Parametry hledáme tak, aby součet čtverců odchylek byl minimální. Řešením podle teorie je =

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2

ČÁST 14

Příklad 1 Metodou nejmenších čtverců nalezněte odhad lineární regresní funkce popisující závislost mezi výnosy pšenice a množstvím použitého hnojiva na základě hodnot výběrového souboru uvedeného v tabulce. Závislost studujme na hladině významnosti 0,05. id Y – výnos [t/ha] x – hnojivo [kg/ha] 1 40 100 2 50 200 3 50 300 4 70 400 5 65 500 6 65 600 7 80 700 8 80 750 Celkem 500 3550 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 1 = + Parametry hledáme tak, aby součet čtverců odchylek byl minimální. Řešením podle teorie je ∑ ∙ − ̅∙ = = , = − ∙ ̅ ∑ − ̅ Pro řešení si tabulku ze zadání doplníme o dva sloupce, do kterých si připravíme výsledky mezivýpočtů ∙ a . Ze zadání víme, že = 8. Do tabulky si doplníme i řádek pro průměry ̅ , . Dostaneme Hledáme odhad regresní přímky ve tvaru

id

Y 1 2 3 4 5 6 7 8

Celkem Průměr

40 50 50 70 65 65 80 80 500 62,5

x 100 200 300 400 500 600 700 750 3550 443,75

yx x2 4000 10000 10000 40000 15000 90000 28000 160000 32500 250000 39000 360000 56000 490000 60000 562500 244500 1962500 27734,38

Dosadíme do prvního vzorce a dostaneme 244500 − 8 ∙ 443,75 ∙ 62,5 244500 − 221879 22625 = = = = 0,058434 1962500 − 1575313 387187,5 1962500 − 8 ∙ 443,75 Tento výsledek dosadíme do druhého vzorce a dostaneme = 62,5 − 0,058434 ∙ 443,75 = 62,5 − 25,93019 = 36,56981 Nalezli jsme potřebné koeficienty. Můžeme tvrdit, že na základě množství použitelného hnojiva odhadneme výnos pomocí funkce = 0,058434 + 36,56981. ∀ ∃

1


ČÁST 14

Celou situaci můžeme znázornit grafem jednotlivých naměřených závislostí s proloženou regresní přímkou. POZOR! V tomto případě je osa svislá a osa vodorovná (podle pořadí sloupců v MS Excel). Proložená regresní přímka byla vložena prostředky MS Excel. Je zřejmé, že odpovídá námi vypočteným hodnotám.

Závislost výnosu na množství hnojiva 800 700 600 500 400 300 200 100 0 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Dále se budeme zabývat problémem, zda lze vypočtenou závislost považovat za statisticky významnou na zadané hladině ( = 0,05. Nejprve si vypočteme reziduální součet čtverců podle vzorce )

= *+ − , +

Výpočet provedeme dalším rozšířením naší tabulky

id

Y 1 2 3 4 5 6 7 8

Celkem Průměr n b a Dostáváme tedy ∀ ∃

-.

x

40 50 50 70 65 65 80 80 500 62,5 8 0,058434 36,56981

yx x2 100 4000 10000 200 10000 40000 300 15000 90000 400 28000 160000 500 32500 250000 600 39000 360000 700 56000 490000 750 60000 562500 3550 244500 1962500 443,75 27734,38 Se s2 s )

Y-(a+bx) -2,41321 1,74339 -4,10001 10,05659 -0,78681 -6,63021 2,52639 -0,39531

(Y-(a+bx))2 5,823582504 3,039408692 16,810082 101,1350024 0,619069976 43,95968464 6,382646432 0,156269996 177,9257467

177,9257 29,65429 5,445575

= 177,9257

2


ČÁST 14

Odtud snadno vypočteme reziduální rozptyl jako

/ =

)

−2

177,9257 177,9257 = = 29,65429 8−2 6 Z reziduálního rozptylu dostaneme snadno reziduální směrodatnou odchylku

Po dosazení dostaneme

/ =

/ = 0/ = 029,65429 = 5,445575 Hypotézu 12 : = 0 (závislost je nevýznamná) testujeme proti hypotéze 1 : ≠ 0 (tato závislost je významná) pomocí statistiky 5=

/

∙ 6*

−

̅

Dosadíme a dostaneme 0,058434 5= ∙ 01962500 − 8 ∙ 443,75 = 0,010730547 ∙ 01962500 − 8 ∙ 196914,0625 5,445575 = 0,010730547 ∙ 01962500 − 1575312,5 = 0,010730547 ∙ 0387187,5 = 0,010730547 ∙ 622,2439232 = 6,677 Hypotézu, že závislost je nevýznamná na hladině ( zamítneme, pokud ( |5| ≥ 9 : +1 − . 2 Připomínáme, že 9 : 1 − ( ⁄2 označuje 1 − ( ⁄2-kvantil Studentova t-rozdělení o − 2 stupních volnosti (ten najdeme ve statistických tabulkách). Do testové nerovnosti odsadíme a vyhledáme hodnotu v tabulkách. Dostaneme 0,05 0,05 |5| = |6,677| = 6,677 ≥ 2,447 = 9<: =1 − > = 9? =1 − > 2 2 Je zřejmé, že nerovnost je platná, proto nulovou hypotézu, že závislost je nevýznamná můžeme na hladině 0,05 zamítnout. Současně můžeme konstatovat, že vypočtená závislost = 0,058434 + 36,56981je statisticky významná na hladině 0,05. Na závěr ještě vypočteme koeficient determinance, který určuje, jaká část celkové variability proměnné je závislostí vysvětlena. Tento koeficient se počítá podle vzorce @ =1−

)

∑ − Nejprve si vypočítáme hodnotu jmenovatele zlomku. *

−

= 40 − 62,5

+ 50 − 62,5

=A

+ 50 − 62,5

+ 70 − 62,5

+ 65 − 62,5

+ 65 − 62,5 + 80 − 62,5 + 80 − 62,5 = −22,5 + −12,5 + −12,5 + 7,5 + 2,5 + 2,5 + 17,5 + 17,5 = 506,25 + 156,25 + 15,25 + 56,25 + 6,25 + 6,25 + 306,25 + 306,25 = 1500 Po dosazení dostaneme 177,9257 @ =1− = 1 − 0,118617 = 0,881383 1500 Kvalita lineárního modelu je vyjádřena zjištěnou hodnotou koeficientu determinace. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ∀ ∃

3


ČÁST 14

Příklad 2

Měřením bylo získáno 10 hodnot statistických znaků B a . Odhadněte parametry regresní přímky, která vystihuje závislost na B. Rozhodněte o kvalitě regresního modelu pomocí koeficientu determinance. B: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 : 290, 365, 420, 445, 501, 598, 635, 687, 750, 880 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 2 = + Parametry hledáme tak, aby součet čtverců odchylek byl minimální. Řešením podle teorie je ∑ ∙ − ̅∙ = = , = − ∙ ̅ ∑ − ̅ Pro řešení si tabulku ze zadání doplníme o dva sloupce, do kterých si připravíme výsledky . Ze zadání víme, že = 10. Do tabulky si doplníme i řádek pro průměry ̅ , . mezivýpočtů ∙ a Dostaneme Hledáme odhad regresní přímky ve tvaru

id 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Celkem Průměr

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 55 5,5

Y

xy

290 365 420 445 501 598 635 687 750 880 5571 557,1

290 730 1260 1780 2505 3588 4445 5496 6750 8800 35644 3564,4

x2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 385

Dosadíme do prvního vzorce a dostaneme 35644 − 10 ∙ 5,5 ∙ 557,1 35644 − 30640,5 5003,5 = = = = 60,64848 385 − 10 ∙ 5,5 385 − 302,5 82,5 Tento výsledek dosadíme do druhého vzorce a dostaneme = 557,1 − 60,64848 ∙ 5,5 = 557,1 − 333,5667 = 223,5333 Nalezli jsme potřebné koeficienty. Můžeme tvrdit, že na základě odhadneme hodnotu pomocí funkce = 60,64848 + 223,5333. Celou situaci můžeme znázornit grafem jednotlivých naměřených závislostí s proloženou regresní přímkou. Proložená regresní přímka byla vložena prostředky MS Excel. Je zřejmé, že odpovídá námi vypočteným hodnotám.

∀ ∃

4


ČÁST 14

Závislost statistických znaků X a Y 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 0

2

4

6

8

10

12


= *+ − , +


id

X

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 Celkem 55 Průměr 5,5 n 10 a 223,5333 b 60,64848

Y

xy

290 365 420 445 501 598 635 687 750 880 5571 557,1

290 730 1260 1780 2505 3588 4445 5496 6750 8800 35644 3564,4

-.

x2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 385

Y-(a+bx) (Y-(a+bx))2 5,81822 33,851684 20,16974 406,81841 14,52126 210,86699 -21,1272 446,35942 -25,7757 664,38671 10,57582 111,84797 -13,0727 170,89444 -21,7211 471,80792 -19,3696 375,18218 49,9819 2498,1903 5390,2061

) = 5390,2061 Odtud snadno vypočteme reziduální rozptyl jako

Dostáváme tedy

Po dosazení dostaneme ∀ ∃

/ =

)

−2

5


ČÁST 14

5390,2061 5390,2061 = = 673,7758 10 − 2 8 Z reziduálního rozptylu dostaneme snadno reziduální směrodatnou odchylku / =


/

∙ 6*

−

̅

Dosadíme a dostaneme 60,64848 ∙ 0385 − 10 ∙ 5,5 = 2,336481 ∙ 0385 − 10 ∙ 30,25 = 2,336481 ∙ 0385 − 302,5 5= 25,95719 = 2,336481 ∙ 082,5 = 2,336481 ∙ 9,082951 = 21,22214 Hypotézu, že závislost je nevýznamná na hladině ( zamítneme, pokud ( |5| ≥ 9 : +1 − . 2 ⁄ ⁄ Připomínáme, že 9 : 1 − ( 2 označuje 1 − ( 2-kvantil Studentova t-rozdělení o − 2 stupních volnosti (ten najdeme ve statistických tabulkách). Do testové nerovnosti odsadíme a vyhledáme hodnotu v tabulkách. Dostaneme 0,05 0,05 |5| = |21,22214| = 21,22214 ≥ 2,306 = 9 2: =1 − > = 9< =1 − > 2 2 Je zřejmé, že nerovnost je platná, proto nulovou hypotézu, že závislost je nevýznamná můžeme na hladině 0,05 zamítnout. Současně můžeme konstatovat, že vypočtená závislost = 60,64848 + 223,5333je statisticky významná na hladině 0,05. Na závěr ještě vypočteme koeficient determinance, který určuje, jaká část celkové variability proměnné je závislostí vysvětlena. Tento koeficient se počítá podle vzorce @ =1−

)

∑ − Nejprve si vypočítáme hodnotu jmenovatele zlomku. *

−

= 290 − 557,1

+ 365 − 557,1

=A

+ 420 − 557,1

+ 445 − 557,1

+ 501 − 557,1 + 598 − 557,1 + 635 − 557,1 + 687 − 557,1 + 750 − 557,1 + 880 − 557,1 = −267,1 + −192,1 + −137,1 + −112,1 + −56,1 + 40,9 + 77,9 + 129,9 + 192,9 + 322,9 = 71342,41 + 36902,41 + 18796,41 + 12566,41 + 3147,21 + 1672,81 + 6068,41 + 16874,01 + 37210,41 + 104264,41 = 308844,9 Po dosazení dostaneme 5390,2061 @ =1− = 1 − 0,0174528 = 0,9825472 308844,9 Kvalita lineárního modelu je vyjádřena zjištěnou hodnotou koeficientu determinace. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

∀ ∃

6


ČÁST 14

Příklad 3

Charakterizujte závislost proměnné na B lineární regresní funkcí. B: 12, 14, 16, 18, 20, 24, 26, 28, 30 : 186, 216, 246, 276, 306, 366, 396, 426, 456 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 3 = + Parametry hledáme tak, aby součet čtverců odchylek byl minimální. Řešením podle teorie je ∑ ∙ − ̅∙ = , = − ∙ ̅ = ∑ − ̅ Pro řešení si tabulku ze zadání doplníme o dva sloupce, do kterých si připravíme výsledky mezivýpočtů ∙ a . Ze zadání víme, že = 9. Do tabulky si doplníme i řádek pro průměry ̅ , . Dostaneme Hledáme odhad regresní přímky ve tvaru

id

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Celkem Průměr

Y

12 186 14 216 16 246 18 276 20 306 24 366 26 396 28 426 30 456 188 2874 20,88889 319,3333

xy 2232 3024 3936 4968 6120 8784 10296 11928 13680 64968 7218,667

x2 144 196 256 324 400 576 676 784 900 4256

Dosadíme do prvního vzorce a dostaneme 64968 − 9 ∙ 20,9 ∙ 319,3 64968 − 60060,3 4907,7 = = = = 15,11401 4256 − 9 ∙ 20,9 4256 − 3931,3 324,7 Tento výsledek dosadíme do druhého vzorce a dostaneme = 319,3 − 15,11401 ∙ 20,9 = 319,3 − 315,7149 = 3,61847 Nalezli jsme potřebné koeficienty. Můžeme tvrdit, že na základě odhadneme hodnotu pomocí funkce = 15,11401 + 3,61847. Celou situaci můžeme znázornit grafem jednotlivých naměřených závislostí s proloženou regresní přímkou. Proložená regresní přímka byla vložena prostředky MS Excel. Je zřejmé, že odpovídá námi vypočteným hodnotám.

∀ ∃

7


ČÁST 14

Závislost Y na X 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 0

5

10

15

20

25

30

35


= *+ − , +


id

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Celkem Průměr n a b

Y

12 186 14 216 16 246 18 276 20 306 24 366 26 396 28 426 30 456 188 2874 20,88889 319,3333 9 3,62 15,11

xy 2232 3024 3936 4968 6120 8784 10296 11928 13680 64968 7218,667

-.

x2 144 196 256 324 400 576 676 784 900 4256

Y-(a+bx) (Y-(a+bx))2 1,06 1,1236 0,84 0,7056 0,62 0,3844 0,4 0,16 0,18 0,0324 -0,26 0,0676 -0,48 0,2304 -0,7 0,49 -0,92 0,8464 4,0404

= 4,0404 Odtud snadno vypočteme reziduální rozptyl jako

Dostáváme tedy

Po dosazení dostaneme ∀ ∃

)

/ =

)

−2

8


ČÁST 14

4,0404 4,0404 = = 0,5772 9−2 7 Z reziduálního rozptylu dostaneme snadno reziduální směrodatnou odchylku / =


/

∙ 6*

−

̅

Dosadíme a dostaneme 15,11401 5= ∙ 04256 − 9 ∙ 20,9 = 19,893744 ∙ 04256 − 3931,29 = 19,893744 ∙ 0324,71 0,7597368 = 19,893744 ∙ 18,01971 = 315,7149 Hypotézu, že závislost je nevýznamná na hladině ( zamítneme, pokud ( |5| ≥ 9 : +1 − . 2 Připomínáme, že 9 : 1 − ( ⁄2 označuje 1 − ( ⁄2-kvantil Studentova t-rozdělení o − 2 stupních volnosti (ten najdeme ve statistických tabulkách). Do testové nerovnosti odsadíme a vyhledáme hodnotu v tabulkách. Dostaneme 0,05 0,05 |5| = |315,7149| = 315,7149 ≥ 2,365 = 9D: =1 − > = 9E =1 − > 2 2 Je zřejmé, že nerovnost je platná, proto nulovou hypotézu, že závislost je nevýznamná můžeme na hladině 0,05 zamítnout. Současně můžeme konstatovat, že vypočtená závislost = 15,11401 + 3,61847je statisticky významná na hladině 0,05. Na závěr ještě vypočteme koeficient determinance, který určuje, jaká část celkové variability proměnné je závislostí vysvětlena. Tento koeficient se počítá podle vzorce @ =1−

=A ∑ − Nejprve si vypočítáme hodnotu jmenovatele zlomku. Pomůžeme si dalším rozšířením tabulky

id

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Celkem Průměr n a b ∀ ∃

Y

12 186 14 216 16 246 18 276 20 306 24 366 26 396 28 426 30 456 188 2874 20,88889 319,3333 9 3,62 15,11

xy 2232 3024 3936 4968 6120 8784 10296 11928 13680 64968 7218,667

)

x2 144 196 256 324 400 576 676 784 900 4256

Y-(a+bx) (Y-(a+bx))2 1,06 1,1236 0,84 0,7056 0,62 0,3844 0,4 0,16 0,18 0,0324 -0,26 0,0676 -0,48 0,2304 -0,7 0,49 -0,92 0,8464 4,0404

Y-pY -133,333 -103,333 -73,3333 -43,3333 -13,3333 46,66667 76,66667 106,6667 136,6667

(Y-pY)2 17777,778 10677,778 5377,7778 1877,7778 177,77778 2177,7778 5877,7778 11377,778 18677,778 74000

9


ČÁST 14 *

−

= 74000

4,0404 = 1 − 0,0000546 = 0,9999454 74000 Kvalita lineárního modelu je vyjádřena zjištěnou hodnotou koeficientu determinace. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


∀ ∃

@ =1−

10


ČÁST 14

Příklad 4

Charakterizujte závislost proměnné na B lineární regresní funkcí. B: 5, 15, 25, 35, 45, 55, 65 : 3.5, 5.2, 5.5, 6.1, 5.9, 6.4, 7.8 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Řešení 4 = + Parametry hledáme tak, aby součet čtverců odchylek byl minimální. Řešením podle teorie je ∑ ∙ − ̅∙ = , = − ∙ ̅ = ∑ − ̅ Pro řešení si tabulku ze zadání doplníme o dva sloupce, do kterých si připravíme výsledky mezivýpočtů ∙ a . Ze zadání víme, že = 7. Do tabulky si doplníme i řádek pro průměry ̅ , . Dostaneme Hledáme odhad regresní přímky ve tvaru

id

X 1 2 3 4 5 6 7

Y 5 3,5 15 5,2 25 5,5 35 6,1 45 5,9 55 6,4 65 7,8 245 40,4 35 5,771429

Celkem Průměr

xy 17,5 78 137,5 213,5 265,5 352 507 1571 224,4286

x2 25 225 625 1225 2025 3025 4225 11375

Dosadíme do prvního vzorce a dostaneme 1571 − 7 ∙ 35 ∙ 5,77 1571 − 1413,65 157,35 = = = = 0,056196 11375 − 7 ∙ 35 11375 − 8575 2800 Tento výsledek dosadíme do druhého vzorce a dostaneme = 5,77 − 0,056196 ∙ 35 = 5,77 − 1,966875 = 3,804554 Nalezli jsme potřebné koeficienty. Můžeme tvrdit, že na základě odhadneme hodnotu funkce = 0,056196 + 3,804554.

pomocí

Závislost X a Y

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0

∀ ∃

10

20

30

40

50

60

70

11


ČÁST 14

Celou situaci jsme znázornili grafem jednotlivých naměřených závislostí s proloženou regresní přímkou. Proložená regresní přímka byla vložena prostředky MS Excel. Je zřejmé, že odpovídá námi vypočteným hodnotám. Dále se budeme zabývat problémem, zda lze vypočtenou závislost považovat za statisticky významnou na zadané hladině ( = 0,05. Nejprve si vypočteme reziduální součet čtverců podle vzorce )

= *+ − , +


id

X

1 2 3 4 5 6 7 Celkem Průměr n a b

Y xy 5 3,5 17,5 15 5,2 78 25 5,5 137,5 35 6,1 213,5 45 5,9 265,5 55 6,4 352 65 7,8 507 245 40,4 1571 35 5,771429 224,4286 7 3,804554 0,056196

-.

x2 25 225 625 1225 2025 3025 4225 11375

Y-(a+bx) (Y-(a+bx))2 -0,58553 0,3428501 0,552506 0,3052629 0,290546 0,084417 0,328586 0,1079688 -0,43337 0,187813 -0,49533 0,2453558 0,342706 0,1174474 1,3911149

) = 1,3911149 Odtud snadno vypočteme reziduální rozptyl jako

Dostáváme tedy

/ =

)

−2

1,3911149 1,3911149 = = 0,278223 7−2 5 Z reziduálního rozptylu dostaneme snadno reziduální směrodatnou odchylku Po dosazení dostaneme

/ =


/

∙ 6*

−

̅

Dosadíme a dostaneme 0,056196 5= ∙ 011375 − 7 ∙ 35 = 0,1065399 ∙ √11375 − 8575 = 0,1065399 ∙ √2800 0,5274685 = 0,1065399 ∙ 52,91503 = 5,637561 Hypotézu, že závislost je nevýznamná na hladině ( zamítneme, pokud ∀ ∃

12


ČÁST 14

( +1 − . 2 Připomínáme, že 9 : 1 − ( ⁄2 označuje 1 − ( ⁄2-kvantil Studentova t-rozdělení o − 2 stupních volnosti (ten najdeme ve statistických tabulkách). Do testové nerovnosti odsadíme a vyhledáme hodnotu v tabulkách. Dostaneme 0,05 0,05 |5| = |5,637561| = 5,637561 ≥ 2,571 = 9E: =1 − > = 9H =1 − > 2 2 Je zřejmé, že nerovnost je platná, proto nulovou hypotézu, že závislost je nevýznamná můžeme na hladině 0,05 zamítnout. Současně můžeme konstatovat, že vypočtená závislost = 0,056196 + 3,804554 je statisticky významná na hladině 0,05. Na závěr ještě vypočteme koeficient determinance, který určuje, jaká část celkové variability proměnné je závislostí vysvětlena. Tento koeficient se počítá podle vzorce |5| ≥ 9

:

@ =1−

=A ∑ − Nejprve si vypočítáme hodnotu jmenovatele zlomku. Pomůžeme si dalším rozšířením tabulky

id

X 1 2 3 4 5 6 7

Celkem Průměr n a b

Y

5 3,5 15 5,2 25 5,5 35 6,1 45 5,9 55 6,4 65 7,8 245 40,4 35 5,771429 7 3,804554 0,056196

xy 17,5 78 137,5 213,5 265,5 352 507 1571 224,4286

*

)

x2 25 225 625 1225 2025 3025 4225 11375

−

Y-(a+bx) (Y-(a+bx))2 -0,58553 0,3428501 0,552506 0,3052629 0,290546 0,084417 0,328586 0,1079688 -0,43337 0,187813 -0,49533 0,2453558 0,342706 0,1174474 1,3911149

Y-pY -2,27143 -0,57143 -0,27143 0,328571 0,128571 0,628571 2,028571

(Y-pY)2 5,1593878 0,3265306 0,0736735 0,1079592 0,0165306 0,395102 4,115102 10,194286

= 10,194286

1,3911149 = 1 − 0,1364603 = 0,8635397 10,194286 Kvalita lineárního modelu je vyjádřena zjištěnou hodnotou koeficientu determinace. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


@ =1−

∀ ∃

13

Parametry hledáme tak, aby součet čtverců odchylek byl minimální. Řešením podle teorie je =

Recommend Documents