Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.wordpress.com
Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Bidang Matematika Kode Paket 536 Oleh : Fendi Alfi Fauzi 1. Nilai p agar vektor 2i + pj + k dan 4i − 2j − 2k saling tegak lurus adalah . . . (a) (b) (c) (d) (e)
6 3 -1 -6 -3
jawaban : (b) Penyelesaian: Syarat dua buah vektor saling tegak lurus adalah ~a · ~b = 0. misalkan ~a = 2i + pj + k dan ~b = 4i − 2j − 2k, sehingga ~a · ~b = 0 ⇒ (2, p, 1) · (4, −2, −2) = 0 ⇒ 8 − 2p − 2 = 0 ⇒ p = 3 1 2. Diketahui p, q, r, dan s adalah empat bilangan bulat berurutan yang memenuhi p + 2 1 1 q + r = s. Nilai p + q adalah . . . 3 4 (a) (b) (c) (d) (e)
51 52 53 54 56
Jawaban : (c) Penyelesaian: misalkan q = p + 1, r = p + 2, s = p + 3. Maka 1 1 1 p + (p + 1) + (p + 2) = (p + 3) 2 3 4 p p p 1 1 + + + + = (p + 3) 2 3 4 3 2 13p 5 + = (p + 3) 12 6 13p 5 −p = 3− 12 6 p 13 = 12 6 6p = 156 p
=
26
jika p = 26 ⇒ q = 27 sehingga p + q = 26 + 27 = 53 Pembahasan SNMPTN 2010
1
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.wordpress.com √
3. Suku banyak yang akarnya
2+
√
5 adalah . . .
(a) x4 + 14x2 + 9 (b) x4 − 14x2 + 9 (c) x4 − 14x2 − 9 (d) x4 + 14x2 + 89 (e) x4 − 14x2 + 89 Jawaban : (b) Penyelesaian: Misalkan x =
√
2+
√
5. maka x2 x2 x2 − 7 (x2 − 7)2
x4 − 14x2 + 49 4
2
x − 14x + 9
√ √ √ √ ( 2 + 5)( 2 + 5) √ = 7 + 2 10 √ = 2 10 √ 2 = 2 10 =
=
40
=
0
4. Bentuk deret geometri bilangan 8, 8888888888 . . . adalah . . . n−1 ∞ X 1 (a) 8 10 n=1 ∞ X 1 n (b) 8 10 n=1 n−1 ∞ X 1 (c) 8 10 n=0 ∞ X 1 n−1 (d) 0, 8 10 n=1 n ∞ X 1 (e) 0, 8 10 n=0 Jawaban : (a) Penyelesaian : Bentuk deret diatas dapat kita tulis menjadi S∞ = 8(1 + 0, 1 + 0, 01 + 0, 001 + . . .) n−1 ∞ X 1 sehingga dapat kita sederhanakan menjadi : 8 10 n=1 5. Diketahui kubus ABCD.EF GH dengan rusuk 2 satuan, kemudian P, Q, dan R berturutturut adalah titik tengah AB, BF , dan F G. Luas perpotongan bidang P QR dengan kubus tersebut adalah . . . satuan √ (a) 8 3 √ (b) 6 3 √ (c) 3 3 Pembahasan SNMPTN 2010
2
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.wordpress.com
√ (d) 3 2 (e) 3 Jawaban : (c) Penyelesaian: Perhatikan Kubus ABCD.EF GH berikut ! H
S
G R
E
F T O Q D
C
U A
P
B
Luas perpotongan bidang P QR dengan kubus = segi 6 beraturan sehingga luasnya adalah 6 × (L 4 OP Q). Karena 4OP Q adalah segitiga sama sisi, maka luasnya adalah 1 · OP · OQ · sin(60◦ ) 2 1 √ √ 1√ · 2· 2· = 3 2 2 1√ = 3 2 √ √ Jadi, luas segi 6 beraturan adalah 6 × 21 3 = 3 3 L4OP Q
=
6. Panjang dua sisi suatu segitiga adalah 10 cm dan 15 cm. Semua nilai berikut dapat menjadi nilai keliling segitiga tersebut, kecuali. . . (a) 45 cm (b) 46 cm (c) 47 cm (d) 49 cm (e) 50 cm jawaban : (d) Penyelesaian : Misalkan sisi ke tiga adalah c, dengan ketaksamaan segitiga kita dapatkan bahwa c < 10 + 15 ⇒ c < 25. Sehingga keliling yang tidak mungkin dari suatu segitiga tersebut adalah 10 + 15 + 25 = 50 jadi, keliling segitiga tersebut harus < 50. 7. Nilai x pada selang 0 < x < π yang memenuhi persamaan trigonometri sin x + sin 3x + sin 5x + sin 7x = 0 adalah . . . π π (a) dan saja 4 2 π π (b) dan saja 3 2 Pembahasan SNMPTN 2010
3
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.wordpress.com
π π π , dan 6 4 2 π π 3π (d) , dan 4 2 4 π π 3π (e) , dan 6 2 4 (c)
jawaban : (d) penyelesaian : (sin 7x + sin x) + (sin 5x + sin 3x)
=
0
2 · sin(4x) cos(3x) + 2 · sin(4x) cos(x)
=
0
2 · sin(4x)(cos(3x) + cos(x))
=
0
sin(4x)
=
cos(3x)
=
cos(x)
=
π π , 4 2 π 3π 0⇒x= , 4 4 π 0⇒x= 2 0⇒x=
π π 3π maka HP : { , , } 4 2 4 x−3 √ g(x) √ x→3 x− 3
8. Diketahui fungsi g kontinu di x = 3 dan lim g(x) = 4. Nilai lim x→3
adalah . . . √ (a) 8 3 √ (b) 4 3 (c) 4 (d) 2 √ (e) 3 jawaban : (a) Penyelesaian: Karena g kontinu di x = 3 dan lim g(x) = 4 maka g(3) = 4. Sehingga x→3
x−3 √ = lim g(x) √ x→3 x− 3 = = = =
√ √ √ ! √ ( x − 3)( x + 3) √ lim g(x) · √ x→3 x− 3 √ √ lim g(x) · ( x + 3) x→3 √ √ g(3) · ( 3 + 3) √ 4·2 3 √ 8 3
9. Diketahui fungsi f dan g dengan g(x) = f (x2 + 2). Jika diketahui bahwa g 0 (1) = 2, maka f 0 (3) nilainya adalah . . . (a) 0 (b) 1 (c) 2 Pembahasan SNMPTN 2010
4
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.wordpress.com
(d) 3 (e) 6 Jawaban : (b) penyelesaian : dengan aturan rantai diperoleh g 0 (x)
=
f 0 (x2 + 2) · 2x
g 0 (1)
=
2
2
=
g 0 (1) = f 0 (12 + 2) · 2(1)
2
=
f 0 (3) · 2
2
=
2f 0 (3)
f (3)
=
1
0
10. Daerah R dibatasi oleh grafik y = x2 , y = x2 − 4x + 4 dan y = 0. Integral yang menyatakan luas daerah R adalah. . . Z 1 Z 2 2 x dx + (x2 − 4x + 4)dx (a) 0
Z
1 1
x2 dx −
(b) 0
Z
2
(x2 − 4x + 4)dx
1 1
x2 dx +
(c) 0
Z
Z Z
2
(4x − 4)dx 1
2
(4x − 4)dx
(d) 0
Z (e)
2
(4x + 4)dx 0
jawaban : (a) penyelesaian : perhatikan gambar berikut ini !
4
f (x) = x2
3
Daerah R
2
g(x) = x − 4x + 4 1 B
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
Daerah R adalah daerah yang diarsir pada gambar diatas dengan tiitk potong kedua kurva terjadi pada titik (1, 1). Z 1 Z 2 Jadi terlihat bahwa luasnya adalah x2 dx + (x2 − 4x + 4)dx 0
Pembahasan SNMPTN 2010
1
5
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.wordpress.com
11. Rumah di jalan Veteran dinomori secara urut mulai 1 sampai dengan 150. Berapa banyak rumah yang nomornya menggunakan angka 7 sekurang-kurangnya 1 kali ? (a) 14 (b) 15 (c) 21 (d) 24 (e) 30 Jawaban : (d) Penyelesaian : Pertama kita bagi menjadi beberapa kasus yaitu : 1−9=1 10 − 99 = 18 100 − 150 = 5 Jadi total adalah 24 12. Suatu kelas terdiri atas 20 orang pelajar pria dan 10 pelajar wanita. Separuh pelajar pria dan separuh pelajar wanita memakai arloji. Jika dipilih satu pelajar, maka peluang yang terpilih pria atau memakai arloji adalah . . . (a) (b) (c) (d) (e)
1 2 1 3 3 4 2 3 5 6
Jawaban : (e) Penyelesaian: Perhatikan tabel berikut: Peluang terpilihnya pria atau memakai arloji adalah
Pria Wanita
P
Arloji 10 5 Jumlah
Tidak 10 5
Jumlah 20 10 30
= P (pria) + P (arloji) − P (pria ∩ arloji) 20 15 10 = + − 30 30 30 35 − 10 = 30 25 = 30 5 = 6
Pembahasan SNMPTN 2010
6
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.wordpress.com
13. Diberikan barisan un = h−2, 2, −2, 2, . . .i dengan n bilangan asli. Berikut ini merupakan rumus umum untuk barisan itu, kecuali . . . (a) un = 2(−1)n (b) un = −2 sin(n − 21 )π (c) un = −2 cos(n − 1)π (d) un = 2 sin(n − 1)π ( 2, Jika n genap (e) un = −2 Jika n ganjil Jawaban : (d) Penyelesaian : u1
Z 14. Diketahui f (x) = |x − 1|. Nilai
=
2 · sin(1 − 1)π
=
2 · sin(0)π
=
0 6= 2
2
f (x)dx = . . . 0
(a) 0 1 (b) 2 (c) 1 (d) 2 (e) 4 Jawaban : (c) Penyelesaian : Perhatikan ( defenisi nilai mutlak pada fungsi diatas adalah sebagai berikut: x − 1, jika x ≥ 1 |x − 1| = Sehingga 1 − x Jika x < −1 Z
2
Z |x − 1|dx
0
0
= = = =
1
Z (1 − x)dx +
=
2
(x − 1)dx 1
1 2 x2 x2 − x x− + 2 2 0 1 1 1 1− +2−2− +1 2 2 2−1 1
2 x − 1 , x 6= 1 . Semua pernyataan berikut ini 15. Diketahui fungsi f dengan f (x) = x−1 6 x=1 benar, kecuali. . . (a) lim f (x) = 2 x→1
Pembahasan SNMPTN 2010
7
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.wordpress.com
(b) lim f (x) 6= f (1) x→1
(c) f kontinu di x = 0 (d) f tidak kontinu di x = 1 (e) f mempunyai turunan di x = 1 jawaban : (e) penyelesaian : Andaikan f mempunyai turunan di x = 1. Misalkan a = f 0 (1) kita dapatkan a = f 0 (1)
= = = = = =
lim
x→1
4 x−1
=
lim
x→1
lim
f (x) − f (1) x−1 x2 −1 x−1
−6
x−1 x+1−6 lim x→1 x−1 x−5 lim x→1 x − 1 4 lim 1 − x→1 x−1 4 1 − lim x→1 x − 1 x→1
1−a
4 x→1 x−1
hal diatas jelas kontradiksi dengan apa yang diketahui bahwa lim
= Tidak ada.
Tulisan ini ditulis dengan menggunakan LATEX. Apabila ada kritik dan saran silahkan hubungi saya di
[email protected] atau my blog di http://www.alfysta.wordpress.com
Selamat Belajar
Pembahasan SNMPTN 2010
8
