Peluruhan Pion Berdasarkan Teori Perturbasi Chiral

Peluruhan Pion Berdasarkan Teori Perturbasi Chiral

Skripsi Diajukan sebagai salah satu syarat untuk meraih gelar Sarjana Sains

Nofirwan 0398020493

Departemen Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Indonesia Depok 2004

Lembar Persetujuan

Judul Skripsi

:

Peluruhan Pion Berdasarkan Teori Perturbasi Chiral

Nama

:

Nofirwan

NPM

:

0398020493

Skripsi ini telah diperiksa dan disetujui Depok, 7 Juni 2004 Mengesahkan

Pembimbing I

Pembimbing II

Dr. Terry Mart

Penguji I

Penguji II

Dr. L.T. Handoko

Dr. Anto Sulaksono

Gambar 1: Foto Tunangan iii

Kata Pengantar Alhamdulillah, puji syukur ke hadirat Allah SWT, atas selesainya penyusunan skripsi ini sebagai syarat untuk meraih gelar Sarjana Sains. Skripsi ini merupakan rangkaian terakhir dari sekian banyak tugas yang penulis harus jalani ketika menempuh pendidikan di Departemen Fisika UI. Topik penelitian yang penulis angkat pada kesempatan kali ini adalah mengenai neutrino. Topik ini cukup menarik karena beberapa tahun belakangan ini banyak dibicarakan mengenai neutrino bermassa yang tentu berlawanan dengan konsep dalam Standard Model. Pada kesempatan kali ini penulis tak lupa mengucapkan terima kasih kepada Dr. L. T. Handoko dan Dr. Terry Mart yang telah dengan sabar membimbing penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini. Penulis menyampaikan apresiasi yang setinggitingginya kepada mereka berdua. Juga kepada penguji penulis, Dr. Na Peng Bo dan Dr. Muhammad Hikam atas masukannya, dan kepada Dr. Anto Sulaksono dan Dr. Chairul Bahri untuk diskusi-diskusi yang menarik dan juga untuk bantuan literatur. Penulis menyadari bahwa tidak ada kesuksesan yang diraih tanpa dukungan dari rekan-rekan penulis. Oleh karena itu penulis tak lupa mengucapkan terima kasih kepada para kolega penulis di grup fisika nuklir dan partikel dan teman-teman penulis lainnya di Departemen Fisika UI, khususnya angkatan ’99 untuk saat-saat menyenangkan selama kuliah. Pada akhirnya, penulis mengucapkan terima kasih kepada kedua orang tua dan adik-adik penulis atas dukungan dan doanya selama ini. Semoga Allah SWT membalas kebaikan kalian semua. Tiada diskusi melainkan pengayaan pemikiran dan perenungan. Terus berpikir berarti terus hidup. Sedangkan terus berpikir dan berbuat berarti hidup dalam kesejatian.

iii

Nofirwan

iv

Abstrak Diberikan elemen-elemen utama dan metode-metode dari teori perturbasi chiral (ChPT), teori medan efektif dari Standard Model menurut skala kerusakan simetri chiral secara spontan. Dasar teori ini adalah simetri global SU(3)L ×SU(3)R ×U(1)V dari Lagrangian QCD dalam batas quark u, d, dan s tak bermassa, diasumsikan secara spontan rusak ke SU(3)V ×U(1)V yang menghasilkan delapan boson Goldstone tak bermassa. Teori medan efektif memperkenalkan Lagrangian efektif dengan orde terendah yang akan digunakan untuk menerangkan proses pada peluruhan pion. Kata kunci: chiral.

Abstract The main elements and methods of chiral perturbation theory, the effective field theory of the Standard Model below the scale of sponaneous chiral symmetry breaking, are summarized. The basis of ChPT is the global SU(3)L ×SU(3)R ×U(1)V symmetry of the QCD Lagrangian in the limit of massless u, d, and s quarks, is assumed to be spontaneously broken down to SU(3)V ×U(1)V giving rise to eight massless Goldstone bosons. The effective field theory, introducing to the effective Lagrangian at lowest order is used to describe pion decay processes. Keywords: chiral.

v

Daftar Isi Kata Pengantar

iii

Abstrak

v

Daftar Isi

vi

Daftar Tabel

viii

Daftar Gambar

ix

1 Pendahuluan

1

1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2 Perumusan Masalah

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3 Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.4 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2 Tinjauan Pustaka

5

2.1

Quantum Electrodynamics (QED) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2

Quantum Chromodynamics (QCD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.2.1

Beberapa Sifat pada SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.2.2

Lagrangian QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.3

Simetri Chiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3.1

Medan quark Left-Handed dan Right-Handed . . . . . . . . . . 13

2.3.2

Teorema Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.3

Arus Simetri Global dari Sektor Quark Ringan . . . . . . . . . 19

2.3.4

Aljabar Chiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.5

QCD Dalam Kehadiran Medan-medan Eksternal . . . . . . . . 24 vi

3 Kerusakan Simetri Spontan dan Lagrangian Efektif

30

3.1 Kerusakan Simetri Chiral Karena Suku Massa Quark . . . . . . . . . 30 3.2

Kerusakan Spontan Dari Simetri Global, Kontinu, Non-Abelian . . . 33

3.3

Teorema Goldstone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.4

Kerusakan Simetri Spontan Dalam QCD . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.4.1

Spektrum Hadron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4.2

Condensate Quark skalar h¯ q qi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.5 Lagrangian Efektif Orde Terendah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.6 Konstruksi Lagrangian Efektif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4 Hasil dan Pembahasan

57

4.1 Peluruhan Pion π + → µ+ νµ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.2 Pembahasan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5 Kesimpulan dan Saran

61

A Mekanika Kuantum Relativistik

62

A.1 Notasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 A.2 Aljabar Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 B Transformasi Grup U(1),U(3) dan SU(3) Daftar Acuan

66 67

vii

Daftar Tabel 2.1 Konstanta struktur anti-simetrik dari SU(3) yang seluruhnya tidak nol.

8

2.2 Simbol d dari simetri SU(3) yang seluruhnya tidak nol. . . . . . . . .

9

2.3

Flavor-flavor quark, muatan dan massa-massanya. Besar mutlak ms ditentukan menggunakan aturan jumlah QCD. Hasil tersebut diberikan untuk massa berlari MS pada skala µ = 1 GeV. Massa quark-quark ringan dihasilkan dari rasio massa yang ditemukan menggunakan teori perturbasi chiral, menggunakan massa quark strange sebagai masukan. Massa quark-quark berat mc dan mb masing -masing ditentukan oleh massa charmonium dan D, dan massa bottomium dan B. . 10

2.4

Sifat-sifat transformasi dari matriks-matriks Dirac Γ terhadap paritas. 25

2.5

Sifat-sifat transformasi dari matriks-matriks Dirac terhadap konjugasi muatan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1

Perbandingan kerusakan simetri spontan. . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2

Sifat-sifat transformasi terhadap grup (G), konjugasi muatan (C), dan paritas (P ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

viii

Daftar Gambar 1

Foto Tunangan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

3.1 Potential dua dimensi yang invarian terhadap rotasi: V(x, y) = −(x2 + y2) +

(x2 +y 2 )2 . 4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.1 Peluruhan Pion π + → µ+ νµ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

ix

Bab 1 Pendahuluan Sampai sekarang orang masih mencari tahu apa yang menjadi penyusun alam semesta ini. Secara garis besar, partikel yang menyusun alam semesta dibagi menjadi dua golongan, yaitu quark dan lepton. Quark dibedakan menjadi enam citarasa (flavor) yaitu, u (up), d (down), s (strange), c (charm), t (top), dan b (bottom) yang datang dengan tiga derajat kebebasan warna (color) dan bertransformasi sebagai triplet menurut transformasi fundamental SU(3). Lepton terdiri atas elektron (νe , e), muon (νµ , µ), dan tau (ντ , τ ). Lepton terbagi menjadi dua kelas menurut muatan listriknya, neutrino netral νe , νµ , ντ dan yang bermuatan negatif e− , µ− , τ − . Selain lepton ada juga yang dinamakan meson dan baryon. Meson memiliki massa yang terletak di antara massa lepton dan massa baryon. Partikel-partikel di atas dapat saling berinteraksi melalui empat interaksi dasar, yaitu interaksi elektromagnetik, lemah, kuat, dan gravitasi. Meson memiliki spin nol atau satu sedangkan baryon memiliki spin kelipatan 1/2. Meson dan baryon dapat mengalami interaksi kuat, karena itu mereka termasuk dalam golongan hadronik. Saat ini hanya interaksi elektromagnetik yang benar-benar dapat dimengerti, yang tercantum dalam Quantum Electrodynamics (QED). Interaksi elektromagnetik dan interaksi lemah tergabung dalam interaksi elektro lemah (electroweak). Sedangkan untuk interaksi kuat terdapat dalam Quantum Chromodynamics (QCD). Keseluruhan teori mengenai partikel dan interaksinya di atas (tidak termasuk gravitasi), merupakan kesatuan teori yang disebut Standard Model (SM). SM adalah teori yang mampu menjelaskan hampir sebagian besar fenomena interaksi dalam fisika energi tinggi.

1

1.1

Latar Belakang

Pada tahun 1950-an, gambaran tentang interaksi kuat dalam kerangka teori medan kuantum nampaknya gagal karena menimbulkan konstanta kopling yang terlalu besar pada energi tingkat rendah. Spektrum hadron yang kaya bersama dengan ukurannya merupakan petunjuk awal terhadap substruktur dalam unsur-unsur pokok yang lebih fundamental. Saat ini, hadron adalah obyek-obyek kompleks yang dibangun dari banyak derajat kebebasan yang fundamental. Banyak hasil-hasil empiris dari fisika medium dan fisika energi tinggi seperti produksi hadron dalam pemusnahan elektron-positron, berhasil diterangkan menggunakan metode gangguan dalam kerangka kerja dari teori gauge SU(3) yang mengacu pada Quantum Chromodynamics (QCD). Masih belum ada metode analitik yang menjelaskan QCD pada jarak yang jauh, yaitu pada energi-energi rendah. Sebagai contoh, bagaimana hadron-hadron diamati secara asimtotik, termasuk spektrum resonansinya yang kaya, yang diciptakan oleh QCD masih belum secukupnya dipahami. Ada tiga masalah QCD pada level kuantum, yaitu, ”masalah gap”,”quark confinement”, dan ”kerusakan simetri chiral secara spontan”. Pada energi sangat rendah (cenderung ke nol), konstanta kopling QCD akan sangat besar. Namun pada energi tinggi, didapat konstanta kopling yang rendah dan lebih rendah lagi. Inilah yang biasanya dikenal sebagai asymptotic freedom. Hanya terhadap masalah asymptotic freedom teori perturbasi dapat dilakukan. Masih ada usaha lain dalam mengatasi hal ini, yakni dengan teori simetri, yang terdiri dari simetri chiral SU(3)L × SU(3)R dan realisasinya, yaitu kerusakan simetri spontan ke SU(3)V pada apa yang dinamakan kerapatan Lagrangian efektif. Hal ini kemudian ditulis dalam suku-suku dari medan boson Goldstone pseudoskalar yang diamati secara asimtotik dan menjelaskan sifat energi rendah dari QCD. Sekarang boleh dilakukan perturbasi non-konvensional, yaitu perturbasi bukan lagi dalam pangkat konstanta kopling tapi dalam pangkat momentum boson Goldstone eksternal (rendah) dan massa quark (kecil). Metode ini yang dikenal sebagai mesonic chiral perturbation theory (teori perturbasi chiral sektor meson).

2

1.2

Perumusan Masalah

Pada energi rendah, perturbasi tidak dapat dilakukan karena adanya konstanta kopling yang besar sehingga dibutuhkan suatu teori dimana perturbasi masih dapat dilakukan. Teori tersebut dikenal sebagai teori perturbasi chiral. Spektrum hadron yang diamati dalam percobaan masih belum dapat dimengerti. Ternyata derajat kebebasan hadronik pada energi rendah muncul sebagai keadaan asimtotik yang dapat diamati. Timbul pertanyaan bagaimana keadaan ini dapat dijelaskan secara teoritik? Keadaan ini hanya dapat diperiksa melalui teori perturbasi chiral yang diperkenalkan oleh Gasser dan Leutwyler [16, 17]. Karena dasar teori ini memeriksa proses-proses interaksi kuat QCD pada tingkat energi rendah atau keadaan dengan suku massa quark sama dengan nol yang biasa disebut sebagai batas chiral. Pada batas ini, medan quark left- dan right-handed dipisahkan satu sama lain dalam Lagrangian efektif QCD. Pada tingkat klasik, Lagrangian efektif memperlihatkan simetri global SU(3)L × SU(3)R . Namun, pada tingkat kuantum arus aksial vektor singlet mengembangkan suatu anomali [1, 2, 3, 4, 5] sehingga perbedaan bilangan quark left- dan right-handed bukanlah suatu konstanta gerak. Dengan kata lain, dalam batas chiral, Hamiltonian QCD mempunyai simetri SU(3)L ×SU(3)R ×U(1)V . Dengan ini orang dapat mempelajari lebih dalam tentang struktur hadron yang sampai saat ini masih hangat dibicarakan.

1.3

Metode Penelitian

Penelitian yang dilakukan di sini sifatnya hanya teoritik. Karena itu diperlukan suatu kerangka kerja yang sistematis dalam menerangkan proses-proses fisika yang terjadi. Kerangka kerja teoritik yang digunakan adalah teori Medan Kuantum Efektif (Effective Quantum Field Theory) yang di dalamnya tercakup teori perturbasi chiral. Teori ini dikembangkan oleh Gasser dan Leutwyler [16, 17] yang menganalisis konsekuensi simetri SU(3)L × SU(3)R dari LQCD dengan memperkenalkan kopling dari sembilan arus vektor dan delapan arus aksial vektor dan juga kerapatan quark skalar dan pseudoskalar ke dalam Lagrangian QCD dan mempromosikan simetri global ke simetri lokal.

3

1.4

Tujuan

Pada energi rendah QCD terdapat konstanta kopling yang besar sehingga tidak memungkinkan untuk dilakukannya teori gangguan. Sementara itu pada energi tinggi terdapat kopling yang kecil dan makin kecil yang biasa dikenal sebagai asymptotic freedom (kebebasan asimtotik). Hanya pada daerah asimtotik teori perturbasi (gangguan) dapat dilakukan. Namun, agar teori perturbasi dapat dilakukan pada energi rendah, maka ekspansi pangkat dalam perturbasi bukan dilakukan terhadap kopling melainkan terhadap momentum boson Goldstone dan massa quark. Metode ini yang dikenal sebagai chiral perturbation theory (teori perturbasi chiral). Dengan teori ini akan dilihat bagaimana menjelaskan dinamika boson Goldstone (termasuk pion) pada tingkat energi rendah dalam kerangka kerja teori medan efektif.

4

Bab 2 Tinjauan Pustaka Teori perturbasi chiral memberikan suatu kerangka kerja yang sistematis untuk memeriksa proses-proses interaksi kuat pada energi rendah. Dasar teori perturbasi chiral adalah simetri global SU(3)L × SU(3)R × U(1)V dari Lagrangian QCD dalam batas quark tak bermasa u, d, dan s yang diasumsikan rusak ke SU(3)V × U(1)V secara spontan dan menimbulkan delapan boson Goldstone. Sebelumnya akan diperkenalkan prinsip gauge. Prinsip gauge adalah metode yang amat sukses dalam fisika partikel elementer untuk membangkitkan interaksi antara medan-medan materi melalui pertukaran boson-boson gauge (tera) tak bermassa.

2.1

Quantum Electrodynamics (QED)

Quantum Electrodynamics (QED) adalah teori gauge yang menerangkan interaksiinteraksi elektromagnetik antar partikel, dihasilkan dari promosi simetri global U(1) dari Lagrangian yang menggambarkan elektron bebas ke dalam bentuk simetri lokal.1 ¯ (iγ µ ∂µ − m) Ψ 7→ Lfree , Ψ 7→ exp (−iΘ) Ψ : Lfree = Ψ

(2.1)

Dalam proses ini parameter 0 ≤ Θ ≤ 2π menggambarkan sebuah elemen dari U(1) yang diperbolehkan untuk bervariasi secara mulus dalam ruang-waktu, Θ → Θ(x), yang menunjuk kepada menterakan grup U(1). Untuk menjaga keinvarianan Lagrangian menurut transformasi lokal, diperkenalkan potensial-empat Aµ ke dalam teori yang bertransformasi menurut transformasi gauge Aµ 7→ Aµ − ∂µ Θ/e. Agar 1

Penulis menggunakan representasi matriks-matriks Dirac.

5

diperoleh suku kinetik dalam Aµ harus juga dimasukkan suku interaksi berupa tensor kuat medan Fµν . Oleh karena itu dengan merujuk pada menterakan Lagrangian yang berkenaan dengan U(1) diperoleh Lagrangian QED: ¯ [iγ µ (∂µ − ieAµ ) − m] Ψ − 1 Fµν F µν , LQED = Ψ (2.2) 4 dimana Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ . Kemudian turunan kovarian ∂µ dari Ψ diganti dengan Dµ , Dµ ≡ (∂µ − ieAµ ) Ψ, didefinisikan sedemikian hingga menurut transformasi gauge jenis kedua Ψ(x) 7→ exp [−iΘ(x)] Ψ(x),

Aµ (x) 7→ Aµ (x) − ∂µ Θ(x)/e,

(2.3)

turunan kovarian bertransformasi dengan cara yang sama, yaitu hanya bekerja pada Ψ sendiri: 0

0

Dµ Ψ(x) 7→ Dµ Ψ (x) h i 0 0 = ∂µ − ieAµ (x) exp [−iΘ(x)] Ψ (x) = [∂µ − ie (Aµ (x) − ∂µ Θ/e)] exp [−iΘ(x)] Ψ(x) = exp[−iΘ(x)][∂µ − ieA(x)]Ψ(x) = exp[−iΘ(x)]Dµ Ψ(x)

(2.4)

Suku massa M 2 A2 /2 tidak dimasukkan ke dalam Lagrangian karena suku ini akan melanggar invarian gauge dan oleh karena itu prinsip gauge membutuhkan bosonboson gauge tak bermassa.2 Dalam hal ini dikenal Aµ sebagai potensial-empat elektromagnetik dan Fµν sebagai tensor kuat medan yang mengandung medan listrik dan medan magnet. Prinsip gauge ini (secara alami) telah mengembangkan interaksi medan elektromagnetik dengan materi.

2.2 2.2.1

Quantum Chromodynamics (QCD) Beberapa Sifat pada SU(3)

Grup SU(3) memainkan peranan penting dalam konteks interaksi kuat, karena SU(3) adalah grup tera (gauge) dari QCD. Pada sisi lain flavor SU(3) kira-kira direalisasikan sebagai simetri global dari spektrum hadron [6, 7, 8], supaya hadron-hadron 2

Massa dari medan-medan gauge dimunculkan melalui kerusakan spontan dari simetri gauge.

6

(massa rendah) yang diamati dapat disusun kira-kira dalam multiplet-multiplet yang terdegenerasi dengan mencocokkan dimensi dari representasi irredusibel SU(3). Pada akhirnya, hasil kali langsung dari SU(3)L × SU(3)R adalah grup simetri chiral untuk menghilangkan massa-massa quark u, d dan s. Grup SU(3) ditentukan sebagai himpunan matriks unitari, unimodular, 3 × 3 U , yakni U † U = 1 dan det( U )=1. Dalam hal matematika, SU(3) adalah delapan parameter yang secara sederhana dihubungkan dengan grup Lie yang compact. Elemen-elemen SU(3) dapat ditulis dalam bentuk à ! 8 X λa U (Θ) = exp −i Θa , 2 a=1

(2.5)

dengan Θa bilangan-bilangan riil, dan delapan matriks λa disebut matriks-matriks Gell-Mann, yang memenuhi λa ∂U = i (0, . . . , 0), 2 ∂Θa λa = λ†a ,

(2.6) (2.7)

Tr(λa λb ) = 2δab ,

(2.8)

Tr(λa ) = 0.

(2.9)

Representasi eksplisit dari matriks Gell-Mann adalah       0 1 0 0 −i 0 1 0 0 λ1 =  1 0 0  , λ2 =  i 0 0  , λ3 =  0 −1 0  , 0 0 0 0 0 0 0 0 0       0 0 1 0 0 −i 0 0 0 λ4 =  0 0 0  , λ5 =  0 0 0  , λ6 =  0 0 1  , 1 0 0 i 0 0 0 1 0     1 0 0 0 0 0 1    0 1 0  0 0 −i , λ7 = (2.10) λ8 = √ 3 0 0 −2 0 i 0 Himpunan {iλa } merupakan basis aljabar Lie su(3) dari SU(3), yakni, himpunan semua matriks skew Hermitian 3×3 yang tidak mempunyai trace. Hasil dari grup Lie kemudian ditentukan dalam suku-suku perkalian matriks biasa sebagai komutator dua elemen dari su(3). Definisi seperti itu secara alami memenuhi sifat-sifat antikomutatif Lie [A, B] = −[B, A] 7

(2.11)

abc fabc

123 147 1 1 2

156 246 1 − 21 2

257 1 2

345 367 1 − 12 2

458 √ 3

1 2

678 √ 3

1 2

Tabel 2.1: Konstanta struktur anti-simetrik dari SU(3) yang seluruhnya tidak nol.

dan juga identitas Jacobi [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0.

(2.12)

Struktur dari grup Lie diberi kode dalam hubungan komutasi dari matriksmatriks Gell-Mann,

·

¸ λa λb λc , = ifabc , 2 2 2

(2.13)

dimana fabc adalah konstanta struktur riil yang sepenuhnya anti-simetrik. [λa , λb ]

=

2ifabc λc

[λa , λb ] λc

=

2ifabc λ2c

Tr ([λa , λb ])

¡ ¢ 2ifabc Tr λ2c

(2.8)

=

Tr ([λa , λb ])

=

fabc

=

4ifabc 1 Tr ([λa , λb ] λc ) 4i

(2.14)

Lebih jelasnya, konstanta-konstanta stuktur ini adalah sebuah pengukuran nonkomutatif dari grup SU(3). Hubungan anti-komutasi memberikan 4 {λa , λb } = δab + 2dabc λc , 3

(2.15)

dimana simetri dabc sepenuhnya diberikan oleh 1 dabc = Tr ({λa , λb } λc ) 4

(2.16)

Selain itu, ada baiknya memperkenalkan matriks ke-sembilan r 2 diag(1, 1, 1), λ0 = 3 agar persamaan (2.7) dan (2.8) masih dipenuhi oleh sembilan matriks λa . Khususnya, kumpulan {iλa |a = 1, · · · , 8} merupakan basis aljabar Lie u(3) dari U(3), yakni, 8

abc dabc abc dabc

118 146

157

228

338

344

1 2

1 2

377 − 12

448

668

√1 3

1 2

355 366 1 − 21 2

√1 3

247 − 12 558

256

1 2

778

− 2√1 3

− 2√1 3

− 2√1 3

− 2√1 3

√1 3

888 − √13

Tabel 2.2: Simbol d dari simetri SU(3) yang seluruhnya tidak nol.

kumpulan dari semua matriks 3×3 skew Hermitian kompleks. Akhirnya, sebuah matriks sembarang 3×3 dapat ditulis sebagai M=

8 X

λa Ma ,

(2.17)

a=0

dimana Ma adalah bilangan-bilangan kompleks yang diberikan oleh λb M = Tr (λb M ) = Tr (λb M ) =

8 X a=0 8 X a=0 8 X

λb λa Ma Tr (λb λa ) Ma 2δba Ma

a=0

Tr (λb M ) = 2Mb 1 Mb = Tr (λb M ) 2 1 Ma = Tr (λa M ) 2

2.2.2

Lagrangian QCD

QCD adalah teori gauge dari interaksi-interaksi kuat [9, 10, 11] dengan color SU(3) yang mendasari grup gauge. Medan materi QCD adalah quark-quark yang merupakan fermion spin-1/2, dengan enam flavor berbeda untuk tiga warna yang mungkin (lihat tabel 2.3). Karena quark tidak diamati sebagai keadaan bebas secara asimtotik, pengertian massa quark dan nilai-nilai numeriknya sangat dekat dihubungkan dengan metode dimana massa quark diekstrak dari sifat-sifat hadronik. Berkenaan dengan apa yang dinamakan nilai-nilai massa current-quark dari quark-quark ringan, seharusnyalah memandang suku-suku massa quark semata-mata hanya sebagai parameter-parameter symmetry breaking (kerusakan simetri) dengan besar massa 9

flavor muatan[e] massa[MeV] flavor muatan[e] massa[GeV]

u 2/3 5.1 ± 0.9 c 2/3 1.15 − 1.35

d s −1/3 −1/3 9.3 ± 1.4 175 ± 25 b t −1/3 2/3 4.0 − 4.4 174.3 ± 3.2 ± 4.0

Tabel 2.3: Flavor-flavor quark, muatan dan massa-massanya. Besar mutlak ms ditentukan menggunakan aturan jumlah QCD. Hasil tersebut diberikan untuk massa berlari MS pada skala µ = 1 GeV. Massa quark-quark ringan dihasilkan dari rasio massa yang ditemukan menggunakan teori perturbasi chiral, menggunakan massa quark strange sebagai masukan. Massa quark-quark berat mc dan mb masing masing ditentukan oleh massa charmonium dan D, dan massa bottomium dan B.

tersebut memberikan pengukuran secara luas untuk simetri chiral yang telah rusak. Sebagai contoh, rasio dari massa-massa quark ringan dapat diduga dari massa-massa oktet psudoskalar ringan [12]. Perbandingan antara massa proton, mp = 938 MeV, dengan jumlah dua massa current-quark up dan down (lihat tabel 2.3) mp À 2mu + md ,

(2.18)

menunjukkan bahwa interpretasi massa proton dalam suku-suku parameter massa current-quark harus sangat berbeda dari, katakan saja keadaan atom hidrogen, dimana massa secara esensial diberikan oleh jumlah massa proton dan elektron yang dikoreksi oleh sejumlah kecil energi ikat. Lagrangian QCD dihasilkan dari prinsip gauge yaitu [13, 14] LQCD =

X

1 q¯f (iD / − mf ) qf − Gµν,a Gaµν . 4 u,d,s

(2.19)

f = c,b,t

Untuk setiap flavor quark f , medan quark qf terdiri dari triplet warna (indeks bawah r, g, dan b untuk ”red”, ”green”, dan ”blue”),   qf,r qf =  qf,g  , qf,b

(2.20)

yang bertransformasi menurut transformasi gauge g(x) yang digambarkan oleh him-

10

punan parameter-parameter Θ(x) = [Θ1 (x), · · · , Θ8 (x)] menurut3 # " 8 X λC 0 qf 7→ qf = exp −i Θa (x) a qf = U [g(x)]qf . 2 a=1

(2.21)

Secara teknis, setiap medan quark qf bertransformasi menurut representasi fundamental dari warna SU(3). Karena SU(3) adalah delapan parameter grup, turunan kovarian persamaan (2.19) mengandung delapan parameter potensial gauge Aµ,a ,       8 qf,r qf,r qf,r C X λa Dµ  qf,g  = ∂µ  qf,g  − ig Aµ,a  qf,g  (2.22) 2 a=1 qf,b qf,b qf,b Perlu dicatat bahwa interaksi antara quark dan gluon tidak bergantung pada flavor quark. Dengan menuntut adanya invarian gauge LQCD , memaksa sifat transformasi berikut dari medan-medan gauge λC λC i a Aµ,a (x) 7→ U [g(x)] a Aµ,a (x)U † [g(x)] − ∂µ U [g(x)]U † [g(x)]. 2 2 g

(2.23)

Sekali lagi, dengan syarat ini turunan kovarian Dµ qf bertransformasi pada qf , yakni 0

0

Dµ qf 7→ Dµ qf = U (g)Dµ qf . " 0

0

D µ qf =

∂µ − ig

0

a

Aµ,a qf

2 Ã 8 X λC

a=1

" =

#

8 X λC

∂µ − igU

a

a=1

2

!

Aµ,a U † − (∂µ U )U † U qf

= (∂µ U )qf + U (∂µ qf ) − igU Ã = U

∂µ − ig

8 X a=1

λC a 2

#

!

8 X λC a

a=1

2

Aµ,a qf − (∂µ U )qf

Aµ,a qf

= U D µ qf Menurut transformasi gauge jenis pertama, yakni transformasi global SU(3), suku kedua pada sisi sebelah kanan pers. (2.23) akan menghilang dan medan-medan gauge akan bertransformasi menurut representasi adjoint. 3 Demi kejelasan, matriks-matriks Gell-Mann mengandung indeks atas C yang menjelaskan bekerja pada ruang warna.

11

Sejauh ini hanya bagian medan materi LQCD yang dipertimbangkan termasuk interaksinya dengan medan-medan gauge. Persamaan (2.19) juga berisi generalisasi dari tensor kuat medan untuk kasus non-Abelian, Gµν,a = ∂µ Aν,a − ∂ν Aµ,a + gfabc Aµ,b Aν,c ,

(2.24)

dengan fabc konstanta struktur SU(3) yang diberikan dalam tabel 2.1. Seperti pers. (2.23) tensor kuat medan bertransformasi menurut SU(3) sebagai Gµν ≡

λC a Gµν,a 7→ U [g(x)]Gµν U † [g(x)]. 2

(2.25)

Dengan menggunakan pers. (2.8) bagian gluonic murni LQCD dapat ditulis µ C ¶ ¡ ¢ λa λC µν b Tr Gµν,a Gb = Tr U Gµν U † U G µν U † 2 2 µ C C¶ λa λb Gµν,a Gbµν Tr = Tr(Gµν G µν U † U ) 2 2 1 Gµν,a δab Gbµν = Tr(Gµν G µν ) 2 Gµν,a Gaµν = 2Tr(Gµν G µν ) maka 1 1 − Gµν,a Gaµν = − TrC (Gµν G µν ) 4 2 yang diperoleh dengan menggunakan sifat trace, Tr(ABCD)=Tr(BCDA), bersama dengan U U † = U † U = 1, dengan mudah dapat dilihat Lagrangian QCD invarian terhadap transformasi pers. (2.25). Perbedaannya terhadap kasus Abelian QED, tensor kuat medan yang dikuadrati menimbulkan interaksi diri medan gauge yang melibatkan verteks dengan tiga dan empat medan gauge masing-masing dengan kekuatan g dan g 2 . Suku-suku interaksi seperti ini merupakan karakteristik dari teori gauge non-Abelian dan suku-suku tersebut membuat non-Abelian lebih rumit daripada teori Abelian.

12

2.3

Simetri Chiral

Enam flavor quark secara umum dibagi menjadi tiga kuark ringan u, d, dan s, dan tiga flavor berat c, b, dan t.     mc = (1.15 − 1.35) GeV mu = 0.005 GeV  md = 0.009 GeV  ¿ 1 GeV ≤  mb = (4.0 − 4.4) GeV  , mt = 174 GeV ms = 0.175 GeV

(2.26)

dimana skala ΛCSB = 1 GeV dikaitkan dengan massa-massa hadron paling ringan yang berisi quark-quark ringan, contohnya mρ = 770 MeV, yang bukan merupakan boson Goldstone yang diakibatkan dari kerusakan simetri spontan. Skala yang dikaitkan dengan kerusakan simetri spontan, 4πFπ ≈ 1170 MeV, memiliki besar orde yang sama. Berikutnya, akan diperkirakan Lagrangian QCD lengkap dengan versi flavor quark ringan, yakni, mengabaikan efek pasangan quark-antiquark berat ¯ Secara khusus, persamaan (2.18) memberi kesan bahwa Lagrangian L0 hh. hanya QCD

mengandung flavor quark-quark ringan di dalam apa yang dinamakan batas chiral mu , md , ms → 0, menjadi awal yang baik dalam membicarakan QCD energi-rendah: L0QCD =

X

1 q¯l iD /ql − Gµν,a Gaµν 4 l=u,d,s

(2.27)

Turunan kovarian D / ql hanya bekerja pada color (warna) dan indeks Dirac, tetapi tidak bergantung flavor.

2.3.1

Medan quark Left-Handed dan Right-Handed

Agar selengkapnya simetri-simetri global dari persamaan (2.27) terlihat, dipertimbangkanlah suatu matriks chirality γ5 = γ 5 = iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 , {γ µ , γ5 } = 0, γ52 = 1, dan memperkenalkan operator-operator proyeksi 1 PR = (1 + γ5 ) = PR† , 2

1 PL = (1 − γ5 ) = PL† 2

(2.28)

dimana indeks R dan L mengacu pada right-handed dan left-handed, seperti akan menjadi lebih jelas di bawah ini. Nampak jelas bahwa matriks 4×4 PR dan PL memenuhi hubungan kelengkapan PR + PL = 1 13

(2.29)

PR2 = PR ,

PL2 = PL

(2.30)

dan hubungan ortogonalitas 1 PR PL = PL PR = (1 − γ52 ) = 0 4

(2.31)

Sifat-sifat gabungan dari persamaan (2.28) - (2.31) menjamin bahwa PR dan PL sungguh-sungguh operator proyeksi yang memproyeksikan variabel medan Dirac q ke komponen-komponen chiral-nya qR dan qL . qR = PR q,

qL = PL q.

(2.32)

Kita ingat dalam konteks ini variabel (medan) chiral adalah variabel yang terhadap paritas ditransformasikan menjadi varabel asal maupun variabel negatifnya. Terhadap paritas, medan quark ditransformasikan menjadi konjugate paritasnya, P : q(t, ~x) 7→ γ0 q(t, −~x), maka qR (t, ~x) = PR q(t, ~x) 7→ PR γ0 q(t, −~x) = γ0 PL q(t, −~x) = γ0 qL 6= ±qR (t, −~x), dan serupa untuk qL . 1 1 (1 + γ5 )γ0 = (γ0 + γ5 γ0 ) 2 2 1 1 = (γ0 − γ0 γ5 ) = γ0 (1 − γ5 ) = γ0 PL 2 2

PR γ0 =

qL (t, ~x) = PL q(t, ~x) 7→ PL γ0 q(t, −~x) = γ0 PR q(t, −~x) = γ0 qR 6= ±qL (t, −~x) Istilah medan right-handed dan left-handed dengan mudah dapat divisualisasikan di dalam suku-suku dari solusi untuk persamaan Dirac partikel bebas. Untuk maksud tersebut, akan dipertimbangkan solusi energi-positif relativistik ekstrim dengan momentum-tiga p~ u(~p, ±) =

4

√

µ E+M

χ± ~ σ ·~ p χ E+M ±

¶

EÀM √ → E

4

µ

χ± ±χ±

¶ ≡ u± (~p ),

Disini penulis mengadopsi normalisasi kovarian dari spinor-spinor, u(α)† (~ p)u(β)† (~ p) = 2Eδαβ , dan sebagainya.

14

dimana telah diasumsikan bahwa spin dalam kerangka diam sejajar terhadap yang lain atau antiparalel terhadap arah momentum ~σ · p~ χ± = ~σ · pˆ |~p| χ± = |~p| ~σ · pˆ χ± jika momentum diambil arah ~z µ

¶ 1 0 ~σ · pˆ = ~σ · kˆ = σz = 0 −1 µ ¶ µ ¶ 1 0 χ+ = , χ− 0 −1

ˆ pˆ = k,

~σ · kˆ = σz maka µ

¶µ ¶ µ ¶ 1 0 1 1 σz χ+ = = = +χ+ 0 −1 0 0 µ ¶µ ¶ µ ¶ 1 0 1 0 σz χ− = = = −χ− 0 −1 0 −1 ∴ (~σ · pˆ)χ± = ±χ± (~σ · p~)χ± = (~σ · pˆ)|~p|χ± = |~p|(~σ · pˆ)χ± =

√

E 2 − M 2 (±χ± )

dan µ

¶ µ ¶ √ χ± χ± EÀM √ u(~p, ±) = 7 → E+M = E+M ~ σ ·~ p E 2 −M 2 χ ± χ± E+M ± E+M µ ¶ √ χ± E ≡ u± (~p) ±χ± ¶ ¶ µ µ √ √ χ+ χ− , u− = E u+ = E χ+ −χ− √

Dalam representasi standar matriks-matriks Dirac kita dapatkan ¶ ¶ µ µ 1 1 12×2 12×2 1 12×2 −12×2 PR = (1 + γ5 ) = , PL = 12×2 2 2 12×2 12×2 2 −12×2 sehingga 1√ P R u+ = E 2

µ

1 1 1 1

¶µ

χ+ χ+

¶

1√ = E 2

15

µ

2χ+ 2χ+

¶ =

√

µ E

χ+ χ+

¶ = u+

µ ¶µ ¶ µ 1√ 1√ 1 −1 χ+ PL u+ = E = E −1 1 χ+ 2 2 µ ¶µ µ ¶ 1√ 1√ 1 1 χ− P R u− = E E = 1 1 −χ− 2 2 1√ PL u− = E 2

µ

1 −1 −1 1

¶µ

χ− −χ−

¶

1√ = E 2

µ

2χ− −2χ−

0 0 0 0

¶ =

¶ =0 ¶ =0

√

µ E

χ− −χ−

¶ = u−

Dalam batas relativistik ekstrim (atau lebih baik, dalam batas massa nol), operator PR dan PL melakukan proyeksi ke keadaan eigen dengan helisitas positif dan negatif, yaitu dalam batas ini chirality sama dengan helicity. Di sini tujuannya adalah untuk menganalisis simetri dari lagrangian QCD dengan mematuhi sifat transformasi global yang independen dari medan left-handed dan right-handed. Untuk mengkomposisikan 16 bentuk kuadratik menjadi proyeksinya masing-masing terhadap medan left-handed dan right-handed, dibuatlah menggunakan

½ q¯Γi q =

q¯R Γ1 qR + q¯L Γ1 qL untuk Γ1 ∈ {γ µ , γ µ γ 5 } , q¯R Γ2 qL + q¯L Γ2 qR untuk Γ2 ∈ {1, γ5 , σ µν }

(2.33)

dimana 1 1 q¯R = qR† γ0 = (PR q)† γ0 = q † PR† γ0 = q † (1 + γ5 )γ0 = q † γ0 (1 − γ5 ) = q¯PL 2 2 1 1 † † q¯L = qL γ0 = (PL q)† γ0 = q † PL γ0 = q † (1 − γ5 )γ0 = q † γ0 (1 + γ5 ) = q¯PR 2 2 dengan

i σ µν = (γ µ γ ν − γ ν γ µ ) 2 Persamaan (2.33) dengan mudah dibuktikan dengan memasukkan hubungan kelengkapan dari persamaan (2.29) sekaligus ke sebelah kiri dan kanan dari Γi , q¯Γi q = q¯(PR + PL )Γi (PR + PL )q = (¯ qL + q¯L )Γi (¯ qR + q¯L ) dan dengan catatan {Γ1 , γ5 } = 0 dan [Γ2 , γ5 ] = 0. Untuk Γ1 = γ µ : q¯γ µ q = (¯ qL + q¯L )γ µ (¯ qR + q¯L ) = q¯L γ µ qR + q¯R γ µ qR + q¯L γ µ qL + q¯R γ µ qL 1 1 q¯L γ µ qR = q¯PR γ µ PR q = q¯(1 + γ5 )γ µ (1 + γ5 )q = q¯γ µ (1 − γ5 )(1 + γ5 )q = 0 4 4 1 1 µ µ µ q¯R γ qL = q¯PL γ PL q = q¯(1 − γ5 )γ (1 − γ5 )q = q¯γ µ (1 + γ5 )(1 − γ5 )q = 0 4 4

16

∴ q¯γ µ q = q¯R γ µ qR + q¯L γ µ qL dengan cara yang sama dapat dibuktikan untuk Γi yang lain. Bersama dengan hubungan orthogonalitas dari persamaan (2.31) kemudian dihasilkan PR Γ1 PR = = PL Γ1 PL = = PR Γ2 PL = = PL Γ2 PR = =

1 1 (1 + γ5 )Γ1 (1 + γ5 ) = (Γ1 + γ5 Γ1 )(1 + γ5 ) 4 4 1 Γ1 (1 − γ5 )(1 + γ5 ) = Γ1 PL PR = 0, 4 1 1 (1 − γ5 )Γ1 (1 − γ5 ) = (Γ1 − γ5 Γ1 )(1 − γ5 ) 4 4 1 Γ1 (1 + γ5 )(1 − γ5 ) = 0, 4 1 1 (1 + γ5 )Γ2 (1 − γ5 ) = (Γ2 + γ5 Γ2 )(1 + γ5 ) 4 4 1 Γ2 (1 + γ5 )(1 + γ5 ) = 0, 4 1 1 (1 − γ5 )Γ2 (1 + γ5 ) = (Γ2 − γ5 Γ2 )(1 + γ5 ) 4 4 1 Γ2 (1 − γ5 )(1 + γ5 ) = 0. 4

Sekarang dengan menggunakan persamaan (2.33) untuk suku yang mengandung kontraksi dari turunan kovarian dengan γ µ , bentuk kuadratik quark ini memisah menjadi jumlah dua suku yang hanya menghubungkan medan quark left-handed dan right-handed. Maka lagrangian QCD dapat ditulis dalam batas chiral sebagai berikut L0QCD =

X

1 (¯ qR,l iD /qR,l + q¯L,l iD /qL,i ) − Gµν,a Gaµν . 4 l=u,d,s

Karena flavor tidak saling    uL  dL  → UL  sL    uR  dR  → UR  sR

(2.34)

bergantung, turunan kovarian invarian terhadap    Ã ! 8 uL uL X λa L dL  = exp −i ΘLa e−iΘ  dL  2 a=1 sL sL    Ã ! 8 uR uR X λa R   dR  = exp −i ΘR (2.35) e−iΘ a {z } dR | 2 a=1 sR sR | {z } U (1) SU (3)

dimana UL dan UR adalah matriks-matriks unitari 3×3 yang saling bebas.

17

L0QCD mempunyai simetri global klasik U(3)L ×U(3)R . Dengan mempergunakan teorema Noether dari invarian semacam itu, diharapkan seluruhnya ada 2×(8+1) = 18 arus yang kekal.

2.3.2

Teorema Noether

Teorema Noether : Simetri-simetri kontinu ⇔ Kuantitas-kuantitas yang kekal. Teorema Noether menentukan hubungan antara simetri-simetri kontinu dari sistem yang dinamis dan kuantitas-kuantitas yang kekal (konstanta gerak). Untuk memeriksa kekekalan arus yang diasosiasikan dengan invarian di atas, digunakan metode dari acuan [15] dan mempertimbangkan variasi dari pers. (2.34). Agar lebih sederhana hanya dipertimbangkan simetri-simetri internal dimulai dengan sebuah lagrangian L yang bergantung pada n medan bebas Φi dan turunan-turunan parsial pertamanya, L = L(Φi , ∂µ Φi ),

(2.36)

dimana akan dihasilkan n persamaan gerak ∂L ∂L − ∂µ = 0, ∂Φi ∂∂µ Φi

i = 1, · · · , n.

(2.37)

Andaikata dipertimbangkan transformasi yang bergantung pada r parameterparameter lokal yang riil ²a (x). Untuk masing-masing r generator dari transformasi infinitesimal yang merepresentasikan dasar grup simetri, dipertimbangkan suatu transformasi infinitesimal lokal dari medan. Φi (x) 7→ Φ0i (x) = Φi (x) + δΦi (x) = Φi (x) − i²a (x)Fia [Φj (x)],

(2.38)

dan dengan mengabaikan suku kedua (orde ²2 ), kita menghasilkan variasi lagrangian δL = L(Φ0i , ∂µ Φ0i ) − L(Φi , ∂µ Φi ) ∂L ∂L = δΦi + ∂µ δΦi ∂φi ∂∂µ Φi µ ¶ µ ¶ ∂L a ∂L ∂L a a = ²a (x) −i F −i ∂µ Fi + ∂µ ²a (x) −i F ∂Φi i ∂∂µ Φi ∂∂µ Φi i ≡ ²a (x)∂µ J µ,a + ∂µ ²a (x)J µ,a . (2.39)

18

Teorema Noether: Untuk setiap transformasi simetri global kontinu, yang memberikan Lagrangian dan persamaan gerak invarian akan menimbulkan suatu kekekalan arus J µ,a dan suatu konstanta gerak Qa .

Di sini didefinisikan kerapatan arus-empat J µ,a = −i

∂L F a. ∂∂µ Φi i

(2.40)

Dengan menghitung divergensi ∂µ J µ,a dari persamaan (2.40) µ ¶ ∂L ∂L µ,a ∂µ J = −i ∂µ Fia − i ∂µ Fia ∂∂µ Φi ∂∂µ Φi ∂L a ∂L = −i Fi − i ∂µ Fia , ∂Φi ∂∂µ Φi dimana telah digunakan persamaan gerak (2.37). Dari persamaan (2.39) dihasilkan persamaan arus-empat dan divergensinya sebagai berikut ∂δL , ∂∂µ ²a ∂δL = . ∂²a

J µ,a = ∂µ J µ,a

Untuk arus yang kekal, ∂µ J µ,a = 0, muatan Z a Q (t) = d3 xJ0a (t, ~x)

(2.41) (2.42)

(2.43)

dan

dQa (t) =0 dt adalah tidak bergantung waktu, artinya sebuah konstanta gerak.

2.3.3

Arus Simetri Global dari Sektor Quark Ringan

Metode acuan [15] sekarang dapat dengan mudah dipergunakan pada Lagrangian QCD untuk menghitung variasi menurut bentuk lokal yang infinitesimal. Lagrangian dari persamaan (2.34) dapat ditulis 1 L0QCD = q¯R iγ µ (∂µ − igAµ )qR + q¯L iγ µ (∂µ − igAµ )qL − Gµν,a Gaµν . 4 19

Bentuk lokal infinitesimal persamaan (2.35) # " Ã 8 !# " 8 X X λ λ 0 0 a a qL = 1 − i( ΘLa + ΘL ) qL , q¯L = q¯L 1 + i ΘLa + ΘL 2 2 a=1 a=1 " Ã 8 " Ã 8 !# !# X X λ λ 0 0 a a ΘR qR = 1 − i qR , q¯R = q¯R 1 + i ΘR + ΘR + ΘR a a 2 2 a=1 a=1 Untuk medan quark right-handed R δL0QCD

∂L0QCD ∂L0QCD ∂L0QCD ∂L0QCD = δqR + ∂µ δqR + δ q¯R + ∂µ δ q¯R ∂qR ∂∂µ qR ∂ q¯R ∂∂ q¯ {z µ R} | 0 " Ã 8 !# X λa = q¯R iγ µ (−igAµ ) −i ΘR + ΘR qR a 2 a=1 " Ã 8 !# X λ a +¯ qR iγ µ ∂µ −i ΘR + ΘR qR a 2 a=1 " Ã 8 !# X λ a +¯ qR i ΘR + ΘR iγ µ (∂µ − igAµ ) qR a 2 a=1 Ã 8 ! Ã 8 ! X X λ λ a a = −i¯ qR γ µ gAµ ΘR + ΘR qR + q¯R γ µ ∂µ ΘR + ∂µ ΘR qR a a 2 2 a=1 a=1 ! Ã 8 ! Ã 8 X X λ λ a a + ΘR ∂µ qR − q¯R ΘR + Θ R γ µ ∂µ qR +¯ qR γ µ ΘR a a 2 2 a=1 a=1 Ã 8 ! X λa +i¯ qR ΘR + ΘR γ µ gAµ qR a 2 a=1 Ã 8 ! X λ a = q¯R iγ µ ΘR + Θ R qR a 2 a=1

dengan cara yang sama untuk medan quark left-handed à 8 ! X λ a L = q¯L iγ µ ΘLa + Θ L qL δL0QCD 2 a=1 Maka diperoleh L R + δL0QCD δL0QCD = δL0QCD à 8 ! à 8 ! X X µ R λa R µ L λa L = q¯R iγ Θa +Θ qR + q¯L iγ Θa + Θ qL (2.44) 2 2 a=1 a=1

20

dari sini dengan memakai sifat persamaan (2.41) dan (2.42) akan dihasilkan arusarus yang dikaitkan dengan transformasi quark left-handed dan right-handed ∂δL0QCD λa = q¯L γ µ qL , ∂µ Lµ,a = 0, L ∂∂µ Θa 2 0 ∂δLQCD λa = q¯R γ µ qR , ∂µ Rµ,a = 0 = R ∂∂µ Θa 2

Lµ,a = Rµ,a

(2.45)

Delapan arus Lµ,a bertransformasi menurut SU(3)L ×SU(3)R sebagai multiplet (8,1), yaitu masing-masing sebagai oktet dan singlet menurut transformasi medan left-handed dan right-handed. Hal yang sama, arus right-handed bertransformasi sebagai multiplet (1,8) menurut SU(3)L ×SU(3)R . Sebagai pengganti arus chiral lebih sering digunakan kombinasi linear, V µ,a = Rµ,a + Lµ,a λa λa = q¯R γ µ qR + q¯L γ µ qL 2 2 λ a = q¯γ µ (PR + PL ) q 2 λ a = q¯γ µ q 2

(2.46)

dan Aµ,a = Rµ,a − Lµ,a λa λa = q¯R γ µ qR − q¯L γ µ qL 2 2 λ a = q¯γ µ (PR − PL ) q 2 λ a = q¯γ µ γ5 q 2

(2.47)

masing-masing bertransformasi terhadap paritas sebagai kerapatan arus vektor dan kerapatan arus aksial-vektor, P : V µ,a (t, ~x) 7→ Vµa (t, −~x),

(2.48)

P : Aµ,a (t, ~x) 7→ −Aaµ (t, −~x)

(2.49)

Dari persamaan (2.41) dan (2.42) juga diperoleh arus vektor singlet yang diakibatkan oleh transformasi semua medan quark left-handed dan right-handed dengan 21

fase yang sama, ∂δL = q¯L γ µ qL L ∂∂µ Θ ∂δL = q¯R γ µ qR Rµ = ∂∂µ ΘR Lµ =

V µ = R µ + Lµ = q¯R γ µ qR + q¯L γ µ qL = q¯γ µ (PR + PL )q = q¯γ µ q, karena ∂µ R µ =

∂µ V µ = ∂µ Rµ + ∂µ Lµ = 0.

∂δL = 0, ∂ΘR

∂µ Lµ =

(2.50)

∂δL =0 ∂ΘL

Arus aksial-vektor singlet, Aµ = Rµ − Lµ = q¯R γ µ qR − q¯L γ µ qL = q¯γ µ (PR − PL )q = q¯γ µ γ5 q

(2.51)

berasal dari transformasi semua medan quark left-handed dengan fase sama dan semua medan right-handed dengan fase berlawanan.

Bagaimanapun juga, arus

aksial-vektor singlet hanya kekal pada tingkatan klasik. Simetri ini tidak dipertahankan oleh kuantisasi dan akan ada suku-suku ekstra, yang merujuk pada keanehan (anomali), yang menghasilkan ∂µ Aµ =

3g 2 ²µνρσ Gaµν Gaρσ , 32π 2

²0123 = 1,

(2.52)

dimana faktor 3 berasal dari jumlah flavor.

2.3.4

Aljabar Chiral

0 Invarian LQCD menurut transformasi global SU(3)L ×SU(3)R ×U(1)V juga menya0 takan secara tidak langsung bahwa operator Hamilton QCD, HQCD , dalam batas

chiral, memperlihatkan simetri global SU(3)L ×SU(3)R ×U(1)V . Seperti biasanya, 22

”operator-operator muatan” didefinisikan sebagai integral ruang dari kerapatan muatan, Z QaL (t)

Z 3

=

d xL

0,a

=

3

d x q¯L γ

0 λa

Z qL =

d3 x qL† γ 0 γ 0

λa qL 2

2 λ a = d3 x qL† (t, ~x) qL (t, ~x), a = 1, · · · , 8, (2.53) 2 Z Z Z λa 3 0,a 3 0 λa a d x R = d x q¯R γ QR (t) = qR = d3 x qR† γ 0 γ 0 qR 2 2 Z λa = d3 x qR† (t, ~x) qR (t, ~x), a = 1, · · · , 8, (2.54) 2 Z Z Z QV (t) = d3 x V 0 = d3 x q¯R γ 0 qR + q¯L γ 0 qL = d3 x qR† γ 0 γ 0 qR + qL† γ 0 γ 0 qL Z = d3 x qR† (t, ~x)qR (t, ~x) + qL† (t, ~x)qL (t, ~x). (2.55) Z

untuk arus simetri yang kekal, operator-operator ini tidak bergantung waktu, yaitu operator-operator tersebut komutatif dengan Hamiltonian, 0 0 0 [QaL , HQCD ] = [QaR , HQCD ] = [QV , HQCD ] = 0.

(2.56)

Hubungan komutasi dari operator muatan dengan yang lainnya dihasilkan dengan menggunakan hubungan komutasi kesamaan waktu (equal-time) dari medan-medan quark dalam gambaran Heisenberg, † {qα,r (~x, t), qβ,s (~y , t)} = δ 3 (~x − ~y )δαβ δrs ,

(2.57)

{qα,r (~x, t), qβ,s (~y , t)} = 0,

(2.58)

† † {qα,r (~x, t), qβ,s (~y , t)} = 0,

(2.59)

dimana α dan β adalah indeks-indeks Dirac dan r dan s indeks-indeks flavor. Komutator equal-time dari dua bentuk quark berbentuk [q † (~x, t)Γ1 F1 q(~x, t), q † (~y , t)Γ2 F2 q(~y , t)] = † † Γ1,αβ Γ2,γδ F1,rs F2,tu [qα,r (~x, t)qβ,s (~x, t), qγ,t (~y , t)qδ,u (~y , t)],

(2.60)

dimana Γi dan Fi berturut-turut adalah matriks-matriks Dirac 4 × 4 dan matriksmatriks flavor 3 × 3. Dengan memakai [ab, cd] = a{b, c}d − ac{b, d} + {a, c}db − c{a, d}b, 23

(2.61)

ekspresi komutator dari medan-medan Fermi dalam suku-suku anti-komutator dan dengan memakai hubungan komutasi pers. (2.57)-(2.59) menjadi † † [qα,r (~x, t)qβ,s (~x, t), qγ,t (~y , t)qδ,u (~y , t)] = † † qα,r (~x, t)qδ,u (~y , t)δ 3 (~x − ~y )δβγ δst − qγ,t (~y , t)qβ,s (~x, t)δ 3 (~x − ~y )δαδ δru .

Dengan hasil ini pers. (2.60) [q † (~x, t)Γ1 F1 q(~x, t), q † (~y , t)Γ2 F2 q(~y , t)] = £ ¤ δ 3 (~x − ~y ) q † (~x, t)Γ1 Γ2 F1 F2 q(~y , t) − q † (~y , t)Γ2 Γ1 F2 F1 q(~x, t) .

(2.62)

Setelah memasukkan proyektor-proyektor yang cocok PL/R , pers.(2.62) dengan mudah dipergunakan untuk operator-operator dari pers.(2.53), (2.54), dan (2.55), menunjukkan bahwa operator-operator ini sungguh-sungguh memenuhi hubungan komutasi yang berkorenpondensi dengan aljabar Lie dari SU(3)L × SU(3)R × U(1)V , £ a b¤ QL , QL = ifabc QcL , (2.63) £ a b¤ QR , QR = ifabc QcR , (2.64) £ a b¤ QL , QR = 0, (2.65) [QaL , QV ] = [QaR , QV ] = 0.

(2.66)

Bukti (ingat PL† = PL dan PL2 = PL ) ¸ · Z £ a b¤ † λb † λa 3 3 QL , Q L = d xd y qL qL , qL qL 2 2 · ¸ Z 3 3 † λa † λb = d xd y (PL q) PL q, (PL q) PL q 2 2 ¸ · Z † λa † λb 3 3 † † = d xd y q (t, ~x)PL PL q(t, ~x), q (t, ~y )PL PL q(t, ~y ) 2 2 c = ifabc QL .

2.3.5

QCD Dalam Kehadiran Medan-medan Eksternal

Mengikuti prosedur dari Gasser dan Leutwyler [16, 17], diperkenalkan ke dalam Lagrangian QCD kopling dari sembilan arus vektor dan delapan arus aksial-vektor dan juga kerapatan quark skalar dan pseudoskalar untuk medan-medan eksternal µ bilangan kompleks v µ (x), v(s) , aµ (x), s(x), dan p(x), µ ¶ 1 µ 0 0 µ µ L = LQCD + Lext = LQCD + q¯γµ v + v(s) + γ5 a q − q¯(s − iγ5 p)q. 3

24

(2.67)

Γ γ0 Γγ0

1 γµ 1 γµ

σ µν σµν

γ5 −γ5

γ µ γ5 −γµ γ5

Tabel 2.4: Sifat-sifat transformasi dari matriks-matriks Dirac Γ terhadap paritas. Medan-medan eksternal adalah color-netral, matriks Hermitian 3 × 3, dimana µ

v =

8 X λa a=1

2

µ

vaµ ,

a =

8 X λa a=1

2

aµa ,

s=

8 X

λa sa ,

p=

a=1

8 X

λa pa ,

(2.68)

a=1

µ Biasanya tiga flavor lagrangian QCD diperoleh dengan memasang v µ = v(s) = aµ =

p = 0 dan s = diag(mu , md , ms ) di dalam pers. (2.67). Lagrangian yang dibutuhkan dari pers. (2.67) adalah Hermitian dan invarian terhadap P, C, dan T yang menimbulkan batasan-batasan pada sifat transformasi dari medan-medan eksternal. Kenyataannya, keadaan ini hanya cukup dengan memikirkan P dan C karena T kemudian secara otomatis memperlihatkan penggabungan ke teorema CP T . Terhadap paritas, medan-medan quark bertransformasi sebagai P qf (t, ~x) 7→ γ 0 qf (t, −~x),

(2.69)

P L(t, ~x) 7→ L(t, −~x),

(2.70)

dan syarat kekekalan paritas

dengan memakai hasil-hasil dari tabel 2.4, medan-medan eksternal bertransformasi terhadap paritas seperti P v µ 7→ vµ ,

µ P v(s) 7→ vµ(s) ,

P aµ 7→ −aµ ,

P s 7→ s,

P p 7→ −p.

(2.71)

Pada pers.(2.71) tersebut, dipahami bahwa argumen-argumen berubah dari (t, ~x) ke (t, −~x). Hal yang sama, terhadap konjugasi muatan medan-medan quark bertransformasi sebagai C qα,f 7→ Cαβ q¯β,f ,

C −1 , q¯α,f 7→ −qβ,f Cβα

dimana indeks bawah α dan β adalah indeks-indeks spinor Dirac, ¶ ¶µ ¶ µ µ 1 0 0 −σ 2 0 σ2 2 0 =i C = iγ γ = i −σ 2 0 −σ 2 0 0 −1 25

(2.72)

Γ −CΓT C

1 1

γµ −γ µ

σ µν −σ µν

γ5 γ5

γ µ γ5 γ µ γ5

Tabel 2.5: Sifat-sifat transformasi dari matriks-matriks Dirac terhadap konjugasi muatan.  0 0 0 −1  0 0 1 0  −1 † T  =   0 −1 0 0  = −C = −C = −C 1 0 0 0 

adalah matriks konjugasi muatan dan f merujuk pada flavor. Dengan menggunakan q¯ΓF q

=

q¯α,f Γαβ Ff f 0 qβ,f 0

C 7→

−1 −qγ,f Cγα Γαβ Ff f 0 q¯δ,f 0

Statistik Fermi −1 = q¯δ,f 0 Ff f 0 Cγα Γαβ Cβδ qγ,f |{z} | {z } FT

ff

0

(C −1 ΓC)T δγ

q¯F T (C −1 ΓC)T q | {z }

=

C T ΓT C −1T T T

=

−¯ q CΓ CF q

dengan kombinasi dalam tabel 2.5 secara langsung ditunjukkan bahwa invarian dari Lext terhadap konjugasi muatan membutuhkan sifat-sifat transformasi C

vµ → −vµT ,

C

vµ(s) → −vµ(s)T ,

C

aµ → aTµ ,

C

s, p → sT , pT ,

(2.73)

Akhirnya, pers. (2.67) dapat ditulis dalam suku-suku medan quark left-handed dan right-handed. Disamping sifat-sifat dari pers. (2.29) - (2.31) dan, menggunakan formula pembantu γ5 PR = PR γ5 = PR ,

γ5 PL = PL γ5 = −PL

dan γ µ PR = PL γ µ ,

γ µ PL = PR γ µ

untuk menghasilkan 1 q¯γ (vµ + vµ(s) + γ5 aµ )q = q¯γ µ 3 µ

µ

¶ vµ + aµ + vµ − aµ 1 (s) + vµ + γ5 aµ q, 2 3

26

dan juga memisalkan rµ = vµ + aµ ,

lµ = vµ − aµ

1 ⇔ vµ = (rµ + lµ ), 2

1 aµ = (rµ − lµ ). 2

(2.74)

sehingga

¸ · 1 (s) 1 µ 2 (s) q¯γ (vµ + vµ + γ5 aµ )q = q¯γ rµ + lµ + vµ + γ5 (rµ − lµ ) q 3 2 3 · ¸ 1 2 (s) 2 (s) µ = (¯ qL + q¯R )γ 2rµ qR + vµ qR + 2lµ qL + vµ qL 2 3 3 ¶ µ ¶ µ 1 1 = q¯R γ µ rµ + vµ(s) qR + q¯L γ µ lµ + vµ(s) qL . 3 3 µ

Hal yang sama, dapat ditulis kembali bagian kedua yang berisi medan skalar dan pseudoskalar eksternal, q¯(s − iγ5 p)q = q¯(PR + PL )(s − iγ5 p)(PR + PL )q = q¯L sqR + q¯R sqL − i¯ qL pqR + i¯ qR pqL = q¯L (s − ip)qR + q¯R (s + ip)qL , yang Lagrangian (2.67) menjadi µ ¶ 1 (s) QCD µ L = L0 + q¯γ vµ + vµ + γ5 aµ q − q¯(s − iγ5 p)q 3 ¶ µ ¶ µ 1 (s) 1 (s) µ 0 µ = LQCD + q¯L γ lµ + vµ qL + q¯R γ rµ + vµ qR 3 3 −¯ qR (s + ip)qL − q¯L (s − ip)qR . Persamaan (2.75) tetap invarian terhadap transformasi lokal ¶ µ Θ(x) VR (x)qR , qR 7→ exp −i 3 µ ¶ Θ(x) qL 7→ exp −i VL (x)qL , 3

(2.75)

(2.76)

dimana VR (x) and VL (x) adalah matriks-matriks SU(3) yang bergantung ruangwaktu yang bebas, asalkan medan-medan eksternal tunduk pada transformasi rµ 7→ VR rµ VR† + iVR ∂µ VR† , lµ 7→ VL lµ VL† + iVL ∂µ VL† , vµ(s) 7→ vµ(s) − ∂µ Θ, s + ip 7→ VR (s + ip)VL† , s − ip 7→ VL (s − ip)VR† . 27

(2.77)

Suku-suku turunan di dalam pers. (2.77) menyajikan maksud yang sama seperti dalam konstruksi teori gauge, yaitu, suku-suku tersebut membatalkan suku-suku analog yang berasal dari bagian kinetik dari Lagrangian quark. Pada penggambaran interaksi-interaksi semileptonik seperti π − → µ− ν¯µ , π − → π 0 e− ν¯e , atau peluruhan neutron n → pe− ν¯e , diperlukan interaksi quark dengan √ boson lemah bermuatan dan massive Wµ± = (W1µ ∓ iW2µ )/ 2, rµ = 0,

g lµ = − √ (Wµ+ T+ + h.c.), 2

(2.78)

dimana h.c. mengacu pada konjugat Hermitian dan   0 Vud Vus 0 0 . T+ =  0 0 0 0 Disini, Vij merupakan elemen-elemen matriks quark-mixing Cabibbo-KobayashiMaskawa (CKM) yang menggambarkan transformasi antara keadaan eigen QCD dan keadaan eigen lemah |Vud | = 0.9735 ± 0.0008,

|Vus | = 0.2196 ± 0.0023.

Pada orde paling rendah dalam teori perturbasi, konstanta Fermi dihubungkan ke kopling gauge g dan massa W sebagai √ g2 GF = 2 = 1.16639(1) × 10−5 GeV−2 . 2 8MW Dengan menggunakan q¯L γ µ Wµ+ T+ qL = q¯PR γ µ Wµ+ T+ PL q

   0 Vud Vus u 0 0  PL  d  = Wµ+ (¯ u d¯ s¯) PR γ µ  0 | {z } 0 0 0 s γ µ PL   Vud d + Vus s 1  0 = Wµ+ (¯ u d¯ s¯)γ µ (1 − γ5 )  2 0 1 + W [Vud u¯γ µ (1 − γ5 )d + Vus u¯γ µ (1 − γ5 )s], = 2 µ 

dengan memasukkan pers. (2.78) ke dalam pers. (2.75) menimbulkan interaksi lemah arus muatan standar dalam sektor quark ringan, µ ¶ ¶ µ 1 (s) 1 (s) µ µ Lext = q¯L γ lµ + vµ qL + q¯R γ rµ + vµ qR 3 3 28

−¯ qR (s + ip)qL − q¯L (s − ip)qR = q¯L γ µ lµ qL ¢ g ¡ = −¯ qL γ µ √ W + T+ + h.c qL 2 ª g © + = − √ Wµ [Vud u¯γ µ (1 − γ5 )d + Vus u¯γ µ (1 − γ5 )s] + h.c. . 2 2

29

Bab 3 Kerusakan Simetri Spontan dan Lagrangian Efektif 3.1

Kerusakan Simetri Chiral Karena Suku Massa Quark

Persamaan (2.42) memperbolehkan untuk mendiskusikan divergensi dalam kehadiran massa-massa quark. Untuk mencapai maksud tersebut, sekarang dipertimbangkan matriks massa quark dari tiga quark ringan dan proyeksinya pada sembilan matriks λ dari persamaan (2.17),   mu 0 0 M =  0 md 0  0 0 ms mu + md + ms (mu + md )/2 − ms mu − md √ √ = λ0 + λ8 + λ3 2 6 3

(3.1)

Pada khususnya, menggunakan pers. (2.33) dapat dilihat bahwa suku massa quark mencampur medan left-handed dan right-handed, L = −¯ q M q = −(¯ qR M qL + q¯L M qR ) Dari LM dihasilkan variasi δLM terhadap transformasi pers. (2.35) δLM =

∂LM ∂LM ∂LM ∂LM δqR + ∂µ δqR +δ q¯R + ∂µ δ q¯R ∂qR ∂∂µ qR ∂ q¯R ∂∂µ qR | {z } | {z } 0

0

∂LM ∂LM ∂LM ∂LM δqL + ∂µ δqL +δ q¯L + ∂µ δ q¯L ∂qL ∂∂ q ∂ q¯L ∂∂ q | µ L{z } | {z µ L} 0

0

30

(3.2)

"

à 8 X

! # Ã 8 ! X λ λ a a ΘR = −¯ qL M −i + ΘR qR − q¯R i + ΘR M qL ΘR a a 2 2 a=1 a=1 " Ã 8 ! # Ã 8 ! X X λ λ a a −¯ qR M −i ΘLa + ΘL qL − q¯L i ΘLa + Θ L M qR 2 2 a=1 a=1 " Ã 8 ! Ã 8 ! X X λ λ a a = −i q¯R ΘR + ΘR M qL − q¯R M ΘLa + Θ L qL a 2 2 a=1 a=1 Ã 8 ! Ã 8 ! # X X λ λ a a +¯ qL ΘLa + ΘL M qR − q¯L M ΘR + ΘR qR a 2 2 a=1 a=1 " 8 ¶ µ X λa λa qR M qL − q¯L M qR ) = −i ΘR q¯R M qL − q¯L M qR + ΘR (¯ a 2 2 a=1 # µ ¶ 8 X λ λ a a + ΘLa q¯L M qR − q¯R M qL + ΘL (¯ qL M qR − q¯R M qL ) (3.3) 2 2 a=1 yang menghasilkan divergensi-divergensi berikut µ ¶ λa λa ∂δLM µ,a = −i q¯L M qR − q¯R M qL , ∂µ L = ∂ΘLa 2 2 µ ¶ λa ∂δLM λa µ,a ∂µ R = = −i q¯R M qL − q¯L M qR , ∂ΘR 2 2 a ∂δL M ∂µ Lµ = = −i (¯ qL M qR − q¯R M qL ) , ∂ΘL ∂δLM ∂µ R µ = = −i (¯ qR M qL − q¯L M qR ) . ∂ΘR

(3.4)

Anomali masih belum dipikirkan. Mempergunakan pers. (2.33) untuk masalah arus vektor dan memasukkan operator-operator proyeksi dalam penurunan pers. (2.51) untuk arus aksial-vektor, divergensi yang sesuai adalah ∂µ V µ,a = ∂µ Rµ,a + ∂µ Lµ,a ¶ µ ¶ µ λa λa λa λa = −i q¯R M qL − q¯L M qR − i q¯L M qR − q¯R M qL 2 2 2 2 · ¸ λa = i¯ q M, q, 2 ∂µ Aµ,a = ∂µ Rµ,a − ∂µ Lµ,a µ ¶ µ ¶ λa λa λa λa = −i q¯R M qL − q¯L M qR + i q¯L M qR − q¯R M qL 2 2 2 2 µ ¶ µ ¶ λa λa λa λa = i q¯L M qR + q¯L M qR − i q¯R M qL + q¯R M qL 2 2 2 2 31

½

∂µ V µ

¾ λa = i¯ q , M γ5 q, 2 = ∂µ Rµ + ∂µ Lµ = −i (¯ qR M qL − q¯L M qR ) − i (¯ qL M qR − q¯R M qL ) = 0

∂µ Aµ = ∂µ Rµ − ∂µ Lµ = −i (¯ qR M qL − q¯L M qR ) + i (¯ qL M qR − q¯R M qL ) = 2i¯ q M (PR − PL )q 3g 2 = 2i¯ q M γ5 q + ²µνρσ Gaµν Gaρσ , 32π

²0123 = 1,

(3.5)

dimana anomali aksial juga diambil ke dalam hitungan. Kesimpulan yang diperoleh dalam variasi simetri dari interaksi kuat dalam kombinasi arus-arus terkait dan divergensinya adalah sebagai berikut. • Di dalam batas quark tak bermassa, 16 arus Lµ,a dan Rµ,a , atau dengan alternatif V µ,a dan Aµ,a adalah kekal. Hal yang sama juga benar untuk arus vektor singlet V µ , sedangkan arus aksial-vektor Aµ mempunyai anomali. ¯ µ d, • Untuk beberapa nilai dari massa-massa quark, arus flavor individu u¯γ µ u, dγ dan s¯γ µ s selalu kekal dalam interaksi kuat yang mencerminkan kebebasan flavor dari kopling kuat dan diagonalitas dari matriks massa quark. Tentunya, arus vektor singlet V µ adalah jumlah dari tiga arus flavor, selalu kekal. • Disamping anomali, arus aksial-vektor singlet mempunyai divergensi eksplisit karena massa-massa quark. • Untuk massa quark sama, mu = md = ms , delapan arus vektor V µ,a kekal, karena [λa , 1] = 0. Skenario semacam itu adalah awal dari simetri SU(3) yang mula-mula diajukan oleh Gell-Mann dan Ne’eman. Delapan arus aksial Aµ,a tidak kekal. Divergensi dari arus aksial-vektor oktet dari pers. (3.5) sebanding dengan bentuk kuadratik pseudoskalar. Ini dapat diartikan sebagai asal mula mikroskopik dari hubungan PCAC (partially conserved axial-vector current) yang menyatakan bahwa divergensi dari arus aksial-vektor sepadan terhadap operator-operator medan ternormalisasi yang mewakili oktet pseudoskalar terendah. 32

3.2

Kerusakan Spontan Dari Simetri Global, Kontinu, Non-Abelian

Sekarang akan dibahas masalah kerusakan simetri yang nantinya akan menimbulkan massa boson Goldstone. Untuk tujuan tersebut akan diperhatikan sistem dengan simetri SO(3) yang kontinu, non-Abelian dan mempertimbangkan suatu lagrangian berikut ~ ∂µ Φ) ~ = L(Φ1 , Φ2 , Φ3 , ∂µ Φ1 , ∂µ Φ2 , ∂µ Φ3 ) L(Φ, 1 m2 λ = ∂µ Φi ∂ µ Φi − Φi Φi − (Φi Φi )2 , 2 2 4

(3.6)

dimana m2 < 0, λ > 0, dengan medan-medan Hermitian Φi . Lagrangian dari pers. (3.6) adalah invarian terhadap rotasi ”isospin” global ,1 g ∈ SO(3) : Φi → Φ0i = Dij (g)Φj = (e−iαk Tk )ij Φj .

(3.7)

Untuk Φ0i juga Hermitian, Tk harus Hermitian yang murni imajiner dan anti-simetrik. iTk memberikan basis dari sebuah representasi aljabar Lie so(3) dan yang memenuhi hubungan komutasi [Ti , Tj ] = i²ijk Tk .2 Di sini akan dipakai representasi dengan elemen-elemen matriks yang diberikan oleh tijk = −i²ijk . Potensial minimum yang tidak bergantung pada x adalah V(Φ) =

m2 2 λ 4 Φ + Φ 2 4

∂V = m2 Φ + λΦ3 = 0 ∂Φ Φ(m2 + λΦ2 ) = 0 m2 Φ2 = − λ r q 2 ~ = Φ21 + Φ22 + Φ23 . ~ min | = −m ≡ v, |Φ| |Φ λ

(3.8)

Perturbasi eksternal yang infinitesimal dan tidak invarian terhadap SO(3) akan dipilih pada satu arah tertentu, dengan orientasi yang tepat dari kerangka koordinat internal, yaitu arah-3, ~ min = vˆ Φ e3 . 1

(3.9)

Tentunya, Lagrangian invarian terhadap grup lengkap O(3) yang dapat diuraikan menjadi dua komponennya : rotasi sebenarnya yang dihubungkan terhadap identitas, SO(3), dan rotasi-refleksi. Maksud kita adalah cukup membicarakan SO(3). 2 Lihat apendiks

33

~ min dari pers. (3.8) tidak invarian menurut grup lengkap G = SO(3) karena Jelas, Φ ~ min . Untuk kasus tertentu, jika rotasi melalui sumbu-1 dan sumbu-2 mengubah Φ   0 ~  Φmin = v 0  , 1 diperoleh

 0 = v  −i  , 0

~ min T1 Φ

 i = v 0 , 0 



~ min T2 Φ

~ min = 0. T3 Φ

(3.10)

~ min invarian tidak Catatan bahwa himpunan transformasi yang tidak membiarkan Φ membentuk sebuah grup, karena transformasi tidak berisi identitas. Pada sisi lain, ~ min invarian terhadap subgrup H dari G, yaitu, rotasi melalui sumbu-3 : Φ h∈H:

~ 0 = D(h)Φ ~ = e−iα3 T3 Φ, ~ Φ

~ min = Φ ~ min . D(h)Φ

(3.11)

Sekarang dengan menambahkan suatu medan disekitar Φmin yaitu v, maka Φ3 = v + η,

(3.12)

dan menghasilkan ekspresi baru untuk potensial m2 2 λ 4 ˜ V = Φ + Φ 2 4 ¢ λ¡ 2 ¢2 m2 ¡ 2 = Φ1 + Φ22 + (v + η)2 + Φ1 + Φ22 + (v + η)2 2 4 µ 2 ¶ ¢ ¡ ¢ m2 ¡ 2 λ m λ 2 2 2 2 2 2 2 2 = Φ1 + Φ2 + η + Φ + Φ2 + η + (v + 2vη) + (v + 2vη) 2 4 1 2 4 ¢ λ¡ + Φ21 + Φ22 + η 2 (v 2 + 2vη) 2    λ¡ 2 ¢  m2 ¢2 λ + Φ21 + Φ22 + η 2  + (v 2 + 2vη) Φ1 + Φ22 + η 2 + (v 2 + 2vη)  2  2 4 |{z} m2 =−λv 2 µ ¶ λ 2 λ 2 λ − v + v + vη 2 4 2 ¡ ¢ λ¡ 2 ¢2 λ λ λ = λvη Φ21 + Φ22 + η 2 + Φ1 + Φ22 + η 2 − v 4 − v 3 η + v 3 η + |{z} λv 2 η 2 4 4 2 2 2 =

¡

−m

¢2 λ λ¡ 2 Φ1 + Φ22 + η 2 − v 4 = −m2 η 2 + λvη Φ21 + Φ22 + η + 4 4 ¢ λ¡ 2 ¢ ¡ 2 λ 1 2 2 2 2 2 2 2 − v4. = (−2m )η + λvη Φ1 + Φ2 + η + Φ1 + Φ2 + η 2 4 4 ¡

¢ 2

34

(3.13)

4 2 2 1

0 -2

0 -1 -1

0 1 2 -2

Gambar 3.1: Potential dua dimensi yang invarian terhadap rotasi: V(x, y) = −(x2 + 2 2 )2 y 2 ) + (x +y . 4

Dengan memeriksa suku-suku kuadratik dalam medan-medan, setelah kerusakan simetri spontan, diperoleh dua boson Goldstone tak bermassa dan satu boson yang massive: m2Φ1 = m2Φ2 = 0, m2η = −2m2 .

(3.14)

Ciri-ciri model bebas dari contoh di atas diberikan oleh kenyataan bahwa untuk setiap generator T1 dan T2 yang tidak memusnahkan keadaan dasar, dihasilkan boson Goldstone tak bermassa. Dengan memakai penyederhanaan dua dimensi (lihat potensial “topi orang Meksiko” yang ditunjukkan Gb. 3.1) mekanisme yang ada dapat dengan mudah dibayangkan. Variasi-variasi infinitesimal yang ortogonal (tegak lurus) terhadap lingkaran dari potensial minimum menghasilkan suku-suku kuadratik, yaitu, “gaya-gaya pemulih yang linear terhadap pergeseran,” mengingat variasi-variasi tangensial mengalami gaya-gaya pemulih hanya pada orde-orde yang lebih tinggi.

3.3

Teorema Goldstone

Diberikan sebuah operator Hamilton dengan grup simetri global G = SO(3), mis~ alkan Φ(x) = (Φ1 (x), Φ2 (x), Φ3 (x)) merupakan triplet dari operator-operator Her-

35

mitian yang mengalami transformasi sebagai sebuah vektor pada G, ~ ~ 0 (x) = ei Φ(x) 7→ Φ

g∈G:

= e−i

P3

k=1

P3

k=1

αk Qk ~

Φ(x)e−i

P3

l=1

αl Ql

αk Tk ~

~ Φ(x) 6= Φ(x),

(3.15)

dimana Qi adalah generator-generator dari SO(3) yang bertransformasi pada ruang Hilbert yang memenuhi [Qi , Qj ] = i²ijk Qk dan dan Ti = (tijk ) adalah matriks-matriks dari representasi tiga dimensi yang memenuhi tijk = −i²ijk . Diasumsikan satu komponen dari multiplet memperoleh sebuah harga ekspektasi vakum yang tidak nol: h0|Φ1 (x)|0i = h0|Φ2 (x)|0i = 0,

h0|Φ3 (x)|0i = v 6= 0.

(3.16)

Maka dua generator Q1 dan Q2 tidak memusnahkan keadaan dasar, dan untuk setiap generator seperti itu berhubungan dengan sebuah boson Goldstone tak bermassa. Untuk membuktikan dua pernyataan ini, diekspansikan pers. (3.15) untuk orde pertama dalam αk : ~0 = Φ ~ +i Φ

3 X

~ = (1 − i αk [Qk , Φ]

3 X

~ =Φ ~ +α ~ αk Tk )Φ ~ × Φ.

k=1

k=1

Dengan membandingkan suku-suku linear di dalam αk i

3 X

~ = α ~ αk [Qk , Φ] ~ ×Φ

k=1

i[αk Qk , Φl ] = ²lkm αk Φm dan dengan memperhatikan semua αk diperoleh i[Qk , Φl ] = ²lkm Φm = −²klm Φm , yang secara sederhana menyatakan fakta bahwa operator-operator medan Φi bertransformasi sebagai sebuah vektor. Dengan memakai ²klm ²kln = 2δmn , didapatkan i²kln [Qk , Φl ] = −i²klm ²kln Φm = −2δmn Φm i − ²kln [Qk , Φl ] = δmn Φm = Φn . 2 Khususnya, untuk Φ3 i i Φ3 = − ²123 [Q1 , Φ2 ] − ²213 [Q2 , Φ1 ] 2 2 i = − ([Q1 , Φ2 ] − [Q2 , Φ1 ]), 2 36

(3.17)

Untuk membuktikan bahwa Q1 dan Q2 tidak memusnahkan keadaan dasar, pers. (3.15) diaplikasikan untuk α ~ = (0, π/2, 0), α2 T 2 α3 T 3 e−iα2 T2 = 1 − iα2 T2 − 2 2 + 2 2 + · · · 2! 3!   2 (1 − α2 /2! + · · ·) 0 (α2 − α23 /3! + · · ·)  0 1 0 =  3 2 −(α2 − α2 /3! + · · ·) 0 (1 − α2 /2! + · · ·)   cos α2 0 sin α2 0 1 0  =  − sin α2 0 cos α2 maka 

e

−i π2 T2

     cos(π/2) 0 sin(π/2) Φ1 0 0 1 Φ1 ~ =    Φ2  =  0 1 0   Φ2  0 1 0 Φ − sin(π/2) 0 cos(π/2) Φ3 −1 0 0 Φ3   Φ3 =  Φ2  −Φ1   Φ1 π π = ei 2 Q2  Φ2  e−i 2 Q2 . Φ3

Dari baris pertama diperoleh π

π

Φ3 = ei 2 Q2 Φ1 e−i 2 Q2 . Dengan mengambil harga ekspektasi vakum π

π

v = h0|Φ3 |0i = h0|ei 2 Q2 Φ1 e−i 2 Q2 |0i dan dengan menggunakan pers. (3.16) jelas Q2 |0i 6= 0. Argumen yang serupa menunjukkan Q1 |0i 6= 0. Pada poin ini, ada dua rangkuman. ”Keadaan-keadaan” Q1(2) |0i tidak dapat dinormalisasi. Dalam penurunan yang lebih tepat digunakan integral dengan bentuk Z d3 xh0|[J 0,b (~x, t), Φc (0)]|0i, dan mula-mula ditentukan dahulu komutator sebelum menghitung integral. Beberapa penurunan dari teorema Goldstone mulai dengan anggapan Q1(2) |0i 6= 0. Namun, 37

untuk membicarakan kerusakan simetri spontan dalam kerangka kerja QCD, adalah menguntungkan untuk menetapkan hubungan antara keberadaan boson-boson Goldstone dan harga ekspektasinya yang tidak nol. Kemudian dengan mengambil harga ekspektasi vakum dari pers. (3.17) i i 0 6= v = h0|Φ3 (0)|0i = − h0| ([Q1 , Φ2 (0)] − [Q2 , Φ1 (0)]) |0i ≡ − (A − B). 2 2 Mula-mula akan ditunjukkan A = −B. Untuk hal itu maka dilakukan sebuah rotasi pada medan dan juga generator dengan π/2 melalui sumbu-3 [lihat pers. (3.15) dengan α ~ = (0, 0, π/2)]: α2 T 2 α3 T 3 e−iα3 T3 = 1 − iα3 T3 − 3 3 + 3 3 + · · · 2! 3!   2 (1 − α3 /2! + · · ·) −(α3 − α33 /3! + · · ·) 0 =  (α3 − α33 /3! + · · ·) (1 − α32 /2! + · · ·) 0  0 0 1   cos α3 − sin α3 0 =  sin α3 cos α3 0  0 0 1 maka



cos(π/2) − sin(π/2) −i π2 T3 ~  sin(π/2) cos(π/2) Φ = e 0 0    0 −1 0 Φ1 =  1 0 0   Φ2  0 0 1 Φ3    −Φ2 Φ1 π =  Φ1  = ei 2 Q3  Φ2 Φ3 Φ3 dan analog untuk operator-operator muatan  cos(π/2) − sin(π/2) π ~ =  sin(π/2) cos(π/2) e−i 2 T3 Q 0 0    0 −1 0 Q1 =  1 0 0   Q2  Q3 0 0 1    Q1 −Q2 i π2 Q3    Q2 Q1 =e = Q3 Q3 38

  0 Φ1 0   Φ2  1 Φ3

  e−i π2 Q3 ,

  0 Q1 0   Q2  Q3 1

  e−i π2 Q3 .

maka diperoleh B = h0|[Q2 , Φ1 (0)]|0i = h0| Q2 Φ1 (0) − Φ1 (0)Q2 |0i π

π

π

π

= h0| ei 2 Q3 (−Q1 )Φ(0)e−i 2 Q3 + ei 2 Q3 Φ2 (0)Q1 e−i 2 Q3 | 0i π

π

= −h0|ei 2 Q3 [Q1 , Φ2 (0)]e−i 2 Q3 |0i π π = −h0|[Q1 , Φ2 (0)] + i Q3 [Q1 , Φ2 (0)] − i[Q1 , Φ2 (0)] Q3 2 2 π2 + Q3 [Q1 , Φ2 (0)]Q3 |0i 4 = −h0|[Q1 , Φ2 (0)]i0 = −A, dimana telah dibuat menggunakan Q3 |0i = 0, yaitu, vakum invarian terhadap rotasi sumbu-3.

π

π

h0 | Φ1 | 0i = h0| ei 2 Q3 Φ2 (x)e−i 2 Q3 |0i ³ ³ π ´ π ´ = h0| 1 + i Q3 Φ2 (x) 1 − i Q3 | 0i 2 2   2 π π =  h0| Φ2 (x) | 0i +i h0 | Q3 Φ2 − Φ2 Q3 | 0i + h0 | Q23 | 0i  | {z } 2 4 0

= 0 ∴ Q3 |0i = 0. Oleh karena itu, harga ekspektasi vakum v yang tidak nol dapat juga ditulis seperti 0 6= v = h0|Φ3 (0)|0i = −i(A − B) = −iA = −ih0|[Q1 , Φ2 (0)]|0i Z = −i d3 xh0|[J01 (t, ~x), Φ2 (0)]|0i. Jika dimasukkan himpunan kelengkapan dari keadaan-keadaan 1 =

R P

(3.18)

n |nihn|

ke

3

dalam komutator Z Z X ¡ ¢ v = −i d3 x h0|J01 (t, ~x)|nihn|Φ2 (0)|0i − h0|Φ2 (0)|nihn|J01 (t, ~x)|0i , n 3

R P

Singkatan n |nihn| menunjukkan integral terhadap seluruh momentum total p~ dan juga bilangan kuantum lain yang diperlukan untuk menentukan keadaan-keadaan secara lengkap.

39

dan dengan memakai invarian translasi Z Z X ¡ v = −i d3 x e−iPn ·x h0|J01 (0)|nihn|Φ2 (0)|0i n

¢ − h0|Φ2 (0)|nihn|J01 (0)|0ieiPn ·x Z Z ³ X ~ 3 = −i d x e−iEn t+iPn ·~x h0|J01 (0)|nihn|Φ2 (0)|0i n

−

~ h0|Φ2 (0)|nihn|J01 (0)|0ieiEn t−iPn ·~x

= −i

Z X

n iEn t

−e

´

¡ (2π)3 δ 3 (P~n ) e−iEn t h0|J01 (0)|nihn|Φ2 (0)|0i ¢ h0|Φ2 (0)|nihn|J01 (0)|0i .

Integrasi terhadap momentum, menghasilkan ekspresi berbentuk 0 X ¡ −iEn t ¢ = −i(2π) e · · · − eiEn t · · · , 3

n

dimana menyatakan bahwa hanya keadaan dengan P~ = 0 yang perlu dipertimbangkan. Karena sifat Hermitian dari operator-operator arus simetri J µ,a dan juga Φl , terdapat cn := h0|J01 (0)|nihn|Φ2 (0)|0i = hn|J01 (0)|0i∗ h0|Φ2 (0)|ni∗ c∗n := hn|Φ2 (0)|0i∗ h0|J01 (0)|ni∗ = h0|Φ2 (0)|nihn|J01 (0)|0i sehingga 3

v = −i(2π)

0 X ¡

¢ cn e−iEn t − c∗n eiEn t .

(3.19)

n

Dari pers. (3.19) terdapat kesimpulan sebagai berikut: 1. Karena asumsi awal tidak menghilangkan harga ekspektasi vakum v, maka 0 harus ada keadaan |ni untuk h0|J1(2) (0)|ni dan hn|Φ1(2) (0)|0i yang keduanya

tidak menghilang (nol). Vakum sendiri tidak dapat memberikan kontribusi ke pers. (3.19) sebab h0|Φ1(2) (0)|0i = 0. 2. Keadaan-keadaan dengan En > 0 memberikan kontribusi (ϕn adalah fase dari cn ) ¢ ¢ ¡ (2π)3 ¡ −iEn t (2π)3 cn e − c∗n eiEn t = |cn | eiϕn e−iEn t − e−iϕn eiEn t i i | {z } 2i sin(ϕn − En t) = 2|cn | sin(ϕn − En t) 40

ke dalam sumasi. Namun, v tidak bergantung pada waktu dan oleh karena itu keadaan-keadaan dengan (En > 0, ~0) harus hilang. 3. Sisi kanan dari pers. (3.19) oleh karena itu harus berisi kontribusi dari keadaankeadaan dengan energi nol dan juga momentum nol, maka akibatnya timbul suku massa nol. Keadaan-keadaan dengan massa nol inilah yang merupakan boson-boson Goldstone.

3.4

Kerusakan Simetri Spontan Dalam QCD

Dari bagian 3.2, suatu model mainan dengan suatu konstruksi telah menimbulkan kerusakan simetri spontan, namun hal ini tidak sepenuhnya dipahami secara teori mengapa QCD seharusnya memperlihatkan fenomena ini. Di sini, mula-mula akan diperhatikan mengapa suatu input eksperimen, yaitu spektrum hadron dari dunia ”nyata” mengindikasikan bahwa tidak menghilangnya singlet condensate quark skalar adalah kondisi yang cukup untuk kerusakan simetri spontan dalam QCD.

3.4.1

Spektrum Hadron

Lagrangian QCD memiliki simetri SU(3)L × SU(3)R × U(1)V yang dalam batas chiral massa-massa quark ringan menghilang (nol). Dari pemikiran simetri yang hanya 0 melibatkan Hamilton HQCD , diharapkan bahwa hadron-hadron menyusun dirinya ke

dalam multiplet-multiplet terdegenerasi yang dimensinya cocok dari representasi irredusibel dari grup SU(3)L ×SU(3)R ×U(1)V . Simetri U(1)V menghasilkan kekekalan bilangan baryon 4 dan menimbulkan pengelompokan hadron menjadi meson (B = 0) dan baryon (B = 1). Kombinasi linear QaV = QaR + QaL dan QaA = QaR − QaL dari 0 operator-operator muatan left- dan right-handed komutatif dengan HQCD , mempun-

yai paritas yang berlawanan, dan oleh karena itu untuk beberapa keadaan dari paritas positif diharapkan adanya keadaan terdegenerasi dari paritas negatif (paritas ganda) yang dapat dilihat sebagai berikut. Misalkan |i, +i menunjukkan sebuah 4

Lihat D.E Groom et al. [Particle Data Group Collaboration], Eur. Phys. J. C 15, (2000) untuk batas-batas empiris pada peluruhan pion seperti halnya bilangan baryon yang melanggar peluruhan Z dan τ .

41

0 keadaan eigen dari HQCD dengan harga eigen Ei , 0 HQCD |i, +i = Ei |i, +i,

mempunyai paritas positif, P |i, +i = +|i, +i, seperti contohnya, anggota dari keadaan dasar baryon oktet (dalam batas chiral). 0 Dengan mendefinisikan |φi = QaA |i, +i, karena [HQCD , QaA ] = 0, maka diperoleh 0 0 0 |i, +i = Ei QaA |i, +i = Ei |φi, QaA |i, +i = QaA HQCD HQCD |φi = HQCD 0 yaitu, keadaan baru |φi juga merupakan keadaan eigen dari HQCD dengan harga

eigen yang sama Ei tapi paritas berlawanan: P |φi = P QaA P −1 P |i, +i = −QaA (+|i, +i) = −|φi. Keadaan |φi dapat diekspansikan dalam suku-suku dari anggota multiplet dengan paritas negatif, |φi = QaA |i, +i = −taij |j, −i. Akan tetapi, spektrum energi rendah dari baryon tidak berisi baryon oktet terdegenerasi dari paritas negatif. Secara alami timbul pertanyaan apakah rangkaian argumen di atas tidak lengkap. Sungguh, diam-diam telah diasumsikan bahwa keadaan dasar QCD dimusnahkan oleh QaA . Misalkan a†i secara simbolik menunjukkan sebuah operator yang mengkreasikan kuanta dengan bilangan kuantum dari keadaan |i, +i, sedangkan b†j mengkreasikan kuanta terdegenerasi dari paritas yang berlawanan. Asumsi bahwa keadaan-keadaan |i, +i dan |j, −i adalah anggota sebuah basis representasi irredusibel dari SU(3)L × SU(3)R . Diasumsikan bahwa terhadap SU(3)L × SU(3)R operator-operator kreasi dihubungkan oleh [QaA , a†i ] = −taij b†j . Jika QaA dikerjakan pada keadaan |i, +i maka didapat ³ ´ QaA |i, +i = QaA a†i |0i = [QaA , a†i ] + a†i QaA |0i = −taij b†j |0i. |{z} ,→ 0 42

(3.20)

Akan tetapi, jika kedaan dasar tidak dimusnahkan oleh QaA , alasan dari pers. (3.20) tidak lagi dipergunakan. Dua fakta empiris tentang spektrum hadron bahwa kerusakan simetri spontan terjadi dalam batas chiral QCD. Pertama, SU(3) sebagai SU(3)L × SU(3)R kirakira disadari sebagai simetri dari hadron. Kedua, oktet dari meson pseudoskalar adalah istimewa, dalam pengertian bahwa massa dari anggota-anggotanya lebih kecil dibandingkan dengan meson vektor 1− yang terkait. Mereka adalah calon-calon untuk boson Goldstone dari kerusakan simetri spontan. Untuk mengerti asal mula dari simetri SU(3), dipertimbangkan muatan-muatan vektor QaV = QaR + QaL [lihat pers. (2.46)]. Mereka memenuhi hubungan komutasi dari aljabar Lie SU(3) [lihat pers. (2.63) - (2.66)], [QaR + QaL , QbR + QbL ] = [QaR , QbR ] + [QaL , QbL ] = ifabc QcR + ifabc QcL = ifabc QcV . (3.21) Dalam acuan [18] telah ditunjukkan bahwa, dalam batas chiral, keadaan dasar perlu invarian terhadap SU(3)V × U(1)V , yaitu, delapan muatan vektor QaV operator5 bilangan baryon QV /3 yang memusnahkan keadaan dasar, QaV |0i = QV |0i = 0.

(3.22)

Jika vakum invarian terhadap SU(3)V × U(1)V , maka Hamiltonian juga [19] (tetapi tidak sebaliknya). Selain itu invarian dari keadaan dasar dan Hamiltonian menya0 takan secara tidak langsung bahwa keadaan fisik dari spektrum HQCD dapat dis-

usun menurut representasi irredusibel SU(3)V × U(1)V . Indeks V (untuk vektor) mengindikasikan bahwa generator-generator berasal dari integral komponen ke nol dari operator-operator arus vektor dan oleh karena itu mereka bertransformasi dengan paritas negatif. Kombinasi linear QaA = QaR − QaL memenuhi hubungan komutasi [lihat pers. (2.63) - (2.66)] [QaA , QbA ] = [QaR − QaL , QbR − QbL ] = [QaR , QbR ] + [QaL , QbL ] = ifabc QcR + ifabc QcL = ifabc QcV , [QaV , QbA ] = [QaR + QaL , QbR − QbL ] = [QaR , QbR ] − [QaL , QbL ] = ifabc QcR − ifabc QcL = ifabc QcA . 5

Ingat bahwa setiap quark ditandai dengan bilangan baryona 1/3.

43

(3.23)

Catatan bahwa operator-operator muatan tidak membentuk aljabar tertutup, artinya komutator dari dua operator muatan aksial tidak lagi sebuah operator muatan aksial. Karena paritas ganda tidak diamati pada keadaan rendah, maka diasumsikan bahwa QaA tidak memusnahkan keadaan dasar, QaA |0i 6= 0,

(3.24)

yaitu, keadaan dasar QCD tidak invarian terhadap transformasi “aksial”. Menurut teorema Goldstone [20, 21, 22, 23, 24], untuk setiap generator aksial QaA , yang tidak memusnahkan keadaan dasar, terkait dengan sebuah medan boson Goldstone tak bermassa φa (x) dengan spin 0, mempunyai sifat simetri yang sangat dekat generator yang dibicarakan. Boson-boson Goldstone mempunyai sifat transformasi yang sama terhadap paritas, P

φa (~x, t) 7→ −φa (−~x, t),

(3.25)

yaitu, mereka adalah pseudoskalar, dan bertransformasi terhadap subgrup H = SU(3)V , yang membiarkan vakum invarian, sebagai suatu oktet [lihat pers. (3.23)]: [QaV , φb (x)] = ifabc φc (x).

(3.26)

Masalah saat ini, G = SU(3)L × SU(3)R dengan nG = 16 dan H = SU(3)V dengan nH = 8, diharapkan ada n = nG − nH delapan boson Goldstone.

3.4.2

Condensate Quark skalar h¯ q qi

Berikut ini akan ditunjukkan bahwa tidak menghilangnya condensate quark skalar dalam batas chiral adalah kondisi yang cukup untuk kerusakan simetri spontan dalam QCD.6 Sa (y) = q¯(y)λa q(y),

a = 0, · · · , 8,

Pa (y) = i¯ q (y)γ5 λa q(y),

a = 0, · · · , 8.

(3.27) (3.28)

Relasi komutasi equal-time dari dua operator quark membentuk Ai (x) = q † (x)Aˆi q(x), dimana Aˆi menunjukkan matriks Dirac- dan flavor, yang dapat ditulis sebagai [lihat pers. (2.62)] [A1 (~x, t), A2 (~y , t)] = δ 3 (~x − ~y )q † (x)[Aˆ1 , Aˆ2 ]q(x). 6

(3.29)

Pada bagian ini semua kuantitas fisika seperti keadaan dasar, operator-operator quark dan sebagainya dipertimbangkan dalam batas chiral.

44

Dengan definisi

Z QaV (t)

d3 xq † (~x, t)

=

λa q(~x, t), 2

dan menggunakan λa , γ0 λ0 ] = 0, 2 λa [ , γ0 λb ] = γ0 ifabc λc , 2

[

setelah mengintegrasi pers. (3.29) terhadap ~x, kerapatan quark skalar dari pers. (3.27) bertransformasi terhadap SU(3)V sebagai sebuah singlet dan sebagai oktet, [QaV (t), S0 (y)] = 0, a = 1, · · · , 8, 8 X [QaV (t), Sb (y)] = i fabc Sc (y), a, b = 1, · · · , 8,

(3.30) (3.31)

c=1

hasil yang analog diperoleh untuk kerapatan quark pseudoskalar. Dengan menggunakan

8 X

fabc fabd = 3δcd

(3.32)

a,b=1

untuk konstanta struktur SU(3), komponen oktet dari kerapatan quark skalar dapat ditulis sebagai Sa (y) = −

8 i X fabc [QbV (t), Sc (y)], 3 b,c=1

(3.33)

Dalam batas chiral, keadaan dasar perlu invarian terhadap SU(3)V [18], yaitu, QaV |0i = 0, dan dari pers. (3.33) diperoleh h0|Sa (y)|0i = h0|Sa (0)|0i ≡ hSa i = 0,

a = 1, · · · , 8,

(3.34)

diman telah digunakan invarian translasi dari keadaan dasar. Dengan kata lain, komponen oktet dari condensate quark skalar harus hilang dalam batas chiral. Dari pers. (3.34), untuk a = 3 ¯ = 0, h¯ uui − hddi ¯ dan untuk a = 8 yaitu, h¯ uui = hddi ¯ − 2h¯ h¯ uui + hddi ssi = 0,

45

¯ = h¯ yakni h¯ uui = hddi ssi. Pada pers. (3.30) argumen yang serupa tidak dapat digunakan untuk condensate singlet, dan jika diasumsikan tidak menghilangnya condensate quark skalar singlet dalam batas chiral, maka dengan menggunakan pers. (3.34) diperoleh ¯ + s¯si = 3h¯ ¯ = 3h¯ 0 6= h¯ q qi = h¯ uu + dd uui = 3hddi ssi.

(3.35)

Akhirnya, dengan memakai (i)2 [γ5

λa , γ0 γ5 λa ] = λ2a γ0 2

dikombinasikan dengan 

λ21 = λ22 = λ23

λ24 = λ25

λ26 = λ27

λ28 diperoleh

1 0 0  0 1 0 = 0 0 0  1 0 0  0 0 0 = 0 0 1  0 0 0  0 1 0 = 0 0 1  1 0 1 0 1 = 3 0 0

   

¯ u¯u + dd, u¯u + s¯s, i[QA a (t), Pa (y)] = ¯ + s¯s, dd    1 ¯ + 4¯ (¯ uu + dd ss), 3

 ,  ,  ,  0 0  4 a = 1, 2, 3 a = 4, 5 a = 6, 7 a = 8.

(3.36)

Evaluasi pers. (3.36) untuk keadaan dasar yang invarian terhadap SU(3)V , dengan asumsi tidak menghilangkan condensate singlet quark skalar, 2 h0|i[QA q qi, a (t), Pa (y)]|0i = h¯ 3

a = 1, · · · , 8,

(3.37)

dimana, karena invarian translasi, sebelah kanan tidak bergantung pada y. Kerapatan pseudoskalar Pa (y) dan juga operator-operator muatan aksial QaA harus mempunyai elemen matriks yang tidak nol antara vakum dan satu keadaan partikel tak bermassa |φb i. Khususnya, karena kovarian Lorentz, elemen matriks dari operator 46

Bagian 3.3 Grup simetri G dari kerapatan Lagrangian Jumlah generator nG Grup simetri H dari keadaan dasar Jumlah generator nH Jumlah boson Goldstone nG − nH Multiplet dari medan-medan boson Goldstone Harga ekspektasi vakum

O(3)

Model O(N ) sigma linier O(N )

SU(3)L × SU(3)R

3

N (N − 1)/2

16

O(2)

O(N − 1)

SU(3)V

1

(N − 1)(N − 2)/2

8

2

N −1

8

(Φ1 (x), Φ2 (x)) (Φ1 (x), · · · , ΦN −1 (x))

v = hΦ3 i

QCD

i¯ q (x)γ5 λa q(x)

v = hΦN i

v = h¯ q qi

Tabel 3.1: Perbandingan kerusakan simetri spontan. arus aksial vektor antara vakum dan keadaan tak bermassa ini, setelah dinormalisasi dengan tepat, dapat ditulis seperti h0|Aaµ (0)|φb (p)i = ipµ F0 δ ab ,

(3.38)

dimana F0 ≈ 93 MeV merupakan konstanta “peluruhan” boson Goldstone dalam batas chiral. Dengan asumsi QaA |0i 6= 0, sebuah nilai yang tidak nol dari F0 adalah kriteria yang perlu dan cukup untuk kerusakan simetri chiral spontan. Pada sisi lain, karena (3.37) tidak menghilangnya condensate quark skalar h¯ q qi adalah kondisi yang cukup (tapi tidak perlu) untuk kerusakan simetri spontan dalam QCD.

3.5

Lagrangian Efektif Orde Terendah

Pokok bahasan ini bertujuan untuk membangun teori paling umum yang menjelaskan dinamika boson Goldstone yang diasosiasikan dengan kerusakan simetri 47

spontan di dalam QCD. Dalam batas chiral, diharapkan Lagrangian efektif invarian terhadap SU(3)L × SU(3)R × U(1)V . Lagrangian efektif seharusnya mengandung delapan derajat kebebasan pseudoskalar yang bertransformasi sebagai sebuah oktet terhadap subgrup H = SU(3)V . Selain itu, dengan menghitung kerusakan simetri spontan, keadaan dasar seharusnya hanya invarian terhadap SU(3)V × U(1)V . Variabel-variabel dinamis dalam matriks SU(3), U (x), µ ¶ φ(x) U (x) = exp i , F0  0 √ + √ +  √1 η π + 2π 2K 8 X √ 0   √ −3 1 0 2π −π + √3 η 2K  . φ(x) = λa φa (x) ≡  √ − √ 0 ¯ a=1 2K 2K − √23 η

(3.39)

Umumnya kerapatan Lagrangian efektif yang invarian secara chiral dengan jumlah turunan minimal berbentuk Leff =

¢ F02 ¡ Tr ∂µ U ∂ µ U † , 4

(3.40)

dimana F0 ≈ 93 MeV parameter bebas yang kemudian akan dihubungkan ke peluruhan pion.π + → µ+ νµ . Mula-mula Lagrangian invarian terhadap transformasi global SU(3)L × SU(3)R U 7→ RU L† , ∂µ U 7→ ∂µ (RU L† ) = ∂µ R U L† + R∂µ U L† + RU ∂µ L† = R∂µ U L† , |{z} | {z } 0 0 † † † U 7→ LU R , ∂µ U † 7→ L∂µ U † R† , oleh karena itu Leff

´ F2 ³ ´ F02 ³ 0 µ † † µ † † † Tr R∂µ U |{z} L L∂ U R = Tr R R ∂µ U ∂ U = Leff , 7→ |{z} 4 4 1 1

dimana telah dibuat menggunakan sifat trace Tr(AB) = Tr(BA). Invarian global U(1)V secara trivial dipenuhi, karena boson Goldstone mempunyai bilangan baryon nol, maka bertransformasi sebagai φ 7→ φ menurut U(1)V yang juga menyatakan U 7→ U . Maksud konstanta pengali F02 /4 dalam pers. (3.40) adalah untuk menghasilkan bentuk standar dari suku kuadratik 12 ∂µ φa ∂ µ φa , yang dapat dilihat dengan 48

mengekspansikan eksponensial U = 1 + iφ/F0 + · · ·, ∂µ U = i∂µ φ/F0 + · · ·, menghasilkan Leff

= (2.8)

=

· µ ¶¸ i∂ µ φ 1 F02 i∂µ φ Tr − + · · · = Tr(λa ∂µ φa λb ∂ µ φb ) + · · · 4 F0 F0 4 1 1 ∂µ φa ∂ µ φb Tr(λa λb ) + · · · = ∂µ φa ∂ µ φa + Lint , 4 2

Secara khusus,karena tidak ada suku-suku lain yang hanya dua medan (Lint dimulai dengan suku interaksi yang mengandung sedikitnya empat medan), delapan medan φa menggambarkan delapan partikel tak bermassa. Sebuah tipe Tr[(∂µ ∂ µ U )U † ] boleh dinyatakan kembali sebagai7 Tr[(∂µ ∂ µ U )U † ] = ∂µ [Tr(∂ µ U U † )] − Tr(∂ µ U ∂µ U † ), yakni, turunan totalnya adalah sebanding dengan Lagrangian dari pers. (3.30). Bentuk umum medan SU(N )

µ

Λa φa (x) U = exp i F0

¶ ,

dengan N 2 − 1 matiks Λa yang Hermitian, tidak mempunyai trace dan medan riil φa (x). Dengan mendefinisikan Φ = Λa φa /F0 , maka ekspansi eksponensialnya adalah 1 1 U = 1 + iΦ + (iΦ)2 + (iΦ)3 + · · · 2 3! dan turunannya8 1 1 ∂µ U = i∂µ Φ + (i∂µ ΦiΦ + iΦi∂µ Φ) + [i∂µ Φ(iΦ)2 + iΦi∂µ ΦiΦ + (iΦ)2 i∂µ Φ] + · · · . 2 3! Maka diperoleh 1 Tr(∂µ U U † ) = Tr[i∂µ ΦU † + (i∂µ ΦiΦ + iΦi∂µ Φ)U † + · · ·] 2 1 = Tr[i∂µ ΦU † + i∂µ ΦiΦU † + i∂µ Φ(iΦ)2 U † + · · ·] 2 † = Tr(i∂µ Φ U U ) = Tr(i∂µ Φ) = iF0 ∂µ φa Tr(Λa ) = 0, |{z} | {z } 1 0

(3.41)

dimana telah digunakan [Φ, U † ] = 0. Kembali ke arus vektor dan aksial vektor yang dikaitkan dengan simetri global SU(3)L × SU(3)R Lagrangian efektif pers. (3.40). 7 8

Dalam hal ini Tr(∂ µ U U † ) = 0. Φ and ∂µ Φ umumnya adalah matriks dan tidak komutatif.

49

Untuk maksud tersebut diparameterisasi µ ¶ L λa L = exp −iΘa , 2 µ ¶ R λa R = exp −iΘa . 2

(3.42) (3.43)

L L Untuk membangun JLµ,a , dipasang ΘR a = 0 dan dipilih Θa = Θa (x). Maka untuk

orde pertama dalam ΘLa ,

µ 0

†

λa iΘLa

¶

U 7→ U = RU L = U 1 + , 2 µ ¶ † 0† L λa U 7→ U = 1 − iΘa U †, 2 ¶ µ λa 0 L λa ∂µ U 7→ ∂µ U = ∂µ U 1 + iΘa + U i∂µ ΘLa , 2 2 ¶ µ λa λa ∂µ U † − i∂µ ΘLa U † , ∂µ U † 7→ ∂µ U 0† = 1 − iΘLa 2 2 dari sini diperoleh untuk δLeff : · µ ¶¸ F02 L λa µ † µ L λa † Tr U i∂µ Θa ∂ U + ∂µ U −i∂ Θa U δLeff = 4 2 2 · ¸ 2 F0 λa µ † = i∂µ ΘLa Tr (∂ U U − U † ∂ µ U ) 4 2 2 ¡ ¢ F0 = i∂µ ΘLa Tr λa ∂ µ U † U . 4 (Langkah terakhir digunakan

(3.44)

(3.45)

∂ µ U † U = −U † ∂ µ U, yang didapat dengan mendiffrensialkan U † U = 1.) Maka diperoleh arus kiri (leftcurrents) JLµ,a

¢ ∂δLeff F02 ¡ µ † = = i Tr λ ∂ U U , a ∂∂µ ΘLa 4

R dan analog dengan memilih ΘLa = 0 dan ΘR a = Θa (x), ¢ ∂δLeff F02 ¡ JRµ,a = = −i Tr λa U ∂ µ U † R ∂∂µ Θa 4

(3.46)

(3.47)

untuk arus kanan (right-currents). Kombinasi antara pers. (3.46) dan (3.47), arus vektor dan aksial vektor menjadi ¢ F02 ¡ Tr λa [U, ∂ µ U † ] , 4 ¢ F2 ¡ = −i 0 Tr λa {U, ∂ µ U † } . 4

JVµ,a = JRµ,a + JLµ,a = −i

(3.48)

JAµ,a = JRµ,a − JLµ,a

(3.49)

50

Selanjutnya, karena simetri dari Leff terhadap SU(3)L × SU(3)R , arus vektor dan aksial vektor keduanya kekal. Kerapatan arus vektor JVµ,a dari pers. (3.48) hanya mengandung suku-suku dengan sejumlah genap boson Goldstone, JVµ,a

F2 φ 7→ −φ 7→ −i 0 Tr[λa (U † ∂ µ U − ∂ µ U U † )] 4 F02 = −i Tr[λa (−∂ µ U † U + U ∂ µ U † )] = JVµ,a . 4

Pada sisi lain, ekspresi untuk arus aksial vektor memiliki jumlah boson Goldstone ganjil, JAµ,a

F2 φ 7→ −φ 7→ −i 0 Tr[λa (U † ∂ µ U + ∂ µ U U † )] 4 F02 = i Tr[λa (∂ µ U † U + U ∂ µ U † )] = −JAµ,a . 4

Untuk mendapatkan suku utama, medan dari pers. (3.49) diekspansikan , µ ½ ¾¶ F02 λb ∂ µ φb µ,a JA = −i Tr λa 1 + · · · , −i + ··· = −F0 ∂ µ φa + · · · 4 F0 dari sini disimpulkan bahwa arsu aksial vektor tidak menghilangkan elemen matriks saat dievaluasi diantara vakum dan satu keadaan boson Goldstone [lihat pers. (3.38)]: h0|JAµ,a (x)|φb (p)i = h0| − F0 ∂ µ φa (x)|φb (p)i = −F0 ∂ µ exp(−ip · x)δ ab = ipµ F0 exp(−ip · x)δ ab . F0 akan dihubungkan dengan konstanta peluruhan pion π + → µ+ νµ . Suku massa dari QCD yang menghasilkan kerusakan  mu †  0 LM = −¯ qR M qL − q¯L M qR , M = 0

simetri eksplisit adalah  0 0 md 0  . (3.50) 0 ms

Meskipun M kenyataanya adalah matriks konstanta dan tidak bertransformasi dengan medan quark, LM dari pers. (3.50) akan invarian jika M ditransformasikan seperti ini M 7→ RM L† .

(3.51)

Pada orde terendah dalam M diperoleh Ls.b. =

F02 B0 Tr(M U † + U M † ), 2 51

(3.52)

dimana indeks s.b. menunjuk pada kerusakan simetri (symmetry breaking). Untuk menginterpretasikan parameter baru B0 , diprtimbangkan suatu kerapatan energi dari keadaan dasar (U = U0 = 1), hHeff i = −F02 B0 (mu + md + ms ),

(3.53)

dan membandingkan turunannya dengan massa quark ringan mq dengan kuantitas yang terkait di dalam QCD, ¯ ∂h0|HQCD |0i ¯¯ 1 1 = h0|¯ q q|0i0 = h¯ q qi, ¯ ∂mq 3 3 mu =md =ms =0 dimana h¯ q qi adalah condensate quark skalar dari pers. (3.35). Di dalam kerangka kerja Lagrangian efektif orde terendah, konstanta B0 dihubungkan ke condencate quark skalar 3F02 B0 = −h¯ q qi.

(3.54)

Sedikit kesimpulan. 1. Suku Tr(M ) terhadap M sendiri tidak invarian. 2. Kombinasi Tr(M U † − U M † ) mempunyai sifat yang salah terhadap paritas φ(~x, t) 7→ −φ(−~x, t), karena Tr[M U † (~x, t) − U (~x, t)M † ]

P

7→ M =M †

=

Tr[M U (−~x, t) − U † (−~x, t)M † ] −Tr[M U † (−~x, t) − U (−~x, t)M † ].

3. Karena M = M † , Ls.b. hanya mengandung suku-suku genap di dalam φ. Untuk menentukan massa-massa boson Goldstone, diperkenalkan suku kedua dalam medan dari Ls.b. , Ls.b = −

B0 Tr(φ2 M ) + · · · . 2

(3.55)

Dengan menggunakan pers. (3.39) diperoleh ¯0 Tr(φ2 M ) = 2(mu + md )π + π − + 2(mu + ms )K + K − + 2(md + ms )K 0 K 2 mu + md + 4ms 2 +(mu + md )π 0 π 0 + √ (mu − md )π 0 η + η . 3 3

52

Demi penyederhanaan dipertimbangkanlah batas isospin-symmetric mu = md = m supaya suku π 0 η menghilang dan tidak ada mixing π 0 -η. Maka dihasilkan massa boson Goldstone, untuk orde terendah dalam massa quark, Mπ2 = 2B0 m,

(3.56)

MK2 = B0 (m + ms ), 2 Mη2 = B0 (m + 2ms ) . 3

(3.57) (3.58)

Hasil-hasil ini dikombinasikan dengan pers. (3.54), B0 = −h¯ q qi/(3F02 ), dihasilkan hubungan yang terkait dengan acuan [25] dan mengacu pada relasi Gell-Mann, Oakes, dan Renner. Selanjutnya, massa-massa dari pers. (3.56) - (3.58) memenuhi relasi Gell-Mann-Okubo 4MK2 = 4B0 (m + ms ) = 2B0 (m + 2ms ) + 2B0 m = 3Mη2 + Mπ2

(3.59)

yang tidak bergantung pada harga B0 . Rasio massa quark dihasilkan dengan menggunakan harga-harga empiris dari oktet psudoskalar, ms MK2 m + ms ⇒ = 25.9, = 2 Mπ 2m m Mη2 2ms + m ms = ⇒ = 24.3. Mπ2 3m m

3.6

(3.60)

Konstruksi Lagrangian Efektif

Di sini akan dibangun suatu Lagrangian efektif dengan mempromosikan simetri global dari Lagrangian efektif ke simetri lokal dan memperkenalkan suatu kopling yang sama terhadap terhadap medan-medan v, a, s, dan p seperti di dalam QCD. Untuk lebih rinci mengenai pembentukan Lagrangian efektif untuk simetri lokal G = SU(3)L × SU(3)R (lihat acuan. [26, 27, 28]). Matrks U bertransformasi sepert U 7→ U 0 = VR U VL† , dimana VL (x) dan VR (x) matriks-matriks SU(3) yang tidak bergantung ruang-waktu. Seperti dalam masalah teori gauge, diperlukan medan-medan eksternal lµa (x) and rµa (x) [lihat pers. (2.68), (2.74), (2.77), dan Tabel 3.2] berkorespondensi dengan parameter-parameter ΘLa (x) dan ΘR a (x) dari VL (x) dan VR (x). Untuk setiap obyek A bertransformasi menjadi 53

VR AVL† , didefinisikan turunan kovarian Dµ A Dµ A ≡ ∂µ A − irµ A + iAlµ 7→ ∂µ (VR AVL† ) − i(VR rµ VR† + iVR ∂µ VR† )VR AVL† +iVR AVL† (VL lµ VL† + iVL ∂µ VL† ) = ∂µ VR AVL† + VR ∂µ AVL† + VR A∂µ VL† − iVR rµ AVL† − ∂µ VR AVL† +iVR Alµ VL† − VR A∂µ VL† = VR (∂µ A − irµ A + iAlµ )VL† = VR (Dµ A)VL† ,

(3.61)

dimana telah digunakan VR ∂µ VR† = −∂µ VR VR† . Karena Lagrangian efektif pada akhirnya akan mengandung sembarang pangkat yang tinggi dari turunan, diperlukan L R tensor kuat medan fµν dan fµν yang terkait dengan medan-medan gauge. R fµν ≡ ∂µ rν − ∂ν rµ − i[rµ , rν ],

(3.62)

L fµν ≡ ∂µ lν − ∂ν lµ − i[lµ , lν ].

(3.63)

Tensor kuat medan adalah tidak mempunyai trace, L R Tr(fµν ) = Tr(fµν ) = 0,

(3.64)

karena Tr(lµ ) = Tr(rµ ) = 0 dan trace dari setiap komutator juga nol. Akhirnya, dengan mengikuti konvensi Gasser dan Leutwyler, diperkenalkanlah kombinasi linier χ ≡ 2B0 (s + ip) dengan medan eksternal skalar dan pseudoskalar dari pers. (2.68), dimana B0 ditentukan dalam pers. (3.54). Tabel 3.2 berisi sifat-sifat transformasi dari semua susunan dasar Lagrangian terhadap grup (G), konjugasi muatan (C), dan paritas (P ). Di dalam skema chiral counting, elemen-elemen teori perturbasi chiral dihitung sebagai: L/R = O(p2 ), χ = O(p2 ). U = O(p0 ), Dµ U = O(p), rµ , lµ = O(p), fµν

(3.65)

Pembentukan Lagrangian efektif dalam suku-suku susunan dasar dari pers. (3.65) dihasilkan sebagai berikut. Obyek-obyek yang diberikan A, B, . . ., semuanya bertransformasi menjadi A0 = VR AVL† , B 0 = VR BVL† , . . . , dapat dibentuk suatu invarian dengan mengambil jenis AB † : Tr(AB † ) 7→ Tr[VR AVL† (VR BVL† )† ] = Tr(VR AVL† VL B † VR† ) = Tr(AB † VR† VR ) = Tr(AB † ). 54

elemen U Dλ1 · · · Dλn U χ D λ1 · · · D λn χ rµ lµ R fµν L fµν

G VR U VL† VR Dλ1 · · · Dλn U VL† VR χVL† VR Dλ1 · · · Dλn χVL† VR rµ VR† + iVR ∂µ VR† VL lµ VL† + iVL ∂µ VL† R VR† VR fµν L VL fµν VL†

C UT (Dλ1 · · · Dλn U )T χT (Dλ1 · · · Dλn χ)T −lµT −rµT L T ) −(fµν R T −(fµν )

P U† (Dλ1 · · · Dλn U )† χ† (Dλ1 · · · Dλn χ)† lµ rµ fLµν fRµν

Tabel 3.2: Sifat-sifat transformasi terhadap grup (G), konjugasi muatan (C), dan paritas (P ). Generalisasi untuk suku-suku yang lebih banyak dan memiliki trace yang invarian adalah: Tr(AB † CD† ),

Tr(AB † )Tr(CD† ),

···.

(3.66)

Daftar lengkap elemen-elemen yang termasuk orde O(p2 ) bertransformasi menjadi VR · · · VL† adalah L R U, Dµ U, Dµ Dν U, χ, U fµν , fµν U.

(3.67)

Bentuk invarian dari orde O(p0 ) hingga O(p2 ) adalah O(p0 ) : Tr(U U † ) = 3, ∗

∗

O(p) : Tr(Dµ U U † ) = −Tr[U (Dµ U )† ] = 0, ∗∗

∗∗

O(p2 ) : Tr(Dµ Dν U U † ) = −Tr[Dν U (Dµ U )† ] = Tr[U (Dν Dµ U )† ], Tr(χU † ), Tr(U χ† ), L L Tr(U fµν U † ) = Tr(fµν ) = 0, R Tr(fµν ) = 0.

(3.68)

Tanda ∗ telah dibuat menggunakan dua sifat penting dari turunan kovarian Dµ U : Dµ U U † = −U (Dµ U )† , Tr(Dµ U U † ) = 0.

55

(3.69) (3.70)

Hubungan pertama berasal dari unitari U dikombinasikan dengan definisi dari turunan kovarian, pers. (3.61). Dµ U U † = ∂µ U U † −irµ U U † +iU lµ U † , |{z} | {z } −U ∂µ U †

1

= −U ∂µ U † − irµ − U (−ilµ U † ) = −U (Dµ U )† Persamaan (3.70) ditunjukkan menggunakan Tr(rµ ) = Tr(lµ ) = 0 bersama dengan pers. (3.41), Tr(∂µ U U † ) = 0: Tr(Dµ U U † ) = Tr(∂µ U U † − irµ U U † + iU lµ U † ) = 0. Hubungan ∗∗ dapat diperiksa dengan hitungan ekspilisit, atau lebih elegan menggunakan aturan dari acuan [26] untuk turunan kovarian. Akhirnya dengan mengkontraksikan indeks Lorentz, menghasilkan tiga calon: Tr[Dµ U (Dµ U )† ],

(3.71)

Tr(χU † ± U χ† ).

(3.72)

Suku dalam pers. (3.72) dengan tanda negatif dikeluarkan karena suku ini mempunyai tanda yang salah terhadap paritas (lihat Tabel 3.2) dan dengan mengambil invarian lokal, Lagrangian efektif pada orde terendah adalah L2 =

F02 F2 Tr[Dµ U (Dµ U )† ] + 0 Tr(χU † + U χ† ). 4 4

(3.73)

L2 mengandung dua parameter: konstanta peluruhan pion F0 dan B0 dari pers. (3.54) yang tersembunyi di dalam χ.

56

Bab 4 Hasil dan Pembahasan 4.1

Peluruhan Pion π + → µ+νµ

Setelah mempelajari tantang Lagrangian efektif, kini tiba saatnya untuk membahas aplikasinya pada peluruhan lemah π + → µ+ νµ yang akan menghubungkan parameter bebas F0 of L2 ke konstanta peluruhan pion. Pada tingkat derajat kebebasan dari Standard Model (SM), peluruhan pion digambarkan dengan pemusnahan sebuah ¯ yang membentuk π + , menjadi sebuah boson W + , quark u dan sebuah anti-quark d, yang kemudian W + merambat, dan menciptakan lepton µ+ dan νµ dalam keadaan akhir (lihat Gambar 4.1). Kopling boson W terhadap lepton diberikan oleh ¤ g £ ¯γ µ (1 − γ5 )νµ , L = − √ Wµ+ ν¯µ γ µ (1 − γ5 )µ + Wµ− µ 2 2

(4.1)

sedangkan interaksinya dengan quark yang membentuk boson Goldstone secara efektif diambil ke dalam hitungan dengan memasukkan pers. (2.78) ke Lagrangian dari pers. (3.73). Dengan memandang suku pertama pers. (3.73) dan memasang rµ = 0 serta lµ masih sembarang. Dengan menggunakan Dµ U = ∂µ U + iU lµ didapat F02 F02 µ † Tr[Dµ U (D U ) ] = Tr[(∂µ U + iU lµ )(∂ µ U † − ilµ U † )] 4 4

νµ

u π+

_ d

+ W

Gambar 4.1: Peluruhan Pion π + → µ+ νµ . 57

µ+

= ··· + i

= i

F02 Tr(U lµ ∂ µ U † − lµ U † ∂µ U ) + · · · | {z } 4 −∂µ U † U

F02 Tr(lµ ∂ µ U † U ) + · · · , 2

dimana hanya suku-suku linier dalam lµ yang ditunjukkan. Jika lµ =

8 X λa a=1

2

lµa ,

suku interaksi linier dalam lµ adalah ¸ X · 2 8 8 X F0 µ † a lµa JLµ,a , Lint = lµ i Tr(λa ∂ U U ) = 4 a=1 a=1

(4.2)

dimana telah digunakan pers. (3.46) JLµ,a . Sekali lagi, JLµ,a diekspansikan dengan menggunakan pers. (3.39) untuk orde pertama dalam φ, JLµ,a =

F0 µ a ∂ φ + O(φ2 ), 2

(4.3)

dari sini diperoleh elemen matriks h0|JLµ,a (0)|φb (p)i =

F0 F0 h0|∂ µ φa (0)|φb (p)i = −ipµ δ ab . 2 2

(4.4)

Dengan memasukkan lµ dari pers. (2.78) didapatkan untuk suku interaksi dari boson Goldstone tunggal dengan sebuah W LW φ =

g F0 F0 Tr(lµ ∂ µ φ) = − √ Tr[(Wµ+ T+ + Wµ− T− )∂ µ φ]. 2 2 2

Maka perlu dihitung1 Tr(T+ ∂ µ φ)  √ + √ +    0 √1 π + 3η 2π 2K 0 Vud Vus √ − √ 0   1 µ 0  √ 2π −π + 3 η 2K  0 ∂  = Tr  0 0 √ − √ 0 ¯ 0 0 0 2K 2K − √23 η √ √ = Vud 2∂ µ π − + Vus 2∂ µ K − , Tr(T− ∂ µ φ)  √ + √ +    0 √1 π + 3η 2π 2K 0 0 0 √ − √ 0   1 µ 0  √ 2π −π + 3 η 2K  = Tr  Vud 0 0 ∂  √ − √ 0 ¯ Vus 0 0 2K 2K − √23 η √ √ = Vud 2∂ µ π + + Vus 2∂ µ K + . 1

Vud dan Vus adalah matriks Cabibbo-Kobayashi-Maskawa yang riil.

58

Maka diperoleh suku interaksi LW φ = −g

F0 + [Wµ (Vud ∂ µ π − + Vus ∂ µ K − ) + Wµ− (Vud ∂ µ π + + Vus ∂ µ K + )]. 2

(4.5)

Dikombinasikan dengan propagator Feynman untuk boson W , kµ kν 2 MW 2 MW

−gµν + k2

−

=

gµν kk + O( 4 ), 2 MW MW

(4.6)

aturan Feynman untuk inavariant amplitude pada peluruhan pion lemah adalah ¸ · · ¸ igνµ F0 g ν µ M = i − √ u¯νµ γ (1 − γ5 )vµ+ i −g Vud (−ip ) 2 MW 2 2 2 = −GF Vud F0 u¯νµ p/(1 − γ5 )vµ+ , (4.7) dimana p menunjukkan momentum-empat pion dan g2 = 1.16639(1) × 10−5 GeV−2 GF = √ 2 4 2MW adalah konstanta Fermi. Nilai dari |M|2 adalah µ 2

|M| =

4G2F |Vud |2 F02 m2π+ m2µ

m2µ 1− 2 mπ +

¶

Maka diperoleh laju peluruhan ¶ m2µ 1− 2 dφ d cos θ mπ+ µ ¶2 m2µ G2F |Vud |2 F02 2 Γ = mπ+ mµ 1 − 2 dφ d cos θ 16π 2 mπ+ | {z } 4π µ 2 ¶2 2 2 mµ GF |Vud | 2 1 = F0 mπ+ m2µ 1 − 2 Γ= . τ 4π mπ+ |M|2 dΓ = 64π 2 mπ+

4.2

µ

(4.8)

Pembahasan

Seperti telah dibahas di atas dengan rinci, simetri chiral QCD SU(3)L × SU(3)R × U(1)V dalam batas menghilangkan massa quark u, d, dan s bersama dengan asumsi kerusakan spontannya ke SU(3)V × U(1)V dalam keadaan dasar, adalah salah satu kunci untuk mengerti interaksi kuat pada daerah energi rendah. Dari sudut pandang saat ini, simetri eksplisit rusak karena massa quark berhingga u, d, dan s yang 59

menimbulkan divergensi dari arus simetri yang tidak nol. Rusaknya simetri chiral ke ¯ 0 , η) SU(3) ×U(1) menghasilkan delapan boson Goldstone (π + , π 0 , π − , K + , K 0 , K − , K V

V

yang semuanya dikumpulkan dalam sebuah matriks SU(3), U (x). s Dengan mengikuti metode yang dilakukan Gasser dan Leutwyler [16, 17] untuk Lagrangian efektif orde terendah, dapat diaplikasikan ke peluruhan pion. Dari perhitungan di atas telah didapat invarian amplitude dari peluruhan pion dan laju peluruhannya. Konstanta F0 mengacu pada konstanta peluruhan pion dalam batas chiral. Konstanta ini mengukur kuat elemen matriks dari operator arus aksial vektor diantara satu keadaan boson Goldstone dan sebuah vakum (3.38). Karena interaksi boson W dengan quark memiliki tipe lµa Lµ,a = lµa (V µ,a − Aµ,a )/2 [lihat pers. (2.78)] dan operator arus quark tidak memberikan kontribusi terhadap elemen matriks antara pion tunggal dan vakum, maka peluruhan pion sepenuhnya ditentukan oleh arus aksial vektor. (eksp)

Dengan mengambil harga Vud dan data dari eksperimen, bahwa Γπ+ →µ+ νµ = 3, 841 × 107 s−1 , didapatkan harga konstanta peluruhan pion sebesar F0 = 92, 4 ± 0, 2 MeV

(4.9)

Terlihat bahwa harga ini cukup kecil yang menunjukkan proses tersebut terjadi pada energi rendah.

60

Bab 5 Kesimpulan dan Saran Teori perturbasi chiral merupakan teori yang sangat baik menerangkan fenomena QCD pada tingkat energi rendah. Dengan rusaknya simetri chiral QCD SU(3)L × SU(3)R × U(1)V ke SU(3)V × U(1)V ternyata menghasilkan delapan boson Goldstone. Karena pion adalah salah satu partikel elementer maka peluruhannya akan menghasilkan partikel lain. Lagrangian efektif yang telah diperkenalkan disini hanya sampai pada orde terendah, yaitu mengandung dua turunan kovarian terhadap medan-medan boson, namun sudah dapat menjelaskan fenomena peluruhan pion. Untuk orde yang lebih tinggi lagi mungkin akan dapat menjelaskan fenomena yang lebih rumit lagi. Dengan hasil yang kecil dari konstanta peluruhan pion maka disimpulkan interaksi ini terjadi pada energi rendah. Suatu hasil yang menarik mungkin akan muncul pada perhitungan orde yang lebih tinggi. Di sini hanya disampaikan mengenai teori perturbasi chiral pada sektor meson. Suatu pelajaran yang menarik untuk mempelajari ke dalam sektor baryon yang terdiri dari tiga quark dengan melibatkan loop dalam perhitungan.

61

Lampiran A Mekanika Kuantum Relativistik A.1

Notasi

Sistem satuan yang digunakan penulis adalah sistem satuan alami (natural system of units), di mana didefinisikan ~ = c = 1 dan tidak berdimensi. Energi, massa, dan momentum, seluruhnya berdimensi energi, yakni dengan satuan MeV. Dengan demikian, dimensi panjang dan luas masing-masing menjadi energi−1 dan energi−2 . Untuk mendapatkan nilai dan mengembalikan dimensi besaran yang ingin diketahui, digunakan konversi berikut [29]: ~ = 6.58212233(49) × 10−22 MeV s ~c = 197.327053(59) MeV fm (~c)2 = 0.38937966(23) GeV2 mbarn

A.2

(A.1) (A.2) (A.3)

Aljabar Dirac

Dalam mekanika kuantum relativistik, ruang dan waktu dinyatakan dalam vektor empat sebagai berikut xµ ≡ (x0 , x1 , x2 , x3 ) ≡ (t, x) ≡ (t, x, y, z),

(A.4)

disebut vektor empat kontravarian, dan vektor empat kovariannya berbentuk xµ ≡ (x0 , x1 , x2 , x3 ) ≡ (t, −x) ≡ (t, −x, −y, −z). = gµν xν ,

(A.5)

62

dimana gµν adalah matriks transformasi  1 0 0 0  0 −1 0 0 gµν =   0 0 −1 0 0 0 0 −1

   

(A.6)

Operator differensial ∂µ ∂µ

∂ = (∂0 , ∂1 , ∂2 , ∂3 ) = = ∂xµ µ ¶ ∂ µν = g ∂ν = , −∇ ∂t

µ

∂ ∂ ∂ ∂ , , , ∂t ∂x ∂y ∂z

¶

µ =

∂ ,∇ ∂t

¶ (A.7) (A.8)

Vektor-4 energi-momentum pµ ≡ (p0 , p1 , p2 , p3 ) ≡ (E, p),

pµ ≡ (p0 , p1 , p2 , p3 ) ≡ (E, p)

(A.9)

di mana berlaku relasi pµ pµ ≡ p2 = pµ gµν pν = E 2 − p · p = m2 .

(A.10)

Matriks Dirac yang digunakan adalah: γ µ ≡ (γ 0 , γ i ),

γ 0† = γ 0

memiliki representasi matriks  1 0 0 0  0 1 0 0 γ0 = γ 0 =   0 0 −1 0 0 0 0 −1

γ µ = γ 0 γ µ† γ 0 .

(A.11)

  , 

µ i

γ =

0 σi −σ i 0

¶ .

di mana ketiga matriks Pauli, σ i dinyatakan oleh µ ¶ µ ¶ µ ¶ 0 1 0 −i 1 0 1 2 3 σ = , σ = , σ = , 1 0 i 0 0 −1

(A.12)

(A.13)

yang memenuhi hubungan antikomutatif © i jª σ ,σ ≡ σ i σ j + σ j σ i = 2δij ,

(A.14)

dan hubungan komutatif £

σi, σj

¤

≡ σ i σ j − σ j σ i = 2i²ijk σ k , 63

(A.15)

di mana ²ijk merupakan bentuk nonkovarian tensor antisimetrik Levi-Civita yang didefinisikan kemudian pada Pers. (A.21). Matriks Dirac γ memunuhi hubungan antikomutatif berikut {γ µ , γ ν } ≡ γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2g µν ,

(A.16)

dan hubungan komutatif [γ µ , γ ν ] ≡ γ µ γ ν − γ ν γ µ ≡ −2iσ µν , Pada hubungan ini σ

ij

=

µ

¶

σk 0 0 σk

µ dan σ

0i

= i

γ

5

0 1 2 3

≡ iγ γ γ γ = γ5 =

¶

0 σi σi 0

Kombinasi lainnya yang berguna adalah

(A.17)

. µ

1 i² γ µγ ν γ ργ σ 24 µνρσ

=

0 1 1 0

(A.18) ¶ ,

(A.19)

γ5 γσ = −γσ γ5 = 61 i²µνρσ γ µ γ ν γ ρ , tensor antisimetrik Levi-Civita didefinisikan sebagai   +1 untuk permutasi siklik −1 untuk permutasi anti − siklik ²µνρσ =  0 jika ada dua atau lebih indeks yang sama

(A.20)

.

(A.21)

Persamaan Klein-Gordon: (¤ + m2 )Φ = 0,

¤ ≡ ∂ µ ∂ν .

(A.22)

Persamaan Dirac: (i∂ / − m)Ψ = 0 dimana a/ = aµ γ µ .

(A.23)

Di dalam ruang momentum (p/ − m)u(p, s) = 0 ,

(A.24)

(p+ m)v(p, s) = 0 ,

(A.25)

dimana u(p, s) dan v(p, s) adalah spinor-spinor Dirac. Hubungan kelengkapan spinor Dirac X

= u(s) (p, s)¯ u(s) (p, s) = (p/ + m)

(A.26)

= v (s) (p, s)¯ v (s) (p, s) = (p/ − m)

(A.27)

s=1,2

X

s=1,2

64

Representasi Matriks Adjoint Ti = tijk = −i²ijk 

 ti11 tti12 ti13 Ti =  ti21 tti22 ti23  , ti31 tti32 ti33



t111 tt112 T1 =  t121 tt122 t131 tt132  2 t11 tt212 T2 =  t221 tt222 t231 tt232  3 t11 tt312 T3 =  t321 tt322 t331 tt332

65

   t113 0 0 0 t123  =  0 0 −i  , t133 0 i 0    2 0 0 i t13 t223  =  0 0 0  , −i 0 0 t233    3 t13 0 −i 0 t323  =  i 0 0  . t333 0 0 0

Lampiran B Transformasi Grup U(1),U(3) dan SU(3) Transformasi U(1) (transformasi fase) Ψ → exp(−iΘ)Ψ

(B.1)

Transformasi U(3)L ×U(3)R Ã

8 X

qL → UL qL = exp −i à qR → UR qL = exp −i

a=1 8 X

! ΘLa

L

(B.2)

R

(B.3)

qL

(B.4)

qR

(B.5)

e−iΘ qL

! ΘR a

e−iΘ qR

a=1

Transformasi SU(3)L ×SU(3)R à qL → UL qL = exp −i à qR → UL qR = exp −i

8 X a=1 8 X a=1

66

! ΘLa ! ΘR a

Daftar Acuan [1] S. L. Adler, Phys. Rev. 139, B1638 (1965). [2] S. L. Adler dan W. A. Bardeen, Phys. Rev. 182, 1517 (1969). [3] W. A. Bardeen, Phys. Rev. 184 (1969) [4] J. S. Bell dan R. Kackiw, Nuovo Cim. A 60, 47 (1969). [5] S. L. Adler, dalam Lectures on Elementary Particles and Quantum Field Theory, 1970 Brandies University Summer Institute in Theoretical Physics, Volume 1, diedit oleh S. Deser, M. Grisaru, dan H. Pendleton (M.I.T. Press, Cambridge, Massachusetts, 1970). [6] Y. Ne’eman, Nucl. Phys. Rev. 26, 222 (1961). [7] M. Gell-Mann, Phys. Rev. 125, 1067 (1962). [8] M. Gell-Mann dan Y. Ne’eman, The Eightfold Way (Benjamin, New York, 1964). [9] D. J. Gross. dan F. Wilczek, Phys. Rev. Lett. 30, 1343 (1973). [10] S. Weinberg, Phys. Rev. Lett. 31, 494 (1973) [11] H. Fritzsch, M. Gell-Mann, dan H. Leutwyler, Phys. Lett. B 47, 365 (1973). [12] H. Leutwyler, Phys. Lett. B 378, 313 (1996). [13] W. J. Marciano dan H. Pagels, Phys. Rept. 36, 137 (1978). [14] G. Altarelli, Phys. Rept. 81, 1 (1982).

67

[15] M. Gell-Mann dan M. L´evy, Nuovo Cim. 16, 705 (1960). [16] J. Gasser dan H. Leutwyler, Annals Phys. 158, 142 (1984). [17] J. Gasser dan H. Leutwyler, Nucl. Phys. B250, 465 (1985). [18] C. Vafa dan E. Witten, Nucl. Phys. B234, 173 (1984). [19] S. Coleman, J. Math. Pyhs. 7, 787 (1966). [20] Y. Nambu, Phys. Rev. Lett. 4, 380 (1960). [21] Y. Nambu dan G. jona-Lasinio, Phys. Rev. Lett. 122, 345 (1961). [22] Y. Nambu dan G. jona-Lasinio, Phys. Rev. Lett. 124, 246 (1961) [23] J. Goldstone, Nuovo Cim. 19, 154 (1961). [24] J. Goldstone, A. Salam, dan S. Weinberg, Phys. Rev. 127, 965 (1962). [25] M. Gell-Mann, R. J. Oakes, dan B. Renner, Phys. Rev. 175, 2195 (1999). [26] H. W. Fearing dan S. Scherer, Phys. Rev. D 53, 315 (1996). [27] J. Bijnens, G. Colangelo, dan P. Talavera, JHEP 9805, 014 (1998). [28] T. Ebertsh¨auser, H. W. Fearing, dan S. Scherer, Phys. Rev. D 65, 054033 (2002). [29] Particle Data Group, Eur Phys. J. 3 (1998) 1.

68