Přehled vztahů k problematice jednoduchého úročení a úrokové sazby Poznámka: Veškeré úrokové sazby /předlhůtní i polhůtní/, diskontní sazby, míry inflace a sazby daně z příjmů je do uvedených vzorců nutno dosazovat v jejich relativním vyjádření!
1) Základní rovnice pro výpočet úroku U = K ⋅r ⋅t
kde: • • •
K = výše kapitálu r = úroková sazba za úrokovací období t = počet úrokovacích období, po které je kapitál úročen.
2) Výpočet čisté úrokové sazby z hrubé úrokové sazby rc = rh ⋅ (1 − rdp)
kde: • • •
rc = čistá úroková sazba rh = hrubá úroková sazba rdp = sazba daně z příjmů v relativním vyjádření.
3) Výpočet reálné úrokové sazby z nominální úrokové sazby rr = kde: • • •
rn − ri 1 + ri
rr = reálná úroková sazba rn = nominální úroková sazba ri = míra inflace v relativním vyjádření.
4) Základní rovnice pro výpočet úroku /polhůtní úročení/ U = PV ⋅ r ⋅ t kde: • • •
PV = současná hodnota kapitálu r = úroková sazba /polhůtní/ za úrokovací období t = počet úrokovacích období, po které je kapitál úročen.
5) Základní rovnice jednoduchého úročení /polhůtního úročení/ FV = PV ⋅ (1 + r ⋅ t ) kde: • • • •
FV = výše kapitálu v čase t (zúročený kapitál - budoucí hodnota) PV = výše kapitálu v čase 0 (počáteční kapitál - současná hodnota) r = úroková sazba /polhůtní/ za úrokovací období t = počet úrokovacích období, po které je kapitál úročen.
6) Základní vztah pro výpočet obchodního diskontu /předlhůtní úročení/ D = FV ⋅ ra ⋅ t kde: • • • •
D = obchodní diskont FV = budoucí hodnota (výše kapitálu v čase t) r = úroková /diskontní/ sazba /předlhůtní -- ra/ za úrokovací období t = doba do data splatnosti v počtu úrokovacích období.
7) Vztah pro výpočet obdrženého kapitálu po diskontování prostřednictvím obchodního diskontu K ob = PV = FV ⋅ (1 − ra ⋅ t ) kde: • • • •
Kob = vyplacený kapitál po odečtení diskontu (současná hodnota kapitálu) FV = budoucí hodnota (výše kapitálu v čase t) – nominální hodnota r = úroková /diskontní/ sazba /předlhůtní -- ra/ za úrokovací období t = doba do data splatnosti v počtu úrokovacích období
8) Základní rovnice jednoduchého úročení /předlhůtní úročení/ ra FV = PV ⋅ 1 + ⋅t 1 − ra kde: • • • •
FV = výše kapitálu v čase t (zúročený kapitál - budoucí hodnota) PV = výše kapitálu v čase 0 (počáteční kapitál - současná hodnota) ra = úroková sazba /předlhůtní / za úrokovací období t = počet úrokovacích období, po které je kapitál úročen.
9) Vyjádření předlhůtní /anticipativní/ úrokové sazby polhůtně /dekursivně/ r= kde: • •
ra 1 − ra
ra = úroková sazba předlhůtní r = úroková sazba předlhůtní vyjádřena polhůtně.
10) Vyjádření polhůtní /dekursivní/ úrokové sazby předlhůtně /anticipativně/ ra = kde: • •
r 1+ r
r = úroková sazba polhůtní ra = úroková sazba polhůtní vyjádřena předlhůtně.
Přehled vztahů k problematice složené úročení, spojité úročení, smíšené úročení, efektivní úroková míra Poznámka:
Veškeré sazby je do uvedených vzorců nutno dosazovat v jejich relativním vyjádření. V případě zdaňování úrokových příjmů je nutno dosazovat čistou úrokovou sazbu v relativním vyjádření.
1) Základní vztahy pro složené úročení FV = PV ⋅(1 + r )
t=
t
r=t kde: • • • •
FV −1 PV
ln FV − ln PV ln(1 + r )
PV =
FV (1 + r )t
FV = výše kapitálu v čase t (zúročený kapitál - budoucí hodnota) PV = výše kapitálu v čase 0 (počáteční kapitál - současná hodnota) r = úroková sazba za úrokovací období t = počet úrokovacích období, po které je kapitál úročen.
2) Úroková intenzita a spojité úročení FV = PV ⋅e r ⋅t kde: • • •
e = Eulerova konstanta, neboli základ přirozeného logaritmu r = roční úroková sazba t = doba uložení kapitálu v letech.
3) Efektivní úroková míra složené úročení p re = (1 + r ) − 1 kde: • • •
spojité úročení re = e r − 1 kde:
re = roční efektivní úroková míra r = úroková sazba za úrokovací období p = počet úrokovacích období za 1 rok.
re = roční efektivní úroková míra r = roční úroková sazba e = Eulerova konstanta.
4) Kombinace složeného a jednoduchého úročení /smíšené úročení/ t =n+l kde: • • • • • •
FV = PV ⋅(1 + r ) ⋅(1 + r⋅l ) n
FV = výše kapitálu v čase t (zúročený kapitál - budoucí hodnota) PV = výše kapitálu v čase 0 (počáteční kapitál - současná hodnota) r = úroková sazba za úrokovací období t = počet úrokovacích období, po které je kapitál úročen n = celá část počtu úrokovacích období l = necelá část počtu úrokovacích období (např. pokud t = 3,6 let, pak t = 3 a l = 0,6).
Přehled vztahů k problematice spoření, důchody, anuitní splácení úvěru Poznámka: Veškeré sazby je do uvedených vzorců nutno dosazovat v jejich relativním vyjádření! V případě zdaňování úrokových příjmů je nutno dosazovat čistou úrokovou sazbu v relativním vyjádření.
1) Spoření (základní vztah) m ± 1 (1 + r )n − 1 Kc = K ⋅ m ⋅ 1 + ⋅ r ⋅ 2 ⋅ m r kde: • Kc = naspořená částka • K = výše pravidelné úložky • m = počet úložek K za jedno úrokovací období • r = úroková sazba za úrokovací období (popř. očištěná o daň z příjmů) • n = počet úrokovacích období ukládání úložky K • znaménko plus je ve vzorci užito v případě tzv. předlhůtního spoření a znaménko mínus je užito v případě polhůtního spoření.
2) Výpočet doby spoření Kc ⋅ r ln + 1 m ±1 K ⋅ m ⋅ (1+ 2 ⋅ m ⋅ r ) n= ln(1 + r ) kde: • Kc = naspořená částka • K = výše pravidelné úložky • m = počet úložek K za jedno úrokovací období • r = úroková sazba za úrokovací období (popř. očištěná o daň z příjmů) • n = počet úrokovacích období ukládání úložky K • znaménko plus je ve vzorci užito v případě tzv. předlhůtního spoření a znaménko mínus je užito v případě polhůtního spoření.
3) Bezprostřední důchod a) dočasný
m ± 1 1 − vn D = m ⋅ a ⋅ 1 + ⋅ r ⋅ r 2⋅m kde: • D = současná hodnota důchodu (neboli „jaká částka musí být nyní uložena“) • a = výše pravidelné platby /anuity/ • m = počet anuit obdržených za jedno úrokovací období • r = úroková sazba za úrokovací období (popř. očištěná o daň z příjmů) • v = diskontní faktor = 1/(1+r) • n = počet úrokovacích období výplaty anuity •
Znaménko plus bude ve vzorci užito v případě tzv. předlhůtního důchodu, neboli pokud je anuita pravidelně pobírána vždy na počátku určitého časového intervalu (měsíce, čtvrtletí, pololetí, roku apod.) a znaménko mínus bude užito v případě polhůtního důchodu, neboli při pobírání anuity vždy na konci tohoto intervalu.
b) věčný důchod
m ±1 1 D = m ⋅ a ⋅ 1 + ⋅ r ⋅ 2⋅m r kde: • D = současná hodnota důchodu • a = výše pravidelné platby /anuity/ • m = počet anuit obdržených za jedno úrokovací období • r = úroková sazba za úrokovací období (popř. očištěná o daň z příjmů) • Znaménko plus bude ve vzorci užito v případě tzv. předlhůtního důchodu, neboli pokud je anuita pravidelně pobírána vždy na počátku určitého časového intervalu (měsíce, čtvrtletí, pololetí, roku apod.) a znaménko mínus bude užito v případě polhůtního důchodu, neboli při pobírání anuity vždy na konci tohoto intervalu.
4) Odložený důchod a) dočasný
m ± 1 1 − vn k D = m ⋅ a ⋅ 1 + ⋅ r ⋅ ⋅v r 2⋅m
b) věčný
m ±1 1 k D = m ⋅ a ⋅ 1 + ⋅ r ⋅ ⋅ v 2⋅m r
Proměnné v členu vk znamenají: v = diskontní faktor = 1/(1+r), kde r = úroková sazba platná za úrokovací období (popř. očištěná o daň z příjmů), k = počet úrokovacích období odkladu výplaty anuity. Formát úrokovacího období i úrokovou sazbu (popř. i sazbu daně z příjmů) je nutno uvažovat platné v období odkladu výplaty anuity. Z uvedeného plyne, že bezprostřední důchod je poté takový důchod, kde k = 0 a člen vk je tedy roven jedné, a proto nemusí být ve vztazích pro bezprostřední důchod uváděn. Dále je nutné si uvědomit následující skutečnost: obě pravé strany u výše uvedených vztahů lze rozdělit na dvě části. První část pravé strany zahrnuje vždy vše kromě členu vk. Tato část se týká období výplaty anuity. Druhá část pravé strany je pak tvořena pouze členem vk a týká se období odkladu výplaty anuity. Jelikož v každém z těchto období mohou být odlišné úrokové sazby či může být odlišné úrokovací období, je nutno při stanovení hodnot proměnných, které budou dosazeny do vztahu, postupovat v rámci těchto období odděleně a také se zvýšenou pozorností.
6) Kombinace spoření a důchodu Kombinace spoření a důchodu je založena například na principu, že nejprve probíhá fáze spoření a poté z naspořené částky probíhá fáze důchodu. Tedy na principu, že naspořená částka se rovná současné hodnotě důchodu, neboli Kc = D. Pokud mezi okamžikem ukončení spoření a okamžikem počátku výplaty důchodu probíhá pouze úročení naspořených peněžních prostředků, je aplikován odložený důchod, v opačném případě je aplikován bezprostřední důchod. Při výpočtech kombinace spoření a důchodu je tedy celý proces nutno rozlišit minimálně na tři období, jelikož v každém z těchto období mohou být odlišné podmínky, které ovlivňují výpočet /např. formát úrokovacího období, výše úrokové sazby apod./. Jedná se o následující tři období: 1) období fáze spoření a v rámci fáze důchodu se jedná jednak o 2) období odkladu výplaty anuity /pokud k odkladu došlo/ a jednak o 3) období výplaty anuity. V rámci těchto třech období je nutno na základě úrokovacího období platném v jednotlivých obdobích správně určit hodnoty proměnných a dosadit je do následujícího vztahu, a to vždy do části, která se daného období týká. Levá strana rovnice se týká období fáze spoření, poslední člen pravé strany se týká období odkladu výplaty anuity a pravá strana bez posledního členu se týká období výplaty anuity. Poté se již vypočte poslední neznámá, kterou velice často bývá výše úložky K.
m ±1 (1+ r )n −1 m ±1 1 − vn k K ⋅ m ⋅ 1+ ⋅ r ⋅ = a ⋅ m ⋅ 1 + ⋅ r ⋅ ⋅v r r 2⋅m 2⋅m Existuje i více typu příkladu, kdy se kombinace současné a budoucí hodnoty anuity využívá a vždy se jedná o kombinaci vzorečků pro tyto dvě hodnoty, někdy společně s dalšími vztahy (např. se základním vztahem pro složené úročení). Viz příklady k procvičení.
