Přednáška 08 Obecná trojosá napjatost Napětí → statické rovnice Deformace → geometrické rovnice Zobecněný Hookeův zákon Objemový modul pružnosti Oedometrický modul pružnosti Hlavní napětí, hlavní deformace Střední hydrostatické napětí Objemová deformace Rozklad napětí a deformace Příklady Copyright (c) 2011 Vít Šmilauer Czech Technical University in Prague, Faculty of Civil Engineering, Department of Mechanics, Czech Republic Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2 or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front-Cover Texts, and no Back-Cover Texts. A copy of the license is included in the section entitled "GNU Free Documentation License" found at http://www.gnu.org/licenses/
1
Napětí ●
V každém bodě kontinua existuje napětí. Jeho 9 složek v maticovém tvaru se nazývá tensor napětí:
[
x xy xz = yx y yz zx zy z ●
]
Tensor napětí je tensor 2. řádu, každá jeho složka může nabývat libovolné hodnoty. Při rotaci tensoru napětí platí transformační vztah, v maticovém zápisu σ'=AσAT. Matice A je ortogonální, neboť AT=A1.
Pro znázornění napětí definujeme normálu k libovolné ploše. Na každé normále existují 3 složky napětí, tzv. z vektor napětí: Vektor napětí pro normálu n, která je souhlasná s osou x.
[
]{ } { }
xz
x xy xz 1 x = yx y yz 0 = xy zx zy z 0 xz
x
x
n
xy
y
2
Složky napětí na elementárním kvádru z
z zy
zx
yz
xz x
x
yx
xy
y y
x xz Směr normály k ploše
Směr osy, se kterou je napětí rovnoběžné
Někdy se pracuje s polem napětí ve tvaru, složky mohou být proházené
{}
x y = z yz zx xy
3
Tensor napětí při zvláštních případech napjatosti x y z
Rovinná napjatost
Prut tah/tlak
[ ]
x 0 0 = 0 0 0 0 0 0
[
x = 0 zx
[
0 xz 0 0 0 z
x xy xz Obecný tvar = yx y yz zx zy z
]
Rovinná deformace
]
[
x 0 xz = 0 y 0 zx 0 z
] 4
Příklad – transformace napětí v rovinné napjatosti ,
= A A
[
T
][
][
][
,x 0 ,xz cos 0 sin x 0 xz cos 0 −sin 0 0 0 = 0 1 0 ⋅ 0 0 0 ⋅ 0 1 0 −sin 0 cos zx 0 z sin 0 cos ,zx 0 ,z
]
s=sin , c =cos
[ ][ [ ][
][
,x 0 ,xz cos 0 sin x c xz s 0 − x s xz c 0 0 0 = 0 1 0 ⋅ 0 0 0 −sin 0 cos zx c z s 0 − zx s z c ,zx 0 ,z
]
,x 0 ,xz c x c xz ss zx c z s 0 c − x s xz cs− zx s z c 0 0 0 = 0 0 0 , , zx 0 z −s x c xz sc zx c z s 0 −s− x s xz cc− zx s z c
Další úprava vede na vztahy odvozené v přednášce o rovinné napjatosti.
] 5
Rovnováha na elementárním kvádru – směr x z
x x0 −
zx x 0, y 0, z 0
z ⋅ x⋅ y 2
x , y z ⋅ y⋅ z 2 0, 0
V těžišti působí dále objemová síla
y
yx x 0, y 0− x x0
y ,z ⋅ x⋅ z 2 0
yx x 0, y 0
x , y z ⋅ y⋅ z 2 0, 0
x
zx x 0, y 0, z 0 −
y ,z ⋅ x⋅ z 2 0
X x 0, y 0, z 0 ⋅ x⋅ y⋅ z
z ⋅ x⋅ y 2
Podmínka rovnováhy :
yx zx
x x , y 0, z 0 ⋅ y⋅ z− x x 0− , y 0, z 0 ⋅ y⋅ z 2 2 y y : x⋅ y⋅ z x 0, y 0 , z 0 ⋅ x⋅ z − yx x 0, y 0 − , z 0 ⋅ x⋅ z 2 2 z z x 0, y 0, z 0 ⋅ x⋅ y− zx x 0, y 0, z 0− ⋅ x⋅ y X x 0, y 0, z 0 ⋅ x⋅ y⋅ z=0 2 2
x x0
6
Tři statické (Cauchyho) rovnice rovnováhy pro 3D x x 0
x x y y , y 0, z 0 − x x 0 − , y 0, z 0 yx x 0, y 0 , z 0 − yx x 0, y 0− , z0 2 2 2 2 x y z z zx x 0, y 0, z 0 − zx x 0, y 0, z 0 − 2 2 X x 0, y 0, z 0 =0 z 2 ∂ x y z ∂ x x 0, y 0, z 0 x 2 x x 0, 0, 0 x x x0 , y 0, z 0 ≈ x x 0, y 0, z 0 ⋅ ⋅ 2 2 ∂x 2 2 2!∂ x
∂ x ∂ yx ∂ zx X =0 ∂x ∂y ∂z ∂ xy ∂ y ∂ zy Y =0 ∂x ∂y ∂z ∂ xz ∂ yz ∂ z Z=0 ∂x ∂y ∂z
Rovnice odvozeny z analogických součtových podmínek rovnováhy ve směrech y,z.
7
Rovnováha na elementárním kvádru – moment ●
Momentová podmínka rovnováhy okolo osy z y
xy x 0−
x , y 0 , z 0 ⋅ y⋅ z 2
x yx
y x 0, y 0− , z 0 ⋅ x⋅ z 2
∆x
[x0,z0]
yx x 0, y 0
y , z 0 ⋅ x⋅ z 2
∆y
xy x 0
: xy
x , y 0 , z 0 ⋅ y⋅ z 2
x x x x x 0 , y 0 , z 0 ⋅ y⋅ z⋅ xy x 0− , y 0 , z 0 ⋅ y⋅ z⋅ − 2 2 2 2
yx x 0, y 0
y y y y , z 0 ⋅ x⋅ z⋅ − yx x 0, y 0 − , z 0 ⋅ x⋅ z⋅ =0 2 2 2 2 :
x⋅ y⋅ z 2
8
Věty o vzájemnosti smykových napětí
xy x 0
yx x 0, y 0 xy
x x , y 0 , z 0 xy x 0− , y 0 , z0 − 2 2 y y , z 0 − yx x 0, y 0 − , z 0 =0 2 2
∂ xy x 0, y 0, z 0 x ∂2 xy x 0, y 0, z 0 x 2 x x 0 , y 0, z 0 ≈ xy x 0, y 0, z 0 ⋅ ⋅ 2 2 ∂x 2 2 2! ∂ x
Věty o vzájemnosti smykových napětí
xy = yx yz = zy xz =zx
Rovnice odvozeny z analogických momentových podmínek rovnováhy okolo os x,y. Ze vzájemnosti smykových napětí plyne symetrie tensoru napětí. 9
Složky posunutí ve 3D ●
V prostorové napjatosti definujeme tři složky posunutí – u(x,y,z) – posun ve směru osy x – v(x,y,z) – posun ve směru osy y – w(x,y,z) – posun ve směru osy z x
y
[x,y,z]
v(x,y,z)
w(x,y,z)
u(x,y,z) z
10
Složky deformace v rovnině xz x
εx … normálová deformace ve směru x (změna objemu)
dz
z (1+εx)dx
dx
dz
α
dx
β
z
x
γxz … zkosení v rovině xz, smyková deformace, (změna úhlu, stejný xz = objem)
V prostoru je deformace elementárního kvádru popsána Normálovými složkami
x , y , z
Smykovými složkami
yz , zx , xy 11
Objemová deformace ●
Počáteční objem elementárního kvádru
dV =dx⋅dy⋅dz ●
Objem elementárního kvádru po deformaci '
dV =1 x ⋅1 y ⋅1 z ⋅d x d y d z ●
Relativní změna objemu pro malé deformace '
dV −dV V = =1 x ⋅1 y ⋅1 z −1 dV V ≈ x y z
12
Šest geometrických rovnic ●
Vztah mezi polem posunů a polem deformace – Odvození – viz přednáška o rovinné napjatosti Normálové složky (protažení)
Smykové složky (zkosení)
∂u x = ∂x
∂v ∂w yz = ∂z ∂y
∂v y= ∂y
∂w ∂u zx = ∂x ∂z
∂w z = ∂z
∂u ∂ v xy = ∂y ∂x 13
Zobecněný Hookeův zákon ●
Jednoosé namáhání Ve směru osy x Ve směru osy y 1 x = x E x E z =− x =− x E y =− x =−
1 y= y E x =− y E z =− y E
Ve směru osy z 1 z = z E x =− z E y =− z E
Modul poddajnosti ve smyku [1/Pa]
1 x = x − y − z E 1 y = y − z − x E 1 z = z− x − y E
21 yz = yz E 21 zx = zx E 21 xy = xy E 14
Závislost deformace na napětí – matice poddajnosti ●
Lineárně pružný izotropní materiá ve 3D
{}[
x 1 − − 0 0 0 y − 1 − 0 0 0 z 1 − − 1 0 0 0 = 0 0 21 0 0 yz E 0 0 0 0 0 21 0 zx 0 0 0 0 0 2 1 xy
]{ } x y z yz zx xy
=C matice poddajnosti elastického materiálu 15
Závislost napětí na deformaci – matice tuhosti ●
Lineárně pružný izotropní materiál ve 3D
{} [
]{ }
x x 1− 0 0 0 y y 1− 0 0 0 z E z 1− 0 0 0 = 0 0 0.5− 0 0 yz 11−2 0 yz 0 0 0 0 0.5− 0 zx zx 0 0 0 0 0 0.5− xy xy
=D
E G= … modul pružnosti ve smyku [Pa] 21
matice tuhosti elastického materiálu Pozn. Eliminací příslušných složek napětí a deformací obdržíme Hookeův zákon pro jednoosou či rovinnou napjatost.
16
Příklad – odvoďte součinitel zemního tlaku v klidu ● ●
Vztah mezi σx=σy a σz Předpokládáme
x y z
yz = zx = xy =0 yz =zx =xy =0 y =0 x = y
1 y =0= y − z− x E x 1−= z x = y = z 1− Součinitel zemního tlaku v klidu
z , z x , x
x , x z , z
Poissonovo číslo 0 0.2 0.25 0.3 0.5
Součinitel zemního tlaku v klidu 0.000 0.250 0.333 0.429 1.000
17
Příklad – odvoďte vztah pro oedometrický modul ● ●
Vztah mezi σz a εz
Oedometr
Předpokládáme
y
z
z
yz = zx = xy =0 yz =zx =xy =0 x = y =0 x = y
z , z x , x
x , x
Ø75 mm, h=20 mm
Vzorek
z , z Tuhý prstenec
1 y =0= y − z− x E
z 1− z 1−−2 2 1 z = z−2 x = E E 1− E 1− z= z 2 1−−2
Eoed [MPa]
Zemní tlak v klidu
x 1−= z , x = y =
Eoed
x
Jemnozrnné zeminy
1 – 30
Písky
5 – 100
Štěrky
20 – 500
V praxi se často uvažuje závislost oedometrického modulu na úrovni napětí.
18
Hlavní napětí ●
V úloze rovinné napjatosti vždy existuje takové pootočení souřadnic, při kterém vymizí smykové napětí. Zbylá normálová napětí jsou hlavní napětí. α1
2
1 x'
z'
1
α1
,xz =0
2 ●
Matematicky jsou hlavní napětí σ1, σ2 vlastní čísla matice A=
[
x xz zx z
]
A x= x , A x− I x=0, A− I x=0, det A− I =0 19
Výpočet hlavních napětí pomocí vlastních čísel
[
]
x − xz det =0 zx z − x − z −−2xz =0 2− x z x z−2xz =0 x z 1,2= ± 2
2
x − z 2xz 2
Pro trojosou napjatost vede problém hlavních napětí na kubickou rovnici. Řešením jsou tři reálná hlavní napětí.
[
]
x − xy xz det yx y − yz =0 zx zy z − 20
Výpočet hlavních deformací det
[
x −
1 2 xy
1 2 yx 1 2 zx
y −
1 2 xz 1 2 yz
1 2
z −
zy
]
Koeficienty ½ jsou nezbytné pro zachování tenzorového charakteru, tj. nezávislost vlastních čísel na rotaci souřadnic. Řešením jsou tři reálné hlavní deformace.
=0
Pro rovinnou napjatost jsou hlavní deformace
[
x −
0
1 2 xz
0
y −
0
1 2 zx
0
z −
x z 1,2= ± 2
det
2
]
=0, y −det
[
x −
1 2
1 2 zx
z −
xz
]
=0
2
x − z xz , 3 = y 2 2
21
Objemová část napětí a deformace Normálové deformace 1 x − y − z E 1 y = y − z − x E 1 z = z− x − y E x =
Objemové deformace εV 1−2 V = x y z= x y z E 31−2 x y z V = ⋅ E 3 Střední hydrostatické napětí σm
Konstitutivní vztah m=
E V 3 1−2
Objemový modul pružnosti K [Pa]
m=K V 22
Rozklad napětí a deformace Složky napětí
Hydrostatická část (změna objemu)
Deviatorická část (změna tvaru)
{} {} { } {} { } { } x y z yz zx xy
=
m m m 0 0 0
s x = x − m s y = y − m s z = z− m yz zx xy
Složky deformace
Volumetrická část (změna objemu)
Deviatorická část (změna tvaru)
x y z yz zx xy
V /3 V /3 V /3 0 0 0
e x = x −V /3 e y = y −V /3 e z= z − V /3 yz zx xy
=
Nebude ve zkoušce
23
Příklad – napětí od ohřátí vody v ocelové trubce Součinitel objemové teplotní roztažnosti vody
H O =2e-4 K −1
Součinitel délkové teplotní roztažnosti oceli
ocel =12e-6 K −1
Součinitel objemové teplotní roztažnosti oceli
ocel =1T 3−1≈3 T =3.6e-5 K−1
Objemový modul pružnosti vody
K H O =2.15 GPa
2
2
Ohřátí vody o +40 K. Výpočet zanedbává objemovou roztažnost oceli (řádově nižší) a pružnost ocelové nádoby (řádově vyšší). Celková objemová deformace bude proto v uzavřené nádobě přibližně nulová.
m V =0= H O T KH O 2
2
m=−K H O H O T =−2.15e+3⋅2e-4⋅40=−17.2 MPa 2
2
Změna objemu vody, pokud by mohla volně expandovat
V = H O T =0.008 2
24
Příklad – napětí od ohřátí vody v ocelové trubce Nyní uvažujte nekonečně dlouhou ocelovou trubku o středním poloměru 30 mm a o tloušťce stěny t=1 mm. Uvažujte teplotní roztažnost trubky spolu s kapalinou i její poddajnost. Výsledek porovnejte s předešlým řešením. Prodloužení obvodu trubky
=
N⋅2 r o= 2 r⋅T T EA
− m r t − m r=30 mm
Zvětšení poloměru trubky
t=1 mm
2
− m r o r r= = r⋅T T = r⋅T T 2 E Et Objemová deformace vnitřního prostoru ocelové trubky
Objemová deformace vody
2 2 m H O r r − r 2 r −2 m r ocel V =1⋅ ≈ = 2 T T V = K H O T 2 H O r Et r −2r 1 H O ocel V = V , m − =H2 O T −2 T T Et KH O 2
2
2
2
2
[
−2r 1 m= H2 O T −2 T T ⋅ − Et KH
−1
2
O
]
=−9.38 MPa , =281 MPa
Pozn. Pro αT=0 a E→∞ dává řešení předchozí výsledek 17.2 MPa.
25
Základní rovnice pro trojosou napjatost Přemístění
Laméovy rovnice
u ,v ,w
(3 rovnice)
6 Geometrických rovnic
∂u x= ∂x ⋯ ∂u ∂ w xz = ∂z ∂ x ⋯
Vnější síly
X ,Y , Z 3 Statické rovnice
15 nezávislých rovnic pro 15 neznámých
∂ x ∂ yx ∂ zx X =0 ∂x ∂y ∂z ∂ xy ∂ y ∂ zy Y =0 ∂x ∂y ∂z ∂ xz ∂ yz ∂ z Z=0 ∂x ∂y ∂z
6 Materiálových rovnic
Přetvoření
x , y , z yz , zx , xy
E [ 1− x y z ] x= 11−2 ⋯ E xz = 21 xz ⋯
Napětí
x , y , z yz , zx , xy
26
Otázky 1. Definujte tensor napětí a nakreslete vektor napětí na normále, která je orientována souhlasně s osou y. 2. Odvoďte statickou podmínku rovnováhy ve směru x. Jak se výsledná rovnice zredukuje, pokud se použije na čistě tažený prut? 3. Uvažujte tažený prut jako 3D kontinuum. Které složky napětí a deformace jsou nulové? 4. Dokažte, že matice tuhosti lineárně elastického materiálu je inverzí matice poddajnosti. Pro výpočet inverzní matice využijte rozdělení matice na 4 submatice. 5. Odvoďte hlavní napětí pro případ rovinné deformace pomocí transformace tensoru napětí. 6. Proč jsou v tenzoru deformace koeficienty ½ u inženýrských deformací? 7. V jakých rovnicích vystupuje modul pružnosti ve smyku a objemový modul pružnosti? 8. Jaký je vztah hydrostatického napětí u kapalin vůči složkám napětí σx,σy,σz? Jsou kapaliny opravdu nestlačitelné? Vytvořeno 04/2011 v OpenOffice 3.2, Ubuntu 10.04, Vít Šmilauer, ČVUT. Poděkování patří zejména M. Jiráskovi za inspiraci jeho přednáškami.
27
