PEMODELAN MATEMATIKA TIPE SEIR PADA POPULASI PEROKOK
SKRIPSI
Untuk memenuhi sebagian persyaratan Mencapai derajat sarjana (S-1)
HANISAR F1A1 12 122
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS HALU OLEO KENDARI 2016
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah Alhamdulillah Alhamdulillah, saya ingin mengucapkan terima kasih saya terdalam kepada Allah atas Rahmat-Nya, berkat,dan bimbingan, sehingga peneliti akhirnya dapat mencapai hasil dalam menyelesaikan skripsi ini dengan judul โPEMODELAN MATEMATIKA TIPE SEIR PADA POPULASI PEROKOKโ Penghargaan terdalam saya dan syukur ditujukan kepada orang tua saya tercinta, Bahring dan Hanisah serta kedua orang tua angkat saya. Saya tidak punya kata-kata untuk mengungkapkan perasaan terdalam saya. Terima kasih untuk semuanya, terima kasih untuk doa yang selalu dihanturkan kepada saya, terima kasih atas dukungan mental dan financial. Terima kasih untuk semua yang telah diberikan kepada saya. Selain itu, ucapan terima kasih kepada atasan peneliti, Drs. Asrul Sani, M.Sc, Ph.D selaku pembimbing I dan Dr. Mukshar, S.Si., M.Si. selaku pembimbing II yang telah memberikan waktu dalam memberikan ide-ide, nasihat, dan perhatian besar untuk mencapai hasil ini. Peneliti menyadari bahwa skripsi ini tidak dapat diselesaikan dengan sukses tanpa bimbingan mereka. Suatu hal yang tidak terlupakan atas dorongan dan bimbingannya, serta arahan dan bantuan kepada penulis, maka patutlah kiranya penulis menyampaikan ucapan terima kasih dan penghargaan kepada semua pihak khususnya:
iii
1.
Rektor Universitas Halu Oleo Kendari, Bapak Prof. Dr. Ir. H. Usman Rianse, M.S.
2.
Dekan F-MIPA Universitas Halu Oleo, Bapak Dr. Muh. Zamrun F., S.Si., M.Si.
3.
Ketua Jurusan Matematika dan sekretaris jurusan F-MIPA Universitas Halu Oleo, Bapak La Gubu, S.Si., M.Si., dan Bapak Rasas Raya, S.Si., M.Si.
4.
Kepala Laboratorium Matematika F-MIPA Universitas Halu Oleo, Ibu Norma Muchtar, S.Si., M.Si.
5.
Kepala Perpustakaan F-MIPA Universitas Halu Oleo, Ibu Dra. Hj. Indrawati, M.Si.
6.
Norma Muchtar, S.Si., M.Si. selaku penasehat akademik yang telah memberikan pengarahan dan bimbingan dalam memprogramkan mata kuliah.
7.
La Gubu, S.Si., M.Si., Dr. La Ode Saidi, M.Kom., dan Rasas Raya., S.Si., M.Si. selaku dewan penguji.
8.
Bapak dan Ibu Dosen Jurusan Matematika serta seluruh staf lingkungan
F-
MIPA UHO, yang telah banyak memberikan bantuan, bimbingan dan pengarahan selama studi hingga penyelesaian skripsi ini. 9.
Keluarga besarku: Mama Tua, paman-paman, tante-tante, kakak Tyas, S.Kep, Ners., Nining, S.Kep, Ners, Sitti Sarah, S.Si, Rina, S.IK, Ratna Munawar, S.Si, Mamat, Ita, Antarufin, Sartina Yati yang selalu memberi doa dan motivasi.
10. Saudara-saudara indahku: Ikbal, Watati, Rufihana dan Rahmad Senah. 11. Teman terdekatku yang selalu menemani dalam perjuangan susah senang maupun duka, serta motivasi dan dukungan yang diberikan.
iv
12. Teman yang selalu ada dan paling sabar dalam membantu penyelesaian skripsi ini : Aini Isman La Ode Muhammad Riswan, Ilah Fitria, kadek Ayu Puspita Sari, Muliawati, Rifky Adrian, Rajab, jio, Gede , dan Astriana. 13. ChinguQ yang selalu ada selama studi hingga penyelesaian skripsi ini: Ekha Fitriah Maladewi, S.Mat, Ekawati Sulistia Ningsih, Wiwin Narni, Desi Astuty, S.Mat, Herdiana, S.Mat, dan Hesti Yuspita yang tiada henti memberi semangat, bantuan dan doa kepada penulis. 14. Rekan seperjuangan Matematika Angkatan 2012: Yani, Bertin, Obil, Pantri Elastic, S.Mat, Astri, Treni, S.Mat, Jendri, Igo, Fuad, Hajar, Suri, Yuli, Astin, Ratni, Mega, Novita, S.Mat, Ummi, Asni, Umi, Mergar, Ima, Nella, S.Mat, Syem Abdullah, S.Mat, Rahmadin, S,mat, Rianto, S.Mat, Sarfia, S.Mat, Sarwiati, S.Mat dan seluruh mahasiswa seangkatan 012 yang telah memberikan semangat kebersamaan yang tidak terlupakan selama menyelesaikan studi. 15. Barisan senior-senior: Arfan, S.Mat, Rahmat, S.Mat, Kartini, S.Mat, Mega, S.Mat, Ahsan, S.Mat dan barisan junior-junior Matematika: Tessa, Mail, Noni, Rahma, dan lain-lain yang tidak dapat saya sebutkan satu persatu atas bantuan dan bimbingannya selama masa perkuliahan. 16. Teman-teman KKNku: La Ahi, Dede Acuguh, Mamat Adrianto, Seffto, Mutiarah Rahman, Auliyah Resky, Dewi Astuti Selanjutnya penulis menyadari bahwa penulisan skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan. Sehingga dengan senang hati dan segala kerendahan hati penulis menerima segala saran yang sifatnya membangun demi penyempurnaannya. Akhir
v
kata penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang membutuhkan. Kendari,
Oktober 2016
Penulis
vi
DAFTAR ISI
Halaman HALAMAN JUDUL...............................................................................
i
HALAMAN PENGESAHAN ................................................................
ii
KATA PENGANTAR ............................................................................
iii
DAFTAR ISI ...........................................................................................
vii
DAFTAR GAMBAR ..............................................................................
ix
DAFTAR TABEL ...................................................................................
x
DAFTAR LAMPIRAN ...........................................................................
xi
ABSTRAK .............................................................................................
xii
ABSTRACT ...........................................................................................
xiii
BAB I PENDAHULUAN 1.1
Latar Belakang.................................................................
1
1.2
Rumusan Masalah ...........................................................
3
1.3
Tujuan Penelitian .............................................................
4
1.4
Manfaat Penelitian ...........................................................
4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1
2.2
2.3
Model Dasar Penyebaran Penyakit ..................................
5
2.1.1 Model Epidemi SI...................................................
5
2.1.2 Model Epidemi SIR ................................................
6
2.1.3 Model Epidemi SEIR .............................................
6
Dasar-dasar Matematika ..................................................
7
2.2.1 Sistem Persamaan Diferensial ................................
7
2.2.2 Titik Kesetimbangan ..............................................
9
2.2.3 Linierisasi di sekitar Titik Kesetimbangan .............
10
2.2.4 Nilai Eigen dan Faktor Eigen .................................
12
2.2.5 Sifat-sifat Kestabilan Titik Kesetimbangan............
13
Solusi Numerik ...............................................................
15
2.3.1 Metode Runge -Kutta .............................................
15
vii
BAB III METODE PENELITIAN 3.1
Waktu dan Tempat Penelitian .........................................
17
3.2
Metode dan Prosedur Penelitian .....................................
17
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1
Model Matematika Populasi Perokok .............................
19
4.1.1 Asumsi Populasi Perokok .......................................
19
4.1.2 Skema Model Tipe SEIR Populasi Perokok ...........
21
4.1.3 Model Matematika..................................................
22
4.2
Titik kesetimbangan Populasi Perokok ...........................
23
4.3
Analisis Kestabilan Titik Kesetimbangan (AKTK) ........
26
4.3.1 AKTK Bebas dari Perokok .....................................
28
4.3.2 AKTK epidemic Perokok .......................................
31
Simulasi Numerik Dinamika Model SEIR Perokok ........
33
4.4.1 Simulasi Numerik Bebas Perokok ..........................
34
4.4.2 Simulasi Numerik Epidemik ..................................
36
4.4
BAB V PENUTUP 5.1
Kesimpulan ......................................................................
41
5.2
Saran ................................................................................
42
DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN
viii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 3.1 Metode Penelitian.........................................................................
18
Gambar 4.1 Laju Pertumbuhan Bebas Perokok pada Model SEIR .................
35
Gambar 4.2 Grafik 3 Dimensi Bebas Perokok .................................................
36
Gambar 4.3 Laju Pertumbuhan Epidemik ........................................................
38
Gambar 4.4 Grafik 3 Dimensi Pertumbuhan Epidemik ...................................
39
ix
DAFTAR TABEL
Tabel 4.1 Kestabilan di titik Kesetimbangan Bebas Perokok ..........................
30
Tabel 4.2 Nilai Parameter-parameter dalam Model Perokok...........................
34
Tabel 4.3 Sifat Kesatabilan Titik Kesetimbangan Bebas Perokok ..................
37
Tabel 4.4 Nilai Parameter-parameter dalam Model Perokok...........................
39
Tabel 4.5 Sifat Kesatabilan Titik Kesetimbangan Bebas Perokok ..................
41
x
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1. Titik Kesetimbangan ........................................... ..............
44
Lampiran 2. Nilai Eigen Umum .............................................................
45
Lampiran 3. Niilai Eigen Kasus I Numerik ............................................
46
Lampiran 4. Nilai Eigen Kasus II ...........................................................
47
Lampiran 5. Skrip Mfile Matlab Kasus I Bebas dari Perokok ...............
48
Lampiran 6. Program Matlab Phase Potret Epidemik Perokok..............
49
xi
PEMODELAN MATEMATIKA TIPE SEIR PADA POPULASI PEROKOK Oleh:
HANISAR F1A1 12 122
ABSTRAK Pemodelan matematika berusaha menyelesaikan masalah-masalah yang ada dikehidupan nyata. Seperti contoh pada masalah semakin meningkatnya penyebaran populasi perokok yang dapat mengancam kelangsungan hidup. Model yang dapat digunakan pada penyebaran populasi perokok adalah model tipe SEIR. Yang terdapat empat sub-komponen saling berinteraksi yaitu Susceptible adalah individu sehat tapi rentang untuk menjadi perokok, yang disimbolkan dengan ๐, Exposed adalah individu yang perokok kadang-kadang yang disimbolkan dengan ๐ธ, Ifected adalah individu sehat tapi rentang untuk menjadi perokok yang disimbolkan dengan ๐ผ, Recovered adalah perokok yang telah berhenti untuk merokok yang disimbolkan dengan ๐
. Berdasarkan analisis kesetimbangan ๐ diperoleh dua titik kesetimbangan bebas dari perokok yaitu ๐ธ0โ = ( ๐ , 0,0,0) = (833,0,0,0) dan titik kesetimbangan epidemik perokok yaitu ๐ธ1โ = (๐1 , ๐ธ1 , ๐ผ1 , ๐
1 ) = (90,20,30,5) , pada analisis numerik, dilakukan dengan menggunakan metode rungge-kutta orde empat dengan memvariasikan beberapa parameter. Kata kunci : Model tipe SEIR, Titik Kesetimbangan, Metode Runge kutta.
xii
MATHEMATICAL MODELLING TYPE OF SEIR ON SMOKER POPULATION By
HANISAR F1A1 12 122
ABSTRAC Mathematical modeling tried to resolve the problems that exist real life. As an example on the issue of increasing the spread of smoking population that could threaten survival. The model can be used in the deployment of smoking population is a model of the type of SEIR. That there are four sub-components interact that is susceptible are healthy individuals but the range to be a smoker, symbolized by ๐, Exposed is individual smokers sometimes symbolized by ๐ธ, Ifected are healthy individuals but the range to be a smoker symbolized by I , recovered is smokers who had stopped to smoke symbolized by R. Based on the analysis of equilibrium ๐ obtained two free equilibrium point of smokers is ๐ธ0โ = ( ๐ , 0,0,0) = (833,0,0,0) and the equilibrium point of the epidemic smokers are ๐ธ1โ = (๐1 , ๐ธ1 , ๐ผ1 , ๐
1 ) = (90,20,30,5) , the numerical analysis, done using methods rungge-kutta order four by varying several parameters. Keywords: Model type of Seir, equilibrium point, Runge-Kutta methods.
xiii
BAB I PENDAHULUAN 1.1
Latar Belakang Rokok sudah dikenal sejak lama oleh suku asli yang mendiami daerah
Meksiko, yaitu suku Indian. Pada abad ke-15 kebiasaan merokok terus menyebar keseluru dunia termasuk Indonesia seiring dengan menyebarnya presepsi yang salah yaitu dengan menghirup daun tembakau dapat menyembuhkan penyakit (Husaini, 2007). Berdasarkan penggunaan rokok, rokok dapat dibedakan menjadi rokok Filter dan rokok non-Filter (Haris, 2012). Tembakau merupakan bahan utama rokok yang terdiri dari beberapa kandungan yang tidak dimiliki oleh daun lainnya yaitu nikotin dan eugenol yang berbahaya bagi kesehatan tubuh. Selain itu, tembakau yang merupakan tanaman perkebunan, yang tidak terlepas dari zat kimia yaitu pestisida (Husaini, 2007). Dalam satu batang rokok, terdapat sekitar 4.800 bahan kimia diantaranya Karbon Monoksida, Nikotin, Tar dan Polycyclic dan lain-lain. Indonesia menjadi negara ketiga pada jumlah perokok aktif terbanyak setelah Cina dan India, yaitu sebesar 34% di Indonesia pada tahun 2008. Jumlah perokok ini terus meningkat pada tahun 2010 sebesar 34,7% (Tobacco Control Support Center, 2012). Salah satu hal yang menyebabkan jumlah perokok terus meningkat adalah di abaikannya bahaya merokok. Hingga saat ini terdapat sekitar 4.800 bahan kimia yang terkandung pada rokok dengan komponen utama yaitu tar, nikotin dan CO (karbon monoksida) (Tirtosastro dan Murdiyati, 2010). Kebiasaaan merokok berhubungan dengan sedikitnya 25 jenis penyakit pada berbagai organ tubuh
1
(Aditama, 2001). Selain pada orang yang merokok (perokok aktif), penyakit tersebut juga berdampak pada orang yang tidak merokok (perokok pasif). Hal ini disebabkan karena secara tidak langsung mereka menghirup asap rokok. Bahkan pada perokok pasif usia anak, asap rokok yang dihirup dapat mempengaruhi pertumbuhan tubuh pada anak (Samet, 2010). Pemodelan tentang peningkatan jumlah perokok bukan hal yang baru. Beberapa peneliti telah mengembangkan model matematika terkait peningkatan jumlah perokok, seperti yang dilakukan oleh Sharoni dan Gumel (1980) serta Gunawan dan Nurtamam (2008). Pada tahun 2007, Mickens mengenalkan model dinamik akar kuadrat. Interaksi pada model dinamik akar kuadrat dilambangkan dengan akar kuadrat dari perkalian dua kompartemen (subpopulasi) yang saling berinteraksi (Zeb dkk., 2013). Pemodelan matematika merupakan salah satu alat yang dapat membantu mempermudah penyelesaian masalah dalam kehidupan nyata. Masalah-masalah tersebut dapat dibawah kedalam model matematis dengan menggunakan asumsiasumsi tertentu. Dari model yang akan dicari solusinya, baik dengan cara analisis maupun secara numerik. Pada bidang kesehatan model matematika digunakan untuk mengetahui bagaimana penyebaran suatu penyakit menular maupun tidak menular dan penderita jumlah suatu penyakit baik yang berupa epidemik maupun tidak. Beberapa penyakit mempunyai periode laten, artinya selang waktu dimana suatu individu terinfeksi sampai munculnya penyakit. Periode laten inilah yang menjadi alasan pembentukan model SEIR. Salah satu model matematika yaitu model SEIR,
2
model ini diterapkan pada penyakit yang memiliki masa inkubasi cukup lama. Pada umumnya selama masa laten tersebut individu tidak bias menularkan penyakit. Berdasarkan uraian di atas penulis tertarik untuk mengkaji pemodelan populasi perokok menggunakan model SEIR, yang didalamnya terdapat empat subpopulasi sebagai berikut yaitu, ๐ adalah populasi susceptible yaitu individuindividu tidak merokok tapi rentang untuk merokok. ๐ธ adalah populasi exposed yaitu individu-indiividu yang kadang-kadang merokok. ๐ผ adalah populasi yang ๐๐๐๐๐๐ก๐๐ yaitu individu-individu yang merokok (perokok berat) dan dapat mempengaruhi seseorang yang tidak merokok (sehat). ๐
adalah populasi ๐๐๐๐๐ฃ๐๐๐๐ yaitu individu-individu yang telah berhenti untuk merokok. Dengan waktu penyebaran yang diperlukan untuk menyebarnya populasi rokok tersebut cukup lama. 1.2
Rumusan Masalah Dari latar belakang diatas maka perumusan adalah sebagai berikut:
1.
Bagaimana pemodelan matematika pada tipe SEIR untuk populasi perokok?
2.
Bagaimana bentuk kesetimbangan dan perilaku selesian pada populasi perokok sehingga mempengaruhi populasi perokok yang rentang ?
1.3
Tujuan Penelitian Berdasarkan rumusan masalah diatas, tujuan dari penelitian ini adalah
sebagai berikut: 1. Untuk mengetahui pemodelan matematika
tipe SEIR pada populasi
perokok.
3
2. Untuk mengetahui bentuk kesetimbangan dan perilaku selesaian pada populasi perokok sehingga mempengaruhi populasi yang tidak merokok tapi rentang untuk meroko. 1.4 Manfaat Penelitian Manfaat yang didapatkan adalah sebagai berikut: 1. Agar memberikan suatu sumbangsi pengetahuan bahwa ilmu matematika mempunyai peranan yang sangat luas bagi kehidupan. 2. Dapat dimanfaatkan dalam menambah wawasan atau pengetahuan pada masyarakat luas.
4
BAB II KAJIAN PUSTAKA 2.1
Model Dasar Penyebaran Penyakit Ada beberapa model epidemi selain model SI dan SIS, yaitu SIR, SEIR,
dan SEIRS. Secara singkat dapat digambarkan tentang model SI,SIR dan SEIR sebagai berikut. 2.1.1 Model Epidemi SI Pada model epidemi SI populasi dibagi menjadi dua kelompok yaiti: 1. Susceptible (๐) yaitu kelompok populasi yang sehat tetapi dapat terinfeksi penyakit (rentan) dan 2. Infected (๐ผ) yaitu kelompok populasi yang terinfeksi penyakit dan dapat menularkan ke populasi yang sehat. Model Epidemi SI dapat dinyatakan sbagai berikut: ๐๐ ๐ผ = โ๐ผ๐ , ๐๐ก ๐ ๐๐ผ ๐ผ = ๐ผ๐ , ๐๐ก ๐ Keterangan: ๐ผ : Laju perpindahan populasi dari golongan susceptible ke golongan invected setiap satuan waktu. N : Jumlah populasi.
5
2.1.2 Model Epidemi SIR Pada model epidemi SIR klasik, populasi dibagi menjadi tiga kelompok yaitu susceptible (๐), yaitu kelompok populasi yang sehat tetapi dapat terinfeksi penyakit, infected (๐ผ) yaitu kelompok populasi yang terinfeksi dan dapat sembuh dari penyakit, dan recovered (๐
) yaitu kelompok populasi yang telah sembuh dan kebal dari penyakit. Model epidemi SIR dapat dinyatakan sebagai berikut: ๐๐ ๐ผ = โ๐ผ๐ , ๐๐ก ๐ ๐๐ผ ๐ผ = ๐ผ๐ โ ๐ฝ๐ผ, ๐๐ก ๐ ๐๐
= ๐ฝ๐ผ , ๐๐ก Keterangan: ๐ผ:
Laju perpindahan populasi dari golongan susceptible ke golongan Recovered setiap satuan waktu.
๐ฝ:
Laju perpindahan populasi dari golongan invected ke golongan Recovered setiap satuan waktu.
N:
Jumlah populasi.
2.1.3 Model Epidemi SEIR Pada model epidemi SEIR klasik, populasi dibagi menjadi empat kelompok yaitu susceptible (๐) yaitu kelompok populasi yang sehat tetapi dapat terinfeksi penyakit, exposed (๐ธ) yaitu kelompok populasiyang dicurigai terinfeksi oleh penyakit, infected (๐ผ) yaitu kelompok populasi yang terinfeksi dan dapat
6
sembuh dari penyakit, dan recovered (๐
) yaitu kelompok populasi yang telah sembuh dan kebal dari penyakit. Model epidemi SEIR dapat dinyatakan sebagai berikut: ๐๐ ๐ผ = โ๐ผ๐ , ๐๐ก ๐ ๐๐ธ ๐ผ = ๐ผ๐ โ ๐ฝ๐ธ, ๐๐ก ๐ (2.1) ๐๐ผ = ๐ฝ๐ธ โ ๐พ๐ผ, ๐๐ก ๐๐
= ๐ฝ๐ผ , ๐๐ก Keterangan: ๐ผ:
Laju perpindahan populasi dari golongan susceptible ke golongan Recovered setiap satuan waktu.
๐ฝ:
Laju perpindahan populasi dari golongan exposed ke golongan invectedsetiap satuan waktu.
๐พ:
Laju perpindahan populasi dari golongan invected ke golongan recovered setiap satuan waktu.
N:
Jumlah populasi.
2.2 Dasar- Dasar Matematika 2.2.1
Sisitem Persamaan Diferensial Sistem persamaan diferensial adalah suatu sistem persamaan yang memuat
turunan beberapa fungsi yang tak diketahui. Persamaan diferensial seringkali
7
muncul dalam model matematika yang mencoba menggambarkan keadaan dikehidupan nyata. Sebagai contoh, laju pertumbuhan populasi perokok. Suatu persamaan diferensial orde 1 adalah persamaan yang berbentuk ๐๐ฅ ๐๐ก
= ๐(๐ฅ, ๐ก), ๐ฅ = (๐ฅ1 ๐ฅ2 , โฆ , ๐ฅ๐ ), dengan ๐ฅ, ๐ฅ โฒ , โฆ , ๐ฅ (๐) semuanya ditentukan
nilainya oleh t. Pada penelitian ini hanya akan dibahas sistem persamaan diferensial orde 1. Klasifikasi sistem persamaan diferensial yaitu: 1.
Sistem persamaan diferensial liniear orde 1 Suatu fungsi ๐(๐ฑ) merupakan fungsi yang linear misalnya ๐(๐ฑ) = ๐๐ฑ. Sistem
๐ฑ โฒ = ๐๐ฑ dengan x vektor dalam ๐
๐ disebut sistem linear berdimensi n, jika ๐ฅ: ๐
๐ โ ๐
๐ adalah pemetaan linear, dan ๐
๐ = {(๐ฅ1 , โฆ , ๐ฅ๐ )|๐ฅ1 , โฆ , ๐ฅ๐ โ ๐
} sedangkan ๐ฑ, ๐ฑ โฒ dan A ditulis: ๐๐ฅ1
๐ฅ1 ๐11 ๐๐ก โฒ โฎ ๐ฑ = [ ] , ๐ฑ = [ โฎ ] dan ๐ = [ โฎ ๐๐ฅ๐ ๐ฅ๐ ๐๐1 ๐๐ก
โฏ โฑ โฏ
๐1๐ โฎ ]. ๐๐๐
(2.2)
(Arrowsmith dan Place, 1982). 2.
Sistem persamaan diferensial nonliniear Diberikan sistem persamaan diferensial nonlinear ๐๐ฑ = ๐(๐ฑ, ๐ก) ๐๐ก
, ๐ฑ = (๐ฅ1 , โฆ , ๐ฅ๐ ).
Sistem persamaan diferensial ๐ฑ โฒ = ๐(๐ฑ, ๐ก) dikatakan nonlinear apabila fungsi ๐(๐ฅ) tak linear dan kontinu. Sistem di atas dapat berbentuk:
8
๐๐ฑ1 = ๐(๐ฅ1 , โฆ , ๐ฅ๐ , ๐ก) ๐๐ก โฎ
๐๐ฑ ๐ = ๐(๐ฅ1 , โฆ , ๐ฅ๐ , ๐ก) ๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐ค๐๐ ๐ฅ๐ก0 (๐ก0 ) = ๐ฅ๐ ; ๐ = 1,2, โฆ , ๐. ๐๐ก 3.
(2.3)
Sistem persamaan diferensial nonlinear yang autonomous Suatu sistem persamaan diferensial yang berbentuk ๐๐ฑ1 = ๐(๐ฅ1 , โฆ , ๐ฅ๐ , ๐ก) ๐๐ก โฎ ๐๐ฑ ๐ = ๐(๐ฅ1 , โฆ , ๐ฅ๐ , ๐ก). ๐๐ก
(2.4)
Dikatakan sistem autonomous apabila fungsi f tidak tergantung terhadap waktu yakni ๐ฑ โฒ = ๐(๐ฑ) dengan ๐(๐ฑ) merupakan fungsi yang nonlinear (Arrowsmith dan Place,1982). 2.2.2 Titik Kesetimbangan Model matematika yang terbentuk pada populasi perokok adalah sistem persamaan diferensial non linear karena adanya interaksi antara komponenkomponen dari ke-empat sub-populasi, sehingga perlu dicari solusi khusus. Salah satu solusi khusus dari model matematika jumlah perokok adalah titik kesetimbangan yang berikutnya akan dianalisis kestabilannya dari titik kesetimbangan yang didapatkan. Berikut ini diberikan beberapa definisi dan teorema yang berhubungan dengan analisis kesetimbangan sistem linier: Definisi 2.1 (Olsder, 2011). Titik ๐ฅโ pada sistem autonomous ๐๐ฅ = ๐(๐ฅ), ๐๐ก
(2.5)
Dikatakan titik setimbangan jika memenuhi ๐ (๐ฅโ) = 0.
9
Definisi Matriks Jacobian adalah matriks yang elemen-elemennya merupakan turunan parsial pertama dari beberapa fungsi. Misalkan terdapat tiga persamaan dengan tiga variabel sebagai berikut: ๐ฆ1 = ๐1 (๐ฅ1 ๐ฅ2 โฆ ๐ฅ๐ ) ๐ฆ2 = ๐2 (๐ฅ1 ๐ฅ2 โฆ ๐ฅ๐ ) (2.6) โฎ ๐ฆ๐ = ๐๐ (๐ฅ1 ๐ฅ2 โฆ ๐ฅ๐ ) Ditulis dalam bentuk Matriks Jacobian sebagai berikut:
๐ฝ=
๐๐ฆ1
๐๐ฆ1
๐๐ฅ1 ๐๐ฆ2
๐๐ฅ2 ๐๐ฆ2
๐๐ฅ1
๐๐ฅ2
๐๐ฆ๐
๐๐ฆ๐
โฎ
[ ๐๐ฅ1
โฎ
๐๐ฅ2
โฏ โฏ โฑ โฏ
๐๐ฆ1 ๐๐ฅ๐ ๐๐ฆ2 ๐๐ฅ๐
.
โฎ
(2.7)
๐๐ฆ๐
๐๐ฅ๐ ]
(Kelley dan Peterson, 2010) 2.2.3 Linearisasi di Sekitar Titik Kesetimbangan Salah satu cara untuk menganalisa sistem nonlinear autonomous ๐ฑ โฒ = ๐(๐ฑ) adalah menentukan titik kesetimbangan ๐ฅ0 = (๐ฅ01 , โฆ , ๐ฅ0๐ ) dan menentukan sifat solusi di sekitar titik tersebut. Sifat solusi sistem nonlinear ๐ฑ โฒ = ๐(๐ฑ) dapat didekati dengan meninjau sifat solusi sistem linear ๐ฑ โฒ = ๐๐ฑ, dimana A matriks Jacobian ๐ = ๐ท๐(๐ฅ01 , โฆ , ๐ฅ0๐ ). Fungsi linear ๐๐ฑ = ๐ท๐(๐ฅ01 , โฆ , ๐ฅ0๐ )๐ฑ disebut bagian linear dari f di sekitar titik (๐ฅ01 , โฆ , ๐ฅ0๐ ). Definisi 2.2 Titik (๐ฅ01 , โฆ . , ๐ฅ0๐ ) โ ๐
๐ adalah titik kesetimbangan dari ๐ฑ โฒ = ๐(๐ฑ), apabila ๐(๐ฅ01 , โฆ . , ๐ฅ0๐ ) = 0. Titik kesetimbangan (๐ฅ01 , โฆ , ๐ฅ0๐ ) disebut titik 10
kesetimbangan hiperbolik dari ๐ฑ โฒ = ๐(๐ฑ) jika semua nilai eigen dari matriks ๐ท๐(๐ฅ01 , โฆ , ๐ฅ0๐ ) tidak nol bagian realnya. Deret Taylor ๐1 (๐ฅ1 , โฆ , ๐ฅ๐ ) sampai ๐๐ (๐ฅ1 , โฆ , ๐ฅ๐ ) di sekitar titik kesetimbangan (๐ฅ01 , โฆ , ๐ฅ0๐ ) adalah: ๐1 (๐ฅ1 , โฆ , ๐ฅ๐ ) = ๐1 (๐ฅ01 , โฆ , ๐ฅ0๐ ) + ๐2 (๐ฅ1 , โฆ , ๐ฅ๐ ) = ๐2 (๐ฅ01 , โฆ , ๐ฅ0๐ ) + ๐๐ (๐ฅ1 , โฆ , ๐ฅ๐ ) = ๐๐ (๐ฅ01 , โฆ , ๐ฅ0๐ ) +
๐๐1 (๐ฅ01 ,โฆ,๐ฅ0๐ ) ๐๐ฅ1 ๐๐2 (๐ฅ01 ,โฆ,๐ฅ0๐ ) ๐๐ฅ1
(๐ฅ1 โ ๐ฅ01 ) + โฏ + (๐ฅ1 โ ๐ฅ01 ) + โฏ +
๐๐1 (๐ฅ01 ,โฆ,๐ฅ0๐ ) ๐๐ฅ๐ ๐๐2 (๐ฅ01 ,โฆ,๐ฅ0๐ ) ๐๐ฅ๐
(๐ฅ๐ โ ๐ฅ0๐ ) + โฏ (๐ฅ๐ โ ๐ฅ0๐ ) + โฏ
โฎ ๐๐ (๐ฅ ,โฆ,๐ฅ ) (๐ฅ1 โ ๐ฅ01 ) + โฏ + ๐ 01 0๐ (๐ฅ๐ โ ๐ฅ0๐ ) + โฏ
๐๐๐ (๐ฅ01 ,โฆ,๐ฅ0๐ ) ๐๐ฅ1
๐๐ฅ๐
Karena dititik kesetimbangan ๐1 (๐ฅ01 , โฆ , ๐ฅ0๐ )=๐2 (๐ฅ01 , โฆ , ๐ฅ0๐ ) = โฏ = ๐๐ (๐ฅ01 , โฆ , ๐ฅ0๐ )=0 dan ๐ฅ = (๐ฅ1 , โฆ , ๐ฅ๐ ) di sekitar titik kesetimbangan (๐ฅ01 , โฆ , ๐ฅ0๐ ) yang jaraknya dianggap cukup kecil, maka suku-suku yang memuat pangkat dua atau lebih seperti (๐ฅ1 โ ๐ฅ01 )2 , (๐ฅ2 โ ๐ฅ02 )2 , dan seterusnya, nilainya akan sangat kecil dan dapat diabaikan, sehingga diperoleh: ๐1 (๐ฅ1 , โฆ , ๐ฅ๐ ) ๐ (๐ฅ , โฆ , ๐ฅ๐ ) [2 1 ] โฎ ๐๐ (๐ฅ1 , โฆ , ๐ฅ๐ ) ๐๐1 (๐ฅ01 , โฆ , ๐ฅ0๐ ) ๐๐ฅ1 ๐๐2 (๐ฅ01 , โฆ , ๐ฅ0๐ ) โ ๐๐ฅ1 โฎ ๐๐๐ (๐ฅ01 , โฆ , ๐ฅ0๐ ) [ ๐๐ฅ1
๐๐1 (๐ฅ01 , โฆ , ๐ฅ0๐ ) ๐๐ฅ2 ๐๐2 (๐ฅ01 , โฆ , ๐ฅ0๐ ) ๐๐ฅ2 โฎ ๐๐๐ (๐ฅ01 , โฆ , ๐ฅ0๐ ) ๐๐ฅ2
๐๐1 (๐ฅ01 , โฆ , ๐ฅ0๐ ) (2.8) ๐๐ฅ๐ ๐ฅ1 โ ๐ฅ01 ๐๐2 (๐ฅ01 , โฆ , ๐ฅ0๐ ) ๐ฅ โ ๐ฅ 2 02 โฏ [ ] ๐๐ฅ๐ โฎ โฎ โฑ ๐๐ (๐ฅ , โฆ , ๐ฅ ) ๐ฅ๐ โ ๐ฅ0๐ ๐ 01 0๐ โฏ ๐๐ฅ๐ ] โฏ
Hal ini menunjukkan bahwa fungsi linear ๐ท๐(๐ฅ01 , โฆ , ๐ฅ0๐ )๐ฅ merupakan aproksimasi linear untuk fungsi nonlinear ๐(๐ฑ) di sekitar titik (๐ฅ01 , โฆ , ๐ฅ0๐ ),
11
sehingga tafsiran solusi dari sistem nonlinear ๐ฑ โฒ = ๐(๐ฑ) di sekitar (๐ฅ01 , โฆ , ๐ฅ0๐ ) dapat didekati dengan solusi dari sistem ๐ฑ โฒ = ๐๐ฑ. ๐๐ฅ1
๐ฅ1 ๐๐ก dimana ๐ฑ = [ โฎ ] , ๐ฑ โฒ = [ โฎ ] dan ๐ = ๐ท๐(๐ฅ01 , โฆ , ๐ฅ0๐ ) adalah matriks turunan ๐๐ฅ๐ ๐ฅ๐ ๐๐ก
parsial pertama (matriks Jacobian). Secara umum, jika komponen dari f berupa: ๐1 (๐ฅ1 , ๐ฅ2 , โฆ , ๐ฅ๐ ), ๐2 (๐ฅ1 , ๐ฅ2 , โฆ , ๐ฅ๐ ), โฆ , ๐๐ (๐ฅ1 , ๐ฅ2 , โฆ , ๐ฅ๐ ) Maka dapat dituliskan matriks dari persamaan tersebut adalah:
๐ด=
๐๐1
๐๐1
๐๐ฅ1 ๐๐2
๐๐ฅ2 ๐๐2
๐๐ฅ1
๐๐ฅ2
๐๐๐
๐๐๐
โฎ
[๐๐ฅ1
โฎ
๐๐ฅ2
โฏ โฏ โฑ โฏ
๐๐1 ๐๐ฅ๐ ๐๐2 ๐๐ฅ๐
โฎ
.
(2.9)
๐๐๐
๐๐ฅ๐ ]
Nilai eigen matriks konstan A memberikan informasi kestabilan lokal di titik kesetimbangan (๐ฅ01 , โฆ , ๐ฅ0๐ ) (Nayfeh dan Balachendra,1995). 2.2.4
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Definisi 2.3 Misalkan A suatu matriks n x n. Skalar ฮป disebut nilai eigen atau nilai karakteristik (characteristic value) dari A jika terdapat suatu vector tidak nol x, sehingga Ax= ฮปx. Vektor x disebut vector eigen atau vector karakteristik dari A yang bersesuaian dengan ฮป. Teorema 2.1 Jika A adalah matriks n x n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen satu sama lain: a) ฮป adalah nilai eigen dari A b) Sistem persamaan (๐๐ โ ๐)b = 0 mempunyai pemecahan yang tak nol. c) ฮป adalah pemecahan real dari persamaan ๐๐๐ก(๐๐ โ ๐) = 0 (Leon,2001).
12
Bukti: (๐) โ (๐) Diketahui ฮป adalah nilai eigen dari A. berdasarkan Definisi 2.3, diperoleh ๐๐ฑ = ๐๐ฑ atau ๐๐ฑ โ ๐๐ฑ = 0, dengan mengalikan matriks identitas I yang berukuran n x n, dapat dituliskan dengan ๐๐๐ฑ โ ๐๐ฑ = 0 atau (๐๐ฐ โ ๐)๐ฑ = 0. (๐) โ (๐) Diketahui (๐๐ โ ๐)๐ฑ = 0 dan mempunyai pemecahan tak nol. Ambil vektor ๐ฅ1 โ 0 sehingga (๐๐ โ ๐) = 0. Karena ๐ฅ1 โ 0, maka ๐๐๐ก(๐๐ โ ๐) = 0 (๐) โ (๐) Diketahui ฮป adalah pemecahan real dari dari persamaan ๐๐๐ก(๐๐ โ ๐) = 0. Berarti ada x vektor tak nol sehingga dapat dituliskan (๐๐ฐ โ ๐)๐ฑ = 0 atau ๐๐ฑ โ ๐๐ฑ. Berdasarkan Definisi 2.3, ฮป merupakan nilai eigen. Menurut Teorema 2.1 agar ฮป dapat menjadi nilai eigen, maka harus ada pemecahan tak nol dari persamaan (๐๐ฐ โ ๐)๐ฑ = 0 dan pemecahan tak nol diperoleh jika dan hanya jika: ๐๐๐ก(๐๐ โ ๐) = 0.
2.2.5
(2.10)
Sifat-Sifat Kestabilan Pada Titik Kesetimbangan Sistem persamaan diferensial pada populasi perokok adalah sistem
persamaan nonlinear ๐ฑ โฒ = ๐(๐ฑ) yang telah dilinearisasi menjadi sistem diferensial linear berbentuk ๐ฑ โฒ = ๐๐ฑ, dengan A adalah matriks Jacobian yang mempunyai nilai eigen dan vektor eigen, misalkan ๐ค๐ = ๐ข๐ + ๐๐ฃ๐ adalah vektor eigen dari matriks A yang
bersesuaian
dengan
nilai
eigen
๐๐ = ๐๐ + ๐๐๐ .Didefinisikan ๐ธ ๐ =
๐ ๐๐๐{๐ข๐ , ๐ฃ๐ |๐๐ < 0}, ๐ธ ๐ = ๐ ๐๐๐{๐ข๐ , ๐ฃ๐ |๐๐ = 0}, ๐ธ ๐ข = ๐ ๐๐๐{๐ข๐ , ๐ฃ๐ |๐๐ > 0}, Sehingga dapat dikatakan bahwa:
13
- Vektor-vektor eigen yang nilai-nilai eigen bagian realnya negative akan membentuk ruang stabil (๐ธ ๐ ). Ruang stabil biasanya berbentuk spiral dan simpul. - Vektor-vektor eigen yang nilai-nilai eigen bagian realnya positif akan membentuk ruang tidak stabil (๐ธ ๐ข ). Ruang tidak stabil biasanya berbentuk spiral dan simpul. - Vektor-vektor eigen yang nilai-nilai eigen bagian realnya nol akan membentuk ruang pusat (๐ธ ๐ ). Adapun bentuk-bentuk umum dan tipe-tipe kesetimbangan metode linear dengan enam sifat kestabilannya yaitu: I.
Nilai eigen kompleks: 1. Bagian real nol, menghasilkan trayektori pusat sentral atau stabil netral (neutral center atau neutral stable). 2. Bagian real positif, menghasilkan spiral tak stabil. 3. Bagian real negative, menghasilkan spiral stabil.
II. Nilai eigen real: 1. Kedua nilai eigen negative, menghasilkan simpul stabil (stable node). 2. Kedua nilai eigen positif, menghasilkan trayektori simpul tak stabil (unstable node). 3. Nilai eigen positif, yang lainnya negative, menghasilkan titik pelana (saddle point) (Tarumingkeng, 1994).
14
2.3 Solusi Numerik 2.3.1 Metode Runge Kutta Metode Runge-Kutta adalah alternatif lain dari metode deret Taylor yang tidak membutuhkan perhitungan turunan. Metode ini berusaha mendapatkan derajat ketelitian yang lebih tinggi, dan sekaligus menghindarkan keperluan mencari turunan yang lebih tinggi dengan jalan mengevaluasi fungsi (x,y) pada titik terpilih dalam setiap selang langkah. Metode Runge-Kutta adalah metode persamaan diferensial biasa yang paling popular karena banyak dipakai dalam praktek. Bentuk umum metode Runge Kutta orde-n ialah: ๐ฆ๐+1 = ๐ฆ๐ + ๐1 ๐1 + ๐2 ๐2 + โฏ ๐๐ ๐๐ Dengan ๐1 , ๐2 , โฆ , ๐๐ adalah tetapan, dan ๐1 = โ๐(๐ฅ๐ , ๐ฆ๐ ) ๐2 = โ๐(๐ฅ๐ + ๐1 โ, ๐ฆ๐ + ๐11 ๐1 ) ๐3 = โ๐(๐ฅ๐ + ๐2 โ, ๐ฆ๐ + ๐21 ๐1 + ๐22 ๐2 ) โฏ ๐๐ = โ๐(๐ฅ๐ + ๐๐โ1 โ, ๐ฆ๐ + ๐๐โ1,1 ๐1 + ๐๐โ1,2 ๐2 + โฏ + ๐๐โ1,๐โ1 ๐๐โ1 )
(2.11)
Nilai ๐๐ , ๐๐ , ๐๐๐ dipilih sedemikian rupa sehingga meminimumkan galat perlangkah. Secara umum metode Runge-Kutta mempunyai tiga sifat utama yaitu: 1. Metodenya satu langkah : untuk mencapai ๐ฆ๐+1 hanya diperlukan keterangan yang tersedia pada titik sebelumnya yaitu ๐ฅ๐, ๐ฆ๐ 2. Mendekati ketelitian deret Taylor sampai suku dalam โ๐ , dimana nilai p berbeda untuk metode yang berbeda, dan nilai p ini disebut derajat dari metode
15
3. Tidak memerlukan perhitungan turunan ๐(๐ฅ, ๐ฆ) tetapi hanya memerlukan fungsi itu sendiri. Metode
Runge-Kutta yang umum digunakan untuk mengintegrasikan
persamaan differensial adalah metode Runge-Kutta orde keempat yang berbentuk โ
๐ฆ๐+1= ๐ฆ๐ + 6 (๐1 + 2๐2 + 2๐3 + ๐4 dimana: ๐1 = ๐(๐ฅ๐ , ๐ฆ๐ ) ๐2 = ๐ (๐ฅ๐ + ๐3 = f (๐ฅ๐ +
โ 2
โ 2
, ๐ฆ๐ + , ๐ฆ๐ +
โ๐1 2
โ๐2 2
)
)
๐4 = ๐(๐ฅ๐ + โ, ๐ฆ๐ + โ๐3 ).
(Djojodihardjo, 2000).
16
BAB III METODE PENELITIAN 3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ini dilaksanakan mulai bulan Agustus samapi Oktober 2016. Kegiatan ini dilakukan di Laboratorium Komputasi Matematika dan Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Halu Oleo Kendari. 3.2 Metode dan Prosedur Penelitian Penelitian ini dilakukan dengan menggunakan metode penelitian kepustakaan atau studi literature. Adapun langkah-langkah dalam pembentukan model SEIR pada populasi perokok. 1. Identifikasi masalah, yaitu membaca dan memahami literature yang berkaitan dengan model matematika tipe SEIR pada populasi perokok, sehingga dapat menentukan sub-sub populasi yang akan digunakan dalam model. 2. Menyusun model matematika pada penyebaran populasi perokok menggunakan tipe SEIR dengan asumsi-asumsi yang digunakan. 3. Menyusun sistem persamaan model matematika pada populasi perokok dengan menggunakan tipe SEIR. 4. Analisis titik kesetimbangan diperlukan untuk mendapatkan suatu titik dari persamaan
๐๐ ๐๐ก
=
๐๐ธ ๐๐ก
๐๐ผ
= ๐๐ก =
๐๐
๐๐ก
= 0.
5. Mencari nilai eigen berdasarkan matriks jacobian yang melibatkan titik kesetimbangan.
17
6. Menentukan sifat-sifat kesetimbangan. 7. Simulasi Numerik. 8. Interpretasi` 9. penarikan suatu kesimpulan sehingga mendapatkan suatu hasil yang akan didapatkan. Langkah-langkah yang dilakukan dalam menyelesaikan tugas akhir tentang populasi perokok pada tipe SEIR pada waktu laten, secara skematik dapat diliat pada skema dalam Gambar 3.1. Asumsi
Skema
Modeling matematika
Analisis titik kesetimbangan dari ๐๐ผ ๐๐ก
,=
๐๐
๐๐ก
๐๐ ๐๐ก
=
๐๐ธ ๐๐ก
=
=0
Menentukan Nilai Eigen dari matriks jacobian
Sifat-sifat kestabilan dari simulasi pada model matematika
Interpestasi Gambar 3.1 Skema metode penelitian
18
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1
Model Matematika Populasi Perokok Pada tipe SEIR Pembahasan pada penelitian populasi perokok dengan menggunakan tipe
SEIR. yang terdapat empat sub-populasi, yakni individu sehat yang rentang untuk menjadi perokok yaitu (๐), perokok kadang-kadang yaitu (๐ธ), perokok yaitu (๐ผ), dan individu yang pernah menjadi perokok tapi sudah berhenti merokok yaitu (๐
). Asumsi 4.1. Asumsi yang digunakan pada penelitian populasi perokok adalah sebagai berikut: 1. Populasi dibedakan menjadi empat kelompok yaitu ๐ ๐ข๐ ๐๐๐๐ก๐๐๐๐ ๐๐ก๐๐ข (๐) adalah
individu
yang
sehat
perokok, ๐ธ๐ฅ๐๐๐ ๐๐ ๐๐ก๐๐ข (๐ธ) adalah
tapi
rentang
perokok
yang
untuk
menjadi
kadang-kadang,
๐ผ๐๐๐๐๐ก๐๐ ๐๐ก๐๐ข (๐ผ) adalah perokok, dan ๐
๐๐๐๐ฃ๐๐๐๐ ๐๐ก๐๐ข (๐
) adalah perokok yang telah berhenti merokok dan sudah kebal sehingga tidak akan kembali untuk merokok lagi. 2. Individu yang dapat menyebarkan populasi perokok meningkat dikelompokkan dalam
dua
kategori
yaitu
populasi
perokok
kadang-kadang
atau
๐ธ๐ฅ๐๐๐ ๐๐ ๐๐ก๐๐ข (๐ธ) dimana individu tersebut sudah menjadi perokok tapi belum dapat menularkan menjadi perokok berat tetapi dapat berhenti sesaat dan belum menjadi perokok berat dan individu yang perokok ๐๐๐๐๐ก ๐๐ก๐๐ข ๐ผ๐๐๐๐๐ก๐๐ (๐ผ) individu yang perokok berat (2 atau 3 bungkus dalam 1 harian) yang dapat menularkan ke individu yang rentang.
19
3. Laju kelahiran individu baru yaitu ๐, yang masuk ke perokok yang rentang sehingga individu yang baru lahir dapat menjadi individu yang rentang untuk menjadi perokok. 4. Laju kematian indidvidu yang sehat tapi rentang untuk menjadi perokok, perokok kadang-kadang, perokok dan perokok yang telah berhenti. Untuk laju kematian pada perokok yang rentang sebesar ๐๐, laju kematian perokok kadangkadang sebesar ๐๐ธ, laju kematian pada perokok sebesar ๐๐ผ, dan laju kematian pada perokok yang berhenti sebesar ๐๐
. 5. Laju pertumbuhan populasi individu yang sehat tapi rentang untuk menjadi perokok terhadap waktu yang dipengaruhi oleh besarnya ๐ atau kelahiran individu yang masuk ke individu yang rentang, sehingga laju perubahan ๐ผ1 ๐๐ธ yang keluar dari populasi perokok yang rentang ke yang perokok kadangkadang, sehingga laju perubahan individu yang merokok dapat masuk ke perokok yang rentang sebesar ๐ฝ2 ๐ผ dan populasi individu yang kadang-kadang merokok yang masuk ke populasi perokok tapi rentang untuk merokok sebesar ๐ผ2 ๐ธ sehingga keluar suatu kematian alami yang terjadi pada populasi individu yang tidak merokok tapi rentang untuk merokok sebesar ๐๐. 6. Laju populasi individu yang kadang-kadang merokok terhadap waktu sehingga laju perubahan dari populasi individu yang tidak merokok tapi rentang untuk merokok besarnya ๐ผ1 ๐๐ธ yang masuk ke individu yang kadang-kadang merokok sehingga besarnya laju perubahan pada populasi kadang-kadang merokok ke yang tidak merokok dapat keluar sebesar ๐ผ2 ๐ธ sehingga laju perubahan yang keluar dari populasi individu yang kadang-kadang ke yang berhenti merokok
20
yaitu sebesar ๐พ2 ๐ธ sehingga dalam populasi individu yang kadang-kadang merokok dapat keluar suatu angkah kematian sebesar ๐๐ธ. 7. Laju populasi individu perokok berat terhadap waktu yang dapat mempengaruhi laju perubahan individu dari yang kadang-kadang merokok ke yang perokok yang masuk sebesar ๐ฝ1 ๐ธ sehingga besarnya ๐ฝ2 ๐ผ laju perubahan dari yang berhenti merokok ke individu yang perokok tapi rentang untuk merokok, serta besarnya laju perubahan ๐พ1 ๐ธ yang keluar menjadi individu yang berhenti merokok sehingga dalam populasi perokok dapat keluar suatu kematian alami sebesar ๐๐
. 8. Laju populasi individu yang berhenti merokok terhadap waktu mempengaruhi laju perubahan dari populasi yang merokok ke yang berhenti merokok yang masuk sebesar ๐พ1 ๐ผ dan besarnya laju perubahan dari populasi yang kadangkadang merokok ke yang berhenti merokok yang masuk sebesar ๐พ2 ๐ธ sehingga dalam populasi yang berhenti merokok dapat keluar suatu angkah kematian alami sebesar ๐๐
. 4.1.2 Skema Model Tipe SEIR Pada populasi Perokok Dari Asumsi 4.1 maka didapatkan skema model Tipe SEIR Pada Populasi Perokok yang dapat dilihat pada Gambar 4.1.
Gambar 4.1.1 Tipe SEIR Pada Populasi Perokok
21
4.1.3 Model Matematika Berdasarkan Asumsi pada 4.1 dan skema Gambar 4.1 maka diperoleh model populasi perokok tipe SEIR sebagai berikut: ๐๐ ๐๐ก
= ๐ โ ๐ผ1 ๐๐ธ + ๐ฝ2 ๐ผ + ๐ผ2 ๐ธ โ ๐๐.
๐๐ธ = ๐ผ1 ๐๐ธ โ ๐ผ2 ๐ธ โ ๐ฝ1 ๐ธ โ ๐พ2 ๐ธ โ ๐๐ธ. ๐๐ก (4.1) ๐๐ผ = ๐ฝ1 ๐ธ โ ๐ฝ2 ๐ผ โ ๐พ1 ๐ธ โ ๐๐
. ๐๐ก ๐๐ผ ๐๐ก
= ๐พ1 ๐ผ + ๐พ2 ๐ธ โ ๐๐
.
Keterangan sebagai berikut: ๐
adalah laju kelahiran individu baru yang masuk ke populasi yang berpotensial merokok
๐
adalah tidak merokok tapi rentang untuk menjadi perokok.
๐ผ1 adalah laju perubahan populasi yang tidak merokok tapi rentang merokok yang masuk ke individu yang kadang-kadang merokok. ๐ผ2 adalah laju perubahan populasi yang kadang-kadang merokok yang masuk ke individu yang tidak merokok tapi rentang merokok ๐ธ
adalah perokok yang kadang-kadang.
๐ฝ1 adalah laju perubahan populasi yang kadang-kadang merokok yang masuk kedalam populasi perokok berat.
22
๐ผ
adalah perokok berat.
๐พ1 adalah laju perubahan populasi perokok berat yang masuk menjadi individu yang berhenti merokok dan tidak lagi merokok. ๐
adalah perokok yang sudah berhenti merokok dan tidak lagi merokok.
๐ฝ2 adalah laju perubahan perokok kadang-kadang sehingga masuk menjadi populasi individu yang berhenti merokok dan tidak lagi merokok. ๐พ2 adalah laju perubahan dari individu perokok potensial sehingga menjadi perokok berat akibat dari interaksi dari perokok mula-mula. ๐ 4.2
adalah laju kematian alami pada semua populasi perokok.
Titik Kesetimbangan dari populasi perokok Kestabilan dari populasi perokok dapat ditentukan dengan mencari suatu
titik kesetimbangan pada populasi perokok tipe SEIR, dapat ditentukan ketika laju perubahan populasi yang rentang, laju perubahan populasi yang kadang-kadang merokok, laju perubahan populasi perokok, dan laju perubahan populasi yang berhenti merokok berubah terhadap waktu . yang diperoleh secara sistem persamaan
๐๐ ๐๐ก
= 0,
๐๐ธ ๐๐ก
๐๐ผ
๐๐
= 0, ๐๐ก = 0, ๐๐ก = 0. Didapatkan dua titik kesetimbangan
yaitu sebagai berikut: a. Titik Kesetimbangan bebas perokok
23
Titik kesetimbangan bebas merokok dapat dinyatakan dalam bentuk ๐ธ0โ = (๐0, ๐ธ0 , ๐ผ0 , ๐
0 ) terjadi jika ๐ธ = 0, ๐๐๐ ๐ผ = 0, sehingga berdasarkan sistem persamaan pada model tersebut diperoleh: ๐๐ = ๐ โ ๐ผ1 ๐๐ธ + ๐ฝ2 ๐ผ + ๐ผ1 ๐ธ โ ๐๐ = 0. ๐๐ก ๐๐
= ๐พ1 ๐ผ + ๐พ2 ๐ธ โ ๐๐
= 0. ๐๐ก
(4.2)
Karena ๐ธ = 0, ๐๐๐ ๐ผ = 0, maka diperoleh: ๐ โ ๐ผ1 ๐๐ธ + ๐ฝ2 ๐ผ + ๐ผ1 ๐ธ โ ๐๐ = 0 ๐ โ ๐ผ1 ๐(0) + ๐ฝ2 (0) โ ๐ผ2 (0) + ๐๐ = 0 (4.3) ๐ = ๐๐ ๐
๐0 = ๐ . Dan untuk mendapatkan nilai R diperoleh sebagai berikut: ๐พ1 ๐ผ + ๐พ2 ๐ธ โ ๐๐
= 0 ๐พ1 (0) + ๐พ2 (0) โ ๐๐
= 0
(4.4)
โ๐๐
= 0. Jadi, titik kesetimbangan bebas perokok adalah ๐
๐ธ0โ = (๐0 , ๐ธ0 , ๐ผ0 , ๐
0 ) = ( ๐ ,0,0,0).
(4.5)
24
b. Titik kesetimbangan epidemik Titik
kesetimbangan
epidemik
dinyatakan
dalam
bentuk
๐ธ1โ =
(๐1 , ๐ธ1 , ๐ผ1 , ๐
1 ) terjadi jika ๐ธ > 0 dan ๐ผ > 0. Berdasarkan dengan sistem persamaan pada model tersebut diperoleh: Untuk
๐๐ธ ๐๐ก
= 0, diperoleh sebagai berikut:
๐ผ1 ๐๐ธ โ ๐ผ2 ๐ธ โ ๐ฝ2 ๐ธ โ ๐พ2 ๐ธ โ ๐๐ธ = 0 (๐ผ1 ๐ + ๐ผ2 )๐ธ โ (๐ฝ2 โ ๐พ2 โ ๐)๐ธ (4.6)
(๐ผ1 ๐ + ๐ผ2 + ๐ฝ2 + ๐พ2 + ๐)
๐1 =
๐ผ2 + ๐ฝ2 + ๐พ2 + ๐ , ๐ผ1
Dengan bantuan soffwere Maple ๐ธ1 = ๐ผ1 =
โ๐๐ผ1 ๐ฝ2 โ๐๐ผ1 ๐+๐๐ผ2 ๐ฝ2 +๐พ2 ๐2 +๐ 3 +๐พ2 ๐๐ฝ2 +2๐ 2 ๐ฝ2 +๐ 2 ๐ผ2 +๐๐ฝ22 ๐ผ1 (๐พ2 ๐ฝ2 +๐ฝ22 +2๐๐ฝ2 +๐ 2 โ๐ฝ1 ๐ฝ2 +๐ฝ2 ๐พ1 +๐๐พ2 )
,
โ๐ฝ1 ๐๐ผ1 + ๐พ2 ๐ฝ1 ๐ โ ๐พ2 ๐พ1 ๐ + ๐ฝ1 ๐2 โ ๐พ1 ๐๐ผ2 + ๐ฝ1 ๐๐ฝ2 + ๐พ1 ๐๐ผ1 โ ๐พ1 ๐๐ฝ2 โ ๐พ1 ๐2 , ๐ผ1 (๐พ2 ๐ฝ2 + ๐ฝ22 + 2๐๐ฝ2 + ๐2 โ ๐ฝ1 ๐ฝ2 + ๐ฝ2 ๐พ1 + ๐๐พ2 )
๐
1 =
(โ๐๐ผ1 +๐๐พ2 +๐ 2 +๐๐ผ2 +๐๐ฝ2 )(๐พ2 ๐ฝ2 +๐๐พ2 +๐ฝ1 ๐พ1 โ๐พ22 ๐๐ผ1 (๐พ2 ๐ฝ2 +๐ฝ22 +2๐๐ฝ2 +๐2 โ๐ฝ1 ๐ฝ2 +๐ฝ2 ๐พ1 +๐๐พ2 )
.
Jadi titik kesetimbangan epidemik perokok adalah
๐ธ1โ = (๐1 , ๐ธ1 , ๐ผ1 , ๐
1 ) = ๐1 = ๐ธ1 = ๐ผ1 =
๐ผ2 + ๐ฝ2 + ๐พ2 + ๐ , ๐ผ1
โ๐๐ผ1 ๐ฝ2 โ๐๐ผ1 ๐+๐๐ผ2 ๐ฝ2 +๐พ2 ๐2 +๐ 3 +๐พ2 ๐๐ฝ2 +2๐ 2 ๐ฝ2 +๐ 2 ๐ผ2 +๐๐ฝ22 ๐ผ1 (๐พ2 ๐ฝ2 +๐ฝ22 +2๐๐ฝ2 +๐ 2 โ๐ฝ1 ๐ฝ2 +๐ฝ2 ๐พ1 +๐๐พ2 )
,
โ๐ฝ1 ๐๐ผ1 +๐พ2 ๐ฝ1 ๐โ๐พ2 ๐พ1 ๐+๐ฝ1 ๐2 โ๐พ1 ๐๐ผ2 +๐ฝ1 ๐๐ฝ2 +๐พ1 ๐๐ผ1 โ๐พ1 ๐๐ฝ2 โ๐พ1 ๐2 , ๐ผ1 (๐พ2 ๐ฝ2 +๐ฝ22 +2๐๐ฝ2 +๐2 โ๐ฝ1 ๐ฝ2 +๐ฝ2 ๐พ1 +๐๐พ2 )
๐
1 =
(โ๐๐ผ1 + ๐๐พ2 + ๐2 + ๐๐ผ2 + ๐๐ฝ2 )(๐พ2 ๐ฝ2 + ๐๐พ2 + ๐ฝ1 ๐พ1 โ ๐พ22 ๐๐ผ1 (๐พ2 ๐ฝ2 + ๐ฝ22 + 2๐๐ฝ2 + ๐2 โ ๐ฝ1 ๐ฝ2 + ๐ฝ2 ๐พ1 + ๐๐พ2 )
.
25
4.3 Analisis Kestabilan Pada Titik Kesetimbangan Pada pembahasan ini akan dilakukan analisis kestabilan pada titik kesetimbangan dengan cara pelinearisasian suatu sistem model penyebaran perokok. Persamaan yang akan dilinearisasikan adalah sebagai berikut: ๐1 (๐, ๐ธ, ๐ผ, ๐
) = ๐ โ ๐ผ๐ ๐๐ธ + ๐ฝ2 ๐ผ + ๐ผ๐ ๐ธ โ ๐๐ ๐2 (๐, ๐ธ, ๐ผ, ๐
, ) = ๐ผ๐ ๐๐ธ โ ๐ผ๐ ๐ธ โ ๐ฝ2 ๐ธ โ ๐พ2 ๐ธ โ ๐๐ธ
(4.7)
๐3 (๐, ๐ธ, ๐ผ, ๐
) = ๐ฝ1 ๐ธ โ ๐ฝ2 ๐ผ โ ๐พ1 ๐ธ โ ๐๐ผ ๐4 (๐, ๐ธ, ๐ผ, ๐
) = ๐พ1 ๐ผ + ๐พ2 ๐ธ โ ๐๐
Dari keempat persamaan nonlinear di atas dapat dilinearkan sebagai berikut: ๐๐1 ๐(๐ โ ๐ผ1 ๐๐ธ + ๐ฝ2 ๐ผ + ๐ผ2 ๐ธ โ ๐๐) = = โ๐ผ1 ๐ธ โ ๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐1 ๐(๐ โ ๐ผ1 ๐๐ธ + ๐ฝ2 ๐ผ + ๐ผ2 ๐ธ โ ๐๐) = = โ๐ผ1 ๐ + ๐ผ2 ๐๐ธ ๐๐ผ ๐๐1 ๐(๐ โ ๐ผ1 ๐๐ธ + ๐ฝ2 ๐ผ + ๐ผ2 ๐ธ โ ๐๐) = = ๐ฝ2 ๐๐ผ ๐๐ผ ๐๐1 ๐(๐ โ ๐ผ1 ๐๐ธ + ๐ฝ2 ๐ผ + ๐ผ2 ๐ธ โ ๐๐) = =0 ๐๐
๐๐
๐๐2 ๐(๐ผ1 ๐๐ธ โ ๐ผ2 ๐ธ โ ๐ฝ2 ๐ธ โ ๐พ2 ๐ธ โ ๐๐ธ ) = = ๐ผ1 ๐ธ ๐๐ ๐๐ ๐๐2 ๐(๐ผ1 ๐๐ธ โ ๐ผ2 ๐ธ โ ๐ฝ2 ๐ธ โ ๐พ2 ๐ธ โ ๐๐ธ ) = = ๐ผ1 ๐ โ ๐ผ2 โ ๐ฝ2 โ ๐พ2 โ ๐ ๐๐ธ ๐๐ธ ๐๐2 ๐(๐ผ1 ๐๐ธ โ ๐ผ2 ๐ธ โ ๐ฝ2 ๐ธ โ ๐พ2 ๐ธ โ ๐๐ธ ) = =0 ๐๐ผ ๐๐ผ
26
๐๐2 ๐(๐ผ1 ๐๐ธ โ ๐ผ2 ๐ธ โ ๐ฝ2 ๐ธ โ ๐พ2 ๐ธ โ ๐๐ธ ) = =0 ๐๐
๐๐
๐๐3 ๐(๐ฝ1 ๐ธ โ ๐ฝ2 ๐ผ โ ๐พ1 ๐ธ โ ๐๐ผ) = =0 ๐๐ ๐๐ ๐๐3 ๐(๐ฝ1 ๐ธ โ ๐ฝ2 ๐ผ โ ๐พ1 ๐ธ โ ๐๐ผ) = = ๐ฝ1 โ ๐พ1 ๐๐ธ ๐๐ธ ๐๐3 ๐(๐ฝ1 ๐ธ โ ๐ฝ2 ๐ผ โ ๐พ1 ๐ธ โ ๐๐ผ) = = โ๐ฝ2 โ ๐ ๐๐ผ ๐๐ผ ๐๐3 ๐(๐ฝ1 ๐ธ โ ๐ฝ2 ๐ผ โ ๐พ1 ๐ธ โ ๐๐ผ) = =0 ๐๐
๐๐
๐๐4 ๐(๐พ1 ๐ผ + ๐พ2 ๐ธ โ ๐๐
) = =0 ๐๐ ๐๐ ๐๐4 ๐(๐พ1 ๐ผ + ๐พ2 ๐ธ โ ๐๐
) = = ๐พ2 ๐๐ธ ๐๐ธ ๐๐4 ๐(๐พ1 ๐ผ + ๐พ2 ๐ธ โ ๐๐
) = = ๐พ1 ๐๐ผ ๐๐ผ ๐๐4 ๐(๐พ1 ๐ผ + ๐พ2 ๐ธ โ ๐๐
) = = โ๐ ๐๐
๐๐
Linearisasi sistem persamaan diatas adalah matriks jacobian J. Selanjutnya dari hasil persamaan linear yang didapatkan diatas, maka dimasukkan kedalam matriks jacobian J, sehingga diperoleh suatu matrik jacobian yang berukuran 4x4 sebagai berikut:
27
๐๐1 ๐๐ ๐๐2 ๐๐ ๐ฝ = ๐๐ 3 ๐๐ ๐๐4 [ ๐๐
๐๐1 ๐๐ธ ๐๐2 ๐๐ธ ๐๐3 ๐๐ธ ๐๐4 ๐๐ธ
๐๐1 ๐๐ผ ๐๐2 ๐๐ผ ๐๐3 ๐๐ผ ๐๐4 ๐๐ผ
๐๐1 ๐๐
๐๐2 ๐๐
. ๐๐3 ๐๐
๐๐4 ๐๐
]
Selanjutnya hasil yang didapatkan dari persamaan nonlinear diatas di subtitusikan ke dalam matriks jacobian, sehingga diperoleh matriks sebagai berikut: โ๐ผ1 ๐ธ โ ๐ ๐ผ๐ ๐ธ ๐ฝ=[ 0 0
โ๐ผ1 ๐ + ๐ผ2 ๐ผ๐ ๐ โ ๐ผ๐ โ ๐ฝ2 โ ๐พ2 โ ๐ ๐ฝ1 โ ๐พ1 ๐พ2
๐ฝ2 0 โ๐ฝ2 โ ๐ ๐พ1
0 0 ]. 0 โ๐
(4.8)
4.3.1 Analisis Kestabilan Titik Kesetimbangan Bebas Dari Rokok Analisis kestabilan titik kesetimbangan bebas dari rokok
๐ธ0โ =
๐
(๐0 ๐ธ0 ๐ผ0 ๐
0 )dimana (๐ = ๐ , ๐ธ = 0, ๐ผ = 0, ๐
= 0). Disubtitusi pada persamaan 4.8 sehingga di peroleh sebagai berikut: โ๐ ๐ฝ1 = ๐ฝ(๐ธ0โ ) [
0 0 0
๐ผ1 ๐ + ๐ผ2 ๐ ๐ผ1 ๐ โ ๐ผ2 โ ๐ฝ2 โ ๐พ2 โ ๐ ๐ ๐ฝ1 โ ๐พ1 ๐พ2 โ
๐ฝ2 0 โ๐ฝ2 โ ๐ ๐พ1
0 0 . 0 โ๐ ]
Untuk mencari nilai eigen matriks jacobian yang berukuran 4x4, maka matriks jacobian ๐ฝ1 ditulis sebagai berikut: ๐๐๐ก[๐๐ผ โ ๐ฝ0 ] = 0
28
1 0 ๐๐๐ก ๐ [0 0 (
0 1 0 0
โ
๐ผ1 ๐
โ๐ 0 0 [ 0
๐ผ1 ๐ ๐
๐
0 0 1 0
0 0 ]โ 0 1
+ ๐ผ2
๐ฝ2
โ ๐ผ2 โ ๐ฝ2 โ ๐พ2 โ ๐
๐ผ1 ๐
๐+๐ ๐๐๐ก ([
0 โ๐ฝ2 โ ๐ ๐พ1
๐ฝ1 โ ๐พ1 ๐พ2
โ
โ๐ ๐ 0 0 0 ๐ 0 0 ๐๐๐ก [0 ]โ 0 0 0 ๐ 0 0 0 0 0 ๐ [ 0 (
๐+
0 0 0
๐ผ1 ๐ ๐
๐
0
๐ผ1 ๐
๐ผ1 ๐ ๐
๐
0 =0 0 โ๐ ])
+ ๐ผ2
๐ฝ2
โ ๐ผ2 โ ๐ฝ2 โ ๐พ2 โ ๐ ๐ฝ1 โ ๐พ1 ๐พ2
+ ๐ผ2
โ๐ฝ2
โ ๐ผ2 โ ๐ฝ2 โ ๐พ2 โ ๐ โ๐ฝ1 โ ๐พ1 โ๐พ2
0 ๐ + ๐ฝ2 โ ๐ โ๐พ1
0
0 โ๐ฝ2 โ ๐ ๐พ1
0 =0 0 โ๐ ])
0 0 =0 0 โ๐ ])
Persamaan karakteristiknya adalah: ๐+ (๐ + ๐ ) [
๐ผ1 ๐ ๐
โ๐ฝ1 โ ๐พ1 โ๐พ2
( 0 0 ๐ผ2 [0 ๐ + ๐ฝ2 โ ๐ 0 โ๐พ1 (๐ + ๐ ) ((๐ +
๐ผ1 ๐ ๐
0 0] โ๐
โ ๐ผ2 โ ๐ฝ2 โ ๐พ2 โ ๐
0 ๐ + ๐ฝ2 โ ๐ โ๐พ1
0 0] โ โ๐
๐ผ1 ๐ ๐
+
=0 )
โ ๐ผ2 โ ๐ฝ2 โ ๐พ2 โ ๐) (๐ + ๐ฝ2 โ ๐)(โ๐)) โ
๐ผ1 ๐ ๐
+ ๐ผ2 (๐ +
๐ฝ2 โ ๐)(โ๐) = 0. Berdasarkan bantuan
dari software maple, sehingga diperoleh nilai
eigennya sebagai berikut:
29
๐1 = โ๐1 , ๐2 = โ๐1 , ๐3 = โ
โ๐๐ผ1 +๐๐พ2 +๐ 2 +๐๐ผ2 +๐๐ฝ2 ๐
(4.9) ,
๐4 = โ๐ฝ2 โ ๐. Dari nilai eigen yang diperoleh, ditunjukkan bahwa ๐1 , ๐2 < 0, dikarenakan nilai dari ๐ > 0. Jika โ
โ๐๐ผ1 +๐๐พ2 +๐ 2 +๐๐ผ2 +๐๐ฝ2 ๐
pada ๐3 memiliki nilai real negatif, maka
nilai eigen untuk ๐3 < 0, dan jika โ๐ฝ2 โ ๐ pada ๐4 memiliki nilai real negatif maka nilai eigen dari ๐4 < 0
sehingga titik kesetimbangan bebas perokok
menghasilkan perilaku stabil asimtotik., sebaliknya jika โ๐๐ผ1 >
๐๐พ2 +๐ 2 +๐๐ผ2 +๐๐ฝ2 ๐
pada ๐3 memiliki nilai real positif maka nilai ๐3 > 0 dan jika โ๐ฝ2 > โ๐ pada ๐4 memiliki nilai real positif maka nilai ๐4 > 0 sehingga titik kesetimbangan bebas perokok menghasilkan perilaku ๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ก. Secara umum, sifat kestabilan bebas perokok di sajikan pada Tabel 4.1 berikut. Tabel 4.1 Kestabilan di titik kesetimbangan bebas perokok
Titik kesetimbangan bebas dari perokok
๐1
๐2
Real negative
Real negative
Real negative
Real negative
๐3
๐4
Real Real negative negative
Real positif
Real positif
Sifat kestabilan
Stabil asimtotik
Saddle Point
30
4.3.2 Analisis kestabilan titik kesetimbangan epidemik perokok Kestabilan titik kesetimbangan epidemik ๐ธ1โ = (๐1 , ๐ธ1 , ๐ผ, ๐
1 ) dimana, ๐1 =
๐ผ2 +๐ฝ2 +๐พ2 +๐ ๐ผ1
,
โ๐๐ผ1 ๐ฝ2 โ ๐๐ผ1 ๐ + ๐๐ผ2 ๐ฝ2 + ๐พ2 ๐ 2 + ๐ 3 + ๐พ2 ๐๐ฝ2 + 2๐ 2 ๐ฝ2 + ๐ 2 ๐ผ2 + ๐๐ฝ22 ๐ธ1 = , ๐ผ1 (๐พ2 ๐ฝ2 + ๐ฝ22 + 2๐๐ฝ2 + ๐ 2 โ ๐ฝ1 ๐ฝ2 + ๐ฝ2 ๐พ1 + ๐๐พ2 ) ๐ผ1 =
โ๐ฝ1 ๐๐ผ1 + ๐พ2 ๐ฝ1 ๐ โ ๐พ2 ๐พ1 ๐ + ๐ฝ1 ๐2 โ ๐พ1 ๐๐ผ2 + ๐ฝ1 ๐๐ฝ2 + ๐พ1 ๐๐ผ1 โ ๐พ1 ๐๐ฝ2 โ ๐พ1 ๐2 , ๐ผ1 (๐พ2 ๐ฝ2 + ๐ฝ22 + 2๐๐ฝ2 + ๐2 โ ๐ฝ1 ๐ฝ2 + ๐ฝ2 ๐พ1 + ๐๐พ2 )
๐
1 =
(โ๐๐ผ1 +๐๐พ2 +๐ 2 +๐๐ผ2 +๐๐ฝ2 )(๐พ2 ๐ฝ2 +๐๐พ2 +๐ฝ1 ๐พ1 โ๐พ22 ๐๐ผ1 (๐พ2 ๐ฝ2 +๐ฝ22 +2๐๐ฝ2 +๐2 โ๐ฝ1 ๐ฝ2 +๐ฝ2 ๐พ1 +๐๐พ2 )
.
Disubstitusi pada persamaan 4.10 sehingga diperoleh: ๐ฝ2 = ๐ฝ(๐ธ1โ )= โ๐๐ผ1 ๐ฝ2 โ๐๐ผ2 ๐ฝ2 +๐พ2 ๐2 +๐3 +๐พ2 ๐๐ฝ2 +2๐2 ๐ฝ2 +๐2 ๐ผ2 +๐๐ฝ22 ๐พ2 ๐ฝ2 +๐ฝ22 +2๐๐ฝ2 +๐2 โ๐ฝ1 ๐ฝ2 +๐ฝ2 ๐พ1 +๐๐พ2
โ
โ๐
โ๐๐ผ1 ๐ฝ2 โ๐๐ผ1 ๐+๐๐ผ2 ๐ฝ2 +๐พ2 ๐2 +๐3 +๐พ2 ๐๐ฝ2 +2๐2 ๐ฝ2 +๐2 ๐ผ2 +๐๐ฝ22 ๐พ2 ๐ฝ2 +๐ฝ22 +2๐๐ฝ2 +๐2 โ๐ฝ1 ๐ฝ2 +๐ฝ2 ๐พ1 +๐๐พ2
0 0
[
๐ฝ2
0
0 โ๐ฝ2 โ ๐ ๐พ1
0 0 โ๐
โ๐ฝ2 โ ๐พ2 โ ๐ 0 ๐ฝ1 โ ๐พ1 ๐พ2
(4.10) ]
Untuk mencari nilai eigen matrik jacobian ๐ฝ2 yang berukuran 4 x 4, maka matriks jacobian ๐ฝ2 ditulis sebagai: ๐๐๐ก[๐๐ผ โ ๐ฝ2 ] = 0
1 0 ๐๐๐ก [ 0 0 (
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 ] 0 1
โ๐๐ผ1 ๐ฝ2 โ ๐๐ผ2 ๐ฝ2 + ๐พ2 ๐2 + ๐3 + ๐พ2 ๐๐ฝ2 + 2๐2 ๐ฝ2 + ๐2 ๐ผ2 + ๐๐ฝ22 โ๐ ๐พ2 ๐ฝ2 + ๐ฝ22 + 2๐๐ฝ2 + ๐2 โ ๐ฝ1 ๐ฝ2 + ๐ฝ2 ๐พ1 + ๐๐พ2 2 2 3 2 2 โ โ โ๐๐ผ1 ๐ฝ2 โ ๐๐ผ1 ๐ + ๐๐ผ2 ๐ฝ2 + ๐พ2 ๐ + ๐ + ๐พ2 ๐๐ฝ2 + 2๐ ๐ฝ2 + ๐ ๐ผ2 + ๐๐ฝ2 2 2 ๐พ2 ๐ฝ2 + ๐ฝ2 + 2๐๐ฝ2 + ๐ โ ๐ฝ1 ๐ฝ2 + ๐ฝ2 ๐พ1 + ๐๐พ2 0 [ 0
โ๐ฝ2 โ ๐พ2 โ ๐ 0 ๐ฝ1 โ ๐พ1 ๐พ2
๐ฝ2
0
0 โ๐ฝ2 โ ๐ ๐พ1
0 0 โ๐ ])
=0
31
๐ 0 ๐๐๐ก [ 0 0 (
0 0 ๐ 0 0 ๐ 0 0
0 0 ] 0 ๐
โ๐๐ผ1 ๐ฝ2 โ ๐๐ผ2 ๐ฝ2 + ๐พ2 ๐2 + ๐3 + ๐พ2 ๐๐ฝ2 + 2๐2 ๐ฝ2 + ๐2 ๐ผ2 + ๐๐ฝ22 โ๐ ๐พ2 ๐ฝ2 + ๐ฝ22 + 2๐๐ฝ2 + ๐2 โ ๐ฝ1 ๐ฝ2 + ๐ฝ2 ๐พ1 + ๐๐พ2 2 2 3 2 2 โ โ๐๐ผ1 ๐ฝ2 โ ๐๐ผ1 ๐ + ๐๐ผ2 ๐ฝ2 + ๐พ2 ๐ + ๐ + ๐พ2 ๐๐ฝ2 + 2๐ ๐ฝ2 + ๐ ๐ผ2 + ๐๐ฝ2 2 2 ๐พ2 ๐ฝ2 + ๐ฝ2 + 2๐๐ฝ2 + ๐ โ ๐ฝ1 ๐ฝ2 + ๐ฝ2 ๐พ1 + ๐๐พ2 0 [ 0
๐ฝ2
0
0 โ๐ฝ2 โ ๐ ๐พ1
0 0 โ๐
โ๐ฝ2 โ ๐พ2 โ ๐ 0 ๐ฝ1 โ ๐พ1 ๐พ2
=0 โ๐๐ผ1 ๐ฝ2 โ ๐๐ผ2 ๐ฝ2 + ๐พ2 ๐ 2 + ๐ 3 + ๐พ2 ๐๐ฝ2 + 2๐ 2 ๐ฝ2 + ๐ 2 ๐ผ2 + ๐๐ฝ22 ๐ + (( ) โ) + ๐ ๐พ2 ๐ฝ2 + ๐ฝ22 + 2๐๐ฝ2 + ๐ 2 โ ๐ฝ1 ๐ฝ2 + ๐ฝ2 ๐พ1 + ๐๐พ2 2
[[
3
2
2
โ๐๐ผ1 ๐ฝ2 โ ๐๐ผ1 ๐ + ๐๐ผ2 ๐ฝ2 + ๐พ2 ๐ + ๐ + ๐พ2 ๐๐ฝ2 + 2๐ ๐ฝ2 + ๐ ๐ผ2 + ๐พ2 ๐ฝ2 + ๐ฝ22 + 2๐๐ฝ2 + ๐ 2 โ ๐ฝ1 ๐ฝ2 + ๐ฝ2 ๐พ1 + ๐๐พ2 0 0
๐๐ฝ22
๐ฝ2 โ ๐พ2 โ ๐
โ๐ฝ2
0
0
0
0
โ๐ฝ1 โ ๐พ1 โ๐พ2
๐ + ๐ฝ2 โ ๐ โ๐พ1
0 ๐ + ๐ ]]
=0
Persamaan karakteristiknya adalah (๐ + ((
โ๐๐ผ1 ๐ฝ2 โ ๐๐ผ2 ๐ฝ2 + ๐พ2 ๐ 2 + ๐ 3 + ๐พ2 ๐๐ฝ2 + 2๐ 2 ๐ฝ2 + ๐ 2 ๐ผ2 + ๐๐ฝ22 ) โ) ๐พ2 ๐ฝ2 + ๐ฝ22 + 2๐๐ฝ2 + ๐ 2 โ ๐ฝ1 ๐ฝ2 + ๐ฝ2 ๐พ1 + ๐๐พ2
0 + ๐ ) [โ๐ฝ1 โ ๐พ1 โ๐พ2
0 ๐ + ๐ฝ2 โ ๐ โ๐พ1
0 0 ] ๐ + ๐1
+ (๐ฝ2 โ ๐พ2 โ๐๐ผ1 ๐ฝ2 โ ๐๐ผ1 ๐ + ๐๐ผ2 ๐ฝ2 + ๐พ2 ๐ 2 + ๐ 3 + ๐พ2 ๐๐ฝ2 + 2๐ 2 ๐ฝ2 + ๐ 2 ๐ผ2 + ๐๐ฝ22 ๐พ2 ๐ฝ2 + ๐ฝ22 + 2๐๐ฝ2 + ๐ 2 โ ๐ฝ1 ๐ฝ2 + ๐ฝ2 ๐พ1 + ๐๐พ2 โ ๐) 0 [ 0
0
0
๐ + ๐ฝ2 โ ๐ โ๐พ1
0 ๐ + ๐]
=0
Untuk nilai eigen pada titik kesetimbangan epidemik perokok akan dihitung secara numeric.
32
])
4.4
Simulasi Numerik Dinamika Model SEIR Pada Populasi Perokok Pada subbab ini simulasi numerik dilakukan dengan menggunakan metode
rungge-kutta orde empat. Simulasi dinamika pada populasi perokok menggunakan model SEIR dilakukan dengan memvariasikan parameter-parameter yang mempengaruhi model tersebut. Beberapa parameter yang divariasikan yaitu ๐ adalah laju kelahiran individu baru yang masuk ke populasi yang berpotensial merokok, ๐ผ1 adalah laju perubahan populasi yang tidak merokok tapi rentang merokok yang masuk ke individu yang kadang-kadang merokok, ๐ผ2 adalah laju perubahan populasi yang kadang-kadang merokok yang masuk ke individu yang tidak merokok tapi rentang merokok, ๐ฝ1 adalah laju perubahan populasi yang kadang-kadang merokok yang masuk kedalam populasi perokok berat, ๐พ1 adalah laju perubahan populasi perokok berat yang masuk menjadi individu yang berhenti merokok dan tidak lagi merokok, ๐ฝ2 adalah laju perubahan perokok kadang-kadang sehingga masuk menjadi populasi individu yang berhenti merokok dan tidak lagi merokok. Sementara itu ๐พ2 adalah laju perubahan dari individu perokok potensial sehingga menjadi perokok berat akibat dari interaksi dari perokok mula-mula. 4.4.1
Simulasi Numerik Bebas Perokok
Kasus 1 Simulasi pada keadaan bebas perokok menggunakan syarat awal untuk individu perokok yang rentan ๐(0) = 50, perokok yang kadang-kadang
๐ธ(0) = 8 ,
perokok berat ๐ผ(0) = 10, dan perokok yang berhenti ๐
(0) = 20, dan parameterparameter yang digunakan yaitu pada Tabel 4.2 berikut.
33
Tabel 4.2 Nilai parameter-parameter dalam model perokok Parameter
Nilai
Penafsiran
๐
1
Laju kelahiran individu baru yang masuk ke populasi yang berpotensial merokok
๐ผ1
0,01
Laju pertumbuhan populasi yang tidak merokok tapi rentang merokok yang masuk ke individu yang kadang-kadang merokok.
๐ผ2
0,2
Laju pertumbuhan populasi yang kadangkadang merokok yang masuk ke individu yang tidak merokok tapi rentang merokok
๐ฝ1
0,1
Laju pertumbuhan populasi yang kadangkadang merokok yang masuk kedalam populasi perokok berat.
๐พ1
0,5
Laju perubahan populasi perokok berat yang masuk menjadi individu yang berhenti merokok dan tidak lagi merokok.
๐พ2
0,6
Laju perubahan dari individu perokok potensial sehingga menjadi perokok berat akibat dari interaksi dari perokok mula-mula.
๐
0,0012
Laju kematian alami pada semua populasi perokok
๐ฝ2
0,01
Laju perubahan perokok kadang-kadang sehingga masuk menjadi populasi individu yang berhenti merokok dan tidak lagi merokok.
Untuk menganalisis kestabilan titik kesetimbangan bebas virus, dapat dilakukan dengan cara mensubstitusi nilai parameter-parameter pada persamaan (4.10) sehingga didapatkan nilai eigen dan sifat kestabilannya, seperti yang ditunjukkan pada Tabel 4.3 berikut:
34
Tabel 4.3 Sifat kestabilan titik kesetimbangan bebas perokok bagian pertama Titik kesetimbangan
Nilai eigen
Sifat kestabilan
๐1 = โ0,0012 ๐ธ0โ = (๐0 , ๐ธ0 , ๐ผ0 , ๐
0 ) = ๐
(๐ ,0,0,0) = (833,0,0,0)
๐2 = โ0,0012 ๐3 = โ0,0112
saddle point
๐4 = 7.522 Berdasarkan nilai awal dan nilai dari parameter-parameter dari model populasi perokok maka diperoleh laju pertumbuhan bebas perokok seperti pada Gambar 4.1 berikut:
Gambar 4.1
Laju pertumbuhan bebas perokok pada model SEIR dengan perilaku ๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ก pada saat 0 โค ๐ก โค 100.
Berdasarkan Gambar 4.1 diatas, populasi individu yang rentang merokok akan mengalami suatu peningkatan dari waktu ke waktu karena semakin banyaknya kelahiran yang terjadi disetiap bulan sehingga individu yang baru lahir akan masuk ke yang rentang untuk merokok. Populasi individu yang kadang-kadang merokok mengalami suatu penurunan karena individu yang kadang-kadang merokok belum
35
menjadi perokok berat dan belum dapat terjadinya suatu penularan yang dapat memepenggaruhi populasi yang rentang merokok. Populasi individu yang perokok berat mendekati suatu keadaan minimum dan belum terjadi suatu penularan yang terjadi karenah pada perlakuan keadaan yang bebas dari pengaruh rokok tersebut maka populasi terbebas dari pengaruh rokok, maka populasi perokok berat akan mengalami suatu kepunahaan. Dan individu yang berhenti merokok akan mengalami suatu peningkatan dari waktu ke waktu karena tidak ada lagi pengaruh rokok sehingga kekebalan tubuh yang dimiliki akan membuat individu tersebut berhenti dan tidak lagi terpengaruhi oleh perokok.
Gambar 4.2 Grafik 3 dimensi untuk ๐ ๐ข๐ ๐๐๐๐ก๐๐๐๐ atau individu yang rentang untuk menjadi perokok, ๐๐ฅ๐๐๐ ๐๐ atau perokok yang kadang-kadang, dan ๐๐๐๐๐๐ก๐๐ atau perokok
pada titik kesetimbangan bebas perokok dengan perilaku saddle
point. 4.4.2 Simulasi Numerik Epidemik Simulasi pada keadaan epidemik perokok menggunakan syarat awal untuk individu perokok yang rentan ๐(0) = 90, kadang-kadang merokok ๐ธ(0) = 20 ,
36
perokok berat ๐ผ(0) = 30, dan berhenti merokok ๐
(0) = 5, dan parameterparameter yang digunakan yaitu pada Tabel 4.4 berikut. Tabel 4.4 Nilai parameter-parameter dalam model Perokok Parameter
Nilai
Penafsiran
๐
1
Laju kelahiran individu baru yang masuk ke populasi yang berpotensial merokok
๐ผ1
0,001
Laju pertumbuhan populasi yang tidak merokok tapi rentang merokok yang masuk ke individu yang kadang-kadang merokok.
๐ผ2
0,02
Laju pertumbuhan populasi yang kadangkadang merokok yang masuk ke individu yang tidak merokok tapi rentang merokok
๐ฝ1
0,001
Laju pertumbuhan populasi yang kadangkadang merokok yang masuk kedalam populasi perokok berat.
๐พ1
0,05
Laju perubahan populasi perokok berat yang masuk menjadi individu yang berhenti merokok dan tidak lagi merokok.
๐พ2
0,06
Laju perubahan dari individu perokok potensial sehingga menjadi perokok berat akibat dari interaksi dari perokok mula-mula.
๐
0,02
Laju kematian alami pada semua populasi perokok
๐ฝ2
0,001
Laju perubahan perokok kadang-kadang sehingga masuk menjadi populasi individu yang berhenti merokok dan tidak lagi merokok.
Untuk menganalisis kestabilan titik kesetimbangan epidemik, dapat dilakukan dengan cara mensubstitusi nilai dari parameter-parameter pada Tabel
37
(4.2) ke persamaan (4.3) sehingga didapatkan nilai eigen dan sifat kestabilannya, seperti yang ditunjukkan pada Tabel 4.5 berikut: Tabel 4.5 Sifat kestabilan titik kesetimbangan epidemik perokok
Titik kesetimbangan
Nilai eigen
๐ธ1โ = (๐1 , ๐ธ1 , ๐ผ1 , ๐
1 ) =
๐1 = โ0,02
๐ผ2 +๐ฝ2 +๐พ2 +๐
๐2 = 0,03
๐ผ1
,
,
,
โ๐๐ผ1 ๐ฝ2 โ๐๐ผ1 ๐+๐๐ผ2 ๐ฝ2 +๐พ2 ๐ 2 +๐ 3 +๐พ2 ๐๐ฝ2 +2๐2 ๐ฝ2 +๐ 2 ๐ผ2 +๐๐ฝ22 ๐ผ1 (๐พ2 ๐ฝ2 +๐ฝ22 +2๐๐ฝ2 +๐ 2 โ๐ฝ1 ๐ฝ2 +๐ฝ2 ๐พ1 +๐๐พ2 )
Sifat kestabilan
โ๐ฝ1 ๐๐ผ1 + ๐พ2 ๐ฝ1 ๐ โ ๐พ2 ๐พ1 ๐ + ๐ฝ1 ๐ 2 โ ๐พ1 ๐๐ผ2 + ๐ฝ1 ๐๐ฝ2 + ๐พ1 ๐๐ผ1 โ ๐พ1 ๐๐ฝ2 โ ๐พ1 ๐ 2๐3 = โ0,016 ๐ผ1 (๐พ2 ๐ฝ2 + ๐ฝ22 + 2๐๐ฝ2 + ๐ 2 โ ๐ฝ1 ๐ฝ2 + ๐ฝ2 ๐พ1 + ๐๐พ2 ) (โ๐๐ผ1 +๐๐พ2 +๐ 2 +๐๐ผ2 +๐๐ฝ2 )(๐พ2 ๐ฝ2 +๐๐พ2 +๐ฝ1 ๐พ1 โ๐พ22 ๐๐ผ1 (๐พ2 ๐ฝ2 +๐ฝ22 +2๐๐ฝ2 +๐2 โ๐ฝ1 ๐ฝ2 +๐ฝ2 ๐พ1 +๐๐พ2 )
Saddle Point
๐4 = โ0,0167
= (90,20,30,5)
Berdasarkan nilai awal dan nilai parameter-parameter pada Tabel 4.4 maka diperoleh laju pertumbuhan epidemik perokok seperti Gambar 4.3 berikut.
Gambar 4.3 Laju pertumbuhan epidemik perokok pada model SEIR pada saat 0 โค ๐ก โค 100
38
Pada Gambar 4.3 Gambar tersebut merupakan grafik yang menunjukkan jumlah masing-masing subpopulasi dalam setiap satuan waktu, individu yang tidak merokok tapi rentang untuk menjadi perokok mengalami penurunan karena individu yang rentang sangat mudah terpengaruh untuk menjadi perokok, hal ini dipengaruhi oleh
suatu interaksi yang terjadi antara perokok kadang-kadang
dengan yang rentang. Perokok kadang-kadang mengalami penurunan karena adanya suatu interaksi dengan individu yang rentang masuk ke yang perokok kadang-kadang dalam waktu yang cukup lama sehingga dapat terpengaruh menjadi perokok . Perokok berat mengalami mula-mula terjadi penurunan karena individu tersebut memilih untuk berhenti karena adanya suatu individu yang telah berhasil sembuh dari pengaruh dari perokok akibat dari rokok yang dikonsumsi. Individu yang berhenti merokok mengalami kenaikan karenah semakin banyak perokok berat memilih untuk berhenti merokok dan memilih alternative lain untuk mengganti rokok yang biasa dikonsumsi (Gambar 4.4).
Gambar 4.4 Grafik 3 dimensi untuk rentang merokok, kadang-kadang merokok dan perokok
39
pada titik kesetimbangan epidemik perokok Berdasarkan Gambar 4.4, ditunjukkan bahwa garis dengan titik awal (90, 2, 3, 3) tidak menuju ke titik kesetimbangan epidemik pada ๐ธ1โ = (๐1 , ๐ธ1 , ๐ผ1 , ๐
1 ) = (90,20,30,5) sehingga titik kesetimbangan epidemik memiliki perilaku ๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ก.
40
BAB V PENUTUP 5.1
Kesimpulan Dari hasil pembahasan diperoleh kesimpulan sebagai berikut yaitu : 1. Model populasi perokok dengan menggunakan Tipe SEIR diperoleh: ๐๐ = ๐ โ ๐ผ1 ๐๐ธ + ๐ฝ2 ๐ผ + ๐ผ2 ๐ธ โ ๐๐ ๐๐ก ๐๐ธ = ๐ผ1 ๐๐ธ โ ๐ผ2 ๐ธ โ ๐ฝ2 ๐ธ โ ๐พ2 ๐ธ โ ๐๐ธ ๐๐ก ๐๐ผ = ๐ฝ1 ๐ธ โ ๐ฝ2 ๐ผ โ ๐พ1 ๐ธ โ ๐๐
๐๐ก ๐๐ผ = ๐พ1 ๐ผ + ๐พ2 ๐ธ โ ๐๐
๐๐ก 2. Pada analisis titik kesetimbangan model matematika populasi perokok dengan menggunakan tipe SEIR diperoleh dua titik kesetimbangan yaitu bebas dari perokok ๐ธ0โ dan epidemik perokok ๐ธ1โ : ๐ ๐ธ0โ = (๐0 , ๐ธ0 , ๐ผ0 , ๐
0 ) = ( , 0,0,0) = (833,0,0,0), ๐
titik kesetimbangan bebas perokok ๐ธ0โ selalu bersifat stabil asimtotik lokal, ๐ธ1โ = (๐1 ๐ธ1 ๐ผ1 ๐
1 ) = (90,20, ,30,5), dimana: ๐1 =
๐ผ2 + ๐ฝ2 + ๐พ2 + ๐ , ๐ผ1
๐ธ1 =
โ๐๐ผ1 ๐ฝ2 โ ๐๐ผ1 ๐ + ๐๐ผ2 ๐ฝ2 + ๐พ2 ๐2 + ๐3 + ๐พ2 ๐๐ฝ2 + 2๐2 ๐ฝ2 + ๐2 ๐ผ2 + ๐๐ฝ22 , ๐ผ1 (๐พ2 ๐ฝ2 + ๐ฝ22 + 2๐๐ฝ2 + ๐2 โ ๐ฝ1 ๐ฝ2 + ๐ฝ2 ๐พ1 + ๐๐พ2 )
๐ผ1 =
โ๐ฝ1 ๐๐ผ1 + ๐พ2 ๐ฝ1 ๐ โ ๐พ2 ๐พ1 ๐ + ๐ฝ1 ๐ 2 โ ๐พ1 ๐๐ผ2 + ๐ฝ1 ๐๐ฝ2 + ๐พ1 ๐๐ผ1 โ ๐พ1 ๐๐ฝ2 โ ๐พ1 ๐ 2 , ๐ผ1 (๐พ2 ๐ฝ2 + ๐ฝ22 + 2๐๐ฝ2 + ๐ 2 โ ๐ฝ1 ๐ฝ2 + ๐ฝ2 ๐พ1 + ๐๐พ2 )
41
๐
1 =
(โ๐๐ผ1 + ๐๐พ2 + ๐ 2 + ๐๐ผ2 + ๐๐ฝ2 )(๐พ2 ๐ฝ2 + ๐๐พ2 + ๐ฝ1 ๐พ1 โ ๐พ22 , ๐๐ผ1 (๐พ2 ๐ฝ2 + ๐ฝ22 + 2๐๐ฝ2 + ๐ 2 โ ๐ฝ1 ๐ฝ2 + ๐ฝ2 ๐พ1 + ๐๐พ2 )
titik kesetimbangan epidemik perokok ๐ธ1 selalu bersifat stabil ๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ก. 5.2
Saran Pada tugas akhir ini, penulis melakukan penelitian tentang pemodelan
matematika dengan menggunakan tipe SEIR dan diharapkan pada penelitian selanjutnya dapat dikembangkan lagi dengan bentuk model MSEIR.
42
DAFTAR PUSTAKA
Aditama, T.Y. 2001. Masalah Merokok dan Penanggulangannya. Ikatan Dokter Indonesia,Jakarta. Djojodihardjo, H. 2000. Metode Numerik. PT Gramedia Pustaka Utama: jakarta. Gunawan, A.Y. & Nurtaman, M.E. 2008, Model Dinamik Sederhana untuk Masalah
Peningkatan
Populasi
Perokok.
Mathematics
Subject
Classification. Vol. 14. Hal. 63-72. Haris, A. dan Ikhsan, M. & Rogayah, R. 2012. Asap Rokok sebagai Bahan Pencemar
dalam
Ruangan.
Universitas
Indonesia-Rumah
Sakit
Persahabatan, :Jakarta. Husaini, A. 2007. Tobat Merokok. Mizan Media Utama. Bandung. Horward, A.1997. Aljabar Linear Elementer.Erlangga: jakarta. Kelley, W.G. & Peterson, A.C. 2010. The Theory of Differential Equation: Classical and Qualitative. Springer Science + Business Media. New York. Kusumah, Y. S. 1989. Persamaan Diferensial.jakarta: Departemen pendidikan dan kebudayaan. Leon, S.
J.
2001. Aljabar Linear dan Aplikasinya, Edisi kelima.
Erlangga: jakarta. Merkin, D.R. 1997. Introduction to the Theory of stability. Springer-Verlag New York Inc: Amerika. Mustaโadah, E. 2004. Aplikasi Teorema Titik Tetap pada Penyelesaian Persamaan Diferensial Biasa. Skripsi. Tidak diterbitkan. Malang: UIN. Olsder, G.J. & Woude, J.W. van der, 2003, Mathematical System Theory. Second Edition. Delft University. The Netherlands. Olsder, G.J. & Woude, J.W. van der. Maks. J.G., Jeltsema. D. 2011.Mathematical Systems Theory.Fourth Edition. Delft University. The Netherlands. Pamuntjak, R. J. & Santosa, W. 1990. Persamaan Diferensial Biasa. Bandung: ITB Samet, J.M. 2010. Passive smoking and Health. Tobacco Science, Policy and Health. Second Edition. Chapter 16.
43
Sharomi, O. & Gumel, A.B. 2008. Curtailing Smoking dynamics: A Mathematical modeling Approach. Applied Mathematics and Computation. Vol. 195. Hal. 475-499. Tirtosastro, S. & Murdiyati, A.S. 2010. Kandungan Kimia Tembakau dan Rokok. Buletin Tanaman Tembakau, Serat dan Minyak Industri 2. Hal. 33-43. Tobacco Control Support Center. 2012. Fakta Tembakau, Permasalahannya di Indonesia. Zeb, A. Zaman, G. & Momani, S. 2013. Square-root Dynamics of Giving Up Smoking Model. Applied Mathematical Modelling.Vol. 37, Hal. 5326-5334. Zhang j, Ma Z.Global dynamic of an SEIR Epidemic model wiht saturating contact rate. Math Biosci 2003:185:15-23.
44
Lampiran 1 Titik Kesetimbangan
45
Lampiran 2 Nilai Eigen Umum
46
Lampiran 3 Nilai Eigen Kasus 1 Numerik
47
Lampiran 4 Nilai Eigen Kasus II
48
Lampiran 5 Skrip Mfile Matlab Kasus I Bebas Perokok function SEIR clear all; global phi alpha1 alpha2 betha1 betha2 miu gamma1 gamma2; phi=1; alpha1=0.01; alpha2=0.2; betha1=0.1; betha2=0.01; miu=0.0012; gamma1=0.5; gamma2=0.6; t0=0; tf=100; y0=[90 20 30 5] %tstep=0.1; %[t y]=ode45 (@dxdt,[t0:tstep;tf],y0); [t y]=ode45(@dxx,[t0:0.1:tf],y0); plot(t,y(:,1),'g',t,y(:,2),'r',t,y(:,3),'b',t,y(:,4),'y') title('Populasi perokok tipe model SEIR') xlabel('Waktu(tahun)') ylabel('Jumlah Individu perokok') legend ('Susceptible(rentan untuk merokok)','exposed(perokok kadang-kadang)','Infected(perokok berat)','Recovered(berhenti merokok)') hold on figure plot3(y(:,1),y(:,2),y(:,3)) xlabel('Susceptible(rentan untuk merokok)'); ylabel('exposed(perokok kadang-kadang)'); zlabel('Infected(perokok berat)'); grid on function dy=dxx(t,y) global phi alpha1 alpha2 betha1 betha2 miu gamma1 gamma2; dy=[phi-alpha1*y(1)*y(3)+betha1*y(2)+alpha2*y(3)-miu*y(1); alpha1*y(1)*y(3)-alpha2*y(3)-betha2*y(3)-gamma2*y(3)-miu*y(3); betha1*y(3)-betha2*y(2)-gamma1*y(3)-miu*y(2); gamma1*y(2)+gamma2*y(3)-miu*y(4)];
49
Lampiran 6 Program Matlab Untuk Menentukan Phase Potret Epidemik Perokok Kasus II function SEIR clear all; global phi alpha1 alpha2 betha1 betha2 miu gamma1 gamma2; phi=1; alpha1=0.001; alpha2=0.02; betha1=0.001; betha2=0.001; miu=0.02; gamma1=0.05; gamma2=0.06; t0=0; tf=100; y0=[90 20 30 5] %tstep=0.1; %[t y]=ode45 (@dxdt,[t0:tstep;tf],y0); [t y]=ode45(@dxx,[t0:0.1:tf],y0); plot(t,y(:,1),'g',t,y(:,2),'r',t,y(:,3),'b',t,y(:,4),'y') title('Populasi perokok tipe model SEIR') xlabel('Waktu(tahun)') ylabel('Jumlah Individu perokok') legend ('Susceptible(rentan untuk merokok)','exposed(perokok kadang-kadang)','Infected(perokok berat)','Recovered(berhenti merokok)') hold on figure plot3(y(:,1),y(:,2),y(:,3)) xlabel('Susceptible(rentan untuk merokok)'); ylabel('exposed(perokok kadang-kadang)'); zlabel('Infected(perokok berat)'); grid on function dy=dxx(t,y) global phi alpha1 alpha2 betha1 betha2 miu gamma1 gamma2; dy=[phi-alpha1*y(1)*y(3)+betha1*y(2)+alpha2*y(3)-miu*y(1); alpha1*y(1)*y(3)-alpha2*y(3)-betha2*y(3)-gamma2*y(3)-miu*y(3); betha1*y(3)-betha2*y(2)-gamma1*y(3)-miu*y(2); gamma1*y(2)+gamma2*y(3)-miu*y(4)];
50