Pendekatan Rantai Markov Waktu Diskrit dalam Perencanaan Kebutuhan Tempat Tidur Rumah Sakit Oleh: Enjela Puspadewi 1207 100 026
Abstrak Rumah sakit adalah institusi pelayanan kesehatan yang menyelenggarakan pelayanan kesehatan perorangan secara paripurna yang menyediakan pelayanan rawat inap, rawat jalan dan gawat darurat. Perencanaan sistem inventaris rumah sakit khususnya pada pengelolaan jumlah tempat tidur di bagian rawat inap sangat dibutuhkan agar pengelolaan rumah sakit dapat berjalan secara optimal. Jumlah tempat tidur yang kurang memadai akan membuat pasien yang membutuhkan perawatan ditolak dan menimbulkan daftar tunggu rumah sakit semakin panjang serta membuat tingkat kepuasan pasien semakin menurun. Pendekatan DTMC adalah salah satu metode yang dapat digunakan dalam perencanaan kebutuhan tempat tidur rawat inap rumas sakit. Metode ini menghasilkan peramalan jumlah penggunaan tempat tidur lebih baik dari hasil peramalan menggunakan metode Box-Jenkins karena memiliki MAPE hasil peramalan yaitu 21.982 yang lebih kecil dibandingkan peramalan menggunakan metode Box-Jenkins yang sebesar 26.44 • Kata kunci: Rantai Markov, transient inpatient inventory, metode BoxJenkins
Latar Belakang Rumah sakit adalah institusi pelayanan kesehatan yang menyelenggarakan pelayanan kesehatan perorangan secara paripurna yang menyediakan pelayanan rawat inap, Rawat jalan dan gawat darurat Seiring dengan bertambahnya jumlah penduduk akan meningkatkan jumlah pasien unit rawat inap
Sehingga dibutuhkan suatu perencanaan jumlah Tempat tidur yang baik agar pemanfaatan Inventaris (tempat tidut) berjalan optimal
Pendekatan rantai Markov waktu diskrit adalah Salah satu metode yang dapat digunakan dalam Perencanaan jumlah tempat tidur rumah sakit
Rumusan Masalah 1. Bagaimana mendapatkan rumusan model rantai Markov waktu diskrit untuk meramalkan jumlah kebutuhan tempat tidur rumah sakit. 2. Bagaimana perbandingan hasil peramalan tempat tidur rumah sakit dengan pendekatan DTMC dan metode Box-Jenkins
Batasan Masalah 1. Sistem yang diteliti adalah bagian rumah sakit yang melayani jasa rawat inap. 2. Obyek yang diteliti adalah jumlah tempat tidur unit rawat inap. 3. Studi kasus dilakukan pada unit rawat inap umum di Ruang III Rumah Sakit Haji Umum Surabaya. 4. Data rumah sakit yang digunakan adalah data sekunder mengenai jumlah tempat tidur rumah sakit, rata-rata laju kedatangan pasien dan bed occupancy rate (BOR) dan laju pelayanan (LOS) rawat inap ruang III Rumah Sakit Umum Haji Surabaya. 5. Satu tempat tidur hanya dapat digunakan oleh satu pasien untuk satu kali pelayanan. 6. Perilaku pasien selama mengantri diabaikan. 7. Pasien yang datang ketika semua tempat tidur sedang terpakai tidak diperbolehkan masuk dalam sistem. 8. Penyakit yang diderita pasien selama dirawat diabaikan.
Tujuan Penelitian 1. Mendapatkan model DTMC untuk meramalkan
jumlah tempat tidur yang optimal untuk rumah sakit. 2. Membandingkan peramalan menggunakan DTMC dengan metode Box-Jenkins
Manfaat Penelitian 1. Diperolehnya pengalokasian dan penggunaan tempat tidur yang optimal sehingga dapat meningkatkan pelayanan pasien rawat inap. 2. Memberikan metode pendukung keputusan dalam hal menetapkan jumlah tempat tidur yang optimal untuk jasa perencanaan rumah sakit.
Discrete Time Markov Chain Proses Markov adalah salah satu bagian dari proses statistik yang hanya bergantung pada satu langkah (state) sebelumnya dan tidak bergantung pada langkah-langkah historis. Definisi: Suatu proses stokastik waktu diskrit disebut memiliki sifat markov jika
Metode Box-Jenkins (ARIMA) • Metode peramalan Box-Jenkins adalah suatu metode untuk meramalkan data dengan analisis deret berkala. • Metode ini juga sering disebut sebagai metode ARIMA (Autoregresive Integrated Moving Average) yang menggabungkan dua model yaitu model autoregresive dan model moving average. • Langkah-langkah dalam peramalan dengan metode Box-Jenkins adalah 1. Identifikasi 2. Estimasi dan Penguji 3. Pengujian Diagnostik
Metodologi Penelitian 1. Studi pendahuluan dan studi literatur 2. Pengumpulan data 3. Menentukan model peramalan jumlah tempat tidur menggunakan pendekatan DTMC 4. Pengolahan data 5. Analisis hasil penyelesaian dan penarikan kesimpulan
Pembentukan Model DTMC Probabilitas Transisi
(1) Dengan pdf XG1 dan XG2 (2)
(3)
Pembentukan Model DTMC Persamaan (1), persamaan (2) dan persamaan (3) dapat dituliskan kembali menurut empat kondisi yang diakibatkan oleh perubahan batas indeks dari jumlahan persamaan (1)., seperti pada gambar berikut
Gambar 1
Pembentukan Model DTMC Dari gambar 1 diperoleh rumusan probabilitas X(t+1) sbb: •Untuk kondisi ke-1 P(X(t+1)=j|X(t)=i)
•Untuk kondisi ke-2 P(X(t+1)=j|X(t)=i)
Pembentukan Model DTMC • Untuk kondisi ke-3 P(X(t+1)=j|X(t)=i)
•
Untuk kondisi ke-4 P(X(t+1)=j|X(t)=i)
(4)
Pembentukan Model DTMC Dari fungsi probabilitas pada persamaan 4 dapat dibuat matriks probabilitas transisi satu langkah
Selanjutnya dicari matriks probabilitas ∆t langkah dengan rumus (5)
Pembentukan Model DTMC Dari persamaan (5) maka ekspektasi nilai X(t+∆t) adalah Dengan C adalah
Jumlah tempat Bulan tidur 24 Januari 24 Februari 24 Maret 24 April 24 Mei 24 Juni 24 Juli 24 Agustus 24 September 24 Oktober 24 November 24 Desember
Jumlah pasien
103 94 119 122 96 84 104 83 84 87 92 101
Laju pelayanan (dalam bulan) 0.178 0.229 0.200 0.183 0.206 0.227 0.197 0.229 0.190 0.190 0.197 0.174
Pengolahan Data Menggunakan DTMC Dari tabel tersebut, data disubstitusikan ke persamaan (4) kemudian dibuat matriks probabilitas satu langkah perbulan . Matriks transisi Selanjutnya setelah disubstitusikan pada persamaan (5) didapatkan nilai ekspektasi jumlah kebutuhan tempat tidur untuk tahun 2010 sebagai berikut
Bulan Januari Februari Maret April Mei Juni Juli Agustus September Oktober November Desember
Jumlah Ekspektasi 21.496 20.259 20.055 19.847 20.252 20.462 20.354 23.934 22.613 24.275 22.427 23.669
Pengolahan Data dengan BoxJenkins Langkah awal dalam peramalan menggunakan metode Box-Jenkins adalah membuat plot time series Time Series Plot of tt 23 22 21
tt
20 19 18 17 16 15 1
5
10
15
20
25 Index
30
35
40
45
Dari plot time series tersebut terlihat bahwa data tidak stasioner terhadap varian, sehingga dilakukan transformasi Box-Cox.
Dari tabel signifikansi dan residul white noise diperoleh model yang memenuhi Jumlah tempat tidur adalah mode.lBulan (1 0 0) Januari Februari Maret April Mei Juni Juli Agustus September Oktober November Desember
23.356 23.233 23.110 22.988 22.866 22.746 22.626 22.506 22.387 22.269 22152 22035
Bulan
Data aktual
Januari Februari maret April Mei Juni Juli Agustus September Oktober November Desember
17.290 19.613 20.388 19.601 20.453 20.033 19.613 17.419 13.334 16.001 18.199 16.387 MAPE
Data ramalan dengan DTMC 21.4961 20.259 20.055 19.847 20.252 20.462 20.354 23.934 22.613 24.275 22.427 23.669 21.982
Data ramalan dengan BoxJenkins 23.356 23.233 23.110 22.988 22.866 22.746 22.626 22.506 22.387 22.269 22.152 22.035 26.444
Kesimpulan 1. Rumusan model untuk peramalan jumlah penggunaan tempat tidur adalah
dengan adalah matriks probabilitas ∆t langkah dengan rumusan
Ph adalah matriks probabilitas pada periode ke-h
Dengan setiap elemen dari matriks transisi adalah probabilitas transisi seperti pada persamaan 4.
Kesimpulan 2. Hasil perhitungan MAPE peramalan menggunakan pendekatan DTMC adalah 21.982 dan hasil perhitungan MAPE peramalan menggunakan metode Box-Jenkins adalah 26.444, sehingga untuk kasus ini hasil peramalan dengan pendekatan DTMC lebih baik daripada peramalan menggunakan Box-Jenkins
Saran 1. Pada tugas akhir ini studi kasus yang diambil memiliki jumlah sampel yang masih relatif kecil, oleh karena itu pada penelitian selanjutnya dapat diaplikasikan untuk kelas rumah sakit yang lebih besar. 2. Pada tugas akhir ini perhitungan probabilitas transisi masih dilakukan secara manual, sehingga diharapkan pada penelitian selanjutnya dapat dibuat suatu program yang dapat memudahkan proses perhitungan probabilitas, terutama jika jumlah sampel yang diambil relatif besar.
Daftar Pustaka • • • •
• •
Allen, L.J.S. 2003. an Introduction to Stochastic Processes with Application to Biology. New Jersey : Pearson Education,inc Bain, L.J. and Engelhardt,M.1991. Introduction to Probability and Mathematical Statistics.California:Duxbury Press Broyles, James R,Jeffery K. Cochran, Douglas C. Montgomery. 2010. a
Statistical Markov Chain Approximation of Transient Hospital Inpatient Inventory. European Journal of Operation Research Lasono, Eka Sigi. 2009. Model Antrian dan Pengaturan Fasilitas Rawat Inap (Tempat Tidur) di Rumah Sakit.Surabaya: Tugas Akhir, Jurusan Matematika ITS Makridakis, Spyros, Steven C.W,Victor E. McGee. 1995. Metode dan Aplikasi Peramalan. Jakarta: Erlangga Muna, Lailil. 2007. Usulan Perbaikan Kualitas Pelayanan Rawat Inap
Rumah Sakit Islam Surakarta Menggunakan Model Servqual dan Analisis Faktor: Tugas Akhir, Jurusan Teknik Industri Uniersitas Sebelas Maret • •
Surakarta Ross, S.M.1996.Stochastic Processes second edition.Canada: john Wiley & Sons
