PEMODELAN JARINGAN DAN ANALISA PENJADWALAN KERETA API KOMUTER DI DAOP VI YOGYAKARTA DENGAN MENGGUNAKAN ALJABAR MAX-PLUS SKRIPSI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PEMODELAN JARINGAN DAN ANALISA PENJADWALAN KERETA API KOMUTER DI DAOP VI YOGYAKARTA DENGAN MENGGUNAKAN ALJABAR MAX-PLUS

SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh : SCOLASTIKA LINTANG RENGGANIS RADITYANI NIM : 121414047

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSTAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2016


PEMODELAN JARINGAN DAN ANALISA PENJADWALAN KERETA API KOMUTER DI DAOP VI YOGYAKARTA DENGAN MENGGUNAKAN ALJABAR MAX-PLUS

SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh : SCOLASTIKA LINTANG RENGGANIS RADITYANI NIM : 121414047

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSTAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2016

i




HALAMAN PERSEMBAHAN

Iman tanpa perbuatan pada hakekatnya adalah mati. (Yakobus 2:14-26)

Be thankful for what you have, you’ll having more. If you concentrate on what you don’t have, you will never, ever have enough. (Oprah Winfrey)

Karya ini kupersembahkan kepada: Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang senantiasa memberkatiku Papa Donatus dan Mama Paula Mbak Raras, Adik Bela, dan Adik Theo Mami Tun, Mbak Galuh, dan Om Tarigan Laurensius Andi Saputra Teman-temanku tercinta Almamaterku Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta

iv




ABSTRAK

Scolastika Lintang Rengganis Radityani, 2016. Pemodelan Jaringan dan Analisa Penjadwalan Kereta Api Komuter di DAOP VI Yogyakarta dengan Menggunakan Aljabar Max-Plus. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta. Saat ini, penjadwalan kereta api komuter di Daerah Operasi VI (DAOP VI) Yogyakarta dibuat berdasarkan kebutuhan penumpang (konsumen), sehingga belum terjadi proses sinkronisasi. Proses sinkronisasi dalam jaringan transportasi penting untuk dilakukan guna menjamin tersedianya sarana transportasi, dalam hal ini kereta api komuter, pada saat penumpang dari suatu kereta api dengan rute tertentu ingin berpindah ke kereta api lainnya dengan rute yang berbeda. Oleh karena itu, pada penelitian ini dibuat suatu desain penjadwalan untuk keberangkatan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta dengan memperhatikan proses sinkronisasi. Salah satu cara untuk memudahkan penyusunan jadwal berdasarkan aturan sinkronisasi adalah menggunakan aljabar max-plus. Penelitian ini bertujuan untuk menyusun suatu model jaringan dan menganalisa penjadwalan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta menggunakan aljabar max-plus. Metode penelitian yang digunakan adalah metode studi pustaka yang didukung dengan data lapangan dan proses komputasi dengan program MATLAB. Hasil penelitian menunjukkan bahwa matriks dari model jaringan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta dinyatakan sebagai matriks yang tidak irreducible (tereduksi). Hal ini diduga karena tidak semua lintasan terdapat kereta api komuter yang siap melayani sehingga lintasan tersebut seperti dianggap tidak ada. Berdasarkan hasil perhitungan dengan program MATLAB, didapatkan nilai eigen maksimum yaitu 𝜆(𝐴) = 786 dan vektor eigen yang berupa bilangan real, sehingga dapat dibuat penjadwalan kereta api komuter yang tersinkronisasi. Nilai eigen tersebut menyatakan periode keberangkatan kereta api komuter dari masingmasing stasiun, yaitu setiap 786 menit sekali atau setiap 13 jam 6 menit sekali. Sedangkan waktu keberangkatan awal kereta api komuter di setiap stasiun diperoleh dari vektor eigen. Kata Kunci: aljabar max-plus, nilai eigen, vektor eigen, jadwal, kereta api komuter

vii


ABSTRACT

Scolastika Lintang Rengganis Radityani, 2016. Network Modelling and Analyze Scheduling of Commuter Train in DAOP VI Yogyakarta using Max-Plus Algebra. Thesis. Mathematics Education Study Program, Mathematics and Science Education Department, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata Dharma University, Yogyakarta. Scheduling of commuter train in the Daerah Operasi VI (DAOP VI) Yogyakarta currently made based on the needs of passengers (consumers), so the synchronization process has not happened yet. The synchronization process in the transportation network is important to be done to ensure the availability of transportation means, in this case is commuter train, when the passengers of a train with a particular route want to move to other train with different route. Therefore, this research is made a scheduling design for commuter train departure in DAOP VI Yogyakarta by considering the synchronization process. One way to make it easier is to use max-plus algebra. This research aims to made a network modelling and analyze the scheduling of commuter train in DAOP VI Yogyakarta using max-plus algebra. The research method used is literature method which is supported by field data and computation process with MATLAB program. The result showed that the matrix of the network model of commuter train in DAOP VI Yogyakarta isn’t irreducible (reduced). It is suspected because not all of the line has commuter train that is ready to serve so that the line is like considered doesn’t exist. Based on the calculation result with MATLAB program obtained that the eigenvalues maximum is 𝜆(𝐴) = 786 and eigenvectors is form of real numbers, so it can be made for synchronize scheduling of commuter train. The eigenvalues stated the period of commuter train departures from each station every 786 minutes or every 13 hour 6 minutes. Then, the first departures of commuter train in each station is obtained from eigenvectors. Keyword: max-plus algebra, eigenvalues, eigenvectors, schedule, commuter train

viii


KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa karena berkat penyertaan-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Pemodelan Jaringan dan Analisa Penjadwalan Kereta Api Komuter di DAOP VI Yogyakarta dengan Menggunakan Aljabar Max-Plus”. Skripsi ini disusun dalam rangka memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Pendidikan pada Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma. Penulis menyadari bahwa tanpa dukungan dan bantuan dari berbagai pihak, penelitian dan penyusunan skripsi ini tidak dapat berjalan dengan baik dan lancar. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1.

Bapak Rohandi, Ph.D., selaku Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sanata Dharma.

2.

Bapak Dr. M. Andy Rudhito, S.Pd., selaku Ketua Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sanata Dharma sekaligus dosen pembimbing skripsi yang telah membimbing, memberikan dukungan, kritikan, dan masukan yang membangun selama penyusunan skripsi ini.

3.

Bapak Dr. Hongki Julie, M.Si., selaku Ketua Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma.

4.

Ibu Dra. Haniek Sri Pratini, M.Pd. dan Bapak Antonius Yudhi Anggoro, M.Si., selaku dosen penguji skripsi yang telah memberikan kritik dan saran untuk perbaikan skripsi ini.

5.

Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma yang telah membimbing dan mendidik penulis selama menuntut ilmu di Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma.

6.

Segenap karyawan PT KAI DAOP VI Yogyakarta, yang telah membantu penulis dalam proses perizinan dan pengumpulan data-data yang diperlukan untuk penelitian dan penyusunan skripsi ini.

ix


7.

Bapak Allexander Gumawang, S.Pd., M.Si., yang telah bersedia meluangkan waktunya untuk membimbing penulis selama penyusunan skripsi ini.

8.

Orangtua penulis, Bapak Donatus Purwanto Mekomana dan Ibu Paula Elisabeth Sri Kunthi Himawan Purbabatari yang selalu mendoakan, menyemangati, dan memberikan dukungan secara moril maupun materi.

9.

Kakak dan adik-adikku terkasih, serta Mami Tun, Mbak Galuh, dan Om Tarigan, yang juga selalu mendoakan, memberikan semangat dan dukungan untuk menyelesaikan skripsi ini.

10. Laurensius Andi Saputra, yang selalu memberikan semangat, bantuan, dan meluangkan waktunya untuk menemani penulis saat mengumpulkan data penelitian dan selama proses penyusunan skripsi ini. 11. Sahabat-sahabatku, Arinta Yudhi Laksito, Valentina Rina, Stania Mirandai Putri, Cindy, Natalia Ika Eristaria, dan Yohana Kristin Anggraeni yang telah menemani penulis berbagi suka dan duka selama menempuh kuliah di Universitas Sanata Dharma dan selama proses penyusunan skripsi ini. 12. Teman-teman Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma angkatan 2012 yang telah bersama-sama berbagi pengalaman dan membantu penulis selama menuntut ilmu di Universitas Sanata Dharma. 13. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu, yang telah membantu penulis secara langsung maupun tidak langsung dalam menyelesaikan penyusunan skripsi ini. Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan yang perlu ditingkatkan oleh penulis dalam penulisan skripsi ini. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun bagi sempurnanya tulisan ini. Semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat bagi para pembaca dan pihak-pihak yang terkait.

Penulis

x


DAFTAR ISI JUDUL HALAMAN JUDUL ......................................................................................

i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ..........................................

ii

HALAMAN PENGESAHAN ........................................................................

iii

HALAMAN PERSEMBAHAN ....................................................................

iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ........................................................

v

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIIAH.........................................................................................................

vi

ABSTRAK ...................................................................................................... vii ABSTRACT .................................................................................................... viii KATA PENGANTAR ....................................................................................

ix

DAFTAR ISI ...................................................................................................

xi

DAFTAR TABEL .......................................................................................... xiii DAFTAR GAMBAR ...................................................................................... xiv DAFTAR NOTASI .........................................................................................

xv

BAB I PENDAHULUAN ...............................................................................

1

A. Latar Belakang Masalah .......................................................................

1

B. Tinjauan Pustaka ..................................................................................

4

C. Rumusan Masalah ................................................................................

8

D. Batasan Masalah...................................................................................

9

E. Asumsi .................................................................................................

9

F. Tujuan Penelitian .................................................................................

9

G. Penjelasan Istilah ..................................................................................

9

H. Manfaat Penelitian ...............................................................................

10

I. Metode Penelitian.................................................................................

11

J. Sistematika Penulisan ..........................................................................

12

BAB II LANDASAN TEORI ........................................................................

15

A. Definisi dan Sifat dasar Aljabar Max-Plus...........................................

16

B. Matriks dan Vektor di ℝmax .................................................................

21

Matriks di ℝmax .............................................................................

21

1.

xi


Vektor di ℝmax ..............................................................................

32

C. Matriks dan Graf di ℝmax .....................................................................

34

D. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks di ℝmax ...................................

49

BAB III PEMODELAN JARINGAN KERETA API .................................

57

A. Sistem Transportasi Kereta Api di DAOP VI Yogyakarta ..................

57

B. Rute Pilihan ..........................................................................................

60

C. Graf Rute Pilihan..................................................................................

62

D. Sinkronisasi ..........................................................................................

70

E. Model Aljabar Max-Plus ......................................................................

81

2.

BAB VI ANALISIS PENJADWALAN KERETA API .............................. 100 A. Menghitung Nilai Eigen dan Vektor Eigen .......................................... 100 B. Desain Penjadwalan ............................................................................. 102 C. Pembahasan .......................................................................................... 126 BAB V PENUTUP .......................................................................................... 129 A. Kesimpulan .......................................................................................... 129 B. Saran ..................................................................................................... 129 DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................... 131 LAMPIRAN

xii


DAFTAR TABEL Tabel 2.1 Contoh Pengoperasian dalam ℝmax .................................................

20

Tabel 3.C.1 Waktu Tempuh Kereta Api Komuter ...........................................

67

Tabel 3.E.1 Definisi Variabel Kereta Api Komuter .........................................

81

Tabel 4.B.1 Jadwal Keberangkatan Kereta Api Komuter Rute 1: Kutoarjo – Solo Balapan PP .................................................................................... 103 Tabel 4.B.2 Jadwal Keberangkatan Kereta Api Komuter Rute 2: Yogyakarta – Solo Balapan PP ............................................................................ 107 Tabel 4.B.3 Jadwal Keberangkatan Kereta Api Komuter Rute 3: Madiun Yogyakarta PP ............................................................................... 109 Tabel 4.B.4 Jadwal Keberangkatan Kereta Api Komuter Rute 4: Solo Balapan Purwokerto PP ............................................................................... 113 Tabel 4.B.5 Jadwal Keberangkatan Kereta Api Komuter Rute 5: Purwosari – Semarang Poncol PP ..................................................................... 118 Tabel 4.B.6 Jadwal Keberangkatan Kereta Api Komuter Rute 6: Purwosari Wonogiri PP .................................................................................. 120 Tabel 4.B.7 Pilihan Desain Jadwal Keberangkatan Rute 1: Kutoarjo – Solo Balapan PP .................................................................................... 121 Tabel 4.B.8 Pilihan Desain Jadwal Keberangkatan Rute 2: Yogyakarta – Solo Balapan PP .................................................................................... 122 Tabel 4.B.9 Pilihan Desain Jadwal Keberangkatan Rute 3: Madiun – Yogyakarta PP .................................................................................................. 122 Tabel 4.B.10 Pilihan Desain Jadwal Keberangkatan Rute 4: Solo Balapan Purwokerto PP ............................................................................... 123 Tabel 4.B.11 Pilihan Desain Jadwal Keberangkatan Rute 5: Purwosari – Semarang Poncol PP ..................................................................... 123 Tabel 4.B.12 Pilihan Desain Jadwal Keberangkatan Rute 6: Purwosari – Wonogiri PP .................................................................................................. 124

xiii


DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.C.1 Graf Secara Umum ...................................................................

34

Gambar 2.C.2 Graf Berarah .............................................................................

35

Gambar 2.C.3 Graf Berbobot ...........................................................................

37

Gambar 2.C.4 Graf Berarah Berbobot .............................................................

38

Gambar 2.C.5 Graf Berarah G5 ..............................................................................

40

Gambar 2.C.6 Graf Berarah Berbobot Contoh 2.C.6 .......................................

42


43


47

Gambar 2.C.9 Graf Kritis Contoh 2.C.9 ..........................................................

47

Gambar 3.A.1 Denah Lintas DAOP VI Yogyakarta ........................................

60

Gambar 3.C.1 Rute 1 ........................................................................................

62

Gambar 3.C.2 Rute 2 ........................................................................................

63

Gambar 3.C.3 Rute 3 ........................................................................................

63

Gambar 3.C.4 Rute 4 ........................................................................................

64

Gambar 3.C.5 Rute 5 ........................................................................................

64

Gambar 3.C.6 Rute 6 ........................................................................................

65

Gambar 3.C.7 Graf Rute Kereta Api Komuter di DAOP VI Yogyakarta........

66

Gambar 3.C.8 Graf Rute Sistem Kereta Api Komuter di DAOP VI Yogyakarta Pada Waktu Acuan ...................................................................

xiv

69


DAFTAR NOTASI ℝ

: himpunan bilangan real.

𝑵

: himpunan bilangan asli.

⨁

: operasi biner maksimum.

⨂

: operasi biner penjumlahan.

(𝑺, +, ×) : himpunan tak kosong 𝑺 yang dilengkapi dengan dua operasi biner + dan × ∀

: semua anggota himpunan.

∃

: beberapa (ada) anggota himpunan.

∈

: elemen himpunan.

ℝ𝜀

: ℝ ∪ {𝜀}.

𝜀

: elemen identitas untuk operasi ⨁ (𝜀 = −∞).

𝑒

: elemen identitas untuk operasi ⨂ (𝑒 = 0).

ℝ𝑚𝑎𝑥

: (ℝ𝜀 , ⨁, ⨂).

ℝ𝑚×𝑛 𝑚𝑎𝑥

: himpunan matriks berukuran 𝑚 × 𝑛 dalam aljabar max-plus.

ℝ𝑛𝑚𝑎𝑥

: himpunan vektor berukuran 𝑛 × 1 dalam aljabar max-plus.

𝐴

: matriks 𝐴

𝑎𝑖𝑗

: elemen matriks 𝐴 pada baris ke−𝑖 dan kolom ke−𝑗.

𝐴𝑇

: matriks 𝐴 transpose.

𝐺(𝐴)

:graf berarah dari matriks 𝐴.

𝑉

: himpunan vertices dari graf berarah.

𝐸

: himpunan edges dari graf berarah.

|𝜌|𝑙

: panjang suatu lintasan 𝜌.

|𝜌|𝑤

: bobot suatu lintasan 𝜌.

𝜆

: nilai eigen mariks 𝐴.

𝑣

: vektor eigen matriks 𝐴.

𝑥(𝑘 − 1)

: vektor waktu keberangkatan yang ke−(𝑘 − 1) dari semua kereta api komuter.

xv


BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Sarana transportasi merupakan sesuatu yang berperan penting dalam membantu perpindahan manusia maupun perpindahan barang dari satu tempat ke tempat lainnya. Selain itu, sarana tranportasi berperan untuk meningkatkan keterjangkauan suatu wilayah, yaitu membantu daerah-daerah terpencil menjadi lebih maju dan berkembang. Sarana transportasi di Indonesia terdiri dari tiga jenis, yaitu sarana transportasi darat, laut, dan udara. Sarana transportasi yang digunakan pada suatu daerah, dipilih berdasarkan kondisi geografis masing-masing daerah. Oleh karena itu di daerah Sumatera dan Jawa, masyarakatnya lebih dominan menggunakan sarana transportasi darat, sedangkan di daerah lain yang kondisi geografisnya tidak memungkinkan dilalui oleh sarana transportasi darat, masyarakatnya lebih dominan menggunakan sarana transportasi laut dan udara. Sarana transportasi darat yang digunakan di Yogyakarta memiliki banyak jenis, salah satunya adalah kereta api komuter. Kereta api komuter adalah sebuah sarana transportasi kereta api penumpang yang menghubungkan antara pusat kota atau daerah perkotaan dan pinggiran kota dimana setiap harinya menarik sejumlah besar orang untuk melakukan perjalanan. Kereta api komuter disebut juga sebagai kereta api lokal. Kereta api komuter yang dioperasikan oleh Daerah Operasi VI (DAOP VI) Yogyakarta, antara lain

1

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 2

kereta api Prambanan Ekspres dengan rute Kutoarjo – Solo Balapan PP dan Yogyakarta – Solo Balapan PP, kereta api Sidomukti dengan rute Yogyakarta – Solo Balapan PP, kereta api Kalijaga dengan rute Purwosari – Semarang Poncol PP, kereta api Madiun Jaya dengan rute Madiun – Yogyakarta PP, kereta api Joglo Kerto dengan rute Solo Balapan – Purwokerto PP, dan kereta api Bathara Kresna dengan rute Purwosari – Wonogiri PP. Setiap harinya, banyak penumpang yang menggunakan transportasi kereta api komuter ini untuk melakukan perjalanan, terutama pada rute Yogyakarta – Solo Balapan PP. Penumpang tersebut terdiri dari para pelaju yang berprofesi sebagai dosen, dokter, pegawai pemerintah atau pegawai swasta, mahasiswa atau pelajar, para pedagang, dan para wisatawan baik wisatawan dalam negeri maupun wisatawan asing (http://id.m.wikipedia.org/ wiki/Kereta_api_Prambanan_Ekspres). Dengan adanya perbedaan kepadatan atau intensitas yang terjadi pada rute Yogyakarta – Solo PP dibandingkan dengan rute lainnya, mengakibatkan operator DAOP VI Yogyakarta meningkatkan jumlah perjalanan untuk rute ini menjadi 10 kali perjalanan PP setiap harinya menggunakan kereta api Prambanan Ekspres. Selain itu, untuk rute Yogyakarta – Solo Balapan PP juga dibantu oleh kereta komuter lainnya yang dioperasikan oleh DAOP VI Yogyakarta, yaitu kereta api Sidomukti (beroperasi pada hari Minggu dan hari libur), kereta api Madiun Jaya, dan kereta api Joglo Kerto. Berdasarkan paparan di atas, terlihat bahwa pembuatan jadwal keberangkatan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta bergantung pada


kebutuhan

penumpang

(konsumen),

sehingga

belum

terjadi

proses

sinkronisasi. Proses sinkronisasi dalam jaringan transportasi penting untuk dilakukan guna menjamin tersedianya sarana transportasi pada saat penumpang ingin berpindah rute. Menurut Subiono (2015: 1), sinkronisasi memerlukan ketersediaan beberapa sumber pada saat yang bersamaan, dalam hal ini memerlukan ketersediaan kereta api untuk menjamin terjadinya perpindahan penumpang dari suatu kereta api dengan rute tertentu ke kereta api lainnya dengan rute yang berbeda. Melihat pentingnya sinkronisasi dalam jaringan transportasi, maka pada penelitian ini dibuat suatu desain penjadwalan untuk keberangkatan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta dengan memperhatikan proses sinkronisasi. Salah satu cara untuk memudahkan penyusunan jadwal berdasarkan aturan sinkronisasi adalah menggunakan aljabar max-plus. Langkah awal dalam melakukan penelitian ini adalah mengumpulkan data yang diperlukan seperti rute, jadwal keberangkatan, dan waktu tempuh antar stasiun yang dilewati oleh kereta api komuter tersebut. Selanjutnya, dibuat aturan sinkronisasi yang menjamin terjadinya perpindahan penumpang dari suatu kereta api dengan rute tertentu ke kereta api lainnya dengan rute yang berbeda. Kemudian, dibentuk suatu model matematika berdasarkan aturan sinkronisasi tersebut. Dengan model ini, sistem dianalisis untuk membuat suatu desain penjadwalan yang memperhatikan sinkronisasi dan menentukan kesesuaiannya dengan kondisi real.


Berdasarkan uraian di atas, penulis tertarik untuk membuat pemodelan jaringan dan analisa penjadwalan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta dengan menggunakan aljabar max-plus.

B. Tinjauan Pustaka Penelitian yang pernah dilakukan berhubungan dengan aplikasi aljabar max-plus pada sistem jaringan kereta api, antara lain: 1.

Penelitian yang dilakukan oleh Geert Jan Olsder, Subiono, dan Michael Mc Gettrick (2000) dengan judul “On Large Scale Max-Plus Algebra Models in Railway System”. Penelitian ini membentuk sebuah model dari seluruh sistem kereta api di Belanda menggunakan aljabar max-plus. Pemodelan dilakukan dengan mempertimbangkan gabungan dari tiga jenis kereta api yang berbeda dari sistem kereta api ini, yaitu kereta antar kota (intercity train), kereta semi-cepat (sneltrein), dan kereta lambat (stoptrein). Dalam penelitian ini terdapat 61 lintasan, dimana 11 lintasan merupakan lintasan kereta antar kota (diberi nomor 1 – 11) dan sisanya yaitu 50 lintasan merupakan lintasan kereta semi-cepat dan kereta lambat. Penelitian ini menggunakan waktu acuan 11:40. Pada waktu acuan ini terdapat minimal satu kereta dan maksimal dua kereta pada 61 lintasan tersebut. Berdasarkan hasil pemodelan, didapatkan matriks 𝐴 yang berukuran 441 × 441. Setelah dilakukan proses reduksi didapatkan matriks 𝐴 yang berukuran 214 × 214, dimana matriks 𝐴 tersebut dideskripsikan

sebagai

𝐴𝑟𝑒𝑑 .

Berdasarkan

hasil

perhitungan


menggunakan algoritma power, didapatkan nilai eigen yaitu 𝜆𝐴𝑟𝑒𝑑 = 53,4 menit. Kemudian, dari hasil penelitian juga diketahui bahwa terdapat 5 sirkuit kritis dalam sistem kereta api di Belanda yang nilai sirkuit kritis tersebut sama dengan 53,4 menit. Sirkuit kritis ini adalah ukuran untuk kinerja keseluruhan sistem. Peneliti mendeskripsikan struktur dari 𝐴 𝐴12 matriks 𝐴𝑟𝑒𝑑 sebagai 𝐴𝑟𝑒𝑑 = ( 11 ), dimana matriks 𝐴11 dan 𝐴22 𝐴21 𝐴22 masing-masing mereprentasikan sub sistem dari kereta antar kota dan kereta semi-cepat serta kereta lambat. Matriks 𝐴11 merepresentasikan sub sistem dari kereta antar kota yang mempunyai ukuran matriks 67 × 67. Sedangkan, untuk matriks 𝐴22 merepresentasikan sub sistem kereta semicepat dan kereta lambat yang mempunyai ukuran matriks 147 × 147. Peneliti tidak membagi total sistem menjadi tiga sub sistem untuk kereta antar kota, kereta semi-cepat, dan kereta lambat karena beberapa kereta semi-cepat yang berangkat dari suatu stasiun ke stasiun yang lain berganti menjadi kereta lambat, begitu sebaliknya. Nilai eigen pada setiap sub matriks digunakan untuk memberikan informasi tentang seberapa cepat jaringan dapat beroperasi jika hanya dilakukan sinkronisasi untuk masing-masing kereta pada sub sistem. 2.

Penelitian yang dilakukan oleh Ahmad Afif (2015), dengan judul tesis “Aplikasi Petri Net dan Aljabar Max-Plus pada Sistem Jaringan Kereta Api di Jawa Timur”. Penelitian ini dilakukan untuk membuat penjadwalan kereta api yang tepat demi mengurangi kelemahan kereta api dalam melayani ketepatan waktu kedatangan dan keberangkatan.


Pada penelitian dibuat model dan analisa jaringan kereta api di Jawa Timur menggunakan petri net dan aljabar max-plus. Pada penelitian, penentuan waktu tempuh antar stasiun didasarkan pada waktu tempuh semua kereta api yang beroperasi setiap hari dalam bentuk interval waktu, dimana penentuan batas bawah adalah waktu tempuh tercepat sedangkan batas atas adalah waktu tempuh rata-rata pada setiap lintasan. Dalam penelitian ini, jumlah kereta api yang beroperasi pada setiap lintasan ditentukan dengan menggunakan dua waktu acuan, yaitu pukul 5:00 – 8:00 WIB dan pukul 10:00 – 13:00 WIB. Waktu acuan pukul 5:00 – 8:00 WIB digunakan untuk menentukan jumlah kereta api yang beroperasi di setiap jalur menuju Surabaya dengan jadwal keberangkatan kereta api pukul 3:00 – 9:00 WIB dan waktu acuan pukul 10:00 – 13:00 WIB digunakan untuk menentukan jumlah kereta api yang beroperasi di setiap jalur meninggalkan Surabaya dengan jadwal keberangkatan kereta api pukul 9:00 – 15:00 WIB. Pada waktu acuan ini terdapat minimal satu kereta api dan maksimal empat kereta api pada setiap lintasan. Oleh karena itu, diperoleh 4 buah matriks 𝐴𝑝 , dengan 𝑝 = {1,2,3,4} dan masing-masing matriks berukuran 42 × 42. Matriks 𝐴𝑝 adalah matriks ̃ yang berkaitan dengan 𝑥(𝑘 + 1 − 𝑝). Kemudian, diperoleh matriks 𝐴

𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴4 𝐼 ℇ ℇ ℇ ̃ = 𝑚𝑎𝑥 yang berukuran 168 × 168, yaitu 𝐴 , dimana ℇ 𝐼𝑚𝑎𝑥 ℇ ℇ [ ℇ ℇ 𝐼𝑚𝑎𝑥 ℇ ] matriks 𝐴1 bersesuaian dengan keberangkatan kereta api ke-k, matriks 𝐴2 bersesuaian dengan keberangkatan kereta api ke-(𝑘 − 1), matriks 𝐴3


bersesuaian dengan keberangkatan kereta api ke-(𝑘 − 2), matriks 𝐴4 bersesuaian dengan keberangkatan kereta api ke-(𝑘 − 3), dan 𝐼𝑚𝑎𝑥 adalah matriks identitas berukuran 𝑛 × 𝑛 dengan elemen diagonalnya sama dengan 𝑒 = 0 dan elemen lainnya sama dengan 𝜀 = −∞. Sedangkan ℇ adalah matriks berukuran 𝑛 × 𝑛 yang semua elemennya sama dengan 𝜀. Penelitian ini memperoleh model dan desain jadwal keberangkatan kereta api di Jawa Timur yang stabil dan realistik (dilakukan uji coverability tree, uji kerealistikan, dan uji kestabilan model sistem jaringan kereta api di Jawa Timur) dengan periode keberangkatan setiap 𝜆 menit, yaitu 93,625 ≤ 𝜆 ≤ 101,25. Dalam penelitian ini nilai eigen dan vektor eigen dihitung menggunakan algoritma power. Berdasarkan paparan di atas, terlihat bahwa kedua penelitian tersebut memiliki persamaan yaitu terdapat minimal satu kereta api pada setiap lintasan dan tidak terdapat perbedaan intensitas pada suatu lintasan tertentu. Hal ini yang nantinya menjadi perbedaan dengan penelitian yang akan penulis lakukan. Dalam penelitian, penulis mencoba untuk memodelkan jaringan dan membuat analisa penjadwalan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta menggunakan aljabar max-plus. Penelitian ini nantinya memiliki perbedaan kepadatan atau intensitas pada suatu lintasan tertentu, yaitu pada rute Yogyakarta – Solo Balapan PP. Hal ini terlihat dari penjadwalan yang telah dibuat oleh DAOP VI Yogyakarta, bahwa rute tersebut dilalui oleh beberapa


kereta api komuter, yaitu kereta api Prambanan Ekspres dengan rute Kutoarjo – Solo Balapan PP dan Yogyakarta – Solo Balapan PP, kereta api Madiun Jaya dengan rute Madiun – Yogyakarta PP, dan kereta api Joglo Kerto dengan rute Solo Balapan – Purwokerto PP. Selain itu, berdasarkan jadwal yang telah ada, terlihat pula bahwa penggunaan waktu acuan pukul berapa saja, masih menyebabkan perbedaan kerapatan di setiap lintasan. Perbedaan kerapatan yang dimaksud adalah tidak semua lintasan yang dimodelkan dilewati oleh kereta api komuter. Adanya perbedaan intensitas suatu lintasan tertentu dan perbedaan kerapatan inilah yang membedakan penelitian ini dari penelitian – penelitian sejenis sebelumnya. Oleh karena itu, penelitian ini perlu dilakukan untuk memberikan alternatif pemodelan apabila pada penelitian selanjutnya ditemukan masalah yang serupa.

C. Rumusan Masalah Berdasarkan uraian di atas, maka penulis dapat merumuskan masalah dalam penelitian ini sebagai berikut: 1.

Bagaimana pemodelan jaringan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta menggunakan aljabar max-plus?

2.

Bagaimana analisa penjadwalan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta menggunakan aljabar max-plus?


D. Batasan Masalah Masalah yang dibahas dalam penelitian ini dibatasi pada pemodelan jaringan dan analisa mengenai penjadwalan kereta api komuter yang beroperasi pada hari efektif di DAOP VI Yogyakarta menggunakan aljabar max-plus.

E. Asumsi Dalam penelitian ini diberikan asumsi sebagai berikut. 1.

Kecepatan kereta api komuter dianggap tetap.

2.

Distribusi jumlah kereta api pada setiap lintasan dianggap tetap.

3.

Jenis kereta api komuter yang digunakan dalam model tidak dibedakan.

F. Tujuan Penelitian Adapun tujuan yang diharapkan dapat tercapai dari penelitian ini, yaitu: 1.

Menyusun model jaringan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta menggunakan aljabar max-plus.

2.

Menganalisa penjadwalan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta menggunakan aljabar max-plus.

G. Penjelasan Istilah 1.

Pemodelan Jaringan Pemodelan jaringan adalah suatu usaha merumuskan persoalanpersoalan nyata, dalam hal ini adalah suatu jaringan kereta api komuter,


ke dalam persoalan matematika untuk mendapatkan penyelesaian atau solusi dari persoalan tersebut. 2.

Aljabar Max-Plus Aljabar max-plus didefinisikan sebagai himpunan semua bilangan real ℝ ∪ {−∞}, dilengkapi dengan operasi maksimum (disingkat max) yang dinotasikan dengan ⊕ (dibaca o-plus) dan operasi penjumlahan (atau plus) yang dinotasikan dengan ⊗ (dibaca o-times), serta membentuk semilapangan idempoten.

H. Manfaat Penelitian Manfaat yang diperoleh melalui hasil penelitian ini, antara lain: a.

Memberikan sumbangan pada dunia matematika dalam pemodelan jaringan transportasi kereta api dan analisa penjadwalan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta dengan menggunakan aljabar maxplus.

b.

Memberikan alternatif pemodelan jaringan transportasi kereta api yang memiliki perbedaan intensitas dan kerapatan pada setiap lintasan dengan menggunakan aljabar max-plus.

c.

Memberikan rekomendasi penjadwalan bagi PT Kereta Api Indonesia (PT KAI) yang memperhatikan sinkronisasi.


I.

Metode Penelitian Metode penelitian yang digunakan adalah metode studi pustaka yang didukung dengan data lapangan dan komputasi dengan program MATLAB. Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini, yaitu: 1.

Mengumpulkan dan membaca buku-buku, artikel-artikel, dan tesis-tesis untuk menjelaskan landasan teori pada Bab II, menyusun model jaringan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta pada Bab III, dan menganalisa penjadwalan yang dimodelkan dengan aljabar max-plus, dengan kondisi real jadwal keberangkatan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta pada bab IV.

2.

Mengumpulkan data tentang kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta menggunakan instrumen penelitian berupa dokumen, yang meliputi denah lintas DAOP VI Yogyakarta, jadwal keberangkatan, dan rute yang dilewati oleh kereta api komuter. Instrumen penelitian tersebut dapat dijamin kevalidannya karena dikeluarkan langsung oleh PT KAI DAOP VI Yogyakarta.

3.

Menentukan suatu rute pilihan dan membuat graf dari rute pilihan tersebut.

4.

Menyusun aturan sinkronisasi untuk graf rute pilihan.

5.

Membuat model matematika berdasarkan aturan sinkronisasi yang dibuat.

6.

Menentukan matriks 𝐴 berdasarkan model matematika yang diperoleh.

7.

Menentukan nilai eigen dan vektor eigen matriks 𝐴.


8.

Membuat suatu desain penjadwalan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta yang telah tersinkronisasi.

9.

Menganalisa kesesuaian antara jadwal keberangkatan yang diperoleh dengan kondisi real.

10. Membandingkan hasil penelitian yang telah dilakukan dengan hasil penelitian sejenis yang sudah ada.

J.

Sistematika Penulisan Secara garis besar, skripsi ini dibagi menjadi lima pokok bahasan, yaitu: 1.

Bab I Pendahuluan Bab ini menjelaskan tentang latar belakang masalah, tinjauan pustaka, rumusan masalah, batasan masalah, asumsi penelitian, tujuan penelitian, manfaat penelitian, metode penelitian, dan sistematika penulisan.

2.

Bab II Landasan Teori Bab ini menjelaskan tentang konsep dasar aljabar max-plus yang meliputi definisi aljabar max-plus, operasi dan sifat operasi aljabar maxplus, matriks dan vektor dalam aljabar max-plus, graf dalam aljabar maxplus, dan konsep nilai eigen dan vektor eigen dalam aljabar max-plus. Selain itu, dijelaskan pula mengenai eksistensi dan ketunggalan nilai eigen pada aljabar max-plus.


3.

Bab III Pemodelan Jaringan Kereta Api Bab ini menjelaskan tentang aplikasi aljabar max-plus pada penjadwalan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta. Penjelasan diawali dengan memberikan gambaran mengenai sistem transportasi kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta secara umum. Kemudian, dibuat pemodelan jaringan penjadwalan kereta api komuter tersebut menggunakan aljabar max-plus. Pemodelan yang dimaksud meliputi penentuan rute pilihan, pembuatan graf rute pilihan, penyusunan sinkronisasi graf rute pilihan, penyusunan model matematika berdasarkan aturan sinkronisasi yang dibuat, dan penentuan matriks 𝐴 berdasarkan model matematika yang diperoleh.

4.

Bab IV Analisa Penjadwalan Kereta Api Bab ini menganalisa matriks 𝐴 yang telah dibuat pada bab III. Analisa ini dilakukan dengan cara mengitung nilai eigen dan vektor eigen dari matriks 𝐴. Kemudian, berdasarkan nilai eigen dan vektor eigen tersebut dibuat suatu desain penjadwalan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta yang telah tersinkronisasi. Desain penjawalan yang diperoleh, dianalisa kesesuaiannya dengan kondisi real. Setelah itu, dibuat suatu pembahasan untuk membandingkan hasil penelitian yang diperoleh dengan penelitian sejenis lainnya yang dipaparkan dalam tinjauan pustaka di bab I.


5.

Bab V Penutup Bab ini merupakan bab terakhir dalam skripsi ini. Bab ini menjelaskan tentang kesimpulan dari pembahasan pada Bab III dan Bab IV, serta saran-saran yang dapat digunakan untuk penelitian selanjutnya.


BAB II LANDASAN TEORI

Bab ini menjelaskan tentang konsep dasar aljabar max-plus yang diperlukan sebagai landasan teori untuk pemodelan jaringan dan analisa penjadwalan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta. Sebelum menjelaskan konsep dasar aljabar max-plus, dijelaskan dahulu mengenai pemodelan jaringan. Menurut Iswanto (2012: 16), secara umum pemodelan matematika merupakan usaha perancangan rumusan matematika yang secara potensial menggambarkan bagaimana mendapatkan penyelesaian masalah matematika yang digeneralisasikan untuk diterapkan pada perilaku atau kejadian alam. Menurut

Anggoro (2015),

pemodelan matematika

adalah

usaha

merepresentasikan persoalan-persoalan nyata dalam persoalan matematika untuk mendapatkan solusi dari permasalahan tersebut. Berdasarkan dua definisi tersebut, dapat disimpulkan bahwa pemodelan dalam bidang matematika adalah suatu usaha merumuskan persoalan-persoalan nyata (perilaku atau kejadian alam) dalam persoalan matematika untuk mendapatkan penyelesaian atau solusi dari persoalan tersebut. Sedangkan, jaringan adalah serangkaian komponen atau simpul-simpul yang terhubung secara fungsional untuk mencapai suatu tujuan tertentu (http://kbbi.web.id/jaring), sehingga dapat didefinisikan jaringan kereta api komuter adalah serangkaian komponen atau simpul-simpul, dalam hal ini berupa stasiun, yang dihubungkan dengan kereta api komuter yang berjalan di atas rel untuk memudahkan perpindahan manusia atau barang dari satu tempat ke tempat

15


lainnya. Berdasarkan uraian di atas, dapat ditarik kesimpulan bahwa pemodelan jaringan adalah suatu usaha merumuskan persoalan-persoalan nyata, dalam hal ini adalah suatu jaringan kereta api komuter, ke dalam persoalan matematika untuk mendapatkan penyelesaian atau solusi dari persoalan tersebut. Selanjutnya, dijelaskan mengenai konsep dasar aljabar max-plus yang meliputi definisi aljabar max-plus, operasi dan sifat operasi aljabar max-plus, matriks dan vektor dalam aljabar max-plus, graf dalam aljabar max-plus, serta nilai eigen dan vektor eigen dalam aljabar max-plus. Secara umum konsep dasar aljabar max-plus ini dirangkum dari buku yang ditulis oleh Rudhito (2016) dan Subiono (2015).

A. Definisi dan Sifat Dasar Aljabar Max-Plus Secara singkat, aljabar max-plus dapat didefinisikan sebagai himpunan semua bilangan real ℝ ∪ {−∞}, dilengkapi dengan operasi maksimum (disingkat max) yang dinotasikan dengan ⊕ (dibaca o-plus) dan operasi penjumlahan (atau plus) yang dinotasikan dengan ⊗ (dibaca o-times), serta membentuk semilapangan idempoten. Berikut akan dijelaskan lebih lanjut mengenai definisi dan sifat-sifat dasar aljabar max-plus. Pembahasan diawali dengan meninjau suatu struktur aljabar yang lebih umum. Definisi 2.A.1 Suatu semiring (𝑺, +, ×) adalah suatu himpunan tak kosong S yang dilengkapi dengan dua operasi biner + dan ×, dan memenuhi aksioma berikut:


1. (𝑺, +) adalah semigrup komutatif dengan elemen netral 0, yaitu ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑺 memenuhi 𝑥+𝑦 =𝑦+𝑥

(Sifat komutatif)

(𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧)

(Sifat asosiatif)

𝑥+𝟎=𝟎+𝑥 =𝑥

(Memiliki elemen netral 0)

2. (𝑺, ×) adalah semigrup dengan elemen satuan 1, yaitu ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑺 memenuhi (𝑥 × 𝑦) × 𝑧 = 𝑥 × (𝑦 × 𝑧)

(Sifat asosiatif)

𝑥×𝟏= 𝟏×𝑥 = 𝑥

(Memiliki elemen satuan 1)

3. Elemen netral 0 merupakan elemen penyerap terhadap operasi ×, yaitu ∀𝑥 ∈ 𝑺 memenuhi 𝑥×𝟎 = 𝟎×𝑥 = 𝟎 4. Operasi × distributif terhadap +, yaitu ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑺 berlaku (𝑥 + 𝑦) × 𝑧 = (𝑥 × 𝑧) + (𝑦 × 𝑧)

(distributif kanan)

𝑥 × (𝑦 + 𝑧) = (𝑥 × 𝑦) + (𝑥 × 𝑧)

(distributif kiri)

Contoh 2.A.1 Diberikan ℝ𝜀 ≔ ℝ ∪ {ε} dengan ℝ adalah himpunan semua bilangan real dan 𝜀 ≔ −∞. Pada ℝ𝜀 didefinisikan operasi ⊕ dan ⊗ yaitu ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ𝜀 berlaku: 𝑥 ⊕ 𝑦 ≔ max(𝑥, 𝑦)

dan

Misalnya: −8 ⊕ 7 = max(−8,7) = 7 7 ⊗ −15 = 7 + (−15) = −8

𝑥⊗𝑦 ≔𝑥+𝑦


Selanjutnya, ditunjukkan bahwa (ℝ𝜀 , ⊕, ⊗) merupakan semiring dengan elemen netral 𝜀 = −∞ dan elemen satuan 𝑒 = 0. Bukti: 1. (ℝ𝜀 , ⊕) adalah semigrup komutatif dengan elemen netral 𝜺 = −∞, yaitu ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ𝜀 memenuhi a. 𝑥 ⊕ 𝑦 = max(𝑥, 𝑦) = max(𝑦, 𝑥) = 𝑦 ⊕ 𝑥, b. (𝑥 ⊕ 𝑦) ⊕ 𝑧 = max(max(𝑥, 𝑦), 𝑧) = max(𝑥, 𝑦, 𝑧) = max(𝑥, max(𝑦, 𝑧)) = 𝑥 ⊕ (𝑦 ⊕ 𝑧), c. 𝑥 ⊕ 𝜺 = max(𝑥, −∞) = max(−∞, 𝑥) = 𝜺 ⊕ 𝑥 = 𝑥. 2. (ℝ𝜀 , ⊗) adalah semigrup dengan elemen satuan 𝒆 = 𝟎, yaitu ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ𝜀 memenuhi a. (𝑥 ⊗ 𝑦) ⊗ 𝑧 = (𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧) = 𝑥 ⊗ (𝑦 ⊗ 𝑧), b. 𝑥 ⊗ 𝒆 = 𝑥 + 𝟎 = 𝟎 + 𝑥 = 𝒆 ⊗ 𝑥 = 𝑥. 3. Elemen netral 𝜺 merupakan elemen penyerap terhadap operasi ⊗, yaitu ∀𝑥 ∈ ℝ𝜀 memenuhi 𝑥 ⊗ 𝜺 = 𝑥 + (−∞) = −∞ = −∞ + 𝑥 = 𝜺 ⊗ 𝑥. 4. Operasi ⊗ distributif terhadap ⊕, yaitu ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ𝜀 berlaku a. Distributif kanan (𝑥 ⊕ y) ⊗ 𝑧 = max(𝑥, 𝑦) + 𝑧 = max(𝑥 + 𝑧, 𝑦 + 𝑧) = (𝑥 ⊗ 𝑧) ⊕ (𝑦 ⊗ 𝑧), b. Distributif kiri 𝑥 ⊗ (𝑦 ⊕ 𝑧) = 𝑥 + max(𝑦, 𝑧) = max(𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 𝑧) = (𝑥 ⊗ 𝑦) ⊕ (𝑥 ⊗ 𝑦).


Selanjutnya, dalam skripsi ini penulisan semiring (ℝ𝜀 , ⊕, ⊗) ditulis sebagai ℝmax .

Definisi 2.A.2 Suatu semiring (𝑺, +, ×) dikatakan semiring komutatif jika terhadap operasi × berlaku sifat komutatif, yaitu ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑺, 𝑥 × 𝑦 = 𝑦 × 𝑥.

Definisi 2.A.3 Suatu semiring (𝑺, +, ×) dikatakan semiring idempoten jika terhadap operasi + berlaku sifat idempoten, yaitu ∀𝑥 ∈ 𝑺, 𝑥 + 𝑥 = 𝑥.

Dalam Subiono (2015: 3) istilah semiring indempoten disebut juga sebagai dioid.

Contoh 2.A.2 Semiring ℝmax merupakan suatu semiring komutatif yang sekaligus idempoten, karena untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ ℝmax berlaku: 𝑥⊗𝑦 =𝑥+𝑦 =𝑦+𝑥 =𝑦⊗𝑥

dan

𝑥 ⊕ 𝑥 = max(𝑥, 𝑥) = 𝑥

Definisi 2.A.4 Suatu semiring komutatif (𝑺, +, ×), disebut semifield jika setiap elemen tak netralnya mempunyai invers terhadap operasi ×, yaitu (∀𝑥 ∈ 𝑺\{𝟎})(∃𝑥 −1 ∈ 𝑺): 𝑥 × 𝑥 −1 = 𝑥 −1 × 𝑥 = 𝟏.


Contoh 2.A.3 Semiring komutatif ℝmax merupakan semifield, karena untuk setiap 𝑥 ∈ ℝmax terdapat −𝑥, sehingga berlaku 𝑥 ⊗ (−𝑥) = 𝑥 + (−𝑥) = 𝟎. Dari Contoh 2.A.2 dan 2.A.3 di atas, terlihat bahwa ℝmax merupakan semifield idempoten. Elemen-elemen ℝmax akan disebut juga dengan skalar (Subiono, 2015: 4). Seperti dalam aljabar biasa, prioritas urutan operasi dalam ℝmax juga penting untuk diperhatikan. Apabila tidak diberikan tanda kurung, maka operasi ⊗ mempunyai prioritas yang lebih tinggi daripada operasi ⊕. Operasi lainnya dalam ℝmax yang memiliki prioritas tertinggi dibandingkan dengan operasi ⊕ dan ⊗ adalah operasi pangkat. Pangkat 𝑛 ∈ 𝐍 ∪ {0} dengan N adalah himpunan semua bilangan asli, dari elemen 𝑥 ∈ 𝑛

𝑛

ℝmax yang dinotasikan dengan 𝑥 ⊗ . Notasi 𝑥 ⊗ kemudian didefinisikan 0

𝑛

𝑥 ⊗ ≔ 0 dan 𝑥 ⊗ ≔ 𝑥 ⊗ 𝑥 ⊗

sebagai berikut:

0

𝑛−1

, untuk 𝑛 = 1, 2, … .

𝑛

Didefinisikan juga 𝜀 ⊗ ≔ 0 dan 𝜀 ⊗ ≔ 𝜀, untuk 𝑛 = 1, 2, … . 𝑘

Diperhatikan bahwa 𝑥 ⊗ ≔ 𝑥 ⊗ 𝑥 ⊗ … ⊗ 𝑥 = 𝑥 + 𝑥 + ⋯ + 𝑥 = 𝑘𝑥, 𝑘

𝑘

dengan operasi perkalian pada bilangan real. Berikut diberikan beberapa contoh penggunaan operasi dalam ℝmax . Tabel 2.1 Contoh Pengoperasian dalam ℝ𝑚𝑎𝑥 ℝ𝐦𝐚𝐱

Aljabar Biasa

=

8⊕6

max(8,6)

8

1⊕3⊕5⊕7⊕9

max(1,3,5,7,9)

9


ɛ⊕1

max(−∞, 1)

1

3⊗7

3+7

10

3⊗ɛ

3 + (−∞)

−∞

−2 ⊗ 5

−2 + 5

3

12 ⊗ 𝑒

12 + 0

12

4⊗ = 4 ⊗ 4

2×4=4+4

8

2⊗ = 2 ⊗ 2 ⊗ 2 ⊗ 2

4×2= 2+2+2+2

8

3×0= 0×3

0

2

4

3

0

2

2

𝑒 ⊗ = 3⊗

(3 ⊕ 5)⊗ = 3⊗ ⊕ 5⊗

2

2 × max(3,5) atau max(2 × 3, 2 × 5)

10

B. Matriks dan Vektor di ℝ𝐦𝐚𝐱 Bagian ini menjelaskan tentang matriks dan vektor dalam ℝmax , yang meliputi definisi matriks di ℝmax , operasi matriks di ℝmax beserta sifatsifatnya, dan definisi vektor di ℝmax . 1.

Matriks di ℝ𝐦𝐚𝐱 Himpunan matriks 𝑚 × 𝑛 dalam ℝmax untuk 𝑚, 𝑛 ∈ 𝐍, dimana N adalah himpunan semua bilangan asli, dinotasikan dengan ℝ𝑚×𝑛 max . Operasi ⊕ dan ⊗ yang telah dijelaskan sebelumnya dapat diperluas untuk operasioperasi dalam ℝ𝑚×𝑛 max . Seperti pada matriks real, operasi matriks atas ℝmax meliputi tiga operasi dasar, yaitu penjumlahan matriks, perkalian matriks, dan perkalian matriks dengan skalar, yang akan dijelaskan menggunakan definisi berikut.


Definisi 2.B.1.1 Diberikan ℝ𝑚×𝑛 max ≔ {𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) | 𝑎𝑖𝑗 ∈ ℝmax , i = 1, 2, … , m dan j = 1, 2, …, n}. 𝑚×𝑛 a. Diketahui 𝐴 ∈ ℝ𝑚×𝑛 max , 𝐵 ∈ ℝmax , didefinisikan

𝐴 ⊕ 𝐵 adalah matriks yang unsur ke-ij-nya: (𝐴 ⊕ 𝐵)𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 ⊕ 𝑏𝑖𝑗 untuk i = 1, 2, … , m dan j = 1, 2, …, n b. Diketahui 𝛼 ∈ ℝmax , 𝐴 ∈ ℝ𝑚×𝑛 max , didefinisikan 𝛼 ⊗ 𝐴 adalah matriks yang unsur ke-ij-nya: (𝛼 ⊗ 𝐴)𝑖𝑗 = 𝛼 ⊗ 𝑎𝑖𝑗

untuk i = 1, 2, … , m dan j = 1, 2, …, n

𝑚×𝑛 c. Diketahui 𝐴 ∈ ℝ𝑚×𝑛 max , 𝐵 ∈ ℝmax , didefinisikan

𝐴 ⊗ 𝐵 adalah matriks yang unsur ke-ij-nya: (𝐴 ⊗ 𝐵)𝑖𝑗 =⊕𝑝𝑘=1 𝑎𝑖𝑘 ⊗ 𝑏𝑘𝑗 untuk i = 1, 2, … , m dan j = 1, 2, …, n

Berikut diberikan contoh cara pengoperasian matriks berdasarkan definisi operasi matriks di atas. Contoh 2.B.1.1 9 7 3 a. [−4 6 ] ⊕ [2 𝜀 −8 6

9⊕3 9 −3] = [(−4 ⊕ 2) 𝜀⊕6 7

7⊕9 6 ⊕ (−3)] (−8) ⊕ 7

max(9,3) max(7,9) = [max(−4,2) max(6, −3)] max(𝜀, 6) max(−8,7) 9 9 = [2 6 ] 6 7


0 b. 7 ⊗ [ 4

7⊗0 1 6 ]=[ 7⊗4 𝜀 5

7⊗1 7⊗ε

7⊗6 ] 7⊗5

=[

7+0 7+1 7+6 ] 7+4 7+𝜀 7+5

=[

7 8 11 𝜀

𝜀 −1 2 0 c. [ ] ⊗ [1 𝜀 1 3 4

13 ] 12

2 0] −3

=[

−1 ⊗ ε ⊕ 2 ⊗ 1 ⊕ 0 ⊗ 4 𝜀⊗𝜀⊕1⊗1⊕3⊗4

=[

max(−1 + ε, 2 + 1, 0 + 4) max(−1 + 2, 2 + 0, 0 + (−3)) ] max(ε + ε, 1 + 1, 3 + 4) max(ε + 2, 1 + 0, 3 + (−3))

=[

max(ε, 3, 4) max(ε, 2, 7)

=[

−1 ⊗ 2 ⊕ 2 ⊗ 0 ⊕ 0 ⊗ −3 ] 𝜀 ⊗ 2 ⊕ 1 ⊗ 0 ⊕ 3 ⊗ −3

max(1, 2, −3) ] max(ε, 1, 0)

4 2 ] 7 1

Definisi 2.B.1.2 Matriks 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ𝑚×𝑛 𝑚𝑎𝑥 dikatakan sama jika 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 , untuk setiap i dan j.

Selanjutnya, dijelaskan mengenai sifat-sifat operasi ⊕ dan ⊗ pada matriks. Teorema 2.B.1.1 (Rudhito, 2016) Pernyataan-pernyatan berikut berlaku untuk sebarang skalar α dan β, dan sebarang matriks A, B, dan C, asalkan operasi yang dimaksud terdefinisi. a. (𝐴 ⊕ 𝐵) ⊕ 𝐶 = 𝐴 ⊕ (𝐵 ⊕ 𝐶) b. 𝐴 ⊕ 𝐵 = 𝐵 ⊕ 𝐴 c. (𝐴 ⊗ 𝐵) ⊗ 𝐶 = 𝐴 ⊗ (𝐵 ⊗ 𝐶)


d. 𝐴 ⊗ (𝐵 ⊕ 𝐶) = (𝐴 ⊗ 𝐵) ⊕ (𝐴 ⊗ 𝐶) e. (𝐴 ⊕ 𝐵) ⊗ 𝐶 = (𝐴 ⊗ 𝐶) ⊕ (𝐵 ⊗ 𝐶) f. 𝛼 ⊗ 𝐴 = 𝐴 ⊗ 𝛼 g. 𝛼 ⊗ (𝛽 ⊗ 𝐴) = (𝛼 ⊗ 𝛽) ⊗ 𝐴 h. 𝛼 ⊗ (𝐴 ⊗ 𝐵) = (𝛼 ⊗ 𝐴) ⊗ 𝐵 = 𝐴 ⊗ (𝛼 ⊗ 𝐵) i. (𝛼 ⊕ 𝛽) ⊗ 𝐴 = (𝛼 ⊗ 𝐴) ⊕ (𝛽 ⊗ 𝐴) j. 𝛼 ⊗ (𝐴 ⊕ 𝐵) = (𝛼 ⊗ 𝐴) ⊕ (𝛼 ⊗ 𝐵) k. 𝐴 ⊕ 𝐴 = 𝐴

Berikut ini diberikan pembuktian untuk sifat c dan d, sedangkan untuk pembuktian sifat yang lain langsung mengikuti definisi operasi dan sifat-sifat operasi pada ℝ𝐦𝐚𝐱 . a. Akan dibuktikan bahwa: (𝐴 ⊗ 𝐵) ⊗ 𝐶 = 𝐴 ⊗ (𝐵 ⊗ 𝐶) Bukti: 𝑝×𝑟 𝑟×𝑛 Ambil sebarang matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑚×𝑝 𝑚𝑎𝑥 , 𝐵 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 , 𝐶 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 .

Untuk setiap elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks (𝐴 ⊗ 𝐵) ⊗ 𝐶, berlaku ((𝐴 ⊗ 𝐵) ⊗ 𝐶)𝑖𝑗 = ⊕𝑟𝑘=1 (⊕𝑝𝑘=1 𝑎𝑖𝑙 ⊗ 𝑏𝑙𝑘 ) ⊗ 𝑐𝑘𝑗 = ⊕𝑟𝑘=1 ⊕𝑝𝑘=1 𝑎𝑖𝑙 ⊗ 𝑏𝑙𝑘 ⊗ 𝑐𝑘𝑗 = ⊕𝑟𝑘=1 𝑎𝑖𝑙 ⊗ (⊕𝑝𝑘=1 𝑏𝑙𝑘 ⊗ 𝑐𝑘𝑗 ) = (𝐴 ⊗ (𝐵 ⊗ 𝐶))𝑖𝑗 ; untuk 𝑖 ∈ 𝑚 dan 𝑗 ∈ 𝑛 Jadi terbukti bahwa (𝐴 ⊗ 𝐵) ⊗ 𝐶 = 𝐴 ⊗ (𝐵 ⊗ 𝐶).


b. Akan dibuktikan bahwa: 𝐴 ⊗ (𝐵 ⊕ 𝐶) = (𝐴 ⊗ 𝐵) ⊕ (𝐴 ⊗ 𝐶) Bukti: 𝑝×𝑛 Ambil sebarang matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑚×𝑝 𝑚𝑎𝑥 , 𝐵, 𝐶 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 .

Untuk setiap elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks 𝐴 ⊗ (𝐵 ⊕ 𝐶), berlaku (𝐴 ⊗ (𝐵 ⊕ 𝐶))𝑖𝑗 = ⊕𝑝𝑘=1 𝑎𝑖𝑘 ⊗ (𝑏𝑘𝑗 ⊕ 𝑐𝑘𝑗 ) = ⊕𝑝𝑘=1 (𝑎𝑖𝑘 ⊗ 𝑏𝑘𝑗 ⊕ 𝑎𝑖𝑘 ⊗ 𝑐𝑘𝑗 ) = (⊕𝑝𝑘=1 𝑎𝑖𝑘 ⊗ 𝑏𝑘𝑗 ) ⊕ (⊕𝑝𝑘=1 𝑎𝑖𝑘 ⊗ 𝑐𝑘𝑗 ) = (𝐴 ⊗ 𝐵)𝑖𝑗 ⊕ (𝐴 ⊗ 𝐶)𝑖𝑗 ; untuk 𝑖 ∈ 𝑚 dan 𝑗 ∈ 𝑛 Jadi terbukti bahwa 𝐴 ⊗ (𝐵 ⊕ 𝐶) = (𝐴 ⊗ 𝐵) ⊕ (𝐴 ⊗ 𝐶).

Definisi 2.B.1.3 Transpose matriks dalam ℝ𝑚𝑎𝑥 dinotasikan dengan 𝐴𝑇 dan didefinisikan sama dengan matriks transpose dalam aljabar biasa, yaitu [𝐴𝑇 ]𝑖𝑗 = [𝐴]𝑗𝑖

Definisi 2.B.1.4 (Rudhito, 2016) 0 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑖 = 𝑗 Didefinisikan matriks 𝐸 ∈ ℝ𝑛×𝑛 𝑚𝑎𝑥 dengan (𝐸)𝑖𝑗 ∶= { ɛ 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑖 ≠ 𝑗 Didefinisikan matriks Ԑ ∈ ℝ𝑚×𝑛 𝑚𝑎𝑥 dengan (Ԑ)𝑖𝑗 ∶= ɛ untuk setiap baris kei dan kolom ke-j.


Contoh 2.B.1.2 (ℝ𝑛×𝑛 max , ⊕, ⊗) merupakan semiring idempoten dengan elemen netral adalah matriks Ԑ dan elemen satuan adalah matriks 𝐸. Matriks 𝐸 disebut juga sebagai matriks identitas max-plus dan matriks Ԑ disebut sebagai matriks nol max-plus.

Selanjutnya, ditunjukkan bahwa (ℝ𝑛×𝑛 max , ⊕, ⊗) merupakan semiring dengan elemen netral adalah matriks Ԑ dan elemen satuan adalah matriks 𝐸. Bukti: 1.

(ℝ𝑛×𝑛 max , ⊕) adalah semigrup komutatif dengan elemen netral matriks Ԑ, yaitu untuk sebarang 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ ℝ𝑛×𝑛 max memenuhi a.

Sifat komutatif Untuk setiap elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks 𝐴 ⊕ 𝐵, berlaku (𝐴 ⊕ 𝐵)𝑖𝑗 = max(𝑎𝑖𝑗 , 𝑏𝑖𝑗 ) = max(𝑏𝑖𝑗 , 𝑎𝑖𝑗 ) = (𝐵 ⊕ 𝐴)𝑖𝑗 ; untuk 𝑖 ∈ 𝑛 dan 𝑗 ∈ 𝑛 Jadi terbukti bahwa (𝐴 ⊕ 𝐵) = (𝐵 ⊕ 𝐴).

b.

Sifat asosiatif Untuk setiap elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks (𝐴 ⊕ 𝐵) ⊕ 𝐶, berlaku ((𝐴 ⊕ 𝐵) ⊕ 𝐶)𝑖𝑗 = max(max(𝑎𝑖𝑗 , 𝑏𝑖𝑗 ), 𝑐𝑖𝑗 ) = max(𝑎𝑖𝑗 , 𝑏𝑖𝑗 , 𝑐𝑖𝑗 )


= max(𝑎𝑖𝑗 , max(𝑏𝑖𝑗 , 𝑐𝑖𝑗 )) = (𝐴 ⊕ (𝐵 ⊕ 𝐶))𝑖𝑗 ; untuk 𝑖 ∈ 𝑛 dan 𝑗 ∈ 𝑛 Jadi terbukti bahwa (𝐴 ⊕ 𝐵) ⊕ 𝐶 = 𝐴 ⊕ (𝐵 ⊕ 𝐶). c.

Memiliki elemen netral matriks Ԑ(𝑛, 𝑛) Untuk setiap elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks 𝐴 ⊕ Ԑ, berlaku (A ⊕ Ԑ)𝑖𝑗 = max(𝑎𝑖𝑗 , Ԑ𝑖𝑗 ) = max(Ԑ𝑖𝑗 , 𝑎𝑖𝑗 ) = (Ԑ ⊕ 𝐴)𝑖𝑗 = 𝐴; untuk 𝑖 ∈ 𝑛 dan 𝑗 ∈ 𝑛 Jadi terbukti bahwa A ⊕ Ԑ = Ԑ ⊕ 𝐴 = 𝐴.

2.

(ℝ𝑛×𝑛 max , ⊗) adalah semigrup dengan elemen satuan matriks 𝐸, yaitu untuk sebarang 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ ℝ𝑛×𝑛 max memenuhi a.

Sifat asosiatif Untuk setiap elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks (𝐴 ⊗ 𝐵) ⊗ 𝐶, berlaku ((𝐴 ⊗ 𝐵) ⊗ 𝐶)𝑖𝑗 = ⊕𝑛𝑘=1 (⊕𝑛𝑘=1 𝑎𝑖𝑙 ⊗ 𝑏𝑙𝑘 ) ⊗ 𝑐𝑘𝑗 = ⊕𝑛𝑘=1 ⊕𝑛𝑘=1 𝑎𝑖𝑙 ⊗ 𝑏𝑙𝑘 ⊗ 𝑐𝑘𝑗 = ⊕𝑛𝑘=1 𝑎𝑖𝑙 ⊗ (⊕𝑛𝑘=1 𝑏𝑙𝑘 ⊗ 𝑐𝑘𝑗 ) = (𝐴 ⊗ (𝐵 ⊗ 𝐶))𝑖𝑗 ; untuk 𝑖 ∈ 𝑛 dan 𝑗 ∈ 𝑛 Jadi terbukti bahwa (𝐴 ⊗ 𝐵) ⊗ 𝐶 = 𝐴 ⊗ (𝐵 ⊗ 𝐶).

b.

Memiliki elemen satuan matriks 𝐸(𝑛, 𝑛) Untuk setiap elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks 𝐴 ⊗ 𝐸, berlaku


(A ⊗ 𝐸)𝑖𝑗 =⊕𝑛𝑘=1 𝑎𝑖𝑘 ⊗ 𝐸𝑘𝑗 =⊕𝑛𝑘=1 𝐸𝑖𝑘 ⊗ 𝑎𝑘𝑗 = (𝐸 ⊗ 𝐴)𝑖𝑗 = 𝐴; untuk 𝑖 ∈ 𝑛 dan 𝑗 ∈ 𝑛 Jadi terbukti bahwa A ⊗ 𝐸 = 𝐸 ⊗ 𝐴 = 𝐴. 3.

Elemen netral matriks Ԑ merupakan elemen penyerap terhadap operasi ⊗, yaitu untuk sebarang 𝐴 ∈ ℝ𝑛×𝑛 max memenuhi (A ⊗ Ԑ )𝑖𝑗 =⊕𝑛𝑘=1 𝑎𝑖𝑘 ⊗ Ԑ 𝑘𝑗 =⊕𝑛𝑘=1 Ԑ 𝑖𝑘 ⊗ 𝑎𝑘𝑗 = (Ԑ ⊗ 𝐴)𝑖𝑗 = Ԑ ; untuk 𝑖 ∈ 𝑛 dan 𝑗 ∈ 𝑛 Jadi terbukti bahwa A ⊗ Ԑ = Ԑ ⊗ 𝐴 = Ԑ.

4.

Operasi ⊗ distributif terhadap ⊕, yaitu untuk sebarang 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ ℝ𝑛×𝑛 max berlaku a.

Distributif kanan Untuk setiap elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks (𝐴 ⊕ 𝐵) ⊗ 𝐶, berlaku ((𝐴 ⊕ 𝐵) ⊗ 𝐶)𝑖𝑗 = ⊕𝑛𝑘=1 (𝑎𝑖𝑘 ⊕ 𝑏𝑖𝑘 ) ⊗ 𝑐𝑘𝑗 = ⊕𝑛𝑘=1 (𝑎𝑖𝑘 ⊗ 𝑐𝑘𝑗 ⊕ 𝑏𝑖𝑘 ⊗ 𝑐𝑘𝑗 ) = (⊕𝑛𝑘=1 𝑎𝑖𝑘 ⊗ 𝑐𝑘𝑗 ) ⊕ (⊕𝑛𝑘=1 𝑏𝑖𝑘 ⊗ 𝑐𝑘𝑗 ) = (𝐴 ⊗ 𝐶)𝑖𝑗 ⊕ (𝐵 ⊗ 𝐶)𝑖𝑗 ; untuk 𝑖 ∈ 𝑛 dan 𝑗∈𝑛


Jadi, (𝐴 ⊕ 𝐵) ⊗ 𝐶 = (𝐴 ⊗ 𝐶) ⊕ (𝐵 ⊗ 𝐶). b.

Distributif kiri Untuk setiap elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks 𝐴 ⊗ (𝐵 ⊕ 𝐶), berlaku (𝐴 ⊗ (𝐵 ⊕ 𝐶))𝑖𝑗 = ⊕𝑛𝑘=1 𝑎𝑖𝑘 ⊗ (𝑏𝑘𝑗 ⊕ 𝑐𝑘𝑗 ) = ⊕𝑛𝑘=1 (𝑎𝑖𝑘 ⊗ 𝑏𝑘𝑗 ⊕ 𝑎𝑖𝑘 ⊗ 𝑐𝑘𝑗 ) = (⊕𝑛𝑘=1 𝑎𝑖𝑘 ⊗ 𝑏𝑘𝑗 ) ⊕ (⊕𝑛𝑘=1 𝑎𝑖𝑘 ⊗ 𝑐𝑘𝑗 ) = (𝐴 ⊗ 𝐵)𝑖𝑗 ⊕ (𝐴 ⊗ 𝐶)𝑖𝑗 ; untuk 𝑖 ∈ 𝑛 dan 𝑗∈𝑛 Jadi, 𝐴 ⊗ (𝐵 ⊕ 𝐶) = (𝐴 ⊗ 𝐵) ⊕ (𝐴 ⊗ 𝐶).

Kemudian, ditunjukkan bahwa (ℝ𝑛×𝑛 max , ⊕, ⊗) merupakan semiring idempoten. Bukti: Semiring ℝ𝑛×𝑛 max merupakan suatu semiring idempoten karena untuk sebarang 𝐴 ∈ ℝ𝑛×𝑛 max , yaitu untuk setiap elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks 𝐴 ⊕ 𝐴, berlaku: (𝐴 ⊕ 𝐴)𝑖𝑗 = max(𝑎𝑖𝑗 , 𝑎𝑖𝑗 ) = (𝐴)𝑖𝑗 Jadi terbukti bahwa semiring ℝ𝑛×𝑛 max , terhadap operasi ⊕, berlaku sifat idempoten, yaitu 𝐴 ⊕ 𝐴 = 𝐴, sehingga (ℝ𝑛×𝑛 max , ⊕, ⊗) disebut sebagai semiring idempoten (Definisi 2.A.3).


(ℝ𝑛×𝑛 max , ⊕, ⊗) bukan semiring komutatif (Rudhito, 2016), karena terdapat matriks 𝐴 = [ 𝐴⊗B=[

0 2 0 ] dan 𝐵 = [ 1 ɛ ɛ

1 ] dengan 4

max(0, ε) max(1,6) 0 2 0 1 0 6 ]⊗[ ]=[ ]=[ ] max(1, ɛ) max(2, ɛ) 1 ɛ ɛ 4 1 2

𝐵⊗A=[

max(0,2) 0 1 0 2 ]⊗[ ]=[ max(ɛ, 5) ɛ 4 1 ɛ

max(2, ɛ) 2 2 ]=[ ] max(ɛ, ɛ) 5 ɛ

Sehingga terlihat bahwa 𝐴 ⊗ B ≠ 𝐵 ⊗ A. Jadi dapat disimpulkan bahwa sifat komutatif pada operasi matriks hanya berlaku untuk operasi ⊕ dan tidak berlaku untuk operasi ⊗.

Definisi 2.B.1.5 Pangkat 𝑛 ∈ 𝑵 ∪ {0} dengan N adalah himpunan semua 𝑘

⊗ bilangan asli, dari matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑛×𝑛 . Notasi max dinotasikan dengan 𝐴 𝑛

𝐴⊗ kemudian didefinisikan sebagai berikut: 0

𝑘

𝐴⊗ ≔ 𝐸𝑛 dan 𝐴⊗ ≔ 𝐴 ⊗ 𝐴⊗

𝑘−1

, untuk 𝑘 = 1, 2, … .

Berdasarkan definisi tersebut, maka dapat dijelaskan unsur ke-st matriks berpangkat, sebagai berikut: 2

Unsur ke-st matriks 𝐴⊗ adalah 2

(𝐴⊗ )𝑠𝑡 = (𝐴 ⊗ 𝐴)𝑠𝑡 = (𝑎𝑠1 ⊗ 𝑎1𝑡 ) ⊕ (𝑎𝑠2 ⊗ 𝑎2𝑡 ) ⊕ … ⊕ (𝑎𝑠𝑛 ⊗ 𝑎𝑛𝑡 ) = ⊕𝑛𝑖1 =1 (𝑎𝑠,𝑖1 ⊗ 𝑎𝑖1 ,𝑡 ) = max1≤𝑖1 ≤𝑛 (𝑎𝑠,𝑖1 + 𝑎𝑖1 ,𝑡 ) 3

Unsur ke-st matriks 𝐴⊗ adalah 3

2

(𝐴⊗ )𝑠𝑡 = (𝐴 ⊗ 𝐴⊗ )𝑠𝑡


= ⊕𝑛𝑖2 =1 (𝑎𝑠,𝑖2 (⊕𝑛𝑖1 =1 (𝑎𝑖2 ,𝑖1 ⊗ 𝑎𝑖1 ,𝑡 ))) = ⊕𝑛𝑖2=1 (⊕𝑛𝑖1 =1 (𝑎𝑠,𝑖2 ⊗ 𝑎𝑖2 ,𝑖1 ⊗ 𝑎𝑖1 ,𝑡 )) = max1≤𝑖1 ,𝑖2 ≤𝑛 (𝑎𝑠,𝑖2 + 𝑎𝑖2 ,𝑖1 + 𝑎𝑖1 ,𝑡 ) 𝑘

Secara umum, unsur ke-st matriks 𝐴⊗ adalah 𝑘

(𝐴⊗ ) = ⊕𝑛𝑖𝑘−1 =1 (𝑎𝑠,𝑖𝑘−1 … (⊕𝑛𝑖1 =1 (𝑎𝑖2 ,𝑖1 ⊗ 𝑎𝑖1 ,𝑡 ))) 𝑠𝑡

= ⊕𝑛𝑖2=1 … (⊕𝑛𝑖1 =1 (𝑎𝑠,𝑖𝑘−1 ⊗ … ⊗ 𝑎𝑖2 ,𝑖1 ⊗ 𝑎𝑖1 ,𝑡 )) = max1≤𝑖1 ,𝑖2 ,…,𝑖𝑘−1 ≤𝑛 (𝑎𝑠,𝑖𝑘−1 + ⋯ + 𝑎𝑖2 ,𝑖1 + 𝑎𝑖1 ,𝑡 ) Berdasarkan persamaan terakhir, untuk sebarang 𝛼 ∈ ℝmax dan 𝐴 ∈ ℝ𝑛×𝑛 max 𝑘

unsur ke-st (𝛼 ⊕ 𝐴)⊗ adalah 𝑘

((𝛼 ⊕ 𝐴)⊗ )

𝑠𝑡

= max1≤𝑖1 ,𝑖2 ,…,𝑖𝑘−1 ≤𝑛 ((𝛼 + 𝑎𝑠,𝑖𝑘−1 ) + ⋯ + (𝛼 + 𝑎𝑖2 ,𝑖1 ) + (𝛼 + 𝑎𝑖1 ,𝑡 )) = (𝛼 + 𝛼 + ⋯ + 𝛼) + max1≤𝑖1 ,𝑖2,…,𝑖𝑘−1 ≤𝑛 (𝑎𝑠,𝑖𝑘−1 + ⋯ + 𝑎𝑖2 ,𝑖1 + 𝑎𝑖1 ,𝑡 ) 𝑘 𝑘

𝑘

= 𝛼 ⊗ ⊗ (𝐴⊗ ) ; untuk 𝑘 = 1, 2, … . 𝑠𝑡

Jadi, untuk sebarang skalar 𝛼 ∈ ℝmax dan 𝐴 ∈ ℝ𝑛×𝑛 max berlaku : 𝑘

𝑘

𝑘

(𝛼 ⊕ 𝐴)⊗ = 𝛼 ⊗ ⊗ 𝐴⊗ ; untuk 𝑘 = 1, 2, … .

𝑛 Untuk sebarang 𝐴 ∈ ℝ𝑛×𝑛 max didefinisikan 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒(𝐴) ≔⊕𝑖=1 𝑎𝑖𝑖 .


Contoh 2.B.1.3 1 0 Diberikan 𝐴 = [2 3 ɛ ɛ

−2 ɛ ] 0

maka, 𝐴

⊗2

𝐴

⊗3

1 = 𝐴 ⊗ 𝐴 = [2 ɛ =𝐴⊗𝐴

⊗2

0 −2 1 0 −2 2 3 −1 3 ɛ ] ⊗ [2 3 ɛ ] = [5 6 0 ] ɛ 0 ɛ ɛ 0 ɛ ɛ 0

1 = [2 ɛ

0 −2 2 3 3 ɛ ] ⊗ [5 6 ɛ 0 ɛ ɛ

−1 5 6 0 ] = [8 9 0 ɛ ɛ

0 3] 0

𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒(𝐴) =⊕𝑛𝑖=1 𝑎𝑖𝑖 = max(1,3,0) = 3 2

𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒(𝐴⊗ ) = max(2,6,0) = 6 3

𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒(𝐴⊗ ) = max(5,9,0) = 9 2.

Vektor di ℝ𝐦𝐚𝐱 Bagian ini membahas semimodul atas ℝmax yang melandasi pembahasan konsep vektor di ℝmax .

Definisi 2.B.2.1 Diberikan semiring komutatif (𝑺, +, ×) dengan elemen netral 0 dan elemen identitas 1. Semimodul M atas S adalah semigrup komutatif (M, +) bersama operasi perkalian skalar • : 𝑺 × 𝑴 → 𝑴, yang dituliskan dengan (𝛼, 𝑥) ↦ 𝛼 • 𝑥, yang memenuhi aksioma berikut: ∀𝛼, 𝛽 𝜖 𝑺 dan ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑴 berlaku: a. 𝛼 • (𝑥 + 𝑦) = 𝛼 • 𝑥 + 𝛼 • 𝑦 b. (𝛼 + 𝛽) • 𝑥 = 𝛼 • 𝑥 + 𝛽 • 𝑥 c. 𝛼 • (𝛽 • 𝑥) = (𝛼 • 𝛽) • 𝑥


d. 1 • 𝑥 = 𝑥 e. 0 • 𝑥 = 0 Suatu elemen dalam semimodul disebut vektor.

Contoh 2.B.2.1 𝑛×1 ℝ𝑛×1 𝑚𝑎𝑥 adalah semimodul atas ℝmax . Selanjutnya, ℝ𝑚𝑎𝑥 cukup ditulis

sebagai ℝ𝑛𝑚𝑎𝑥 , dimana ℝ𝑛𝑚𝑎𝑥 ≔ {𝑥 = [𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ]𝑇 |𝑥𝑖 ∈ ℝmax , 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛} Untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ𝑛𝑚𝑎𝑥 dan untuk setiap 𝛼 ∈ ℝmax didefinisikan operasi ⊕ dengan 𝑥 ⊕ y = [𝑥1 ⊕ 𝑦1 , 𝑥2 ⊕ 𝑦2 , … , 𝑥𝑛 ⊕ 𝑦𝑛 ]𝑇 dan operasi perkalian skalar • dengan 𝛼 • 𝑥 = 𝛼 ⊗ 𝑥 = [𝛼 ⊗ 𝑥1 , 𝛼 ⊗ 𝑥2 , … , 𝛼 ⊗ 𝑥𝑛 ]𝑇 .

Berdasarkan Teorema 2.B.1.1 a dan b, maka dapat disimpulkan bahwa (ℝ𝑛𝑚𝑎𝑥 ,⊕) adalah semigrup komutatif dengan elemen netral ɛ = [ɛ, ɛ, … , ɛ]𝑇 . Kemudian, berdasarkan Teorema 2.B.1.1 j, i, dan g, maka dapat disimpulkan pula bahwa ℝ𝑛𝑚𝑎𝑥 adalah semimodul atas ℝmax . Diberikan vektor-vektor 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 di dalam semimodul M dan skalar-skalar 𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛 di dalam semiring komutatif S. Didefinisikan kombinasi linear dari vektor-vektor 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 adalah suatu bentuk aljabar 𝛼1 • 𝑥1 + 𝛼2 • 𝑥2 + … + 𝛼𝑛 • 𝑥𝑛 .


C. Matriks dan Graf di ℝ𝐦𝐚𝐱 Bagian ini memberikan penjelasan secara singkat mengenai teori graf dan interpretasi beberapa operasi dan konsep dasar aljabar max-plus dalam teori graf. Konsep ini menjadi dasar pembahasan nilai eigen dan vektor eigen dalam aljabar max-plus. Definisi 2.C.1 Suatu graf 𝐺 didefinisikan sebagai pasangan himpunan (𝑉, 𝐸) dengan 𝑉 adalah suatu himpunan berhingga tak kosong yang anggotanya disebut titik (vertices) dan 𝐸 adalah suatu himpunan pasangan (tak terurut dan boleh merupakan himpunan kosong) titik-titik yang anggotanya disebut rusuk (edges).

Contoh 2.C.1 Perhatikan graf 𝐺1 di bawah ini

1 2

3

Gambar 2.C.1 Graf Secara Umum Graf pada Gambar 2.C.1 di atas adalah graf 𝐺1 = (𝑉1 , 𝐸1 ), dengan 𝑉1 = {1,2,3} dan 𝐸1 = {(1,2), (1,3), (2,3)}.


Definisi 2.C.2 Suatu graf berarah 𝐺 didefinisikan sebagai pasangan himpunan (𝑉, 𝐷) dengan 𝑉 adalah suatu himpunan berhingga tak kosong yang anggotanya disebut titik (vertices) dan 𝐷 adalah suatu himpunan pasangan terurut titik-titik yang anggotanya disebut busur (arc).

Definisi 2.C.3 Untuk busur (𝑖, 𝑗) ∈ 𝐷, i disebut sebagai titik awal busur dan j disebut sebagai titik akhir busur. Suatu loop adalah busur (𝑖, 𝑖) ∈ 𝐷.

Kedua definisi di atas menjelaskan bahwa graf berarah 𝐺 adalah graf yang setiap busurnya mempunyai arah. Secara geometri dinyatakan suatu anak panah yang arahnya dari 𝑖 ke 𝑗.


1 2

3

Gambar 2.C.2 Graf Berarah


Graf pada Gambar 2.C.2 di atas adalah graf berarah 𝐺2 = (𝑉2 , 𝐷1 ), dengan 𝑉2 = {1,2,3} dan 𝐷1 = {(1,2), (2,3), (3,1)}, yang merupakan himpunan pasangan terurut. Berdasarkan Definisi 2.C.1 dan Definisi 2.C.2, serta Contoh 2.C.1 dan Contoh 2.C.2 dapat dijelaskan cara menggambar suatu graf adalah sebagai berikut: jika suatu graf disajikan dalam bentuk gambar, maka titik digambarkan sebagai noktah yang diberi label dengan nama titik yang diwakilinya. Rusuk digambarkan sebagai kurva atau ruas garis yang menghubungkan noktahnoktah yang bersesuaian pada rusuk atau loop. Sedangkan busur digambarkan sebagai kurva atau ruas garis berarah yang menghubungkan noktah-noktah yang bersesuaian dengan titik awal dan titik akhir busur, dengan tanda panah yang ujungnya menandakan arah busur.

Definisi 2.C.4 Suatu graf berbobot 𝐺 adalah graf yang memiliki bobot pada setiap rusuknya, dinotasikan dengan 𝑤(𝑗, 𝑖) ∈ ℝ, untuk (𝑗, 𝑖) ∈ 𝐸, dimana 𝐸 adalah suatu himpunan pasangan (tak terurut dan boleh merupakan himpunan kosong) titik-titik yang anggotanya disebut rusuk (edges), 𝑗 dan 𝑖 adalah titiktitik (vertices).


Contoh 2.C.3 Perhatikan graf 𝐺3 di bawah ini a 1 2

c b

3

Gambar 2.C.3 Graf Berbobot Graf pada Gambar 2.C.3 di atas adalah graf berbobot 𝐺3 = (𝑉3 , 𝐸2 ), dengan 𝑉3 = {1,2,3} dan 𝐸2 = {(1,2), (1,3), (2,3)}, serta bobot-bobot dari setiap rusuknya yang dinyatakan dengan 𝑤(1,2) = 𝑎, 𝑤(1,3) = 𝑏, dan 𝑤(2,3) = 𝑐, dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ.

Definisi 2.C.5 Suatu graf berarah 𝐺 disebut berbobot jika setiap busur (𝑗, 𝑖) ∈ 𝐷 dapat dikawankan dengan suatu bilangan real 𝑎𝑖𝑗 ≠ ɛ yang merupakan bobot busur (𝑗, 𝑖), dinotasikan

dengan 𝑤(𝑗, 𝑖), dimana 𝐷 adalah suatu

himpunan pasangan terurut titik-titik yang anggotanya disebut busur (arc), 𝑗 adalah titik awal busur, dan 𝑖 adalah titik akhir busur.


Contoh 2.C.4 Perhatikan graf 𝐺4 di bawah ini a 1 2

c b

3

Gambar 2.C.4 Graf Berarah Berbobot Graf pada Gambar 2.C.4 di atas adalah graf berarah 𝐺4 = (𝑉4 , 𝐷2 ), dengan 𝑉4 = {1,2,3} dan 𝐷2 = {(1,2), (2,3), (3,1)}, serta bobot-bobot dari setiap busurnya adalah 𝑤(1,2) = 𝑎; 𝑤(2,3) = 𝑏; 𝑤(3,1) = 𝑐.

Selanjutnya, dijelaskan tentang definisi lintasan dalam graf dan beberapa konsep yang berhubungan dengan lintasan, untuk mendefinisikan graf terhubung kuat.

Definisi 2.C.6 Diberikan 𝐺 = (𝑉, 𝐷) yang merupakan graf berarah dengan 𝑉 = {1, 2, … , 𝑛}. Suatu lintasan 𝜌 dalam 𝐺 adalah suatu barisan berhingga busur (𝑖1 , 𝑖2 ), (𝑖2 , 𝑖3 ), … , (𝑖𝑙−1 , 𝑖𝑙 ) dengan (𝑖𝑘 , 𝑖𝑘+1 ) ∈ 𝐷 untuk suatu 𝑙 ∈ 𝑵 dan 𝑘 = 1,2, … , 𝑙 − 1.


Lintasan 𝜌 yang dimaksudkan dalam Definisi 2.C.6 dapat direpresentasikan dengan 𝑖1 → 𝑖2 → ⋯ → 𝑖𝑙 . Titik 𝑖1 disebut sebagai titik awal lintasan dan titik 𝑖𝑙 disebut sebagai titik akhir lintasan.

Definisi 2.C.7 Untuk suatu lintasan 𝜌 pada suatu graf berarah berbobot 𝐺, panjang lintasan didefinisikan sebagai banyaknya busur yang menyusun 𝜌 dan dinotasikan dengan |𝜌|𝑙 .

Definisi 2.C.8 (Rudhito, 2016) Suatu lintasan disebut sirkuit jika titik awal dan titik akhirnya sama. Sirkuit elementer adalah sirkuit yang titik-titiknya muncul tidak lebih dari sekali, kecuali titik awal yang muncul tepat dua kali.

Definisi

2.C.9

Suatu

graf

berarah

𝐺 = (𝑉, 𝐷)

dengan

𝑉=

{1,2, … , 𝑛} dikatakan terhubung kuat jika untuk setiap 𝑖, 𝑗 ∈ 𝑉, 𝑖 ≠ 𝑗 terdapat suatu lintasan dari i ke j.

Definisi 2.C.10 (Rudhito, 2016) Suatu graf yang memuat sirkuit disebut graf siklik, sedangkan suatu graf yang tidak memuat sirkuit disebut graf taksiklik.



1 2

3

Gambar 2.C.5 Graf Berarah 𝐺5 Graf pada Gambar 5 di atas adalah graf berarah 𝐺5 = (𝑉5 , 𝐷3 ), dengan 𝑉5 = {1,2,3} dan 𝐷3 = {(1,1), (2,1), (3,1), (1,2), (2,3), (3,3)}. Dalam graf berarah 𝐺5 terdapat barisan busur (2,1),(1,1),(1,2),(2,3) yang merupakan lintasan dalam 𝐺5 . Lintasan ini dapat direpresentasikan dengan 2 → 1 → 1 → 2 → 3. Busur ini mempunyai panjang 4 karena tersusun aas 4 busur. Lintasan 2 → 1 → 2 → 3 → 3 → 1 → 2 merupakan sirkuit dengan panjang 6. Lintasan 1 → 2 → 3 → 1 merupakan suatu sirkuit elementer dengan panjang 3. Pada graf berarah 𝐺5 setiap titik yang berbeda selalu terdapat suatu lintasan, sehingga graf berarah 𝐺5 terhubung kuat. Selanjutnya, dijelaskan mengenai hubungan antara matriks dan graf berarah berbobot yang terhubung kuat di ℝmax . Penjelasan diawali dengan


definisi graf bobot atau graf preseden, yang merupakan graf dari suatu matriks dalam ℝmax .

Definisi 2.C.11 (Graf Bobot (Precedence Graph), Schutter, 1996 dalam Rudhito, 2016) Diberikan 𝐴 ∈ ℝ𝑛×𝑛 𝑚𝑎𝑥 . Graf bobot atau preseden dari A adalah graf berarah berbobot 𝐺(𝐴) = (𝑉, 𝐷) dengan 𝑉 = {1, 2, … , 𝑛} dan 𝐷 = {(𝑗, 𝑖)|𝑤(𝑖, 𝑗) = 𝑎𝑖𝑗 ≠ ɛ}.

Contoh 2.C.6 2 ɛ 0 Diberikan matriks 𝐴 = [−1 ɛ 2] 1 3 1 Graf bobot dari matriks 𝐴 merupakan graf berarah berbobot 𝐺(𝐴) = (𝑉, 𝐷) dengan himpunan titik 𝑉 = {1,2,3} dan himpunan busur 𝐷 = {(1,1), (3,1), (1,2), (3,2), (1,3), (2,3), (3,3)}, seperti yang disajikan dalam Gambar 2.C.6. Perhatikan sebaliknya bahwa untuk setiap graf berarah berbobot 𝐺(𝐴) = (𝑉, 𝐷) selalu dapat didefinisikan suatu matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑛×𝑛 𝑚𝑎𝑥 dengan 𝑎𝑖𝑗 = {

𝑤(𝑗, 𝑖), 𝑗𝑖𝑘𝑎(𝑗, 𝑖) ∈ 𝐴 ɛ, 𝑗𝑖𝑘𝑎(𝑗, 𝑖) ∉ 𝐴

Matriks 𝐴 ini disebut sebagai matriks bobot dari graf 𝐺(𝐴) dan graf berarah berbobot tersebut merupakan graf bobot dari 𝐴. Berikut disajikan gambar graf berarah berbobot yang bersesuaian dengan matriks 𝐴 pada contoh yang diberikan di atas.


2

-1 1 2

0

3

1 2

3

1 Gambar 2.C.6 Graf Berarah Berbobot Contoh 2.C.6

Selanjutnya, dijelaskan pula mengenai konsep lintasan dan sirkuit pada graf preseden.

Definisi 2.C.12 Diberikan graf berarah berbobot 𝐺(𝐴) = (𝑉, 𝐷) dengan 𝑉 = {1, 2, … , 𝑛}. Bobot suatu lintasan 𝜌 = 𝑖1 → 𝑖2 → ⋯ → 𝑖𝑙 didefinisikan sebagai jumlahan bobot busur-busur yang menyusun 𝜌 dan dinotasikan dengan |𝜌|𝑤 .

Definisi 2.C.13 (Rudhito, 2016) Untuk matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑛×𝑛 𝑚𝑎𝑥 , 𝑏obot suatu lintasan 𝜌 = 𝑖1 → 𝑖2 → ⋯ → 𝑖𝑙 dalam graf bobot 𝐺(𝐴) adalah |𝜌|𝑤 = 𝑎𝑖2 ,𝑖1 + 𝑎𝑖3 ,𝑖2 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑙,𝑖𝑙−1 . Bobot rata-rata lintasan 𝜌, dinotasikan dengan |𝜌̅ |, didefinisikan sebagai operasi perkalian dan pembagian pada bilangan real).

1 . |𝜌|𝑙

|𝜌|𝑤 (dengan


Contoh 2.C.7 Perhatikan graf berarah berbobot pada Contoh 2.C.6 berikut. 2

-1 1 2

0

3

1 2

3


Panjang suatu lintasan 𝜌 = 1 → 2 → 3 → 3 → 1 adalah |𝜌|𝑙 = 4. Bobot lintasan 𝜌 adalah |𝜌|𝑤 = 𝑤(2,1) + 𝑤(3,2) + 𝑤(3,3) + 𝑤(1,3) = 𝑎21 + 𝑎32 + 𝑎33 + 𝑎13 = −1 + 3 + 1 + 0 =3 1

1

3

Bobot rata-rata lintasan 𝜌 adalah |𝜌̅ |= |𝜌| . |𝜌|𝑤 = 4 (3) = 4 𝑙

Selanjutnya, dijelaskan mengenai hubungan antara elemen ke-st matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑛×𝑛 𝑚𝑎𝑥 berpangkat k dengan bobot lintasan dari simpul t ke s pada graf preseden 𝐺(𝐴).


Diberikan matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑛×𝑛 𝑚𝑎𝑥 , jika 𝑘 ∈ 𝑁, maka unsur ke-st dari matriks 𝑘

𝐴⊗ adalah 𝑘

(𝐴⊗ ) = max1≤𝑖1 ,𝑖2,…,𝑖𝑘−1 ≤𝑛 (𝑎𝑠,𝑖𝑘−1 + ⋯ + 𝑎𝑖2 ,𝑖1 + 𝑎𝑖1 ,𝑡 ) 𝑠𝑡

= max1≤𝑖1 ,𝑖2 ,…,𝑖𝑘−1 ≤𝑛 (𝑎𝑖1 .𝑡 + 𝑎𝑖2 .𝑖1 + ⋯ + 𝑎𝑠,𝑖𝑘−1 ) untuk setiap s, t. Diketahui bahwa (𝑎𝑖1 .𝑡 + 𝑎𝑖2 .𝑖1 + ⋯ + 𝑎𝑠,𝑖𝑘−1 ) adalah bobot lintasan dengan panjang k, dengan t sebagai titik awal dan s sebagai titik akhirnya dalam graf 𝑘

𝐺(𝐴). Oleh karena itu, (𝐴⊗ )

𝑠𝑡

adalah bobot maksimum semua lintasan

dalam 𝐺(𝐴) dengan panjang k, dengan t sebagai titik awal dan s sebagai titik akhirnya. Namun, apabila tidak ada lintasan dengan panjang k dari t ke s, maka bobot maksimum didefinisikan sama dengan ɛ.

Contoh 2.C.8 2 ɛ 0 Diberikan matriks 𝐴 = [−1 ɛ 2] dari Contoh 2.C.6. Bobot maksimum 1 3 1 semua lintasan dalam 𝐺(𝐴) dengan panjang 𝑘 = 3 ditentukan oleh elemen6 3 3 elemen 𝐴⊗ , dengan 𝐴⊗ = [5 6

5 5 6 7]. 8 6 3

Dari matriks di atas, dapat diperoleh (𝐴⊗ )13 = 5. Ini berarti bobot maksimum semua lintasan dalam 𝐺(𝐴) dengan panjang 3 yang berawal dari simpul 3 dan berakhir di simpul 1 adalah 5. Hal ini karena 3

(𝐴⊗ )13 = max(2 + 1 + 1,0 + 2 + 3)


= max(1 + 1 + 2,3 + 2 + 0 = max(4,5) =5 Hal ini sesuai dengan yang terlihat dari graf preseden, bahwa ada 2 lintasan dengan panjang 3 yang berawal dari simpul 3 dan berakhir di simpul 1,yaitu 3 → 3 → 1 → 1 dan 3 → 2 → 3 → 1. Berikut adalah masing-masing bobot untuk setiap lintasan. Bobot untuk lintasan 3 → 3 → 1 → 1 adalah |𝜌|𝑤 = 𝑤(3,3) + 𝑤(1,3) + 𝑤(1,1) = 𝑎33 + 𝑎13 + 𝑎11 =1+1+2 =4 Bobot untuk lintasan 3 → 2 → 3 → 1 adalah |𝜌|𝑤 = 𝑤(2,3) + 𝑤(3,2) + 𝑤(3,1) = 𝑎23 + 𝑎32 + 𝑎31 =3+2+0 =5 Dari semua bobot lintasan tersebut, diperoleh bobot maksimum 5.

Selanjutnya, dijelaskan mengenai bobot rata-rata maksimum untuk sirkuit elementer, dengan maksimum diambil atas semua sirkuit elementer dalam suatu graf.


Diberikan matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑛×𝑛 𝑚𝑎𝑥 , dengan graf bobotnya 𝐺(𝐴) = (𝑉, 𝐸). Bobot maksimum dari semua sirkuit yang memiliki panjang k dengan titik i 𝑘

sebagai titik awal dan titik akhir dalam G(A) dinotasikan sebagai (𝐴⊗ ) . 𝑖𝑖

Maksimum dari bobot maksimum semua sirkuit yang memiliki panjang k dengan titik i sebagai titik awal dan titik akhir dalam G(A) atas seluruh titik i 𝑘

𝑘

adalah ⊕𝑛𝑘=1 (𝐴⊗ ) = 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒 (𝐴⊗ ) dan bobot 𝑖𝑖

1

rata-ratanya

adalah

𝑘

𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒 (𝐴⊗ ). 𝑘 Kemudian, diambil maksimum atas sirkuit dengan panjang 𝑘 ≤ 𝑛, yaitu semua sirkuit elementer, diperoleh suatu rumus untuk bobot rata-rata maksimum sirkuit elementer dalam G(A), yang dinotasikan dengan 𝜆max (𝐴), yaitu 1 𝑘 𝜆max (𝐴) =⊕𝑛𝑘=1 ( 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒 (𝐴⊗ )) 𝑘 Suatu sirkuit dalam graf G yang mempunyai bobot rata-rata sama dengan bobot rata-rata maksimum sirkuit elementer disebut sebagai sirkuit kritis. Suatu graf G yang terdiri dari semua sirkuit kritis disebut graf kritis dari G, yang dinotasikan dengan 𝐺 𝑐 .

Contoh 2.C.9 −2 3 1 Diberikan matriks 𝐴 = [ 1 1 ɛ ], dengan graf berarah berbobot G(A) ɛ 2 1 adalah sebagai berikut.


-2

1

1

1 2

3 1 2

3


Akan ditentukan bobot rata-rata maksimum sirkuit elementer dalam G(A) (𝜆max (𝐴)) tersebut. Diperhatikan bahwa 𝐴

⊗2

4 = [2 3

4 2 5 ⊗3 4 2] dan 𝐴 = [5 3 2 4 2

7 5 5 3], sehingga 6 4 3

diperoleh 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒(𝐴) = 1, 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒( 𝐴⊗ ) = 4, dan 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒( 𝐴⊗ ) = 5. Bobot rata-rata maksimum sirkuit elementer adalah 1 1 1 1 𝑘 𝜆max (𝐴) =⊕𝑛𝑘=1 ( 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒 (𝐴⊗ )) = max ( (1), (4), (5)) = 2 𝑘 1 2 3 Berdasarkan hasil perhitungan di atas, 𝜆max (𝐴) = 2, sehingga sirkuit kritis pada graf preseden G(A) adalah 1 → 2 → 1 dan 2 → 1 → 2. Maka graf kritis 𝐺 𝑐 (𝐴) dari sirkuit kritis adalah 1 1 2

3 Gambar 2.C.9 Graf Kritis Contoh 2.C.9


Teorema 2.C.1 (Baccelli, et.al., dalam Rudhito, 2016) Diberikan 𝐴 ∈ ℝ𝑛×𝑛 𝑚𝑎𝑥 . Jika semua sirkuit dalam G(A) mempunyai bobot tak positif, maka 𝑝

∀𝑝 ≥ 𝑛, 𝐴⊗ ≤max 𝐸 ⊕ 𝐴 ⊕ … ⊕ 𝐴⊗

𝑛−1

Bukti: Karena banyak titik dalam G(A) adalah n, maka semua lintasan dengan panjang 𝑝 ≥ 𝑛 tersusun dari k sirkuit dengan jumlah panjang seluruh sirkuit kurang dari p dan satu lintasan dengan panjang kurang dari n. Ini berarti untuk setiap 𝑝 ≥ 𝑛 dan untuk setiap 𝑠, 𝑡 ∈ {1,2, … , 𝑛}, terdapat 𝑟 ∈ {1,2, … , 𝑛}, sehingga 𝑝

𝑚

𝑙

( 𝐴⊗ )𝑠𝑡 = ( 𝐴⊗ ) + ∑𝑘𝑖( 𝐴⊗ 𝑖 )𝑟 ,𝑟 𝑠𝑡

𝑖 𝑖

0 ≤ 𝑙 ≤ 𝑛 − 1, 1 ≤ 𝑚𝑖 ≤

dengan

𝑛, 1 ≤ 𝑟𝑖 ≤ 𝑛 dan 𝑘 = 1,2,3, … Karena semua sirkuit mempunyai bobot tidak positif, maka untuk setiap 𝑝 ≥ 𝑝

𝑙

𝑛 dan untuk setiap 𝑠, 𝑡 ∈ {1,2, … , 𝑛}, berlaku ( 𝐴⊗ )𝑠𝑡 ≤ ( 𝐴⊗ ) dengan 𝑠𝑡

0 ≤ 𝑙 ≤ 𝑛 − 1. 𝑝

Akibatnya (∀𝑝 ≥ 𝑛), 𝐴⊗ ≤max 𝐴 ⊕ … ⊕ 𝐴⊗

𝑛−1

.

Karena untuk setiap matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑛×𝑛 𝑚𝑎𝑥 berlaku 𝐸 ⊕ 𝐴 ≤max 𝐴, maka ∀𝑝 ≥ 𝑝

𝑛, 𝐴⊗ ≤max 𝐸 ⊕ 𝐴 ⊕ … ⊕ 𝐴⊗

𝑛−1

.

Berdasarkan Teorema 2.C.1 di atas, maka dapat didefinisikan operasi bintang (*) unntuk matriks berikut ini.


Definisi 2.C.14 Diberikan suatu matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑛×𝑛 𝑚𝑎𝑥 , dengan semua sirkuit dalam G(A) berbobot tidak positif, maka didefinisikan 𝑛

𝐴∗ ≔ 𝐸 ⊕ 𝐴 ⊕ … ⊕ 𝐴⊗ ⊕ 𝐴⊗

𝑛−1

⊕…

dan

𝐴+ ≔ 𝐴 ⊗ 𝐴∗

D. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks di ℝ𝐦𝐚𝐱 Seperti halnya pada matriks real, konsep nilai eigen dan vektor eigen juga dipelajari pada matriks di ℝmax . Bagian ini menjelaskan tentang konsep dan cara menentukan nilai eigen dan vektor eigen di ℝmax . Penjelasan diawali dengan membahas kembali konsep dalam aljabar max-plus dan graf yang berkaitan dengan pembahasan nilai eigen dan vektor eigen. Berikut didefinisikan terlebih dahulu suatu matriks yang graf bobotnya terhubung kuat.

Definisi 2.D.1 (Subiono, 2015) Suatu matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑛×𝑛 𝑚𝑎𝑥 dikatakan irreducible (tak-tereduksi) jika graf G(A) adalah strongly connected (terhubung kuat). Lebih lanjut, matriks taktereduksi adalah matriks yang tidak dapat dikonstruksi menjadi bentuk matriks segitiga atas.

Teorema 2.D.1 Matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑛×𝑛 𝑚𝑎𝑥 irreducible (tak-tereduksi) jika dan hanya 2

jika (𝐴 ⊕ 𝐴⊗ ⊕ … ⊕ 𝐴⊗

𝑛−1

)𝑖𝑗 ≠ ɛ untuk setiap 𝑖, 𝑗 dengan 𝑖 ≠ 𝑗.


Bukti: 1. Jika matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑛×𝑛 𝑚𝑎𝑥 irreducible (tak-tereduksi) maka graf 𝐺(𝐴) = (𝑉, 𝐷) dengan 𝑉 = {1,2, … , 𝑛} terhubung kuat, yaitu untuk setiap 𝑖, 𝑗 ∈ 𝑉, 𝑖 ≠ 𝑗, terdapat suatu lintasan dari 𝑖 ke 𝑗. Hal ini berarti untuk setiap 𝑖, 𝑗 ∈ 𝑉, 𝑖 ≠ 𝑗 terdapat k dengan 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 − 1 𝑘

2

sehingga (𝐴⊗ )𝑖𝑗 ≠ ɛ, sehingga (𝐴 ⊕ 𝐴⊗ ⊕ … ⊕ 𝐴⊗

𝑛−1

)𝑖𝑗 ≠ ɛ untuk

setiap 𝑖, 𝑗 dengan 𝑖 ≠ 𝑗. 2

2. Jika (𝐴 ⊕ 𝐴⊗ ⊕ … ⊕ 𝐴⊗

𝑛−1

)𝑖𝑗 ≠ ɛ untuk setiap 𝑖, 𝑗 dengan 𝑖 ≠ 𝑗, maka 𝑘

terdapat k dengan 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 − 1 sehingga (𝐴⊗ )𝑖𝑗 ≠ ɛ. Hal ini berarti graf bobot 𝐺(𝐴) = (𝑉, 𝐷) dengan 𝑉 = {1,2, … , 𝑛} untuk setiap 𝑖, 𝑗 ∈ 𝑉, 𝑖 ≠ 𝑗, terdapat suatu lintasan dari 𝑖 ke 𝑗. Akibatnya 𝐺(𝐴) terhubung kuat, sehingga matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑛×𝑛 𝑚𝑎𝑥 irreducible (tak-tereduksi).

Contoh 2.D.1 2 ɛ 0 Diberikan matriks 𝐴 = [−1 ɛ 2] pada Contoh 2.C.6 1 3 1 𝐴⊕𝐴

⊗2

2 = [−1 1

ɛ 0 4 3 ɛ 2] ⊕ [2 5 3 1 3 4

2 4 3] = [2 5 3

3 2 5 3] 4 5

2

Berarti (𝐴 ⊕ 𝐴⊗ )𝑖𝑗 ≠ ɛ untuk setiap 𝑖, 𝑗 dengan 𝑖 ≠ 𝑗. Dalam gambar graf pada Gambar 4 juga terlihat bahwa untuk sebarang dua titik yang berbeda i dan j dalam 𝐺(𝐴) terdapat suatu lintasan dari i ke j. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa matriks A irreducible (tak-tereduksi).


Selanjutnya, dibahas mengenai konsep nilai eigen dan vektor eigen suatu matriks di ℝmax .

Definisi 2.D.2 (Schutter, 1996 dalam Rudhito, 2016) Diberikan suatu matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑛×𝑛 𝑚𝑎𝑥 . Skalar 𝜆 ∈ ℝmax disebut nilai eigen maxplus matriks A jika terdapat suatu vektor 𝑣 ∈ ℝ𝑛𝑚𝑎𝑥 dengan 𝑣 ≠ ɛ𝑛×1 sehingga 𝐴 ⊗ 𝑣 = 𝜆 ⊗ 𝑣. Vektor v tersebut disebut vektor eigen max-plus matriks A yang bersesuaian dengan 𝜆.

Berikut diberikan teorema yang memberikan eksistensi nilai eigen aljabar max-plus untuk setiap matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑛×𝑛 𝑚𝑎𝑥 .

Teorema 2.D.2 Skalar 𝜆max (𝐴) pada suatu matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑛×𝑛 𝑚𝑎𝑥 , yaitu bobot rata-rata maksimum sirkuit elementer dalam G(A), merupakan suatu nilai eigen max-plus matriks A. Bukti: (Rudhito, 2016) Didefinisikan matriks 𝐵 = −𝜆max (𝐴) ⊗ 𝐴, maka 1

𝑘

𝜆max (𝐵) =⊕𝑛𝑘=1 (𝑘 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒 (𝐵 ⊗ )) 1 𝑘 =⊕𝑛𝑘=1 ( 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒 ((−𝜆max (𝐴) ⊗ 𝐴)⊗ )) 𝑘 1 ⊗𝑘 𝑘 =⊕𝑛𝑘=1 ( 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒 ((−𝜆max (𝐴)) ⊗ 𝐴⊗ )) 𝑘 1 ⊗𝑘 𝑘 =⊕𝑛𝑘=1 ( ((−𝜆max (𝐴)) ⊗ 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒 𝐴⊗ )) 𝑘


=⊕𝑛𝑘=1 ((−𝜆max (𝐴)) ⊗ 𝜆max (𝐴)) =⊕𝑛𝑘=1 (0) =0

Akibatnya, 𝐺(𝐵) tidak mempunyai sirkuit dengan bobot positif. Berdasarkan 𝑛−1

Teorema 2.C.1, diperoleh 𝐵 ∗ ≔ 𝐸 ⊕ 𝐵 ⊕ … 𝐵 ⊗ 2

dan

𝐵+ ≔ 𝐵 ⊕

𝑛

𝐵 ⊗ ⊕ … ⊕ 𝐵 ⊗ . Karena 𝜆max (𝐵) = 0, maka terdapat 𝑘 ∈ 𝑁, 𝑘 ≤ 𝑛 dan 𝑘

suatu 𝑠 ∈ {1,2, … , 𝑛} sehingga (𝐵 ⊗ )

𝑠𝑠

= 0. Akibatnya, komponen ke-s dari 𝑘

𝐵.𝑠+ (kolom ke-s matriks 𝐵 + ) adalah (𝐵 ⊗ )

𝑠𝑠

= 0. Ini berarti bahwa 𝐵.𝑠+ ≠

ɛ𝑛×1 . Di sisi lain, menurut Definisi 2.C.14, 𝐵 + = 𝐵 ⊗ 𝐵 ∗ dan 𝐵 ∗ = 𝐸 ⊕ 𝐵 + . Karena (𝐸)𝑠𝑠 = 0, maka 𝐵.𝑠+ = 𝐵.𝑠∗ . Akibatnya

𝐵.𝑠+ = 𝐵 ⊗ 𝐵.𝑠∗ = 𝐵.𝑠∗ atau

(−𝜆max (𝐴) ⊗ 𝐴) ⊗ 𝐵.𝑠∗ = 𝐵.𝑠∗ atau 𝐴 ⊗ 𝐵.𝑠∗ = 𝜆max (𝐴) ⊗ 𝐵.𝑠∗ . Jadi 𝜆max (𝐴) adalah suatu nilai eigen matriks A di ℝmax dan 𝐵.𝑠∗ adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan 𝜆max (𝐴). Karena definisi matriks 𝐵 = −𝜆max (𝐴) ⊗ 𝐴, maka sirkuit kritis 𝜌0 dalam G(A) juga merupakan sirkuit kritis dalam G(B). Dari bukti Teorema 2.D.2, diperoleh jika titik i menyusun busur dalam sirkuit kritis 𝜌0 , maka kolom ke-i matriks 𝐵 ∗ merupakan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen 𝜆max (𝐴). Kolom ke-i matriks 𝐵 ∗ di atas, yang merupakan vektor-vektor eigen max-plus matriks A yang bersesuaian dengan nilai eigen 𝜆max (𝐴), disebut sebagai vektor eigen max-plus fundamental yang bersesuaian dengan


nilai eigen max-plus 𝜆max (𝐴). Kombinasi linear max-plus vektor-vektor eigen max-plus fundamental matriks A juga merupakan vektor eigen max-plus yang bersesuaian dengan 𝜆max (𝐴).

Contoh 2.D.2 −2 3 1 Misalkan diberikan suatu matriks 𝐴 = [ 1 1 ɛ ] dalam Contoh 2.C.9 ɛ 2 1 dengan 𝜆max (𝐴) = 2, maka dapat ditentukan matriks B, yaitu −2 3 1 −4 1 −1 (𝐴) 𝐵 = −𝜆max ⊗ 𝐴 = −2 ⊗ [ 1 1 ɛ ] = [−1 −1 ɛ ] ɛ 2 1 ɛ 0 −1 Kemudian, dihitung 𝐵 𝐵∗ = 𝐸 ⊕ 𝐵 ⊕ 𝐵⊗ 0 ɛ = [ɛ 0 ɛ ɛ

⊗2

0 0 −2 = [−2 0 −2], sehingga diperoleh −1 −1 −2

2

ɛ −4 1 −1 0 0 −2 ɛ ] ⊕ [−1 −1 ɛ ] ⊕ [−2 0 −2] 0 ɛ 0 −1 −1 −1 −2

0 1 −1 = [−1 0 −2] −1 0 0 Karena sirkuit 1 → 2 → 1 merupakan sirkuit kritis pada G(A), maka kolom pertama dan kedua matriks 𝐵 ∗ adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen 𝜆max (𝐴) = 2 , yang ditunjukkan sebagai berikut. −2 3 [1 1 ɛ 2

1 0 2 0 ɛ ] ⊗ [−1] = [1] = 2 ⊗ [−1] dan 1 −1 1 −1

−2 3 [1 1 ɛ 2

1 1 3 1 ɛ ] ⊗ [0] = [2] = 2 ⊗ [0] 1 0 2 0


Teorema 2.D.3 Diberikan suatu matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑛×𝑛 𝑚𝑎𝑥 . Jika 𝜆 ∈ ℝ adalah nilai eigen matriks A di ℝmax , maka 𝜆 merupakan bobot rata-rata suatu sirkuit dalam G(A). Bukti: Misalkan 𝜆 adalah nilai eigen matriks A di ℝmax , maka untuk setiap 𝑖 ∈ {1, … , 𝑛} berlaku (𝐴 ⊗ 𝒙)𝑖 = (𝜆 ⊗ 𝒙)𝑖 dengan 𝒙 ≠ ɛ𝑛×1. Akibatnya terdapat suatu indeks 𝑖1 , 𝑖2 sehingga 𝑎𝑖1 ,𝑖2 ⊗ 𝑥𝑖2 = 𝜆 ⊗ 𝑥𝑖1 dengan 𝑥𝑖1 ≠ ɛ. Karena 𝜆 ≠ ɛ dan 𝑥𝑖1 ≠ ɛ, maka 𝑥𝑖2 ≠ ɛ dan 𝑎𝑖1 ,𝑖2 ≠ ɛ. Karena 𝑥𝑖2 ≠ ɛ maka terdapat suatu indeks 𝑖3 sedemikian rupa sehingga 𝑎𝑖2 ,𝑖3 ⊗ 𝑥𝑖3 = 𝜆 ⊗ 𝑥𝑖2 . Karena 𝜆 ≠ ɛ dan 𝑥𝑖2 ≠ ɛ, maka 𝑥𝑖3 ≠ ɛ dan 𝑎𝑖2 ,𝑖3 ≠ ɛ. Demikian seterusnya dengan cara yang sama seperti di atas, maka akan diperoleh suatu barisan {𝑖𝑗 } sehingga 𝑎𝑖𝑗−1 ,𝑖𝑗 ⊗ 𝑥𝑖𝑗 = 𝜆 ⊗ 𝑥𝑖𝑗−1 dengan 𝑥𝑖𝑗 ≠ ɛ dan 𝑎𝑖𝑗−1 ,𝑖𝑗 ≠ ɛ untuk 𝑗 = 1,2, …. Karena banyak titik dalam graf G(A) berhingga, maka terdapat suatu j dan l, sehingga 𝑖𝑗 = 𝑖𝑙 .

Akibatnya

diperoleh

suatu

sirkuit

𝜌.

𝜌

Misalkan

adalah

(𝑖𝑙 , 𝑖𝑚 ), … , (𝑖𝑙+2 , 𝑖𝑙+1 ), (𝑖𝑙+1 , 𝑖𝑙 ) sehingga diperoleh (𝐴𝑖𝑙,𝑖𝑙+1 ⊗ 𝑥𝑖𝑙+1 ) ⊗ … ⊗ (𝐴𝑖𝑙,𝑖𝑙+1 ⊗ 𝑥𝑖𝑙+1 ) = (𝜆 ⊗ 𝑥𝑖𝑙 ) ⊗ … ⊗ (𝜆 ⊗ 𝑥𝑖𝑚 ) Karena operasi ⊗ di ℝmax bersifat komutatif, maka diperoleh (𝐴𝑖𝑙,𝑖𝑙+1 ⊗ … ⊗ 𝐴𝑖𝑚 ,𝑖𝑙 ) ⊗ (𝑥𝑖𝑙+1 ⊗ … ⊗ 𝑥𝑖𝑚 ⊗ 𝑥𝑖𝑙 ) = 𝜆𝑚−𝑙+1 (𝑥𝑖𝑙 ⊗ 𝑥𝑖𝑙+1 ⊗ … ⊗ 𝑥𝑖𝑚 ) atau (𝐴𝑖𝑙,𝑖𝑙+1 ⊗ … ⊗ 𝐴𝑖𝑚 ,𝑖𝑙 ) = 𝜆𝑚−𝑙+1 atau 𝜆 =

(𝐴𝑖𝑙,𝑖𝑙+1 ⊗…⊗𝐴𝑖𝑚,𝑖𝑙 )

Hal ini berarti 𝜆 merupakan bobot rata-rata sirkuit 𝜌.

𝑚−𝑙+1

.


Berdasarkan Teorema 2.D.2 dan Teorema 2.D.3, maka dapat disimpulkan bahwa untuk suatu matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑛×𝑛 𝑚𝑎𝑥 , 𝜆max (𝐴) adalah nilai eigen ℝmax . Selanjutnya, diberikan lemma tentang sifat vektor eigen dari matriks A yang irreducible (tak-tereduksi), yang menyatakan bahwa untuk matriks irreducible (tak-tereduksi), semua komponen vektor eigen max-plusnya berupa bilangan real. Lemma 2.D.1 berikut ini digunakan untuk membuktikan Teorema 2.D.4.

Lemma 2.D.1 Jika matriks irreducible (tak-tereduksi) 𝐴 ∈ ℝ𝑛×𝑛 𝑚𝑎𝑥 mempunyai nilai eigen 𝜆 dengan x adalah vektor eigen ℝmax yang bersesuaian dengan 𝜆, maka 𝑥𝑖 ≠ ɛ untuk setiap 𝑖 ∈ {1, … , 𝑛}. Bukti: Misalkan terdapat dengan tunggal elemen 𝑠 ∈ {1, … , 𝑛} sehingga 𝑥𝑠 = ɛ. Akibatnya (𝐴 ⊗ 𝒙)𝑠 = 𝜆 ⊗ 𝑥𝑠 = ɛ atau 𝐴𝑠,𝑖 ⊗ 𝑥𝑖 = ɛ, untuk setiap 𝑖 ∈ {1, … , 𝑛}. Karena 𝑥𝑖 ≠ ɛ untuk setiap 𝑖 ≠ 𝑠, maka 𝐴𝑠,𝑖 = ɛ. Hal ini berarti tidak ada busur dari setiap titik 𝑖 ≠ 𝑠 ke titik s. Akibatnya G(A) tidak terhubung kuat atau A tereduksi. Jika terdapat lebih dari satu komponen yang sama dengan ɛ, bukti seperti di atas akan menghasikan kesimpulan bahwa matriks A tereduksi. Lebih lanjut, matriks tereduksi adalah matriks yang dapat dikonstruksi mejadi bentuk matriks blok segitiga atas, dengan elemen-elemen berupa matriks ɛ atau matriks tak-tereduksi (Subiono, 2015: 25).


Matriks irreducible (tak-tereduksi) mempunyai nilai eigen aljabar maxplus tunggal. Hal ini diberikan seperti dalam teorema berikut.

Teorema 2.D.4 Jika matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑛×𝑛 𝑚𝑎𝑥 irreducible (tak-tereduksi), maka matriks A mempunyai nilai eigen ℝmax tunggal. Bukti: (Rudhito, 2016) Eksistensi nilai eigen suatu matriks A di ℝmax telah diberikan dalam Teorema 2.D.2. Misalkan 𝜆 adalah sebarang nilai eigen matriks A di ℝmax dengan x adalah vektor eigen ℝmax yang bersesuaian dengan 𝜆. Karena matriks A irreducible (tak-tereduksi), maka menurut Lemma 2.D.1, 𝑥𝑖 ≠ ɛ untuk setiap 𝑖 ∈ {1,2, … , 𝑛}. Diambil sebarang sirkuit γ, misalkan sirkuit γ adalah (𝑖1 , 𝑖2 ), (𝑖2 , 𝑖3 ), … , (𝑖𝑝 , 𝑖1 ) dalam G(A). Karena 𝜆 adalah nilai eigen suatu matriks A di ℝmax , maka 𝑎𝑖2 ,𝑖1 ⊗ 𝑥𝑖1 = 𝜆 ⊗ 𝑥𝑖2 , ⋮ 𝑎𝑖𝑝 ,𝑖𝑝−1 ⊗ 𝑥𝑖𝑝−1 = 𝜆 ⊗ 𝑥𝑖𝑝 , 𝑎𝑖1 ,𝑖𝑝 ⊗ 𝑥𝑖𝑝 = 𝜆 ⊗ 𝑥𝑖1 . Dari bukti Teorema 2.D.3, diperoleh bahwa 𝜆 lebih besar atau sama dengan rata-rata bobot γ, untuk setiap sirkuit γ dalam G(A). Jadi 𝜆 = 𝜆max (𝐴), yang berarti bahwa nilai eigen matriks A di ℝmax adalah tunggal.


BAB III PEMODELAN JARINGAN KERETA API

Bab ini menjelaskan tentang aplikasi aljabar max-plus pada penjadwalan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta. Penjelasan diawali dengan memberikan gambaran mengenai sistem transportasi kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta secara umum, kemudian dibuat pemodelan jaringan penjadwalan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta menggunakan aljabar max-plus. Pemodelan tersebut meliputi penentuan rute pilihan, pembuatan graf rute pilihan, penyusunan sinkronisasi graf rute pilihan, penyusunan model matematika berdasarkan

sinkronisasi

yang

dibuat,

dan

penentuan

matriks

yang

direpresentasikan oleh graf rute pilihan berdasarkan model matematika yang diperoleh.

A. Sistem Transportasi Kereta Api Komuter di DAOP VI Yogyakarta Kereta api komuter adalah sebuah sarana transportasi kereta api penumpang yang menghubungkan antara pusat kota dan pinggiran kota dimana setiap harinya menarik sejumlah besar orang untuk melakukan perjalanan. Kereta api komuter yang berada di bawah pengoperasian DAOP VI Yogyakarta antara lain kereta api Prambanan Ekspres, kereta api Sidomukti, kereta api Kalijaga, kereta api Madiun Jaya, kereta api Joglo Kerto, dan kereta api Bathara Kresna. Berikut akan dijelaskan tujuh rute yang dilalui oleh kereta api komuter (kereta api lokal) yang berada di DAOP VI Yogyakarta. Data ini

57


diperoleh dari PT Kereta Api Indonesia Daerah Operasi (DAOP) VI Yogyakarta. 1. Rute 1 (Kereta Api Prambanan Ekspres) Stasiun Kutoarjo – Stasiun Jenar – Stasiun Wates – Stasiun Yogyakarta – Stasiun Lempuyangan – Stasiun Maguwo – Stasiun Klaten – Stasiun Purwosari – Stasiun Solo Balapan – Stasiun Purwosari – Stasiun Klaten – Stasiun Maguwo – Stasiun Lempuyangan – Stasiun Yogayakarta – Stasiun Wates – Stasiun Jenar – Stasiun Kutoarjo. 2. Rute 2 (Kereta Api Prambanan Ekspres) Stasiun Yogyakarta – Stasiun Lempuyangan – Stasiun Maguwo – Stasiun Klaten – Stasiun Purwosari – Stasiun Solo Balapan – Stasiun Purwosari – Stasiun Klaten – Stasiun Maguwo – Stasiun Lempuyangan – Stasiun Yogyakarta. 3. Rute 3 (Kereta Api Sidomukti) Stasiun Solo Balapan – Stasiun Purwosari – Stasiun Klaten – Stasiun Lempuyangan – Stasiun Yogyakarta – Stasiun Lempuyangan – Stasiun Klaten – Stasiun Purwosari – Stasiun Solo Balapan. 4. Rute 4 (Kereta Api Madiun Jaya) Stasiun Madiun – Stasiun Walikukun - Stasiun Sragen - Stasiun Solo Jebres – Stasiun Solo Balapan – Stasiun Purwosari – Stasiun Klaten – Stasiun Maguwo – Stasiun Lempuyangan – Stasiun Yogyakarta – Stasiun Lempuyangan – Stasiun Maguwo – Stasiun Klaten – Stasiun Purwosari –


Stasiun Solo Balapan – Stasiun Solo Jebres – Stasiun Sragen – Stasiun Walikukun – Stasiun Madiun. 5. Rute 5 (Kereta Api Joglo Kerto) Stasiun Solo Balapan – Stasiun Purwosari – Stasiun Klaten – Stasiun Lempuyangan – Stasiun Yogyakarta – Stasiun Wates – Stasiun Jenar – Stasiun Kutoarjo – Stasiun Kebumen – Stasiun Gombong – Stasiun Sumpiuh – Stasiun Kroya – Stasiun Purwokerto – Stasiun Kroya – Stasiun Sumpiuh – Stasiun Gombong – Stasiun Kebumen – Stasiun Kutoarjo – Stasiun Jenar – Stasiun Wates – Stasiun Yogyakarta – Stasiun Lempuyangan – Stasiun Klaten – Stasiun Purwosari – Stasiun Solo Balapan. 6. Rute 6 (Kereta Api Kalijaga) Stasiun Purwosari – Stasiun Solo Balapan – Stasiun Salem – Stasiun Gundih – Stasiun Telawa – Stasiun Kedungjati – Stasiun Brumbung – Stasiun Semarang Tawang – Stasiun Semarang Poncol – Stasiun Semarang Tawang – Stasiun Brumbung – Stasiun Kedungjati – Stasiun Telawa – Stasiun Gundih – Stasiun Salem – Stasiun Solo Balapan – Stasiun Purwosari. 7. Rute 7 (Kereta Api Bathara Kresna) Stasiun Purwosari – Stasiun Solo Kota – Stasiun Sukoharjo – Stasiun Pasar Nguter – Stasiun Wonogiri – Stasiun Pasar Nguter – Stasiun Sukoharjo – Stasiun Solo Kota – Stasiun Purwosari.


Gambar 3.A.1 Denah Lintas DAOP VI Yogyakarta

B. Rute Pilihan Rute adalah jarak atau arah yang harus ditempuh atau dilalui. Rute dalam sarana transportasi dapat didefinisikan sebagai rute angkutan yang menghubungkan dua tempat. Pemilihan rute dalam skripsi ini dilakukan dengan menentukan stasiun yang akan menjadi stasiun transfer, yaitu stasiunstasiun besar dan menengah yang memungkinkan penumpang berpindah dari suatu kereta api dengan rute tertentu ke kereta api lainnya dengan rute yang berbeda. Stasiun-stasiun tersebut adalah Stasiun Purwokerto, Stasiun Wates, Stasiun Kutoarjo, Stasiun Yogyakarta, Stasiun Lempuyangan, Stasiun Klaten, Stasiun Purwosari, Stasiun Solo Balapan, Stasiun Sragen, Stasiun Madiun, Stasiun Wonogiri, Stasiun Semarang Tawang, dan Stasiun Semarang Poncol.


Pemilihan rute ini menggunakan semua rute kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta yaitu rute 1 sampai dengan rute 7 yang telah dijelaskan pada bagian A, kecuali rute 3. Hal ini dikarenakan kereta api Sidomukti yang beroperasi pada rute 3 hanya beroperasi pada hari Minggu saja, sehingga rute kereta api Sidomukti pada rute 3 tidak diikutsertakan sebagai rute pilihan. Penulis hanya memperhitungkan rute kereta api komuter yang beroperasi pada hari efektif (Senin-Sabtu) atau yang setiap hari beroperasi. Sedangkan untuk rute kereta api yang dioperasikan pada hari tertentu saja, misalnya pada hari libur atau hari Minggu, tidak digunakan sebagai rute pilihan dalam skripsi ini. Selanjutnya, dapat dijelaskan rute kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta, yaitu rute kereta api komuter dari Stasiun Kutoarjo menuju Stasiun Solo Balapan dan arah sebaliknya yaitu dari Stasiun Solo Balapan menuju Stasiun Kutoarjo, rute kereta api komuter dari Stasiun Yogyakarta menuju Stasiun Solo Balapan dan arah sebaliknya yaitu dari stasiun Solo Balapan menuju Stasiun Yogyakarta, rute kereta api komuter dari Stasiun Madiun menuju Stasiun Yogyakarta dan arah sebaiknya yaitu dari Stasiun Yogyakarta menuju Stasiun Madiun, rute kereta api komuter dari Stasiun Solo Balapan menuju Stasiun Purwokerto dan arah sebaliknya yaitu dari Stasiun Purwokerto menuju Stasiun Solo Balapan, rute kereta api komuter dari Stasiun Purwosari menuju Stasiun Semarang Poncol dan arah sebaliknya yaitu dari Stasiun Semarang Poncol menuju Stasiun Purwosari, serta rute kereta api komuter dari Stasiun Purwosari menuju Stasiun Wonogiri dan arah sebaliknya yaitu dari Stasiun Wonogiri menuju Stasiun Purwosari.


C. Graf Rute Pilihan Bagian ini membuat suatu graf berarah berbobot yang dibentuk berdasarkan rute pilihan kereta api komuter yang telah dijelaskan pada bagian B. Demi alasan kemudahan, maka dibuatlah simbol huruf dan angka yang masing-masing merepresentasikan stasiun transfer, yaitu: A = Stasiun Purwokerto

1 = Stasiun Wates

B = Stasiun Kutoarjo

2 = Stasiun Lempuyangan

C = Stasiun Yogyakarta

3 = Stasiun Klaten

D = Stasiun Solo Balapan

4 = Stasiun Purwosari

E = Stasiun Madiun

5 = Stasiun Sragen

H = Stasiun Semarang Tawang

6 = Stasiun Wonogiri

I = Stasiun Semarang Poncol Dengan mengandaikan bahwa lingkaran adalah stasiun-stasiun dan anak panah sebagai arah perjalanan kereta api komuter dari stasiun keberangkatan menuju stasiun tujuan, didefinisikan rute berikut: 1.

Rute 1: Stasiun Kutoarjo – Stasiun Solo Balapan – Stasiun Kutoarjo.

Gambar 3.C.1 Rute 1 Perjalanan dari Stasiun Kutoarjo menuju Stasiun Solo Balapan menggunakan Kereta Api Prambanan Ekspres (Prameks) dengan nomor keberangkatan kereta api 274, 278, dan 290. Sedangkan untuk perjalanan sebaliknya dari Stasiun Solo Balapan/Stasiun Yogyakarta menuju Stasiun


Kutoarjo menggunakan Kereta Api Prambanan Ekspres dengan nomor keberangkatan kereta api 271, 273, dan 287. 2.

Rute 2: Stasiun Yogyakarta – Stasiun Solo Balapan – Stasiun Yogyakarta.

Gambar 3.C.2 Rute 2 Perjalanan dari Stasiun Yogyakarta menuju Stasiun Solo Balapan menggunakan Kereta Api Prambanan Ekspres (Prameks) dengan nomor keberangkatan kereta api 272, 276, 280, 282, 284, 286, 288, dan menggunakan Kereta Api Madiun Jaya dengan nomor keberangkatan kereta api 256. Sedangkan untuk perjalanan sebaliknya dari Stasiun Solo Balapan menuju Stasiun Yogyakarta menggunakan Kereta Api Prambanan Ekspres dengan nomor keberangkatan kereta api 275, 277, 279, 281, 283, 285, 289, 291, dan menggunakan Kereta Api Madiun Jaya dengan nomor keberangkatan kereta api 255. 3.

Rute 3: Stasiun Madiun – Stasiun Yogyakarta – Stasiun Madiun.

Gambar 3.C.3 Rute 3 Perjalanan dari Stasiun Madiun menuju Stasiun Yogyakarta menggunakan Kereta Api Madiun Jaya dengan nomor keberangkatan kereta api 253. Sedangkan untuk perjalanan sebaliknya dari Stasiun


Yogyakarta menuju Stasiun Madiun menggunakan Kereta Api Madiun Jaya dengan nomor keberangkatan kereta api 254. 4.

Rute 4: Stasiun Solo Balapan – Stasiun Purwokerto – Stasiun Solo Balapan.

Gambar 3.C.4 Rute 4 Perjalanan dari Stasiun Solo Balapan menuju Stasiun Purwokerto menggunakan Kereta Api Joglo Kerto dengan nomor keberangkatan kereta api 10195. Sedangkan untuk perjalanan sebaliknya dari Stasiun Purwokerto menuju Stasiun Solo Balapan menggunakan Kereta Api Joglo Kerto dengan nomor keberangkatan kereta api 10256. 5. Rute 5: Stasiun Purwosari – Stasiun Semarang Poncol – Stasiun Purwosari.

mbar 3.B.5 Rute 4

Gambar 3.C.5 Rute 5 Perjalanan dari Stasiun Purwosari menuju Stasiun Semarang Poncol menggunakan Kereta Api Kalijaga dengan nomor keberangkatan kereta api 218/215. Sedangkan untuk perjalanan sebaliknya dari Stasiun


Semarang Poncol menuju Stasiun Purwosari menggunakan Kereta Api Kalijaga dengan nomor keberangkatan kereta api 217/216. 6. Rute 6: Stasiun Purwosari – Stasiun Wonogiri – Stasiun Purwosari.

Gambar 3.C.6 Rute 6 Perjalanan dari Stasiun Purwosari menuju Stasiun Wonogiri menggunakan Kereta Api Bathara Kresna dengan nomor keberangkatan kereta api 322 dan 324. Sedangkan untuk perjalanan sebaliknya dari Stasiun Wonogiri menuju Stasiun Purwosari menggunakan Kereta Api Bathara Kresna dengan nomor keberangkatan kereta api 321 dan 323.

Berdasarkan keenam rute di atas, dapat dibuat suatu graf berarah berbobot yang merupakan rute kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta yang menghubungkan stasiun-stasiun transfer, yaitu:


Gambar 3.C.7 Graf Rute Kereta Api Komuter di DAOP VI Yogyakarta

Selanjutnya, diberikan data waktu tempuh kereta api komuter yang beroperasi pada keenam rute di atas dan banyaknya kereta yang beroperasi pada sistem tersebut di setiap rute yang ada dengan menggunakan waktu acuan 09.42 WIB. Waktu tempuh yang diberikan dalam tabel di bawah ini merupakan rata-rata total waktu yang dibutuhkan oleh kereta api komuter untuk melakukan sekali perjalanan dari satu stasiun ke stasiun selanjutnya dan diketahui tetap. Waktu tempuh tersebut diperoleh dari selisih antara waktu kedatangan dan waktu keberangkatan kereta api komuter. Data selengkapnya dilihat dalam tabel 3.C.1 berikut.


Tabel 3.C.1 Waktu Tempuh Kereta Api Komuter Waktu

Banyak

Tempuh

KA

Rute

Dari

Tujuan

1

Kutoarjo

Wates

𝑡1 = 36 menit

1

1

Wates

Yogyakarta

𝑡2 = 27 menit

0

1

Yogyakarta

Lempuyangan

𝑡3 = 4 menit

0

1

Lempuyangan

Klaten

𝑡4 = 31 menit

0

1

Klaten

Purwosari

𝑡5 = 28 menit

0

1

Purwosari

Solo Balapan

𝑡6 = 5 menit

0

1

Solo Balapan

Purwosari

𝑡7 = 5 menit

0

1

Purwosari

Klaten

𝑡8 = 28 menit

1

1

Klaten

Lempuyangan

𝑡9 = 31 menit

0

1

Lempuyangan

Yogyakarta

𝑡10 = 4 menit

0

1

Yogyakarta

Wates

𝑡11 = 26 menit

0

1

Wates

Kutoarjo

𝑡12 = 37 menit

0

2

Yogyakarta

Lempuyangan

𝑡13 = 4 menit

0

2

Lempuyangan

Klaten

𝑡14 = 31 menit

1

2

Klaten

Purwosari

𝑡15 = 28 menit

0

2

Purwosari

Solo Balapan

𝑡16 = 5 menit

0

2

Solo Balapan

Purwosari

𝑡17 = 5 menit

0

2

Purwosari

Klaten

𝑡18 = 28 menit

0

2

Klaten

Lempuyangan

𝑡19 = 32 menit

0

2

Lempuyangan

Yogyakarta

𝑡20 = 4 menit

0

3

Madiun

Sragen

𝑡21 = 96 menit

0

3

Sragen

Solo Balapan

𝑡22 = 56 menit

0

3

Solo Balapan

Purwosari

𝑡23 = 5 menit

0

3

Purwosari

Klaten

𝑡24 = 28 menit

0

3

Klaten

Lempuyangan

𝑡25 = 31 menit

0

3

Lempuyangan

Yogyakarta

𝑡26 = 4 menit

1


3

Yogyakarta

Lempuyangan

𝑡27 = 4 menit

0

3

Lempuyangan

Klaten

𝑡28 = 31 menit

0

3

Klaten

Purwosari

𝑡29 = 28 menit

0

3

Purwosari

Solo Balapan

𝑡30 = 5 menit

0

3

Solo Balapan

Sragen

𝑡31 = 47 menit

0

3

Sragen

Madiun

𝑡32 = 118 menit

0

4

Solo Balapan

Purwosari

𝑡33 = 4 menit

0

4

Purwosari

Klaten

𝑡34 = 22 menit

0

4

Klaten

Lempuyangan

𝑡35 = 22 menit

0

4

Lempuyangan

Yogyakarta

𝑡36 = 4 menit

0

4

Yogyakarta

Wates

𝑡37 = 23 menit

0

4

Wates

Kutoarjo

𝑡38 = 32 menit

0

4

Kutoarjo

Purwokerto

𝑡39 = 101 menit

1

4

Purwokerto

Kutoarjo

𝑡40 = 121 menit

0

4

Kutoarjo

Wates

𝑡41 = 32 menit

0

4

Wates

Yogyakarta

𝑡42 = 23 menit

0

4

Yogyakarta

Lempuyangan

𝑡43 = 4 menit

0

4

Lempuyangan

Klaten

𝑡44 = 22 menit

0

4

Klaten

Purwosari

𝑡45 = 22 menit

0

4

Purwosari

Solo Balapan

𝑡46 = 4 menit

0

5

Purwosari

Solo Balapan

𝑡47 = 5 menit

0

5

Solo Balapan

Sem. Tawang

𝑡48 = 160 menit

0

5

Sem. Tawang

Sem. Poncol

𝑡49 = 7 menit

0

5

Sem. Poncol

Sem. Tawang

𝑡50 = 7 menit

0

5

Sem. Tawang

Solo Balapan

𝑡51 = 152 menit

1

5

Solo Balapan

Purwosari

𝑡52 = 5 menit

0

6

Purwosari

Wonogiri

𝑡53 = 105 menit

0

6

Wonogiri

Purwosari

𝑡54 = 105 menit

1


Catatan: Rata- rata waktu tempuh merupakan hasil perhitungan dari total waktu yang diambil dari selisih jadwal waktu kedatangan dan waktu keberangkatan kereta api komuter, dan dari penelitian 2 kereta api komuter Prambanan Ekspres yang beroperasi pada pagi hari pukul 09.10-10.25 dan pada sore hari pada pukul 17.00-18.15 WIB. Sedangkan posisi kereta pada waktu acuan ditentukan dari jadwal kereta api komuter yang sudah ada. Berikut adalah graf berarah berbobot dari sistem jaringan kereta api komuter beserta posisi kereta pada waktu acuan yaitu pukul 09.42 WIB.

Gambar 3.C.8 Graf Rute Sistem Kereta Api Komuter di DAOP VI Yogyakarta pada Waktu Acuan


D. Sinkronisasi Bagian ini menjelaskan tentang aturan sinkronisasi waktu keberangkatan kereta api komuter dari suatu stasiun yang harus menunggu datangnya kereta api komuter lainnya yang menuju ke stasiun tersebut. Hal ini bertujuan untuk menjamin bahwa penumpang dapat berpindah dari suatu kereta pada rute tertentu ke kereta yang lain dengan rute yang berbeda. Berdasarkan graf berarah berbobot yang telah dibuat pada bagian B, maka dapat disusun aturan sinkronisasi kereta api komuter dalam koridor operasi Yogyakarta-Solo untuk keenam rute di atas, sebagai berikut: 1.

Rute 1: Stasiun B – Stasiun 1 – Stasiun C – Stasiun 2 – Stasiun 3 – Stasiun 4 – Stasiun D – Stasiun 4 – Stasiun 3 – Stasiun 2 – Stasiun C – Stasiun 1 – Stasiun B. a.

Keberangkatan kereta api ke-k dari B menuju 1, harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari 1 menuju B pada rute 1 dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari A menuju B pada rute 4 (hal ini karena kereta api di rute 4 tidak berhenti di Stasiun Maguwo, sedangkan kereta api di rute 1 berhenti di Stasiun Maguwo).

b.

Keberangkatan kereta api ke-k dari 1 menuju C, harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari B menuju 1 pada rute 1.


c.

Keberangkatan kereta api ke-k dari C menuju 2, harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-(k – 1) dari 1 menuju C pada rute 1.

d.

Keberangkatan kereta api ke-k dari 2 menuju 3, harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari C menuju 2 pada rute 1.

e.

Keberangkatan kereta api ke-k dari 3 menuju 4, harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari 2 menuju 3 pada rute 1.

f.

Keberangkatan kereta api ke-k dari 4 menuju D, harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari 3 menuju 4 pada rute 1 dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-(k – 1) dari 6 menuju 4 pada rute 6.

g.

Keberangkatan kereta api ke-k dari D menuju 4, harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari 4 menuju D pada rute 1, menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari 5 menuju D pada rute 3, dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-(k – 1) dari F menuju D pada rute 5.

h.

Keberangkatan kereta api ke-k dari 4 menuju 3, harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari D menuju 4 pada rute 1, menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari D menuju 4 pada rute 3, menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari D menuju 4 pada rute 5, dan menunggu


kedatangan kereta api yang berangkat ke-(k – 1) dari 6 menuju 4 pada rute 6. i.

Keberangkatan kereta api ke-k dari 3 menuju 2, harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-(k – 1) dari 4 menuju 3 pada rute 1.

j.

Keberangkatan kereta api ke-k dari 2 menuju C, harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke--k dari 3 menuju 2 pada rute 1.

k.

Keberangkatan kereta api ke-k dari C menuju 1, harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari 2 menuju C pada rute 1, menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari 2 menuju C pada rute 2, dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-(k – 1) dari 2 menuju C pada rute 3.

l.

Keberangkatan kereta api ke-k dari 1 menuju B, harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari C menuju 1 pada rute 1.

2.

Rute 2: Stasiun C – Stasiun 2 – Stasiun 3 – Stasiun 4 – Stasiun D – Stasiun 4 – Stasiun 3 – Stansiun 2 – Stasiun C. a.

Keberangkatan kereta api ke-k dari C menuju 2, harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-(k – 1) dari 1 menuju C pada rute 1 dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari 2 menuju C pada rute 2.

b.

Keberangkatan kereta api ke-k dari 2 menuju 3, harus menunggu


kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari C menuju 2 pada rute 2. c.

Keberangkatan kereta api ke-k dari 3 menuju 4, harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-(k – 1) dari 2 menuju 3 pada rute 2.

d.

Keberangkatan kereta api ke-k dari 4 menuju D, harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari 3 menuju 4 pada rute 2 dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-(k – 1) dari 6 menuju 4 pada rute 6.

e.


f.

Keberangkatan kereta api ke-k dari 4 menuju 3, harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari D menuju 4 pada rute 2, menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari D menuju 4 pada rute 5, dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-(k – 1) dari 6 menuju 4 pada rute 6.

g.


h.

Keberangkatan kereta api ke-k dari 2 menuju C, harus menunggu


kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari 3 menuju 2 pada rute 2. 3.

Rute 3: Stasiun E – Stasiun 5 – Stasiun D - Stasiun 4 – Stasiun 3 – Stasiun 2 – Stasiun C – Stasiun 2 – Stasiun 3 – Stasiun 4 – Stasiun D – Stasiun 5 – Stasiun E. a.

Keberangkatan kereta api ke-k dari E menuju 5, harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari 5 menuju E pada rute 3.

b.

Keberangkatan kereta api ke-k dari 5 menuju D, harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari E menuju 5 pada rute 3.

c.

Keberangkatan kereta api ke-k dari D menuju 4, harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari 5 menuju D pada rute 3 dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-(k – 1) dari F menuju D pada rute 5.

d.

Keberangkatan kereta api ke-k dari 4 menuju 3, harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari D menuju 4 pada rute 3, menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari D menuju 4 pada rute 5, dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-(k – 1) dari 6 menuju 4 pada rute 6.

e.



f.

Keberangkatan kereta api ke-k dari 2 menuju C, harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari 3 menuju 2 pada rute 3.

g.

Keberangkatan kereta api ke-k dari C menuju 2, harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-(k – 1) dari 1 menuju C pada rute 1, menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari 1 menuju C pada rute 4, dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-(k – 1) dari 2 menuju C pada rute 3.

h.


i.


j.

Keberangkatan kereta api ke-k dari 4 menuju D, harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari 3 menuju 4 pada rute 1, menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari 3 menuju 4 pada rute 2, menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari 3 menuju 4 pada rute 3, menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari 3 menuju 4 pada rute 4, dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-(k – 1) dari 6 menuju 4 pada rute 6.

k.

Keberangkatan kereta api ke-k dari D menuju 5, harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari 4 menuju D pada rute


1, menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari 4 menuju D pada rute 2, menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari 4 menuju D pada rute 3, menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari 4 menuju D pada rute 4, dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-(k – 1) dari F menuju D pada rute 5. l.

Keberangkatan kereta api ke-k dari 5 menuju E, harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari D menuju 5 pada rute 3.

4.

Rute 4: Stasiun D – Stasiun 4 – Stasiun 3 – Stasiun 2 – Stasiun C – Stasiun 1 – Stasiun B – Stasiun A – Stasiun B – Stasiun 1 – Stasiun C – Stasiun 2 – Stasiun 3 – Stasiun 4 – Stasiun D. a.


b.

Keberangkatan kereta api ke-k dari 4 menuju 3, harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari D menuju 4 pada rute 1, menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari D menuju 4 pada rute 2, menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari D menuju 4 pada rute 3, menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari D menuju 4 pada rute 4, menunggu


kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari D menuju 4 pada rute 5, dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-(k – 1) dari 6 menuju 4 pada rute 6. c.


d.

Keberangkatan kereta api ke-k dari 2 menuju C, harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari 3 menuju 2 pada rute 4.

e.

Keberangkatan kereta api ke-k dari C menuju 1, harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari 2 menuju C pada rute 1, menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari 2 menuju C pada rute 2, menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-(k – 1) dari 2 menuju C pada rute 3, dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari 2 menuju C pada rute 4.

f.

Keberangkatan kereta api ke-k dari 1 menuju B, harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari C menuju 1 pada rute 4.

g.

Keberangkatan kereta api ke-k dari B menuju A, harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari 1 menuju B pada rute 4.

h.

Keberangkatan kereta api ke-k dari A menuju B, harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-(k - 1) dari B menuju A pada


rute 4. i.

Keberangkatan kereta api ke-k dari B menuju 1, harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari A menuju B pada rute 4.

j.

Keberangkatan kereta api ke-k dari 1 menuju C, harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari B menuju 1 pada rute 4.

k.

Keberangkatan kereta api ke-k dari C menuju 2, harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari 1 menuju C pada rute 4.

l.


m. Keberangkatan kereta api ke-k dari 3 menuju 4, harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari 2 menuju 3 pada rute 4. n.

Keberangkatan kereta api ke-k dari 4 menuju D, harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari 3 menuju 4 pada rute 4.

5.

Rute 5: Stasiun 4 – Stasiun D – Stasiun F – Stasiun G – Stasiun F – Stasiun D – Stasiun 4. a.

Keberangkatan kereta api ke-k dari 4 menuju D, harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari 3 menuju 4 pada rute


1, menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari 3 menuju 4 pada rute 2, menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari 3 menuju 4 pada rute 3, menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari 3 menuju 4 pada rute 4, menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari D menuju 4 pada rute 1, menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari D menuju 4 pada rute 2, menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari D menuju 4 pada rute 3, menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari D menuju 4 pada rute 4, menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari D menuju 4 pada rute 5, dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-(k – 1) dari 6 menuju 4 pada rute 6. b.

Keberangkatan kereta api ke-k dari D menuju F, harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari 4 menuju D pada rute 5.

c.

Keberangkatan kereta api ke-k dari F menuju G, harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari D menuju F pada rute 5.

d.

Keberangkatan kereta api ke-k dari G menuju F, harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari F menuju G pada rute 5.

e.

Keberangkatan kereta api ke-k dari F menuju D, harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari G menuju F pada rute.


f.

Keberangkatan kereta api ke-k dari D menuju 4, harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-(k – 1) dari F menuju D pada rute 5.

6.

Rute 6: Stasiun 4 – Stasiun 6 – Stasiun 4. a.

Keberangkatan kereta api ke-k dari 4 menuju D, harus menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari 3 menuju 4 pada rute 1, menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari 3 menuju 4 pada rute 2, menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari 3 menuju 4 pada rute 3, menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari 3 menuju 4 pada rute 4, menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari D menuju 4 pada rute 1, menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari D menuju 4 pada rute 2, menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari D menuju 4 pada rute 3, menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari D menuju 4 pada rute 4, menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-k dari D menuju 4 pada rute 5, dan menunggu kedatangan kereta api yang berangkat ke-(k – 1) dari 6 menuju 4 pada rute 6.

b.



E. Model Aljabar Max-Plus Berdasarkan informasi yang telah diberikan dalam Tabel 3.C.1, aturan sinkronisasi dan berdasarkan sistem matriks di ℝmax , maka pada bagian ini dibuat suatu model sistem jaringan kereta api komuter dalam koridor operasi Yogyakarta – Solo dengan menggunakan ℝmax . Berikut adalah tahap awal dalam proses memodelkan, yaitu mendefinisikan variabel untuk setiap busur yang menghubungkan stasiun satu dengan stasiun yang lain pada keenam rute yang ditetapkan di atas. Tabel 3.E.1 Definisi Variabel Kereta Api Komuter Variabel

Definisi Keberangkatan Kereta Api Komuter dari:

𝑥1 (k – 1)

B menuju 1 pada saat ke-(k – 1) di rute 1

𝑥2 (k – 1)

1 menuju C pada saat ke-(k – 1) di rute 1

𝑥3 (k – 1)

C menuju 2 pada saat ke-(k – 1) di rute 1

𝑥4 (k – 1)

2 menuju 3 pada saat ke-(k – 1) di rute 1

𝑥5 (k – 1)


𝑥6 (k – 1)

4 menuju D pada saat ke-(k – 1) di rute 1

𝑥7 (k – 1)

D menuju 4 pada saat ke-(k – 1) di rute 1

𝑥8 (k – 1)


𝑥9 (k – 1)


𝑥10 (k – 1)


𝑥11 (k – 1)


𝑥12 (k – 1)


𝑥13 (k – 1)


𝑥14 (k – 1)


𝑥15 (k – 1)


𝑥16 (k – 1)



𝑥17 (k – 1)


𝑥18 (k – 1)


𝑥19 (k – 1)


𝑥20 (k – 1)


𝑥21 (k – 1)

E menuju 5 pada saat ke-(k – 1) di rute 3

𝑥22 (k – 1)


𝑥23 (k – 1)


𝑥24 (k – 1)


𝑥25 (k – 1)


𝑥26 (k – 1)


𝑥27 (k – 1)


𝑥28 (k – 1)


𝑥29 (k – 1)


𝑥30 (k – 1) 𝑥31 (k – 1)


𝑥32 (k – 1)

5 menuju E pada saat ke-(k – 1) di rute 3

𝑥33 (k – 1)


𝑥34 (k – 1)


𝑥35 (k – 1)


𝑥36 (k – 1)


𝑥37 (k – 1)


𝑥38 (k – 1)


𝑥39 (k – 1)

B menuju A pada saat ke-(k – 1) di rute 4

𝑥40 (k – 1)

A menuju B pada saat ke-(k – 1) di rute 4

𝑥41 (k – 1)

B menuju 1 pada saat ke-(k – 1) di rute 4

𝑥42 (k – 1)


𝑥43 (k – 1)


𝑥44 (k – 1)


𝑥45 (k – 1)


𝑥46 (k – 1)




𝑥47 (k – 1)


𝑥48 (k – 1)

D menuju F pada saat ke-(k – 1) di rute 5

𝑥49 (k – 1)

F menuju G pada saat ke-(k – 1) di rute 5

𝑥50 (k – 1)

G menuju F pada saat ke-(k – 1) di rute 5

𝑥51 (k – 1)

F menuju D pada saat ke-(k – 1) di rute 5

𝑥52 (k – 1)


𝑥53 (k – 1)


𝑥54 (k – 1)


Berdasarkan data pada Tabel 3.C.1 dan Tabel 3.E.1 di atas, maka dapat disusun model aljabar max-plus dari setiap rute yang telah ditentukan sebelum sinkronisasi, yaitu setiap keberangkatan 𝑥𝑖 kereta api ke-k dengan 𝑖 = 1, 2, … , 54 dan 𝑘 = 1, 2, 3, … harus menunggu kedatangan kereta api sebelumnya atau ke-(𝑘 − 1) dengan waktu tempuh 𝑡𝑖 , pada masing – masing rute. Rute 1 𝑥1 (𝑘) = 𝑡12 ⊗ 𝑥12 (𝑘) = 𝑡12 ⊗ 𝑡11 ⊗ 𝑡10 ⊗ 𝑡9 ⊗ 𝑡8 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) = 126 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) 𝑥2 (𝑘) = 𝑡1 ⊗ 𝑥1 (𝑘) = 𝑡1 ⊗ 𝑡12 ⊗ 𝑡11 ⊗ 𝑡10 ⊗ 𝑡9 ⊗ 𝑡8 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) = 162 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) 𝑥3 (𝑘) = 𝑡2 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) = 27 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1)


𝑥4 (𝑘) = 𝑡3 ⊗ 𝑥3 (𝑘) = 𝑡3 ⊗ 𝑡2 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) = 31 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) 𝑥5 (𝑘) = 𝑡4 ⊗ 𝑥4 (𝑘) = 𝑡4 ⊗ 𝑡3 ⊗ 𝑡2 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) = 62 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) 𝑥6 (𝑘) = 𝑡5 ⊗ 𝑥5 (𝑘) = 𝑡5 ⊗ 𝑡4 ⊗ 𝑡3 ⊗ 𝑡2 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) = 90 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) 𝑥7 (𝑘) = 𝑡6 ⊗ 𝑥6 (𝑘) = 𝑡6 ⊗ 𝑡5 ⊗ 𝑡4 ⊗ 𝑡3 ⊗ 𝑡2 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) = 95 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) 𝑥8 (𝑘) = 𝑡7 ⊗ 𝑥7 (𝑘) = 𝑡7 ⊗ 𝑡6 ⊗ 𝑡5 ⊗ 𝑡4 ⊗ 𝑡3 ⊗ 𝑡2 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) = 100 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) 𝑥9 (𝑘) = 𝑡8 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) = 28 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) 𝑥10 (𝑘) = 𝑡9 ⊗ 𝑥9 (𝑘) = 𝑡9 ⊗ 𝑡8 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) = 59 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) 𝑥11 (𝑘) = 𝑡10 ⊗ 𝑥10 (𝑘) =⊗ 𝑡10 ⊗ 𝑡9 ⊗ 𝑡8 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) = 63 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1)


𝑥12 (𝑘) = 𝑡11 ⊗ 𝑥11 (𝑘) = 𝑡11 ⊗ 𝑡10 ⊗ 𝑡9 ⊗ 𝑡8 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) = 89 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1)

Rute 2 𝑥13 (𝑘) = 𝑡20 ⊗ 𝑥20 (𝑘) = 𝑡20 ⊗ 𝑡19 ⊗ 𝑡18 ⊗ 𝑡17 ⊗ 𝑡16 ⊗ 𝑡15 ⊗ 𝑡14 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) = 133 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) 𝑥14 (𝑘) = 𝑡13 ⊗ 𝑥13 (𝑘) = 𝑡13 ⊗ 𝑡20 ⊗ 𝑡19 ⊗ 𝑡18 ⊗ 𝑡17 ⊗ 𝑡16 ⊗ 𝑡15 ⊗ 𝑡14 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) = 137 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) 𝑥15 (𝑘) = 𝑡14 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) = 31 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) 𝑥16 (𝑘) = 𝑡15 ⊗ 𝑥15 (𝑘) = 𝑡15 ⊗ 𝑡14 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) = 59 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) 𝑥17 (𝑘) = 𝑡16 ⊗ 𝑥16 (𝑘) = 𝑡16 ⊗ 𝑡15 ⊗ 𝑡14 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) = 64 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) 𝑥18 (𝑘) = 𝑡17 ⊗ 𝑥17 (𝑘) = 𝑡17 ⊗ 𝑡16 ⊗ 𝑡15 ⊗ 𝑡14 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) = 69 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1)


𝑥19 (𝑘) = 𝑡18 ⊗ 𝑥18 (𝑘) = 𝑡18 ⊗ 𝑡17 ⊗ 𝑡16 ⊗ 𝑡15 ⊗ 𝑡14 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) = 97 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) 𝑥20 (𝑘) = 𝑡19 ⊗ 𝑥19 (𝑘) = 𝑡19 ⊗ 𝑡18 ⊗ 𝑡17 ⊗ 𝑡16 ⊗ 𝑡15 ⊗ 𝑡14 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) = 129 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1)

Rute 3 𝑥21 (𝑘) = 𝑡32 ⊗ 𝑥32 (𝑘) = 𝑡32 ⊗ 𝑡31 ⊗ 𝑡30 ⊗ 𝑡29 ⊗ 𝑡28 ⊗ 𝑡27 ⊗ 𝑡26 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) = 237 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) 𝑥22 (𝑘) = 𝑡21 ⊗ 𝑥21 (𝑘) = 𝑡21 ⊗ 𝑡32 ⊗ 𝑡31 ⊗ 𝑡30 ⊗ 𝑡29 ⊗ 𝑡28 ⊗ 𝑡27 ⊗ 𝑡26 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) = 333 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) 𝑥23 (𝑘) = 𝑡22 ⊗ 𝑥22 (𝑘) = 𝑡22 ⊗ 𝑡21 ⊗ 𝑡32 ⊗ 𝑡31 ⊗ 𝑡30 ⊗ 𝑡29 ⊗ 𝑡28 ⊗ 𝑡27 ⊗ 𝑡26 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) = 389 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) 𝑥24 (𝑘) = 𝑡23 ⊗ 𝑥23 (𝑘) = 𝑡23 ⊗ 𝑡22 ⊗ 𝑡21 ⊗ 𝑡32 ⊗ 𝑡31 ⊗ 𝑡30 ⊗ 𝑡29 ⊗ 𝑡28 ⊗ 𝑡27 ⊗ 𝑡26 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) = 394 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1)


𝑥25 (𝑘) = 𝑡24 ⊗ 𝑥24 (𝑘) = 𝑡24 ⊗ 𝑡23 ⊗ 𝑡22 ⊗ 𝑡21 ⊗ 𝑡32 ⊗ 𝑡31 ⊗ 𝑡30 ⊗ 𝑡29 ⊗ 𝑡28 ⊗ 𝑡27 ⊗ 𝑡26 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) = 422 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) 𝑥26 (𝑘) = 𝑡25 ⊗ 𝑥25 (𝑘) = 𝑡25 ⊗ 𝑡24 ⊗ 𝑡23 ⊗ 𝑡22 ⊗ 𝑡21 ⊗ 𝑡32 ⊗ 𝑡31 ⊗ 𝑡30 ⊗ 𝑡29 ⊗ 𝑡28 ⊗ 𝑡27 ⊗ 𝑡26 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) = 453 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) 𝑥27 (𝑘) = 𝑡26 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) = 4 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) 𝑥28 (𝑘) = 𝑡27 ⊗ 𝑥27 (𝑘) = 𝑡27 ⊗ 𝑡26 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) = 8 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) 𝑥29 (𝑘) = 𝑡28 ⊗ 𝑥28 (𝑘) = 𝑡28 ⊗ 𝑡27 ⊗ 𝑡26 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) = 39 ⊗ 𝑥26 (𝑘𝑘 − 1) 𝑥30 (𝑘) = 𝑡29 ⊗ 𝑥29 (𝑘) = 𝑡29 ⊗ 𝑡28 ⊗ 𝑡27 ⊗ 𝑡26 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) = 67 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) 𝑥31 (𝑘) = 𝑡30 ⊗ 𝑥30 (𝑘) = 𝑡30 ⊗ 𝑡29 ⊗ 𝑡28 ⊗ 𝑡27 ⊗ 𝑡26 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) = 72 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1)


𝑥32 (𝑘) = 𝑡31 ⊗ 𝑥31 (𝑘) = 𝑡31 ⊗ 𝑡30 ⊗ 𝑡29 ⊗ 𝑡28 ⊗ 𝑡27 ⊗ 𝑡26 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) = 119 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1)

Rute 4 𝑥33 (𝑘) = 𝑡46 ⊗ 𝑥46 (𝑘) = 𝑡46 ⊗ 𝑡45 ⊗ 𝑡44 ⊗ 𝑡43 ⊗ 𝑡42 ⊗ 𝑡41 ⊗ 𝑡40 ⊗ 𝑡39 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) = 329 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) 𝑥34 (𝑘) = 𝑡33 ⊗ 𝑥33 (𝑘) = 𝑡33 ⊗ 𝑡46 ⊗ 𝑡45 ⊗ 𝑡44 ⊗ 𝑡43 ⊗ 𝑡42 ⊗ 𝑡41 ⊗ 𝑡40 ⊗ 𝑡39 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) = 333 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) 𝑥35 (𝑘) = 𝑡34 ⊗ 𝑥34 (𝑘) = 𝑡34 ⊗ 𝑡33 ⊗ 𝑡46 ⊗ 𝑡45 ⊗ 𝑡44 ⊗ 𝑡43 ⊗ 𝑡42 ⊗ 𝑡41 ⊗ 𝑡40 ⊗ 𝑡39 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) = 355 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) 𝑥36 (𝑘) = 𝑡35 ⊗ 𝑥35 (𝑘) = 𝑡35 ⊗ 𝑡34 ⊗ 𝑡33 ⊗ 𝑡46 ⊗ 𝑡45 ⊗ 𝑡44 ⊗ 𝑡43 ⊗ 𝑡42 ⊗ 𝑡41 ⊗ 𝑡40 ⊗ 𝑡39 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) = 377 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) 𝑥37 (𝑘) = 𝑡36 ⊗ 𝑥36 (𝑘) = 𝑡36 ⊗ 𝑡35 ⊗ 𝑡34 ⊗ 𝑡33 ⊗ 𝑡46 ⊗ 𝑡45 ⊗ 𝑡44 ⊗ 𝑡43 ⊗ 𝑡42 ⊗ 𝑡41 ⊗ 𝑡40 ⊗ 𝑡39 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1)


= 381 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) 𝑥38 (𝑘) = 𝑡37 ⊗ 𝑥37 (𝑘) = 𝑡37 ⊗ 𝑡36 ⊗ 𝑡35 ⊗ 𝑡34 ⊗ 𝑡33 ⊗ 𝑡46 ⊗ 𝑡45 ⊗ 𝑡44 ⊗ 𝑡43 ⊗ 𝑡42 ⊗ 𝑡41 ⊗ 𝑡40 ⊗ 𝑡39 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) = 404 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) 𝑥39 (𝑘) = 𝑡38 ⊗ 𝑥38 (𝑘) = 𝑡38 ⊗ 𝑡37 ⊗ 𝑡36 ⊗ 𝑡35 ⊗ 𝑡34 ⊗ 𝑡33 ⊗ 𝑡46 ⊗ 𝑡45 ⊗ 𝑡44 ⊗ 𝑡43 ⊗ 𝑡42 ⊗ 𝑡41 ⊗ 𝑡40 ⊗ 𝑡39 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) = 436 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) 𝑥40 (𝑘) = 𝑡39 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) = 101 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) 𝑥41 (𝑘) = 𝑡40 ⊗ 𝑥40 (𝑘) = 𝑡40 ⊗ 𝑡39 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) = 222 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) 𝑥42 (𝑘) = 𝑡41 ⊗ 𝑥41 (𝑘) = 𝑡41 ⊗ 𝑡40 ⊗ 𝑡39 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) = 254 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) 𝑥43 (𝑘) = 𝑡42 ⊗ 𝑥42 (𝑘) = 𝑡42 ⊗ 𝑡41 ⊗ 𝑡40 ⊗ 𝑡39 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) = 277 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) 𝑥44 (𝑘) = 𝑡43 ⊗ 𝑥43 (𝑘) = 𝑡43 ⊗ 𝑡42 ⊗ 𝑡41 ⊗ 𝑡40 ⊗ 𝑡39 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) = 281 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1)


𝑥45 (𝑘) = 𝑡44 ⊗ 𝑥44 (𝑘) = 𝑡44 ⊗ 𝑡43 ⊗ 𝑡42 ⊗ 𝑡41 ⊗ 𝑡40 ⊗ 𝑡39 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) = 303 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) 𝑥46 (𝑘) = 𝑡45 ⊗ 𝑥45 (𝑘) = 𝑡45 ⊗ 𝑡44 ⊗ 𝑡43 ⊗ 𝑡42 ⊗ 𝑡41 ⊗ 𝑡40 ⊗ 𝑡39 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) = 325 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1)

Rute 5 𝑥47 (𝑘) = 𝑡52 ⊗ 𝑥52 (𝑘) = 𝑡52 ⊗ 𝑡51 ⊗ 𝑥51 (𝑘𝑘 − 1) = 157 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) 𝑥48 (𝑘) = 𝑡47 ⊗ 𝑥47 (𝑘) = 𝑡47 ⊗ 𝑡52 ⊗ 𝑡51 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) = 162 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) 𝑥49 (𝑘) = 𝑡48 ⊗ 𝑥48 (𝑘) = 𝑡48 ⊗ 𝑡47 ⊗ 𝑡52 ⊗ 𝑡51 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) = 322 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) 𝑥50 (𝑘) = 𝑡49 ⊗ 𝑥49 (𝑘) = 𝑡49 ⊗ 𝑡48 ⊗ 𝑡47 ⊗ 𝑡52 ⊗ 𝑡51 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) = 329 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) 𝑥51 (𝑘) = 𝑡50 ⊗ 𝑥50 (𝑘) = 𝑡50 ⊗ 𝑡49 ⊗ 𝑡48 ⊗ 𝑡47 ⊗ 𝑡52 ⊗ 𝑡51 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) = 336 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1)


𝑥52 (𝑘) = 𝑡51 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) = 152 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1)

Rute 6 𝑥53 (𝑘) = 𝑡54 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) = 105 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥54 (𝑘) = 𝑡53 ⊗ 𝑥53 (𝑘) = 𝑡53 ⊗ 𝑡54 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) = 210 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)

Kemudian, berdasarkan aturan sinkronisasi yang telah disusun pada bagian D, dapat disusun model aljabar max-plus dari keenam rute yang telah ditentukan (Lampiran 1-9), yaitu: 𝑥1 (𝑘) = 𝑡12 ⊗ 𝑥12 (𝑘) ⊕ 𝑡40 ⊗ 𝑥40 (𝑘) = 544 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 126 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) ⊕ 513 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 521 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 794 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 601 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 559 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥2 (𝑘) = 𝑡1 ⊗ 𝑥1 (𝑘) = 580 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 162 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) ⊕ 549 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 557 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 830 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 637 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 595 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥3 (𝑘) = 𝑡2 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) = 27 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1)


𝑥4 (𝑘) = 𝑡3 ⊗ 𝑥3 (𝑘) = 31 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) 𝑥5 (𝑘) = 𝑡4 ⊗ 𝑥4 (𝑘) = 62 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) 𝑥6 (𝑘) = 𝑡5 ⊗ 𝑥5 (𝑘) ⊕ 𝑡54 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) = 90 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 105 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥7 (𝑘) = 𝑡6 ⊗ 𝑥6 (𝑘) ⊕ 𝑡22 ⊗ 𝑥22 (𝑘) ⊕ 𝑡51 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) = 412 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 381 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 389 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 662 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 469 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 427 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥8 (𝑘) = 𝑡7 ⊗ 𝑥7 (𝑘) ⊕ 𝑡23 ⊗ 𝑥23 (𝑘) ⊕ 𝑡52 ⊗ 𝑥52 (𝑘) ⊕ 𝑡54 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) = 417 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 386 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 394 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 667 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 474 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 432 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥9 (𝑘) = 𝑡8 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) = 28 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) 𝑥10 (𝑘) = 𝑡9 ⊗ 𝑥9 (𝑘) = 59 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) 𝑥11 (𝑘) = 𝑡10 ⊗ 𝑥10 (𝑘) ⊕ 𝑡20 ⊗ 𝑥20 (𝑘) ⊕ 𝑡26 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) = 481 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 63 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) ⊕ 450 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 458 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 731 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 538 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 496 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)


𝑥12 (𝑘) = 𝑡11 ⊗ 𝑥11 (𝑘) = 507 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 89 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) ⊕ 476 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 484 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 757 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 564 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 522 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥13 (𝑘) = 𝑡2 ⊗ 𝑥2 (𝑘) ⊕ 𝑡20 ⊗ 𝑥20 (𝑘) = 607 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 189 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) ⊕ 576 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 584 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 857 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 664 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 622 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥14 (𝑘) = 𝑡13 ⊗ 𝑥13 (𝑘) = 611 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 193 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) ⊕ 580 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 588 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 861 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 668 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 626 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥15 (𝑘) = 𝑡14 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) = 31 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) 𝑥16 (𝑘) = 𝑡15 ⊗ 𝑥15 (𝑘) ⊕ 𝑡54 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) = 59 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 105 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥17 (𝑘) = 𝑡16 ⊗ 𝑥16 (𝑘) ⊕ 𝑡22 ⊗ 𝑥22 (𝑘) ⊕ 𝑡51 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) = 412 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 381 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 389 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 662 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 469 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 427 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥18 (𝑘) = 𝑡17 ⊗ 𝑥17 (𝑘) ⊕ 𝑡52 ⊗ 𝑥52 (𝑘) ⊕ 𝑡54 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) = 417 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 386 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 394 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 667 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 474 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 432 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)


𝑥19 (𝑘) = 𝑡18 ⊗ 𝑥18 (𝑘) = 445 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 414 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 422 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 695 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 502 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 460 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥20 (𝑘) = 𝑡19 ⊗ 𝑥19 (𝑘) = 477 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 446 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 454 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 727 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 534 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 492 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥21 (𝑘) = 𝑡32 ⊗ 𝑥32 (𝑘) = 260 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 229 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 237 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 510 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 317 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 275 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥22 (𝑘) = 𝑡21 ⊗ 𝑥21 (𝑘) = 356 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 325 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 333 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 606 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 413 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 371 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥23 (𝑘) = 𝑡22 ⊗ 𝑥22 (𝑘) ⊕ 𝑡51 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) = 412 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 381 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 389 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 662 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 469 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 427 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥24 (𝑘) = 𝑡23 ⊗ 𝑥23 (𝑘) ⊕ 𝑡52 ⊗ 𝑥52 (𝑘) ⊕ 𝑡54 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) = 417 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 386 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 394 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 667 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 474 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 432 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥25 (𝑘) = 𝑡24 ⊗ 𝑥24 (𝑘) = 445 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 414 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 422 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 695 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 502 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 460 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)


𝑥26 (𝑘) = 𝑡25 ⊗ 𝑥25 (𝑘) = 476 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 445 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 453 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 726 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 533 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 491 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥27 (𝑘) = 𝑡2 ⊗ 𝑥2 (𝑘) ⊕ 𝑡26 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 𝑡42 ⊗ 𝑥42 (𝑘) = 27 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 4 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 277 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) 𝑥28 (𝑘) = 𝑡27 ⊗ 𝑥27 (𝑘) = 31 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 8 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 281 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) 𝑥29 (𝑘) = 𝑡28 ⊗ 𝑥28 (𝑘) = 62 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 39 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 312 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) 𝑥30 (𝑘) = 𝑡5 ⊗ 𝑥5 (𝑘) ⊕ 𝑡15 ⊗ 𝑥15 (𝑘) ⊕ 𝑡29 ⊗ 𝑥29 (𝑘) ⊕ 𝑡45 ⊗ 𝑥45 (𝑘) ⊕ 𝑡54 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) = 90 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 59 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 67 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 340 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 105 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥31 (𝑘) = 𝑡6 ⊗ 𝑥6 (𝑘) ⊕ 𝑡16 ⊗ 𝑥16 (𝑘) ⊕ 𝑡30 ⊗ 𝑥30 (𝑘) ⊕ 𝑡46 ⊗ 𝑥46 (𝑘) ⊕ 𝑡51 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) = 95 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 64 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 72 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 345 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 152 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 110 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥32 (𝑘) = 𝑡31 ⊗ 𝑥31 (𝑘) = 142 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 111 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 119 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 392 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 199 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 157 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)


𝑥33 (𝑘) = 𝑡22 ⊗ 𝑥22 (𝑘) ⊕ 𝑡46 ⊗ 𝑥46 (𝑘) ⊕ 𝑡51 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) = 412 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 381 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 389 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 662 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 469 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 427 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥34 (𝑘) = 𝑡7 ⊗ 𝑥7 (𝑘) ⊕ 𝑡17 ⊗ 𝑥17 (𝑘) ⊕ 𝑡23 ⊗ 𝑥23 (𝑘) ⊕ 𝑡33 ⊗ 𝑥33 (𝑘) ⊕ 𝑡52 ⊗ 𝑥52 (𝑘) ⊕ 𝑡54 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) = 417 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 386 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 394 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 667 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 474 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 432 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥35 (𝑘) = 𝑡34 ⊗ 𝑥34 (𝑘) = 439 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 408 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 416 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 689 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 496 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 454 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥36 (𝑘) = 𝑡35 ⊗ 𝑥35 (𝑘) = 461 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 430 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 438 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 711 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 518 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 476 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥37 (𝑘) = 𝑡10 ⊗ 𝑥10 (𝑘) ⊕ 𝑡20 ⊗ 𝑥20 (𝑘) ⊕ 𝑡26 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 𝑡36 ⊗ 𝑥36 (𝑘) = 481 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 63 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) ⊕ 450 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 458 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 731 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 622 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 496 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥38 (𝑘) = 𝑡37 ⊗ 𝑥37 (𝑘) = 504 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 86 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) ⊕ 473 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 481 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 754 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 645 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 519 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)


𝑥39 (𝑘) = 𝑡38 ⊗ 𝑥38 (𝑘) = 536 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 118 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) ⊕ 505 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 513 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 786 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 677 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 551 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥40 (𝑘) = 𝑡39 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) = 101 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) 𝑥41 (𝑘) = 𝑡40 ⊗ 𝑥40 (𝑘) = 222 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) 𝑥42 (𝑘) = 𝑡41 ⊗ 𝑥41 (𝑘) = 254 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) 𝑥43 (𝑘) = 𝑡42 ⊗ 𝑥42 (𝑘) = 277 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) 𝑥44 (𝑘) = 𝑡43 ⊗ 𝑥43 (𝑘) = 281 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) 𝑥45 (𝑘) = 𝑡44 ⊗ 𝑥44 (𝑘) = 303 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) 𝑥46 (𝑘) = 𝑡45 ⊗ 𝑥45 (𝑘) ⊕ 𝑡54 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) = 325 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 105 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥47 (𝑘) = 𝑡5 ⊗ 𝑥5 (𝑘) ⊕ 𝑡7 ⊗ 𝑥7 (𝑘) ⊕ 𝑡15 ⊗ 𝑥15 (𝑘) ⊕ 𝑡17 ⊗ 𝑥17 (𝑘) ⊕ 𝑡23 ⊗ 𝑥23 (𝑘) ⊕ 𝑡29 ⊗ 𝑥29 (𝑘) ⊕ 𝑡33 ⊗ 𝑥33 (𝑘) ⊕ 𝑡45 ⊗ 𝑥45 (𝑘) ⊕ 𝑡52 ⊗ 𝑥52 (𝑘) ⊕ 𝑡54 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) = 417 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 386 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 394 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 667 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 474 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 432 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)


𝑥48 (𝑘) = 𝑡47 ⊗ 𝑥47 (𝑘) = 422 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 391 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 399 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 672 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 479 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 437 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥49 (𝑘) = 𝑡48 ⊗ 𝑥48 (𝑘) = 582 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 551 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 559 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 832 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 639 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 597 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥50 (𝑘) = 𝑡49 ⊗ 𝑥49 (𝑘) = 589 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 558 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 566 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 839 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 646 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 604 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥51 (𝑘) = 𝑡50 ⊗ 𝑥50 (𝑘) = 596 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 565 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 573 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 846 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 653 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 611 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥52 (𝑘) = 𝑡51 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) = 152 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) 𝑥53 (𝑘) = 𝑡5 ⊗ 𝑥5 (𝑘) ⊕ 𝑡7 ⊗ 𝑥7 (𝑘) ⊕ 𝑡15 ⊗ 𝑥15 (𝑘) ⊕ 𝑡17 ⊗ 𝑥17 (𝑘) ⊕ 𝑡23 ⊗ 𝑥23 (𝑘) ⊕ 𝑡29 ⊗ 𝑥29 (𝑘) ⊕ 𝑡33 ⊗ 𝑥33 (𝑘) ⊕ 𝑡45 ⊗ 𝑥45 (𝑘) ⊕ 𝑡52 ⊗ 𝑥52 (𝑘) ⊕ 𝑡54 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) = 417 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 386 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 394 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 667 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 474 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 432 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥54 (𝑘) = 𝑡53 ⊗ 𝑥53 (𝑘) = 522 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 491 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 499 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 772 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 579 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 537 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)


Jika 𝑥𝑖 (𝑘), 𝑖 = 1,2,3, … ,54 adalah keberangkatan kereta api komuter ke−(𝑘 – 1) dari setiap keberangkatan yang telah dijelaskan pada Tabel 3.E.1, maka persamaan-persamaan di atas dapat dinyatakan dalam model umum ℝmax

yaitu

𝑥(𝑘) = 𝐴 ⊗ 𝑥(𝑘 − 1)

untuk

𝑘 = 1, 2, 3, …

dan

𝑥(𝑘 − 1) = (𝑥1 (𝑘 − 1), 𝑥2 (𝑘 − 1), … 𝑥54 (𝑘 − 1)), dengan 𝐴 (Lampiran 10) adalah matriks yang berukuran 54 × 54 dan vektor 𝑥(𝑘 − 1) adalah waktu keberangkatan yang ke−(𝑘 – 1) dari semua kereta api. Untuk memudahkan penulisan, elemen-elemen matriks 𝐴 yang sama dengan ɛ dituliskan sebagai ɛ=.


BAB IV ANALISIS PENJADWALAN KERETA API

A. Menghitung Nilai Eigen dan Vektor Eigen Bab ini menganalisa matriks 𝐴 yang diperoleh dari model matematika dari rute pilihan yang menghubungkan stasiun-stasiun transfer. Analisa ini dilakukan dengan cara menghitung nilai eigen dan vektor eigen dari matriks 𝐴. Kemudian, berdasarkan nilai eigen dan vektor eigen tersebut dibuat suatu desain penjadwalan keberangkatan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta. Dalam skripsi ini, untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks 𝐴 digunakan bantuan aplikasi dari program MATLAB (Lampiran 11). Dengan menggunakan program tersebut, diperoleh bahwa matriks 𝐴 tidak iredusibel (tereduksi), hal ini dikarenakan tidak terdapat kereta api di setiap busur atau arc, yang mengakibatkan matriks terlihat seperti tidak terhubung kuat. Matriks tidak iredusibel memiliki arti bahwa nilai eigennya mungkin tidak tunggal. Berdasarkan hasil komputasi dengan program MATLAB, didapatkan nilai eigen maksimum yaitu 𝜆(𝐴) = 786 dan vektor eigen matriks 𝐴 yang berukuran 1 × 54, yaitu:

100


8 44 -715 -711 -680 -652 -124 -119 -877 -846

-55 -29 71 75 -680 -652 -124 -119 -91 -59

-276 -180 -124 -119 -91 -60 -509 -505 -474 -446

-441 -394 -124 -119 -97 -75 -55 -32 0 -685

-564 -532 -509 -505 -483 -461 -119 -114 46 53

60 -574 -119 -14

Berdasarkan hasil komputasi, terlihat bahwa matriks 𝐴 memiliki nilai eigen yaitu 𝜆(𝐴) = 786. Nilai eigen dalam penelitian ini diartikan sebagai periode keberangkatan kereta api di setiap stasiun asal adalah setiap 𝜆(𝐴) sekali, yaitu setiap 786 menit sekali atau 13 jam 6 menit sekali. Karena jadwal keberangkatan kereta api adalah periodik, maka dapat disusun jadwal keberangkatan kereta dengan menggunakan vektor eigen matriks A sebagai keadaan awal. Untuk mempermudah penyusunan jadwal Keberangkatan awal kereta api komuter, maka didefinisikan vektor keberangkatan awal yang baru yaitu 𝒗’ sebagai berikut. 𝒗′ = 𝒗 ⊗ (− min(𝒗)) Dengan min(𝒗) = min1≤𝑖≤54 [𝒗]𝑖,1 Sehingga diperoleh vektor akhir keberangkatan 𝒗’ yang berukuran 1 × 54 adalah:


885 921 162 166 197 225 753 758 0 31

822 848 948 952 197 225 753 758 786 818

601 697 753 758 786 817 368 372 403 431

436 483 753 758 780 802 822 845 877 192

313 345 368 372 394 416 758 763 923 930

937 303 758 863

B. Desain Penjadwalan Berdasarkan hasil perhitungan pada bagian A, maka vektor 𝒗’ dinyatakan sebagai waktu keberangkatan awal penjadwalan. Selanjutnya, dapat disusun jadwal periodik keberangkatan kereta api komuter dari setiap stasiun dengan periodik antar keberangkatan kereta api komuter di setiap stasiun adalah 𝜆(𝐴) =786. Karena hasil [𝒗′]9,1 = [0], maka keberangkatan kereta api komuter dari Stasiun Klaten menuju ke Stasiun Lempuyangan dijadikan sebagai titik acuan penjadwalan. Keberangkatan awal yang sebenarnya dari Stasiun Klaten menuju ke Stasiun Lempuyangan adalah pada pukul 5.53 WIB. Oleh karena itu, waktu keberangkatan awal pada setiap stasiun akan berubah menyesuaikan titik acuan tersebut. Berikut diberikan hasil penyusunan jadwal kereta api komuter Prambanan Ekspres dan kereta api komuter lainnya di DAOP VI Yogyakarta. Hasil penyusunan jadwal ini dilakukan dengan pembulatan ke atas dan waktu keberangkatan awal vektor 𝒗′. Hasil penyusunan ini menunjukkan bahwa terdapat perbedaan antara jadwal yang sudah disusun oleh PT KAI DAOP VI. Hal ini terjadi karena terdapat beberapa penentuan jadwal keberangkatan yang


bergantung kepada konsumen, sehingga terjadi selisih antara jadwal yang disusun secara periodik dengan jadwal keberangkatan sebenarnya. Namun, selisih yang muncul di setiap keberangkatan tidak melebihi 𝜆(𝐴). Tabel 4.B.1 Jadwal Keberangkatan Kereta Api Komuter Rute 1: Kutoarjo – Solo Balapan PP

Rute

Kutoarjo - Wates (𝑥1 )

Wates - Yogyakarta (𝑥2 )

Yogyakarta – Lempuyangan (𝑥3 )

Waktu Keberangkatan

Jadwal Keberangkatan Sebenarnya

Selisih

20:38 9:44 22:50 11:56 1:02 14:08 3:14 16:20 5:26 18:32 7:38 21:14 10:20 23:26 12:32 1:38 14:44 3:50 16:56 6:02 19:08 8:14 8:35 21:41 10:47 23:53 12:59 2:05

8:49 12:44 6:17 19:18 9:27 13:18 7:00 19:56 7:35, 9:10 9:59, 11:05 12:15, 13:00, 13:46, 13:50 -

55' 48' 51' 46' 53' 46' 58' 48' 1°, 35' 48', 18' 44', 1', 47', 51' -


Lempuyangan Klaten (𝑥4 )

Klaten - Purwosari (𝑥5 )

Purwosari - Solo Balapan (𝑥6 )

15:11 4:17 17:23 6:29 19:35 8:39 21:45 10:51 23:57 13:03 2:09 15:15 4:21 17:27 6:33 19:39 9:10 22:16 11:22 0:28 13:34 2:40 15:46 4:52 17:58 7:04 20:10 9:38 22:44 11:50 0:56 14:02 3:08 16:14 5:20 18:26 7:32 20:38 18:26

14:45 16:35, 18:00 5:30 20:25 7:42, 9:16 10:07, 11:11 12:22, 13:07, 13:53, 13:58 14:52 16:39, 18:10 5:37 20:31 8:15, 9:50 10:42, 11:44 12:55, 13:42, 14:17, 14:33 15:27 17:15, 18:44 6:10 21:04 8:35, 10:21 11:13, 12:16 13:25, 14:13, 14:42, 15:06 15:58 17:45, 19:13 6:40 21:33 -

26' 48', 37' 59' 50' 57', 37' 44', 20' 41', 4', 50', 55' 23' 48', 43' 56' 52' 55', 40' 42', 22' 39', 8', 43', 59' 19' 43', 46' 54' 54' 1°3', 43' 37', 26' 37', 11', 40', 1°4' 16' 41', 47' 52' 23' -


Solo Balapan Purwosari (𝑥7 )

Purwosari – Klaten (𝑥8 )

Klaten Lempuyangan (𝑥9 )

Lempuyangan – Yogyakarta (𝑥10 )

7:32 20:38 9:44 22:50 11:56 1:02 14:08 3:14 16:20 5:26 18:31 7:37 20:43 9:49 22:55 12:01 1:07 14:13 3:19 16:25 5:31 5:53 18:59 8:05 21:11 10:17 23:23 12:29 1:35 14:41 3:47 16:53 6:24 19:30 8:36 21:42 10:48 23:54 13:00

7:15, 8:26 19:40 9:25, 10:40 12:10 13:00, 14:00, 15:00 16:10, 17:00 5:15, 6:15 7:23, 08:34, 09:32 19:47 10:49 12:18 13:07, 14:07, 15:08 5:23 16:17, 17:07 6:22 5:53, 6:46 20:16 7:53, 9:04 10:02, 11:20 12:48 13:36, 14:37, 15:38 16:47, 17:37 6:27, 7:11 8:28 21:11 9:41, 10:36 11:54, 13:22

13', 54' 58' 19', 56' 14' 1°8', 8', 52' 10', 40' 11', 49' 14', 8', 56' 56' 1° 17' 1°6', 6', 55' 55' 8', 42' 51' 0', 53' 17' 12', 59' 15', 1°3' 19' 1°5', 4', 57' 6', 44' 3', 47' 8' 31' 1°7', 12' 1°2', 22'


Yogyakarta – Wates (𝑥11 )

Wates – Kutoarjo (𝑥12 )

2:06 15:12 4:18 17:24 19:35 8:41 21:47 10:53 23:59 13:05 2:11 15:17 4:23 17:29 6:35 20:01 9:07 22:13 11:19 0:25 13:31 2:37 15:43 4:49 17:55 7:01

14:12, 15:17, 16:11 17:20, 18:11 7:19 4:30 17:26 7:19, 6:35 4:59 17:55 7:44, 7:05

1°, 5', 59' 4', 47' 30' 7' 3' 46', 0' 10' 0' 43', 4'

Berdasarkan Tabel 4.B.1 di atas, pada rute 1 jadwal keberangkatan kereta api yang sudah terjadwal di PT KAI DAOP VI Yogyakarta dengan desain waktu keberangkatan mempunyai selisih sebesar 68 menit atau 1 jam 8 menit, yaitu pada kereta api Madiun Jaya untuk keberangkatan di Stasiun Solo Balapan menuju ke Stasiun Purwosari.


Tabel 4.B.2 Jadwal Keberangkatan Kereta Api Komuter Rute 2: Yogyakarta – Solo Balapan PP

Rute

Yogyakarta Lempuyangan (𝑥13 )



Waktu Keberangkatan

Jawal Keberangkatan Sebenarnya

21:41 10:47 23:53 12:59 2:05 15:11 4:17 17:23 6:29 19:35 8:41 21:45 10:51 23:57 13:03 2:09 15:15 4:21 17:27 6:33 19:39 8:45 9:10 22:16 11:22 0:28 13:34 2:40 15:46 4:52 17:58 7:04 20:10

9:59, 11:05 12:15, 13:00, 13:46, 13:50 14:45 16:35, 18:00 5:30 20:25 7:35, 9:10 10:07, 11:11 -

12:22, 13:07, 13:53, 13:58 14:52 16:39, 18:10 5:37 20:31 7:42, 9:16 8:15, 9:50 10:42, 11:44 13:42, 12:55, 14:17, 14:33 15:27 -

17:15, 18:44 6:10 21:04

Selisih 48', 18' 44', 1', 47', 51' 26' 48', 37' 59' 50' 1°6', 29' 44', 20' 41', 4', 50', 55' 23' 48', 43' 56' 52' 1°3', 31' 55', 40' 40', 22' 8', 39', 43', 59' 19' 43', 46' 54' 54'




Purwosari - Klaten (𝑥18 )


9:38 22:44 11:50 0:56 14:02 3:08 16:14 5:20 18:26 7:32 20:38 18:26 7:32 20:38 9:44 22:50 11:56 1:02 14:08 3:14 16:20 5:26 18:31 7:37 20:43 9:49 22:55 12:01 1:07 14:13 3:19 16:25 5:31 18:59 8:05 21:11 10:17 23:23 12:29

8:45, 10:21 11:13, 12:16 13:25, 14:13, 14:42, 15:06 15:58 17:45, 19:13 6:40 21:33 7:15, 8:26 19:40 9:25, 10:40 12:10 13:00, 14:00, 15:00 16:10, 17:00 5:15, 6:15 7:23, 08:34, 09:32 19:47 10:49 12:18 13:07, 14:07, 15:08 5:23 16:17, 17:07 6:22 20:16 7:53, 9:04 -

10:02, 11:20 12:48

53', 43' 37', 26' 37', 11', 40', 1°4' 16' 41', 47' 52' 55' 17', 54' 58' 19', 56' 14' 1°8', 8', 52' 10', 40' 11', 49' 14', 8', 56' 56' 1° 17' 1°6', 6', 55' 55' 8', 42' 51' 17' 12', 59' 15', 1°3' 19'


Lempuyangan Yogyakarta (𝑥20 )

1:35 14:41 3:47 16:53 5:59 19:21 8:27 21:33 10:39 23:45 12:51 1:57 15:03 4:09 17:15 6:21

13:36, 14:37, 15:38 16:47, 17:37 5:53, 6:46 8:28 21:11 9:41, 10:36 11:54, 13:22 14:12, 15:17 16:11, 17:20, 18:11 6:27, 7:11

1°5', 4', 57' 6', 47' 1' 22' 58', 3' 57', 22' 51', 14' 56', 5', 45' 6', 50'


Tabel 4.B.3 Jadwal Keberangkatan Kereta Api Komuter Rute 3: Madiun – Yogyakarta PP

Rute

Waktu Keberangkatan


Madiun - Sragen (𝑥21 )

15:54 5:00 18:06 7:12 20:18

5:50 -

Selisih 50' -


Sragen - Solo Balapan (𝑥22 )



9:24 22:30 11:36 0:42 13:48 2:54 17:30 6:36 19:42 8:48 21:54 11:00 0:06 13:12 2:18 15:24 4:30 18:26 7:32 20:38 9:44 22:50 11:56 1:02 14:08 3:14 16:20 5:26 18:51 7:57 21:03 10:09 23:15 12:21 1:27 14:33 3:39 16:45 5:51

-

7:28 7:15, 8:26 19:40 9:25, 10:40 12:10 13:00, 14:00, 15:00 16:10, 17:00 5:15, 6:15 19:47 7:23, 08:34 09:32, 10:49 12:18, 13:07 14:07, 15:08 16:17, 17:07 5:23, 6:22

52' 17', 57' 54' 19', 56' 14' 1°8', 8', 52' 10', 40' 11', 49' 56' 34', 38' 37', 40' 3', 46' 26', 35' 28', 22' 28', 31'






18:54 8:00 21:06 10:12 23:18 12:24 1:30 14:36 3:42 16:48 5:54 19:30 8:36 21:42 10:48 23:54 13:00 2:06 15:12 4:18 17:24 6:30 12:01 1:07 14:13 3:19 16:25 5:31 18:37 7:43 20:49 9:55 23:01 12:05 1:11 14:17 3:23 16:29 5:35

7:53, 9:04 20:16 10:02 11:20, 12:48 13:36, 14:37, 15:38 16:47, 17:37 5:53, 6:46 8:28, 9:41 21:11 10:36, 11:54 13:22 14:12, 15:17, 16:11 17:20, 18:11 6:27, 7:11 11:05, 12:15, 13:00 13:46, 13:50, 14:45 16:35 5:30 18:00 7:35 20:25 9:10, 9:59 11:11, 12:22, 13:07 13:53, 13:58, 14:52 16:39 5:37

7', 1°4' 50' 10' 1°1', 24' 1°, 1', 1°2' 1', 49' 1', 52' 8', 1°5' 31' 12', 1°6' 22' 1°, 5', 59' 4', 47' 3', 41' 56', 14', 59' 27', 23', 32' -

10' 1' 37' 8' 24' 45', 4' 54', 17', 1°2' 24', 19', 35' 10' 2'




Solo Balapan - Sragen (𝑥31 )

18:41 7:47 20:53 9:59 23:05 12:36 1:42 14:48 3:54 17:00 6:06 19:12 8:18 21:24 10:30 23:36 13:04 2:10 15:16 4:22 17:28 6:34 19:40 8:46 21:52 10:58 0:04 13:09 2:15 15:21 4:27 17:33 6:39 19:45 8:51 21:57 11:03 0:09 13:56

18:10, 20:31 7:42 -

9:16, 10:07 11:44, 12:55, 13:42 -

14:17, 14:33, 15:27 -

17:15 6:10, 8:15 18:44, 19:04 9:50, 10:42 12:16, 13:25 14:13, 14:42, 15:06, 15:58 17:45 6:40 19:13 8:45 21:33 10:21, 11:13 17:50 -

31', 50' 5' 43', 8' 52', 19', 1°6' 31', 15', 39' 15' 1°3', 1°2' 28', 8' 40', 12' 48', 21' 1°3', 34', 10', 42' 17' 6' 27' 1' 19' 37', 15' 17' -


Sragen - Madiun (𝑥32 )

3:02 16:08 5:14 18:20 7:26 20:32 9:38 22:44 11:50 0:56

18:42 -

22' -


Tabel 4.B.4 Jadwal Keberangkatan Kereta Api Komuter Rute 4: Solo Balapan – Purwokerto PP

Rute


Waktu Keberangkatan


18:26 7:32 20:38 9:44 22:50 11:56 1:02 14:08 3:14 16:20 5:26

-

7:15, 8:26 19:40 9:25, 10:40 12:10 13:00, 14:00, 15:00 16:10, 17:00 5:15, 6:15

Selisih 17', 54' 58' 19', 56' 14' 1°8', 8', 52' 10', 40' 11', 49'





Yogyakarta - Wates (𝑥37 )

18:31 7:37 20:43 9:49 22:55 12:01 1:07 14:13 3:19 16:25 5:31 18:53 7:59 21:05 10:11 23:17 12:23 1:29 14:35 3:41 16:47 5:53 19:15 8:21 21:27 10:33 23:39 12:45 1:51 14:57 4:03 17:09 6:15 19:37 8:43 21:49 10:55 0:01 13:07

7:23, 8:34 19:47 9:32, 10:49 12:18 13:07, 14:07, 15:08 16:17, 17:07 5:23, 6:22 7:53, 9:04 20:16 10:02 11:20, 12:48 13:36, 14:37, 15:38 16:47, 17:37 5:53, 6:46 18:11 8:28 21:11 9:41, 10:36 11:54, 13:22 14:12, 15:17 16:11, 17:20 6:27, 7:11 -

14', 57' 56' 17', 1° 17' 1°6', 6', 55' 8', 42' 7', 51' 6', 1°5' 49' 9' 1°3', 25' 59', 2', 1°3' 0', 50' 0', 53' 1°4' 7' 16' 52', 3' 51', 37' 45', 20' 58', 11' 12', 56' -


Wates - Kutoarjo (𝑥38 )

Kutoarjo Purwokerto (𝑥39 )

Purwokerto Kutoarjo (𝑥40 )

2:13 15:19 4:25 17:31 6:37 19:58 9:04 22:10 11:16 0:22 13:28 2:34 15:40 4:46 17:52 6:58 20:30 9:36 22:42 11:48 0:54 14:00 3:06 16:12 5:18 18:24 7:30 9:05 22:11 11:17 0:23 13:29 2:35 15:41 4:47 17:53 6:59 20:05 11:06

4:30 17:26 6:35, 7:19 4:59 17:55 7:05, 7:44 8:20 10:38 12:44

5' 5' 2', 42' 13' 3' 7', 46' 50' 39' 31'


Kutoarjo - Wates (𝑥41 )

Wates - Yogyakarta (𝑥42 )



0:12 13:18 2:24 15:30 4:36 17:42 6:48 19:54 9:00 22:06 11:38 0:44 13:50 2:56 16:02 5:08 18:14 7:20 20:26 9:32 22:38 12:01 1:07 14:13 3:19 16:25 5:31 18:37 7:43 20:49 9:55 23:01 12:05 1:11 14:17 3:23 16:29 5:35 18:41

6:17 19:18 8:49

31' 36' 11'

-

-

13:18 7:00 19:56 9:27 11:05, 12:15 13:00, 13:46, 13:50, 14:45 16:35 5:30 18:00 7:35 20:25 9:10, 9:59 11:11, 12:22, 13:07 13:53, 13:58, 14:52 16:39 5:37 18:10

32' 20' 30' 5' 56', 14' 47', 27', 23', 32' 10' 1' 37' 8' 24' 45', 4' 54', 17', 1°2' 24', 19', 35' 10' 2' 31'




7:47 20:53 9:59 23:05 12:27 1:33 14:39 3:45 16:51 5:57 19:03 8:09 21:15 10:21 23:27 12:49 1:55 15:01 4:07 17:13 6:19 19:25 8:31 21:37 10:43 23:49

7:42 20:31 9:16, 10:07 11:44, 12:55 13:42, 14:17, 14:33, 15:27 17:15 6:10 18:44 8:15 21:04 9:50, 10:42 12:16, 13:25 14:13, 14:42, 15:06, 15:58 17:45 6:40 19:13 8:45 21:33 10:21, 11:13 -

5' 22' 43', 8' 43', 28' 57', 22', 6', 48' 24' 13' 19' 6' 11' 31', 21' 33', 36' 48', 19', 5', 57' 32' 21' 12' 14' 4' 22', 30' -



Tabel 4.B.5 Jadwal Keberangkatan Kereta Api Komuter Rute 5: Purwosari – Semarang Poncol PP

Rute


Solo Balapan Semarang Tawang (𝑥48 )

Semarang Tawang Semarang Poncol (𝑥49 )

Waktu Keberangkatan 18:11 7:17 20:23 9:29 22:35 11:41 0:47 13:53 2:59 16:05 5:11 18:16 7:22 20:28 9:34 22:40 11:46 0:52 13:58 3:04 16:10 5:16 21:16 10:22 23:28 12:34 1:40 14:46 3:52 16:58 6:04 19:10 8:16

Jawal Keberangkatan Sebenarnya 17:45, 19:13 6:40

26', 1°2' 37'

-

-

8:45, 10:21 21:33 11:13, 12:16

44', 52' 59' 28', 35'

-

-

13:25, 14:13, 14:42 15:06, 15:58

18', 20', 49'

-

-

5:25 -

9' -

-

-

8:08

8'

Selisih

-

59', 7'


Semarang Poncol Semarang Tawang (𝑥50 )

Semarang Tawang Solo Balapan (𝑥51 )


21:23 10:29 23:35 12:41 1:47 14:53 3:59 17:05 6:11 19:17 8:23 21:30 10:36 23:42 12:48 1:54 15:00 4:06 17:12 6:18 19:24 8:30 10:56 0:02 13:08 2:14 15:20 4:26 17:32 6:38 19:44 8:50 21:56

-

-

8:45 8:55 10:40 12:10, 13:00 14:00, 15:00, 16:10 5:15 17:00 6:15, 7:15 19:40 8:26, 9:25 -

22' 25' 16' 58', 8' 44', 20', 50' 49' 32' 23', 37' 4' 24', 39' -

Berdasarkan Tabel 4.B.5 di atas, pada rute 5 jadwal keberangkatan kereta api yang sudah terjadwal di PT KAI DAOP VI Yogyakarta dengan desain waktu keberangkatan mempunyai selisih sebesar 62 menit atau 1 jam 2 menit,


yaitu pada kereta api Prambanan Ekspres untuk keberangkatan di Stasiun Purwosari menuju ke Stasiun Solo Balapan.

Tabel 4.B.6 Jadwal Keberangkatan Kereta Api Komuter Rute 6: Purwosari - Wonogiri PP

Rute

Purwosari – Wonogiri (𝑥53 )

Wonogiri – Purwosari (𝑥54 )

Waktu Keberangkatan 18:11 7:17 20:23 9:29 22:35 11:41 0:47 13:53 2:59 16:05 5:11 20:16 9:22 22:28 11:34 0:40 13:46 2:52 15:58 5:04 18:10 7:16

Jawal Keberangkatan Sebenarnya 10:00 6:00 12:15 8:00

Selisih 31' 49' 41' 44'

Berdasarkan Tabel 4.B.6 di atas, pada rute 6 jadwal keberangkatan kereta api yang sudah terjadwal di PT KAI DAOP VI Yogyakarta dengan desain waktu keberangkatan mempunyai selisih sebesar 49 menit, yaitu pada kereta


api Batara Kresna untuk keberangkatan di Stasiun Purwosari menuju ke Stasiun Wonogiri. Selanjutnya, berdasarkan tabel 4.B.1 s/d 4.B.6 dapat disusun kembali jadwal keberangkatan kereta api yang telah disinkronisasi di antara keenam rute. Hasil dari penjadwalan ini dapat dijadikan acuan pembuatan jadwal keberangkatan kereta api oleh PT KAI, sebab keenam rute sudah tersinkronisasi sehingga memudahkan penumpang untuk berpindah kereta api dengan rute yang berbeda. Berikut ini disajikan desain keberangkatan kereta api yang dipilih setelah melakukan proses sinkronisasi di enam rute yang telah dibahas. Diasumsikan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta beroperasi selama 24 jam.

Tabel 4.B.7 Pilihan Desain Jadwal Keberangkatan Rute 1: Kutoarjo – Solo Balapan PP

Rute Kutoarjo Wates Yogyakarta Lempuyangan Klaten Purwosari Solo Balapan Purwosari Klaten Lempuyangan Yogyakarta Wates

Wates Yogyakarta Lempuyangan Klaten Purwosari Solo Balapan Purwosari Klaten Lempuyangan Yogyakarta Wates Kutoarjo

Jadwal Keberangkatan I 5:26 6:02 6:29 6:33 7:04 7:32 7:32 7:37 8:05 8:36 8:41 9:07

Jadwal Keberangkatan II 18:32 19:08 19:35 19:39 20:10 20:38 20:38 20:43 21:11 21:42 21:47 22:13


Tabel 4.B.8 Pilihan Desain Jadwal Keberangkatan Rute 2: Yogyakarta – Solo Balapan PP

Rute Yogyakarta Lempuyangan Klaten Purwosari Solo Balapan Purwosari Klaten Lempuyangan

Lempuyangan Klaten Purwosari Solo Balapan Purwosari Klaten Lempuyangan Yogyakarta

Jadwal Keberangkatan I 6:29 6:33 7:04 7:32 7:32 7:37 8:05 8:27

Jadwal Keberangkatan II 19:35 19:39 20:10 20:38 20:38 20:43 21:11 21:33

Tabel 4.B.9 Pilihan Desain Jadwal Keberangkatan Rute 3: Madiun – Solo Balapan PP

Rute Madiun Sragen Solo Balapan Purwosari Klaten Lempuyangan Yogyakarta Lempuyangan Klaten Purwosari Solo Balapan Sragen

Sragen Solo Balapan Purwosari Klaten Lempuyangan Yogyakarta Lempuyangan Klaten Purwosari Solo Balapan Sragen Madiun

Jadwal Keberangkatan I 0:42 2:18 3:14 3:39 3:42 4:18 5:31 5:35 6:06 6:34 6:39 7:26

Jadwal Keberangkatan II 13:48 15:24 16:20 16:45 16:48 17:24 18:37 18:41 19:12 19:40 19:45 20:32


Tabel 4.B.10 Pilihan Desain Jadwal Keberangkatan Rute 4: Solo Balapan – Purwokerto PP

Rute Solo Balapan Purwosari Klaten Lempuyangan Yogyakarta Wates Kutoarjo Purwokerto Kutoarjo Wates Yogyakarta Lempuyangan Klaten Purwosari

Purwosari Klaten Lempuyangan Yogyakarta Wates Kutoarjo Purwokerto Kutoarjo Wates Yogyakarta Lempuyangan Klaten Purwosari Solo Balapan

Jadwal Keberangkatan I 3:14 3:19 3:41 4:03 4:25 4:46 5:18 6:59 9:00 9:32 9:55 9:59 10:21 10:43

Jadwal Keberangkatan II 16:20 16:25 16:47 17:09 17:31 17:52 18:24 20:05 22:06 22:38 23:01 23:05 23:27 23:49

Tabel 4.B.11 Pilihan Desain Jadwal Keberangkatan Rute 5: Puwosari – Semarang Poncol PP

Rute Purwosari Solo Balapan Semarang Tawang Semarang Poncol Semarang Tawang Solo Balapan

Solo Balapan Semarang Tawang Semarang Poncol Semarang Tawang Solo Balapan Purwosari

Jadwal Jadwal Keberangkatan Keberangkatan I II 2:59 16:05 3:04 16:10 6:04 19:10 6:11 19:17 6:18 19:24 8:50 21:56


Tabel 4.B.12 Pilihan Desain Jadwal Keberangkatan Rute 6: Puwosari – Wonogiri PP

Rute Purwosari Wonogiri

Wonogiri Purwosari

Jadwal Keberangkatan I 2:59 5:04

Jadwal Keberangkatan II 16:05 18:10

Berdasarkan Tabel 4.B.7 s/d 4.B.12, dapat ditunjukkan proses sinkronisasi dari keenam rute kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta, yaitu: 1.

Keberangkatan kereta api dari Stasiun Yogyakarta menuju ke Stasiun Lempuyangan pada rute 1 bersamaan dengan keberangkatan kereta api dari Stasiun Yogyakarta menuju ke Stasiun Lempuyangan pada rute 2.

2.

Keberangkatan kereta api dari Stasiun Lempuyangan menuju ke Stasiun Klaten pada rute 1 bersamaan dengan keberangkatan kereta api dari Stasiun Lempuyangan menuju ke Stasiun Klaten pada rute 2.

3.

Keberangkatan kereta api dari Stasiun Klaten menuju ke Stasiun Purwosari pada rute 1 bersamaan dengan keberangkatan kereta api dari Stasiun Klaten menuju ke Stasiun Purwosari pada rute 2.

4.

Keberangkatan kereta api dari Stasiun Purwosari menuju ke Stasiun Solo Balapan pada rute 1 bersamaan dengan keberangkatan kereta api dari Stasiun Purwosari menuju ke Stasiun Solo Balapan pada rute 2.

5.

Keberangkatan kereta api dari Stasiun Purwosari menuju ke Stasiun Solo Balapan pada rute 1 dan 2 bersamaan dengan keberangkatan kereta api dari Stasiun Solo Balapan menuju ke Stasiun Purwosari pada rute 1 dan 2.


6.

Keberangkatan kereta api dari Stasiun Purwosari menuju ke Stasiun Klaten pada rute 1 bersamaan dengan keberangkatan kereta api dari Stasiun Purwosari menuju ke Stasiun Klaten pada rute 2.

7.

Keberangkatan kereta api dari Stasiun Klaten menuju ke Stasiun Lempuyangan pada rute 1 bersamaan dengan keberangkatan kereta api dari Stasiun Klaten menuju ke Stasiun Lempuyangan pada rute 2.

8.

Keberangkatan kereta api dari Stasiun Purwosari menuju ke Stasiun Solo Balapan pada rute 5 bersamaan dengan keberangkatan kereta api dari Stasiun Purwosari menuju ke Stasiun Wonogiri pada rute 6. Jadwal yang disusun di atas adalah jadwal yang menekankan pada proses

sinkronisasi. Berdasarkan nilai eigen yang didapatkan yaitu 𝜆(𝐴) = 786 atau 13 jam 6 menit, maka keperiodikannya hanya bisa dilakukan sebanyak dua kali dalam sehari. Oleh karena itu, jadwal yang dibuat hanya bisa sebanyak dua kali keberangkatan untuk masing-masing rute setiap harinya. Desain penjadwalan ini nantinya bisa dijadikan sebagai acuan oleh pihak DAOP VI dan PT KAI dalam

pembuatan

jadwal

yang

tersinkronisasi

sekaligus

tetap

memperhitungkan desain penjadwalan yang sesuai dengan keinginan konsumen. Dengan begitu dapat dibentuklah suatu desain penjadwalan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta secara optimal.


C. Pembahasan Bagian tinjauan pustaka pada bab I telah menjelaskan bahwa penelitian ini memiliki perbedaan dengan dua penelitian serupa sebelumnya, yaitu pada intensitas suatu lintasan atau rute tertentu dan perbedaan jumlah kereta api pada masing-masing lintasan pada waktu acuan. Data hasil penelitian menunjukkan bahwa untuk rute Yogyakarta – Solo Balapan PP dilalui oleh beberapa rute kereta api komuter, seperti yang terlihat pada graf rute sistem kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta (Gambar 3.C.7 di halaman 61 dan Gambar 3.C.8 di halaman 64). Pada akhirnya, Stasiun Yogyakarta dan Stasiun Solo Balapan menjadi titik pusat sinkronisasi untuk keenam rute. Jika dibandingkan dengan dua penelitian sebelumnya, tidak terjadi kepadatan sebanyak yang dibahas dalam skripsi ini pada suatu rute atau lintasan tertentu. Selain itu, jumlah kereta api di masing-masing lintasan juga sangat mempengaruhi model yang dibuat dan hasil yang diberikan. Hasil penelitian menunjukkan bahwa dari 54 lintasan, hanya ada 7 lintasan pada waktu acuan yang dilalui oleh kereta api komuter dan masing-masing berjumlah satu (Gambar 3.C.8 di halaman 64). Sedangkan, pada dua penelitian sebelumnya, di setiap lintasan minimal terdapat satu kereta api. Berdasarkan dua hal tersebut, jika dibandingkan dengan dua penelitian serupa sebelumnya, maka terjadi perbedaan pada hasil penelitian yang diberikan. Hasil pemodelan dari penelitian ini menginterpretasikan bahwa jika pada lintasan yang seharusnya dilalui oleh kereta api komuter tetapi tidak terdapat kereta api komuter yang siap melayani, maka lintasan tersebut seperti


dianggap tidak ada dan hanya terjadi proses penjumlahan waktu tempuh lintasan. Hal ini terjadi karena adanya proses menunggu kedatangan kereta api komuter yang masih berada di lintasan tertentu. Proses inilah yang diduga menyebabkan matriks hasil pemodelan menjadi tidak iredusibel. Dua penelitian serupa sebelumnya sayangnya tidak membahas tentang apakah matriks hasil pemodelan iredusibel atau tidak iredusibel. Akan tetapi, jika dilihat dari graf rute dan perilaku sistemnya, seharusnya dapat dihasilkan matriks yang iredusibel (tak tereduksi). Kesimpulan matriks tidak iredusibel (tereduksi) pada penelitian ini oleh program MATLAB (Lampiran 11) ditarik dari Teorema 2.D.1, yaitu matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑛×𝑛 𝑚𝑎𝑥 2

iredusibel

(𝐴 ⊕ 𝐴⊗ ⊕ … ⊕ 𝐴⊗

𝑛−1

(tak-tereduksi)

jika

dan

hanya

jika

)𝑖𝑗 ≠ ɛ untuk setiap 𝑖, 𝑗 dengan 𝑖 ≠ 𝑗. Berdasarkan 2

eksekusi program MATLAB didapatkan matriks 𝐴+ = (𝐴 ⊕ 𝐴⊗ ⊕ … ⊕ 𝐴⊗

𝑛−1

)𝑖𝑗 = ɛ untuk setiap 𝑖, 𝑗 dengan 𝑖 ≠ 𝑗, sehingga disimpulkan bahwa

matriks 𝐴 tidak iredusibel. Matriks yang tidak iredusibel tidak menjamin ketunggalan dari nilai eigen. Dari hasil eksekusi program MATLAB didapatkan nilai 𝜆𝑚𝑎𝑥 yang merupakan nilai eigen dari matriks 𝐴. Karena matriks 𝐴 tidak iredusibel, maka kemungkinan terdapat nilai eigen-nilai eigen lainnya, yang tidak dihitung oleh program. Selain itu, matriks 𝐴 yang tidak iredusibel juga tidak menjamin vektor eigen yang berupa bilangan real. Berdasarkan hasil eksekusi program MATLAB didapatkan vektor eigen matriks 𝐴 yang berupa bilangan real. Vektor eigen ditentukan dari kolom matriks 𝐵 ∗ (kolom ke−39),


yang merupakan kolom matriks yang bersesuaian dengan kolom matriks 𝐵 + (kolom ke−39). Jadi dapat disimpulkan bahwa adanya perbedaan kondisi seperti yang telah disebutkan di awal pembahasan dengan dua penelitian serupa sebelumnya diduga menyebabkan kesimpulan matriks oleh program MATLAB menjadi matriks yang tidak iredusibel (tereduksi). Meskipun tidak iredusibel ternyata tetap didapatkan vektor eigen yang berupa bilangan real. Kemudian, nilai keperiodikan yang didapatkan untuk sistem ini relatif besar yaitu 𝜆(𝐴) = 786 menit atau 13 jam 6 menit, sehingga dalam satu hari hanya dapat terjadi dua kali keberangkatan apabila mempertimbangkan proses sinkronisasi dan diasumsikan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta beroperasi selama 24 jam. Apabila desain penjadwalan yang tersinkronisasi dari penelitian ini akan digunakan oleh PT KAI untuk membuat jadwal keberangkatan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta, maka pembuatan jadwal keberangkatannya adalah dengan menambahkan salah satu jadwal keberangkatan yang terbentuk ke jadwal keberangkatan yang saat ini sudah ada. Pemilihan jadwal keberangkatan yang tersikronisasi tersebut disesuaikan dengan jadwal keberangkatan yang telah ada dan mengacu pada kebutuhan penumpang (konsumen) sehingga diperoleh jadwal keberangkatan yang optimal.


BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan Berdasarkan penelitian dan hasil pembahasan yang telah dilakukan pada pemodelan jaringan dan analisis penjadwalan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta, maka dapat disimpulkan bahwa: 1.

Jaringan kereta api komuter di Daerah Operasi VI (DAOP VI) Yogyakarta dapat dimodelkan menggunakan aljabar max-plus dengan bentuk umum ℝmax yaitu 𝑥(𝑘) = 𝐴 ⊗ 𝑥(𝑘 − 1), dimana 𝐴 adalah matriks yang berukuran 54 × 54 dan vektor 𝑥(𝑘 − 1) adalah waktu keberangkatan yang ke-(k – 1) dari semua kereta api.

2.

Penjadwalan kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta memiliki periode keberangkatan masing-masing stasiun, yaitu setiap 𝜆(𝐴) menit sekali, dengan 𝜆(𝐴) = 786. Sedangkan, waktu keberangkatan awal kereta api komuter di setiap stasiun diperoleh dari vektor eigen.

B. Saran Adapun beberapa saran yang dapat penulis berikan bagi penelitian selanjutnya, yaitu: 1.

Penelitian ini menentukan stasiun-stasiun transfer untuk memodelkan sistem kereta api komuter di DAOP VI Yogyakarta, sehingga ada beberapa stasiun pemberhentian kecil yang tidak diikutsertakan dalam pemodelan.

129


Oleh karena itu, untuk penelitian selanjutnya dapat memperhitungkan stasiun-stasiun pemberhentian kecil tersebut agar didapatkan penjadwalan yang lebih sesuai dengan kondisi realnya. 2.

Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa matriks hasil pemodelan merupakan matriks yang tidak iredusibel. Dalam penelitian ini penulis masih memberikan dugaan mengenai penyebab terjadinya hal tersebut. Oleh karena itu, untuk penelitian selanjutnya dapat meneliti lebih jauh guna mencari tahu penyebab yang sebenarnya.

3.

Penelitian

ini

menghasilkan

suatu

desain

penjadwalan

yang

mempertimbangkan proses sinkronisasi. Bagi penelitian selanjutnya, selain dapat membuat desain penjadwalan yang tersinkronisasi juga dapat memberikan hasil penelitian untuk menentukan di stasiun mana penumpang turun dan menggunakan kereta api apa saja, apabila dikehendaki waktu optimal yang dapat ditempuh saat penumpang ingin berpindah jalur. 4.

Penelitian ini menunjukkan bahwa matriks hasil pemodelan adalah matriks yang tidak iredusibel dan memiliki vektor eigen yang berupa bilangan real. Oleh karena itu, untuk penelitian selanjutnya dapat meneliti ciri-ciri keadaan dari suatu sistem yang matriks hasil pemodelannya tidak iredusibel tetapi dapat menghasilkan vektor eigen berupa bilangan real.


DAFTAR PUSTAKA

Afif, Ahmad. 2015. Aplikasi Petri Net dan aljabar Max-Plus Pada Sistem Jaringan Kereta Api di Jawa Timur. Tesis. Program Magister Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Surabaya: Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Anggoro, Antonius Yudi. 2015. Pengantar Pemodelan Matematika Pertemuan 1. PowerPoint Perkuliahan Pengantar Pemodelan Matematika. Program Studi Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan. Yogyakarta: Universitas Sanata Dharma. Iswanto, Ripno Juli. 2012. Pemodelan Matematika Aplikasi dan Terapannya. Yogyakarta: Graha Ilmu. Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI), (tanggal akses: 3 Agustus 2016), http://kbbi.web.id/jaring. Kereta

Api

Prambanan

Ekspres,

(tanggal

akses:

17

Juni

2016),

https://id.m.wikipedia.org/wiki/Kereta_api_Prambanan_Ekspres. Kereta

Api

Komuter,

(tanggal

akses:

17

Juni

2016),

https://id.m.wikipedia.org/wiki/Kereta_api_komuter. Kereta

Komuter,

(tanggal

akses:

https://id.m.wikipedia.org/wiki/Kereta_komuter.

131

17

Juni

2016),


Manajemen Lalu Lintas/Jaringan Jalan, (tanggal akses: 2 Agustus 2016), https://id.m.wikibooks.org/wiki/Manajemen_Lalu_Lintas/Jaringan_jalan. Rudhito, M.A. 2016. Aljabar Max-plus dan Penerapannya. Yogyakarta: Universitas Sanata Dharma. Subiono. 2002. On Classes of Min-Max-Plus Systems and Their Applications. TRAIL Thesis Series. The Netherlands: Delft University Press. Subiono. 2015. Aljabar Max-Plus dan Terapannya. Surabaya: Institut Teknologi Sepuluh Nopember.

132


DAFTAR LAMPIRAN Lampiran 1. Menghitung Persamaan 𝑥1 (𝑘) dan 𝑥2 (𝑘) Lampiran 2. Menghitung Persamaan 𝑥7 (𝑘) Lampiran 3. Menghitung Persamaan 𝑥8 (𝑘) Lampiran 4. Menghitung Persamaan 𝑥13 (𝑘) dan 𝑥14 (𝑘) Lampiran 5. Menghitung Persamaan 𝑥24 (𝑘), 𝑥25 (𝑘) dan 𝑥26 (𝑘) Lampiran 6. Menghitung Persamaan 𝑥33 (𝑘) Lampiran 7. Menghitung Persamaan 𝑥34 (𝑘) − 𝑥36 (𝑘) Lampiran 8. Menghitung Persamaan 𝑥37 (𝑘) − 𝑥39 (𝑘) Lampiran 9. Menghitung Persamaan 𝑥46 (𝑘) − 𝑥54 (𝑘) Lampiran 10. Matriks 𝐴 Lampiran 11. Lampiran Program MATLAB untuk Menghitung Nilai Eigen MaxPlus Maksimum dan Vektor Eigen yang Bersesuaian untuk suatu Matriks Max-Plus 𝐴


Lampiran 1

MENGHITUNG PERSAMAAN 𝒙𝟏 (𝒌) DAN 𝒙𝟐 (𝒌) 𝑥1 (𝑘) = 𝑡12 ⊗ 𝑥12 (𝑘) ⊕ 𝑡40 ⊗ 𝑥40 (𝑘) 𝑥12 (𝑘) = 𝑡11 ⊗ 𝑥11 (𝑘) 𝑥11 (𝑘) = 𝑡10 ⊗ 𝑥10 (𝑘) ⊕ 𝑡20 ⊗ 𝑥20 (𝑘) ⊕ 𝑡26 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) 𝑥10 (𝑘) = 𝑡9 ⊗ 𝑥9 (𝑘) 𝑥9 (𝑘) = 𝑡8 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) = 28 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) Jadi, 𝑥10 (𝑘) = 𝑡9 ⊗ 𝑥9 (𝑘) = 31 ⊗ 28 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) = 59 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) 𝑥20 (𝑘) = 𝑡19 ⊗ 𝑥19 (𝑘) 𝑥19 (𝑘) = 𝑡18 ⊗ 𝑥18 (𝑘) 𝑥18 (𝑘) = 𝑡17 ⊗ 𝑥17 (𝑘) ⊕ 𝑡52 ⊗ 𝑥52 (𝑘) ⊕ 𝑡54 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥17 (𝑘) = 𝑡16 ⊗ 𝑥16 (𝑘) ⊕ 𝑡22 ⊗ 𝑥22 (𝑘) ⊕ 𝑡51 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) 𝑥16 (𝑘) = 𝑡15 ⊗ 𝑥15 (𝑘) ⊕ 𝑡54 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥15 (𝑘) = 𝑡14 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) = 31 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) Jadi, 𝑥16 (𝑘) = 𝑡15 ⊗ 𝑥15 (𝑘) ⊕ 𝑡54 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) = 28 ⊗ 31 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 105 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) = 59 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 105 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)


Lampiran 1

𝑥22 (𝑘) = 𝑡21 ⊗ 𝑥21 (𝑘) 𝑥21 (𝑘) = 𝑡32 ⊗ 𝑥32 (𝑘) 𝑥32 (𝑘) = 𝑡31 ⊗ 𝑥31 (𝑘) 𝑥31 (𝑘) = 𝑡6 ⊗ 𝑥6 (𝑘) ⊕ 𝑡16 ⊗ 𝑥16 (𝑘) ⊕ 𝑡30 ⊗ 𝑥30 (𝑘) ⊕ 𝑡46 ⊗ 𝑥46 (𝑘) ⊕ 𝑡51 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) 𝑥6 (𝑘) = 𝑡5 ⊗ 𝑥5 (𝑘) ⊕ 𝑡54 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥5 (𝑘) = 𝑡4 ⊗ 𝑥4 (𝑘) 𝑥4 (𝑘) = 𝑡3 ⊗ 𝑥3 (𝑘) 𝑥3 (𝑘) = 𝑡2 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) = 27 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1)

Jadi, 𝑥4 (𝑘) = 𝑡3 ⊗ 𝑥3 (𝑘) = 4 ⊗ 27 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) = 31 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) 𝑥5 (𝑘) = 𝑡4 ⊗ 𝑥4 (𝑘) = 31 ⊗ 31 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) = 62 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) 𝑥6 (𝑘) = 𝑡5 ⊗ 𝑥5 (𝑘) ⊕ 𝑡54 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) = 28 ⊗ 62 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 105 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) = 90 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 105 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)

𝑥30 (𝑘) = 𝑡5 ⊗ 𝑥5 (𝑘) ⊕ 𝑡15 ⊗ 𝑥15 (𝑘) ⊕ 𝑡29 ⊗ 𝑥29 (𝑘) ⊕ 𝑡45 ⊗ 𝑥45 (𝑘) ⊕ 𝑡54 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥29 (𝑘) = 𝑡28 ⊗ 𝑥28 (𝑘) 𝑥28 (𝑘) = 𝑡27 ⊗ 𝑥27 (𝑘) 𝑥27 (𝑘) = 𝑡2 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 𝑡26 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 𝑡42 ⊗ 𝑥42 (𝑘)


Lampiran 1

𝑥42 (𝑘) = 𝑡41 ⊗ 𝑥41 (𝑘) 𝑥41 (𝑘) = 𝑡40 ⊗ 𝑥40 (𝑘) 𝑥40 (𝑘) = 𝑡39 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) = 101 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) Jadi, 𝑥41 (𝑘) = 𝑡40 ⊗ 𝑥40 (𝑘) = 121 ⊗ 101 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) = 222 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) 𝑥42 (𝑘) = 𝑡41 ⊗ 𝑥41 (𝑘) = 32 ⊗ 222 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) = 254 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) 𝑥27 (𝑘) = 𝑡2 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 𝑡26 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 𝑡42 ⊗ 𝑥42 (𝑘) = 27 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 4 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 23 ⊗ 254 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) = 27 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 4 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 277 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) 𝑥28 (𝑘) = 𝑡27 ⊗ 𝑥27 (𝑘) = 4 ⊗ (27 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 4 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 277 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1)) = 31 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 8 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 281 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) 𝑥29 (𝑘) = 𝑡28 ⊗ 𝑥28 (𝑘) = 31 ⊗ (31 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 8 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 281 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1)) = 62 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 39 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 312 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) 𝑥45 (𝑘) = 𝑡44 ⊗ 𝑥44 (𝑘) 𝑥44 (𝑘) = 𝑡43 ⊗ 𝑥43 (𝑘) 𝑥43 (𝑘) = 𝑡42 ⊗ 𝑥42 (𝑘) = 23 ⊗ 254 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) = 277 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1)


Lampiran 1

Jadi, 𝑥44 (𝑘) = 𝑡43 ⊗ 𝑥43 (𝑘) = 4 ⊗ 277 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) = 281 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) 𝑥45 (𝑘) = 𝑡44 ⊗ 𝑥44 (𝑘) = 22 ⊗ 281 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) = 303 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) 𝑥30 (𝑘) = 𝑡5 ⊗ 𝑥5 (𝑘) ⊕ 𝑡15 ⊗ 𝑥15 (𝑘) ⊕ 𝑡29 ⊗ 𝑥29 (𝑘) ⊕ 𝑡45 ⊗ 𝑥45 (𝑘) ⊕ 𝑡54 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) = 28 ⊗ 62 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 28 ⊗ 31 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 28 ⊗ (62 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 39 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 312 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1)) ⊕ 22 ⊗ 303 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 105 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) = 90 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 59 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 90 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 67 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 340 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 325 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 105 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) = 90 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 59 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 67 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 340 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 105 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥46 (𝑘) = 𝑡45 ⊗ 𝑥45 (𝑘) ⊕ 𝑡54 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) = 22 ⊗ 303 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 105 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) = 325 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 105 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) Jadi, 𝑥31 (𝑘) = 𝑡6 ⊗ 𝑥6 (𝑘) ⊕ 𝑡16 ⊗ 𝑥16 (𝑘) ⊕ 𝑡30 ⊗ 𝑥30 (𝑘) ⊕ 𝑡46 ⊗ 𝑥46 (𝑘) ⊕ 𝑡51 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) = 5 ⊗ (90 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 105 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)) ⊕ 5 ⊗ (59 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 105 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)) ⊕ 5 ⊗ (90 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 59 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 67 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 340 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 105 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)) ⊕ 4 ⊗ (325 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 105 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)) ⊕ 152 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1)


Lampiran 1

= 95 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 110 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) ⊕ 64 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 110 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) ⊕ 95 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 64 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 72 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 345 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 110 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) ⊕ 329 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 109 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) ⊕ 152 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) = 95 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 64 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 72 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 345 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 152 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 110 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥32 (𝑘) = 𝑡31 ⊗ 𝑥31 (𝑘) = 47 ⊗ (95 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 64 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 72 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 345 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 152 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 110 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)) = 142 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 111 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 119 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 392 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 199 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 157 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥21 (𝑘) = 𝑡32 ⊗ 𝑥32 (𝑘) = 118 ⊗ (142 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 111 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 119 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 392 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 199 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 157 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)) = 260 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 229 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 237 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 510 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 317 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 275 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥22 (𝑘) = 𝑡21 ⊗ 𝑥21 (𝑘) = 96 ⊗ (260 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 239 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 237 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 510 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 317 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 275 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)) = 356 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 325 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 333 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 606 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 413 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 371 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥17 (𝑘) = 𝑡16 ⊗ 𝑥16 (𝑘) ⊕ 𝑡22 ⊗ 𝑥22 (𝑘) ⊕ 𝑡51 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) = 5 ⊗ (59 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 105 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)) ⊕ 56 ⊗ (356 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 325 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 333 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 606 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 413 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 371 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)) ⊕ 152 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) = 64 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 110 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) ⊕ 412 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 381 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 389 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 662 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 469 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 427 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) ⊕ 152 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1)


Lampiran 1

= 412 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 381 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 389 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 662 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 469 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 427 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥52 (𝑘) = 𝑡51 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) = 152 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1)

Jadi, 𝑥18 (𝑘) = 𝑡17 ⊗ 𝑥17 (𝑘) ⊕ 𝑡52 ⊗ 𝑥52 (𝑘) ⊕ 𝑡54 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) = 5 ⊗ (412 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 381 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 389 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 662 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 469 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 427 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)) ⊕ 5 ⊗ 152 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 105 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) = 417 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 386 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 394 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 667 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 474 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 432 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) ⊕ 157 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 105 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) = 417 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 386 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 394 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 667 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 474 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 432 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥19 (𝑘) = 𝑡18 ⊗ 𝑥18 (𝑘) = 28 ⊗ (417 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 386 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 394 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 667 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 474 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 432 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)) = 445 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 414 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 422 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 695 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 502 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 460 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥20 (𝑘) = 𝑡19 ⊗ 𝑥19 (𝑘) = 32 ⊗ (445 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 414 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 422 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 695 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 502 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 460 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)) = 477 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 446 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 454 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 727 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 534 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 492 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)


Lampiran 1

𝑥11 (𝑘) = 𝑡10 ⊗ 𝑥10 (𝑘) ⊕ 𝑡20 ⊗ 𝑥20 (𝑘) ⊕ 𝑡26 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) = 4 ⊗ 59 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) ⊕ 4 ⊗ (477 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 446 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 454 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 727 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 534 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 492 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)) ⊕ 4 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) = 63 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) ⊕ 481 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 450 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 458 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 731 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 538 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 496 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) ⊕ 4 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) = 481 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 63 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) ⊕ 450 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 458 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 731 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 538 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 496 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥12 (𝑘) = 𝑡11 ⊗ 𝑥11 (𝑘) = 26 ⊗ (481 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 63 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) ⊕ 450 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 458 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 731 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 538 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 496 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)) = 507 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 89 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) ⊕ 476 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 484 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 757 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 564 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 522 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥40 (𝑘) = 𝑡39 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) = 101 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) Sehingga didapatkan persamaan 𝑥1 (𝑘), yaitu : 𝑥1 (𝑘) = 𝑡12 ⊗ 𝑥12 (𝑘) ⊕ 𝑡40 ⊗ 𝑥40 (𝑘) = 37 ⊗ (507 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 89 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) ⊕ 476 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 484 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 757 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 564 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 522 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)) ⊕ 121 ⊗ 101 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) = 544 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 126 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) ⊕ 513 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 521 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 794 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 601 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 559 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) ⊕ 222 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) = 544 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 126 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) ⊕ 513 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 521 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 794 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 601 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 559 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)


Lampiran 1

Dan persamaan 𝑥2 (𝑘), yaitu : 𝑥2 (𝑘) = 𝑡1 ⊗ 𝑥1 (𝑘) = 36 ⊗ (544 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 126 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) ⊕ 513 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 521 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 794 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 601 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 559 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)) = 580 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 162 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) ⊕ 549 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 557 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 830 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 637 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 595 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)


Lampiran 2

MENGHITUNG PERSAMAAN 𝒙𝟕 (𝒌) 𝑥7 (𝑘) = 𝑡6 ⊗ 𝑥6 (𝑘) ⊕ 𝑡22 ⊗ 𝑥22 (𝑘) ⊕ 𝑡51 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) 𝑥6 (𝑘) = 90 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 105 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥22 (𝑘) = 356 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 325 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 333 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 606 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 413 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 371 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) Sehingga didapatkan persamaan 𝑥7 (𝑘), yaitu : 𝑥7 (𝑘) = 𝑡6 ⊗ 𝑥6 (𝑘) ⊕ 𝑡22 ⊗ 𝑥22 (𝑘) ⊕ 𝑡51 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) = 5 ⊗ (90 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 105 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)) ⊕ 56 ⊗ (356 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 325 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 333 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 606 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 413 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 371 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)) ⊕ 152 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) = 95 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 110 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) ⊕ 412 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 381 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 389 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 662 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 469 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 427 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) ⊕ 152 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) = 412 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 381 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 389 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 662 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 469 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 427 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)


Lampiran 3

MENGHITUNG PERSAMAAN 𝒙𝟖 (𝒌) 𝑥8 (𝑘) = 𝑡7 ⊗ 𝑥7 (𝑘) ⊕ 𝑡23 ⊗ 𝑥23 (𝑘) ⊕ 𝑡52 ⊗ 𝑥52 (𝑘) ⊕ 𝑡54 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥7 (𝑘) = 412 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 381 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 389 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 662 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 469 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 427 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥23 (𝑘) = 𝑡22 ⊗ 𝑥22 (𝑘) ⊕ 𝑡51 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) = 56 ⊗ (356 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 325 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 333 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 606 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 413 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 371 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)) ⊕ 152 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) = 412 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 381 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 389 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 662 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 469 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 427 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) ⊕ 152 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) = 412 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 381 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 389 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 662 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 469 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 427 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥52 (𝑘) = 152 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) Sehingga didapatkan persamaan 𝑥8 (𝑘), yaitu : 𝑥8 (𝑘) = 𝑡7 ⊗ 𝑥7 (𝑘) ⊕ 𝑡23 ⊗ 𝑥23 (𝑘) ⊕ 𝑡52 ⊗ 𝑥52 (𝑘) ⊕ 𝑡54 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) = 5 ⊗ (412 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 381 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 389 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 662 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 469 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 427 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1))⊕ 5 ⊗ (412 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 381 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 389 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 662 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 469 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 427 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)) ⊕ 5 ⊗ 152 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 105 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) = 417 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 386 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 394 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 667 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 474 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 432 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) ⊕ 417 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 386 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 394 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 667 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 474 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 432 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) ⊕ 157 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 105 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) = 417 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 386 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 394 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 667 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 474 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 432 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)


Lampiran 4

MENGHITUNG PERSAMAAN 𝒙𝟏𝟑 (𝒌) DAN 𝒙𝟏𝟒 (𝒌) 𝑥13 (𝑘) = 𝑡2 ⊗ 𝑥2 (𝑘) ⊕ 𝑡20 ⊗ 𝑥20 (𝑘) 𝑥2 (𝑘) = 580 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 162 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) ⊕ 549 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 557 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 830 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 637 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 595 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥20 (𝑘) = 477 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 446 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 454 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 727 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 534 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 492 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) Sehingga didapatkan persamaan 𝑥13 (𝑘), yaitu: 𝑥13 (𝑘) = 𝑡2 ⊗ 𝑥2 (𝑘) ⊕ 𝑡20 ⊗ 𝑥20 (𝑘) = 27 ⊗ (580 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 162 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) ⊕ 549 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 557 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 830 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 637 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 595 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)) ⊕ 4 ⊗ (477 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 446 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 454 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 727 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 534 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 492 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)) = 607 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 189 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) ⊕ 576 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 584 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 857 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 664 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 622 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) ⊕ 481 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 450 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 458 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 731 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 538 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 496 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) = 607 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 189 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) ⊕ 576 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 584 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 857 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 664 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 622 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)


Lampiran 4

Dan persamaan 𝑥13 (𝑘), yaitu: 𝑥14 (𝑘) = 𝑡13 ⊗ 𝑥13 (𝑘) = 4 ⊗ (607 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 189 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) ⊕ 576 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 584 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 857 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 664 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 622 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)) = 611 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 193 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) ⊕ 580 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 588 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 861 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 668 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 626 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)


Lampiran 5

MENGHITUNG PERSAMAAN 𝒙𝟐𝟒 (𝒌), 𝒙𝟐𝟓 (𝒌) DAN 𝒙𝟐𝟔 (𝒌) 𝑥24 (𝑘) = 𝑡23 ⊗ 𝑥23 (𝑘) ⊕ 𝑡52 ⊗ 𝑥52 (𝑘) ⊕ 𝑡54 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥23 (𝑘) = 412 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 381 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 389 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 662 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 469 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 427 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥52 (𝑘) = 152 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) Sehingga didapatkan persamaan 𝑥24 (𝑘), 𝑥25 (𝑘), dan 𝑥26 (𝑘), yaitu: 𝑥24 (𝑘) = 𝑡23 ⊗ 𝑥23 (𝑘) ⊕ 𝑡52 ⊗ 𝑥52 (𝑘) ⊕ 𝑡54 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) = 5 ⊗ (412 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 381 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 389 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 662 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 469 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 427 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)) ⊕ 5 ⊗ 152 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 105 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) = 417 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 386 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 394 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 667 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 474 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 432 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) ⊕ 157 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 105 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) = 417 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 386 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 394 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 667 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 474 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 432 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥25 (𝑘) = 𝑡24 ⊗ 𝑥24 (𝑘) = 28 ⊗ (417 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 386 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 394 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 667 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 474 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 432 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)) = 445 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 414 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 422 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 695 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 502 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 460 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥26 (𝑘) = 𝑡25 ⊗ 𝑥25 (𝑘) = 31 ⊗ (445 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 414 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 422 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 695 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 502 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 460 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)) = 476 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 445 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 453 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 726 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 533 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 491 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)


Lampiran 6

MENGHITUNG PERSAMAAN 𝒙𝟑𝟑 (𝒌) 𝑥33 (𝑘) = 𝑡22 ⊗ 𝑥22 (𝑘) ⊕ 𝑡46 ⊗ 𝑥46 (𝑘) ⊕ 𝑡51 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) 𝑥22 (𝑘) = 356 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 325 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 333 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 606 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 413 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 371 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥46 (𝑘) = 325 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 105 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) Sehingga didapatkan persamaan 𝑥33 (𝑘), yaitu: 𝑥33 (𝑘) = 𝑡22 ⊗ 𝑥22 (𝑘) ⊕ 𝑡46 ⊗ 𝑥46 (𝑘) ⊕ 𝑡51 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) = 56 ⊗ (356 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 325 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 333 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 606 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 413 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 371 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)) ⊕ 4 ⊗ (325 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 105 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)) ⊕ 152 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) = 412 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 381 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 389 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 662 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 469 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 427 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) ⊕ 329 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 109 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) ⊕ 152 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) = 412 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 381 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 389 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 662 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 469 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 427 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)


Lampiran 7

MENGHITUNG PERSAMAAN 𝒙𝟑𝟒 (𝒌), 𝒙𝟑𝟓 (𝒌), DAN 𝒙𝟑𝟔 (𝒌) 𝑥34 (𝑘) = 𝑡7 ⊗ 𝑥7 (𝑘) ⊕ 𝑡17 ⊗ 𝑥17 (𝑘) ⊕ 𝑡23 ⊗ 𝑥23 (𝑘) ⊕ 𝑡33 ⊗ 𝑥33 (𝑘) ⊕ 𝑡52 ⊗ 𝑥52 (𝑘) ⊕ 𝑡54 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥7 (𝑘) = 412 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 381 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 389 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 662 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 469 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 427 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥17 (𝑘) = 412 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 381 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 389 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 662 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 469 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 427 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥23 (𝑘) = 412 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 381 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 389 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 662 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 469 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 427 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥33 (𝑘) = 412 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 381 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 389 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 662 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 469 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 427 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥52 (𝑘) = 152 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) Sehingga didapatkan persamaan 𝑥34 (𝑘), 𝑥35 (𝑘), dan 𝑥36 (𝑘), yaitu: 𝑥34 (𝑘) = 𝑡7 ⊗ 𝑥7 (𝑘) ⊕ 𝑡17 ⊗ 𝑥17 (𝑘) ⊕ 𝑡23 ⊗ 𝑥23 (𝑘) ⊕ 𝑡33 ⊗ 𝑥33 (𝑘) ⊕ 𝑡52 ⊗ 𝑥52 (𝑘) ⊕ 𝑡54 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) = 5 ⊗ (412 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 381 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 389 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 662 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 469 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 427 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)) ⊕ 5 ⊗ (412 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 381 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 389 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 662 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 469 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 427 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)) ⊕ 5 ⊗ (412 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 381 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 389 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 662 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 469 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 427 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)) ⊕ 4 ⊗ (412 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 381 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 389 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 662 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 469 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 427 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)) ⊕ 152 ⊗ 152 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 105 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) = 417 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 386 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 394 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 667 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 474 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 432 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) ⊕ 417 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 386 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 394 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 667 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 474 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 432 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) ⊕ 417 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 386 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 394 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 667 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 474 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 432 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) ⊕ 416 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 385 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 393 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 666 ⊗


Lampiran 7

𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 473 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 431 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) ⊕ 304 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 105 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) = 417 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 386 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 394 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 667 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 474 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 432 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥35 (𝑘) = 𝑡34 ⊗ 𝑥34 (𝑘) = 22 ⊗ (417 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 386 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 394 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 667 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 474 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 432 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)) = 439 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 408 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 416 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 689 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 496 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 454 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥36 (𝑘) = 𝑡35 ⊗ 𝑥35 (𝑘) = 22 ⊗ (439 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 408 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 416 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 689 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 496 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 454 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)) = 461 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 430 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 438 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 711 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 518 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 476 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)


Lampiran 8

MENGHITUNG PERSAMAAN 𝒙𝟑𝟕 (𝒌), 𝒙𝟑𝟖 (𝒌), DAN 𝒙𝟑𝟗 (𝒌) 𝑥37 (𝑘) = 𝑡10 ⊗ 𝑥10 (𝑘) ⊕ 𝑡20 ⊗ 𝑥20 (𝑘) ⊕ 𝑡26 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 𝑡36 ⊗ 𝑥36 (𝑘) 𝑥10 (𝑘) = 59 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) 𝑥20 (𝑘) = 477 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 446 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 454 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 727 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 534 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 492 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥36 (𝑘) = 461 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 430 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 438 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 711 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 518 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 476 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) Sehingga didapatkan persamaan 𝑥37 (𝑘), 𝑥38 (𝑘), dan 𝑥39 (𝑘), yaitu: 𝑥37 (𝑘) = 𝑡10 ⊗ 𝑥10 (𝑘) ⊕ 𝑡20 ⊗ 𝑥20 (𝑘) ⊕ 𝑡26 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 𝑡36 ⊗ 𝑥36 (𝑘) = 4 ⊗ 59 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) ⊕ 4 ⊗ (477 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 446 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 454 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 727 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 534 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 492 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)) ⊕ 4 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 4 ⊗ (461 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 430 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 438 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 711 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 518 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 476 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)) = 63 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) ⊕ 481 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 450 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 458 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 731 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 538 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 496 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) ⊕ 4 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 465 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 434 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 442 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 715 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 622 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 480 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) = 481 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 63 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) ⊕ 450 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 458 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 731 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 622 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 496 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥38 (𝑘) = 𝑡37 ⊗ 𝑥37 (𝑘) = 23 ⊗ (481 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 63 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) ⊕ 450 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 458 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 731 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 622 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 496 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1))


Lampiran 8

= 504 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 86 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) ⊕ 473 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 481 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 754 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 645 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 519 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥39 (𝑘) = 𝑡38 ⊗ 𝑥38 (𝑘) = 32 ⊗ (504 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 86 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) ⊕ 473 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 481 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 754 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 645 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 519 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)) = 536 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 118 ⊗ 𝑥8 (𝑘 − 1) ⊕ 505 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 513 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 786 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 677 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 551 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)


Lampiran 9

MENGHITUNG PERSAMAAN 𝒙𝟒𝟔 (𝒌) - 𝒙𝟓𝟒 (𝒌) 𝑥46 (𝑘) = 𝑡45 ⊗ 𝑥45 (𝑘) ⊕ 𝑡54 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) = 22 ⊗ 303 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 105 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) = 325 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 105 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥47 (𝑘) = 𝑡5 ⊗ 𝑥5 (𝑘) ⊕ 𝑡7 ⊗ 𝑥7 (𝑘) ⊕ 𝑡15 ⊗ 𝑥15 (𝑘) ⊕ 𝑡17 ⊗ 𝑥17 (𝑘) ⊕ 𝑡23 ⊗ 𝑥23 (𝑘) ⊕ 𝑡29 ⊗ 𝑥29 (𝑘) ⊕ 𝑡33 ⊗ 𝑥33 (𝑘) ⊕ 𝑡45 ⊗ 𝑥45 (𝑘) ⊕ 𝑡52 ⊗ 𝑥52 (𝑘) ⊕ 𝑡54 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥5 (𝑘) = 62 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) 𝑥7 (𝑘) = 412 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 381 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 389 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 662 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 469 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 427 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥15 (𝑘) = 31 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) 𝑥17 (𝑘) = 64 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 110 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) ⊕ 412 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 381 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 389 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) 𝑥23 (𝑘) = 412 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 381 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 389 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 662 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 469 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 427 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥29 (𝑘) = 62 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 39 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 312 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) 𝑥33 (𝑘) = 412 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 381 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 389 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 662 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 469 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 427 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥45 (𝑘) = 303 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) 𝑥52 (𝑘) = 152 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) Sehingga didapatkan persamaan 𝑥47 (𝑘) - 𝑥51 (𝑘) yaitu: 𝑥47 (𝑘) = 𝑡5 ⊗ 𝑥5 (𝑘) ⊕ 𝑡7 ⊗ 𝑥7 (𝑘) ⊕ 𝑡15 ⊗ 𝑥15 (𝑘) ⊕ 𝑡17 ⊗ 𝑥17 (𝑘) ⊕ 𝑡23 ⊗ 𝑥23 (𝑘) ⊕ 𝑡29 ⊗ 𝑥29 (𝑘) ⊕ 𝑡33 ⊗ 𝑥33 (𝑘) ⊕ 𝑡45 ⊗ 𝑥45 (𝑘) ⊕ 𝑡52 ⊗ 𝑥52 (𝑘) ⊕ 𝑡54 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) = 28 ⊗ 62 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 5 ⊗ (412 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 381 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 389 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 662 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 469 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕


Lampiran 9

427 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)) ⊕ 28 ⊗ 31 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 5 ⊗ (64 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 110 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) ⊕ 412 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 381 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 389 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1)) ⊕ 5 ⊗ (412 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 381 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 389 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 662 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 469 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 427 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)) ⊕ 28 ⊗ (62 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 39 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 312 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1)) ⊕ 4 ⊗ (412 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 381 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 389 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 662 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 469 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 427 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)) ⊕ 22 ⊗ 303 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 5 ⊗ 152 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 105 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) = 90 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 417 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 386 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 394 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 667 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 474 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 432 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) ⊕ 59 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 69 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 115 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) ⊕ 417 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 386 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 394 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 417 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 386 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 394 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 667 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 474 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 432 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) ⊕ 90 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 67 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 340 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 416 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 385 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 393 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 666 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 473 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 431 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) ⊕ 325 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 157 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 105 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) = 417 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 386 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 394 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 667 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 474 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 432 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥48 (𝑘) = 𝑡47 ⊗ 𝑥47 (𝑘) = 5 ⊗ (417 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 386 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 394 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 667 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 474 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 432 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)) = 422 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 391 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 399 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 672 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 479 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 437 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥49 (𝑘) = 𝑡48 ⊗ 𝑥48 (𝑘) = 160 ⊗ (422 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 391 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 399 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 672 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 479 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 437 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1))


Lampiran 9

= 582 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 551 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 559 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 832 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 639 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 597 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥50 (𝑘) = 𝑡49 ⊗ 𝑥49 (𝑘) = 7 ⊗ (582 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 551 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 559 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 832 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 639 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 597 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)) = 589 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 558 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 566 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 839 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 646 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 604 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥51 (𝑘) = 𝑡50 ⊗ 𝑥50 (𝑘) = 7 ⊗ (589 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 558 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 566 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 839 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 646 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 604 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)) = 596 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 565 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 573 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 846 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 653 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 611 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥52 (𝑘) = 152 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) Sehingga didapatkan persamaan 𝑥53 (𝑘) dan 𝑥54 (𝑘), yaitu: 𝑥53 (𝑘) = 𝑡5 ⊗ 𝑥5 (𝑘) ⊕ 𝑡7 ⊗ 𝑥7 (𝑘) ⊕ 𝑡15 ⊗ 𝑥15 (𝑘) ⊕ 𝑡17 ⊗ 𝑥17 (𝑘) ⊕ 𝑡23 ⊗ 𝑥23 (𝑘) ⊕ 𝑡29 ⊗ 𝑥29 (𝑘) ⊕ 𝑡33 ⊗ 𝑥33 (𝑘) ⊕ 𝑡45 ⊗ 𝑥45 (𝑘) ⊕ 𝑡52 ⊗ 𝑥52 (𝑘) ⊕ 𝑡54 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) = 28 ⊗ 62 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 5 ⊗ (412 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 381 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 389 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 662 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 469 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 427 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)) ⊕ 28 ⊗ 31 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 5 ⊗ (64 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 110 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) ⊕ 412 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 381 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 389 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1)) ⊕ 5 ⊗ (412 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 381 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 389 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 662 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 469 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 427 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)) ⊕ 28 ⊗ (62 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 39 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 312 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1)) ⊕ 4 ⊗ (412 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 381 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 389 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 662 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 469 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕


Lampiran 9

427 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)) ⊕ 22 ⊗ 303 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 5 ⊗ 152 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 105 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) = 90 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 417 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 386 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 394 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 667 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 474 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 432 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) ⊕ 59 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 69 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 115 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) ⊕ 417 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 386 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 394 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 417 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 386 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 394 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 667 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 474 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 432 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) ⊕ 90 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 67 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 340 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 416 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 385 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 393 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 666 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 473 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 431 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) ⊕ 325 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 157 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 105 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) = 417 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 386 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 394 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 667 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 474 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 432 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1) 𝑥54 (𝑘) = 𝑡53 ⊗ 𝑥53 (𝑘) = 105 ⊗ (417 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 386 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 394 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 667 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 474 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 432 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)) = 522 ⊗ 𝑥2 (𝑘 − 1) ⊕ 491 ⊗ 𝑥14 (𝑘 − 1) ⊕ 499 ⊗ 𝑥26 (𝑘 − 1) ⊕ 772 ⊗ 𝑥39 (𝑘 − 1) ⊕ 579 ⊗ 𝑥51 (𝑘 − 1) ⊕ 537 ⊗ 𝑥54 (𝑘 − 1)


Lampiran 10

MATRIKS 𝑨

𝐴=

.

544

.

.

.

.

.

126

.

.

.

.

.

513

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

521

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

794

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

601

.

.

559

.

580

.

.

.

.

.

162

.

.

.

.

.

549

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

557

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

830

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

637

.

.

595

.

27

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

31

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

62

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

90

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

105

.

412

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

381

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

389

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

662

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

469

.

.

427

.

417

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

386

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

394

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

667

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

474

.

.

432

.

.

.

.

.

.

.

28

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

59

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

481

.

.

.

.

.

63

.

.

.

.

.

450

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

458

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

731

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

538

.

.

496

.

507

.

.

.

.

.

89

.

.

.

.

.

476

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

484

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

757

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

564

.

.

522

.

607

.

.

.

.

.

189

.

.

.

.

.

576

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

584

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

857

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

664

.

.

622

.

611

.

.

.

.

.

193

.

.

.

.

.

580

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

588

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

861

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

668

.

.

626

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

31

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

59

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

105

.

412

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

381

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

389

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

662

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

469

.

.

427

.

417

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

386

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

394

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

667

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

474

.

.

432

.

445

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

414

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

422

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

695

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

502

.

.

460

.

477

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

446

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

454

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

727

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

534

.

.

492

.

260

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

229

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

237

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

510

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

317

.

.

275

.

356

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

325

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

333

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

606

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

413

.

.

371

. .

412

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

381

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

389

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

662

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

469

.

.

427

417

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

386

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

394

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

667

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

474

.

.

432

.

445

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

414

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

422

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

695

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

502

.

.

460

.

476

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

445

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

453

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

726

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

533

.

.

491

.

27

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

4

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

277

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

31

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

8

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

281

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

62

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

59

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

39

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

312

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

90

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

64

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

67

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

340

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

105

.

95

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

111

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

72

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

345

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

152

.

.

110

.

142

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

381

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

119

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

392

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

199

.

.

157

.

412

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

386

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

389

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

662

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

469

.

.

427

.

417

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

408

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

394

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

667

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

474

.

.

432

.

439

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

430

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

416

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

689

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

496

.

.

454

.

461

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

450

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

438

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

711

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

518

.

.

476

.

481

.

.

.

.

.

63

.

.

.

.

.

473

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

458

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

731

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

622

.

.

496

.

504

.

.

.

.

.

89

.

.

.

.

.

505

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

481

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

754

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

645

.

.

519

.

536

.

.

.

.

.

118

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

513

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

786

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

677

.

.

551

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

101

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

222

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

254

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

277

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

281

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

303

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

325

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

105

.

417

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

386

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

394

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

667

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

474

.

.

432

.

422

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

391

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

399

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

672

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

479

.

.

437

.

582

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

551

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

559

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

832

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

639

.

.

597

.

589

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

558

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

566

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

839

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

646

.

.

604

.

596

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

565

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

573

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

846

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

653

.

.

611

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

152

.

.

.

.

417

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

386

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

394

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

667

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

474

.

.

432

.

522

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

491

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

499

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

772

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

579

.

.

537


Lampiran 11

PROGRAM MATLAB MENGHITUNG NILAI EIGEN MAX-PLUS MAKSIMUM DAN VEKTOR EIGEN YANG BERSESUAIAN UNTUK SUATU MATRIKS MAX-PLUS A

% Program Matlab Menghitung NILAI EIGEN MAX-PLUS Maksimum dan VEKTOR EIGEN % yang bersesuaian untuk suatu Matriks max-plus A % Oleh: M. Andy Rudhito FKIP Universitas Sanata Dharma % input: matriks max-plus Anxn % output: irredusibel/ tak irredusibel matriks A % nilai eigen max-plus maximum % vektor eigen yang bersesuaian function hasilkali = eigmax disp(' ') disp(' NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MAX-PLUS MATRIKS') disp(' ----------------------------------------------') disp(' ') A = input(' Matriks yang dihitung A = '); disp(' ') disp(' HASIL PERHITUNGAN :') disp(' ===================') disp(' Matriks A = '), disp(A) % Menghitung A pangkat , trace/pangkat dan nilai eigen maksimum [m, n]= size(A); if m==n if n==2 for i = 1: n for j=1: n if i==j A(i,j) = 0;


Lampiran 11

end; end; end; A0 = min(A); A00 = min(A0); if A00 == -Inf disp(' Matriks A TIDAK IRREDUSIBEL') else disp(' Matriks A IRREDUSIBEL') end; end; trace = max(diag(A)); D=A; for r=1:n-1 r+1; for i = 1: m for j = 1: n C(i, j) = -Inf; for p = 1: n C(i, j) = max( C(i, j) , A(i, p) + D(p, j) ); end; end; end; A_plus = max(D, C); D=C; trace_perpk(r) = max(diag(D)./(r+1)); lambmax = max(trace_perpk); end; lambmaxmat = max(trace, lambmax); for r=1:n-2


Lampiran 11

r+1; for i = 1: m for j = 1: n C(i, j) = -Inf; for p = 1: n C(i, j) = max( C(i, j) , A(i, p) + D(p, j) ); end; end; end; A_plus1 = max(D, C); D=C; end; if n>2 for i = 1 : n for j = 1 : n if i==j A_plus1(i,j) = 0; end; end; end; A0_plus1 = min(A_plus1); A00_plus1 = min(A0_plus1); if A00_plus1 == -Inf disp(' Matriks A TIDAK IRREDUSIBEL') else disp(' Matriks A IRREDUSIBEL') end; end; disp('NILAI EIGEN max-plus maksimum matriks A ='),disp(lambmaxmat)


Lampiran 11

% Menghitung matriks normal B, B pangkat dan B+ B = A-lambmaxmat; disp(' ') G=B; for s=1:n-1 s+1; for i = 1: m for j = 1: n F(i, j) = -Inf; for p = 1: n F(i, j) = max( F(i, j) , B(i, p) + G(p, j) ); end; end; end; B_plus = max(G, F); G = F; end; % Menghitung matriks E dan B* for i = 1 : n for j = 1 : n if i ~= j E(i,j) = -Inf; end; end; end; B_star= max(E, B_plus); % Menentukan vektor eigen yang bersesuaian disp(' VEKTOR EIGEN max-plus yang bersesuaian =')


Lampiran 11

x= diag(B_plus); for t = 1 : n if x(t)>=0 VE = B_star(:,t); disp(VE) end; end; % Perhatian jika yang diinputkan bukan matriks nxn else disp(' ') disp(' P E R H A T I A N ! ! !') disp('BUKAN matriks bujursangkar, nilai eigen tidak didefinisikan') end;

PEMODELAN JARINGAN DAN ANALISA PENJADWALAN KERETA API KOMUTER DI DAOP VI YOGYAKARTA DENGAN MENGGUNAKAN ALJABAR MAX-PLUS SKRIPSI

Recommend Documents