Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.wordpress.com
Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Bidang Matematika Kode Paket 578 Oleh : Fendi Alfi Fauzi 1. Diketahui vektor ~u = (a, −2, −1) dan ~v = (a, a, −1). Jika vektor ~u tegak lurus pada ~v , maka nilai a adalah . . . (a) −1 (b) 0 (c) 1 (d) 2 (e) 3 Jawaban : (c) penyelesaian : Karena ~u tegak lurus pada ~v maka ~u · ~v = 0. Sehingga ~u · ~u = (a, −2, −1) · (a, a, −1)
0
=
0
a − 2a + 1
=
0
(a − 1)2
=
0
a
=
1
2
2. Pernyataan berikut yang benar adalah . . . (a) Jika sin x = sin y maka x = y (b) Untuk setiap vektor ~u, ~v , w ~ berlaku ~u · (~v · w) ~ = (~u · ~v ) · w ~ Rb (c) Jika a f (x)dx = 0 maka f (x) = 0 (d) Ada fungsi f sehingga lim f (x) 6= f (c) untuk suatu c x→c
2
2
(e) 1 − cos 2x = 2 cos x Jawaban : (d) Penyelesaian : (a) Salah. Ambil x = 0◦ dan y = 360◦ . Karena sin 0◦ = 0 dan sin 360◦ = 0. Tetapi 0◦ 6= 360◦ (b) Salah. Operasi ~u · (~v · w) ~ tidak terdefenisi karena ~v · w ~ = skalar. Sehingga operasi (~u · ~v ) · w ~ tidak terdefenisi. R1 (c) Salah. Ambil a = −1 dan b = 1 serta f (x) = x. Maka −1 xdx = 0. Terbukti bahwa f (x) = x bukan f (x) = 0.
Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2011
1
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.wordpress.com
(
x, x 6= 0 dan c = 0. Sehingga lim = 0 dan f (0) = 1. x→0 1, x = 0 Sehingga terbukti bahwa lim f (x) 6= f (c)
(d) Benar. Misalkan f (x) =
x→c
1 + cos 2x (e) Salah. Karena cos2 x = ⇒ 2 cos2 x = 1 + cos 2x 2 3. Luas daerah dibawah y = −x2 + 8x dan diatas y = 6x − 24 serta terletak di kuadran I adalah . . . R4 R6 (a) 0 (−x2 + 8x)dx + 4 (x2 − 2x − 24)dx R4 R6 (b) 0 (−x2 + 8x)dx + 4 (−x2 + 2x + 24)dx R4 R8 (c) 0 (−x2 + 8x)dx + 6 (−x2 + 2x + 24)dx R6 R8 (d) 4 (6x − 24)dx + 6 (−x2 + 8x)dx R4 R6 (e) 0 (6x − 24)dx + 4 (−x2 + 8x)dx Jawaban : (b) Penyelesaian : Perhatikan gambar di bawah ini !
16
y = −x2 + 8x y = 6x − 24
14 12 10 8 6 4 2
−2
0
2
4
6
8
10
y = −x2 + 8x dan y = 6x − 24. Sehingga x2 + 8x = 6x − 24 ⇒ x2 − 2x − 24 = 0 ⇒ (x − 6)(x + 4) Titik potong kedua kurva adalah x = −4 atau x = 6. Sedangkan titik potong garis y = 6x − 24 dengan sumbu x adalah di x = 4. Perhatikan bahwa luas yang dimaksud adalah daerah yang diarsir. Pada batas (0, 4) adalah fungsi y = −x2 + 8x sedangkan pada batas (4, 6) adalah kurva perpotongan y = −x2 + 8x dan y = 6x − 24. Sehingga R4 R6 Luasnya adalah 0 (−x2 + 8x)dx + 4 (−x2 + 2x + 24)dx 4. sin 35◦ · cos 40◦ − cos 35◦ · sin 40◦ = . . .
Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2011
2
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.wordpress.com
(a) cos 5◦ (b) sin 5◦ (c) cos 95◦ (d) cos 75◦ (e) sin 75◦ Jawaban : (c) Penyelesaian : sin 35◦ · cos 40◦ − cos 35◦ · sin 40◦
=
sin(35 − 40)
=
sin(−5)
Ingat bahwa cos(90 − α) = sin α ⇒ cos(90 − (−5)) = cos(95)◦ 5. Diketahui suku banyak f (x) bersisa −2 jika dibagi (x+ 1), bersisa 3 bila dibagi (x−2). Sedangkan suku banyak g(x) bersisa 3 jika dibagi (x + 1) dan bersisa 2 bila dibagi (x − 2). Jika h(x) = f (x) · g(x) maka sisa h(x) jika dibagi oleh x2 − x − 2 adalah . . . (a) 4x − 2 (b) 3x − 2 (c) 3x + 2 (d) 4x + 2 (e) 5x − 2 Jawaban : (a) Penyelesaian : Misalkan sisa pembagian tersebut adalah ax + b. Dengan menggunakan teorema sisa diperoleh f (−1) = −2, f (2) = 3, g(−1) = 3, g(2) = 2, dengan h(x) = f (x) · g(x). Ingat bahwa h(x)=hasil bagi· pembagi + sisa, Sehingga kita peroleh bahwa : h(x)
= H(x) · (x2 − x − 2) + (ax + b) = H(x) · (x + 1)(x − 2) + (ax + b)
h(x)
= f (−1) · g(−1) = −6 ⇒ h(−1) = −a + b
h(x)
= f (2) · g(2) =
6 ⇒ h(2) = 2a + b
Sehingga kita peroleh dua buah persamaan −a + b = −6 dan 2a + b = 6. Jika kita eliminasi maka kita dapatkan a = 4 dan b = −2. Jadi sisa pembagiannya adalah 4x − 2. 6. Prisma tegak segitiga sama sisi ABC.EF G dengan panjang AB = s dan AD = t. Jika titik G terletak ditengah-tengah sisi EF , maka panjang AG adalah . . . r 3s2 (a) t2 − 4 r 3s2 (b) t2 + 4 √ (c) t2 + s2 √ (d) t2 − s2 Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2011
3
Fendi Alfi Fauzi
r t2 +
(e)
http://alfysta.wordpress.com
s2 4
Jawaban : (b) Penyelesaian : Perhatikan gambar dibawah ini !
F G D
E
t
C
A
B
s
r s2 −
DG = r
s2 −
= r = =
AG =
2 s2 4
3s2
4 s√ 3 2 p r
=
AD2 + DG2 s √ 2 t2 + 3 2
r =
s 2
t2 +
3s2 4
7. Jika 0 < x < π memenuhi sin2 x + sin x = 2, maka nilai cos x adalah . . . (a) 1 √
(b) (c)
3 2 1 2
(d) 0 (e) −1 Jawaban : (d)
Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2011
4
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.wordpress.com
Penyelesaian : sin2 x + sin x
=
2
sin x + sin x − 2
=
0
(sin x + 2)(sin x − 1)
=
0
sin x = −2 (Tidak mungkin) atau sin x
=
1
2
Jika sin x = 1 maka x =
π 2
sehingga cos x = 0.
8. Delapan titik terletak pada bidang datar sehingga tidak ada titik yang segaris. Banyak segitiga yang dapat dibuat dengan titik-titik sudut dari titik-titik tersebut adalah. . . (a) (b) (c) (d) (e)
56 58 64 84 96
Jawaban : (a) penyelesaian : Dengan mudah kita bisa menebak bahwa segitiga yang dibentuk dari titik-titik tersebut dapat kita hitung dengan menggunakan kombinasi. Crn
=
C83
= = =
C83
=
n! r!(n − r)! 8! 3!(8 − 3)! 8! 3! · 5! 8 · 7 · 6 · 5! 3! · 5! 56
9. Panitia jalan sehat akan membuat sebuah kupon bernomor yang terdiri atas empat angka yang disusun oleh angka-angka 0, 1, 3, 5, dan 7. Jika angka pertama atau angka terakhir tidak 0, maka banyak kupon yang dapat dibuat adalah . . . (a) (b) (c) (d) (e)
600 605 610 620 625
Jawaban : (a) Penyelesaian : Kita misalkan A adalah kejadian angka pertama atau terakhir tidak 0. Maka Ac adalah kejadian angka pertama dan terakhir nol. Sehingga Ac = 5 × 5 = 25. Jumlah kupon keseluruhan adalah = 5 × 5 × 5 × 5 = 625. Maka A
=
Jumlah Seluruh Kupon − Ac
=
625 − 25
=
600
Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2011
5
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.wordpress.com
10. Vektor ~u = 4~i + b~j + c~k tegak lurus w ~ = 2~i − 2~j + 3~k dan |~u| = 2|w|, ~ maka nilai b memenuhi. . . (a) (b) (c) (d) (e)
13b2 − 32b + 404 = 0 13b2 + 32b − 404 = 0 13b2 − 32b − 404 = 0 13b2 + 32b + 404 = 0 3b2 − 10b − 402 = 0
Jawaban : (c) Penyelesaian : Karena ~u ⊥ w, ~ maka ~u · w ~ = 0. ~u · w ~
=
0
(4, b, c) · (2, −2, 3)
=
0
8 − 2b + 3c = 0 3c = 2b − 8 p |~u| = 16 + b2 + c2 √ |w| ~ = 4+4+9 √ = 17 |~u| = 2|w| ~ p √ 16 + b2 + c2 = 2 17 16 + b2 + c2
=
4 · 17
2
=
52
9b2 + 9c2
=
468
9b2 + (3c)2
=
468
2
=
468
9b + 4b − 32b + 64
=
468
13b2 − 32b − 404
=
0
2
b +c
2
9b + (2b − 8) 2
2
(kita Kalikan 9)
11. Diberikan kurva y = x3 + 2x2 − x + 5. Jika garis singgung kurva di titik (a, b) sejajar garis y − 3x − 4 = 0, maka nilai b yang mungkin adalah . . . (a) (b) (c) (d) (e)
12 10 9 8 7
Jawaban : (e) Penyelesaian : y = x3 + 2x2 − x + 5 =⇒ y 0 = 3x2 + 4x − 1 Misalkan gradien garis singgung tersebut adalah m, maka kita mendapatkan y = 3x + 4 ⇒ y 0 = 3. Gradien garis singgung tersebut adalah 3, maka f 0 (a) = 3a2 + 4a − 1 =⇒ 3 = 3a2 + 4a − 1 =⇒ 3a2 + 4a − 4 = 0 ⇐⇒ (3a − 2)(a + 2) = 0 Maka kita dapatkan a = (−2) + 5 ⇒ b = 7.
3 2
dan a = −2. Jika a = −2, maka f (−2) = (−2)3 + 2(−2)2 −
Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2011
6
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.wordpress.com
12. Grafik y = f 0 (x) ditunjukkan seperti gambar berikut.
y = f 0 (x)
−4
−2
0
2
4
Pernyataan yang benar adalah . . . (a) Fungsi f mempunyai titik minimum (0, −1) (b) Fungsi f naik pada interval (0, ∞) (c) Titik minimum lokal f terjadi di x = −2 (d) Fungsi f bernilai positif pada selang (−∞, −2) (e) Titik minimum lokal terjadi di x = 2 Jawaban : (e) Penyelesaian : Dari gambar pada soal kita dapatkan data sebagai berikut: I Fungsi f naik pada interval (−∞, −2) dan (2, ∞) I Fungsi f turun pada interval (−2, 2) I Maksimum lokal terjadi pada titik x = −2 I Minimum lokal terjadi pada titik x = 2 13. Diberikan lingkaran dengan persamaan (x − 5)2 + (y − 12)2 = 142 . Jarak minimal titik pada lingkaran tersebut ke titik asal adalah. . . (a) 14 √ (b) 3 √ (c) 2 (d) 1 1 (e) 2 Jawaban : (d) Penyelesaian : Perhatikan lingkaran berikut ini !
Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2011
7
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.wordpress.com
25
20
15 P
10
5 O
−10
−5
5
0
10
15
20
√ Pusat lingkaran diatas adalah P (5, 12) dengan R = 14. Panjang OP = 52 + 122 ⇒ √ OP = 169 ⇐⇒ |OP | = 13. Jarak minimal titik pada lingkaran tersebut ke titik asal O adalah R − |OP | = 14 − 13 = 1 14. Bola dengan diameter 8 cm seluruhnya terdapat dalam kerucut tegak terbalik. Tinggi kerucut dengan volume terkecil yang mungkin adalah. . . (a) 12 √ (b) 16 2 (c) 16
√ (d) 18 2 (e) 18 Jawaban : (c) Penyelesaian : Perhatikan gambar berikut :
B
C
D
4 E
x
A
Dari kerucut terbalik diatas kita lihat bahwa tinggi kerucut adalah AB. Kita misalkan AD = x sehingga AB = t = x + 4. Misalkan juga BC = r. Sekarang kita cari panjang AE. p AE = AD2 − DE 2 p AE = x2 − 16
Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2011
8
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.wordpress.com
Sekarang kita perhatikan bahwa 4ADE sebangun dengan 4ABC. Sehingga kita mendapatkan hubungan AE DE √ x2 − 16 4
= =
BC
=
r
=
AB BC x+4 BC 4x + 16 √ x2 − 16 4x + 16 √ x2 − 16
Kita tahu bahwa Rumus umum Volume kerucut adalah V = dapatkan V
= = = =
V
=
1 3
· π · r2 · t. Sehingga kita
1 · π · r2 · t 3 2 4x + 16 1 ·π √ · (x + 4) 3 x2 − 16 1 (4x + 16)2 (x + 4) ·π 3 (x2 − 16) 2 1 4 (x + 4)2 (x + 4) ·π 3 (x − 4)(x + 4) 16 (x + 4)2 π 3 (x − 4)
Kemudian kita mencari turunan pertama dari fungsi diatas yaitu: 16 (x + 4)2 V = π 3 (x − 4) 16 2(x + 4)(x − 4) − (x + 4)2 0 V = π 3 (x − 4)2 2 16 2x − 32 − (x2 + 8x + 16) = π 3 (x − 4)2 2 16 x − 8x − 48 = π 3 (x − 4)2 Agar volume yang diperoleh minimum, maka haruslah V 0 = 0 sehingga 2 16 x − 8x − 48 π = 0 3 (x − 4)2 x2 − 8x − 48
=
0
(x − 12)(x + 4)
=
0
x = 12 atau x =
−4
Untuk x = −4 ⇒ AB = t = x + 4 ⇒ AB = 0 (Tidak Mungkin tingginya 0) Untuk x = 12 ⇒ AB = t = 12 + 4 ⇒ AB = 16. atau dengan kata lain bahwa tinggi kerucut tersebut dengan volume terkecil yang mungkin adalah t = 16 cm 15. Diketahui vektor ~u = (1, −3a + 1, 2) dan ~v = (a3 − 3a2 , 3, 0) dengan −2 < a < 4. Nilai maksimum dari ~u · ~v adalah . . . (a) 27 (b) 8 (c) 3 Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2011
9
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.wordpress.com
(d) 1 (e) −24 Jawaban : (b) Penyelesaian : ~u = (1, −3a + 1, 2) ~v = (a3 − 3a2 , 3, 0) Kita misalkan ~u · ~v = T (a) T (a)
= ~u · ~v
T (a)
3 1 a − 3a2 3 = −3a + 1 · 2 0
T (a)
= a3 − 3a2 + 3(−3a + 1) + 0 = a3 − 3a2 − 9a + 3
Agar T maksimum maka haruslah T 0 = 0 sehingga T (a)
=
a3 − 3a2 − 9a + 3
T 0 (a)
=
3a2 − 6a − 9
3a2 − 6a − 9
=
0
a − 2a − 3
=
0
(a + 1)(a − 3)
=
0
a = −1 atau a =
3
2
Untuk a = 3 maka kita dapatkan T (3) = −24 (bukan nilai maksimum) Untuk a = −1 maka kita dapatkna T (−1) = 8. Jadi dapat disimpulkan bahwa nilai maksimum dari ~u · ~v adalah 8 Tulisan ini ditulis dengan menggunakan LATEX. Apabila ada kritik dan saran silahkan hubungi saya di
[email protected] atau my blog di http://www.alfysta.wordpress.com
Selamat Belajar
Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2011
10