Pedagogische begeleiding Salesianen van Don Bosco, Oud-Heverlee, 13 maart 2012
10:00: Algemene uitleg 10:40: Uittesten voorbeelden OC: werken in groepjes aan voorbeeldopdracht MOP: werken in groepjes aan voorbeeldopdracht
11:45: Bespreking opdrachten 12:15: Broodjesmaaltijd 13:30: Uitwisselen van materiaal, bespreking mogelijkheden en moeilijkheden in groepjes, vergelijking systemen in de scholen 14:00: Bespreking werking in de scholen 14:20: Kort overlopen andere onderzoeksopdrachten 14:35: Geheim gedeelte van het programma 15:15: Evaluatie en naar huis
Onderzoekscompetentie in het vak wiskunde (OC):
1.
In pool wiskunde (6 u/week): 12 lessen Kan ook in TSO (ter vervanging van MOP)
Mathematiseren en oplossen van problemen (MOP):
2.
In de derde graad van het TSO ▪ ▪
Leerplannen A en B (3 tot 8 u/week): 20 lessen Leerplan C (2 tot 4 u/week): 15 lessen
Keuzeonderwerp in de derde graad van het ASO
t3 Vlaanderen: http://www.t3vlaanderen.be/ Cahiers
Zebrareeks: uitgeverij ‘Die Keure’ 33 uitgaven (o.a. ‘Voorspellen met modellen’,
‘Babylonische wiskunde’, ‘Nullen en enen’, ‘Zeepvliezen’, ‘De Gulden Snede’…)
Syllabus ‘Onderzoekscompetenties wiskunde derde graad ASO’ (Luc De Wilde)’ On line nascholing: http://www.mathelo.be Tijdschrift ‘Uitwiskeling’: http://www.uitwiskeling.be
Examenvragen centraal examen Nederland: http://www.havovwo.nl Bètasteunpunt RU Groningen: http://www.rug.nl/scienceLinx/betasteunpunt/Pr ofielwerkstuk/wiskunde
Opgaven Technische Universiteit Groningen: http://www.win.tue.nl/~jessers/aansluiting/naar depos.htm
Reeks ‘Vierkant voor wiskunde’: http://www.vierkantvoorwiskunde.nl/boeken/do eboeken/
Deze nascholing 8 OC-voorbeelden en syllabus MOP met 50 voorbeelden: begeleiding.dboc.be > werkinstrumenten > voor netwerken via contactdagen
1.
2.
3.
Zich oriënteren op een onderzoeksprobleem door gericht informatie te verzamelen, te ordenen en te bewerken. Een onderzoeksopdracht met een wiskundige component voorbereiden, uitvoeren en evalueren. De onderzoeksresultaten en conclusies rapporteren en ze confronteren met andere standpunten.
Leerlingen stellen bij een probleem een onderzoeksvraag (hoofd- en deelvragen) Leerlingen verkennen het probleem
1. 2.
Analyse Poging om probleem te omvatten
Leerlingen stellen uitvoeringsplan op
3.
Formuleren deelopdrachten Taakverdeling binnen de groep + afspraken tijd
Uitvoering van het plan
4.
Redeneren, rekenen, tekenen…
Leerlingen maken schriftelijk rapport of mondelinge presentatie
5.
Antwoord op onderzoeksvraag
Opmerkingen: Het is meestal niet realistisch te denken dat leerlingen
zichzelf een onderzoeksvraag stellen. In de eindtermen staat niet echt dat leerlingen de onderzoeksvraag zelf moeten opstellen. In de wetenschap is een goede onderzoeksvraag een vraag die… ▪ ▪ ▪ ▪
Liefst één probleem omvat; Niet te algemeen geformuleerd wordt; Geen details over de uitvoering bevat; Onderzoekbaar (te beantwoorden) is.
Oplossing:
vragen suggereren of keuzemogelijkheden geven.
Opzoekwerk: Opzoeken eerder geziene formules of methodes Opzoeken gegevens Verwerking stukje niet geziene wiskunde
(bijv. uitbreidingsleerstof van het leerplan) Opzoeken gebeurt ook in het hoofd
Opstellen van een werkplan
Uitvoeren van het onderzoek door middel van wiskundige methoden om het onderzoeksprobleem op te lossen
Het onderzoek presenteren: schriftelijk of mondeling
Andere werkvorm Leerlingen werken minstens zo actief
als in een traditionele les Leerlingen zien dit meer als een uitdaging Leerlingen leren van mekaar Leerlingen krijgen de tijd om eens zelf te redeneren Bij haalbare opdrachten vinden leerlingen dit leuk Leerlingen oefenen een wiskundig softwarepakket (ICT) en een wiskundige vergelijkingseditor Leerlingen leren een rapport schrijven
Gelezen in doorlichtingsverslagen… Ondanks enkele mooi uitgewerkte voorbeelden kwam in deze lesgroep, net zoals in Handel, vorig schooljaar het leerplanonderdeel “mathematiseren en oplossen van problemen” nog te weinig expliciet aan bod. In de lesgroep Secretariaat-Talen en Onthaal en Public Relations kwam dit verplichte item (in het leerplan 15 %) niet aan bod.
Gelezen in verslag opvolging doorlichting… De vakgroep heeft de projecten kritisch bevraagd, bijgestuurd en verder verfijnd. Op die manier krijgen de eindtermen in verband met de onderzoekscompetentie een meer kwaliteitsvolle invulling. Bovendien versterken de projecten de leerplanrealisatie en stimuleren ze in aanzienlijke mate de betrokkenheid van de leerlingen.
Verdieping van bepaalde onderdelen hogere moeilijkheidsgraad Uitbreiding van bepaalde onderdelen: extra leerinhouden, o.a.
Gebruik van logaritmische schalen Oppervlakten en inhouden t.o.v. y-as
Keuzeonderwerpen, o.a.
Differentiaalvergelijkingen Numerieke berekening van integralen Iteraties Fractalen Lineaire programmering Financiële algebra Regressie
Het vergelijken van verschillende oplossingsprocedures.
Het onderzoeken, formuleren, verifiëren van bepaalde wiskundige vermoedens.
Een gegeven proces algoritmiseren met eventueel inbegrip van het programmeren ervan.
Het verwerven van een wiskundesoftwarepakket en de werking ervan toelichten in concrete situaties.
Het gebruik van wiskunde in andere disciplines (techniek, wetenschap, kunst).
Zorgen voor enkele onderzoeksproblemen Indeling in groepen (2 is goed, 4 is te veel) Planning en uitvoering grotendeels in de lessen Evaluatie van de onderzoeksopdrachten
Stappenplan
Kwaliteit van de uitvoering: wiskundig exact? Rapport Attitude (inzet, doorzetting, zelfstandigheid) Samenwerking in de groep
Nr.
Titel
Welke wiskunde?
Waar?
1
Populatiebiologie
Regressie Differentiaalvergelijkingen Integralen Partieelbreuken
Vrije ruimte
2
Bepaling inhoud glas
Regressie Integralen
6-de klas
3
Gulden snede
Goniometrie, stelsels
5-de of 6-de klas
4
Het getal π (1)
Goniometrie, meetkunde
5-de of 6-de klas
5
Het getal π (2)
Goniometrie, reeksontwikkelingen
6-de klas
6
Kransen van veelhoeken
Meetkunde, goniometrie
5-de of 6-de klas
7
Discrete dynamische systemen
Rijen en dynamische processen
5-de of 6-de klas
8
Iteratie
Iteratie
6-de klas
Bepaling van inhoud, lengte…
2.
Probleem: de inhoud, lengte of manteloppervlakte bepalen op basis van een foto. Voorkennis: toepassingen van integralen, regressie met ict, gebruik Geogebra inleidende tekst Opzoekwerk: inleidende tekst + eerder geziene formules Moeilijkheidsgraad: laag Ook bruikbaar voor MOP mits wat meer sturing
2.
Bepaling van inhoud, lengte… 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Invoeren foto in Geogebra Afpunten rand van het glas Regressie (best aansluitende functie laten bepalen) Inhoud (of…) laten berekenen met integraal Rekening houden met de schaal van de foto. Uitkomst controleren door experiment of opzoekwerk 7. Rapport schrijven volgens opgegeven structuur
Timing: Ma 9 januari 2012: 15 minuten algemene uitleg. Wo 11 januari 2012: 2 lesuren oplossen per 2
(ongeveer de helft al klaar met uitvoering) met bezoek van de pers. Vrij 13 januari 2012: 2 lesuren oplossen per 2 (iedereen klaar, sommigen ook al met rapport).
Resultaten: 7 van de 8 groepen lossen het probleem correct op. De kwaliteit van de rapporten was niet zo denderend. Leerlingen hebben zich geamuseerd met wiskunde en gezien
dat je er zelfs iets mee kan doen.
De gulden snede
3.
Probleem: de gulden snede herkennen en bewijzen in figuren keuze uit drie problemen. Voorkennis: betekenis gulden snede, goniometrie, stelsels, werken met Geogebra opzoekwerk: inleidende tekst met uitleg gulden snede, formules goniometrie… Moeilijkheidsgraad: gemiddeld (problemen 1 en 2) tot hoog (probleem 3) Ook bruikbaar voor MOP mits wat meer sturing
3. De gulden snede 1. Begrijpen definitie gulden snede
Constructie 1
De gulden snede
3.
2. Twee gegeven constructies bewijzen inleiding 3.
Probleem kiezen + oplossen (= bewijs!)
4. Rapport schrijven volgens opgegeven structuur
Het getal pi met ‘Archimedes’
4.
Probleem: het getal berekenen tot 10 decimalen met een zeer oude methode (3de eeuw voor Chr.), maar dan wel met moderne middelen (2012). Voorkennis: methode van Archimedes, Excel, goniometrie, meetkunde opzoekwerk inleidende tekst Moeilijkheidsgraad: gemiddeld voor hoofdvraag, hoger voor bijvragen Opm.: Geogebrabestanden ter ondersteuning
Het getal pi met ‘Archimedes’
4.
Begrijpen van de methode van Archimedes.
1. ▪ ▪ ▪
Cirkel met diameter 1 heeft regelmatig ingeschreven Nhoek (omtrek PN ) en regelmatig omgeschreven N-hoek (omtrek QN) . Duidelijk is dat PN < π < QN en dat PN en QN het getal π beter benaderen als N groter wordt. Recursieve formules: uit waarden bij N=6 worden waarden afgeleid voor N=12, en dit zo verder tot N=96. 2.PN .QN en P2N PN.Q2N PN QN Archimedes vond dat π een getal was tussen 3,141 en 3,143 Q2N
▪
Het getal pi met ‘Archimedes’
4. 2.
Met Excel, Geogebra (rekenblad) of TI-84 de methode toepassen ▪ Voorbeeld: bij 1 572 864-hoek vind je een getal tussen 3,141592653588 en 3,141592653594
3. Bewijzen dat P6 3 en Q6 2. 3 4. Bewijzen van de recursieve formules
Q2N
2.PN .QN en P2N PN .Q2N PN QN
5. Rapport schrijven volgens opgegeven structuur
MA1 Problemen herkennen, analyseren en de probleemstelling verhelderen met behulp van hun wiskundekennis (= mathematiseren, het probleem wiskundig maken)
MA2 Heuristische methodes gebruiken om een probleem aan te pakken
MA3 Resultaten interpreteren binnen de context van het gestelde probleem (= eventueel demathematiseren)
MA4 Een reflecterende houding verwerven door gecontroleerd terugkijken op de oplossingsweg en de uitgevoerde berekeningen
MA5 Vertrouwen verwerven door hun wiskundekennis zinvol in te schakelen
Een probleem (vraagstuk) omzetten in wiskundige taal …
Stelsel van vergelijkingen Matrices Afgeleiden Integralen Goniometrische vergelijkingen Functies Statistische technieken
… en het op die manier oplossen!
Heuristiek is de leer van het vinden (de oplossingsstrategieën!), zoals: het maken van een figuur, een schema, een lijst,
een grafiek, een tabel, een diagram,... het zoeken van een patroon in een situatie een rekenregel of een formule gebruiken het probleem opsplitsen in deelproblemen software gebruiken om meer inzicht te krijgen …
Demathematiseren: de oplossing van je vraagstuk formuleren in niet-wiskundige taal Noteren van een antwoordzin waarin je
de wiskundige taal zo veel mogelijk achterwege laat
Reflecteren: Nadenken over het resultaat
en de gevolgde methode
1. 2. 3. 4.
5.
Schets van het probleem (copy-paste van leerplatform?) Met welk soort onderdeel van de wiskunde lossen we dit op? Schets van de gevolgde strategie, redenering in puntjes Uitvoering van de strategie (berekeningen, grafieken, bewijzen) afhankelijk van de leerlingen al dan niet in vloeiende tekst Besluit: antwoordzin(nen) OF (indien de verslaggeving een probleem vormt): INVULBLADEN!
Aanpak van een probleem met wiskundige inslag Groepswerk Geen al te strikte begeleiding, wel ‘zachte opvolging
van het proces’ (zo staat het in het leerplan) Reflecterende houding op resultaat en werkwijze
OC: ▪ meer opzoekwerk ▪ rapport moet uitgebreider
MOP: ▪ opdrachten zijn meer gesloten ▪ in sommige studierichtingen meer begeleiding
Opdrachten op het einde van een trimester. Opdrachten niet onmiddellijk na het hoofdstuk
waar de technieken zijn aangeleerd, anders is er geen denkwerk voor mathematiseren. Voorbeelden van aanpak: ▪ Leerstof 4de jaar in 5de of 6de jaar laten toepassen. ▪ Leerstof 5de jaar in 6de jaar laten toepassen. ▪ Leerstof van het eerste trimester op het einde van het jaar laten toepassen. ▪ Leerstof van het eerste trimester laten toepassen op het einde van dat trimester, tevens gebruiken als herhaling vraagstukken uit het handboek door elkaar!
Stel dat deze lineaire toename ook na 1999 was doorgegaan, bereken dan hoe groot de hoge schatting van de uitgaven dan in 2003 zou zijn geweest.
4. China’s defensie-uitgaven Vraagstukken over lineaire en exponentiële groei
Stel dat deze lineaire toename ook na 1999 was doorgegaan, bereken dan hoe groot de hoge schatting van de uitgaven dan in 2003 zou zijn geweest.
6. Te zwaar voor je lengte?
Vraagstukken over statistiek: gemiddelde en de normaalverdeling
Stel dat deze lineaire toename ook na 1999 was doorgegaan, bereken dan hoe groot de hoge schatting van de uitgaven dan in 2003 zou zijn geweest.
24. Een glasraam •De totale omtrek bedraagt 8,14 m.
•Welk venster heeft de grootste oppervlakte en zal dus zorgen voor een maximale lichtinval? •Bepaal de breedte en de hoogte van dit venster.
•Hoeveel bedraagt die maximale oppervlakte dan?
Vraagstuk afgeleiden
Stel dat deze lineaire toename ook na 1999 was doorgegaan, bereken dan hoe groot de hoge schatting van de uitgaven dan in 2003 zou zijn geweest.
40. Klimhal
Vraagstukken meetkunde
Is 1 + 1 groter dan 2 of is dat bedacht door mensen die niet kunnen rekenen?
OC: kies per twee een voorbeeld (2, 3 of 4) en los het probleem op.
Mathematiseren: kies per twee voorbeelden die jullie zelf zouden kunnen gebruiken en los ze op Nagaan welke opdrachten waar haalbaar zijn Oplossen van één of twee opdrachten
Straks bespreking in de groep
Overzicht van de werkwijze Haalbaarheid Moeilijkheden Wat vind je van de voorgestelde evaluatiemethode?
Smakelijk!
Richtvragen
Hoe pakken we OC of MOP aan in de school? Uitwisseling en bespreking van opdrachten Hoeveel uren per schooljaar? Waarom doen we het niet? Wat zijn de moeilijkheden? Wat zijn de mogelijkheden? Hoe evalueren we?
Groep 1: Tom Amijs (Halle) – Christine De Becker (Woluwe) – Christel Hosteaux (Hoboken) – Ruben Berckmans (Haacht TI)
Groep 2: Kim Pauwels (Haacht TI) – Diana Louwette (Halle) – Marc De Buyser (Hoboken) – Ben Vanderhasselt (Groot-Bijgaarden) – Patrick De Jonge (Haacht TI) Groep 3: Marc Degelas (Groot-Bijgaarden) – Ivo Nelis (Hechtel) – Kürt Maes (Haacht ASO) – Linda Raemdonck (Zwijnaarde) – Michel Bogaerts (VSKO) – Greet Vanherpe (Zwijnaarde) Groep 4: Lut Kempen (Haacht ASO) – Marc Luts (Hechtel) – Hubert Coninx (Hechtel) – Freddy Van Eetvelde (Zwijnaarde) – Timmy Clauwaert (Zwijnaarde)
Vragen ter bespreking in de groep Hoe pakken we OC of MOP aan in de
school? Hoeveel uren per schooljaar? Wat zijn de moeilijkheden? Wat zijn de mogelijkheden? Waarom doen we het niet? Hoe evalueren we?
Het getal pi: de methode van Machin (1696-1751)
5.
Probleem: het getal pi berekenen met een oude methode maar met moderne middelen. Voorkennis: reeksontwikkelingen, partieelsommen rijen met TI-84 of Excel. Voorkennis ict aangebracht in inleidende tekst Opzoekwerk: verwerken inleidende tekst Moeilijkheidsgraad: hoger dan gemiddeld
Het getal pi: de methode van Machin
5. 1.
Begrijpen van de methode 1 1 ▪ Formule van Machin: 4.Bgtan Bgtan 5 239 4 ▪ Reeksontwikkeling Bgtan bewijzen:
x 3 x5 x 7 (1)i1 .x2i1 Bgtanx x ... 3 5 7 (2i 1) i1 ▪ Berekenen met Excel, TI-84 of Geogebra 2. Bewijzen van de formule van Euler en de formule van Machin
i
Excelbestand
4*Bgtan(1/5) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Bgtan(1/239)
0,8000000000000000 0,0041841004184100 -0,0106666666666667 -0,0000000244165918 0,0002560000000000 0,0000000000002565 -0,0000073142857143 0,0000000000000000 0,0000002275555556 0,0000000000000000 -0,0000000074472727 0,0000000000000000 0,0000000002520615 0,0000000000000000 -0,0000000000087381 0,0000000000000000 0,0000000000003084 0,0000000000000000 -0,0000000000000110 0,0000000000000000 0,7895822393995230 0,0041840760020747 0,7853981633974480 3,1415926535897900
14 cijfers na de komma correct
Iteraties
8. 1.
Het principe van iteratie begrijpen, betekenis van dekpunt en periodieke punten inzien.
2.
Eén van de drie gegeven problemen kiezen bijv. studie van de iteratiefunctie F(x)=x²+c. Aard van de dekpunten xo en van de periodieke punten bestuderen (aantrekkend of afstotend in functie van c?)
3. • •
4.
Bewijzen door |F’(xo)| te vergelijken met 1 Illustreren met webdiagram
Kennismaken met ‘modernere’ wiskunde (bijv. Feigenbaum).
Iteratie is het steeds herhalen van een zelfde proces en verwerking op het bekomen resultaat.
Startwaarde Waarde x1 xo
Reële functie F Iteratiefunctie
Volgende waarde x21
x0 F( x0 ) x1 F( x1 ) F(F( x0 )) F 2 ( x0 ) x2 F( x2 ) F 3 ( x0 ) x3 ... F( xn 1 ) F n ( x0 ) xn ...
Resultaat van een iteratiefunctie F bij een gegeven startwaarde is een rij, die men de baan noemt van de startwaarde xo : xo, x1, x2, … , xn,…
Rij heeft een complex gedrag. Convergentie hangt af van startwaarde en waarde van c. Analyse van convergentie kan grafisch met Geogebra Schuifknop maken voor startwaarde Schuifknop maken voor c
Webdiagram: visuele methode om het gedrag van een rij te bestuderen Kan met TI-84 of met Geogebra
Definitie: x is een dekpunt van F als F(x) = x. xo is een dekpunt constante rij. Algebraïsche berekening bij F(x) = x²-1 1 5 x² 1 x x² x 1 0 x 2
Grafische bepaling dekpunten met TI-84 of Geogebra
Als vanuit startwaarden links en rechts van een dekpunt xo de baan convergeert naar dit dekpunt, dan noemt men dit dekpunt aantrekkend. Grafisch met webdiagram (Geogebra)
Dekpunten zijn aantrekkend als |F’(xo)|<1
Als vanuit startwaarden links en rechts van een dekpunt xo de baan zich verwijdert van dit dekpunt, dan noemt men dit dekpunt afstotend. Grafisch met webdiagram (Geogebra)
Dekpunten zijn aantrekkend als |F’(xo)| > 1
We noemen x een periodiek punt van F als er een n > 1 bestaat zodat Fn(x) = x (de kleinste n noemt men dan de periode). De baan die de iteratie vormt met een periodiek startpunt met periode n noemt men een periodieke baan of een n-cyclus. Grafisch voorbeeld met 2-cyclus:
Algebraïsch is dit een ganse klus. Voorbeeld:
op zoek naar de 4-cyclus van F(x) = x² - 1,3
(((x2 1,3)2 1,3)2 1,3)2 1,3 x
Grafisch met TI-84 of Geogebra
Als bij een bepaalde startwaarde, verschillend van de betrokken periodieke punten, de baan convergeert naar een n-cyclus, dan noemt men deze n-cyclus aantrekkend. Voorbeeld 2-cyclus van F(x) = x² -1, gevormd door 0 en -1
Op de x-as: c Op de y-as: de 40-ste tot 140-ste term van de baan bij een bepaalde startwaarde
-3/4 < c < ½ 1 aantrekkend dekpunt c = -3/4: splitsing BIFURCATIE -5/4 < c < -3/4 1 aantrekkende 2-cyclus c = -5/4: verdubbeling periode BIFURCATIE naarmate c kleiner wordt, steeds meer verdubbelingen van de periode tot uiteindelijk de CHAOS optreedt
Startwaarde
Als je een regelmatige veelhoek spiegelt t.o.v. één van zijn zijden, vervolgens het spiegelbeeld opnieuw spiegelt t.o.v. één van zijn zijden en die procedure blijft herhalen, dan krijg je in bepaalde gevallen een krans van regelmatige veelhoeken. Voorwaarde: de hoek tussen opeenvolgende
spiegelassen moet constant blijven!
Werk per twee, met laptop in de groep. Raadpleeg onderzoeksopdracht nummer 6. 2. Geef het aantal zijden van de regelmatige veelhoeken waarvoor het lukt een krans te maken met een regelmatig veelhoekig gat in het midden. 3. Mail jullie antwoord naar
[email protected] (eerste correct antwoord waardevolle prijs voor iedereen van de groep + vermelding op de website) 4. Bewijs je antwoord door uit te gaan van de hint op pagina 5 van onderzoeksopdracht nummer 6. 5. Mail jullie antwoord naar
[email protected] (eerste correct antwoord waardevolle prijs voor iedereen van de groep + vermelding op de website) 1.
