PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ
Írta Dr. Huzsvai László
Debrecen 2012
Tartalomjegyzék Bevezetés..............................................................................................................................................1 Viszonyszámok.....................................................................................................................................1 Középértékek (átlagok)........................................................................................................................2 Szóródási mutatók................................................................................................................................4 Indexek..................................................................................................................................................7 Furfangos kérdések...............................................................................................................................8
Bevezetés Ez a rövid leírás a Statisztika c. tantárgy számítógépes vizsgáztató rendszeréhez készült. Az elmélet megtalálható a Statisztika tankönyvben. A továbbiakban a számítási feladatok néhány típusát tekint jük át. A feladat megoldások során a kiadott Képletgyűjtemény nagyban segíti a helyes eredmények meghatározását. A tesztben a számítási feladatok öt témakört ölelnek fel: viszonyszámok, átlagok, szóródási mutatók, indexek és furfangos kérdések. A számítások során nem érdemes kerekíteni, a végeredményt egytizedes pontossággal kell megadni. A számítógépes input ablakba, ahová a helyes eredményt várja a program, mértékegység nélkül kell beírni az eredményt. A tizedes elválasztóra nem érzékeny, lehet vessző és pont is. A megoldásra összesen 50 perc áll rendelkezésre.
Viszonyszámok 1. feladat A magyarországi búzatermések alapján határozza meg a változás ütemének átlagát. (Az eredményt százalékban, egy tizedes pontossággal adja meg.) Év
Termés (ezer t)
2005. 2006. 2007. 2008.
4126 1137 4913 1149
Legelőször a változás ütemét kell meghatározni évenként. Ezt a láncviszonyszámok mutatják. Min den termés értéket el kell osztani a megelőző év termésével. Az első évben nincs láncviszonyszám, mivel nincs 2004. évi termés. Év
Láncviszonyszámok
2005. 2006. 2007. 2008.
nincs 1137/4126 4913/1137 1149/4913
A számítások elvégzése után: Év Láncviszonyszámok 2005. 2006. 2007. 2008.
nincs 0,2755695589 4,3210202287 0,2338693263
Ezután meg kell határozni a láncviszonyszámok átlagát az alábbi képlet alapján Láncviszonyszámok mértani átlagának képlete: V̄L=n−1√ V L2⋅V L3⋅…⋅V Ln=
1
√
n−1
n
∏ V Li i=2
Az összes láncviszonyszámot össze kell szorozni, és annyiadik gyököt kell vonni, ahány adatunk van. 3 √ 0,275∗4,321∗0,234=0,653 A láncviszonyszámok átlaga tehát 0,653. Fejezzük ki százalékban. 0,653*100=65,3%. Ezt az eredményt kell beírni a számítógépes teszt input ablakába, de százalékjel nélkül, máskülön ben hibát jelez a program. Tehát: 65,3 a helyes eredmény.
Középértékek (átlagok) 1. feladat Számítsa ki a gazdaság kukoricatermésének átlagát. Tábla T1 T5 T10 T11 T12
Méret (ha) Termésmennyiség (t) 29 68 48 189 15 319 51 118 82 240
Öt szántóföldi táblának meg vannak adva a tábla méretei és a tábláról betakarított összes termései. A gazdaság átlag kukoricatermése az összes termés és az összes terület hányadosa. 68+189+319+118+240 =4,15 29+48+15+51+82 A mértékegység t/ha. A számítógépes teszt input ablakába tehát 4,15 kerül. 2. feladat Számítsa ki a gazdaság kukoricatermésének átlagát. Tábla T1 T5 T10 T11 T12
Méret (ha) Termésátlag (t/ha) 29 2,345 48 3,938 15 21,267 51 2,314 82 2,927
Öt szántóföldi táblának meg vannak adva a tábla méretei és a tábláról betakarított termésátlagok. A gazdaság átlag kukoricatermése ebben az esetben is az összes termés és az összes terület hányadosa. Hogyan kapjuk meg az összes termést? A termésátlagokat megszorozzuk a tábla nagyságával, és összeadjuk őket. A gazdaság méretét a táblák összege adja meg. Ez egy súlyozott számtani átlag. A súlyozott számtani átlag képlete: f x ̄ =∑ i i X ∑ fi Az f a súlyzó tényező, ebben a példában a tábla nagysága, x a kukorica termésátlaga. 2
Tábla T1 T5 T10 T11 T12 Összesen
fi 29 48 15 51 82 225
xi 2,345 3,938 21,267 2,314 2,927
fixi 68 189 319 118 240 934
Végezzük el osztást, illetve helyettesítsük be a súlyozott számtani átlag képletébe az összegeket. ̄= X
934 =4,15 225
A gazdaság kukorica termésátlaga tehát 4,15 t/ha. A teszt input ablakába tehát 4,15t kell írni, mér tékegység nélkül. 3. feladat Számítsa ki a gazdaság kukoricatermésének átlagát. Tábla
Termésátlag Termésmennyiség (t/ha) (t) T1 2,345 68 T5 3,938 189 T10 21,267 319 T11 2,314 118 T12 2,927 240 Öt szántóföldi táblának meg vannak adva tábláról betakarított termésátlagok és termésmennyiségek. A gazdaság átlag kukoricatermése ebben az esetben is az összes termés és az összes terület hánya dosa. Itt nem ismerjük az összes területet. Hogyan kapjuk meg az összes területet? A termésmennyiséget elosztjuk a termésátlaggal, és össze adjuk őket. Ez egy súlyozott harmonikus átlag. A súlyozott harmonikus átlag képlete: n
∑ fi
X̄h =
i=1 n
∑ f i x1 i=1
Tábla T1 T5 T10 T11 T12 Összesen
xi 2,345 3,938 21,267 2,314 2,927
fi 68 189 319 118 240 934
fi*1/xi 29 48 15 51 82 225 3
i
Végezzük el osztást, illetve helyettesítsük be a súlyozott harmonikus átlag képletébe az összegeket. ̄= X
934 =4,15 225
A gazdaság kukorica termésátlaga tehát 4,15 t/ha. A teszt input ablakába tehát 4,15t kell írni, mér tékegység nélkül. 4. feladat Határozza meg az alábbi váltakozó feszültség átlagát (effektív értékét). Feszültség (V) 313 1 120 1 320 125 60 A négyzetes átlag képlete:
X̄q =
X̄q =
√
√
n
∑ x 2i i =1
n
(−3132)+12+(−1202 )+(−12 )+3202+1252+602 =182,83 7
A negatív értékek négyzetre emelés után pozitívak lesznek. A tesztbe 182,8t kell írni.
Szóródási mutatók 1. feladat Határozza meg az alábbi minta középértékének a 99%os megbízhatósági intervallum alsó határát. 16 54 91 9 45 A megbízhatósági intervallum más néven konfidencia intervallum meghatározásához ki kell számí tani a minta számtani átlagát és standard hibáját. A számtani átlag képlete: x ̄ =∑ i X n
4
16+54+91+9+45 =43 n A standard hiba képlete: s s x= √n A standard hiba képletének számlálójában a mint szórása áll, tehát először ezt kell kiszámítani. A szórás képlete:
s=
√
n
∑ (x i −x )2 i=1
n−1
A képlet számlálójában az eltérésnégyzetösszeg áll. Minden adatbók ki kell vonni a számtani átla got, majd négyzetre kell emelni. Ezeket a négyzeteket kell majd összegezni. adatok 16 54 91 9 45
átlag 43 43 43 43 43
adatokátlag (adatokátlag)2 27 729 11 121 48 2304 34 1156 2 4 Összesen: 4314
A nevezőben a megfigyelések mínusz egy áll. A szórás tehát: 4314 s= =32,84 4
√
Ezt helyettesítsük be a standard hiba képletébe. 32,84 s x= =14,69 √5 Ezek birtokában már meghatározhatjuk a számtani átlag megbízhatósági tartományának alsó hatá rát. A lenti képlet a kétoldali szimmetrikus határokat mutatja. Ebben a példában csak a műtől balra eső részt kell használni. A számtani átlag megbízhatósági tartománya: P( ̄x −z α / 2 s ̄x ⩽ μ⩽̄x +z α /2 s ̄x )=1−α A zérték 99%hoz tartozó értéke 2,58. Ez megtalálható a kiadott képletgyűjteményben. Tehát a konfidenciaintervallum alsó határa: 432,58*14,69=5,17 A tesztbe 5,17 lesz a helyes eredmény.
5
2. feladat Határozza meg az alábbi minta variációs együtthatóját más néven variációs koefficiensét. 16 54 91 9 45 Jelölése: Vr vagy CV. Képlete: s V r =CV = 100 x Tehát a szórást és a számtani átlagot kell hozzá ismerni. Ezeket az 1. feladatban már meghatároztuk. Helyettesítsük be a képletbe. 32,84 V r =CV = 100=76,37% 43 A tesztben 76,37 a helyes eredmény. 3. feladat Határozza meg az alábbi minta relatív variációs koefficiensét. 16 54 91 9 45 Relatív variációs koefficiens: s/ x 100 s V r (% )= ̄ 100= √n ̄x √ n Ehhez ismerni kell a minta szórását, számtani átlagát és a megfigyelések számát. Az 1. feladatban ezeket már kiszámoltuk. Most ezt fogjuk használni. 32,84 /43 V r (%)= 100=34,16% √5 A tesztben 34,16 a helyes eredmény. 4. feladat Határozza meg az alábbi minta középértékének a 95%os megbízhatósági intervallum felső határát. 16 54 91 9 45
6
A számtani átlag megbízhatósági tartománya: P( ̄x −z α / 2 s ̄x ⩽ μ⩽̄x +z α /2 s ̄x )=1−α Az átlagot és standard hibát az 1. feladatban már meghatároztuk. A 95%hoz tartozó zérték 1,96. Mivel a megbízhatósági tartomány felső szélét kell meghatározni, ezért csak műtől jobbra eső részt kell használni. 43+1,96*14,69=71,79 A számítógépes vizsgáztató program eredményablakába 71,8t kell írni.
Indexek 1. feladat Határozza meg a bolt Fisherféle árindexét. Értékesített mennyiség (kg) Értékesítési ár (Ft/kg) 2008.év
2009.év
2008.év
2009.év
226
882
57
67
613
1090
459
767
Az értékesített mennyiségeket qval, az árakat pvel jelöljük. A bázisidőszak (2008.) jele 0, a tárgy időszaké 1, ezek alsó indebe kerülnek. A jelöléseket használva a táblázat így alakul. q0
q1
p0
p1
2008.év
2009.év
2008.év
2009.év
226
882
57
67
613
1090
459
767
Képezzük a p és q keresztszorzatait. q0p0 q1p0 q0p1
q1p1
2008.év
2009.év
2008.év
2009.év
226*57
882*57
226*57
882*67
613*459
1090*459
613*459
1090*767
A szorzás elvégzése után az alábbi táblázatot kapjuk. q0p0
Összeg
q1p0
q0p1
q1p1
12882
50274
15142
59094
281367
500310
470171
836030
294249
550584
485313
895124
7
A Fisherféle árindex: I Fp =√ I 0p⋅I 1p A gyökjelt alatt az első tag a bázisidőszaki súlyozású árindex. A bázisidőszaki súlyozású árindex képlete: n
0 p
∑ q 0 p1
I = i=1 n
∑ q0 p0 i=1
A gyökjel alatt a második tag tárgyidőszaki árindex. A tárgyidőszaki súlyozású árindex képlete: n
∑ q1 p1
I 1p= i=1 n
∑ q1 p 0 i=1
Határozzuk meg az első tagot. 485313 I 0p= =1,65 294249 Utána a másodikat. 895124 I 1p= =1,63 550584 Számítsuk ki a négyzetes átlagát. I Fp =√ 1,65⋅1,63=1,6375 Százalékban kifejezve 1,6375*100=163,75%. A tesztbe egy tizedesre kerekítve kell az eredményt beírni, tehát 163,8 kerül. 2. feladat Határozza meg a bolt értékindexét. Értékesített mennyiség (kg) Értékesítési ár (Ft/kg) 2008.év
2009.év
2008.év
2009.év
226
882
57
67
613
1090
459
767
8
Furfangos kérdések 1. feladat A piros fűnyíró egy óra alatt 8 ha, a kék 4 ha és a sárga 4 ha gyepet vág le. Együtt dolgozva hány óra alatt vágják le a 100 haos golfpályát, ha egyszerre kezdenek? Mivel a megadott teljesítmény mutatók egyenes mutatók, pl. 8 ha/óra, ezért a három teljesítmény összeadódik. 8+4+4=16 Tehát hárman óránként 16 ha gyepet vágnak le. A 100 haos területtel tehát 100/16=6,25 óra alatt vé geznek. 2. feladat A piros kombájn 1 óra alatt, a kék 3 óra és a sárga 30 óra alatt takarítja be az őszi búzát. Együtt dolgozva hány óra alatt végeznek, ha egyszerre kezdenek? A megadott teljesítmény mutatók fordított mutatók: óra/terület, ezért az átlagteljesítmény kiszámításakor harmonikus átlagot kell számítani. A harmonikus átlag képlete: 1 n X̄h = n = n ∑ 1x ∑ x1 i=1 i i=1 i n X̄h=
3 =2,195 1 1 1 + + 1 3 30
A három gép átlagteljesítménye tehát 2,195 óra. Mivel három gép dolgozik egyszerre, egyharmad idő alatt végeznek, tehát 2,195/3=0,732. A tesztben 0,7 a helyes eredmény. 3. feladat A dolgozók munkabére 20002005 év között 129%os mértékben változott. Mennyi volt a változás átlagos éves üteme? Ebben a feladatban a bázisviszonyszámból kell meghatározni a változás ütemének éves átlagát. A változás ütemének átlaga: V̄ L=n −1√ V Bn Összesen hat év van 20002005 év között, tehát n=6. A változás mértéke 129%. A számításokat nem a százalékos értékekkel végezzük, tehát a 129% helyett 1,29t használunk. 6 −1 V̄ L= √ 1,29=1,052 Százalékban kifejezve 105,2%. A vizsgáztató programba 105,2 fog kerülni.
9
4. feladat A dolgozók munkabére 2009. évben az első két hónapban havonta 1,8%kal, szeptemberig havonta 1,2%kal és az utolsó négy hónapban havonta 5%kal változott. Hány százalékkal változott a fizetés havi átlagban? A változás mértéke az első két hónapban 1001,8=98,2%. Szeptemberig 1001,2=98,8%. Az utolsó négy hónapban 100+5=105%. Ezeknek kell meghatározni a havi átlagát. Ez egy súlyozott geometriai átlag, ahol a súlyzótényező a hónap. A számításokat itt is nem a százalékos értékkel kell elvégezni. A súlyozott geometria átlag képlete: n
∑ fi
X̄g= Ahol: n: az x adatok száma fi: az xhez tartozó időszakok száma
i=1
√∏ n
i=1
fi
xi
Helyettesítsük be a fenti képletbe az adatainkat. 2+6+4 X̄g= √ 0,9822⋅0,988 6⋅1,054 =1,00722 Százalékos formában 100,722%. A változás havi üteme tehát 100,722% volt, tehát a fizetések havonta 0,722%kal nőttek. A teszt eredményablakába tehát 0,7 kerül, ez adja a helyes eredményt.
10
