Parabolikus feladatok dinamikus peremfeltétel mellett

Parabolikus feladatok dinamikus peremfeltétel mellett Kovács Balázs és Christian Lubich

University of Tübingen SFB 1173

BME Alkalmazott Analízis Szeminárium 2016. november 10., Budapest

Kovács B. (Tübingen)

Dynamic boundary conditions

1 / 43

Kivonat

Néhány egyszer¶ példa Variációs formalizmus és további példák Térbeli diszkretizáció poligonális tartámányok esetén Sima tartományok Id®diszkretizációk Numerikus kísérletek



2 / 43

Egyszer¶ parabolikus feladatok dinamikus peremfeltétellel



3 / 43

H®vezetési egyenlet dinamikus peremfeltétellel

H®vezetési egyenlet Wentzell-féle peremfeltételek mellett:

(

∂t u = ∆u ∂t u = −u − ∂ν u

Ω ⊂ Rd

korlátos tartomány;

Γ = ∂Ω

peremmel a felület;

∂ν u

normális derivált


Ω-ban Γ-n,

Γ-n;


4 / 43

Felülettartomány diúziós egyenlet

Tekintsük egy felületi diúziót és a tartománybeli diúziót csatoló feladatot:

ahol

∆Γ

(

∂t u = ∆u ∂t u = ∆Γ u − ∂ν u

Ω-ban Γ-n,

a LaplaceBeltrami operátor.



5 / 43

Variációs formalizmus és néhány további példa



6 / 43

Absztrakt variációs formalizmus autonóm eset Tekintsük a lineáris parabolikus feladatok szokásos absztrakt felírását: legyen

V

és

H

Hilbert-tér,

k·k

és

|·|

normákkal, továbbá a

V

⊂H

beágyazás legyen s¶r¶ és folytonos. Gelfand-hármas Jelölje

(·, ·)

Legyen az

a skalárszorzatot

H -n.

a(·, ·) folytonos szimmetrikus bilineáris forma, amely teljesíti a

Gårding-egyenl®tlenséget:

a(v , v ) ≥ αkv k2 − c |v |2

∀v ∈ V

(α > 0, c ∈ R).

ld. [Thomée], [Lubich és Ostermann (1994)], [Simon L. (2014)], stb.



7 / 43

Absztrakt variációs formalizmus autonóm eset Ekkor az absztrakt parabolikus feladat az alábbi alakban írható fel

(

(u˙ (t ), v ) + a(u (t ), v ) = (f (t ), v )

u (0) = u0 .

Tekinthet® egy

(0 < t ≤ T )

H -gradiens áramlásnak, azaz (u˙ , v ) = −E 0 (u )v

az

∀v ∈ V

E (v ) = 12 a(v , v )

v

Ekkor teljesül a következ®

|u (t )|2 + α

Z t 0

∈V

v

∈ V,

energiafunkcionál mellett.

a priori energia becslés:

ku (s )k2 ds ≤ e 2ct |u0 |2 +

1

Z t

α

0

kf (s )k2∗ ds .

[Daturay és Lions (1992)] Kovács B. (Tübingen)


8 / 43

Klasszikus PDE-k A h®vezetési egyenlet homogén Dirichlet peremfeltétellel

Legyen

V

= H01 (Ω)

és

H = L2 (Ω), a bilineáris formák pedig a(u , v ) =

Z

(u , v ) =

Z

Ω

Ω

∇u · ∇v dx ,

uv dx .

A fenti gradiens áramlás alapján

(

energia funkcionál:


∂t u = ∆u u=0

E (v ) =

1 2

Ω-ban Γ-n,

k∇v k2L2 (Ω) .


9 / 43

Klasszikus PDE-k A h®vezetési egyenlet homogén Dirichlet peremfeltétellel

Legyen

V

= H01 (Ω)

és

H = L2 (Ω), a bilineáris formák pedig a(u , v ) =

Z

(u , v ) =

Z

Ω

Ω

∇u · ∇v dx ,

uv dx .


(



∂t u = ∆u u=0

E (v ) =

1 2

Ω-ban Γ-n,

k∇v k2L2 (Ω) .


9 / 43

Klasszikus PDE-k A h®vezetési egyenlet homogén Neumann peremfeltétellel

Legyen

V

= H˙ 1 (Ω)

és

H = L2 (Ω), a bilineáris formák pedig a(u , v ) = (u , v ) =

Z ZΩ Ω

∇u · ∇v dx ,

uv dx .


(



∂t u = ∆u ∂ν u = 0

E (v ) =

1 2

Ω-ban Γ-n,

k∇v k2L2 (Ω) .


9 / 43

Hogyan illenek a fenti feladatok az absztrakt formalizmusba? I.

H®vezetési egyenlet dinamikus peremfeltétellel

V = {v ∈ H 1 (Ω) | γ v L2 (Ω) ⊕ L2 (Γ)-val. Legyen

∈ H 1 (Γ)},

H

pedig izomorkus

Bilineáris formák:

a(u , v ) = (u , v ) =

Z ZΩ Ω

Z

∇u · ∇v + κ (γ u )(γ v ) + β Γ Z uv + µ (γ u )(γ v )

Z Γ

∇Γ u · ∇ Γ v ,

Γ

κ ∈ R, β ≥ 0



és

µ > 0.

10 / 43

Hogyan illenek a fenti feladatok az absztrakt formalizmusba? II.

A gradiens áramlás alapján:

(

∂t u = ∆u

Ω-ban

µ∂t u = β∆Γ u − κu − ∂ν u energia funkcionál:


E (v ) =

Γ-n,

v k2L (Ω) + 12 κ kγ v k2L (Γ) + 12 β k∇Γ v k2L (Γ) .

1 2 k∇

2


2

2

11 / 43

Mit®l lesz dinamikus egy peremfeltétlel? Klasszikus h®vezetési egyenlet

Hilbert-terek:

V

= H01 (Ω)

és

H = L2 (Ω)


a(u , v ) = (u , v ) =

Z ZΩ Ω

∇u · ∇ v

uv

Energia funkcionálok:

E (v ) =

v k2L (Ω) ˙ , v ) = −E 0 (u )v , szerint: Gradiens áramlás, (u (


1 2 k∇

.

2

∂t u = ∆u 0 = u Dynamic boundary conditions

Ω-ban Γ-n, 12 / 43

Mit®l lesz dinamikus egy peremfeltétlel? Klasszikus h®vezetési egyenlet dinamikus peremfeltétellel

Hilbert-terek:

V

= {v ∈ H 1 (Ω) | γ v ∈ H 1 (Γ)}

és

H = L2 (Ω) ⊕ L2 (Γ)


Z Z ∇u · ∇v + κ (γ u )(γ v ) + β ∇Γ u · ∇Γ v Γ Γ Z ZΩ (κ ∈ R, β ≥ 0, µ > 0), (u , v ) = uv + µ (γ u )(γ v )

a(u , v ) =

Z

Γ

Ω

Energia funkcionálok:

v k2L (Ω) + 12 κ kγ v k2L (Γ) + 21 β k∇Γ v k2L (Γ) . ˙ , v ) = −E 0 (u )v , szerint: Gradiens áramlás, (u E (v ) =

(

1 2 k∇

2

2

∂t u = ∆u

µ∂t u = β∆Γ u − κu − ∂ν u Kovács B. (Tübingen)


2

Ω-ban Γ-n, 12 / 43

Lineáris nem-autonóm rendszerek I. Legyen

V

és

H

mint korábban, ekvivalens id®függ® normákkal:

| · |2t = m(t ; ·, ·).

Legyen továbbá az

k · kt

és

a bilineáris forma is id®függ®, a(t ; ·, ·).

Szükség van továbbá plusz (természetes) korlátossági feltételekre:

m , a,

∂m ∂t

és

∂a ∂t

id®ben korlátos.

[Dziuk, Lubich és Mansour (2012)] Minden tulajdonság (norma ekvivalenciák, Gårding, korlátosság, stb.) id®ben egyenletesen teljesül. Absztrakt nem-autonóm PDE:

m(t ; u˙ (t ), v ) + a(t ; u (t ), v ) = m(t ; f (t ), v ) u (0) = u0 . Kovács B. (Tübingen)


∀v ∈ V

(0 < t ≤ T )

13 / 43

Lineáris nem-autonóm rendszerek II.

Például, h®vezetési egyenlet nem-autonóm dinamikus peremfeltétellel:

(

∂t u = ∆u

µ(x , t )∂t u (x , t ) = −κ(x , t )u (x , t ) + ∇Γ · β(x , t )∇Γ u (x , t ) − ∂ν u (x , t )



14 / 43

Nemlineáris feladatok

Szemilineáris feladatok szintén hasonlóan kezelhet®ek:

(u˙ (t ), v ) + a(u (t ), v ) = (f (u (t )), v )

u (0) = u0 ,

ahol

f :V

→H

∀v ∈ V

(0 < t ≤ T )

egy kell®en sima függvény.



15 / 43

Felületi reakciódiúzió egyenlet csatolása a tartománybeli diúzióhoz

Egy tipikus példa:

(

∂t u = ∆u

Ω-ban

µ ∂t u = β ∆Γ u + f (u ) − ∂ν u ahol

f

:R→R

C 2 függvény (f


és

Γ-n = ∂Ω

f 0 lokálisan Lipschitz).


16 / 43

AllenCahn egyenlet dinamikus peremfeltétellel Legyenek

W , WΓ : R → R adott függvények (tipikusan valamilyen W (u ) = (u 2 − 1)2 ). Ekkor az AllenCahn egyenlet

potenciál, pl.

∂t u = ∆u − W 0 (u )

Ω-ban

dinamikus peremfeltétellel:

µ ∂t u = β ∆Γ u − WΓ0 (u ) − ∂ν u

Γ-n.

ún. AllenCahn/AllenCahn csatolás

Sok zikai cikk.

[Gal (2008); Liero (2013); Colli és Fukao (2015); . . . ]



17 / 43

CahnHilliard egyenlet dinamikus peremfeltételekkel Egy jól ismert mintázatképz®dési modell: Tekintsük a CahnHilliard egyenletet

∂t u = ∆ w

w = ∆ u − W 0 (u )

Ω-ban,

Allen-Cahn típusú dinamikus peremfeltétellel:

µ ∂t u = β ∆Γ u − WΓ0 (u ) − ∂ν u ∂ν w =

0

Γ-n.

ún. Cahn-Hilliard/Allen-Cahn csatolás Komplikált alapterek

V

és

H.

[Cherls, Petcu és Pierre (2010)] [Kenzler et. al. (2011); Gal (2008); Goldstein, Miranville és Schimperna (2011); . . . ] Lehetséges Cahn-Hilliard/Cahn-Hilliard csatolás is. (Még bonyolultabb alapterekkel.) Kovács B. (Tübingen)


18 / 43

Térbeli szemidiszkretizáció (

∂t u = ∆u

µ∂t u = β∆Γ u − κu − ∂ν u ahol

κ ∈ R, β ≥ 0


és

Ω-ban Γ-n,

µ > 0.


19 / 43

Végeselem módszer lineáris bázisfüggvények Keressük

uh : [0, T ] → Vh

szemidiszkrét megoldást úgy, hogy

(u˙ h (t ), vh ) + a(uh (t ), vh ) = (f (t ), vh ) (uh (0), vh ) = (u0 , vh )

ahol

ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕN

a

Vh ⊂ V

∀ vh ∈ Vh ∀ vh ∈ Vh .

(0 < t ≤ T )

tér bázisfüggvényei.

Ekvivalens közdi rendszer (u(

t ) = (ui (t ))):

˙ (t ) + Au(t ) = b(t ),

Mu

az alábbi tömeg és merevségi mátrixszal:

mij

= (ϕj , ϕi ),


aij

= a(ϕj , ϕi )

és


bi (t ) = (f (t ), ϕi ).

20 / 43

El®étel Els®rend¶ hibabecslések poliédereken I. Kulcs a szemidiszkrét energia becslés (nem csak poliéderen!):

|uh (t )| + α 2

Z t 0

kuh (s )k

2

s≤e

d

2ct

|uh (0)| + 2

1

Z t

α

0

kf (s )k2∗ ds .

a

Továbbá a Ritz projekció ( -ortogonális projekció)

a(Rh u , vh ) = a(u , vh )

∀vh ∈ Vh

(κ > 0)

Teljesíti az alábbi hibabecslést

ku − Rh u k2 ≤ Ch2 ku k2H 2 (Ω) + βkγ u k2Hpw 2 (Γ)



21 / 43

El®étel Els®rend¶ hibabecslések poliédereken II. Szemidiszkrét hibabecslés:

|u (t ) − uh (t )| + 2

Bizonyítás:

Z t 0

ku (t ) − uh (t )k2 dt ≤ Ch2 .

Ld. [V. Thomée]: Bontsuk fel a hibát

uh − u = (uh − Rh u ) + (Rh u − u ) alakban. El®bbire energia becslés, utóbbira a fenti Ritz projekció hibabecslés. [...]



22 / 43

Sima felületek



23 / 43

Lift operátor Sima felületek esetében elkerülhetetlen a felület és a tartomány approximációja, és így extra óvatosság is szükségeltetik, ld.

[Dziuk, Elliott,

Ranner, ... (1988)].

Vh * V p

x

Γh

Γ

Fontos(!): Új interpolációs becslések: tartomány felület

[Bernardi (1989), Elliott és Ranner (2013)],

[Dziuk (1988)]

Egyéb geometrikus hibák megfelel® becslése. Kovács B. (Tübingen)


24 / 43

Diszkrét bilineáris formák Z

Z Z ∇uh · ∇vh + κ (γh uh )(γh vh ) + β ∇Γh uh · ∇Γh vh Ωh Γh Γh Z Z mh (uh , vh ) = uh vh + µ (γh uh )(γh vh ),

ah (uh , vh ) =

Ωh

Γh

Geometriai hibák becslése: tetsz®leges

|a(vhl , whl ) − ah (vh , wh )| ≤ |m(vhl , whl ) − mh (vh , wh )| ≤

vh , wh ∈ Vh

esetén

Chk∇vhl kL (Bhl ) k∇whl kL (Bhl ) + Ch2 kvhl kkwhl k, Chkvhl kL (Bhl ) kwhl kL (Bhl ) + Ch2 |vhl ||whl |. 2

2

2

2

Fontos becslés [Elliott és Ranner (2013)]:

kv kL2 (B l ) ≤ Ch1/2 kv kH 1 (Ω) h


(∀v ∈ H 1 (Ω)).


(1)

25 / 43



ah (uh , vh ) =

Ωh

Γh



vh , wh ∈ Vh

esetén


2

2

2




(∀v ∈ H 1 (Ω)).


(1)

25 / 43



ah (uh , vh ) =

Ωh

Γh



vh , wh ∈ Vh

esetén


2

2

2




(∀v ∈ H 1 (Ω)).


(1)

25 / 43

Ritz leképezés sima tartományok esetén Deniáljuk a Ritz leképezést

Rh : V

→ Vhl

ah (Reh u , vh ) = a(u , vhl ) ekkor, legyen

Rh u := (Reh u )l

a következ® módon:

∀vh ∈ Vh

∈ Vhl .

Nincs Galjorkin ortogonalitás! Nem projekció, csak leképezés!

Ritz leképezés hibabecslése Els®rend¶ becslés:

ku − Rh u

Másodrend¶ becslés:


|.|

k2

≤ Ch

2

2 2 ku kH 2 (Ω) + βkγ u kH 2 (Γ) ;

normában, AubinNitsche trükk.


26 / 43

Konvergencia becslések Legyen

Ω ⊂ Rd

d

egy sima tartomány (

≤ 3),

továbbá legyen

u a feladat

megfelel®en sima megoldása. Ekkor a szemidiszkrét megoldás lineáris bázisfüggvények esetén teljesíti a következ® els®rend¶ hibabecslést:

|uh (t ) − u (t )| + 2

Z t 0

kuh (s ) − u (s ))k2 ds ≤ C1 h2 ,

Továbbá az alábbi másodrend¶ hibabecslés is teljesül:

kuh (t ) − u (t )k2L2 (Ω) + µkγ(uh (t ) − u (t ))k2H −θ (Γ) ≤ C2 h4 , ahol

θ = 1/2,

ha

β=0


és

θ = 0,

ha

β>0

.


27 / 43

Általános PDE-k

Hasonló eredmények igazak szemilineáris problémák (lokálisan Lipschitz) nem-autonóm feladatok (gyelem(!):

lumped mass

végeselem módszer (

d dt

←−

jó trükk (?!),

Rh (t )u (t )

6= Rh (t )u˙ (t )),

exponenciális integrátorok),

esetén is.



28 / 43

Egy jó trükk I. 0 Legyen f és f lokálisan Lipschitz. A szemilineáris feladat hibabecslésében szükség van a nemlineáris tag becslésére, ehhez pedig egy

kuh (·, t )kL∞ (Ω) ≤ 2r

t∗ ≤ T

t∗ = T

esetén is).

u

típusú becslésre ( -ról ez feltehet® Legyen tehát

t ∗ ∈ [0, T ] maximális úgy, hogy a fenti teljesül!

Igazoljuk el®ször a hibabecslést 0

|uh (t ) − u (t )| + 2

1 2

Z t 0

≤ t ≤ t∗

esetén, azaz

kuh (s ) − u (s )k2 ds ≤ C 0 e CL(2r )t h4 ,

Ekkor már csak azt kéne megmutatnunk, hogy

t∗ = T

0

≤ t ≤ t ∗.

(kell®en kis

h>0

esetén). Kovács B. (Tübingen)


29 / 43


kuh (·, t )kL∞ (Ω) ≤ 2r

t∗ ≤ T

t∗ = T

esetén is).

u




|uh (t ) − u (t )| + 2

1 2

Z t 0

≤ t ≤ t∗

esetén, azaz



t∗ = T

0

≤ t ≤ t ∗.

(kell®en kis

h>0



29 / 43


kuh (·, t )kL∞ (Ω) ≤ 2r

t∗ ≤ T

t∗ = T

esetén is).

u




|uh (t ) − u (t )| + 2

1 2

Z t 0

≤ t ≤ t∗

esetén, azaz



t∗ = T

0

≤ t ≤ t ∗.

(kell®en kis

h>0



29 / 43

Egy jó trükk II. Inverz becsléssel:

kuh kL∞ (Ω) ≤ kuh − Ih u kL∞ (Ω) + kIh u kL∞ (Ω) ≤ Ch−d /2 kuh − Ih u kL2 (Ω) + ku kL∞ (Ω) ≤ Ch−d /2 kuh − u kL2 (Ω) + Ch−d /2 ku − Ih u kL2 (Ω) + ku kL∞ (Ω) ≤ CC2 h2−d /2 + Ch2−d /2 ku kH 2 (Ω) + ku kL∞ (Ω) ≤ 32 r .

Azaz

t ∗ nem lehetett maximális!



⇒

t∗ = T

30 / 43

Id®diszkretizációk



31 / 43

Klasszikus implicit módszerek Ugyanazt az absztrakt formalizmust használjuk, amelyben a parabolikus feladatok id®diszkretizációja jól ismert: pl. BDF vagy algebrailag stabil implicit RungeKutta módszerek.

m(∂tτ uhn , vh ) + a(uhn , vh ) = m(f (t n ), vh )

∀ vh ∈ Vh ,

[Akrivis, Crouzeix, Lubich, Ostermann, Savaré, ..., ... ] Például, egy

k

k ≤ 5):

lépéses BDF módszer (

δ

0

τ

M

+A

1 n n u = b(t ) − M τ

k X j =1

δj un−j .

a klasszikus rendben konvergál.



32 / 43

Splitting módszerek I.

Force splitting: válasszuk el a tartományt és a felületet:

a(·, ·) = aΩ (·, ·) + aΓ (·, ·) A

1

[t0 , t1/2 ]:

=

AΩ

+ AΓ

˙ (t ) = −AΓ u(t ) + bΓ (t0 ),

Mu

0

1/2,− .

kezdeti feltétel: u , megoldás: u 2

[t0 , t1 ]:

˙ (t ) = −AΩ u(t ) + bΩ (t1/2 ),

Mu

kezdeti feltétel: u 3

[t1/2 , t1 ]:

1/2,− , megoldás:

˙ (t ) = −AΓ u(t ) + bΓ (t1 ),

1/2,+ .

u

Mu

kezdeti feltétel: u


1/2,+ , megoldás:


1

u .

33 / 43

Splitting módszerek II.

Component splitting: válasszuk el a bels® és a perem pontokat:

u

1

2

=

u0 u1

[t0 , t1/2 ]: [t0 , t1 ]:

,

M

=

[t1/2 , t1 ]:

0

0

M1

,

A

=

A00

A01

A10

A11

,

b

=

b0 b1

.

˙ (t ) = −A11 u1 (t ) − A10 u00 + b1 (t0 ),

M1 u 1

1/2

0

kezdeti feltétel: u1 , megoldás: u1

˙ (t

M1 u 1

kezdeti


.

1/2 ) = −A00 u0 ( ) − A01 u1 + b0 ( 1/2 ), 0 1 feltétel: u0 , megoldás: u0 . ) = −A11 u1 ( ) − A10 u10 + b1 ( 1 ), 1/2 1 feltétel: u1 , megoldás: u1 .

˙ (t

M0 u 0

kezdeti 3

M0

t

t


t

t

34 / 43

Numerikus kísérletek



35 / 43

AllenCahn egyenlet dinamikus peremfeltételekkel BDF2 (

∂t u = ∆u + fΩ

Ω-ban

µ ∂t u = β ∆Γ u − ∂ν u + W

0 Γ(

u ) + fΓ

BDF 10

−2

dof − 144 dof − 541 dof − 2097 dof − 8257 slope 2

0

10

−2

10 error − a

10 error − m

BDF


0

Γ-n,

−4

10

−6

−4

10

−6

10

10 −3

10

−2

10 step size (τ)

−1

−3

10

BDF2 módszer hibája

10

t

−2

10 step size (τ)

= 1 id®pontban

−1

10

AllenCahn egyenlet dinamikus peremfeltételekkel BDF4

BDF 10

−2


0

10

−2

10 error − a

10 error − m

BDF


0

−4

10

−6

−4

10

−6

10

10 −3

10

−2

10 step size (τ)

−1

−3

10

BDF4 módszer hibája

10

t

−2

10 step size (τ)

= 1 id®pontban

−1

10

Force splitting Γ - Ω

force 10

−2


0

10

−2

10 error − a

10 error − m

force


0

−4

10

−6

−4

10

−6

10

10 −3

10

−2

10 step size (τ)

−1

−3

10

Force splitting hibája

10

t

−2

10 step size (τ)

= 1 id®pontban

−1

10

Component splitting 0 - 1

component 10

−2


0

10

−2

10 error − a

10 error − m

component


0

−4

10

−6

−4

10

−6

10

10 −3

10

−2

10 step size (τ)

−1

10

−3

−2

10

Figure: Component splitting hibája

10 step size (τ)

t

= 1 id®pontban

−1

10

Összefoglalás

általános absztrakt formalizmus; így a meglév® id®diszkretizációs eredmények direkt alkalmazhatóak; Ritz projekció nem a szokásos elliptikus formán alapul, hanem új, peremtagokat is tartalmaz, esetszétválasztás:

β = 0, β > 0;

sima felületek esetén a felület approximációja fontos; splitting(!!);



40 / 43

Köszönöm a gyelmet!



41 / 43


kuh (·, t )kL∞ (Ω) ≤ 2r

t∗ ≤ T

t∗ = T

esetén is).

u




|uh (t ) − u (t )| + 2

1 2

Z t 0

≤ t ≤ t∗

esetén, azaz



t∗ = T

0

≤ t ≤ t ∗.

(kell®en kis

h>0



42 / 43


kuh (·, t )kL∞ (Ω) ≤ 2r

t∗ ≤ T

t∗ = T

esetén is).

u




|uh (t ) − u (t )| + 2

1 2

Z t 0

≤ t ≤ t∗

esetén, azaz



t∗ = T

0

≤ t ≤ t ∗.

(kell®en kis

h>0



42 / 43


kuh (·, t )kL∞ (Ω) ≤ 2r

t∗ ≤ T

t∗ = T

esetén is).

u




|uh (t ) − u (t )| + 2

1 2

Z t 0

≤ t ≤ t∗

esetén, azaz



t∗ = T

0

≤ t ≤ t ∗.

(kell®en kis

h>0



42 / 43

Egy jó trükk II. Inverz becsléssel kell®en kis

h esetén:

kuh kL∞ (Ω) ≤ kuh − Ih u kL∞ (Ω) + kIh u kL∞ (Ω) ≤ Ch−d /2 kuh − Ih u kL2 (Ω) + ku kL∞ (Ω) ≤ Ch−d /2 kuh − u kL2 (Ω) + Ch−d /2 ku − Ih u kL2 (Ω) + ku kL∞ (Ω) ≤ CC2 h2−d /2 + Ch2−d /2 ku kH 2 (Ω) + ku kL∞ (Ω) ≤ 32 r .

Azaz

t ∗ nem lehetett maximális!



⇒

t∗ = T

43 / 43

Parabolikus feladatok dinamikus peremfeltétel mellett

Recommend Documents