PEMODELAN MATEMATIKA MEKANISME KOROSI LOGAM
SKRIPSI
Untuk memenuhi sebagian persyaratan mencapai derajat sarjana (S - 1)
MERGAR F1A1 12 062
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS HALU OLEO KENDARI 2016
KATA PENGENTAR
Alhamdulillah, puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah Subhanahu Wa Ta’lla sehingga penyusunan tugas akhir yang berjudul “Pemodelan Matematika Mekanisme Korosi Logam ” dapat terselesaikan sebagaimana mestinya.
Tugas
akhir ini
merupakan persyaratan
dalam
penyelesaian tahap pendidikan sarjana S-1 pada Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Halu oleo. Penulis sepenuhnya menyadari jika seluruh rangkaian kegiatan, dimulai dari awal penyusunan hingga penyelesaian tugas akhir ini, senantiasa mendapat bantuan dan petunjuk dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih dan penghargaan setinggi-tingginya kepada Bapak Drs. Asrul Sani, M.Sc., Ph.D Selaku pembimbing I dan kepada Bapak Dr.Mukhsar, S.Si., M.Si selaku pembimbing II, yang telah memberikan petunjuk, arahan, bimbingan dan motivasi yang sangat berharga kepada penulis. Karya ini secara khusus penulis persambahkan untuk keluarga tercinta, ayahanda Drs. La Podo serta ibunda Rosdiana, Sm.Hk yang tak pernah berhenti memberikan segala bentuk cinta, doa restu dan pengorbanannya yang tulus kepada penulis dan untuk adikku Yulia, Amd. Farm dan Sitti Nurhaliza atas segala dukungan yang telah diberikan untuk penulis. Rasa terima kasih juga penulis ucapkan kepada : 1. Rektor Universitas Halu Oleo. 2. Dekan Fakultas MIPA Universitas Halu Oleo.
iii
3. Ketua Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Halu Oleo. 4. Kepala Laboratorium Komputasi Matematika Fakultas MIPA. 5. Bapak Prof. Edi Cahyono, M.Si Ibu Norma Muhtar, S.Si., M.si., serta Bapak La Gubu, S.Si., M.Si sebagai penguji yang telah memberikan masukan dalam seminar tugas akhir. 6. Seluruh staff pengajar FMIPA Program Studi Matematika Universitas Halu Oleo yang telah memberikan bekal ilmu kepada penulis. 7. Seluruh staff tata usaha FMIPA Universitas Halu Oleo. 8. Seluruh staff perpustakaan FMIPA Universitas Halu Oleo. 9. Ketua Jurusan Kimia FMIPA Universitas Halu Oleo Bapak Dr. La Ode Ahmad Nur Ramadhani, M.Si 10. Seluruh Keluarga Besarku Khususnya Nenek , Mami sita, Paman Ali,Paman Rusli, Paman Damsir, Paman Dode, Bibi Hajar, Mama Helmi, Kak Ilo, Bapak & Mama Novi, yang telah memberikan Support. 11. Sahabatku “The Gank(TG)” khususnya Nisrina Nasrun, S.Mat, Vivi Olivia Oktavia, Rusianti, Risda Ummi Kalsum, Nella Aprilya Nurkaidah, S.Mat, Evi Musfira, Agustima, Yeni Marinda, S.Mat, Syech Muh. Syam Abdullah, S.Mat, Rianto, S.Mat, Ilham Yunus, A. Rivaldy Laurens SL, Yacobus, Rahim Indra Sadiq, Rahmadin La Oga, S.Mat, Iksan Jaya. Inilah mereka yang selalu memberikan Semangat, Motivasi, Bantuan dan Pengetahuan, Terima kasih sudah menjadi sahabat yang merangkul dan mau menerima segala kekurangan Penulis.
iv
12. Sahabatku Nurdahlia, Triana Saprah, Wina aprilya, Nengsih Ambarwati, dan Putu Suhartini Terimah kasih sudah menjadi sahabat yang selalu ada untuk Penulis, memberikan semangat dan selalu mendoakan penulis. 13. Senior-Senior Math : Agusman S.Si, Suparno S,Si, Gusti Arviana Rahman S.Si, Ismail Jafar S.Si, Zulhulaeva S.Si, Bernadus Ardi ariwijaya S.Si, Ardiansyah Husein S.Si, Abdul Rajab, Kasliono S.mat, Andi Dwi Mutiara S.mat, Kalfin S.mat, Sarlianti, Edicun Baharudin, Rahmat Budianto, Wd. Sarfintala S.mat, Wahyu Mustika Ningrum S.mat, Nurhayati S.mat, Agus Ruprianto. 14. Teman-teman
math
012,
(Rosni,
Nansi,
Saru,
Fia)
si
empat
serangkai,Gadis ceria yang selalu memberikan bantuan. (Cika, Mimink, Dian, Egi, Novi) cewek-cewek muslimahnya Matematika . (Galih, Akwal, Andarwan, Jakrin, Wasno, Kamarudin, Lola, Ana, evi, Randy) anak-anak kecenya matematika. (Obil, Bertin, Fuad, Sandi, Dani, Igo, Astrid, Ela, Windy, Jendri) anak DKK orang-orang Gaulnya Matematika. (Sulas, Feby, Reski) Trio Wekweknya matematika. Dan Teman-teman yang tak dapat saya sebutkan satu-persatu. 15. Adik-adik math 013, 014, 015 Fadil, Adrun, Fitri, Rahma, Yuni, Indah, Uti, Rima, Fajar, Mail, Thesa, Noni, Fadil, Guslan, Wandy, Isna, Irma, Sinar, Adhe, Iki, Awal, Midun, Santi, Yoram, Vina, Mahmun, Muniar, Ichal, Eken, Hajriani, Febri, Ayu, Aura, Regina, Ardi, Fitri, Farida, Lutfi, dan yang tak dapat saya sebutkan satu-persatu.
v
16. Sahabat tercinta dibangku SMP ( Efrianti, Gita Prasasti Sukma Dewi, Iko Herpian, jumrawati, Sayu Arianjani, Iarwati hamid, Meriati Samen, Emi Nurfiani) 17. Sahabat tercinta dibangku SMA (Trito Reski Sidupa, Destiwin, Suningsih, Sujatman, Roni Joko Kristianto, Anti Wahyuni, Nurhikma, Susi Susanti, Salfriani, Israwati Hamid, Novia wulandari,). 18. Teman-teman KKN Desa Kombungo, Kec. Lasalepa, Kabupaten Muna Kak Asrul Safiuddin, S.T, Kak Agus Septian Husen, Sitti Aisya, S.Pi Irfan, S.H, Kak Isra, Soni Ruben, S.Farm dan Ayuni. Penulis menyadari bahwa tugas akhir ini masih jauh dari kesempurnaan karena hanya Allah SWT yang Maha Sempurna. Oleh karena itu dengan Segala kerendahan hati penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun untuk perbaikan tulisan ini. Penulis berharap tugas akhir ini dapat bermanfaat bagi diri penulis dan pembanca serta berguna dalam pengembangan ilmu pengetahuan. Kendari, Agustus 2016
Penulis
vi
DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL.......................................................................................
i
HALAMAN PENGESAHAN.........................................................................
ii
KATA PENGANTAR.....................................................................................
iii
DAFTAR ISI....................................................................................................
vii
DAFTAR GAMBAR.......................................................................................
ix
DAFTAR TABEL............................................................................................
x
DAFTAR LAMPIRAN...................................................................................
xi
ABSTRAK........................................................................................................
xii
BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang....................................................................................
1
1.2. Rumusan Masalah...............................................................................
3
1.3. Tujuan Penelitian...............................................................................
3
1.4. ManfaatPenelitian...............................................................................
3
BAB II KAJIAN PUSTAKA 2.1. Korosi..................................................................................................
4
2.2. Skema Proses Korosi...........................................................................
4
2.3. Pemodelan Matematika.......................................................................
8
2.4. Titik Kesetimbangan ..........................................................................
10
2.5. Linearisasi Sistem di sekitar Titik Kesetimbangan.............................
11
2.6. Nilai Egen............................................................................................
12
2.7. Sifat-sifat Kesetimbangan...................................................................
13
2.8. Metode Runge-Kutta Orde 4...............................................................
14
BAB III METODE PENELITIAN 3.1. Waktu dan Tempat Penelitian.............................................................
16
3.2. Metode dan Prosedur Penelitian..........................................................
16
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1. Model matematika proses korosi suatu logam....................................
19
4.1.1. Model 1...................................................................................
19
vii
4.1.2. Model 2...................................................................................
20
4.2. Titik Kesetimbangan...........................................................................
22
4.2.1. Model 1...................................................................................
23
4.2.2. Model 2...................................................................................
23
4.3. Analisis Kestabilan Sistem di sekitar Titik Kesetimbangan...............
24
4.3.1. Model 1...................................................................................
24
4.3.2. Model 2...................................................................................
27
4.4.Simulasi Numerik..................................................................................
31
BAB V PENUTUP 5.1. Kesimpulan.........................................................................................
33
5.2. Saran....................................................................................................
34
viii
DAFTAR GAMBAR Halaman 2.1
Proses Korosi Logam ......................................................................
5
2.2
Proses Kororsi Logam setelah penambahan Inhibotor...................
6
2.3
Jenis – jenis Kestabilan..................................................................
14
4.1
Proses Korosi Logam sebelum penambahan Inhibitor.....................
20
4.1
Proses Kororsi Logam setelah penambahan Inhibotor...................
21
4.2
Laju perubahan proses korosi logam sebelum penambahan
21
Inhibitor.......................................................................................... 44
Laju perubahan proses korosi logam setelah penambahan
34
Inhibitor..........................................................................................
ix
DAFTAR TABEL Halaman 4.1
Nilai parameter-parameter dalam model proses korosi sebelum
31
penambahan inhibitor ................................................................ 4.2
Sifat kestabilan titik kesetimbangan proses korosi sebelum
32
penambahan inhibitor ................................................................. 4.3
Nilai parameter-parameter dalam model proses korosi setelah penambahan inhibitor .................................................................
4.4
33
Sifat kestabilan titik kesetimbangan proses korosi setelah penambahan inhibitor .................................................................
33
x
DAFTAR LAMPIRAN Halaman Lampiran 1
Titik Kesetimbangan dan Nilai Eigen Model Matematika mekanisme korosi logam sebelum penambahan
37
inhibitor............................................................................. Lampiran 2
Titik Kesetimbangan dan Nilai Eigen Model Matematika mekanisme korosi logam setelah penambahan
38
inhibitor............................................................................. Lampiran 3
Perintah menggunakkan software Matlab membuat grafik laju perubahan proses korosi logam sebelum penambahan inhibitor.............................................................................
Lampiran 4
41
Perintah menggunakkan software Matlab membuat grafik laju perubahan proses korosi logam setelah penambahan inhibitor.............................................................................
41
xi
PEMODELAN MATEMATIKA MEKANISME KOROSI LOGAM
Oleh : MERGAR F1A1 12 062 ABSTRAK
Logam merupakan bahan yang banyak digunakan untuk berbagai keperluan. Dalam udara terbuka logam mudah teroksidasi yang menimbulkan korosi sehingga dapat menurunkan kualitas dan kekuatannya. Korosi berasal dari bahasa latin “Corrodere” yang artinya perusakan logam atau berkarat akibat lingkungannya. Korosi umumnya memberikan dampak negatif bagi lingkungan. Dalam penelitian ini akan di bahas 2 Model, Model 1 membahas model matematika mekanisme korosi logam sebelum penambahan inhibitor. Model 2 membahas model matematika mekanisme korosi logam dengan penambahan inhibitor. Tujuan dari penelitian ini adalah menetukkan model matematika mekanisme korosi logam dan perilaku selesaiannya. Model tersebut di selesaikan dengan ditentukkan nilai parameter –parameter yang membuat sistem stabil. Selanjutnya akan dianalisa perilaku selesaiannya dengan menggunakkan nilai eigen dan sifat-sifat kestabilan titik kesetimbangan. Setelah itu dilakukan simulasi numerik dan interpretasi hasil yang di peroleh. Kata kunci : Korosi, nilai eigen, titik kesetimbangan, sifat kestabilan.
xii
MATHEMATICS MODEL MECHANISM OF METAL CORROSION
By : MERGAR F1A112062 ABSTRACT
Metal is a material that most used in case of daily life necessary. In an open air, metal will easily oxidized which it will result corrosion and decrease its quality and power. Corrosion came from Latin word “Corrodere” which means vitiation of metal or rusty as the effect of its environment. This research will discuss 2 Models which Model 1 is about mathematics model of metal corrosion without inhibitor. Model 2 is about mathematics model of metal corrosion with inhibitor added. The purpose of this research is to determine the mathematics model mechanism of metal corrosion and its expiry behavior. This model will be finished by the determination of the parameters that will stabilize the system. Next is analyze the equilibrium, and then numeric simulation to the last, result interpretation. Key words : Corrosion,eigenvalues,equilibrium point, stability properties.
xiii
BAB I PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang Logam merupakan bahan yang banyak digunakan untuk berbagai keperluan.
Dalam udara terbuka logam mudah teroksidasi yang menimbulkan korosi sehingga dapat menurunkan kualitas dan kekuatannya. Korosi berasal dari bahasa latin “Corrodere” yang artinya perusakan logam atau berkarat akibat lingkungannya. Korosi merupakan proses elektrokimia yang terjadi pada logam, atau proses perusakan material karena berekasi dengan lingkungannya. Selain itu, korosi juga diartikan sebagai kerusakan yang terjadi pada material akibat adanya reaksi kimia. Tetapi di masyarakat korosi lebih identik dengan istilah karat, yang merupakan korosi khusus pada besi, hal ini terjadi karena besi merupakan logam yang paling banyak digunakan di masyarakat. Korosi terbagi menjadi dua jenis yaitu korosi internal yang terjadi akibat adanya kandungan CO2 dan H2S pada minyak bumi sehingga apabila terjadi kontak dengan air akan membentuk asam yang menyebabkan korosi dan korosi eksternal yang terjadi pada bagian permukaan dari sistem pemipaan dan peralatan, baik yang kontak dengan udara bebas dan permukaan tanah, akibat adanya kandungan zat asam pada udara dari tanah. Umunya korosi disebabkan oleh beberapa faktor berikut ini diantaranya adalah adanya reaksi spontan, lingkungan yang korosif seperti elektrolit cair dengan pH yang cukup rendah yang dapat mengkorosi baja, dan kontak elektrolit, seperti persambungan dua logam
(Hong and Jepson, 2001; Cruz dkk, 2005). Adapun beberapa cara untuk mencegah atau memperlambat korosi yaitu dengan cara mengecat cat yang dapat menghindarkan kontak langsung antara besi dan udara lembab sehingga dapat memperlambat korosi, melumuri dengan oli yang dapat mecegah kontak langsung dengan air dan udara lembab, cara ini digunakan pada perkakas dan mesin, dibalut dengan plastik, Tin Plating ialah pelapisan dengan timah cara ini biasanya dilakukan pada kaleng makanan, galvanasi adalah pelapisan dengan Zink biasanya dilakukan pada tiang listrik atau tiang telepon, pipa air atau pagar, selanjutnya Cromium Plating adalah pelapisan dengan menggunakkan kromium, sama seperti zink kromium juga memberikan perlindungan terhadap korosi meskipun lapisan kromium mudah rusak, cara ini ini dilakukan pada sepeda dan bumper mobil. Kerugian yang diakibatkan dari proses korosi terhadap kehidupan manusia dari segi ekonomi, korosi dapat menyebabkan tingginya biaya perawatan, yang diakibatkan oleh kebocoran uap, dan kerugian produksi pada suatu industri akibat pekerjaan yang tehenti pada waktu perbaikan bahan yang terserang korosi. Selanjutnya dari segi lingkungan adanya proses pengkaratan besi yang berasal dari berbagai kontruksi yang dapat mencemarkan lingkungan. Penelitian yang menggunakan model matematika untuk korosi suatu logam telah banyak digunakan diantaranya Model matematika Pada Mekanisme Laju Korosi Logam Baja dengan Penambahan Inhbitor (Wahyuningrun, 2012) dan Methematical Model in Study of Corrosion Inhibiton Mechanisme of Imidazole Derivative Compounds towards Carbon Steel in 1% Solution, namun para peneliti sebelumnya hanya menggunakkan model tersebut tanpa mengetahui titik
2
kesetimbangan dan sifat kestabilan dari model yang telah di peroleh oleh kerena itu peneliti tertarik untuk mengkaji “ Pemodelan Matematika Mekanisme Korosi Logam ”. 1.2
Rumusan Masalah Adapun rumusan permasalahan yang akan dibahas, yaitu :
1. Bagaimana model matematika mekanisme korosi suatu logam 2. Bagaimana prilaku selesaian model matematika proses korosi suatu logam. 1.3
Tujuan Penelitian Adapun tujuan dalam penelitian ini adalah :
1. Menyusun model matematika proses korosi sutau logam. 2. Menentukan prilaku selesaian model matematika untuk korosi suatu logam. 1.4
Manfaat Penelitian Manfaat yang diharapkan dalam penelitian ini adalah diperolehnya
pengetahuan untuk menyusun model matematika proses korosi suatu logam dan dapat memberikan sambungan pemikiran dan penalaran tentang aplikasi matematika dibidang kimia dan fisika, khususnya model matematika mekanisme korosi logam.
3
BAB II KAJIAN PUSTAKA 2.1
Korosi Korosi berasal dari bahasa latin “Corrodere” yang artinya perusakan logam
atau berkarat akibat lingkungannya. Korosi merupakan proses elektrokimia yang terjadi pada logam, atau proses perusakan material karena bereaksi dengan lingkungannya. Selain itu, korosi juga diartikan sebagai kerusakan yang terjadi pada material akibat adanya reaksi kimia. Tetapi dimasyarakat korosi lebih identik dengan istilah karat, yang merupakan korosi khusus pada besi, hal ini terjadi karena besi merupakan logam yang paling banyak digunakan dimasyarakat. Korosi terbagi menjadi dua jenis yaitu korosi internal yang terjadi akibat adanya kandungan CO2 dan H2S pada minyak bumi sehingga apabila terjadi kontak dengan air akan membentuk asam yang menyebabkan korosi dan korosi eksternal yang terjadi pada bagian permukaan dari sistem pemipaan dan peralatan, baik yang kontak dengan udara bebas dan permukaan tanah, akibat adanya kandungan zat asam pada udara dari tanah (Suriadi, 2007). Inhibitor adalah zat kimia baik senyawa anorganik maupun organik, yang bereaksi dengan permukaan logam, atau dengan lingkungan tempat permukaan logam berinteraksi, dan kemudian memberikan perlindungan yang cukup pada permukaan logam terhadap proses korosi (Bentiss dkk, 2004; Lopez dkk, 2004). 2.2
Skema proses Korosi Model matematika dari mekanisme korosi berdasarkan pada Teori Keadaan
Peralihan dimana logam terlebih dahulu berubah menjadi ion-ion logam (keadaan
peralihan) sebelum menjadi hasil reaksi (produk terkorosi), seperti dalam Gambar 2.1
L
N
K
Gambar 2.1 Proses Korosi Berdasarkan Gambar 2.1 L mewakili molaritas logam yang akan terkorosi, N mewakili molaritas ion-ion logam yang merupakan logam keadaan peralihan dalam keadaan peralihan, dan K mewakili molaritas hasil reaksi (produk terkorosi). Konsentrasi dari ketiga komponen diatas menjadi kompartemen dalam model matematika dari mekanisme laju korosi sebelum penambahan inhibitor. Untuk melihat pengaruh penambahan inhibitor pada model ini ditambahkan satu kompartemen baru yaitu konsentrasi dari inhibitor korosi, yang disebut I. Persamaan Michaelis-Menten digunakan untuk menjelaskan besarnya laju reaksi yang terjadi dalam sistem. Pemilihan persamaan Michaelis-Menten untuk mendekati mekanisme proses korosi pada sistem yang diteliti adalah karena banyak literatur menunjukkan bahwa adanya keadaan intermediet logam yang terkorosi sebelum menjadi produk terkorosinya, sebagaimana halnya intermediet substart-enzim (ES) dalam persamaan Michaelis-Menten. a
Model tanpa Inhibitor Berdasarkan Gambar 2.1 model yang dikontruksi mengabaikan faktor
inhibitor.
5
(2.1)
Persamaan pertama pada sistem persamaan (2.1) menunjukkan perubahan konsentrasi logam per satuan waktu yang penambahannya dipengaruhi oleh laju perubahan ion-ion logam kembali menjadi logam (ditunjukkan oleh perkalian ) dan pengurangannya dipengaruhi oleh laju perubahan logam menjadi ionion logam (ditunjukkan oleh perkalian
). Persamaan kedua menunjukkan
perubahan konsetrrasi ion-ion logam persatuan waktu yang penambahannya dipengaruhi
oleh
laju
perubahan
logam
menjadi
ion-ion
logam
dan
pengurangannya dipengaruhi oleh laju perubahan ion-ion logam kembali menjadi logam serta laju perubahan ion-ion logam kembali menjadi prosuk terkorosi yang dijelaskan oleh persamaan Michaelis Menten. Persamaan ketiga menjelaskan penambahan konsentrasi produk terkorosi persatuan waktu yang hanya dipengaruhi oleh laju perubahan ion-ion logam menjadi produk terkorosi yang dijelaskan oleh persamaan Michaelis Menten. b
Model dengan Inhibitor Model dengan Inhibitor di modifikasi dari Gambar 2.1 diuraikan pada
Gambar 2.2
6
s
L
I
N
K
Gambar 2.2 Proses korosi setelah penambahan inhibitor Berdasarkan skema pada gambar 2.2 di peroleh sistem persamaan seperti yang di uraikan pada persamaan (2.2)
(2.2)
Pengaruh penambahan inhibitor terlihat pada persamaan dua dan ketiga selain itu muncul persamaan baru yang menjelaskan perubahan konsentrasi senyawa inhibitor persatuan waktu. Persamaan pertama pada sistem persamaan (2.2) menjelaskan perubahan konsentrasi logam per satuan waktu yang tidak terpengaruh oleh penambahan inhibitor dan persamaannya sama dengan pertama pada sistem persamaan (2.1). Sedangkan untuk persamaan yang menjelaskan perubahan konsentrasi ion-ion logam dalam larutan yaitu persamaan kedua dimana faktor yang mempengaruhinya ialah adanya reaksi inhibitor dengan ligkungan menggatikan reaksi logam dengan lingkungannya. Disini pengaruh inhibitor bertanda positif yang menjelaskan bahwa inhibitor fungsinya menghambat pembentukkan ion-ion logam bukan mempercepat.
7
Persamaan ketiga menjelaskan perubahan konsentrasi produk korosi per satuan waktu yang dipengaruhi oleh reaksi logam dengan lingkungan dan reaksi inhibitor dengan lingkungan. Faktor inhibitor bernilai negatif karena konsentrasi produk terkorosi berkurang seiring penambahan inhibitor ke dalam system. Terakhir, persamaan keempat menjelaskan perubahan konsentrasi senyawa inhibitor per satuan waktu dimana konsentrasi senyawa inhibitor hanya akan berkurang
dengan
laju
yang
dijelaskan
persamaan
Michaelis
Menten
(Wahyuningrum dkk, 2012). 2.3
Pemodelan Matematika Kita sering mendengarkan kata model dalam kehidupan sehari-hari. Model
dapat diterjemahkan sebagai „tiruan‟ yang menyerupai sesungguhnya; dalam beberapa hal memiliki karakteristk benda aslinya. Model dapat dibedakan menjadi model ikonik, model analog, model simbolik. Model ikonik menyerupai model aslinya dari segi fisik dari segi fisik, seperti bentuk, pola, dan fungsi. Model analog adalah model yang berupa sistem dan digunakan untuk menggambarkan atau menjelaskan sistem lain. Sedangkan model simbolik adalah model yang menggunakan
simbol
atau
lambang
untuk
menggambarkan
sifat-sifat
(karakteristik) objek yang dimodelkan. Model matematika merupakan salah satu model yang menggunakan lambang atau simbol. Model matematika suatu fenomena adalah suatu ekspresi matematika yang diturunkan dari fenomena tersebut. Ekspresi dapat berupa persamaan, sistem persamaan atau ekpresi-ekspresi matematika yang lain seperti fungsi dan relasi. Model matematika dapat diklasifikasikan lagi menjadi model statistik, model
8
deterministik, dan model probabilistik atau stokastik. Model statistik bisa berupa fungsi baik satu variabel atau lebih. Model deterministik hanya untuk menggambarkan gejala-gejala yang dapat diukur dengan derajat kepastian yang tinggi. Model probabilistik atau stokastik untuk menggambarkan gejala yang bersifat probabilistik atau stokastik. Dalam modelnya terdapat variabel atau parameter yang bersifat probabilstik atau stokastik. Pemodelan matematika merupakan proses dalam menurunkan model matematika dari suatu fenomena berdasarkan asumsi-asumsi yang digunakan. Secara umum dalam menerapkan matematika untuk mempelajari suatu fenomena meliputi tiga langkah, yaitu: Pemodelan matematika suatu fenomena, perumusan masalah. Langkah ini untuk menterjemahkan data maupun informasi yang di peroleh tentang suatu fenomena dari masalah nyata menjadi model matematika. Dalam model matematika, suatu fenomena dapat dipelajari secara lebih terukur (kuantitatif) dalam bentuk (sistem) persamaan/pertidaksamaan matematika maupun ekspresi matematika. Pencarian solusi/kesimpulan matematika. Setelah model matematika diperoleh, solusi atas model tersebut dicari dengan menggunakan metode-metode matematika yang sesuai. Solusi matematika ini sering dinyatakan dalam fungsi-fungsi matematika, angka-angka maupun grafik. Interpretasi solusi/kesimpulan matematika pada fenomena yang dipelajari.
9
Dalam matematika terapan, solusi yang berupa fungsi, angka-angka maupun grafik tidak berarti banyak apabila solusi tersebut tidak menjelaskan permasalahan awalnya. Oleh karena itu, interpretasi solusi penting untuk mengerti arti dan implikasi solusi tersebut terhadap fenomena awal dari mana masalahnya berasal (Edi Cahyono,2013) 2.4 2.5
Titik Kesetimbangan Teori kestabilan berikut sangat diperlukan dalam menganalisa kestabilan
dari model yang sudah ada. Diberikan sistem persamaan linear sebagai berikut: (
) (2.3)
( dengan kondisi awal
( )
(2.3) dapat ditulis sebagai ( ( )
( )
)
( ))
. Sehingga ( ) dengan dimana
(
yang melalui
(
dan ( )
)
adalah ruang dimensi
“ adalah transpose serta memenuhi kondisi awal Selanjutnya notasi
sistem persamaan
( )
(
dan adalah “ ).
) menyatakan solusi sistem persamaan (2.3) di atas
. Diberikan sistem persamaan non linear (
) (2.4)
(
)
10
dengan
adalah fungsi non linear dan kontinu,
.
Perilaku solusi pada persekitaran titik kesetimbangan non linear pada Persamaan (2.4) dapat ditentukkan setelah pelinieran pada persekitaran titik kesetimbangan sistem. Definisi 2.1. Titik (
) disebut titik kesetimbangan pada sistem (2.4) jika (
)
(
)
Selanjutnya untuk mengetahui perlaku sistem disekitar titik kesetimbangan digunakan konsep kestabilan (Bellomo dan Presziosi, 1995). 2.6
Linearisasi Sistem di Sekitar Titik Kesetimbangan
Definisi 2.2 Titik
(
)
(equilirium) dari
( ), jika ( )
disebut titik titik kesetimbangan . Titik kesetimbangan
disebut titik
( ) jika semua nilai eigen dari matriks
kesetimbangan hiperbolik dari
( ) tidak nol bagian realnya (Panvilov, 2004). ( ) disekitar titik kesetimbangan
Perilaku selesaian sistem non linear
dapat didekati dengan meninjau sifat solusi linear Jacobian,
matriks
( )
Deret Taylor ( ) (
dimana
di sekitar titik kesetimbangan )
adalah
( ) ∑
∑
( )
(
( )
)
(
)
∑
( )
(
)
11
(
)
( ) ( )
∑
( )
∑
(
)
(
)
(
)
∑
)
∑
( )
(
)
(
)
( ) ( )
∑
(
( )
∑
Karena di titik kesetimbangan sekitar titik kesetimbangan
)
(
( )
,
( )
dimana
dan di
dianggap cukup dekat dengan , maka suku-suku
yang memuat pangkat dua atau lebih seperti (
) (
)
dan
seterusnya, nilainya sangat kecil dan dapat diabaikan sehingga diperoleh : ( ) dengan ( ( )
[
(
) )
] [
(
)
(
)
(
)
(
)
Hal ini menunjukkan bahwa fungsi linear
[
]
] ( ) merupaka aproksimasi
untuk fungsi non linear ( ) disekitar titik kesetimbangan solusi dari sistem non linear , dengan
( ) disekitar titik
, sehingga tafsiran
dengan mencari solusi
matriks turunan parsial pertama yang disebut matriks
Jacobian. Nilai eigen matriks titik kesetimbangan
(2.5)
memberikan informasi kestabilan lokal disekitar
(Nayfeh & Balachandra, 1995).
12
2.7
Nilai Eigen
Definisi 2.3. Jika A adalah matriks berukuran
maka vektor tak nol
x
di
dalam R n dinamakan vektor eigen (eigen value) dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x , yakni: (2.6) Untuk suatu skalar dikatakan nilai eigen (eigenvalue) dari A dan vektor
x
dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan (Anton, 1987). Untuk mencari nilai eigen matriks A yang berukuran
maka bentuk
dituliskan sebagai: (
)
dengan I adalah matriks identitas berukuran
(2.7) .
Persamaan (2.7) mempunyai selesaian tak nol (nontrivial) jika dan hanya jika: |
|
(2.8)
Persamaan (2.8) dikatakan persamaan karakteristik dari
. Skalar
memenuhi persamaan ini disebut nilai eigen (eigen value) dan
yang bersesuaian
dengan 2.8
yang
disebut vektor eigen.
Sifat-sifat Kestabilan Titik Kesetimbangan Diberikan sistem linear
eigen dari matriks
misalkan
adalah vektor
yang bersesuaian dengan nilai eigen
. Adapun bentuk-bentuk umum dan tipe-tipe kesetimbangan linear menurut Tarumingkeng (1994): 13
1.
Kedua nilai eigen positif, menghasilkan trayektori simpul tak stabil (unstable node).
2.
Nilai eigennya positif dan yang lainnya negative, menghasilkan titik plana (saddle point).
3.
Kedua nilai eigennya negative, menghasilkan simpul stabil (stable node).
4.
Bagian real positif, menghasilkan spiral tak stabil (unsable node).
5.
Bagian real nol, menghasilkan trayektori pusat sentral atau stabil netral (neutral center atau neutral stable).
6.
Bagian real negative, menghasilkan spiral stabil (stable spiral).
Bentuk umum kestabilan di sekitar titik tetap diberikan dalam Gambar 2.3
Simpul Stabil
Simpul Tidak Stabil
Saddle
Center
Spiral Stabil
Spiral Tidak Stabil
Gambar 2.3 Jenis-jenis Kestabilan 2.9
Metode Runge-Kutta Orde 4 Metode Runge-Kutta adalah teknik numerik yang digunakan untuk
menyelesaikan persamaan diferensial biasa. Metode Runge-Kutta memberikan 14
hasil ketelitian yang lebih besar dan tidak memerlukan turunan dari fungsi, bentuk umum dari metode Runge-Kutta adalah: ( dengan
(
)
) adalah fungsi pertambahan yang merupakan kemiringan
rerata pada interval. Fungsi pertambahan dapat ditulis dalam bentuk umum:
dengan a adalah konstanta dan k adalah: (
)
(
)
(
)
(
)
Persamaan tersebut menunjukkan bahwa nilai k mempunyai hubungan berurutan. Nilai
muncul dalam persamaan untuk menghitung
mencul dalam persamaan untuk menghitung
, yang juga
, dan seterusnya. Hubungan yang
berurutan ini membuat metode Runge-Kutta adalah efisien dalam hitungan. Metode Runge-Kutta Order 4 Metode Runge-Kutta order 4 banyak digunakan karena mempunyai ketelitian lebih tinggi. Metode ini mempunyai bentuk: (
)
dengan (
)
15
(
*
(
* (
)
16
BAB III METODE PENELITIAN 3.1
Waktu dan Tempat Penelitian Penelitian ini berlangsung dari bulan Maret 2016 sampai dengan hasil
penelitiannya selesai. Penelitian ini bertempat di Laboratorium Penelitian Mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Halu Oleo. 3.2
Metode dan Prosedur Penelitian Metode yang diterapkan dalam menyelesaikan penelitian ini adalah metode
kepustakaan (library research) dengan urutan kerja sebagai berikut. 1.
Studi literatur yang berkaitan dengan proses korosi.
2.
Membuat asumsi model proses korosi.
3.
Membuat model matematika berdasarkan asumsi.
4.
Menyelesaikan analisis kestabilan dengan mencari titik kesetimbangan, matriks Jacobi, mencari nilai eigen, dan mengidentifikasi sifat kestabilan dari nilai eigen yang diperoleh.
5.
Membuat simulasi numerik dari model proses korosi.
6.
Menginterpretasikan hasil yang diperoleh.
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Model matematika proses korosi suatu logam Model matematika mekanisme korosi logam dalam lingkungan di buat ke dalam dua model, yaitu model 1 korosi tanpa inhibitor dan model 2 korosi dengan penambahan inhibitor. Dalam bab ini akan dibahas mengenai asumsi, skema, dan formulasi model matematika proses korosi suatu logam serta akan di jelaskan bagaimana cara menentukkan titik kesetimbangan dan sifat kestabilannya. 4.1.1 Model 1 ( Model tanpa Inhibitor) Asumsi 4.1 asumsi yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut: 1.
L mewakili molaritas logam yang akan terkorosi, N mewakili molaritas logam yang merupakan logam dalam „keadaan peralihan‟, dan K mewakili molaritas hasil reaksi (produk terkorosi).
2.
Laju perubahan ion-ion logam kembali menjadi logam (ditunjukkan oleh perkalian oleh perkalian
, laju perubahan logam menjadi ion-ion logam (di tunjukkan , dan laju perubahan ion-ion logam menjadi produk
terkorosi dijelaskan oleh persamaan Michaelis Menten (Pemilihan persamaan Michaelis-Menten untuk mendekati mekanisme proses korosi suatu logam pada sistem yang di teliti karena adanya keadaan intermediet logam yang terkorosi sebelum menjadi produk terkorosinya sebagaimana halnya intermediet substrat-enzim (ES) dalam persamaan Michelis-Menten.
3.
Laju pembentukkan ion-ion logam (logam dalam keadaan peralihan) sama dengan laju penguraian ion-ion logam kembali menjadi logam. Skema Model tanpa Inhibitor Berdasarkan Gambar 2.1 dan Asumsi 4.1 maka skema untuk model proses
korosi suatu logam di sajikan pada Gambar 4.1
L
N
K
Gambar 4.1 Proses Korosi Logam tanpa inhibitor Berdasarkan Asumsi 4.1 dan skema Gambar 4.1, maka diperoleh model sebagai berikut:
(4.1) dimana Keterangan: L
= logam yang akan terkorosi
N
= ion-ion logam yang merupakan logam dalam keadaan peralihan
K
= hasil reaksi (produk terkorosi) = laju perubahan logam menjadi ion-ion logam = laju perubahan ion-ion logam kembali menjadi logam = laju perubahan ion-ion logam menjadi produk terkorosi = laju reaksi maksimum = kontanta Michaelis Menten
19
4.1.2 Model 2 ( Model dengan Inhibitor) Model 2 menggambarkan bagaimana proses korosi logam dengan penambahan inhibitor Asumsi 4.2 asumsi yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut: 1.
L mewakili molaritas logam yang akan terkorosi, N mewakili molaritas logam yang merupakan logam dalam „keadaan peralihan‟, K mewakili molaritas hasil reaksi (produk terkorosi) dan I inhibitor korosi.
2.
Laju perubahan ion-ion logam kembali menjadi logam (ditunjukkan oleh perkalian oleh perkalian
, laju perubahan logam menjadi ion-ion logam (di tunjukkan , dan laju perubahan ion-ion logam menjadi produk
terkorosi dijelaskan oleh persamaan Michaelis Menten. 3.
Laju pembetukkan ion-ion logam (logam dalam keadaan peralihan) sama dengan laju penguraian ion-ion logam kembali menjadi logam.
4.
s adalah penambahan inhibitor secara konstan. Berdasarkan Gambar 2.2 dan Asumsi 4.2 maka skema untuk model proses
korosi suatu logam di sajikan pada Gambar 4.2
20
I
s
L
N
K
Gambar 4.2 Proses Korosi Logam dengan penambahan inhibitor Berdasarkan Asumsi 4.2 dan skema Gambar 4.2 maka diperoleh model sebagai berikut:
(4.2)
dimana Keterangan: L
= logam yang akan terkorosi
N
= ion-ion logam yang merupakan logam dalam keadaan peralihan
K
= hasil reaksi (produk terkorosi)
I
= Inhibitor Korosi = laju perubahan logam menjadi ion-ion logam = laju perubahan ion-ion logam kembali menjadi logam = laju perubahan ion-ion logam menjadi produk terkorosi = laju reaksi antara inhibitor dengan logam dan lingkungan
21
= laju reaksi antara inhibitor dengan logam dan lingkungan = laju reaksi maksimum = kontanta Michaelis Menten s
= konsentrasi penambahan inhibitor Selanjutnya akan ditentukkan titik kesetimbagan untuk sistem pada model 1
dan model 2 kemudian akan di tentukkan matriks Jacobian, nilai eigen dan sifat kestabilannya. 4.2
Titik kesetimbangan Analisis titik kesetimbangan pada sistem persamaan differensial di gunakan
untuk menetukkan suatu selesaian yang tidak berubah terhadap waktu . 4.2.1 Model 1 (tanpa Inhibitor) Sistem (4.1) titik kesetimbangannya dinyatakan kedalam bentuk (
).
Titik kesetimbangan (4.1) akan diperoleh dengan menyelesaikan: (4.3) Sehingga sistem (4.3) akan menjadi:
(4.4)
Diperoleh satu titik kesetimbangan pada sistem (4.4) yaitu (
)
Titik kesetimbangan ini diperoleh dengan software Maple 13, selanjutnya dilihat pada Lampiran 1.
22
4.2.2 Model 2 (dengan Inhibitor) Sistem (
(4.2)
titik
kesetimbangannya
dinyatakan
kedalam
bentuk
). Titik kesetimbangan (4.2) akan diperoleh dengan menyelesaikan: (4.5)
Sehingga sistem (4.5) akan menjadi:
(4.6)
Terdapat satu titik kesetimbangan pada sistem (4.6) yaitu (
(
)
*
Titik kesetimbangan ini diperoleh dengan software Maple 13, selanjutnya dilihat pada Lampiran 2. 4.3
Analisis Kestabilan Sistem di sekitar Titik Kesetimbangan Pada bagian ini akan di lakukan analisis kestabilan di sekitar kesetimbangan
dari sistem pada Model 1 dan Model 2 dengan terlebih dahulu melakukan pelinearisasian. 4.3.1 Model 1 (tanpa Inhibitor) Persamaan yang akan dilinearisasikan adalah sebagai berikut : (
)
(
)
23
(
)
Ketiga persamaan dilinearkan sebagai berikut. (
)
(
)
(
)
(
) (
(
)
(
)
(
)
) (
(
)
(
)
)
Berdasarkan (2.5) maka di peroleh matriks Jacobian :
(
[
(
(4.7)
) )
]
24
(
Karena kesetimbangan
) di subtitusikan pada
(4.7), maka di peroleh:
[
]
Untuk mencari nilai eigen matriks Jacobian matriks Jacobian
yang berukuran
, maka
ditulis (
|
)
| [
(
|
])
| [
(
([
])
])
Persamaan karakteristiknya adalah
Berdasarkan bantuan sofware maple, sehingga di peroleh nilai eigennya sebagai berikut:
25
√
(
)
(4.8)
√ (
)
Diperoleh bahwa titik kesetimbangan ini memiliki nilai eigen
real dan
negatif atau bagian real tak positif sehingga perilaku seleseian pada titik kesetimbangan ini adalah stabil. 4.3.2 Model 2 (dengan Inhibitor) Persamaan yang akan dilinearisasikan adalah sebagai berikut : (
)
(
)
(
)
(
)
Keempat persamaan dilinearkan sebagai berikut. (
)
(
)
(
)
(
)
26
(
) (
(
)
(
)
(
) (
(
)
)
) (
(
)
(
)
(
)
)
( (
)
(
)
(
)
(
) (
)
)
Berdasarkan (2.5) maka di peroleh matriks Jacobian :
27
(
)
(
)
(4.9) (
)
[
(
)
(
)
]
(
Jika titik kesetimbangan
) di
subtitusikan pada (4.9) , maka di peroleh:
( (
)( )(
(
) )
[ Untuk mencari nilai eigen matriks Jacobian makamatriks Jacobian
( |
(
)(
)
(
)(
)
|
(
[
]
yang berukuran
,
)
)(
(
)
)(
(
(
(
)
[
(
|
)
ditulis (
|
)(
)( )(
) )
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
) ] )
)(
)
(
)(
)
(
)(
) ] )
28
(
( (
)
)(
(
)
)(
)( (
)
)(
(
([
) )
)(
)
])
Persamaan karakteristiknya adalah
( (
)
)( ( (
[
(
( (
(
)
)(
)
)(
)
)
)(
]
(
)
)(
)
) (
)(
(
)
(
[
)( )(
) ) ] )
Berdasarkan bantuan sofware maple, sehingga di peroleh nilai eigennya sebagai berikut: √ (
)
√ (
) (
)
(4.10)
29
Diperoleh bahwa titik kesetimbangan ini memiliki nilai eigen
real dan
negatif atau bagian real tak positif sehingga perilaku seleseian pada titik kesetimbangan ini adalah stabil. 4.4
Simulasi Numerik Untuk melihat bagaimana bagaimana perilaku sistem pada waktu tertentu,
maka dilakukan simulasi numerik berdasarkan nilai parameter-parameter tertentu, sehingga dapat menggambarkan perilaku sistem sebagai proses peniruan untuk mempresentasikan suatu kondisi nyata. Beberapa parameter yang divariasikan yaitu
laju perubahan logam menjadi ion-ion logam,
logam kembali menjadi logam,
laju perubahan ion-ion
konstanta Michaelis Menten,
laju reaksi
maksimum serta yang merupakan penambahan inhibitor secara konstan. Simulasi pada keadaan logam sebelum penambahan inhibtor dengan menggunakan syarat awal untuk logam , logam terkorosi
( )
( )
, ion logam
( )
dan parameter-parameter yang
digunakan yaitu pada Tabel 4.1 berikut.
30
Tabel 4.1 Nilai parameter-parameter dalam model proses korosi sebelum penambahan inhibitor Parameter
(
)
Nilai
Arti
0,5
laju perubahan logam menjadi ion-ion logam
0,5
laju perubahan ion-ion logam kembali menjadi logam
1
laju reaksi maksimum
1,3
konstanta Michaelis Menten
0,1
Penambahan inhibitor secara konstan
0,15
Laju perubahan ion-ion logam menjadi prroduk terkorosi
Untuk menganalisis kestabilan titik kesetimbangan dapat dilakukan dengan cara menstubtitusi nilai parameter-parameter pada persamaan (4.8) sehingga di dapatkan nilai eigen dan sifat kestabilannya, seperti yang ditunjukkan pada tabel 4.2 berikut. Tabel 4.2 Sifat Kestabilan titik kesetimbangan proses korosi logam sebelum penambahan inhibitor Titik Nilai eigen
Sifat Kestabilan
Kesetimbagan ( (
) )
Stabil
31
Berdasarakan nilai awal dan nilai dari parameter-parameter dari model matematika mekanisme korosi logam sebelum penambahan inhibitor maka diperoleh laju perubahan prose korosi sebelum penambahan inhibitor pada Gambar 4.3 berikut
Gambar 4.3 Laju perubahan proses korosi logam sebelum penambahan inhibitor Pada Gambar 4.3 didefinsikan bahwa nilai dari logam awal
,
. Setelah dilakukan iterasi nilai logam awal akan menurun karena terkorosi sebaliknya produk terkorosi akan meningkat nilainya, sama halnya dengan logam peralihan yang akan mengalami penurunan kerena telah terkorosi. Simulasi pada keadaan logam setelah penambahan inhibtor dengan menggunakan syarat awal untuk logam , logam terkorosi
( )
( )
, ion logam
, inhibitor korosi ( )
( ) dan
parameter-parameter yang digunakan yaitu pada Tabel 4.3 berikut.
32
Tabel 4.3 Nilai parameter-parameter dalam model proses korosi sebelum penambahan inhibitor Parameter
(
)
Nilai
Arti
0,5
laju perubahan logam menjadi ion-ion logam
0,5
laju perubahan ion-ion logam kembali menjadi logam
0,15
laju reaksi maksimum
1,3
konstanta Michaelis Menten
0,1
Penambahan inhibitor secara konstan
0,15
Laju perubahan ion-ion logam menjadi produk terkorosi
Untuk menganalisis kestabilan titik kesetimbangan dapat dilakukan dengan cara menstubtitusi nilai parameter-parameter pada persamaan (4.9) sehingga di dapatkan nilai eigen dan sifat kestabilannya, seperti yang ditunjukkan pada Tabel 4.4 berikut. Tabel 4.4 Sifat Kestabilan titik kesetimbangan proses korosi logam sebelum penambahan inhibitor Titik Nilai eigen
Sifat Kestabilan
Kesetimbagan
( (
) )
Stabil
33
Berdasarakan nilai awal dan nilai dari parameter-parameter dari model matematika mekanisme korosi logam setelah penambahan inhibitor maka diperoleh laju perubahan proses korosi sebelum penambahan inhibitor pada Gambar 4.4 berikut
Gambar 4.4 Laju perubahan proses korosi logam dengan penambahan inhibitor Pada Gambar 4.4 didefinsikan bahwa nilai dari logam awal ,
,
. Setelah dilakukan iterasi nilai logam awal akan menurun, tapi
karena adanya penambahan inhibitor yang menekan proses kososi sehingga produk terkorosi akan mengalami perlambatan,
sama halnya dengan logam
peralihan yang akan mengalami perlambatan penurunan kerena telah terkorosi namun laju perubahannya ditekan oleh penambahan inhibitor.
34
BAB V PENUTUP 5.1
Kesimpulan Berdasarkan uraian pembahasan di atas, maka dapat ditarik kesimpulan
sebagai berikut: 1. Diperoleh dua model matematika proses korosi logam Model 1 : Model mekanisme korosi logam tanpa inhibitor
Model 1 :
(
)
Model 2 : Model mekanisme korosi logam dengan penambahan inhibitor
Model 2 : 2.
(
(
)
)
Tidak terdapat perbandingan sifat kestabilan antara kedua model, karena kedua model memliki sifat kestabilan yang sama yaitu stabil dimana terdapat nilai eigen
real dan negatif atau mempunyai bagian real tak positif.
5.2
Saran Pada peneltian ini membahas tentang model matematika mekanisme korosi
logam tanpa inhibitor dan penambahan inhibitor. Disarankan untuk untuk penelitian selanjutnya membahas model matematika mekanisme korosi logam dengan menambahkan laju intrinsik.
36
DAFTAR PUSTAKA
Anton, H. 1987. Aljabar Linear Elementer. Jakarta: Erlangga. Bellomo N. dan Presziosi L. 1995. Modeling Mathematical Method and Scientisic Compution. CRS Press, Florida Bentiss, F., Traisnel, M., Vezin, H.H.F. Hildedbrand dan M. Lagrenee. 2004. 2,5-Bis(4dimethylaminophenyl)-1,3,4-oxadiazole and 2,5-bis(4- dimethylaminophenyl)1,3,4-thadiazole as corrosion inhibitors for mild steel in acidic media. Corrosion Sci., 46, 2781-2792 Cahyono, Edi. 2013. Pemodelan Matematika. Yogyakarta: Graha Ilmu. Cruz, J., Pandian, T., dan Garci‟a-Ochoa, E. 2005. New inhibitor for mild carbon stell: Electromical and DFT studies. Electroanal Chem., 583, 8-16 Hong, T. dan Jepson, W.P. 2001. Corrosion inhibitor studies in large flow loop at high temperature and high pressure. Corossion Sci., 43, 1839-1849 Lopez, D.A., Scheiner, W. H., De Sanchez, S. R., dan Simison, S. N. 2004. The Influence of inhibitors molecular structure and steel microstructure on corrosion layers on CO2 corrosion: An XPS and SEM characterization. Appl. Surf. Sci., 236, 77-97 Nafyeh,
A.
H
dan
Balachandra,
B.
1995.
Applied
Nonlinear
Dynamic:
Analitical,Computational and Experimental Method. New York. Panvilov, A. 2004. Qualitative Analysis of Differential Equations. Utrech University, Utrecht Suriadi, K. A. G. I dan Suarsana, I. K. 2007. Prediksi laju korosi dengan perubahan besar derajat deformasi plastis dan media pengkorosi pada material baja karbon. Jurnal Ilmiah Teknik Mesin., 1(1), 1-8 Tarumingkeng R. C. 1994. Dinamika Pupulasi Kajian Ekologi Kuantitatif. Pustaka Sinar Harapan dan Universitas Kristen Krida Wacana: Jakarta Wahyuningrum, D., Nuraini N., Sumarti N. 2012. Model Matematika Pada Mekanisme Laju Korosi Logam Baja Karbon dengan Penambahan Inhibitor. Jurnal Matematika dan Sains., 17(1), 10-18
Lampiran 1. Titik Kesetimbangan dan Nilai Eigen Model Matematika mekanisme Korosi Logam sebelum penambahan Inhibitor > > > > >
>
> > > > >
> > > > > > >
39
>
>
>
40
Lampiran 2. Titik Kesetimbangan dan Nilai Eigen Model Matematika mekanisme Korosi Logam setelah penambahan Inhibitor > > > > >
>
>
>
> > > > >
> > >
>
41
> > >
> > > >
> >
>
>
42
43
Lampiran 3. Perintah menggunakan software Matlab membuat grafik laju perubahan proses korosi logam sebelum penambahan inhibitor function korosilogam clear all; clc; global a b c p r s a=0.5; b=0.5; c=0.15; p=1; r=(b+c)/a; s=0.1; t0=0; tf=11; x=[1 0.3 0 0]; [t,L]=ode45('inhibitor',[t0,tf],x); title('Perubahan Korosi Logam'); xlabel('Time(Tahun)'); ylabel('Produk Terkorosi (fraksi mol)'); hold on plot(t,L(:,1),'b',t,L(:,2),'r',t,L(:,3),'g',t,L(:,4),'y'); legend('Logam Awal','Logam Peralihan', 'Logam Terkorosi','Inhibitor');
44
Lampiran 4. Perintah menggunakan software Matlab membuat grafik laju perubahan proses korosi logam setelah penambahan inhibitor function korosilogam clear all; clc; global a b c p r s a=0.5; b=0.5; c=0.15; p=1; r=(b+c)/a; s=0.1; t0=0; tf=11; x=[1 0.3 0 0.8]; [t,L]=ode45('inhibitor',[t0,tf],x); title('Perubahan Korosi Logam'); xlabel('Time(Tahun)'); ylabel('Produk Terkorosi (fraksi mol)'); hold on plot(t,L(:,1),'b',t,L(:,2),'r',t,L(:,3),'g',t,L(:,4),'y'); legend('Logam Awal','Logam Peralihan', 'Logam Terkorosi','Inhibitor');
45
