Part II SPL Homogen Matriks
SPL Homogen Bentuk Umum SPL homogen dalam m persamaan dan n variabel 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 :
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 0 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 0 ⋮ 𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 0
SPL Homogen selalu konsisten, sebab 𝑥1 = ⋯ = 𝑥𝑛 = 0 merupakan solusi. Solusi
disebut solusi TRIVIAL. Jika SPL homogen juga mempunyai solusi selain yang trivial, solusi yang tidak trivial ini disebut SOLUSI NONTRIVIAL.
Contoh : Perhatikan SPL homogen :
dan matriks “augmented” :
BEBT :
SOLUSI :
Apa ciri SPL Homogen yang memiliki solusi nontrivial?
TEOREMA : SPL homogen dalam m persamaan dan n variabel dengan m
Contoh SPL Homogen dengan 3 persamaan dan 5 variabel :
mempunyai solusi nontrivial.
Latihan Soal 1. Selesaikanlah SPL homogen berikut dengan menggunakan Eliminasi Gauss atau Eliminasi Gauss-Jordan !
2.
a.
b.
c.
d.
3. Selesaikanlah SPL-SPl berikut dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan.
4. Selesaikanlah SPL berikut dalam 𝑥, 𝑦, 𝑧 !
5. Tentukan nilai 𝑎 sehingga SPL berikut mempunyai solusi tunggal, mempunyai solusi yang tak berhingga banyak, tidak mempunyai solusi:
6. Tentukan SPL yang mempunyai solusi umum :
7. Setimbangkan reaksi kimia berikut :
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15. Carilah persamaan parabola dengan bentuk : 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑦 yang melalui titik-titik (-1,9), (1,5) dan (2,12).
16.
17. Tentukan nilai 𝐴, 𝐵, 𝐶 sehingga 5𝑥+7 𝑥 3 +2𝑥 2 −𝑥−2
18.
=
𝐴 𝑥+2
+
𝐵 𝑥+1
+
𝐶 𝑥−1
!
20. http://www.regentsprep.org/regents/math/algebra/ae3/pracword.htm
21.
MATRIKS DEFINISI Matriks adalah susunan persegi panjang bilangan-bilangan. UKURAN MATRIKS • Matriks A dikatakan berukuran mxn jika A terdiri dari m baris dan n kolom. Notasi 𝐴𝑚×𝑛 menyatakan bahwa matriks A terdiri atas m baris dan n kolom. • Entri baris ke-i dan kolom ke-j matriks A dinotasikan dengan (𝐴)𝑖𝑗 atau 𝑎𝑖𝑗
• Matriks A dikatakan berbentuk persegi (bujursangkar) jika banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom.
KESAMAAN DUA MATRIKS Dua matriks A dan B dikatakan sama jika A dan B berukuran sama dan entri-entri yang seletak sama. Contoh: Tentukan 𝑎, 𝑏, 𝑐 sehingga 𝐴 = 𝐵 jika
OPERASI MATRIKS JUMLAHAN Jika 𝐴 dan 𝐵 adalah dua matriks berukuran 𝑚 × 𝑛 maka 𝐴 + 𝐵 adalah matriks berukuran 𝑚 × 𝑛 dengan (𝐴 + 𝐵)𝑖𝑗 = 𝐴𝑖𝑗 + 𝐵𝑖𝑗 SELISIH Jika 𝐴 dan 𝐵 adalah dua matriks berukuran 𝑚 × 𝑛 maka 𝐴 − 𝐵 adalah matriks berukuran 𝑚 × 𝑛 dengan (𝐴 − 𝐵)𝑖𝑗 = 𝐴𝑖𝑗 − 𝐵𝑖𝑗 Dua matriks yang berbeda ukuran tidak bisa dijumlahkan atau diselisihkan. TRANSPOS Jika 𝐴 adalah matriks berukuran 𝑚 × 𝑛 maka transpos matriks A, dinotasikan dengan 𝐴𝑇 adalah matriks ukuran 𝑛 × 𝑚 dengan (𝐴𝑇 )𝑖𝑗 = 𝐴𝑗𝑖
PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR Jika 𝐴 adalah matriks berukuran 𝑚 × 𝑛 dan 𝑘 adalah skalar (bilangan) maka kA adalah matriks berukuran 𝑚 × 𝑛 dengan (𝑘𝐴)𝑖𝑗 = 𝑘(𝐴)𝑖𝑗 PERKALIAN DUA MATRIKS
Jika 𝐴 adalah matriks berukuran 𝑚 × 𝑟 dan 𝐵 adalah matriks berukuran 𝑟 × 𝑛 maka 𝐴𝐵 adalah matriks berukuran 𝑚 × 𝑛 dengan (𝐴𝐵)𝑖𝑗 = 𝑟𝑘=1(𝐴)𝑖𝑘 (𝐵)𝑘𝑗
Ilustrasi perkalian matriks
Secara umum,
Contoh Perkalian Matriks
Partisi Matriks
Perkalian Matriks dengan Kolom dan Baris
Contoh:
Perhatikan bahwa
Perkalian matriks sebagai kombinasi linear
Contoh :
Menyajikan SPL dalam bentuk Perkalian Matriks SPL dalam m persamaan dan n variabel :
dapat disajikan dalam bentuk:
yang merupakan perkalian matriks sbb :
SIFAT-SIFAT OPERASI MATRIKS
Sifat terkait transpos
Matriks-matriks khusus • Matriks NOL adalah matriks yang seluruh entrinya sama dengan nol.
• Matriks IDENTITAS adalah matriks bujursangkar dengan entri-entri diagonal utamanya sama dengan satu dan selainnya nol. Notasi matriks identitas ukuran 𝑛 × 𝑛 : 𝐼𝑛 Jadi, (𝐼𝑛 )𝑖𝑗 = 1 jika 𝑖 = 𝑗 dan (𝐼𝑛 )𝑖𝑗 = 0 jika 𝑖 ≠ 𝑗
CATATAN : perbedaan perkalian matriks dengan perkalian bilangan-bilangan real Pandang matriks-matriks:
Jelas :
meskipun 𝐴 ≠ 0 dan 𝐵 ≠ 𝐶. KESIMPULAN : Juga, 𝐴 ≠ 0 dan 𝐷 ≠ 0 tetapi 𝐴𝐷 = 0. (Perkalian matriks-matriks tidak nol bisa menghasilkan matriks nol)
Sifat Matriks Nol dan Matriks Identitas
TEOREMA : (BEBT suatu matriks bujursangkar memuat baris nol atau merupakan matriks identitas)
DEFINISI :
SIFAT : (ketunggalan invers suatu matriks) Jika B dan C keduanya merupakan invers matriks A maka B=C.
SIFAT : Jika A dan B keduanya invertibel maka matriks AB juga invertibel dan (𝐴𝐵)−1 = 𝐵−1 𝐴−1 .
Definisi Misalkan A matriks bujursangkar
Matriks
invertibel jika
dan
Teorema
Latihan
MATRIKS ELEMENTER DAN METODE MENCARI INVERS MATRIKS
Matriks bujursangkar A disebut matris elementer jika A dapat diperoleh dengan cara mengenakan satu kali OBE pada matriks identitas yang berukuran sama. Contoh :
Jika matriks elementer E * diperoleh dengan cara mengenakan OBE* pada matriks identitas 𝐼𝑚, maka matriks 𝐴∗ berukuran 𝑚 × 𝑛 yang diperoleh dari matriks A setelah dikenai OBE *, sama dengan perkalian matriks E* dengan A.
𝐼𝑚
𝐴𝑚×𝑛
OBE *
E*
OBE *
A*=E*A
OBE pada matriks Identitas I yang menghasilkan matriks elementer E 1. 2. 3.
Mengalikan baris ke-i dengan konstanta k yang tidak nol Menukar baris ke-i dengan baris ke-j Menambahkan k kali baris ke-i ke baris ke-j
OBE pada matriks elementer E yang menghasilkan matriks identitas I 1. 2. 3.
Mengalikan baris ke-i dengan konstanta 1/k yang tidak nol Menukar baris ke-i dengan baris ke-j Menambahkan (–k) kali baris ke-i ke baris ke-j
Teorema : Setiap matriks elementer merupakan matriks invertibel dan inversnya juga merupakan matriks elementer.
Contoh
Teorema:
Mencari Invers Matriks • Ingat bahwa jika suatu matriks bujursangkar A ukuran nxn merupakan matriks yang invertibel maka A dapat dieliminasi Gauss-Jordan menjadi berbentuk matriks identitas 𝐼𝑛 . Misalkan setelah A dikenai OBE ke-1, OBE ke-2 dst sampai dengan OBE ke-k diperoleh matiks Identitas 𝐼𝑛 . Misalkan matriks-matriks elementer 𝐸1 , 𝐸2 … 𝐸𝑘 didapat dengan mengenakan OBE ke-1, OBE ke-2 dst sampai dengan OBE ke-k tersebut di atas pada matriks 𝐼𝑛 . MAKA 𝐸𝑘 𝐸𝑘−1 … 𝐸1 𝐴 = 𝐼𝑛 . Dengan mengalikan kedua ruas 𝐸𝑘 𝐸𝑘−1 … 𝐸1 𝐴 = 𝐼𝑛 dengan 𝐴−1 dari arah kanan didapat 𝐸𝑘 𝐸𝑘−1 … 𝐸1 𝐴𝐴−1 = 𝐼𝑛 𝐴−1 =𝐴−1 sehingga 𝐸𝑘 𝐸𝑘−1 … 𝐸1 = 𝐴−1
Eliminasi Gauss-Jordan
Contoh:
Sehingga diperoleh :
Jika pada proses Eliminasi di atas diperoleh baris NOL pada ruas kiri, maka disimpulkan bahwa A tidak mempunyai invers!!!
Latihan Soal 1.
2. Tentukan matriks A jika
3. 4.
5.
6. Dengan eliminasi Gauss-Jordan, tentukan invers matriks berikut jika ada :
7. Dengan eliminasi Gauss-Jordan, tentukan invers matriks berikut jika ada :
8.
9.
10. 11. 12.
Teorema Setiap SPL tidak mempunyai solusi atau mempunyai solusi tunggal atau mempuyai tak berhingga banyak solusi. Jika A matriks nxn dan invertibel, maka untuk setiap matrik B ukuran nx1, SPL AX=B mempunyai solusi tunggal yaitu 𝑋 = 𝐴−1 𝐵. Misalkan A matriks nxn. Jika B matrik nxn dengan BA=I maka 𝐵 = 𝐴−1 Jika B matrik nxn dengan AB=I maka 𝐵 = 𝐴−1
Teorema
Matriks Diagonal dan Matriks Segitiga Matriks bujursangkar A disebut matriks diagonal jika (𝐴)𝑖𝑗 = 0 untuk setiap 𝑖 ≠ 𝑗. (Dengan kata lain, entri-entri di luar diagonal utama sama dengan nol) Matriks bujursangkar A disebut matriks segitiga atas (upper triangular) jika (𝐴)𝑖𝑗 = 0 untuk setiap 𝑖 > 𝑗. Matriks bujursangkar A disebut matriks segitiga bawah (lower triangular) jika (𝐴)𝑖𝑗 = 0 untuk setiap 𝑖 < 𝑗.
Sifat Matriks diagonal A ukuran nxn mempunyai invers jika dan hanya jika (𝐴)𝑖𝑖 ≠ 0 untuk setiap i=1,2,…,n. Matriks segitiga (bawah atau atas) A ukuran nxn mempunyai invers jika dan hanya jika (𝐴)𝑖𝑖 ≠ 0 untuk setiap i=1,2,…,n. Transpos matriks diagonal berbentuk diagonal. Transpos matriks segitiga atas berbentuk segitiga bawah dan transpos matriks segitiga bawah berbentuk segitiga atas. Perkalian matriks-matriks segitiga bawah (atas) berbentuk segitiga bawah (atas).
Invers matriks diagonal (jika ada) berbentuk diagonal. Invers matriks segitiga bawah (jika ada) berbentuk segitiga bawah. Invers matriks segitiga atas (jika ada) berbentuk segitiga atas.
Matriks Simetris dan Sifatnya Matriks bujursangkar A disebut matriks simetris jika 𝐴 = 𝐴𝑇 . Contoh :
Sifat : Jika A dan B matriks-matriks yang simetris maka • 𝐴𝑇 simetris • A+B dan A-B simetris • kA simetris (k skalar) • jika A invertibel maka 𝐴−1 juga simetris
Perkalian matriks invertibel A dengan 𝐴𝑇 ?? Jika A invertibel maka 𝐴𝐴𝑇 dan 𝐴𝑇 𝐴 juga invertibel.
