA REGRESI LINIER

PENDITEKSIAN PENCILAN (OUTLIER) DAN RESIDUAL PADA REGRESI LINIER Outlier and Residual Detection in the Linear Regression Iwa Sungkawa Jurusan Statistika Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Bina Nusantara Jakarta

ABSTRACT This paper discusses the study of outlier and residual detection in the linear regression, conducted by study of the requirements and the necessary assumption that the residual regression model is reliable and can be used. Assumption of normality is one of necessary condition that the residuals, so if there are outlier residual will have not consequences in normal distribution. So to do detection of outlier from the data observations. Besides that need to normality tested of the residuals or directly to the variable of responses (observations). Presence or absence of observation as outlier can be characterized by the distribution of residuals and the correlation coefficient. Outlier detection can be followed by determining of each observation residuals is followed by determining ist the median, and the statistic T is used to test the existence of outlier. Quartile deviation (dQ) is simple alternative to a detecting of outlier. The results of the study show that to normality test, can be done on the residual or on the response variables (the dependent variables). Study of the residual can be done by plotting the residuals of the independent variables and the dependent variables. Efforts to overcome the outlier can be done with the data transpormation so the data as outlier need not disposed. Keywords : correlation, median, normality, outlier, regression analysis, residuals.

Informatika Pertanian Volume 18 No. 2, 2009

95

PENDAHULUAN Dalam suatu kegiatan penelitian kadang kala kita dihadapkan untuk menentukan dan memahami bentuk dan keeratan/kekuatan hubungan antara dua atau lebih peubah yang akan digunakan dalam penelitian, sehingga diperlukan suatu analisis khusus untuk membahas hal tersebut. Dalam Statistika, analisis yang bermaksud untuk memahami bentuk hubungan fungsional serta prediksinya adalah teknik analisis regresi, sedangkan analisis yang bermaksud untuk memahami/ mengetahui besarnya kekuatan/keeratan serta arah hubungan antar peubah adalah teknik analisis korelasi. Kedua teknik analisis ini pada dasarnya saling berhubungan, sehingga dalam penerapannya sering digunakan secara bersamaan dalam melakukan analisis hubungan antar peubah, dan penggunaan keduanya sering disebut sebagai analisis korelasional. Analisis regresi digunakan untuk menggambarkan garis yang menunjukan arah hubungan antar peubah, serta dipergunakan untuk melakukan prediksi, selain istilah tersebut, di kalangan ahli statistik ada juga yang menggunakan istilah estimating line atau garis dugaan sebagai padanan istilah regresi. Dalam penggunaan garis regresi sebagai prediktor terdapat beberapa persyaratan yang harus dipenuhi yang diantaranya adalah asumsi residual ei (selisih antara nilai amatan dan nilai prediktor) menyebar normal dengan rata-rata nol dan ragamnya σe2 , jadi dalam melakukan kajian dengan menggunakan analisis regresi diperlukan untuk mencek apakah persyaratannya sudah dipenuhi atau tidak. Dalam penulisan ini dilakukan penditeksian atau penelaahan data pencilan (outlier) dan residual dalam suatu model regresi linier termasuk uji normalitas, serta upaya untuk menanggulanginya. Uji normalitas dilakukan karena disamping anggapan normalitas untuk residual, juga pada saat melakukan pengujian keberartiaan baik koefisien regresi atau koefisien korelasi digunakan sebaran t dan sebaran f (untuk uji secara simultan), sedangkan kedua sebaran tersebut diturunkan dari sebaran normal. Tujuan dari penulisan ini adalah untuk memberi gambaran tentang perlunya penelaahan terhadap outlier dan uji normalitas pada saat analisis regresi & korelasi digunakan dalam suatu penelitian serta penelaahan residual yang merupakan bagian penentu layak tidaknya model regresi digunakan. Diharapkan dengan adanya informasi ini bermanfaat bagi para pengguna statistika dan dapat memperjelas 96

 

Penditeksian Pencilan (OutLier)

dalam proses penggunaan analisis regresi dan korelasi yang sesuai dengan prosedur/ketentuan. PENDUGAAN KOEFISIEN REGRESI LINIER Untuk mempelajari bentuk hubungan fungsional antara dua peubah atau dua faktor biasa digunakan analisis regresi. Dalam analisis regresi, dikenal ada dua jenis peubah, yaitu : peubah respon atau disebut juga peubah tak bebas (dependent) yaitu peubah yang keberadaannya dipengaruhi oleh peubah lainnya dan biasa dinotasikan dengan Y. Peubah prediktor dan disebut juga peubah bebas (independent) yaitu peubah yang tidak dipengaruhi oleh peubah lainnya dan biasa dinotasikan dengan X. Secara matematik hal tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi atau Y = f(X). Untuk regresi linier sederhana bentuk persamaannya dapat digambarkan melalui persamaan Y = α + β X + ∈ dengan ∈ merupakan residual (sisaan) yang diasumsikan menyebar normal. Dalam prakteknya bentuk persamaan regresi di atas diduga oleh Y = β + β X + e dimana a dan b merupakan koefisien regresi yang diperoleh dengan metode kuadrat terkecil, sedangkan ei merupakan residual atau sisaan dan dapat ^

^

0

^

^

1

^

e = Y − Y = Y − (β + β X ) . Diasumsikan e menyebar ditulis i normal dengan rata-rata nol dan ragamnya σe2 , jadi dalam melakukan kajian dengan menggunakan analisis regresi diperlukan untuk mencek apakah persyaratannya sudah dipenuhi yang diantaranya syarat menyebar normal. Bentuk yang digunakan untuk mempredisi i

i

i

i

0

1

^

i

^

^

^

^

dinyatakan dengan persamaan Y = β + β X . β dan β diperoleh dengan metode kuadrat terkecil dan dapat dihitung dengan rumus : i

n

n

^

β

1

=

1

i

0

1

n

∑

X iY i − ( ∑ X iY i ) 2

i=1

n

0

i=1

∑

X

2 i

− (∑ X i)2

dan _ ^

β

0

_

^

=

Y

− β

1

X

Uji Keberartian Model Regresi Untuk menelaah apakah model regresi Y atas X dapat digunakan atau tidak perlu dilakukan uji hipotesis dengan rumusan sebagai berikut:

H

o

H

1

β β

1 1

=

0

≠

0

Informatika Pertanian Volume 18 No. 2, 2009

97

Bentuk statistik yang digunakan untuk uji di atas adalah : ^

t hit

=

β S

1

β

^ 1

dengan derajat bebas (n-2), dimana n = banyaknya pengamatan (ukuran sampel). Untuk taraf nyata α dan derajat bebas (n-2), maka kriteria pengujiannya adalah tolak Ho jika |thit | ≥ t0.5α (n-2) dan terima Ho jika |thit | < t0.5α (n-2). Sebaran t diperoleh melalui transpormasi dari rasio dua peubah acak yang menyebar normal baku dan menyebar khi-kuadrat. Misalkan dua peubah acak kontinu W dan V bebas stokhastik dan diketahui W menyebar normal dengan rata-rata 0 dan ragamnya sama dengan satu atau dapat ditulis W ~ N(0,1), peubah acak kontinu V menyebar khikuadrat dengan derajat bebas r atau dapat ditulis V ~ χ2(r) Bentuk hipotesis diatas digunakan hanya untuk uji koefisien regresi, tetapi jika pengujian dilakukan secara simultan dengan konstanta β0 maka dapat digunakan tabel analisis ragam/variansi (ANOVA) dengan sebaran f sebagai statistik ujinya. Untuk keperluan ini perlu ditentukan jumlah kuandrat setiap sumber keragaman, yaitu : jumlah kuadrat regresi/β0; jumlah kuadrat regresi/β1; jumlah kuadrat residual dan jumlah kuadrat total. Selanjutnya ditentukan pula kuadrat tengah (KT) setiap sumber keragaman dengan membagi jumlah kuadrat dengan derajat bebas. Nilai Fhit = (KTregresi/KTresidual). Kriteria pengujian : Tolak Ho jika |Fhit | ≥ Ftabel dan terima Ho jika |Fhit | < Ftabell untuk taraf nyata yang dipilih. Sebaran F diperoleh melalui transpormasi dari rasio dua peubah acak yang keduanya menyebar khi-kuadrat. Misalkan dua peubah acak kontinu U dan V bebas stokhastik dan diketahui peubah acak U dan V masing-masing menyebar khi-kuadrat dengan derajat bebas r1 dan r2 atau dapat ditulis U ~ χ2(r1) dan V ~ χ2(r2) Uji Keeratan Hubungan Dengan Koefisien Korelasi Untuk menelaah adanya ketergantungan diantara dua peubah X dan Y atau diantara dua peubah/faktor, perlu ditentukan suatu ukuran ketergantungan, yaitu koefisien korelasi rxy dan secara statistik perlu dilakukan uji hipotesis dengan rumusan sebagai berikut Ho : ρ = 0 H1 : ρ ≠ 0 Bentuk statistik yang digunakan untuk uji di atas adalah t

98

 

hit

= r ij

n − 2 1 − r ij 2

Penditeksian Pencilan (OutLier)

dimana n = banyaknya pengamatan (ukuran sampel) thit di atas menyebar secara t dengan derajat bebas (n-2). rxy = koefisien korelasi sampel antara peubah acak X dan Y yang dihitung dengan rumus n

∑

n r

xy

=

X

i

i = 1

n

[{ n

∑

i = 1

X

2 i

−

Y

n

−

i

X

∑

i = 1

}{ { n

∑

i

i = 1

n

(

n

∑

(

) (

∑

n

X

i

)

2

Y

i = 1

Y

i = 1

2 i

−

i

) n

(

∑

i = 1

Y

i

)

2

}]

Untuk taraf nyata α dan derajat bebas (n-2), maka kriteria pengujiannya adalah tolak Ho : ρ = 0 jika |thit| ≥ t0.5α (n-2) dan terima Ho jika |thit | < t0.5α (n-2). Jika hipotesis di atas hanya memperhatikan nilai ρ > 0 atau uji arah kanan, maka bentuk kriteria ujinya adalah tolak Ho : ρ = 0 jika thit ≥ tα (n-2) dan terima Ho jika thit
99

akan membesar atau kisaran data menjadi lebih lebar. Dengan rendahnya nilai koefisien regresi dan korelasi dengan sendirinya dapat menurunkan kualitas dari garis regresi yang dihasilkan, sehingga perlu dicari model lain yang lebih cocok dengan kondisi yang diamati atau melakukan transpormasi terhadap data tersebut. Deteksi Keberadaan Gejala Pencilan Kehadiran data pencilan dapat membuat kualtas garis regresi menjadi rendah. Oleh karena itu kehadirannya perlu dideteksi diantaranya dengan cara sebagai berikut. ƒ Hitunglah residu untuk setiap i = 1, 2,…,n maka akan kita peroleh harga-harga residu e1, e2,…,en. ƒ Ambil harga mutlak |ei|; i = 1,2,…,n, kemudian urutkanlah dari yang terbesar hingga terkecil, emaks menyatakan harga mutlak residu yang terbesar. ƒ Tentukan median M dari e1,e2,…,en. ƒ Hitung ƒ Hitung ƒ Hitung T = Qsisa/Q ƒ Bandingkan harga statistik penguji T dengan titik kritis untuk k=1 dan tingkat keberartian 0,01 atau 0,05 atau 0,10. ƒ Jika harga T melebihi titik kritis, maka data yang memberikan emaks adalah bukan data pencilan. Cara lain untuk mendeteksi adanya gejala pencilan dapat dilakukan dengan satu metode yang lebih sederhana, yaitu dengan menggunakan sebaran tengah dQ (deviasi kuartil) sebagai berikut : ƒ Tentukan nilai kuartil atas (QA) kuartil bawah (QB) dan besarnya dQ = QA-QB

hitung

ƒ Tentukan batas bawah pencilan BBP = QB-(1,5)dQ. ƒ Tentukan batas atas pencilan BAP = QA+(1,5)dQ. ƒ Untuk mendeteksi pencilan dilakukan dengan membandingkan nilai data : (jika data pengamatan lebih kecil dari BBP atau lebih besar dari BAP maka pengamatan tersebut adalah pencilan) ƒ Jadi BAP-BBP = 4dQ. Mengapa diambil 4 dQ? Hal ini dapat dijelaskan melalui bentuk sebaran ideal, yakni normal. Dalam keadaan ideal ini, pengambilan 4 dQ berarti bahwa tingkat keyakinan (probability) terjadinya outliers adalah sebesar 0,007 atau 0,7% atau kira-kira 1%. ƒ Jika cara kedua data pengamatan diganti dengan residual maka setelah mendapatkan residual dari semua pengamatan selanjutnya tentukan nilai kuartil atas QA dan kuartil bawah QB dari nilai mutlak residual atau |ei| serta tentukan penyimpangannya dQ = QA-QB. 100

 

Penditeksian Pencilan (OutLier)

Seperti di atas tentukan BBP dan BAP dan untuk mendeteksi pencilan gunakan residu (bukan data pengamatan). Ketentuannya adalah : (jika nilai residu lebih kecil dari BBP atau lebih besar dari BAP maka data pengamatan yang bersangkutan adalah pencilan) Kajian Residual Dalam Analisis Regresi Residual atau sisaan dalam regresi linier sederhana merupakan selisih dari nilai prediksi dan nilai sebenarnya (actual) atau ei =Yi - (a + b Xi ). Jika nilai pengamatan terletak dalam garis regresi maka nilai residunya sama dengan nol. Jadi jika total jarak atau nilai mutlak dari residu atau Σ|ei| = 0 berarti semua nilai pengamatan terletak pada garis regresi. Makin besar total jarak maka makin jauh regresi itu dari nilai actual, atau nilai residunya makin besar dan garis regresi kurang tepat digunakan untuk memprediksi baik secara interpolasi ataupun ekstrapolasi. Yang diharapkan adalah sebaliknya yaitu total residu semakin kecil sehingga garis regresi cukup handal untuk digunakan. Nilai residu akan makin menurunkan nilai koefisien itu dapat juga dilihat nilai variasi residu tidak besar, membesar.

besar jika terdapat data pencilan dan dapat regresi atau koefisien korelasi. Di samping ragamnya, jika nilai ragamnya kecil maka tetapi jika sebaliknya maka variasi residu

Untuk menunjukan model regresi itu layak atau tidak digunakan maka perlu dicek persyaratan yang diperlukan apakah sudah semuanya dipenuhi atau belum. Diantaranya adalah anggapan tentang residu yang menyebar normal. Jika ini dipenuhi maka jelas total residunya sama dengan nol atau Σei = 0. Jadi apabila nilainya jauh dari nol kita harus curiga dan perlu dicek (uji normalitas dan deteksi data pencilan serta upaya lainnya). Untuk menelaah bentuk sebaran dari residu, selanjutnya nilai residu diplot dalam suatu diagram titik dengan peubah bebas (X) dan peubah tak bebas (Y) sebagai sumbu datar. Dalam pendugaan koefisien regresi digunakan metode kuadrat terkecil yang ditempuh dengan meminimalkan jumlah kuadrat dari residual atau meminimalkan Σei2. Hal ini dilakukan agar untuk mendapatkan bentuk model regresi yang baik dan handal haruslah berasal dari pengamatan-pengamatan dengan residu terkecil. Jadi jelas bahwa residual merupakan bagian yang menentukan dalam memilih model regresi yang akan digunakan. Uji Normalitas Dalam Analisis Regresi Untuk mencek apakah hasil pengamatan menyebar normal atau tidak dapat dilakukan dengan berbagai cara seperti : dengan uji histogram, uji normal P Plot, uji Khi Square, Skewness dan Kurtosis atau uji Kolmogorov Smirnov. Tidak ada metode yang paling baik atau paling tepat. Tipsnya adalah bahwa pengujian dengan metode grafik sering menimbulkan perbedaan persepsi di antara beberapa pengamat, sehingga penggunaan uji normalitas dengan uji statistik bebas dari Informatika Pertanian Volume 18 No. 2, 2009

101

keragu-raguan, meskipun tidak ada jaminan bahwa pengujian dengan uji statistik lebih baik dari pada pengujian dengan metode grafik. Jika residual tidak normal tetapi dekat dengan nilai kritis (misalnya signifikansi Kolmogorov Smirnov sebesar 0,049) maka dapat dicoba dengan metode lain yang mungkin memberikan justifikasi normal. Tetapi jika jauh dari nilai normal, maka dapat dilakukan beberapa langkah yaitu: melakukan transformasi data, melakukan membuang data outliers atau menambah data pengamatan/observasi. Transformasi dapat dilakukan ke dalam bentuk Logaritma natural, akar kuadrat, inverse, atau bentuk yang lain tergantung dari bentuk kurva normalnya, apakah condong ke kiri, ke kanan, mengumpul di tengah atau menyebar ke samping kanan dan kiri. Upaya Mengatasi Outlier Dengan Transpormasi Data Jika pencilan (outlier) ternyata ada dalam hasil pengamatan dan pencilan itu akan digunakan dalam analisis data maka perlu dicari cara untuk mengatasinya agar pencilan itu tidak mengganggu dan kita mendapat hasil yang lebih baik. Salah satu cara untuk mengatasi pencilan ditempuh dengan melalui tranformasi terhadap data hasil pengamatan sebagai berikut. Dalam hal demikan, peubah tak bebas Y dan atau peubah bebas X mungkin perlu ditransformasikan. Caranya adalah dengan : ƒ Mengamati stem-leaf (dahan-daun) sari numeric, dan box plot dari data X dan data Y ƒ Pilihlah transformasi yang sesuai untuk Y dan atau untuk X. Misalkan hasil transformasi dari Y dan dari X berturut-turut adalah Z dan W ƒ Tentukan regresi linear dari Z terhadap W ƒ Bila regresi dari Z terhadap W memberikan harga R2 yang sudah memuaskan, maka proses pemodelan selesai. Bila belum, maka ulangi langkah 2 dan 3. Seperti yang telah diuraikan di atas bentuk transformasi yang dapat dilakukan diantaranya adalah : bentuk logaritma natural, akar kuadrat, inverse, atau bentuk yang lain tergantung dari bentuk kurva normalnya. TELADAN DAN PENERAPAN Untuk memberikan gambaran yang lebih jelas berikut diberikan contoh penggunaan analisis regresi dan korelasi. Untuk keperluan ini diambil contoh dengan menggunakan data hasil Penelitian Kuantitatif yang bersumber dari Lembaga Penelitian STIKIP Kuningan Jakarta. Peubah yang akan dipergunakan dalam perhitungan adalah peubah motivasi (X) sebagai peubah bebas, dan peubah kinerja (Y) sebagai 102

 

Penditeksian Pencilan (OutLier)

peubah tidak bebas, data (skor) hasil pengamatan (termasuk nilai prediksi Y' dan nilai residual ei) dapat disajikan dalam tabel berikut : X Y Y' (Motivasi) (Kinerja) 20 60 48.4 30 50 57.9 50 70 76.9 60 80 86.4 80 120 105.4 90 110 114.9

Residual (ei) 11.6 -7.9 -6.9 -6.4 14.6 -4.9

Dengan  menggunakan  rumus  koefisien  regresi    di  atas  diperoleh  persamaan regresi linier sederhana sebagai berikut :   Ŷ  =  29,4 + 0.95 X  dan koefisien korelasi   rxy  =  0.93  Setelah diperoleh persamaan garis regresi, langkah berikutnya adalah melakukan pengujian apakah persamaan tersebut layak digunakan atau tidak. Dalam kesempatan ini, hipotesis yang diuji adalah :

H

o

β 0 = 0 dan

H1 β0 = 0

β1 = 0

dan

β1 ≠ 0

 

Pengujian hipotesis di atas digunakan analisis ragam dan perlu dicari Jumlah kuadrat untuk masing-masing sumber keragaman sebagai berikut : JKTotal

= Σ Y2 = 46.296

JK ( β0 ) = (Σ Y)2/n = 42.336 JK ( β1 ) =

^ |

β

0

n

∑

i =1

_

_

( X i − X )( Y i − Y )

= 3.711,6

JKresidu = JKtotal - JK ( β1 ) - JK( β 0 ) = 248.4 Hasil perhitungan di atas dapat disajikan dalam tabel ANOVA sebagai berikut : Sumber Keragaman

Db

JK

RJK

Fh

Ft0.05

Ft0.01

Regresi β 0 Regresi β 1 Residual

1 1 4

42.336 3.711,6 248.4

42.336 3.711,6 62.1

681,74 59.77

7.71 7.71

21.20 21.20

Total

6

46.296

Informatika Pertanian Volume 18 No. 2, 2009

103

Kesimpulan : untuk taraf nyata 5% dan 1% nilai koefisien regresi dianggap cukup berarti sehingga persamaan regresi dapat digunakan untuk memprediksi. Untuk menguji keberartian dari koefisien korelasi di atas (r = 0.93) perlu diuji hipotesis : Ho :  ρ   =  0  melawan  H1 : ρ ≠ 0  Digunakan statistik  t   sebagai berikut :

t hitung

= r

t hitung = 0 . 93

n − 2 1 − r2

6− 2 1 − ( 0 . 93 ) 2

= 5 . 06 Nilai thit = 5.06 > t 0,025 (4) = 3.747 maka Ho ditolak, artinya koefisien korelasi ρ tidak sama dengan nol, dan menunjukkan adanya ketergantungan antara motivasi dan kinerja. Kajian Residual :  Dengan menggunakan persamaan Y = 29,4 + 0,95 X dapat ditentukan nilai-nilai residual sebagai berikut : e1 = 11,6; e2 = -7,9; e3 = -6,9; e4 = -6,4; e5 = 14,6 dan e6 = -4,9. Dari nilai mutlak residual ditentukan kuartil atas (Q3= 12.35) dan kuartil bawah (Q1= 6.025) dan deviasinya adalah dQ = Q3 - Q1 = (12.35 - 6.025) = 6.325. Untuk mendeteksi data pencilan ditentukan batas bawah pencilan = Q1- 1.5 dQ = 6.025 - 1.5 * 6.325 = -3.4625 dan batas atas pencilan = Q3 + 1.5 dQ = 12.35 + 1.5 * 6.325 = 21.8375. Ternyata semua nilai residual tidak ada yang diluar batas pencilan (tidak ada yang lebih kecil dari batas bawah dan juga yang lebih besar dari batas atas), jadi untuk pengamatan di atas tidak ada data yang dianggap pencilan. KESIMPULAN Berdasarkan uraian dari penulisan ini, dapat disampaikan beberapa kesimpulan dan saran sebagai berikut : • Dalam analisis regresi residual merupakan bagian yang menentukan layak tidaknya model tersebut digunakan, karena jika jumlah residunya jauh dari nol dan juga jumlah kuadrat residunya besar 104

 

Penditeksian Pencilan (OutLier)

sekali ini menunjukkan bahwa model regresi itu lemah dan kurang layak bila digunakan untuk memprediksi. • Jika terdapat data pencilan (outlier) nilai residu akan makin besar dapat memperkecil/menurunkan nilai koefisien regresi dan juga nilai korelasi sehingga jika data itu mau digunakan maka perlu upaya untuk mengatasinya yang diantaranya dilakukan dengan menggunakan peubah yang sudah ditranspormasi. Cara transpormasi ini digunakan selain untuk menanggulangi data pencilan juga untuk mengupayakan agar terpenuhinya asumsi normalitas, karena jika terdapat pencilan maka data hasil pengamatannya tidak menyebar normal. Dalam melakukan transpormasi harus disesuaikan dengan fenomena analisis dan secara hati-hati karena transformasi tertentu membawa konsekuensi yang bisa berlawanan dengan fenomena yang dianalisis. • Untuk mengamati nilai residu ini dapat dilakukan dengan memplot (menggambar) residu tersebut dalam suatu diagram (grafik). Di samping itu dapat juga dilihat nilai ragamnya, jika nilai ragamnya kecil maka variasi residu tidak besar, tetapi jika sebaliknya maka variasi residu membesar. • Selain asumsi normalitas untuk residual, dalam melakukan uji koefisien regresi atau koefisien korelasi biasa digunakan sebaran t atau untuk pengujian secara simultan digunakan sebaran f. Kedua sebaran tersebut diturunkan/berasal dari sebaran normal. Jika menghendaki hasil kajian yang syahih dan terandalkan maka uji normalitas jelas perlu dilakukan sebelum analisis data dilakukan dan dapat dilakukan terhadap residual atau langsung pada peubah respon. • Cara lain untuk mengatasi outlier adalah dengan tidak menggunakan data dalam analisis, namun outlier tersebut dibahas khusus kenapa atau apa yang bisa dipelajari dari outlier tersebut.   DAFTAR PUSTAKA Hogg, R.V. and A.T. Craig. (1995). Introduction to Mathematical Statistics. Prentice Hall. Singapore Sudjana, 2002, Metode Statistika; Tarsito; Bandung Rudiansyah (Hines William W. and Montgomery D); 1990. Probabilita dan Statistik dalam Ilmu Rekayasa dan Manajemen. Universitas Indonesia; Jakarta --------------, Analisis Hubungan, Lembaga Penelitian STKIP Kuningan, 2002 http://www.math.itb.ac.id/~ma291/sas_rls.htm http://statisticsanalyst.wordpress.com/2008/11/21/asumsi-regresi-ujinormalitas/ Informatika Pertanian Volume 18 No. 2, 2009

105